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1.R: Funktionen (Rezension) - Mathematik


1.1: Funktionen und Funktionsnotation

Bestimmen Sie für die Übungen 1-4, ob die Beziehung eine Funktion ist.

1) ({(a,b),(c,d),(e,d)})

Antworten

Funktion

2) ({(5,2),(6,1),(6,2),(4,8)})

3) (y^2+4=x),für (x) die unabhängige Variable und (y) die abhängige Variable

Antworten

keine Funktion

4) Ist der Graph in der Abbildung unten eine Funktion?

Bewerten Sie für die Aufgaben 5-6 die Funktion bei den angegebenen Werten: (f(-3); f(2); f(-a); -f(a); f(a+h))

5) (f(x)=-2x^2+3x)

Antworten

(f(-3)=-27; f(2)=-2;f(-a)=-2a^2-3a;-f(a)=2a^2-3a;f(a+h) =-2a^2+3a-4ah+3h-2h^2)

6) (f(x)=2|3x-1|)

Bestimmen Sie für die Übungen 7-8, ob die Funktionen eins zu eins sind.

7) (f(x)=-3x+5)

Antworten

eins zu eins

8) (f(x)=|x-3|)

Verwenden Sie für die Übungen 9-11 den vertikalen Linientest, um zu bestimmen, ob die Beziehung, deren Graph bereitgestellt wird, eine Funktion ist.

9)

Antworten

Funktion

10)

11)

Antworten

Funktion

Stellen Sie für die Übungen 12-13 die Funktionen grafisch dar.

12) (f(x)=|x+1|)

13) (f(x)=x^{2}-2)

Antworten

Verwenden Sie für die Übungen 14-17 die folgende Abbildung, um die Werte anzunähern.

14) (f(2))

15) (f(-2))

Antworten

(2)

16) Wenn (f(x)=-2), dann löse nach (x)

17) Wenn (f(x)=1), dann löse nach (x)

Antworten

(x=-1.8) oder (x=1.8)

Verwenden Sie für die Übungen 18-19 die Funktion (h(t)=-16 t^{2}+80t), um die Werte zu ermitteln.

18) (dfrac{h(2)-h(1)}{2-1})

19) (dfrac{h(a)-h(1)}{a-1})

Antworten

(dfrac{-64+80 a-16 a^{2}}{-1+a}=-16 a+64)

1.2: Domäne und Reichweite

Finden Sie für die Übungen 1-4 den Bereich jeder Funktion heraus, indem Sie die Antworten in Intervallnotation ausdrücken.

1) (f(x)=dfrac{2}{3 x+2})

2) (f(x)=frac{x-3}{x^{2}-4 x-12})

Antworten

((-infty,-2) cup(-2,6) cup(6, infty))

3)

4) Zeichnen Sie diese stückweise Funktion: (f(x)=left{egin{array}{ll}{x+1} & {x<-2} {-2 x-3} & {x geq-2}end{array} ight.)

Antworten

1.3: Änderungsraten und Verhalten von Graphen

Bestimmen Sie für die Aufgaben 1-3 die durchschnittliche Änderungsrate der Funktionen von (x=1) nach (x=2)

1) (f(x)=4x-3)

2) (f(x)=10x^{2}+x)

Antworten

(31)

3) (f(x)=-dfrac{2}{x^{2}})

Verwenden Sie für die Übungen 4-6 die Graphen, um die Intervalle zu bestimmen, in denen die Funktionen ansteigen, abnehmen oder konstant sind.

4)

Antworten

Erhöhung von ((2, infty)); abnehmend ((-infty, 2))

5)

6)

Antworten

Erhöhung von ((-3,1)); Konstante ((-infty,-3) cup(1, infty))

7) Bestimmen Sie das lokale Minimum der in Aufgabe 4 dargestellten Funktion.

8) Finden Sie die lokalen Extrema für die in Aufgabe 5 dargestellte Funktion.

Antworten

lokales Minimum ((-2,-3)); lokales Maximum ((1,3))

9) Für den Graphen in der Abbildung in Aufgabe 10 ist der Definitionsbereich der Funktion ([-3,3]). Der Bereich ist ([-10,10]). Finden Sie das absolute Minimum der Funktion in diesem Intervall.

10) Finden Sie das absolute Maximum der in der Abbildung unten dargestellten Funktion.

Antworten

((-1.8,10))

1.4: Zusammensetzung der Funktionen

Finden Sie für die Aufgaben 1-5 ((fcirc g)(x)) und ((g circ f)(x)) für jedes Funktionspaar.

1) (f(x)=4-x, g(x)=-4x)

2) (f(x)=3x+2, g(x)=5-6x)

Antworten

((f circ g)(x)=17-18x ;(g circ f)(x)=-7-18x)

3) (f(x)=x^{2}+2x, g(x)=5x+1)

4) (f(x)=sqrt{x+2}, g(x)=dfrac{1}{x})

Antworten

((fcirc g)(x)=sqrt{dfrac{1}{x}+2} ;(g circ f)(x)=dfrac{1}{sqrt{x+2} })

5) (f(x)=dfrac{x+3}{2}, g(x)=sqrt{1-x})

Bestimmen Sie für die Aufgaben 6-9 ((fcirc g)) und den Definitionsbereich für ((f circ g)(x)) für jedes Funktionspaar.

6) (f(x)=frac{x+1}{x+4}, g(x)=frac{1}{x})

Antworten

((f circ g)(x)=dfrac{1+x}{1+4 x}, x eq 0, x eq-dfrac{1}{4})

7) (f(x)=dfrac{1}{x+3}, g(x)=dfrac{1}{x-9})

8) (f(x)=dfrac{1}{x}, g(x)=sqrt{x})

Antworten

((fcirc g)(x)=frac{1}{sqrt{x}}, x>0)

9) (f(x)=frac{1}{x^{2}-1}, g(x)=sqrt{x+1})

Drücken Sie für die Aufgaben 10-11 jede Funktion (H) als eine Zusammensetzung aus zwei Funktionen (f) und (g) aus, wobei (H(x)=(fcirc g)(x) )

10) (H(x)=sqrt{frac{2 x-1}{3 x+4}})

Antworten

Beispiel: (g(x)=dfrac{2 x-1}{3 x+4}; f(x)=sqrt{x})

11) (H(x)=dfrac{1}{left(3x^{2}-4 ight)^{-3}})

1.5: Transformation von Funktionen

Skizzieren Sie für die Aufgaben 1-8 einen Graphen der gegebenen Funktion.

1) (f(x)=(x-3)^{2})

Antworten

2) (f(x)=(x+4)^{3})

3) (f(x)=sqrt{x}+5)

Antworten

4) (f(x)=-x^{3})

5) (f(x)=sqrt[3]{-x})

Antworten

6) (f(x)=5 sqrt{-x}-4)

7) (f(x)=4[|x-2|-6])

Antworten

8) (f(x)=-(x+2)^{2}-1)

Skizzieren Sie für die Aufgaben 9-10 den Graphen der Funktion (g), wenn der Graph der Funktion (f) in der Abbildung unten dargestellt ist.

9) (g(x)=f(x-1))

Antworten

10) (g(x)=3 f(x))

Schreiben Sie für die Übungen 11-12 die Gleichung für die Standardfunktion, die durch jede der folgenden Grafiken dargestellt wird.

11)

Antworten

(f(x)=|x-3|)

12)

Bestimmen Sie für die Übungen 13-15, ob jede der folgenden Funktionen gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

13) (f(x)=3 x^{4})

Antworten

auch

14) (g(x)=sqrt{x})

15) (h(x)=frac{1}{x}+3x)

Antworten

seltsam

Analysieren Sie für die Übungen 16-18 den Graphen und bestimmen Sie, ob die graphische Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

16)

17)

Antworten

auch

18)

1.6: Absolutwertfunktionen

Schreiben Sie für die Aufgaben 1-3 eine Gleichung für die Transformation von (f(x)=|x|).

1)

Antworten

(f(x)=dfrac{1}{2}|x+2|+1)

2)

3)

Antworten

(f(x)=-3|x-3|+3)

Stellen Sie für die Übungen 4-6 die Absolutwertfunktion grafisch dar.

4) (f(x)=|x-5|)

5) (f(x)=-|x-3|)

Antworten

6) (f(x)=|2x-4|)

Lösen Sie für die Aufgaben 7-8 die Absolutwertgleichung.

7) (|x+4|=18)

Antworten

(x=-22, x=14)

8) (left|dfrac{1}{3} x+5 ight|=left|dfrac{3}{4} x-2 ight|)

Lösen Sie für die Aufgaben 9-10 die Ungleichung und drücken Sie die Lösung in Intervallnotation aus.

9) (|3 x-2|<7)

Antworten

(left(-dfrac{5}{3}, 3 ight))

10) (left|dfrac{1}{3} x-2 ight|leq 7)

1.7: Umkehrfunktionen

Finden Sie für die Übungen 1-2 für jede Funktion (f^{-1}(x)).

1) (f(x)=9+10x)

2) (f(x)=dfrac{x}{x+2})

Antworten

(f^{-1}(x)=dfrac{-2 x}{x-1})

3) Finden Sie für die folgende Übung einen Bereich, auf dem die Funktion (f) eins zu eins und nicht abnehmend ist. Schreiben Sie die Domäne in Intervallnotation. Dann finden Sie die Umkehrung von (f) beschränkt auf diesen Bereich. [f(x)=x^{2}+1]

4) Gegeben (f(x)=x^{3}-5) und (g(x)=sqrt[3]{x+5}) :

  1. Finden Sie (f(g(x))) und (g(f(x))).
  2. Was sagt uns die Antwort über die Beziehung zwischen (f(x)) und (g(x) ?)
Antworten
  1. (f(g(x))=x) und (g(f(x))=x)
  2. Dies sagt uns, dass (f) und (g) Umkehrfunktionen sind

Verwenden Sie für die Übungen 5-8 ein grafisches Dienstprogramm, um zu bestimmen, ob jede Funktion eins zu eins ist.

5) (f(x)=dfrac{1}{x})

Antworten

Die Funktion ist eins zu eins.

6) (f(x)=-3 x^{2}+x)

Antworten

Die Funktion ist nicht eins zu eins.

7) Wenn (f(5)=2,) finde (f^{-1}(2))

Antworten

(5)

8) Wenn (f(1)=4,) finde (f^{-1}(4))

Übungstest

Bestimmen Sie für die Übungen 1-2, ob jede der folgenden Beziehungen eine Funktion ist.

1) (y=2x+8)

Antworten

Die Beziehung ist eine Funktion.

2) ({(2,1),(3,2),(-1,1),(0,-2)})

Bewerten Sie für die Aufgaben 3-4 die Funktion (f(x)=-3 x^{2}+2 x) am gegebenen Eingang.

3) (f(-2))

Antworten

(-16)

4) (f(a))

5) Zeigen Sie, dass die Funktion (f(x)=-2(x-1)^{2}+3) nicht eins zu eins ist.

Antworten

Der Graph ist eine Parabel und der Graph besteht den Horizontallinientest nicht.

6) Schreiben Sie den Definitionsbereich der Funktion (f(x)=sqrt{3-x}) in Intervallnotation.

7) Gegeben (f(x)=2 x^{2}-5 x,) finde (f(a+1)-f(1))

Antworten

(2a^{2}-a)

8) Zeichnen Sie die Funktion (f(x)=left{egin{array}{ccc}{x+1} & { ext { if }} & {-2

9) Bestimme die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion (f(x)=3-2 x^{2}+x) durch Bestimmung von (dfrac{f(b)-f(a)}{ba} )

Antworten

(-2(a+b)+1)

Verwenden Sie für die Aufgaben 10-11 die Funktionen (f(x)=3-2 x^{2}+x) und (g(x)=sqrt{x}), um die zusammengesetzten Funktionen zu finden.

10) ((g circ f)(x))

11) ((g circ f)(1))

Antworten

(sqrt{2})

12) Drücken Sie (H(x)=sqrt[3]{5 x^{2}-3 x}) eine Zusammensetzung von zwei Funktionen aus, (f) und (g,) wobei (( f circ g)(x)=H(x))

Stellen Sie für die Übungen 13-14 die Funktionen grafisch dar, indem Sie eine Toolkit-Funktion übersetzen, dehnen und/oder komprimieren.

13) (f(x)=sqrt{x+6}-1)

Antworten

14) (f(x)=dfrac{1}{x+2}-1)

Bestimmen Sie für die Übungen 15-17, ob die Funktionen gerade, ungerade oder keines von beiden sind.

15) (f(x)=-dfrac{5}{x^{2}}+9 x^{6})

Antworten

auch

16) (f(x)=-dfrac{5}{x^{3}}+9 x^{5})

17) (f(x)=dfrac{1}{x})

Antworten

seltsam

18) Zeichnen Sie die Absolutwertfunktion (f(x)=-2|x-1|+3).

19) Löse (|2 x-3|=17).

Antworten

(x=-7) und (x=10)

20) Löse (-left|dfrac{1}{3} x-3 ight|geq 17). Drücken Sie die Lösung in Intervallnotation aus.

Finden Sie für die Aufgaben 21-22 die Umkehrfunktion der Funktion.

21) (f(x)=3x-5)

Antworten

(f^{-1}(x)=dfrac{x+5}{3})

22) (f(x)=dfrac{4}{x+7})

Verwenden Sie für die Übungen 23-26 den Graphen von (g) in der Abbildung unten.

23) In welchen Intervallen nimmt die Funktion zu?

Antworten

((-infty,-1.1)) und ((1.1, infty))

24) In welchen Intervallen nimmt die Funktion ab?

25) Nähern Sie das lokale Minimum der Funktion an. Drücken Sie die Antwort als geordnetes Paar aus.

Antworten

((1.1,-0.9))

26) Nähern Sie das lokale Maximum der Funktion. Drücken Sie die Antwort als geordnetes Paar aus.

Verwenden Sie für die Übungen 27-29 den Graphen der stückweisen Funktion, der in der Abbildung unten gezeigt wird.

27) Finde (f(2)).

Antworten

(f(2)=2)

28) Finde (f(-2)).

29) Schreiben Sie eine Gleichung für die stückweise Funktion.

Antworten

(f(x)=left{egin{array}{cl}{|x|} & { ext { if } x leq 2} {3} & { ext { if } x> 2}end{array} ight.)

Verwenden Sie für die Übungen 30-35 die in der folgenden Tabelle aufgeführten Werte.

(F(x))
01
13
25
37
49
511
613
715
817

30) Finde (F(6)).

31) Lösen Sie die Gleichung (F(x)=5)

Antworten

(x=2)

32) Steigt oder fällt der Graph in seinem Bereich?

33) Wird die Funktion durch den Graphen eins zu eins dargestellt?

Antworten

Jawohl

34) Finden Sie (F^{-1}(15)).

35) Gegeben (f(x)=-2 x+11,) finde (f^{-1}(x)).

Antworten

(f^{-1}(x)=-dfrac{x-11}{2})


Algebra-Trigger-Überprüfung

Diese Rezension wurde ursprünglich für meinen Calculus I-Kurs geschrieben, sollte aber für jeden zugänglich sein, der eine Rezension zu einigen grundlegenden Algebra- und Trigonalthemen benötigt. Die Rezension enthält gelegentlich einen Kommentar darüber, wie ein Thema in einer Analysis-Klasse verwendet wird/kann. Wenn Sie nicht in einer Analysis-Klasse sind, können Sie diese Kommentare ignorieren. Ich behandle nicht alle Themen, die Sie in einem typischen Algebra- oder Trig-Kurs sehen würden, ich habe hauptsächlich diejenigen behandelt, die meiner Meinung nach für einen Schüler in einem Calculus-Kurs am nützlichsten sind, obwohl ich ein paar aufgenommen habe, die nicht wirklich sind für eine Calculus-Klasse erforderlich. Diese zusätzlichen Themen wurden einfach aufgenommen, weil sie gelegentlich auftauchen und ich Lust hatte, sie aufzunehmen. Es gibt wahrscheinlich auch ein paar Algebra/Trigger-Themen, die gelegentlich in einer Analysis-Klasse auftauchen, die ich nicht aufgenommen habe.

Da diese Rezension ursprünglich für meine Calculus-Schüler geschrieben wurde, um ihre Algebra- und/oder Trigonal-Fähigkeiten zu testen, hat sie im Allgemeinen die Form eines Aufgabensatzes. Die Lösung des ersten Problems in einer Menge enthält detaillierte Informationen zur Lösung dieses speziellen Problemtyps. Die restlichen Lösungen sind ebenfalls ziemlich detailliert und können weitere erforderliche Informationen enthalten, die im ersten Problem nicht enthalten waren, aber sie enthalten wahrscheinlich keine expliziten Anweisungen oder Gründe für die Durchführung eines bestimmten Schritts im Lösungsprozess. Beim Schreiben der Lösungen war es meine Absicht, sie so detailliert zu gestalten, dass jemand, der ein bestimmtes Thema lernen muss, das Thema aus den Lösungen der Probleme herausgreifen kann. Ich hoffe, dass mir das gelungen ist.

Also, warum habe ich mir überhaupt die Mühe gemacht, das zu schreiben?

Die Fähigkeit, grundlegende Algebra zu beherrschen, ist absolut wichtig, um einen Analysis-Kurs erfolgreich zu bestehen. Wenn Sie eine Analysis-Klasse durchlaufen, werden Sie feststellen, dass fast jedes Analysis-Problem eine beträchtliche Menge an Algebra beinhaltet. Tatsächlich sind bei vielen Rechenproblemen 90% oder mehr des Problems Algebra.

Während Sie also die grundlegenden Konzepte der Infinitesimalrechnung verstehen, werden Sie die Probleme nicht lösen können, wenn Sie die Algebra nicht können. Wenn Sie diese Aufgaben nicht bewältigen können, wird es Ihnen sehr schwer fallen, den Kurs zu bestehen.

Ebenso werden Sie feststellen, dass viele Themen in einer Analysis-Klasse Sie in der Lage sein müssen, grundlegende Trigonometrie zu beherrschen. Bei einigen Aufgaben werden Sie aufgefordert, mit trigonometrischen Funktionen zu arbeiten, trigonometrische Funktionen auszuwerten und trigonometrische Gleichungen zu lösen. Ohne die Fähigkeit, grundlegende Trigger zu beherrschen, wird es Ihnen schwer fallen, diese Probleme zu lösen.

Auch in Infinitesimalrechnung II oder Infinitesimalrechnung III sind gute Algebra- und Trigonal-Kenntnisse erforderlich. Wenn Sie also keine guten Algebra- oder Trigonalkenntnisse haben, wird es Ihnen sehr schwer fallen, diese Kurssequenz zu absolvieren.

Die meisten der folgenden Aufgabenstellungen veranschaulichen die Arten von Algebra- und Trigonal-Fähigkeiten, die Sie benötigen, um einen Mathematikkurs hier an der Lamar University erfolgreich abzuschließen. Die Algebra und der Trigon bei diesen Problemen lassen sich in drei Kategorien einteilen:

  • Einfacher als das typische Rechenproblem,
  • ähnlich einem typischen Kalkülproblem, und
  • schwieriger als ein typisches Rechenproblem.

In welche Kategorie jedes Problem fällt, hängt von Ihrem Lehrer ab. In meinem Kalkülkurs werden Sie feststellen, dass die meisten dieser Probleme in die ersten beiden Kategorien fallen.

Abhängig von Ihrem Dozenten können die letzten Abschnitte (Inverse Trig Functions by Solving Logarithm Equations) in Ihrem Kurs bis zu einem gewissen Grad behandelt werden. Aber auch wenn Ihr Lehrer dieses Material behandelt, werden Sie es nützlich finden, diese Abschnitte durchgegangen zu sein. In meinem Kurs verbringe ich die ersten Tage damit, die Grundlagen der Exponential- und Logarithmusfunktionen zu behandeln, da ich sie regelmäßig verwende.

Diese Aufgabenstellung soll Sie nicht entmutigen, sondern sicherstellen, dass Sie über den erforderlichen Hintergrund verfügen, um diesen Kurs zu bestehen. Wenn Sie Schwierigkeiten mit dem Material auf diesem Arbeitsblatt haben (insbesondere den Abschnitten Exponenten - Lösen von Trigonalgleichungen), werden Sie feststellen, dass Sie auch große Schwierigkeiten haben werden, einen Kurs in Analysis zu bestehen.

Bitte beachten Sie, dass dieses Aufgabenset NICHT als Ersatz für einen Algebra- oder Trigonalkurs gedacht ist. Wie ich bereits erwähnt habe, decke ich nicht alle Themen ab, die normalerweise in einem Algebra- oder Trig-Kurs behandelt werden. Die meisten der hier behandelten Themen sind meiner Meinung nach wichtige Themen, die Sie haben MÜSSEN, um einen Mathematikkurs (insbesondere meinen Mathematikkurs) erfolgreich abzuschließen. Möglicherweise stellen Sie fest, dass für den erfolgreichen Abschluss dieses Kurses noch andere Algebra- oder Trigonometrische Fähigkeiten erforderlich sind, die in dieser Überprüfung nicht behandelt werden. Möglicherweise werden Sie auch feststellen, dass Ihr Lehrer nicht alle Fähigkeiten benötigt, die hier in dieser Überprüfung aufgeführt sind.

Hier ist eine kurze Auflistung und kurze Erklärung zu jedem Thema, das in dieser Rezension behandelt wird.


Math 1100 Kursübersicht

Wichtige Termine (Herbst 2016): Kein Unterricht 22. August (Einberufung) bis nach 17 Uhr, 3. September (kein Samstagunterricht), 5. September (Tag der Arbeit). 10. und 11. Oktober (Herbstpause), 23.-26. November (Erntedankpause). Letztes Datum für den Abbruch ohne W ist der 29. August, das letzte Datum für den Rücktritt vom Kurs mit W und die Beibehaltung anderer Kurse ist der 25. Oktober. Der letzte Kurstag ist der 7. Dezember

Gemeinsame Abschlussprüfung: Freitag, 9. Dezember von 8 – 11 Uhr. Die Fakultätsabschlussprüfung ist kumulativ und beträgt mindestens 30% Ihrer Kursnote. Wird sie verfehlt, erhält man mit hoher Wahrscheinlichkeit die Kursnote F.

Woche 1 1.3 Eigenschaften von Exponenten Wissenschaftliche Notation

Woche 2 1.4 Eigenschaften von Radikalen Rationale Zahlenexponenten 1.5 Polynome und Faktorisierung 2.1 Lineare Gleichungen Eine Variable

Woche 3 2.2 Lineare Ungleichungen in einer Variablen 2.3 Quadratische Gleichungen

Woche 4 2.5 Rationale Ausdrücke und Gleichungen 2.6 Radikale Gleichungen

Woche 5 Überprüfung und Test 1, Test 1

Woche 6 3.1 Kartesisches Koordinatensystem 3.2 Lineare Gleichungen in zwei Variablen 3.3 Formen linearer Gleichungen

Woche 7 3.4 Parallele und senkrechte Linien 3.6 Einführung in Kreise

Woche 8 4.1 Beziehungen und Funktionen 4.2 Lineare und quadratische Funktionen Max/Min-Anwendungen quadratischer Funktionen

Woche 9 4.3 Andere gebräuchliche Funktionen Direkte und inverse Variation 4.4 Transformationen von Funktionen

Woche 10 4.5 Kombinieren von Funktionen 4.6 Umkehren von Funktionen

Woche 11 4.6 Überprüfung Test 2, Test 2

Woche 12 5.1 Polynomgleichungen und -graphen 5.2 Polynomdivision und Divisionsalgorithmus 5.3 Auffinden reeller Nullstellen von Polynomen

Woche 13 6.1 Rationale Funktionen und Ungleichungen 7.1 Exponentialfunktionen und Graphen 7.2 Anwendungen von Exponentialfunktionen

Woche 14 7.3 Logarithmische Funktionen und Graphen 7.4 Eigenschaften und Anwendungen von Logarithmen

Woche 15 7.5 Exponentielle und logarithmische Gleichungen 8.1 Lösen von Gleichungssystemen durch Elimination Review Test 3

Woche 16 Test 3 und Rückblick für die Abschlussprüfung

Für Frühjahr 2016 und früher:

Kurze Liste der behandelten Abschnitte: Kapitel R: 3-6 Kap. 1: 1-3,5-6 Kap. 2: 1-5 Kap. 3: 1, 3-5 Kap. 4: 1-6 Kap. 5: 1-6 Kap. 6: 1.

Woche 1 R.3 Exponenten, wissenschaftliche Notation und ein Überblick über Polynome R.4 Radikale und rationale Exponenten R.5 Faktorisieren von Polynomen.

Woche 2 R.6 Rationale Ausdrücke 1.1 Lineare Gleichungen, Formeln und Problemlösung 1.2 Lineare Ungleichungen in einer Variablen.

Woche 3 1.3 Absolutwertgleichungen und Ungleichungen (1.4 überspringen) 1.5 Quadratische Gleichungen lösen.

Woche 4 1.6 Andere Arten von Gleichungen lösen 2.1 Rechteckige Koordinaten (Fortsetzung nach Test 1) Wiederholung für Test 1.

Woche 5 Test 1 Beende Abschnitt 2.1 (Grafische Kreise und Beziehungen) 2.2 Lineare Graphen und Änderungsraten.

Woche 6 2.3 Graphen und Sonderformen linearer Gleichungen 2.4 Funktionen, Funktionsnotation und der Graph einer Funktion 2.5 Analysieren des Graphen einer Funktion. (Überspringen Sie 2.6).

Woche 7 3.1 Toolbox-Funktionen und Transformationen 3.3 Variation: Die Toolbox-Funktionen in Aktion 3.4 Stückweise definierte Funktionen.

Woche 9 Test 2 3.5 Die Algebra und die Zusammensetzung der Funktionen 5.1 Eins-zu-eins- und Umkehrfunktionen.

Woche 10 4.1 Quadratische Funktionen und Anwendungen 4.2 Synthetische Division Rest- und Faktorsätze 4.3 Die Nullstellen von Polynomfunktionen.

Woche 11 4.4 Polynomialfunktionen grafisch darstellen 4.5 Rationale Funktionen grafisch darstellen.

Woche 12 4.6 Überprüfung polynomialer und rationaler Ungleichungen für Test 3.

Woche 13 Test 3 5.2 Exponentialfunktionen.

Woche 14 5.3 Logarithmen und logarithmische Funktionen 5.4 Eigenschaften von Logarithmen 5.5 Lösen von exponentiellen und logarithmischen Gleichungen.

Woche 15 5.6 Bewerbungen aus Wirtschaft, Finanzen und Wissenschaft.

Woche 16 6.1 Lineare Systeme in zwei Variablen mit Anwendungsüberprüfung für den Abschluss.


1.R: Funktionen (Rezension) - Mathematik

Technisch gesehen sollte ein Schüler, der in einen Calculus-Kurs kommt, sowohl Algebra als auch Trigonometrie kennen. Leider sieht die Realität oft ganz anders aus. Die meisten Schüler betreten eine Infinitesimalklasse, die für die Algebra und den Trigonalismus in einer Infinitesimalklasse kläglich unvorbereitet ist. Dies ist sehr bedauerlich, da gute Algebra-Kenntnisse für den erfolgreichen Abschluss eines Calculus-Kurses absolut unerlässlich sind, und wenn Ihr Calculus-Kurs Trigonale enthält (wie dieser), sind gute Trigonal-Kenntnisse in vielen Abschnitten ebenfalls wichtig.

Die Absicht dieses Kapitels ist es, einen sehr kursorischen Überblick über einige Algebra- und Trigonal-Fertigkeiten zu geben, die für einen Analysis-Kurs unerlässlich sind. Dieses Kapitel enthält nicht alle Algebra- und Trigonal-Fertigkeiten, die für eine erfolgreiche Teilnahme an einem Calculus-Kurs erforderlich sind. Es enthält nur die Themen, in denen die meisten Schüler besonders mangelhaft sind. Zum Beispiel ist das Faktorisieren auch wichtig für den Abschluss eines Standard-Infinitesimalunterrichts, wird hier jedoch nicht berücksichtigt, da davon ausgegangen wird, dass Sie, wenn Sie einen Mathematikkurs belegen, wissen, wie man faktorisiert . Für eine eingehendere Überprüfung sollten Sie sich die vollständigen Algebra-Notizen unter http://tutorial.math.lamar.edu ansehen.

Beachten Sie, dass, obwohl diese Themen für einen Calculus-Kurs sehr wichtig sind, ich sie selten im eigentlichen Kurs selbst behandle. Dafür haben wir einfach keine Zeit. Bestimmte Teile dieses Kapitels behandle ich zwar im Unterricht, aber zum größten Teil überlasse ich es den Schülern, dieses Kapitel selbst zu lesen.

Hier ist eine Liste der Themen, die in diesem Kapitel enthalten sind.

Funktionen – In diesem Abschnitt werden wir die Notation/Auswertung von Funktionen behandeln, den Bereich und den Bereich einer Funktion und die Funktionszusammensetzung bestimmen.

Umkehrfunktionen – In diesem Abschnitt werden wir eine Umkehrfunktion und die für Umkehrfunktionen verwendete Notation definieren. Wir werden auch den Prozess zum Finden einer Umkehrfunktion diskutieren.

Triggerfunktionen – In diesem Abschnitt geben wir einen kurzen Überblick über die Triggerfunktionen. Wir werden die grundlegende Notation, die Beziehung zwischen den trigonometrischen Funktionen und die Definition des rechtwinkligen Dreiecks der trigonometrischen Funktionen behandeln. Wir behandeln auch die Auswertung von trigonometrischen Funktionen sowie den Einheitskreis (eine der wichtigsten Ideen einer trigonometrischen Klasse!) und wie er zur Auswertung von trigonometrischen Funktionen verwendet werden kann.

Lösen von trigonometrischen Gleichungen – In diesem Abschnitt werden wir diskutieren, wie trigonometrische Gleichungen gelöst werden. Die Antworten auf die Gleichungen in diesem Abschnitt werden alle einer der „Standard“-Winkel sein, die die meisten Schüler nach einer Trigon-Klasse auswendig gelernt haben. Der hier verwendete Prozess kann jedoch für jede Antwort verwendet werden, unabhängig davon, ob es sich um einen der Standardwinkel handelt oder nicht.

Lösen von trigonometrischen Gleichungen mit Taschenrechnern, Teil I – In diesem Abschnitt besprechen wir das Lösen von trigonometrischen Gleichungen, wenn die Antwort (im Allgemeinen) die Verwendung eines Taschenrechners erfordert (d.h. sie gehören nicht zu den Standardwinkeln). Beachten Sie jedoch, dass der hier verwendete Prozess identisch mit dem ist, wenn die Antwort einer der Standardwinkel ist. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Antworten hier aufgrund der Notwendigkeit eines Taschenrechners ein wenig unordentlich sein können. Enthalten ist eine kurze Diskussion der inversen trigonometrischen Funktionen.

Lösen von trigonometrischen Gleichungen mit Taschenrechnern, Teil II – In diesem Abschnitt werden wir unsere Diskussion über das Lösen von trigonometrischen Gleichungen fortsetzen, wenn ein Taschenrechner benötigt wird, um die Antwort zu erhalten. Die Gleichungen in diesem Abschnitt sind in der Regel etwas kniffliger als die "normale" trigonometrische Gleichung und werden nicht immer in einer trigonometrischen Klasse behandelt.

Exponentialfunktionen – In diesem Abschnitt werden wir Exponentialfunktionen diskutieren. Wir behandeln die grundlegende Definition einer Exponentialfunktion, der natürlichen Exponentialfunktion, d. h. (<f e>^), sowie die Eigenschaften und Graphen von Exponentialfunktionen

Logarithmusfunktionen – In diesem Abschnitt besprechen wir Logarithmusfunktionen, die Auswertung von Logarithmen und deren Eigenschaften. Wir werden viele der grundlegenden Manipulationen von Logarithmen diskutieren, die üblicherweise in Klassen der Infinitesimalrechnung (und höher) vorkommen. Enthalten ist eine Diskussion des natürlichen ((ln(x))) und des gemeinsamen Logarithmus ((log(x))) sowie die Änderung der Basisformel.

Exponential- und Logarithmus-Gleichungen – In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden zum Lösen von Gleichungen diskutiert, die Exponential- oder Logarithmus-Funktionen beinhalten.

Allgemeine Graphen – In diesem Abschnitt werden wir viele der gebräuchlichsten Funktionen und ihre Graphen, die normalerweise in einer Calculus-Klasse angezeigt werden, kurz überprüfen.


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PROFESSOR: Wir sind gerade mit der ersten Einheit fertig, und ich möchte in dieser Vorlesung, Vorlesung sieben, mit einigen abschließenden Bemerkungen zu Exponenten fortfahren. Ich möchte also einfach etwas wiederholen, was ich letztes Mal schnell gemacht habe, und ein paar philosophische Bemerkungen dazu machen. Ich denke, dass die damit verbundenen Schritte vielleicht ein wenig knifflig waren, und deshalb würde ich es gerne noch einmal durchgehen. Denken Sie daran, dass wir über diese Zahl a_k gesprochen haben, die (1 + 1/k)^k ist. Und was wir gezeigt haben, war, dass der Grenzwert von a_k, wenn k ins Unendliche geht, e war.

Daher möchte ich als erstes den Beweis etwas deutlicher erklären als beim letzten Mal mit weniger Symbolen oder zumindest mit dieser Abkürzung des Symbols hier, um Ihnen zu zeigen, was wir tatsächlich getan haben. Ich erinnere Sie nur daran, was wir letztes Mal gemacht haben, und die erste Beobachtung bestand darin, diese Funktion zu überprüfen und nicht die Grenze, sondern zuerst das Protokoll zu erstellen. Und das wird normalerweise gemacht, wenn Sie einen Exponenten haben, wenn Sie einen Exponenten haben. Und wir fanden heraus, dass die Grenze hier 1 war, wenn k ins Unendliche geht.

So haben wir es letztes Mal gemacht. Und ich wollte nur vorsichtig sein und dir genau zeigen, was der nächste Schritt ist. Wenn Sie diese Tatsache potenzieren, nehmen Sie e hoch, das tendiert zu e^1, was nur e ist. Und dann stellen wir einfach fest, dass dies dasselbe ist wie a_k. Die Grundzutat hier ist also, dass e^ln a = a. Das liegt daran, dass die Logfunktion die Umkehrung der Exponentialfunktion ist. Ja, Frage?

PROFESSOR: Die Frage war also, wäre der Logarithmus davon nicht 0, weil a_k zu 1 tendiert, aber a_k nicht zu 1 tendiert. Wer hat das behauptet? Wenn Sie den Logarithmus nehmen, was wir letztes Mal getan haben, ist der Logarithmus von a_k tatsächlich k * ln(1 + 1/k). Das geht nicht gegen 0. Dieser Teil davon tendiert gegen 0, und dieser Teil tendiert gegen Unendlich. Und sie gleichen sich gegenseitig aus, 0 mal unendlich. Wir wissen es noch nicht wirklich aus diesem Ausdruck, tatsächlich haben wir mit Grenzen und Ableitungen einiges an Geschick gemacht, um diese Grenze herauszufinden. Es war eine sehr subtile Sache. Es stellte sich heraus, dass es 1 war. In Ordnung?

Nun, die Sache, die ich sagen möchte - es tut mir leid, ich werde das hier beiseite streichen - aber Sie müssen zu Ihren Notizen zurückkehren und sich daran erinnern, dass wir das letztes Mal getan haben. Denn ich möchte Platz haben für den nächsten Kommentar, den ich hier an dieser kleinen Tafel machen möchte. Was wir gerade abgeleitet haben, war diese Eigenschaft hier, aber ich habe gestern eine Behauptung aufgestellt, und ich möchte sie nur noch einmal betonen, damit wir erkennen, was wir tun. Ich habe mir das rückwärts angesehen. Sie können sich dies beispielsweise vorstellen, indem wir dieses Limit auswerten und eine Antwort erhalten. Aber alle Gleichheiten können in beide Richtungen gelesen werden. Und wir können es auch anders schreiben: e ist gleich dem Grenzwert dieses Ausdrucks, da k ins Unendliche geht.

Das ist also genau dasselbe. Und wenn wir es rückwärts lesen, sagen wir, dass dieser Grenzwert eine Formel für e ist. Das ist also sehr typisch für die Mathematik. Sie möchten Ihre Perspektive immer umkehren. Gleichungen funktionieren in beide Richtungen, und in diesem Fall haben wir hier zwei verschiedene Dinge. Dieses e haben wir als Basis definiert. Wenn Sie e^x grafisch darstellen, erhalten Sie die Steigung 1 bei 0. Und dann ist es gleich dieser Grenze, die wir numerisch berechnen können.

Wenn Sie dies auf Ihren Taschenrechnern tun, haben Sie natürlich die Möglichkeit, diese Zahl zu programmieren und für jedes k auszuwerten. Und Sie haben eine weitere Schaltfläche zur Verfügung, um diese auszuwerten. Anders gesagt, es gibt eine Beziehung zwischen diesen beiden Dingen. Und alles Kalkül ist eine Frage des Erhaltens dieser Beziehungen. Wir können diese Dinge also auf verschiedene Weise betrachten. Und tatsächlich werden wir das zumindest am Ende des heutigen Tages tun, wenn wir über Derivate sprechen. Wenn wir über Derivate sprechen, versuchen wir oft, sie aus mehreren Perspektiven gleichzeitig zu betrachten.

Okay, ich muss also mit Exponenten weitermachen, weil ich ein loses Ende habe. Ein loses Ende, das ich noch nicht abgedeckt habe. Es bleibt noch eine sehr wichtige Formel übrig, und zwar die Ableitung der Potenzen. Wir haben dies tatsächlich nicht getan - nun, wir haben es für rationale Zahlen r getan. Das ist also die Formel hier. Aber jetzt werden wir dies für alle reellen Zahlen überprüfen, r. Also auch alle irrationalen. Dies ist auch bei der Verwendung der Basis e und der logarithmischen Differentiation eine gute Praxis.

Lassen Sie mich dies mit unseren beiden Methoden tun, die wir verwenden können, um Probleme mit exponentiellen Typen zu behandeln. Methode eins war also Basis e. Wenn ich also diese Basis e noch einmal umschreibe, ist das nur diese Formel hier. x^r = (e^ln x)^r, was e^r ln x ist.

Okay, jetzt kann ich das unterscheiden. Also bekomme ich dieses d/dx (x^r), jetzt werde ich die Prim-Notation verwenden, weil ich dieses d/dx hier nicht weiter schreiben möchte (e^(r ln x))'. Und jetzt kann ich die Kettenregel verwenden. Die Kettenregel besagt, dass es die Ableitung dieser mal der Ableitung der Funktion ist. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also nur sie selbst. Und die Ableitung von diesem Kerl hier, nun, ich schreibe es einmal auf, ist (r ln x)'. Also was ist das gleich? Nun, e^(r ln x) ist einfach x^r. Und diese Ableitung hier ist-- Nun, die Ableitung von r ist 0. Dies ist eine Konstante. Es rechnet sich nur aus. Und ln x hat jetzt eine Ableitung-- Wie lautet die Ableitung von ln x? 1/x, das wird also mal r/x sein.

Und jetzt schreiben wir es in die übliche Form um, die r ist, und setzen das r voran, x^(r-1). In Ordnung? Also habe ich gerade die Formel für dich abgeleitet. Und es spielte keine Rolle, ob r rational oder irrational war, es ist der gleiche Beweis.

Okay, jetzt muss ich dir auch zeigen, wie Methode zwei funktioniert. Lassen Sie uns also Methode zwei durchführen, die wir logarithmische Differentiation nennen. Also verwende ich hier ein Symbol, sagen wir u, für x^r, und ich werde seinen Logarithmus nehmen. Das ist r ln x. Und jetzt unterscheide ich es. Ich lasse das in der Mitte, weil ich mich an die Schlüsseleigenschaft der logarithmischen Differentiation erinnern möchte. Aber zuerst werde ich es differenzieren. Später werde ich verwenden, dass dies dasselbe ist wie u'/u. Dies ist eine Möglichkeit, eine logarithmische Ableitung auszuwerten. Und die andere besteht darin, die explizite Funktion, die wir hier haben, zu differenzieren. Und das ist nur, wie gesagt, r/x. Jetzt multipliziere ich durch und erhalte u' = ur/x, was einfach x^r r/x ist, was genau das ist, was wir zuvor gemacht haben. Es ist r x^(r-1). Auch hier können Sie jetzt durch den Vergleich dieser beiden Arithmetikstücke sehen, dass sie im Grunde gleich sind. So ziemlich jedes Mal, wenn Sie zur Basis e konvertieren oder logarithmisch differenzieren, wird es auf dasselbe hinauslaufen, vorausgesetzt, Sie werden nicht verwechselt. In der Regel müssen Sie hier ein neues Symbol einführen. Auf der anderen Seite haben Sie es dort mit Exponenten zu tun. Es lohnt sich, beide Standpunkte zu kennen.

Also gut, jetzt möchte ich noch eine letzte Bemerkung machen, bevor wir mit den Exponenten fertig sind. Und ich werde versuchen, Ihnen dies im Laufe des Kurses auf viele Arten zu verkaufen, aber eine Sache, die ich betonen möchte, ist, dass der natürliche Logarithmus wirklich natürlich ist. Also behaupte ich, dass das natürliche Log natürlich ist. Und das Beispiel, das wir für diese Illustration verwenden werden, ist die Wirtschaft. In Ordnung?

Lassen Sie mich erklären, warum der natürliche Logarithmus für die Ökonomie natürlich ist. Wenn Sie sich vorstellen, dass der Kurs einer Aktie, die Sie besitzen, um einen Dollar sinkt, ist das eine völlig bedeutungslose Aussage. Es hängt von vielen Dingen ab. Insbesondere kommt es darauf an, ob der ursprüngliche Preis ein Dollar oder 100 Dollar war. Diese absoluten Zahlen haben also nicht viel Bedeutung. Es sind immer die Verhältnisse, auf die es ankommt. Ich habe zum Beispiel gerade vor einer Stunde nachgeschaut, die Londoner Börse hat geschlossen, und sie war um 27,9 gesunken, was, wie gesagt, ziemlich bedeutungslos ist, es sei denn, Sie kennen die tatsächliche Gesamtsumme dieses Index. Es stellte sich heraus, dass es 6.432 waren. Entscheidend ist also die Änderung des Preises geteilt durch den Preis, der in diesem Fall 27,9 / 6.432 beträgt. Und in diesem Fall sind es 0,43%. Gut? Das ist heute passiert. Und ähnlich, wenn Sie das infinitesimale davon nehmen, denken die Leute an Tage als relativ kleine Inkremente, wenn Sie in eine Aktie investieren, Sie wären am infinitesimalen Sinne interessiert, Sie würden sich für p'/p interessieren. Die Ableitung von p geteilt durch p. Das ist nur (ln p)“. Das ist also die - lassen Sie mich einen kleinen Kasten darum herum - die Formel der logarithmischen Differentiation. Aber lassen Sie mich nur betonen, dass es eine tatsächliche Bedeutung hat, und es ist diejenige, die von Ökonomen und Leuten verwendet wird, die die ganze Zeit die Preise von Dingen modellieren. Sie verwenden niemals absolute Preise, wenn es große Schwankungen gibt. Sie verwenden immer das Protokoll des Preises. Und es macht keinen Sinn, Log-Basis 10 oder Log-Basis 2 zu verwenden. Sie geben Ihnen einen zusätzlichen Faktor von Log 2. Es ist der natürliche Log, der am offensichtlichsten zu verwenden ist. Es ist ganz einfach, dass dies ein einfacherer Ausdruck ist, als die logarithmische Basis 10 zu verwenden und dort einen natürlichen logarithmischen Faktor von 10 zu verwenden, was nur alles durcheinander bringen würde.

In Ordnung, das ist also nur eine Illustration. Alles, was mit Verhältnissen zu tun hat, wird auf Logarithmen stoßen. Alles klar, das war's also. Das ist sowieso alles, was ich jetzt sagen möchte. Es gibt noch viel mehr zu sagen, aber wir werden es sagen, wenn wir in der zweiten Einheit Anwendungen von Derivaten machen. Also möchte ich jetzt eine Rezension starten. Ich werde nur durchgehen, was wir in dieser Einheit gemacht haben. Ich werde Ihnen ungefähr sagen, was ich von Ihnen bei dem Test erwarte, der morgen ansteht. Und, naja, also fangen wir damit an.

Dies ist also eine Überprüfung von Unit One. Und ich werde einfach all die Dinge an die Tafel schreiben, über die Sie nachdenken müssen, und behalten Sie sie im Kopf. Und es gibt sogenannte allgemeine Formeln für Ableitungen. Und dann sind da noch die konkreten. Und lassen Sie mich Sie nur daran erinnern, was die allgemeinen Formeln sind.Es gibt das, was Sie tun, um eine Summe, ein Vielfaches einer Funktion, die Produktregel, die Quotientenregel zu differenzieren. Das sind mehrere allgemeine Formeln. Und dann gibt es noch eine weitere, die Kettenregel, über die ich noch ein bisschen mehr sagen werde. Die Ableitung einer Funktion einer Funktion ist also die Ableitung der Funktion mal der Ableitung der anderen Funktion. Also habe ich hier abgekürzt u is u(x). Richtig, das ist also eine von zwei Möglichkeiten, es zu schreiben. Der andere Weg ist auch einer, den Sie sich merken können und den Sie sich vielleicht leichter merken können. Es ist wahrscheinlich eine gute Idee, sich beide Formeln zu merken.

Und dann war die letzte Art von allgemeiner Formel, die wir machten, die implizite Differenzierung. In Ordnung? Wenn Sie also implizite Differentiation durchführen, haben Sie eine Gleichung und versuchen nicht, nach der unbekannten Funktion aufzulösen. Du stellst es einfach in seine einfachste Form und du differenzierst. Also haben wir dies tatsächlich getan, insbesondere für Inverse. Das war eine sehr, sehr wichtige Methode zur Berechnung der Inversen von Funktionen. Und es stimmt auch, dass die logarithmische Differenzierung von dieser Art ist. Dies ist eine Verwandlung. Wir unterscheiden etwas anderes. Wir transformieren die Gleichung, indem wir ihren Logarithmus nehmen und dann differenzieren. Okay, es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies anzuwenden. Es kann auch angewendet werden, sowieso, dies sind zwei davon. Also vielleicht in Klammern. Dies sind nur Beispiele.

Gut. Ich werde später versuchen, Beispiele für einige dieser Regeln zu geben. Nun zu den spezifischen Funktionen, die Sie zu unterscheiden wissen: Nun, Sie wissen jetzt, wie man x^r unterscheidet, dank dem, was ich gerade getan habe. Wir haben die Sinus- und die Kosinusfunktion, für die Sie verantwortlich sind, um zu wissen, was ihre Ableitungen sind. Und dann andere trigonometrische Funktionen wie tan und Sekante. Mit Kosekanen und Kotangens beschäftigen wir uns im Allgemeinen nicht, weil sich damit sowieso alles ausdrücken lässt. Eigentlich kann man wirklich alles in Form von Sinus und Kosinus ausdrücken. Aber Sie werden feststellen, dass es viel bequemer ist, sich auch die Ableitungen davon zu merken. Also merke dir all das.

Gut, und dann hatten wir e^x und ln x. Und wir hatten die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen. Dies waren die beiden, die wir gemacht haben: der Arkustangens und der Arkussinus. Für diese sind Sie also verantwortlich. Sie sollten sowieso genügend Zeit haben, um noch etwas zu erarbeiten, wenn Sie diese kennen. Alles klar, die Idee ist also, dass Sie eine Reihe spezieller Formeln haben. Sie haben eine Reihe von allgemeinen Formeln. Sie stellen sie zusammen und können so ziemlich alles generieren.

Okay, also lassen Sie uns ein paar Beispiele machen, bevor Sie mit der Überprüfung fortfahren. Okay, ich möchte ein paar Beispiele mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad anführen, wie Sie diese Dinge miteinander kombinieren würden. Zuallererst sollten Sie sich also daran erinnern, dass, wenn Sie die Sekantenfunktion unterscheiden, das nur - oh ich habe gerade gemerkt, dass ich vorher noch etwas sagen wollte - also vergessen Sie das. Das machen wir gleich. Ich wollte einige allgemeine Bemerkungen machen.

Es gibt also eine Regel, die Sie in meiner Abwesenheit besprochen haben, und zwar die Kettenregel. Und ich möchte jetzt nur ein paar Bemerkungen zur Kettenregel machen, um Sie daran zu erinnern, was sie ist, und auch um einige Konsequenzen aufzuzeigen. Also, ein bisschen mehr zur Kettenregel.

Das erste, was ich sagen möchte, ist, dass wir nicht wirklich erklärt haben, warum es wahr ist. Und ich möchte es nur am Beispiel erklären, okay? Stellen Sie sich also vor, Sie haben eine Funktion, die beispielsweise 10x + b ist. Gut? Also y = 10x + b. Dann ändert sich y offensichtlich 10-mal so schnell wie b, oder? Das Problem ist, dass diese Zahl hier, dy/dx, 10 ist. Und jetzt, wenn x eine Funktion von etwas ist, sagen wir t, verschoben um eine andere Konstante hier, dann ist dx/dt = 5.

Jetzt sagt die Kettenregel nur, dass wenn y 10 mal so schnell wie t ist, es tut mir leid als x, und x 5 mal so schnell wie t fährt, dann ist y 50 mal so schnell wie t. Und algebraisch bedeutet das alles, wenn ich einstecke und ersetze, was die Zusammensetzung der beiden Funktionen ist, 10(5t + a) + b und ich es ausmultipliziere, bekomme ich 50t + 10a + b. Jetzt spielen diese Begriffe keine Rolle. Die konstanten Bedingungen spielen keine Rolle. Die Rate ist 50. Die Konsequenz, wenn wir sie zusammensetzen, ist dy/dt = 10*5, was 50 ist. Also gut, das ist also der Grund, warum die Kettenregel funktioniert. Und warum sich diese Preise vervielfachen.

Das zweite, was ich über die Kettenregel sagen wollte, ist, dass sie einige Konsequenzen hat, die es einfacher machen, einige der anderen Regeln zu merken oder möglicherweise zu vermeiden. Die unordentlichste Regel ist meiner bescheidenen Meinung nach die Quotientenregel, die man sich nicht merken kann. Lassen Sie mich Sie nur daran erinnern, dass es eine andere Sichtweise gibt, wenn Sie nur den Kehrwert einer Funktion nehmen und ihn unterscheiden. Und es ist tatsächlich die Art, die ich verwende, also möchte ich Sie ermutigen, auch auf diese Weise darüber nachzudenken. Dies ist dasselbe wie (v^(-1))'. . Und jetzt können wir anstelle der Quotientenregel, die wir hätten verwenden können, hier die Kettenregel mit der Potenz -1 verwenden, die nach dem Potenzgesetz funktioniert. Was ist das also gleich? Dies ist gleich -v^(-2) v'.

Hier habe ich also eher die Kettenregel als die Quotientenregel angewendet. Angenommen, ich möchte die vollständige Quotientenregel ableiten. Nun, das kann jetzt einfacher sein oder auch nicht. Aber dies ist eine Möglichkeit, sich daran zu erinnern, was vor sich geht. Wenn Sie es in uv^(-1) umwandeln und das unterscheiden, kann ich jetzt die Produktregel dafür verwenden. Natürlich muss ich die Kettenregel anwenden und diese Regel auch. Was bekomme ich also? Ich bekomme u', die Umkehrung, plus u, und dann muss ich die v-Umkehrung differenzieren. Das ist die Formel hier oben. Das ist -v^(-2) v'. Das ist also eine Möglichkeit. Das erklärt eigentlich das komische Minuszeichen, wenn man v in der Formel differenziert. Die andere Formel, die andere Art und Weise, wie wir es gemacht haben, bestand darin, dies auf einen gemeinsamen Nenner zu stellen. Der gemeinsame Nenner war v^2. Dies kommt von diesem v v^(-2). Und dann ist der zweite Term -uv'. Und den ersten Term müssen wir mit einem zusätzlichen Faktor von v multiplizieren, weil wir v^2 im Nenner haben. Also bist du es. Also gut, das ist also die Quotientenregel, wie wir sie in der Vorlesung aufgeschrieben haben, und dies ist nur eine andere Art, sie sich zu merken oder abzuleiten, ohne sie sich zu merken, wenn man sich nur an die Kettenregel und die Produktregel erinnert. Okay, Sie werden feststellen, dass es in vielen Kontexten einfacher ist, das eine oder andere zu tun.

Okay, jetzt bin ich bereit, die Sekante und ein paar solcher Funktionen zu unterscheiden. Deshalb werden wir hier einige Beispiele machen. Hier ist also die Sekantenfunktion, und ich möchte diese Formel dort oben für den Kehrwert verwenden. So stelle ich mir das vor. Dies ist die Kosinusfunktion hoch -1. Und so ist die Formel hier nur was? Es ist nur -(cos x)^(-2) mal -sin x. Das ist jetzt normalerweise anders geschrieben, deshalb mache ich das eigentlich aus einem bestimmten Grund. Obwohl es mehrere Formeln für Dinge gibt, gibt es bei trigonometrischen Funktionen normalerweise fünf Möglichkeiten, etwas zu schreiben. Also schreibe ich das hier auf, damit Sie wissen, wie es standardmäßig präsentiert wird.

Was hier passiert, ist, dass wir zwei Minuszeichen haben, die sich aufheben. Und wir erhalten sin x / cos^2 x. Das ist eine völlig akzeptable Antwort, aber es gibt eine übliche Schreibweise. Es steht geschrieben (1 / cos x) (sin x / cos x). Und dann entfernen wir die Nenner, indem wir sie in Sekanten und Tangenten umschreiben, also sec x tan x. Dies ist also die Form, die im Allgemeinen verwendet wird, wenn Sie diese Formeln in Lehrbüchern sehen. Sie müssen also aufpassen, denn wenn Sie diese Art von Kalkül jemals verwenden möchten, müssen Sie sich nicht von all den Sekanten und Tangenten abschrecken lassen.

In Ordnung, also wird es etwas komplizierter, wie wäre es, wenn wir ln(sec x) differenzieren? Wenn Sie den natürlichen Logarithmus unterscheiden, ist das nur (Sek. x)' / Sek. x. Und wenn man die Formel, die wir vorher hatten, einsetzt, ist das sec x tan x / sec x, was tan x ist. Dieser hat also auch eine sehr schöne Form. Und Sie könnten sagen, dass dies eine hässliche Funktion ist, aber das Seltsame ist, dass der natürliche Logarithmus vor dem Exponential von einem Mann namens Napier erfunden wurde, genau um solche Funktionen auszuwerten. Dies sind die Funktionen, die den Leuten sehr wichtig waren, weil sie in der Navigation verwendet wurden. Sie wollten Sinus und Kosinus miteinander multiplizieren, um Navigation zu machen. Und die Multiplikation kodierte er mit einem Logarithmus. Diese wurden also erfunden, lange bevor die Menschen überhaupt von Exponenten wussten. Und es war eigentlich eine Überraschung, dass es mit Exponenten verbunden war. Also wurde der Naturstamm vor der Stammbasis 10 und allem anderen erfunden, genau für diesen Zweck.

Das ist jedenfalls eine nette Funktion, die sehr wichtig war, damit eure Schiffe nicht ins Riff krachen. Gut, machen wir hier weiter.

Es gibt also noch eine andere Art von Funktion, die ich mit Ihnen besprechen möchte. Und das sind die Arten, in denen Sie wählen können, welche dieser Regeln angewendet werden soll. Und ich werde nur ein paar Beispiele dafür geben. Normalerweise gibt es einen besseren und einen schlechteren Weg, also lassen Sie mich das veranschaulichen.

Okay, noch ein weiteres Beispiel. Ich hoffe, Sie haben einige davon schon einmal gesehen. Sagen Sie (x^10 + 8x)^6. Es ist also etwas komplizierter als das, was wir vorher hatten, weil es hier mehrere Symbole mehr gab. Was sollen wir also an dieser Stelle tun? Es gibt eine Wahl, die ich für eine schlechte Idee halte, und das ist die Erweiterung auf die 6. Potenz. Das ist eine schlechte Idee, denn es ist sehr lang. Und dann wird Ihre Antwort auch sehr lang. Es füllt zum Beispiel die gesamte Prüfungsarbeit aus. Ja?

SCHÜLER: Können Sie die Kettenregel anwenden?

PROFESSOR: Kettenregel. Das ist es. Wir verwenden die Kettenregel. Glücklicherweise ist dies mit der Kettenregel relativ einfach. Wir stellen uns diese Box einfach als Funktion vor. Und wir nehmen das 6-fache dieses Typs zum 5. Mal die Ableitung dieses Typs, die 10x^9 + 8 ist. Und das heißt, wenn Sie dies ausfüllen, ist es x^10 + 8x. Und das ist es. Das ist alles, was Sie tun müssen, um solche Dinge zu unterscheiden. Die Kettenregel ist sehr effektiv.

PROFESSOR: Das ist eine gute Frage. Daher bin ich nicht wirklich bereit, allzu viele Fragen darüber zu beantworten, was in der Prüfung sein wird. Aber die Frage, die gerade gestellt wurde, ist genau die Art von Frage, die ich sehr gerne beantworte. Okay, die Frage war, in welcher Form ist – welche Form ist eine akzeptable Antwort? Im wirklichen Leben ist das eine wirklich ernste Frage. Wenn Sie einem Computer eine Frage stellen und 500 Millionen Ausdrucke erhalten, ist das nutzlos. Und es interessiert Sie wirklich, in welcher Form die Antworten sind, und tatsächlich könnte sich jemand wirklich darum kümmern, was dieses Ding in der 6. Potenz ist, und dann wären Sie gezwungen, die Dinge in Bezug auf diese andere funktionale Form zu diskutieren. Für die Zwecke dieser Prüfung ist dies in Ordnung. Und in der Tat ist jede korrekte Form eine in Ordnung. Ich empfehle dringend, dass Sie nicht versuchen, die Dinge zu vereinfachen, es sei denn, wir sagen es Ihnen.

Manchmal ist es zu Ihrem Vorteil, die Dinge zu vereinfachen. Manchmal sagen wir vereinfachen. Es braucht viel Erfahrung, um zu wissen, wann es sich wirklich lohnt, Ausdrücke zu vereinfachen. Jawohl?

PROFESSOR: Richtig, also zu diesem Beispiel. Die Frage ist, was ist dieses Derivat? Und hier ist eine Antwort. Das ist das Ende des Problems. Dies ist eine üblichere Form. Aber diese Antwort ist in Ordnung. Gleicher Fehler. Genau das ist der Punkt. Jawohl?

PROFESSOR: Die Frage ist, müssen Sie die Arbeit zeigen? Müssen Sie die Arbeit zeigen? Nun, wenn ich Sie frage, was d/dx von sec x ist, dann wäre das akzeptabel, wenn Sie diese Antwort aufschreiben oder diese Antwort aufschreiben, die keine Arbeit zeigt. Wenn die Frage wäre, die Formel dafür aus der Formel für die Ableitung des Kosinus abzuleiten oder so ähnlich, dann wäre das nicht akzeptabel. Sie müssten diese Arithmetik ausführen.

Mit anderen Worten, typischerweise wird dies zum Beispiel in verschiedenen Kontexten auftauchen. Sie müssen im Grunde nur den Anweisungen folgen. Jawohl?

PROFESSOR: Die nächste Frage ist, wird von Ihnen erwartet, dass Sie die Ableitung der Sinusfunktion beweisen können? Die kurze Antwort darauf ist ja. Aber dazu komme ich, wenn ich den Rest des Materials hier bespreche. Wir sind fast da.

Okay, lassen Sie mich diese Beispiele mit einem letzten beenden. Und dann werden wir über diese Frage von Dingen wie der Ableitung der Sinusfunktion und ihrer Ableitung sprechen. Das letzte Beispiel, das ich aufschreiben möchte, ist also das, was ich Ihnen in der ersten Vorlesung versprochen habe, nämlich e^(x tan^(-1) x) zu differenzieren. Grundsätzlich soll man jede Funktion unterscheiden können. Dies ist also diejenige, die wir eingangs erwähnt haben. Hier ist es also. Machen wir das.

Also, was ist es? Nun, es ist eben gleich - ich muss differenzieren. Ich muss die Kettenregel verwenden - sie ist gleich der Exponentialzeit der Ableitung dieses Ausdrucks hier. Das ist die Kettenregel. Das ist der erste Schritt. Und jetzt muss ich hier die Produktregel anwenden. Also habe ich e^(x tan^(-1) x). Und ich differenziere den ersten Faktor, also erhalte ich tan^(-1) x. Fügen Sie hinzu, was passiert, wenn ich den zweiten Faktor differenziere und das x allein lasse. Das ist also x / (1+x^2). Und das ist es. Das ist das Ende des Problems. Es war nicht so schwer. Natürlich müssen Sie sich alle Regeln und viele zugrunde liegende Formeln merken.

Das stimmt also mit dem überein, was ich Ihnen gerade gesagt habe. Ich habe dir gesagt, dass du das wissen wolltest. Ich habe Ihnen gesagt, dass Sie diese Produktregel kennen müssen und dass Sie die Kettenregel kennen müssen. Und ich denke, da war noch eine Sache, die Ableitung von e^x kam dort ins Spiel. Von diesen Formeln haben wir also vier in dieser einen Berechnung verwendet.

Okay, über was haben wir sonst noch in Einheit Eins gesprochen? Die andere Hauptsache, über die wir gesprochen haben, war also die Definition eines Derivats. Und es gab auch eine Art Ziel, die Bedeutung des Derivats zu verstehen. Das sind also Dinge - wir hatten also ein paar Möglichkeiten, es zu betrachten, oder zumindest ein paar, die ich jetzt betonen werde. Aber zuerst möchte ich Sie daran erinnern, was die Formel ist. Die Ableitung ist die Grenze, wenn Delta x auf 0 geht von (f(x + Delta x) - f(x)) / Delta x. Das war's also, und das wird hier sicherlich ein zentrales Thema sein. Und Sie möchten diese Formel in vielerlei Hinsicht erkennen können.

Also, wie verwenden wir das? Nun, eine Sache, die wir gemacht haben, war, dass wir eine Reihe dieser Änderungsraten berechnet haben. Tatsächlich sind sie mehr oder weniger diejenigen, die hier drüben geschrieben stehen. Diese Liste der Funktionen hier. Nun, mit welchen haben wir direkt von der Definition hier angefangen? Welches dieser Dinge? Es waren eine ganze Reihe von ihnen. Also begannen wir mit einer Funktion 1/x. Wir haben x^n gemacht. Wir haben Sinus x gemacht. Wir haben Kosinus x gemacht. Jetzt gab es ein bisschen Subtilität mit Sinus x und Cosinus x. Wir haben sie mit etwas anderem dazu gebracht. Wir haben sie nicht ganz verstanden. Wir haben sie mit dem Fall x = 0 erhalten. Wir haben sie aus der Ableitung bei x = 0 erhalten, wir haben die Formeln für die Ableitungen von Sinus und Cosinus. Aber das war ein Argument, bei dem es darum ging, sin (x + Delta x) einzustecken und durchzulaufen. Das ist also ein Beispiel.

Wir haben auch a^x gemacht. Und das kann es sein. Oh ja, ich denke, das wars. Daran kann es liegen. Nein, ist es nicht. Okay, lassen Sie mich hier eine Verbindung herstellen, die Sie wahrscheinlich noch nicht hergestellt haben, nämlich dass wir es für (u v)' gemacht haben. Und wir haben es auch für (u / v)' gemacht. Entschuldigung, ich sollte keine Primzahlen schreiben, weil das nicht mit der dortigen Behauptung übereinstimmt. Ich habe das Produkt differenziert Ich habe den Quotienten mit der gleichen Delta-x-Notation differenziert. Das habe ich wohl vergessen, weil ich nicht dabei war, als es passierte.

Also schau, das sind die, die du damit machst. Und natürlich müssen Sie sie möglicherweise auf andere Dinge reduzieren. Diese beinhalten die Verwendung von etwas anderem. In diesem Fall wird die Steigung dieser Funktion bei 0 verwendet, genau wie der Sinus und der Kosinus. Bei dieser handelt es sich um die Steigungen der einzelnen Funktionen u und v. Und bei dieser handelt es sich auch um das Individuum-- Mit anderen Worten, es bringt Sie nicht bis zum Ende, sondern es wird in Bezug auf etwas ausgedrückt einfacher in jedem dieser Fälle.

Und ich könnte weitermachen. Wir haben das nicht im Unterricht gemacht, aber Sie sind sicherlich-- e^x ist in einer der Prüfungen völlig in Ordnung. Wir bitten Sie um 1/x^2. Mit anderen Worten, ich behaupte nicht, dass es auf dieser Liste stehen wird, aber es kann sicherlich eines davon sein. Aber wir werden Sie nicht bitten, in diesen Formeln ganz bis zum Anfang zu gehen.

Es gibt auch einige grundlegende Grenzen, von denen ich Sie auf jeden Fall wissen lassen möchte. Und diese können Sie umgekehrt ableiten. Also beschreibe ich das jetzt. Lassen Sie mich daher auch Folgendes betonen: Ich möchte das jetzt rückwärts lesen. Dies ist das Thema von Anfang an in diesem Vortrag. Wenn Sie nämlich die Funktion f erhalten, können Sie ihre Ableitung durch diese Formel hier berechnen. Das ist die Formel dafür in Bezug auf das, was auf der rechten Seite steht. Andererseits können Sie die Formel auch in diese Richtung verwenden, und wenn Sie die Steigung von etwas kennen, können Sie die Grenze ermitteln. Zum Beispiel verwende ich hier den Buchstaben x, obwohl es Betrug ist. Vielleicht nenne ich es Delta x, damit es dir klarer ist. Vielleicht nenne ich es u. Angenommen, Sie betrachten diese Grenze hier. Nun, ich behaupte, dass Sie erkennen sollten, dass dies die Ableitung nach u der Funktion e^u bei u = 0 ist, von der wir natürlich wissen, dass sie 1 ist.

Dies ist also das Lesen dieser Formel in umgekehrter Reihenfolge. Es erkennt an, dass eine dieser Grenzen – lassen Sie mich das hier noch einmal umschreiben – eine dieser sogenannten Differenzenquotientengrenzen eine Ableitung ist. Und da wir eine Formel für diese Ableitung kennen, können wir sie auswerten.

Und schließlich gibt es noch eine andere Art von Dingen, die Sie meiner Meinung nach wissen sollten. Dies sind diejenigen, die Sie mit Differenzenquotienten tun. Es gibt auch andere Formeln, die Sie ableiten möchten. Sie möchten Formeln durch implizite Differenzierung ableiten können. Mit anderen Worten, die Grundidee besteht darin, jede Gleichung, die Sie haben, so weit wie möglich zu vereinfachen, ohne darauf zu bestehen, dass Sie nach y auflösen. Dies ist nicht unbedingt der geeignetste Weg, um die Änderungsrate zu ermitteln. Die viel einfachere Formel lautet sin y = x. Und das ist implizit leichter zu differenzieren. Also sollte ich sagen, mach so etwas. Das ist also, wenn Sie so wollen, eine typische Ableitung, die Sie vielleicht sehen werden.

Und dann gibt es noch eine letzte Art von Problem, mit dem Sie konfrontiert werden, und es ist die andere Sache, die wir besprochen haben. Und das geht bis zum ersten Vortrag zurück. Das letzte, worüber wir sprechen werden, sind also Tangentiallinien. Gut? Der geometrische Standpunkt eines Derivats. Und davon werden wir in der nächsten Einheit mehr machen. Zunächst wird also erwartet, dass Sie in der Lage sind, die Tangente zu berechnen.Das ist oft ziemlich einfach. Und das zweite ist, y' darzustellen, die Ableitung einer Funktion. Und das dritte, was ich hier einbringen werde, weil ich es irgendwie geometrisch betrachte, obwohl es einen analytischen Aspekt hat. Das ist also ein Bild. Dies ist eine Berechnung. Und wenn Sie beides miteinander kombinieren, erhalten Sie etwas anderes. Damit sind also differenzierbare Funktionen zu erkennen.

Okay, wie machst du das? Nun, wir haben wirklich nur einen Weg, es zu tun. Wir werden die linke und rechte Tangente überprüfen. Sie müssen gleich sein. Auch dies ist eine Eigenschaft, die Sie aus einigen Ihrer Übungen kennen sollten. Und die Idee ist einfach, dass wenn die Tangente existiert, sie von rechts und von links gleich ist. Okay, jetzt werde ich hier nur ein Beispiel von dieser Art von qualitativer Skizzierfähigkeit machen, um Ihnen hier ein Beispiel zu geben. Und was ich tun werde, ist, einen Graphen einer solchen Funktion zu zeichnen. Und was ich darunter tun möchte, ist den Graphen der Ableitung zu zeichnen. Das ist also die Funktion y = f(x), und hier zeichne ich den Graphen der Funktion y = f'(x) direkt darunter.

Überlegen wir uns jetzt, wie es aussehen soll. Und der einzige Schritt, den Sie dafür machen müssen, besteht darin, ein paar Tangentenlinien zu zeichnen. Ich zeichne hier einfach einen auf. Und ich werde hier einen zeichnen. Nun zu den Tangentenlinien hier - beachten Sie, dass die Steigung dieser Tangentenlinien alle positiv sind. Also wird alles, was ich hier unten zeichne, über der x-Achse liegen.

Außerdem werden sie immer steiler, je weiter ich nach links gehe. Sie werden also immer höher. Die Funktion kommt also so herunter. Dort fängt es an. Vielleicht zeichne ich es grün, um die Grafik hier zu veranschaulichen. Das ist also diese Funktion hier. Je weiter wir hinauskommen, desto flacher wird es. Es nivelliert sich also, aber über der Achse so.

Eines der hervorzuhebenden Dinge ist also, dass Sie nicht erwarten sollten, dass die Ableitung wie die Funktion aussieht. Es ist ganz anders. Es verfolgt jeden Punkt seiner Tangentiallinie. Auf der anderen Seite solltest du ein gewisses körperliches Gefühl dafür bekommen, und das werden wir in der nächsten Einheit mehr üben. Lassen Sie mich Ihnen ein Beispiel für eine Funktion geben, die genau dies tut. Und es ist die Funktion y = ln x. Wenn Sie es differenzieren, erhalten Sie y' = 1/x. Und diese obige Darstellung ist grob gesagt der Logarithmus. Und dieser Plot darunter ist die Funktion 1/x.

Wir haben noch Zeit für eine Frage. Und so, Feuer weg. Jawohl?

PROFESSOR: Die Frage ist, können Sie zeigen, wie Sie den inversen Tangens von x herleiten. Das steht also in einem Vortrag. Ich mache es jetzt gerne, aber ich brauche ganze zwei Minuten. Also, hier ist, wie Sie es tun. y = tan^(-1) x. Und jetzt ist es hoffnungslos, dies zu unterscheiden, also schreibe ich es um als tan y = x. Und das muss ich jetzt differenzieren. Wenn ich also differenziere, erhalte ich die Ableitung von tan y in Bezug auf x – in Bezug auf y. Das ist 1 / (1 + y^2) mal y'.

Das ist also ein schwerer Schritt. Das ist die Kettenregel. Und auf der linken Seite bekomme ich eine 1. Also mache ich das super schnell, weil wir noch dreißig Sekunden haben. Aber das ist hier der harte Schritt. Und Sie müssen wissen, dass d/dy tan y gleich eins über-- Oh, schlecht, schlecht, schlecht, Sekante zum Quadrat. Ich war mir so schnell voraus. Hier ist also die Identität. Sie müssen dies also im Voraus wissen. Und das ist die Eingabe in diese Gleichung.

Also haben wir jetzt y' = 1 / sec^2 y y, was dasselbe ist wie cos^2 y.

Das letzte Stück des Problems besteht nun darin, dies in Bezug auf x umzuschreiben. Und das hat man mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun. Wenn dies x ist und dies 1 ist, dann ist der Winkel y, weil die Tangente von y x ist. Dies drückt also aus, dass der Tangens von y x ist. Und dann ist die Hypotenuse die Quadratwurzel von 1 + x^2. Der Kosinus ist also 1 dividiert. Dieses Ding ist also 1 dividiert durch die Quadratwurzel von 1 + x ^ 2, der quadrierten Menge. Also, und das letzte bisschen hier, da ich mitrase, ist, dass es 1 / (1 + x^2) ist, was ich hier fälschlicherweise geschrieben habe. Okay, dann viel Glück beim Test. Bis morgen.


Exponentialfunktionen

Ein Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form F ( x ) = b x , wo B > 0 und B ≠ 1.

Ein Asymptote ist eine Gerade, der sich eine Kurve willkürlich nähert, aber nie erreicht, da sie ins Unendliche geht.

Asymptoten sind ein Merkmal von Exponentialfunktionen.

Exponentialfunktionen, die nicht vertikal verschoben wurden, haben eine Asymptote bei ja = 0, das ist die x -Achse.

Exponentialfunktionen, die vertikal verschoben wurden, haben eine Asymptote, die ihrer Verschiebung entspricht.

Beispiel 1:

Was ist die Asymptote für jede der folgenden Funktionen?

Lösung:

Die erste Funktion, F ( x ), ist also überhaupt nicht verschoben, die Asymptote für F ( x ) ist ja = 0 , oder der x -Achse .

Die zweite Funktion, g ( x ), wurde um zwei Einheiten nach links verschoben. Eine horizontale Verschiebung beeinflusst die Asymptote für eine Exponentialfunktion nicht. Also die Asymptote für g ( x ) ist ja = 0 , oder der x -Achse .

Die zweite Funktion, h ( x ), wurde um eine Einheit nach rechts verschoben. Eine horizontale Verschiebung beeinflusst die Asymptote für eine Exponentialfunktion nicht. Also die Asymptote für h ( x ) ist ja = 0 , oder der x -Achse .

Beispiel 2:

Was ist die Asymptote für jede der folgenden Funktionen?

Lösung:

Die erste Funktion, F ( x ), wurde um eine Einheit nach oben verschoben. Eine vertikale Verschiebung beeinflusst die Asymptote für eine Exponentialfunktion. Also die Asymptote für F ( x ) ist ja = 1 .

Die zweite Funktion, g ( x ), wurde um zwei Einheiten nach oben verschoben. Eine vertikale Verschiebung beeinflusst die Asymptote für eine Exponentialfunktion. Also die Asymptote für g ( x ) ist ja = 2 .

Die dritte Funktion, h ( x ), wurde um drei Einheiten nach unten verschoben. Eine vertikale Verschiebung beeinflusst die Asymptote für eine Exponentialfunktion. Also die Asymptote für h ( x ) ist ja = -3 .

Das Domain einer Funktion ist die Menge aller möglichen reellen Eingabewerte, normalerweise dargestellt durch x .

Das Angebot einer Funktion ist die Menge aller möglichen reellen Ausgabewerte, normalerweise dargestellt durch ja .

Um den Bereich und die Reichweite einer Exponentialfunktion zu bestimmen, denken Sie an den Graphen der Exponentialfunktion F ( x ) = Ex .

Der Graph der Exponentialfunktion existiert für alle reellen x -Werte daher ist der Bereich der Exponentialfunktion (- />, />), oder alle reellen Zahlen.

Hinweis: Unabhängig davon, wie der Graph einer Exponentialfunktion verschoben oder gespiegelt wird, bleibt die Domäne gleich.

Der Graph der Exponentialfunktion existiert für alle positiven reellen ja -Werte daher ist der Bereich der Exponentialfunktion (0, ).

Hinweis: Wenn der Graph einer Exponentialfunktion vertikal verschoben oder gespiegelt wird, ändert sich der Bereich.

    Wenn die Exponentialfunktion positiv ist, hat der Bereich niemals einen Ausgabewert, der kleiner oder gleich der Asymptote der Funktion ist.

Finden Sie den Bereich und den Bereich der unten grafisch dargestellten Funktion.

Der Graph der Exponentialfunktion existiert für alle reellen x -Werte.

Daher ist der Definitionsbereich der Funktion (- />, />) .

Da die Exponentialfunktion positiv ist, hat der Bereich niemals einen Ausgabewert, der kleiner oder gleich der Asymptote der Funktion ist.

Da die dargestellte Funktion eine horizontale Asymptote bei hat ja = -3, der Funktionsumfang ist (-3, ) .

Finden Sie unten die Domäne und den Umfang der Funktion.

Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion sind alle reellen Zahlen.

Daher ist der Definitionsbereich der Funktion (- />, />) .

Die Reichweite einer Exponentialfunktion der Form F ( x ) = B x , wo B > 0 und B ≠ 1, sind alle reellen Zahlen größer als Null.

Daher ist der Funktionsumfang (2, ) .

Das Verhalten beenden einer Funktion beschreibt das Verhalten der Funktion als x -Werte steigen oder fallen.

Für eine Exponentialfunktion der Form ja = B x , wo B > 0 und B ≠ 1 gilt Folgendes.

  • Wenn die Basis der Exponentialfunktion größer als eins ist, steigt der Funktionsgraph in Richtung positiv unendlich, da x steigt.
  • Wenn die Basis der Exponentialfunktion zwischen null und eins liegt, verkleinert sich der Graph der Funktion, während er sich der horizontalen Asymptote nähert, da x -Werte steigen.

Beschreiben Sie das Endverhalten der folgenden Exponentialfunktion.

Die Basis der Exponentialfunktion ist 8,7.

Da die Basis größer als eins ist, ist der Funktionsgraph g ( x ), nimmt zu.

Deswegen, als die x -Werte steigen, die Funktion nimmt in Richtung positiver Unendlichkeit zu .

Beispiel 6:

Der Graph einer Exponentialfunktion, F ( x ), ist unten angegeben. Ist die Funktion über das Intervall [-2, 3] steigend, fallend oder konstant?


Lösung:

Seit F (-2) < F (3), die Funktion ist zunehmend über das Intervall [-2, 3].

Das durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion ist das Verhältnis der Änderung der Funktionswerte bzw. der Ausgabewerte zur Änderung der x -Werte oder die Eingabewerte.

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion, F ( x ) über das Intervall [a, b] ist durch die folgende Formel gegeben.

Beispiel 7:

Der Graph einer Exponentialfunktion, g ( x ), ist unten angegeben. Wie hoch ist die durchschnittliche Änderungsrate über das Intervall [2, 3]?


Lösung:

Bestimmen Sie anhand des Diagramms die Werte von g (2 und g (3).

Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von g ( x ) über das Intervall [2, 3] mit den Werten von g (2), g (3) und die Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

Die durchschnittliche Änderungsrate von g ( x ) über das Intervall [2, 3] ist 2 .

Das x -abfangen des Graphen einer Exponentialfunktion tritt auf, wenn der Graph die x -Achse. Wenn ein Graph die kreuzt x -Achse, F ( x ) = 0.

Da der Graph einer Exponentialfunktion eine horizontale Asymptote hat, ist eine Exponentialfunktion nicht dürfen einen haben x -abfangen. Die Lage der horizontalen Asymptote auf dem Graphen bestimmt, ob der Graph eine x -abfangen.

  • Liegt die horizontale Asymptote auf oder über dem x -Achse, der Graph hat kein x -abfangen.
  • Liegt die horizontale Asymptote unter dem x -Achse, hat der Graph ein x -abfangen.

Was ist der x -Achsenabschnitt der folgenden Exponentialfunktion?

Die Funktion hat eine horizontale Asymptote bei ja = 0.

Daher kreuzt die Funktion niemals die x -Achse.

So, die Funktion hat kein x -abfangen .

Was ist der x -Abfang der folgenden Funktion?

Die Funktion hat eine horizontale Asymptote bei ja = -8.

Um die zu finden x -abfangen, setzen ja = 0.

deshalb, die x -abfangen ist 3 .

Was ist der ja -Abfang der folgenden Funktion?

Um die zu finden ja -abfangen, setzen x = 0.

deshalb, die ja -abfangen ist 5 .

Die folgende Tabelle zeigt, wie horizontale und vertikale Verschiebungen vorgenommen werden.

Verschiebungen von F ( x )
Horizontale VerschiebungVertikale Verschiebung
F ( x ) → F ( x - h ) F ( x ) → F ( x ) + k
übrig für h < 0 richtig für h > 0 unten für k < 0 für k > 0

Bei einer horizontalen Verschiebung erfolgt die Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung der Änderung, da in der obigen Formel h wird abgezogen von x . Beispielsweise, F ( x - (- h )) = F ( x + h ) zeigt eine Verschiebung an h Einheiten nach links, während F ( x - h ) zeigt eine Verschiebung an h Einheiten nach rechts.

Bei einer vertikalen Verschiebung erfolgt die Verschiebung in die gleiche Richtung wie die Änderung. Beispielsweise, F ( x ) + h zeigt eine Verschiebung an h Einheiten auf, während F ( x ) - h zeigt eine Verschiebung an h Einheiten nach unten.

Wenn der Graph von F ( x ) = 2 x ist um 5 Einheiten nach links verschoben, wie lautet die Gleichung des neuen Graphen?

Eine horizontale Verschiebung bedeutet, dass die Änderung innerhalb der Funktion erfolgt.

Da die Verschiebung noch 5 Einheiten beträgt, wird -5 von abgezogen x , also ist die Änderung positiv. Die Gleichung des neuen Graphen ist g ( x ) = F ( x - (-5)) = F ( x + 5) = 2 ( x + 5) .

In welche Richtung muss der Graph von F ( x ) = 2 x verschieben, um den Graphen von zu erzeugen g ( x ) = 2 x - 3?

Notiz g ( x ) = F ( x ) - 3. In diesem Fall liegt die Änderung, - 3, außerhalb der Funktion, sodass sich der Graph vertikal verschiebt.

Da 3 von abgezogen wird F ( x ), der Graph von g ( x ) resultiert aus der Verschiebung F ( x ) Nieder 3 Einheiten.

Eine Exponentialfunktion hat a Koeffizient , die den Ort des Funktionsgraphen bestimmt und gleich dem ja -abfangen.

  • Ob ein > 0, der Graph befindet sich über dem x -Achse.
  • Ob ein < 0, der Graph befindet sich unter dem x -Achse.

Bestimmen Sie, ob der Graph der folgenden Exponentialfunktion über oder unter dem liegt x -Achse. Bestimmen Sie auch die ja -Schnittpunkt der Grafik.

Um den Ort des Graphen von zu bestimmen F ( x ) und das ja -Abfangen, identifizieren Sie den Koeffizienten.

Der Koeffizient von F ( x ) ist .

Man sieht, dass der Koeffizient von F ( x ) ist daher positiv, der Graph von F ( x ) liegt über dem x -Achse .

Das ja -Achsenabschnitt einer Exponentialfunktion ist gleich dem Koeffizienten. Also, die ja -Achsenabschnitt des Graphen von F ( x ) ist wie folgt.

Zu Graph eine Exponentialfunktion, bestimmen Sie, ob die Funktion zu- oder abnimmt. Identifizieren Sie dann alle Verschiebungen. Erstellen Sie abschließend eine Wertetabelle und ein Diagramm.

Beispiel 14:

Zeichnen Sie die folgende Exponentialfunktion.

Lösung:

Die Basis der gegebenen Exponentialfunktion ist 3. Da 3 > 1 ist, ist die Funktion eine ansteigende Exponentialfunktion.

Beachten Sie auch, dass 1 von 3 . subtrahiert wird x . Das bedeutet, dass der Graph um eine Einheit nach unten verschoben wird.

Diagramm mit den Werten in der obigen Tabelle.

Kommentar zur Lektion


Faltungsnetzwerke

Faltungsnetzwerke , beschrieben in Kapitel 9 der AGB, sind Netzwerke mit lineare Operatoren , nämlich lokalisierte Faltungsoperatoren, die eine zugrundeliegende Gittergeometrie verwenden. Betrachten Sie zum Beispiel das Netzwerk, dessen (k)-te Schicht durch das (m imes m)-Gitter dargestellt werden kann



Wir definieren dann die Funktion (h^<(k+1)>_) in Schicht (k+1) um zusammenfalten über einem (2 imes 2)-Quadrat in der darunter liegenden Schicht und dann Anwenden der nichtlinearen Funktion (g):
[
h_^ <(k+1)>= gleft( a^ <(k)>h_^ <(k)>+ b^ <(k)>h_^ <(k)>+ c^ <(k)>h_^ <(k)>+ d^ <(k)>h_^ <(k)> echts)
]
Die Parameter (a^<(k)>, b^<(k)>, c^<(k)>,) und (d^<(k)>) hängen nur von der Schicht ab, nicht von das jeweilige Quadrat (i,j). (Diese Einschränkung ist aufgrund der allgemeinen Definition nicht erforderlich, aber in Anwendungen wie Vision eine vernünftige Einschränkung.) Zusätzlich zum Vorteil der gemeinsamen Parameternutzung hat diese Art von Netzwerk die nützliche Eigenschaft der Sparsity, die sich aus der lokalen Natur der Definition ergibt der Funktionen (h).

Ein üblicher zusätzlicher Bestandteil in Faltungsnetzwerken ist das Pooling, bei dem nach der Faltung und Anwendung von (g) die gitterindizierten Funktionen (h_ ^<(k+1)>), ersetzen wir diese Funktion durch den Durchschnitt oder das Maximum der Funktionen in einer Nachbarschaft zum Beispiel, Einstellung
[
überstreichen_^ <(k+1)>= frac<1> <4>left( h_^ <(k+1)>+h_^ <(k+1)>+h_^ <(k+1)>+h_^ <(k+1)> echts).
]
Diese Technik kann auch verwendet werden, um die Dimension zu reduzieren.


Mathematikkurse

Dieser Kurs wurde für Studenten der Geisteswissenschaften entwickelt und untersucht die Bedeutung und Methoden der Mathematik. Indem sie Mathematik als Suche nach Mustern, als Denkweise und als Teil unseres kulturellen Erbes betrachtet, unterstreicht sie die verschiedenen Rollen der Mathematik. Es werden mathematische Ideen aus Geometrie, Zahlentheorie und Algebra vorgestellt, die die These stützen, dass Mathematik viel mehr ist als nur eine Sammlung von Techniken, um Antworten auf Standardprobleme zu erhalten. Angebotener Frühling, ungerade Jahre
Credits: 3

Dieser Kurs richtet sich in erster Linie an Studenten, die für das Studium der Infinitesimalrechnung Kenntnisse in Algebra und Trigonometrie benötigen. Der Funktionsbegriff und die grafische Darstellung von Funktionen werden betont. Behandelte Themen: reelle Zahlen Algebra der reellen Zahlen einschließlich Gleichungen und Ungleichungen Funktionen und deren Graphen einschließlich Polynome, rationale Ausdrücke, logarithmisch und exponentiell, trigonometrische Algebra der trigonometrischen Funktionen einschließlich Identitäten, Gleichungen, Polarkoordinaten, komplexe Zahlen, Gleichungssysteme. Voraussetzungen: Drei Jahre Gymnasialmathematik, einschließlich Mittelalgebra. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 4

Behandelte Themen: grundlegende Algebra, Gleichungssysteme, Matrixalgebra, lineare Programmierung, endliche Wahrscheinlichkeit. Das Lösen von Problemen und die Anwendung mathematischer Argumentation bei der Untersuchung relevanter Anwendungen aus den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften sind integraler Bestandteil des Studiums.Voraussetzungen: Drei Jahre Gymnasialmathematik einschließlich Algebra der Mittelstufe. Angebotener Frühling, sogar Jahre
Credits: 3

Dieser Kurs richtet sich an Bildungs-Majors und soll eine mathematische Behandlung der grundlegenden Konzepte der Arithmetik, Algebra und Zahlentheorie in Bezug auf den Mathematiklehrplan der Grundschule bieten. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 3

Dieser Kurs richtet sich an Bildungs-Majors und soll eine mathematische Behandlung der grundlegenden Konzepte von Wahrscheinlichkeit, Statistik und elementarer Geometrie in Bezug auf den Mathematiklehrplan der Grundschule vermitteln. Voraussetzungen: MATH 140. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 3

In diesem Kurs lernen die Studierenden, über Statistik und Wahrscheinlichkeit nachzudenken, die Werkzeuge zu identifizieren, die zur Untersuchung eines bestimmten Problems erforderlich sind, und wie man quantitative Informationen in den Medien liest und kritisch bewertet. Das Kursformat umfasst umfangreiches Lesen und Diskutieren von Zeitungs- und Zeitschriftenartikeln, Computeraktivitäten, Schreibarbeiten und studentische Projekte. (Diejenigen, die MATH 242, 260 oder 360 abgeschlossen haben, können sich nicht für diese Klasse anmelden. Mathematiker erhalten nur freie Wahlpunkte für den Kurs.) Voraussetzungen: Drei Jahre Abitur Mathematik einschließlich Algebra der Mittelstufe. Wird jeden Herbst angeboten
Credits: 3

Der Student wird in die Mathematik linearer Systeme und in die Konzepte, Methoden und Anwendungen der Infinitesimalrechnung eingeführt. Mit diesen Werkzeugen werden mathematische Fragestellungen aus den Wirtschafts-, Lebens- und Sozialwissenschaften modelliert und gelöst. Zu den behandelten Themen gehören lineare Gleichungssysteme, Matrixtechniken, Funktionen, Grenzen, Stetigkeit, Differentiation und Integration. Der Ansatz wird grafisch, numerisch und analytisch sein. Voraussetzungen: Vorkalkül oder gleichwertig. Nicht verfügbar für Studierende mit Anrechnung für MATH 221. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 4

Die untersuchten Themen sind Grenzwerte und Kontinuitätsableitungen und Stammfunktionen der algebraischen, exponentiellen, logarithmischen, trigonometrischen und inversen Funktionen, des bestimmten Integrals und des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung. Voraussetzungen: MATH 112 oder Precalculus mit Trigonometrie oder gleichwertig. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 4

Die behandelten Themen sind Integrationsmethoden, Anwendungen von bestimmten Integralen, Folgen, uneigentliche Integrale und Reihen, parametrische Gleichungen und Polarkoordinaten. Voraussetzungen: MATH 221. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 4

Vektorrechnung, Funktionen mehrerer Variablen, partielle Ableitungen, multiple Integrale, raumanalytische Geometrie und Linienintegrale. Voraussetzungen: MATH 222. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 4

Eine Fortsetzung des ersten Semesters der Infinitesimalrechnung, mit einem Schwerpunkt auf der Modellierung und Anwendung von Mathematik und Statistik auf die biologischen Wissenschaften. Zu den behandelten Themen gehören Exponential- und Logarithmusfunktionen, Differentialgleichungen, Matrizen, Differentialgleichungssysteme sowie eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik. Voraussetzungen: MATH 221. Wird jedes Frühjahr angeboten
Credits: 4

Dieser Kurs dient als einführender Programmierkurs für die Hauptfächer Mathematik. Es werden grundlegende Programmiertechniken zur Lösung von Problemen entwickelt, mit denen Mathematiker typischerweise konfrontiert sind. Der Kurs behandelt grundlegende Verfahrenstechniken wie Algorithmen, Variablen, Eingabe/Ausgabe, Datentypen, Auswahl, Iteration, Funktionen und grafische Darstellung. Gute Programmier- und Kommentierungspraktiken werden hervorgehoben. Die Programmiersprache für den Kurs wird eine mathematische Programmiersprache wie Matlab sein. Beschränkt nur auf Mathe-Majors.
Credits: 3

Studium von Matrizen, Matrizenoperationen und linearen Gleichungssystemen mit Einführung in Vektorräume und lineare Transformationen. Elementare Anwendungen der Linearen Algebra sind enthalten. Voraussetzungen: MATH 222 oder MATH 228 oder Erlaubnis des Dozenten. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 3

Dieser Kurs behandelt die grundlegenden Werkzeuge der Mathematik und Informatik - Logik, Beweistechniken, Mengenlehre, Funktionen, induktive Prozesse, Zähltechniken - mit Anwendungen in Bereichen wie formale Sprachen, Schaltungstheorie und Graphentheorie. ANMERKUNG: Dieser Kurs ist nicht für Studenten mit Credits für MATH 239 verfügbar. Voraussetzungen: Vier Jahre Mathematik an der High School. Wird jeden Herbst angeboten
Credits: 3

Der Kurs bietet eine Einführung in die Sprache der fortgeschrittenen Mathematik und in den mathematischen Beweis. Es wird rigorose Argumentation und die Praxis des Beweisens in verschiedenen mathematischen Kontexten betonen. Die Themen umfassen Logik, Mengenlehre, Kardinalität, Beweismethoden und Induktion. Andere mathematische Themen, die nach Ermessen des Lehrers ausgewählt werden, werden als Material aufgenommen, durch das die Nachweisfähigkeiten verbessert werden. Voraussetzungen: MATH 222 oder Erlaubnis des Fachbereichs. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 3

Diese Lehrveranstaltung ist eine Fortsetzung des in Math 230 begonnenen Studiums der Computerprogrammierung für Mathematik mit besonderem Schwerpunkt auf der computergestützten Darstellung und Manipulation mathematischer Strukturen. Beispiele umfassen Matrizen, Graphen, Bäume usw. Die wichtigsten Programmiertechniken umfassen objektorientierte Programmierung und Rekursion. Voraussetzungen: Math 230, Math 233 und Math 239. Credits: 3(3-0). Wird nicht regelmäßig angeboten
Credits: 3

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und statistischer Inferenz. Rechenkenntnisse sind nicht erforderlich. (Diejenigen, die MATH 360 abgeschlossen haben, können sich nicht für diesen Kurs einschreiben, und kein Schüler kann mehr als einen Statistikkurs mit 200 Stufen angerechnet bekommen, einschließlich der Credits für mehr als einen der folgenden Kurse: ECON 205, GEOG 278, MATH 242, PLSC 251, PSYC 250 und SOCL 211.) Voraussetzungen: Drei Jahre Gymnasialmathematik einschließlich Mittelalgebra. Wird nicht regelmäßig angeboten
Credits: 3

Eine Einführung in die Statistik mit Schwerpunkt auf Anwendungen. Zu den Themen gehören die Beschreibung von Daten mit numerischen Zusammenfassungen und Grafiken, die Gewinnung von Daten durch Stichproben und experimentelles Design, Techniken zum Ziehen von Schlussfolgerungen aus Daten wie Konfidenzintervalle und Hypothesentests für sowohl kategoriale als auch quantitative Daten. Der Kurs beinhaltet eine Einführung in die Computeranalyse von Daten mit einem statistischen Rechenpaket. (Diejenigen, die MATH 360 abgeschlossen haben, können sich nicht für diesen Kurs einschreiben, und kein Student kann für mehr als einen Statistikkurs mit 200 Stufen angerechnet werden, einschließlich für mehr als einen der folgenden Kurse: BIOL 250, ECON 205, GEOG 278, MATH 242, MATH 262, PLSC 251, PSYC 250 und SOCL 211.)
Credits: 3

Ziel der Lehrveranstaltung ist es, die wichtigen Konzepte und Theoreme der mathematischen Logik vorzustellen und ihre Bedeutung für die Mathematik zu erläutern. Zu den spezifischen Ergebnissen gehören Kompaktheits-, Vollständigkeits- und Unvollständigkeitssätze mit Anwendungen wie Schaltkreise und nicht standardisierte Analysen. Voraussetzungen: MATH 239. Angebotener Herbst, ungerade Jahre.
Credits: 3

In diesem Kurs werden die Zermelo-Fraenkel-Axiome für die Mengenlehre untersucht und die Beziehung zwischen Mengenlehre und klassischer Mathematik diskutiert. Weitere Themen werden aus den folgenden ausgewählt: Ordinal- und Kardinalzahlen, das Auswahlaxiom, die Konsistenz und Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese und große Kardinäle. Voraussetzungen:MATH 239. Angebotener Herbst, gerade Jahre
Credits: 3

Ein Überblick über die mathematische Analyse der Zeit- und Raumressourcen, die zur Ausführung von Algorithmen erforderlich sind. Beginnend mit der asymptotischen Analyse des Ressourcenbedarfs bestimmter Algorithmen baut der Kurs auf eine Untersuchung der mit Problemen verbundenen unteren Schranken auf und gipfelt in einer eingehenden Untersuchung abstrakter Ressourcenkomplexitätsklassen wie P, NP und PSPACE. Voraussetzungen: MATH 239. Wird nicht regelmäßig angeboten.
Credits: 3

Dieser Kurs behandelt die theoretischen Grenzen dessen, was Algorithmen berechnen können und was nicht. Themen sind unter anderem endliche Automaten, reguläre Sprachen, Kellerautomaten, kontextfreie Sprachen, Turingmaschinen, Entscheidbarkeit, die Struktur der Klassen berechenbarer und unberechenbarer Probleme sowie die Beziehungen zwischen Berechenbarkeit und den logischen Grenzen der Mathematik.
Credits: 3

Ziel dieser Lehrveranstaltung ist es, die Studierenden in die Grundlagen der Graphentheorie und deren Anwendungen einzuführen. Zu den behandelten Themen gehören Graphen, Graphisomorphismen, Bäume, Graphmatrizen und -eigenwerte, stark reguläre Graphen, Graphfärbungen, chromatische Polynome, planare Graphen und der Vierfarbensatz. Die Schüler verwenden Software zum Speichern, Visualisieren und Manipulieren von Diagrammmodellen und als Werkzeug zum Erkunden grundlegender Eigenschaften von Diagrammen.
Credits: 3

Da Infinitesimalrechnung bestrebt ist, Kenntnisse im analytischen Problemlösen zu entwickeln, ist das Ziel dieses Kurses, Kenntnisse in grundlegender kombinatorischer Problemlösung und Argumentation zu entwickeln. Themen sind: Aufzählung, Generierungsfunktionen, Siebformeln, Rekursionsbeziehungen, Graphentheorie, Netzwerkanalyse, Bäume, Suchtheorie und Blockdesigns. Voraussetzungen: MATH 222, MATH 233 und entweder MATH 237 oder MATH 239. Angeboten Herbst, gerade Jahre
Credits: 3

Eine Einführung in die klassische Zahlentheorie zu Themen wie Teilbarkeit, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen, diophantische Gleichungen, Kongruenznotation und ihre Anwendungen, quadratische Residuen. Voraussetzungen: MATH 222 und MATH 239. Angebotener Frühling, ungerade Jahre
Credits: 3

Eine Studie über die zugrunde liegende Theorie der Elementarrechnung. Themen sind die Struktur und Eigenschaften der reellen Zahlen, Folgen, Funktionen, Grenzen, Stetigkeit, die Ableitung, das Riemann-Integral und die Sätze von Taylor. Voraussetzungen: MATH 223 und MATH 239. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 3

Eine Fortsetzung von MATH 324, die die Riemann-Stieltjes-Integration, Folgen und Reihen von Funktionen, Sonderfunktionen und Funktionen mehrerer Variablen behandelt. Voraussetzungen: MATH 324. Wird jedes Frühjahr angeboten.
Credits: 3

Eine Studie über die Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen und einige der Anwendungen dieser Gleichungen in den physikalischen Wissenschaften und der Geometrie. Voraussetzungen: MATH 223. Voraussetzungen: MATH 233 oder PHYS 228. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 3

Eine Fortsetzung von MATH 326, die die Existenztheorie von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen, Phasenebenenanalyse, Stabilitätstheorie und Randwertprobleme behandelt. Eine Einführung in die Chaostheorie, das Theorem von Lyapunov und die Funktionen von Green können hinzugefügt werden, wenn es die Zeit erlaubt. Voraussetzungen: MATH 233 und MATH 326. Angebotener Herbst, ungerade Jahre
Credits: 3

Eine Untersuchung der grundlegenden Eigenschaften von Gruppen, Ringen und Integralbereichen, einschließlich des Fundamentalsatzes der Gruppenhomomorphismen. Zunächst werden die grundlegenden Konzepte für die Entwicklung algebraischer Systeme untersucht. Voraussetzungen: MATH 222, MATH 233 und MATH 239. Wird jedes Semester angeboten
Credits: 3

Die Lehrveranstaltung führt den Studierenden in die Techniken zur Formulierung und Lösung von linearen Programmierproblemen und den dazugehörigen dualen Problemen ein. Es soll ein breiter Überblick über die deterministische lineare Programmierung und Operations Research sein. Zu den behandelten Themen gehören die Simplex-Methode, die Dual-Simplex-Methode, Sensitivitätsanalyse, Netzwerkoptimierungsmethoden, (Deterministische) Dynamische Programmierung, Spieltheorie und Branch and Bound Methods for Integer Programming. Weitere Themen können aus den Schnittebenenmethoden für Integer-Programmierung, dem Transportproblem, dem Zuordnungsproblem, Graphen und Netze, der Netz-Simplex-Methode, dem Ellipsoid-Algorithmus und der Critical-Path-Methode ausgewählt werden, wenn es die Zeit erlaubt. Voraussetzungen: MATH 222, MATH 233, eines von MATH 237 oder MATH 239 und MATH 230 oder Erlaubnis des Lehrers. Angebotener Frühling, sogar Jahre
Credits: 3

Ein erweiterter Blick auf Vektorräume und lineare Transformationen mit Schwerpunkt auf der Analyse der Eigenwerte einer linearen Transformation und auf dem Konzept der Orthogonalität. Anwendungen, wie die Lösungen linearer Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen, sind eingeschlossen. Voraussetzungen: MATH 223, MATH 233 und MATH 239. Wird jeden Herbst angeboten
Credits: 3

In diesem Kurs werden die axiomatischen Grundlagen für verschiedene Ansätze zum Studium der modernen Geometrie untersucht. Euklidische Geometrie, geometrische Transformationen und nichteuklidische Geometrien werden diskutiert. Voraussetzungen: MATH 222 und MATH 239. Wird jedes Frühjahr angeboten
Credits: 3

detaillierte Untersuchung topologischer Räume und Abbildungen. Die Eigenschaften von Kompaktheit, Verbundenheit und Trennung werden untersucht. Weitere Themen aus der allgemeinen, geometrischen oder algebraischen Topologie werden ebenfalls behandelt. Voraussetzungen: MATH 223 und MATH 239. Angebotener Herbst, gerade Jahre
Credits: 3

Computer- und mathematische Modelle werden immer wichtiger, um komplexe biologische Systeme zu verstehen. Unter Anleitung von Biologie- und Mathematikprofessoren arbeiten die Studierenden einzeln und in Gruppen an der Entwicklung, Analyse und Präsentation von Modellen verschiedener biologischer Systeme, die von Krankheitsmodellen über Diffusionsprozesse bis hin zu Ökosystemdynamiken reichen. Der Kurs umfasst zwei Stunden Vorlesungen und ein zweistündiges computergestütztes Labor. (Gekreuzt mit BIOL 340.) Voraussetzungen: (MATH 222 oder MATH 228) und mindestens eines der folgenden: BIOL 203, BIOL 222, MATH 223 oder Erlaubnis des Dozenten. Wird jeden Frühling angeboten
Credits: 0-3

Zu den Themen gehören Wahrscheinlichkeitsdefinitionen und Theoreme, diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen, einschließlich binomialer, geometrischer, Poisson- und normaler Zufallsvariablen sowie Anwendungen statistischer Themen wie Stichprobenverteilungen, Schätzungen, Konfidenzintervalle und Hypothesentests. Sowohl die Theorie als auch die Anwendungen der Wahrscheinlichkeit werden in die Anwendungen der Statistik einbezogen. Ein Student darf nicht sowohl für MATH 341 als auch für MATH 360 einen Hauptkredit erhalten. MATH 341 dient NICHT als Voraussetzung für MATH 361. Voraussetzung: MATH 223 oder Erlaubnis des Dozenten. Wird jeden Frühling angeboten
Credits: 3

Dieser Kurs dient als fortgeschrittener Kurs zur statistischen und algorithmischen Modellierung. Der Kurs umfasst die Prozesse der Modellbildung mit zwei Disziplinen, dem statistischen Lernen und dem maschinellen Lernen. Der Schwerpunkt liegt auf Mathematik und Algorithmen. Die Themen umfassen lineare und nicht-lineare Regressionsmethoden, überwachte und unüberwachte Lernmethoden einschließlich branchenüblicher Methoden, Modellverbesserungs- und Ensemblemethoden sowie den Umgang mit großen Datenproblemen. Die Studierenden erwerben mathematische Grundlagen und datenwissenschaftliche Fähigkeiten mit modernsten Programmiersprachen wie R und Python, lernen, leistungsstarke Vorhersagemodelle mit realen Daten zu erstellen, und erstellen einen schriftlichen Datenanalysebericht mit einer mündlichen Präsentation. Vor-/Zusatzvoraussetzung: MATH 360 oder MATH 341. Voraussetzungen: (MATH 230 oder MATH 240 oder INTD 121 oder jeder 100- oder 200-stufige Programmierkurs) und MATH 233 oder Erlaubnis des Lehrers. Credits: 3(3-0). Wird nicht regelmäßig angeboten
Credits: 3

Dieser Kurs dient als fortgeschrittener Kurs in angewandter Statistik. Der Kurs wird die Kenntnisse und Fähigkeiten der Studierenden in der statistischen Modellierung in multivariaten und fortgeschrittenen Umgebungen mit möglicherweise interdisziplinären Anwendungen verbessern. Zu den Themen gehören ein Überblick über multiple lineare Regression und Multi-Stichprobenanalyse, ein Überblick über Zufallsvariablen, Vektor- und Matrixalgebra, die Theorie der multivariaten Statistik, explorative und konfirmatorische Faktorenanalyse, Klassifikations- und Clustering-Methoden, multivariate Datenanalysetechniken, Modellbildung und Verbesserungsmethoden und individuell ausgewählte hochmoderne statistische Modelle. Methodiken und Anwendungen werden mit Real-Word-Daten zusammen mit modernsten statistischen Softwarepaketen wie R und SAS/SPSS untersucht. Voraussetzungen: MATH 233 und (MATH 341 oder MATH 361) oder Erlaubnis des Dozenten. Credits: 3(3-0). Wird nicht regelmäßig angeboten.
Credits: 3

Diese Vorlesung bietet eine Einführung in numerische Methoden und deren Analyse. Themen sind unter anderem Gleitkommaarithmetik, Fehleranalyse, Lösung nichtlinearer Gleichungen, Interpolation und Approximation, numerische Differentiation und Integration sowie die Lösung linearer Systeme.
Credits: 3

Dieser Kurs bietet eine Untersuchung von fortgeschrittenen Themen der numerischen Analysis. Themen sind die numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, Randwertprobleme, Kurvenanpassung und Eigenwertanalyse. Voraussetzungen: MATH 345. Angebotener Frühling, gerade Jahre
Credits: 3

In diesem Kurs wird der Student ein mathematisches Thema recherchieren und sich auf eine darauf aufbauende mündliche Präsentation vorbereiten. Die Studierenden lernen Forschungsressourcen wie Zeitschriften und elektronische Datenbanken kennen. Die Studierenden lernen mathematische Schreibkonventionen und Präsentationstechniken kennen. Die Studierenden bereiten einen Vortrag von mindestens einer halben Stunde Länge vor, der in einem öffentlichen Forum präsentiert wird. Voraussetzungen: MATH 239 und Erlaubnis des Dozenten. Voraussetzung: Der Student muss ein Hauptfach Mathematik sein und gleichzeitig in einem 300-stufigen Mathematikkurs eingeschrieben sein. Wird jedes Frühjahr oder bei ausreichender Nachfrage auch öfter angeboten
Credits: 1

Der Kurs entwickelt und erweitert bestimmte Themen der multivariaten Analysis. Dazu gehören die Algebra und Geometrie von Vektoren, reelle und Vektorfunktionen einer und mehrerer Variablen, Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Vektordifferential- und Integralrechnung, Anwendungen auf die Geometrie. Voraussetzungen: Mathe 223. Angebotener Frühling, ungerade Jahre
Credits: 3

Die Themen umfassen Wahrscheinlichkeitsdefinitionen und Theoreme diskreter und stetiger Zufallsvariablen einschließlich der binomialen, hypergeometrischen, Poisson- und normalen Zufallsvariablen. Sowohl die Theorie als auch die Anwendungen der Wahrscheinlichkeit werden einbezogen. Ein Student darf nicht sowohl MATH 341 als auch MATH 360 anrechnen lassen. Voraussetzungen: MATH 223 oder Erlaubnis des Dozenten. Wird jeden Herbst angeboten
Credits: 3

Stichprobenverteilungen, Punkt- und Intervallschätzung und Hypothesentests. Themen sind auch: Regression und Korrelation, Varianzanalyse und nichtparametrische Statistik. Voraussetzungen: MATH 360 oder Erlaubnis des Dozenten. Wird jeden Frühling angeboten
Credits: 3

Dieser Vertiefungskurs in Statistik konzentriert sich auf zwei wichtige Themen für das Studium der Versicherungsmathematik. Zu den Themen der Regression gehören einfache und multiple Regression (einschließlich Testen, Schätzung und Konfidenzverfahren), Modellierung, Variablenscreening, Residuenanalyse und spezielle Themen der Regressionsmodellierung. Zu den Themen in Zeitreihen gehören lineare Zeitreihenmodelle, autoregressive, gleitende Durchschnitts- und ARIMA-Modelle, Schätzung, Datenanalyse und Vorhersage mit Zeitreihenmodellen, Vorhersagefehler und Konfidenzintervalle. Fallstudien und Analysen realer Daten werden eingeschlossen. Voraussetzungen: Math 361 oder Econ 307 oder Erlaubnis des Dozenten. Wird nicht regelmäßig angeboten.
Credits: 3

Ziel dieses Kurses ist es, Kenntnisse über die grundlegenden Werkzeuge der Wahrscheinlichkeit zu erwerben, die für die quantitative Risikobewertung nützlich sind. Die Anwendung dieser Werkzeuge auf Probleme der Versicherungsmathematik wird betont. Eine gründliche Beherrschung des Stützkalküls wird vorausgesetzt.Darüber hinaus werden sehr grundlegende Kenntnisse im Versicherungs- und Risikomanagement vorausgesetzt.
Credits: 0-3

Eine Studie über komplexe Zahlen, komplexe Differentiation und Integration, Abbildungen, Potenzreihen, Residuen und harmonische Funktionen, mit besonderem Schwerpunkt auf Themen, die in der angewandten Mathematik nützlich sind. Optionale Themen: konforme Zuordnungen und analytische Fortsetzung. Voraussetzungen: MATH 223 und MATH 239 oder Erlaubnis des Dozenten. Wird jeden Herbst angeboten
Credits: 3

Eine Einführung in die Gleichungen, die bei vielen Problemen in der angewandten Mathematik sowie in den Physik- und Ingenieurwissenschaften eine zentrale Rolle spielen. Zu den Themen gehören Gleichungen erster Ordnung, die nützlichsten Gleichungen zweiter Ordnung (z. B.: Laplace's wave and diffusion) und einige Methoden zum Lösen solcher Gleichungen, einschließlich numerischer Techniken. Die Modellierung für die Bewegung einer schwingenden Saite und die Wärmeleitung in einem Festkörper werden betont. Voraussetzungen: MATH 326. Angebotener Frühling, gerade Jahre
Credits: 3

Das Ziel dieses Kurses ist es, dem Studenten, der sich für Versicherungsmathematik interessiert, ein Verständnis der grundlegenden Konzepte der Finanzmathematik zu vermitteln und wie diese Konzepte bei der Berechnung von gegenwärtigen und kumulierten Werten für verschiedene Cashflow-Ströme als Grundlage für die zukünftige Verwendung in :Reservierung, Bewertung, Preisgestaltung, Aktiv-/Passivmanagement, Kapitalerträge, Kapitalplanung und Bewertung bedingter Cashflows. Die Studierenden erhalten auch eine Einführung in Finanzinstrumente, einschließlich Derivate, und das Konzept der Arbitragefreiheit in Bezug auf die Finanzmathematik. Voraussetzungen: MATH 223, MATH 360 und Erlaubnis des Lehrers. Credits: 3(2-2) Wird nicht regelmäßig angeboten.
Credits: 0-3

Eine Erforschung eines fortgeschrittenen Themas, das die Breite und/oder Tiefe der mathematischen Erfahrung im Grundstudium erweitert. Darf zweimal unter verschiedenen Untertiteln aufgenommen werden. Voraussetzungen: Absolvierung von fünf Lehrveranstaltungen im Hauptfach Mathematik und Erlaubnis des Dozenten. Wird nicht regelmäßig angeboten
Credits: 3

Eine Erforschung eines fortgeschrittenen algebraischen Themas, das die Breite und/oder Tiefe der mathematischen Erfahrung im Grundstudium erweitert. Darf zweimal unter verschiedenen Untertiteln aufgenommen werden.
Credits: 3

Dieser Kurs ist eine Einführung in die Grundlagen digitaler Bilder, Fourier-Analyse, Wavelets und Computing in einem ersten Anwendungsansatz. Digitalisierte Fotografien (oder Tondateien) werden als sehr große Matrizen gespeichert und zunächst mit einfacher linearer Algebra manipuliert. Die grundlegende Programmierung in Matlab, Maple oder Mathematica wird als Mittel zur Durchführung der Manipulationen und als Erkennungswerkzeug eingeführt. Wavelet-Transformationen werden verwendet, um digitale Fotos zu komprimieren oder zu verbessern, Tondateien zu entrauschen und mit dem JPEG2000-Standard zu komprimieren. Jeder Student des Kurses wird an einem Abschlussprojekt arbeiten, das die Codierung, das Aufschreiben der Ergebnisse in einer Arbeit und die Präsentation der Ergebnisse am Ende des Semesters umfasst. Voraussetzungen: MATH 222, MATH 233, MATH 239 und MATH 230 oder Erlaubnis des Lehrers. Angebotener Frühling, ungerade Jahre
Credits: 3

Ein Diskussionskurs zu ausgewählten Bereichen der Biomathematik basierend auf aktueller Literatur und/oder Gastrednern. Voraussetzungen: Erlaubnis des Dozenten. Kann mit Genehmigung des Dozenten mehrmals zur Anrechnung genommen werden. Angebotener Frühling, sogar Jahre
Credits: 1

Eine Einführung in die mathematische und computergestützte Modellierung der sichtbaren Welt. Zu den Themen gehören Vektordarstellungen von dreidimensionaler Geometrie parametrische und implizite Formen von Linien und Oberflächen affine Transformationen Projektionen aus drei Dimensionen auf zwei Rendering-Gleichungen, die Reflexion, Transmission und Absorption von Licht modellieren. Realistische Modelle realer oder imaginierter Szenen werden mit diesen Techniken erstellt und mit einer Computerprogrammiersprache gezeichnet. Voraussetzungen: MATH 223, MATH 230 und MATH 233. Wird nicht regelmäßig angeboten.
Credits: 3

Die Geschichte der Mathematik wird von der Antike bis zu den Errungenschaften der Mathematiker des 21. Jahrhunderts verfolgt. Bewerbungen für den Sekundar- und Grundschulunterricht sind enthalten. Voraussetzungen: MATH 222. Wird jedes Frühjahr angeboten
Credits: 3

Unabhängige Forschung, geleitet von einem Mitglied der Fakultät für Mathematik. Die Forschungsergebnisse sind in (l) einer schriftlichen Arbeit und (2) einer mündlichen Präsentation in einem Kolloquium der Fakultät für Mathematik oder einem anderen anerkannten Forum zu berichten. Um berechtigt zu sein, muss ein Student einen kumulierten Notendurchschnitt von 3,7 im Hauptfach und einen Gesamtnotendurchschnitt von 3,0 haben. Das Departement kann besondere Ausnahmen machen. Voraussetzungen: Die Einschreibung erfolgt auf Einladung des Fachbereichs. Angeboten nach individueller Absprache
Credits: 3-6

Ein Studiengang, bei dem ein Student unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds individuell an einem Projekt arbeitet. Ein Math 398-Projekt konzentriert sich auf die Forschung zu einem Thema, das außerhalb des Lehrplans liegt, der im regulären Kursangebot enthalten ist. Darüber hinaus müssen die Schüler über das Lehrbuch hinausgehen, um sich mit Lesen, Forschen und Entdecken zu beschäftigen, die kreative mathematische Forschung widerspiegeln. Alle derartigen Projekte müssen vom Lehrstuhl als geeignet für Mathe 398 genehmigt werden. Voraussetzung: Erlaubnis des Dozenten. Angeboten nach individueller Vereinbarung.
Credits: 1-3

Ein Studiengang, in dem die Studierenden individuell unter der Aufsicht eines Fakultätsmitglieds arbeiten. Voraussetzungen: Erlaubnis des Dozenten. (l bis 3 Semesterwochenstunden.) Angebot nach individueller Absprache
Credits: 1-3

Entworfen für Lehrer, die ihre Kenntnisse in der Elementarrechnung erneuern und vertiefen möchten, sowie für diejenigen, die das Thema vertiefen möchten. Ausgehend von vertrautem Material versucht der Kurs, die Zwischentheorie zu entwickeln. Zu den behandelten Themen gehören Grenzwerttheorie, Differentiation, Eigenschaften stetiger Funktionen und die Theorie der Riemann-Integration. Voraussetzungen: Ein Kurs in Analyse.
Credits: 3

Klassische Algebra ist eine Einführung in die Zahlentheorie und höhere Algebra im historischen Kontext. Der Kurs kann von Studierenden des M.S. Programm in der Sekundärmathematik Mit Genehmigung des Fachbereichs steht es Studenten offen und wird für Studenten, die nicht sowohl Zahlentheorie (MATH 319) als auch Abstrakte Algebra (MATH 330) besessen haben, für 300-Stufen-Mathematik-Credits zur Verfügung gestellt.
Credits: 3

Viele Modelle lassen sich als lineares Gleichungssystem formulieren. Der Schwerpunkt dieses Kurses liegt auf der Untersuchung einer Reihe von Modellen, die mit Matrixtechniken und linearer Algebra gelöst werden können. Anwendungen können unter anderem die Anpassung der kleinsten Quadrate von Daten, Markov-Ketten und Bevölkerungswachstumsmodelle umfassen. Voraussetzungen: Ein Kurs in Elementarer Linearer Algebra.
Credits: 3

Das Konzept einer geometrischen Transformation wird in Verbindung mit der Grundstruktur einer Gruppe und Eigenschaften eines Raums untersucht, die unter bestimmten Transformationen invariant bleiben. Isometrische und Ähnlichkeitstransformationen der Ebene werden sowohl im synthetischen als auch im analytischen Rahmen eingehend untersucht. Soweit es die Zeit erlaubt, werden Inversionen, affine, projektive und topologische Transformationen untersucht. Voraussetzungen: Ein Kurs in Geometrie.
Credits: 3

Präsentiert die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie und die anschließende Neuformulierung der Grundlagen der euklidischen Geometrie. Euklids Geometrie, moderne Axiomatik, Hilberts Geometrie und hyperbolische Geometrie werden mit dem Ziel studiert, das Wissen und die Wahrnehmung der Schüler über die Geometrie zu erweitern, aber auch, um eine Wertschätzung für Euklids ursprüngliche Arbeit zu gewinnen. Voraussetzungen: Ein Kurs in Geometrie.
Credits: 3

Der Kurs behandelt die Grundlagen der Kombinatorik, beginnend mit elementaren Zähltechniken (Kombinationen und Permutationen) und umfasst Themen wie das Erzeugen von Funktionen, die Aufzählungsformel von Polya und die Graphentheorie. Der Schwerpunkt liegt auf der diskreten Modellierung. Voraussetzungen: Ein Kurs in Diskreter Mathematik oder Wahrscheinlichkeitstheorie.
Credits: 3

Der Kurs behandelt grundlegende statistische Methoden wie Chi-Quadrat-Test, Regression und Korrelation, Varianzanalyse und experimentelles Design sowie nichtparametrische Statistik. Der Schwerpunkt liegt auf der Kunst des statistischen Denkens und der Datenanalyse basierend auf realen Problemen. Die Verwendung des Computers und seiner Peripheriegeräte als Werkzeuge zum Verständnis der statistischen Konzepte wird in diesem Kurs behandelt. Voraussetzungen: Ein Bachelor-Kurs in Wahrscheinlichkeit und Statistik.
Credits: 3

Eine chronologische Entwicklung der Grundprinzipien der modernen Mathematik. Die zugrundeliegenden Konzepte, die der axiomatischen Entwicklung von Geometrie, Algebra und Analysis zugrunde liegen, werden im Rahmen des Mathematikcurriculums diskutiert. Voraussetzungen: Je ein Kurs in den Bereichen: Algebra, Analysis, Geometrie.
Credits: 3

Probleme, die in verschiedenen Bereichen auftreten, werden aus einer mathematischen Modellierungsperspektive untersucht. Die grundlegenden mathematischen Konzepte und Techniken, die in der Angewandten Mathematik und Numerischen Analysis weit verbreitet sind, werden im Kontext der Anwendungen untersucht. Numerische Methoden unter Einsatz von Taschenrechnern und/oder Computertechnik, die bei der Untersuchung helfen, werden je nach Anwendungsfall eingeführt. Voraussetzungen: Analysis III und Elementare Lineare Algebra.
Credits: 3