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4.1: Terminologie - Mathematik


Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß, das damit verbunden ist, wie sicher wir uns über die Ergebnisse eines bestimmten Experiments oder einer bestimmten Aktivität sind. Ein Experiment ist eine geplante Operation, die unter kontrollierten Bedingungen durchgeführt wird. Wenn das Ergebnis nicht vorbestimmt ist, heißt das Experiment a Chance Experiment. Das zweimalige Werfen einer fairen Münze ist ein Beispiel für ein Experiment.

Ein Ergebnis eines Experiments heißt an Ergebnis. Das Probenraum eines Experiments ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Es gibt drei Möglichkeiten, einen Beispielraum darzustellen: die möglichen Ergebnisse aufzulisten, ein Baumdiagramm zu erstellen oder ein Venn-Diagramm zu erstellen. Der Großbuchstabe S wird verwendet, um den Probenraum zu bezeichnen. Wenn Sie beispielsweise eine faire Münze werfen, ist (S = { ext{H, T}}) mit ( ext{H} =) Kopf und ( ext{T} =) Schwänze sind die Ergebnisse.

Ein Veranstaltung ist eine beliebige Kombination von Ergebnissen. Großbuchstaben wie ( ext{A}) und ( ext{B}) stehen für Ereignisse. Wenn das Experiment beispielsweise darin besteht, eine faire Münze zu werfen, könnte das Ereignis ( ext{A}) höchstens einen Kopf bekommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ( ext{A}) wird geschrieben (P( ext{A})).

Definition: Wahrscheinlichkeit

Das Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist die langfristige relative Häufigkeit dieses Ergebnisses. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen null und eins (einschließlich null und eins und alle Zahlen zwischen diesen Werten).

  • (P( ext{A}) = 0) bedeutet, dass das Ereignis ( ext{A}) niemals eintreten kann.
  • (P( ext{A}) = 1) bedeutet, dass das Ereignis ( ext{A}) immer eintritt.
  • (P( ext{A}) = 0.5) bedeutet, dass das Ereignis ( ext{A}) mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintritt oder nicht eintritt. Wenn Sie beispielsweise eine faire Münze wiederholt (20 bis 2.000 bis 20.000 Mal) werfen, nähert sich die relative Kopfhäufigkeit 0,5 (die Wahrscheinlichkeit von Kopf).

Ebenso wahrscheinlich bedeutet, dass jedes Ergebnis eines Experiments mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintritt. Zum Beispiel, wenn Sie a Messe, sechsseitiger Würfel, jede Seite (1, 2, 3, 4, 5 oder 6) tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf wie jede andere Seite. Wenn Sie eine faire Münze werfen, sind Kopf (( ext{H})) und Zahl (( ext{T})) gleich wahrscheinlich. Wenn Sie die Antwort auf eine richtig/falsch-Frage in einer Prüfung zufällig erraten, wählen Sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine richtige oder eine falsche Antwort.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen EIN wenn alle Ergebnisse im Stichprobenraum gleich wahrscheinlich sind, zähle die Anzahl der Ergebnisse für das Ereignis ( ext{A}) und dividiere durch die Gesamtzahl der Ergebnisse im Stichprobenraum. Wenn Sie beispielsweise einen fairen Cent und einen fairen Nickel werfen, ist der Stichprobenraum ({ ext{HH, TH, HT,TT}}) wobei ( ext{T} =) Tails und ( ext{H} =) Köpfe. Der Stichprobenraum hat vier Ergebnisse. ( ext{A} =) einen Kopf bekommen. Es gibt zwei Ergebnisse, die diese Bedingung ( ext{{HT, TH}}) erfüllen, also (P( ext{A}) = frac{2}{4} = 0.5).

Angenommen, Sie würfeln mit einem fairen sechsseitigen Würfel mit den Zahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6} auf der Vorderseite. Lassen Sie das Ereignis ( ext{E} =) eine Zahl würfeln, die mindestens fünf ist. Es gibt zwei Ergebnisse {5, 6}. (P( ext{E}) = frac{2}{6}). Wenn Sie nur wenige Male würfeln würden, würden Sie sich nicht wundern, wenn Ihre beobachteten Ergebnisse nicht mit der Wahrscheinlichkeit übereinstimmen. Wenn Sie sehr oft würfeln würden, würden Sie erwarten, dass insgesamt (frac{2}{6}) der Würfe ein Ergebnis von "mindestens fünf" ergibt. Sie würden nicht genau (frac{2}{6}) erwarten. Die langfristige relative Häufigkeit dieses Ergebnisses würde sich der theoretischen Wahrscheinlichkeit von (frac{2}{6}) annähern, wenn die Anzahl der Wiederholungen immer größer wird.

Definition: Gesetz der großen Zahlen

Dieses wichtige Merkmal von Wahrscheinlichkeitsexperimenten ist als Gesetz der großen Zahlen bekannt, das besagt, dass mit zunehmender Anzahl von Wiederholungen eines Experiments die im Experiment erhaltene relative Häufigkeit dazu neigt, der theoretischen Wahrscheinlichkeit immer näher zu kommen. Auch wenn die Ergebnisse nicht nach einem festgelegten Muster oder einer bestimmten Reihenfolge ablaufen, nähert sich die langfristig beobachtete relative Häufigkeit insgesamt der theoretischen Wahrscheinlichkeit. (Das Wort empirisch wird oft anstelle des Wortes beobachtet verwendet.)

Es ist wichtig zu wissen, dass die Ergebnisse in vielen Situationen nicht gleich wahrscheinlich sind. Eine Münze oder ein Würfel kann sein unfair, oder voreingenommen. Zwei Mathematikprofessoren in Europa ließen ihre Statistikstudenten die belgische Ein-Euro-Münze testen und stellten fest, dass in 250 Versuchen in 56% der Fälle ein Kopf und in 44% der Fälle eine Zahl erzielt wurde. Die Daten scheinen zu zeigen, dass die Münze keine faire Münze ist; mehr Wiederholungen wären hilfreich, um eine genauere Schlussfolgerung über eine solche Verzerrung zu ziehen. Einige Würfel können voreingenommen sein. Schauen Sie sich die Würfel in einem Spiel an, das Sie zu Hause haben; die Flecken auf jedem Gesicht sind normalerweise kleine Löcher, die herausgeschnitten und dann bemalt werden, um die Flecken sichtbar zu machen. Ihre Würfel können voreingenommen sein oder nicht; Es ist möglich, dass die Ergebnisse durch die geringen Gewichtsunterschiede aufgrund der unterschiedlichen Anzahl von Löchern in den Gesichtern beeinflusst werden. Glücksspiel-Casinos verdienen viel Geld, abhängig von den Ergebnissen des Würfelns, daher werden Casino-Würfel unterschiedlich hergestellt, um Voreingenommenheit zu beseitigen. Casino-Würfel haben flache Gesichter; die Löcher sind vollständig mit Farbe gefüllt, die die gleiche Dichte wie das Material hat, aus dem die Würfel bestehen, so dass jede Seite mit gleicher Wahrscheinlichkeit erscheint. Später lernen wir Techniken kennen, um mit Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse zu arbeiten, die nicht gleich wahrscheinlich sind.

Das „ODER“-Event

Ein Ergebnis liegt im Ereignis ( ext{A ODER B}) vor, wenn das Ergebnis in ( ext{A}) oder in ( ext{B}) oder in beiden ( text{A}) und ( ext{B}). Sei zum Beispiel ( ext{A} = {1, 2, 3, 4, 5}) und ( ext{B} = {4, 5, 6, 7, 8} ). ( ext{A ODER B} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}). Beachten Sie, dass 4 und 5 NICHT zweimal aufgeführt sind.

Das "UND"-Ereignis

Ein Ergebnis liegt im Ereignis ( ext{A UND B}) vor, wenn das Ergebnis gleichzeitig in ( ext{A}) und ( ext{B}) liegt. Seien beispielsweise ( ext{A}) und ( ext{B}) {1, 2, 3, 4, 5} bzw. {4, 5, 6, 7, 8}. Dann ist ( ext{A UND B} = {4, 5}).

Das ergänzen des Ereignisses ( ext{A}) wird mit ( ext{A'}) bezeichnet (sprich "A Primzahl"). ( ext{A'}) besteht aus allen Ergebnissen, die NICHT in ( ext{A}). Beachten Sie, dass (P( ext{A}) + P( ext{A′}) = 1). Sei zum Beispiel ( ext{S} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) und ( ext{A} = {1, 2, 3, 4}) . Dann gilt ( ext{A′} = {5, 6}). (P(A) = frac{2}{6}), (P( ext{A′}) = frac{2}{6}), und (P( ext{A }) + P( ext{A′}) = frac{4}{6} + frac{2}{6} = 1)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von ( ext{A}) gegeben ( ext{B}) wird geschrieben (P( ext{A|B})). (P( ext{A|B})) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis ( ext{A}) eintritt, wenn das Ereignis ( ext{B}) bereits eingetreten ist Eine Bedingung reduziert den Probenraum. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit von ( ext{A}) aus dem reduzierten Stichprobenraum ( ext{B}). Die Formel zur Berechnung von (P( ext{A|B})) lautet (P( ext{A|B}) = frac{ ext{P(A UND B)}}{ ext{ P(B)}}) wobei (P( ext{B})) größer als Null ist.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir werfen einen fairen, sechsseitigen Würfel. Der Probenraum ( ext{S} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}). Sei ( ext{A} =) Fläche 2 oder 3 und ( ext{B} =) Fläche gerade (2, 4, 6). Um (P( ext{A|B})) zu berechnen, zählen wir die Anzahl der Ergebnisse 2 oder 3 im Stichprobenraum ( ext{B} = {2, 4, 6}). Dann teilen wir das durch die Anzahl der Ergebnisse ( ext{B}) (statt ( ext{S})).

Wir erhalten das gleiche Ergebnis, wenn wir die Formel verwenden. Denken Sie daran, dass ( ext{S}) sechs Ergebnisse hat.

[P( ext{A|B}) = dfrac{ ext{ P(A UND B)} } {P( ext{B})} = dfrac{dfrac{ ext{(die Zahl der Ergebnisse, die 2 oder 3 und gerade in S sind)}}{6}}{dfrac{ ext{(die Anzahl der Ergebnisse, die gerade in S sind)}}{6}} = dfrac{dfrac{1 }{6}}{dfrac{3}{6}} = dfrac{1}{3}]

Terminologie und Symbole verstehen

Es ist wichtig, jedes Problem sorgfältig zu lesen, um über die Ereignisse nachzudenken und sie zu verstehen. Den Wortlaut zu verstehen ist der erste sehr wichtige Schritt zur Lösung von Wahrscheinlichkeitsproblemen. Lesen Sie das Problem bei Bedarf mehrmals durch. Identifizieren Sie das Ereignis von Interesse eindeutig. Bestimmen Sie, ob im Wortlaut eine Bedingung angegeben ist, die darauf hindeutet, dass die Wahrscheinlichkeit bedingt ist; Identifizieren Sie den Zustand sorgfältig, falls vorhanden.

Beispiel (PageIndex{1})

Der Stichprobenraum (S) sind die ganzen Zahlen beginnend bei eins und kleiner als 20.

  1. (S =) _____________________________

    Seien Ereignis (A =) die geraden Zahlen und Ereignis (B =) Zahlen größer als 13.

  2. (A =) _____________________, (B =) _____________________
  3. (P( ext{A}) =) _____________, (P( ext{B}) =) ________________
  4. ( ext{A UND B} =) ____________________, ( ext{A ODER B} =) ________________
  5. (P( ext{A UND B}) =) _________, (P( ext{A ODER B}) =) _____________
  6. ( ext{A′} =) _____________, (P( ext{A′}) =) _____________
  7. (P( ext{A}) + P( ext{A′}) =) ____________
  8. (P( ext{A|B}) =) ___________, (P( ext{B|A}) =) _____________; sind die Wahrscheinlichkeiten gleich?

Antworten

  1. ( ext{S} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} )
  2. ( ext{A} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, ext{B} = {14, 15, 16, 17, 18, 19 })
  3. (P( ext{A}) = frac{9}{19}), (P( ext{B}) = frac{6}{19})
  4. ( ext{A UND B} = {14,16,18}), ( ext{A ODER B} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19})
  5. (P( ext{A UND B}) = frac{3}{19}), (P( ext{A ODER B}) = frac{12}{19})
  6. ( ext{A′} = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19); (P( ext{A′}) = frac{10}{19})
  7. (P( ext{A}) + P( ext{A′}) = 1left((frac{9}{19} + frac{10}{19} = 1 ight))
  8. (P( ext{A|B}) = frac{ ext{P(A UND B)}}{ ext{P(B)}} = frac{3}{6}, P( text{B|A}) = frac{ ext{P(A UND B)}}{ ext{P(A)}} = frac{3}{9}), Nein

Übung (PageIndex{1})

Der Probenraum S ist das geordnete Paar zweier ganzer Zahlen, das erste von eins bis drei und das zweite von eins bis vier (Beispiel: (1, 4)).

  1. (S =) _____________________________
    Sei Ereignis (A =) die Summe gerade und Ereignis (B =) die erste Zahl sei eine Primzahl.
  2. (A =) _____________________, (B =) _____________________
  3. (P( ext{A}) =) _____________, (P( ext{B}) =) ________________
  4. ( ext{A UND B} =) ____________________, ( ext{A ODER B} =) ________________
  5. (P( ext{A UND B}) =) _________, (P( ext{A ODER B}) =) _____________
  6. ( ext{B′} =) _____________, (P( ext{B′)} =) _____________
  7. (P( ext{A}) + P( ext{A′}) =) ____________
  8. (P( ext{A|B}) =) ___________, (P( ext{B|A}) =) _____________; sind die Wahrscheinlichkeiten gleich?

Antworten

  1. ( ext{S} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3 ), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)})
  2. ( ext{A} = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3)})
    ( ext{B} = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3 ), (3,4)})
  3. (P( ext{A}) = frac{1}{2}), (P( ext{B}) = frac{2}{3})
  4. ( ext{A UND B} = {(2,2), (2,4), (3,1), (3,3)})
    ( ext{A ODER B} = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3 ,1), (3,2), (3,3), (3,4)})
  5. (P( ext{A UND B}) = frac{1}{3}, P( ext{A ODER B}) = frac{5}{6})
  6. ( ext{B′} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)}, P( ext{B′}) = frac{ 1}{3})
  7. (P( ext{B}) + P( ext{B′}) = 1)
  8. (P( ext{A|B}) = frac{P( ext{A UND B})}{P( ext{B})} = frac{1}{2}, P( text{B|A}) = frac{P( ext{A UND B})}{P( ext{B})} = frac{2}{3}), Nr.

Beispiel (PageIndex{2A})

Es wird ein gerechter, sechsseitiger Würfel gewürfelt. Beschreiben Sie den Probenraum S, identifizieren Sie jedes der folgenden Ereignisse mit einer Teilmenge von S und seine Wahrscheinlichkeit berechnen (ein Ergebnis ist die Anzahl der Punkte, die auftauchen).

  1. Ereignis ( ext{T} =) das Ergebnis ist zwei.
  2. Ereignis ( ext{A} =) das Ergebnis ist eine gerade Zahl.
  3. Ereignis ( ext{B} =) das Ergebnis ist kleiner als vier.
  4. Das Komplement von ( ext{A}).
  5. ( ext{A GEGEBEN B})
  6. ( ext{B GEGEBEN A})
  7. ( ext{A UND B})
  8. ( ext{A ODER B})
  9. ( ext{A ODER B′})
  10. Ereignis ( ext{N} =) das Ergebnis ist eine Primzahl.
  11. Ereignis ( ext{I} =) das Ergebnis ist sieben.

Lösung

  1. ( ext{T} = {2}), (P( ext{T}) = frac{1}{6})
  2. (A = {2, 4, 6}), (P( ext{A}) = frac{1}{2})
  3. ( ext{B} = {1, 2, 3}), (P( ext{B}) = frac{1}{2})
  4. ( ext{A′} = {1, 3, 5}, P( ext{A′}) = frac{1}{2})
  5. ( ext{A|B} = {2}), (P( ext{A|B}) = frac{1}{3})
  6. ( ext{B|A} = {2}), (P( ext{B|A}) = frac{1}{3})
  7. ( ext{A UND B} = {2}, P( ext{A UND B}) = frac{1}{6})
  8. ( ext{A ODER B} = {1, 2, 3, 4, 6}), (P( ext{A ODER B}) = frac{5}{6})
  9. ( ext{A ODER B′} = {2, 4, 5, 6}), (P( ext{A ODER B′}) = frac{2}{3})
  10. ( ext{N} = {2, 3, 5}), (P( ext{N}) = frac{1}{2})
  11. Ein sechsseitiger Würfel hat keine sieben Punkte. (P(7) = 0).

Beispiel (PageIndex{2B})

Tabelle beschreibt die Verteilung einer Zufallsstichprobe (S) von 100 Personen, geordnet nach Geschlecht und ob sie Rechts- oder Linkshänder sind.

RechtshändigLinkshändig
Männer439
Frauen444

Bezeichnen wir die Ereignisse (M =) das Subjekt ist männlich, (F =) das Subjekt ist weiblich, (R =) das Subjekt ist Rechtshänder, (L =) das Subjekt ist links- übergeben. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

  1. (P( ext{M}))
  2. (P( ext{F}))
  3. (P( ext{R}))
  4. (P( ext{L}))
  5. (P( ext{M UND R}))
  6. (P( ext{F UND L}))
  7. (P( ext{M ODER F}))
  8. (P( ext{M ODER R}))
  9. (P( ext{F ODER L}))
  10. (P( ext{M'}))
  11. (P( ext{R|M}))
  12. (P( ext{F|L}))
  13. (P( ext{L|F}))

Antworten

  1. (P( ext{M}) = 0,52)
  2. (P( ext{F}) = 0,48)
  3. (P( ext{R}) = 0,87)
  4. (P( ext{L}) = 0,13)
  5. (P( ext{M UND R}) = 0,43)
  6. (P( ext{F UND L}) = 0,04)
  7. (P( ext{M ODER F}) = 1)
  8. (P( ext{M ODER R}) = 0,96)
  9. (P( ext{F ODER L}) = 0,57)
  10. (P( ext{M'}) = 0,48)
  11. (P( ext{R|M}) = 0,8269) (auf vier Nachkommastellen gerundet)
  12. (P( ext{F|L}) = 0,3077) (auf vier Nachkommastellen gerundet)
  13. (P( ext{L|F}) = 0,0833)

Kapitelrückblick

In diesem Modul haben wir die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit kennengelernt. Ereignisse sind Teilmengen des Stichprobenraums und ihnen wird eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen, die eine Zahl zwischen null und einschließlich eins ist.

Formel-Überprüfung

( ext{A}) und ( ext{B}) sind Ereignisse

(P( ext{S}) = 1) wobei ( ext{S}) der Probenraum ist

(0 leq P( ext{A}) leq 1)

(P( ext{A|B}) = frac{ ext{P(A UND B)}}{ ext{P(B)}})

Glossar

Bedingte Wahrscheinlichkeit
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, da bereits ein anderes Ereignis eingetreten ist
Ebenso wahrscheinlich
Jedes Ergebnis eines Experiments hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Veranstaltung
eine Teilmenge der Menge aller Ergebnisse eines Experiments; die Menge aller Ergebnisse eines Experiments heißt a Probenraum und wird normalerweise mit (S) bezeichnet. Ein Ereignis ist eine beliebige Teilmenge in (S). Es kann ein Ergebnis, zwei Ergebnisse, keine Ergebnisse (leere Teilmenge), den gesamten Probenraum und dergleichen enthalten. Standardnotationen für Ereignisse sind Großbuchstaben wie (A, B, C) usw.
Experiment
eine geplante Aktivität, die unter kontrollierten Bedingungen durchgeführt wird
Ergebnis
ein bestimmtes Ergebnis eines Experiments
Wahrscheinlichkeit
eine Zahl zwischen null und eins (einschließlich), die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt; die Grundlage der Statistik sind die folgenden 3 Axiome (von A.N. Kolmogorov, 1930er Jahre): Sei (S) den Probenraum und (A) und (B) seien zwei Ereignisse in events S. Dann:
  • (0 leq P( ext{A}) leq 1)
  • Wenn ( ext{A}) und ( ext{B}) beliebige zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, dann gilt ( ext{P}( ext{A ODER B}) = P( ext{ A}) + P( ext{B})).
  • (P( ext{S}) = 1)
Probenraum
die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments
Das UND-Event
Ein Ergebnis liegt im Ereignis ( ext{A UND B}) vor, wenn das Ergebnis gleichzeitig in ( ext{A UND B}) liegt.
Das ergänzende Event
Das Komplement des Ereignisses ( ext{A}) besteht aus allen Ergebnissen, die NICHT in ( ext{A}) liegen.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von EIN GEGEBEN B
(P( ext{A|B})) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis ( ext{A}) eintritt, wenn das Ereignis ( ext{B}) bereits eingetreten ist.
Das Oder-Ereignis
Ein Ergebnis liegt im Ereignis ( ext{A ODER B}) vor, wenn das Ergebnis in ( ext{A}) oder in ( ext{B}) liegt oder in beiden ( text{A}) und ( ext{B}).

Übung 3.2.2

In einer bestimmten College-Klasse gibt es männliche und weibliche Studenten. Manche Schüler haben langes Haar und manche Schüler haben kurzes Haar. Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse für die Teile a bis j. (Beachten Sie, dass Sie hier keine numerischen Antworten finden können. Sie haben noch nicht genügend Informationen erhalten, um Wahrscheinlichkeitswerte zu finden; konzentrieren Sie sich auf das Verständnis der Symbole.)

  • Sei ( ext{F}) das Ereignis, dass eine Studentin weiblich ist.
  • Sei ( ext{M}) das Ereignis, dass ein Schüler männlich ist.
  • Sei ( ext{S}) das Ereignis, dass ein Schüler kurze Haare hat.
  • Sei ( ext{L}) das Ereignis, dass ein Schüler lange Haare hat.
  1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler keine langen Haare hat.
  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler männlich ist oder kurze Haare hat.
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student weiblich ist und lange Haare hat.
  4. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler männlich ist, vorausgesetzt, der Schüler hat lange Haare.
  5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler lange Haare hat, vorausgesetzt, der Schüler ist männlich.
  6. Von allen Studentinnen die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin kurze Haare hat.
  7. Von allen Studenten mit langen Haaren ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin weiblich ist.
  8. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student weiblich ist oder lange Haare hat.
  9. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Student ein männlicher Student mit kurzen Haaren ist.
  10. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Studentin weiblich ist.

Antworten

  1. (P( ext{L′)} = P( ext{S}))
  2. (P( ext{M ODER S}))
  3. (P( ext{F UND L}))
  4. (P( ext{M|L}))
  5. (P( ext{L|M}))
  6. (P( ext{S|F}))
  7. (P( ext{F|L}))
  8. (P( ext{F ODER L}))
  9. (P( ext{M UND S}))
  10. (P( ext{F}))

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten vier Übungen zu beantworten. Eine Kiste ist mit mehreren Partyartikeln gefüllt. Es enthält 12 Hüte, 15 Krachmacher, zehn Fingerfallen und fünf Tüten Konfetti.

Sei (H =) das Ereignis, einen Hut zu bekommen.

Sei (N =) das Ereignis, einen Krachmacher zu bekommen.

Sei (F =) das Ereignis, eine Fingerfalle zu bekommen.

Sei (C =) das Ereignis, eine Tüte Konfetti zu bekommen.

Übung 3.2.3

Finden Sie (P( ext{H})).

Übung 3.2.4

Finden Sie (P( ext{N})).

Antworten

(P( ext{N}) = frac{15}{42} = frac{5}{14} = 0,36)

Übung 3.2.5

Finden Sie (P( ext{F})).

Übung 3.2.6

Finden Sie (P( ext{C})).

Antworten

(P( ext{C}) = frac{5}{42} = 0,12)

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten sechs Übungen zu beantworten. Ein Glas mit 150 Jelly Beans enthält 22 rote Jelly Beans, 38 gelbe, 20 grüne, 28 violette, 26 blaue und der Rest ist orange.

Sei (B =) das Ereignis, eine blaue Jelly Bean zu bekommen

Sei (G =) das Ereignis, eine grüne Jelly Bean zu bekommen.

Sei (O =) das Ereignis, eine orangefarbene Jelly Bean zu bekommen.

Sei (P =) das Ereignis, eine lila Jelly Bean zu bekommen.

Sei (R =) das Ereignis, eine rote Jelly Bean zu bekommen.

Sei (Y =) das Ereignis, eine gelbe Jelly Bean zu bekommen.

Aufgabe 3.2.7

Finden Sie (P( ext{B})).

Übung 3.2.8

Finden Sie (P( ext{G})).

Antworten

(P( ext{G}) = frac{20}{150} = frac{2}{15} = 0,13)

Übung 3.2.9

Finden Sie (P( ext{P})).

Aufgabe 3.2.10

Finden Sie (P( ext{R})).

Antworten

(P( ext{R}) = frac{22}{150} = frac{11}{75} = 0,15)

Aufgabe 3.2.11

Finden Sie (P( ext{Y})).

Übung 3.2.12

Finden Sie (P( ext{O})).

Antworten

(P(Text{O}) = frac{150-22-38-20-28-26}{150} = frac{16}{150} = frac{8}{75} = 0,11)

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten sechs Übungen zu beantworten. Es gibt 23 Länder in Nordamerika, 12 Länder in Südamerika, 47 Länder in Europa, 44 Länder in Asien, 54 Länder in Afrika und 14 in Ozeanien (Pazifik-Region).

Sei ( ext{A} =) das Ereignis, dass ein Land in Asien liegt.

Sei ( ext{E} =) das Ereignis, dass ein Land in Europa liegt.

Sei ( ext{F} =) das Ereignis, dass sich ein Land in Afrika befindet.

Sei ( ext{N} =) das Ereignis, dass ein Land in Nordamerika liegt.

Sei ( ext{O} =) das Ereignis, dass ein Land in Ozeanien liegt.

Sei ( ext{S} =) das Ereignis, dass ein Land in Südamerika liegt.

Übung 3.2.13

Finden Sie (P( ext{A})).

Übung 3.2.14

Finden Sie (P( ext{E})).

Antworten

(P( ext{E}) = frac{47}{194} = 0,24)

Übung 3.2.15

Finden Sie (P( ext{F})).

Übung 3.2.16

Finden Sie (P( ext{N})).

Antworten

(P( ext{N}) = frac{23}{194} = 0,12)

Übung 3.2.17

Finden Sie (P( ext{O})).

Übung 3.2.18

Finden Sie (P( ext{S})).

Antworten

(P( ext{S}) = frac{12}{194} = frac{6}{97} = 0,06)

Übung 3.2.19

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Standarddeck mit 52 Karten eine rote Karte zu ziehen?

Übung 3.2.20

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Standarddeck mit 52 Karten einen Schläger zu ziehen?

Antworten

(frac{13}{52} = frac{1}{4} = 0,25)

Aufgabe 3.2.21

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen, sechsseitigen Würfel von eins bis sechs eine gerade Anzahl von Punkten zu würfeln?

Übung 3.2.22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen sechsseitigen Würfel von eins bis sechs eine Primzahl von Punkten zu würfeln?

Antworten

(frac{3}{6} = frac{1}{2} = 0,5)

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten beiden Übungen zu beantworten. Sie sehen ein Spiel auf einem lokalen Jahrmarkt. Sie müssen einen Pfeil auf einen Farbkreis werfen. Jeder Abschnitt auf dem Farbkreis ist flächengleich.

Abbildung 3.2.1.

Sei ( ext{B} =) das Ereignis der Landung auf Blau.

Sei ( ext{R} =) das Ereignis der Landung auf Rot.

Sei ( ext{G} =) das Ereignis der Landung auf Grün.

Sei ( ext{Y} =) das Ereignis der Landung auf Gelb.

Übung 3.2.23

Wenn Sie auf ( ext{Y}) landen, erhalten Sie den größten Preis. Finden Sie (P( ext{Y})).

Übung 3.2.24

Wenn Sie auf Rot landen, erhalten Sie keinen Preis. Was ist (P( ext{R}))?

Antworten

( ext{P}(R) = frac{4}{8} = 0,5)

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten zehn Übungen zu beantworten. In einem Baseballteam gibt es Infielder und Outfielder. Einige Spieler sind großartige Schläger und einige Spieler sind keine großartigen Schläger.

Sei ( ext{I} =) das Ereignis, dass ein Spieler in einem Infielder.

Sei ( ext{O} =) das Ereignis, dass ein Spieler ein Feldspieler ist.

Sei ( ext{H} =) das Ereignis, dass ein Spieler ein Great Hitter ist.

Sei ( ext{N} =) das Ereignis, dass ein Spieler kein Great Hitter ist.

Übung 3.2.25

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler kein Feldspieler ist.

Übung 3.2.26

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit auf, dass ein Spieler ein Outfielder oder ein Great Hitter ist.

Antworten

(P( ext{O ODER H}))

Übung 3.2.27

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit auf, dass ein Spieler ein Infielder und kein Great Hitter ist.

Übung 3.2.28

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit auf, dass ein Spieler ein Great Hitter ist, vorausgesetzt, der Spieler ist ein Infielder.

Antworten

(P( ext{H|I}))

Übung 3.2.29

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit auf, dass ein Spieler ein Infielder ist, vorausgesetzt, der Spieler ist ein großartiger Schlagmann.

Übung 3.2.30

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit auf, dass von allen Outfieldern ein Spieler kein großer Schlagmann ist.

Antworten

(P( ext{N|O}))

Übung 3.2.31

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit auf, dass ein Spieler von allen großen Schlägern ein Außenfeldspieler ist.

Übung 3.2.32

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit auf, dass ein Spieler ein Infielder oder kein Great Hitter ist.

Antworten

(P( ext{I ODER N}))

Übung 3.2.33

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit auf, dass ein Spieler ein Outfielder und ein großartiger Hitter ist.

Übung 3.2.34

Schreiben Sie die Symbole für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler ein Infielder ist.

Antworten

(P( ext{I}))

Übung 3.2.35

Wie lautet das Wort für die Menge aller möglichen Ergebnisse?

Übung 3.2.36

Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?

Antworten

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, wenn bereits ein anderes Ereignis eingetreten ist.

Übung 3.2.37

Ein Regal fasst 12 Bücher. Acht sind Fiktion und der Rest sind Sachbücher. Jedes ist ein anderes Buch mit einem einzigartigen Titel. Die Belletristikbücher sind von eins bis acht nummeriert. Die Sachbücher sind von eins bis vier nummeriert. Wähle zufällig ein Buch aus

Sei ( ext{F} =) Ereignis, dass Buch Fiktion ist

Sei ( ext{N} =) Ereignis, dass Buch Sachliteratur ist

Was ist der Probenraum?

Übung 3.2.38

Wie groß ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Komplements?

Antworten

1

Verwenden Sie die folgenden Informationen, um die nächsten beiden Übungen zu beantworten. Sie würfeln einen fairen, sechsseitigen Zahlenwürfel. Sei ( ext{E} =) das Ereignis, dass es auf einer geraden Zahl landet. Sei ( ext{M} =) das Ereignis, dass es auf einem Vielfachen von drei landet.

Übung 3.2.39

Was bedeutet (P( ext{E|M})) in Worten?

Übung 3.2.40

Was bedeutet (P( ext{E ODER M})) in Worten?

Antworten

die Wahrscheinlichkeit, auf einer geraden Zahl oder einem Vielfachen von drei zu landen


Ken Wards Mathematikseiten

Eine Reihe ist eine Reihe von Zahlen wie:
1+2+3
was eine Summe hat. Eine Reihe wird manchmal als Progression bezeichnet, wie in "Arithmetic Progression".

Eine Folge hingegen ist eine Menge von Zahlen wie:
2,1,3
wobei die Reihenfolge der Zahlen wichtig ist. Eine andere Reihenfolge als oben ist:
1, 2, 3
Eine Serie wie:
1+2+3.
hat die gleiche Summe wie:
2+1+3
aber die Zahlen sind in einer anderen Reihenfolge.


20 gängigste mathematische Begriffe und Symbole auf Englisch

Im Folgenden finden Sie eine Zusammenfassung der unten diskutierten gebräuchlichen mathematischen Symbole, zusammen mit den englischen Wörtern, die zu ihrer Beschreibung verwendet werden.

Mathe kann in deiner eigenen Sprache schon frustrierend genug sein. Aber wenn Sie eine neue Sprache lernen, werden Sie vielleicht feststellen, dass Sie nicht nur Zahlen, sondern auch viele der in der Welt der Mathematik verwendeten Begriffe neu lernen müssen.

Zum Beispiel könnte es für Sie schwierig sein, ein Trinkgeld in einem Restaurant für Ihren englischsprachigen Freund laut zu berechnen, aber so etwas kann auf jeden Fall nützlich sein. Um zu helfen, hier sind eine Reihe von Begriffen (und Beispielgleichungen), die Englischsprachige verwenden, wenn sie ihr Gehirn mit Zahlen und Gleichungen durcheinander bringen.

Zusatz

6 + 4 = 12
Sechs plus vier ergibt zwölf.

Diese Art der Berechnung heißt Zusatz , das ist, wenn Sie zwei oder mehr Zahlen zusammenzählen. Wenn wir die Gleichung laut aussprechen, verwenden wir das w oder d „plus“ und das „+“-Symbol heißt a Pluszeichen . Das Ergebnis einer Additionsgleichung heißt a Summe .

Gleichung

Normalerweise sagen wir diesen einen Ausdruck gleich ein anderes, und das „=“-Symbol heißt passenderweise an Gleichheitszeichen . Obwohl es im Englischen ziemlich üblich ist, das Wort „equals“ zu sagen, ist es auch in Ordnung, den Singular „is“ zu verwenden. Zum Beispiel zwei plus drei ist fünf. Jede mathematische Aussage, die ein Gleichheitszeichen enthält, heißt an Gleichung .

Ungleichheitszeichen

6 + 4 ≠ 13
Sechs plus vier ist nicht gleich dreizehn.

Das „≠“-Symbol heißt a Ungleichheitszeichen , und wir sagen, dass ein Ausdruck ist Nicht gleichzusetzen mit Ein weiterer.

Subtraktion

15 – 8 = 7
Fünfzehn minus acht ist sieben.

Diese Art der Berechnung heißt Subtraktion , das ist, wenn du subtrahieren eine Zahl von der anderen, um einen Unterschied zu erhalten. Wenn wir die Gleichung laut aussprechen, verwenden wir das Wort „minus“ und das „-“-Symbol heißt – Sie haben es erraten – a Minuszeichen . Das Wort „Minus“ wird jedoch nicht verwendet, wenn negative Zahlen beschrieben werden (im Gegensatz zu positiven Zahlen). Drei minus vier ist beispielsweise nicht „minus eins“, sondern „ Negativ eins."

Plus minus unterzeichnen

4 ± 3 = 1 oder 7
Vier plus oder minus drei gleich eins oder sieben.

Das „±“-Symbol heißt Plus minus unterzeichnen , und wenn wir in einer Gleichung verwendet werden, sagen wir, dass eine Zahl Plus oder minus ein anderer ergibt zwei mögliche Summen.

Multiplikation

5 × 2 = 10
Fünf mal zwei gleich zehn.
Fünf multipliziert mit zwei ergibt zehn.

Jetzt sind wir dran Multiplikation , und es gibt zwei Möglichkeiten, eine solche Berechnung zu rezitieren. Eine Möglichkeit ist zu sagen, dass eine Zahl mal eine andere zu einem Produkt führt. Die andere Möglichkeit besteht darin, den logischen Begriff „ multipliziert mit .“ Das „ד-Symbol gilt als das Multiplikationszeichen , Sie können aber auch einen Punkt (⋅) oder ein Sternchen (∗) verwenden.

Einteilung

21 ÷ 7 = 3
Einundzwanzig geteilt durch sieben ergibt drei.

Beim Umgang mit Einteilung , wir sagen, dass eine Zahl ist geteilt durch eine andere nummer um a zu bekommen Quotient . Wir nennen das „÷“-Symbol a Divisionszeichen , aber es ist auch üblich, einen Schrägstrich (/) zu verwenden, ein Symbol, das auch für Brüche verwendet wird. Enthält eine Antwort einen Rest, dann sagen Sie einfach „ Rest “ wo das „r“ ist. Zum Beispiel wäre 22 ÷ 7 = 3r1 „zweiundzwanzig geteilt durch sieben gleich drei Rest eins“.

Ungleichheit

18.5 > 18
Achtzehn Komma fünf ist größer als achtzehn.

Diese Art von Gleichung heißt an Ungleichheit , und es wird normalerweise von links nach rechts gelesen. Logischerweise wird das „>“-Symbol als „ Größer-als-Zeichen “ und das „<“-Symbol heißt „ Kleiner-als-Zeichen .“ Sie können auch die Symbole „≥“ oder „≤“ verwenden, wenn eine Zahl, normalerweise eine Variable, größer als oder gleich wie eine andere Nummer, oder Gleich oder kleiner als es.

Dezimal

18.5 gilt als a Dezimal , und die Periode, die zum Schreiben dieser Zahl verwendet wird, heißt a Komma .

Wenn es laut ausgesprochen wird, verwenden wir normalerweise das Wort „Punkt“, gefolgt von einer Reihe einzelner Zahlen. Zum Beispiel würde 3,141 „drei Komma eins vier eins“ ausgesprochen. Bei einfacheren Zahlen ist es jedoch üblich, einen Bruch wie „fünf Zehntel“ zu verwenden. Keine Sorge, das wird als nächstes behandelt.

Geld wird tendenziell etwas anders rezitiert. Wenn zum Beispiel etwas 5,75 US-Dollar kostet, würdest du nicht „fünf Komma sieben fünf Dollar“ sagen. Stattdessen würden Sie „fünf Dollar und fünfundsiebzig Cent“ oder einfach „fünf fünfundsiebzig“ sagen.

Annäherung

≈ 3.14
Pi ist ungefähr gleich 3,14

Diese Art von Gleichung heißt an Annäherung , wobei ein Wert ist ungefähr gleich ein anderer Wert. Das „≈“-Symbol heißt an Fast-Gleich-Zeichen.

Die Bereiche Mathematik und Naturwissenschaften neigen dazu, viele Buchstaben aus dem griechischen Alphabet als gebräuchliche Symbole zu übernehmen, und Englisch neigt dazu, die Aussprache dieser Buchstaben zu verändern. Zum Beispiel wird der Buchstabe π nicht wie üblich /pi/ ausgesprochen, sondern eher als /paj/, wie das Wort „Kuchen“.

Seien Sie vorsichtig, wenn Sie griechische Buchstaben auf Englisch aussprechen, da dies oft nicht dasselbe ist.

Verhältnis (Zähler, Nenner)

1 ÷ 3 = ⅓
Eins geteilt durch drei ergibt ein Drittel.

In einem Bruch heißt die oberste Zahl Zähler und die unterste Zahl heißt die Nenner . Wenn wir Brüche laut aussprechen, behandeln wir den Nenner normalerweise wie eine Ordnungszahl. Das bedeutet, dass ⅓ „eine drittel“ ausgesprochen wird, ¼ „eine vierte“ ausgesprochen wird usw. Eine Ausnahme ist ½, die normalerweise „a .“ genannt wird Hälfte “, nicht „eine Sekunde“. In ähnlicher Weise kann ¼ als „a Quartal “ sowie eine vierte, aber das sind die einzigen Unregelmäßigkeiten.

Bei all diesen Brüchen ist es akzeptabel, das Wort „eins“ anstelle von „a“ zu verwenden, sodass ½ sowohl „eine Hälfte“ als auch „eine Hälfte“ genannt werden kann. Und wenn der Zähler eine Zahl größer als eins ist, sagen Sie diese Zahl einfach laut. ¾ wäre „drei Viertel“, ⅖ wäre „zwei Fünftel“ usw. Beachten Sie die Verwendung eines Bindestrichs beim Schreiben des Bruchs.

Bei jedem Bruch ist es auch möglich, einfach zu sagen, dass eine Zahl „über“ einer anderen liegt. Während ⅖ „zwei Fünftel“ ausgesprochen werden kann, ist es auch völlig in Ordnung, „zwei über fünf“ zu sagen. Tatsächlich beim Umgang mit Variablen (Buchstaben, die Zahlen darstellen), ist es eigentlich die einzige bequeme Art, es zu sagen. Zum Beispiel würde x/y als „x über y“ gesagt, während niemand jemals „x-yth“ sagen würde.

Unechter Bruch

2 ÷ 3 = 1½
Zwei geteilt durch drei ergibt eineinhalb.

Ein unechter Bruch ist eine Kombination aus einer ganzen Zahl ( ganze Zahl ) und einen Bruch und beinhaltet die Verwendung des Wortes „und“. 1½ wäre also eins und eine Hälfte, 2¾ wäre zwei und Dreiviertel usw. Wie bereits erwähnt, können Dezimalzahlen gelegentlich als unechter Bruch angegeben werden. Während es normal ist, 0,7 als „Null Komma sieben“ oder „Komma sieben“ auszusprechen, kann man es auch als „sieben Zehntel“ sagen, da es technisch gleich 7/10 ist. In ähnlicher Weise kann 0,75 als „fünfundsiebzig Hundertstel“ bezeichnet werden.

Diese Methode zum Lesen von Dezimalzahlen kann jedoch umständlich und verwirrend werden, und daher ist es viel üblicher und bequemer, bei der „Punkt“-Methode zu bleiben.

Prozentsatz

20 × 40% = 8
Zwanzig mal vierzig Prozent sind gleich acht.
Vierzig Prozent von zwanzig sind acht.

Das Prozentzeichen (%) wird verwendet, um a . anzugeben Prozentsatz . Beim Ablesen eines Prozentsatzes sagen Sie einfach die Zahl und das Wort „ Prozent “ danach würden 50 % als „fünfzig Prozent“ gelesen. Wenn Sie etwas berechnen, das einen Prozentsatz beinhaltet, können Sie ihn einfach als Standard-Multiplikationsgleichung aussprechen oder sagen, dass ein bestimmter Prozentsatz einer anderen Zahl ein Produkt ergibt.

In der Informatik hat das Prozentzeichen tendenziell eine andere Funktion und wird eigentlich als Modulo-Operator , die als Divisionsberechnung fungiert, aber nur den Rest ausgibt. Wo das Prozentzeichen steht, würden Sie sagen: modulo " oder " mod “ kurz. 15 % 6 == 3 wäre zum Beispiel „fünfzehn mod sechs gleich drei“ (ein doppeltes Prozentzeichen wird normalerweise in Computersprachen verwendet, aber es wird genauso gelesen).

Exponentiell

3 3 = 27
Drei gewürfelt gleich siebenundzwanzig.
Drei hoch drei ergibt siebenundzwanzig.
Drei hoch drei gleich siebenundzwanzig.

Ein Exponent is when you take a number and multiply it by itself a certain number of times, an operation called exponentiation . In other words, you take one number to the power von another number. This is the easiest way to read an exponent out loud, since it works easily with decimals and fractions (“four to the seven point five,” “three to the four-fifths,” etc.).

However, it is also common to use an ordinal number when reading aloud an exponent. For example, x 3 reads “x to the third,” x 4 reads “x to the fourth,” etc. Note that this is different from saying “x-thirds” or “x-fourths,” which would turn the number into a fraction.

It is not common to say x 2 as “x to the second.” Instead, the convention is to say “x squared,” which relates to concepts of geometry. Similarly, it is common to say x 3 as “x cubed.”

However, there is no equivalent for x 4 and numbers beyond that. “Squared” and “cubed” are also used when talking about units of length in two or three dimensions. For example, 5 ft 2 would be read as “five feet squared,” and 50 km 3 would be read as “fifty kilometers cubed.

Square root

√16 = 4
The square root of sixteen is four.

The result of this equation is called a Quadratwurzel , and the “√” symbol is called a radical sign (“radical” literally means “root”). It is typical to state that the square root of one number equals another number.

A square root is essentially a number to the power of a half. In other words, √16 is the same as 16 1/2 . However, if the number is to the power of a different fraction, say ⅓, then the root becomes a cube root , written as 3 √16.

For this, you can say “the cube root of sixteen,” but you can also say “sixteen root three.” Similarly, 4 √16 would be “sixteen root four,” etc.

Imaginary number

√(–4) = 2i
The square root of negative four is two i.

Ein imaginary number is the result of taking the square root of a negative number. When reading an imaginary number aloud, simply pronounce the letter “i” as it is. 2i is pronounced “two i,” 3i is “three i,” etc.

Logarithm

log28 = 3
Log base two of eight equals three.

EIN Logarithmus is basically an inverse of an exponential equation, and though it seems complicated, reading one may actually be easier and more consistent.

In the case of log28, since the “2” is considered to be the base of the logarithm, you would say that log base two of eight equals three. An expression containing “ln” is called a natural log . For example, lnx would be stated as “the natural log of x.”

12m / 4s = 3m/s
Twelve meters divided by four seconds equals three meters per second.

  • This class will meet five times per (Five times a week)
  • I usually assist ten customers per (Ten customers every shift)

Infinity

0 < x < ∞
X is greater than zero and less than infinity.

Infinity (∞) is an abstraction of the largest number imaginable, the opposite of which is negative infinity (–∞). The “∞” symbol is called the infinity symbol , sometimes called a lemniscate because of its figure-eight shape. Notice that it’s different from the word “infinite,” which is an adjective that describes something that is endless or limitless.

Factorial

EIN factorial is represented by an exclamation point, and you simply say the word “factorial” after the number. Things don’t get much easier…

Equation of those number

5 x (4 + 3) = 35
Five times the quantity of four plus three equals thirty-five.

Saying equations out loud can get a bit tricky when there are parentheses involved.

One method is to take short pauses before saying numbers grouped in parentheses. But a more effective way would be to call them the quantity of those numbers, almost as if you’re making a calculation within a calculation, which is essentially what you’re doing.

This phrase also comes in handy when you’re dealing with complex fractions. For example, an easy way to say x / (y + z) would be “x over the quantity of y plus z.”


Courses and Curriculum

MATH-ACM students may double count 15 credits (5 courses) of 500 level courses toward both the B.S./A.B. in Mathematics and M.S. in Applied and Computational Mathematics degrees. The courses double counted must be elected at the 500 level and include:

  • Math 551 (Advanced Calculus), Math 562 (Math Modeling), and either Math 572 (Numerical Analysis) or Math 573 (Matrix Computations). This satisfies part of both the Analysis/Algebra option and the Applied Courses for the B.S. and all of the Core requirements for the M.S. degree.
  • Und either Option I, II or III:

Two additional electives that satisfy both the B.S. degree electives and the Modeling Specialization requirements of the M.S. degree. Choices include: Math 504, Math 520, Math 525, Math 554, Math 558, Math 523, Math 514, Math 516.

Two courses that satisfy the cognate option for the B.S. degree. Choices include: Stat 530, Stat 535, Stat 545, Stat 560, or select courses at the graduate level from CIS, ECE, ECON, IMSE, ME, PHYS and others.

One course from Option I and one course from the Option II.

A student may not receive credit for both a 400 and 500 level equivalent courses (for example, both Math 455 and Math 555).


Checked Indexed Accesses ( --noUncheckedIndexedAccess )

TypeScript has a feature called index signatures. These signatures are a way to signal to the type system that users can access arbitrarily-named properties.

In the above example, Options has an index signature that says any accessed property that’s not already listed should have the type string | number . This is often convenient for optimistic code that assumes you know what you’re doing, but the truth is that most values in JavaScript do not support every potential property name. Most types will not, for example, have a value for a property key created by Math.random() like in the previous example. For many users, this behavior was undesirable, and felt like it wasn’t leveraging the full strict-checking of --strictNullChecks .

That’s why TypeScript 4.1 ships with a new flag called --noUncheckedIndexedAccess . Under this new mode, every property access (like foo.bar ) or indexed access (like foo["bar"] ) that ends up resolving to an index signature is considered potentially undefined. That means that in our last example, opts.yadda will have the type string | number | undefined as opposed to just string | number . If you need to access that property, you’ll either have to check for its existence first or use a non-null assertion operator (the postfix ! character).

One consequence of using --noUncheckedIndexedAccess is that indexing into an array is also more strictly checked, even in a bounds-checked loop.

If you don’t need the indexes, you can iterate over individual elements by using a for – of loop or a forEach call.

This flag can be handy for catching out-of-bounds errors, but it might be noisy for a lot of code, so it is not automatically enabled by the --strict flag however, if this feature is interesting to you, you should feel free to try it and determine whether it makes sense for your team’s codebase!


English for Maths

Maths students of English 2 will not sit June 2021 exams. Instead, they will be evaluated by making an oral presentation through Webex – with cameras on – on a science-oriented topic. (You may choose from a wide range of areas of interest. Your topic should be relevant to your School of Technology & Engineering, while it can be possibly combined with topics taken from schools of different sciences, or even arts, as well.) The presentation should strictly last 10 minutes. Your first 5 minutes should focus on the presentation of your topic. The last 5 minutes should be based on a brief oral commentary of all elements of academic language that you have used in an essay (without a word limit) written by you on the same topic (coherence and cohesion devices, types of sentences, features of academic writing, topic sentence, controlling idea, primary and secondary supports, conclusion, method of development, pattern, sentence structure and sentence style). These elements should be demonstrated on the screen (you decide on your highlighting system, i.e., using different colours, initial letters, notes etc.). Helpful guidelines and links with respect to a successful presentation are provided through the blog. Try to be fluent, communicative and confident. Never just read your written work. Show that you are familiar enough with your topic and linguistic analysis. You should also refer to your sources and bibliography while applying the strategies of summarizing and paraphrasing, thus avoiding plagiarism. Try to produce your own written texts. Copying somebody else’s original work will be considered a fail.On your presentation day you are required to submit an electronic copy of your work. Your mark will be based on your oral performance of content and language. Presentations will take place in the first two weeks after Easter vacations. As for the exact dates of your presentation you will be informed in one of these days. You will be sent the available days and times through google docs, so that you could sign up. Das same system will take place in September 2021 exams.

Maria Koutraki ([email protected] [email protected])


Common Core Math Vocabulary & Standards

The Math Common Core State Standards provide clear goals defining what students should understand and be able to do at every grade level. On every math page, there is a “standards overview table” summarizing the Common Core Standards’ math learning goals and skills for that grade and content area.

The Common Core State Standards for Mathematical Practice establish eight main math skills that K12 educators should develop in their students:

  • Verstehen Sie Probleme und versuchen Sie, sie zu lösen.
  • Vernunft abstrakt und quantitativ.
  • Konstruieren Sie tragfähige Argumente und kritisieren Sie die Argumentation anderer.
  • Modell mit Mathematik.
  • Setzen Sie geeignete Tools strategisch ein.
  • Achten Sie auf Präzision.
  • Struktur suchen und nutzen.
  • Achten Sie auf Regelmäßigkeit in wiederholten Überlegungen und drücken Sie diese aus.

Parts of an Expression

Algebraic expressions are combinations of variables , numbers, and at least one arithmetic operation.

For example, 2 x + 4 y &minus 9 is an algebraic expression.

Term: Each expression is made up of terms. A term can be a signed number, a variable, or a constant multiplied by a variable or variables.

Factor: Something which is multiplied by something else. A factor can be a number, variable, term, or a longer expression. For example, the expression 7 x ( y + 3 ) has three factors: 7 , x , and ( y + 3 ) .

Coefficient: The numerical factor of a multiplication expression that contains a variable. Consider the expression in the figure above, 2 x + 4 y &minus 9 . In the first term, 2 x , the coefficient is 2 : in the second term, 4 y , the coefficient is 4 .

Constant: A number that cannot change its value. In the expression 2 x + 4 y &minus 9 , the term 9 is a constant.

Like Terms: Terms that contain the same variables such as 2 m , 6 m or 3 x y and 7 x y . If an expression has more than one constant terms, those are also like terms.

Difference of a number and 7

Identify the terms, like terms, coefficients, and constants in the expression.

First, we can rewrite the subtractions as additions.

9 m &minus 5 n + 2 + m &minus 7 = 9 m + ( &minus 5 n ) + 2 + m + ( &minus 7 )

So, the Begriffe are 9 m , ( &minus 5 n ) , m , 2 , and ( &minus 7 ) .

Like terms are terms that contain the same variables.

9 m and 9 m are a pair of wie Begriffe . The constant terms 2 and &minus 7 are also like terms.

Coefficients are the numerical parts of a term that contains a variable.

So, here the Koeffizienten are 9 , ( &minus 5 ) , and 1 . ( 1 is the coefficient of the term m .)

Das Konstante terms are the terms with no variables, in this case 2 and &minus 7 .

Algebraic expressions must be written and interpreted carefully. The algebraic expression 5 ( x + 9 ) is nicht equivalent to the algebraic expression, 5 x + 9 .

See the difference between the two expressions in the table below.

In writing expressions for unknown quantities, we often use standard formulas. For example, the algebraic expression for "the distance if the rate is 50 miles per hour and the time is T hours" is D = 50 T (using the formula D = R T ).

An expression like x n is called a power. Here x is the base, and n is the exponent. The exponent is the number of times the base is used as a factor. The word phrase for this expression is " x to the n th power."


Schau das Video: T4 Latih diri No 1, 2, 3, 4. Bagaimana memudahkan ungkapan indeks? (September 2021).