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1: Mengentheorie


1: Mengentheorie

Mengenlehre (Logikstudien: Mathematische Logik und Grundlagen) Überarbeitete hrsg. Auflage

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1.1. Satznotation und einige einfache Sätze

Genau wie in der naiven Mengenlehre werden Mengen, deren Elemente bekannt sind, durch Auflisten der Elemente in geschweiften Klammern geschrieben, z. < 1, 2, 3 >, < Groucho, Chico, Harpo, Zeppo, Karl >. Die kleinste Menge ist die leeres Set, die Menge ohne Elemente. Dies kann entweder als < > oder mit dem Sonderzeichen ∅ (das eigentlich ein mutierter griechischer Buchstabe Phi ist) geschrieben werden. Eines der ZFC-Axiome besagt, dass ∅ existiert: Existenzaxiom ∃x ∀y y ∉ x.

Allein mit dem Extensionalitätsaxiom ist es möglich, dass überhaupt keine Mengen existieren, das Existenzaxiom gibt uns mindestens eine Menge (aber möglicherweise keine anderen).


1: Mengentheorie

Lesungen für Sitzung 1 – (Fortsetzung)

Sets und Eins-zu-Eins-Korrespondenz


Satz
: In der Mathematik nennen wir Sammlungen von Objekten Sätze.

In der nächsten Sitzung wird eine sorgfältiger formulierte Definition für eine Sammlung von Objekten als Menge gegeben. Auch die für Sets verwendete Notation Ihr Browser unterstützt keine Inline-Frames oder ist derzeit so konfiguriert, dass Inline-Frames nicht angezeigt werden. wird gegeben werden. Diese Notation wird in diesem Kurs verwendet und wird in anderen Mathematikkursen verwendet. Für diese Einführung reicht diese informelle Definition jedoch aus.

Beispiel: Die Insektensammlung auf der vorherigen Seite ist eine Reihe von Insekten.

Beispiel: Die Zahlensammlung, die die ersten zwölf Zählzahlen darstellt, ist die Menge <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12>.

Eins-zu-eins-Korrespondenz und Äquivalenz von Mengen: Wenn die Elemente zweier Mengen so gepaart werden können, dass jedes Element mit genau einem Element aus der anderen Menge gepaart ist, dann gibt es a Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen den beiden Sätzen. Die beiden Sätze heißen said Äquivalent .

Notation: Die Sätze EIN und B sind Äquivalent und wird bezeichnet als EIN

Beispiel: Aus dem vorherigen Beispiel würde das Kind sagen, dass es 12 Insekten gibt, da das Kind eine 1-1 Entsprechung mit der Menge <1, 2, 3, …, 12> und der Menge der Insekten erstellt hat.

Beispiel: Set anzeigen EIN = < a, b, c > und einstellen B = sind äquivalent, d. h. zeigen EIN


Die beiden Sätze sind äquivalent, da eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den beiden Sätzen hergestellt werden kann. Beachten Sie, dass EIN

Notiz: Gleich und gleichwertig bedeuten hier zweierlei. Gleiche Mengen sind äquivalent, aber äquivalente Mengen können nicht gleich sein. Dies wurde im obigen Beispiel veranschaulicht, wo EIN

B, aber EINB. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente haben, und Mengen sind äquivalent, wenn eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den beiden Mengen aufgebaut werden kann.
Wir haben eine enge Beziehung zwischen dem Konzept der Eins-zu-Eins-Korrespondenz und der Idee der Anzahl der Elemente in einer Menge gezeigt, die als Kardinalität einer Menge bezeichnet wird. (Siehe das Zählen der Insekten oben.) Diese Untersuchung hat uns zu den folgenden Definitionen geführt, die sich auf die Sets Ihres Browsers beziehen, der keine Inline-Frames unterstützt oder derzeit so konfiguriert ist, dass er keine Inline-Frames anzeigt. natürliche und ganze Zahlen zu Mengen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass diese Beziehung eng damit zusammenhängt, wie kleine Kinder das Zählen lernen.

Zahlensätze: Der Satz von natürliche Zahlen (oder Zahlen zählen) ist die Menge n = <1, 2, 3, …>.
Der Satz von ganze Zahlen ist der Satz W = <0, 1, 2, 3, …>.

Kardinalzahl eines Satzes : Die Anzahl der Elemente in einer Menge ist die Kardinalzahl dieses Satzes.

Notation: Wenn ein Satz EIN entspricht der Menge <1, 2, 3, …, n>, wir schreiben n(EIN) = n und sagen Sie "Die Kardinalzahl der Menge" EIN ist n.”
Ebenfalls, n(Ø) = 0. Die Kardinalzahl für eine leere Menge ist Null.

Beispiel: Beim Zählen der Insekten im obigen Beispiel haben wir eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge <1, 2, 3, …, 12> und der Menge der Insekten gezeigt, dh wir zeigten die Menge der Insekten und die <1, 2, 3, . 12> sind gleichwertig. Wir haben gezeigt, dass die beiden Sätze gleichwertig sind. Dies bedeutet, dass wir, nachdem wir die Insekten gezählt und gesagt haben, dass es zwölf Insekten gibt, gesagt haben, dass die Kardinalzahl für die Insektenmenge 12 ist.

Weitere Beispiele für die Kardinalzahlen für Sätze werden in der nächsten Sitzung gegeben.

Sie haben die Kardinalzahl Null, 0 wahrscheinlich viel später im Leben gelernt, lange nachdem Sie das Zählen gelernt haben. Dies gilt auch für die Geschichte der Menschheit. Die Kardinalzahl Null wurde viel später erfunden als alle natürlichen Zahlen.


IIT JEE Hauptmathematik 1. Mengentheorie und Beziehungen Kapitel 1 Mengentheorie Notizen PDF

Es gibt verschiedene Mathe 1. Mengentheorie und Relationen Kapitel 1 Mengentheorie Bücher für IIT JEE, die alle wichtigen Kapitel im Detail beschreiben. IIT JEE Mathematik 1. Mengenlehre und Beziehungen Kapitel 1 Mengenlehre ist nicht sehr schwierig, aber die Schüler sind darin nicht überragend, da ihre grundlegenden Grundlagen nicht klar sind. Mathematik 1. Mengenlehre und Beziehungen Kapitel 1 Die Mengenlehre ist eine Schöpfung des menschlichen Geistes, die die Denkfähigkeit des Menschen aufbaut. Es ist dieser Zweig, der die Logik hinter den Konzepten beschreibt. Mathematische Themen bilden die Grundlage sowohl für die Physik als auch für die Chemie.

JEE Advanced ist eine jährliche Aufnahmeprüfung für Ingenieure, die für die Zulassung zu den Indian Institutes of Technology in Indien durchgeführt wird. Es ist auch eine der härtesten Aufnahmeprüfungen für Ingenieure weltweit. Etwa 2,5 lakh Studenten werden vom JEE Main 2020 in die engere Wahl gezogen, um am 17. Mai für den JEE Advanced 2020 zu erscheinen.

Ernsthafte Schüler müssen idealerweise den Lehrplan für Mathematik 1. Mengenlehre und Beziehungen Kapitel 1 Mengenlehre bereits abgeschlossen haben. JEE Advanced Syllabus of Class 11 & 12 bietet etwa 45 % bzw. 55 % der JEE-Fragebögen. Bei der Vorbereitung aller Themen der Physik, Chemie und Mathematik 1. Mengenlehre und Relationen Kapitel 1 Mengenlehre können nach unseren bisherigen Erfahrungen insbesondere folgende Themen betont werden:

IIT JEE Hauptmathematik 1. Mengenlehre und Beziehungen Kapitel 1 Mengenlehre Lehrplan Kapitel Wise:

  • Quadratische Gleichungen und Ausdrücke
  • Vektoren und 3D-Geometrie
  • Hyperbel in Koordinatengeometriefunktionen
  • Grenzen
  • Komplexe Zahlen
  • Wahrscheinlichkeit
  • Matrizen im Algebrakreis
  • Parabel
  • Kontinuität und Differenzierbarkeit
  • Anwendung von Ableitungen und bestimmten Integralen in der Analysis

Tipps zum Knacken von IIT JEE Main 2020:

  • Bleiben Sie konzentriert und behalten Sie ein positives Vertrauen
  • Beziehen Sie sich auf die renommierten Scheintestreihen, um ein Prüfungstemperament aufzubauen. Beantworten Sie die IIT-JEE-Fragebögen des letzten Jahres. Konzentrieren Sie sich auf Ihren schwachen Teil und entwickeln Sie Ihre Konzepte weiter.
  • Das Üben von JEE-Level-Fragen ist wichtig, da es Ihre Denkfähigkeit und analytischen Fähigkeiten verbessert.
  • Übernehmen Sie keinen Stress. 5 bis 6 Stunden Schlaf jede Nacht sind ein Muss, insbesondere 3 bis 4 Tage vor der IIT JEE Prüfung, um Sie geistig und körperlich fit zu halten. Während kurze Nickerchen helfen können, die Frische wiederzuerlangen, vermeiden Sie es, tagsüber zu schlafen.
  • Seien Sie schließlich nicht nervös, wenn Ihnen das Papier schwer fällt, da die relative Leistung zählt. Setzen Sie Ihren besten analytischen Verstand ein und glauben Sie an Ihre Prüfungsvorbereitung.

Wir bieten etwas Einzigartiges, Nützliches und vor allem Spaß. Indem wir den Schülern ein Werkzeug zur Verfügung stellen, um sofortige Lösungen für ihre Zweifel zu finden, versuchen wir, jeden Schüler beim Üben und Erledigen seiner Hausaufgaben selbstständig zu machen


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Zuletzt aktualisiert am 27. Juni 2021


1 Satz, 20 Wiederholungen: Die seltsame Trainingsstrategie, die Ergebnisse liefert

Es gibt viele unbeantwortete Fragen im Bereich Kraft und Kondition.

Wo sollten unerfahrene Sportler mit Krafttraining anfangen? Wie sollten Sportler nach ihrer Wettkampfsaison trainieren?

Das 1吐-System von Dr. Michael Yessis, einem berühmten Leistungstrainer, der sich auf die Anpassung und Umsetzung von Trainingsmethoden aus der ehemaligen Sowjetunion spezialisiert hat, beleuchtet, was für diese Art von Sportlern eine fantastische Option sein könnte.

Nachdem ich das Buch von Dr. Yessis gelesen hatte, Das revolutionäre 1 x 20 RM Krafttrainingsprogramm, bin ich überzeugt, dass ein 1吐 Satz/Wiederholungsschema tatsächlich einige echte Vorteile in der Welt der sportlichen Leistung hat.

Ja, das bedeutet, dass Sie nur einen Satz einer bestimmten Übung ausführen, aber dieser Satz enthält 20 Wiederholungen. Die meisten Leute mit jeglicher Trainingserfahrung sind an 3吆, 5࡫ usw. gewöhnt, daher klingt die Idee eines 1吐-Workouts völlig lächerlich. Aber die Logik und die Ergebnisse sind solide. Lassen Sie uns einige wichtige Gründe durchgehen, warum ein 1吐 im Vergleich zu anderen, traditionelleren Wiederholungsschemata legitime Vorteile bieten könnte.

Der untrainierte Körper passt sich schneller an ein Training mit geringerer Intensität an und tut dies mit einem geringeren Verletzungsrisiko. Bei jungen Sportlern, die möglicherweise gerade erst mit dem Krafttraining beginnen, können übermäßiger Muskelkater und hohe Ermüdung (mögliche Verletzungsursachen) mit einem 1吐-Schema im Vergleich zu traditionelleren Satz-/Wiederholungsmethoden stark minimiert werden. Dies liegt sowohl an der geringeren Gesamtzahl der ausgeführten Wiederholungen als auch an der geringeren Belastung, die verwendet werden muss, um 20 ununterbrochene Wiederholungen zu erreichen. Dies bedeutet nicht, dass Sie ein Gewicht wählen möchten, mit dem Sie 40 Wiederholungen machen können. Sie möchten immer noch ein Gewicht wählen, das Sie als schwierig, aber handhabbar empfinden, um diese 20 Wiederholungen zu erreichen.

Dieses Training ermöglicht einen allmählichen Anstieg der Intensität, anstatt diese Athleten mit einem hochintensiven Training zu früh zu „schocken“. Für fortgeschrittenere Athleten, die gerade ihre Wettkampfsaison beenden, ermöglicht ein 1吐-Schema ihnen, ihren Körper wieder aufzubauen, ohne ihre Regeneration zu beeinträchtigen.

Aber kann es Ergebnisse bringen? Jawohl!

Für Sportler, die gerade erst mit einem Trainingsprogramm beginnen (oder nach einer langen Pause wieder mit einem Training beginnen), sind nicht mehrere Sätze erforderlich, um Anpassungen und Ergebnisse zu sehen. Immer wenn ein neues Trainings- oder Hebeprogramm gestartet wird, passt sich der Körper an sehr wenig Volumen an. Neuartige Reizsignalanpassungen mit wenig Training. Aus diesem Grund müssen junge Sportler und Sportler in der frühen Nebensaison nicht mehrere Übungssätze durchführen. Diese Gruppen werden sich anpassen und stärker werden mit nur ein Satz kurz vor dem Versagen.

Es können mehr Gesamtübungen verwaltet werden, da von jedem nur ein Satz ausgeführt wird. Dadurch kann der Sportler mehr Bewegungen und gemeinsame Aktionen abdecken. Dies ist besonders wichtig für Sportler, die gerade erst mit dem Krafttraining beginnen. Um die meisten grundlegenden menschlichen Bewegungen (Kniebeugen, Scharnier, horizontales/vertikales Drücken, horizontales/vertikales Ziehen, Rotation, Fortbewegung usw.) abzudecken, müssen viele verschiedene Übungen durchgeführt werden. Das 1吐-System ermöglicht es Sportlern, all diese Bewegungen in einer Sitzung auszuführen, da jede Übung nur ein oder zwei Minuten dauert.

1吐 beinhaltet einen hohen Blutfluss, der die Muskelausdauer erhöht und Bänder und Sehnen stärkt. Damit Sportler ein hochintensives Krafttraining durchführen können, sollte bereits eine Grundlage der muskulären Ausdauer vorhanden sein. Dies ermöglicht eine schnellere Entfernung von Muskelmetaboliten, sodass sich der arbeitende Muskel erholen kann. Für junge und frühe Offseason-Athleten ist diese Grundlage sowie eine Basis aus starken und dicken Sehnen und Bändern notwendig, um Verletzungen zu vermeiden und ein intensiveres Training zu bewältigen.

Die sportliche Entwicklung der Jugend und der Nebensaison braucht Zeit. Athleten sollten nicht einfach an Tag 1 in ein hochintensives Training einsteigen. Ein allmählicher Aufbau von Volumen und Intensität ermöglicht eine konsequente Anpassung mit minimalem Verletzungsrisiko. “Je schneller du an Kraft gewinnst, desto schneller wirst du sie verlieren. Je langsamer Sie an Kraft gewinnen, desto länger werden Sie sie behalten.” -Dr. Michael Yessis.


1: Mengentheorie

Das Projekt „Improving Mathematics Education in Schools“ (TIMES)

Zahlen und Algebra: Modul 1Jahre: 7-8

In allen möglichen Situationen klassifizieren wir Objekte in Mengen ähnlicher Objekte und zählen sie. Dieses Verfahren ist die grundlegendste Motivation, um die ganzen Zahlen zu lernen und zu lernen, wie man sie addiert und subtrahiert.

Solches Zählen wirft schnell Situationen auf, die auf den ersten Blick widersprüchlich erscheinen.

„Letzten Juni gab es 15 Windtage und 20 Regentage, aber 5 Tage waren weder windig noch regnerisch.“

Wie kann das sein, wenn der Juni nur 30 Tage hat? Ein Venn-Diagramm und die Sprache der Mengen können dies leicht klären.

Sei W die Menge der windigen Tage,
und R die Menge der Regentage sein.
Sei E die Menge der Tage im Juni.
Dann haben W und R zusammen die Größe 25, also
die Überlappung zwischen W und R beträgt 10. Das nebenstehende Venn-Diagramm zeigt die gesamte Situation.

Der Zweck dieses Moduls besteht darin, eine Sprache für das Sprechen über Mengen und eine Notation zum Darstellen von Berechnungen einzuführen, damit Zählprobleme wie diese aussortiert werden können. Das Venn-Diagramm macht die Situation leicht zu visualisieren.

Beschreiben und Benennen von Sets

Eine Menge ist nur eine Ansammlung von Objekten, aber wir brauchen einige neue Wörter und Symbole und Diagramme, um vernünftig über Mengen sprechen zu können.

In unserer gewöhnlichen Sprache versuchen wir, der Welt, in der wir leben, einen Sinn zu geben, indem wir Ansammlungen von Dingen klassifizieren. Englisch hat viele Wörter für solche Sammlungen. Wir sprechen zum Beispiel von „Vogelschwarm“, „Rinderherde“, „Bienenschwarm“ und „Ameisenkolonie“.

Ähnliches machen wir in der Mathematik und klassifizieren Zahlen, geometrische Figuren und andere Dinge in Sammlungen, die wir Mengen nennen. Die Objekte in diesen Mengen werden die Elemente der Menge genannt.

Eine Menge kann beschrieben werden, indem alle ihre Elemente aufgelistet werden. Beispielsweise,

S = < 1, 3, 5, 7, 9 >,

was wir lesen als ‘S ist die Menge, deren Elemente 1, 3, 5, 7 und 9 sind’. Die fünf Elemente der Menge werden durch Kommas getrennt und die Liste wird in geschweifte Klammern eingeschlossen.

Eine Menge kann auch beschrieben werden, indem eine Beschreibung ihrer Elemente in geschweifte Klammern geschrieben wird. Somit kann die obige Menge S auch geschrieben werden als

S = < ungerade ganze Zahlen kleiner als 10 >,

was wir als „S ist die Menge der ungeraden ganzen Zahlen kleiner als 10“ lesen.

Eine Menge muss gut definiert sein. Das bedeutet, dass unsere Beschreibung der Elemente einer Menge klar und eindeutig ist. Zum Beispiel ist kein Satz, weil die Leute dazu neigen, sich nicht darüber einig zu sein, was „groß“ bedeutet. Ein Beispiel für eine wohldefinierte Menge ist

T = < Buchstaben im englischen Alphabet >.

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente haben. So folgt der üblichen Konvention, dass „y“ kein Vokal ist,

< Vokale im englischen Alphabet >=

Andererseits sind die Mengen < 1, 3, 5 > und < 1, 2, 3 > nicht gleich, weil sie unterschiedliche Elemente haben. Dies ist geschrieben als

< 1, 3, 5 >&ne < 1, 2, 3 >.

Die Reihenfolge, in der die Elemente zwischen den geschweiften Klammern geschrieben werden, spielt keine Rolle. Beispielsweise,

< 1, 3, 5, 7, 9 >= < 3, 9, 7, 5, 1 >= < 5, 9, 1, 3, 7 >.

Wenn ein Element mehrfach aufgeführt ist, wird es nur einmal gezählt. Beispielsweise,

< a , a , b >= < a , b >.

Die Menge < a , a , b > hat nur die beiden Elemente a und b . Die zweite Erwähnung von a ist eine unnötige Wiederholung und kann ignoriert werden. Es wird normalerweise als schlechte Notation angesehen, ein Element mehr als einmal aufzulisten.

Die Ausdrücke „ist ein Element von“ und „ist kein Element von“ kommen in der Diskussion von Mengen so häufig vor, dass die Sonderzeichen &isin und ¬in dafür verwendet werden. Beispiel: A = < 3, 4, 5, 6 >, dann,

3 &isin A (Lesen Sie dies als ‚3 ist ein Element der Menge A‘.)

8 ¬in A (Lesen Sie dies als ‚8 ist kein Element der Menge A‘.)

Beschreiben und Benennen von Sets

  • Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden.
  • Eine Menge muss wohldefiniert sein, d.h. ihre Elemente können beschrieben werden und
    ohne Mehrdeutigkeit aufgelistet. Beispielsweise:
  • Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente haben.
  • Die Reihenfolge ist irrelevant.
  • Jede Wiederholung eines Elements wird ignoriert.
  • Wenn a ein Element einer Menge S ist, schreiben wir a &isin S .
  • Wenn b kein Element einer Menge S ist, schreiben wir b ¬in S .

a Geben Sie die Menge A an, indem Sie ihre Elemente auflisten, wobei
A = < ganze Zahlen kleiner als 100, teilbar durch 16 >.
b Geben Sie die Menge B an, indem Sie ihre Elemente schriftlich beschreiben, wobei
B = < 0, 1, 4, 9, 16, 25 >.
c Gibt der folgende Satz eine Menge an?
C = < ganze Zahlen nahe 50 >.

Alle Mengen, die wir bisher gesehen haben, waren endliche Mengen, was bedeutet, dass wir alle ihre Elemente auflisten können. Hier noch zwei Beispiele:

< ganze Zahlen zwischen 2000 und 2005 >=

< ganze Zahlen zwischen 2000 und 3000 >=

Die drei Punkte „…“ im zweiten Beispiel stehen für die anderen 995 Zahlen im Set. Wir hätten sie alle auflisten können, aber um Platz zu sparen, haben wir stattdessen Punkte verwendet. Diese Notation kann nur verwendet werden, wenn genau klar ist, was sie bedeutet, wie in dieser Situation.

Eine Menge kann auch unendlich sein, und es kommt nur darauf an, dass sie wohldefiniert ist. Hier sind zwei Beispiele für unendliche Mengen:

< gerade ganze Zahlen >=

< ganze Zahlen größer als 2000 >=

Diese beiden Mengen sind unendlich, denn egal wie viele Elemente wir auflisten, es gibt immer mehr Elemente in der Menge, die nicht auf unserer Liste stehen. Diesmal haben die Punkte „…“ eine etwas andere Bedeutung, denn sie stehen für unendlich viele Elemente, die wir unmöglich aufzählen konnten, egal wie lange wir es versuchten.

Die Anzahl der Elemente einer Menge

Wenn S eine endliche Menge ist, ist das Symbol | S | steht für die Anzahl der Elemente von S . Beispielsweise:

Wenn S = < 1, 3, 5, 7, 9 >, dann | S | = 5.

Wenn A = < 1001, 1002, 1003, …, 3000 >, dann | A | = 2000.

Wenn T = < Buchstaben im englischen Alphabet >, dann | T | = 26.

Die Menge S = < 5 >ist eine einelementige Menge, weil | S | = 1. Es ist wichtig, zwischen der Zahl 5 und der Menge S = < 5 > zu unterscheiden:

5 &isin S, aber 5 &ne S .

Das Symbol &leer steht für die leere Menge, also die Menge, die überhaupt keine Elemente hat. Nichts im ganzen Universum ist ein Element von &leer:

| &leer | = 0 und x ¬in &leer , egal was x sein mag.

Es gibt nur eine leere Menge, weil zwei beliebige leere Mengen genau die gleichen Elemente haben, also müssen sie einander gleich sein.

  • Eine Menge heißt endlich, wenn wir alle ihre Elemente auflisten können.
  • Eine unendliche Menge hat die Eigenschaft, dass egal wie viele Elemente wir auflisten,
    Es gibt immer mehr Elemente im Set, die nicht auf unserer Liste stehen.
  • Wenn S eine endliche Menge ist, ist das Symbol | S | steht für die Anzahl der Elemente von S .
  • Die Menge ohne Elemente wird als leere Menge bezeichnet und als &leer geschrieben.
    Also | &leer | = 0.
  • Eine einelementige Menge ist eine Menge wie S = < 5 >mit | S | = 1.

a Verwenden Sie Punkte, um jede Menge aufzulisten, und geben Sie an, ob sie endlich oder unendlich ist.
i B = < gerade Zahlen zwischen 10 000 und 20 000 >
ii A = < ganze Zahlen, die ein Vielfaches von 3 sind >
b Wenn die Menge S in jedem Teil endlich ist, schreibe | S |.
i S = < Primzahlen >
ii S = < gerade Primzahlen >
iii S = < gerade Primzahlen größer als 5 >
iv S = < ganze Zahlen kleiner als 100 >
c Sei F die Menge der Brüche in einfachster Form zwischen 0 und 1, die mit einem einstelligen Nenner geschrieben werden können. Finde F und | F |.

Teilmengen und Venn-Diagramme

Mengen von Dingen werden oft weiter unterteilt. Eulen sind zum Beispiel eine besondere Vogelart, also ist jede Eule auch ein Vogel. Wir drücken dies in der Sprache der Mengen aus, indem wir sagen, dass die Menge der Eulen eine Untermenge der Menge der Vögel ist.

Eine Menge S heißt Teilmenge einer anderen Menge T, wenn jedes Element von S ein Element von T ist. Dies ist geschrieben als

S &sube T (Lesen Sie dies als ‚S ist eine Teilmenge von T‘.)

Das neue Symbol &sube bedeutet „ist eine Untermenge von“. Also < Eulen >&sube < Vögel >weil jede Eule ein Vogel ist. Ähnlich,

wenn A = < 2, 4, 6 >und B = < 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 >, dann A &sube B ,

weil jedes Element von A ein Element von B ist.

Der Satz ‘ S ist keine Teilmenge von T’ wird geschrieben als

S T .

Dies bedeutet, dass mindestens ein Element von S kein Element von T ist. Beispielsweise,

< birds >

weil ein Strauß ein Vogel ist, aber er fliegt nicht. Ähnlich,

wenn A = < 0, 1, 2, 3, 4 >und B = < 2, 3, 4, 5, 6 >, dann A B,

Die Menge selbst und die leere Menge sind immer Teilmengen

Jede Menge S ist eine Teilmenge ihrer selbst, weil jedes Element von S ein Element von S ist. Beispielsweise:

< Vögel >&sube < Vögel >und < 1, 2, 3, 4, 5, 6 >= < 1, 2, 3, 4, 5, 6 >.

Außerdem ist die leere Menge &leer eine Teilmenge jeder Menge S , da jedes Element der leeren Menge ein Element von S ist, und es gibt überhaupt keine Elemente in &leer. Beispielsweise:

&leer &sube < Vögel >und &leer &sube < 1, 2, 3, 4, 5, 6 >.

Jedes Element der leeren Menge ist ein Vogel, und jedes Element der leeren Menge ist eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6.

Teilmengen und die Wörter „alle“ und „wenn … dann“

Eine Aussage über Teilmengen kann mit dem Wort „all“ als Satz umgeschrieben werden.
Beispielsweise,

„Alle Vielfachen von 4 sind gerade.“

„Nicht alle Rechtecke sind Rauten.“

Sie können auch mit den Worten „wenn … dann“ umgeschrieben werden. Beispielsweise,

< Eulen >&sube meint „Wenn eine Kreatur eine Eule ist, dann ist es ein Vogel.“
< Vielfaches von 4 >&sube meint „Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 4 ist, dann ist sie gerade“:
< Rechtecke >&sube meint „Wenn eine Figur ein Rechteck ist, dann darf sie kein Quadrat sein.“

Diagramme erleichtern die Mathematik, weil sie uns helfen, die ganze Situation auf einen Blick zu sehen. Der englische Mathematiker John Venn (1834&minus1923) begann, Diagramme zur Darstellung von Mengen zu verwenden. Seine Diagramme heißen jetzt Venn-Diagramme.

Bei den meisten Problemen mit Mengen ist es zweckmäßig, eine größere Menge zu wählen, die alle Elemente aller betrachteten Mengen enthält. Diese größere Menge wird als universelle Menge bezeichnet und normalerweise mit dem Symbol E versehen. In einem Venn-Diagramm wird die universelle Menge im Allgemeinen als großes Rechteck gezeichnet, und dann werden andere Mengen durch Kreise innerhalb dieses Rechtecks ​​dargestellt.

Zum Beispiel, wenn V = < Vokale >, könnten wir die universelle Menge als E = < Buchstaben des Alphabets > wählen und alle Buchstaben des Alphabets müssten dann irgendwo innerhalb des Rechtecks ​​platziert werden, wie unten gezeigt .

Im Venn-Diagramm unten ist die universelle Menge E = < 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 >, und jede dieser Zahlen wurde irgendwo innerhalb des Rechtecks ​​platziert .

Der Bereich innerhalb des Kreises stellt die Menge A der ungeraden ganzen Zahlen zwischen 0 und 10 dar. Daher platzieren wir die Zahlen 1, 3, 5, 7 und 9 innerhalb des Kreises, denn A = < 1, 3, 5, 7, 9 >. Außerhalb des Kreises platzieren wir die anderen Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 und 10, die in E, aber nicht in A stehen.

Darstellung von Teilmengen in einem Venn-Diagramm

Wenn wir wissen, dass S eine Teilmenge von T ist, platzieren wir den Kreis, der S repräsentiert, in den Kreis, der T repräsentiert. Seien beispielsweise S = < 0, 1, 2 > und T = < 0, 1, 2, 3, 4 >. Dann ist S eine Teilmenge von T , wie im Venn-Diagramm unten dargestellt.

Stellen Sie sicher, dass 5, 6, 7, 8, 9 und 10 außerhalb beider Kreise platziert sind>

Teilmengen und der Zahlenstrahl

Die ganzen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, 3,… Diese werden oft als „Zählzahlen“ bezeichnet, weil sie die Zahlen sind, die wir beim Zählen verwenden. Insbesondere haben wir diese Zahlen verwendet, um die Anzahl der Elemente endlicher Mengen zu zählen. Die Zahl Null ist die Anzahl der Elemente der leeren Menge.

Die Menge aller ganzen Zahlen kann durch Punkte auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.

Jede endliche Teilmenge von ganzen Zahlen kann auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Hier ist zum Beispiel die Menge < 0, 1, 4 >.

  • Wenn alle Elemente einer Menge S Elemente einer anderen Menge T sind, dann heißt S eine Teilmenge von T . Dies wird als S &sube T geschrieben.
  • Wenn mindestens ein Element von S kein Element von T ist, dann ist S keine Teilmenge von T . Dies wird als S . geschrieben T .
  • Wenn S eine beliebige Menge ist, dann ist &leer &sube S und S &sube S .
  • Eine Aussage über eine Teilmenge kann mit den Worten „alle“ oder „wenn … dann“ umgeschrieben werden.
  • Teilmengen können mit einem Venn-Diagramm dargestellt werden.
  • Die Menge < 0, 1, 2, 3, 4, … >der ganzen Zahlen ist unendlich.
  • Die Menge der ganzen Zahlen und jede endliche Teilmenge von ihnen kann auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.

a Umschreiben in Mengennotation:
i Alle Quadrate sind Rechtecke.
ii Nicht alle Rechtecke sind Rauten.
b Schreiben Sie einen englischen Satz mit den Wörtern „all“ oder „not all“ um:
i < ganzzahlige Vielfache von 6 >&sube < gerade ganze Zahlen >.
ii < quadratische ganze Zahlen >&sube < gerade ganze Zahlen >.
c Formulieren Sie die Aussagen in Teil (b) in einem englischen Satz mit den Worten „if …, then“.
d Gegeben die Mengen A = < 0, 1, 4, 5 >und B = < 1, 4 >:
i Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm von A und B mit der universellen Menge U = < 0, 1, 2, … , 8 >.
ii Graph A auf dem Zahlenstrahl.

Komplemente, Schnittmengen und Vereinigungen

Angenommen, ein geeignetes universelles Set E wurde gewählt. Das Komplement einer Menge S
ist die Menge aller Elemente von E, die nicht in S sind. Das Komplement von S wird als Sc geschrieben.
Beispielsweise,

Wenn E = < Buchstaben > und V = < Vokale >, dann V c =

/>Wenn E = < ganze Zahlen >und O = < ungerade ganze Zahlen >,
/>dann O c = .

Ergänzung und das Wort „nicht“

Das Wort „nicht“ entspricht dem Komplement einer Menge. In den beiden obigen Beispielen z.

V c = < Buchstaben, die keine Vokale sind >=

O c = < ganze Zahlen, die nicht ungerade sind >=

Die Menge V c im ersten Beispiel kann wie folgt in einem Venn-Diagramm dargestellt werden.

Der Schnittpunkt zweier Mengen

Der Durchschnitt zweier Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die zu A und zu B gehören.
Dies wird als A &cap B geschrieben. Manche Musiker sind zum Beispiel Sänger und manche spielen ein Instrument.

Hier ist ein Beispiel mit Buchstaben.

Dieses letzte Beispiel kann in einem Venn-Diagramm wie folgt dargestellt werden.

Schnittmenge und das Wort „und“

Das Wort „und“ sagt uns, dass es einen Schnittpunkt zweier Mengen gibt. Beispielsweise:

< Sänger >&cap < Instrumentalisten >=

< Vokale >&cap < Buchstaben von 'Dingo' >=

Die Vereinigung zweier Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die zu A oder zu B gehören. Dies wird als A &cup B geschrieben. Elemente, die zu beiden Mengen gehören, gehören zur Vereinigung. Weiter am Beispiel der Sänger und Instrumentalisten:

Wenn A = < Sänger > und B = < Instrumentalisten >, dann A &cup B = < Musiker >.

Bei den Buchstabensätzen:

Wenn V = < Vokale > und F = < Buchstaben in ‚dingo‘ >, dann V &acup F = < a, e, i, o, u, d, n, g >.

Das Wort „oder“ sagt uns, dass es eine Vereinigung von zwei Mengen gibt. Beispielsweise:

< Sänger >&cup < Instrumentalisten >=

< Vokale >&cup < Buchstaben in 'Dingo' >=

Das Wort „oder“ bedeutet in der Mathematik immer „und/oder“, daher ist es nicht erforderlich, diesen Beschreibungen der Vereinigungen „oder beides“ hinzuzufügen. Beispielsweise,

Hier befinden sich die Elemente 6 und 12 in beiden Sätzen A und B.

Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben. Beispielsweise:

Die Mengen S = < 2, 4, 6, 8 >und T = < 1, 3, 5, 7 >sind disjunkt.

Eine andere Möglichkeit, disjunkte Mengen zu definieren, besteht darin, dass ihr Schnittpunkt die leere Menge ist,

Zwei Mengen A und B sind disjunkt, wenn A &cap B = &leer ist.

S &cap T = &leer, da in beiden Mengen keine Zahl liegt.

Komplement, Schnitt und Vereinigung

Seien A und B Teilmengen einer geeigneten universellen Menge E .

  • Das Komplement A c ist die Menge aller Elemente von E, die nicht in A enthalten sind.
  • Der Schnittpunkt A &cap B ist die Menge aller Elemente, die zu A und zu B gehören.
  • Die Vereinigung A &cup B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B gehören.
  • In der Mathematik bedeutet das Wort „oder“ immer „und/oder“, also alle Elemente, die
    sind in beiden Sätzen sind in der Vereinigung.
  • Die Mengen A und B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben, d. h.
    wenn A &cap B = &leer .

Darstellung des Komplements in einem Venn-Diagramm

Sei A = < 1, 3, 5, 7, 9 > die Menge der ungeraden ganzen Zahlen kleiner als 10, und die universelle Menge sei E = < 0, 1, 2, … , 10 >. Hier ist das Venn-Diagramm der Situation.

Die Region innerhalb des Kreises stellt die Menge A dar, also platzieren wir die Zahlen 1, 3, 5, 7 und 9 innerhalb des Kreises. Außerhalb des Kreises platzieren wir die anderen Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 und 10, die nicht in A stehen. Somit repräsentiert der Bereich außerhalb des Kreises das Komplement A c = <0, 2, 4, 6, 8, 10>.

Darstellung von Schnittmenge und Vereinigung in einem Venn-Diagramm

Das Venn-Diagramm unten zeigt die beiden Sätze

A = < 1, 3, 5, 7, 9 >und B = < 1, 2, 3, 4, 5 >.

  • Die Zahlen 1, 3 und 5 liegen in beiden Sets, also platzieren wir sie im Überlappungsbereich der beiden Kreise.
  • Die restlichen Zahlen in A sind 7 und 9. Diese werden innerhalb von A platziert, aber außerhalb von B .
  • Die restlichen Zahlen in B sind 2 und 4. Diese werden innerhalb von B platziert, aber außerhalb von A .

Somit repräsentiert der überlappende Bereich den Schnittpunkt A &cap B = < 1, 3, 5 >, und die beiden Kreise zusammen repräsentieren die Vereinigung A &cup B = < 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 > .

Die vier restlichen Zahlen 0, 6, 8 und 10 werden außerhalb der beiden Kreise platziert.

Darstellung disjunkter Mengen in einem Venn-Diagramm

Wenn wir wissen, dass zwei Mengen disjunkt sind, stellen wir sie durch Kreise dar, die sich nicht schneiden. Lassen Sie zum Beispiel

P = < 0, 1, 2, 3 >und Q =

Dann sind P und Q disjunkt, wie im Venn-Diagramm unten dargestellt.

Venn-Diagramme mit Komplementen, Vereinigungen und Schnittmengen

  • Mengen werden in einem Venn-Diagramm durch Kreise dargestellt, die innerhalb eines Rechtecks ​​gezeichnet sind, das die universelle Menge darstellt.
  • Der Bereich außerhalb des Kreises repräsentiert das Komplement der Menge.
  • Der überlappende Bereich zweier Kreise repräsentiert den Schnittpunkt der beiden Sätze.
  • Zwei Kreise zusammen repräsentieren die Vereinigung der beiden Mengen.
  • Wenn zwei Mengen disjunkt sind, können wir die beiden Kreise ohne Überlappung zeichnen.
  • Wenn eine Menge eine Teilmenge einer anderen ist, können wir ihren Kreis innerhalb des Kreises der anderen Menge zeichnen.

Sei die universelle Menge E = , und lass

Ein =

B =

C =

a Zeichnen Sie A und C in ein Venn-Diagramm und platzieren Sie die Zahlen in den richtigen Regionen.
b Zeichnen Sie B und C in ein Venn-Diagramm und platzieren Sie die Zahlen in den richtigen Bereichen.
c Schattieren Sie A und B in einem Venn-Diagramm und platzieren Sie die Zahlen in den richtigen Regionen.
d Schattieren Sie A &cup B in einem Venn-Diagramm und platzieren Sie die Zahlen in den richtigen Regionen.

Lösen von Problemen mit einem Venn-Diagramm

Zählen von Elementen von Mengen

Bevor wir Probleme mit Venn-Diagrammen lösen, müssen wir herausfinden, wie wir die Elemente überlappender Mengen zählen können.

Das obere Diagramm rechts zeigt zwei
Mengen A und B innerhalb einer universellen Menge E , wobei

| A | = 6 und | B | = 7,

mit 3 Elementen im Schnittpunkt A &cap B.

Das untere Diagramm rechts zeigt nur die
Anzahl der Elemente in jeder der vier Regionen.

Diese Zahlen stehen in runden Klammern
damit sie nicht wie Elemente aussehen.

Sie können aus den Diagrammen sehen, dass

| A | = 6 und | B | = 7, aber | A & Tasse B | &ne 6 + 7.

Der Grund dafür ist, dass die Elemente innerhalb des Überlappungsbereichs A &cap B nur einmal gezählt werden sollten, nicht zweimal. Wenn wir die drei Elemente von A &cap B von der Summe abziehen, ist die Rechnung dann richtig.

Im Diagramm rechts,

| A | = 15, | B | = 25, | A &cap B | = 5 und | E | = 50.

a Fügen Sie die Anzahl der Elemente in jedes ein
der vier Regionen.
b Finde also | A & Tasse B | und | A &cap Bc |

a Wir beginnen an der Kreuzung und arbeiten uns nach außen vor.

Der Schnittpunkt A &cap B hat 5 Elemente.

Daher hat die Region von A außerhalb von A &cap B 10 Elemente,
und der Bereich von B außerhalb von A &cap B hat 20 Elemente.

Das macht bisher 35 Elemente, also hat der Außenbereich 15 Elemente.
b Aus dem Diagramm | A & Tasse B | = 35 und | A &cap Bc | = 10.

a Zeichne ein Venn-Diagramm von zwei Mengen S und T
b Gegeben sei | S | = 15, | T | = 20, | S &cup T | = 25 und | E | = 50, fügen Sie die Anzahl der Elemente in jede der vier Regionen ein.
c Finde also | S &cap T | und | S &cap Tc |.

Anzahl der Elemente in den Regionen eines Venn-Diagramms

&Stier Die Anzahl der Elemente in den Regionen eines Venn-Diagramms kann durch
systematisch um das Diagramm herum arbeiten.
&Stier Die Anzahl der Elemente in der Vereinigung zweier Mengen A und B ist
&Stier Anzahl der Elemente in A &cup B = Anzahl der Elemente in A
&Stier Anzahl der Elemente in A &cup B = number of elements in A
+ number of elements in B
&minus number of elements in A &cap B .
&bull Writing this formula in symbols, | A &cup B | = | A | + | B | &minus | A &cap B |.

Solving problems by drawing a Venn diagram

Many counting problems can be solved by identifying the sets involved, then drawing up a Venn diagram to keep track of the numbers in the different regions of the diagram.

A travel agent surveyed 100 people to find out how many of them had visited the cities of
Melbourne and Brisbane. Thirty-one people had visited Melbourne, 26 people had been to Brisbane, and 12 people had visited both cities. Draw a Venn diagram to find the number of people who had visited:

ein Melbourne or Brisbane

B Brisbane but not Melbourne

C only one of the two cities

D neither city.

Let M be the set of people who had
visited Melbourne, and let B be the set
of people who had visited Brisbane.
Let the universal set E be the set of
people surveyed.

The information given in the question can now be rewritten as

| M | = 31, | B | = 26, | M &cap B | = 12 und | E | = 100.

Hence number in M only = 31 &minus 12
= 19
and number in B only = 26 &minus 12
= 14.

ein Number visiting Melbourne or Brisbane = 19 + 14 ი = 45.

B Number visiting Brisbane only = 14.

C Number visiting only one city = 19 + 14 = 33.

D Number visiting neither city = 100 &minus 45 = 55.

Problem solving using Venn diagrams

  • First identify the sets involved.
  • Then construct a Venn diagram to keep track of the numbers in the different regions of the diagram.

Twenty-four people go on holidays. If 15 go swimming, 12 go fishing, and 6 do neither, how many go swimming and fishing? Draw a Venn diagram and fill in the number of people in all four regions.

In a certain school, there are 180 pupils in Year 7. One hundred and ten pupils study French, 88 study German and 65 study Indonesian. Forty pupils study both French and German, 38 study German and German only. Find the number of pupils who study:

either one ot two of the three languages.

The examples in this module have shown how useful sets and Venn diagrams are in counting problems. Such problems will continue to present themselves throughout secondary school.

The language of sets is also useful for understanding the relationships between objects of different types. For example, we have met various sorts of numbers, and we can summarise some of our knowledge very concisely by writing

< whole numbers >&sube < integers >&sube < rational numbers >&sube < real numbers >.

The relationships amongst types of special quadrilaterals is more complicated. Here are some statements about them.

< squares >&sube < rectangles >&sube < parallelograms >&sube

< rectangles >&cap < rhombuses >=

If A = < convex kites >and B = < non-convex kites >, then

A &cap B = &empty and A &cup B =

That is, the set of convex kites and the set of non-convex kites are disjoint, but their union is the set of all kites.

It is far easier to talk about probability using the language of sets. The set of all outcomes is called the sample space , a subset of the sample space is called an event . Thus when we throw three coins, we can take the sample space as the set

S =

and the event ‘throwing at least one head and at least one tail’ is then the subset

E =

Since each outcome is equally likely,

P (at least one head and at least one tail) = = .

The event space of the complementary event ‘throwing all heads or all tails’ is the complement of the event space in the sample space, which we take as the universal set, so

E c = < HHH, TTT >.

Since | E | + | E c | = | S |, it follows after dividing by | S | that P ( E c ) = 1 &minus P ( E ), so

P (throwing all head or all tails) = 1 &minus = .

Let F be the event ‘throwing at least two heads’. Dann

F =

A Venn diagram is the best way to sort out the relationship between the two events E and F . We can then conclude that

P ( E and F ) = 3 und P ( E or F ) = 7

When we discuss a function, we usually want to write down its domain &minus the set of all x -values that we can substitute into it, and its range &minus the set of all y -values that result from such substitutions.

For example, for the function y = x 2 ,

domain = < real numbers >und range = < y : y ≥ 0>.

The notation used here for the range is ‘set-builder notation’, which is no longer taught in school. Consequently we mostly avoid set notation altogether, and use instead less rigorous language,

‘The domain is all real numbers, and the range is y > 0.’

Speaking about the condition rather than about the set, however, can confuse some students, and it is often useful to demonstrate the set theory ideas lying behind the abbreviated notation.

Here are two inequalities involving absolute value and their solution.

If we use the language of solution sets, and pay attention to ‘and’ and ‘or’, we see that the solution of the first inequality is the intersection of two sets, and the solution of the second inequality is the union of two sets. In set-builder notation, the solutions to the two inequalities are

< x : x ≥ &minus5 >&cap < x : x ≤ 5 >= < x : &minus5 ≤ x ≤ 5>, and

< x : x ≤ &minus5 >&cap < x : x ≥ 5 >= < x : x £ &minus5 or x ≥ 5>.

At school, however, we simply write the solutions to the two inequalities as the conditions alone,

&minus5 ≤ x ≤ 5 und x ≤ &minus5 or x ≥ 5

There are many similar situations where the more precise language of sets may
help to clarify the solutions of equations and inequalities when difficulties are raised during discussions.

Counting problems go back to ancient times. Questions about ‘infinity’ were also keenly discussed by mathematicians in the ancient world. The idea of developing a ‘theory of sets’, however, only began with publications of the German mathematician Georg Cantor in the 1870s, who was encouraged in his work by Karl Weierstrass and Richard Dedekind, two of the greatest mathematicians of all time.

Cantor’s work involved the astonishing insight that there are infinitely many different types of infinity. In the hierarchy of infinities that he discovered, the infinity of the whole numbers is the smallest type of infinity, and is the same as the infinity of the integers and of the rational numbers. He was able to prove, quite simply, that the infinity of the real numbers is very much larger, and that the infinity of functions is much larger again. His work caused a sensation and some Catholic theologians criticised his work as jeopardising ‘God’s exclusive claim to supreme infinity’.

Cantor’s results about types of infinity are spectacular and not particularly difficult. The topic is quite suitable as extension work at school, and the basic ideas have been presented in some details in Appendix 2 of the Module The Real Numbers .

Cantor’s original version of set theory is now regarded as ‘naive set theory’, and contains contradictions. The most famous of these contradictions is called ‘Russell’s paradox’, after the British philosopher and mathematician Bertrand Russell. It is a version of the ancient barber-paradox,

‘A barber shaves all those who do not shave themselves. Who shaves the barber?’

‘Sets that are members of themselves are rather unwelcome objects.

In order to distinguish such tricky sets from the ordinary, well-behaved sets,

let S be the set of all sets that are not members of themselves.

But when we consider the set S itself, we have a problem.

If S is a member of S , then S is not a member of S .

If S is not a member of S , then S is a member of S .

The best-known response, but by no means the only response, to this problem and to the other difficulties of ‘naive set theory’ is an alternative, extremely sophisticated, formulation of set theory called ‘Zermelo-Fraenkel set theory’, but it is hardly the perfect solution. While no contradictions have been found,many disturbing theorems have been proven. Most famously, Kurt Goedel proved in 1931 that it is impossible to prove that Zermelo-Fraenkel set theory, and indeed any system of axioms within which the whole numbers can be constructed, does not contain a contradiction!

Nevertheless, set theory is now taken as the absolute rock-bottom foundation of mathematics, and every other mathematical idea is defined in terms of set theory. Thus despite the paradoxes of set theory, all concepts in geometry, arithmetic, algebra and calculus &minus and every other branch of modern mathematics &minus are defined in terms of sets, and have their logical basis in set theory.

ein A = < 0, 16, 32, 48, 64, 80, 96 >.

B The most obvious answer is B = < square numbers less than 30 >.

C No, because I don’t know precisely enough what ‘close to’ means.

ein ich A = < 10 002, 10 004, … , 19 998 >is finite. ii B = < 0, 3, 6, … >is infinite.
B ich This set is infinite. ii | S | = 1.
iii | S | = 0. NS | S | = 100.
C F = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , so | F | = 27.

ein ich < squares >&sube < rectangles >. ii < rectangles >&sube < rhombuses >.
B ich All multiples of 6 are even. ii Not all squares are even.
C ich If a whole number is a multiple of 6, then it is even.
ii If a whole number is a square, then it may not be even.
D ich
ii

a&minusd

The union S &cup T has 25 elements, whereas S has 15 elements and T has 20 elements, so the overlap S &cap T has 10 elements.

Hence the region of S outside S &cap T has 5 elements, and the region of T outside S &cap T has 10 elements. Hence the outer region has 50 &minus 25 = 25 elements.

C From the diagram, | S &cap T | = 10 and | S &cup Tc | = 40.

Since only 18 people are involved in swimming or fishing and 15 + 12 = 27, there are 9 people who go swimming and fishing.

ein 9 B 10 C 12 D 168 e 159

The Improving Mathematics Education in Schools (TIMES) Project 2009-2011 was funded by the Australian Government Department of Education, Employment and Workplace Relations.

The views expressed here are those of the author and do not necessarily represent the views of the Australian Government Department of Education, Employment and Workplace Relations.


1: Set Theory

Figure 1.15 shows Venn diagrams for these sets.

Figure 1.16 pictorially verifies the given identities. Note that in the second identity, we show the number of elements in each set by the corresponding shaded area.

Let $S=<1,2,3>$. Write all the possible partitions of $S$.

  1. $A= < x in mathbb| -100 leq x leq 100 >$ is countable since it is a subset of a countable set, $A subset mathbb$.
  2. $B=<(x,y) | x in mathbb, y in mathbb >$ is countable because it is the Cartesian product of two countable sets, i.e., $B= mathbb imes mathbb$.
  3. $C=(0,.1]$ is uncountable since it is an interval of the form $(a,b]$, where $a
    Problem

Find the range of the function $f:mathbb ightarrow mathbb$ defined as $f(x)= extrm (x)$.

For any real value $x$, $-1 leq extrm (x) leq 1$. Also, all values in $[-1,1]$ are covered by $ extrm (x)$. Thus, Range$(f)=[-1,1]$.


Abschluss

After following these steps, even if you weren’t able to place your speakers in their ideal locations due to room and furniture constraints, you can rest easy knowing that your system can still sound great. You’re now ready to fire up your receiver and set speaker Level, Distance, and Equalization. We’ll guide you through that in our next set up article.

See also:

About the author:

Marshall is an Educator by trade, and currently lives in Oregon. He was lucky enough to grow up in a musical household, and though the AV equipment wasn't the greatest, it was always on. His dad introduced him to Queen, Paul Simon, and Sgt. Pepper's, and his mom played Lionel Richie and Disney Soundtracks. When Marshall was 14, his uncle passed down a pair of JBL towers and Marshall finally had his own system. Having enjoyed podcasting and video production over the past 10 years, Marshall is happy to be contributing at Audioholics.

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