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12.1: Einführung in die Idee der Äquivalenz


Wir haben einige der Möglichkeiten untersucht, wie Strukturanalysten Netzwerkdaten betrachten. Wir begannen mit der Suche nach Mustern in der Gesamtstruktur (z. B. Verbundenheit, Dichte usw.) und der Einbettung jedes Akteurs (z. B. geodätische Distanzen, Zentralität). Als Nächstes haben wir eine zweite wichtige Methode zur Untersuchung von Netzwerkdaten eingeführt, indem wir nach "Unterstrukturen" oder Gruppierungen von Akteuren suchen, die näher beieinander liegen als andere Gruppierungen. Wir haben uns zum Beispiel die Bedeutung von „Cliquen“, „Blöcken“ und „Brücken“ als Denk- und Beschreibungsformen angesehen, wie die Akteure in einem Netzwerk aufgrund ihrer Beziehungsmuster zu Untergruppen unterteilt werden können einander.

All dies, wenn auch manchmal etwas technisch, ist konzeptionell ziemlich einfach zu verstehen. Der zentrale Knoten eines "Stern"-Netzwerks ist allen anderen Mitgliedern "näher" als jedes andere Mitglied - eine einfache (wenn auch sehr wichtige) Idee, die wir verstehen können. Eine Clique als "maximaler vollständiger Teilgraph" klingt hart, ist aber wiederum leicht zu verstehen. Es ist einfach die größte Ansammlung von Leuten, die alle Verbindungen zu allen anderen in der Gruppe haben. Auch hier ist die Idee nicht schwer zu fassen, denn sie ist wirklich ganz konkret: Wir können Cliquen sehen und fühlen.

Nun wenden wir uns etwas abstrakteren Möglichkeiten zu, die Beziehungsmuster zwischen gesellschaftlichen Akteuren zu verstehen: der Analyse von "Äquivalenzklassen". Die Fähigkeit, Daten in Bezug auf Äquivalenz zu definieren, zu theoretisieren und zu analysieren, ist wichtig, weil wir in der Lage sein wollen, Verallgemeinerungen über Sozialverhalten und Sozialstruktur anzustellen. Das heißt, wir wollen Prinzipien aufstellen können, die für alle Gruppen, alle Organisationen, alle Gesellschaften usw. gelten. Um dies zu erreichen, müssen wir die Akteure nicht als einzelne einzigartige Personen (was sie sind) betrachten, sondern als Beispiele für Kategorien - Gruppen von Akteuren, die in gewisser Weise "gleichwertig" sind. Als empirische Aufgabe müssen wir in der Lage sein, die ähnlichsten Akteure zusammenzufassen und zu beschreiben, was sie ähnlich macht und was sie als Kategorie von Mitgliedern anderer Kategorien unterscheidet.

Soziologisches Denken verwendet routinemäßig abstrakte Kategorien. "Arbeiterklasse", "Mittelschicht", "Oberschicht" sind eine solche Gruppe von Kategorien, die gesellschaftliche Positionen beschreiben. "Männer" und "Frauen" sind eigentlich Bezeichnungen für Kategorien von Personen, die sich innerhalb der Kategorien ähnlicher sind als zwischen den Kategorien - zumindest um einige Aspekte ihres Sozialverhaltens zu verstehen und vorherzusagen. Wenn Kategorien wie diese als Teil soziologischer Theorien verwendet werden, werden sie verwendet, um die für Mitglieder der Kategorie typischen "sozialen Rollen" oder "sozialen Positionen" zu beschreiben.

Viele der von Soziologen verwendeten Kategoriensysteme basieren auf „Attributen“ einzelner Akteure, die allen Akteuren gemeinsam sind. Wenn ich sage, dass "europäisch-amerikanische Männer im Alter von 45-64 wahrscheinlich ein relativ hohes Einkommen haben", spreche ich von einer Gruppe von Menschen, die demografisch ähnlich sind - sie teilen bestimmte Eigenschaften (Männlichkeit, europäische Abstammung, biologisches Alter und Einkommen). ). Die Strukturanalyse beschäftigt sich nicht besonders mit Kategoriensystemen (d. h. Variablen), die auf Beschreibungen der Ähnlichkeit einzelner Attribute basieren (einige radikale Strukturanalysen würden sogar argumentieren, dass solche Kategorien überhaupt nicht wirklich "soziologisch" sind). Die Strukturanalyse versucht, Kategorien und Variablen im Hinblick auf Ähnlichkeiten der Beziehungsmuster zwischen Akteuren und nicht auf Attribute von Akteuren zu definieren. Das heißt, die Definition einer Kategorie oder einer "sozialen Rolle" oder "sozialen Position" hängt von ihrer Beziehung zu einer anderen Kategorie ab. Soziale Rollen und Positionen, argumentieren Strukturanalytiker, sind von Natur aus "relational". Das ist an sich schon ziemlich abstrakt. Einige Beispiele können den Punkt verdeutlichen.

Was ist die soziale Rolle "Ehemann"? Eine nützliche Art, darüber nachzudenken, ist als eine Reihe von gemusterten Interaktionen mit einem Mitglied oder Mitgliedern einiger anderer sozialer Kategorien: "Frau" und "Kind" (und wahrscheinlich auch andere). Jede dieser Kategorien (dh Ehemann, Ehefrau, Kind) kann nur durch Regelmäßigkeiten in den Beziehungsmustern zu Mitgliedern anderer Kategorien definiert werden (es gibt hier eine Reihe von Arten von Beziehungen - monetäre, emotionale, rituelle, sexuelle usw. ). Das heißt, Familien- und Verwandtschaftsrollen sind von Natur aus relational. Der Netzwerkanalytiker übersetzt diese Idee, indem er sagt, dass es "Äquivalenzklassen" von Ehemann, Ehefrau, Kind usw.

Was ist ein "Arbeiter"? Wir könnten eine Person meinen, die Arbeit verrichtet (eine Eigenschaft, die eigentlich allen Menschen gemeinsam ist). Eine soziologisch interessantere Definition gab Marx als Person, die die Kontrolle über ihre Arbeitskraft an einen Kapitalisten verkauft. Beachten Sie, dass die Bedeutung von "Arbeiter" von einem Kapitalisten abhängt - und umgekehrt. Es ist die Beziehung (in diesem Fall, wie Marx sagen würde, eine Ausbeutungsbeziehung) zwischen den Inhabern der beiden Rollen, die die Bedeutung der Rollen definiert.

Der Punkt ist: Für den Strukturanalytiker sind die Bausteine ​​der Sozialstruktur „soziale Rollen“ oder „soziale Positionen“. Diese sozialen Rollen oder Positionen werden durch Regelmäßigkeiten in den Beziehungsmustern zwischen Akteuren definiert, nicht durch Attribute der Akteure selbst. Wir identifizieren und untersuchen soziale Rollen und Positionen, indem wir die Beziehungen zwischen den Akteuren untersuchen, nicht indem wir die Attribute einzelner Akteure untersuchen. Sogar Dinge, die als "Attribute von Individuen" erscheinen, wie Rasse, Religion und Alter, können als Kurzbezeichnungen für Beziehungsmuster betrachtet werden. Zum Beispiel ist "Weiß" als soziale Kategorie eine Abkürzung für Personen, die typischerweise eine gemeinsame Form von Beziehungen zu Mitgliedern einer anderen Kategorie haben - "Nicht-Weißen". Dinge, die auf den ersten Blick als Attribute von Individuen erscheinen mögen, sind in Wirklichkeit nur eine Art zu sagen, dass ein Individuum in eine Kategorie fällt, die bestimmte Muster charakteristischer Beziehungen zu Mitgliedern anderer Kategorien aufweist.


Das Geschichte Chemie ist interessant und herausfordernd. Sehr frühe Chemiker wurden oft hauptsächlich durch das Erreichen eines bestimmten Ziels oder Produkts motiviert. Die Herstellung von Parfüm und Seifen erforderte nicht viel Theorie, einfach ein gutes Rezept und viel Liebe zum Detail. Es gab keine Standardmethode für die Benennung von Materialien (und kein Periodensystem, auf das sich alle einigen konnten). Die Wissenschaft hat sich jedoch über die Jahrhunderte entwickelt.

Als Robert Boyle (1637-1691) seine Arbeit begann, wurden große Fortschritte bei der Schaffung eines soliden Fundaments der Chemie erzielt Forschung in Chemie. Er entwickelte die Grundideen für das Verhalten von Gasen Gase konnten danach mathematisch beschrieben werden. Boyle half auch bei der Idee, dass sich kleine Partikel zu Molekülen verbinden könnten. Viele Jahre später nutzte John Dalton diese Ideen, um die Atomtheorie zu entwickeln.

Abbildung (PageIndex<1>): Robert Boyle.

Das Gebiet der Chemie begann sich im 18. Jahrhundert rasant zu entwickeln. Joseph Priestley (1733-1804) isolierte und charakterisierte mehrere Gase: Sauerstoff, Kohlenmonoxid und Lachgas. Später wurde entdeckt, dass Lachgas ("Lachgas") als Anästhetikum wirkte. Dieses Gas wurde zu diesem Zweck erstmals 1844 bei einer Zahnextraktion verwendet. Andere Gase, die während dieser Zeit entdeckt wurden, waren Chlor von C. W. Scheele (1742-1786) und Stickstoff von Antoine Lavoisier (1743-1794). Lavoisier wird von vielen Gelehrten als "Vater der Chemie" angesehen.

Im 19. Jahrhundert entdeckten Chemiker weiterhin neue Verbindungen. Die Wissenschaft begann auch, eine eher theoretische Grundlage zu entwickeln. John Dalton (1766-1844) legte 1807 seine Atomtheorie vor. Diese Idee ermöglichte es den Wissenschaftlern, viel systematischer über die Chemie nachzudenken. Amadeo Avogadro (1776-1856) legte den Grundstein für eine quantitativere Herangehensweise an die Chemie, indem er die Anzahl der Teilchen in einer bestimmten Menge eines Gases berechnete. Es wurde viel Aufwand betrieben, um chemische Reaktionen zu untersuchen. Diese Bemühungen führten zur Herstellung neuer Materialien. Nach der Erfindung der Batterie durch Alessandro Volta (1745-1827) entwickelte sich das Gebiet der Elektrochemie (sowohl Theorie als auch Anwendung) durch bedeutende Beiträge von Humphry Davy (1778-1829) und Michael Faraday (1791-1867). Auch andere Bereiche der Disziplin machten schnelle Fortschritte.

Es würde ein großes Buch erfordern, um die Entwicklungen in der Chemie vom 20. Jahrhundert bis heute zu behandeln. Ein großes Expansionsgebiet lag im Bereich der Chemie lebender Prozesse. Die Forschung zur Photosynthese in Pflanzen, die Entdeckung und Charakterisierung von Enzymen als biochemische Katalysatoren, die Strukturaufklärung von Biomolekülen wie Insulin und DNA - diese Bemühungen führten zu einer Informationsexplosion auf dem Gebiet der Biochemie.

Die praktischen Aspekte der Chemie wurden nicht außer Acht gelassen. Die Arbeit von Volta, Davy und Faraday führte schließlich zur Entwicklung von Batterien, die eine Reihe von Geräten mit Strom versorgten.

Abbildung (PageIndex<2>): Batterie entwickelt von Volta.

Charles Goodyear (1800-1860) entdeckte das Vulkanisationsverfahren, mit dem ein stabiles Gummiprodukt für die Reifen aller heutigen Fahrzeuge hergestellt werden konnte. Louis Pasteur (1822-1895) war ein Pionier der Hitzesterilisation, um unerwünschte Mikroorganismen in Wein und Milch zu eliminieren. Alfred Nobel (1833-1896) erfand das Dynamit. Nach seinem Tod wurde das Vermögen, das er mit diesem Produkt verdiente, zur Finanzierung der Nobelpreise für Naturwissenschaften und Geisteswissenschaften verwendet. J. W. Hyatt (1837-1920) entwickelte den ersten Kunststoff. Leo Baekeland (1863-1944) entwickelte das erste Kunstharz, das für preiswertes und robustes Geschirr weit verbreitet ist.

Abbildung (PageIndex<3>): Dynamitexplosion in Panama, Mittelamerika (1908).


Was ist eine Äquivalenzrelation?

Formal heißt eine Relation auf einer Menge A Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Das heißt, wenn eine Relation diese drei Eigenschaften verkörpert, wird sie als Äquivalenzrelation betrachtet und hilft uns, ähnliche Elemente oder Objekte zu gruppieren.

Eine Äquivalenzrelation ist also eine Beziehung auf einer Menge und wird typischerweise mit ∼ (Tilde) mit den folgenden drei Eigenschaften bezeichnet:

Äquivalenzrelationseigenschaften

Angenommen, eine Relation R in der Menge der ganzen Zahlen ist definiert als R = <(a,b) | a – b ist eine ganze Zahl>. Lassen Sie uns feststellen, ob die Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Äquivalenzregeln

Aussagen, die dasselbe sagen oder einander gleichwertig sind, sind für ein logisches Deduktionssystem sehr wichtig. Wie Sie beispielsweise wissen, können wir aus einer wahren Konjunktion folgern, dass einer ihrer Teile wahr ist. Nun, wenn wir eine “weder…noch” Aussage haben, haben wir zufällig eine Konjunktion, denn zu sagen “Es wird weder regnen noch schneien” ist dasselbe wie zu sagen “Es wird nicht regnen und es wird 8217t Schnee auch nicht.” Wir können also eine “weder…noch” Aussage vereinfachen, wenn wir zuerst bestätigen, dass sie einer Konjunktion von Negativen entspricht. Dies ist eine von zwei Versionen einer Regel, die als . bekannt ist DeMorgan’s Regel.

DM arbeitet auch mit einer Disjunktion von Negativen. Zu sagen “Entweder das ist falsch oder das ist falsch” ist dasselbe wie zu sagen “Das sind nicht beide wahr.” In der folgenden Formel steht auf der linken Seite “Nicht beides” und auf der rechten Seite “Entweder nicht dies oder nicht.”

Es ist ganz wichtig, dass Sie nicht falsch diese Formel als Ausdruck dessen, was in der Mathematik als “Verteilungseigenschaft” bekannt ist, in Bezug auf die Verteilung negativer Vorzeichen (für negative Zahlen). Wir haben es hier nicht mit Summen oder Zahlen zu tun, sondern mit Bedeutungen. Sie können sich mit einer Wahrheitstabelle vergewissern, dass “weder…noch” heißt nicht “Entweder nicht dies oder nicht.” Sie können sich auch davon überzeugen, indem Sie sich eine Situation vorstellen, in der Ihnen “weder…noch” wirklich wichtig ist! Sie werden nicht von jemandem getäuscht, der es falsch interpretiert. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie planen eine Party und jemand fragt Sie, ob Sie Scott und Rhonda einladen möchten: Sie sagen “Bist du verrückt? Ich werde keinen von ihnen einladen!” (was bedeutet “keiner von ihnen”). Wenn Ihr Freund jetzt fragt: “Also, welchen werden Sie nicht einladen?” (weil er denkt, dass “keiner” —

R), wirst du etwas antworten wie “Hast du ein Gehirn?” Nur in einem Klassenzimmer würdest du nicht wissen, dass “keiner” ist nicht dasselbe wie “entweder nicht das eine oder nicht das andere.”
Wie alle Aussageformen, für die es Äquivalenzregeln gibt, kann jede von ihnen durch die andere ersetzt werden. In Bezug auf die Schreibweise auf der Seite könnte man sagen, dass sie in beide Richtungen “funktionieren”, von der Formel links zur rechten oder von der rechten zur nächsten die linke.

II. Verteilung

Wir haben das Wort “Distribution” bereits zweimal in Logic verwendet: einmal war, als wir uns kontrastierten kollektive Prädikation mit Verteilungsprädikation, um den Trugschluss namens Komposition zu verstehen. Wir alle wissen, dass “Amerika ist ein reiches Land” bedeutet nicht, dass “Alle Amerikaner reich sind.” Aus einer wahren Prädikation des Eigentums von Reich sein für das Ganze, das aus allen Amerikanern besteht, folgt daraus nicht, dass Sie dieses Eigentum an alle Individuen, die seine Teile sind, "verteilen" Das andere Mal, als wir auf Distribution stießen, war die Bestimmung der Gültigkeit kategorialer Syllogismen: Wir sahen zwei Regeln, die sich auf den Begriff a berufen es wird auf jedes Mitglied der Klasse Bezug genommen, das durch einen Begriff genannt wird.

Bei der Identifizierung äquivalenter Ausdrücke,Verteilung” kommt wieder zurück. Hier ist die Formel (es gibt zwei Versionen):

DIST (p v (q ∙ r)) :: ((p v q) ∙ (p v r))

DIST (p ∙ (q v r)) :: ((p ∙ q) v (p ∙ r))

Was ist los? Es sieht so aus, als ob bei einer Disjunktion mit einer untergeordneten Konjunktion oder einer Konjunktion mit einer untergeordneten Disjunktion eine der Aussagen auf die Teile der anderen verteilt werden kann, indem man den Hauptoperator untergeordnet macht und ihn zweimal verwendet, während man den untergeordneten macht Betreiber der neuen Hauptleitung.

Das ist nicht allzu eingängig oder einprägsam. (Weder… noch)

Versuchen Sie Folgendes: Wenn ich weiß, dass entweder p wahr ist oder dass sowohl q als auch r wahr sind, dann ist das dasselbe, als zu wissen, dass sowohl p oder q als auch p oder r wahr sind.

Entweder zieht sich Russland von der Krim zurück oder Deutschland und die USA verhängen Sanktionen.

Entweder Russland zieht sich von der Krim zurück oder Deutschland verhängt Sanktionen, und entweder Russland zieht sich von der Krim zurück oder die USA verhängen Sanktionen.

Die andere Version der Distribution erscheint mir intuitiver (aber nicht weniger gültig):

Russland hat die Krim annektiert, und entweder die USA oder Deutschland werden Sanktionen verhängen.

Entweder hat Russland die Krim annektiert und die USA werden Sanktionen verhängen, oder Russland annektierte die Krim und Deutschland wird Sanktionen verhängen.

Aber die Moral für die Aufgabe des Schreibens von Beweisen besteht darin, zu erkennen, dass DIST die Möglichkeit bietet, eine Punktaussage als Keil oder einen Keil als Punkt umzuschreiben. Nicht immer, aber wenn es einen Nebensatz mit dem anderen Operator gibt. Es ist ziemlich mechanisch und unintuitiv, aber wir werden es manchmal nützlich finden. Eine solche Änderung könnte eine SM (Vereinfachung) ermöglichen, bei der ein DS nicht funktionieren würde.

III. Umsetzung

Der nächste ist sehr intuitiv: Umsetzung. In der kategorialen Logik gibt es eine sehr ähnliche Bewegung, die als Kontraposition bekannt ist. Es steht dass Alle Päpste sind Katholiken ist äquivalent zu Alle Nichtkatholiken sind Nichtpäpste. Hier sagen wir das mit zwei Aussagen statt nur innerhalb einer, weil wir gesehen haben, dass universelle Prädikationen sehr effektiv als bedingte Aussagen dargestellt werden können:

Wenn er der Papst ist, ist er katholisch ≡ Wenn er ein Nichtkatholik ist, ist er ein Nichtpapst.

Sie können also die Reihenfolge von Antezedens und Folge vertauschen, solange Sie jedes negieren. Sie können die Kommutierung jedoch nicht unter einer Bedingung verwenden.

NS. Wesentliche Auswirkungen

Als wir zum ersten Mal über “oder” sprachen, stellten wir fest, dass es neben seinen starken und schwachen Sinnen auch “es sei denn,” bedeutet, was intuitiv dasselbe ist wie “wenn nicht…” Also hier haben wir eine Regel das lässt uns Wedges in Hufeisen und Hufeisen in Wedges verwandeln. Das könnte nützlich sein, um MT, MP, DS usw. zu machen. Dies ist bekannt als Wesentliche Auswirkungen (IMP). Es ist hilfreich zu wissen, dass Sie sich ändern, wenn Sie ein “⊃” in ein “v” oder ein “v” in ein “⊃” ändern die linke Anweisung durch eine Tilde (dh entweder eine hinzufügen oder eine entfernen).

V. Materialäquivalenz

Wir haben darüber gesprochen, dass der Dreifachbalken auf zwei Arten verstanden werden kann, und die beiden Versionen der EQ-Regel behandeln sie. Man muss sehen, dass es einem Bikonditional (d. h. einer Konjunktion von Konditionalen) entspricht, und in diesem Fall behauptet es, dass jedes Ding für das andere notwendig und auch für das andere ausreichend ist.

Die andere Version sagt, dass die beiden Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben: Sie sind entweder beide wahr oder beide falsch:

Das ist, was wir gesagt haben, eine Wahrheitstabelle für den dreifachen Balken bedeutet wirklich (der dreifache Balken erhält ein T, wenn beide Aussagen T und beide F sind).

VI. Ausfuhr

Vielleicht erinnern Sie sich an diese Übung von früher:

Wenn Sie der Vizepräsident sind, dann, wenn Ihr Adjutant der Justizbehinderung für schuldig befunden wird, dann, wenn Sie sich nicht von ihm distanzieren, finden Sie sich auf dem Cover des TIME-Magazins unter einer Wolke wieder.

Diese Regel legt für uns fest, dass, wenn eine Folge einer Bedingung eine Bedingung ist, ihr Vorläufer als Konjunktion des Vorläufers ausgedrückt werden kann, dem er untergeordnet ist.

Also haben wir die VP-Anweisung so umgeschrieben: Wenn Sie der Vizepräsident sind, dann, wenn Ihr Adjutant der Justizbehinderung für schuldig befunden wird und Sie sich nicht von ihm distanzieren, befinden Sie sich unter einer Wolke im Schutz der ZEIT. V ⊃ ((G ∙

Und das kann nach dem gleichen Prinzip umgeschrieben werden, denn es hat eine Bedingung für eine Konsequenz. Also nehmen wir den Vorgänger G ∙

was ergibt: Wenn Sie der Vizepräsident sind und Ihr Adjutant der Justizbehinderung für schuldig befunden wird und Sie sich nicht von ihm distanzieren, dann befinden Sie sich unter einer Wolke im Schutz der ZEIT.

Und natürlich können AS (Assoziation) und CM (Kommutierung) darauf angewendet werden, um die drei Aussagen, aus denen dieser Vorläufer besteht, neu zu gruppieren und neu zu ordnen. Dies ist bekannt als Ausfuhr, und wie alle diese funktioniert es “in beide Richtungen.”

VII. Tautologie

Die letzte Regel ist enorm trivial und wird nur verwendet, wenn etwas enorm Triviales benötigt wird. Eine Version der Regel wird nicht einmal benötigt, da Sie eine redundante Konjunktion vereinfachen und alles hinzufügen können, was Sie haben. Aber manchmal ist die Einführung einer redundanten Anweisung die einzige Möglichkeit, eine andere Regel zur Anwendung zu bringen (z. B. wenn Sie eine CD einrichten müssen, benötigen Sie eine Disjunktion von Antezedenten, die Sie möglicherweise durch Addition generieren müssen). Meine Wette ist, dass, wenn Sie dies jemals verwenden, es von

oder es wird eine redundante Konjunktion eingeführt:

Es heißt die Regel von Tautologie.

VIII. Bitte beachten Sie …

Eine letzte, sehr wichtige Beobachtung ist, dass diese Regeln gelten irgendwo. Wo immer Sie wollen, wo immer Sie den entsprechenden Hauptoperator der Regel sehen - sei es am Hauptoperator der Zeile im Beweis oder innerhalb eines Nebensatzes innerhalb der Zeile. Sehen Sie zum Beispiel, ob Sie sagen können, wo Sie DM auf diese anwenden und was das Ergebnis sein wird:

Es gilt für die Konjunktion von Negativen (

S), das in “weder…noch umgeschrieben werden kann.’ Es ist auch der Fall, dass Sie überall, wo Sie ein Hufeisen sehen, es in einen Keil ändern und die linke Seite (IMP) negieren können. Wenn wir beides tun, erhalten wir Folgendes:

Wenn Sie für jede davon eine Wahrheitstabelle erstellen, werden Sie feststellen, dass sie äquivalent sind.

Beweise mit all diesen Regeln zu machen, erfordert viel Übung. Ich werde eine Reihe von Übungen anbieten, die von leichter bis schwerer aufbauen, und ich erwarte, dass Sie täglich mindestens eine Stunde lang daran arbeiten. Sie können sich gegenseitig oder mir mit Fragen schreiben, Sie können mich mit Fragen besuchen. Probieren Sie sie aus, und wenn Sie ein Problem haben, machen Sie entweder weiter oder bitten Sie um Hilfe. Verschwenden Sie keine Zeit unproduktiv, das ist das Wichtigste. Lernen Sie alle Regeln der Inferenz. Sie können sie schreiben. Kopieren Sie die Ersetzungsregeln immer wieder, bis Sie sich daran gewöhnen. Versuchen Sie dann, sie anzuwenden. Und stellen Sie alle Fragen, die auftauchen.

Im Anhang dieser Seite finden Sie vier Powerpoints zu den Äquivalenzregeln.

3 Antworten auf Äquivalenzregeln

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Was ich nicht verstehe, ist, dass Sie nicht mehr wirklich viel sympathischer sind, als Sie es jetzt vielleicht sind. Du bist sehr intelligent. Du verstehst also in dieser Angelegenheit erheblich, was mich meinerseits veranlasste, sie aus so vielen verschiedenen Blickwinkeln zu betrachten. Es ist, als ob Frauen und Männer nicht fasziniert sind, es sei denn, es ist eine Sache, die man mit Woman gaga erreichen kann! Ihre eigenen Sachen ausgezeichnet. Achte immer darauf!

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Vorlesung 6: Das Äquivalenzprinzip

Beschreibung: Einführung in das Äquivalenzprinzip: frei fallende Systeme zur Verallgemeinerung der Trägheitssysteme der speziellen Relativitätstheorie. Zwei wichtige Varianten des Äquivalenzprinzips (EP): Das schwache EP (man kann den freien Fall unter der Schwerkraft nicht von der gleichmäßigen Beschleunigung über „genügend kleinen&rdquo Bereichen unterscheiden) das Einstein-EP (die Gesetze der Physik in frei fallenden Systemen sind identisch mit denen der speziellen Relativitätstheorie über „hinreichend kleine&rdquo Regionen).

Lehrer: Prof. Scott Hughes

Vorlesung 1: Einführung und.

Vorlesung 2: Einführung in .

Vorlesung 3: Fortsetzung der Tensoren

Vorlesung 4: Bände und Volu.

Vorlesung 5: Die Stress-Energ.

Vorlesung 6: Das Prinzip der.

Vorlesung 7: Das Prinzip der.

Vorlesung 8: Lügentransport, K.

Vorlesung 10: Raumzeitkurve.

Vorlesung 11: Mehr über Spaceti.

Vortrag 12: Der Einstein Fi.

Vorlesung 13: Der Einstein Fi.

Vorlesung 14: Linearisierte Grav.

Vorlesung 15: Linearisierte Grav.

Vorlesung 16: Gravitations-R.

Vorlesung 17: Gravitations-R.

Vorlesung 20: Sphärische Compa.

Vorlesung 21: Sphärische Compa.

Vorlesung 23: Schwarze Löcher II

SCOTT HUGHES: Wir machen also einfach da weiter, wo wir letztes Mal aufgehört haben. Wir beginnen also zu diskutieren, wie wir einen geometrischen Ansatz in der Physik verfolgen werden, indem wir jetzt einen allgemeineren Satz von Koordinaten verwenden. Also fingen wir an, darüber zu sprechen, wie sich die Dinge ändern, wenn ich über die spezielle Relativität spreche, also halten wir uns im Moment nur bei der speziellen Relativität.

Wir werden übrigens ziemlich bald damit beginnen, unsere Annahmen aufzuheben, dass es sich einfach um spezielle Relativitätstheorie handelt. Aber um das einzurichten, muss ich darüber nachdenken, wie ich in allgemeineren Koordinatensystemen arbeiten kann. Also machen wir es in den einfachsten krummlinigen Koordinaten. Es geht also im Grunde nur von kartesischen Koordinaten im Raumsektor zu ebenen Polarkoordinaten.

Eines der Dinge, die ich ein paar Mal betont habe und auf die ich weiter eingehen werde, ist, dass sich diese ein wenig von den krummlinigen Koordinaten unterscheiden, an die Sie in Ihrem früheren Leben gewöhnt sind. Insbesondere wenn ich die Verschiebung, den kleinen Vektor des Verschiebungselements, auf übliche Weise ausschreibe, verwende ich eine sogenannte "Koordinatenbasis", was bedeutet, dass der Vektor dx mit der Verschiebung, dem Differential der Koordinaten, durch genau das, was mit allen Basisvektoren kontrahiert ist.

Das bedeutet also, dass ich eine kleine zeitliche Verschiebung habe, was normal aussieht. Verschiebung im Radius, die normal aussieht. Verschiebung in z-Richtung, die normal aussieht, und eine Verschiebung in einem Winkel, die dies nicht tut. Damit das Ganze maßhaltig ist, sagt mir das, dass e phi die Dimensionen der Länge haben muss. Und das ist ein Feature, kein Bug.

Letztes Mal haben wir die Matrix eingeführt, die es mir ermöglicht, zwischen einem Koordinatensystem in ein anderes umzurechnen, also im Grunde genommen die Matrix - es ist eine Art Jacobi-Matrix. Es ist eine Matrix von Teiltönen zwischen den beiden Koordinatensystemen. Und diese Vorstellung, dass die Dinge-- sie sehen ein bisschen seltsam aus.

Ich habe es also nicht wirklich aufgeschrieben, sondern die übliche Zuordnung zwischen x, y und r und phi gemacht, alle meine Ableitungen ausgearbeitet. Und tatsächlich, Sie haben etwas, das sehr Standard aussieht, mit der möglichen Ausnahme dieser Rs, die hier auftauchen. Beachten Sie also die Elemente dieser Matrix. Diese haben keine konsistenten Einheiten – wieder Feature, kein Fehler.

Dieser Typ ist im Grunde nur das Gegenteil davon. Dies ist die Matrix, die die Koordinaten in die entgegengesetzte Richtung beeinflusst. Beachten Sie in diesem Fall, dass Sie einige Elemente haben, deren Einheiten 1 über der Länge sind.

Lassen Sie uns also einfach weiter katalogisieren, wie einige der Dinge, mit denen wir arbeiten werden, in dieser neuen Koordinatendarstellung aussehen. Und dies wird uns dazu bringen, eines der mathematischen Objekte vorzustellen, das wir ausgiebig verwenden werden, wenn wir dieses Thema weiter studieren. Als nächstes möchte ich mir ansehen, wie meine Basisvektoren aussehen.

Ich möchte also charakterisieren, wie mein e r und mein e phi aussehen. Und diese werden Ihrer Intuition sehr bekannt vorkommen, da Sie Dinge wie E&M in nicht-kartesischen Koordinaten studiert haben. Ihr e r bezieht sich also nur auf die ursprünglichen kartesischen Basisvektoren.

Und wenn Sie möchten, können Sie das leicht auslesen, indem Sie die folgende Matrixmultiplikation mit den ursprünglichen kartesischen Basisvektoren durchführen. Dein e phi sieht vielleicht ein bisschen verrückt aus. Sie können also sehen, wie die Länge dort ins Spiel kommt.

Eine gute Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, wenn Ihre Intuition über Basisfaktoren – ich muss selbst mit dieser Sprache vorsichtig sein – Ihre Intuition über Basisvektoren typischerweise ist, dass es sich um Einheitsvektoren handelt. Dies sind keine Einheitsvektoren. Sie bilden eine schöne Basis, aber sie sind keine Einheitsvektoren.

Die Grundidee, die wir hier verfolgen werden, ist insbesondere, dass e phi immer in die tangentiale Richtung zeigt. Aber egal, wo ich ihn im Radius einsetze, ich möchte, dass dieser Vektor immer den gleichen Winkel einschließt. Dazu muss seine Länge mit r wachsen. Das ist also der Unterschied zu Ihrer Intuition. Und das hat einen sehr guten Grund, den wir hoffentlich noch lange vor Ende des heutigen Unterrichts erreichen werden.

Das letzte Mal, als wir vor ein paar Vorlesungen zum ersten Mal über Tensoren zu sprechen begannen, war der erste Tensor, den ich Ihnen gegeben habe – also beschränken wir uns nur auf kartesische Koordinaten – die Metrik, die ursprünglich als dieses mathematische Objekt eingeführt wurde, das herauskam Punktprodukte zwischen Basisvektoren zu betrachten. Es ist im Wesentlichen ein Tensor, der es mir ermöglicht, zwei Verschiebungen einzugeben und das invariante Intervall zwischen diesen Verschiebungen zu erhalten, das daraus resultiert.

Ich werde weiterhin das Skalarprodukt zweier Basisvektoren als "Metrik" bezeichnen. Aber ich werde dafür ein etwas anderes Symbol verwenden. Ich nenne das g Alpha Beta.

In der Koordinatendarstellung, die wir gerade verwenden, also in ebenen Polarkoordinaten, wird dies zu-- Sie können es aus dem errechnen, was ich hier aufgeschrieben habe. Dies ist nur die Diagonale von minus 1, 1 r zum Quadrat 1. Dies entspricht hier also dem Punkt. Das ist-- Ich werde PPC für ebene Polarkoordinaten darunter setzen.

Und damit wissen Sie, dass Sie immer die invariante Verschiebung zwischen zwei Ereignissen berechnen können. Es wird immer die Metrik sein, die mit dem Differentialverdrängungselement zusammengezogen wird. Und das ist minus dt zum Quadrat plus dr zum Quadrat plus r zum Quadrat d phi zum Quadrat plus dz zum Quadrat.

Das macht hoffentlich viel Sinn. Dies ist genau das, was Sie erwarten würden, wenn ich zwei Ereignisse habe, die in ebenen Polarkoordinaten durch dt, dr, d phi, dz getrennt sind. So sollte der Abstand zwischen ihnen sein.

Die Tatsache, dass meine Basisvektoren diese etwas nervige Form haben, kommt hier irgendwie ins Wanken. Denken Sie am Ende des Tages daran, wenn wir an darstellungsunabhängige Größen denken – und das wird der Schlüssel sein. Wenn man aus diesen Dingen, den einzelnen Tensorkomponenten, Skalare zusammensetzt, können sie manchmal etwas verwirrend sein.

Es sind keine Dinge, die wir messen. Es sind keine Dinge, die wirklich charakterisieren, womit wir arbeiten werden. Und wir wollen wirklich in die Physik einsteigen, es sei denn, wir sind sehr vorsichtig damit. Das ist etwas, das Sie messen können. Und so kommt es tatsächlich heraus, und es hat eine gute Bedeutung.

Lassen Sie mich noch eine letzte Sache zusammenfassen, bevor ich darüber rede, wohin wir damit gehen. Lassen Sie mich also der Vollständigkeit halber die Basis aufschreiben, die man bildet. So wie die Basisvektoren eine etwas komische Form hatten, werden Sie feststellen, dass die Basis-Eins-Formen ebenfalls eine etwas komische Form haben.

Und die Art und Weise, wie ich diese erhalten werde – und dies wird die kartesische Basis sein, die man bildet – im Grunde werde ich alle diese Beziehungen an dieser Stelle nicht sorgfältig beweisen, weil Sie alle wissen, wie das geht. Ich verwende nur die Indexregel. Und wenn Sie das tun, erhalten Sie dies. Und ebenso deine Basis ein Formular für die Achsrichtung, ich schreibe einfach das Ergebnis auf. Es wird so aussehen.

Also der entscheidende Ort, an dem all dies-- im Moment sind dies alle nur eine Art Definition. Nichts, was ich hier getan habe, sollte etwas sein, das auch nur annähernd eine Überraschung ist, hoffe ich, nur wenn man bedenkt, was ihr getan habt - das Wichtigste, was wahrscheinlich neu ist, ist all dieser Müll, der mit Koordinatenbasen verbunden ist, diese zusätzlichen Faktoren von r und 1 über r die auftauchen. Aber vorausgesetzt, Sie sind bereit, Ihr Unbehagen zu schlucken und alles zu tun, sind dies keine schwierigen Berechnungen.

Der Schlüsselpunkt, an dem all dies wirklich wichtig ist, wird sein, wenn wir Ableitungen von Dingen berechnen. Es wird sich später herausstellen, dass es eine wichtige Regel gibt, wenn wir auch über Integrale sprechen, aber sagen wir es einfach so. Deshalb konzentrieren wir uns vorerst auf Derivate.

Bei all den Ableitungen, die wir uns bisher angesehen haben, haben wir tatsächlich ein paar Berechnungen durchgeführt, bei denen wir die Ableitungen verschiedener vektor- und tensorwertiger Größen berechnet haben. Dabei hat mir geholfen, dass alle Basen konstant sind, wenn ich in kartesischen Koordinaten arbeite.

Nun, das ist jetzt nicht der Fall. Jetzt müssen wir also berücksichtigen, dass die Basen alle mit unseren Koordinaten variieren. Lassen Sie mich also schnell einen Katalog all der nicht-trivialen Dinge erstellen – im Grunde sind es vier. In diesem Fall, in dem ich nur ebene Polarkoordinaten mache, gibt es vier nicht-triviale Ableitungen, über die wir uns Gedanken machen müssen.

Einer von ihnen stellt sich tatsächlich als 0 heraus. Die radiale Ableitung des radialen Einheitsvektors ist also 0. Die Phi-Ableitung des Phi-Einheitsvektors ist es jedoch nicht. Sie gehen und nehmen die Phi-Ableitung von diesem Kerl, und Sie erhalten im Grunde... nehmen Sie die Phi-Ableitung davon, Sie werden das zurückbekommen, Modulo-Faktor des Radius.

Also kann ich d e r d phi als e phi über r schreiben. Wenn ich die Ableitung von e phi nach r ziehe, erhalte ich e phi geteilt durch r zurück. Der einfachste Weg, dies zu schreiben, ist also so.

Und schließlich, wenn ich die Phi-Ableitung des Phi-Einheitsvektors nehme, bekomme ich e r zurück, mit einem zusätzlichen Faktor von r. Und einem Minuszeichen. Wir werden später einen etwas systematischeren Weg sehen, aber ich möchte nur das einfache Beispiel beibehalten, bei dem Sie alle nicht-trivialen Ableitungen einfach von Hand berechnen können.

Natürlich gibt es auch einen t-Einheitsvektor und einen z-Einheitsvektor. Aber sie sind Konstanten, also werde ich mir nicht die Mühe machen, sie aufzuschreiben. Alle mit ihnen verbundenen Ableitungen sind gleich 0.

Stellen wir uns nun vor, dass ich einen Vektor zusammengestellt habe. Ich habe also ein Vektorfeld, das in dieser Raumzeit lebt. Und ich nutze diese Grundlage. Und so würde ich diesen Vektor mit Komponenten v alpha schreiben. Und lassen Sie uns die-- das wird also ein krummliniges Koordinatensystem sein, also werden hier ebene Polarkoordinaten verwendet, ebene Polarkoordinaten-Basisvektoren.

Und ich möchte den Tensor zusammenbauen, den Sie sich im Wesentlichen als den Gradienten dieses Vektors vorstellen können. Beginnen wir also damit in einer Art abstrakter Notation. Die Steigung dieses Typen ist also eine hässliche Notation, aber leben Sie damit.

Nach dem, was wir die ganze Zeit getan haben, möchten Sie einfach die Wurzel dieser ganzen Sache schlagen. Es wird eine Komponente unten haben. Bringen Sie also dem Basisformular ein Formular bei. Wenn Sie es vorziehen, können Sie es mit der d-Notation schreiben, wie ich es dort habe, aber ich möchte nur bei der Form bleiben, die ich in meinen Notizen geschrieben habe.

Wenn ich das so betrachte, wie ich es jetzt irgendwie verstanden habe, kann ich mir vorstellen, dass, wenn ich die Basis-Eins-Formulare hier nicht einbeziehe, dies die Komponenten einer Eins-Form sein sollten. Dies sollte also eine Art Objekt sein. Lassen Sie uns dieses Derivat also einfach erweitern.

Schreiben wir es so. Also haben Sie nur-- wir haben die Berechnung nicht geändert. Wenn ich dies tue, werde ich im Grunde die altmodische Leibniz-Regel verwenden, um das Ableitungsprodukt zweier Dinge zu erweitern.

Hier ist das Wichtigste, was ich hervorheben möchte – damit das Ganze ein tensorielles Objekt ist, etwas, das ich mit dieser Basis einer Form verbinde, muss die Summe dieser beiden Objekte den Regeln für . gehorchen Tensoren umwandeln. Aber die beiden Objekte einzeln nicht. Das ist also ein wichtiger Punkt, den ich gleich noch einmal mit etwas anderen Worten hervorheben werde. Dies ist eines der wichtigsten Dinge, die Sie aus dieser Vorlesung herausholen möchten, ist, dass Sie, wenn ich Derivate von solchen Dingen nehme, ein wenig vorsichtig sein müssen, was Sie als Komponenten von Tensoren betrachten und Was ist nicht.

So wie es geschrieben steht, ist das irgendwie nervig. An mein erstes Objekt ist also ein schöner Basisvektor angehängt. Mein zweites Objekt beinhaltet eine Ableitung des Basisvektors.

Wir haben hier jedoch gesehen, dass Ableitungen von Basisvektoren selbst proportional zu Basisvektoren sind. Ich werde also ein wenig Notation einführen. Lassen Sie mich hier die Notation etwas ändern.

Die Beta-Ableitung von e alpha kann also geschrieben werden als – im Allgemeinen kann sie als Linearkombination von Basisvektoren geschrieben werden. Also definieren wir d-- Ich möchte sicherstellen, dass meine griechischen Buchstaben für jeden hier im Raum lesbar sind. Lassen Sie mich das schön und klar schreiben.

d beta von e alpha, ich werde das als Hauptstadt gamma mu beta alpha e mu schreiben. Dieses Gamma, das ich hier gerade in diesem Zusammenhang eingeführt habe, ist als Christoffel-Symbol bekannt. Tatsache ist, dass ich das ein Symbol nenne, es hat drei Indizes darauf.

Du könntest es dir ansehen und gehen, ooh, riecht wie ein Tensor. Seien Sie ein bisschen vorsichtig. So wie diese beiden Terme nicht einzelne Bestandteile eines Tensors sind, sondern ihre Summe ist, ist dieser Typ einzeln tatsächlich kein Bestandteil eines Tensors, aber wenn er mit anderen Dingen kombiniert wird, können wir Tensoren zusammenbauen.

Für unsere ebenen Polarkoordinaten gibt es also genau drei von Null verschiedene Christoffel-Symbole.Gamma phi r phi ist also gleich 1 über r, was auch gleich Gamma phi phi r ist. Gamma r phi phi ist minus r. Und das kannst du im Grunde einfach aus der Tabelle herauslesen, die ich da drüben aufgeschrieben habe. Alle anderen sind gleich 0.

In diesem Beispiel riecht es jedes Mal so, wenn Sie eine neue Koordinatendarstellung einführen. Du musst dich anderthalb Stunden oder so hinsetzen und einfach all die verdammten Derivate ausrechnen und dann gehen, oh, Mist, und all die verschiedenen Komponenten dieses Dings vorlesen und montieren sie zusammen. Es gibt tatsächlich einen Algorithmus, zu dem wir am Ende dieser Klasse kommen werden, der es Ihnen ermöglicht, die Christoffel-Symbole leicht zu extrahieren, sofern Sie die Metrik kennen.

Aber jetzt möchte ich diese Sache nur konzeptionell veranschaulichen. Das Wichtigste, was Sie darüber wissen sollten, ist, dass es im Wesentlichen das-- ich hätte fast das Wort "Matrix" gesagt, aber es hat drei Indizes. Es ist eine Funktionstabelle, die es mir ermöglicht, Ableitungen von Basisvektoren mit den Basisvektoren in Beziehung zu setzen. Bevor ich also über einige dieser Dinge spreche, werfen wir einen genaueren Blick auf das Derivat.

Also die Ableitung des Vektors - also nehmen wir im Grunde das, was ich da oben geschrieben habe. Ich werde dies als Beta-Ableitung von Vektor v schreiben. Und ich kann das als Beta-Ableitung von e von v Alpha schreiben – also der erste Term, bei dem die Ableitung die Vektorkomponenten trifft.

Und dann habe ich einen zweiten Term, bei dem die Ableitung die Basis trifft. Ich werde das so schreiben. Das ist irgendwie nervig. Ein Term ist proportional zu e alpha, einer ist proportional zu e mu.

Beachten Sie jedoch, dass vor allem im zweiten Term sowohl Alpha als auch Mu Dummy-Indizes sind, also kann ich sie umbenennen. Also werde ich Alpha und Mu neu benennen, indem ich sie austausche. Solange ich das konsequent mache, ist das total koscher. Und wenn ich das tue, kann ich einen Gesamtfaktor des Basisobjekts herausrechnen.

Diese Kombination, die hier auftaucht, geben wir ihr einen Namen. Und das ist eine Kombination, bei der ich am Ende dieses Semesters, wenn Sie nicht mindestens einen Albtraum haben, in dem dieser Name auftaucht, meinen Job nicht richtig gemacht habe. Das zeigt sich an dieser Stelle viel.

Dies wird als "kovariante Ableitung" bezeichnet. Und es zeigt sich genug, dass wir eine ganz neue Notation für die Ableitung einführen, um sie zu berücksichtigen. Ich nenne diese Kombination der partiellen Ableitung von v und v gekoppelt an das Christoffel-Symbol – ich werde dies mit dem schreiben, wenn Sie LaTeX sprechen, wäre dies der Nabla-Operator.

Ich habe also vorhin, als wir vor ein paar Wochen über Derivate sprachen, darauf hingewiesen, dass wir das Farbverlaufssymbol später für einen besonderen Zweck reservieren. Hier ist es. Wenn ich also eine Ableitung mache, die das Gradientensymbol wie folgt enthält, ist es diese kovariante Ableitung.

Und die kovariante Ableitung, die auf Vektorkomponenten wirkt, erzeugt Tensorkomponenten. Partielle Ableitung nicht. Und was ich tun werde, nur aus Zeitgründen – es ist eine dieser einfachen, aber ziemlich mühsamen Berechnungen – ich habe eine Reihe von Notizen, die ich mir live machen wollte, bevor ich hierher gefahren bin, aber ich habe es vergessen . Ich habe eine Reihe von Notizen, die ich bis heute Abend auf der Website zeigen werde, die explizit herausarbeiten, was passiert, wenn Sie die Koordinatentransformation damit anwenden – sie wurde gelöscht – wenn Sie diese L-Matrix verwenden, um die Koordinate zu konstruieren Transformation zwischen zwei Darstellungen.

Wenn Sie versuchen, dies mit partiellen Ableitungen von Vektorkomponenten zu tun, finden Sie im Grunde, dass es einen zusätzlichen Begriff gibt, der Ihre Fähigkeit, dies zu nennen, verdirbt – er verdirbt das Tensortransformationsgesetz, verdirbt Ihre Fähigkeit, dies als Tensorkomponente zu bezeichnen. Der Teil allein lässt Sie also nicht zu. Sie erhalten einige zusätzliche Begriffe, die mitkommen und alles durcheinander bringen.

Im nächsten p-Satz werden Sie zeigen, dass Sie, wenn Sie dann versuchen, das Tensortransformationsgesetz auf die Christoffel-Symbole anzuwenden, etwas erhalten, das tensoriell aussieht, aber mit einem zusätzlichen Begriff, der Ihre Fähigkeit beeinträchtigt, es tensoriell zu nennen. Da ist ein bisschen mehr Müll drin.

Aber die beiden Begriffe verschwören sich genau so, dass sie sich gegenseitig aufheben, so dass die Summe tensoriell ist. Teil eins davon werden also Notizen sein, die ich spätestens heute Abend auf der Website poste. Teil zwei werdet ihr am P-Set machen.

Also einfach in Mathe sagen, was ich gerade in Worten gesagt habe, wenn ich das tue, wie ich schon sagte, wirst du im Grunde irgendwann den Punkt erreichen, an dem das, was ich gerade schreibe, so automatisch wird, dass es deine Träume verfolgen wird. Moment mal, ich habe das vermasselt. Es ist so automatisch, dass ich es nicht einmal richtig schreiben kann.

Wie auch immer, so etwas wird – modulo mein Tippfehler – das sollte automatisch werden. Und das Wichtigste, was ich anmerken möchte, ist, dass, wenn ich diese Typen nehme und ihnen die entsprechenden Basisobjekte beifüge, dies ein ehrlicher Tensor ist. Und so ist dieses Derivat selbst ein ehrlicher Tensor.

Eine typische Anwendung davon, also eine, die noch etwas auftauchen wird, ist, wie man eine Raumzeit-Divergenz in jedem Koordinatensystem berechnet? Nehmen wir also an, ich nehme die Divergenz eines Vektorfeldes v. Sie haben also vier Terme, die nur die üblichen sind, wie als Sie gelernt haben, wie man Divergenz in E&M-Neulingen in kartesischen Koordinaten macht. Sie erhalten einen Begriff, der nur dv x dx, dv y dy usw. ist.

Sie haben also einen Begriff, der genau so aussieht, und Sie werden etwas haben, das alle Christoffel-Symbole enthält. Beachten Sie die Symmetrie, die wir hier haben. Tatsächlich wird hier die Einstein-Summierungskonvention auferlegt.

Aber wenn wir uns das ansehen, gibt es tatsächlich nur ein Christoffel-Symbol, das an dieser ersten Position wiederholte Indizes hat. Wenn ich das alles zusammenfüge, hast du am Ende etwas, das so aussieht. Gehen Sie also zurück und überprüfen Sie Ihr Exemplar von Jackson, Purcell oder Griffith, was auch immer Ihr Lieblings-E&M-Lehrbuch ist.

Und Sie werden sehen, wenn Sie in Zylinderkoordinaten arbeiten, Sie werden tatsächlich feststellen, dass es eine Korrektur des radialen Termes gibt, die 1 über r beinhaltet. Das ist genau so herausgekommen, wie Sie denken, dass es sollte. Sie haben natürlich eine etwas verrückte Sache mit Ihrer Phi-Komponente.

Und lassen Sie mich nur ein oder zwei Sekunden damit verbringen, sicherzugehen. Es kommt oft vor, besonders während wir eine Intuition für das koordinative Arbeiten entwickeln, ist es keine schlechte Idee, einen kleinen Gesundheitscheck durchzuführen. Also hier ist ein Gesundheitscheck, den ich damit machen würde.

Wenn ich die Divergenz nehme, nehme ich eine Ableitung eines Vektorfeldes, das endgültige Objekt, das daraus entsteht, sollte die Abmessungen dieses Vektors geteilt durch die Länge haben. Wenn man sich daran erinnert, dass c gleich 1 ist, wird dieser Vektor eindeutig durch die Länge geteilt. Das wird diesen Vektor eindeutig durch Länge teilen, Vektor durch Länge teilen, explizit Vektor durch Länge teilen. Das ist seltsam.

Aber denken Sie daran, die Basisobjekte selbst sind ein wenig seltsam. Eines der Dinge, die wir gesehen haben, war, dass e phi die Dimensionen der Länge hat. Damit der Vektor selbst konsistent ist, muss v phi die Dimensionen von v geteilt durch die Länge haben. Wenn ich also nur seine Phi-Ableitung nehme, erhalte ich etwas, das genau so aussieht, wie es sollte, wenn es eine Divergenz sein soll.

Lassen Sie uns weitermachen und darüber nachdenken, wie ich eine kovariante Ableitung anderer Arten von Tensorobjekten nehme. Dies ist alles, was Sie wissen müssen, wenn Sie sich Sorgen über die Ableitung von Vektoren machen. Aber wir werden mit vielen verschiedenen Arten von Tensorobjekten arbeiten.

Eine der wichtigsten Vorlesungen, die wir in etwa einem Monat halten werden, besteht darin, sich eine Reihe von kovarianten Ableitungen einiger vierindizierter Objekte anzusehen, also wird es chaotisch. Gehen wir unseren Weg dorthin. Angenommen, ich möchte die Ableitung eines Skalars nehmen. Skalare haben kein angehängtes Basisobjekt.

Es gibt kein Basisobjekt. Wenn ich das Derivat nehme, muss ich mir keine Sorgen machen, dass etwas herumwackelt. Es kommen keine Christoffel-Symbole rein. Wenn ich die kovariante Ableitung eines Feldes phi nehmen möchte, ist es nichts anderes als die partielle Ableitung dieses Feldes phi – boom. Glückliche Tage.

Wie wäre es mit einem One-Formular? Der lange Weg dazu wäre im Wesentlichen zu sagen: Nun, ich begann damit, indem ich mir ansah, wie meine Basisvektoren variierten, während ich ihre Ableitungen nahm. Machen wir dasselbe für die Basis, die man bildet, bauen Sie meinen Tisch zusammen, machen Sie viel Mathe, bla, bla, bla.

Macht euch fertig, wenn ihr das tun wollt. Es gibt eine Abkürzung. Lassen Sie uns die Tatsache nutzen, dass ich einen Skalar erhalte, wenn ich eine Eins-Form auf einem Vektor kontrahiere.

Nehmen wir also an, ich betrachte die beta-kovariante Ableitung von p alpha auf einem alpha. Das ist ein Skalar. Dies ist also nur die partielle Ableitung.

Und eine partielle Ableitung des Produkts von etwas, das ich ganz einfach erweitern kann. Unter Verwendung der Tatsache, dass dies nur zum Teil wird, kann ich dies als Alpha d Beta p Alpha plus p unten Alpha schreiben. Also was nun?

Nun, schreiben wir dies mit der kovarianten Ableitung um. Verzeihen Sie mir eine Sekunde, während ich in meinen Notizen gefangen bin. Hier sind wir. Ich kann dies als kovariante Ableitung minus der Korrektur schreiben, die von diesem Christoffel-Symbol kommt. Verzeihen Sie mir nur eine Sekunde. Es gibt hier ein paar Zeilen, die ich sehr ordentlich schreiben möchte.

Also, wenn ich das einfüge--oops Tippfehler. Der letzte Tippfehler ist wichtig, denn ich werde jetzt den Trick umbenennen. Ich werde mir also die Tatsache zunutze machen, dass in diesem letzten Term sowohl Alpha als auch Mu Dummy-Indizes sind. In diesem letzten Begriff, den ich hier aufgeschrieben habe, werde ich Alpha und Mu vertauschen.

Beachten Sie dabei, dass der erste Term und der letzte Term beide proportional zur Komponente a Alpha sind. Lassen Sie uns nun verlangen, dass die kovariante Ableitung, wenn sie auf zwei Dinge wirkt, die miteinander multipliziert werden, eine Ableitung ist, also sollte sie tun, was Ableitungen normalerweise tun. Was wir also tun werden, ist, dass ich, wenn ich diese kovariante Ableitung nehme, in der Lage sein sollte, das Ergebnis so zu schreiben.

Es ist eine gesunde Sache, die jedes Derivat tun sollte. Wenn ich also vergleiche, schaue ich mir das an und gehe, oh, ich habe dort die kovariante Ableitung meiner einen Form. Vergleichen Sie einfach Formulare.

Sehr, sehr ähnlich, aber beachte das Minuszeichen. Es gibt ein Minuszeichen, das dort eingeführt wurde, und dieses Minuszeichen garantiert, wenn Sie diese Kombination von kovarianten Ableitungen, die ich in der vorherigen Zeile habe, tatsächlich erweitern, gibt es eine schöne Aufhebung, so dass der Skalar, den ich bekomme, wenn ich p auf a kontrahiere, tatsächlich passiert nichts Besonderes, wenn ich die kovariante Ableitung mache.

Ich werde dies also weiter verallgemeinern, aber lassen Sie mich hier nur eine kurze Bemerkung machen. Ich begann diese kleine Berechnung, indem ich sagte, wie wir unsere Berechnung der kovarianten Ableitung eines Vektors begonnen haben, hätten wir einfach viele Ableitungen der Basis, die man bildet, nehmen und all diese verschiedenen Tabellen zusammenstellen können und dergleichen. Wenn Sie dies getan hätten, ist es einfach, basierend auf einer solchen Analyse zu finden, dass Sie, wenn Sie eine partielle Ableitung einer Eins-Form nehmen, eine Art Linearkombination von Eins-Formen zurückbekommen.

Sieht genauso aus wie bei einer partiellen Ableitung des Basisvektors, jedoch mit einem Minuszeichen. Und was dieses Minuszeichen bewirkt, ist, dass es, wenn Sie zu einer Vorlesung von vor langer Zeit zurückkehren, als ich zum ersten Mal die Basis-Eins-Formen eingeführt habe, die Idee erzwingt, dass ich ein Identitätsobjekt herausbekomme, wenn ich Basis-Eins-Formen mit Basisvektoren kombiniere davon, die selbst eine Konstante ist. Wenn Sie die Art von Person sind, die diese Art von mathematischer Strenge mag, werden einige Lehrbücher damit beginnen und dann andere Dinge daraus ableiten – ungefähr sechs von einem, ein halbes Dutzend von den anderen.

Also könnten wir an dieser Stelle weitermachen. Und ich könnte sagen, wie mache ich das mit einem Tensor, der zwei Indizes in der oberen Position hat? Wie mache ich das mit einem Tensor, der zwei Indizes in der unteren Position hat? Wie mache ich das für einen Tensor, der 17 Indizes in der oberen Position und 38 in der unteren Position hat? Die Antwort lässt sich leicht aus diesen Regeln ableiten, daher werde ich nur ein paar Beispiele aufschreiben und angeben, was sich herausstellt.

Stellen Sie sich also im Grunde vor, ich möchte die kovariante Ableitung nehmen – machen wir den Spannungsenergie-Tensor – kovariante Ableitung von T mu nu. Denken Sie also daran, dass Christoffel dazu gekommen ist, dass ich, als ich die Ableitung eines Vektors betrachtete, Ableitungen von Basisobjekten betrachtete. Nun, ich schaue mir nun Ableitungen von zwei verschiedenen Basisobjekten an.

Also werde ich mit zwei Christoffel-Symbolen enden. Sie können sich das so vorstellen, als würden Sie jeden dieser Indizes korrigieren. Ich kann dies mit den Indizes in der unteren Position tun. Erraten Sie, was? Kommt mit und korrigiert alle mit Minuszeichen.

Lassen Sie mich der Vollständigkeit halber nur die allgemeine Regel aufschreiben. Wenn ich mir die kovariante Ableitung eines Tensors mit einem Gajillion oberen Indizes und einem Gajillion unteren Indizes anschaue, erhalten Sie einen Term, der nur eine partielle Ableitung dieses Typs ist, und Sie erhalten eine Christoffel-Kopplung für jeden von diesen. Pluszeichen für alle oben, Minuszeichen für alle unten. Das war ein bisschen mühsam.

Wenn ich dir so einen Tensor gebe, musst du im Grunde einfach durchgehen. Und es wird eine Art fast Affenarbeit. Sie müssen nur jeden der Indizes auswendig durchgehen und korrigieren, indem Sie einen Algorithmus verwenden, der so aussieht. Oh, jeez, beim zweiten ist absolut ein Minuszeichen. Danke. Ich weis das zu schätzen.

So wie wir die Dinge bisher gemacht haben, und ich habe es irgendwie betont, riecht es irgendwie so, dass Sie Ihre neue Koordinatendarstellung auswählen, all Ihre verschiedenen Basisobjekte zusammenwerfen und dann einfach anfangen then Nun ja, lass uns anfangen, Ableitungen zu nehmen und sehen, wie all diese Dinge in Bezug aufeinander variieren, meine Tabelle der Gammas zusammenstellen und dann meine kovariante Ableitung machen.

Wenn wir das tatsächlich so gemacht hätten, hätte ich meine Forschungskarriere nicht für dieses Gebiet gewählt. Das wäre scheiße. Bevor Odin uns Mathematica zur Verfügung gestellt hat, wäre dies sicherlich absolut unanfechtbar gewesen. Aber auch damit wäre es unglaublich mühsam.

Es gibt also einen besseren Weg, dies zu tun, und zwar über die Metrik. Bevor ich herleite, was der Algorithmus eigentlich ist, möchte ich eine äußerst wichtige Eigenschaft von Tensorbeziehungen vorstellen, auf die wir in diesem Kurs zurückkommen und die wir ziemlich oft verwenden werden. Dies ist also etwas, auf das wir eigentlich immer wieder angespielt haben, aber ich möchte es etwas formaler machen und es einfach klar formulieren. Diese Beziehung, die ich verwenden werde, ist also eine Art Tensorgleichung, eine Tensorgleichung, die in einer Darstellung gilt, muss in allen Darstellungen gelten.

Kommen Sie auf die Intuition zurück, als ich anfing, Physik in Bezug auf geometrische Objekte in der Raumzeit zu beschreiben. Einer der wichtigsten Punkte, den ich versucht habe, wirklich hervorzuheben, ist, dass ich verschiedene Dinge haben kann – sagen wir, mein Arm ist ein bestimmter Vektor in der Raumzeit. Jemand, der mit dreiviertel Lichtgeschwindigkeit durch den Raum rennt, wird meinen Arm mit verschiedenen Darstellungen beschreiben. Sie werden Längenkontraktionen sehen. Sie werden sehen, dass die Dinge verschiedene Dinge umfassen.

Aber das geometrische Objekt, das Ding, das zwischen zwei Ereignissen in der Raumzeit liegt, ändert sich nicht, auch wenn die Darstellung dieser Ereignisse es könnte. Dies gilt nicht nur für Lorentz-Transformationen, sondern für alle Klassen von Transformationen, die wir in unserer Analyse verwenden möchten. Eine Änderung der Darstellung kann die Gleichung nicht ändern. So geschrieben klingt es wie, na ja, aber wie wir sehen werden, hat es wichtige Konsequenzen.

Betrachten wir als Aufwärmübung, wie wir dies verwenden möchten, den doppelten Gradienten eines Skalars. Lassen Sie uns also definieren – sagen wir einfach, dass dies das Objekt ist, das ich berechnen möchte. Lassen Sie uns dies zunächst in einer kartesischen Darstellung tun.

In einer kartesischen Darstellung nehme ich nur zwei partielle Ableitungen. Ich habe ein paar Basisformulare dafür. Also ich habe so etwas. Was ich hervorheben möchte, ist, dass in kartesischen Koordinaten d alpha d beta von phi geschrieben ist – das sind die Komponenten eines Tensors in dieser Darstellung.

Und das Entscheidende ist, dass sie beim Austausch der Indizes Alpha und Beta offensichtlich symmetrisch sind. Wenn ich nur partielle Ableitungen nehme, spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge ich sie aufnehme. Das muss symmetrisch sein.

Betrachten wir nun den doppelten Gradienten eines Skalars in einer allgemeineren Darstellung. In einer allgemeinen Darstellung werde ich also verlangen, dass diese beiden Ableitungen kovariante Ableitungen sind. Nun wissen wir, dass einer von ihnen sehr trivial durch einen partiellen ersetzt werden kann, der andere jedoch nicht. Halte diesen Gedanken für eine Sekunde.

Wenn dieses Ding in der kartesischen Darstellung symmetrisch ist, behaupte ich, dass es auch in einer allgemeinen Darstellung wahr sein muss. Mit anderen Worten, das Vertauschen der Reihenfolge der kovarianten Ableitungen, wenn sie auf einen Skalar wirken, sollte mir dasselbe zurückgeben. Mal sehen, was das bedeutet.

Wenn ich also verlange, dass das Folgende wahr ist, heißt das: Ups. Lassen Sie uns dies also um eine weitere Ebene erweitern. Also korrigiere ich jetzt den Index unten und hier drüben.

Die Begriffe, die nichts als Teiltöne beinhalten, heben sie offensichtlich auf. Ich habe einen gemeinsamen Faktor von d mu von Phi. Verschieben wir also eines davon auf die andere Seite.

Was wir gelernt haben ist, dass diese Anforderung, dass diese Kombination von Ableitungen symmetrisch ist, mir etwas über die Symmetrie der Christoffel-Symbole selbst sagt. Wenn Sie zu dieser kleinen Tabelle zurückkehren, die ich für ebene Polarkoordinaten aufgeschrieben habe, war dies eine, in der ich nur drei nicht triviale Komponenten berechnet habe, aber darin war eine Symmetrie. Und wenn Sie es überprüfen, werden Sie feststellen, dass es mit dem übereinstimmt, was ich gerade hier gefunden habe.

Verzeihen Sie mir nur eine Sekunde. Ich möchte ein paar meiner Notizen organisieren. Diese sind alle aus der Ordnung geraten. Hier ist es.

Lassen Sie mich dies nur zum Anlass nehmen, ein wenig Notation einzuführen. Wenn ich Ihnen einen Tensor mit zwei Indizes gebe und diese Indizes in Klammern schreibe, bedeutet dies, dass ich eine sogenannte "Symmetrisierung" vornehme. Wir werden dies von Zeit zu Zeit verwenden.

Wenn ich eckige Klammern schreibe, nennen wir dies "Anti-Symmetrisierung". Und so haben wir gerade gelernt, dass Gamma Mu Alpha Beta gleich Gamma Mu Alpha Beta mit Symmetrierung auf den letzten beiden Indizes ist.Wir haben auch gelernt, dass ich, wenn ich dies gegen ein Objekt kontrahiere, wenn diese antisymmetrisch wären, eine 0 daraus ziehen muss. Das ist eine kurze Randnotiz, aber das sind wichtige Dinge, und ich möchte sicherstellen, dass Sie die Möglichkeit haben, sie zu sehen.

Versuchen Sie also, hier eine Entscheidung darüber zu treffen, wohin wir die Dinge weiterführen wollen. Wir nähern uns dem Ende eines Satzes von Notizen. Es gibt noch eine Sache, die ich tun möchte.

Also habe ich die ganze Sache so aufgebaut, dass ich euch einen Algorithmus geben wollte, wie man die Christoffel-Symbole generiert. Ich werde dies tun, indem ich den Gradienten der Metrik untersuche. Angenommen, ich möchte die folgende Tensorgröße berechnen - sagen wir, ist g der metrische Tensor, der hier in der ziemlich abstrakten Notation geschrieben ist. Und das ist mein vollständiger Tensorgradient dieses Dings.

Wenn Sie dies also in seiner vollen Pracht aufschreiben möchten, könnte ich dies in etwa so schreiben. Aber wenn Sie kurz innehalten und darüber nachdenken, kehren wir zu diesem Prinzip zurück. Eine Gleichung, die in einer Darstellung tensoriell ist, muss in allen tensoriell sein. Angenommen, ich wähle die kartesische Darstellung dieses Dings.

Nun, dann sieht es dort so aus. Aber das ist eine Konstante. Wenn ich dies in kartesischen Koordinaten tue, muss es 0 sein. Der einzige Weg, wie ich diese Art von Verhalten mit diesem Prinzip machen kann, dass eine Gleichung, die in einer Darstellung tensoriell ist, in allen Darstellungen gilt - das führt mich zu sagen: Ich muss fordern, dass die kovariante Ableitung der Metrik gleich 0 ist.

Wir werden dies verwenden. Und ich denke, dies wird die letzte detaillierte Berechnung sein, die ich in meinem heutigen Vortrag mache. Wir werden dies verwenden, um einen Weg zu finden, das Christoffel-Symbol aus partiellen Ableitungen der Metrik zu erhalten.

Hier gibt es viele Begriffe und viele kleine Indizes. Also werde ich mein Bestes tun, um meine Handschrift ordentlich zu machen. Ich werde eine Beziehung aufschreiben, die ich "römische Zahl I" nenne. Die kovariante Ableitung in Gammarichtung, G alpha beta - weißt du was, lass mich das etwas tiefer setzen, damit ich diese beiden bekommen kann Begriffe in der gleichen Zeile.

Also bekomme ich diese Sache, die zwei Christoffel-Symbole beinhaltet, die diese beiden Indizes korrigieren. Dies wird gleich 0 sein. Ich scheine nicht wirklich weit gekommen zu sein. Das ist wahr, aber ich habe jetzt zwei verdammte Christoffel-Symbole, die ich irgendwie darin eingearbeitet habe.

Ich versuche, einen Weg zu finden, um einen zu erhalten, und ihn mit Dingen gleichzusetzen, die Ableitungen der Metrik beinhalten. Das ist also eine Art ruh-roh-Moment. Aber diese Reihenfolge der Indizes ist nichts Besonderes.

Mit der Kühnheit, die nur dadurch entsteht, dass ich die Antwort im Voraus kenne, werde ich die Indizes permutieren. Dann geh, oh, lass uns die Indizes noch einmal permutieren. Also gebe ich euch einen Moment, um mich einzuholen.

Vergessen Sie nicht, dass diese Notizen gescannt und der Webseite hinzugefügt werden. Wenn Sie also nicht jedes kleine Detail aufschreiben wollen, verstehe ich das, obwohl ich persönlich finde, dass diese Dinge ein bisschen besser werden, wenn Sie sie tatsächlich selbst aufschreiben.

Das sind also drei Möglichkeiten, wie ich behaupten kann, dass die Metrik keine kovariante Ableitung hat. Sie alle drücken im Grunde dieselbe physikalische Tatsache aus. Ich vertausche nur die Indizes.

Nun, es gibt keinen besseren Weg, dies zu beschreiben, als einfach ein paar Augenblicke darauf zu starren und dann zu gehen, gee, ich frage mich, was passieren würde, wenn- also eine Weile darauf starren. Und dann konstruiere – du weißt, dass ich drei Dinge habe, die gleich 0 sind.

Damit ich sie addieren kann, kann ich das eine vom anderen subtrahieren. Ich kann zwei addieren und eins subtrahieren, was auch immer. Sie sollten mir alle 0 geben.

Und die besondere Kombination, die ich mir ansehen möchte, ist das, was ich bekomme, wenn ich Beziehung eins nehme und davon zwei und drei abziehe. Also werde ich einen Begriff bekommen, der nur diese drei Kombinationen von Derivaten ist, Gamma. Und ich bekomme etwas, das aussieht wie – lass es mich aufschreiben und dann eine Pause machen und einen Kommentar abgeben.

Also habe ich vor ein paar Augenblicken ein paar lahme Witze gemacht, dass der einzige Grund, warum ich das bekommen konnte, im Wesentlichen darin bestand, die Antwort am Ende des Buches zu kennen. Und um es ganz offen zu sagen, für mich persönlich ist das wahrscheinlich wahr. Als ich das zum ersten Mal aufschrieb, musste ich wahrscheinlich einem Algorithmus folgen.

Aber wenn ich das tue ab Anfang, Wenn ich mich zuerst hinsetzte, um dies zu tun, ist der Grund, warum ich all diese verschiedenen Kombinationen von Dingen aufschrieb, der Grund, warum ich versuchte, Begriffe so zusammenzufassen, dass ich diese Symmetrie ausnutzen konnte. Vor wenigen Augenblicken haben wir gezeigt, dass die Christoffel-Symbole auf den unteren beiden Indizes symmetrisch sind.

Und indem ich all diese verschiedenen Kombinationen von Dingen herausstellte, war ich dann in der Lage, sie so zu kombinieren, dass bestimmte Begriffe – sieh dir das an und gehe, ah, Symmetrie auf Alpha und Gamma bedeutet, dass dieser ganze Begriff stirbt. Symmetrie auf Beta und Gamma bedeutet, dass dieser ganze Begriff stirbt. Symmetrie bei Alpha und Beta bedeutet, dass sich diese beiden Jungs kombinieren und ich einen Faktor von 2 bekomme.

Also lasst uns unsere Algebra aufräumen. Verschieben Sie ein paar unserer Terme auf die andere Seitengleichung, da es ein bla, bla, bla gleich 0 ist. Und was wir dabei erhalten, ist gmu unten, gamma ist gleich 1/2.

Was wir jetzt tun werden, ist, dass wir alles auf der rechten Seite definieren – ich habe vorhin betont, dass die Christoffels selbst keine Tensoren sind, aber wir werden uns vorstellen, dass wir es trotzdem können – wir Wir werden es uns nicht vorstellen, wir werden nur definieren-- wir werden sagen, dass wir ihre Indizes mit der Metrik erhöhen und senken dürfen, so wie ihr es mit Vektoren und Eins-Formen gemacht habt und andere Arten von Tensoren. Nennen wir also alles auf der rechten Seite hier Gamma mit allen Indizes in der unteren Position, Gamma Sub Gamma Alpha Beta. Und das ist einfach das, was ich bekomme, wenn ich all diese Dinge so zusammenklicke.

Wenn Sie gehen und die Formeln dafür in verschiedenen Lehrbüchern nachschlagen, die diese verschiedenen Arten von Formeln geben, werden Sie sie normalerweise als 1/2 g-Indizes nach oben geschrieben sehen und dann all das Zeug danach in Klammern. Wenn Sie nachschlagen, ist dies die typische Formel, die in diesen Büchern angegeben wird. Von hier kommt es.

Also muss ich eine Sache überprüfen, weil meine Notizen hier anscheinend ein bisschen nicht in Ordnung sind. Aber trotzdem ist dies ein guter Punkt, da wir gerade eine ziemlich lange Berechnung beendet haben, ist dies ein guter Punkt, um einen wichtigen physikalischen Punkt einzuführen. Wir kommen darauf zurück. Am Donnerstag starten wir damit.

Aber ich möchte damit beginnen, einige physikalische Punkte zu nennen, die uns von der speziellen Relativitätstheorie zur allgemeinen Relativitätstheorie führen werden. Trotz der Tatsache, dass ich diesen neuen mathematischen Rahmen eingeführt habe, steht alles, was ich bisher getan habe, im Kontext der speziellen Relativitätstheorie. Ich werde jetzt eine genauere Definition der speziellen Relativitätstheorie machen.

Spezielle Relativitätstheorie – wir werden uns dies als die Theorie vorstellen, die es uns ermöglicht, die gesamte Raumzeit-Mannigfaltigkeit unter Verwendung von Trägheitsbezugssystemen abzudecken. Wir verwenden also Trägheitsreferenzsysteme oder im Wesentlichen Lorenz-Referenzsysteme und sagen, dass Lorentz-Koordinaten überall gut sind. Wir wissen, dass wir mit Lorentz-Transformationen zwischen verschiedenen Lorentz-Referenzsystemen wechseln können.

Aber das Wichtigste ist, dass, wenn die spezielle Relativitätstheorie richtig wäre, das gesamte Universum durch jedes Trägheitsreferenzsystem, das Sie aufschreiben möchten, genau beschrieben würde. Und davon werde ich im Moment wahrscheinlich nur etwa die Hälfte schaffen. Wir holen es das nächste Mal ab, wenn ich das nicht beenden kann.

Das Wichtigste, was ich hervorheben möchte, ist, dass die Schwerkraft dies bricht. Sobald Sie die Schwerkraft in Ihre Relativitätstheorie einbeziehen, können Sie nicht haben – also nennen wir dies einen globalen Trägheitsrahmen, einen Trägheitsrahmen, der überall gut ist, also „global“ im mathematischen Sinne, nicht „global“ im geographischen Sinne – nicht nur die Erde, das ganze Universum, im Wesentlichen. Sobald wir die Schwerkraft einsetzen, haben wir keine globalen Referenzsysteme und keine globalen Trägheitsreferenzsysteme mehr.

Dieses Wort "quotinertial" ist wichtig. Aber wir werden lokale Inertialsysteme haben dürfen. Ich habe den Unterschied, was "lokal" in diesem Fall bedeutet, nicht genau definiert und werde es für ein paar Vorträge nicht tun.

Aber um Ihnen eine Vorschau zu geben, was das bedeutet, bedeutet es im Wesentlichen, dass wir ein Trägheitskoordinatensystem definieren können, das über einen bestimmten Raumzeitbereich gut ist. Und wir müssen diskutieren und Wege finden, um die Grenzen dieser Region zu verstehen und zu präzisieren. Die Aussage, dass die Schwerkraft die Existenz globaler Lorentz-Frames bricht, ist also, wie ich bereits sagte, eine zweiteilige Sache.

Ich werde ein sehr handschwingendes Argument verwenden, das später recht rigoros gemacht werden kann, aber ich möchte es auf diesem Handschwingen-Niveau belassen, weil es zunächst tatsächlich von einem sehr hochrangigen mathematischen Physiker namens Alfred Schild ausgeführt wurde , der in der frühen Relativitätstheorie arbeitete. Es ist irgendwie so, als ob er so mathematisch wäre, wenn es gut genug für ihn war, ist es gut genug für mich. Und ich denke, obwohl es ein bisschen wellig ist und an mindestens einer Stelle irgendwie albern ist, gibt es ein gutes physisches Gefühl dafür, warum die Schwerkraft anfängt, die Dinge durcheinander zu bringen.

Teil eins ist also die Tatsache, dass es eine gravitative Rotverschiebung gibt. Hier werde ich also besonders albern sein, aber ich werde meine Albernheit durch die Tatsache untermauern, dass alles, was ich hier sage, tatsächlich experimentell verifiziert wurde, oder zumindest die wichtigsten physikalischen Ergebnisse davon. Stellen Sie sich also vor, Sie befinden sich auf einem Turm und lassen einen Felsen aus Ruhemasse m von der Spitze dieses Turms fallen.

Hier sind Sie also. Hier ist dein Fels. Der Stein fällt.

Hier unten steht ein wunderbares Gerät, das ich mit einem p bezeichne. Es heißt Photonulator. Und was der Photonulator tut, er wandelt das Gestein in ein einzelnes Photon um, und das spart Energie.

Wenn dieser Stein also fällt, kurz bevor er in Ihren Photonulator gelangt, verwenden Sie einfach die Newtonsche Physik plus den Begriff der Ruheenergie. Es hat also eine Energie von m-- mC zum Quadrat, wenn Sie es vorziehen, seine Ruheenergie-- plus die Energie, die es nach dem Fallen erworben hat-- verzeihen Sie, ich habe vergessen, Ihnen hier eine Distanz anzugeben – nach einem Fallen um eine Distanz h. Das bedeutet also, dass das Photon, das ich von diesem Ding hochschieße, ein paar Dinge auf diese Tafel schreibe.

In dem Moment also, in dem ich dieses Photon erzeuge, erlischt dieses Ding und es wird einen Frequenz-Omega-Boden haben, der einfach mit dieser Energie zusammenhängt. Dieses Photon wird sofort wieder nach oben geschossen, wo Sie klugerweise einen Rerockulator in den Händen halten. Der Rerockulater wandelt, wie der Name offensichtlich schon sagt, das Photon wieder in ein Gestein um.

Nehmen wir nun an, dass dies der Fall ist – sowohl der Photonulator als auch der Rerockulator sind gute MIT-Technik. Bei dieser Sache gibt es nirgendwo Verluste. Es gibt also keine Reibung. Es wird keine zusätzliche Wärme erzeugt. Es spart Energie, 100 %.

Wie hoch ist die Energie oben? Naja, naiv könnte man sagen, ah, es geht einfach nach oben. Es wird dieselbe Energie haben. Es könnte es nur in Form eines Photons und Omega b haben.

Es wird eine gewisse Frequenz an der Spitze geben. Und Ihre erste Vermutung könnte sein, dass es die gleiche Frequenz wie die Frequenz unten sein wird. Aber wenn Sie das tun, werden Sie plötzlich feststellen, dass Ihr Fels mehr Energie hat, als er anfangs hatte, und Sie können ihn wieder nach unten umleiten und wieder nach oben schicken. Als nächstes haben Sie ein Perpetuum Mobile.

Alles, was Sie tun müssen, ist Ihren Photonulator und Ihren Rerockulator zum Laufen zu bringen, und Sie haben hier ein Perpetuum Mobile. Ich gebe zu, das ist wahrscheinlich nicht der schwächste Teil dieses Arguments. Angenommen, Sie hätten das.

Ich meine, du siehst dir das an. Wenn die Technologie es Ihnen erlauben würde, diese albernen Geräte zu bauen, würden Sie sich das sofort ansehen und sagen, wenn ich es nicht haben soll – sagen wir einfach, ich lebe in einem Universum, in dem ich mit Photonulatoren gut zurechtkomme. Ich komme mit Rerockulatern gut zurecht, aber verdammt, Energie muss gespart werden. Ich kenne mich mit Perpetuum Mobile nicht aus.

Wenn das der Fall ist, bekämpfen wir immer das Perpetuum mobile. Wir müssen wissen, dass die Energie an der Spitze gleich der Energie ist, mit der dieser Typ angefangen hat. Wenn es irgendwie wieder dazu kommt, stellen Sie sich vor, Ihr Rerockulater hat die Form eines Baseball-Catcher-Handschuhs. Sie möchten, dass das Ding nur sanft in Ihrem Handschuh landet und dort einfach eine vollkommen sanfte, kleine Landung ist.

Und wenn Sie das alles zusammenfassen, durchgehen und die Tatsache ausnutzen, dass, wenn Sie in Einheiten arbeiten, in denen Sie Ihre cs wieder eingefügt haben, hier ein Faktor von gh über c zum Quadrat erscheinen wird, was Sie finden you ist, dass die Frequenz oben kleiner ist als die Frequenz unten. Mit anderen Worten, das Licht ist etwas röter geworden. Jetzt gestehe ich voll und ganz, dass ich dies mit dem dümmsten Argument getan habe.

Aber ich möchte betonen, dass dies eine der am genauesten bestätigten Vorhersagen der Gravitations- und Relativitätstheorie ist. Dies wurde zum ersten Mal in Harvard durch das sogenannte Pound-Rebka-Experiment durchgeführt. Und die Grundprinzipien dessen, was gerade hier vor sich geht-- Ich habe es nur herausgenommen, um sicherzustellen, dass mein Alarm nicht losgeht, aber ich möchte betonen, dass es tatsächlich in die Funktionsweise des globalen Positionsbestimmungssystems integriert ist.

Da die Tatsache, dass Lichtsignale aus einem Gravitationspotential herauswandern können, sie rotverschoben werden, muss berücksichtigt werden, um die präzise Messtechnik durchzuführen, die GPS ermöglicht. Nun, das ist Teil eins, diese Idee, dass Licht röter wird, wenn es aus einem Gravitationsfeld heraussteigt. Teil zwei, den ich am Donnerstag machen werde, besteht darin, zu zeigen, dass, wenn es einen globalen Trägheitsrahmen gibt, es keine Möglichkeit für Licht gibt, röter zu werden, wenn es aus einem Gravitationspotential heraussteigt.

Sie können nicht sowohl die Schwerkraft als auch einen globalen Trägheitsbezugssystem haben. Dort werde ich es am Donnerstag abholen. Also machen wir das.

Und dann werden wir darüber sprechen, wie wir versuchen können, die Prinzipien der Relativität und der Gravitation zusammenzubringen. Und in gewisser Weise beginnt dann unser Studium der allgemeinen Relativitätstheorie ernsthaft. In Ordnung, also lassen Sie uns hier aufhören.


I Korinther: Einführung und Gliederung

Korinth war eine strategisch günstig gelegene römische Stadt an der Hauptlandstraße zwischen Ost und West und war Kreuzungspunkt mehrerer Seewege. Korinth war berühmt für seinen intellektuellen und materiellen Wohlstand und wurde als Hauptstadt von Achaia geehrt. Es wurde auch berühmt für seine Korruption. Wie Guthrie sagt, “Sein Name wurde zum Inbegriff für Verschwendung.” 1

Paulus begann seinen Dienst in Korinth auf seiner zweiten Missionsreise unter viel Widerstand (Apostelgeschichte 18:6-17), konnte jedoch mehrere einflussreiche Personen bekehren und blieb folglich etwa eineinhalb Jahre in Korinth. 2

Er verließ Korinth und reiste nach Ephesus. Die Korruption der Stadt hatte ihren Einfluss auf die Gemeinde und Paulus hörte von den Problemen und Spaltungen in der Gemeinde. Von Ephesus aus schrieb und schickte er diesen Brief etwa 53 n. Chr. nach Korinth.

Zweck

Paulus hatte mehrere Absichten, die Korinther zu schreiben. Sein erster Zweck war es, sich mit mehreren moralischen Problemen und den Spaltungen zu befassen, die sich gebildet hatten, als sich die Menschen in Fanclubs aufteilten und sich selbst zu Nachfolgern von Paulus, Apollos, Petrus oder Christus erklärten (1:10). Sein zweiter Grund war, sich mit mehreren Fragen zu befassen, die in einem Brief der Korinther an ihn gestellt worden waren (7,1). Ein dritter Zweck, der im ganzen Buch auftaucht, ist die Verteidigung seiner apostolischen Autorität durch Paulus. 3

Alle diese Probleme können mit einem Problem mit Stolz in Verbindung gebracht werden, und daher haben wir in 1:27-29 die These, die das Buch möglicherweise lautet:

. . . aber Gott hat das Törichte der Welt erwählt, um die Weisen zu beschämen, und Gott hat das Schwache der Welt erwählt, um das Starke zu beschämen, und das Niedrige der Welt und das Verachtete hat Gott erwählt, die Dinge die nicht sind, damit er das, was ist, zunichte macht, damit sich kein Mensch vor Gott rühmen kann (1. Kor. 1,27-29).

Paulus wird diese Idee auf verschiedene Weise entwickeln, um ihr grundlegendes Problem des Stolzes zu lösen. Sie hatten ihre Augen auf äußere Dinge wie Beredsamkeit, sozialen Status, asketische Praktiken usw. gerichtet und Paulus erklärt, dass diese Dinge im Reich Gottes nichts bedeuten.

Gliederung und Argument des Buches

I. Einführung 1:1-9

Die Einleitung von Paulus unterscheidet sich von den Einleitungen zu seinen anderen Briefen dadurch, dass er diese Gläubigen nicht lobt. Man könnte seine Dankbarkeit für den Glauben der römischen und ephesischen Christen (Röm 1:8 Eph 1:1) und die Teilnahme der Philipper am Evangelium (Phil 1:5) vergleichen. Nur der Galaterbrief beginnt mit weniger Wärme als dieser. (Das mag daran liegen, dass es im Galaterbrief um die Rechtfertigung durch den Glauben geht und ihre Erlösung selbst bedroht war.) Stattdessen führt er ihre Position und ihre Segnungen in Christus und seine Treue aus, um sie bis zum Ende zu bestätigen. Es könnte sogar als erstaunlich angesehen werden, dass Paulus für die Gnade Gottes dankbar sein kann, weil es ihr Missbrauch dieser Gnade war, der all diese Probleme verursacht hat, über die er schreibt. Er kann dankbar sein, dass es ihnen an geistigen Gaben nicht mangelt, obwohl sie sie nicht zur Erbauung des Körpers verwenden. 4

II. Zurechtweisung ihrer Sünde

A. Spaltungen in der Kirche 1:10-4:21
1. Das angegebene Problem 1:10-17

Paulus hatte gehört, dass sich die korinthischen Gläubigen in Gruppen aufgeteilt hatten und verschiedene Führer den anderen überlegen hielten. Es gab diejenigen, die Paulus nachfolgten, der die Kirche gegründet hatte. Andere folgten dem beredten Apollos (Apostelgeschichte 18:24). Einige dachten, Petrus sei der Beste, vielleicht weil er mit Jesus zusammen gewesen war. Und vielleicht das Schlimmste von allem, zumindest weil sie die Selbstgerechtsten waren, gab es diejenigen, die behaupteten, sie seien überlegen, weil sie Christus nachfolgten oder Diener Christi waren (vgl. 2. Kor 11,23).

2. Gründe für das Problem 1:18-2:16

Natürlich ist dieses Problem eines der krassesten und destruktivsten Beispiele für das, was als Thema des Buches diskutiert wurde. Die Korinther konzentrierten sich auf externe Methoden zur Messung der Spiritualität. Der spezifische Grund für die Spaltungen war, dass die Korinther ihren Glauben an die Weisheit der Menschen setzten.Paulus weist darauf hin, dass die Weisheit der Menschen Torheit für Gott ist (1,25) und ihr Glaube in der Macht Gottes (2,5) sein sollte, nicht in der Macht der Menschen.

Paulus argumentiert, dass sie das Wesen des Evangeliums falsch verstanden haben. In den nächsten drei Absätzen zeigt er ihnen erstens, dass die bloße Vorstellung eines gekreuzigten Messias töricht ist (1:18-25), zweitens, dass Gott sie auserwählt hat, obwohl sie es nicht verdient haben (1:26-31) und drittens, Schauen Sie, wie Gott ihn, Paulus, in seiner Schwäche gebraucht hat (2:1-5). 5

Da die Korinther nach Weisheit strebten, schließt Paulus Kapitel 2 mit der Behauptung ab, dass das, was er besprechen wird, Weisheit ist. Es ist die Weisheit Gottes, und nur das Geistige wird sie verstehen können.

3. Ergebnisse des Problems
A. Unreife 3:1-9

Paulus setzt seine Überlegungen zur Spiritualität fort und zeigt, dass sie nicht spirituell sind. Ein Ergebnis der Spaltungen war Fleischlichkeit und ein verkümmertes geistliches Wachstum (3:1-2).

B. Verlust von Belohnungen 3:10-23

Paulus zeigt, dass ein weiteres Ergebnis der Verlust von Belohnungen ist. In einem fleischlichen Zustand wird alles Gute, das der Mensch tut, als Holz, Heu und Stroh angesehen (3,12) und am Richterstuhl Christi verbrannt (3,15).

C. Urteile über andere 4:3

Da sie sich auf das Äußere konzentrierten, hatten sie außerbiblische Vergleichsstandards aufgestellt. Paulus weist darauf hin, dass bei Gott das Herz zählt und nur Gott das Herz und die Motivation kennt. Was Männer von außen sehen, ist kein genaues Barometer des Herzens.

4. Die Lösung des Problems 4:1-21

In diesem nächsten Abschnitt sind zwei Ideen. Eine davon ist die Verteidigung seiner apostolischen Autorität durch Paulus, und die andere Idee ist die Lösung ihres Problems.

Zuerst sehen wir, dass Paulus über Haushalterschaft spricht. Das griechische Wort oikonomov impliziert Rechenschaftspflicht und delegierte Autorität. 6 Das passt gut zu Paulus' Verteidigung seines Dienstes. Paulus ist Gott gegenüber rechenschaftspflichtig, daher beeinflusst ihr Urteilsgeist ihn nicht. Gott wird ihn richten. Und zweitens, obwohl Paulus in seinem eigenen Fleisch schwach und unscheinbar ist (4:9-13), hat Gott es für richtig gehalten, ihn zu gebrauchen, und er wird von der Autorität Gottes unterstützt.

Zweitens sehen wir Prinzipien, die ihre Spaltungen heilen werden. Eine Lösung bestand darin, das Urteil über andere zu unterlassen. Was Gott verlangt, ist Treue (4:2) und nur Gott kann das Herz richten (4:5).

Eine andere Lösung bestand darin, aufzuhören, arrogant zu sein (4:6). Diese Beispiele (bewässern und säen 3:6, Gottes Mitarbeiter sein 3:9, ein Diener und Verwalter 4:1), die Paulus “im übertragenen Sinne (4:6) auf sich selbst und Apollos angewendet hatte, waren um es klarzustellen: Paulus und Apollos waren nur Kanäle Gottes. Die Korinther hingegen erhöhten sich über das Wort. 7

Paulus erklärt weiter, dass es sinnlos ist, Männern zu folgen, weil diese Führer, die sie verherrlichten, in Wirklichkeit schwach, verachtet, verfolgt und ohne Ehre waren (4:10-13). Es ist auch interessant zu bedenken, dass Gott sie deshalb überhaupt als Führer einsetzen konnte. Daher werden die Korinther aufgefordert, Paulus (4:16) nachzuahmen.

Der Test, sagt Paulus, liegt nicht in ihrer arroganten Rede (4:19), sondern ob sie ein kraftvolles Leben durch die Kraft des Geistes führen oder nicht. Und mit diesem Gedanken bewegt er sich, sich mit anderen Problemen zu befassen, die zeigen, dass sie nicht durch die Kraft des Geistes leben.

B. Mangelnde Disziplin in der Gemeinde 5:1-13

Paulus hatte auch Berichte erhalten, dass es in der Gemeinde Unmoral gab, und was noch schlimmer war, sie hatten sich nicht mit dem Täter befasst (5,1-2).

In 5:3-8 erklärt Paulus, dass sie die unmoralische Person zur Zucht aus der Gemeinde entfernen müssen, denn wenn sie in ihrer Mitte bleibt, würde sie den Rest des Körpers verderben.

In einem früheren Brief (5:9) hatte Paulus ihnen gesagt, dass sie sich nicht mit unmoralischen Menschen verkehren sollten, und sie hatten sie offensichtlich missverstanden. Er bezog sich nicht auf Ungläubige, da sie kein Zeugnis haben würden, sollten sie sich isolieren (5:10). Er bezog sich auf unmoralische Menschen in der Kirche, weil sie die Kirche korrumpieren und ihr Zeugnis schwächen würden. Es gab einige Verwirrung über den Ausdruck “sogenannter Bruder” in 5:11, wobei einige dies als eine Person verstanden, die nicht wirklich ein Bruder (in Christus) ist. Die Übersetzung “sogenanntes” ist jedoch unglücklich und ungenau. Es wird besser übersetzt mit “ mit jedem, der den Namen Bruder trägt.” Paul stellt die Erlösung des Täters nicht in Frage. 8

C. Rechtsstreitigkeiten im Körper 6:1-8

Im letzten Abschnitt korrigierte Paulus ein Missverständnis und zeigte, dass die Korinther diejenigen innerhalb der Gemeinde richten sollten und nicht die außerhalb. Er zeigt nun, dass Gemeindeglieder nicht aus dem Körper herausgehen sollten und Fremde die Gemeindeglieder beurteilen lassen sollten. 9

Der Stolz und die Beschäftigung der Korinther mit sozialem Status wurde durch ihre Streitigkeiten vor den Justizbehörden deutlich. Sie kümmerten sich nur um sich selbst und darum, wer die Nase vorn hatte, und das zerstörte ihr Zeugnis vor den Ungläubigen (6:6).

Paulus argumentiert, dass sie, da sie eines Tages sogar über Engel richten würden (6:3), in der Lage sein sollten, Streitigkeiten untereinander beizulegen. Sie lebten sicherlich nicht nach ihrem vollen Potenzial. 10

Dann fragt er sie, wenn sie ein eigenes Gericht einrichten würden, würden sie dann einen inkompetenten Richter auf die Bank setzen? Die offensichtliche Antwort ist “nein.” Warum also unterwerfen sie sich dem Urteil derer, die in der Kirche ohne Bedeutung sind? 11

Paulus weist auch darauf hin, dass es in diesen Klagen tatsächlich keine Gewinner gab, weil “ sie durch ihren Ungehorsam gegenüber dem Wort Gottes einen weitaus größeren Verlust erlitten hatten, da es nicht Gottes Wille war, sich gegenseitig zu betrügen.

D. Mangel an Reinheit 6:9-20

Paulus beschäftigte sich in 5,1-13 mit dem Problem des Inzests und ihrer Unfähigkeit, den Täter zu richten. Das führte zu einer Diskussion darüber, dass Ungläubige Kirchenmitglieder beurteilen (6:1-8), aber Paulus kehrt zu seinem Thema der sexuellen Unmoral zurück. Offensichtlich gingen einige der Korinther zu Prostituierten und machten sich wahrscheinlich wegen ihrer Freiheit in Christus auf ihr Recht, dies zu tun, zu berufen, aber sie hatten eine falsche Ansicht über die christliche Freiheit. 13

Die Antwort von Paulus ist, dass ihre Freiheit dadurch eingeschränkt wird, ob sie profitabel ist oder nicht und ob sie versklavt oder nicht (Vers 12). Und wie es in der altorientalischen Literatur typisch ist, behandelt er diese Dinge in umgekehrter Reihenfolge – Versklavung und dann Profitabilität.

Vielleicht beschäftigt sich Paulus mit ein paar der üblichen Argumente, die die Korinther benutzten, um ihre Unmoral zu rechtfertigen. Die erste bezieht sich auf die Versklavungsidee. Der Satz “Essen ist für den Magen und der Magen für das Essen” in vs. 13 könnte bedeuten, dass sie die Analogie geben, dass man, genau wie man isst, wenn man hungrig ist, auch sexuelle Wünsche erfüllt. Schließlich sind beides natürliche körperliche Wünsche. Aber Paulus weist darauf hin, dass der Körper nicht für Unmoral verwendet werden soll, sondern um Gott zu dienen. Natürlich sind Hunger und sexuelles Verlangen normal, aber man kann beides missbrauchen und wir dürfen ihnen nicht immer nachgeben. Es ist möglich, dass Paulus im Sinn hat, dass man im Gegensatz zu Christus tatsächlich der Macht oder dem Zauber der Prostituierten versklavt wird. 14

Paulus wendet sich dann dem Konzept der Rentabilität zu (6:14-20). Er weist darauf hin, dass unser Körper nicht mehr uns gehört, sondern Christus. Und wir sollten nichts tun, um ihnen zu schaden. Paulus erklärt, dass es tatsächlich schädlich für den Körper ist, mit einer Prostituierten verbunden zu sein, und wir haben die Verantwortung, auf unseren Körper aufzupassen, da er der Tempel des Heiligen Geistes ist (6:19).

III. Antworten auf ihre Fragen

Aus der Art und Weise, wie Paulus die nächsten Abschnitte des Briefes einleitet, wird deutlich, dass er auf Fragen antwortet, die ihm die Korinther in einem Brief gestellt hatten, den sie ihm zuvor geschickt hatten.

A. In Bezug auf die Ehe 7:1-40

Es wäre hilfreich, wenn wir genau die Fragen hätten, die die Korinther Paulus gestellt hatten, aber wir wissen nur, dass einige sich mit dem Zölibat und der Ehe befassen. Paulus behandelt diese zuerst, da sie sich auf den vorhergehenden Abschnitt beziehen.

1. Zölibat 7:1-9, 25-40

Offensichtlich gab es in der korinthischen Kirche alle Arten, und im Gegensatz zu der vorhergehenden Gruppe hatten einige Korinther asketische Tendenzen und dachten, dass der Zölibat von den Gläubigen praktiziert werden sollte. 15 Paulus räumt ein, dass es in der Tat gut ist, im Zölibat zu leben (7:1.6), und er wünschte, dass alle Menschen wie er diese besondere Gabe haben könnten (7:7), damit sie Gott ganztägig dienen können (7 :34), aber es war sicherlich nicht die Norm und es wurde sicherlich nicht geboten (7:6,25). Wenn jemand ohne die Gabe versuchen würde, im Zölibat zu bleiben, könnte dies mehr sein, als er aufrechterhalten konnte, und es könnte zu Unmoral führen (7:9). 16

Es besteht auch die Möglichkeit, dass die Teilnahme an Unsittlichkeit durch einige verheiratete Personen dazu geführt hat, dass sie ihre ehelichen Pflichten gegenüber ihren Ehepartnern aufgegeben haben, oder es könnte eine einseitige Entscheidung eines Ehepartners gegeben haben, Abstinenz zu praktizieren, und Paul befasst sich mit dieser Frage. 17 Sicherlich waren diese Handlungen egozentrisch und nicht mit der Absicht getan, dem anderen Ehepartner zu dienen.

2. Scheidung 7:10-24

Paulus beschäftigt sich auch mit der Situation, in der ein Gläubiger mit einem Ungläubigen verheiratet ist. Im vorherigen Abschnitt und im nächsten Abschnitt gibt er kein Gebot, aber hier tut er es und fügt hinzu, dass es nicht sein, sondern das Gebot des Herrn ist. Gott möchte nicht, dass der Gläubige seinen Partner verlässt, weil Gottes Wille nicht die Scheidung ist. Stattdessen sollten sie mit ihnen leben und versuchen, sie für Christus zu gewinnen.

Paulus fügt hinzu, dass Sie in jeder Situation bleiben, in der Sie sich befanden, als Sie Christ wurden. Das Christentum ist nicht dazu bestimmt, uns aus der Welt zu nehmen. Es soll uns helfen, darin zu leben. Paulus mag diesen Abschnitt mit seiner Erwähnung der Beschneidung auch hinzugefügt haben, weil er die Tendenz bestimmter Fraktionen erkannte, „Druck auszuüben, sich alten religiösen Gepflogenheiten anzupassen, um Ansehen zu erlangen, ein allgemeines Versagen der Korinther.“ Die Tendenz besteht darin, zu viel Wert auf den sozialen Status zu legen. Das ist in Gottes Augen unwichtig.

Diese Themen beziehen sich auf das Hauptargument des Buches, das darauf hinzuweisen ist, dass die Korinther stolz das Äußere im Auge hatten.

B. In Bezug auf Fleisch, das Götzen geopfert wurde 8:1-11:1

Paulus führt sein Argument fort, dass die Korinther zu viel Wert auf äußere Praktiken legten, indem sie sich mit bestimmten Tabus befassten, die einige Korinther in Bezug auf das Essen hatten. Er widmet diesem Thema viel Zeit und gibt Grundsätze an, die unser Leitfaden in allen fragwürdigen Dingen sein sollten.

Einige Korinther hielten es für falsch, Götzenopferfleisch zu essen. Sie waren sich sicher, dass die heidnischen Götter das Fleisch irgendwie verunreinigt hatten und dies Gott beleidigen würde. Andere wussten, dass es egal war, da es nur einen Gott gab. Sie waren vielleicht sogar stolz auf ihr Wissen und stellten ihre Freiheit zur Schau. Der Punkt von Paulus ist, dass derjenige mit Kenntnis Liebe praktizieren und sich enthalten muss. Denn so wie man nicht logisch argumentieren kann, um die Angst eines Kindes vor der Dunkelheit zu lindern, waren einige dieser Christen zu unreif, um die Logik der Gnade und der christlichen Freiheit zu verstehen. 19

Paulus führt dann seine eigenen Handlungen als Beispiel an, um seine Argumentation zu untermauern: Sein Beharren darauf, sich in Korinth durch Arbeit zu ernähren, zeigte, dass sein Apostelamt ihm zwar eine gesellschaftliche Vorrangstellung verlieh, sie aber nicht ausübte (9:1-18). Wie bereits erwähnt, war der soziale Status bei den Korinthern ein großes Problem. Sie mussten dem Beispiel der Demut von Paulus folgen. Paulus demonstrierte auch das Prinzip der Liebe, als er den Juden Jude wurde, um Juden zu gewinnen, und Heiden für die Heiden, um Heiden zu gewinnen, und für die Schwachen wurde er schwach (9:19-22).

Paulus schließt diesen Abschnitt mit einer Warnung ab, dass es zwar erlaubt ist, das den Götzen geopferte Fleisch zu essen (es sei denn, es beleidigt deinen Bruder), es aber nicht erlaubt ist, an den religiösen Festen teilzunehmen, die zu Ehren dieser Gottheit gegeben werden (10:14- 22). Und er fordert sie auf, nur an dem teilzuhaben, was Gott erbauen und verherrlichen (10:23-33).

C. Zur öffentlichen Anbetung 11:2-14:40

Nachdem er sich mit dem Missbrauch ihrer Freiheit befasst und den Korinthern verboten hat, an heidnischen religiösen Aktivitäten teilzunehmen, befasst sich Paulus mit drei Problemen innerhalb der korinthischen Gottesdienste. Die Gottesdienste der Korinther demonstrierten ihr Problem auch mit Stolz und Selbstbezogenheit.

1. Die Rolle der Frau 11:2-16

Vielleicht ist dieses Thema notwendig, weil einige Frauen ihre Freiheit überschritten haben. Aufgrund ihrer neuen ontologischen Gleichheit in Christus (Gal 3,8) vergaßen manche Frauen ihre funktional subjektive Rolle gegenüber den Männern. Sie prophezeiten oder beteten offensichtlich und bedeckten nicht ihren Kopf, was die normale Praxis der Gemeinde war (11:16). Wayne House weist darauf hin, dass Pauls Argument wie folgt lautet: “So wie Christus einen Kopf hat, der Gott ist, so hat die Frau einen Kopf, nämlich den Mann. Sie muss dies berücksichtigen, wenn sie prophezeit, damit sie nicht den Menschen und ihre eigene Würde entehrt.” 20

2. Das Abendmahl 11:17-34

Andere missbrauchten das Abendmahl des Herrn. Anstatt dass die Verordnung eine Zeit des Gedenkens an Christus, der Anbetung Gottes und der Einheit unter den Heiligen war, wurden die Korinther „ausgeschöpft“ und betranken sich. Sicherlich trugen die Fraktionen in der Kirche zu den Missbräuchen bei, weil sie nicht einmal warteten, bis alle zusammen waren, um an den Elementen teilzuhaben. Daher kommentiert Pauls Kommentar, dass “einer hungrig und ein anderer betrunken ist” im Vergleich zu 21.

Paulus erinnert sie also an die Bedeutung des Abendmahls des Herrn und die schlimmen Folgen der Teilnahme außerhalb der Gemeinschaft (11:30) und ermahnt sie abschließend, ihr Leben auf Sünde zu prüfen (11:28,31) und nehmen am Abendmahl des Herrn als vereinter Körper teil, wie es entworfen wurde (11:33).

3. Der Gebrauch geistlicher Gaben 12:1-14:40

Der dritte Bereich der Besorgnis betraf ihren Missbrauch und ihre Betonung bestimmter geistlicher Gaben, insbesondere Zungen. Zungen waren die herausragende Gabe und diejenigen, die in der Lage waren, in Zungen zu sprechen, fühlten sich spiritueller als diejenigen, die dies nicht konnten. Daher räumt Paulus dem Thema Zungenrede am Ende des Abschnitts viel Raum ein.

A. Spirituelle Gaben 12:

Paulus beginnt seine Argumentation mit einem verwirrenden Abschnitt (Verse 1-3), der nichts mit dem Rest der Diskussion über geistliche Gaben und Sprachen zu tun zu haben scheint. Manche sehen dies als eine Betonung einer Prüfung des Geistes hinter inspirierten Äußerungen wie Zungen. 21 Andere sehen darin einen Hinweis auf falsche Lehrer in ihrer Mitte. 22 Aber Gordon Fee bezieht es wie folgt auf den gesamten Abschnitt:

Die Gegenwart des Geistes in Kraft und Gaben macht es Gottes Volk leicht, die Kraft und die Gaben als den wahren Beweis der Gegenwart des Geistes zu betrachten. Nicht so für Paulus. Das ultimative Kriterium der Aktivität des Geistes ist die Erhöhung Jesu als Herrn. Alles, was davon abhält, auch wenn es legitime Ausdrucksformen des Geistes sind, beginnt sich von Christus zu einer heidnischeren Faszination für geistliche Aktivität als Selbstzweck zu bewegen. 23

Dies passt sicherlich zu Paulus' Argument gegen die Betonung der Korinther auf den Vergleich externer Methoden.

Paulus zeigt dann durch eine Analogie zum menschlichen Körper, dass alle geistlichen Gaben wichtig sind. Die Korinther bevorzugten die “showy” Geschenke, die das Individuum spirituell aussehen ließen. Aber Paulus erinnert sie an den Grundsatz, den er in dem Buch oft wiederholt hat, dass Gott die Schwachen und Demütigen und Unbedeutenden der Welt bevorzugt, weil sie nicht auf ihre eigenen Fähigkeiten, sondern auf Gottes Macht angewiesen sind (vgl. 1 :26-29 4:9-13 12:23-24). Paulus zeigt auch, dass Vielfalt für die richtige Funktion des Körpers notwendig ist (12:17).

B. Liebe 13:

Im Mittelpunkt dieses Abschnitts über geistliche Gaben und Sprachen steht die Erörterung von Paulus über die Liebe. Das Problem der Korinther war die Eigenliebe. Sie wollten sich selbst erhöhen und betonten daher die Gaben, die ihnen Ehre machten. Aber Paulus weist darauf hin, dass die Liebe nicht ihr Eigenes sucht (13,5).

Außerdem sagt Paulus “Liebe versagt nie,” oder vielleicht genauer gesagt,“Liebe endet nie” (13:8). Dies steht im Gegensatz zu den geistigen Gaben. Paul sagt, dass sie aufhören werden. Es ist nicht klar, ob Paulus sagt, dass alle Gaben aufhören werden, wenn Christus kommt (Vers 10), 24 oder ob Paulus sagt, dass einige der Gaben grundlegende Gaben sind und aufhören werden, wenn das Fundament der Kirche gelegt ist. 25 Obwohl es den Rahmen dieser Studie sprengen würde, alle Beweise zu untersuchen, ist der Autor der Überzeugung, dass Paulus sich auf die wundersamen Zeichengaben bezieht, die aufhörten, als die Kirche gegründet und der Kanon vollendet wurde.

C. Zungen 14:

Aber diese Gaben hatten noch nicht aufgehört, daher gibt Paulus Anweisungen über die Priorität und die richtige Ausübung dieser Gaben und insbesondere der Zungenrede.

Paulus argumentiert, dass das Zungenreden zwar gut ist (Vers 5), aber nur den Sprecher erbaut (Vers 4). Paulus würde es daher vorziehen, dass sie ihre Betonung auf die Gabe der Weissagung legten, die alle Anwesenden erbaute, wie sie in der Sprache der Zuhörer gesprochen wurde (V. 3-4). Zur Veranschaulichung gibt Paulus die Analogie zur Musik und kommt zu dem Schluss, dass so wie Musik ohne Melodie nutzlos ist (Verse 7-8), so auch Zungen ohne Interpretation. Es scheint, dass die Korinther gewöhnlich in Zungen sprachen, ohne die notwendige Auslegung. 26

Paulus weist auch darauf hin, dass Zungenreden ein Zeichen für den ungläubigen Juden sind (Vers 21-22) und da ihre regelmäßige Versammlung aus Gläubigen bestand, sollten sie ihren Schwerpunkt auf Prophetie legen, die sich an Gläubige richtete. Und wenn ein Ungläubiger ihn besuchte, würde er trotzdem von der Lehre profitieren (Vers 24).

Es ist bezeichnend für den geistlichen Zustand der Korinther, dass Paulus ihnen diese Prinzipien nicht einfach mitgeben und sie anwenden lassen konnte, und so schließt er diesen Abschnitt, indem er einige Richtlinien aufstellt, die weniger vom Urteil der Korinther vs. 26-33). Dass diese Regeln dazu gedacht waren, Ordnung in die Gottesdienste zu bringen, geht aus der Aussage hervor, dass “Gott kein Gott der Verwirrung, sondern des Friedens ist.”

Paulus kehrt zur Diskussion über die Rolle der Frau im Gottesdienst zurück, und viele sehen dies als Hinweis darauf, dass die Frauen störend waren, weil es so eng an seine Aussage folgt, dass Gott kein Gott der Verwirrung ist. 27 Es ist jedoch möglich, dass dieser Befehl am Ende des Abschnitts der Betonung von Paulus am Anfang auf die Prüfung des Geistes folgt. 28 Paulus hat gerade in Vers 29 erwähnt, dass andere über denjenigen, der prophezeit, ein Urteil fällen sollen, und es ist nicht die Aufgabe der Frau, über Männer zu urteilen, da dies der funktionalen Führung von Männern gegenüber Frauen widerspricht.

Paulus schließt seine Argumentation in diesem Hauptabschnitt mit der Aussage ab, dass diejenigen, die spirituell sind, in der Lage sein sollten, diese Richtlinien zu befolgen, und er gibt zwei zusammenfassende Aussagen. Der eine betont die Prophezeiung über die Zungenrede, weil sie andere erbaut, und der andere betont die Ordnung im Gottesdienst (Verse 39-40).

D. Zur Auferstehung 15:1-58

Paulus wendet sich nun einer Angelegenheit zu, die ein entscheidender Aspekt des Evangeliums und grundlegend für ihre Errettung war.

Einige Korinther leugneten, dass es eine Auferstehung der Toten geben würde (15:12), aber Paulus weist darauf hin, dass sie die Implikationen dieser Position nicht erkannt hatten, weil sie zur Leugnung der eigenen Auferstehung Christi und damit ihrer eigenen Erlösung. 29 Er kommt zu dem Schluss, dass wenn dies wahr wäre und es kein Leben nach dem Tod gäbe, dann “ von allen Menschen am meisten zu bemitleiden sind” (15:19), weil die Opfer, die in diesem Leben für Christus gebracht werden, umsonst wären .

Paulus argumentiert, dass Christus auferweckt wurde und tatsächlich die “Erstlingsfrüchte” (vs. 20,23) derer ist, die schlafen. Gewiss war Christus nicht der erste, der von den Toten auferstanden ist. Elia, Christus, Paulus usw. hatten Menschen von den Toten auferweckt, aber Christus war der erste, der zu einem Leben auferweckt wurde, das keinen Tod kennt, 30 und andere würden folgen (Vers 23).Die Auferstehung Christi ist sicherlich die Grundlage für unseren Sieg und unsere Hoffnung (Verse 51-58).

NS. Fazit 16:1-24

Paulus schließt mit der Behandlung mehrerer praktischer Fragen:

A. Geben 16:1-4

Paulus schreibt über die Geldsammlung für die Gemeinde in Jerusalem. Er gibt eine Richtlinie für das regelmäßige Geben am ersten Tag der Woche (16:2).

B. Besuch des Paulus 16:5-9

Paulus plant, sie wieder zu besuchen und Zeit damit zu verbringen, ihnen für längere Zeit zu dienen.

C. Behandlung von Timotheus und Apollos 16:10-12

Er befasst sich auch mit der Haltung der Korinther gegenüber Timotheus und Apollos. Bei all den Spaltungen in der Kirche war es sicherlich nicht einfach, dieser Gemeinde zu dienen. Es wird ausdrücklich gesagt, dass Apollos nicht zurückkehren wollte (16:12), zumindest bis die Ermahnungen in diesem Brief empfangen und angewendet worden waren. Und man kann davon ausgehen, dass Timothy wahrscheinlich ähnliche Bedenken hatte. Daher ermahnt Paulus die Korinther, diese Männer, die Gottes Werk tun, richtig zu behandeln.

D. Grüße und Segen 16:13-24

Aus diesem Abschnitt können wir schließen, dass die drei erwähnten Männer Stephanus, Fortunatus und Achaicus wahrscheinlich Nachrichten und den Brief aus Korinth mitgebracht haben.

Schließlich schließt Paulus mit seinen Grüßen an die Heiligen in Korinth.

Zusammenfassung

Die korinthische Kirche hatte viele Probleme, und die meisten davon waren das Ergebnis von Stolz und der Betonung des sozialen Status. Ihre Spaltungen, mangelnde Kirchendisziplin, Klagen, Missbrauch der christlichen Freiheit und die Überbetonung der Zungenrede veranschaulichen dieses Grundproblem. Während Paulus diese Probleme separat behandelte, findet sich vielleicht der Höhepunkt von Paulus Argumentation in Kapitel 13, wo er die Bedeutung der Liebe betont. Die Liebe zu anderen ist mit Stolz unvereinbar und soll das grundlegende Prinzip sein, das alle Handlungen leitet.

Literaturverzeichnis

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Neue amerikanische Standardübersetzung (Chicago: Moody Press, 1978).

Wierbe, Warren, Be Wise (Wheaton: Victor Books, 1988).

Wilkin, Bob, “Der sogenannte so genannte Bruder,” Grace Evangelical Society News Letter, Okt. 1991.

1 Donald Guthrie, Einführung in das Neue Testament, Rev. ed. (Downers Grove, Illinois: Intervarsity Press, 1990), p. 432.

2 David K. Lowery, 𔄙 Korinther,” The Bible Knowledge Commentary, hrsg. Walvoord und Zuck, NT-Hrsg. (Wheaton: Victor Books, 1983), p. 506.

3 Gordon Fee, The First Epistle to the Corinthians, The New International Commentary on the New Testament (Grand Rapids: Wm. B. Eerdmans Publishing Co., 1987), p. 11. Gordon Fee sieht darin den Hauptzweck.

7 Robert B. Hughes, First Corinthians (Chicago: Moody Press, 1985), p. 55-56.

8 Bob Wilkin, “Der sogenannte sogenannte Bruder,” Grace Evangelical Society News, Bd. 6, Nr. 10, Okt. 1991, S. 2-3.

9 Gordon Fee, Der erste Brief an die Korinther, S. 228.

10 Warren Wiersbe, Be Wise (Wheaton: Victor Books, 1988), p. 68.

11 Leon Morris, The First Epistle of Paul to the Corinthians, Tyndale New Testament Commentaries (Grand Rapids: Wm. B. Eerdmans Publishing Co., 1985), p. 92.

12 Warren Wiersbe, Sei weise, S. 69.

14 Gordon Fee, Der erste Brief an die Korinther, S. 252-53.

15 Leon Morris, Der erste Brief des Paulus an die Korinther, S. 101.

16 David K. Lowrey, 𔄙 Korinther,” The Bible Knowledge Commentary, p. 517.

18 Robert B. Hughes, Erster Korintherbrief, p. 80.

19 Warren Wierbe, Be Wise, S. 88-89.

20 H. Wayne House, “Sollte eine Frau vor Männern prophezeien oder predigen?” Bibliothecra Sacra (April-Juni, 1988), p. 151.

21 Leon Morris, Der erste Brief des Paulus an die Korinther, S. 165.

22 David K. Lowery, 𔄙 Korinther,” The Bible Knowledge Commentary, p. 532-33.

23 Gordon Fee, Der erste Brief an die Korinther, S. 582.

24 Ebd., p. 643-44. Charismatiker bevorzugen offensichtlich diese Interpretation, da sie zu ihrem Argument beiträgt, dass Zungen in diesem Zeitalter gültig sind.

25 David K. Lowery, 𔄙 Korinther,” The Bible Knowledge Ccommentary, p. 536.

28 Auch wenn der Abschnitt über die öffentliche Anbetung (12:1-14:40) möglicherweise nicht chiastisch strukturiert ist (der ein weiteres Studium verdient), ist es für die jüdische Literatur sicherlich charakteristisch, dass der Autor mit ähnlichen oder verwandten Themen beginnt und endet. Das mag hier der Fall sein.

29 Robert Hughes, Erster Korinther, S. 139.

30 Leon Morris, Der erste Brief des Paulus an die Korinther, p. 209.

Hampton ist Mitbegründer von bible.org. Er ist der technische Direktor von bible.org und besitzt außerdem Galaxie Software, die The Theological Journal Library produziert, die 30 konservative, evangelikale theologische Zeitschriften enthält, die in Logos, Wordsearch, Accordance und Online verfügbar sind. Um die vollständige Liste anzuzeigen,&. Mehr


12.3 Diagnose

Wenn wir Regressionsmodelle verwenden, bei denen die erklärenden Variablen kategorial sind, werden die gleichen Kernannahmen (Linearität, Fehlerunabhängigkeit, gleiche Fehlervarianz und Fehlernormalität) verwendet, um das Modell zu bilden. [ y_j = sum_^ eta_i delta_ + alpha+epsilon_j] Wir können diese noch auswerten, indem wir uns Histogramme, qq-Plots der Residuen (Normalität der Residuen) und die Residuen aufgetragen als Funktion der erklärenden Variablen (Residual-Plot) ansehen. Im Residuendiagramm (das jetzt a . sein sollte Box-Plot anstelle eines Streudiagramms) sollten wir keine offensichtlichen Trends sowie eine ungefähr gleiche Varianz (Spreads) als Funktion der erklärenden Variablen sehen.

Die erforderlichen Plots sollten weiterhin mit dem Befehl diagRegressionPlots in meinem R-Paket erstellt werden. Testen Sie dies selbst und sehen Sie, wie Sie erwarten, dass sich Verstöße gegen die Bedingungen in den Diagnosediagrammen manifestieren.

Beachten Sie jedoch, dass das Diagramm unten rechts für kategoriale erklärende Variablen nicht mehr nützlich ist. Im Folgenden zeige ich die diagnostischen Diagramme für die oben durchgeführte Regression von Training und Gewicht.


ÜBERSETZUNG: Definition, Übersetzungsarten und Äquivalenz

Es gibt einige Definitionen von Übersetzungen. Nida stellt fest, dass die Übersetzung darin besteht, in der Rezeptorsprache die nächste natürliche Äquivalenz der ausgangssprachlichen Botschaft zu reproduzieren, erstens hinsichtlich der Bedeutung und zweitens hinsichtlich des Stils[1]. Newmark in Rudi Hartono stellt fest, dass die Übersetzung die Bedeutung eines Textes in eine andere Sprache so überträgt, wie der Autor den Text beabsichtigt hat.[2]

Aus der obigen Definition hat die Übersetzung den gleichen Begriff „Äquivalenz“. Die Bedeutung, der Kontext oder die Botschaft beider Reproduktionsquellen in der Rezeptorsprache, der nächsten natürlichen, sind jedoch der Botschaft der Quellsprache äquivalent. Das erste ist Bedeutung und zweitens Stil. Die Nachricht der Quellsprache muss äquivalent sein. Der Leser einer Übersetzung, der nur die Zielsprache kennt, wird verwirrt sein, wenn die Zielsprache von der Ausgangssprache beeinflusst wird.

In der Zwischenzeit muss das Ergebnis der Übersetzung die Bedeutung der Ausgangssprache klar übertragen. Um die Bedeutung der Ausgangssprache klar zu machen, wird erwartet, dass die Bedeutung der Zielsprache von den Lesern verstanden wird. Das Ergebnis der Übersetzung muss also lesbar sein. In der Zielsprache ist Lesbarkeit gefragt, weil sie es den Lesern erleichtert, den Inhalt des Übersetzungstextes zu erfassen, umgekehrt, wenn der Übersetzungstext nicht lesbar ist. Es wird den Lesern erschweren, den Inhalt des Textes gut zu verstehen.

Basierend auf vielen obigen Definitionen geht der Autor davon aus, dass die Übersetzung ein Prozess ist, bei dem Gedanken und Botschaften von der Ausgangssprache in die Zielsprache in schriftlicher oder mündlicher Form übertragen werden.

In der Praxis gibt es einige Arten von Übersetzungen, die ihre eigenen Merkmale und Formen haben. Einige Arten von Übersetzungen werden aufgrund der Unterschiede und Ähnlichkeiten der Quellstrukturen, der verschiedenen Textarten, die übersetzt werden sollen, und des unterschiedlichen Zwecks der Übersetzung gefunden. Newmark gibt an, dass sich Übersetzungsmethoden auf ganze Texte beziehen, Übersetzungsverfahren für Sätze und die kleineren Spracheinheiten verwendet werden.[3]

Roman Jakobson macht in Hatim und Munday einen sehr wichtigen Unterschied zwischen drei Arten der schriftlichen Übersetzung[4]: 1) Intralinguale Übersetzung, Übersetzung innerhalb derselben Sprache, die eine Umformulierung oder Paraphrase beinhalten kann, 2) Interlinguale Übersetzung, Übersetzung von einer Sprache in eine andere ,3)Intersemiotische Übersetzung,Übersetzung des verbalen Zeichens durch nonverbale Zeichen, zum Beispiel Musik oder Bild.

Nababan unterscheidet verschiedene Arten der Übersetzung, wie die Wort-für-Wort-Übersetzung, die freie Übersetzung, die wörtliche Übersetzung, die dynamische Übersetzung, die pragmatische Übersetzung, die ästhetisch-poetische Übersetzung, die ethnografische Übersetzung, die sprachliche Übersetzung, die kommunikative Übersetzung und die semantische Übersetzung[5].

Der Übersetzungsprozess kann als Übersetzungstätigkeit definiert werden. Der Übersetzungsprozess wird normalerweise von einem Übersetzer als Leitfaden für die Übersetzung von Text aus der Ausgangssprache in die Zielsprache verwendet.

Der Übersetzungsprozess besteht aus drei Schritten: ausgangssprachliche Texte analysieren, übertragen, umstrukturieren[6]

Abbildung 1. Übersetzungsprozess

(Nida und Taber)

Die erste Stufe ist die Analyse, der Übersetzer analysiert die grammatikalische Beziehung und die Bedeutung des Wortes. In der Transferphase analysiert der Übersetzer das Material der Ausgangssprache und der Zielsprache, das basierend auf der Vorstellung des Übersetzers übertragen wird. Das analysierte Material (X) wird in den Empfängertext (Y) übertragen und dann umstrukturiert, um die endgültige Nachricht zu erhalten, die in der Empfängersprache akzeptabel ist.

Basierend auf der Oxford-Wörterbuch-Äquivalenz ist der Wert, die Menge, die Bedeutung usw. gleich oder austauschbar.[7] Vinay und Darbelnet, zitiert in Munday, stellten fest, dass „Äquivalenz sich auf Fälle bezieht, in denen Sprachen dieselbe Situation mit unterschiedlichen stilistischen oder strukturellen Mitteln beschreiben“[8].

Äquivalenz besteht aus dem Konzept der Gleichheit und Ähnlichkeit, es hat die gleiche oder eine ähnliche Wirkung oder Bedeutung in der Übersetzung.

Es gibt von Nida definierte Äquivalenzarten, die auch als zwei Grundorientierungen der Übersetzung bezeichnet werden[9]:

Es lenkt die Aufmerksamkeit auf die Botschaft selbst, sowohl in Form als auch Inhalt. Once ist besorgt, dass die Nachricht in der Empfängersprache so genau wie möglich mit den verschiedenen Elementen in der Ausgangssprache übereinstimmen sollte.

Es ist der prinzipielle äquivalente Effekt, bei dem die Beziehung zwischen Empfänger und Nachricht im Wesentlichen die gleiche sein sollte wie die zwischen dem ursprünglichen Empfänger und der Nachricht. Das Ziel der dynamischen Äquivalenz besteht darin, das der Quellnachricht am nächsten liegende natürliche Äquivalent zu suchen. Dieser rezeptororientierte Ansatz hält Anpassungen der Grammatik, des Lexikons und des kulturellen Bezuges für unabdingbar, um Natürlichkeit zu erreichen.

Vinay und Darbelnet sehen in der äquivalenzorientierten Übersetzung ein Verfahren, das „die gleiche Situation wie im Original nachbildet, aber völlig anders formuliert“. Äquivalenz ist daher die ideale Methode, wenn sich der Übersetzer mit Sprichwörtern, Redewendungen, Klischees, Nominal- oder Adjektivphrasen und der Lautmalerei von Tierlauten beschäftigt.[10] Nach Jakobsons Theorie beinhaltet die ‘Übersetzung zwei äquivalente Nachrichten in zwei verschiedenen Codes’. Jakobson führt weiter aus, dass sich Sprachen aus grammatikalischer Sicht mehr oder weniger stark voneinander unterscheiden können, dies bedeutet jedoch nicht, dass eine Übersetzung nicht möglich ist, d ein Übersetzungsäquivalent finden.[11]

Eine äußerst interessante Diskussion des Begriffs Äquivalent findet sich bei Baker, der eine detailliertere Liste von Bedingungen anzubieten scheint, unter denen das Begriff Äquivalent auf verschiedenen Ebenen wie folgt definiert werden kann:

  1. Äquivalenz, die auf Wortebene auftreten kann. Baker gibt eine Definition des Begriffs Wort denn es sollte daran erinnert werden, dass ein einzelnes Wort als eine komplexere Einheit oder ein komplexeres Morphem angesehen werden kann, und es wird über die lexikalische Bedeutung diskutiert.[12]
  2. Äquivalenz über Wortebene, wenn von einer Sprache in eine andere übersetzt wird. In diesem Abschnitt konzentriert sich der Übersetzer auf die Art des lexikalischen Musters, das sind Kollokation, Idiome und fester Ausdruck.[13]
  3. Grammatische Äquivalenz, wenn man sich auf die Vielfalt grammatikalischer Kategorien in verschiedenen Sprachen bezieht. Baker konzentriert sich auf Zahl, Zeitform und Aspekte, Stimme, Person und Geschlecht.[14] Bei der Übersetzung implizieren solche Unterschiede zwischen SL und TL oft eine Änderung des Informationsgehalts. Wenn die SL eine grammatikalische Kategorie hat, die der TL fehlt, kann diese Änderung darin bestehen, dass dem Zieltext Informationen hinzugefügt werden. Auf der anderen Seite, wenn es die Zielsprache ist, der eine Kategorie fehlt, kann die Änderung die Form einer Auslassung annehmen.
  4. Textliche Äquivalenz in Bezug auf die Äquivalenz zwischen einem SL-Text und einem TL-Text in Bezug auf die Themen- und Informationsstruktur.[15] Sie fügt auch die Diskussion in diesem Abschnitt über den Zusammenhalt hinzu.[16]
  5. Pragmatische Äquivalenz, wenn es um Implikaturen und Vermeidungsstrategien im Übersetzungsprozess geht.[17]

Vinay und Darbelnet, Jakobson, Nida und Taber, Catford, House und schließlich Baker. Diese Theoretiker haben die Äquivalenz in Bezug auf den Übersetzungsprozess mit unterschiedlichen Ansätzen untersucht.

C.Grammatische Äquivalenz

Grammatik ist das Regelwerk, das die Art und Weise bestimmt, wie Einheiten wie Wörter und Phrasen in einer Sprache kombiniert werden können. Grammatik hat zwei Hauptdimensionen: Morphologie und Syntax, Morphologie betrifft die Struktur einzelner Wörter, die Art und Weise, in der ihre Form variiert, um einen spezifischen Kontrast im grammatischen System anzuzeigen (Beispiel: Singular/Plural, Numerus, Präsens/Vergangenheit), Syntax betrifft die grammatikalische Struktur von Wortgruppen (Klauseln oder Sätze),die lineare Abfolge von Wortklassen (Substantiv, Verb, Adverb, Adjektiv usw.).

Unterschiedliche grammatikalische Strukturen in der SL und TL können zu bemerkenswerten Änderungen in der Art und Weise führen, wie die Information oder Nachricht übertragen wird. Diese Änderungen können den Übersetzer veranlassen, Informationen in der TT hinzuzufügen oder wegzulassen, weil bestimmte grammatikalische Hilfsmittel in der TL fehlen selbst, unter diesen grammatikalischen Mitteln, die bei der Übersetzung Probleme verursachen könnten.[18]

Was die Übersetzung betrifft, besteht der wichtigste Unterschied zwischen grammatikalischen und lexikalischen Optionen darin, dass erstere im Allgemeinen obligatorisch sind, während letztere weitgehend optional sind. Im Übersetzungsprozess bedeuten solche Unterschiede zwischen Ausgangssprache und Zielsprache oft eine Änderung des Informationsgehalts. Wenn die Quellsprache eine grammatikalische Kategorie hat, die der Zielsprache fehlt, kann diese Änderung in Form von Informationen zum Zieltext erfolgen. Auf der anderen Seite, wenn es die Zielsprache ist, der eine Kategorie fehlt, kann die Änderung die Form einer Auslassung annehmen. grammatikalische Regeln können von Sprache zu Sprache variieren und dies kann einige Probleme aufwerfen, eine direkte Entsprechung in der TL zu finden.

Zahl ist die Flexion von Nomen, Pronomen, Verben, Adjektiven und Determinanten, um Singular-, Dual- oder Pluralformen zu zeigen. Man unterscheidet drei Zahlenklassen: Singular („eins“), dual („zwei“) und Plural („mehr als zwei“).[19] Die Idee der Abzählbarkeit ist wahrscheinlich universell, aber nicht alle Sprachen haben eine grammatische Kategorie der Zahl, selbst wenn sie Unterschiede in der lexikalischen Bedeutung machen könnten.

Der Begriff Geschlecht, der in Shery Simon normalerweise Protagoras zugeschrieben wird, leitet sich von einem Begriff ab, der Klasse oder Art bedeutet und bezieht sich auf die Aufteilung der griechischen Substantive in Maskulinum, Femininum und Neutrum.[20]Gander ist eine grammatikalische Kategorie, nach der ein Nomen oder Pronomen wird als männlich oder weiblich klassifiziert.

Morphologische Kategorie des Verbs, das verwendet wird, um die finiten Verbformen im Singular und Plural als „Sprecher“ (erste Person), „Adressaten“ (zweite Person) oder „Person, Staat oder Sache“ zu kennzeichnen, auf die in der Äußerung Bezug genommen wird (dritte Person) .[21] Untergruppe von Pronomen, die sich auf Personen beziehen, sind die Sprecher (ich, wir), Adressaten (Sie) oder andere Personen/Dinge (er sie es) (inklusive vs. exklusiv). Die Personenkategorie bezieht sich auf den Begriff der Teilnehmerrollen.

Im Englischen gibt es Zwei-Wege-Zeitsysteme, sodass wir anstelle der Vergangenheitsform was die entsprechende Gegenwartsform is verwenden könnten.[22] Aspekt ist ein Begriff, der verwendet wird, um die Dauer der Aktivität zu beschreiben, die durch ein Verb beschrieben wird, unabhängig davon, ob die Aktivität im Gange oder abgeschlossen ist.[23] In den Sprachen, die diese Kategorien haben, liefert die Form des Verbs normalerweise zwei Arten von Informationen: Zeitbeziehungen und Aspektunterschiede.

Stimme ist eine grammatikalische Kategorie, die die Beziehung zwischen Subjekt und Verb definiert. Es ruft die aktiven Klauseln auf, wenn das Subjekt eine Rolle hat, die für die Ausführung einer Aktion verantwortlich sind, und es ruft passive Klauseln auf, wenn das Subjekt die betroffene Entität ist.[24]

Übersetzungsverfahren oder Übersetzungsverschiebungen werden definiert als „die kleinsten sprachlichen Veränderungen, die bei der Übersetzung von ST (Ausgangstext) in TT (Zieltext) auftreten“.[25] Übersetzen ist ein Feld verschiedener Verfahren. Übersetzungsverfahren werden verwendet, um im Übersetzungsprozess eine Äquivalenz zwischen Ausgangssprache und Zielsprache zu erreichen. Es gibt viele Arten von Übersetzungsverfahren, aber der Autor möchte einige Verfahren erforschen, die vom Übersetzer verwendet werden müssen, um den stilistischen Anforderungen und grammatikalischen Konventionen der Zielsprache zu entsprechen. Diese Möglichkeiten werden im Folgenden erweitert.[26]

Die Änderung kann darin bestehen, dass dem Zieltext Informationen hinzugefügt werden, die nicht in der Ausgangssprache ausgedrückt sind, wenn die Zielsprache die grammatikalische Kategorie hat, die der Ausgangssprache fehlt.[27] Informationen, die im ausgangssprachlichen Text nicht vorhanden sind, können dem zielsprachlichen Text hinzugefügt werden.

Baker bezeichnet Deletion als “Weglassen eines lexikalischen Elements aufgrund grammatikalischer oder semantischer Muster der Rezeptorsprache”.[28] Beim Übersetzen kann die Änderung des Informationsgehalts der Nachricht in Form des Weglassens von Informationen in der Ausgangssprache erfolgen, wenn der Zielsprache eine grammatikalische Kategorie fehlt.

Strukturelle Anpassung ist eine weitere wichtige Strategie, um eine Äquivalenz zwischen Ausgangssprache und Zielsprache zu erreichen. Strukturelle Anpassung wird auch als Verschiebung oder Transposition oder Änderung bezeichnet. Newmark stellt fest, dass „eine ‚Verschiebung‘ (Catfords Begriff) oder ‚Transposition‘ (Vinay und Darbelnet) ein Übersetzungsverfahren ist, das eine Änderung der Grammatik von SL in TL beinhaltet“. Es gibt vier Arten der Umsetzung:[29]

Beispiel für den Wechsel vom Singular zum Plural:

Beispiel für die Positionsänderung des Adjektivs:

SL: schwarze Tinte TL: tinta hitam

  1. Typ 2: die Änderung der grammatikalischen Struktur von SL zu TL, da die grammatikalische Struktur von SL in TL nicht existiert.

SL: Tas situ aku letakan diatas meja

TL: Ich habe die Tasche auf den Tisch gestellt

Dieses Beispiel zeigt, dass mit Ausnahme von Sätzen im Passiv oder einer bestimmten Struktur das Konzept der Platzierung von Objekten am Satzanfang in Bahasa Indonesia (TL) in der englischen (SL) Grammatik nicht erkannt wird und daher in eine einfache übertragen wird Satz.

  1. Typ 3: eine Alternative, wenn die wörtliche Übersetzung von SL-Text möglicherweise nicht mit dem natürlichen Sprachgebrauch in TL übereinstimmt. Zu solchen Alternativen gehören:

1) Nomen/Nomen-Phrase in SL wird Verb in TL.

SL: …, ihre Geschichte zu studieren, um ihr Verhalten besser zu verstehen.

TL: …mempelajari sejarah mereka untuk lebih memahami perilaku mereka.

2) Die verbundene Form von Adjektiv-Partizip (d. h. Adjektiv, das aus einem Verb gebildet wird) und Nomen oder Nominalphrase in SL wird zu Nomen + Nomen-Form in TL.

3) Klausel in Form von participium (d. h. Verbform, die die Funktionen eines Substantivs teilt) in SL wird in ihrer direkten Form in TL ausgedrückt.

SL: Das von meinem Vater entworfene Haus wird gebaut.

TL: Rumah yang dirancang oleh ayah saya sedang dibangun.

Die Betonung in SL wird durch die reguläre grammatikalische Konstruktion von TL gezeigt.

SL: Dies ist das Buch, nach dem ich die ganze Zeit gesucht habe.

TL: Buku inilah yang kucari selama ini.

Es gibt viele Arten von Übersetzungsverfahren. Übersetzungsverfahren machen es leicht, im Übersetzungsprozess eine grammatikalische Äquivalenz zwischen Ausgangssprache und Zielsprache zu erreichen.

E. Assessment in Translationswissenschaft

Die Bewertung in der Übersetzung geht daher über die Bewertung einzelner Übersetzungen hinaus und muss andere Instrumente berücksichtigen. In dieser Untersuchung verwendet der Autor die Form der Äquivalenzbewertung nach Nababan:[32]

Die Bedeutung von Wort, Phrase, Satz und Satz der Ausgangssprache kann exakt auf die Zielsprache übertragen werden, es werden keine Bedeutungsverzerrungen festgestellt.

Große Teile der Bedeutung von Wörtern, Phrasen, Klauseln und Sätzen der Ausgangssprache wurden genau in die Zielsprache übertragen, aber es wurden immer noch Bedeutungsverzerrungen oder Mehrdeutigkeiten in der Übersetzung gefunden, die die Botschaft beeinflussen.

Die Bedeutung von Wort, Phrase, Satz und Satz der Ausgangssprache kann ungenau in die Zielsprache übertragen oder gelöscht werden

Tabelle 1. Bewertung der Gleichwertigkeit

[1]Nida, Eugen A und Taber. Theorie und Praxis der Übersetzung.Leiden:E.J.Brill.1969.p16

[3] Rochayah Machali. Pedoman Bagi Penerjemah..Jakarta:grasindo.2000.p48

[4] Munday, Jeremy und Basil Hatim.Übersetzung als erweiterte Ressource Buchen. New York: Routledge. 2004. p5

[5] Rudolf Nababan.Teori Menerjemah.Yogyakarta: Pustaka Pelajar. 2008.p30

[6] Nida, Eugen A und Taber. Op.Cit. p33

[7] A S Homby Oxford. 1995. Advanced Learner’s Dictionary of Current English (fünfte Ausgabe).OxfordUniversitätspresse: Oxford.p.389

[8] Munday, J. Einführung in die Übersetzungswissenschaft.London: Routledge.2001.p.58

[9]Nida, Eugene A und Taber.Op.Cit. p22

[12]Baker, Mona . Mit anderen Worten: ein Lehrbuch zum Übersetzen, London: Routledge.1992. S.12

[18] Bäcker, Mona. Mit anderen Worten: ein Lehrbuch zum Übersetzen, London: Routledge. 1992. S.86

[19]Charles F. Meyer. Einführung in die englische Linguistik. Cambridge University Press:UK.2009 .p27

[20] Sherry Simon. Geschlecht in der Übersetzung Kulturelle Identität und die Politik der Übertragung.London: Routledge.1996.p.16

[21] Bussman, Hadumod. Routladge Wörterbuch der Sprache und Linguistik. Routladge: London.1996.S.883.


Inhalt

Formal ist eine Homotopie zwischen zwei stetigen Funktionen F und g aus einem topologischen Raum x zu einem topologischen Raum Ja ist definiert als stetige Funktion H : X × [ 0 , 1 ] → Y aus dem Produkt des Raumes x mit dem Einheitsintervall [0, 1] bis Ja mit H ( x , 0 ) = f ( x ) und H ( x , 1 ) = g ( x ) für alle x ∈ X .

Denken wir an den zweiten Parameter von h als zeit dann h beschreibt a kontinuierliche Verformung von F hinein g: zum Zeitpunkt 0 haben wir die Funktion F und zum Zeitpunkt 1 haben wir die Funktion g. Wir können uns den zweiten Parameter auch als "Schieberegler" vorstellen, der es uns ermöglicht, reibungslos von F zu g wenn sich der Schieberegler von 0 auf 1 bewegt und umgekehrt.

Die Animation, die oben rechts geloopt wird, zeigt ein Beispiel für eine Homotopie zwischen zwei Einbettungen, F und g, des Torus in R 3 . x ist der Torus, Ja ist R 3 , F ist eine stetige Funktion vom Torus nach R 3, die den Torus zu der eingebetteten Oberfläche eines Donuts führt, mit der die Animation beginnt g ist eine kontinuierliche Funktion, die den Torus in die eingebettete Oberfläche einer Kaffeetasse bringt. Die Animation zeigt das Bild von hT(x) als Funktion des Parameters T, wo T variiert mit der Zeit von 0 bis 1 über jeden Zyklus der Animationsschleife. Es pausiert und zeigt dann das Bild als T variiert von 1 bis 0 zurück, pausiert und wiederholt diesen Zyklus.

Eigenschaften Bearbeiten

Kontinuierliche Funktionen F und g heißen homotop, wenn es eine Homotopie gibt h nehmen F zu g wie oben beschrieben. Homotop zu sein ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller stetigen Funktionen aus x zu Ja. Diese Homotopierelation ist mit der Funktionszusammensetzung im folgenden Sinne vereinbar: if F1, g1 : xJa homotop sind und F2, g2 : JaZ homotop sind, dann ihre Zusammensetzungen F2F1 und g2g1 : xZ sind auch homotop.

  • Falls f , g : R → R 2 zu mathbb ^<2>> sind gegeben durch f ( x ) := ( x , x 3 ) )> und g ( x ) = ( x , ex ) )> , dann die Abbildung H : R × [ 0 , 1 ] → R 2 imes [0,1] o mathbb ^<2>> gegeben durch H ( x , t ) = ( x , ( 1 − t ) x 3 + tex ) +te^)> ist eine Homotopie zwischen ihnen.
  • Allgemeiner gesagt, wenn C ⊆ R n ^> eine konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist und f , g : [ 0 , 1 ] → C Wege mit gleichen Endpunkten sind, dann gibt es a lineare Homotopie[3] (oder geradlinige Homotopie) gegeben von
  • Sei id B n : B n → B n _<>>>B^ ach B^> sei die Identitätsfunktion auf der Einheit n-disk, d.h. die Menge B n := < x ∈ R n : ‖ x ‖ ≤ 1 >:= ^:|x|leq 1>> . Sei c 0 → : B n → B n >:B^ ach B^> sei die konstante Funktion c 0 → ( x ) := 0 → >(x):=>>, die jeden Punkt zum Ursprung schickt. Dann ist das Folgende eine Homotopie zwischen ihnen:

Gegeben zwei topologische Räume x und Ja, ein Homotopie-Äquivalenz zwischen X und Y ist ein Paar stetiger Abbildungen F : xJa und g : Jax , so dass gF ist homotop zur Identitätskarte idx und Fg ist homotop zu idJa. Wenn ein solches Paar existiert, dann x und Ja sollen sein Homotopie-Äquivalent, oder gleich Homotopie-Typ. Intuitiv zwei Leerzeichen x und Ja sind homotopieäquivalent, wenn sie durch Biege-, Schrumpf- und Dehnungsoperationen ineinander überführt werden können. Räume, die einem Punkt homotopieäquivalent sind, heißen kontrahierbar.

Homotopieäquivalenz vs. Homöomorphismus Bearbeiten

Ein Homöomorphismus ist ein Spezialfall einer Homotopieäquivalenz, in dem gF ist gleich der Identitätskarte idx (nicht nur homotop dazu), und Fg ist gleich idJa. [4] : 0:53:00 Wenn also X und Y homöomorph sind, dann sind sie homotopieäquivalent, aber das Gegenteil ist nicht der Fall. Einige Beispiele:

  • Eine massive Scheibe ist homotopieäquivalent zu einem einzelnen Punkt, da Sie die Scheibe entlang radialer Linien kontinuierlich zu einem einzigen Punkt verformen können. Sie sind jedoch nicht homöomorph, da es keine Bijektion zwischen ihnen gibt (da eine unendliche Menge ist, während die andere endlich ist).
  • Der Möbius-Streifen und ein unverdrillter (geschlossener) Streifen sind homotopieäquivalent, da Sie beide Streifen kontinuierlich zu einem Kreis verformen können. Aber sie sind nicht homöomorph.

Beispiele Bearbeiten

  • Das erste Beispiel für eine Homotopieäquivalenz ist R n ^> mit einem Punkt, bezeichnet mit R n ≃ < 0 >^simeq <0>> . Der zu überprüfende Teil ist die Existenz einer Homotopie H : I × R n → R n ^zu mathbb ^> zwischen ID R n _ ^>> und p 0 > , die Projektion von R n ^> auf den Ursprung. Dies kann beschrieben werden als H ( t , ⋅ ) = t ⋅ p 0 + ( 1 − t ) ⋅ id R n +(1-t) cdot operatorname _ ^>> .
  • Es besteht eine Homotopieäquivalenz zwischen S 1 > und R 2 − < 0 >^<2>-<0>> .
  • Allgemeiner ausgedrückt: R n − < 0 >≃ S n − 1 ^-<0>simeq S^> .
  • Beliebiges Faserbündel π : E → B mit Fasern F b > Homotopie-Äquivalent zu einem Punkt hat homotopie-Äquivalente Gesamt- und Basisräume. Dies verallgemeinert die beiden vorherigen Beispiele, da π : R n − < 0 >→ S n − 1 ^-<0> ach S^> ist ein Faserbündel mit Faser R > 0 _<>0>> .
  • Jedes Vektorbündel ist ein Faserbündel mit einer einem Punkt entsprechenden Faserhomotopie.
  • Für jedes 0 ≤ k < n gilt R n − R k ≃ S n − k − 1 ^-mathbb ^simeq S^> indem man R n ^> als R k × R n − k ^mal mathbb ^> und Anwendung der obigen Homotopieäquivalenzen.
  • Wenn ein Subkomplex A eines CW-Komplexes X kontrahierbar ist, dann ist der Quotientenraum X / A homotopieäquivalent zu X . [5]
  • Eine Deformationsretraktion ist eine Homotopie-Äquivalenz.

Null-Homotopie Bearbeiten

Eine Funktion F wird gesagt, dass null-homotopisch wenn sie homotop zu einer konstanten Funktion ist. (Die Homotopie von F zu einer konstanten Funktion heißt dann manchmal a Null-Homotopie.) Zum Beispiel eine Karte F aus dem Einheitskreis S 1 in ein beliebiges Leerzeichen x ist null-homotopisch genau dann, wenn es von der Einheitsscheibe kontinuierlich zu einer Karte erweitert werden kann D 2 to x das stimmt überein F an der Grenze.

Aus diesen Definitionen folgt, dass ein Raum x ist genau dann kontrahierbar, wenn die Identitätskarte von x zu sich selbst – was immer eine Homotopie-Äquivalenz ist – ist null-homotop.

Homotopieäquivalenz ist wichtig, weil in der algebraischen Topologie viele Konzepte Homotopie-Invariante, das heißt, sie respektieren die Beziehung der Homotopie-Äquivalenz. Zum Beispiel, wenn x und Ja sind homotopieäquivalente Räume, dann gilt:

  • x ist genau dann weggebunden, wenn Ja ist.
  • x ist einfach dann und nur dann verbunden, wenn Ja ist.
  • Die (singulären) Homologie- und Kohomologiegruppen von x und Ja sind isomorph.
  • Ob x und Ja sind wegzusammenhängend, dann sind die Fundamentalgruppen von x und Ja sind isomorph, ebenso wie die höheren Homotopiegruppen. (Ohne die Pfadzusammenhangannahme hat man π1(x, x0) isomorph zu π1(Ja, F(x0)) wo F : xJa ist eine Homotopieäquivalenz und x0x.)

Ein Beispiel für eine algebraische Invariante topologischer Räume, die nicht homotopieinvariant ist, ist die kompakt unterstützte Homologie (was grob gesagt die Homologie der Kompaktifizierung ist, und die Kompaktifizierung ist nicht homotopieinvariant).

Relative Homotopie Bearbeiten

Um die Fundamentalgruppe zu definieren, braucht man den Begriff Homotopie relativ zu einem Unterraum. Dies sind Homotopien, die die Elemente des Unterraums festhalten. Formal: wenn F und g sind kontinuierliche Karten von x zu Ja und K ist eine Teilmenge von x, dann sagen wir das F und g sind homotop relativ zu K wenn es eine Homotopie gibt h : x × [0, 1] → Ja zwischen F und g so dass h(k, T) = F(k) = g(k) für alle kK und T [0, 1]. Auch wenn g ist ein Widerruf von x zu K und F die Identitätskarte ist, wird dies als starker Verformungsrückzug von bezeichnet x zu K. Wann K ist ein Punkt, der Begriff spitze Homotopie wird genutzt.

Isotopie Bearbeiten

Falls die beiden gegebenen stetigen Funktionen F und g aus dem topologischen Raum x zum topologischen Raum Ja Einbettungen sind, kann man sich fragen, ob sie 'durch Einbettungen' verbunden werden können. Daraus ergibt sich das Konzept der Isotopie, die eine Homotopie ist, h, in der zuvor verwendeten Notation, so dass für jede feste T, h(x, T) gibt eine Einbettung. [6]

Ein verwandtes, aber anderes Konzept ist das der Umgebungsisotopie.

Die Anforderung, dass zwei Einbettungen isotopisch sind, ist eine stärkere Anforderung als dass sie homotop sind. Zum Beispiel die Abbildung aus dem Intervall [−1, 1] in die reellen Zahlen definiert durch F(x) = −x ist nicht isotopisch zur Identität g(x) = x. Jede Homotopie von F zur Identität müssten die Endpunkte austauschen, was bedeuten würde, dass sie sich gegenseitig „durchgehen“ müssten. Darüber hinaus, F hat die Orientierung des Intervalls geändert und g hat nicht, was unter einer Isotopie unmöglich ist. Die Karten sind jedoch homotopisch eine Homotopie von F zur Identität ist h: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] gegeben durch h(x, ja) = 2yxx.

Zwei Homöomorphismen (die Spezialfälle von Einbettungen sind) der Einheitskugel, die auf dem Rand übereinstimmen, können mit dem Alexander-Trick als isotopisch gezeigt werden. Aus diesem Grund ist die Karte der Gerätedisc in R 2 definiert durch F(x, ja) = (−x, −ja) isotopisch zu einer 180-Grad-Rotation um den Ursprung, also die Identitätskarte und F sind isotopisch, weil sie durch Drehungen verbunden werden können.

In der geometrischen Topologie – zum Beispiel in der Knotentheorie – wird die Idee der Isotopie verwendet, um Äquivalenzbeziehungen zu konstruieren. Wann sollten beispielsweise zwei Knoten als gleich betrachtet werden? Wir nehmen zwei Knoten, K1 und K2, im dreidimensionalen Raum. Ein Knoten ist eine Einbettung eines eindimensionalen Raums, der "Schnur" (oder des Kreises) in diesen Raum, und diese Einbettung gibt einen Homöomorphismus zwischen dem Kreis und seinem Bild im Einbettungsraum. Die intuitive Idee hinter dem Begriff der Knotenäquivalenz ist, dass man verformen eine Einbettung zu einer anderen durch einen Pfad von Einbettungen: eine stetige Funktion beginnend bei T = 0 gibt die K1 Einbettung, endend auf T = 1 geben die K2 Einbettung, wobei alle Zwischenwerte Einbettungen entsprechen. Dies entspricht der Definition von Isotopie. Eine in diesem Zusammenhang untersuchte Umgebungsisotopie ist eine Isotopie des größeren Raums, betrachtet im Hinblick auf ihre Wirkung auf die eingebettete Untermannigfaltigkeit. Knoten K1 und K2 werden als äquivalent angesehen, wenn es eine Umgebungsisotopie gibt, die sich bewegt K1 zu K2. Dies ist die passende Definition in der topologischen Kategorie.

Eine ähnliche Sprache wird für das Äquivalenzkonzept in Kontexten verwendet, in denen man einen stärkeren Begriff von Äquivalenz hat. Ein Pfad zwischen zwei glatten Einbettungen ist beispielsweise a glatte Isotopie.

Zeitgleiche Homotopie Bearbeiten

Auf einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit werden bestimmte Kurven als zeitähnlich unterschieden (die etwas darstellen, das in der Zeit in jedem lokalen Rahmen nur vorwärts, nicht rückwärts geht). Eine zeitähnliche Homotopie zwischen zwei zeitähnlichen Kurven ist eine solche Homotopie, dass die Kurve während der kontinuierlichen Transformation von einer Kurve zu einer anderen zeitähnlich bleibt. Keine geschlossene zeitähnliche Kurve (CTC) auf einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit ist zu einem Punkt zeitgleich homotop (dh null zeitähnliches Homotop). Eine solche Mannigfaltigkeit wird daher als durch zeitähnliche Kurven mehrfach verbunden bezeichnet. Eine Mannigfaltigkeit wie die 3-Sphäre kann einfach verbunden werden (durch jede Art von Kurve) und dennoch zeitähnlich mehrfach verbunden sein. [7]

Hebe- und Ausfahreigenschaften Bearbeiten

Wenn wir eine Homotopie haben h : x × [0,1] → Ja und eine Abdeckung P : JaJa und wir bekommen eine Karte h 0 : xJa so dass h0 = Ph 0 ( h 0 heißt ein Aufzug von h0), dann können wir alle heben h zu einer Karte h : x × [0, 1] → Ja so dass Ph = h. Die Homotopie-Lifting-Eigenschaft wird zur Charakterisierung von Fibrationen verwendet.

Eine weitere nützliche Eigenschaft, die Homotopie beinhaltet, ist die Homotopieerweiterungseigenschaft, die die Erweiterung einer Homotopie zwischen zwei Funktionen von einer Teilmenge einer Menge auf die Menge selbst charakterisiert. Es ist nützlich, wenn es um Kofibrationen geht.

Gruppen Bearbeiten

Wir können die Wirkung einer Äquivalenzklasse auf eine andere definieren und erhalten so eine Gruppe. Diese Gruppen werden als Homotopiegruppen bezeichnet. Im Fall n = 1 wird sie auch Fundamentalgruppe genannt.

Homotopie Kategorie Bearbeiten

Die Idee der Homotopie kann in eine formale Kategorie der Kategorientheorie umgewandelt werden. Das Homotopie-Kategorie ist die Kategorie, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopie-Äquivalenzklassen stetiger Abbildungen sind. Zwei topologische Räume x und Ja sind in dieser Kategorie genau dann isomorph, wenn sie homotopieäquivalent sind. Dann ist ein Funktor auf der Kategorie topologischer Räume homotopieinvariant, wenn er als Funktor auf der Homotopiekategorie ausgedrückt werden kann.

Homologiegruppen sind beispielsweise a funktional Homotopieinvariante: Dies bedeutet, dass wenn F und g aus x zu Ja homotop sind, dann sind die durch homo induzierten Gruppenhomomorphismen F und g auf der Ebene der Homologiegruppen sind gleich: Hn(F) = Hn(g) : Hn(x) → Hn(Ja) für alle n. Ebenso, wenn x und Ja sind zusätzlich pfadzusammenhängend, und die Homotopie zwischen F und g spitz ist, dann sind die durch homo induzierten Gruppenhomomorphismen F und g auf der Ebene der Homotopiegruppen sind auch gleich: πn(F) =n(g) : πn(x) → πn(Ja).

Basierend auf dem Konzept der Homotopie wurden Berechnungsmethoden für algebraische und Differentialgleichungen entwickelt. Zu den Methoden für algebraische Gleichungen zählen die Homotopie-Fortsetzungsmethode [8] und die Fortsetzungsmethode (siehe numerische Fortsetzung). Zu den Methoden für Differentialgleichungen gehört die Methode der Homotopieanalyse.


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Forschungsergebnis : Beitrag zu Zeitschrift › Artikel › peer-review

T1 - Einführung in den Sonderteil

T2 - Messäquivalenz in der Kinderentwicklungsforschung

N2 - Debatten unter Entwicklungswissenschaftlern über die Bedeutung einer Reihe empirischer Ergebnisse drehen sich oft um die Idee, dass die grundlegende Natur des zugrunde liegenden Konstrukts je nach Entwicklungszustand oder demografischer Gruppe unterschiedlich sein kann. Diese Debatten erfordern eine stärkere Berücksichtigung der operationalen Definition der zugrunde liegenden Konstrukte in verschiedenen Entwicklungsstadien oder bei Untergruppen der Bevölkerung. Darüber hinaus setzen die analytischen Techniken, die in der Forschung dieser Debatten verwendet werden, im Allgemeinen die Gleichwertigkeit von Maßnahmen über Entwicklungszustände oder -gruppen hinweg voraus. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, zu beschreiben, warum sich Entwicklungsforscher mit Messfragen befassen sollten, einschließlich der Item-Äquivalenz, der funktionalen und skalaren Äquivalenz sowie der Äquivalenz übersetzter Bewertungen. Dieser Artikel und die vier nachfolgenden Artikel, die den Sonderteil dieser Ausgabe von Child Development Perspectives bilden, bieten „Best-Practice“-Anleitungen für die Untersuchung der Invarianz und Äquivalenz von Maßnahmen bei Entwicklungsveränderungen, über Altersgruppen und über Gruppen, die sich in den Teilnehmermerkmalen unterscheiden.

AB - Debatten unter Entwicklungswissenschaftlern über die Bedeutung einer Reihe empirischer Ergebnisse drehen sich oft um die Idee, dass die grundlegende Natur des zugrunde liegenden Konstrukts je nach Entwicklungszustand oder demografischer Gruppe unterschiedlich sein kann. Diese Debatten erfordern eine stärkere Berücksichtigung der operationalen Definition der zugrunde liegenden Konstrukte in verschiedenen Entwicklungsstadien oder bei Untergruppen der Bevölkerung. Darüber hinaus setzen die analytischen Techniken, die in der Forschung dieser Debatten verwendet werden, im Allgemeinen die Gleichwertigkeit von Maßnahmen über Entwicklungszustände oder -gruppen hinweg voraus. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, zu beschreiben, warum sich Entwicklungsforscher mit Messfragen befassen sollten, einschließlich der Item-Äquivalenz, der funktionalen und skalaren Äquivalenz sowie der Äquivalenz übersetzter Bewertungen. Dieser Artikel und die vier nachfolgenden Artikel, die den Sonderteil dieser Ausgabe von Child Development Perspectives bilden, bieten „Best-Practice“-Anleitungen für die Untersuchung der Invarianz und Äquivalenz von Maßnahmen bei Entwicklungsveränderungen, über Altersgruppen und über Gruppen, die sich in den Teilnehmermerkmalen unterscheiden.