Artikel

7.3: Hyperbolische Funktionen


Die hyperbolischen Funktionen treten mit einiger Häufigkeit in Anwendungen auf und sind in vielerlei Hinsicht den trigonometrischen Funktionen ziemlich ähnlich. Dies ist angesichts unserer anfänglichen Definitionen etwas überraschend.

Definition 4.11.1: Hyperbolischer Kosinus und Sinus

Das hyperbolischer Kosinus ist die Funktion

[cosh x ={e^x +e^{-x }over2},]

und das hyperbolischer Sinus ist die Funktion

[sinh x ={e^x -e^{-x}over 2}.]

Beachten Sie, dass (cosh) gerade ist (dh (cosh(-x)=cosh(x))), während (sinh) ungerade ist ((sinh(-x)= -sinh(x))) und (cosh x + sinh x = e^x). Außerdem gilt für alle (x), (cosh x >0), während (sinh x=0) genau dann, wenn ( e^x -e^{-x }=0) , was genau dann gilt, wenn (x=0).

Lemma 4.11.2

Der Bereich von (cosh x) ist ([1,infty)).

Nachweisen

Sei (y= cosh x). Wir lösen nach (x):

[eqalign{y&={e^x +e^{-x}over 2}cr 2y &= e^x + e^{-x }cr 2ye^x &= e^{2x} + 1cr 0 &= e^{2x}-2ye^x +1cr e^{x} &= {2y pm sqrt{4y^2 -4}over 2}cr e^{x} &= ypm sqrt{y^2 -1}cr} ]

Aus der letzten Gleichung sehen wir ( y^2 geq 1), und aus (ygeq 0) folgt (ygeq 1).

Nehmen wir nun (ygeq 1) an, also ( ypm sqrt{y^2 -1}>0). Dann ist ( x = ln(ypm sqrt{y^2 -1})) eine reelle Zahl, und (y =cosh x), also liegt (y) im Bereich von (cosh(x)).

(Platz)

Definition 4.11.3: Hyperbolischer Tangens und Cotangens

Die anderen hyperbolischen Funktionen sind

[eqalign{ anh x &= {sinh xovercosh x}cr coth x &= {cosh xoversinh x}cr ext{sech} x &= {1 übercosh x}cr ext{csch} x &= {1oversinh x}cr} ]

Der Definitionsbereich von (coth) und ( ext{csch}) ist (x eq 0), während der Definitionsbereich der anderen hyperbolischen Funktionen alle reellen Zahlen sind. Grafiken sind in Abbildung (PageIndex{1}) dargestellt.

Abbildung (PageIndex{1}): Die hyperbolischen Funktionen.

Sicherlich ähneln die hyperbolischen Funktionen den trigonometrischen Funktionen grafisch nicht sehr. Aber sie haben analoge Eigenschaften, beginnend mit der folgenden Identität.

Satz 4.11.4

Für alle (x) in (mathbb{R}), (cosh^2 x -sinh^2 x = 1).

Nachweisen

Der Beweis ist eine einfache Rechnung:

[cosh^2 x -sinh^2 x = {(e^x +e^{-x} )^2over 4} -{(e^x -e^{-x} )^2 über 4}= {e^{2x} + 2 + e^{-2x } - e^{2x } + 2 - e^{-2x}over 4}= {4over 4} = 1. ]

(Platz)

Dies gibt sofort zwei zusätzliche Identitäten:

[1- anh^2 x = ext{sech}^2 xqquadhbox{and}qquadcoth^2 x - 1 = ext{csch}^2 x.]

Die Identität des Theorems hilft auch, eine geometrische Motivation bereitzustellen. Denken Sie daran, dass der Graph von ( x^2 -y^2 =1) eine Hyperbel mit Asymptoten (x=pm y) ist, deren (x)-Achsenabschnitte (pm 1) sind. Wenn ((x,y)) ein Punkt auf der rechten Hälfte der Hyperbel ist und (x=cosh t) gilt, dann gilt ( y=pmsqrt{x^2-1 }=pmsqrt{cosh^2x-1}=pmsinh t). Für einige geeignete (t) sind (cosh t) und (sinh t) die Koordinaten eines typischen Punktes auf der Hyperbel. Tatsächlich stellt sich heraus, dass (t) doppelt so groß ist wie im ersten Graphen von Abbildung (PageIndex{2}). Auch dies ist analog zur Trigonometrie; (cos t) und (sin t) sind die Koordinaten eines typischen Punktes auf dem Einheitskreis, und (t) ist das Doppelte der im zweiten Graphen von Abbildung (PageIndex{2 }).

Abbildung (PageIndex{2}): Geometrische Definitionen von sin, cos, sinh, cosh: (t) ist die doppelte schattierte Fläche in jeder Figur.

Angesichts der Definitionen der hyperbolischen Funktionen ist es einfach, ihre Ableitungen zu finden. Auch hier sehen wir Ähnlichkeiten zu den trigonometrischen Funktionen.

Satz 4.11.5

( {dover dx}cosh x=sinh x) und hmrdef{thm:hyperbolische Ableitungen} ( {dover dx}sinh x = cosh x).

Nachweisen

[ {dover dx}cosh x= {dover dx}{e^x +e^{-x}over 2} = {e^x- e^{-x}over 2} = sinhx,]

und

[ {dover dx}sinh x = {dover dx}{e^x -e^{-x}over 2} = {e^x +e^{-x}over 2} = cosh x.]

(Platz)

Da (cosh x > 0), (sinh x) wachsend und damit injektiv ist, hat (sinh x) eine Inverse ( ext{arcsinh} x). Außerdem ist (sinh x > 0) wenn (x>0), also ist (cosh x) injektiv auf ([0,infty)) und hat eine (partielle) Inverse, ( ext{arccosh} x). Die anderen hyperbolischen Funktionen haben auch Inverse, obwohl ( ext{arcsech} x) nur eine partielle Inverse ist. Wir können die Ableitungen dieser Funktionen berechnen, da wir andere Umkehrfunktionen haben.

Satz 4.11.6

( {dover dx} ext{arcsinh} x = {1oversqrt{1+x^2}}).

Nachweisen

Sei (y= ext{arcsinh} x), also (sinh y=x). Dann

[ {dover dx}sinh y = cosh(y)cdot y' = 1,]

und so

[ y' ={1overcosh y} ={1oversqrt{1 +sinh^2 y}} = {1oversqrt{1+x^2}}.]

(Platz)

Die anderen Ableitungen werden den Übungen überlassen.


Schau das Video: Sinus und Cosinus Hyperbolicus, Hyperbelfunktionen. Mathe by Daniel Jung (September 2021).