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47.3: Beispiele - Mathematik


47.3: Beispiele - Mathematik

Erstellen und Lösen von mathematischen Programmiermodellen in Technik und Naturwissenschaften

Modellierung ist eines der effektivsten und am häufigsten verwendeten Werkzeuge in den Ingenieurwissenschaften und den angewandten Wissenschaften. In diesem Buch befassen sich die Autoren mit mathematischen Programmiermodellen sowohl linear als auch nichtlinear und in einem breiten Spektrum praktischer Anwendungen.

Während sich andere Bücher auf Standardmethoden der Analyse konzentrieren, konzentrieren sich die Autoren auf die Leistungsfähigkeit von Modellierungsmethoden zur Lösung praktischer Probleme – indem sie den Zusammenhang zwischen physikalischen und mathematischen Realitäten deutlich zeigen – und gleichzeitig die wichtigsten Konzepte und Werkzeuge beschreiben und untersuchen. Diese stark rechnerische Abdeckung umfasst:
* Diskussion und Implementierung des GAMS-Programmiersystems
* Einzigartige Abdeckung der Kompatibilität
* Anschauliche Beispiele, die den Zusammenhang zwischen Modell und Realität verdeutlichen
* Praktische Probleme aus einem breiten Spektrum wissenschaftlicher Disziplinen sowie Hunderte von Beispielen und Übungen am Kapitelende
* Reale Anwendungen für Wahrscheinlichkeit und Statistik, Elektrotechnik, Verkehrssysteme und mehr


Das Erstellen und Lösen von mathematischen Programmiermodellen in den Ingenieurwissenschaften und Naturwissenschaften eignet sich praktisch als professionelles Nachschlagewerk für Mathematiker, Ingenieure und angewandte oder industrielle Wissenschaftler, während es auch für fortgeschrittene Studenten der Mathematik oder Ingenieurwissenschaften anschaulich und anschaulich genug ist.


Kommentare (2)

Kommentar #3443 von Sebastian Bozlee am 28. Juli 2018 um 00:05

Es gibt zwei kleinere Tippfehler in Lemma 08XW: Die Definition von sollte lauten . Später sollte nicht gleich 0 sein.

Darf ich folgende Umformulierung vorschlagen? Lassen . Da Noethersch ist, können wir unter Idealen dieser Form so wählen, dass das Maximum ist. Da wiederum Noetherian ist, können wir für einige schreiben. Per Definition ist die Menge der Elemente von vernichtet durch Potenzen von , also können wir ganze Zahlen wählen, damit . Satz . Dann ist ein Element von nicht in und wird von vernichtet. Dann haben wir nach der Maximalität von , also . Also ist keine wesentliche Erweiterung von , ein Widerspruch.

Ich hoffe, den Leser daran zu hindern, dies ein maximales Ideal von (habe ich) falsch zu interpretieren, den Leser daran zu erinnern, was die Notation bedeutet, und zu klären, wie die maximale Anzahl von Zahlen in das Argument einfließt.

Kommentar #3497 von Johan am 05. August 2018 um 12:29

Vielen Dank. Ihre Version hier hinzugefügt.


Wie finden wir experimentelle Wahrscheinlichkeiten?

Nachdem wir nun verstanden haben, was mit experimenteller Wahrscheinlichkeit gemeint ist, lassen Sie uns durchgehen, wie sie gefunden wird.

Um die experimentelle Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln, dividieren Sie die Anzahl der beobachteten Ergebnisse, die für das Ereignis günstig sind, durch die Gesamtzahl der Versuche des Experiments.

Gehen wir einige Beispiele durch.

Beispiel 1: Es gibt 20 Schüler in einer Klasse. Jeder Schüler warf gleichzeitig eine Münze. 12 Schüler bekamen einen Kopf. Wie hoch war bei diesem Experiment die experimentelle Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu bekommen?

Anzahl der Münzen mit Köpfen: 12

Gesamtzahl der geworfenen Münzen: 20

Beispiel 2: Die folgende Tabelle zeigt, wie oft eine Zahl auf der Vorderseite eines geworfenen Würfels angezeigt wurde.


Aufsteigende oder absteigende Reihenfolge – Definition, Symbol, Reihenfolge, Fakten und Beispiele

Aufsteigende Reihenfolge ist das Anordnen oder Platzieren von Zahlen vom kleinsten zum größten. In aufsteigender Reihenfolge sind die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge. 1, 2, 3 usw. sind beispielsweise in aufsteigender Reihenfolge. Der umgekehrte Vorgang der aufsteigenden Reihenfolge wird als absteigende Reihenfolge bezeichnet. Die absteigende Reihenfolge ist das Anordnen oder Platzieren von Zahlen vom größten zum kleinsten. Beispiele für absteigende Reihenfolge sind 3, 2, 1. Die aufsteigende Reihenfolge wird durch das Kleiner-als-Symbol ‚<‘ dargestellt, während die absteigende Reihenfolge durch das Größer-als-Symbol ‚>‘ dargestellt wird.

Aufsteigende Reihenfolge – Definition & Symbol

Aufsteigende Reihenfolge ist die Anordnung der Zahlen von der niedrigsten zur höchsten. Bei aufsteigender Reihenfolge steht die kleinste Zahl beim Sortieren oben in der Liste. Um die Reihenfolge der Zahlen darzustellen, verwenden wir das Symbol “<”

Beispiele für aufsteigende Reihenfolge

  • Bei Zahlen oder Beträgen ist die aufsteigende Reihenfolge 5, 8, 11, 18, 23, 31.
  • Bei Wörtern und Buchstaben ist die aufsteigende Reihenfolge A, B, C, D, E……Y, Z.
  • Auch bei Datumsangaben erfolgt die aufsteigende Reihenfolge von den ältesten bis zu den jüngsten Datumsangaben.

Probleme bei aufsteigender Reihenfolge

1. Ordnen Sie die folgenden Zahlen in einer aufsteigenden Reihenfolge an

(i) 2, 14, 3, 59, 46
(ii) 25, 8, 97, 47, 3
(iii) 5, 6, 82, 31, 24
(iv) 6, 7, 35, 14, 4
(v) 24, 8, 15, 94, 119

Lösung:
(i) Die angegebenen Zahlen sind 2, 14, 3, 59, 46.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die kleinste Zahl.
Schreiben Sie zuerst die kleinste Zahl auf und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
2, 3, 14, 46, 59.

Die aufsteigende Reihenfolge der Zahlen ist 2, 3, 14, 46, 59.

(ii) Die angegebenen Zahlen sind 25, 8, 97, 47, 3.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die kleinste Zahl.
Schreiben Sie zuerst die kleinste Zahl auf und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
3, 8, 25, 47, 97.

Die aufsteigende Reihenfolge der Zahlen ist 3, 8, 25, 47, 97.

(iii) Die angegebenen Zahlen sind 5, 6, 82, 31, 24.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die kleinste Zahl.
Schreiben Sie zuerst die kleinste Zahl auf und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
5, 6, 24, 31, 82.

Die aufsteigende Reihenfolge der Zahlen ist 5, 6, 24, 31, 82.

(iv) Die angegebenen Zahlen sind 6, 7, 35, 14, 4.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die kleinste Zahl.
Schreiben Sie zuerst die kleinste Zahl auf und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
4, 6, 7, 14, 35.

Die aufsteigende Reihenfolge der Zahlen ist 4, 6, 7, 14, 35.

(v) Die angegebenen Zahlen sind 24, 8, 15, 94, 119.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die kleinste Zahl.
Schreiben Sie zuerst die kleinste Zahl auf und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
8, 15, 24, 94, 119.

Die aufsteigende Reihenfolge der Zahlen ist 8, 15, 24, 94, 119.

Absteigende Reihenfolge – Definition & Symbol

Absteigende Reihenfolge ist die Anordnung der Zahlen von der höchsten zur niedrigsten. Die absteigende Reihenfolge ist das Gegenteil der aufsteigenden Reihenfolge. Hier werden die Zahlen von größer nach kleiner geordnet. Die größte Zahl in der sortierten Liste steht an der Spitze der Liste in absteigender Reihenfolge und die kleinste Zahl an der letzten. Sie wird durch das Symbol „>“ gekennzeichnet.

Beispiele für absteigende Reihenfolge

  • Bei Zahlen oder Beträgen ist die absteigende Reihenfolge 31, 23, 18, 11, 8, 5.
  • Bei Wörtern und Buchstaben ist die absteigende Reihenfolge Z, Y, X, W……B, A.
  • Auch bei Datumsangaben erfolgt die absteigende Reihenfolge von den jüngsten Datumsangaben zu den ältesten Datumsangaben.

Probleme bei absteigender Reihenfolge

1. Ordne die folgenden Zahlen in absteigender Reihenfolge an

(i) 2, 14, 3, 59, 46
(ii) 25, 8, 97, 47, 3
(iii) 5, 6, 82, 31, 24
(iv) 6, 7, 35, 14, 4
(v) 24, 8, 15, 94, 119

Lösung:
(i) Die angegebenen Zahlen sind 2, 14, 3, 59, 46.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die höchste Zahl.
Notieren Sie zuerst die höchste Zahl und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
59, 46, 14, 3, 2.

Die absteigende Reihenfolge der Zahlen ist 59, 46, 14, 3, 2.

(ii) Die angegebenen Zahlen sind 25, 8, 97, 47, 3.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die höchste Zahl.
Notieren Sie zuerst die höchste Zahl und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
97, 47, 25, 8, 3.

Die absteigende Reihenfolge der Zahlen ist 97, 47, 25, 8, 3.

(iii) Die angegebenen Zahlen sind 5, 6, 82, 31, 24.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die höchste Zahl.
Notieren Sie zuerst die höchste Zahl und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
82, 31, 24, 6, 5.

Die absteigende Reihenfolge der Zahlen ist 82, 31, 24, 6, 5.

(iv) Die angegebenen Zahlen sind 6, 7, 35, 14, 4.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die höchste Zahl.
Notieren Sie zuerst die höchste Zahl und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
35, 14, 7, 6, 4.

Die absteigende Reihenfolge der Zahlen ist 35, 14, 7, 6, 4.

(v) Die angegebenen Zahlen sind 24, 8, 15, 94, 119.
Vergleichen Sie die Werte und notieren Sie die höchste Zahl.
Notieren Sie zuerst die höchste Zahl und vergleichen Sie dann mit allen anderen Zahlen mit der gleichen Anzahl von Stellen.
119, 94, 24, 15, 8.

Die absteigende Reihenfolge der Zahlen ist 119, 94, 24, 15, 8.

FAQs zu aufsteigender oder absteigender Reihenfolge

1. Was bedeutet aufsteigende Reihenfolge?

Wenn die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind, d. h. vom kleinsten zum größten, werden sie als aufsteigend bezeichnet.

2. Was bedeutet absteigende Reihenfolge?

Absteigende Reihenfolge oder abnehmende Reihenfolge ist die Art und Weise, die Zahlen vom größten zum kleinsten anzuordnen.

3. Welche Zeichen werden verwendet, um aufsteigende Reihenfolge und absteigende Reihenfolge darzustellen?

Aufsteigende Reihenfolge wird durch das Symbol ‘<‘ (kleiner als) gekennzeichnet, während die absteigende Reihenfolge durch das Symbol ‘>’ (größer als) gekennzeichnet wird.


Aus einem Kindergarten und einem Klassenzimmer der ersten Klasse

Nachdem ich die Schüler gebeten hatte, sich mir in einem Kreis auf dem Teppich anzuschließen, schrieb ich die Nummer auf 10 oben auf einem Blatt Papier. Als nächstes verteilte ich ineinandergreifende Würfel, indem ich sie vorsichtig in der Nähe der Schüler ausschüttete, damit jedes Kind Zugang zu ihnen hatte. Ich wies die Schüler an, jeweils zehn Würfel zu zählen und sie zu einem Zug zusammenzuschnappen. Nachdem sie dies getan hatten, ließ ich sie ihre Züge mit einem Schüler vergleichen, der neben ihnen saß, um sicherzugehen, dass sie die gleiche Länge hatten.

„Jetzt möchte ich, dass du deinen Zug an einer Stelle zerlegst, damit du zwei Züge hast“, sagte ich der Klasse. Ich hielt eine Reihe von zehn Würfeln hoch, die ich selbst gemacht hatte, und zeigte den Schülern verschiedene Möglichkeiten, sie auseinander zu nehmen. „Halten Sie in jeder Hand ein Teil“, sagte ich ihnen. Nachdem ich den Schülern ein paar Sekunden Zeit gegeben hatte, machte ich sie aufmerksam und forderte Carlos auf, seinen Zug zu beschreiben.

„Ich habe zwei Züge“, begann Carlos. „Ein Zug hat vier Würfel und der andere hat sechs.“

Ich zeichnete schnell eine Skizze von Carlos’ Zügen auf der Klassentafel und schrieb einen entsprechenden Zahlensatz darunter.

So fuhr ich für jeden Schüler, der sich meldete, fort, zeichnete eine Skizze der Züge an die Tafel, schrieb einen dazugehörigen Zahlensatz und las dann mit den Schülern die Gleichung laut vor. An einer Stelle im Unterricht sah das Kartenpapier so aus: „Carlos hat hier vier Würfel“, sagte ich zur Klasse und zeigte auf meine Skizze des Zuges mit vier Würfeln und auf die Zahl 4 im Zahlensatz 4 + 6 = 10. „Und er hat hier sechs Würfel.“ Ich zeigte auf den Zug mit sechs Würfeln auf der Tafel und der 6 im Zahlensatz. „Das macht insgesamt zehn Würfel.“ Dann las ich die Gleichung laut vor und zeigte dabei wieder auf: „Vier plus sechs ist zehn“.

4 + 6 = 10 10 = 2 + 8

Ich habe absichtlich zwischen dem Schreiben der 10 am Ende der Gleichung nach dem Gleichheitszeichen (4 + 6 = 10) und dem Schreiben der 10 am Anfang der Gleichung (10 = 2 + 8) abgewechselt. Es ist wichtig, dass Kinder flexibel werden, wenn es darum geht, Zahlensätze in beide Richtungen geschrieben zu sehen. Kinder denken zu oft, das Gleichheitszeichen bedeute „die Antwort kommt“ und ein Zahlensatz sei falsch, wenn er mit der Summe beginnt.

Am Ende der Aktivität war das Diagramm mit Kombinationen aus zwei Zehner-Summen gefüllt. In den ersten Monaten der Schule habe ich die Aktivität auf verschiedene Weise variiert. Manchmal ließ ich die Kinder ihren Zug von zehn Würfeln in drei oder vier verschiedene Züge aufteilen, damit sie die Erfahrung hatten, zehn als Summe von drei oder vier Additionen zu sehen – zum Beispiel 1 + 3 + 6 = 10 und 2 + 3 + 1 + 4 = 10. Manchmal ließ ich sie mit Zahlenfolgen von weniger als zehn beginnen, um ihnen Erfahrung mit den Additionen dieser Zahlen zu geben. Für jede habe ich auf Diagrammpapier notiert und die Klassendiagramme im Raum ausgestellt, damit die Schüler nachschlagen können.


47.3: Beispiele - Mathematik

Mathematik beruht sowohl auf Logik als auch auf Kreativität und wird sowohl für eine Vielzahl von praktischen Zwecken als auch für ihr intrinsisches Interesse verfolgt. Für manche Menschen, und nicht nur für professionelle Mathematiker, liegt das Wesen der Mathematik in ihrer Schönheit und ihrer intellektuellen Herausforderung. Für andere, darunter viele Wissenschaftler und Ingenieure, liegt der Hauptwert der Mathematik darin, wie sie sich auf ihre eigene Arbeit anwenden lässt. Da Mathematik in der modernen Kultur eine so zentrale Rolle spielt, ist ein gewisses Grundverständnis der Natur der Mathematik für wissenschaftliche Bildung erforderlich. Um dies zu erreichen, müssen die Schüler Mathematik als Teil des wissenschaftlichen Unterfangens wahrnehmen, die Natur des mathematischen Denkens verstehen und sich mit den wichtigsten mathematischen Ideen und Fähigkeiten vertraut machen.

Dieses Kapitel konzentriert sich auf Mathematik als Teil des wissenschaftlichen Unterfangens und dann auf Mathematik als Prozess oder Denkweise. Empfehlungen zu mathematischen Ideen finden Sie in Kapitel 9, Die mathematische Welt, und Empfehlungen zu mathematischen Fähigkeiten sind in Kapitel 12, Gewohnheiten des Geistes, enthalten.

M ATTERN UND BEZIEHUNGEN

Mathematik ist die Wissenschaft von Mustern und Beziehungen. Als theoretische Disziplin untersucht die Mathematik die möglichen Beziehungen zwischen Abstraktionen, ohne sich Gedanken darüber zu machen, ob diese Abstraktionen Gegenstücke in der realen Welt haben. Die Abstraktionen können alles sein, von Zahlenketten über geometrische Figuren bis hin zu Gleichungssätzen. Bei der theoretischen Frage "Bildet das Intervall zwischen Primzahlen ein Muster?", sind Mathematiker nur daran interessiert, ein Muster zu finden oder zu beweisen, dass es keines gibt, aber nicht daran, welchen Nutzen solches Wissen haben könnte. Bei der Ableitung eines Ausdrucks für die Änderung der Oberfläche eines regulären Festkörpers, wenn sich sein Volumen Null nähert, haben Mathematiker kein Interesse an einer Entsprechung zwischen geometrischen Festkörpern und physikalischen Objekten in der realen Welt.

Eine zentrale Forschungsrichtung in der theoretischen Mathematik besteht darin, in jedem Studienbereich einen kleinen Satz grundlegender Ideen und Regeln zu identifizieren, aus denen alle anderen interessanten Ideen und Regeln in diesem Gebiet logisch abgeleitet werden können. Mathematiker wie andere Wissenschaftler freuen sich besonders, wenn sich herausstellt, dass sich zuvor nicht verwandte Teile der Mathematik voneinander oder aus einer allgemeineren Theorie ableiten lassen. Ein Teil des Schönheitsempfindens, das viele Menschen in der Mathematik wahrgenommen haben, liegt nicht darin, die größte Ausführlichkeit oder Komplexität zu finden, sondern im Gegenteil, die größte Ökonomie und Einfachheit der Darstellung und des Beweises zu finden. Mit dem Fortschreiten der Mathematik wurden immer mehr Beziehungen zwischen Teilen davon gefunden, die separat entwickelt wurden, beispielsweise zwischen den symbolischen Darstellungen der Algebra und den räumlichen Darstellungen der Geometrie. Diese Querverbindungen ermöglichen die gemeinsame Entwicklung von Einsichten in die verschiedenen Teile, sie stärken den Glauben an die Richtigkeit und die zugrunde liegende Einheit der Gesamtstruktur.

Mathematik ist auch eine angewandte Wissenschaft. Viele Mathematiker richten ihre Aufmerksamkeit auf die Lösung von Problemen, die ihren Ursprung in der Erfahrungswelt haben. Auch sie suchen nach Mustern und Zusammenhängen und verwenden dabei Techniken, die denen der rein theoretischen Mathematik ähneln. Der Unterschied liegt hauptsächlich in der Absicht. Im Gegensatz zu theoretischen Mathematikern könnten angewandte Mathematiker in den oben genannten Beispielen das Intervallmuster von Primzahlen studieren, um ein neues System zur Codierung numerischer Informationen zu entwickeln, und nicht als abstraktes Problem. Oder sie könnten das Flächen/Volumen-Problem als einen Schritt zur Erstellung eines Modells für die Untersuchung des Kristallverhaltens angehen.

Die Ergebnisse der theoretischen und der angewandten Mathematik beeinflussen sich oft gegenseitig. Die Entdeckungen theoretischer Mathematiker erweisen sich häufig "manchmal Jahrzehnte später" als unerwarteten praktischen Wert. Studien über die mathematischen Eigenschaften von Zufallsereignissen führten beispielsweise zu Erkenntnissen, die es später ermöglichten, sozial- und naturwissenschaftliche Experimente besser zu gestalten. Umgekehrt machten Mathematiker bei dem Versuch, das Problem der fairen Abrechnung von Ferngesprächstelefonbenutzern zu lösen, grundlegende Entdeckungen über die Mathematik komplexer Netzwerke. Theoretische Mathematik ist im Gegensatz zu den anderen Wissenschaften nicht durch die reale Welt eingeschränkt, trägt aber auf lange Sicht zu einem besseren Verständnis dieser Welt bei.

M ATHEMATIK, WISSENSCHAFT UND T ECHNOLOGIE

Aufgrund ihrer Abstraktheit ist die Mathematik in einem Sinne universell, wie es andere Bereiche des menschlichen Denkens nicht sind. Es findet nützliche Anwendungen in Wirtschaft, Industrie, Musik, Geschichtswissenschaft, Politik, Sport, Medizin, Landwirtschaft, Ingenieurwesen, Sozial- und Naturwissenschaften. Die Beziehung zwischen der Mathematik und den anderen Bereichen der Grundlagen- und angewandten Wissenschaften ist besonders stark. Dies hat mehrere Gründe, einschließlich der folgenden:

  • Die Allianz zwischen Naturwissenschaften und Mathematik hat eine lange Geschichte, die viele Jahrhunderte zurückreicht. Die Wissenschaft bietet der Mathematik interessante Probleme, die es zu untersuchen gilt, und die Mathematik bietet der Wissenschaft leistungsstarke Werkzeuge für die Analyse von Daten. Oft haben sich abstrakte Muster, die von Mathematikern um ihrer selbst willen studiert wurden, erst viel später als sehr nützlich in der Wissenschaft herausgestellt. Wissenschaft und Mathematik versuchen beide, allgemeine Muster und Zusammenhänge zu entdecken, und in diesem Sinne sind sie Teil desselben Unterfangens.
  • Mathematik ist die Hauptsprache der Wissenschaft. Die Symbolsprache der Mathematik hat sich als äußerst wertvoll erwiesen, um wissenschaftliche Ideen eindeutig auszudrücken. Die Aussage, dass ein=W/m ist nicht nur eine Kurzformel, um zu sagen, dass die Beschleunigung eines Objekts von der auf es ausgeübten Kraft und seiner Masse abhängt, sondern es ist eine genaue Aussage über die quantitative Beziehung zwischen diesen Variablen. Noch wichtiger ist, dass die Mathematik der Grammatik der Wissenschaft die Regeln für die rigorose Analyse wissenschaftlicher Ideen und Daten liefert.
  • Mathematik und Naturwissenschaften haben viele Gemeinsamkeiten. Dazu gehören der Glaube an eine verständliche Ordnung ein Zusammenspiel von Vorstellungskraft und rigoroser Logik Ideale von Ehrlichkeit und Offenheit die kritische Bedeutung von Peer-Kritik der Wert, der darauf gelegt wird, als Erster eine Schlüsselentdeckung von internationaler Bedeutung zu machen und sogar mit der Entwicklung leistungsstarker elektronischer Computer, die Technologie nutzen können, um neue Untersuchungsfelder zu erschließen.
  • Auch Mathematik und Technik haben eine fruchtbare Beziehung zueinander entwickelt. Die Mathematik der Verbindungen und logischen Ketten hat zum Beispiel stark zum Design von Computerhardware und Programmiertechniken beigetragen. Die Mathematik trägt auch allgemeiner zum Ingenieurwesen bei, etwa bei der Beschreibung komplexer Systeme, deren Verhalten dann vom Computer simuliert werden kann. In diesen Simulationen können Konstruktionsmerkmale und Betriebsbedingungen variiert werden, um optimale Konstruktionen zu finden. Die Computertechnologie ihrerseits hat der Mathematik ganz neue Gebiete erschlossen, sogar in der Natur des Beweises, und sie hilft auch weiterhin, zuvor entmutigende Probleme zu lösen.

M ATHEMATISCHE ICH ANFRAGE

Die Verwendung von Mathematik, um Ideen auszudrücken oder Probleme zu lösen, umfasst mindestens drei Phasen: (1) einige Aspekte von Dingen abstrakt darstellen, (2) die Abstraktionen durch logische Regeln manipulieren, um neue Beziehungen zwischen ihnen zu finden, und (3) zu sehen, ob die neuen Beziehungen sagen etwas Nützliches über die ursprünglichen Dinge aus.

Abstraktion und symbolische Darstellung

Mathematisches Denken beginnt oft mit dem Abstraktionsprozess, d. h. mit der Feststellung einer Ähnlichkeit zwischen zwei oder mehr Objekten oder Ereignissen. Gemeinsame Aspekte, seien sie konkret oder hypothetisch, können durch Symbole wie Zahlen, Buchstaben, andere Zeichen, Diagramme, geometrische Konstruktionen oder sogar Wörter dargestellt werden. Ganze Zahlen sind Abstraktionen, die die Größe von Mengen von Dingen und Ereignissen oder die Reihenfolge von Dingen innerhalb einer Menge darstellen. Der Kreis als Konzept ist eine Abstraktion, die von menschlichen Gesichtern, Blumen, Rädern oder sich ausbreitenden Wellen abgeleitet ist. Der Buchstabe A kann eine Abstraktion für die Oberfläche von Objekten jeder Form sein, für die Beschleunigung aller sich bewegenden Objekte oder für alle Objekte mit Bei einer bestimmten Eigenschaft repräsentiert das Symbol + einen Additionsprozess, egal ob man Äpfel oder Orangen, Stunden oder Meilen pro Stunde hinzufügt. Und Abstraktionen werden nicht nur von konkreten Objekten oder Prozessen gemacht, sie können auch von anderen Abstraktionen gemacht werden, wie etwa Zahlenarten (zum Beispiel den geraden Zahlen).

Eine solche Abstraktion ermöglicht es Mathematikern, sich auf einige Merkmale der Dinge zu konzentrieren und entbindet sie von der Notwendigkeit, ständig andere Merkmale im Auge zu behalten. Für die Mathematik spielt es keine Rolle, ob ein Dreieck die Fläche eines Segels oder die Konvergenz zweier Sichtlinien auf einem Stern darstellt, Mathematiker können mit beiden Konzepten in gleicher Weise arbeiten. Die daraus resultierende Wirtschaftlichkeit des Aufwands ist sehr nützlich, vorausgesetzt, dass bei der Abstraktion darauf geachtet wird, Merkmale nicht zu ignorieren, die eine bedeutende Rolle bei der Bestimmung des Ergebnisses der untersuchten Ereignisse spielen.

Mathematische Aussagen manipulieren

Nachdem Abstraktionen vorgenommen und symbolische Darstellungen davon ausgewählt wurden, können diese Symbole nach genau definierten Regeln auf verschiedene Weise kombiniert und neu kombiniert werden. Manchmal geschieht dies mit einem festen Ziel vor Augen, manchmal geschieht dies im Rahmen von Experimenten oder Spielen, um zu sehen, was passiert. Manchmal kann eine geeignete Manipulation leicht aus der intuitiven Bedeutung der konstituierenden Wörter und Symbole identifiziert werden, manchmal muss eine nützliche Reihe von Manipulationen durch Versuch und Irrtum ausgearbeitet werden.

Typischerweise werden Zeichenketten zu Aussagen kombiniert, die Ideen oder Aussagen ausdrücken. Zum Beispiel das Symbol EIN für die Fläche eines beliebigen Quadrats kann mit dem Symbol verwendet werden S für die Seitenlänge des Quadrats, um den Satz zu bilden EIN = s 2 . Diese Gleichung gibt an, wie die Fläche zur Seite in Beziehung steht und impliziert auch, dass sie von nichts anderem abhängt. Die Regeln der gewöhnlichen Algebra können dann verwendet werden, um herauszufinden, dass wenn die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelt wird, die Fläche des Quadrats viermal so groß wird. Allgemeiner gesagt ermöglicht dieses Wissen, herauszufinden, was mit der Fläche eines Quadrats geschieht, unabhängig davon, wie sich die Länge seiner Seiten ändert, und umgekehrt, wie sich jede Änderung der Fläche auf die Seiten auswirkt.

Mathematische Einblicke in abstrakte Zusammenhänge sind über Jahrtausende gewachsen und werden immer noch erweitert und manchmal überarbeitet. Obwohl sie in der konkreten Erfahrung des Zählens und Messens begannen, haben sie viele Abstraktionsschichten durchlaufen und hängen heute viel mehr von der inneren Logik als von der mechanischen Demonstration ab. In gewisser Weise ist die Manipulation von Abstraktionen also einem Spiel ähnlich: Beginnen Sie mit einigen Grundregeln und führen Sie dann alle Züge aus, die diesen Regeln entsprechen – dazu gehört das Erfinden zusätzlicher Regeln und das Finden neuer Verbindungen zwischen alten Regeln. Der Test für die Gültigkeit neuer Ideen besteht darin, ob sie konsistent sind und ob sie sich logisch auf die anderen Regeln beziehen.

Anwendung

Mathematische Prozesse können zu einer Art Modell einer Sache führen, aus dem Erkenntnisse über die Sache selbst gewonnen werden können. Alle mathematischen Beziehungen, die durch die Manipulation abstrakter Aussagen erreicht werden, können etwas Wahres über das zu modellierende Ding vermitteln oder auch nicht. Wenn zum Beispiel 2 Tassen Wasser zu 3 Tassen Wasser hinzugefügt werden und die abstrakte mathematische Operation 2+3 = 5 verwendet wird, um die Summe zu berechnen, ist die richtige Antwort 5 Tassen Wasser. Wenn jedoch 2 Tassen Zucker zu 3 Tassen heißem Tee hinzugefügt werden und dieselbe Operation verwendet wird, ist 5 eine falsche Antwort, denn eine solche Zugabe führt tatsächlich nur zu etwas mehr als 4 Tassen sehr süßem Tee. Die einfache Addition von Volumina ist für die erste Situation angemessen, aber nicht für die zweite – etwas, das nur durch Kenntnis der physikalischen Unterschiede in den beiden Situationen hätte vorhergesagt werden können. Um die Mathematik gut anwenden und interpretieren zu können, ist es daher notwendig, sich nicht nur mit der mathematischen Gültigkeit abstrakter Operationen zu befassen und auch zu berücksichtigen, wie gut sie den Eigenschaften der dargestellten Dinge entsprechen.

Manchmal reicht der gesunde Menschenverstand aus, um zu entscheiden, ob die Ergebnisse der Mathematik angemessen sind. Um zum Beispiel die Größe eines Mädchens in 20 Jahren zu schätzen, das 5' 5" groß ist und mit einer Geschwindigkeit von einem Zoll pro Jahr wächst, schlägt der gesunde Menschenverstand vor, die einfache Antwort "rate mal Zeit" von 7' ​​1" als höchst unwahrscheinlich abzulehnen, und Wenden Sie sich stattdessen einem anderen mathematischen Modell zu, beispielsweise Kurven, die sich Grenzwerten nähern. Manchmal kann es jedoch schwierig sein zu wissen, wie zutreffend mathematische Ergebnisse sind, beispielsweise bei der Vorhersage von Börsenkursen oder Erdbeben.

Oft führt eine einzige Runde mathematischer Überlegungen nicht zu zufriedenstellenden Schlussfolgerungen, und es werden Änderungen an der Darstellungsweise oder an den Operationen selbst versucht. Tatsächlich werden häufig Sprünge zwischen den Schritten gemacht, und es gibt keine Regeln, die das weitere Vorgehen bestimmen. Der Prozess verläuft typischerweise in Anfängen, mit vielen falschen Abbiegungen und Sackgassen. Dieser Prozess wird fortgesetzt, bis die Ergebnisse gut genug sind.

Aber welche Genauigkeit ist gut genug? Die Antwort hängt davon ab, wie das Ergebnis verwendet wird, von den Folgen von Fehlern und von den wahrscheinlichen Kosten für die Modellierung und Berechnung einer genaueren Antwort. Beispielsweise könnte ein Fehler von 1 Prozent bei der Berechnung der Zuckermenge in einem Kuchenrezept unwichtig sein, während ein ähnlicher Fehler bei der Berechnung der Flugbahn einer Raumsonde katastrophal sein könnte. Die Bedeutung der Frage "gut genug" hat jedoch zur Entwicklung mathematischer Verfahren geführt, um abzuschätzen, wie weit die Ergebnisse abweichen und wie viel Rechenaufwand erforderlich wäre, um den gewünschten Genauigkeitsgrad zu erreichen.

Copyright & Kopie 1989, 1990 von American Association for the Advancement of Science


47.3: Beispiele - Mathematik

Pädagogische Inhaltskenntnisse in Mathematik

Abteilung für Grundschulpädagogik, Taipei Municipal Teachers College, Taiwan.

Diese Studie untersuchte die Zusammenhänge zwischen dem Wissen von Grundschullehrern in Schulmathematik, der Kognition über das Lernen von Kindern und dem Wissen über die Unterrichtspraxis von Lehrern der fünften und sechsten Klasse. Die Lehrer (N = 201) füllten strukturierte Fragebögen aus, in denen ihre Wahrnehmung der Lernschwierigkeiten der Kinder, ihr Wissen über die Unterrichtspraxis und mathematische Konzepte im Mathematiklehrplan der fünften und sechsten Klasse bewertet wurden. Die Ergebnisse zeigten, dass die Lernschwierigkeiten der Kinder im Verstehen abstrakter mathematischer Konzepte bestanden. Das primäre Wissen über die Unterrichtspraxis, das von Lehrern vorgeschlagen wurde, bestand darin, sich an der Problemlösung in kooperativen Kleingruppen zu beteiligen. Das mathematische Wissen der Lehrerin hatte jedoch keinen signifikanten Einfluss auf ihre Wahrnehmung der Lernschwierigkeiten der Kinder und ihr Wissen über die Unterrichtspraxis. Für die weitere Forschung ist es erforderlich, Lehrern mehr berufsbegleitende Weiterbildung zu bieten, um ein besseres Verständnis für mathematisches Wissen und Erkenntnistheorie zu entwickeln.

Theoretischer Rahmen und Ziel der Forschung

Lehrkräfte sind ein Glied in der Einflusskette von der Reform bis hin zu Lehr- und Lernveranstaltungen. Darüber hinaus kann die Umsetzung der Mathematikreform durch das pädagogische Inhaltswissen der Lehrkräfte beeinflusst werden (Knapp, 1997), zum Beispiel: Sachwissen, Wissen über das Lernen der Schüler sowie Wissen über mathematischen Unterricht (Even & Tirosh, 1995 Schulman, 1986). Das Wissen darüber, was das Lernen bestimmter Themen leicht oder schwierig macht, und die Lehrmethode zum Verstehen sind wichtige Aspekte der Kognition von Lehrern, die sich auf die Überzeugungen der Lehrer über die pädagogische Praxis beziehen (Fennema, Franke, Levi, Jacobs & Empson, 1996 Swafford, Jones & Thornton, 1997) im Klassenzimmer.

Die Vorstellung von mathematischem Wissen ist ein kritischer Aspekt des Wissens von Lehrern, bevor sie den Schülern helfen können, es zu erlernen (Swafford et al., 1997). B. Brüche, Mittelwerte, Dezimalzahlen, Zahlengeraden, Volumen, Fläche und Geometrie sind wichtige Themen im Mathematikunterricht der höheren Grundschulklassen. Welche Vorstellungen haben Lehrer von mathematischem Wissen zu den oben genannten Themen? Mehrere Forscher haben die Überzeugungen von Lehrern über den Mathematiklehrplan und den Mathematikunterricht im Allgemeinen untersucht (z. B. Collier, 1972 Skemp, 1978) sowie das mathematische Wissen von Lehrern innerhalb eines bestimmten Themenbereichs analysiert (z. B. Lampert, 1986 Swafford, et al., 1997). Bisherige Studien haben jedoch mathematische Probleme, die in alltäglichen mathematischen Lernsituationen bei der Analyse des pädagogischen Inhaltswissens von Lehrkräften auftraten, nicht ausreichend berücksichtigt. Darüber hinaus fanden einige Studien heraus, dass Lehrer, die mehr mathematische Kenntnisse erworben hatten, ihren Schülern das Lernen erleichterten und dadurch die Leistung bei der Problemlösung verbesserten (z. B. Carpenter, Fennema & Franke, 1996, Swafford, et al., 1997). Nur wenige Studien berichteten, wie das mathematische Wissen von Lehrern ihre Wahrnehmung von Lernschwierigkeiten von Kindern und ihr Wissen über die Unterrichtspraxis beeinflusst. Die empirischen Daten zu den Lernschwierigkeiten von Kindern, die anhand der Kognition der Lehrkräfte ermittelt wurden, sind weniger überzeugend. Die Ermittlung und Untersuchung des pädagogischen Inhaltswissens von Lehrkräften und des Zusammenhangs innerhalb des Wissens der Lehrkräfte ist von entscheidender Bedeutung, um die Umsetzung der Reform zu verbessern.

Ziel dieser Studie war es, die mathematischen Konzeptionen und die Wahrnehmung der Lernschwierigkeiten der Kinder der fünften und sechsten Klasse sowie das Wissen über die Unterrichtspraxis im mathematischen Alltagsunterricht zu untersuchen. Darüber hinaus untersuchte die Studie auch die Möglichkeit eines Zusammenhangs zwischen den mathematischen Konzepten der Lehrer, der Erkenntnis über Lernschwierigkeiten der Kinder und dem Wissen über die Unterrichtspraxis. Die Forschungsfragen umfassten: (a) Was sind die Hauptkomponenten der Kognition von Lehrkräften über die Lernschwierigkeiten von Kindern sowie des Wissens über die Unterrichtspraxis? (b) Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem mathematischen Wissen der Lehrer und ihrer Wahrnehmung der Lernschwierigkeiten der Kinder? (c) Wie wirkt sich das mathematische Wissen von Lehrern auf ihr Wissen über die Unterrichtspraxis in Mathematik aus?

An der Studie nahmen 201 Grundschullehrer der fünften und sechsten Klasse von 39 öffentlichen Schulen im Osten, Süden, Norden und Zentrum Taiwans teil. In unserer Stichprobe betrug die durchschnittliche Anzahl der Lehrjahre in der Grundschule 12,92 Jahre und die durchschnittliche Anzahl der Lehrjahre in der fünften und sechsten Klasse betrug 9,10.

In einer früheren Studie wurden acht offene Fragen entwickelt, um drei Wissensaspekte zu untersuchen: mathematische Grundkonzeptionen, Lernschwierigkeiten der Kinder und Kenntnisse in der Unterrichtspraxis. Die insgesamt acht mathematischen Probleme umfassten: Brüche, Mittelwerte, Dezimalzahlen, Zahlengeraden, Volumen, Fläche, Parallelität und Probleme mit Zahlen und Formen. Es wurden Meinungen zu den offenen Fragen von 27 Lehrern gesammelt und kategorisiert, die die höhere Klasse an öffentlichen Grundschulen unterrichteten. Darüber hinaus wurden Aussagen vieler Lehrkräfte durch informelle Interviews eingeholt. Both teachers’ cognition of children’s learning difficulties and knowledge of instructional practice were categorized by two instructors after examining all the descriptions on the answering sheets. The categories of teachers’ cognition of children’s learning difficulties included: (a) Difficulty in Understanding mathematical concepts: mathematical concepts are abstract and difficult for children to understand (b) Difficulty in Operating objects: much mathematical knowledge is difficult to understand by operating objects or materials ( c) Imitating the Solution without understanding: children were able to imitate solutions or algorithms from teachers, without understanding the meaning. The categories of teachers’ knowledge of instructional practice included: (a) instructing directly by Oral Explanation and demonstration (b) enabling children to communicate and engage in problem solving in Cooperative Small Groups (c) demonstrating the solution steps in a procedure, then having their students to Repeatedly Practice the steps.

Next, we developed a questionnaire that consisted of eight different mathematical problems as used in the prior study, and each problem had three subscales: (a) Scale of basic mathematical conceptions of specific topic as in the prior study. The subscale consisted of 21 items to which the teachers responded with a yes/no choice and one number line problem. A high score on this subscale indicated that the teacher had high mathematical knowledge performance, whereas a low score on the subscale reflected that the teacher had low mathematical knowledge performance. (b) Scale of children’s learning difficulties, which consisted of three items described in the categories above. ( c) Scale of instructional practice knowledge, which consisted of the three items described in the categories above. The second and the third subscale consisted of 24 and 27 items, respectively. Both scales were designed using a 4-point Likert scale. The validity of both scales was .78 to .98, respectively, and the reliability of the retest was .43 to .87, respectively.

Teachers’ Mathematical Knowledge, Cognition of Children’s Learning Difficulties, and Knowledge of Instructional Practice. The full score of the teachers’ mathematical knowledge subscale was 27. The mean and standard deviation of scores on the subscale was 17.8 and 3.71, respectively. If a teachers’ score was higher than or equal to 18, s/he would be defined in the high mathematical knowledge group. If a teachers’ score was lower than 18, s/he would be defined in the lower mathematical knowledge group. About 47.3%(n=95) of the teachers had mathematical knowledge higher than the average score (mean=21.22, SD=2.00), and 52.7%(n=106) of the teachers had mathematical knowledge lower than the average score (mean=14.82, SD=1.76).

Children’s learning difficulties identified from teachers’ cognition included three main categories: (a) Difficulty in Understanding abstract mathematical concepts (b) Difficulty in Operating concrete objects (c) Imitating Solution without understanding. Knowledge of instructional practice suggested from teachers included three main categories: (a) Oral Explanation and demonstration (b) Cooperative problem solving in Small Groups. ( c) Repeatedly Practicing solution steps.

The Relationships Between Teachers’ Mathematical Conceptions and Cognition of Children’s Learning Difficulties. The data was analyzed with a two (high versus low mathematical knowledge groups) by three (DU, DO, and IS, the three categories of children’s learning difficulties) two-way mixed-design ANOVA. The results indicated no significant interaction effect between teachers’ mathematical knowledge and cognition of children’s learning difficulties. Different level of teachers’ mathematical conceptions did not significantly affect cognition of children’s learning difficulties, F (2, 398)=1.17 . Similarly, simple effects of teachers’ mathematical knowledge did not reach statistical significance, F (1, 199)=.97. However, there was significant simple effects of teachers’ cognition about children’s learning difficulties, F (2, 398)=72.58, p<.001 . Teachers had higher cognition of Difficulty in Understanding abstract mathematical concepts and Imitation Solution without understanding rather than Difficulty in Operating objects in children’s mathematical learning.

The Relationships Between Teachers’ Mathematical Knowledge and Knowledge of Instructional Practice . The data was analyzed with a two (high versus low mathematical knowledge groups) by three (OE, CSG, and RP, the three categories of instructional practice knowledge) two-way mixed-design ANOVA. The interaction effects between teachers’ mathematical knowledge and knowledge of instructional practice did not reach statistical significance, F (2, 398)=.61 as did simple effects of teachers’ mathematical knowledge, F (1,199)=.24. However, there was significant simple effects of instructional practice knowledge, F (2,398)=8.67, p<.001. The results illustrated that teachers had higher agreement with Cooperative Small Groups instruction and Repeatedly Practice solution steps rather than with Oral Explanation and demonstrative instruction.

The findings illustrated that more than half of the teachers’ conceptions of mathematical knowledge were lower than the average score. It seems that a few of the fifth and sixth grades teachers may not have sufficient subject matter knowledge that related to practical learning situations. The results also found that teachers with different levels of mathematical knowledge may not directly affect their cognition of children’s learning difficulties and knowledge of instructional practice. Teachers who had a limited view of how mathematical knowledge is acquired could alienate themselves from the reasonability of the subject matter structure in their teaching (Lampert, 1986). Such a phenomenon might partially explain the results described above that teachers’ mathematical knowledge did not affect their cognition of children’s learning difficulties and knowledge of instructional practice . In addition, the information from teachers’ interviews indicated a tendency to heavily depend on mathematics instructional handbooks in classroom teaching. When teaching, teachers are more likely to incorporate mathematical ideas made on the basis of guiding booklets and subject matter knowledge, and perhaps disregard children’s learning difficulties.

Moreover, teachers had higher agreement in Cooperative Small Groups work rather than in Oral Explanation. Perhaps the reform recommendations of the New Curriculum and constructivism approach had influenced parts of teachers’ beliefs. On the other hand, the results also found teachers who preferred to have their students Repeatedly Practice rather than work in Cooperatively Small Groups. The reasons, as suggested from the information obtained during teachers’ interviews are twofold. Firstly, mathematical concepts are known as a more formal abstract system than other subjects. It’s a challenge for children to connect mathematical symbols and operations in problem solving (Lampert, 1986). Some teachers have their students engage in drills and repetitive practice as an alternative method for mathematical instruction, especially for students learning abstract concepts. Secondly, teachers believe that students must master some computation skills and fear that many problems are beyond the discussion abilities of their students (Carpenter, Fennema, Peterson, Chiang, & Loef, 1989) .

Teachers’ efforts to put the ideas and recommendations of mathematics reform into practice have been effected by the teachers’ knowledge about mathematics and pedagogical content knowledge (Knapp, 1997). The results of this study also reflect such views. For the purpose of enhancing teachers effectively apply what they learned about children in their classroom teaching, more research-based knowledge on mathematics learning and inservice education program for teachers are needed to enrich teachers’ knowledge about school mathematics and challenge teachers’ beliefs of drill-and-practice.

This research was supported by a grant from the national Science Council under grant No. 85-2513 S 081B001. The opinions do not reflect the views of the foundation. We would also like to express our thanks to Dr. Tien-Chen. Chu, Dr. Meng-Fon, Huang, and Dr. Tzyh-Chiang, Ning for their helpful comments.

Carpenter, T. P., Fennema, E., Peterson, P. L., Chiang, C. P., & Loef, M. (1989). Using knowledge of children’s mathematics thinking in classroom teaching: An experimental study. American Educational Research Journal, 26 (4), 499-531.

Carpenter, T. P., Fennema, E. & Franke, M. L. (1996). Cognitively guided instruction: A knowledge base for reform in primary mathematics instruction. The Elementary School Journal, 97 (1), 3-20.

Collier, C. P. (1972). Three studies of teacher planning. (Research Series No. 55). East lansing: Michigan State University.

Even, R. & Tirosh, D. (1995). Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher presentations of the subject matter. Educational Studies in Mathematics, 29 (1),1-20.

Fennema, E., Carpenter, T. P., Franke, M. L., Levi, L., Jacobs, V. R. & Empson, S. B. (1996). A longitudinal study of learning to use children’s thinking in mathematics instruction. Journal for Research in Mathematics Education,27 (4),16-32.

Lampert, M. (1986). Knowing, doing, and teaching multiplication. Cognition and Instruction, 3 (4), 305-342.

Knapp, M. S. (1997). Between systemic reforms and the mathematics and science classroom: The Dynamics of innovation, implementation, and professional learning. Review of Educational Research, 67 (2), 227-266.

Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15 (2), 4-14.

Skemp, R. R. (1978). Relational understanding and instrumental understanding. Arithmetic Teacher, 26 , 9-15.

Swafford, J. O., Jones, G. A. & Thornton, C. A. (1997). Increased knowledge in geometry and instructional practice. Journal for Research in Mathematics Education,28 (4),467-483.


164 , 025

Let’s consider the numbers close to 50: those that are between 41 and 59. For these numbers you calculate their square in the following manner:

  1. We subtract 25 from the number. This number will be the first two digits of the final result.
  2. We find the difference between 50 and the number.
  3. We square that difference and the result will be the last two digits of the final result.

Let’s look at an example: 47²


Common Core Math In The Classroom And Homework Help

How can the Common Core Math be implemented in the Classroom?
How can I teach the Common Core Math at home?
How can I get homework help for the Common Core Math?

NYS Common Core Lessons and Worksheets

The following lessons are based on the New York State (NYS) Common Core Math Standards. They consist of lesson plans, worksheets (from the NYSED) and videos to help you prepare to teach Common Core Math in the classroom or at home. There are lots of help for classwork and homework.

Each grade is divided into six or seven modules. Mid-module and End-Module Assessments are also included.

The lessons are divided into Fluency Practice, Application Problem, Concept Development, and Student Debrief.
The worksheets are divided into Problem Set, Exit Ticket, and Homework.

Kindergarten Mathematics
Numbers to 10
Two-Dimensional and Three-Dimensional Shapes
Comparison of Length, Weight, Capacity
Number Pairs, Addition and Subtraction to 10
Counting to 100
Analyzing, Comparing, and Composing Shapes

Grade 1 Mathematics
Sums and Differences to 10
Introduction to Place Value Through Addition and Subtraction Within 20
Ordering and Comparing Length Measurements as Numbers
Place Value, Comparison, Addition and Subtraction to 40
Identifying, Composing, and Partitioning Shapes
Place Value, Comparison, Addition and Subtraction to 100

Grade 2 Mathematics
Sums and Differences to 20
Addition and Subtraction of Length Units
Place Value, Counting, and Comparison of Numbers to 1,000
Addition and Subtraction Within 200 with Word Problems to 100
Addition and Subtraction Within 1,000 with Word Problems to 100
Foundations of Multiplication and Division
Problem Solving with Length, Money, and Data
Fractions as Equal Parts of Shapes, Time

Grade 3 Mathematics
Properties of Multiplication and Division and Solving Problems with Units of 2 and 10
Place Value and Problem Solving with Units of Measure
Multiplication and Division with Units of 0, 1, 6, and Multiples of 10
Multiplication and Area Fractions as Numbers on the Number Line
Collecting and Displaying Data
Geometry and Measurement Word Problems

Grade 4 Mathematics
Place Value, Rounding, and Algorithms for Addition and Subtraction
Unit Conversions and Problem Solving with Metric Measurement
Multi-Digit Multiplication and Division
Angle Measure and Plane Figures
Fraction Equivalence, Ordering, and Operations
Decimal Fractions
Exploring Measurement with Multiplication

Grade 5 Mathematics
Place Value and Decimal Fractions
Multi-Digit Whole Number and Decimal Fraction Operations
Addition and Subtraction of Fractions
Line Plots of Fraction Measurements
Addition and Multiplication with Volume and Area Problem Solving with the Coordinate Plane

Grade 6 Mathematics
Ratios and Unit Rates
Arithmetic Operations Including Division of Fractions
Rational Numbers
Expressions and Equations
Area, Surface Area, and Volume Problems Statistics

Grade 7 Mathematics
Ratios and Proportional Relationship
Rational Numbers
Expressions and Equations
Percent and Proportional Relationships
Statistics and Probability
Geometrie

Grade 8 Mathematics
Integer Exponents and Scientific Notation
The Concept of Congruence
Similarity
Lineare Gleichungen
Examples of Functions from Geometry
Lineare Funktionen
Introduction to Irrational Numbers
Using Geometry

High School Algebra I
Linear and Exponential Sequences
Functions and Their Graphs
Transformations of Functions
Using Functions and Graphs to Solve Problems

Have a look at the following videos for insights on how to implement the Core in classrooms and homes across America. We also have lesson plans, assessments and worksheets to help you in your preparation.

In this first video, we will join Sarah as she explains the Common Core State Standards and offers insights on how to implement the Core in classrooms. We will learn how teachers and students can shift their math classrooms to promote mathematical reasoning.

She emphasized on the need to focus on fewer concepts, coherence for mastery and an approach with more rigor. Focus means less rote memorization and more deep procedural knowledge and conceptual understanding. Rigor means having procedural fluency and conceptual understanding.

She talks about the six shifts in teaching Mathematics: Focus, Coherence, Fluency, Deep Understanding, Application, and Dual Intensity. Classrooms should be creative, engaged and even noisy. Families can be involved in applying the mathematical concepts.

In this video Sarah explains what is the Common Core and where did it come from.
How to read the Common Core State Standards with confidence and perspective.

She explains that &ldquoCommon doesn&rsquot mean the same and the Standards are not the curriculum&rdquo. She also shows how to read the grade level standards for mathematics and for reading and writing.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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