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10.4: Arbeiten mit Taylor-Reihen


Lernziele

  • Schreiben Sie die Terme der Binomialreihe.
  • Erkenne die Taylor-Reihenentwicklungen gemeinsamer Funktionen.
  • Techniken erkennen und anwenden, um die Taylor-Reihe für eine Funktion zu finden.
  • Verwenden Sie Taylor-Reihen, um Differentialgleichungen zu lösen.
  • Verwenden Sie Taylor-Reihen, um nichtelementare Integrale auszuwerten.

Im vorherigen Abschnitt haben wir Taylor-Reihen definiert und gezeigt, wie man die Taylor-Reihen für mehrere gängige Funktionen durch explizite Berechnung der Koeffizienten der Taylor-Polynome findet. In diesem Abschnitt zeigen wir, wie man diese Taylor-Reihen verwendet, um Taylor-Reihen für andere Funktionen abzuleiten. Zunächst zeigen wir, wie Potenzreihen verwendet werden können, um Differentialgleichungen zu lösen. Zweitens zeigen wir, wie Potenzreihen verwendet werden können, um Integrale zu berechnen, wenn die Stammfunktion des Integranden nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden kann. In einem Beispiel betrachten wir ( int e^{−x^2}dx,) ein Integral, das in der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig vorkommt.

Die Binomialreihe

Unser erstes Ziel in diesem Abschnitt ist die Bestimmung der Maclaurin-Reihe für die Funktion ( f(x)=(1+x)^r) für alle reellen Zahlen ( r). Die Maclaurin-Reihe für diese Funktion ist als bekannt binomiale Reihe. Wir betrachten zunächst den einfachsten Fall: ( r) ist eine nichtnegative ganze Zahl. Wir erinnern daran, dass für ( r=0,1,2,3,4,f(x)=(1+x)^r) geschrieben werden kann als

[egin{align} f(x) =(1+x)^0=1, onumber f(x) =(1+x)^1=1+x, onumber f(x ) =(1+x)^2=1+2x+x^2, onumber f(x) =(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3 onumber f(x) =(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4. onumber end{align}]

Die Ausdrücke auf der rechten Seite werden als Binomialentwicklungen und die Koeffizienten als Binomialkoeffizienten bezeichnet. Allgemeiner ausgedrückt ist für jede nichtnegative ganze Zahl ( r) der Binomialkoeffizient von ( x^n) in der Binomialentwicklung von ( (1+x)^r) gegeben durch

[(^r_n)=dfrac{r!}{n!(r−n)!}]

und

[f(x)=(1+x)^r= left(^r_0 ight)1+left(^r_1 ight)x+left(^r_2 ight)x^2+left(^ r_3 ight)x^3+⋯+left(^r_{r−1} ight)x^{r−1}+left(^r_r ight)x^r=sum_{n=0} ^rlinks(^r_n echts)x^n.]

Wenn wir beispielsweise diese Formel für ( r=5) verwenden, sehen wir, dass

[ egin{align*} f(x) =(1+x)^5 =(^5_0)1+(^5_1)x+(^5_2)x^2+(^5_3)x^3+ (^5_4)x^4+(^5_5)x^5 =dfrac{5!}{0!5!}1+dfrac{5!}{1!4!}x+dfrac{5! }{2!3!}x^2+dfrac{5!}{3!2!}x^3+dfrac{5!}{4!1!}x^4+dfrac{5!}{ 5!0!}x^5 =1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5. end{ausrichten*}]

Wir betrachten nun den Fall, wenn der Exponent (r)

ist eine beliebige reelle Zahl, nicht unbedingt eine nicht negative ganze Zahl. Wenn ( r) keine nichtnegative ganze Zahl ist, dann kann ( f(x)=(1+x)^r) nicht als endliches Polynom geschrieben werden. Wir können jedoch eine Potenzreihe für (f) finden. Konkret suchen wir nach der Maclaurin-Reihe für ( f). Dazu finden wir die Ableitungen von (f) und werten sie bei ( x=0) aus.

[ egin{align*} f(x) =(1+x)^r [4pt] f(0) =1 [4pt] f′(x) =r(1+x)^{ r−1} [4pt] f'(0) =r [4pt] f''(x) =r(r−1)(1+x)^{r−2}[4pt] f''(0) =r(r−1) [4pt] f'''(x) =r(r−1)(r−2)(1+x)^{r−3} [4pt] f'''(0) =r(r−1)(r−2) [4pt] f(n)(x) =r(r−1)(r−2)⋯(r− n+1)(1+x)^{r−n} [4pt] f^{(n)}(0) =r(r−1)(r−2)⋯(r−n+1) end{ausrichten*}]

Wir schließen, dass die Koeffizienten in der Binomialreihe gegeben sind durch

[dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=dfrac{r(r−1)(r−2)⋯(r−n+1)}{n!}. ]

Wir bemerken, dass, wenn (r) eine nichtnegative ganze Zahl ist, die ((r+1)st)-Ableitung (f^{(r+1)}) die Nullfunktion ist und die Reihe endet. Wenn (r) eine nichtnegative ganze Zahl ist, dann stimmt die Gleichung für die Koeffizienten mit der Gleichung für die Koeffizienten überein, und die Formel für die Binomialreihe stimmt mit der Gleichung für die endliche Binomialentwicklung überein. Allgemeiner ausgedrückt, um die Binomialkoeffizienten für jede reelle Zahl ( r) zu bezeichnen, definieren wir

[(^r_n)=dfrac{(r−1)(r−2)⋯(r−n+1)}{n!}.]

Mit dieser Notation können wir die Binomialreihe für ( (1+x)^r) schreiben als

[sum_{n=0}^∞(^r_n)x^n=1+rx+dfrac{r(r−1)}{2!}x^2+⋯+dfrac{r(r−1 )⋯(r−n+1)}{n!}x^n+⋯. label{bin1}]

Wir müssen nun das Konvergenzintervall für die Binomialreihe Gleichung ef{bin1} bestimmen. Wir wenden den Verhältnistest an. Folglich betrachten wir

[egin{align*} dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =dfrac{|r(r−1)(r−2)⋯(r−n)|x| |^{n+1}}{(n+1)!}⋅dfrac{n}{|r(r−1)(r−2)⋯(r−n+1)||x|^n} [4pt] =dfrac{|r−n||x|}{|n+1|} end{align*}].

Seit

[lim_{n→∞}dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=|x|<1]

genau dann, wenn ( |x|<1), folgern wir, dass das Konvergenzintervall für die Binomialreihe ( (−1,1)) ist. Das Verhalten an den Endpunkten hängt von ( r) ab. Es kann gezeigt werden, dass für ( r≥0) die Reihe an beiden Endpunkten konvergiert; für ( −1

Definition: Binomialreihe

Für jede reelle Zahl ( r) ist die Maclaurin-Reihe für ( f(x)=(1+x)^r) die Binomialreihe. Es konvergiert gegen ( f) für ( |x|<1), und wir schreiben

[(1+x)^r=sum_{n=0}^∞(^r_n)x^n=1+rx+dfrac{r(r−1)}{2!}x^2+⋯+ rdfrac{(r−1)⋯(r−n+1)}{n!}x^n+⋯]

für ( |x|<1).

Mit dieser Definition können wir die Binomialreihe für ( f(x)=sqrt{1+x}) finden und die Reihe verwenden, um (sqrt{1,5}) zu approximieren.

Beispiel (PageIndex{1}): Finden von Binomialreihen

  1. Finden Sie die Binomialreihe für ( f(x)=sqrt{1+x}).
  2. Verwenden Sie das Maclaurin-Polynom dritter Ordnung ( p_3(x)), um ( sqrt{1,5}) zu schätzen. Verwenden Sie den Satz von Taylor, um den Fehler zu begrenzen. Verwenden Sie ein grafisches Dienstprogramm, um die Diagramme von ( f) und ( p_3) zu vergleichen.

Lösung

A. Hier ( r=dfrac{1}{2}). Mit der Definition für die Binomialreihe erhalten wir

( sqrt{1+x}=1+dfrac{1}{2}x+dfrac{(1/2)(−1/2)}{2!}x^2+dfrac{(1/ 2)(−1/2)(−3/2)}{3!}x^3+⋯)

( =1+dfrac{1}{2}x−dfrac{1}{2!}dfrac{1}{2^2}x^2+dfrac{1}{3!}dfrac{ 1⋅3}{2^3}x^3−⋯+dfrac{(−1)^{n+1}}{n!}dfrac{1⋅3⋅5⋯(2n−3)}{2 ^n}x^n+⋯)

( =1+sum_{n=1}^∞dfrac{(−1)^{n+1}}{n!}dfrac{1⋅3⋅5⋯(2n−3)}{2^ n}x^n.)

B. Aus dem Ergebnis in Teil a. das Maclaurin-Polynom dritter Ordnung ist

( p_3(x)=1+dfrac{1}{2}x−dfrac{1}{8}x^2+dfrac{1}{16}x^3).

Deswegen,

( sqrt{1.5}=sqrt{1+0.5}≈1+dfrac{1}{2}(0.5)−dfrac{1}{8}(0.5)^2+dfrac{1}{ 16}(0.5)^3≈1.2266.)

Nach dem Satz von Taylor erfüllt der Fehler

( R_3(0.5)=dfrac{f^{(4)}(c)}{4!}(0.5)^4)

für einige ( c) zwischen ( 0) und ( 0.5). Da ( f^{(4)}(x)=−dfrac{15}{2^4(1+x)^{7/2}}) und der Maximalwert von ( ∣f^{ (4)}(x)∣) auf dem Intervall ( (0,0.5)) bei ( x=0) auftritt, gilt

( |R_3(0.5)|≤dfrac{15}{4!2^4}(0.5)^4≈0.00244.)

Die Funktion und das Maclaurin-Polynom (p_3) sind in Abbildung dargestellt.

Übung (PageIndex{1})

Finden Sie die Binomialreihe für ( f(x)=dfrac{1}{(1+x)^2}).

Hinweis

Verwenden Sie die Definition von Binomialreihen für ( r=−2).

Antworten

( sum_{n=0}^∞(−1)^n(n+1)x^n)

Gemeinsame Funktionen, ausgedrückt als Taylor-Reihen

An dieser Stelle haben wir Maclaurin-Reihen für exponentielle, trigonometrische und logarithmische Funktionen sowie Funktionen der Form ( f(x)=(1+x)^r) abgeleitet. In Tabelle fassen wir die Ergebnisse dieser Serien zusammen. Wir bemerken, dass die Konvergenz der Maclaurin-Reihe für ( f(x)=ln(1+x)) am Endpunkt ( x=1) und der Maclaurin-Reihe für ( f(x)=tan^{ −1}x) an den Endpunkten ( x=1) und ( x=−1) beruht auf einem fortgeschritteneren Satz, als wir hier präsentieren. (Siehe den Satz von Abel für eine Diskussion dieses eher technischen Punktes.)

Maclaurin-Reihe für allgemeine Funktionen
FunktionMaclaurin-SerieKonvergenzintervall
( f(x)=dfrac{1}{1−x})( sum_{n=0}^∞x^n)( −1
( f(x)=e^x)( sum_{n=0}^∞dfrac{x^n}{n!})( −∞
( f(x)=sinx)( sum_{n=0}^∞(−1)^ndfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})( −∞
( f(x)=cosx)( sum_{n=0}^∞(−1)^ndfrac{x^{2n}}{(2n)!})( −∞
( f(x)=ln(1+x))( sum_{n=0}^∞(−1)^{n+1}dfrac{x^n}{n})( −1
( f(x)=tan^{−1}x)( sum_{n=0}^∞(−1)^ndfrac{x^{2n+1}}{2n+1})( −1
( f(x)=(1+x)^r)( sum_{n=0}^∞(^r_n)x^n)( −1

Weiter oben in diesem Kapitel haben wir gezeigt, wie Sie Potenzreihen kombinieren können, um neue Potenzreihen zu erstellen. Hier verwenden wir diese Eigenschaften in Kombination mit der Maclaurin-Reihe in Tabelle, um Maclaurin-Reihen für andere Funktionen zu erstellen.

Beispiel ( PageIndex{2}): Ableitung von Maclaurin-Reihen aus bekannten Reihen

Finden Sie die Maclaurin-Reihe jeder der folgenden Funktionen, indem Sie eine der in Tabelle aufgeführten Reihen verwenden.

  1. ( f(x)=cossqrt{x})
  2. ( f(x)= ext{sinh} x)

Lösung

A. Unter Verwendung der Maclaurin-Reihe für ( cos x) finden wir, dass die Maclaurin-Reihe für ( cossqrt{x}) gegeben ist durch

( sum_{n=0}^∞dfrac{(−1)^n(sqrt{x})^{2n}}{(2n)!}=sum_{n=0}^∞dfrac {(−1)^nx^n}{(2n)!}=1−dfrac{x}{2!}+dfrac{x^2}{4!}−dfrac{x^3}{6 !}+dfrac{x^4}{8!}−⋯.)

Diese Reihe konvergiert gegen (cossqrt{x}) für alle (x) im Bereich von (cossqrt{x}); das heißt für alle ( x≥0).

B. Um die Maclaurin-Reihe für ( sinhx,) zu finden, benutzen wir die Tatsache, dass

( ext{sinh} x=dfrac{e^x−e^{−x}}{2}.)

Unter Verwendung der Maclaurin-Reihe für ( e^x) sehen wir, dass der ( n-te)-Term in der Maclaurin-Reihe für ( sinhx) gegeben ist durch

( dfrac{x^n}{n!}−dfrac{(−x)^n}{n!}.)

Für gerade (n) ist dieser Term null. Für ( n) ungerade ist dieser Term ( dfrac{2x^n}{n!}). Daher hat die Maclaurin-Reihe für (sinhx) nur Terme ungerader Ordnung und ist gegeben durch

( sum_{n=0}^∞dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+dfrac{x^3}{3!}+dfrac{x^5 }{5!}+⋯.)

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie die Maclaurin-Reihe für ( sin(x^2).)

Hinweis

Verwenden Sie die Maclaurin-Reihe für ( sin x.)

Antworten

( sum_{n=0}^∞dfrac{(−1)^nx^{4n+2}}{(2n+1)!})

Wir haben in diesem Kapitel auch bereits gezeigt, wie Potenzreihen Term für Term differenziert werden können, um eine neue Potenzreihe zu erstellen. Im Beispiel differenzieren wir die Binomialreihe für ( sqrt{1+x}) Term für Term, um die Binomialreihe für ( dfrac{1}{sqrt{1+x}}) zu finden. Beachten Sie, dass wir die Binomialreihe für ( dfrac{1}{sqrt{1+x}}) direkt aus der Definition konstruieren könnten, aber die Differenzierung der Binomialreihe für ( sqrt{1+x}) ist eine einfachere Berechnung.

Beispiel ( PageIndex{3}): Eine Reihe differenzieren, um eine neue Reihe zu finden

Verwenden Sie die Binomialreihe für ( sqrt{1+x}), um die Binomialreihe für ( dfrac{1}{sqrt{1+x}}) zu finden.

Lösung

Die beiden Funktionen sind verbunden durch

( dfrac{d}{dx}sqrt{1+x}=dfrac{1}{2sqrt{1+x}}),

also ist die Binomialreihe für (dfrac{1}{sqrt{1+x}}) gegeben durch

( dfrac{1}{sqrt{1+x}}=2dfrac{d}{dx}sqrt{1+x}=1+sum_{n=1}^∞dfrac{(− 1)^n}{n!}dfrac{1⋅3⋅5⋯(2n−1)}{2^n}x^n.)

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie die Binomialreihe für ( f(x)=dfrac{1}{(1+x)^{3/2}})

Hinweis

Differenziere die Reihe für ( dfrac{1}{sqrt{1+x}})

Antworten

( sum_{n=1}^∞dfrac{(−1)^n}{n!}dfrac{1⋅3⋅5⋯(2n−1)}{2^n}x^n)

In diesem Beispiel haben wir eine bekannte Taylor-Reihe differenziert, um eine Taylor-Reihe für eine andere Funktion zu konstruieren. Die Fähigkeit, Potenzreihen Term für Term zu differenzieren, macht sie zu einem leistungsstarken Werkzeug zum Lösen von Differentialgleichungen. Wie das geht, zeigen wir jetzt.

Lösen von Differentialgleichungen mit Potenzreihen

Betrachten Sie die Differentialgleichung

[y′(x)=y.]

Denken Sie daran, dass dies eine separierbare Gleichung erster Ordnung ist und ihre Lösung ( y=Ce^x) ist. Diese Gleichung lässt sich leicht mit Techniken lösen, die weiter oben im Text besprochen wurden. Für die meisten Differentialgleichungen haben wir jedoch noch keine analytischen Werkzeuge, um sie zu lösen. Potenzreihen sind ein äußerst nützliches Werkzeug zum Lösen vieler Arten von Differentialgleichungen. Bei dieser Technik suchen wir nach einer Lösung der Form ( y=sum_{n=0}^∞c_nx^n) und bestimmen die Koeffizienten. Im nächsten Beispiel betrachten wir ein Anfangswertproblem mit ( y′=y), um die Technik zu veranschaulichen.

Beispiel ( PageIndex{4}): Potenzreihenlösung einer Differentialgleichung

Verwenden Sie Potenzreihen, um das Anfangswertproblem zu lösen

[ y′=y,y(0)=3.]

Lösung

Angenommen, es gibt eine Potenzreihenlösung

( y(x)=sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+⋯.)

Wenn wir diese Reihe Term für Term ableiten, erhalten wir

( y′=c_1+2c_2x+3c_3x^2+4c_4x^3+⋯.)

Wenn (y) die Differentialgleichung erfüllt, dann

( c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+⋯=c_1+2c_2x+3c_3x^2+4c_3x^3+⋯.)

Durch die Eindeutigkeit von Potenzreihendarstellungen wissen wir, dass diese Reihen nur dann gleich sein können, wenn ihre Koeffizienten gleich sind. Deswegen,

( c_0=c_1,)

(c_1=2c_2,)

(c_2=3c_3,)

(c_3=4c_4,)

⋮.

Unter Verwendung der Anfangsbedingung ( y(0)=3) kombiniert mit der Potenzreihendarstellung

( y(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+⋯),

wir finden, dass ( ​​c_0=3). Wir sind nun bereit, nach den restlichen Koeffizienten aufzulösen. Ausgehend von ( c_0=3) gilt

( c_1=c_0=3=dfrac{3}{1!}),

( c_2=dfrac{c_1}{2}=dfrac{3}{2}=dfrac{3}{2!},)

( c_3=dfrac{c_2}{3}=dfrac{3}{3⋅2}=dfrac{3}{3!},)

( c_4=dfrac{c_3}{4}=dfrac{3}{4⋅3⋅2}=dfrac{3}{4!}.)

Deswegen,

( y=3[1+dfrac{1}{1!}x+dfrac{1}{2!}x^2+dfrac{1}{3!}x^3dfrac{1}{4 !}x^4+⋯]=3sum_{n=0}^∞dfrac{x^n}{n!}).

Vielleicht erkennst du

( sum_{n=0}^∞dfrac{x^n}{n!})

als Taylor-Reihe für ( e^x). Daher ist die Lösung ( y=3e^x).

Übung (PageIndex{4})

Verwenden Sie Potenzreihen, um ( y′=2y,y(0)=5.) zu lösen

Hinweis

Die Gleichungen für die ersten mehreren Koeffizienten ( c_n) erfüllen ( c_0=2c_1,c_1=2⋅2c_2,c_2=2⋅3c_3,….) Im Allgemeinen gilt für alle ( n≥0,c_n=2 (n+1)C_{n+1}).

Antworten

( y=5e^{2x})

Wir betrachten nun ein Beispiel mit einer Differentialgleichung, die wir mit den zuvor diskutierten Methoden nicht lösen können. Diese Differentialgleichung

[y′−xy=0]

ist bekannt als Airys Gleichung. Es hat viele Anwendungen in der mathematischen Physik, wie zum Beispiel die Modellierung der Lichtbeugung. Hier zeigen wir, wie man es mit Potenzreihen löst.

Beispiel ( PageIndex{5}): Potenzreihenlösung der Airy-Gleichung

Verwenden Sie Potenzreihen, um zu lösen

[ y''−xy=0]

mit den Anfangsbedingungen ( y(0)=a) und ( y'(0)=b.)

Lösung

Wir suchen eine Lösung der Form

( y=sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+⋯).

Wenn wir diese Funktion Term für Term ableiten, erhalten wir

( y′=c_1+2c_2x+3c_3x^2+4c_4x^3+⋯,)

( y''=2⋅1c_2+3⋅2c_3x+4⋅3c_4x^2+⋯.)

Wenn (y) die Gleichung ( y''=xy) erfüllt, dann

( 2⋅1c_2+3⋅2c_3x+4⋅3c_4x^2+⋯=x(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+⋯).)

Mit [link] zur Eindeutigkeit von Potenzreihendarstellungen wissen wir, dass Koeffizienten gleichen Grades gleich sein müssen. Deswegen,

( 2⋅1c_2=0,)

( 3⋅2c_3=c_0,)

( 4⋅3c_4=c_1,)

( 5⋅4c_5=c_2,)

⋮.

Allgemeiner ausgedrückt gilt für ( n≥3) ( n⋅(n−1)c_n=c_{n−3}). Tatsächlich können alle Koeffizienten in Form von ( c_0) und ( c_1) geschrieben werden. Um dies zu sehen, beachten Sie zunächst, dass ( ​​c_2=0). Dann

( c_3=dfrac{c_0}{3⋅2}),

( c_4=dfrac{c_1}{4⋅3}).

Für ( c_5,c_6,c_7) sehen wir, dass

( c_5=dfrac{c_2}{5⋅4}=0),

( c_6=dfrac{c_3}{6⋅5}=dfrac{c_0}{6⋅5⋅3⋅2}),

( c_7=dfrac{c_4}{7⋅6}=dfrac{c_1}{7⋅6⋅4⋅3}).

Daher ist die Reihenlösung der Differentialgleichung gegeben durch

( y=c_0+c_1x+0⋅x^2+dfrac{c_0}{3⋅2}x^3+dfrac{c_1}{4⋅3}x^4+0⋅x^5+dfrac {c_0}{6⋅5⋅3⋅2}x^6+dfrac{c_1}{7⋅6⋅4⋅3}x^7+⋯.)

Die Anfangsbedingung ( y(0)=a) impliziert ( c_0=a). Durch Differenzieren dieser Reihe Term für Term und unter Verwendung der Tatsache, dass ( ​​y′(0)=b), schließen wir, dass ( ​​c_1=b).

Daher lautet die Lösung dieses Anfangswertproblems

( y=a(1+dfrac{x^3}{3⋅2}+dfrac{x}{6⋅5⋅3⋅2}+⋯)+b(x+dfrac{x^4}{ 4⋅3}+dfrac{x^7}{7⋅6⋅4⋅3}+⋯).)

Übung (PageIndex{5})

Verwenden Sie Potenzreihen, um ( y''+x^2y=0) mit der Anfangsbedingung ( y(0)=a) und ( y′(0)=b) zu lösen.

Hinweis

Die Koeffizienten erfüllen ( c_0=a,c_1=b,c_2=0,c_3=0,) und für ( n≥4,n(n−1)c_n=−c_{n−4}).

Antworten

(y=a(1−dfrac{x^4}{3⋅4}+dfrac{x^8}{3⋅4⋅7⋅8}−⋯)+b(x−dfrac{x^ 5}{4⋅5}+dfrac{x^9}{4⋅5⋅8⋅9}−⋯))

Bewertung von nichtelementaren Integralen

Das Lösen von Differentialgleichungen ist eine häufige Anwendung von Potenzreihen. Wir wenden uns nun einer zweiten Anwendung zu. Wir zeigen, wie Potenzreihen verwendet werden können, um Integrale mit Funktionen auszuwerten, deren Stammfunktionen nicht mit elementaren Funktionen ausgedrückt werden können.

Ein in Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig vorkommendes Integral ist ( inte^{−x^2}dx.) Leider ist die Stammfunktion des Integranden ( e^{−x^2}) keine elementare Funktion element . Unter elementarer Funktion verstehen wir eine Funktion, die mit einer endlichen Anzahl algebraischer Kombinationen oder Zusammensetzungen von Exponential-, Logarithmus-, Trigonometrischen oder Potenzfunktionen geschrieben werden kann. Wir bemerken, dass der Begriff „elementare Funktion“ nicht gleichbedeutend mit unkomplizierter Funktion ist. Zum Beispiel ist die Funktion ( f(x)=sqrt{x^2−3x}+e^{x^3}−sin(5x+4)) eine elementare Funktion, wenn auch keine besonders einfach aussehende Funktion. Jedes Integral der Form ( intf(x)dx), bei dem die Stammfunktion von ( f) nicht als elementare Funktion geschrieben werden kann, gilt als a nichtelementares Integral.

Nichtelementare Integrale können nicht mit den zuvor besprochenen grundlegenden Integrationstechniken ausgewertet werden. Eine Möglichkeit, solche Integrale auszuwerten, besteht darin, den Integranden als Potenzreihe auszudrücken und Term für Term zu integrieren. Wir demonstrieren diese Technik, indem wir ( inte^{−x^2}dx.)

Beispiel ( PageIndex{6}): Verwendung von Taylor-Reihen zur Auswertung eines bestimmten Integrals

  1. Drücken Sie ( inte^{−x^2}dx) als unendliche Reihe aus.
  2. Bewerte ( int^1_0e^{−x^2}dx) bis auf einen Fehler von ( 0,01).

Lösung

A. Die Maclaurin-Reihe für ( e^{−x^2}) ist gegeben durch

( e^{−x^2}=sum_{n=0}^∞dfrac{(−x^2)^n}{n!}=1−x^2+dfrac{x^4} {2!}−dfrac{x^6}{3!}+⋯+(−1)^ndfrac{x^{2n}}{n!}+⋯=sum_{n=0}^∞ (−1)^ndfrac{x^{2n}}{n!}.)

Deswegen,

( inte^{−x^2}dx=int(1−x^2+dfrac{x^4}{2!}−dfrac{x^6}{3!}+⋯+(− 1)^ndfrac{x^{2n}}{n!}+⋯)dx=C+x−dfrac{x^3}{3}+dfrac{x^5}{5.2!}− dfrac{x^7}{7,3!}+⋯+(−1)^ndfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}+⋯.)

B. Verwenden des Ergebnisses aus Teil a. wir haben

( int^1_0e^{−x^2}dx=1−dfrac{1}{3}+dfrac{1}{10}−dfrac{1}{42}+dfrac{1}{ 216}−⋯.)

Die Summe der ersten vier Terme ist ungefähr (0,74). Beim alternierenden Serientest ist diese Schätzung mit einem Fehler von weniger als ( dfrac{1}{216}≈0,0046296<0,01.) genau

Übung (PageIndex{6})

Drücken Sie ( intcossqrt{x}dx) als unendliche Reihe aus. Bewerte ( int^1_0cossqrt{x}dx) bis auf einen Fehler von ( 0,01).

Hinweis

Verwenden Sie die Reihe aus Beispiel.

Antworten

( C+sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}dfrac{x^n}{n(2n−2)!}) Das bestimmte Integral ist ungefähr ( 0.514) bis auf einen Fehler von ( 0,01).

Wie oben erwähnt, kommt in der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig das Integral ( inte^{−x^2}dx) vor. Insbesondere wird es verwendet, wenn Datensätze untersucht werden, die normalverteilt sind, dh die Datenwerte liegen unter einer glockenförmigen Kurve. Wenn beispielsweise ein Satz von Datenwerten normalverteilt ist mit Mittelwert ( μ) und Standardabweichung ( σ), dann liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Wert zwischen ( x=a) und ( x= b) ist gegeben durch

[dfrac{1}{σsqrt{2π}}int^b_ae^{−(x−μ)^2/(2σ^2)}dx.]

(Siehe Abbildung.)

Um dieses Integral zu vereinfachen, lassen wir typischerweise ( z=dfrac{x−μ}{σ}). Diese Menge z ist bekannt als die z Punktzahl eines Datenwertes. Mit dieser Vereinfachung wird Integralgleichung

[dfrac{1}{sqrt{2π}}int^{(b−μ)/σ}_{(a−μ)/σ}e^{−z^2/2}dz.]

In Beispiel zeigen wir, wie wir dieses Integral zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwenden können.

Beispiel ( PageIndex{7}): Verwendung der Maclaurin-Reihe zur Approximation einer Wahrscheinlichkeit

Angenommen, ein Satz standardisierter Testergebnisse ist normalverteilt mit Mittelwert ( μ=100) und Standardabweichung ( (=50). Verwenden Sie Gleichung und die ersten sechs Terme in der Maclaurin-Reihe für ( e^{−x^2/2}), um die Wahrscheinlichkeit anzunähern, dass ein zufällig ausgewähltes Testergebnis zwischen ( x=100) und ( x= 200). Verwenden Sie den alternierenden Serientest, um zu bestimmen, wie genau Ihre Näherung ist.

Lösung

Da ( μ=100,σ=50,) und wir versuchen, die Fläche unter der Kurve von ( a=100) bis ( b=200) zu bestimmen, wird Integralgleichung

( dfrac{1}{sqrt{2π}}int^2_0e^{−z^2/2}dz.)

Die Maclaurin-Reihe für ( e^{−x^2/2}) ist gegeben durch

( e^{−x^2/2}=sum_{n=0}^∞dfrac{(−dfrac{x^2}{2})^n}{n!}=1−dfrac {x^2}{2^1⋅1!}+dfrac{x^4}{2^2⋅2!}−dfrac{x^6}{2^3⋅3!}+⋯+(− 1)^ndfrac{x^{2n}}{2^n⋅n}!+⋯=sum_{n=0}^∞(−1)^ndfrac{x^{2n}}{2 ^n⋅n!}).

Deswegen,

( dfrac{1}{sqrt{2π}}inte^{−z^2/2}dz=dfrac{1}{sqrt{2π}}int(1−dfrac{z^2 }{2^1⋅1!}+dfrac{z^4}{2^2⋅2!}−dfrac{z^6}{2^3⋅3!}+⋯+(−1)^n dfrac{z^{2n}}{2^n⋅n!}+⋯)dz) ( =dfrac{1}{sqrt{2π}}(C+z−dfrac{z^3} {3⋅2^1⋅1!}+dfrac{z^5}{5⋅2^2⋅2!}−dfrac{z^7}{7⋅2^3⋅3!}+⋯+( −1)^ndfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)2^n⋅n!}+⋯)) ( dfrac{1}{sqrt{2π}}int ^2_0e^{−z^2/2}dz=dfrac{1}{sqrt{2π}}(2−dfrac{8}{6}+dfrac{32}{40}−dfrac{128 }{336}+dfrac{512}{3456}−dfrac{2^{11}}{11⋅2^5⋅5!}+⋯))

Unter Verwendung der ersten fünf Terme schätzen wir, dass die Wahrscheinlichkeit ungefähr beträgt 0.4922. Durch den alternierenden Serientest sehen wir, dass diese Schätzung innerhalb von genau ist

[ dfrac{1}{sqrt{2π}}dfrac{2^{13}}{13⋅2^6⋅6!}≈0,00546.]

Analyse

Wenn Sie mit Wahrscheinlichkeitstheorie vertraut sind, wissen Sie vielleicht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Datenwert innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert liegt, ungefähr (95%.) beträgt. Hier haben wir die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Datenwert zwischen dem Mittelwert und zwei liegt Standardabweichungen über dem Mittelwert, daher sollte die Schätzung bei (47,5%) liegen. Die Schätzung, kombiniert mit der Genauigkeitsgrenze, liegt in diesem Bereich.

Übung (PageIndex{7})

Verwenden Sie die ersten fünf Terme der Maclaurin-Reihe für ( e^{−x^2/2}), um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass ein zufällig ausgewähltes Testergebnis zwischen ( 100) und ( 150) liegt. Verwenden Sie den alternierenden Serientest, um die Genauigkeit dieser Schätzung zu bestimmen.

Hinweis

Bewerte ( int^1_0e^{−z^2/2}dz) unter Verwendung der ersten fünf Terme der Maclaurin-Reihe für ( e^{−z^2/2}).

Antworten

Der Schätzwert beträgt ungefähr ( 0,3414.) Dieser Schätzwert ist bis auf ( 0,0000094.) genau

Eine andere Anwendung, bei der ein nichtelementares Integral entsteht, ist die Periode eines Pendels. Das Integral ist

[int^{π/2}_0dfrac{dθ}{sqrt{1−k^2sin^2θ}}].

Ein Integral dieser Form heißt an elliptisches Integral der ersten Art. Elliptische Integrale entstanden ursprünglich bei dem Versuch, die Bogenlänge einer Ellipse zu berechnen. Wir zeigen nun, wie man Potenzreihen verwendet, um dieses Integral anzunähern.

Beispiel ( PageIndex{8}): Periode eines Pendels

Die Periode eines Pendels ist die Zeit, die ein Pendel benötigt, um eine vollständige Hin- und Herschwingung auszuführen. Für ein Pendel der Länge ( L), das mit der Vertikalen einen maximalen Winkel ( θ_{max}) einschließt, ist seine Periode ( T) gegeben durch

( T=4sqrt{dfrac{L}{g}}int^{π/2}_0dfrac{dθ}{sqrt{1−k^2sin^2θ}})

wobei ( g) die Erdbeschleunigung und ( k=sin(dfrac{θ_{max}}{2})) ist (siehe Abbildung). (Wir bemerken, dass diese Formel für die Periode aus einem nicht linearisierten Modell eines Pendels stammt. In einigen Fällen wird zur Vereinfachung ein linearisiertes Modell verwendet und ( sinθ) wird durch ( θ) angenähert.)

Verwenden Sie die Binomialreihe

( dfrac{1}{sqrt{1+x}}=1+sum_{n=1}^∞dfrac{(−1)^n}{n!}dfrac{1⋅3⋅5 ⋯(2n−1)}{2^n}x^n)

um die Dauer dieses Pendels abzuschätzen. Nähern Sie sich insbesondere der Periode des Pendels, wenn

  1. Sie verwenden nur den ersten Term in der Binomialreihe und
  2. Sie verwenden die ersten beiden Terme in der Binomialreihe.

Lösung

Wir verwenden die Binomialreihe und ersetzen x durch ( −k^2sin^2θ.) Dann können wir die Periode schreiben als

( T=4sqrt{dfrac{L}{g}}int^{π/2}_0(1+dfrac{1}{2}k^2sin^2θ+dfrac{1⋅3} {2!2^2}k^4sin^4θ+⋯)dθ.)

A. Wenn nur der erste Term im Integranden verwendet wird, ist die Abschätzung erster Ordnung

( T≈4sqrt{dfrac{L}{g}}int^{π/2}_0dθ=2πsqrt{dfrac{L}{g}}).

Wenn ( θ_{max}) klein ist, dann ist ( k=sin(dfrac{θ_{max}}{2})) klein. Wir behaupten, dass dies eine gute Schätzung ist, wenn (k) klein ist. Um diese Behauptung zu rechtfertigen, bedenken Sie

( int^{π/2}_0(1+dfrac{1}{2}k^2sin^2θ+dfrac{1⋅3}{2!2^2}k^4sin^4θ+⋯) dθ.)

Da ( |sinx|≤1) ist dieses Integral beschränkt durch

( int^{π/2}_0(dfrac{1}{2}k^2+dfrac{1.3}{2!2^2}k^4+⋯)dθ

Weiterhin kann gezeigt werden, dass jeder Koeffizient auf der rechten Seite kleiner als ( 1) ist und daher dieser Ausdruck beschränkt ist durch

( dfrac{πk^2}{2}(1+k^2+k^4+⋯)=dfrac{πk^2}{2}⋅dfrac{1}{1−k^2} ),

was klein ist für (k) klein.

B. Für größere Werte von ( θ_{max}) können wir ( T) annähern, indem wir mehr Terme im Integranden verwenden. Durch Verwendung der ersten beiden Terme im Integral erhalten wir die Abschätzung

( T≈4sqrt{frac{L}{g}}int^{π/2}_0(1+dfrac{1}{2}k^2sin^2θ)dθ=2πsqrt{dfrac {L}{g}}(1+dfrac{k^2}{4}).)

Die Anwendungen der Taylorreihen in diesem Abschnitt sollen ihre Bedeutung hervorheben. Im Allgemeinen sind Taylor-Reihen nützlich, da sie uns die Darstellung bekannter Funktionen mithilfe von Polynomen ermöglichen und uns somit ein Werkzeug zur Approximation von Funktionswerten und zur Schätzung komplizierter Integrale bieten. Darüber hinaus erlauben sie uns, neue Funktionen als Potenzreihen zu definieren und stellen uns damit ein mächtiges Werkzeug zur Lösung von Differentialgleichungen zur Verfügung.

Schlüssel Konzepte

  • Die Binomialreihe ist die Maclaurin-Reihe für ( f(x)=(1+x)^r). Es konvergiert für ( |x|<1).
  • Taylorreihen für Funktionen können oft durch algebraische Operationen mit einer bekannten Taylorreihe oder durch Differenzieren oder Integrieren einer bekannten Taylorreihe abgeleitet werden.
  • Potenzreihen können verwendet werden, um Differentialgleichungen zu lösen.
  • Taylor-Reihen können verwendet werden, um Integrale anzunähern, die mit anderen Mitteln nicht ausgewertet werden können.

Glossar

Binomialreihe
die Maclaurin-Reihe für ( f(x)=(1+x)^r); es ist gegeben durch ( (1+x)^r=sum_{n=0}^∞(^r_n)x^n=1+rx+dfrac{r(r−1)}{2!}x^ 2+⋯+dfrac{r(r−1)⋯(r−n+1)}{n!}x^n+⋯) für ( |x|<1)
nichtelementares Integral
ein Integral, für das die Stammfunktion des Integranden nicht als Elementarfunktion ausgedrückt werden kann

Berechne $sqrt$ unter Verwendung von Taylor-Reihen mit der Genauigkeit von 3 Stellen nach dem Punkt $(0.5*10^)$.

Ich muss $sqrt<5>$ mit Taylor-Serien mit einer Genauigkeit von 3 Stellen nach dem Punkt $(0.5*10^<-3>)$ berechnen.

Ich bin jetzt hängen geblieben, wie kann ich auswerten: $. geq|<3!*8sqrt>|$

Außerdem frage ich mich, wie viele Ableitungen ich berechnen muss, um die erforderliche Genauigkeit zu erreichen. Gibt es eine Möglichkeit, dies herauszufinden?

Ich habe nur eine willkürliche Schätzung der dritten Ableitung vorgenommen.

Jede Hilfe wird geschätzt.


Arbeiten mit Taylor-Serien

Im vorherigen Abschnitt haben wir Taylor-Reihen definiert und gezeigt, wie man die Taylor-Reihen für mehrere gängige Funktionen durch explizite Berechnung der Koeffizienten der Taylor-Polynome findet. In diesem Abschnitt zeigen wir, wie man diese Taylor-Reihen verwendet, um Taylor-Reihen für andere Funktionen abzuleiten. Anschließend stellen wir zwei gängige Anwendungen von Potenzreihen vor. Zunächst zeigen wir, wie Potenzreihen verwendet werden können, um Differentialgleichungen zu lösen. Zweitens zeigen wir, wie Potenzreihen verwendet werden können, um Integrale zu berechnen, wenn die Stammfunktion des Integranden nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden kann. In einem Beispiel betrachten wir ∫ e − x 2 d x ,

ein Integral, das in der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig vorkommt.

Die Binomialreihe

Unser erstes Ziel in diesem Abschnitt ist die Bestimmung der Maclaurin-Reihe für die Funktion f ( x ) = ( 1 + x ) r

Die Maclaurin-Reihe für diese Funktion ist als bekannt Binomialreihe. Wir betrachten zunächst den einfachsten Fall: r

ist eine nichtnegative ganze Zahl. Wir erinnern daran, dass für r = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , f ( x ) = ( 1 + x ) r

Die Ausdrücke auf der rechten Seite werden als Binomialentwicklungen und die Koeffizienten als Binomialkoeffizienten bezeichnet. Allgemeiner ausgedrückt gilt für jede nicht negative ganze Zahl r ,

der Binomialkoeffizient von x n

in der Binomialentwicklung von ( 1 + x ) r

Verwenden Sie beispielsweise diese Formel für r = 5 ,

Wir betrachten nun den Fall, wenn der Exponent r

ist eine beliebige reelle Zahl, nicht unbedingt eine nicht negative ganze Zahl. Wenn r

keine nichtnegative ganze Zahl ist, dann f ( x ) = ( 1 + x ) r

kann nicht als endliches Polynom geschrieben werden. Wir können jedoch eine Potenzreihe für f finden.

Konkret suchen wir nach der Maclaurin-Reihe für f .

Dazu finden wir die Ableitungen von f

und werte sie bei x = 0 aus.

Wir schließen, dass die Koeffizienten in der Binomialreihe gegeben sind durch

eine nichtnegative ganze Zahl ist, dann ist ( r + 1 ) st

ist die Nullfunktion, und die Reihe endet. Außerdem, wenn r

eine nicht negative ganze Zahl ist, dann stimmt [link] für die Koeffizienten mit [link] für die Koeffizienten überein, und die Formel für die Binomialreihe stimmt mit [link] für die endliche Binomialentwicklung überein. Allgemeiner ausgedrückt, um die Binomialkoeffizienten für jede reelle Zahl r zu bezeichnen,

Mit dieser Notation können wir die Binomialreihe für ( 1 + x ) r . schreiben

Wir müssen nun das Konvergenzintervall für die Binomialreihe bestimmen [link]. Wir wenden den Verhältnistest an. Folglich betrachten wir

wir schließen daraus, dass das Konvergenzintervall für die Binomialreihe ( −1 , 1 ) ist.

Das Verhalten an den Endpunkten hängt von r ab.

Es kann gezeigt werden, dass für r ≥ 0

die Reihe konvergiert an beiden Endpunkten für −1 < r < 0 ,

die Reihe konvergiert bei x = 1

die Reihe divergiert an beiden Endpunkten. Die Binomialreihe konvergiert gegen ( 1 + x ) r

aber beweisen Sie diese Tatsache, indem Sie zeigen, dass der Rest R n ( x ) → 0

die Maclaurin-Reihe für f ( x ) = ( 1 + x ) r

ist die Binomialreihe. Es konvergiert gegen f

Wir können diese Definition verwenden, um die Binomialreihe für f ( x ) = 1 + x . zu finden

und verwenden Sie die Reihe, um 1,5 anzunähern.

  1. Finden Sie die Binomialreihe für f ( x ) = 1 + x .
  2. Verwenden Sie das Maclaurin-Polynom dritter Ordnung p 3 ( x )

Verwenden Sie den Satz von Taylor, um den Fehler zu begrenzen. Verwenden Sie ein grafisches Dienstprogramm, um die Diagramme von zu vergleichen

Mit der Definition für die Binomialreihe erhalten wir

Nach dem Satz von Taylor erfüllt der Fehler

f ( 4 ) ( x ) = − 15 2 4 ( 1 + x ) 7 / 2 ,

Die Funktion und das Maclaurin-Polynom

Finden Sie die Binomialreihe für f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2 .

Verwenden Sie die Definition von Binomialreihen für r = −2 .

Gemeinsame Funktionen, ausgedrückt als Taylor-Reihen

An dieser Stelle haben wir Maclaurin-Reihen für exponentielle, trigonometrische und logarithmische Funktionen sowie Funktionen der Form f ( x ) = ( 1 + x ) r abgeleitet.

In [link] fassen wir die Ergebnisse dieser Serien zusammen. Wir bemerken, dass die Konvergenz der Maclaurin-Reihe für f ( x ) = ln ( 1 + x )

und die Maclaurin-Reihe für f ( x ) = tan −1 x

beruht auf einem fortgeschritteneren Theorem, als wir hier präsentieren. (Siehe den Satz von Abel für eine Diskussion dieses eher technischen Punktes.)

Maclaurin-Reihe für allgemeine Funktionen
Funktion Maclaurin-Serie Konvergenzintervall
f ( x ) = 1 1 − x n = 0 ∞ x n –1 < x < 1
f ( x ) = e x n = 0 ∞ x n n ! − ∞ < x < ∞
f ( x ) = sin x n = 0 ∞ ( −1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! − ∞ < x < ∞
f ( x ) = cos x n = 0 ∞ ( −1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! − ∞ < x < ∞
f ( x ) = ln ( 1 + x ) ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n + 1 x n n −1 < x ≤ 1
f ( x ) = tan −1 x ∑ n = 0 ∞ ( −1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 –1 < x ≤ 1
f ( x ) = ( 1 + x ) r n = 0 ∞ ( r n ) x n –1 < x < 1

Weiter oben in diesem Kapitel haben wir gezeigt, wie Sie Potenzreihen kombinieren können, um neue Potenzreihen zu erstellen. Hier verwenden wir diese Eigenschaften, kombiniert mit der Maclaurin-Reihe in [link], um Maclaurin-Reihen für andere Funktionen zu erstellen.

Finden Sie die Maclaurin-Reihe jeder der folgenden Funktionen, indem Sie eine der in [Link] aufgeführten Reihen verwenden.

wir finden, dass die Maclaurin-Reihe für

Verwendung der Maclaurin-Reihe für

Begriff in der Maclaurin-Reihe für

sogar dieser Term ist null. Für

Daher ist die Maclaurin-Reihe für

has only odd-order terms and is given by

Find the Maclaurin series for sin ( x 2 ) .

Use the Maclaurin series for sin x .

We also showed previously in this chapter how power series can be differentiated term by term to create a new power series. In [link], we differentiate the binomial series for 1 + x

term by term to find the binomial series for 1 1 + x .

Note that we could construct the binomial series for 1 1 + x

directly from the definition, but differentiating the binomial series for 1 + x

Use the binomial series for 1 + x

to find the binomial series for 1 1 + x .

The two functions are related by

so the binomial series for 1 1 + x

Find the binomial series for f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 3 / 2

Differentiate the series for 1 1 + x .

In this example, we differentiated a known Taylor series to construct a Taylor series for another function. The ability to differentiate power series term by term makes them a powerful tool for solving differential equations. We now show how this is accomplished.

Solving Differential Equations with Power Series

Consider the differential equation

Recall that this is a first-order separable equation and its solution is y = C e x .

This equation is easily solved using techniques discussed earlier in the text. For most differential equations, however, we do not yet have analytical tools to solve them. Power series are an extremely useful tool for solving many types of differential equations. In this technique, we look for a solution of the form y = ∑ n = 0 ∞ c n x n

and determine what the coefficients would need to be. In the next example, we consider an initial-value problem involving y ′ = y

to illustrate the technique.

Use power series to solve the initial-value problem

Suppose that there exists a power series solution

Differentiating this series term by term, we obtain

Ob ja satisfies the differential equation, then

Using [link] on the uniqueness of power series representations, we know that these series can only be equal if their coefficients are equal. Therefore,

Using the initial condition y ( 0 ) = 3

combined with the power series representation

We are now ready to solve for the rest of the coefficients. Using the fact that c 0 = 3 ,

as the Taylor series for e x .

Therefore, the solution is y = 3 e x .

Use power series to solve y ′ = 2 y , y ( 0 ) = 5 .

The equations for the first several coefficients c n

will satisfy c 0 = 2 c 1 , c 1 = 2 · 2 c 2 , c 2 = 2 · 3 c 3 ,….

In general, for all n ≥ 0 , c n = 2 ( n + 1 ) C n + 1 .

We now consider an example involving a differential equation that we cannot solve using previously discussed methods. This differential equation

ist bekannt als Airy’s equation. It has many applications in mathematical physics, such as modeling the diffraction of light. Here we show how to solve it using power series.

Use power series to solve

with the initial conditions y ( 0 ) = a

We look for a solution of the form

Differentiating this function term by term, we obtain

Ob ja satisfies the equation y ″ = x y ,

Using [link] on the uniqueness of power series representations, we know that coefficients of the same degree must be equal. Therefore,

we have n · ( n − 1 ) c n = c n − 3 .

In fact, all coefficients can be written in terms of c 0

To see this, first note that c 2 = 0 .

Therefore, the series solution of the differential equation is given by

The initial condition y ( 0 ) = a

Differentiating this series term by term and using the fact that y ′ ( 0 ) = b ,

Therefore, the solution of this initial-value problem is

Use power series to solve y ″ + x 2 y = 0

with the initial condition y ( 0 ) = a

The coefficients satisfy c 0 = a , c 1 = b , c 2 = 0 , c 3 = 0 ,

and for n ≥ 4 , n ( n − 1 ) c n = − c n − 4 .

Evaluating Nonelementary Integrals

Solving differential equations is one common application of power series. We now turn to a second application. We show how power series can be used to evaluate integrals involving functions whose antiderivatives cannot be expressed using elementary functions.

One integral that arises often in applications in probability theory is ∫ e − x 2 d x .

Unfortunately, the antiderivative of the integrand e − x 2

is not an elementary function. By elementary function, we mean a function that can be written using a finite number of algebraic combinations or compositions of exponential, logarithmic, trigonometric, or power functions. We remark that the term “elementary function” is not synonymous with noncomplicated function. For example, the function f ( x ) = x 2 − 3 x + e x 3 − sin ( 5 x + 4 )

is an elementary function, although not a particularly simple-looking function. Any integral of the form ∫ f ( x ) d x

where the antiderivative of f

cannot be written as an elementary function is considered a nonelementary integral.

Nonelementary integrals cannot be evaluated using the basic integration techniques discussed earlier. One way to evaluate such integrals is by expressing the integrand as a power series and integrating term by term. We demonstrate this technique by considering ∫ e − x 2 d x .


An Introduction to Acoustic Guitars

Every guitar player needs a great acoustic guitar – or several – in their collection. Finding the right acoustic guitar for you can be a daunting process even for the most seasoned player. If you are new to shopping for guitars, then it is even more critical that you learn all you can before you make your first purchase. If your first acoustic guitar is not the appropriate choice for you, then it can dramatically reduce the enjoyment you will get out of your instrument. If you are a new guitar player, the wrong guitar can be downright discouraging. You want a guitar that fits you, is effortless to play, and has the rich, beautiful tone you love to make it the instrument you dream of playing hour after hour.

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In addition to classic six-string acoustics, we also offer a selection of specialty models if you are looking for a more specific type of guitar design. These options include ultra-portable travel/small body guitars, nylon strings, 12-strings, baritones, 12-fret models, electric guitars, and of course you can build your own one-of-a-kind custom guitars.


Медперсонал

The series follows five young nurses working on the front lines of St. Mary's Hospital dedicating their lives to helping others, while figuring out how to help themselves. The series follows five young nurses working on the front lines of St. Mary's Hospital dedicating their lives to helping others, while figuring out how to help themselves. The series follows five young nurses working on the front lines of St. Mary's Hospital dedicating their lives to helping others, while figuring out how to help themselves.


Derivations of the Approximation

Geometrically

The small-angle approximations can be derived geometrically without the use of calculus. Consider the below diagram of a right triangle with one side tangent to a circle:

A right triangle with two sides formed from the radii of a circle and the third side tangent to the circle.

Using Calculus

The most straightforward way of deriving the small-angle approximations uses the calculus technique of Taylor series approximation for both sine and cosine:

The small-angle approximations correspond to the low-order approximations of these Taylor series, as can be seen from the expansions above.

Percent errors for each of the small-angle approximations sin ⁡ ( x ) ≈ x sin(x) approx x sin ( x ) ≈ x , cos ⁡ ( x ) ≈ 1 cos (x) approx 1 cos ( x ) ≈ 1 , and tan ⁡ ( x ) ≈ x an (x) approx x tan ( x ) ≈ x . For very small angles ( x < 0.1 ) , (x<0.1), ( x < 0 . 1 ) , the approximation is excellent and the error is very small.

Find the small-angle approximation to

f ( x ) = sec ⁡ x tan ⁡ x − csc ⁡ 2 x cot ⁡ 2 x . f(x) = frac. f ( x ) = cot 2 x sec x tan x − csc 2 x ​ .

Naively substituting sin ⁡ ( x ) ≈ x sin (x) approx x sin ( x ) ≈ x and cos ⁡ x ≈ 1 cos x approx 1 cos x ≈ 1 , one finds the approximation

f ( x ) = x − 1 x 2 1 x 2 = x 3 − 1. f(x) = frac>> = x^3 - 1. f ( x ) = x 2 1 ​ x − x 2 1 ​ ​ = x 3 − 1 .

Using the improved approximation for the cosine function, cos ⁡ x ≈ 1 − x 2 2 cos x approx 1 - frac <2>cos x ≈ 1 − 2 x 2 ​ , one obtains

f ( x ) = x ( 1 − x 2 2 ) 2 − 1 x 2 ( 1 − x 2 2 ) 2 x 2 = − 1 − x 2 + x 3 − 3 4 x 4 O ( x 5 ) . f(x) = frac<2> ight)^2> - frac<1>><2> ight)^2>> = -1-x^2+x^3 -frac<3> <4>x^4 mathcal ig(x^5ig). f ( x ) = x 2 ( 1 − 2 x 2 ​ ) 2 ​ ( 1 − 2 x 2 ​ ) 2 x ​ − x 2 1 ​ ​ = − 1 − x 2 + x 3 − 4 3 ​ x 4 O ( x 5 ) .

If we instead Taylor expand the given function f ( x ) f(x) f ( x ) directly, we obtain

f ( x ) ≈ − 1 − x 2 + x 3 − 2 3 x 4 + O ( x 5 ) , f(x) approx -1 - x^2 + x^3 - frac23 x^4 + mathcal ig(x^5ig), f ( x ) ≈ − 1 − x 2 + x 3 − 3 2 ​ x 4 + O ( x 5 ) ,

which agrees with the improved approximation to the first three orders.

Plotting the three approximations, we see that the naive approximation does quite poorly, while the improved approximation is much better. The improved approximation for cosine added a lower-order term that was missed by the naive approximation, illustrating the dangers involved in naively approximating when dividing by functions. For the best accuracy, the Taylor series of f ( x ) f(x) f ( x ) itself should be used as opposed to the series for sine and cosine separately:

Small-angle approximations to f ( x ) f(x) f ( x ) based on different truncations of the Taylor series for cosine. The refined truncation is necessary to obtain any useful precision for small angles.

What is the lowest-order correction term to the small-angle approximation for the sine function


One reason is that we can approximate solutions to differential equations this way: For example, if we have

To solve this for $y$ would be difficult, if at all possible. But by representing $y$ as a Taylor series $sum a_nx^n$, we can shuffle things around and determine the coefficients of this Taylor series, allowing us to approximate the solution around a desired point.

It's also useful for determining various infinite sums. Beispielsweise:

$frac 1 <1-x>=sum_^infty x^n$ $frac 1 <1+x>=sum_^infty (-1)^nx^n$ Integrate: $ln(1+x)=sum_^infty frac<(-1)^nx^>$ Substituting $x=1$ gives

There are also applications in physics. If a system under a conservative force (one with an energy function associated with it, like gravity or electrostatic force) is at a stable equilibrium point $x_0$, then there are no net forces and the energy function is concave upwards (the energy being higher on either side is essentially what makes it stable). In terms of taylor series, the energy function $U$ centred around this point is of the form

Where $U_0$ is the energy at the minimum $x=x_0$. For small displacements the high order terms will be very small and can be ignored. So we can approximate this by only looking at the first two terms:

Now force is the negative derivative of energy (forces send you from high to low energy, proportionally to the energy drop). Applying this, we get that

Rephrasing in terms of $y=x-x_0$:

Which is the equation for a simple harmonic oscillator. Basically, for small displacements around irgendein stable equilibrium the system behaves approximately like an oscillating spring, with sinusoidal behaviour. So under certain conditions you can replace a potentially complicated system by another one that's very well understood and well-studied. You can see this in a pendulum, for example.

As a final point, they're also useful in determining limits:

which otherwise would have been relatively difficult to determine. Because polynomials behave so much more nicely than other functions, we can use taylor series to determine useful information that would be very difficult, if at all possible, to determine directly.

EDIT: I almost forgot to mention the granddaddy:

$e^x=1+x+frac12x^2+frac16x^3+frac1<24>x^4cdots$ $e^=1+ix-frac12x^2-ifrac16x^3+frac1<24>x^4cdots$ $=1-frac12x^2+frac1<24>x^4cdots + ix-ifrac16x^3+ifrac1<120>x^5cdots$ $=cos x+isin x$ $e^=cos x+isin x$

Which is probably the most important equation in complex analysis. This one alone should be motivation enough, the others are really just icing on the cake.

In the calculator era, we often don't realize how deeply nontrivial it is to get an arbitrarily good approximation for a number like $e$, or better yet, $e^)>$. It turns out that in the grand scheme of things, $e^x$ is not a very nasty function at all. Since it's analytic, i.e. has a Taylor series, if we want to compute its values we just compute the first few terms of its Taylor expansion at some point.

This makes plenty of sense for computing, say, $e^<1/2>: 1+1/2+1/2!(1/2)^2+1/3!(1/2)^3+. $ is obviously going to converge very quickly: $1/4!2^4<1/100$ and $1/5!2^5<1/1000$, so we know for instance we can get $e^<1/2>$ to $2$ decimal places by summing the first $5$ terms of the Taylor expansion.

But why should this work for computing something like $e^<100>$? Now the expansion looks like $1+100+100^2/2+100^3/3!+. $, and initially it blows up incredibly fast. This is where analytic functions really show how special they are: the denominators $n!$ grow so fast that it doesn't matter what $x^n$ we have in the numerators, before too long the series will converge. That's the essence of the Taylor approximation: analytic functions are those that are unreasonably close to polynomials.

There are much faster methods for getting approximations like the one for $sqrt$, in theory: using Newton's method to solve $x^2-e=0$ will give you an approximation to $sqrt$ accurate to a number of places that goes like the square of the number of iterations you've done. But how do we apply Newton's method here? The first formula is $x_1=x_0-frac<2x_0>$ So, if we want a decimal expansion of $sqrt$, we'd better be able to get one of $x_0^2-e$. And how are we going to get that? The Taylor series.

Taylor Series are studied because polynomial functions are easy and if one could find a way to represent complicated functions as series (infinite polynomials) then one can easily study the properties of difficult functions.

Evaluating definite Integrals: Some functions have no antiderivative which can be expressed in terms of familiar functions. This makes evaluating definite integrals of these functions difficult because the Fundamental Theorem of Calculus cannot be used. If we have a polynomial representation of a function, we can oftentimes use that to evaluate a definite integral.

Understanding asymptotic behaviour: Sometimes, a Taylor series can tell us useful information about how a function behaves in an important part of its domain.

Understanding the growth of functions

Solving differential equations

I'm pretty sure this is not all but with a little research you can find as many as possible.

The applications of Taylor series is mainly to approximate ugly functions into nice ones(polynomials)!

Example: Take $f(x) = sin(x^2) + e^$. This is not a nice function, but it can be approximated to a polynomial using Taylor series.

A good example of Taylor series and, in particular, the Maclaurin series, is in special relativity, where the Maclaurin series are used to approximate the Lorrentz factor $gamma$. Taking the first two terms of the series gives a very good approximation for low speeds. You can actually show that at low speeds, special relativity reduces to classical (Newtonian) physics. For example, in special relativity, the momentum is given by $p = gamma mv$, and at low speeds $gamma approx 1$, so $p approx mv$, which is the (linear) momentum in classical mechanics.

Also, the most famous equation in physics, $E = m$, is actually an approximation for low velocities, which, again, can be derived using Taylor series.

By the way, $gamma = frac<1>>,$ where $v$ is the velocity and $c$ is the speed of light.

Another example is again from physics: When we first study pendulum motion, we often begin with an assumption $sin heta approx heta $, which also comes from Taylor series because $sin heta = heta - frac< heta^3> <3!>+ frac< heta^5> <5!>- frac< heta^7> <7!>+ cdots$

Moreover, any software that graphs various functions actually uses very good Taylor approximations.

Taylor series provide the basic method for computing transcendental functions such as $e^x$, $sin x$, and $cos x$.

No one's mentioned the combinatorial side of things, so I'll be the first to say it: generating functions. We use generating functions to pass hard discrete counting problems to the continuous, where things are easy. Generating functions are a central tool in combinatorics (counting, graph theory, etc.) and probability (where we have moment generating functions). Taylor series is the fundamental idea behind all of these. Read: http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function for details, and take a combinatorics or mathematical probability class to learn more.

In physics you often approximate a complicated function by taking the first few terms in the Taylor series (the Taylor polynomial). For small values of the independent variable, you often assume linearity, which can allow you to get a closed form solution. For example, if you take an introductory physics class then you usually study the motion of the pendulum by approximating $sin( heta)$ by $ heta$ for small angles.

All of computational science is built on Taylor's theorem.

The biggest hammer by far is Newton's method, which is fragile in its raw form but serves as the basis of viele efficient and practical algorithms for solving equations $f(x) = 0$ for horribly nonlinear functions $f$. It's hard to get more general than that!

Let me mention one other specific application: simulating physics, using Newton's laws. Suppose you have some object with position $x(t)$ that is being acted upon by several possibly complicated nonlinear forces. The second law says $F = ma$ or $F = mfrac.$

Typically $F$ is a function of $x$: for instance, the gravitational force of one object acting on another obeys an inverse square law, which depends on $x$. This gives us the second-order ODE $F(x) = mfrac.$ If $F$ is complicated enough, there is no hope of solving this equation analytically. But suppose we know the initial position $x(0)=x_0$ and initial velocity $frac

(0)=v_0$, and we want to know what the position and velocity will be at time $h$. We can Taylor-expand $x(t)$: $x(h) = x(0) + hfrac
(0) + frac<2>frac(0) + O(h^3).$

If $h$ is small, we can ignore the higher-order terms, and plug in the above into Newton's law to get $F(x(0)) approx 2mfrac<>

(0)>$ or $x(h)approx x_0 + hv_0 + frac<2m>F(x_0),$ and similarly $v(h) approx v_0 + hF(x_0).$

Once you have the position and velocity at time $h$, you can predict them at time $2h$, by using the above calculations and replacing $x_0$ with $x_h$ and $v_0$ with $v_h$. Repeating this process, you can get a good approximation for $x(t)$ for all $t$!

The error of the each step above will depend on the error you incurred by truncating the Taylor series, which depends on $h$. But you know that the error should scale roughly like $h^3/h^2=h$, so that halving $h$ halves the error at each step. Even more accurate methods can be developed along this vein, where by taking into account more terms of the Taylor series, you have less error at every step, at the cost of more expensive computation each step.

We can also use Taylor series to approximate integrals that are impossible with the other integration techniques.

A classic example is $intsin(x^2),mathrmx$.

We can't actually integrate this, but using the taylor series for $sin(x)$ we can substitute $x^2$ in for $x$ at each term of the series, and then integrate each term individually. After doing so, we can write a new sum.

The Taylor Series is used in power flow analysis of electrical power systems (Newton-Raphson method).

Multivariate Taylor series is used in different optimization techniques that is you approximate your function as a series of linear or quadratic forms, and then successively iterate on them to find the optimal value.

Say you were navigating or orienteering and had plenty of time: One could use the law of sines (and the Taylor series) to evaluate lengths of triangles on maps ( SineA/A = SineB/B = SineC/C). Thus distances could be done with incredible accuracy. Three terms of the series would be plenty. It allows you to calculate sine without a calculator. This is obviously a little ridiculous but ever so slightly useful. If you you didn't have paper you could compute in the sand!

One of the main tools in statistical sciences (that you can find almost in every research in Social sciences, Economics and Medicine) is regression analysis. One of the justification of validity of such analysis is that linear regression can be viewed as a linear approximation to some unknown function $f(x)$ . Namely, you have a data set that is $_^n$ and you assume that your data come from some process $ Y_i=f(X_i)+epsilon_i, $
where $ mathbb[Y|X] = f(x) = f(0)+f'(0)x+R_1(x) = eta_0 + eta_1x+R_1(x) $ namely, you can approximate the data generating process by estimating $ y_i=eta_0 + eta_1x_i + epsilon_i. $ In such a case you can use some pretty simple methods to estimate the parameters, however in a non-linear models one can use the Newton-Raphson method that uses a linear approximation (first order Taylor expansion) to estimate the parameters. The same logic holds for multiple regression models, where the linear regression is just a first order Taylor expansion (models with interactions and quadratic terms can be viewed as second-order Taylor expansions).

Another useful application is the result that is called the Delta-method. In the context of statistical inference and parameter estimation. Let $ heta$ be a parameter of interest and $X_n$ its estimator, then if $ sqrt(X_n - heta) xrightarrow N(0, sigma^2) $ and let $g$ some function where $g'( heta)$ exists and not equals zero, then $ sqrt(X_n - heta) xrightarrow N(0, g'( heta)^2sigma^2). $ This result a straight-forward consequence of Taylor expansion of $g(X_n)$ at $ heta$ . This result (and its multivariate) analog allows us to compute asymptotically-correct confidence intervals to various parameters, including for the aforementioned regression parameters.

Using the same basic logic, Taylor expansion allows to approximate variance of complicated configurations (functions) where the explicit variance is too complicated for precise analytical calculations.

The bottom line that in computational sciences where the basic tools are models and the main goals are approximations of (unknown) functions, Taylor series is maybe one of the most fundamental tools to start with.

Someone already mentioned the usefulness of Taylor's series in relativity, I would like to spent a few words to further explore this point because relativity is a good arena to test the very important role of Taylor series in solving practical problems in physics. Let's consider relativistic kinetic energy formula egin E_K= mc^2 left( frac<1>>> -1 ight) end Taylor series says that for $v ll c$ the kinetic energy is about egin E_K approx frac<2>+frac<3m v^4> <8 c^2>end and this allow you to evaluate the relativistic value when you are in classical regime, and then to get an idea of how relativistic corrections are far from our daily experience. At first glance you can say "who care about $E_K approx$ blah blah. We are in XXI century, I don't need approximate formulae to simplify pen & paper calculations, I simply can take my computer and insert numbers to see what happens". Well, things are not so simple. Let's consider this exercise I took from a Taha Sochi's book: we are evaluating kinetic energy of a 1 kg body moving at 100 m/s. Classical mechanics says 5000 J but what is the relativistic answer? The book's answer is completely wrong and it is very instructive to see what happened here. I think the author used $3.33cdot10^<-7>$ in place of $frac$ , he took his computer, he entered the value, and he found an absurd 4996 J: a relativistic energy lower than classical one! You could think this is a problem related to the very bad habit to do big roundings in intermediate steps. You could say: "I can correct easily this naive mistake: let's use some more digits in $frac$ value!". The idea of using so many digits until the result stabilizes seem reasonable. You can do calculations by exploiting Spreadsheets, WolframAlpha, or simply Google search cell, probably you will find (try!) 5009 J (or 5016 J if you use the approximate value $3cdot 10^8$ for $c$ used by the author). You may feel satisfied and feel that the result is right, after all it is just a bit greater than classical. But wait a minute! Is it plausible that for a 1 kg ball moving at the ridiculously low speed of a fast car or slow airplane, the relativistic correction is of some joule? This would be decidedly huge: the second answer too is completely wrong. The problem is that computers usually works with a very limitate number of digits, and from something like $1,0000000$ (. small) $ - 1$ you can get zero or any other strange results! The only way to solve this problem, as far as I know, is using Taylor formula (unless you know how to force computer using more digits, it is possible do that with some programming language, but probably this would be a more complicated and less sure way to solve the problem). Using Taylor formula written before (adding more Taylor terms the change is negligible) you simply got the correct relativistic kinetic energy of our moving ball: about $5000.000000000417$ J ( $frac<3mv^4> <8c^2>approx 4.17 cdot 10^<-10>$ J). So in this case classical and relativistic results differ of about .00000000001\%$ . All this show that Taylor series are not only illuminating and useful, but sometimes practically indispensable.


Math 181: Calculus II

Math 181 is the second semester of the standard three-semester calculus sequence. As such, its goal is to continue the study of calculus on the real line, started in Math 180 (Calculus I), with a focus on integration, the basics of sequences and series, as well as parametric descriptions for sets in the plane.

Credit Awarded

Right

Course Materials

Textbook

Calculus: Early Transcendentals by William Briggs and Lyle Cochran, 3rd edition, published by Addison-Wesley.

Note that a MyLabMath code is required for this course while the printed textbook is optional.

The ISBN for one semester access is 9780135329221, the ISBN for multiple semester access is 9780135329276. The site will become available in week 0, which is the week before the classes begin. Note that only these ISBNs will work with the MyLabMath course. A book bought with MyLabMath access from Amazon or other sources most likely won’t work with the MyLabMath access code.

Chapters 6-10 are covered in Math 181.

MyMathLab Access Code

A MyLabMath code can be purchased online after registering for MyMathLab through Blackboard, or at the UIC bookstore, with or without the textbook. Make sure your MyMathLab code is linked to the Blackboard course. The MyMathLab code includes an electronic version of the textbook, buying a physical copy is optional.

Students coming from Math 180 at UIC can use the same access code for Math 181, if it has not expired.

Worksheet Bundle

The worksheet bundle will be used in the problem solving sessions on Tuesdays and Thursdays. An electronic, printable copy of it can be found on the Blackboard site or by contacting any course instructor or TA. A physical copy can be bought directly at the UIC bookstore.

Check Blackboard for updated schedule and semester-specific information.


Determining Total Economic Output

The total output of an economy can be determined by productivity, labor force participation, and changes in employment. For the Taylor Rule calculation, we look at real output against potential output.

The Taylor Rule looks at GDP in terms of real and nominal GDP, or what Taylor calls actual and trend GDP. It factors in the GDP deflater, which measures prices of all goods produced domestically. We do this by dividing nominal GDP by real GDP and multiplying this figure by 100.

The answer is the figure for real GDP. We are deflating nominal GDP into a true number to fully measure total output of an economy.

When inflation is on target and GDP is growing at its potential, rates are said to be neutral. This model aims to stabilize the economy in the short term and to stabilize inflation over the long term.


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Schau das Video: Mathematics for Finance: Taylor Series Approximations Solved Example (September 2021).