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7.4: Partielle Brüche - Mathematik


Lernziele

  • Integrieren Sie eine rationale Funktion mit der Methode der Partialbrüche.
  • Erkenne einfache lineare Faktoren in einer rationalen Funktion.
  • Erkenne wiederholte lineare Faktoren in einer rationalen Funktion.
  • Erkenne quadratische Faktoren in einer rationalen Funktion.

Wir haben einige Techniken gesehen, die es uns ermöglichen, spezifische rationale Funktionen zu integrieren. Das wissen wir zum Beispiel

[ int dfrac{du}{u}=ln |u|+C onumber]

und

[ int dfrac{du}{u^2+a^2}=dfrac{1}{a} an^{−1} left(dfrac{u}{a} ight)+C .keine Nummer]

Allerdings haben wir noch keine Technik, mit der wir beliebige Quotienten dieser Art angehen können. Somit ist nicht sofort ersichtlich, wie man mit der Auswertung umgeht

[ int dfrac{3x}{x^2−x−2},dx. onumber]

Wir wissen jedoch aus zuvor entwickeltem Material, dass

[ int left(dfrac{1}{x+1}+dfrac{2}{x−2} ight),dx=ln |x+1|+2ln |x−2 |+C. onumber]

Tatsächlich sehen wir das, wenn wir einen gemeinsamen Nenner bekommen

[ dfrac{1}{x+1}+dfrac{2}{x−2}=dfrac{3x}{x^2−x−2}. onumber]

Folglich,

[ int dfrac{3x}{x^2−x−2},dx=int left(dfrac{1}{x+1}+dfrac{2}{x−2} ight ),dx.keineZahl]

In diesem Abschnitt untersuchen wir die Methode von Partialfraktionszerlegung, die uns die Zersetzung ermöglicht rationale Funktionen in Summen einfacherer, leichter zu integrierender rationaler Funktionen. Mit dieser Methode können wir einen Ausdruck wie den folgenden umschreiben:

[ dfrac{3x}{x^2−x−2} onumber]

als Ausdruck wie

[ dfrac{1}{x+1}+dfrac{2}{x−2}. onumber]

Der Schlüssel zur Methode der Partialbruchzerlegung besteht darin, die Form der Zerlegung einer rationalen Funktion vorhersehen zu können. Wie wir sehen werden, ist diese Form sowohl vorhersehbar als auch stark von der Faktorisierung des Nenners der rationalen Funktion abhängig. Es ist auch äußerst wichtig zu bedenken, dass die Partialbruchzerlegung nur dann auf eine rationale Funktion ( dfrac{P(x)}{Q(x)}) angewendet werden kann, wenn ( deg(P(x))< Grad(Q(x))). Für den Fall ( deg(P(x))≥deg(Q(x))), müssen wir zuerst eine lange Division durchführen, um den Quotienten ( dfrac{P(x)}{Q(x)} umzuschreiben ) in der Form ( A(x)+dfrac{R(x)}{Q(x)}), wobei ( Grad(R(x))

Beispiel ( PageIndex{1}): Integrieren von (displaystyle int frac{P(x)}{Q(x)},dx), wobei ( deg(P(x))≥deg (Q(x)))

Auswerten

[ int dfrac{x^2+3x+5}{x+1},dx. keine Nummer ]

Lösung

Da ( deg(x^2+3x+5)≥deg(x+1),) führen wir eine lange Division durch, um

[ dfrac{x^2+3x+5}{x+1}=x+2+dfrac{3}{x+1}. keine Nummer]

Daher,

[ int dfrac{x^2+3x+5}{x+1},dx=int left(x+2+dfrac{3}{x+1} ight),dx= dfrac{1}{2}x^2+2x+3ln |x+1|+C. keine Nummer]

Besuchen Sie diese Website für einen Überblick über die lange Division von Polynomen.

Übung (PageIndex{1})

Auswerten

[ int dfrac{x−3}{x+2},dx. keine Nummer ]

Hinweis

Verwenden Sie eine lange Division, um ( dfrac{x−3}{x+2}=1−dfrac{5}{x+2} zu erhalten. onumber )

Antworten

[ x−5ln |x+2|+C onumber]

Um (displaystyle int dfrac{P(x)}{Q(x)},dx) zu integrieren, wobei ( deg(P(x))

Nicht wiederholte lineare Faktoren

Wenn ( Q(x)) faktorisiert werden kann als ( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)), wobei jeder lineare Faktor verschieden ist, dann ist es möglich, Konstanten ( A_1,A_2,…A_n) befriedigend

[ dfrac{P(x)}{Q(x)}=dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+⋯+dfrac{A_n}{a_nx+b_n }. label{eq:7.4.1}]

Der Beweis, dass solche Konstanten existieren, würde den Rahmen dieses Kurses sprengen.

In diesem nächsten Beispiel sehen wir, wie man Partialbrüche verwendet, um eine rationale Funktion dieses Typs zu integrieren.

Beispiel ( PageIndex{2}): Partielle Brüche mit nicht wiederholten linearen Faktoren

Bewerte (displaystyle int dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x},dx.)

Lösung

Da ( deg(3x+2)

[ dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=dfrac{A}{x}+dfrac{B}{x−2}+dfrac{C}{x +1}. keine Nummer]

Diese Konstanten müssen wir nun finden. Um dies zu tun, beginnen wir mit einem gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite. Daher,

[ dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=dfrac{A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−2 )}{x(x−2)(x+1)}. keine Nummer]

Nun setzen wir die Zähler gleich und erhalten

[ 3x+2=A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−2).label{Ex2Numerator}]

Es gibt zwei verschiedene Strategien, um die Koeffizienten (A), (B) und (C) zu finden. Wir bezeichnen diese als die Methode zum Gleichsetzen von Koeffizienten und das Methode der strategischen Substitution.

Strategie eins: Methode zur Gleichsetzung von Koeffizienten

Schreiben Sie Gleichung ( ef{Ex2Numerator}) in der Form um

[ 3x+2=(A+B+C)x^2+(−A+B−2C)x+(−2A). keine Nummer]

Gleichsetzen von Koeffizienten ergibt das Gleichungssystem

[egin{align*} A+B+C &=0 [4pt] −A+B−2C &= 3 [4pt] −2A &=2. end{ausrichten*}]

Um dieses System zu lösen, beobachten wir zunächst, dass ( ​​−2A=2⇒A=−1.) Wenn wir diesen Wert in die ersten beiden Gleichungen einsetzen, erhalten wir das System

( B+C=1)

(B−2C=2).

Multiplizieren der zweiten Gleichung mit ( −1) und Addieren der resultierenden Gleichung zur ersten ergibt first

( −3C=1,)

was wiederum impliziert, dass ( ​​C=−dfrac{1}{3}). Einsetzen dieses Wertes in die Gleichung ( B+C=1) ergibt ( B=dfrac{4}{3}). Das Lösen dieser Gleichungen ergibt also ( A=−1, B=dfrac{4}{3}) und ( C=−dfrac{1}{3}).

Es ist wichtig zu beachten, dass das mit dieser Methode erzeugte System genau dann konsistent ist, wenn wir die Zerlegung korrekt eingerichtet haben. Wenn das System inkonsistent ist, liegt ein Fehler in unserer Dekomposition vor.

Strategie 2: Methode der strategischen Substitution

Die Methode der strategischen Substitution basiert auf der Annahme, dass wir die Dekomposition korrekt aufgebaut haben. Wenn die Zerlegung korrekt eingerichtet ist, müssen Werte von ( A, B,) und ( C) für alle Werte von ( x) die Gleichung ( ef{Ex2Numerator}) erfüllen. Das heißt, diese Gleichung muss für jeden Wert von (x) wahr sein, den wir in sie einsetzen möchten. Wenn wir daher die Werte von (x) sorgfältig auswählen und in die Gleichung einsetzen, können wir (A, B) und (C) leicht finden. Wenn wir zum Beispiel ( x=0) einsetzen, reduziert sich die Gleichung auf ( 2=A(−2)(1)). Auflösen nach ( A) ergibt ( A=−1). Als nächstes reduziert sich die Gleichung durch Einsetzen von (x=2) auf (8=B(2)(3)) oder äquivalent (B=4/3). Zuletzt setzen wir ( x=−1) in die Gleichung ein und erhalten ( −1=C(−1)(−3).) Auflösen, wir haben ( C=−dfrac{1}{3 }).

Es ist wichtig zu bedenken, dass wir, wenn wir versuchen, diese Methode mit einer nicht korrekt eingerichteten Dekomposition zu verwenden, immer noch Werte für die Konstanten finden können, diese Konstanten jedoch bedeutungslos sind. Entscheiden wir uns für die Methode der strategischen Substitution, ist es sinnvoll, das Ergebnis durch algebraische Rekombination der Terme zu überprüfen.

Da wir nun die Werte von ( A, B, ) und ( C, ) haben, schreiben wir das ursprüngliche Integral um:

[ int dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x},dx=int left(−dfrac{1}{x}+dfrac{4}{3}⋅ dfrac{1}{x−2}−dfrac{1}{3}⋅dfrac{1}{x+1} ight),dx. keine Nummer]

Die Auswertung des Integrals liefert uns

[ int dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x},dx=−ln |x|+dfrac{4}{3}ln |x−2|− dfrac{1}{3}ln |x+1|+C. keine Nummer]

Im nächsten Beispiel integrieren wir eine rationale Funktion, bei der der Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad ist.

Beispiel ( PageIndex{3}): Dividieren vor dem Anwenden von Teilbrüchen

Bewerte (displaystyle int dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4},dx.)

Lösung

Da ( deg(x^2+3x+1)≥deg(x^2−4),) müssen wir eine lange Division von Polynomen durchführen. Das führt zu

[ dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}=1+dfrac{3x+5}{x^2−4} onumber]

Als nächstes führen wir eine Teilbruchzerlegung auf ( dfrac{3x+5}{x^2−4}=dfrac{3x+5}{(x+2)(x−2)}) durch. Wir haben

[ dfrac{3x+5}{(x−2)(x+2)}=dfrac{A}{x−2}+dfrac{B}{x+2}. keine Nummer]

Daher,

[ 3x+5=A(x+2)+B(x−2). keine Nummer]

Durch Auflösen nach ( A) und ( B) mit beiden Methoden erhalten wir ( A=11/4) und ( B=1/4.)

Umschreiben des ursprünglichen Integrals haben wir

[ int dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4},dx=int left(1+dfrac{11}{4}⋅dfrac{1}{x− 2}+dfrac{1}{4}⋅dfrac{1}{x+2} ight),dx. keine Nummer]

Die Auswertung des Integrals ergibt

[ int dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4},dx=x+dfrac{11}{4}ln |x−2|+dfrac{1}{4 }ln |x+2|+C. keine Nummer]

Wie wir im nächsten Beispiel sehen, kann es möglich sein, die Technik der Partialbruchzerlegung auf eine nichtrationale Funktion anzuwenden. Der Trick besteht darin, die nichtrationale Funktion durch eine Substitution in eine rationale Funktion umzuwandeln.

Beispiel ( PageIndex{4}): Anwenden von Teilbrüchen nach einer Substitution

Bewerte (displaystyle int dfrac{cos x}{sin^2x−sin x},dx.)

Lösung

Beginnen wir damit, dass ( ​​u=sin x.) gilt. Folglich gilt ( du=cos x,dx.) Nach diesen Substitutionen gilt

[ int dfrac{cos x}{sin^2x−sinx},dx=int dfrac{du}{u^2−u}=int dfrac{du}{u( u−1)}. keine Nummer]

Wendet man die Partialbruchzerlegung auf (dfrac{1}{u(u−1)}) an, erhält man (dfrac{1}{u(u−1)}=−dfrac{1}{u}+ dfrac{1}{u−1}.)

Daher,

[ int dfrac{cos x}{sin^2x−sinx},dx=−ln |u|+ln |u−1|+C=−ln |sin x| +ln |sin x−1|+C. keine Nummer]

Übung (PageIndex{2})

Bewerte (displaystyle int dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)},dx.)

Hinweis

[ dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}=dfrac{A}{x+3}+dfrac{B}{x−2} onumber]

Antworten

[ dfrac{2}{5}ln |x+3|+dfrac{3}{5}ln |x−2|+C onumber]

Wiederholte lineare Faktoren

Für einige Anwendungen müssen wir rationale Ausdrücke mit Nennern mit wiederholten linearen Faktoren integrieren, d. h. rationale Funktionen mit mindestens einem Faktor der Form ( (ax+b)^n,) wobei ( n) . ist eine positive ganze Zahl größer oder gleich ( 2). Enthält der Nenner den wiederholten linearen Faktor ( (ax+b)^n), dann muss die Zerlegung enthalten

[ dfrac{A_1}{ax+b}+dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+⋯+dfrac{A_n}{(ax+b)^n}. label{eq:7.4.2}]

Wie wir in unserem nächsten Beispiel sehen, ist die grundlegende Methode zum Auflösen nach den Koeffizienten dieselbe, erfordert jedoch mehr Algebra, um die Zähler der Teilbrüche zu bestimmen.

Beispiel ( PageIndex{5}): Partielle Brüche mit wiederholten linearen Faktoren

Bewerte (displaystyle int dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)},dx.)

Lösung

Wir haben ( deg(x−2)

[ dfrac{A}{2x−1}+dfrac{B}{(2x−1)^2} onumber]

in der Zerlegung in Gleichung ef{eq:7.4.2}. Daher,

[ dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)}=dfrac{A}{2x−1}+dfrac{B}{(2x−1)^2}+ dfrac{C}{x−1}. keine Nummer]

Nachdem wir einen gemeinsamen Nenner erhalten und die Zähler gleichgesetzt haben, haben wir

[ x−2=A(2x−1)(x−1)+B(x−1)+C(2x−1)^2. label{Ex5Numerator}]

Wir verwenden dann die Methode der Koeffizientengleichung, um die Werte von ( A, B, ) und ( C) zu finden.

[ x−2=(2A+4C)x^2+(−3A+B−4C)x+(A−B+C). keine Nummer]

Gleichsetzen der Koeffizienten ergibt ( 2A+4C=0), (−3A+B−4C=1) und ( A−B+C=−2). Die Lösung dieses Systems liefert ( A=2, B=3,) und ( C=−1.)

Alternativ können wir die Methode der strategischen Substitution verwenden. In diesem Fall erzeugt das Einsetzen von ( x=1) und ( x=1/2) in Gleichung ( ef{Ex5Numerator}) leicht die Werte ( B=3) und ( C=− 1). An dieser Stelle mag es so aussehen, als hätten wir keine guten Auswahlmöglichkeiten für (x), da wir jedoch bereits Werte für (B) und (C haben), können wir diese Werte einsetzen und wählen ein beliebiger Wert für ( x), der zuvor nicht verwendet wurde. Der Wert ( x=0) ist eine gute Option. In diesem Fall erhalten wir die Gleichung ( −2=A(−1)(−1)+3(−1)+(−1)(−1)^2) oder äquivalent ( A=2 .)

Da wir nun die Werte für ( A, B, ) und ( C) haben, schreiben wir das ursprüngliche Integral um und werten es aus:

[ egin{align*} int dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)},dx &=int left(dfrac{2}{2x−1 }+dfrac{3}{(2x−1)^2}−dfrac{1}{x−1} ight),dx [4pt]
&=ln |2x−1|−dfrac{3}{2(2x−1)}−ln |x−1|+C. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{3})

Stellen Sie die Partialbruchzerlegung für . auf

[ int dfrac{x+2}{(x+3)^3(x−4)^2},dx. keine Nummer]

(Nicht nach den Koeffizienten auflösen oder die Integration vervollständigen.)

Hinweis

Verwenden Sie die Problemlösungsmethode von Beispiel ( PageIndex{5}) als Anleitung.

Antworten

[ dfrac{x+2}{(x+3)^3(x−4)^2}=dfrac{A}{x+3}+dfrac{B}{(x+3)^2 }+dfrac{C}{(x+3)^3}+dfrac{D}{(x−4)}+dfrac{E}{(x−4)^2} onumber]

Die allgemeine Methode

Da wir nun beginnen, eine Vorstellung davon zu bekommen, wie die Technik der Partialbruchzerlegung funktioniert, wollen wir die grundlegende Methode in der folgenden Problemlösungsstrategie skizzieren.

Problemlösungsstrategie: Partielle Fraktionszerlegung

Um die rationale Funktion ( P(x)/Q(x)) zu zerlegen, gehen Sie wie folgt vor:

  1. Stellen Sie sicher, dass ( ​​deg(P(x))
  2. Faktorisieren Sie ( Q(x)) in das Produkt aus linearen und irreduziblen quadratischen Faktoren. Ein irreduzibles Quadrat ist ein Quadrat ohne reelle Nullstellen.
  3. Angenommen ( deg(P(x))
  4. Wenn ( Q(x)) als ( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)) faktorisiert werden kann, wobei jeder lineare Faktor verschieden ist, dann ist es möglich, Konstanten ( A_1,A_2,...A_n) erfüllt [ dfrac{P(x)}{Q(x)}=dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+ ⋯+dfrac{A_n}{a_nx+b_n}.]
  5. Enthält ( Q(x)) den wiederholten linearen Faktor ( (ax+b)^n), dann muss die Zerlegung [ dfrac{A_1}{ax+b}+dfrac{A_2}{ (ax+b)^2}+⋯+dfrac{A_n}{(ax+b)^n}.]
  6. Für jeden irreduziblen quadratischen Faktor ( ax^2+bx+c), den ( Q(x)) enthält, muss die Zerlegung [ dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c} enthalten. ]
  7. Für jeden wiederholten irreduziblen quadratischen Faktor ( (ax^2+bx+c)^n,) muss die Zerlegung [ dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+dfrac{A_2x+ B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋯+dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n}.]
  8. Nachdem die geeignete Zerlegung bestimmt wurde, löse nach den Konstanten auf.
  9. Schreiben Sie zuletzt das Integral in seiner zerlegten Form neu und bewerten Sie es mit zuvor entwickelten Techniken oder Integrationsformeln.

Einfache quadratische Faktoren

Betrachten wir nun die Integration eines rationalen Ausdrucks, bei dem der Nenner einen irreduziblen quadratischen Faktor enthält. Denken Sie daran, dass das quadratische ( ax^2+bx+c) irreduzibel ist, wenn ( ax^2+bx+c=0) keine reellen Nullstellen hat – das heißt, wenn ( b^2−4ac<0). )

Beispiel ( PageIndex{6}): Rationale Ausdrücke mit einem irreduziblen quadratischen Faktor

Auswerten

[ int dfrac{2x−3}{x^3+x},dx. onumber]

Lösung

Da ( deg(2x−3)

[ dfrac{2x−3}{x(x^2+1)}=dfrac{Ax+B}{x^2+1}+dfrac{C}{x}. onumber]

Nachdem wir einen gemeinsamen Nenner erhalten und die Zähler gleichgesetzt haben, erhalten wir die Gleichung

[ 2x−3=(Ax+B)x+C(x^2+1).keineZahl]

Auflösen nach ( A,B,) und ( C,) erhalten wir ( A=3, B=2,) und ( C=−3.)

Daher,

[ dfrac{2x−3}{x^3+x}=dfrac{3x+2}{x^2+1}−dfrac{3}{x}. onumber]

Durch Einsetzen in das Integral erhalten wir

[ egin{align*} int dfrac{2x−3}{x^3+x},dx &=int left(dfrac{3x+2}{x^2+1}− dfrac{3}{x} ight),dx onumber [4pt]
&=3int dfrac{x}{x^2+1},dx+2int dfrac{1}{x^2+1},dx−3int dfrac{1}{x },dx & & ext{Integral aufteilen} [4pt]
&=dfrac{3}{2}ln ∣x^2+1∣+2 an^{−1}x−3ln |x|+C. & & ext{Bewerte jedes Integral} end{align*}]

Anmerkung: Wir können ( ln ∣x^2+1∣=ln (x^2+1)) umschreiben, wenn wir dies wünschen, da ( x^2+1>0.)

Beispiel ( PageIndex{7}): Partielle Brüche mit einem irreduziblen quadratischen Faktor

Bewerte (displaystyle int dfrac{,dx}{x^3−8}.)

Lösung: Wir können mit der Faktorisierung von ( x^3−8=(x−2)(x^2+2x+4) beginnen.) Wir sehen, dass der quadratische Faktor ( x^2+2x+4) . ist irreduzibel, da ( 2^2−4(1)(4)=−12<0.) Mit der in der Problemlösungsstrategie beschriebenen Zerlegung erhalten wir

[ dfrac{1}{(x−2)(x^2+2x+4)}=dfrac{A}{x−2}+dfrac{Bx+C}{x^2+2x+4 }. keine Nummer]

Nach Erhalt eines gemeinsamen Nenners und Gleichsetzen der Zähler wird daraus

[ 1=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x−2). keine Nummer]

Bei Anwendung beider Methoden erhalten wir ( A=dfrac{1}{12},B=−dfrac{1}{12},) und ( C=−dfrac{1}{3}.)

Wir schreiben ( int dfrac{,dx}{x^3−8},) um und haben

[ int dfrac{,dx}{x^3−8}=dfrac{1}{12}int dfrac{1}{x−2},dx−dfrac{1}{12 }int dfrac{x+4}{x^2+2x+4},dx. keine Nummer]

Wir können das sehen

[ int dfrac{1}{x−2},dx=ln |x−2|+C, onumber]

aber

[ int dfrac{x+4}{x^2+2x+4},dx onumber]

erfordert etwas mehr Aufwand. Beginnen wir mit das Quadrat vervollständigen auf ( x^2+2x+4), um zu erhalten

[ x^2+2x+4=(x+1)^2+3. keine Nummer]

Indem wir ( u=x+1) und folglich ( du=,dx,) lassen, sehen wir, dass

[ egin{align*} int dfrac{x+4}{x^2+2x+4},dx &=int dfrac{x+4}{(x+1)^2+3 },dx & & ext{Vervollständige das Quadrat auf dem Nenner} [4pt]
&=int dfrac{u+3}{u^2+3},du & & ext{Ersatz }u=x+1,,x=u−1, ext{ und } du=dx [4pt]
&=int dfrac{u}{u^2+3}du+int dfrac{3}{u^2+3}du & & ext{Zähler aufteilen} [4pt]
&=dfrac{1}{2}ln ∣u^2+3∣+dfrac{3}{sqrt{3}} an^{−1}dfrac{u}{sqrt{3} }+C & & ext{Bewerte jedes Integral} [4pt]
&=dfrac{1}{2}ln ∣x^2+2x+4∣+sqrt{3} an^{−1}left(dfrac{x+1}{sqrt{3} } ight)+C & & ext{Umschreiben in Bezug auf }x ext{ und vereinfachen} end{align*}]

Wiedereinsetzen in das ursprüngliche Integral und Vereinfachen ergibt

[ int dfrac{ ,dx}{x^3−8}=dfrac{1}{12}ln |x−2|−dfrac{1}{24}ln |x^2+ 2x+4|−dfrac{sqrt{3}}{12} an^{−1}left(dfrac{x+1}{sqrt{3}} ight)+C. keine Nummer]

Auch hier können wir den Absolutwert weglassen, wenn wir dies möchten, da ( x^2+2x+4>0) für alle ( x) gilt.

Beispiel ( PageIndex{8}): Finden eines Volumes

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, das du erhältst, indem du den vom Graphen von ( f(x)=dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}) eingeschlossenen Bereich und die x-Achse über dem Intervall ( [0,1]) um die ja-Achse.

Lösung

Beginnen wir damit, den zu drehenden Bereich zu skizzieren (siehe Abbildung (PageIndex{1})). Aus der Skizze sehen wir, dass die Shell-Methode eine gute Wahl ist, um dieses Problem zu lösen.

Das Volumen ist gegeben durch

[ V=2πint ^1_0x⋅dfrac{x^2}{(x^2+1)^2},dx=2πint ^1_0dfrac{x^3}{(x^2+ 1)^2},dx. keine Nummer]

Da ( deg((x^2+1)^2)=4>3=deg(x^3),) können wir mit der Partialbruchzerlegung fortfahren. Beachten Sie, dass ( ​​(x^2+1)^2) ein wiederholtes irreduzibles Quadrat ist. Mit der in der Problemlösungsstrategie beschriebenen Zerlegung erhalten wir

[ dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}=dfrac{Ax+B}{x^2+1}+dfrac{Cx+D}{(x^2+1 )^2}. keine Nummer]

Einen gemeinsamen Nenner zu finden und die Zähler gleichzusetzen ergibt

[ x^3=(Ax+B)(x^2+1)+Cx+D. keine Nummer]

Durch Auflösen erhalten wir ( A=1, B=0, C=−1,) und ( D=0.) Wiedereinsetzen in das Integral haben wir

[ V=2πint _0^1dfrac{x^3}{(x^2+1)^2},dx=2πint _0^1left(dfrac{x}{x^2 +1}−dfrac{x}{(x^2+1)^2} ight),dx=2πleft(dfrac{1}{2}ln (x^2+1)+ dfrac{1}{2}⋅dfrac{1}{x^2+1} ight)Big|^1_0=πleft(ln 2− frac{1}{2} ight). keine Nummer]

Übung (PageIndex{4})

Stellen Sie die Partialbruchzerlegung für [ int dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x−3)^2(x^2+4)^2},dx ein. keine Nummer]

Hinweis

Verwenden Sie die Problemlösungsstrategie.

Antworten

[ dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x−3)^2(x^2+4)^2}=dfrac{A}{x+2}+dfrac {B}{x−3}+dfrac{C}{(x−3)^2}+dfrac{Dx+E}{x^2+4}+dfrac{Fx+G}{(x^ 2+4)^2} keineZahl]

Schlüssel Konzepte

  • Die Partialfraktionszerlegung ist eine Technik, die verwendet wird, um eine rationale Funktion in eine Summe einfacher rationaler Funktionen zu zerlegen, die mit zuvor erlernten Techniken integriert werden können.
  • Bei der partiellen Bruchzerlegung müssen wir sicherstellen, dass der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Wenn nicht, müssen wir eine lange Division durchführen, bevor wir eine Partialbruchzerlegung versuchen.
  • Die Form der Zerlegung hängt von der Art der Faktoren im Nenner ab. Die Typen von Faktoren umfassen nicht wiederholte lineare Faktoren, wiederholte lineare Faktoren, nicht wiederholte irreduzible quadratische Faktoren und wiederholte irreduzible quadratische Faktoren.

Glossar

Partialfraktionszerlegung
eine Technik, mit der eine rationale Funktion in die Summe einfacher rationaler Funktionen zerlegt wird

7.4 Teilbrüche

Zu Beginn dieses Kapitels haben wir Systeme mit zwei Gleichungen in zwei Variablen, Systeme mit drei Gleichungen in drei Variablen und nichtlineare Systeme untersucht. Hier stellen wir eine weitere Möglichkeit vor, Gleichungssysteme zu verwenden – die Zerlegung rationaler Ausdrücke.

Brüche können kompliziert sein, wenn man im Nenner eine Variable hinzufügt. Die in diesem Abschnitt untersuchten Methoden werden dazu beitragen, das Konzept eines rationalen Ausdrucks zu vereinfachen.

Zerlegung P ( x ) Q ( x ) P ( x ) Q ( x ) Wobei Q(x) Hat nur nicht wiederholte lineare Faktoren

Erinnern Sie sich an die Algebra zum Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke. Diese Operationen hängen davon ab, einen gemeinsamen Nenner zu finden, damit wir die Summe oder Differenz als einen einzelnen, vereinfachten rationalen Ausdruck schreiben können. In diesem Abschnitt werden wir uns die partielle Bruchzerlegung ansehen, die das Rückgängigmachen der Prozedur zum Addieren oder Subtrahieren rationaler Ausdrücke ist. Mit anderen Worten, es ist eine Rückkehr vom einzelnen vereinfachten rationalen Ausdruck zu den ursprünglichen Ausdrücken, die als Partialbruch bezeichnet werden.

Angenommen, wir addieren die folgenden Brüche:

Wir müssten zuerst einen gemeinsamen Nenner finden, ( x + 2 ) ( x −3 ) . (x+2) (x-3).

Als nächstes würden wir jeden Ausdruck mit diesem gemeinsamen Nenner schreiben und die Summe der Terme finden.

Die partielle Fraktionszerlegung ist die Umkehrung dieses Verfahrens. Wir würden mit der Lösung beginnen und sie als Summe zweier Brüche umschreiben (zerlegen).

Wir werden rationale Ausdrücke mit linearen Faktoren und quadratischen Faktoren im Nenner untersuchen, bei denen der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Unabhängig von der Art des Ausdrucks, den wir zerlegen, ist die erste und wichtigste Sache, den Nenner zu faktorisieren.

Wenn der Nenner des vereinfachten Ausdrucks unterschiedliche lineare Faktoren enthält, ist es wahrscheinlich, dass jeder der ursprünglichen rationalen Ausdrücke, die addiert oder subtrahiert wurden, einen der linearen Faktoren als Nenner hatte. Mit anderen Worten, im obigen Beispiel sind die Faktoren von x 2 − x −6 x 2 − x −6 ( x −3 ) ( x + 2 ) , ( x −3 ) ( x + 2 ) , die Nenner von der zerlegte rationale Ausdruck. Wir werden die vereinfachte Form also als Summe einzelner Brüche umschreiben und für jeden Zähler eine Variable verwenden. Dann werden wir nach jedem Zähler mit einer von mehreren Methoden auflösen, die für die Zerlegung von Partialbrüchen verfügbar sind.

Teilbruchzerlegung von P ( x ) Q ( x ) : Q ( x ) P ( x ) Q ( x ) : Q ( x ) hat nicht wiederholte lineare Faktoren Factor

Wie man

Zerlegen Sie einen rationalen Ausdruck mit unterschiedlichen linearen Faktoren im Nenner.

Beispiel 1

Zerlegen einer rationalen Funktion mit eindeutigen linearen Faktoren

Zerlegen Sie den gegebenen rationalen Ausdruck mit verschiedenen linearen Faktoren.

Lösung

Wir trennen die Nennerfaktoren und geben jedem Zähler eine symbolische Bezeichnung wie A , B , A , B oder C . C .

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner, um die Brüche zu eliminieren:

Die resultierende Gleichung ist

Erweitern Sie die rechte Seite der Gleichung und sammeln Sie ähnliche Terme.

Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, das entsprechende Koeffizienten zuordnet.

Addiere die beiden Gleichungen und löse nach B auf. B .

Somit ist die Partialbruchzerlegung

Obwohl diese Methode in Lehrbüchern nicht sehr häufig vorkommt, stellen wir sie hier als Alternative vor, die einige Teilbruchzerlegungen erleichtern kann. Es ist als Heaviside-Methode bekannt, benannt nach Charles Heaviside, einem Pionier in der Erforschung der Elektronik.

Finden Sie die Partialbruchzerlegung des folgenden Ausdrucks.

Zerlegung P ( x ) Q ( x ) P ( x ) Q ( x ) Wobei Q(x) Hat wiederholte lineare Faktoren

Einige Brüche, denen wir begegnen können, sind Spezialfälle, die wir mit wiederholten linearen Faktoren in partielle Brüche zerlegen können. Wir müssen daran denken, dass wir wiederholte Faktoren berücksichtigen, indem wir jeden Faktor in steigenden Potenzen schreiben.

Teilbruchzerlegung von P ( x ) Q ( x ) : Q ( x ) P ( x ) Q ( x ) : Q ( x ) hat wiederholte lineare Faktoren Factor

Schreiben Sie die Nennerpotenzen in aufsteigender Reihenfolge auf.

Wie man

Zerlegen Sie einen rationalen Ausdruck mit wiederholten linearen Faktoren.

Beispiel 2

Zerlegen mit wiederholten linearen Faktoren

Zerlegen Sie den gegebenen rationalen Ausdruck mit wiederholten linearen Faktoren.

Lösung

Als nächstes multiplizieren wir beide Seiten mit dem gemeinsamen Nenner.

Auf der rechten Seite der Gleichung erweitern und sammeln wir ähnliche Terme.

Als nächstes vergleichen wir die Koeffizienten beider Seiten. Dies ergibt das Gleichungssystem in drei Variablen:


Es ist möglich, viele Brüche in die Summe oder Differenz von zwei oder mehr Brüchen aufzuspalten. Dies hat viele Verwendungen (z. B. bei der Integration).

1 + 4 = 5(x + 2)
(x+1) (x + 6) (x + 1) (x + 6)

Die Methode der Partialbrüche ermöglicht es uns, die rechte Seite der obigen Gleichung in die linke Seite aufzuspalten.

Lineare Faktoren im Nenner

Diese Methode wird verwendet, wenn die Faktoren im Nenner des Bruchs linear sind (dh keine Quadrat- oder Würfelterme usw. haben).

Teilt 5(x + 2) in Teilbrüche.
(x + 1) (x + 6)

5(x + 2) º EIN + B
(x + 1) (x + 6) (x+1) (x + 6)

Jetzt müssen wir nur noch A und B finden.

5(x + 2) º A(x+6) + B(x+1)
(x + 1) (x + 6) (x + 1) (x + 6)
(die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner stellen)

5(x + 2) º A(x + 6) + B(x + 1) (wir haben die Nenner gestrichen)

Der obige Ausdruck ist ein Identität (daher º statt =). Eine Identität gilt für jeden Wert von x. Das bedeutet, dass wir auf beiden Seiten des Ausdrucks beliebige Werte von x einsetzen können, um A und B zu finden. Wenn Sie versuchen, diese Konstanten zu berechnen, versuchen Sie, Werte von x zu wählen, die die Arithmetik erleichtern. Wenn wir in diesem Beispiel x = -6 in die Identität einsetzen, verschwindet der Term A(x + 6), was die Lösung viel einfacher macht.

die Antwort ist 1 + 4 (wie wir wussten)
(x+1) (x + 6)

Vertuschen-Methode

Die "Cover-Up-Methode" ist eine schnelle Methode, um Teilbrüche zu berechnen, aber es ist wichtig zu wissen, dass dies nur funktioniert, wenn wie hier lineare Faktoren im Nenner vorhanden sind.

Stellen 5(x + 2) in Teilfraktionen nach der Vertuschungsmethode:
(x + 1) (x + 6)

verdecke das x + 6 mit deiner Hand und setze -6 in den Rest ein, was 5(-6 + 2)/(-6+1) = -20/-5 = 4 ergibt. Dies sagt dir, dass einer der Teilbrüche ist 4/(x + 6). Verdecken Sie nun (x + 1) und setzen Sie -1 in das ein, was übrig bleibt, um zu entdecken, dass der andere Teilbruch 1/(x + 1) ist.

Wiederholfaktor im Nenner

Denken Sie daran, dass die obige Methode nur für lineare Faktoren im Nenner gilt. Wenn der Nenner einen sich wiederholenden Faktor enthält, wie (x - 1) 2 oder (x + 4) 2 , wird das folgende Verfahren verwendet.

Teilt x - 2 in Teilbrüche
(x + 1)(x - 1) 2

x - 2 º EIN + B + C
(x + 1)(x - 1) 2 (x+1) (x - 1) (x - 1) 2

Beachten Sie, dass wir a (x - 1) und a (x - 1) 2 Bruch in.
Wie zuvor finden wir jetzt nur noch die Werte von A, B und C, indem wir sie über einen gemeinsamen Nenner legen und dann Werte für x einsetzen.
x - 2 º A(x - 1) 2 + B(x - 1)(x + 1) + C(x + 1)

sei x = 0
-2 = A - B + C
-2 = -3/4 - B -½
B = 3/4

- 3 + 3 - 1
4(x+1) 4(x - 1) 2(x - 1) 2

Quadratischer Faktor im Nenner

Dieses Verfahren ist für den Fall vorgesehen, dass in einem der Faktoren des Nenners ein quadratischer Term vorhanden ist.

2x - 1 º EIN + Bx + C
(x + 1) (x 2 + 1) (x+1) (x2 + 1)

Finden Sie A, B und C auf die gleiche Weise wie oben.

Beachten Sie, dass es Bx + C auf dem Zähler des Bruchs mit dem quadrierten Term im Nenner.


7.4: Partielle Brüche - Mathematik

In diesem Abschnitt werden wir uns Integrale von rationalen Ausdrücken von Polynomen ansehen und diesen Abschnitt noch einmal mit einem Integral beginnen, das wir bereits können, damit wir es mit den Integralen vergleichen können, die wir in diesem Abschnitt machen werden .

Wenn der Zähler also die Ableitung des Nenners (oder ein konstantes Vielfaches der Ableitung des Nenners) ist, ist diese Art von Integral ziemlich einfach. Der Zähler ist jedoch oft nicht die Ableitung des Nenners (oder ein konstantes Vielfaches). Betrachten Sie zum Beispiel das folgende Integral.

In diesem Fall ist der Zähler weder die Ableitung des Nenners noch ein konstantes Vielfaches der Ableitung des Nenners. Daher funktioniert die einfache Ersetzung, die wir oben verwendet haben, nicht. Beachten wir jedoch, dass der Integrand wie folgt zerlegt werden kann,

dann ist das Integral eigentlich ganz einfach.

Dieser Prozess, einen rationalen Ausdruck zu nehmen und ihn in einfachere rationale Ausdrücke zu zerlegen, die wir addieren oder subtrahieren können, um den ursprünglichen rationalen Ausdruck zu erhalten, heißt Partialfraktionszerlegung. Viele Integrale mit rationalen Ausdrücken können durchgeführt werden, wenn wir zuerst partielle Brüche auf dem Integranden machen.

Lassen Sie uns also eine kurze Überprüfung der Teilbrüche durchführen. Wir beginnen mit einem rationalen Ausdruck in der Form,

wobei sowohl (Pleft( x ight)) als auch (Qleft( x ight)) Polynome sind und der Grad von (Pleft( x ight)) kleiner ist als der Grad von (Qlinks(x echts)). Denken Sie daran, dass der Grad eines Polynoms der größte Exponent im Polynom ist. Teilbrüche können nur durchgeführt werden, wenn der Grad des Zählers strikt kleiner ist als der Grad des Nenners. Das ist wichtig, sich daran zu erinnern.

Sobald wir also festgestellt haben, dass partielle Brüche durchgeführt werden können, faktorisieren wir den Nenner so vollständig wie möglich. Dann können wir für jeden Faktor im Nenner die folgende Tabelle verwenden, um den oder die Terme zu bestimmen, die wir bei der Partialbruchzerlegung aufgreifen.

Beachten Sie, dass der erste und der dritte Fall wirklich Spezialfälle des zweiten bzw. vierten Falls sind.

Es gibt mehrere Methoden, um die Koeffizienten für jeden Term zu bestimmen, und wir werden jede davon in den folgenden Beispielen durchgehen.

Beginnen wir die Beispiele mit dem obigen Integral.

Der erste Schritt besteht darin, den Nenner so weit wie möglich zu faktorisieren und die Form der Partialbruchzerlegung zu erhalten. Dies gibt,

Der nächste Schritt besteht darin, die rechte Seite wieder nach oben hinzuzufügen.

Nun müssen wir (A) und (B) so wählen, dass die Zähler dieser beiden für jedes (x) gleich sind. Dazu müssen wir die Zähler gleich setzen.

[3x + 11 = Alinks( echts) + Blinks( Rechts)]

Beachten Sie, dass wir in den meisten Problemen direkt von der allgemeinen Form der Zerlegung zu diesem Schritt übergehen und uns nicht darum kümmern, die Terme tatsächlich wieder hinzuzufügen. Der einzige Punkt beim Hinzufügen der Terme besteht darin, den Zähler zu erhalten, und wir können dies erhalten, ohne die Ergebnisse der Addition tatsächlich aufzuschreiben.

An dieser Stelle haben wir eine von zwei Möglichkeiten, um fortzufahren. Ein Weg wird immer funktionieren, ist aber oft mehr Arbeit. Das andere funktioniert zwar nicht immer, ist aber oft schneller, wenn es funktioniert. In diesem Fall funktioniert beides und wir verwenden für dieses Beispiel den schnelleren Weg. Wir werden uns die andere Methode in einem späteren Beispiel ansehen.

Was wir hier tun werden, ist zu beachten, dass die Zähler für gleich sein müssen jedes x die wir gerne verwenden würden. Insbesondere müssen die Zähler für (x = - 2) und (x = 3) gleich sein. Also, lass uns diese einstecken und sehen, was wir bekommen.

[Startx & = - 2 : & hspace<0.5in>5 & = Aleft( 0 ight) + Bleft( < - 5> ight) & hspace <0.25in>& Rightarrow & hspace< 0.25in>B & = - 1 x & = 3 ,,,,: & hspace<0.5in>20 & = Aleft( 5 ight) + Bleft( 0 ight) & hspace <0.25in>& Rightarrow & hspace<0.25in>A & = 4end]

Durch sorgfältige Auswahl der (x)-Werte haben wir also die unbekannten Konstanten schnell herausfallen lassen. Beachten Sie, dass dies die Werte sind, von denen wir behauptet haben, dass sie oben liegen.

At this point there really isn’t a whole lot to do other than the integral.

Recall that to do this integral we first split it up into two integrals and then used the substitutions,

on the integrals to get the final answer.

Before moving onto the next example a couple of quick notes are in order here. First, many of the integrals in partial fractions problems come down to the type of integral seen above. Make sure that you can do those integrals.

There is also another integral that often shows up in these kinds of problems so we may as well give the formula for it here since we are already on the subject.

It will be an example or two before we use this so don’t forget about it.

Now, let’s work some more examples.

We won’t be putting as much detail into this solution as we did in the previous example. The first thing is to factor the denominator and get the form of the partial fraction decomposition.

The next step is to set numerators equal. If you need to actually add the right side together to get the numerator for that side then you should do so, however, it will definitely make the problem quicker if you can do the addition in your head to get,

[ + 4 = Aleft( ight)left( <3x - 2> ight) + Bxleft( <3x - 2> ight) + Cxleft( ight)]

As with the previous example it looks like we can just pick a few values of (x) and find the constants so let’s do that.

[Startx & = 0 ,,,,, : & hspace<0.5in>4 & = Aleft( 2 ight)left( < - 2> ight) & hspace <0.5in>& Rightarrow & hspace<0.25in>A & = - 1 x & = - 2 : & hspace<0.5in>8 & = Bleft( < - 2> ight)left( < - 8> ight) & hspace<0.25in>&Rightarrow & hspace<0.25in>B & = frac<1><2> x & = frac<2><3>,, : & hspace<0.5in>frac<<40>> <9>& = Cleft( <3>> ight)left( <3>> ight) & hspace <0.25in>& Rightarrow & hspace<0.25in>C & = frac<<40>><<16>> = frac<5><2>end]

Note that unlike the first example most of the coefficients here are fractions. That is not unusual so don’t get excited about it when it happens.

Again, as noted above, integrals that generate natural logarithms are very common in these problems so make sure you can do them. Also, you were able to correctly do the last integral right? The coefficient of (frac<5><6>) is correct. Make sure that you do the substitution required for the term properly.

This time the denominator is already factored so let’s just jump right to the partial fraction decomposition.

[ - 29x + 5 = Aleft( ight)left( <+ 3> ight) + Bleft( <+ 3> ight) + left( ight) ight)^2>]

In this case we aren’t going to be able to just pick values of (x) that will give us all the constants. Therefore, we will need to work this the second (and often longer) way. The first step is to multiply out the right side and collect all the like terms together. Dies gibt,

[ - 29x + 5 = left( ight) + left( < - 4A + B - 8C + D> ight) + left( <3A + 16C - 8D> ight)x - 12A + 3B + 16D]

Now we need to choose (A), (B), (C), and (D) so that these two are equal. In other words, we will need to set the coefficients of like powers of (x) equal. This will give a system of equations that can be solved.

[left. Start & :hspace <0.25in>& A + C & = 0 & :hspace <0.25in>& - 4A + B - 8C + D & = 1 & :hspace <0.25in>& 3A + 16C - 8D & = - 29 & :hspace <0.25in>& - 12A + 3B + 16D & = 5end ight>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>A = 1,,B = - 5,,C = - 1,,D = 2]

Note that we used () to represent the constants. Also note that these systems can often be quite large and have a fair amount of work involved in solving them. The best way to deal with these is to use some form of computer aided solving techniques.

Now, let’s take a look at the integral.

In order to take care of the third term we needed to split it up into two separate terms. Once we’ve done this we can do all the integrals in the problem. The first two use the substitution (u = x - 4), the third uses the substitution (v = + 3) and the fourth term uses the formula given above for inverse tangents.

Let’s first get the general form of the partial fraction decomposition.

Now, set numerators equal, expand the right side and collect like terms.

Setting coefficient equal gives the following system.

[left. Start & :hspace <0.25in>& A + B & = 0 & :hspace <0.25in>& C - B & = 1 & : hspace <0.25in>& 8A + 4B - C + D & = 10 & : hspace <0.25in>& - 4B + 4C - D + E & = 3 & :hspace <0.25in>& 16A - 4C - E & = 36end ight>,,,,, Rightarrow ,,,,,,,,A = 2,,B = - 2,,C = - 1,,D = 1,,E = 0]

Don’t get excited if some of the coefficients end up being zero. It happens on occasion.

To this point we’ve only looked at rational expressions where the degree of the numerator was strictly less that the degree of the denominator. Of course, not all rational expressions will fit into this form and so we need to take a look at a couple of examples where this isn’t the case.

So, in this case the degree of the numerator is 4 and the degree of the denominator is 3. Therefore, partial fractions can’t be done on this rational expression.

To fix this up we’ll need to do long division on this to get it into a form that we can deal with. Here is the work for that.

So, from the long division we see that,

The first integral we can do easily enough and the second integral is now in a form that allows us to do partial fractions. So, let’s get the general form of the partial fractions for the second integrand.

Setting numerators equal gives us,

[18 = Axleft( ight) + Bleft( ight) + C]

Now, there is a variation of the method we used in the first couple of examples that will work here. There are a couple of values of (x) that will allow us to quickly get two of the three constants, but there is no value of (x) that will just hand us the third.

What we’ll do in this example is pick (x)’s to get the two constants that we can easily get and then we’ll just pick another value of (x) that will be easy to work with (d.h. it won’t give large/messy numbers anywhere) and then we’ll use the fact that we also know the other two constants to find the third.

[Startx & = 0 : & hspace <0.25in>18 & = Bleft( < - 3> ight) & hspace<0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>B & = - 6 x & = 3 : & hspace <0.25in>18 & = Cleft( 9 ight) & hspace <0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>C & = 2 x & = 1 : & 18 & = Aleft( < - 2> ight) + Bleft( < - 2> ight) + C = - 2A + 14 & hspace <0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>A & = - 2end]

In the previous example there were actually two different ways of dealing with the () in the denominator. One is to treat it as a quadratic which would give the following term in the decomposition

and the other is to treat it as a linear term in the following way,

which gives the following two terms in the decomposition,

We used the second way of thinking about it in our example. Notice however that the two will give identical partial fraction decompositions. So, why talk about this? Simple. This will work for (), but what about () or ()? In these cases, we really will need to use the second way of thinking about these kinds of terms.

Let’s take a look at one more example.

In this case the numerator and denominator have the same degree. As with the last example we’ll need to do long division to get this into the correct form. We’ll leave the details of that to you to check.

So, we’ll need to partial fraction the second integral. Here’s the decomposition.

Setting numerator equal gives,

[1 = Aleft( ight) + Bleft( ight)]

Picking value of (x) gives us the following coefficients.

[Startx & = - 1 : & hspace <0.25in>1 & = Bleft( < - 2> ight) & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>B & = - frac<1><2> x & = 1 ,,,, : & hspace<0.25in>1 & = Aleft( 2 ight) & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>A & = frac<1><2>end]


Question 1.
Write shaded portion as a fraction. Arrange them in ascending and descending order using correct sign ‘<‘, ‘=’, ‘>’ between the fraction:
(a)

(b)


appropriate signs between the fractions given

Solution:

(ich) In ascending order, these are

(ii) In descending order, these are

(b)

(ich) In ascending order, these are

(ii) In descending order, these are

(C)

Question 2.
Compare the fractions and put an appropriate sign.

Solution :


Question 3.
Make five more such pairs and make appropriate signs.

Question 4.
Look at the figures and write ‘<’ or ‘>’, ‘=’ between the pairs of fractions.
Solution :


Make five more such problems and solve them with your friends.
Solution:

For the remaining part, please try yourself.

Question 5.
How quickly can you do this? Fill appropriate sign (<, =,>)

Solution :


Question 6.
The following fractions represent just three different numbers. Separate them into three groups of equivalent fractions, by changing each one to its simplest form.

Solution :


Question 7.
Find answers to the following. Write and indicate how you solved them.

Solution :
(a) Equivalent fraction of (frac < 5 >< 9 >) are

Equivalent fraction of (frac < 4 >< 5 >) are

(b) Equivalent fraction of (frac < 9 >< 16 >) are

Question 8.
Ila reads 25 pages of a book containing 100 pages. Lalita reads (frac < 1 >< 2 >) of the same book. Who read less?

Question 9.
Rafiq exercised for (frac < 3 >< 6 >) of an hour, while 6 Rohit exercised for (frac < 3 >< 4 >) of an hour. Who exercised for a longer time?
Solution :
∴ (frac < 3 >< 4 >) > (frac < 3 >< 6 >)
∴ Rohit exercised for a longer time.

Frage 10.
In class A of 25 students, 20 passed in first class in another class B of 30 students, 24 passed in first class. In which class was a greater fraction of students getting first class?
Solution :

Hence, in both the classes the same fraction (left( frac < 4 > < 5 > ight))of total students got first class.

We hope the NCERT Solutions for Class 6 Maths Chapter 7 Fractions Ex 7.4 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 6 Maths Chapter 7 Fractions Ex 7.4, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Defn: EIN quadratic surd is a root of a non-trivial quadratic equation with integer coefficients.

Thm: An eventually periodic continued fraction has is equal to a quadratic surd.

Thm: (Lagrange) If &alpha is a quadratic surd, then &alpha has a periodic continued fraction.

proof: (Charves) [RS92, pg 41] As &alpha is a quadratic surd, there are integers p 0 > 0, q 0 and r 0 such that
Replace &alpha with ( a k &zeta k +1 + a k -1)/( b k &zeta k +1 + b k -1) and multiply the resulting expression by ( b k &zeta k +1 + b k -1) 2
to get p 0( a k &zeta k +1 + a k -1) 2 + q 0( a k &zeta k +1 + a k -1)( b k &zeta k +1 + b k -1) + r 0( b k &zeta k +1 + b k -1) 2 = 0
Expand and collect terms in &zeta k +1 to get:

  • P k +1 = p 0 ein k 2 + q 0 ein k B k + r 0 B k 2
  • Q k +1 = 2 p 0 ein k ein k -1 + q 0( a k B k -1 + a k -1 B k ) + 2 r 0 B k B k -1
  • R k +1 = p 0 ein k -1 2 + q 0 ein k -1 B k -1 + r 0 B k -1 2

Defn: A quadratic surd &zeta is reduziert iff &zeta > 0 and its conjugate &zeta * satisfies -1 < &zeta * < 0.

For square-free d we see that &radic d + &lfloor&radic d &rfloor are reduced.

Thm: A quadratic surd is purely periodic iff it is reduced. [NZM, Thm 7.20]

Thm: The length L of the repeating block in the periodic continued fraction of ( P 0 + &radic D )/ Q 0 satisfies L ( D ) = O (&radic D log( D )) [RS92, pg 50]


Partial Fractions

Remember these formulas of partial fractions for different types of fractions:

Types of fractionsForm of the partial fractions

We can recall from GCSE’s that to transform a function consisting of many fractions into a single fraction, we take LCM (lowest common factor) of the entire function i.e:

if we have a function , we take its LCM and make it into a single fraction:

Now the question is what do we do when we want to reverse this process and split a single fraction into two or more fractions. Well, the process of breaking a single fraction into multiple fractions is known as splitting into ”partial fractions”. It could be both sum or difference of two or more fractions.

There are three different types of fractions:

1. Where a fraction consists of only linear factors in the denominator.

2. Where there are repeated factors in the denominator of the fraction.

3. Where there are quadratic factors in the denominator of the fraction.

We will go through each one of the types with the methods used to solve them along with examples below.

1. Linear factors in the denominator

This included both proper fractions and improper fractions. Let’s have a look at the proper fractions first.

Example #1

Q. Find the partial fractions of

Note: This is the same function that resulted by taking LCM of fractions in the beginning of this article.

Since the denominator has linear factors, there required partial fractions will be:

First find the 2 values of x:

Substitute each value of x in equation 1, one at a time.

So to find the value of EIN put x = -1 in equation 1,

So to find the value of B put in equation 1:

Substituting the values of EIN und B in equation (i) above gives us our partial fractions:

For such proper fractions whose denominators are linear factors we can also use a cover up method.

Cover up method

This is basically a shortcut of finding the partial fractions, where we don’t have to do long calculations like we did in the above example i.e let’s do the above example now with the cover up method. You will see how quickly we can find the results.

Example #2

Q. Find the partial fractions of using the cover up methods.

As we know the partial fraction expression would be:

To find EIN we consider the left hand side of the equation:

We cover up one factor in the denominator first i.e cover up (x + 1)

Since we have covered up (x + 1), the value of x in this case is -1.

We get , substitute the value of x:

Similarly to find B we cover up (2x + 3) and find that in this case.

Substituting this value of x we get:

Therefore our partial fractions are

Now that we have understood how we find partial fractions for proper fractions, we move on to improper fractions.

Partial fractions of Improper fractions

Improper fractions are fractions whose degree of denominator is equal to or less than the degree of its numerator i.e:

these are both considered as improper fractions.

To find work out the partial fractions, we must have the function as a proper fraction. Therefore, we convert all improper fractions into proper ones before we decompose them into partial fractions. We do this by dividing the numerator by its denominator till it becomes a proper fractions. This is done through algebraic long division. Algebraic long division has been explained in detail in the article ”Algebraic long division”. Let’s work out an example now.

Example #3

Q. Find the partial fractions of

We can see that the above function is an improper fractions as the degree of numerator is equal to degree of the denominator. Hence, we must carry out long division to convert it into a proper fraction.

After the long division the fraction becomes:

Now is a proper fraction, we can therefore split it into partial fractions.

Now using the cover up method we find the values of EIN und B.

Therefore, the required partial fractions are:

2. Repeated factors in the denominator

When a square term occurs in a denominator i.e , we consider two separate constants for such expressions.

Example #4

Q. Express in partial fractions

Comparing all the coefficients of :

Hence, the required partial fractions are:

3. Quadratic factors in the denominator

In the case, where a fraction has a quadratic factor in the denominator which cannot be simplified further, then that denominator will have a linear numerato in its partial fraction i.e:

If we have a function we will write it as .

We will then follow the same process as above to find the values of EIN and after that we compare the coefficients of x to find the value of B und C.


Class 12 Maths Chapter 7 Integration by Partial Fractions

Integration by Partial Fractions in mathematics is basically used when we have to integrate a rational function.The complex rational expressions out there cannot be solved in a simpler way. Therefore, in order to avoid this complexity, partial fractions can be used which decompose the rational expressions into simpler partial fractions.

Integration by Partial Fractions falls under Unit 3 Chapter 3 of NCERT Class 12 Mathematics. The chapter has been included in the syllabus for the session 2020-21. Im revised syllabus of CBSE, no topics have been omitted from this portion. The whole unit, i.e, Unit 3 will carry around 35 marks in the board examination.

Definition 

In mathematics, a rational function is defined as the ratio of two polynomials P(x)/Q(x), where Q(x) ≠ 0. It is a proper fraction if the degree of P(x) is less than the degree of Q(x), otherwise it is an improper fraction. Even if a fraction is improper, the long division method will reduce it to a correct fraction.

So, if P(x)/Q(x) is an improper fraction, then P(x)/Q(x) = T(x) + P1(x)/Q(x) … where T(x) is a polynomial and P1(x)/Q(x) is a proper rational fraction. We already know how to integrate polynomials, and we&aposll learn how to integrate partial fractions in this article. Furthermore, we can consider rational functions whose denominators can be factored into linear and quadratic equations.

Different Forms of Integration by Partial Fractions

Let&aposs assume we&aposre trying to find the value of [P(x)/Q(x)] dx, where P(x)/Q(x) is a proper rational fraction. In such cases, partial fraction decomposition can be used to write the integrand as a sum of simpler rational functions. Integration can then be done with ease. The picture below depicts some basic partial fractions that can be linked to a variety of rational functions:

Please keep in mind that A, B, and C are all real numbers whose values should be calculated appropriately.

For more reference, check this

Examples of Integration by Partial Fractions

Ques. ਏind ∫ dx / [(x + 1) (x + 2)]

The integrand is a rational function in the proper sense. As a result, if we use the partial fraction form from the image above, we get:

1 / [(x + 1) (x + 2)] = A / (x + 1) + B / (x + 2) … (1)

When we solve this equation, we get:

We must have LHS equal to RHS in order for LHS to be equal to RHS.

A + B = 0 and 2A + B = 1. On solving these two equations, we get

1 / [(x + 1) (x + 2)] = 1 / (x + 1) – 1 / (x + 2)

Hence, ∫ dx / [(x + 1) (x + 2)] = ∫ dx / (x + 1) – ∫ dx / (x + 2)

Notiz that Equation (1) holds for all possible x values. Some authors use the symbol ‘≡’ to represent an identity, while others use the symbol ‘=&apos to denote an equation, i.e., a statement that is valid only for certain values of x.


Ques.ਏind ∫ [(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6)] dx

The integrand in this case is not a proper rational function. As a result, we divide

(x 2 + 1) by (x 2 – 5x + 6) and get,

(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6) = 1 + (5x – 5) / (x 2 – 5x + 6)

Let&aposs take a look at the second half of the equation to see what we can learn.

5x – 5 = A (x – 3) + B (x – 2) = Ax – 3A + Bx – 2B = x (A + B) – (3A + 2B)

We get A + B = 5 and 3A + 2B = 5 by comparing the coefficients of the x term and constants. We also get A = – 5 and B = 10 when we solve these two equations.

(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6) = 1 – 5 / (x – 2) + 10 / (x – 3)

Therefore, ∫ [(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6)] dx = ∫ dx – 5 ∫ 1 / (x – 2) + 10 ∫ 1 / (x – 3)

= x – 5log |x – 2| + 10log |x – 3| + C

Ques.ਏind ∫ [(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3)] dx

If you look at the picture above, you&aposll find that the denominator is identical to example 4. As a result, we have

(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3) = A / (x + 1) + B / (x + 1) 2 + C / (x + 3)

3x – 2 = A (x + 1) (x + 3) + B (x + 3) + C (x + 1) 2

= A (x 2 + 4x + 3) + B (x + 3) + C (x 2 + 2x + 1) = Ax 2 + 4Ax + 3A + Bx + 3B + Cx 2 + 2Cx + C

= x 2 (A + C) + x (4A + B + 2C) + (3A + 3B + C)

Comparing the coefficients of x 2 , x and the constant terms, we get

We get A = 11/4, B = 𠄵/2, and C = �/4 by solving these three equations.

(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3) = 11 / 4(x + 1) – 5 / 2(x + 1) 2 – 11 / 4(x + 3)

Therefore, ∫ [(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3)] dx = 11/4 ∫ dx / (x + 1) – 5/2 ∫ dx / (x + 1) 2 – 11/4 ∫ dx / (x + 3)

= 11/4 log |x + 1| + 5 / 2(x + 1) – 11/4 log |x + 3| + C

= 11/4 log |(x + 1) / (x + 3)| + 5 / 2(x + 1) + C

Sample Questions on Integration by Partial Fractions

Ques. What does the word "partial fractions" mean?

Ans. The process of decomposing a fraction into its simplest form is known as a partial fraction in mathematics.

Ques. What are the various types of denominators in partial fractions?

Ans. In partial fractions, there are four distinct types of denominators:

Irreducible factors of degree 2

Repeated irreducible factors of degree 2

Ques. What is the best way to integrate fractions?

Ans. If you&aposre asked to incorporate a fraction, try multiplying or dividing the fraction&aposs top and bottom by a number. Splitting a fraction into smaller bits before attempting to integrate it may often be beneficial. For this, you can use the partial fractions process.

Ques. What do you mean by integration?

Ans. Integration takes place at the time when distinct people or things are brought together. For example, the integration of students from all the colleges of a particular city at the university and more. As we already know that differentiate is to “set apart”, therefore integrate just the opposite of this. 

Previous Years’ Questions

Short Answer Questions

Ques. Find:   (CBSE 2019)

Ques. Find:   (CBSE 2018)

Ans. Given integral is,

Long Answer Questions

Ques. Find:      (Delhi 2017)

Ans. Given integral is,

Ques. Find:    (All India 2017)

Ans. Given integral is,

Ans. The given integral,

CBSE Class 12 Mathematics: Key Suggestions

The question paper will be divided into two parts: A and B, where both the parts will have internal choices. 

CBSE Class 12 Mathematics: Learning outcomes

From this portion of the chapter, the candidates get to know that partial fraction decomposition can be the methods to decompose the rational expressions.


NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integers Ex 7.4

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integers Ex 7.4 are part of NCERT Solutions for Class 12 Maths. Here we have given Class 12 Maths NCERT Solutions Integrals Ex 7.4
Question 1.
(frac < < 3x >^ < 2 >>< < x >^< 6 >+1 > )
Solution:

Question 2.
(frac < 1 >< sqrt < 1+< 4x >^ < 2 >> > )
Solution:

Question 3.
(frac < 1 >< sqrt < < (2-x) >^< 2 >+1 > > )
Solution:

Question 4.
(frac < 1 >< sqrt < 9-< 25x >^ < 2 >> > )
Solution:

Question 5.
(frac < 3x >< 1+< 2x >^ < 4 >> )
Solution:

Question 6.
(frac < < x >^ < 2 >>< 1-< x >^ < 6 >> )
Solution:

Question 7.
(frac < x-1 >< sqrt < < x >^< 2 >-1 > > )
Solution:

Question 8.
(frac < < x >^ < 2 >>< sqrt < < x >^< 6 >+< a >^ < 6 >> > )
Solution:

Question 9.
(frac < < sec >^< 2 >x >< sqrt < < tan >^< 2 >x+4 > > )
Solution:

Frage 10.
(frac < 1 >< sqrt < < x >^< 2 >+2x+2 > > )
Solution:

Frage 11.
(frac < 1 >< < 9x >^< 2 >+6x+5 > )
Solution:

Frage 12.
(frac < 1 >< sqrt < 7-6x-< x >^ < 2 >> > )
Solution:

Frage 13.
(frac < 1 > < sqrt < (x-1)(x-2) >> )
Solution:

Frage 14.
(frac < 1 >< sqrt < 8+3x-< x >^ < 2 >> > )
Solution:

Question 15.
(frac < 1 > < sqrt < (x-a)(x-b) >> )
Solution:

Question 16.
(frac < 4x+1 >< sqrt < < 2x >^< 2 >+x-3 > > )
Solution:

Question 17.
(frac < x+2 >< sqrt < < x >^< 2 >-1 > > )
Solution:


Question 18.
(frac < 5x-2 >< 1+2x+< 3x >^ < 2 >> )
Solution:
put 5x-2=A(frac < d >< dx >)(1+2x+3x²)+B
⇒ 6A=5, A=(frac < 5 >< 6 >-2=2A+B), B=(-frac < 11 >< 3 >)

Question 19.
(frac < 6x+7 > < sqrt < (x-5)(x-4) >> )
Solution:



Question 20.
(frac < x+2 >< sqrt < 4x-< x >^ < 2 >> > )
Solution:



Question 21.
(frac < x+2 >< sqrt < < x >^< 2 >+2x+3 > > )
Solution:


Question 22.
(frac < x+3 >< < x >^< 2 >-2x-5 > )
Solution:


Question 23.
(frac < 5x+3 >< sqrt < < x >^< 2 >+4x+10 > > )
Solution:


Question 24.
(int < frac < dx >< < x >^< 2 >+2x+2 > equals > )
(a) xtan -1 (x+1)+c
(b) (x+1)tan -1 x+c
(c) tan -1 (x+1)+c
(d) tan -1 x+c
Solution:

Question 25.
(int < frac < dx >< sqrt < 9x-< 4x >^ < 2 >> > equals > )
(a) (frac < 1 > < 9 >< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 8 > ight) +c)
(b) (frac < 1 > < 2 >< sin >^< -1 >left( frac < 8x-9 > < 9 > ight) +c)
(c) (frac < 1 > < 3 >< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 8 > ight) +c)
(d) (< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 9 > ight) +c)
Solution:

NCERT Solutions for Class 12 Maths Exercise 7.4 in Hindi

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-


प्रश्न 19.

हल-


प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.

हल-

प्रश्न 22.

हल-

प्रश्न 23.

हल-

प्रश्न 24.

हल-

प्रश्न 25.

हल-


Partial fraction decomposition is a useful process when taking antiderivatives of many rational functions.

It involves factoring the denominators of rational functions and then generating a sum of fractions whose denominators are the factors of the original denominator. Bézout's identity suggests that numerators exist such that the sum of these fractions equals the original rational function. The process of partial fraction decomposition is the process of finding such numerators. The result is an expression that can be more easily integrated or antidifferentiated.

There are various methods of partial fraction decomposition. One method is the method of equating coefficients. This involves matching terms with equivalent powers and performing algebra to find missing coefficients. It is a common method, and one based on the method of undetermined coefficients. Alternative methods include one based on Lagrange interpolation, another based on residues and more.

The study of partial fraction decomposition is important to calculus, differential equations and other areas, and is also known as partial fraction expansion.


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