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3.1: Ungleichungen in einer Variablen


Beim Erlernen von Bereich und Bereich haben Sie Ungleichungen kennengelernt und die Verwendung von Set-Builder und Intervallnotation zu ihrer Darstellung verwendet. Der Prozess ist dem Lösen von Gleichungen sehr ähnlich, aber anstatt dass die Lösung ein einzelner Wert ist, wird die Lösung eine Ungleichung sein.

Beachten Sie, dass, wenn eine Ungleichung wahr ist, wie 2 < 5, diese Operationen ebenfalls zu einer wahren Aussage führen, genau wie bei Gleichungen:

Hinzufügen einer Zahl zu beiden Seiten:

2 + 4 < 5 + 4 6 < 9 Wahr

Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten:

2 – 3 < 5 – 3 -1 < 2 Wahr

Multiplizieren einer positiven Zahl auf beiden Seiten:

2(3) < 5(3) 6 < 15 Wahr

Auf beiden Seiten durch eine positive Zahl dividieren:

2/2 < 5/2 1 < 2,5 Wahr

Wir können diese Operationen wie beim Lösen von Gleichungen verwenden.

Beispiel (PageIndex{1})

Löse [3x + 7 geq 1 onumber]

Lösung

[3x + 7 geq 1 onumber]

Subtrahiere 7 von beiden Seiten

[3x geq - 6keineZahl ]

Teilen Sie beide Seiten durch 3

[x geq - 2keineZahl ]

Diese Ungleichung repräsentiert die Lösungsmenge. Es sagt uns, dass alle Zahlen größer oder gleich -2 die ursprüngliche Ungleichung erfüllen. Wir könnten diese Lösung auch in Intervallnotation schreiben, als ( [ - 2,infty )).

Um zu verstehen, was passiert, könnten wir das Problem auch grafisch betrachten. Wenn wir die Gleichung (y = 3x + 7 ) grafisch darstellen würden, dann würde das Lösen von (3x + 7 geq 1 ) der Frage entsprechen „für welche Werte von (x) ist (y geq 1 .) )“. Beachten Sie, dass der Teil des Graphen, in dem dies zutrifft, dem entspricht, wo (x geq - 2).

Während die meisten Operationen beim Lösen von Ungleichungen dieselben sind wie beim Lösen von Gleichungen, stoßen wir auf ein Problem, wenn wir beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren. Beachten Sie zum Beispiel:

2(-3) < 5(-3) -6 < -15 Nicht Wahr

Um dies zu berücksichtigen, müssen wir beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl das Vorzeichen der Ungleichung umkehren.

Regeln zum Lösen linearer Ungleichungen

  1. Sie können auf beiden Seiten der Ungleichung eine positive oder negative Zahl addieren oder subtrahieren.
  2. Sie können beide Seiten der Ungleichung mit einer positiven Zahl multiplizieren oder dividieren.
  3. Sie können beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, müssen jedoch die Richtung der Ungleichung umkehren.

Beispiel (PageIndex{2})

Löse [12 - 4x < 6 onumber]

Lösung

[12 - 4x < 6keineZahl ]

Subtrahiere 12 von beiden Seiten

[ - 4x < - 6keineZahl ]

Teilen Sie beide Seiten durch -4 und kehren Sie die Richtung der Ungleichung um

[x > frac{ - 6}{ - 4} onumber ]

Vereinfachen

[x > frac{3}{2} onumber]

Übung (PageIndex{1})

Löse: [6 + 2x leq 18 + 5xkeine Zahl ]

Antworten

[x geq - 4keine Zahl ]

Beispiel (PageIndex{3})

Ein Unternehmen gibt 1200 US-Dollar pro Tag für Gemeinkosten und Arbeit aus, und jeder Artikel, den es produziert, kostet 5 US-Dollar für Material. Wenn sie die Artikel für jeweils 15 US-Dollar verkaufen, wie viele Artikel müssen sie jeden Tag verkaufen, damit ihre Gewinne positiv sind?

Lösung

Wir könnten dieses Problem zwar mit Gleichungen lösen, es eignet sich aber auch für Ungleichungen, da der Gewinn positiv sein soll: (P > 0).

Kosten: (C(q) = 1200 + 5q)

Umsatz: (R(q) = 10q)

Gewinn: (P(q) = 10q – (1200 + 5q) = 5q – 1200)

Auflösen von (P(q) > 0):

[egin{align*} 5q – 1200 &> 0 5q &> 1200 q &> 240 end{align*}]

Das Unternehmen muss mindestens 240 Artikel pro Tag reduzieren, um einen Gewinn zu erzielen.

Zusammengesetzte Ungleichungen

Zusammengesetzte Ungleichungen sind Ungleichungen, die aus mehr als einem Teil bestehen. Der häufigste Typ wird als dreigliedrige Ungleichung bezeichnet. Die Basisversion sieht so aus:

[ - 1 < 3x + 5 < 14keine Zahl ].

Wenn wir diese schreiben, ist es wichtig, dass beide Ungleichungen in die gleiche Richtung zeigen und dass auch die „äußere“ Ungleichung gilt – in diesem Fall ist (-1 < 14) wahr, also gilt dies. Ausdrücke wie (10 < x < 2 ) und (1 < x > 5 ) sind nicht gültige Schreibweise.

Der universellste Weg, eine dreigliedrige Ungleichung zu lösen, ist:

  1. Brechen Sie es in zwei getrennte Ungleichungen auf
  2. Lösen Sie jede Ungleichung separat
  3. Kombinieren Sie die Lösungen, wenn möglich.

Beispiel (PageIndex{4})

Löse [ - 1 < - 3x + 5 < 14keine Zahl ]

Lösung

Zuerst trennen wir dies in zwei Ungleichungen:

[ - 1 < - 3x + 5 quad ext{und} quad - 3x + 5 < 14 onumber]

Jetzt lösen wir jedes:

[ - 6 < - 3x quad ext{und} quad -3x < 9 onumber]

[2 > x onumber quad ext{und} quad x > - 3 onumber]

Jetzt können wir diese Lösungsmengen kombinieren. Die Zahlen, bei denen sowohl (2 > x) als auch (x > - 3 ) wahr sind, sind die Menge:

[2 > x > - 3keine Zahl ]

Obwohl diese Lösung gültig und richtig ist, ist es üblicher, die Lösung dreiteiliger Ungleichungen mit der kleineren Zahl links zu schreiben. Wir könnten die Lösung umschreiben als:

[ - 3 < x < 2keine Zahl ]

Dies hat auch den Vorteil, dass die Antwort in Intervallnotation besser korrespondiert: ((-3, 2))

Bei dieser speziellen Ungleichung wäre es auch möglich, den Schritt des Aufbrechens zu überspringen und stattdessen nur 5 von allen drei „Teilen“ der Ungleichung abzuziehen. Dies funktioniert bei einfachen Problemen wie diesem, kann jedoch fehlschlagen, wenn die Ungleichung Variablen in mehr als einem „Teil“ der Ungleichung enthält.

Übung (PageIndex{2})

Löse: [4 leq 2x + 6 < 16 onumber]

Antworten

[-1 leq x < 5 onumber]

In Intervallnotation ist dies ( [-1, 5) ).

Absolutwert

Bisher haben wir uns in diesem Abschnitt mit linearen Ungleichungen befasst. Wir wenden uns nun den Absolutwertungleichungen zu. Die Absolutwertfunktion ist eine stückweise definierte Funktion, die aus zwei linearen Funktionen besteht.

Absolutwert einer Funktion

Die Absolutwertfunktion kann definiert werden als

[f(x) = left| x echts| = left{ egin{array}{*{20}{c}} x & ext{ if }& x geq 0 - x& ext{ if }& x < 0end{array} richtig. onumber]

Der Graph des Absolutwerts sieht wie ein V aus:

Die Absolutwertfunktion wird häufig verwendet, um den Abstand zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl zu bestimmen. Bei zwei Werten (a) und (b) ergibt (left| a - b ight|) den Abstand, eine positive Größe, zwischen diesen Werten, unabhängig davon, welcher Wert größer ist.

Beispiel (PageIndex{5})

Beschreiben Sie alle Werte (x) im Abstand von 4 von der Zahl 5.

Lösung

Wir möchten, dass der Abstand zwischen (x) und 5 kleiner oder gleich 4 ist. Der Abstand kann mit dem Absolutwert dargestellt werden, wodurch der Ausdruck

[links| x - 5 echts| leq 4 onumber]

Beispiel (PageIndex{6})

Eine Umfrage aus dem Jahr 2010 ergab, dass 78 % der Amerikaner glauben, dass Menschen, die schwul sind, in der Lage sein sollten, dem US-Militär zu dienen, mit einer Fehlerquote von 3 %[1]. Die Fehlerquote sagt uns, wie weit der tatsächliche Wert vom Umfragewert abweichen könnte[2]. Drücken Sie die Menge der möglichen Werte mit absoluten Werten aus.


[1] http://www.pollingreport.com/civil.htm, abgerufen am 4. August 2010

[2] Technisch gesehen bedeutet die Fehlerquote normalerweise, dass die Gutachter zu 95 % sicher sind, dass der tatsächliche Wert in diesen Bereich fällt.

Lösung

Da die Differenz zwischen dem tatsächlichen Prozentsatz (p) und dem gemeldeten Prozentsatz weniger als 3% betragen soll,

[links| p - 78 ight| leq 3 onumber]

Übung (PageIndex{3})

Schüler, die weniger als 20 von 80 Punkten erreichen, bestehen den Test. Schreiben Sie dies als Abstand von 80 in der Absolutwertschreibweise.

Antworten

Verwenden der Variablen (p) zum Übergeben, [left| {p - 80} ight| leq 20 onumber]

Lösen von Absolutwertgleichungen

Um eine Gleichung wie (8 = left| 2x - 6 ight|) zu lösen, können wir feststellen, dass der Absolutwert gleich acht ist, wenn die Größe Innerhalb der absolute Wert war 8 oder -8. Dies führt zu zwei verschiedenen Gleichungen, die wir unabhängig voneinander lösen können:

[egin{align*} 2x - 6 &= 8 2x &= 14 x &= 7 end{align*}]

oder

[egin{align*} 2x - 6 &= - 8 2x &= - 2 x &= - 1 end{align*}]

Lösungen für Absolutwertgleichungen

Eine Gleichung der Form (left|A ight| = B) mit (Bgeq 0) hat Lösungen, wenn

[A = B quad ext{or} quad A = -B onumber]

Beispiel (PageIndex{7})

Löse: (0 = left| 4x + 1 ight| - 7)

Lösung

[0 = left| {4x + 1} echts| - 7keineZahl]

Isolieren Sie den Absolutwert auf einer Seite der Gleichung

[7 = links| {4x + 1} echts| keine Nummer]

Jetzt können wir dies in zwei separate Gleichungen aufteilen:

[ egin{align*} 7 &= 4x + 1 6 &= 4x x &= frac{6}{4} = frac{3}{2} end{align*} ]

oder

[ egin{align*} - 7 &= 4x + 1 - 8 &= 4x x &= frac{- 8}{4} = - 2 end{align*} ]

Es gibt zwei Lösungen: (x = frac{3}{2}) und (x = -2).

Beispiel (PageIndex{8})

Löse (1 = 4links| x - 2 echts| + 2)

Lösung

Isolieren des Absolutwertes auf einer Seite der Gleichung,

[egin{align*} 1 &= 4left| x - 2 echts| + 2 -1 &= 4links| x - 2 echts| - frac{1}{4} &= left| x - 2 echts| end{ausrichten*}]

An dieser Stelle stellen wir fest, dass diese Gleichung keine Lösungen hat – der Absolutwert gibt immer einen positiven Wert zurück, daher ist es unmöglich, dass der Absolutwert einem negativen Wert entspricht.

Übung (PageIndex{4})

Finden Sie die horizontalen & vertikalen Achsenabschnitte für die Funktion (f(x) = - left| {x + 2} ight| + 3)

Antworten

Horizontal: ( (1,0) ) und ((-5,0 ))

Vertikal: ((0,1))

Absolute Wertungleichungen lösen

Wenn Absolutwertungleichungen geschrieben werden, um eine Menge von Werten zu beschreiben, wie die Ungleichung (left| x - 5 ight| leq 4), die wir zuvor geschrieben haben, ist es manchmal wünschenswert, diese Menge von Werten ohne den Absolutwert auszudrücken , entweder mit Ungleichungen oder mit Intervallnotation.

Wir werden zwei Ansätze zur Lösung von Absolutwertungleichungen untersuchen:

  1. Verwenden einer Grafik
  2. Testwerte verwenden

Beispiel (PageIndex{9})

Löse [left| {x - 5} ight| leq 4 onumber]

Lösung

Bei beiden Ansätzen müssen wir zunächst wissen, wo die entsprechenden Gleichberechtigung ist wahr. In diesem Fall finden wir zuerst wo (left| {x - 5} ight| = 4). Wir tun dies, weil der Absolutwert eine nette benutzerfreundliche Funktion ohne Unterbrechungen ist. Die einzige Möglichkeit, wie die Funktionswerte von kleiner als 4 auf größer als 4 umgestellt werden können, besteht darin, die Werte gleich 4 zu durchlaufen. Löse (left |{x - 5} echts| = 4),

[egin{align*} x - 5 &= 4 x &= 9 end{align*}]

oder

[egin{align*} x - 5 = - 4 x = 1 end{align*} ]

Um einen Graphen zu verwenden, können wir die Funktion (f(x) = left|{x - 5} ight|) skizzieren. Um zu sehen, wo die Ausgaben 4 sind, könnte auch die Linie (g(x) = 4) skizziert werden.

In der Grafik können wir sehen, dass die Ausgabewerte des Absolutwerts bei (x = 1) und (x = 9) tatsächlich gleich 4 sind. Basierend auf der Form des Graphen können wir feststellen, dass der Absolutwert zwischen diesen beiden Punkten kleiner oder gleich 4 ist, wenn (1 leq x leq 9). In Intervallnotation wäre dies das Intervall ([1,9]).

Als Alternative zur grafischen Darstellung wissen wir, dass nach der Bestimmung, dass der Absolutwert bei (x = 1) und (x = 9) gleich 4 ist, der Graph sich nur von kleiner als 4 zu größer als 4 bei . ändern kann diese Werte. Dadurch wird die Zahlenreihe in drei Intervalle unterteilt: (x<1, 19). Um zu bestimmen, wann die Funktion kleiner als 4 ist, könnten wir in jedem Intervall einen Wert auswählen und sehen, ob die Ausgabe kleiner oder größer als 4 ist.

[egin{array}{llll}
ext { Intervall } & ext { Test } x & f(x) & <4 ext { oder }>4 ?
hline x<1 & 0 & |0-5|=5 & ext {größer}
1x>9 & 11 & |11-5|=6 & ext {größer}
end{array}
keine Nummer]

Da (1 leq x leq 9) das einzige Intervall ist, in dem die Ausgabe beim Testwert kleiner als 4 ist, können wir die Lösung von (left| {x - 5} ight|leq 4) ist (1leq x leq 9).

Beispiel (PageIndex{10})

Gegeben sei die Funktion (f(x) = - frac{1}{2}left| {4x - 5} ight| + 3), bestimme, für welche (x)-Werte die Funktionswerte negativ sind.

Lösung

Wir versuchen zu bestimmen, wo (f(x) < 0), also (- frac{1}{2}left| {4x - 5} ight| + 3 < 0). Wir isolieren zunächst den Absolutwert:

[- frac{1}{2}left| {4x - 5} ight| < - 3 onumber]

Wenn wir beide Seiten mit -2 multiplizieren, kehrt sich die Ungleichung um,

[links| {4x - 5} ight| > 6 keineZahl ]

Als nächstes lösen wir nach der Gleichheit (left| {4x - 5} ight| = 6)

[egin{align*} 4x - 5 &= 6 4x &= 11 x &= frac{11}{4} end{align*} onumber]

oder

[egin{align*} 4x - 5 &= - 6 4x &= - 1 x &= frac{- 1}{4} end{align*} ]

Wir können nun entweder Testwerte auswählen oder einen Graphen der Funktion skizzieren, um zu bestimmen, in welchen Intervallen der ursprüngliche Funktionswert negativ ist. Beachten Sie, dass es nicht einmal wirklich wichtig ist, wie der Graph genau aussieht, solange wir wissen, dass er die horizontale Achse bei (x = frac{-1}{4}) und (x = frac{ 11}{4}), und dass der Graph gespiegelt wurde.

Aus dem Graph der Funktion können wir sehen, dass die Funktionswerte links vom ersten horizontalen Achsenabschnitt bei (x = frac{ - 1}{4}) negativ und rechts vom zweiten Achsenabschnitt bei . negativ sind (x = frac{11}{4}). Damit erhalten wir die Lösung der Ungleichung:

[x < frac{-1}{4}quad ext{oder} quad x > frac{11}{4} onumber]

In Intervallnotation wäre dies (left( - infty ,frac{ - 1}{4} ight) cup left( frac{11}{4},infty ight))

Übung (PageIndex{6})

Löse ( - 2left|k - 4 ight|leq - 6)

Antworten

(k < 1 ) oder (k > 7); in Intervallnotation wäre dies (left( -infty ,1 ight) cup left( 7,infty ight))

Es gibt einen dritten Ansatz zur Lösung absoluter Wertungleichungen, der formelhaft ist. Obwohl es funktioniert und Sie es gerne verwenden können, ist es viel wahrscheinlicher, dass Sie sich an die anderen Ansätze erinnern.

Lösungen für absolute Wertungleichheiten

Um (left| A ight| < B ) zu lösen, löse: ( - B < A < B)

Um (left| A ight| > B ) zu lösen, löse: (A > B ) oder (A < - B )

Beispiel (PageIndex{11})

Löse (3left| x + 4 ight| - 2 geq 7)

Lösung

Wir müssen damit beginnen, den absoluten Wert zu isolieren:

[3links| {x + 4} echts| - 2 geq 7keine Zahl ]

2 auf beiden Seiten hinzufügen

[3links| {x + 4} echts| geq 9keineZahl ]

Teilen Sie beide Seiten durch 3

[links| {x + 4} echts| geq 3keineZahl ]

Jetzt können wir das auseinanderbrechen und jedes Teil einzeln lösen:

[egin{align*} x + 4 &geq 3 onumber x &geq - 1end{align*} ]

oder

[egin{align*} x + 4 &leq - 3 x &leq - 7 end{align*} ]

In Intervallnotation wäre dies (( -infty , -7] cup [ -1,infty )).

Wichtige Themen dieses Abschnitts

Die Eigenschaften der Absolutwertfunktion

Absolutwertgleichungen lösen

Intercepts finden

Absolutwertungleichungen lösen


UNGLEICHHEITEN IN EINER VARIABLE

In den Abschnitten 1.1 und 2.1 haben wir gesehen, dass bei zwei verschiedenen Zahlen der Graph der kleineren Zahl auf einem Zahlenstrahl links vom Graphen der größeren Zahl liegt. Diese Ordnungsbeziehungen können mit den folgenden Symbolen ausgedrückt werden:

&le bedeutet "ist kleiner oder gleich",

&ge bedeutet "ist größer oder gleich."

"1 ist kleiner als 3" kann als 1 -5 geschrieben werden.

"2 ist kleiner oder gleich x" kann als 2 &le x geschrieben werden.

"4 ist größer oder gleich y" kann als 4 &ge y geschrieben werden.

Aussagen, die eines der obigen Symbole beinhalten, werden als Ungleichungen bezeichnet. Ungleichheiten wie

werden als von entgegengesetzter Ordnung oder entgegengesetzter Bedeutung bezeichnet, weil in einem Fall das linke Element kleiner als das rechte Element ist und im anderen Fall das linke Element größer als das rechte Element ist.

EIGENSCHAFTEN VON UNGLEICHHEITEN

In Abschnitt 3.1 haben wir gesehen, dass eine Gleichung ersten Grades in einer Variablen nur eine Lösung hat. Aber eine Ungleichung ersten Grades hat unendlich viele Lösungen. Die Graphen der unendlich vielen ganzzahligen Lösungen der Ungleichung x > 3 sind beispielsweise in Abbildung 3.1 dargestellt.

Manchmal ist es nicht möglich, die Lösungen einer gegebenen Ungleichung einfach durch Inspektion zu bestimmen. Aber mit den folgenden Eigenschaften können wir äquivalente Ungleichungen (Ungleichungen mit gleichen Lösungen) bilden, bei denen die Lösung durch Inspektion offensichtlich ist.

1. Wenn zu jedem Element einer Ungleichung derselbe Ausdruck hinzugefügt oder davon abgezogen wird, ist das Ergebnis eine äquivalente Ungleichung in derselben Reihenfolge.

a Beispiel 1 a. Denn 3 Beispiel 2 a. Denn 2 0,

5(z) Beispiel 3 a. Weil 3 5( -2) oder -6 >-10

Die drei obigen Eigenschaften gelten auch für Ungleichungen der Form a > b, sowie ein Beispiel 4 Löse , wobei x eine ganze Zahl ist.

Lösung Durch Multiplizieren jedes Mitglieds mit 2 (eine positive Zahl) haben wir

Dann teilen wir jedes Mitglied durch 3, wir erhalten

Der Graph dieser Ungleichung ist

Im obigen Beispiel waren alle Ungleichungen in der gleichen Reihenfolge, da wir oben nur Eigenschaft 2 angewendet haben. Betrachten Sie nun die folgende Ungleichung.

Beispiel 5 Lösen - 3x + 1 > 7, wobei x eine ganze Zahl ist.

Lösung hinzufügen - 1 für jedes Mitglied, wir erhalten

Jetzt wenden wir Eigenschaft 3 an und teilen jedes Mitglied durch -3. In diesem Fall müssen wir die Reihenfolge der Ungleichung umkehren.

Bei der Lösung von Wortaufgaben mit Ungleichungen befolgen wir die auf Seite 115 beschriebenen sechs Schritte, außer dass das Wort Gleichung durch das Wort Ungleichung ersetzt wird.


3.1: Ungleichungen in einer Variablen

Dieser Kurs richtet sich an Studenten, die eine solide algebraische Grundlage grundlegender mathematischer Konzepte schaffen möchten, um daraus weiterführende Kurse zu belegen, die Konzepte aus Präkalkül, Kalkül, Wahrscheinlichkeit und Statistik verwenden. Dieser Kurs wird Ihnen helfen, Ihre Berechnungsmethoden zu festigen, algebraische Formeln und Eigenschaften zu überprüfen und diese Konzepte anzuwenden, um reale Situationen zu modellieren. Dieser Kurs richtet sich an alle Studenten, die algebraische Fähigkeiten in zukünftigen Mathematikkursen anwenden werden. Themen sind: die reellen Zahlen, Gleichungen, Ungleichungen, Polynome, rationale Ausdrücke und Gleichungen, Graphen, Beziehungen und Funktionen, Radikale und Exponenten und quadratische Gleichungen.

Modul 3: Ungleichungen lösen

Die relative Position zweier Punkte auf einer Koordinatenlinie wird verwendet, um eine Ungleichungsbeziehung auf der Menge der reellen Zahlen zu definieren. Wir sagen, dass a kleiner als b ist, geschrieben a<b, wenn die reelle Zahl a links von der reellen Zahl b auf der Koordinatenlinie liegt. Aus dieser Definition folgen natürlich andere Ungleichungen.


Lineare Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen

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Lineare Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen

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Formative Assessment-Lektion 1 Artikel anzeigen 1 Artikel ausblenden

Eine Formative Assessment-Lektion (auch als Classroom-Challenge bekannt) ist eine sorgfältig gestaltete Lektion, die sowohl den Lehrern hilft zu verstehen, wie die Schüler die Mathematik der Einheit verstehen, als auch den Schülern die Möglichkeit bietet, ihr Verständnis dieser Mathematik zu wiederholen und zu vertiefen.

EIN Klassenzimmer-Challenge (auch bekannt formative Assessment-Lektion) ist eine klassenzimmerfertige Lektion, die die formative Assessment unterstützt. Der Ansatz der Lektion ermöglicht es den Schülern zunächst, ihr vorheriges Verständnis und ihre Fähigkeiten bei der Anwendung der mathematischen Praktiken zu demonstrieren, und bezieht die Schüler dann mit ein, ihre eigenen Schwierigkeiten und Missverständnisse durch strukturierte Diskussionen zu lösen.

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Re-Engagement 1 Artikel anzeigen 1 Artikel ausblenden

Wiedereingliederung bedeutet, auf ein bekanntes Problem oder eine bekannte Aufgabe zurückzugehen und es auf andere Weise, mit einer neuen Linse oder tiefer in die Mathematik zu betrachten. Dies geschieht oft durch das Zeigen von Beispielen der Schülerarbeit und das Bereitstellen von Aufforderungen, die Schülern helfen, die mathematischen Ideen anders zu denken. Dieser Leitfaden enthält weitere Informationen zur Gestaltung von Wiedereingliederungsstunden für Ihre Schüler, die Sie jederzeit während einer Einheit verwenden können, in der es Ihrer Meinung nach hilfreich für die Schüler ist, eine bestimmte mathematische Idee zu wiederholen, bevor sie fortfahren.

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Bewertung am Ende der Einheit 3 ​​Artikel anzeigen 3 Artikel ausblenden

Die Abschlussprüfung soll zeigen, wie die Schüler die Mathematik in Bezug auf das Jahresziel einer Regents-Prüfung verstehen. Um die Beibehaltung zu unterstützen, werden die Bewertungen am Ende der Einheit absichtlich mit spiralförmigen Fragen aus früheren Einheiten gestaltet.

Wie sind Ihre Studenten nach dieser Einheit auf die Regents-Prüfung am Ende des Kurses vorbereitet? Das Ende der Einheitsbewertung soll zeigen, wie die Schüler die Mathematik in der Einheit verstehen. Es enthält spiralförmige Multiple-Choice- und konstruierte Antwortfragen, die mit denen der Regents-Prüfung am Ende des Kurses vergleichbar sind. Eine umfangreiche Aufgabe, die mehrere Einstiegspunkte und eine authentische Bewertung des Lernens der Schüler ermöglicht, kann für einige Einheiten verfügbar sein und als Teil der Bewertung am Ende der Einheit enthalten sein. Alle Elemente der Bewertung am Ende der Einheit sind an den NYS Mathematics Learning Standards und der Priorisierung des PARCC Model Frameworks ausgerichtet.

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Ungleichungen in einer Variablen grafisch darstellen

Die Lösungen der Ungleichungen lassen sich als Strahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen. Ist die Ungleichung "streng" ( < oder > ), verwenden wir an offener Punkt um anzuzeigen, dass der Endpunkt des Strahls nicht Teil der Lösung ist. Für die anderen Arten von Ungleichungen ( &le und &ge ), wir benutzen ein geschlossener Punkt .

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Addieren und Subtrahieren von Ungleichungen

Genau wie bei Gleichungen gibt es eine Reihe von Eigenschaften der Ungleichung Ein Regelwerk für Ungleichungen, das beschreibt, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division auf beide Seiten einer Ungleichung angewendet werden kann, um eine äquivalente Ungleichung zu erzeugen. die uns helfen, mit diesen Arten von Beziehungen zu arbeiten.

Additions- und Subtraktionseigenschaften der Ungleichung

Beginnen wir mit Addition und Subtraktion und der einfachen Ungleichung `a>b` . Wenn wir auf der linken Seite eine Größe `c` hinzufügen wollen, müssen wir sie auch auf der rechten Seite hinzufügen, um die Ungleichung wahr zu halten. Wir können diese Eigenschaft schreiben als:

Das Alter der Menschen dient als gutes Beispiel aus der Praxis, um diese Eigenschaft zu modellieren. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie kennen zwei Personen: Adam und Bernard. Sie wissen, dass Adam älter ist als Bernard (obwohl Sie nicht wissen, wie viel älter Sie sind). Wird Adam in einigen Jahren noch älter sein als Bernard? Natürlich! Adam ist von Anfang an älter, und sie altern im gleichen Maße. In algebraischer Weise könnten Sie diese Ungleichung wie folgt darstellen:

dann Adams Alter `+` einigen Jahren `>` Bernhards Alter `+` die gleiche Anzahl von Jahren.

Die Subtraktionseigenschaft ist ähnlich. Wenn wir wieder mit der Ungleichung `a>b` beginnen und `c` von `a` subtrahieren, dann müssen wir auch `c` von `b` subtrahieren, um die Beziehung aufrechtzuerhalten. Wir können diese Eigenschaft schreiben als:

Auch das Altersbeispiel kann Ihnen helfen, diese Beziehung zu verstehen: Wenn Adam jetzt älter als Bernard ist, dann war Adam vor fünf Jahren auch älter als Bernard (weil Bernard auch fünf Jahre jünger war). Sie können diese Ungleichung darstellen als:


Einheit 3: Lineare Ausdrücke und Gleichungen/Ungleichungen mit einer Variablen

Identifizieren Sie Eigenschaften von Operationen, die zu äquivalenten linearen Ausdrücken führen.

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Verwenden Sie Eigenschaften von Gleichungen, um äquivalente Gleichungen zu analysieren und zu schreiben.

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Lösen Sie lineare Gleichungen mit einer Variablen unter Verwendung von Gleichheitseigenschaften.

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Lösen Sie Gleichungen mit einer Variablen im Nenner.

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Lösen Sie nach einer Variablen in einer Gleichung oder Formel auf.

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Thema B: Modellierung mit linearen Gleichungen mit einer Variablen

Schreiben Sie Gleichungen mit definierten Variablen, um eine kontextuelle Situation darzustellen.

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Definieren Sie Variablen, schreiben und lösen Sie Gleichungen, um eine kontextbezogene Situation darzustellen.

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Schreiben und lösen Sie Gleichungen, um kontextbezogene Situationen darzustellen, in denen Schätzungen und Einheitenumrechnungen erforderlich sind.

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Modellieren Sie eine kontextuelle Situation und treffen Sie basierend auf dem Modell eine fundierte Entscheidung.

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Thema C: Eigenschaften und Lösungen von linearen Ungleichungen mit einer Variablen

Lösen Sie unbegrenzte Ungleichungen mit einer Variablen in kontextuellen und nicht kontextuellen Situationen.

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Schreiben Sie zusammengesetzte Ungleichungen mit einer Variablen und stellen Sie sie graphisch dar, um die Lösung für kontextbezogene und nicht kontextbezogene Situationen zu beschreiben.

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Lösen und grafisch darstellen von zusammengesetzten Ungleichungen, bei denen algebraische Manipulationen in kontextuellen und nicht kontextuellen Situationen erforderlich sind.

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Verstehen

Die Studierenden entwickeln ein Gespür für „ordnungs- und lösungserhaltende“ Bewegungen, die auf Ungleichungen angewendet werden können, und wie diese Bewegungen mit der Lösungsmenge einer Ungleichung zusammenhängen.

Wonach schauen

Die Schüler werden auf die Tatsache stoßen, dass die Multiplikation beider Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl die Ordnung nicht erhält.

Beispielbewertung

Was sind alle möglichen ganzen Zahlen, die 8-___>3 wahr machen?

A. 0, 1, 2, 3, 4, 5
B. 0, 1, 2, 3, 4
C. 0, 1, 2
D. 5

Die große Idee

Die Lösung einer Ungleichung in einer Variablen zu finden beinhaltet vier Ideen:
1. Die kleinere von zwei Zahlen steht links von der größeren
2. Wenn eine Zahl kleiner als eine andere ist, (a < b), dann wird ein positives (c) zu (a) hinzugefügt (b) ((a+c = b) )
3. der Gleichheitspunkt (Grenzpunkt) teilt eine Menge von Werten in Werte größer und kleiner als dieser Punkt und
4. einige Operationen auf beiden Seiten einer Ungleichung behalten die Reihenfolge bei und andere nicht (insbesondere Multiplizieren oder Dividieren mit einer Zahl ungleich Null).

Was machen die Schüler?

Die Schüler denken über ordnungserhaltende und lösungserhaltende Züge nach, während sie interaktive Visuals auf einem Zahlenstrahl verwenden.

Was macht der Lehrer?

Fordern Sie die Schüler auf, darüber nachzudenken, wie sie Gleichungen lösen können, die in ähnlicher Weise auf die Lösung von Ungleichungen anwendbar sind.


Schau das Video: Lösen von Linearen Ungleichungen in zwei Variablen - Theorie u0026 Beispiele mit SKRIPT! (Oktober 2021).