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34: 17 In-Class-Aufgabe - Zerlegungen und Gaußsche Elimination


34: 17 In-Class-Aufgabe - Zerlegungen und Gaußsche Elimination

Schur ergänzt gehorchen Lambeks kategoriale Grammatik: Eine andere Ansicht der Gaußschen Elimination und der LU-Zerlegung

Seit drei Jahrzehnten finden Schur-Komplemente zunehmende Anwendung in der linearen Algebra, oft als Abstraktionen der Gaußschen Elimination. Es ist bekannt, dass sie bestimmten nicht trivialen Identitäten gehorchen, wie Crabtree und Haynsworth's Quotienteneigenschaft. Wir begannen diese Arbeit mit der Frage, ob es eine Theorie gibt, um ihre Eigenschaften im Allgemeinen zu bestimmen.

Lambeks Kategoriale Grammatik ist ein deduktives System, das 1958 von Lambek als mathematische Grundlage für eine syntaktische Sprachberechnung formalisiert wurde. Wir zeigen, dass die Kategoriale Grammatik ein deduktives System zur Ableitung von Identitäten liefert, die durch LU- und UL-Zerlegungen, Gaußsche Elimination und Schur-Komplemente gehorcht werden.

Auf den ersten Blick scheint dies ein seltsames Ergebnis zu sein, das zwei unzusammenhängende Themen verbindet. Im Nachhinein ist es jedoch eine Folge der Art und Weise, wie beide Quotienten verwenden. Es kann bei der Entwicklung grammatikalischer Formalismen und numerischer Algorithmen Anwendung finden.


Faustregel/TLDR: Verwenden Sie bei Berechnungen mit Gleitkommazahlen (z.

Längere Erklärung: Eine quadratische Matrix $A$ hat eine $LU$-Faktorisierung (ohne Pivotieren), wenn und nur wenn bei der Berechnung einer $LU$-Faktorisierung von $A$ keine Null in der Pivot-Position angetroffen wird. Wenn jedoch Berechnungen mit Gleitkommazahlen ein Pivot sind, das fast Null kann zu dramatischen Rundungsfehlern führen. Die einfache Problemumgehung besteht darin, die Zeilen der Matrix immer so zu permutieren, dass der größte von Null verschiedene Eintrag in einer Spalte als Pivot-Eintrag gewählt wird. Dies stellt sicher, dass niemals eine Nahezu Null gewählt wird. Das vollständige Pivotieren geht sogar noch weiter, indem es Zeilen- und Spaltenpermutationen verwendet, um den größten Eintrag in der gesamten Matrix als Pivot-Eintrag auszuwählen.

Der obige Absatz ist ein lockeres, intuitives Bild davon, warum Pivoting notwendig ist. Man kann auch scharfe Fehlergrenzen beweisen, indem man die Ausbreitung von Fehlern während der gesamten $LU$-Faktorisierungsberechnung sorgfältig verfolgt. Eine Möglichkeit, diese Fehlergrenze zu strukturieren, ist ein sogenanntes Rückwärtsfehlerschätzung. Bei einer Rückwärtsfehlerabschätzung zum Lösen eines linearen Gleichungssystems $Ax = b$ beschränkt man die Störung $E$, die notwendig ist, um die berechnete Lösung $hat$ erzeugt durch Gaußsche Elimination gefolgt von Rücksubstitution an genau Lösung eines nahegelegenen linearen Gleichungssystems $(A+E)hat = b$ . Eine rückwärts gerichtete Fehlerabschätzung kann sehr aufschlussreich sein, wenn beispielsweise die Matrix $A$ durch Messungen eines Engineering-Systems mit einer gewissen Fehlertoleranz bestimmt wird. Wenn die Einträge von $A$ nur bekannt sind $pm 1\%$ und der Rückwärtsfehler kleiner als .1\%$ ist, dann sind die numerischen Fehler, die während unserer Berechnungen gemacht wurden, kleiner als die Messfehler und wir haben a Gut gemacht. TLDR die Größe $E$ ist eine vernünftige Größe, um den Fehler bei einer $LU$-Faktorisierung und der resultierenden linearen Lösung zu messen.

Bei einer Gaußschen Elimination ohne Pivoting kann der Rückwärtsfehler beliebig groß sein. Glücklicherweise kann der Rückwärtsfehler $E$ für partielles Pivotieren begrenzt werden als $|E|_infty le 6n^3 ho |A|_infty u + mbox$ $<>^dolch$ . Dabei ist $|cdot|_infty$ die Operatormatrix $infty$ -norm und $u$ die Einheitsrundung, die die Genauigkeit von Gleitkommaberechnungen quantifiziert ( $u approx 10^<-16> $ für IEE-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit). Die Größe $ ho$ ist als Wachstumsfaktor für das partielle Pivotieren bekannt. Es ist zwar möglich, dass $ ho$ so groß wie $2^ . ist$ , in der Praxis wächst $ ho$ normalerweise sehr bescheiden mit $n$ . $<>^dagger$ In Bezug auf die Tatsache, dass $ ho$ in den meisten Anwendungen sehr bescheiden wächst, schrieb der legendäre numerische Analyst Kahan: dieses Phänomen." $<>^$

Dennoch kann man Matrizen aufschreiben, für die partielles Pivotieren aufgrund eines exponentiellen Wachstumsfaktors $ ho = 2^ . keine genaue Antwort liefert$. Wilkinson zeigte, dass der Wachstumsfaktor für komplett schwenkbar pivot ist im schlimmsten Fall viel kleiner $ ho le n^ <1/2>(2cdot 3^<1/2>cdots n^<1/n-1>)^<1/2>$ . In der Praxis beträgt $ ho$ für ein vollständiges Pivotieren fast immer weniger als $100$ . $<>^dolch$

Nachdem man sich eingehend mit den Details beschäftigt hat, sieht man, dass dies eine subtile Angelegenheit ist, und selbst im klassischen Gebiet der numerischen linearen Algebra klafft eine gewisse Kluft zwischen Theorie und Experiment. Im Allgemeinen ist die Gaußsche Elimination mit partiellem Pivotieren sehr zuverlässig. Sofern Sie nicht wissen, dass Sie ohne Pivotieren davonkommen können (symmetrische positiv definit und diagonal dominante Matrizen sind bemerkenswerte Beispiele), sollte man partielles Pivotieren verwenden, um ein genaues Ergebnis zu erhalten. (Oder kompensieren Sie mit etwas Cleverem. Zum Beispiel verwendet SuperLU "statisches Pivotieren", bei dem man vor dem Start der $LU$-Faktorisierung "nach bester Schätzung" Pivot und dann während der Faktorisierung kein Pivot durchführt. Der Genauigkeitsverlust dieses Ansatzes wird kompensiert durch mit wenigen Schritten iterativer Verfeinerung.)

Wenn das partielle Pivotieren nicht genau genug ist, kann man wegen des niedrigeren Wachstumsfaktors stattdessen zum vollständigen Pivotieren übergehen. Wie user3417 hervorhebt, gibt es andere Möglichkeiten, $Ax = b$ zu lösen, als auf der $LU$-Faktorisierung basierende Ansätze zu verwenden, und diese können schneller und genauer sein als die Gaußsche Elimination mit vollständigem Pivotieren. Die Faktorisierung $QR$ wird beispielsweise in den Operationen $O(n^3)$ ausgeführt und hat keinen Wachstumsfaktor. Es kann spezielle Fälle geben, in denen man wirklich eine $LU$-Faktorisierung verwenden möchte: zum Beispiel kann ein auf Gaußsche Eliminierung basierender Ansatz verwendet werden, um strukturerhaltende Faktorisierungen einer Cauchy-ähnlichen Matrix zu konstruieren. In diesem Fall kann das vollständige Schwenken (oder das Turmschwenken eines nahen Cousins) der beste Ansatz sein.

$<>^dagger$ Referenz von Golub und Van Loan Matrixberechnungen Vierte Ausgabe Kapitel 3.4

$<>^$ Zitiert in Highams Genauigkeit und Stabilität numerischer Algorithmen Zweite Ausgabe Kapitel 9


LU steht für ‘Lower Upper’, und daher ist eine LU-Zerlegung einer Matrix (A) eine Zerlegung, so dass

wobei (L) das untere Dreieck und (U) das obere Dreieck ist.

Nun ist die LU-Zerlegung im Wesentlichen eine Gaußsche Elimination, aber wir arbeiten nur mit der Matrix (A) (im Gegensatz zur erweiterten Matrix).

Sehen wir uns an, wie die Gaußsche Elimination (ge) funktioniert. Wir werden uns der Kürze halber mit einem (3 imes 3)-Gleichungssystem befassen, aber hier verallgemeinert sich alles auf den (n imes n)-Fall. Betrachten Sie die folgende Gleichung:

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Matrix (A) ganz links nicht singulär ist. Um das System mit ge zu lösen, beginnen wir mit der ‘erweiterten Matrix’:

Wir beginnen mit dem ersten Eintrag, (a_<11>) . Wenn (a_ <11> eq 0) , dann dividieren wir die erste Zeile durch (a_<11>) und ziehen dann das entsprechende Vielfache der ersten Zeile von jeder der anderen Zeilen ab, um den ersten Eintrag auf Null zu setzen aller Reihen. (Wenn (a_<11>) null ist, müssen wir Zeilen permutieren. Wir werden hier nicht näher darauf eingehen.) Das Ergebnis ist wie folgt:

Wir wiederholen den Vorgang für die zweite Zeile, indem wir zuerst durch den führenden Eintrag dividieren und dann das entsprechende Vielfache der resultierenden Zeile von jeder der dritten und ersten Zeile subtrahieren, so dass der zweite Eintrag in Zeile 1 und in Zeile 3 Null ist. Wir könnten fahren Sie fort, bis die Matrix auf der linken Seite die Identität ist. In diesem Fall können wir dann einfach die Lösung ‘ablesen’: d.h. der Vektor (x) ist der resultierende Spaltenvektor rechts. Normalerweise ist es effizienter, bei anzuhalten reduzierte Reihenschaltung bilden (oberes Dreieck, mit Einsen auf der Diagonale) und dann zurück Substitution um die endgültige Antwort zu erhalten.

Beachten Sie, dass es in einigen Fällen erforderlich ist, Zeilen zu permutieren, um eine reduzierte Zeilenstufenform zu erhalten. Das nennt man teilweise schwenkbar. Wenn wir auch Spalten manipulieren, heißt das voll schwenkbar.

Es sollte erwähnt werden, dass wir die Inverse einer Matrix mit ge erhalten können, indem wir die Matrix (A) auf die Identität reduzieren, mit der Identitätsmatrix als vergrößertem Anteil.

Nun, das ist alles in Ordnung, wenn wir ein System einmal für ein Ergebnis (b) lösen. Viele Anwendungen beinhalten Lösungen für mehrere Probleme, bei denen sich die linke Seite unserer Matrixgleichung nicht ändert, aber es gibt viele Ergebnisvektoren (b) . In diesem Fall ist es effizienter, zersetzen (EIN) .

Zuerst beginnen wir wie in ge, aber wir ‘halten den Überblick’ der verschiedenen Vielfachen, die erforderlich sind, um Einträge zu eliminieren. Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix

Wir müssen Zeile (1) mit (2) multiplizieren und von Zeile (2) subtrahieren, um den ersten Eintrag in Zeile (2) zu eliminieren, und dann Zeile (1) mit ( 4) und subtrahiere von Zeile (3) . Anstatt Nullen in die ersten Einträge der Zeilen (2) und (3) einzugeben, notieren wir die für ihre Eliminierung erforderlichen Vielfachen wie folgt:

Und dann eliminieren wir den zweiten Eintrag in der dritten Zeile:

Und jetzt haben wir die Zerlegung:

Wir können das System lösen, indem wir zwei Rücksubstitutionsprobleme lösen:

Diese sind beide (O(n^2)) , daher ist es effizienter zu zerlegen, wenn mehrere Ergebnisse zu lösen sind.

Beachten Sie, dass die numpy-Zerlegung teilweise schwenkbar (Matrixzeilen werden permutiert, um den größten Pivot zu verwenden). Dies liegt daran, dass kleine Pivots zu numerischer Instabilität führen können. Ein weiterer Grund, warum man nach Möglichkeit Bibliotheksfunktionen verwenden sollte!


Zeitplan für numerische Algorithmen

Dies ist ein vorläufiger Zeitplan für den Kurs und wird sich wahrscheinlich an anderer Stelle ohne vorherige Ankündigung ändern. Darüber hinaus werden Details zu den Hausaufgaben und Links zu den Ergebnissen Ihrer Kollegen zur Peer-Review veröffentlicht. Bitte konsultieren Sie daher regelmäßig den Zeitplan für Aufgabendetails, Fälligkeitstermine und Vergleichsergebnisse.

Prolegomena, Maschinenprobleme und numerische Darstellung, Einführung

Übersicht über Matrixalgebra, Gaußsche Elimination

Zusätzliche Tools für das Toolkit (Diese müssen nicht separat für eine Note eingereicht werden, werden aber verwendet, um andere Programmieraufgaben zu überprüfen.)

  • Matrixmultiplikation für beliebige Matrizen geeigneter Größe
  • Matrixaddition für beliebige Matrizen geeigneter Größe
  • Matrix-/Vektormultiplikation mit einem Skalar
  • Punktprodukt von Vektoren (n x 1 Matrizen)

Finden Sie Maschinenepsilon für Floats und Doubles (Fällig 15. Januar). Siehe und verwende Algorithmus 1.3.1 auf Seite 9 des Textes.

Erstellen und geben Sie ein Histogramm mit mindestens 50 Bins für eine Gaußsche Zufallsverteilung mit einem gleichmäßigen Zufallsverteilungsgenerator aus (Fälligkeit 20. Januar). Siehe und verwende (nach Bedarf) die Gleichungen mit den Nummern 1.6.10a und 1.6.10b auf Seite 20 des Textes. Stellen Sie sicher, dass der Mittelwert = 0 und die Standardabweichung = 1 für die von Ihnen erstellte Verteilung ist. Erstellen Sie schließlich eine Verteilung, deren Mittelwert = 73 und deren Standardabweichung = 16 ist, und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse.

Implementieren der Gauß-Jordan- und Gaußschen Eliminationsmethoden (Algorithmen 2.2.1 und 2.3.1)

Matrixinversen, Determinanten, LU-Zerlegung, Zustandszahl, schlecht konditionierte Systeme.

Erweitern Sie die Gauß-Jordan- und Gaußsche Eliminationsmethode, um Matrixinversen zu finden (Algorithmus 2.2.2) und passen Sie Algorithmus 2.3.1 an, um Matrixdeterminanten zu finden (Algorithmus 2.3.2). Hinweis: Wir bereiten die Anwendung von Matrixmethoden auf ein Bildverzerrungsproblem vor.


Kursnotizen

Wochen 9-10 (29. Februar - 11. März)

  • LP-Geometrie
  • Sensitivitätsanalyse
  • Die Geometrie der linearen Programmierung
  • Sensitivitätsanalyse
  • Sensitivitätsanalyse: Beispiel für Concrete Products Corp
  • Betonprodukte 2 (Lösungen)
  • Beispiel einer Familienfarm
  • Besprechen Sie die Modelle 11-20
  • Geometrische Dualität
  • Empfindlichkeitsprobleme

Woche 8 (22.-26. Februar)

  • Dualitätstheorie
  • LP-Geometrie
  • Der Dual-Simplex-Algorithmus
  • Die Geometrie der linearen Programmierung
  • Der Dual-Simplex-Algorithmus
  • Machen Sie Modelle 16-20
  • Kommentare vom Sortierer zu Quiz 4: Der Durchschnitt lag bei 60 / 80 Punkten. Bei Frage 1 verwechselten viele den Unterschied zwischen einem unbeschränkten Tableau und einem entarteten Tableau. Bei Frage 2 (dem Zweiphasen-Simplexalgorithmus) gab es viele Fehler. Ich würde empfehlen, Ihre Berechnungen während der Arbeit noch einmal zu überprüfen. Außerdem sind wahrscheinlich weniger Operationen erforderlich, wenn Sie die ``z-Reihe'' in Phase I nicht mitnehmen.

Woche 7 (16.-19. Februar)

  • 11/9: Dualitätstheorie
  • 11/17: Der fundamentale Satz der linearen Programmierung, der starken Dualität und der komplementären Schlaffheit
  • Komplementäre Schlaffheit
  • Zusätzliche Übung zur Simplex-Methode: Aufgaben 3.1,3.2,3.9,3.10 aus diesem Handout .

Woche 6 (8. - 12. Februar)

  • Abschnitt 3: Funktioniert der Simplex-Algorithmus?
  • Abschnitt 4: Dualitätstheorie
  • 2/8: Funktioniert der Simplex-Algorithmus?
  • 2/10: Der Zweiphasen-Simplex-Algorithmus
  • 2/12: Der Fundamentalsatz der LPs, starke Dualität, komplementäre Schlaffheit
  • Mache die Modelle 11-15. Abgabe in der Klasse am Mittwoch, den 17.02
  • Zweiphasen-Simplex-Algorithmus

Woche 5 (1. bis 5. Februar)

  • Abschnitt 3: Funktioniert der Simplex-Algorithmus?
  • Kommentare vom Sortierer zu Quiz 3:
  • 2/1,3: Funktioniert der Simplex-Algorithmus?
  • Wiederholen Sie die Aufgaben aus "Simplex Algorithm for LPs with Feasible Origin" unter Verwendung der linken Maultiplication mit Gaußschen Eliminationsmatrizen. Lernen Sie, die optimale Lösung des Dualen aus dem optimalen Tableau des Primas abzulesen. Lernen Sie bei jedem Schritt der Methode, die aktuelle zulässige Basislösung und den Zielfunktionswert abzulesen.

Woche 4 (25.-29. Januar)

  • Abschnitt 2: Der Simplex-Algorithmus
  • Matrizen, Blockstrukturen und Gaußsche Elimination
  • 1/25: Der Simplex-Algorithmus, I: Die Grundlagen (Abschluss)
  • 1/27: Der Simplex-Algorithmus II: Sprache, Notation und lineare Algebra
  • 29.01.: Modelle
  • Machen Sie die Modelle 6-10 über den Link "Modelle" oben.
  • Wiederholen Sie die Aufgaben aus "Simplex Algorithm for LPs with Feasible Origin" mit der Tableau-Methode.

Woche 3 (19. Januar - 22. Januar)

  • Aus Klassennotizen lesen
    • Abschnitt 2: Der Simplex-Algorithmus (Abschnitte 1.1-1.2)
    • LP in Standardform
    • Der Simplex-Algorithmus I: Die Grundlagen
    • Umwandlung von LPs in Standardform
    • Simplex-Algorithmus für LPs mit machbarem Ursprung (Wörterbuchmethode) (Fortsetzung nächste Woche)

    Woche 2 (11.-15. Januar)

    • Aus Klassennotizen lesen
      • Abschnitt 1: Einführung
      • 1/11: Einführung in die Lineare Programmierung
      • 1/13,15: LP-Modellierung
      • Machen Sie die Modelle 1-5 aus dem Link "Modelle" oben.

      Woche 1 (4. Januar – 8. Januar)

      • Kommentare des Sortierers zu Quiz 1: Insgesamt schnitten die Leute gut ab, aber Frage 4 war schwierig – niemand hat es richtig verstanden. Ich habe einen Punkt für Frage 2b abgezogen, wenn sie die Matrix transponierten und mit der Zeilenreduzierung beginnen, anstatt die bereits berechnete Staffelform zu verwenden. Ich habe auch einen Punkt für Frage 3b abgezogen, wenn sie so etwas sagten wie ``die Matrix hat keine Inverse, weil sie singulär ist'', weil dies nur umformulierte, was sie begründen sollten. Die durchschnittliche Punktzahl betrug 7,9 / 13 Punkte.
      • Aus Klassennotizen lesen
        • Lineare Algebra-Überprüfung (enthält Beispiel-Quizaufgaben am Ende)
        • Matrizen, Blockstrukturen und Gaußsche Elimination
        • Abschnitt 1: Einführung (Abschnitte 1.1,1.2)
        • 1/4: Vorlesung 1: Überprüfung der linearen Algebra
        • 1/6,8: Vorlesung 2: Einführung in die Lineare Programmierung
        • Grafische Lösungen für 2-dimensionale LPs
        • Aufgabe 1.1 (a), (b)
        • Aufgabe 1.4
        • Problem 1.6
        • Problem 1.8
        • Aufgabe 2.4.1
        • Aufgabe 2.4.4
        • Aufgabe 2.4.6
        • Modellierung: Getreidemischung , Mautstellenplanung , Postamtsproblem
        • LPs in Standardform umwandeln: Aufgaben 2 & 3 in diesem Handout (pdf-Datei)
        • LPs grafisch lösen: Beide Probleme in diesem Handout (pdf-Datei)
        • Sie können die Aufgaben in den Notizen von P. Tseng ausprobieren (die in der Klasse ausgegeben werden).
        • Sie können auch die verbleibenden Probleme aus Kapitel 1 in Chvatal . ausprobieren

        Übersicht: Woche 2 (12.-16. Januar)

        Leseaufgaben: Kapitel 2 von Chvatal

        • Simplex-Methode Top-Ten-Algorithmus des 20. Jahrhunderts,Siehe auch diese Webseite
        • Schlupf- und Entscheidungsvariablen, Wörterbuch, grundlegende machbare Lösung
        • Basisvariablen, Nichtbasisvariablen, Variable eingeben, Variable verlassen
        • Minimum-Ratio-Test, Pivot-Reihe, Pivoting
        • mehrere optima
        • Der Simplex-Algorithmus
        • Wie erkennt man, ob ein LP mehrere Optima oder ein einzigartiges Optimum hat.
        • Wie man alle optimalen Lösungen zu einem LP aufschreibt, wenn es mehrere Optima gibt.
        • Aufgabe 2.1 (a)
        • Problem 2.1 (c) - Lösen Sie dieses Problem auch grafisch und prüfen Sie, ob Sie dieselbe optimale Lösung erhalten.
        • Aufgabe 2.2
        • Aufgabe 2.3.6
        • Lösen Sie mit der Simplex-Methode (von J. Burke) pdf-Datei
        • Sie können die Aufgaben in P. Tsengs Notizen (die im Unterricht ausgegeben werden) ausprobieren - insbesondere alle Aufgaben in den Abschnitten 2.3, 2.4 und 2.5.
        • Sehen Sie sich alle Beispiele in Kapitel 2 von Chvatal und 2.1 (b) an.

        Übersicht: Woche 3 (19.-23. Januar)

        Leseaufgaben: Kapitel 3 von Chvatal (Initialisierung) und Geometrie der Simplex-Methode

        • Hyperebene, Kantenpfade
        • Hilfsproblem, machbares/undurchführbares Wörterbuch, Phase I und Phase II
        • entarteter Scheitelpunkt, Regel des größten Koeffizienten, Stillstand, unbeschränkte LPs
        • Die Geometrie des Simplex-Algorithmus.
        • Bei gegebenem zulässigen Bereich, wie das Wörterbuch an einem gegebenen Scheitelpunkt des zulässigen Bereichs rekonstruiert wird.
        • Phase I der Simplex-Methode, um zu entscheiden, ob eine LP nicht durchführbar ist oder nicht. Wenn das LP machbar ist, wie bekommt man ein erstes machbares Wörterbuch?
        • So erkennen Sie, ob der aktuelle Scheitelpunkt degeneriert ist.
        • So erkennen Sie, ob die Simplex-Methode blockiert.
        • So erkennen Sie, ob die LP unbegrenzt ist.

        (Geometrieprobleme) Alle Probleme aus diesem Blatt: pdf-Datei

        • Aufgabe 3.9 (a)
        • Zweiphasen-Simplexverfahren (von J. Burke) pdf-Datei
        • Aufgabe 2 aus dem Blatt Geometrieaufgaben in der Hausaufgabe.
        • Chvatal-Problem 3.9 (c)

        Übersicht: Woche 4 (26.-30. Januar)

        Leseaufgaben: Kapitel 3 von Chvatals Buch

        • Zyklen, entarteter Drehpunkt, entarteter Scheitelpunkt, Störungsmethode
        • Pivot-Regeln, kleinste tiefgestellte Regel, größte Erhöhungsregel
        • entarteter Scheitelpunkt, Regel des größten Koeffizienten, Stillstand, unbeschränkte LPs
        • So erkennen Sie, ob der aktuelle Scheitelpunkt degeneriert ist.
        • So erkennen Sie, ob die Simplex-Methode blockiert.
        • So erkennen Sie, ob die LP unbegrenzt ist.
        • Wie man Radfahren und die Geometrie hinter dem Radfahren erkennt.
        • Beweis, dass einer festen Basis ein eindeutiges Wörterbuch zugeordnet ist.
        • Wie man Radfahren verhindert - Blands Regel und die Störungsmethode.
        • Der fundamentale Satz der linearen Programmierung (Aussage und Beweis).
        • Die Komplexität des Simplex-Algorithmus und der Klee-Minty-Beispiele.
        • Aufgabe 3.1
        • Aufgabe 3.2
        • Aufgabe 3.9 (b)
        • Aufgabe 3.10
        • Aufgabe 4.1 (b), (c) - das könntest du grafisch machen

        Übersicht: Woche 5 (2. bis 6. Februar)

        Leseaufgaben: Kapitel 4 von Chvatals Buch

        • Pivot-Regeln, kleinste tiefgestellte Regel, größte Erhöhungsregel
        • Die Komplexität des Simplex-Algorithmus und der Klee-Minty-Beispiele.

        34: 17 In-Class-Aufgabe - Zerlegungen und Gaußsche Elimination

        Fällig Mittwoch, 3. Februar

        Lesen Sie die Abschnitte 1.1 und 1.2

        Durcharbeiten von Take a Tour of Maple im Maple Help Menu
        Durcharbeiten von Dr. Beckers Einführung in Maple: mw pdf Solutions

        Arbeiten Sie mindestens das Maple Quick Start Tutorial Guide unter Maple Training Materials durch.

        Fällig Montag, 8. Februar

        Lesen Sie die Abschnitte 1.1 und 1.2
        pp. 14-15 # 1b (verwenden Sie den Zwischenwertsatz), 3b (verwenden Sie den Zwischenwertsatz), 8, 10, (Lösungen für 8 und 10 mw pdf), bewertet mit 7abc (kann Maple verwenden) (Lösung mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 10. Februar

        Lesen Sie Abschnitt 1.3
        S. 20-22 # 1bd, 3d, 4g (Antwort=.284), 7a, 11, benotet 2d (Lösung)

        Fällig Freitag, 12. Februar

        Lesen Sie Abschnitt 1.2
        Projekt 1: S.14 #12ab (außer Maple verwenden)(Lösung mw pdf)

        Für die Wiederholung für jeden mit weniger als 20/20 als Note, führen Sie das gleiche Problem mit der Funktion f(x)=ln(x 4 +3) durch (Lösung mw pdf)

        Fällig Montag, 15. Februar

        Lesen Sie Abschnitt 1.4
        S. 28-29 # 1d, 3, 7, 10ac (Lösungen - die Lösungen sind anders nummeriert als die Probleme, aber sie sind hier), 11abd (Lösungen - die Lösungen sind anders nummeriert als die Probleme, aber sie sind hier), benotet:

        X1: Bestimme die Konvergenzrate von limn-->∞ n/(n 3 +2) = 0. (Lösung)
        X2: Bestimme die Konvergenzrate von limh-->0 eh=1. (Lösung)

        Für die Wiederholung:

        XX1: Bestimme die Konvergenzrate von limn-->∞ 6n 2 /(3n 5 +5) = 0. (Lösung)
        XX2: Bestimme die Konvergenzrate von limh-->0 (1+eh)=2. (Lösung)

        Fällig Mittwoch, 17. Februar

        Projekt 2:

        In den alten trigonometrischen Tabellen, die verwendet wurden, bevor Taschenrechner weit verbreitet waren, reichten die Tabellen nur von 0 Grad bis 45 Grad und alle trig-Werte von sin bis csc konnten aus ihnen erhalten werden. Verwenden Sie ein Taylor-Polynom, um eine Sinustabelle von 0 bis 45 Grad mit einer Genauigkeit von vier Stellen zu erstellen, und drucken Sie die Ergebnisse für alle 5 Grad aus. Denken Sie daran, Grade für Ihre Arbeit in Bogenmaß zu ändern. Beginnen Sie damit, den Grad eines Taylor-Polynoms zu bestimmen, das sin von 0 bis Pi/4 mit einem Fehler von weniger als 0,00005 annähert. Sie können Ihren Taschenrechner verwenden, um Ihre Ergebnisse auf Richtigkeit zu überprüfen, aber stellen Sie sicher, dass Sie die notwendigen Schritte des Prozesses anzeigen.

        Lösungen: mw pdf

        Projekt 2 wiederholen:

        Erstellen Sie eine exponentielle Funktionstabelle, die von 0 bis 1 um Zehntel nach oben geht. Wir möchten, dass diese Werte nach dem Runden auf 4 Dezimalstellen genau sind, d. h. innerhalb von 0,00005 der genauen Werte. Dazu verwenden wir ein Taylor-Polynom um x0=0, um die Exponentialfunktion anzunähern. Zunächst müssen wir jedoch den Grad des Taylor-Polynoms finden, der uns die gewünschte Genauigkeit liefert. Wir tun dies, indem wir zunächst eine obere Schranke für den Fehler für ein Taylor-Polynom n-ten Grades finden. Denken Sie daran, dass exp(x) seine eigene Ableitung ist, dass exp(x) zunimmt und dass exp(1)<3.

        Lösungen: mw pdf

        Fällig Montag, 22. Februar

        Lesen Sie die Abschnitte 2.1 und 2.2
        S. 38 # 3c (per Hand)(Lösung), 5b (Lösung: mw pdf), 7 (Lösung: mw pdf), 11 (Lösung), benotet 9 (Lösung: mw pdf), 12 (per Hand)(Lösung )

        Fällig Mittwoch, 24. Februar

        Lesen Sie Abschnitt 2.3
        S. 43-44 # 1a (handschriftlich), 3d (handschriftlich), 13b (Lösung: mw pdf), 15 (16 in 3.), benotet 2a (handschriftlich) (Lösung), 4b (nur auf [1, 2]) (Lösung: mw pdf)

        Fällig Freitag, 26. Februar

        Lesen Sie die Abschnitte 2.3 und 2.4
        S. 43-44 # 1b (von Hand), 5a (von Hand), 13a, benotet 2b (von Hand) (Lösung)
        S. 49-50 # 3a (von Hand), 7b, 17, benotet 16a (Lösungen: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 3. März

        Lesen Sie Abschnitt 2.5
        s. 54 # 1d (von Hand), 5a(i-ii) (von Hand) (Lösung), 7a (beachte, dass der Exponent -2 n , nicht -2n ist) (Lösung), bewertet 6a (von Hand) (Lösung) , X (Verwenden Sie Stephensens Methode, um die Wurzel in [2,3] für 2+sin xx=0 innerhalb von 10 -5 zu approximieren - in Nicht-Stephensen-Schritten verwenden Sie Festkomma mit x=2+sin x)(Lösung: mw pdf),

        Lesen Sie Abschnitt 2.6
        S. 58-59 # 2a (benutze Newton und Horner Algorithmen bei Bedarf überprüfen, können Sie Ihre Arbeit mit POLY auf einem Taschenrechner überprüfen), 4b, 12 (Stellen Sie Stellen ein:=20, werten Sie den Ausdruck auf S.59 aus und verwenden Sie dann Newton um zu sehen, wie gut Fibinacci war), bewertet 2d (Lösung: mw pdf), 4c (Lösung: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 10. März

        Lesen Sie Abschnitt 3.2
        S. 73-75 # 1a(ii) (von Hand auf Bogenmaß achten-cos-Werte auf 6 Dezimalstellen gerundet) (Lösung), 2a(ii) (Lösung), 3a (Maple) (Lösung mw pdf ), 7a (Ahorn) (Lösung mw pdf), benotet 10 (Ahorn - keine Ziffern verwenden:=4) (Lösung: mw pdf)
        Hinweis: Um den gemeinsamen Logarithmus zur Basis 10 in Maple zu verwenden, nehmen wir an, um das Log zur Basis 10 von 85 zu finden, gehen Sie wie folgt vor:
        >evalf(log10(85))

        Lesen Sie Abschnitt 3.3
        pp. 81-82 # 1a (grad 2 nur mit den ersten drei Punkten von Hand machen), benotet 6 [Siehe folgende Maple-Ausgabe: mw pdf. Was müssen Sie hinzufügen oder ändern, um es zu erhalten geteilt_diff im nagelb um richtig zu funktionieren.] (Lösung: mw pdf), 12

        Lesen Sie Abschnitt 3.4
        pp. 86-87 # 1c (von Hand - vergleiche Antwort mit Funktion von #2c), bewertet 4a (ahorn vorschlagen) (Lösung: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 17. März

        Lesen Sie die Abschnitte 3.5
        S. 97-99 (PROJEKT) # 5c, 11(außer let a=2)(Lösung), bewertet 12 (Lösung), "Finde einen freien kubischen Spline von Hand für die Punkte [0,1], [1,2] , und [2,-1]" (Lösung)

        Lesen Sie Abschnitt 4.2
        S. 114-15 # 1g, 3c, 5a, 11, 13a, benotet 4c, 6a (Lösung: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 24. März

        Lesen Sie Abschnitt 4.3
        S. 122-24 # 1g, 2g, 3g, 5, Note 4, 8 (Lösungen: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 4.4
        S. 130-32 # 1a, 3b, benotet 2f, 4a (Lösungen: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 4.5
        S. 137-38 # 1a, 3c, benotet 2b (Lösung: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 31. März

        Lesen Sie Abschnitt 4.6
        S. 143-45 # 1b, 3c, benotet 3b (Lösung: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 7. April

        Lesen Sie Abschnitt 5.2
        S. 182-83 # 1d (zeigen Sie einfach, dass der IVP eine eindeutige Lösung hat und finden Sie die Lösung), 8 (zeigen Sie einfach, dass der IVP eine eindeutige Lösung hat und finden Sie die Lösung), bewertet 1c (zeigen Sie einfach, dass der IVP eine eindeutige Lösung hat und Lösung finden) (Lösung: mw pdf)

        (Optionales Projekt - 10 zusätzliche Punkte zur Projektnote hinzugefügt) Schreiben Sie eine Gaußsche Prozedur, die die Gaußsche Quadratur implementiert. Für Parameter benötigen Sie die Funktion f (Typ algebraisch), die Untergrenze der Integration a (Typ Numerisch), die Obergrenze der Integration b (Typ Numerisch), den Grad des zu verwendenden Legendre-Polynoms n (Typ Punkt) und die Rückgabevariable S (Typname). Die with(orthopoly)-Anweisung kann innerhalb des Hauptteils der Prozedur lokalisiert werden. Alle notwendigen Aussagen finden Sie in den Arbeitsblättern gaussian.mw und gaussian.pdf. Die einzige Ausgabe sollte der Wert des Integrals sein. Testen Sie Ihr Verfahren zu Problem 3a auf Seite 138. (Lösungen: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 5.2
        S. 182-83 # 1c (von Hand), 3b, 9a(bi) (Lösungen: mw pdf), benotet 8a(bi) (Lösungen: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 14. April

        Lesen Sie Abschnitt 5.2
        S. 182-83 # 5c (Lösungen: mw pdf), 9e (Lösungen: mw pdf), benotet 8e (Lösungen: mw pdf)

        Fällig Montag, Aprilil 19

        Lesen Sie Abschnitt 5.4
        s. 198 # 3b (verwenden Sie einfach die Adams-Bashforth-Vier-Schritt-Methode) (Lösungen: mw pdf), 4b (Lösungen: mw pdf), benotet 3c (verwenden Sie einfach die Adams-Bashforth-Vier-Schritt-Methode -Verwenden Sie die Lösung für die DE im Text angegeben) (Lösungen: mw pdf), 4c (Lösungen: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 21. April

        Lesen Sie die Abschnitte 5.5 und 5.6
        S.203 # 3b (Lösung: mw pdf), benotet 4d (Lösung: mw pdf)
        pp. 213-14 # 3c (wenn NA nicht verwendet wird, verwenden Sie abserr=Float(1,-4) - ignorieren Sie hmax und hmin) (Lösungen: mw pdf), bewertet 4b ((wenn Sie NA nicht verwenden, verwenden Sie abserr=Float (1,-6) - hmax und hmin ignorieren) (Lösungen: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 5.7
        S. 221-22 # 1b (Lösung: mw pdf), 2c (Lösung: mw pdf), benotet 6 (Lösungen: mw pdf) (benutze rk4 für alle Probleme mit h=0.1 für #6)

        Lesen Sie Abschnitt 5.8
        s. 227 # 1a (mit der rk4-Methode) (Lösung: mw pdf), 1b ( rosenbrock-Methode) (Lösung: mw pdf), bewertet 1d (mit der lsode[backfull]-Methode) (Lösung: mw pdf)

        Fällig Mittwoch, 28. April

        Lesen Sie Abschnitt 6.2
        pp. 238-240 # 1acg (nur von Hand grafisch darstellen - wie im Algebra-Unterricht), 3f (Gaussiam-Elimination von Hand), graded 4d (Gauss-Eliminierung mit Maple, set Digits:=7) (Lösung: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 6.3
        s. 246-47 # 7d (setze Digits:=3, 3-stellige Rundung), 8d (setze Digits:=3, 3-stellige Rundung), graded 5d (verwende vollständiges Pivotieren mit Digits:=10) (Lösung: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 6.4
        pp. 256-60 # 2de (plus Bestimmungsfaktoren von jedem von Hand finden), bewertet 4b (Lösung: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 6.5
        S. 265-66 # 1a, 3bc, benotet 5a (ignoriere die Anweisung in 2a, dass lii = 1 für alle i.) (Lösung: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 7.2
        S. 284-85 # 1ac, 3bc, 5a, benotet 2b (Lösung: mw pdf)

        Lesen Sie Abschnitt 7.3
        S. 291-92 # 1ag, 5ag, benotet 2h (Lösung: mw pdf)


        34: 17 In-Class-Aufgabe - Zerlegungen und Gaußsche Elimination

        Sprechzeiten: MW: 3:30-4:30 und nach Vereinbarung (Sprechen Sie einfach nach dem Unterricht mit mir oder senden Sie mir eine E-Mail)

        Büro: APM 5256, tel. (858) 534-2734

        Lehrassistenten: Jeremy Greene (E-Mail: [email protected]) Sprechzeiten: MW10-11:30 APM 6434 und Michael Kelly (E-Mail: [email protected]) Sprechzeiten: F10-12 APM 6333

        Notenberechnung: Die Note errechnet sich aus Ihren Noten im Finale (50%), 2 Midterm2 (jeweils 20%) und Hausaufgaben (10%). Bestehen der Abschlussnote für das Bestehen des Kurses erforderlich! Ich werde ein Übungsfinale vor dem eigentlichen Finale zur Verfügung stellen.

        Midterms: 20.10. und 17.11. im Unterricht

        Texte

        Lehrplan: Dies ist ein zweiter Kurs in Linearer Algebra, der sich auf rechnerische Aspekte und Anwendungen konzentriert, jedoch die geometrischen Konzepte präsentiert. Wir beginnen mit einem schnellen Überblick über die grundlegenden Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen und den dazugehörigen geometrischen Unterräumen und Konzepten. Die Anwendungen umfassen Graphen und Netzwerke, Probleme der kleinsten Quadrate, schnelle Fourier-Transformation, Differenz- und Differentialgleichungen sowie deren numerische Lösungen. Der Kurs geht über einen ersten Kurs in Faktorisieren von Matrizen hinaus. Diagonalisierung erzeugt Faktorisierungen der meisten quadratischen Matrizen, aber im Allgemeinen haben wir Triangularisierung und die Jordan-Normalform. Gaußsche Elimination und Gram-Schmidt-Orthogonalisierung erzeugen Faktorisierungen, aber eine nützlichere ist die Singulärwertzerlegung, die insbesondere verwendet werden kann, um eine Pseudoinverse zu konstruieren, wenn es keine Inverse gibt, um Probleme der kleinsten Quadrate zu lösen.

        Vorläufiger detaillierter Lehrplan (kann sich ändern, d. h. wir gehen möglicherweise etwas schneller oder langsamer als angegeben):

        Woche 1 (bis 10/1): 1.1-7, 2.1 Matrizen und Gaußsche Eliminationsfunktionen, Vektorräume und Unterräume
        Woche 2: 2.2-5 Ax=b lösen, lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
        Woche 3: 2.4-6 Die vier fundamentalen Unterräume, Graphen und Netzwerke, lineare Transformationen
        Woche 4: 3.1-3.4 Orthogonale Vektoren und Unterräume, Projektionen, kleinste Quadrate, orthogonale Matrizen, Gram-Schmidt,
        Woche 5: 3.5: Schnelle Fourier-Transformation, 4.1-4 Determinanten
        Woche 6:
        Woche 7:
        Woche 8:
        Woche 9:
        Woche 10:

        Hausaufgaben müssen am oder vor dem angegebenen Datum abgegeben werden, normalerweise an einem Mittwoch um oder vor 17:00 Uhr. Ein Briefkasten im 6. Stock von APM sollte verfügbar sein, aber erkundigen Sie sich zuerst in der ersten Woche bei den TAs. Mittwochs müssen keine Hausaufgaben abgegeben werden, wenn ein Zwischensemester geplant ist. Ein Teil der Hausaufgaben kann jedoch auch Teil des Materials sein, das für die Halbzeit angefordert wird. Es ist sehr wichtig, dass Sie die Hausaufgaben machen, da die meisten Prüfungsaufgaben Variationen von Hausaufgaben sind.

        Haftungsausschluss: Ich werde versuchen, die Hausaufgaben rechtzeitig ins Netz zu stellen. Aufgrund von Zeit- und anderen Einschränkungen ist dies möglicherweise nicht immer möglich. Die Tatsache, dass für einen bestimmten Termin keine Hausaufgabe ausgeschrieben ist, bedeutet daher NICHT zwingend, dass keine Hausaufgaben fällig sind.

        für 29.09.: Sek. 1.2: 3, 10, Sek. 1.3: 3 (Druckfehler: Gleichung 2 --> Gleichung 1, Gleichung 3 --> Gleichung 2), 18, 31, Sec. 1.4: 6, 10, 30. 32

        für 10/6: Sek. 1,5: 1, 4, 15, Sek. 1.6:4,6,22,35,50, Sek. 1.7: 3,6, Sek. 2.1: 3, 7abcf, 8, 25, 26,

        für 13.10.: Sek. 2.2: 5, 8, 10, 24, 25, Sek.: 2.3:2,10, 12,13,20,26,30, Sek. 2.4: 2,5,8,27,28,

        für 27.10.: Sek 2.5: 6, 8, Sek. 2.6: 6, 7, 8, 9, 16, 18, 22, 33, Sek. 3.1: 2, 7, 11, 14, 16, 19, 22, 32, 37, 44, 51, Kap. 3.2: 14, 17, 19, 21,

        für 11/3: Sek. 3.3: 4,6,12, 17, 22, 27, Sek. 3.4: 13, 15, 16, 21, 23, (30 entfernt), Kap. 3,5: 11,14,

        für 11/10: Sek. 4.2: 2,7,10,12,14,18,28, Abschn. 4.3:3,5,28,43, Sek. 4.4: 5, 10, 14, 18,

        zum 17.11.: nicht abzugeben, aber relevant für die Halbzeit. Lösungen werden unten veröffentlicht: Sec. 5.1: 5, 7, 14, 25, 27, Sek. 5.2: 4, 5, 7, 8, 15, 21, 29, 30, 34, 40,

        für 24.11.: Sek. 5.3: 2, 8, 10, 12, 15, 25, 28, Sek. 5.4: 1, 2, 3, 5, 8, 9,

        zum 01.12.: Sek. 5.5: 16,17,18,36,38, 41,44,46, Sek. 5.6: 3, 8, 11, 13, 17 (verwenden Sie 5R auf S. 296), 25, 31, 41, 44,

        für das Finale (muss nicht abgegeben werden, aber relevant für endgültige Lösungen wird später gepostet): Sec 6.2: 2,4,8,23,27,29,30, 19,

        Lösungen für Midterms: Die TAs gingen abschnittsweise über die Midterms. Daher werden wir keine Lösungen für die Midterms veröffentlichen. Im Folgenden werde ich jedoch angeben, wie die Probleme des zweiten Halbjahres den Hausaufgabenproblemen ähneln, für die Sie die Lösungen nachschlagen können, oder ich gebe einige andere Hinweise, wie sie zu lösen sind.

        Problem 1(a) war wie Problem 7 aus Abschnitt 2.6, aber einfacher, und für (b) musste man nur die Matrix quadrieren.

        Problem 2(a) war Gram-Schmidt (Lösung: (1,2,2,0) und (0,2,-2,1)), Problem 2(b) war zum Beispiel wie Problem 16 in Abschnitt 3.1, Sie can solve it by calculating the null space of the 2 by 4 matrix with rows (1,2,2,0) and (1,4,0,1). Problem 2(c) is just the projection u of x onto S, which is u = (1,10/3, 2/3, 2/3)^T, and for 2(d) we have u as in 2(c) and v = x - u .

        In Problem 3 you calculate the determinant by putting it into echelon form (solution: 1), and for (b) det(2C)=8 det(C).

        Problem 4(a),(b) was like Problem 14 of Section 5.1. To review: B has rank 1, and hence the null space has dimension 3, and we have had several problems where one calculates a basis for a nullspace. For a rank 1 matrix, any column vector is an eigenvector. In our case, B can be written as B=vv^T, where v^T=(1,-1,1,-1). Then you see that Bv=vv^Tv=4v. For 4(c) you just have to know that the columns of S consist of a basis of eigenvectors of B, which have been calculated in parts (a) and (b), and that the diagonal entries of Lambda are the eigenvalues of B, i.e. 4,0,0,0 to solve part (d) (here we assume that the first column of S is the eigenvector for 4, and the following three column vectors are a basis for the null space of B).

        Final: We will have the same rules for the final as for the midterm. One cheat sheet, no calculators, books or other tools. Please bring bluebook/paper. I will post solutions for homework problems below. The new problems start with posting 8, part of which was already made available for the second midterm. Here is also a practice final given by another professor, with solutions. Please read below how my final may differ from that practice final, and for further tips.

        Office hours for exam week: Jeremy: TW 9-12 (APM 6434), Hans Wenzl: MT 3-4+ (i.e. I'll stay beyond 4 if there are students around) (APM 5256)

        More remarks: The practice final has two problems concerning calculating determinants, and two problems concerning solving linear equations and fundamental subspaces. Probably, our final will contain somewhat fewer problems of that type. Also, we have not covered material for question 8(c). Instead, some of the following problems may be on the exam:

        - Calculate SVD for a given matrix

        - Matrix of a linear transformation

        - Exponential or large power of a matrix solution of system of differential equation

        - Properties of positive definite matrices, of symmetric matrices, Hermitian matrices

        Midterm: The second midterm takes place in class on Wednesday, 11/17. The material goes primarily over the assignments for 10/27 until 11/17. Previous material will only be relevant if it is needed in connection with problems of these later sections. You are allowed to use one hand-written cheat sheet, but no books or calculators. Below is a practice midterm with solutions (but only look at the solutions after you have tried the problems in serious. You can also find solutions for homework problems below that.


        Columbia University UN2010 Section 003 Linear algebra, Spring 2017

        Our teaching assistants hold their office hours in the Help Room in Math 406. The Help Room is open Monday-Thursday 9am-6pm and Friday 9am-4pm. You can go there any time during open hours to get help with the material (not just from our TAs).

        Textbook Otto Bretscher Linear algebra with applications, Fifth edition. Cheaper 4th edition is fine too, except for the homework problems, which come from the 5th edition. If you buy the fourth edition, you'll need to get the correct problems from a friend who has the 5th edition

        Syllabus: Our goal is to cover chapters 1 through 8 of the textbook, with few omissions. The topics are: systems of linear equations and Gaussian elimination, matrices, linear transformations, subspaces, linear spaces, orthogonality and the Gram-Schmidt, determinants, eigenvalues, eigenvectors, symmetric matrices.

        Homework: Homework consists in reading the textbook sections before class according to the schedule of lectures and writing down (and turning in) the solutions of problems. The homework problems will be assigned on Tuesdays in Class, due Tuesday the next week before class. Drop the homework off to the hw box with my name on it on the 4th floor of the Math building Two lowest homework scores will be dropped. Graded homework can be picked up from a tray on the 6th floor (up the stairs, turn left and through the door, the table with hw trays is to your left half the hall way). LATE HOMEWORK WON'T BE ACCEPTED. The numerical grade for the course will be the following linear combination:
        15% homework, 25% each midterm, 35% final.

        Homework Assignment

        Homework 1, due Tuesday January 24th. Solve in Section 1.1: # 6, 18, 24, 37, 44 and in Section 1.2: # 2, 4, 9, 11, 18.


        Homework 2, due Tuesday January 31st. Solve in Section 1.2: # 29, 37, 67, in Section 1.3: # 2. 8, 9, 24, 50 and in Section 2.1: # 6, 8.


        Homework 3, due Tuesday February 7th. Solve in Section 2.2: # 14, 32, 39, in Section 2.3: # 7, 20, 47, 60 and in Section 2.4: # 4, 30, 84.


        Homework 4, due Tuesday February 28th. Solve in Section 3.1: # 7, 20, 34, 46, 50 in Section 3.2: # 3, 14, 15, 37, 41.


        Homework 5, due March 7th. Solve in Section 3.2: # 46, 52, 57 in Section 3.3: # 16, 27, 33, 36, 39, 62, 69.


        Homework 6, due March 21st. Solve in Section 3.4: # 45, 60, 82, in Section 4.1: # 29, 49, 59, in Section 4.2: # 7, 53, 65, 70, in Section 4.3: # 38, 62.


        Homework 7, due April 4th. Solve in Section 5.1: # 12, 14, 16, 23, 31 and in Section 5.2: # 29, 35, 38, 44.


        Homework 8, due April 11th. Solve in Section 5.3: # 30, 38, 42, 67 and in Section 5.5: # 5, 10, 16, 20.


        Homework 9, due April 18th. Solve in Section 6.1: # 10, 15, 28, 50 and in Section 6.2: # 5, 23, 31, 43, 45, 54.


        Homework 10, due April 25th. Solve in Section 6.3: # 10, 11, 38, 39, in Section 7.1 : # 13, 44, 53, 64 and in section 7.2 # 2, 22, 33, 45.


        34: 17 In-Class Assignment - Decompositions and Gaussian Elimination

        The Final Course Average will come from 3 sources: Graded Quizzes, Midterm Exams, and the Comprehensive Final Exam. All individual scores on graded work will be converted to percentage scores. Then these percentage scores will be used to calculate your Final Course Average using the following criteria:

        • Graded Quiz Average contributes 15%.
        • Midterm Exam Average contributes 65%.
        • Comprehensive Final Exam contributes 20%.

        You may take each of the Graded Quizzes one time before the deadline date and time that appear to the right of the quiz link in the Quiz and Test System for that quiz.

          • Graded Quizzes in Math 1114 are accessible from any location.
          • You will have scores for 17 Graded Quizzes this semester.
          • Your scores on Graded Quizzes will count in your final course average. See the Deadlines section below for details Only the highest 12 Graded Quiz scores will be used to calculate your ending Quiz % Average at the end of the semester. Siehe die Deadlines section below for details.

          For more details about Graded Quizzes and how to study for your quizzes, go to the Quizzes Seite.

          Proctored Exams:

          • Midterm Exams:
            • Each Midterm Exam consists of 18 problems in multiple-choice format covering the same material as the corresponding Practice Problems.
            • You may take each midterm exam one time before the deadline date and time that appear to the right of the exam link in the Quiz and Test System for that exam.
            • Midterm Exams are only accessible from the computers in the Testing Area of the Math Emporium.
            • All 4 of your Midterm Exams will count in your Midterm Exam Average. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), when calculating your ending Midterm Exam Average at the end of the semester, the percentage score on your Final Exam will replace your one lowest Midterm Exam percentage score, if the Final Exam percentage score is higher. Siehe die Deadlines section below for details.

            • The Final Exam consists of 25 problems in multiple-choice format covering all the course content.
            • You may take the Final Exam one time before the deadline.
            • The Final Exam is only accessible from the computers in the Testing Area of the Math Emporium.

            For more details about Proctored Exams, including Honor System and calculator policies, go to the Proctored Exams Seite.

            Deadlines for Proctored Exams and Graded Quizzes will be strictly enforced. You can find your deadline for graded work by logging into the Quiz and Test System and viewing the "Must Be Started By" date and time that appear to the right of the link for each graded quiz or exam. As implied by the "Must Be Started By" statement, the deadline is the latest day and time that you can begin your graded work. Unless there are documented extenuating circumstances (see *NOTE* below), deadlines for Proctored Exams and Graded Quizzes will not be extended.

              Midterm Exams:

            A missed exam will receive a 0 score. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), the percentage score on your Final Exam will replace your one lowest Midterm Exam percentage score, if the Final Exam is higher.

            A missed quiz will receive a 0 score. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), your Graded Quiz Average will be calculated using the percentage scores from your highest 12 Graded Quiz scores.

            *NOTE* For extenuating circumstances, you must contact Schiffert Health Center or Student Advocacy in 109 Eggleston Hall to provide documentation to your college. You are expected to work ahead so that you do not miss a deadline due to a one or two day illness or other unforeseen circumstance that fails to satisfy Schiffert or Student Advocacy requirements for documentation. Failure to meet this expectation is not a valid reason for a deadline extension.

            The Undergraduate Honor Code pledge that each member of the university community agrees to abide by states:

            "As a Hokie, I will conduct myself with honor and integrity at all times. I will not lie, cheat, or steal, nor will I accept the actions of those who do."

            Students enrolled in this course are responsible for abiding by the Honor Code. A student who has doubts about how the Honor Code applies to any assignment is responsible for obtaining specific guidance from the course instructor before submitting the assignment for evaluation. Ignorance of the rules does not exclude any member of the University community from the requirements and expectations of the Honor Code.


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