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3.5: Trigonometrische Funktionen und Dreiecke - Mathematik


In diesem Abschnitt werden wir trigonometrische Funktionen weiter diskutieren. Wir werden die Beziehung zwischen trigonometrischen Funktionen und rechtwinkligen Dreiecken untersuchen und einige weitere Eigenschaften trigonometrischer Funktionen untersuchen.

3.5.1 Rechtwinklige Dreiecke

Im letzten Abschnitt haben wir uns auf die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen und dem Einheitskreis konzentriert. Wir werden nun den Zusammenhang dieser Funktionen und des Einheitskreises mit rechtwinkligen Dreiecken untersuchen. In Abbildung (PageIndex{1}) zeichnen wir zunächst einen Einheitskreis mit einem Winkel ( heta) und markieren die entsprechenden Koordinaten auf dem Kreis. Wenn wir von diesen Koordinaten auf die x-Achse fallen, können wir ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Abbildung (PageIndex{1}): Rechtwinkliges Dreieck innerhalb des Einheitskreises

Dieses Dreieck hat eine Hypotenuse von 1, weil die Hypotenuse die gleiche Länge wie der Radius des Einheitskreises hat und Seitenlängen von (x=cos{( heta)}) und (y=sin{( theta)}). Wenden wir den Satz des Pythagoras auf dieses Dreieck an, entdecken wir eine interessante Identität:

[egin{align}egin{aligned}egin{split} a^2 + b^2 & = c^2 (x)^2 + (y)^2 & = (1)^2 (cos{( heta)})^2 + (sin{( heta)})^2 &= 1^2 cos^2{( heta)} + sin^2{( heta)} & = 1 end{split}end{ausgerichtet}end{ausrichten}]

Die Wahl von ( heta) in Abbildung (PageIndex{1}) ist nichts Besonderes; diese Identität gilt für alle Eingaben. Beachten Sie, dass die Eingabe für Kosinus und die Eingabe für Sinus gleich sind; Wenn die Eingaben unterschiedlich sind, können wir nicht garantieren, dass die Summe gleich 1 ist.

Dieses rechtwinklige Dreieck gibt uns auch eine andere Möglichkeit, trigonometrische Funktionen im Allgemeinen auszuwerten. Beim Einheitskreis haben wir gesehen, dass (cos{( heta)}) die x-Koordinate und (sin{( heta)}) die y-Koordinate ist, und unser rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 1. Wenn wir das Dreieck skalieren, skalieren auch die Seitenlängen, aber die Größe der Winkel bleibt gleich, also die Werte von (cos{( heta)}) und (sin{( theta)}) sollte auch gleich bleiben. Damit dies wahr ist, können wir nicht einfach sagen, dass Cosinus die Länge der angrenzenden Seite und Sinus die Länge der gegenüberliegenden Seite ist; stattdessen müssen wir beide durch die Länge der Hypotenuse dividieren, um die Skalierung anzupassen (siehe Abbildung (PageIndex{2}) für eine visuelle Erklärung der gegenüberliegenden und angrenzenden Seiten). Dadurch erhalten wir folgende Identitäten:

Abbildung (PageIndex{2}): Verwendung eines rechtwinkligen Dreiecks zur Auswertung trigonometrischer Funktionen

[egin{array}{lll}{ ext{1. }sin( heta)=frac{ ext{Gegenteil}}{ ext{Hypotenuse}}}&{qquad}&{ ext{4. }csc( heta)=frac{ ext{Hypotenuse}}{ ext{Gegenteil}}} { ext{2. }cos( heta)=frac{ ext{adjacent}}{ ext{Hypotenuse}}}}&{qquad}&{ ext{5. }sec( heta)=frac{ ext{Hypotenuse}}{ ext{angrenzend}}} { ext{3. } an( heta)=frac{ ext{gegenüber}}{ ext{angrenzend}}}&{qquad}&{ ext{6. }cot( heta)=frac{ ext{angrenzend}}{ ext{gegenüber}}}end{array} onumber]

Viele Leute fassen die ersten drei davon mit SOH-CAH-TOA zusammen, um sich an die Identitäten zu erinnern. SOH-CAH-TOA steht für Sine is Opposite over Hypotenuse; Kosinus ist benachbart über Hypotenuse und Tangente ist entgegengesetzt über benachbart. Die verbleibenden drei Identitäten können dann aus den Definitionen von Kosekanse, Sekante und Kotangens gebildet werden. Schauen wir uns an, wie wir rechtwinklige Dreiecke verwenden können, um unsere trigonometrischen Funktionen auszuwerten.

Beispiel (PageIndex{1}): Verwenden eines rechten Dreiecks

Angenommen, (cos{( heta)} = frac{12}{13}). Bestimmen Sie alle möglichen Werte von (sin{( heta)}).

Lösung

Um die möglichen Werte von (sin{( heta)} zu finden, zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck und beschriften es mit den uns bereits bekannten Werten. Wir wissen, dass (cos{( heta)} = frac{12}{13}), also können wir 12 als Länge der angrenzenden Seite und 13 als Länge der Hypotenuse verwenden:

Abbildung (PageIndex{3})

Nun können wir den Satz des Pythagoras verwenden, um die fehlende Seitenlänge zu finden:

[egin{align}egin{aligned}egin{split} a^2 + b^2 &= c^2 (12)^2 + b^2 & = 13^2 144 + b ^2 & = 169 b^2 & = 25 b & = pm5 end{split}end{ausgerichtet}end{ausrichten}]

Jetzt können wir unsere Zeichnung aktualisieren:

Abbildung (PageIndex{4})

In unserer Zeichnung haben wir alle Seiten mit positiven Werten beschriftet, denn wenn wir die Seite eines Dreiecks messen, erhalten wir eine positive Länge. Aus diesem Dreieck erhalten wir (sin{( heta)} = frac{ ext{Gegenteil}}{ ext{Hypotenuse}} = frac{5}{13}). Dies ist jedoch nicht der einzig mögliche Wert von (sin{( heta)}). Wir kennen den wahren Wert von ( heta) nicht und haben in unserer Zeichnung angenommen, dass er zwischen 0 und (frac{pi}{2}) liegt. In Wirklichkeit könnte es auch zwischen (frac{3pi}{2}) und (2pi) liegen. Dies würde bedeuten, dass (sin{( heta)}) auch einen negativen Wert haben könnte.

Die möglichen Werte von (sin( heta)) sind (frac{5}{13}) und (-frac{5}{13})

3.5.2 Inverse trigonometrische Funktionen

Oft haben wir Informationen über die Seitenlängen des Dreiecks, möchten aber den Wert des Winkels wissen. Hier benötigen wir die inversen trigonometrischen Funktionen. Jede trigonometrische Funktion hat eine Umkehrung, aber die Umkehrungen von Sinus, Cosinus und Tangens werden am häufigsten verwendet. Die Notation für die Funktionen ist etwas knifflig. Wir haben gesehen, dass wir ((sin{( heta)})^2) schreiben können als (sin^2{( heta)}), aber die Notation (sin^{ -1}{( heta)}) wird oft verwendet, um die inverse Sinusfunktion und nicht die Funktion (frac{1}{sin{( heta)}}) darzustellen. In diesem Buch werden wir stattdessen die Notation (arcsin{(x)}) verwenden, um die inverse Sinusfunktion darzustellen. Dies beseitigt Verwirrung bei der Notation, aber Sie sollten sich bewusst sein, dass dies nicht bei allen Referenzen der Fall ist. Ebenso verwenden wir (arccos{(x)}) für die inverse Kosinusfunktion und (arctan{(x)}) für die inverse Tangensfunktion. Diese können schriftlich als Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens bezeichnet werden.

Beachten Sie, dass wir für jede dieser inversen trigonometrischen Funktionen (x) als Eingabe anstelle von ( heta) verwendet haben. Dies liegt daran, dass wir keinen Winkel mehr eingeben, sondern ein Längenverhältnis. Für diese Funktionen ist unsere Ausgabe ein Winkel. Denken Sie daran, wenn wir sagen, dass zwei Funktionen invers sind, meinen wir, dass es eine Beziehung wie die folgende gibt: (arccos{(cos{( heta)})}= heta) und (cos{( arccos{(x)})} = x). Eine andere Möglichkeit, diese Beziehung auszudrücken, ist, wenn (cos{( heta)} = x), dann (arccos{(x)} = heta). Dies ist hier jedoch nicht ganz richtig. Wenn wir trigonometrische Funktionen betrachten, wissen wir, dass es viele Winkel gibt, die alle denselben Wert für Sinus ergeben, viele Winkel, die denselben Wert für Kosinus ergeben, und viele Winkel, die denselben Wert für Tangente ergeben. Da wir für jede Eingabe nur eine Ausgabe benötigen, verwenden die inversen trigonometrischen Funktionen eingeschränkte Ausgaben. Der Arkuskosinus ist auf Ausgabewerte zwischen (0) und (pi) beschränkt, was bedeutet, dass sein Bereich ([0,pi]) ist. Dies funktioniert, weil jede mögliche Ausgabe von Kosinus einmal für Winkel von 0 bis (pi) auftaucht. Arkussinus und Arkustangens sind auf Ausgabewerte zwischen (-frac{pi}{2}) und (frac{pi}{2}) beschränkt, was bedeutet, dass sie jeweils einen Bereich von ([- frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]). Sowohl für Tangens als auch für Sinus erscheint jeder mögliche Ausgabewert einmal für Winkel zwischen (-frac{pi}{2}) und (frac{pi}{2}). Durch die Einschränkung der Bereiche stellen wir sicher, dass diese Funktionen gut definiert sind, dh sie erzeugen nur eine Ausgabe für jede Eingabe.

In der Praxis können wir den Einheitskreis immer noch verwenden, um inverse trigonometrische Funktionen auszuwerten. Wenn wir zum Beispiel (arcsin{(frac{1}{2})} auswerten wollen, wollen wir den Einheitskreis betrachten, um zu sehen, wo (sin{( heta)}= frac{1}{2}). Wir erhalten zwei Winkel: (frac{pi}{6}) und (frac{5pi}{6}). Da der Bereich des Arkussinus auf ([-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] beschränkt ist, sagen wir (arcsin{(frac{1}{ 2})} = frac{pi}{6}). Ähnlich würden wir sagen, dass (arccos{(frac{1}{2})} = frac{pi}{3}) und (arctan{(1)} =frac{ pi}{4}).


Trigonometrische Funktionen

In der Mathematik ist die trigonometrische Funktionen (auch genannt Kreisfunktionen, Winkelfunktionen oder goniometrische Funktionen [1] [2] ) sind reelle Funktionen, die einen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks auf Verhältnisse von zwei Seitenlängen beziehen. Sie sind weit verbreitet in allen Wissenschaften, die mit Geometrie zu tun haben, wie Navigation, Festkörpermechanik, Himmelsmechanik, Geodäsie und vielen anderen. Sie gehören zu den einfachsten periodischen Funktionen und werden als solche auch häufig zum Studium periodischer Phänomene durch Fourier-Analyse verwendet.

Die in der modernen Mathematik am häufigsten verwendeten trigonometrischen Funktionen sind die are Sinus, das Kosinus, und das Tangente. Ihre Kehrwerte sind jeweils die Kosekans, das Sekante, und das Kotangens, die weniger genutzt werden. Jede dieser sechs trigonometrischen Funktionen hat eine entsprechende Umkehrfunktion (genannt inverse trigonometrische Funktion) und auch ein Äquivalent in den hyperbolischen Funktionen. [3]

Die ältesten Definitionen trigonometrischer Funktionen, die sich auf rechtwinklige Dreiecke beziehen, definieren sie nur für spitze Winkel. Um diese Definitionen auf Funktionen zu erweitern, deren Bereich die gesamte projektiv ausgedehnte reelle Gerade ist, werden häufig geometrische Definitionen unter Verwendung des Standardeinheitskreises (d. h. eines Kreises mit Radius 1 Einheit) verwendet. Moderne Definitionen drücken trigonometrische Funktionen als unendliche Reihen oder als Lösungen von Differentialgleichungen aus. Dies ermöglicht es, den Bereich der Sinus- und Kosinusfunktionen auf die gesamte komplexe Ebene auszudehnen, und den Bereich der anderen trigonometrischen Funktionen auf die komplexe Ebene, aus der einige isolierte Punkte entfernt werden.


HS Math

Algebra 1
Algebra I ist ein Kurs, der die Entwicklung des Funktionsbegriffs bietet. Themen sind: (1) Beziehungen, Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen (2) Kegelschnitte (3) Polynome (4) algebraische Brüche (5) logarithmische und exponentielle Funktionen (6) Folgen und Reihen und (7) Zählprinzipien und Wahrscheinlichkeit.

Geometrie
Geometrie vermittelt den Studierenden Erfahrungen, die das Verständnis von zwei- und dreidimensionalen Objekten und deren Eigenschaften vertiefen. Deduktives und induktives Denken sowie Untersuchungsstrategien beim Ziehen von Schlussfolgerungen werden betont. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte umfassen das Studium von: (1) Punkten, Linien, Winkeln und Ebenen (2) Polygonen, mit besonderem Fokus auf Vierecke, Dreiecke, rechtwinklige Dreiecke (3) Kreise und (4) Polyeder und andere
Feststoffe. Ein Verständnis von Beweisen und Logik wird entwickelt. Die Verwendung von Grafikrechnern und Computerzeichenprogrammen wird empfohlen.

Algebra 2
Voraussetzung: Algebra 1. Algebra II erweitert die Themen der Algebra I und bietet eine Weiterentwicklung des Funktionsbegriffs. Themen sind: (1) Beziehungen, Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen (2) Kegelschnitte (3) Polynome (4) algebraische Brüche (5) logarithmische und exponentielle Funktionen (6) Folgen und Reihen und (7) Zählprinzipien und Wahrscheinlichkeit.

Trigonometrie und Vorberechnung
Voraussetzung: Algebra 2 . Dieser Kurs führt die Studenten in die wichtigsten Konzepte und Werkzeuge ein, die zum Studium der Infinitesimalrechnung erforderlich sind. Der Kurs beinhaltet das Studium von (1) Beziehungen und Funktionen, (2) exponentiellen und logarithmischen Funktionen, (3) Trigonometrie in Dreiecken, (4) trigonometrischen Funktionen, (5) trigonometrischen Identitäten und Gleichungen, (6) Polarkoordinaten, (7 ) Sequenzen und Serien und (8) Datenanalyse.

Infinitesimalrechnung
Voraussetzung: Trigonometrie und Vorkalkül. Die Studie umfasst Ableitungen, Integrale, Grenzen, Näherung, Anwendung und Modellierung. Technologie wird von Schülern und Lehrern regelmäßig verwendet, um die Beziehungen zwischen den vielfältigen Darstellungen von Funktionen zu verstärken, um schriftliche Arbeiten zu bestätigen, Experimente durchzuführen und bei der Interpretation der Ergebnisse zu helfen. Graphische Taschenrechner werden verwendet.

Statistiken
Voraussetzung: Algebra 2. Dieser Kurs führt die Studierenden in die wichtigsten Konzepte und Werkzeuge zum Sammeln, Analysieren und Ziehen von Schlussfolgerungen aus Daten ein. Dieser Kurs stellt Verbindungen zwischen allen Aspekten des statistischen Prozesses her, einschließlich Design, Analyse und Schlussfolgerungen. Darüber hinaus wird dieser Kurs den Studierenden anhand des Vokabulars der Statistik beibringen, wie man statistische Methoden, Ergebnisse und Interpretationen vermittelt. Die Schüler lernen, wie man grafische Taschenrechner verwendet und Computerausgaben liest, um das statistische Verständnis zu verbessern.

Ehrt Geometrie
Voraussetzung: A 3.5 GPA und B+ in Algebra 1. Honors Geometrie deckt die gleichen Themen ab wie Kerngeometrie mit mehr Labs, Technologieintegration und Anwendungen.

Ehrt Algebra 2
Voraussetzung: A 3.5 GPA und B+ in Geometrie. Honors algebra 2 behandelt dieselben Themen wie Core algebra 2 mit mehr Labs, Technologieintegration und Anwendungen.

Ehrt Trigonometrie und Vorkalkül
Voraussetzung: A 3.5 GPA und B+ in Algebra 2. Honours Trigonometrie und Vorkalkül decken die gleichen Themen wie Kerntrigonometrie und Vorkalkül mit mehr Laboren, Technologieintegration und Anwendungen ab.

Ehrt AP Calculus AB und BC
Voraussetzung: A 3.5 GPA und B+ in Trigonometrie und Vorkalkül. Honors AP Calculus deckt die gleichen Themen ab wie die Kerntrigonometrie und die Vorkalküle mit mehr Labors, Technologieintegration und Anwendungen. Die Studie umfasst Ableitungen, Integrale, Grenzen, Näherung, Anwendung und Modellierung. Die Technologie wird von Schülern und Lehrern regelmäßig verwendet, um die Beziehungen zwischen den vielfältigen Repräsentationen von Funktionen zu verstärken, um schriftliche Arbeiten zu bestätigen, Experimente durchzuführen und bei der Interpretation der Ergebnisse zu helfen. Graphische Taschenrechner werden verwendet.


Kosinusfunktion

Sie können eine Kosinusfunktion mit einem rechtwinkligen Dreieck wie oben definiert definieren. Sie können Kosinus jedoch in mehreren anderen Anwendungen verwenden.

Cosinus mithilfe von Differentialgleichungen definieren

Sie können den Kosinus mit Differentialgleichungen verwenden. Kos und Sin sind die beiden differenzierbaren trigonometrischen Funktionen und stehen in einer besonderen Beziehung.

Die obigen Definitionen sind beim Lösen von Differentialgleichungen nützlich. Beide obigen Ausdrücke sind Lösungen der Differentialgleichung:

Die Erweiterung der Power-Serie

Trigonometrische Funktionen werden auch unter Verwendung von Potenzreihen definiert. Indem Sie die Taylor-Reihe auf den Kosinus anwenden, erhalten Sie eine andere Definition.

cos x = 1 – ( x2 / 2! ) + ( x4 / 4! ) – ( ​​x6 / 6! ) …..

Exponentialausdruck mit der Eulerschen Formel

Euler hatte die Sinus- und Cosinusfunktionen durch den Ausdruck in Beziehung gesetzt:

Das j in den obigen Ausdrücken bezieht sich auf die imaginäre Einheit, die der Quadratwurzel von (-1) entspricht. Eulers Ausdruck oder Beziehung gilt für alle komplexen Werte. Dies bedeutet, dass die Formel für alle reellen Werte von gilt x.

Wenn wir die obigen Gleichungen hinzufügen, können wir einen präzisen Ausdruck für cos x im komplexen Bereich finden als:

Wenn der Wert von x real ist, können Sie den Ausdruck schreiben als:

Kosinuswerte in den vier Quadranten eines Kreises

Da ein Vollkreis 360° beträgt, können Sie den Kosinus in verschiedenen Teilen eines Kreises von 0° bis 360° ausdrücken. Im ersten Quadranten eines Kreises, Winkel von 0° bis 90°, ist der Wert von cos positiv. Im zweiten Quadranten mit einem Winkelbereich von 90° bis 180° ist der Wert von cos negativ. Im dritten Quadranten mit einem Winkelbereich von 180° bis 270° ist der Wert von cos noch negativ. Im vierten Quadranten mit dem Winkelbereich von 270° bis 360° ist der Wert von cos positiv.


Das trigonometrische Funktionen werden manchmal auch Kreisfunktionen genannt. Sie sind Winkelfunktionen, die neben vielen anderen Anwendungen beim Studium von Dreiecken wichtig sind. Trigonometrische Funktionen werden allgemein als Verhältnisse von zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks definiert, das den Winkel enthält, [3] und können äquivalent als die Längen verschiedener Liniensegmente von einem Einheitskreis (einem Kreis mit Radius eins) definiert werden.

Definitionen von rechtwinkligen Dreiecken Bearbeiten

Um die trigonometrischen Funktionen für den Winkel EIN, beginnen Sie mit einem rechtwinkligen Dreieck, das den Winkel enthält EIN:

Wir verwenden die folgenden Namen für die Seiten des Dreiecks:

  • Das Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, auch die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, in diesem Fall h.
  • Das gegenüberliegende Seite ist die Seite gegenüber dem Winkel, an dem wir interessiert sind, in diesem Fall ein.
  • Das angrenzende Seite ist die Seite, die den rechten Winkel berührt, für den wir uns interessieren, daher der Name. In diesem Fall ist die angrenzende Seite b.

Es wird angenommen, dass alle Dreiecke in der euklidischen Geometrie existieren, so dass die Innenwinkel jedes Dreiecks Radiant (oder 180°) ergeben, daher liegen für ein rechtwinkliges Dreieck die beiden nicht rechten Winkel zwischen null und π/2 Radiant. Beachten Sie, dass die folgenden Definitionen streng genommen nur die trigonometrischen Funktionen für Winkel in diesem Bereich definieren. Wir erweitern sie auf den vollen Satz reeller Argumente, indem wir den Einheitskreis verwenden oder bestimmte Symmetrien verlangen und dass es sich um periodische Funktionen handelt.

1) Die Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Länge der Hypotenuse. In unserem Fall [3]

Beachten Sie, dass, da alle diese Dreiecke ähnlich sind, dieses Verhältnis nicht von dem ausgewählten rechtwinkligen Dreieck abhängt, solange es den Winkel contains enthält EIN.

2) Die Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der angrenzenden Seite zur Länge der Hypotenuse. In unserem Fall [3]

Die Menge der Nullstellen des Kosinus ist

3) Die Tangente eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Länge der benachbarten Seite. In unserem Fall [3]

Die Menge der Tangentennullstellen ist

Dies ist die gleiche Menge wie bei der Sinusfunktion, da

Die verbleibenden drei Funktionen werden am besten unter Verwendung der obigen drei Funktionen definiert.

4) Die Kosekans csc(EIN) ist die multiplikative Umkehrung von sin(EIN) ist das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge der Gegenseite: [3]

5) Die Sekante Sek (EIN) ist die multiplikative Inverse von cos(EIN) ist das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge der angrenzenden Seite: [3]

6) Die Kotangens Kinderbett(EIN) ist die multiplikative Inverse von tan(EIN) ist das Verhältnis der Länge der Nachbarseite zur Länge der Gegenseite:

Definitionen nach Potenzreihen Bearbeiten

Man kann die trigonometrischen Funktionen auch definieren, indem man Potenzreihen verwendet:

und definieren Sie Tangens, Kotangens, Sekanten und Kosekanten mithilfe von Identitäten, siehe unten.

Das hyperbolische Funktionen sind wie die trigonometrischen Funktionen, da sie sehr ähnliche Eigenschaften haben. Jede der sechs trigonometrischen Funktionen hat eine entsprechende hyperbolische Form. [1] Sie werden durch die Exponentialfunktion definiert, die auf der Konstanten basiert e.


Es gibt einen festen Sinus-, Kosinus- und Tangenswert für jeden Winkel, von (0^) bis (90^). Ihr wissenschaftlicher (oder grafischer) Taschenrechner kennt alle trigonometrischen Werte für jeden Winkel. Ihr Taschenrechner sollte die Tasten [SIN], [COS] und [TAN] haben. Sie können Ihren Taschenrechner und die trigonometrischen Verhältnisse verwenden, um die fehlenden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, indem Sie eine trigonometrische Gleichung aufstellen.

Was wäre, wenn Sie ein 20-70-90-Dreieck erhalten würden? Wie können Sie Sinus, Kosinus und Tangens der Winkel (20^) und (70^) ermitteln?

Finden Sie die Länge der fehlenden Seiten und runden Sie Ihre Antworten auf das nächste Zehntel:

Abbildung (PageIndex<1>)

Verwenden Sie Tangens für (x) und Kosinus für (y).

Finden Sie die Länge der fehlenden Seiten und runden Sie Ihre Antworten auf das nächste Zehntel:

Abbildung (PageIndex<2>)

Verwenden Sie Tangens für (y) und Kosinus für (x).

Finden Sie die trigonometrischen Werte mit Ihrem Taschenrechner:

Auf 4 Nachkommastellen runden.

Je nach Rechner geben Sie den Grad ein und drücken dann die Trig-Taste oder umgekehrt. Stellen Sie außerdem sicher, dass der Modus Ihres Taschenrechners aktiviert ist GRAD.

Finden Sie den Wert jeder Variablen. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

Abbildung (PageIndex<3>)

Uns wird die geschenkt Hypotenuse. Benutzen Sinus um (b) zu finden und Kosinus um ein ... zu finden). Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um den Sinus und Cosinus der Winkel zu berechnen.

Abbildung (PageIndex<4>)

Finden Sie den Wert jeder Variablen. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

Abbildung (PageIndex<5>)

Wir erhalten das benachbarte Bein zu (42^). Um (c) zu finden, verwende Kosinus und verwenden Tangente um (d) zu finden.

Verwenden Sie immer nur die Informationen, die Sie erhalten, wenn Sie trigonometrische Verhältnisse verwenden. Dies führt zu den genauesten Antworten.

Überprüfung

Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um den Wert jeder Triggerfunktion unten zu ermitteln. Auf vier Nachkommastellen runden.

  1. (sin 24^)
  2. (cos 45^)
  3. ( an 88^)
  4. (sin 43^)
  5. ( an 12^)
  6. (cos 79^)
  7. (sin 82^)

Finden Sie die Länge der fehlenden Seiten. Runden Sie Ihre Antworten auf das nächste Zehntel.


  1. Abbildung (PageIndex<6>)
  2. Abbildung (PageIndex<7>)
  3. Abbildung ( PageIndex <8>)
  4. Abbildung ( PageIndex <9>)

Grundlegende trigonometrische Funktionen

Der bei A markierte Winkel sei #theta# .
Die längste Seite des Dreiecks ist die Hypotenuse, die Seite neben dem Winkel ist die benachbart und die gegenüberliegende Seite ist die Gegenteil.

Wenn nun das Dreieck 3, 4 und 5 Einheiten lang wäre, so dass
#a=4, b=3, h=5#
Die sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen wären:

Schauen Sie sich dieses Bild an:

Diese werden alle von den Verhältnissen in einem (rechtwinkligen) Dreieck abgeleitet.

Wenn wir die Länge einer Seite durch die Länge einer anderen Seite teilen, erhalten wir eine trigonometrische Funktion.

Nehmen wir #Winkel A# . Dann gibt es sechs mögliche Kombinationen für diese Division ( #h# , #a# und #b# sind die Seiten)

Sinus : #sin A=a//h#
Kosinus : #cos A=b//h#
Tangente : #tanA=a//b#

Diese drei heißen die Basisfunktionen.
Sie finden sie auf den meisten Taschenrechnern.

Beachten Sie: #sinA/cosA=(a//h)/(b//h)=a/b=tanA#

Die anderen drei sind:
Kosekans : #cscA=h//a=1/sinA#

Sekante : #secA=h//b=1/cosA#

Kotangens : #ctgA=b//a=1/tanA#

Normalerweise sind diese nicht auf einem Taschenrechner, da sie von den anderen drei leicht zu bekommen sind.


Präkalkül: Algebra und Trigonometrie

Die neue 3. Ausgabe von Präkalkül: Algebra und Trigonometrie bereitet die Studierenden auf ein weiterführendes Studium in Mathematik, Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften, Sozialwissenschaften und anderen Disziplinen vor. Es macht den Studenten mit den grundlegenden Konzepten der Algebra und Trigonometrie vertraut, wobei der Schwerpunkt auf der praktischen Anwendung liegt.

Geeignet für einen kombinierten Kurs in Hochschulalgebra und Trigonometrie oder einen Kurs in Hochschulalgebra, Vorkalkulation stellt auf anschauliche Weise einige der wichtigsten Konzepte, Sprache und Methodik der Mathematik vor und ermutigt den Leser, die Schönheit der Mathematik zu genießen und die Nützlichkeit von Algebra und Trigonometrie bei der Lösung realer Probleme zu schätzen.

Präkalkül: Algebra und Trigonometrie motiviert den Leser und vermittelt Fähigkeiten zur Problemlösung und zum kritischen Denken durch:

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  • Was hast du gelernt?, Ergänzende Übungen, und ein Beispielkapiteltest Vignetten am Ende jedes Kapitels, um das Verständnis des präsentierten Materials zu beurteilen.
  • Ein Online-Test- und Sofortbewertungssystem (Ahorn TA). Zu jedem Kapitel können Zuweisungen erstellt werden. Durch das Erledigen von Hausaufgaben in Maple T.A. erhalten die Schüler ihre Noten sofort, sodass sie sofort wissen, wie sie abschneiden und an welchen Bereichen sie arbeiten müssen, solange das Material noch frisch ist.

KAPITEL P Einige grundlegende Konzepte

P.2 Die reelle Linie, Ungleichung und absoluter Wert

P.3 Ganzzahlige und rationale Exponenten

KAPITEL 1 Gleichungen und Ungleichungen lösen

1.1 Lineare Gleichungen in einer Variablen

1.3 Andere Arten von Gleichungen in einer Variablen

1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit Absolutwert

KAPITEL 2 Funktionen

2.1 Die kartesische Ebene und Beziehungen

2.3 Funktionskombinationen

KAPITEL 3 Exponentielle und logarithmische Funktionen

3.4 Exponentielle und logarithmische Gleichungen

KAPITEL 4 Polynomiale und rationale Funktionen

4.2 Faktoren und Nullstellen von Polynomen

4.5 Modellieren mit Variation

KAPITEL 5 Die trigonometrischen Funktionen

5.1 Winkel und ihr Maß

5.2 Die Sinus- und Kosinusfunktionen

5.3 Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen

5.4 Andere trigonometrische Funktionen

5.5 Trigonometrische Identitäten

5.6 Inverse trigonometrische Funktionen

KAPITEL 6 Anwendungen der Trigonometrie

6.1 Trigonometrische Gleichungen

6.2 Rechtwinkliges Dreieck lösen

6.3 Schräge Dreiecke lösen: Die Sinusformel

6.4 Schräge Dreiecke lösen: Die Kosinusformel

6.5 Trigonometrische Form komplexer Zahlen

6.6 Vektoren in zwei Dimensionen

6.7 Das Polarkoordinatensystem

KAPITEL 7 Gleichungssysteme, Ungleichungen und Matrizen

7.1 Lineare Gleichungssysteme

7.2 Nichtlineare Gleichungssysteme

7.3 Systeme linearer Ungleichungen und lineare Programmierung

7.4 Die Algebra der Matrizen

7.5 Matrizen und Gleichungssysteme

7.6 Die Inverse einer Matrix

7.7 Determinanten und Cramersche Regel

KAPITEL 8 Folgen, Reihen, Zählung und Wahrscheinlichkeit


Beschreibung

ALARM: Wenden Sie sich vor dem Kauf an Ihren Kursleiter oder überprüfen Sie Ihren Lehrplan, um sicherzustellen, dass Sie die richtige ISBN auswählen. Für jeden Titel gibt es mehrere Versionen der MyLab & Mastering-Produkte von Pearson, einschließlich kundenspezifischer Versionen für einzelne Schulen, und Registrierungen sind nicht übertragbar. Darüber hinaus benötigen Sie möglicherweise eine von Ihrem Dozenten bereitgestellte CourseID, um sich für die MyLab- und Mastering-Produkte von Pearson zu registrieren und diese zu nutzen.

HINWEIS: Stellen Sie sicher, dass Sie bei der Eingabe des Codes die auf dem Zugangskartencode angezeigten Bindestriche verwenden.

Schüler können die folgenden URLs und Telefonnummern verwenden, um ihre Fragen zu beantworten:

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0134996135 / 9780134996134 MyLab Math for Trigsted Trigonometry plus Guided Notebook -- Access Card Package, 3/e

0134751582 / 9780134751580 MyLab Math für Trigsted Trigonometry -- Access Kit, 3/e

0134768116 / 9780134768113 Geführtes Notebook für Trigsted Trigonometry, 3/e

Neu in dieser Ausgabe

· Geführte Visualisierungen erwecken mathematische Konzepte zum Leben und helfen den Schülern, die Konzepte durch gezielte Erkundungen und gezielte Manipulation zu visualisieren. Kirk Trigsted hat die Guided Visualizations speziell für sein Algebra- und Trigonometrie-Programm geschrieben und entwickelt. Sie sind in den eText integriert und können mit Bewertungsübungen in MyLab Math belegt werden, um aktives Lernen, kritisches Denken und konzeptionelles Verständnis zu fördern. Die geführten Visualisierungsübungen sind in MyLab Math mit dem Code „GV“ und im eText mit dem Symbol gekennzeichnet:

· Fragen zur Videobewertung sind zuweisbare MyLab Math-Übungen, die mit wichtigen Videothemen verknüpft sind. Diese Fragen sollen das Verständnis der Schüler zu den wichtigen mathematischen Konzepten überprüfen, die im Video behandelt werden. Die Fragen zum Video-Assessment sind in MyLab Math durch den Code „VQ“ gekennzeichnet.

· Drag-and-Drop-Übungen sind ein neuer MyLab Math-Übungstyp, der es Schülern ermöglicht, Elemente mit mathematischen Ausdrücken, Wörtern, Grafiken oder Bildern aus einem Startbereich in bestimmte Zielbereiche zu ziehen. Die Schüler werden aufgefordert, bei diesen Übungstypen eine höhere Entscheidungsfindung bei ihren Antworten durchzuführen. Dieser Übungstyp wird am häufigsten in den Video-Assessment-Fragen verwendet.

· Verbesserte Beispielzuweisungen werden von Kirk Trigsted erstellt, um den Kursaufbau zu erleichtern, indem den Kursleitern ein Ausgangspunkt für jedes Kapitel gegeben wird. Jede Aufgabe, die vom Autor handverlesen wurde, um sich an diesem Text auszurichten, enthält eine durchdachte Mischung von Fragetypen (z. B. konzeptionell, Fähigkeiten usw.), die für dieses Thema spezifisch sind.

· Skill Builder-Aufgaben bieten adaptive Übungen an, die darauf abzielen, die Fähigkeit der Schüler zu verbessern, ihre Aufgaben zu erledigen. Durch die Überwachung der Schülerleistung bei ihren Hausaufgaben passt sich Skill Builder an die Bedürfnisse jedes Schülers an und bietet Just•in•time-In•Zuweisungsübungen, um ihnen zu helfen, ihre Kenntnisse der wichtigsten Lernziele zu verbessern.

· Das Kapitel wiederholen wird erheblich überarbeitet, darunter 160 neue oder aktualisierte Übungen und 34 neue Videos. Außerdem behandelt ein neuer Abschnitt im Review-Kapitel Operationen mit Radikalen (Abschnitt R.5).

· Interaktive Kapitelzusammenfassungen sind nach Abschnitten geordnet und heben wichtige Konzepte und Definitionen mit nebeneinanderstehenden Beispielen und Videos hervor, um den Schülern das Studium der wichtigsten Konzepte zu erleichtern. Kapitelzusammenfassungen können in MyLab™ Math zugewiesen werden.

· Über 1.200 neue und aktualisierte Übungen, hilft den Schülern, ihre Zeit für Hausaufgaben optimal zu nutzen und die digitale Umgebung zu maximieren, um das konzeptionelle Verständnis zu verbessern. Alle Übungen sind in MyLab Math zuweisbar und erscheinen in der gedruckten eText-Referenz.


Einführung in trigonometrische Funktionen

Das Leben ist dicht mit Phänomenen, die sich in regelmäßigen Abständen wiederholen. Jeden Tag steigen und fallen die Gezeiten beispielsweise als Reaktion auf die Anziehungskraft des Mondes. In ähnlicher Weise erfolgt der Übergang von Tag zu Nacht als Folge der Erdrotation, und das Muster der Jahreszeiten wiederholt sich als Reaktion auf die Erdumdrehung um die Sonne. Außerhalb der Natur werden viele Aktien, die die Gewinne eines Unternehmens widerspiegeln, von Veränderungen im Konjunkturzyklus beeinflusst.

In der Mathematik wird eine Funktion, die ihre Werte in regelmäßigen Abständen wiederholt, als periodische Funktion bezeichnet. Die Graphen solcher Funktionen zeigen eine allgemeine Form, die ein Muster widerspiegelt, das sich ständig wiederholt. Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion in jedem Zyklus an genau derselben Stelle dieselbe Ausgabe hat. Und dies bedeutet, dass alle Zyklen der Funktion genau die gleiche Länge haben. Wenn wir also alle Details eines vollständigen Zyklus einer echten periodischen Funktion kennen, dann kennen wir den Zustand der Ausgaben der Funktion zu allen Zeiten, in der Zukunft und in der Vergangenheit. In diesem Kapitel werden wir verschiedene Beispiele für periodische Funktionen untersuchen.

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    • Autoren: Jay Abramson
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Precalculus
    • Erscheinungsdatum: 23.10.2014
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/precalculus/pages/5-introduction-to-trigonometric-functions

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