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5.2.1: Prozentprobleme lösen - Mathematik


Lernziele

  • Identifizieren Sie den Betrag, die Basis und den Prozentsatz in einem Prozentproblem.
  • Finden Sie das Unbekannte in einem Prozentproblem.

Prozente sind ein Verhältnis aus einer Zahl und 100, daher sind sie einfacher zu vergleichen als Brüche, da sie immer den gleichen Nenner haben, 100. Ein Geschäft kann einen Rabatt von 10 % haben. Der eingesparte Betrag ist immer der gleiche Teil oder Bruchteil des Preises, aber ein höherer Preis bedeutet, dass mehr Geld abgezogen wird. Die Zinsen auf einem Sparkonto funktionieren auf die gleiche Weise. Je mehr Geld Sie auf Ihr Konto einzahlen, desto mehr Geld erhalten Sie an Zinsen. Es ist hilfreich zu verstehen, wie diese Prozentsätze berechnet werden.

Jeff hat einen Gutschein im Guitar Store für 15 % Rabatt auf jeden Einkauf ab 100 $. Er möchte eine gebrauchte Gitarre kaufen, die 220 Dollar kostet. Jeff fragt sich, wie viel Geld der Coupon vom ursprünglichen Preis von 220 US-Dollar abziehen wird.

Bei Problemen mit Prozentangaben kann man mit drei beliebigen Größen arbeiten: Prozent, das Menge, und das Base.

Der Prozentwert hat das Prozentsymbol (%) oder das Wort „Prozent“. Im obigen Problem sind 15% der Prozentsatz des Kaufpreises.

Die Basis ist der Gesamtbetrag. Im obigen Problem beträgt der Gesamtpreis der Gitarre 220 USD, was die Basis darstellt.

Der Betrag ist die Zahl, die sich auf den Prozentsatz bezieht. Es ist immer ein Teil des Ganzen. Im obigen Problem ist der Betrag unbekannt. Da das Prozent das Prozent ist aus, der Betrag ist der Menge aus des Preises.

Sie werden etwas später auf dieses Problem zurückkommen. Die folgenden Beispiele zeigen, wie die drei Teile identifiziert werden: Prozent, Basis und Betrag.

Beispiel

Identifizieren Sie den Prozentsatz, die Menge und die Basis in diesem Problem.

30 sind 20% von welcher Zahl?

Lösung

Prozent: Der Prozentwert ist die Zahl mit dem %-Symbol: 20%.

Base: Die Basis ist der Gesamtbetrag, der in diesem Fall unbekannt ist.

Menge: Der prozentuale Betrag beträgt 30.

Antworten:

Prozent=20%

Betrag = 30

Basis=unbekannt

Das vorherige Problem besagt, dass 30 ein Teil einer anderen Zahl ist. Das heißt, 30 ist der Betrag. Beachten Sie, dass dieses Problem umgeschrieben werden könnte: 20 % von welcher Zahl sind 30?

Ausübung

Identifizieren Sie den Prozentsatz, die Basis und den Betrag in diesem Problem:

Wie viel Prozent von 30 sind 3?

Antworten

Der Prozentsatz ist unbekannt, da das Problem lautet "Was Prozent?" Die Basis ist das Ganze in der Situation, also beträgt die Basis 30. Der Betrag ist der Teil des Ganzen, der in diesem Fall 3 beträgt.

Prozentuale Probleme können schriftlich gelöst werden Gleichungen. Eine Gleichung verwendet ein Gleichheitszeichen (=), um anzuzeigen, dass zwei mathematische Ausdrücke denselben Wert haben.

Prozente sind Brüche, und genau wie bei Brüchen multiplizieren Sie, wenn Sie einen Prozentsatz (oder einen Bruchteil oder einen Teil) eines anderen Betrags finden.

Der Prozentsatz der Basis ist der Betrag.

Prozent des Base ist der Menge.

( ext { Prozent } {color{red}cdot} ext { Basis }{color{blau}=} ext { Betrag })

In den folgenden Beispielen wird das Unbekannte durch den Buchstaben ( ) dargestellt. Das Unbekannte kann durch einen beliebigen Buchstaben oder ein Kästchen (Quadrat) oder sogar ein Fragezeichen dargestellt werden.

Beispiel

Schreiben Sie eine Gleichung, die das folgende Problem darstellt.

30 sind 20% von welcher Zahl?

Lösung

20 % von welcher Zahl sind 30?Formulieren Sie das Problem in der Form „Prozent der Basis ist Betrag“.

Prozent ist: 20%

Basis ist: unbekannt

Betrag ist: 30

Identifizieren Sie den Prozentsatz, die Basis und den Betrag.

( ext { Prozent } cdot ext { Basis }= ext { Betrag })

( 20 \% cdot n=30)

Schreiben Sie die Prozentgleichung. Verwenden von ( n) für die Basis, die der unbekannte Wert ist.

( 20 \% cdot n=30)

Sobald Sie eine Gleichung haben, können Sie sie lösen und den unbekannten Wert finden. Denken Sie dazu über die Beziehung zwischen Multiplikation und Division nach. Schauen Sie sich die folgenden Paare von Multiplikations- und Divisionsfakten an und suchen Sie in jeder Zeile nach einem Muster.

MultiplikationEinteilung
( 2 cdot 3=6)( 6 div 2=3)
( 8 cdot 5=40)( 40 div 8=5)
( 7 cdot 4=28)( 28 div 7=4)
( 6 cdot 9=54)( 54 div 6=9)

Multiplikation und Division sind inverse Operationen. Was der eine mit einer Zahl macht, macht der andere „rückgängig“.

Wenn Sie eine Gleichung wie (20\%cdot n=30) haben, können Sie 30 durch 20% teilen, um die Unbekannte zu finden: ( n=30 div 20 \%).

Sie können dies lösen, indem Sie den Prozentsatz als Dezimalzahl oder Bruch schreiben und dann teilen.

( n=30 div 20 \%=30 div 0.20=150)

Beispiel

Wie viel Prozent von 72 sind 9?

Lösung

Prozent: unbekannt

Basis: 72

Betrag: 9

Identifizieren Sie den Prozentsatz, die Basis und den Betrag.
( n cdot 72=9)Schreiben Sie die Prozentgleichung: ( ext { Prozent } cdot ext { Basis }= ext { Betrag }). Verwenden Sie ( n) für das Unbekannte (Prozent).
( n=9 div 72)Dividiere, um die Multiplikation von ( n) mal 72 rückgängig zu machen.
( egin{array}{r}
0.125 \
72longdiv{9.000}
end{array})
Dividiere 9 durch 72, um den Wert für ( ), das Unbekannte, zu finden.

( =0,125)

( =12,5\%)

Verschieben Sie den Dezimalpunkt um zwei Stellen nach rechts, um die Dezimalstelle in Prozent zu schreiben.

( 12,5 \% ext { von } 72 ext { ist } 9).

Sie können abschätzen, ob die Antwort angemessen ist. Verwenden Sie 10 % und 20 %, Zahlen nahe 12,5 %, um zu sehen, ob Sie der Antwort nahe kommen.

( 10 \% ext { von } 72=0,1 cdot 72=7,2)

( 20 \% ext { von } 72=0,2 cdot 72=14,4)

Beachten Sie, dass 9 zwischen 7,2 und 14,4 liegt, also sind 12,5% angemessen, da sie zwischen 10% und 20% liegen.

Beispiel

Was sind 110% von 24?

Lösung

Prozent: 110%

Basis: 24

Betrag: unbekannt

Identifizieren Sie den Prozentsatz, die Basis und den Betrag.
( 110 \% cdot 24=n)

Schreiben Sie die Prozentgleichung.

( ext { Prozent } cdot ext { Basis }= ext { Betrag }).

Der Betrag ist unbekannt, also verwenden Sie ( n).

( 1.10 cdot 24=n)Schreiben Sie den Prozentwert als Dezimalzahl, indem Sie das Komma um zwei Stellen nach links verschieben.
( 1,10 cdot 24=26.4=n)Multiplizieren Sie 24 mit 1,10 oder 1,1.

( 26,4 ext { ist } 110 \% ext { von } 24).

Dieses Problem ist etwas einfacher einzuschätzen. 100 % von 24 sind 24. Und 110 % sind etwas mehr als 24. 26,4 ist also eine vernünftige Antwort.

Ausübung

18 ist wie viel Prozent von 48?

  1. ( 0.375 \%)
  2. ( 8.64 \%)
  3. ( 37.5 \%)
  4. ( 864 \%)
Antworten
  1. ( 0.375 \%)

    Falsch. Sie haben vielleicht richtig gerechnet, aber Sie haben vergessen, den Dezimalpunkt zu verschieben, als Sie Ihre Antwort in Prozent umgeschrieben haben. Die Gleichung für dieses Problem lautet ( n cdot 48=18). Die entsprechende Division ist ( 18 div 48), also ( n=0.375). Wenn Sie diese Dezimalzahl in Prozent umschreiben, erhalten Sie die richtige Antwort, ( 37,5 \%).

  2. ( 8.64 \%)

    Falsch. Möglicherweise haben Sie ( 18) oder ( 48) als Prozentwert und nicht als Betrag oder Basis verwendet. Die Gleichung für dieses Problem lautet ( n cdot 48=18). Die entsprechende Division ist ( 18 div 48), also ( n=0.375). Wenn Sie diese Dezimalzahl in Prozent umschreiben, erhalten Sie die richtige Antwort, ( 37,5 \%).

  3. ( 37.5 \%)

    Richtig. Die Gleichung für dieses Problem lautet ( n cdot 48=18). Die entsprechende Division ist ( 18 div 48), also ( n=0.375). Umschreiben dieser Dezimalzahl in Prozent ergibt ( 37,5 \%).

  4. ( 864 \%)

    Falsch. Sie haben wahrscheinlich 18 oder 48 als Prozent anstelle des Betrags oder der Basis verwendet und vergessen, den Prozentwert vor der Multiplikation in eine Dezimalzahl umzuschreiben. Die Gleichung für dieses Problem lautet ( n cdot 48=18). Die entsprechende Division ist ( 18 div 48), also ( n=0.375). Wenn Sie diese Dezimalzahl in Prozent umschreiben, erhalten Sie die richtige Antwort, ( 37,5 \%).

Prozentprobleme können auch gelöst werden, indem man a . schreibt Anteil. Ein Anteil ist eine Gleichung, die zwei Verhältnisse oder Brüche gleichsetzt. Bei Prozentproblemen ist eines der Verhältnisse das Prozent, geschrieben als (frac{n}{100}). Das andere Verhältnis ist die Menge zur Basis.

( ext { Prozent }=frac{ ext { Betrag}}{ ext { Basis}})

Beispiel

Schreiben Sie einen Anteil, um die Antwort auf die folgende Frage zu finden.

30 sind 20% von welcher Zahl?

Lösung

( frac{20}{100}=frac{ ext { Betrag}}{ ext { Basis}})Der Prozentsatz in diesem Problem beträgt 20 %. Schreiben Sie diesen Prozentsatz in Bruchform mit 100 als Nenner.
( frac{20}{100}=frac{30}{n})Der Prozentsatz wird als Verhältnis (frac{20}{100}) geschrieben, der Betrag beträgt 30 und die Basis ist unbekannt.
( egin{array}{r}
20 cdot n=30 cdot 100
20 cdot n=3.000
n=3.000 div 20
n=150
end{array})
Kreuzen Sie multiplizieren und lösen Sie nach dem Unbekannten ( ) auf, indem Sie 3.000 durch 20 teilen.

30 sind 20 % von 150.

Beispiel

Wie viel Prozent von 72 sind 9?

Lösung

( egin{array}{r}
ext { Prozent }=frac{ ext { Betrag}}{ ext { Basis}}
frac{n}{100}=frac{9}{72}
end{array})
Der Prozentsatz ist das Verhältnis von ( ) zu 100. Der Betrag ist 9, und die Basis ist 72.
( egin{array}{r}
n cdot 72=9 cdot 100
n cdot 72=900
n=900 div 72
n=12,5
end{array})
Kreuzen Sie multiplizieren und lösen Sie nach ( n) auf, indem Sie 900 durch 72 teilen.
( 12,5 \% ext { von } 72 ext { ist } 9)Der Prozentsatz ist ( frac{12,5}{100}=12,5 \%).

Beispiel

Was sind 110% von 24?

Lösung

( egin{array}{l}
ext { Prozent }=frac{ ext { Betrag}}{ ext { Basis}}
frac{110}{100}=frac{n}{24}
end{array})
Der Prozentsatz ist das Verhältnis ( frac{110}{100}). Der Betrag ist unbekannt und die Basis beträgt 24.
( egin{array}{r}
24 cdot 110=100 cdot n
2.640 div 100=n
26,4=n
end{array})
Kreuzmultipliziere und löse nach ( n) auf, indem du 2.640 durch 100 dividierst.
( 26,4 ext { ist } 110 \% ext { von } 24)

Ausübung

18 sind 125% von welcher Zahl?

  1. ( 0.144)
  2. ( 14.4)
  3. ( 22.5)
  4. ( 694 frac{4}{9}) (oder über ( 694.4))
Antworten
  1. ( 0.144)

    Falsch. Sie haben wahrscheinlich keinen Anteil geschrieben und nur 18 durch 125 geteilt. Oder Sie haben einen Bruch fälschlicherweise als ( frac{18}{125}) und gleich der Basis ( n ). Der Prozentsatz beträgt in diesem Fall 125%, also sollte ein Bruchteil des Anteils ( frac{125}{100}) sein. Die Basis ist unbekannt und der Betrag ist 18, also ist der andere Bruch (frac{18}{n}). Das Auflösen des Verhältnisses (frac{125}{100}=frac{18}{n}) ergibt ( =14,4).

  2. ( 14.4)

    Richtig. Der Prozentsatz beträgt in diesem Fall 125%, also sollte ein Bruchteil des Anteils ( frac{125}{100}) sein. Die Basis ist unbekannt und der Betrag ist 18, also ist der andere Bruch (frac{18}{n}). Das Auflösen des Verhältnisses (frac{125}{100}=frac{18}{n}) ergibt ( =14,4).

  3. ( 22.5)

    Falsch. Sie geben wahrscheinlich den Betrag (18) über 100 in den Anteil ein und nicht den Prozentsatz (125). Vielleicht dachten Sie, 18 sei der Prozentsatz und 125 die Basis. Der richtige Prozentanteil für den Anteil ist ( frac{125}{100}). Die Basis ist unbekannt und der Betrag ist 18, also ist der andere Bruch (frac{18}{n}). Das Auflösen des Verhältnisses (frac{125}{100}=frac{18}{n}) ergibt ( =14,4).

  4. ( 694 frac{4}{9}) (oder über ( 694.4))

    Falsch. Wahrscheinlich haben Sie beim Einrichten des Anteils den Betrag (18) mit dem Prozentsatz (125) verwechselt. Der korrekte Prozentanteil für den Anteil ist ( frac{125}{100}). Die Basis ist unbekannt und der Betrag ist 18, also ist der andere Bruch (frac{18}{n}). Das Auflösen des Verhältnisses (frac{125}{100}=frac{18}{n}) ergibt ( =14,4).

Kehren wir zu dem eingangs gestellten Problem zurück. Sie können dieses Problem nun wie im folgenden Beispiel gezeigt lösen.

Beispiel

Jeff hat einen Gutschein im Guitar Store für 15 % Rabatt auf jeden Einkauf ab 100 $. Jeff fragt sich, wie viel Geld der Gutschein vom ursprünglichen Preis von 220 US-Dollar abgezogen wird.

Lösung

Wie viel sind 15 % von 220 $?Vereinfachen Sie die Probleme, indem Sie zusätzliche Wörter eliminieren.

Prozent: 15%

Basis: 220

Betrag: ( )

Identifizieren Sie den Prozentsatz, die Basis und den Betrag.
( 15 \% cdot 220=n)

Schreiben Sie die Prozentgleichung.

( ext { Prozent } cdot ext { Basis }= ext { Betrag })

( 0.15 cdot 220=33)Wandeln Sie 15 % in 0,15 um und multiplizieren Sie dann mit 220. 15 % von 220 $ sind 33 $.

Der Coupon wird $33 vom ursprünglichen Preis abziehen.

Sie können abschätzen, ob die Antwort vernünftig ist. Da 15 % zwischen 10 % und 20 % liegen, finden Sie diese Zahlen.

( egin{array}{l}
10 \% ext { von } 220=0,1 cdot 220=22
20 \% ext { of } 220=0,2 cdot 220=44
end{array})

Die Antwort, 33, liegt zwischen 22 und 44. 33 Dollar erscheinen also angemessen.

Es gibt viele andere Situationen, in denen Prozente beteiligt sind. Unten sind nur einige.

Beispiel

Evelyn kaufte einige Bücher im örtlichen Buchladen. Ihre Gesamtrechnung betrug 31,50 US-Dollar, einschließlich 5 % Steuern. Wie viel haben die Bücher vor Steuern gekostet?

Lösung

Welche Zahl +5% dieser Zahl sind $31,50?Bei diesem Problem wissen Sie, dass die Steuer in Höhe von 5% auf die Buchkosten angerechnet wird. Wenn die Bücher also 100 % kosten, betragen die Kosten zuzüglich Steuern 105 %.

105 % von welcher Zahl = 31,50?

Prozent: 105%

Basis: ( n)

Betrag: 31.50

Identifizieren Sie den Prozentsatz, die Basis und den Betrag.
( 105 \% cdot n=31.50)

Schreiben Sie die Prozentgleichung.

( ext { Prozent } cdot ext { Basis }= ext { Betrag }).

( 1,05 cdot n=31,50)Wandeln Sie 105 % in eine Dezimalzahl um.
( =31,50 div 1,05=30)Dividiere, um die Multiplikation von ( n) mal 1,05 rückgängig zu machen.

Die Bücher kosten 30 US-Dollar vor Steuern.

Beispiel

Susana hat letzte Woche 20 Stunden in ihrem Job gearbeitet. Diese Woche hat sie 35 Stunden gearbeitet. In Prozent ausgedrückt, wie viel mehr hat sie diese Woche gearbeitet als letzte Woche?

Lösung

35 ist wie viel Prozent von 20?Vereinfachen Sie das Problem, indem Sie zusätzliche Wörter entfernen.

Prozent: ( n)

Basis: 20

Betrag: 35

Identifizieren Sie den Prozentsatz, die Basis und den Betrag.
( cdot 20=35)

Schreiben Sie die Prozentgleichung.

( ext { Prozent } cdot ext { Basis }= ext { Betrag }).

( n=35 div 20)Dividiere, um die Multiplikation von ( n) mal 20 rückgängig zu machen.
( =1,75=175\%)Wandle 1,75 in ein Prozent um.

Da 35 175% von 20 sind, arbeitete Susana diese Woche 75% mehr als letzte Woche. (Sie können sich das so vorstellen: „Susana hat 100 % der Stunden gearbeitet, die sie letzte Woche gearbeitet hat, sowie 75 % mehr.“)

Prozentprobleme bestehen aus drei Teilen: dem Prozent, der Basis (oder dem ganzen) und dem Betrag. Jeder dieser Teile kann der zu findende unbekannte Wert sein. Um Prozentprobleme zu lösen, können Sie die Gleichung ( ext { Prozent } cdot ext { Basis }= ext { Betrag }) verwenden und nach den unbekannten Zahlen auflösen. Oder Sie können den Anteil ( ext { Prozent }=frac{ ext { Betrag}}{ ext { Basis}}) einrichten, wobei der Prozentsatz ein Verhältnis einer Zahl zu 100 ist kann dann Kreuzmultiplikation verwenden, um den Anteil zu lösen.


Schau das Video: Prozentrechnung: Prozent ausrechnen mit Prozentwert; Prozentsatz; Prozentformel. Beispiel 3 (Oktober 2021).