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1.8E: Übungen - Variation - Mathematik


von: R_Bücherregale/Algebra/Book:_Advanced_Algebra_(Redden)/04:_Polynomial_and_Rational_Functions/408:_Applications_and_Variation
M(Marecek)_Bookshelves/Algebra/Book:_Elementary_Algebra_(OpenStax)/08:_Rational_Expressions_and_Equations/8.09:_Use_Direct_and_Inverse_Variation

A: Übersetze Wörter in eine Formel

Übung (PageIndex{A}): Übersetze Wörter in eine Formel

Übersetzen Sie jeden der folgenden Sätze in eine mathematische Formel.

1. Die Entfernung (D), die ein Auto zurücklegen kann, ist direkt proportional zur Zeit (t), die es mit konstanter Geschwindigkeit zurücklegt.

2. Die Ausdehnung einer hängenden Feder (d) ist direkt proportional zu dem an ihr befestigten Gewicht (w).

3. Der Bremsweg (d) eines Autos ist direkt proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit (v) des Autos.

4. Das Volumen (V) einer Kugel ändert sich direkt als die Kubik ihres Radius (r).

5. Das Volumen (V) einer bestimmten Gasmasse ist umgekehrt proportional zum darauf ausgeübten Druck (p).

6. Jedes Materieteilchen im Universum zieht jedes andere Teilchen mit einer Kraft (F) an, die direkt proportional zum Produkt der Massen (m_{1}) und (m_{2}) der Teilchen und ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands d zwischen ihnen.

7. Der einfache Zins (I) ist gemeinsam proportional zum Jahreszins (r) und der Zeit (t) in Jahren, in der ein fester Geldbetrag angelegt wird.

8. Die Zeit (t), die ein Objekt zum Fallen benötigt, ist direkt proportional zur Quadratwurzel der Entfernung (d), die es fällt.

Antworten 1-7:
1. (D=kt)3. (d=kv^{2})5. (V = frac{k}{p})7. (I=krt)

( großer Star)

B: Wörter übersetzen und eine Formel finden

Übung (PageIndex{B}): Wörter übersetzen und eine Formel finden

Konstruieren Sie ein mathematisches Modell, das Folgendes gegeben ist:

9. (y) ändert sich direkt als (x) und (y=30) wenn (x=6).

10. (y) ändert sich direkt als (x) und (y=52) wenn (x=4).

11. (y) ist direkt proportional zu (x) und (y=12) wenn (x=3).

12. (y) ist direkt proportional zu (x) und (y=120) wenn (x=20).

13. (y) ist direkt proportional zu (x) und (y=3) wenn (x=9).

14. (y) ist direkt proportional zu (x) und (y=21) wenn (x=3).

15. (y) ändert sich umgekehrt zu (x) und (y=2) wenn (x=frac{1}{8}).

16. (y) ändert sich umgekehrt zu (x) und (y=frac{3}{2}) wenn (x=frac{1}{9}).

17. (y) ist gemeinsam proportional zu (x) und (z), wobei (y=2) für (x=1) und (z=3) gilt.

18. (y) ist gemeinsam proportional zu (x) und (z), wobei (y=15) für (x=3) und (z=7) gilt.

19. (y) variiert gemeinsam als (x) und (z), wobei (y=frac{2}{3}) gilt, wenn (x=frac{1}{2} ) und (z=12).

20. (y) variiert gemeinsam als (x) und (z), wobei (y=5) wenn (x=frac{3}{2}) und (z= frac{2}{9}).

21. (y) ändert sich direkt als das Quadrat von (x), wobei (y=45) wenn (x=3) ist.

22. (y) ändert sich direkt als das Quadrat von (x), wobei (y=3) wenn (x=frac{1}{2}) gilt.

23. (y) ist umgekehrt proportional zum Quadrat von (x), wobei (y=27) wenn (x=frac{1}{3}) gilt.

24. (y) ist umgekehrt proportional zum Quadrat von (x), wobei (y=9) wenn (x=frac{2}{3}) gilt.

25. (y) variiert gemeinsam als (x) und das Quadrat von (z), wobei (y=6) wenn (x=frac{1}{4}) und (z=frac{2}{3}).

26. (y) variiert gemeinsam als (x) und (z) und umgekehrt als das Quadrat von (w), wobei (y=5) wenn (z=1, z= 3) und (w=frac{1}{2}).

27. (y) variiert direkt als Quadratwurzel von (x) und umgekehrt als Quadrat von (z), wobei (y=15) wenn (x=25) und ( z=2).

28. (y) ändert sich direkt als das Quadrat von (x) und umgekehrt als (z) und das Quadrat von (w), wobei (y=14) wenn (x=4 , w=2) und (z=2).

Antworten 9-27:

9. (y=5x)

11. (y=4x)

13. (y=frac{27}{x})

15. (y=frac{1}{4x})

17. (y=frac{2}{3}xz)

19. (y=frac{1}{9}xz)

21. (y=5x^{2})

23. (y = frac { 3 } { x ^ { 2 } })

25. (y = 54 x z ^ { 2 })

27. (y = frac { 12 sqrt { x } } { z ^ { 2 } })

( großer Star)

C: Direkte Variationsprobleme

Aufgabe (PageIndex{C}): Probleme der direkten Variation

Lösen Sie Anwendungen mit Variationen.

29. Der Umsatz in Dollar ist direkt proportional zur Anzahl der verkauften Marken-Sweatshirts. Der Umsatz aus dem Verkauf von (25) Sweatshirts beträgt ($318,75). Bestimmen Sie den Umsatz, wenn (30) Sweatshirts verkauft werden.

30. Die Verkaufssteuer beim Kauf eines Neuwagens variiert direkt mit dem Preis des Autos. Wenn ein ($18.000) Neuwagen gekauft wird, dann beträgt die Verkaufssteuer ($1.350). Wie viel Umsatzsteuer wird berechnet, wenn der Preis des neuen Autos (22.000 $) beträgt?

31. Der Preis einer Stammaktie eines Unternehmens ist direkt proportional zum Gewinn pro Aktie (EPS) der letzten (12) Monate. Wenn der Preis einer Stammaktie eines Unternehmens 22,55 USD beträgt und der EPS mit (1,10 USD) veröffentlicht wird, bestimmen Sie den Wert der Aktie, wenn der EPS um (0,20 USD) steigt.

32. Die auf einem Roadtrip zurückgelegte Strecke hängt direkt von der auf der Straße verbrachten Zeit ab. Wenn eine (126)-Meilen-Fahrt in (3) Stunden zurückgelegt werden kann, welche Entfernung kann dann in (4) Stunden zurückgelegt werden?

33. Der Umfang eines Kreises ist direkt proportional zu seinem Radius. Der Umfang eines Kreises mit Radius (7) Zentimeter wird als (14π) Zentimeter gemessen. Was ist die Proportionalitätskonstante?

34. Die Fläche des Kreises variiert direkt als das Quadrat seines Radius. Die Fläche eines Kreises mit Radius (7) Zentimeter wird zu (49π) Quadratzentimeter bestimmt. Was ist die Proportionalitätskonstante?

35. Die Oberfläche einer Kugel ändert sich direkt als das Quadrat ihres Radius. Wenn der Radius einer Kugel (2) Meter beträgt, misst die Oberfläche (16π) Quadratmeter. Bestimme die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius (3) Meter.

36. Das Volumen einer Kugel ändert sich direkt als Würfel ihres Radius. Wenn der Radius einer Kugel (3) Meter beträgt, beträgt das Volumen (36π) Kubikmeter. Bestimme das Volumen einer Kugel mit Radius (1) Meter.

37. Bei einer festen Höhe ist das Volumen eines Kegels direkt proportional zum Quadrat des Radius an der Basis. Wenn der Radius an der Basis (10) Zentimeter beträgt, beträgt das Volumen (200) Kubikzentimeter. Bestimmen Sie das Volumen des Kegels, wenn der Radius der Basis halbiert wird.

38. Die Entfernung (d), die ein Objekt im freien Fall fällt, variiert direkt mit dem Quadrat der Zeit (t), die es fällt. Wenn ein Objekt im freien Fall in (1,5) Sekunden um (36) Fuß fällt, wie weit wird es dann in (3) Sekunden gefallen sein?

Das Hookesche Gesetz besagt, dass die Ausdehnung einer hängenden Feder direkt proportional zum daran befestigten Gewicht ist. Die Variationskonstante wird als Federkonstante bezeichnet.Robert Hooke (1635-1703)

39. Eine hängende Feder wird um (5) Zoll gedehnt, wenn ein (20)-Pfund-Gewicht daran befestigt wird. Bestimmen Sie seine Federkonstante.

40. Eine hängende Feder wird (3) Zentimeter gedehnt, wenn ein (2)-Kilogramm-Gewicht daran befestigt wird. Bestimmen Sie die Federkonstante.

41. Wenn eine hängende Feder um (3) Zoll gedehnt wird, wenn ein (2)-Pfund-Gewicht angebracht ist, wie weit wird sie sich dann strecken, wenn ein (5)-Pfund-Gewicht angebracht ist?

42. Wenn eine hängende Feder (6) Zentimeter gedehnt wird, wenn ein (4)-Kilogramm-Gewicht daran befestigt ist, wie weit wird sie sich dann mit einem (2)-Kilogramm-Gewicht strecken?

Der Bremsweg eines Autos ist direkt proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit.

43. Es dauert (36) Fuß, um ein bestimmtes Auto anzuhalten, das sich mit einer Geschwindigkeit von (30) Meilen pro Stunde bewegt. Wie viel Bremsweg ist erforderlich, wenn die Geschwindigkeit (35) Meilen pro Stunde beträgt?

44. Nach einem Unfall wurde festgestellt, dass ein Fahrer (80) Fuß brauchte, um sein Auto anzuhalten. In einem Experiment unter ähnlichen Bedingungen dauert es (45) Fuß, um das Auto mit einer Geschwindigkeit von (30) Meilen pro Stunde anzuhalten. Schätzen Sie, wie schnell sich der Fahrer vor dem Unfall bewegte.

45. Die Periode (T) eines Pendels ist direkt proportional zur Quadratwurzel seiner Länge (L). Wenn die Länge eines Pendels (1) Meter beträgt, dann beträgt die Periode ungefähr (2) Sekunden. Schätzen Sie die Periode eines Pendels mit einer Länge von (0,5) Meter.

46. ​​Die Zeit (t), die ein Objekt braucht, um zu fallen, ist direkt proportional zur Quadratwurzel der Entfernung (d), die es fällt. Ein aus (4) Fuß fallender Gegenstand braucht (frac{1}{2}) Sekunden, um den Boden zu berühren. Wie lange dauert es, bis ein aus (5) Fuß fallender Gegenstand auf den Boden fällt?

Antworten 29-45:

29. ($382.50)

31. ($26.65)

33. (2π)

35. (36π) Quadratmeter

37. (50) Kubikzentimeter

39. (frac{1}{4})

41. (7,5) Zoll

43. (49) Fuß

45. (1.4) Sekunden

( großer Star)

D: Inverse Variationsprobleme

Aufgabe (PageIndex{D}): Inverse Variationsprobleme

47. Um eine Wippe auszubalancieren, ist der Abstand vom Drehpunkt, den eine Person sitzen muss, umgekehrt proportional zu ihrem Gewicht. Wenn ein (72)-Pfund-Junge (3) Fuß vom Drehpunkt entfernt sitzt, wie weit muss ein (54)-Pfund-Junge vom Drehpunkt entfernt sitzen, um die Wippe auszubalancieren?

48. Der Strom (I) in einem elektrischen Leiter ist umgekehrt proportional zu seinem Widerstand (R). Wenn der Strom (frac{1}{4}) Ampere beträgt, wenn der Widerstand (100) Ohm beträgt, wie hoch ist dann der Strom, wenn der Widerstand (150) Ohm beträgt?

49. Die Beleuchtungsstärke (I) ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung (d) von einer Lichtquelle. Wenn (70) Fußkerzen Beleuchtung (2) Fuß von einer Lampe entfernt gemessen wird, welche Beleuchtungsstärke könnten wir dann (frac{1}{2}) Fuß von der Lampe entfernt erwarten?

50. Wenn (40) Fußkerzen Beleuchtung (3) Fuß von einer Lampe entfernt gemessen wird, in welcher Entfernung können wir (10) Fußkerzen Beleuchtung erwarten?

Das Boyle-Gesetz besagt, dass bei konstanter Temperatur das Volumen (V) einer bestimmten Gasmasse umgekehrt proportional zum darauf ausgeübten Druck (p) ist.

Robert Boyle (1627-1691)

51. Ein Ballon wird auf einem Tauchboot unter (1) Atmosphärendruck auf ein Volumen von (216) Kubikzoll gefüllt. Wenn der Ballon ungefähr (33) Fuß unter Wasser gebracht wird, wo der Druck (2) Atmosphären misst, wie groß ist dann das Volumen des Ballons?

52. Ein Ballon wird zu (216) Kubikzoll unter einem Druck von (3) Atmosphären in einer Tiefe von (66) Fuß gefüllt. Wie groß wäre das Volumen an der Oberfläche, wo der Druck (1) Atmosphäre beträgt?

Antworten 47-51:
47. (4) Fuß49. (1.120) Fußkerzen51. (108) Kubikzoll

( großer Star)

E: Gemeinsame und kombinierte Variante

Übung (PageIndex{E}): Gemeinsame und kombinierte Variation

53. Die Anzahl der Männer, dargestellt durch (y), die benötigt werden, um eine Kopfsteinpflasterauffahrt zu verlegen, ist direkt proportional zur Fläche (A) der Auffahrt und umgekehrt proportional zur Zeit (t), die für vervollständigen die Arbeit. Normalerweise können (3) Männer in (4) Stunden (1,200) Quadratfuß Kopfsteinpflaster verlegen. Wie viele Männer werden in (6) Stunden benötigt, um (2.400) Quadratfuß Kopfsteinpflaster zu verlegen?

54. Das Volumen eines geraden Kreiszylinders variiert gemeinsam als Quadrat seines Radius und seiner Höhe. Ein gerader Kreiszylinder mit einem (3)-Zentimeter-Radius und einer Höhe von (4) Zentimetern hat ein Volumen von (36π) Kubikzentimetern. Finden Sie eine Formel für das Volumen eines geraden Kreiszylinders in Bezug auf seinen Radius und seine Höhe.

Newtons universelles Gravitationsgesetz besagt, dass jedes Materieteilchen im Universum jedes andere Teilchen mit einer Kraft (F) anzieht, die direkt proportional zum Produkt der Massen (m_{1}) und (m_{2 .) ist }) der Teilchen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands (d) zwischen ihnen. Die Proportionalitätskonstante wird als Gravitationskonstante bezeichnet.Sir Isaac Newton (1643-1727)

55. Wenn zwei Objekte mit den Massen (50) Kilogramm und (100) Kilogramm (frac{1}{2}) Meter voneinander entfernt sind, dann erzeugen sie ungefähr (1,34 × 10^{−6} ) Newton (N) Kraft. Berechnen Sie die Gravitationskonstante.

56. Verwenden Sie die Gravitationskonstante aus der vorherigen Übung, um eine Formel zu schreiben, die die Kraft (F) in Newton zwischen zwei Massen (m_{1}) und (m_{2}) approximiert, ausgedrückt in Kilogramm, gegebenen Abstand (d) zwischen ihnen in Metern.

57. Berechnen Sie die Kraft in Newton zwischen Erde und Mond, vorausgesetzt, die Masse des Mondes beträgt ungefähr (7,3 × 10^{22}) Kilogramm, die Masse der Erde beträgt ungefähr (6,0 × 10^{24}). ) Kilogramm, und der Abstand zwischen ihnen beträgt im Durchschnitt (1,5 × 10^{11}) Meter.

58. Berechnen Sie die Kraft in Newton zwischen Erde und Sonne, vorausgesetzt, die Masse der Sonne beträgt ungefähr (2.0 × 10^{30}) Kilogramm, die Masse der Erde beträgt ungefähr (6.0 × 10^{24}). ) Kilogramm, und der Abstand zwischen ihnen beträgt im Durchschnitt (3,85 × 10^{8}) Meter.

59. Wenn (y) direkt als Quadrat von (x) variiert, wie ändert sich dann (y), wenn (x) verdoppelt wird?

60. Wenn (y) umgekehrt zum Quadrat von (t) variiert, wie ändert sich dann (y), wenn (t) verdoppelt wird?

61. Wenn (y) direkt als Quadrat von (x) und umgekehrt als Quadrat von (t) variiert, wie ändert sich dann (y), wenn sowohl (x) als auch ( t) werden verdoppelt?

Antworten 53-61:

53. (4) Männer

55. (6.7 imes 10 ^ { - 11 } mathrm { Nm} ^ { 2 } / mathrm { kg } ^ { 2 })

57. (1.98 imes 10 ^ { 20 } mathrm { N })

59. (y) ändert sich um den Faktor (4)

61. (y) bleibt unverändert

( großer Star)

xxx

F: Mehr Variationsprobleme

Aufgabe (PageIndex{F}): Variationsanwendungen

Lösen Sie die folgenden Variationsprobleme.

71. Die Anzahl der Kalorien, C, verbrannt variiert direkt mit der Zeit, T, Sport verbrachte. Arnold verbrannte 312 Kalorien in 65 Minuten Training. Wie viele Kalorien würde er verbrennen, wenn er 90 Minuten lang trainiert?

72. Die Anzahl der Gallonen Benzin, die ein Auto verbraucht, hängt direkt von der Anzahl der gefahrenen Kilometer ab. Beim Fahren von 469,8 Meilen wurden 14,5 Gallonen Benzin verbraucht. Wie viel Liter Benzin würde das Auto verbrauchen, wenn es 1000 Meilen gefahren würde?

73. Das Gewicht einer Flüssigkeit ändert sich direkt als ihr Volumen. Eine Flüssigkeit, die 24 Pfund wiegt, hat ein Volumen von 4 Gallonen. Wenn eine Flüssigkeit ein Volumen von 13 Gallonen hat, wie hoch ist ihr Gewicht?

74. Die maximale Last, die ein Balken trägt, variiert direkt mit dem Quadrat der Diagonale des Balkenquerschnitts. Ein Balken mit einer Diagonale von 4 Zoll trägt eine maximale Last von 75 Pfund. Was ist die maximale Last, die von einem Träger mit einer Diagonale von 8 Zoll getragen werden kann?

75. Die Fläche eines Kreises ändert sich direkt als das Quadrat des Radius. Eine kreisförmige Pizza mit einem Radius von 6 Zoll hat eine Fläche von 113,04 Quadratzoll. Welche Fläche hat eine Pizza mit einem Radius von 9 Zoll?

76. Der Kraftstoffverbrauch (mpg) eines Autos variiert umgekehrt mit seinem Gewicht. Ein Auto, das 3100 Pfund wiegt, bekommt 26 mpg auf der Autobahn. Wie hoch wäre der Kraftstoffverbrauch eines Autos, das 4030 Pfund wiegt?

77. Der Wert eines Autos variiert umgekehrt mit seinem Alter. Wenn ein zwei Jahre altes Auto 20.000 US-Dollar wert ist, welchen Wert hat es dann, wenn es 5 Jahre alt ist?

78. Die Anzahl der Stunden, die das Eis zum Schmelzen benötigt, variiert umgekehrt mit der Lufttemperatur. Angenommen, ein Eisblock schmilzt in 2 Stunden, wenn die Temperatur 65 Grad beträgt. Wie viele Stunden würde es dauern, bis der gleiche Eisblock schmilzt, wenn die Temperatur 78 Grad beträgt?

79. Die Kraft, die erforderlich ist, um ein Brett zu brechen, variiert umgekehrt mit seiner Länge. Richard verwendet 24 Pfund Druck, um ein 2 Fuß langes Brett zu brechen. Wie viel Druck wird benötigt, um ein 5 Fuß langes Brett zu zerbrechen?

80. Bei Menschen mit ungefähr gleichem Körperbau variiert das Gewicht der Person mit dem Kubikmeter ihrer Körpergröße. Wenn eine Person mit einer Körpergröße von 65 Zoll 125 Pfund wiegt, wie viel würde eine Person mit einer Größe von 75 Zoll mit einer ähnlichen Statur voraussichtlich wiegen?

81. Der Kraftstoffverbrauch (mpg) eines Autos variiert umgekehrt mit seinem Gewicht. Ein Ford Focus wiegt 3000 Pfund und bekommt 28,7 mpg auf der Autobahn. Wie hoch wäre der Kraftstoffverbrauch für einen Ford Expedition, der 5.500 Pfund wiegt? Runden Sie auf das nächste Zehntel.

82. Der BMI (Body-Mass-Index) einer Person variiert direkt mit ihrem Gewicht und umgekehrt mit dem Quadrat ihrer Körpergröße. Angenommen eine Person, die 180 Pfund wiegt und 60 Zoll groß ist, hat einen BMI von 35,2, was ist der BMI für jemanden, der 150 Pfund und 68 Zoll groß ist?

83. Die maximale Last (L), die eine zylindrische Säule mit kreisförmigem Querschnitt tragen kann, variiert direkt als vierte Potenz des Durchmessers (d) und umgekehrt als das Quadrat der Höhe (h). Wenn eine 8,0 m Säule mit einem Durchmesser von 2,0 m 64 Tonnen trägt, wie viele Tonnen kann dann eine Säule mit einer Höhe von 12,0 m und einem Durchmesser von 3,0 m tragen?

84. Der Wärmeverlust pro Stunde durch ein Glasfenster variiert direkt mit der Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Außentemperatur und umgekehrt mit der Dicke des Glases. Ein 0,3 cm dickes Fenster verliert 2,4 BTU pro Stunde, wenn die Außentemperatur 50 Grad Fahrenheit beträgt und die Innentemperatur 70 Grad Fahrenheit beträgt. Wie hoch ist der Wärmeverlust bei einem 1,5 cm dicken Fenster bei einer Außentemperatur von 30 Grad Fahrenheit und einer Innentemperatur von 70 Grad Fahrenheit?

85. Der Wärmeverlust eines Glasfensters variiert zusammen mit der Fensterfläche und dem Unterschied zwischen Außen- und Innentemperatur. Ein Fenster von 3 Fuß Breite und 6 Fuß Länge verliert 1200 Btu pro Stunde, wenn die Außentemperatur 20 Grad kälter ist als die Innentemperatur. Finden Sie den Wärmeverlust durch ein Glasfenster, das 6 Fuß breit und 9 Fuß lang ist, wenn die Außentemperatur 10 Grad kälter ist als die Innentemperatur.

86. Die Schallintensität ändert sich umgekehrt als die Quadratwurzel der Entfernung von der Schallquelle. Wenn Sie sich in einem Kino befinden und Ihren Sitz auf einen doppelt so weit von den Lautsprechern entfernten Sitzplatz wechseln, wie verhält sich die neue Klangintensität im Vergleich zu Ihrem ursprünglichen Sitzplatz?

87. Die Anzahl der Stunden (h), die (p) Personen brauchen, um (m) Maschinen zusammenzubauen, variiert direkt mit der Anzahl der Maschinen und umgekehrt mit der Anzahl der Personen. Wenn vier Personen in vier Stunden 12 Maschinen montieren können, wie viele Personen werden dann benötigt, um 36 Maschinen in acht Stunden zu montieren?

88. Die Zeitdauer T benötigt, um eine Mauer zu bauen, hängt direkt von der Anzahl der Steine ​​ab B Bedarf und umgekehrt wie die Zahl der Arbeiter w. Wenn sechs Arbeiter 18 Stunden brauchen, um eine Wand aus 2400 Ziegeln zu bauen, wie lange würde es dann dauern, eine Wand aus 4500 Ziegeln mit 10 Arbeitern zu bauen?

Antworten 71-85:
71. 432 Kalorien73. 78 Pfund75. 254,34 Quadratzoll77. $8,00079. 9,6 Pfund
81. 15,6 mpg83. 144 Tonnen85. 1800 BTU pro Stunde87. 6 Personen

( großer Star)

( Stern)


1.8E: Übungen - Variation - Mathematik

Antwort auf die Übung anzeigen:


V 3 (6) = 120 Zahlen, V 2 (5) = 20 davon sind durch fünf teilbar.

10 3 ×25 4 = 390,625,000

3 6 = 729

210

5! = 120

360

7

2×4! = 48

26 6 = 308,915,776

28 3 ×10 3 = 21,952,000

2×4! = 48

4!×7! = 120,960

359

2 6 ×6! = 46,080

108


Mathematische Lösungen für Klasse 8 Math Kapitel 7 - Variation

Mathematics Solutions Solutions for Class 8 Math Chapter 7 Variation werden hier mit einfachen Schritt-für-Schritt-Erklärungen bereitgestellt. Diese Lösungen für Variation sind bei Schülern der Klasse 8 sehr beliebt, denn Math Variation Lösungen sind praktisch, um Ihre Hausaufgaben schnell zu erledigen und sich auf Prüfungen vorzubereiten. Alle Fragen und Antworten aus dem Mathematics Solutions Book of Class 8 Math Chapter 7 stehen Ihnen hier kostenlos zur Verfügung. Sie werden auch die werbefreie Erfahrung der Mathematics Solutions Solutions von Meritnation lieben. Alle Mathematics Solutions Lösungen für die Klasse Klasse 8 Math werden von Experten erstellt und sind zu 100% genau.

Seite Nr. 36:

Frage 1:

Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit dem Symbol der Variation.
(1) Umfang (C) eines Kreises ist direkt proportional zu seinem Radius (R).
(2) Benzinverbrauch (l) in einem Auto und die von diesem Auto zurückgelegte Entfernung (D) sind in direkter Variation.

Antworten:


(1)
Umfang (C) eines Kreises ist direkt proportional zu seinem Radius (R). Diese Aussage wird geschrieben als

(2)
Benzinverbrauch (l) in einem Auto und die von diesem Auto zurückgelegte Entfernung (D) sind in direkter Variation. Diese Aussage wird geschrieben als

Seite Nr. 36:

Frage 2:

Vervollständigen Sie die folgende Tabelle und berücksichtigen Sie, dass die Kosten für Äpfel und ihre Anzahl direkt variieren.

Antworten:


Es wird vorausgesetzt, dass die Kosten für Äpfel (ja) und Anzahl der Äpfel (x) sind in direkter Variation.

∴ y ∝ x ⇒ y = k x , wobei k ist Variationskonstante

Die Variationsgleichung lautet also

Das komplette ist unten angegeben.

Anzahl Äpfel (x) 1 4 7 12 20
Kosten für Äpfel (ja) 8 32 56 96 160

Seite Nr. 36:

Frage 3:

Ob m &Stütze n und wann m = 154, n = 7. Finden Sie den Wert von m, Wenn n = 14

Antworten:

Daher lautet die Variationsgleichung m = 22n.

Somit ist der Wert von m ist 308.

Seite Nr. 36:

Frage 4:

Ob n variiert direkt als m, Füllen Sie die folgende Tabelle aus.

Antworten:


Es ist gegeben, dass n variiert direkt als m d.h. n ∝ m .

Die Variationsgleichung lautet also n = 4m.

Die vollständige Tabelle ist unten angegeben.

Seite Nr. 36:

Frage 5:

ja variiert direkt als Quadratwurzel von x. Wann x = 16, y = 24. Bestimmen Sie die Variationskonstante und die Variationsgleichung.

Antworten:


Es ist gegeben, dass ja variiert direkt als Quadratwurzel von x d.h. y ∝ x .

&dort4 y = k x , wobei k ist Variationskonstante

Die Variationsgleichung lautet also y = 6 x .

Somit ist die Variationskonstante 6 und die Variationsgleichung ist y = 6 x .

Seite Nr. 37:

Frage 6:

Die Gesamtvergütung der Arbeiter, die für die Sojabohnenernte eingesetzt werden, hängt direkt von der Zahl der Arbeiter ab. Wenn die Vergütung von 4 Arbeitern ₹ 1000 beträgt, ermitteln Sie die Vergütung von 17 Arbeitern.

Antworten:


Die Gesamtvergütung der Arbeiter sei ₹ ja und die Zahl der beschäftigten Arbeiter be x.

Es ist gegeben, dass ja variiert direkt als x d.h. y ∝ x .

Die Variationsgleichung lautet also ja = 250x.

Somit beträgt die Gesamtvergütung von 17 Arbeitern 4.250 .

Seite Nr. 38:

Frage 1:

Die Angaben über die Anzahl der Arbeiter und die Anzahl der Tage bis zur Fertigstellung einer Arbeit sind in der folgenden Tabelle enthalten. Vervollständigen die Tabelle.

Antworten:


Aus der angegebenen Tabelle ist ersichtlich, dass bei einer Erhöhung der Anzahl der Arbeiter von 20 auf 30 die Anzahl der Tage bis zur Fertigstellung der Arbeit von 9 Tagen auf 6 Tage sinkt. Die Anzahl der Arbeiter und die Anzahl der Tage, um eine Arbeit abzuschließen, sind also invers.

Lassen Sie die Anzahl der Arbeiter sein ja und die Anzahl der Tage, um eine Arbeit abzuschließen x.

Hier, ja umgekehrt variiert wie x d.h. j ∝ 1 x .

∴ y = k x , wobei k Variationskonstante

Die Variationsgleichung lautet also xja = 180.

Die vollständige Tabelle ist unten angegeben.

Seite Nr. 38:

Frage 2:

Finden Sie die Variationskonstante und schreiben Sie die Variationsgleichung für jedes unten angegebene Beispiel.
(1) P &prop 1 q wenn P = 15 dann Q = 4
(2) z &prop 1 w wenn z = 2,5 dann w = 24
(3) S &prop 1 t 2 wenn S = 4 dann T = 5
(4) x &prop 1 y wenn x = 15 dann ja = 9

Antworten:

∴   p = k q , wobei k ist Variationskonstante

∴   15 = k 4 ⇒ k = 15 × 4 = 60
Die Variationsgleichung lautet also p = 60 q oder pq = 60.

∴   z = k w , wobei k ist Variationskonstante

∴   2 . 5 = k 24 ⇒ k = 2 . 5 × 24 = 60
Die Variationsgleichung lautet also z = 60 w oder zw = 60.

∴   s = k t 2 , wobei k ist Variationskonstante

∴   4 = k 5 2   ⇒ 4 = k 25 ⇒ k = 25 × 4 = 100
Die Variationsgleichung lautet also s = 100 t 2 oder NS 2 = 100.

∴   x = k y , wobei k ist Variationskonstante

∴   15 = k 9 ⇒ 15 = k 3 ⇒ k = 15 × 3 = 45
Die Variationsgleichung lautet also x = 45 y oder x y = 45 .

Seite Nr. 38:

Frage 3:

Die Kisten sollen mit Äpfeln in einem Haufen gefüllt werden. Wenn 24 Äpfel in eine Schachtel gelegt werden, werden 27 Schachteln benötigt. Wenn 36 Äpfel in eine Kiste gefüllt sind, wie viele Kisten werden benötigt?

Antworten:


Wenn die Anzahl der Äpfel in einer Schachtel erhöht wird, verringert sich die Anzahl der Schachteln. Die Anzahl der in die Schachtel gefüllten Äpfel und die Anzahl der Schachteln sind also umgekehrt proportional.

Die Anzahl der Äpfel, die in eine Kiste gefüllt sind, sei x und die anzahl der boxen be ja.

Hier, x variiert umgekehrt wie ja d.h. x ∝ 1 y .

&dort4 x = k y , wobei k ist Variationskonstante

Die Variationsgleichung lautet also xy = 648.

Somit werden 18 Boxen benötigt.

Seite Nr. 39:

Frage 4:

Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit dem Symbol der Variation.
(1) Die Wellenlänge des Schalls (l) und seine Häufigkeit (F) sind inverser Variation.
(2) Die Intensität (I) des Lichts ändert sich umgekehrt mit dem Quadrat der Entfernung (D) eines Bildschirms von der Lampe.

Antworten:


(1) Die Wellenlänge des Schalls (l) und seine Häufigkeit (F) sind inverser Variation.

Diese Aussage kann mit dem Symbol der Variation geschrieben werden als

(2) Die Intensität (ich) des Lichts ändert sich umgekehrt mit dem Quadrat der Entfernung (D) eines Bildschirms von der Lampe.

Diese Aussage kann mit dem Symbol der Variation geschrieben werden als

Seite Nr. 39:

Frage 5:

x &prop 1 Jahr und wann x = 40 dann ja = 16. Wenn x = 10, finde ja.

Antworten:

&dort4 x = k y , wobei k ist Variationskonstante

Die Variationsgleichung lautet also x y = 160 .

10 y = 160 ⇒ y = 16 ⇒ y = 16 2 = 256

Seite Nr. 39:

Frage 6:

x variiert umgekehrt wie ja, Wenn x = 15 dann ja = 10, wenn x = 20 dann ja = ?.

Antworten:


Es ist gegeben, dass x variiert umgekehrt wie ja d.h. x ∝ 1 y .

&dort4 x = k y , wobei k ist Variationskonstante

Die Variationsgleichung lautet also xy = 150.

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Frage 1:

Welche der folgenden Aussagen haben eine inverse Variation?
(1) Anzahl der Arbeiter bei einer Arbeit und Zeit, die sie für die Erledigung der Arbeit benötigen.
(2) Anzahl der Rohre gleicher Größe zum Befüllen eines Tanks und die Zeit, die diese zum Befüllen des Tanks benötigen.
(3) In den Tank eines Fahrzeugs gefülltes Benzin und seine Kosten
(4) Kreisfläche und ihr Radius.

Antworten:


(1) Die Anzahl der Arbeitnehmer an einer Arbeit und die Zeit, die sie für die Erledigung der Arbeit benötigen, sind in inverse Variation da eine Zunahme der Zahl der Arbeitnehmer an einem Arbeitsplatz die Zeit verringert, die die Arbeitnehmer für die Erledigung der Arbeit benötigen.

(2) Die Anzahl der Rohre gleicher Größe zum Befüllen eines Tanks und die Zeit, die diese zum Befüllen des Tanks benötigen, sind in inverse Variation da eine Zunahme der Anzahl von Rohren gleicher Größe zum Befüllen eines Tanks die Zeit, die diese zum Befüllen des Tanks benötigen, verringert.

(3) Das in den Tank eines Fahrzeugs gefüllte Benzin und seine Kosten sind in direkter Anteil da eine Erhöhung der in den Tank eines Fahrzeugs eingefüllten Benzinmenge die Kosten für das Benzin erhöht.

(4) Kreisfläche und Radius sind in direkter Anteil wenn der Radius des Kreises zunimmt, erhöht sich die Fläche des Kreises.

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Frage 2:

Wenn 15 Arbeiter in 48 Stunden eine Mauer bauen können, wie viele Arbeiter müssen die gleiche Arbeit in 30 Stunden verrichten.

Antworten:


Die Anzahl der Stunden, die für den Bau einer Mauer benötigt werden, ist umgekehrt proportional zur Anzahl der beschäftigten Arbeiter.

Lass die Stundenzahl sein h und die Zahl der Arbeiter be w.

Hier, h variiert umgekehrt wie w h ∝ 1 w .

&dort4 h = k w , wobei k ist Variationskonstante

Die Variationsgleichung lautet also wie? = 720.

Somit beträgt die Anzahl der Arbeiter, die in 30 Stunden die gleiche Arbeit verrichten müssen, 24.

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Frage 3:

120 Säcke halben Liter Milch können innerhalb von 3 Minuten maschinell befüllt werden.

Antworten:


Die zum Füllen der Milchbeutel erforderliche Zeit variiert direkt mit der zum Füllen der Beutel erforderlichen Zeit.

Die Anzahl der Minuten sei x und die anzahl der taschen be ja.

Hier, x variiert direkt als ja d.h. x ∝ y .

&dort4 x = ky, wo ist k ist Variationskonstante

Die Variationsgleichung lautet also x = 1 40 y .

Somit beträgt die Zeit, die benötigt wird, um 1800 Säcke mit Milch zu füllen, 45 Minuten.

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Frage 4:

Ein Auto mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h braucht 8 Stunden, um eine Strecke zurückzulegen. Wie hoch soll die Geschwindigkeitserhöhung sein, wenn die gleiche Strecke in 7 1 2 Stunden zurückgelegt werden soll?

Antworten:


Die Geschwindigkeit des Autos ist umgekehrt proportional zur Zeit, die das Auto benötigt, um die Strecke zurückzulegen.

Lass die Geschwindigkeit des Autos sein S und die Zeit, die das Auto benötigt, um die Strecke zurückzulegen, T.


Balbharati Lösungen für Mathematik und Statistik 1 (Kunst und Wissenschaft) 11th Standard Maharashtra State Board Kapitel 8 (Maßnahmen der Ausbreitung) enthält alle Fragen mit Lösung und ausführlicher Erklärung. Dies wird die Zweifel der Schüler bei allen Fragen beseitigen und die Bewerbungsfähigkeiten während der Vorbereitung auf die kommissionellen Prüfungen verbessern. Die detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen helfen Ihnen, die Konzepte besser zu verstehen und eventuelle Unklarheiten zu beseitigen. Shaalaa.com bietet Lösungen des Maharashtra State Board Mathematics and Statistics 1 (Arts and Science) 11. Standard Maharashtra State Board Lösungen, die den Schülern helfen, grundlegende Konzepte besser und schneller zu verstehen.

Darüber hinaus bieten wir bei Shaalaa.com solche Lösungen an, damit sich Studenten auf schriftliche Prüfungen vorbereiten können. Balbharati-Lehrbuchlösungen können eine zentrale Hilfestellung für das Selbststudium sein und dienen den Schülern als perfekte Selbsthilfeanleitung.

Konzepte, die in Mathematics and Statistics 1 (Arts and Science) 11th Standard Maharashtra State Board, Kapitel 8 behandelt werden. Streuungsmaße sind Bedeutung und Definition der Streuung, Streuungsmaße, Datenbereich, Varianz, Standardabweichung, Ursprungsänderung und Varianzskala und Standardabweichung, Standardabweichung für kombinierte Daten, Variationskoeffizient.

Verwendung von Balbharati 11th-Lösungen Die Übungen zur Messung der Streuung durch die Schüler sind eine einfache Möglichkeit, sich auf die Prüfungen vorzubereiten, da sie Lösungen beinhalten, die kapitelweise und seitenweise angeordnet sind. Die Fragen zu Balbharati Solutions sind wichtige Fragen, die in der Abschlussprüfung gestellt werden können. Maximale Schüler des 11. Maharashtra State Board bevorzugen Balbharati-Lehrbuchlösungen, um in der Prüfung mehr zu erzielen.


MPM1D: GRUNDSÄTZE DER MATHEMATIK KLASSE 9, AKADEMIE BEISPIELÜBUNGEN ☰ Menü: Klicken Sie hier, um auf dieser Seite zu navigieren

Vielleicht haben Sie dies als Lehrer (unabhängig von Ihrem Unterrichtsfach) erlebt.

Sie haben eine Hausarbeit oder eine Hausaufgabe entworfen. Sie haben Kopien gedruckt und an Ihre Schüler verteilt. Sie haben ihnen einen Tag Zeit gegeben, um die Arbeit einzureichen. Der Tag kam. Dann hat ein bestimmter Student – ​​oder einige Studenten – die Arbeit nicht gemacht. Sie fragten warum? Als Antwort erwähnte der Student, dass die Arbeit (versehentlich) verlegt wurde (oder verloren ging). Der Schüler bat dann um eine weitere Kopie der Übung. Sie, der Lehrer, haben sich verpflichtet und dem Schüler eine weitere Kopie der Übung gegeben. Der Vorfall wiederholt sich dann.

Dies ist eine der Ausreden, die manche Schüler dafür anführen, die ihnen zugewiesenen Übungen nicht zu machen. Aus unserer persönlichen Perspektive sind nicht viele Erfahrungen im Klassenzimmer so frustrierend wie die oben genannten. Um dies zu vermeiden, haben wir diese Website erstellt – unser ursprüngliches Ziel war es, unseren Schülern alle Übungen außerhalb des Klassenzimmers (und der Schule) zur Verfügung zu stellen. Unser Ansatz mag drastisch gewesen sein, wurde aber auch durch unser Interesse an der Webentwicklung ermöglicht. Wir müssen unsere Übungen dann EINMAL und nur EINMAL ausdrucken. Wenn der Schüler das Exemplar der Übung verlegt (oder verliert), liegt es in der Verantwortung des Schülers, neue Exemplare von unserer Website auszudrucken.

Daraus folgt, dass die meisten der folgenden Übungen unseren Lehrgeschmack widerspiegeln und daher möglicherweise nicht ein breites Publikum ansprechen. Tatsächlich sind sie dem Lehrplan von Ontario nachempfunden, und so kann ihr möglicher Nutzen auf diese kanadische Provinz beschränkt sein. Außerdem haben wir keine Lösungen dafür bereitgestellt – aber wir arbeiten daran, einschließlich der Änderung des Formats. Wenn Sie in der Zwischenzeit eine dieser Übungen nützlich finden, werden wir mehr als aufgeregt sein.


1.8E: Übungen - Variation - Mathematik

Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwissenschaften und Naturwissenschaften

"Dieser marktführende Text bietet eine umfassende Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen. Bewährt, genau und gelobt für seine hervorragenden Beispiele, belegt PROBABILITY AND STATISTICS FOR ENGINEERING AND THE SCIENCES, 8e, Jay Devores Ruf als herausragender Autor und Führungspersönlichkeit in der akademischen Gemeinschaft. Devore betont Konzepte, Modelle, Methodik und Anwendungen im Gegensatz zu einer strengen mathematischen Entwicklung und Ableitung. Mit Hilfe seiner lebendigen und realistischen Beispiele lernen die Studierenden nicht nur Statistik kennen, sondern lernen auch, statistische Methoden anzuwenden.

'·Beispielprüfungen helfen den Schülern, Selbstvertrauen aufzubauen und Konzepte vor dem Ablegen von Klassenprüfungen zu beherrschen. Das Glossar der Symbole/Akronyme, das Verweise auf Textseiten enthält, ist eine weitere nützliche Lernhilfe. ·Exklusiv von Cengage Learning ermöglicht Enhanced WebAssign® Ihnen, Übungen aus diesem Text zuzuweisen und sicherzustellen, dass Ihre Schüler multimediale Tutorial-Unterstützung und sofortiges Feedback erhalten, wenn sie ihre automatisch benoteten Aufgaben erledigen. ·Mehrere Übungen beziehen sich auf Material, das in früheren Abschnitten und Kapiteln behandelt wurde, damit die Schüler die Zusammenhänge zwischen Konzepten leichter erkennen können. ·Praktisch jedes Beispiel und jede Übung hat einen realen Kontext. Echte Daten in Übungen und Beispielen wecken das Interesse der Schüler und verbessern ihr Verständnis von Konzepten. · Notable content includes a strong emphasis on the role that variation plays in statistics, emphasis on the nature of variation in the slope estimate in simple linear regression, and inclusion of a detailed description of pooled t procedures to provide a balance between unpooled and pooled analyses. ·"Simulation Experiments" help students gain an understanding of sampling distributions and the insight they provide, especially when a derivation is too complex to carry out. ·Strong computer coverage, especially with ANOVA and regression, is supported by an abundance of computer output from SAS® and MINITAB® and coverage of computer methods. Inclusion of Java&trade Applets from Gary McClelland''s SEEING STATISTICS, specifically designed for this calculus-based text, allows students to experience statistics firsthand.

Ƈ.Overview And Descriptive Statistics. 2. Probability. 3. Discrete Random Variables And Probability. 4. Continuous Random Variables And Probability Distributions. 5. Joint Probability Distributions And Random Samples. 6. Point Estimation. 7. Statistical Intervals Based On A Single Sample. 8. Tests Of Hypotheses Based On A Single Sample. 9. Inferences Based On Two Samples. 10. The Analysis Of Variance. 11. Multifactor Analysis Of Variance. 12. Simple Linear Regression And Correlation. 13. Nonlinear And Multiple Regression. 14. Goodness-Of-Fit Tests And Categorical Data Analysis. 15. Distribution-Free Procedures 16. Quality Control Methods.


Why minimally different problems?

Since I started teaching three years ago, I’ve been well aware of the problems of traditional textbook exercises when introducing a class to a new concept, procedure. More often than not, textbook exercises became far too varied too quickly, with pupils becoming quickly unstuck, and it became difficult to identify the source of their confusion. Alternatively, it felt as though I was presenting students with ‘just more practice of the same’, which was deeply unsatisfactory (regardless of the prior attainment of the pupils).

Hence (and I am hugely indebted to Mr Barton and his book), creating sequences of intelligent, minimally varied practice questions seemed a reasonable step. When they are used to introduce pupils to a topic, they enable pupils to make connections and really focus on the underlying concept. The ones presented here are very much initial attempts – they are not a perfect model of how to write minimally varied exercises. All the same, I hope you find them of some use!

I am contactable at fortyninecubed (at) gmail . com, or on Twitter at @ fortyninecubed.


2 Antworten 2

Consider the following lemma:

If $ u$ is a signed measure and $lambda$, $mu$ are positive measures such that $ u=lambda-mu$, then $lambdageqslant u^+$ and $mugeqslant u^-$.

To see this, let $(P,N)$ be a Hahn decomposition for $ u$, then for $Esubset P$, $ u(E) = u^+(E) = lambda(E) - mu(E)implies lambda(E) = u^+(E)+mu(E)geqslant u^+(E), $ and similarly if $Esubset N$, $ u(E) = - u^-(E) = lambda(E) - mu(E)implies mu(E) = u^-(E) + lambda(E)geqslant u^-(E), $ since $lambda,mugeqslant0$.

Now, we have egin u_1+ u_2 &= ( u_1^+ - u_1^-) + ( u_2^+- u_2^-) &= ( u_1^++ u_2^+)-( u_1^-+ u_2^-), end so $( u_1^++ u_2^+)geqslant ( u_1+ u_2)^+$ and $( u_1^-+ u_2^-)geqslant ( u_1+ u_2)^-$. It follows that egin | u_1+ u_2| &= ( u_1+ u_2)^+ + ( u_1+ u_2)^- &leqslant ( u_1^++ u_2^+) + ( u_1^-+ u_2^-) &= ( u_1^++ u_1^-) + ( u_2^++ u_2^-) &= | u_1| + | u_2|. end

First let's convince ourselves that the equality cannot hold: let $ u_1$ be a non-trivial measure, i.e. $| u_1|(A) > 0$ for some $A$, and let $ u_2 = - u_1$. Then clearly $0 = | u_1 + u_2|(A) < 2| u_1|(A).$

You make a mistake when looking at $( u_1^+(A)+ u_2^+(A))-( u_1^-(A)+ u_2^-(A))$ you conclude that $( u_1^+(A)+ u_2^+(A)) = ( u_1 + u_2)^+(A)$$( u_1^-(A)+ u_2^-(A)) = ( u_1 + u_2)^-(A).$

Indeed as long as $( u_1^+(B)+ u_2^+(B)) - ( u_1^-(B)+ u_2^-(B)) > 0$ we have that $B subset P$, where $P$ is the positive set in the HJD of $ u_1 + u_2$.

This concludes the answer to your question.

If you are still interested in proving the inequality you should first convince yourself that the following holds.

Let $P_i, N_i$ be the HJD of $ u_i$ and let $P, N$ be the HJD of $ u_1 + u_2$. Then we have $P_1 cap P_2 subset P subset P_1 cup P_2,$ $N_1 cap N_2 subset N subset N_1 cup N_2$ and there are cases when the inclusions are strict.

Then egin | u_1 + u_2|(A) = & ( u_1 + u_2)^+(A) + ( u_1 + u_2)^-(A) = & ( u_1 + u_2)(Pcap A) - ( u_1 + u_2)(Ncap A) le & u_1(P_1cap A) + u_2(P_2cap A) - u_1(N_1cap A) - u_2(N_2cap A) = & u_1^+(A) + u_1^-(A) + u_2^+(A) + u_2^-(A) = & | u_1|(A) + | u_2|(A). end


Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 1 Rational and Irrational Numbers

Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 2 Parallel Lines and Transversals

Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 3 Indices and Cube Root

Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 4 Altitudes and Medians of a Triangle

Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 5 Expansion Formulae

Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 6 Factorisation of Algebraic Expressions

Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 7 Variation

Maharashtra Board Class 8 Maths Chapter 8 Quadrilateral: Constructions and Types


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