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6.3: Zerlegen von Trinomen der Form ax²+bx+c


Lernziele

  • Faktortrinome der Form (ax^{2}+bx+c).
  • Faktortrinome mit einem gemeinsamen Faktor.

Zerlegen von Trinomen der Form (ax^{2}+bx+c)

Das Zerlegen von Trinomen der Form (ax^{2}+bx+c) kann eine Herausforderung darstellen, da der Mittelterm von den Faktoren (a) und (c) beeinflusst wird. Betrachten Sie zur Veranschaulichung das folgende faktorisierte Trinom:

(10x^{2}+17x+3=(2x+3)(5x+1))

Wir können multiplizieren, um zu überprüfen, ob dies die richtige Faktorisierung ist.

(egin{ausgerichtet} (2x+3)(5x+1)&=10x^{2}+2x+15x+3 &=10x^{2}+17x+3quadcolor{Cerulean} {checkmark} end{ausgerichtet})

Wie wir bereits gesehen haben, ist das Produkt der ersten Terme jedes Binomials gleich dem ersten Term des Trinoms. Der mittlere Term des Trinoms ist die Summe der Produkte der äußeren und inneren Terme der Binome. Das Produkt der letzten Terme jedes Binomials ist gleich dem letzten Term des Trinoms. Optisch haben wir folgendes:

Allgemein,

(egin{ausgerichtet} color{Cerulean}{a}color{black}{x^{2}+}color{Cerulean}{b}color{black}{x+}color{Cerulean}{ c}&= (px+m)(qx+n) &=pqx^{2}+pnx+qmx+mn &=color{Cerulean}{pq}color{schwarz}{x^{ 2}+}color{Cerulean}{(pn+qm)}color{schwarz}{x+}color{Cerulean}{mn} end{ausgerichtet})

Das gibt uns,

[a=pqquad ext{und}quad b=pn+qm,quad ext{wo}quad c=mn]

Kurz gesagt, wenn der führende Koeffizient eines Trinoms ein anderer als (1) ist, gibt es mehr zu beachten, wenn die Faktoren mit der Versuch- und Irrtumsmethode bestimmt werden. Der Schlüssel liegt im Verständnis, wie die Mittelfrist erreicht wird. Multiplizieren Sie ((2x+5)(3x+7)) und folgen Sie sorgfältig der Bildung des Mittelterms.

(egin{array}{ccc} {(color{Cerulean}{2x}color{schwarz}{+}color{Olivgrün}{5}color{schwarz}{)(3x+7)= color{Cerulean}{2x}color{black}{cdot 3x}}}&{underbrace{+color{Cerulean}{2x}color{black}{cdot 7+}color{Olivgrün}{ 5}color{schwarz}{cdot 3x}}}&{+color{Olivgrün}{5}color{schwarz}{cdot 7}} {}&{color{Cerulean}{middle :term}}&{} end{array})

(egin{ausgerichtet} &=6x^{2}+14x+15x+35 &=6x^{2}+29x+35 end{ausgerichtet})

Denken wir an die FOIL-Methode zur Multiplikation von Binomialen, dann ergibt sich der mittlere Term aus der Summe des inneren Produkts und des äußeren Produkts. In diesem Fall (14x+15x=29x), wie unten dargestellt:

Aus diesem Grund müssen wir nach Produkten der Faktoren des ersten und letzten Termes suchen, deren Summe gleich dem Koeffizienten des mittleren Termes ist. Um beispielsweise (6x^{2}+29x+35) zu faktorisieren, betrachten Sie die Faktoren von (6) und (35).

(egin{array}{ccc}{6=1cdot 6}&{quad}&{35=1cdot 35}{=color{Olivgrün}{2cdot 3}}&{ quad}&{=color{Olivgrün}{5cdot 7}} end{array})

Die Kombination, die den Koeffizienten des mittleren Termes ergibt, ist (2⋅7+3⋅5=14+15=29). Stellen Sie sicher, dass die äußeren Terme die Koeffizienten (2) und (7) und die inneren Terme die Koeffizienten (5) und (3) haben. Verwenden Sie diese Informationen, um das Trinom zu faktorisieren:

(egin{ausgerichtet} 6x^{2}+29x+35&=(2xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(3x}quadcolor{Cerulean}{?} Farbe{schwarz}{)} &=(2x+5)(3x+7) end{ausgerichtet})

Beispiel (PageIndex{1})

Faktor:

(3x^{2}+7x+2).

Lösung:

Da sowohl der führende Koeffizient als auch der letzte Term prim sind, gibt es nur eine Möglichkeit, jeweils zu faktorisieren.

(3=1cdot 3quad ext{und}quad 2=1cdot 2)

Beginnen Sie damit, die Faktoren des ersten Termes (3x^{2}) wie folgt aufzuschreiben:

(3x^{2}+7x+2=(xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(3x}quadcolor{Cerulean}{?}color{black}{ )})

Der mittlere und der letzte Begriff sind beide positiv; daher werden die Faktoren von (2) als positive Zahlen gewählt. In diesem Fall besteht die einzige Möglichkeit darin, in welche Gruppierung diese Faktoren platziert werden sollen.

((x+1)(3x+2)quad ext{oder}quad (x+2)(3x+1))

Bestimmen Sie, welche Gruppierung richtig ist, indem Sie jeden Ausdruck multiplizieren.

(egin{ausgerichtet} (x+1)(3x+2)&=3x^{2}+2x+3x+2 &=3x^{2}+5x+2quadcolor{rot} {x}(x+2)(3x+1)&=3x^{2}+x+6x+2 &=3x^{2}+7x+2quadcolor{Cerulean}{ Häkchen} end{ausgerichtet})

Beachten Sie, dass sich diese Produkte nur in ihren mittleren Begriffen unterscheiden. Beachten Sie auch, dass der mittlere Term die Summe des inneren und äußeren Produkts ist, wie unten dargestellt:

Antworten:

((x+2)(3x+1))

Beispiel (PageIndex{2})

Faktor:

(12x^{2}+38x+20).

Lösung:

Betrachten Sie zunächst die Faktoren des ersten und letzten Termes.

(egin{array}{ccc}{12=1cdot 12}&{quad}&{20=1cdot 20}{=2cdot 6}&{quad}&{=2 cdot 10}{=3cdot 4}&{quad}&{=4cdot 5} end{array})

Wir suchen nach Produkten von Faktoren, deren Summe dem Koeffizienten des Mittelterms (38) entspricht. Der Kürze halber wird der Denkprozess ausgehend von den Faktoren (2) und (6) dargestellt. Factoring beginnt an dieser Stelle mit dem ersten Term.

(12x^{2}+38x+20=(2xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(6x}quadcolor{Cerulean}{?}color{black}{ )})

Wir suchen nach Faktoren von 20, die zusammen mit den Faktoren von 12 einen Mittelterm von 38x . ergeben

(egin{array}{lll} {Faktoren:von:20}&{Möglich}&{Faktorisierung}{color{Cerulean}{1cdot 20}}&{(2x+1)( 6x+20)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow 46x}}{color{Cerulean}{1cdot 20}}&{(2x+20)(6x+1)} &{color{Cerulean}{middle:termRightarrow 122x}}{color{Cerulean}{2cdot 10}}&{(2x+2)(6x+10)}&{color{ Hellblau}{Mitte:BegriffRightarrow 32x}}{color{Cerulean}{2cdot 10}}&{(2x+10)(6x+2)}&{color{Cerulean}{Mitte :termRightarrow 64x}}{color{Cerulean}{4cdot 5}}&{(2x+4)(6x+5)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow 34x }}{color{Cerulean}{4cdot 5}}&{color{Olivgrün}{(2x+5)(6x+4)}}&{color{Olivgrün}{mittel:term Pfeil nach rechts 38x}quadcolor{Cerulean}{checkmark}} end{array})

Hier ergibt die letzte Kombination einen Mittelterm von (38x).

Antworten:

((2x+5)(6x+4))

Beispiel (PageIndex{3})

Faktor:

(10x^{2}−23x+6).

Lösung

Betrachten Sie zunächst die Faktoren des ersten und letzten Termes.

(egin{array}{ccc}{10=1cdot 10}&{quad}&{6=1cdot 6}{=2cdot 5}&{quad}&{=2 cdot 3} end{array})

Wir suchen Produkte von Faktoren, deren Summe gleich dem Koeffizienten des Mittelterms (−23) ist. Factoring beginnt an dieser Stelle mit zwei Sätzen von leeren Klammern:

(10x^{2}-23x+6=(quad)(quad))

Da der letzte Term positiv und der mittlere Term negativ ist, wissen wir, dass beide Faktoren des letzten Termes negativ sein müssen. Hier listen wir alle möglichen Kombinationen mit den Faktoren (10x^{2}=2x⋅5x) auf.

(10x^{2}-23x+6=(2xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(5x}quadcolor{Cerulean}{?}color{black}{ )})

(egin{array}{ll}{(2x-1)(5x-6)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -17x}}{(2x-6)(5x -1)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -32x}}{(2x-2)(5x-3)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -16x}}{(2x-3)(5x-2)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -19x}} end{array})

Es gibt keine Kombination, die einen mittleren Term von (−23x) erzeugt. Wir gehen dann zu den Faktoren von (10x^{2}=10x⋅x) über und listen alle möglichen Kombinationen auf:

(10x^{2}-23x+6=(10xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(x}quadcolor{Cerulean}{?}color{black}{ )})

(egin{array}{ll}{(10x-1)(x-6)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -61x}}{(10x-6)(x -1)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -162x}}{(10x-2)(x-3)}&{color{Cerulean}{middle:termRightarrow -32x}}{color{Olivgrün}{(10x-3)(x-2)}}}&{color{Olivgrün}{Mitte:termRightarrow -23x}quadcolor{Cerulean}{ checkmark}} end{array})

Und wir können schreiben

Antworten:

((10x-3)(x-2)). Die vollständige Prüfung bleibt dem Leser überlassen.

Wir können einen Großteil des Rätselratens beim Faktorisieren von Trinomen reduzieren, wenn wir alle Faktoren des ersten und letzten Termes und deren Produkte berücksichtigen.

Beispiel (PageIndex{4})

Faktor:

(5x^{2}+38x-16).

Lösung:

Wir beginnen mit den Faktoren von (5) und (16).

(egin{array}{cc}{}&{16=1cdot 16}{5=1cdot 5}&{=2cdot 8}{}&{=4cdot 4 } end{array})

Da der führende Koeffizient eine Primzahl ist, können wir mit Folgendem beginnen:

(5x^{2}+38x-16=(xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(5x}quadcolor{Cerulean}{?}color{black}{ )})

Wir suchen nach Produkten mit den Faktoren 5 und 16, die sich möglicherweise zu 38 addieren könnten.

(egin{array}{lll}{Faktoren:von:16}&{Möglich}&{Produkte}{color{Cerulean}{1cdot 16}}&{1cdotcolor{ Cerulean}{1}:color{black}{and: 5}cdotcolor{Cerulean}{16}}&{color{Cerulean}{productsRightarrow:1:and:80} }{color{Cerulean}{1cdot 16}}&{1cdot color{Cerulean}{16}:color{schwarz}{und:5}cdotcolor{Cerulean}{ 1}}&{color{Cerulean}{productsRightarrow:16:and:5}}{color{Cerulean}{2cdot 8}}&{1cdotcolor{Cerulean} {2}:color{black}{and:5}cdotcolor{Cerulean}{8}}&{color{OliveGreen}{productsRightarrow:2:and:40}quad color{Cerulean}{checkmark}}{color{Cerulean}{2cdot 8}}&{1cdotcolor{Cerulean}{8}:color{schwarz}{und:5 }cdotcolor{Cerulean}{2}}&{color{Cerulean}{productsRightarrow:8:and:10}}{color{Cerulean}{4cdot 4}}& {1cdotcolor{Cerulean}{4}:color{black}{and:5}cdotcolor{Cerulean}{4}}&{color{Cerulean}{ProdukteRightarrow:4 :und:20}} end{array})

Da der letzte Term negativ ist, müssen wir nach Faktoren mit entgegengesetzten Vorzeichen suchen. Hier sehen wir, dass die Produkte 2 und 40 zusammen 38 ergeben, wenn sie entgegengesetzte Vorzeichen haben:

(1cdot (color{Cerulean}{-2}color{black}{)+5cdot}color{Cerulean}{8}color{schwarz}{=-2+40=38} )

Verwenden Sie daher (−2) und (8) als Faktoren von (16) und stellen Sie sicher, dass die inneren und äußeren Produkte (−2x) und (40x) sind:

Antworten:

((x+8)(5x-2)). Die vollständige Prüfung bleibt dem Leser überlassen.

Nach viel Übung kann der im vorherigen Beispiel beschriebene Prozess mental durchgeführt werden.

Übung (PageIndex{1})

Faktor:

(12x^{2}-31x-30)

Antworten

((3x-10)(4x+3))

Bei gegebenen Trinomen mit mehreren Variablen ist der Prozess ähnlich.

Beispiel (PageIndex{5})

Faktor:

(9x^{2}+30xy+25y^{2}).

Lösung:

Suchen Sie nach Faktoren des ersten und letzten Termes, so dass die Summe der inneren und äußeren Produkte gleich dem mittleren Term ist.

(egin{array}{cc}{9x^{2}=1xcdot 9x}&{25y^{2}=1ycdot 25y}{=3xcdot 3x}&{=5ycdot 5y} end{array})

Addieren Sie die folgenden Produkte, um den Mittelterm zu erhalten: (3x⋅5y+3x⋅5y=30xy).

(egin{ausgerichtet} 9x^{2}+30xy+25y^{2}&=(3xquad )(3xquad ) &=(3x+5y)(3x+5y) &= (3x+5y)^{2} end{ausgerichtet})

In diesem Beispiel haben wir ein perfektes quadratisches Trinom. Prüfen.

(egin{ausgerichtet} (3x+5y)^{2}&= 9x^{2}+2cdot 3xcdot 5y+25y^{2} &=9x^{2}+30xy+25y ^{2}quadcolor{Cerulean}{checkmark} end{aligned})

Antworten:

((3x+5y)^{2})

Übung (PageIndex{2})

Faktor:

(16x^{2}−24xy+9y^{2}).

Antworten

((4x-3y)^{2})

Faktorisieren von Trinomen mit gemeinsamen Faktoren

Es empfiehlt sich, zuerst den GCF herauszurechnen, falls vorhanden. Dadurch entsteht ein Trinomialfaktor mit kleineren Koeffizienten. Wie wir gesehen haben, erfordern Trinome mit kleineren Koeffizienten viel weniger Aufwand zum Faktorisieren. Dieser häufig übersehene Schritt ist es wert, frühzeitig erkannt zu werden.

Beispiel (PageIndex{6})

Faktor:

(12x^{2}-27x+6).

Lösung:

Beginnen Sie damit, den GCF auszuklammern.

(12x^{2}-27x+6=3(4x^{2}-9x+2))

Nach Herausrechnen von 3 sind die Koeffizienten des resultierenden Trinoms kleiner und haben weniger Faktoren.

(egin{array}{cc}{4=color{Olivgrün}{1cdot 4}}&{2=color{Olivgrün}{1cdot 2}}{=2cdot 2} &{}end{array})

Nach einigem Nachdenken können wir sehen, dass die Kombination, die den Koeffizienten des mittleren Termes ergibt, (4(−2)+1(−1)=−8−1=−9) ist.

(egin{ausgerichtet}3(4x^{2}-9x+2)&=3(4xquadcolor{Cerulean}{?}color{black}{)(x}quadcolor{Cerulean }{?}color{schwarz}{)} &=3(4x-1)(x-2) end{ausgerichtet})

Prüfen.

(egin{ausgerichtet} 3(4x-1)(x-2)&=3(4x^{2}-8x-x+2) &=3(4x^{2}-9x+2) &=12x^{2}-27x+6quadcolor{Cerulean}{checkmark} end{aligned})

Der Faktor (3) ist Teil der faktorisierten Form des ursprünglichen Ausdrucks; Achten Sie darauf, es in die Antwort aufzunehmen.

Antworten:

(3(4x-1)(x-2))

Es empfiehlt sich, konsequent mit Trinomen zu arbeiten, bei denen der führende Koeffizient positiv ist.

Beispiel (PageIndex{7})

Faktor:

(−x^{2}+2x+15).

Lösung

In diesem Beispiel ist der führende Koeffizient (−1). Bevor Sie mit dem Factoring-Prozess beginnen, faktorisieren Sie (−1):

(-x^{2}+2x+15=-1(x^{2}-2x-15))

Faktorisieren Sie an dieser Stelle das verbleibende Trinom wie gewohnt und denken Sie daran, (−1) als Faktor in Ihre endgültige Antwort zu schreiben. Da (3 + (−5) = −2), verwenden Sie (3) und (5) als Faktoren von (15).

(egin{ausgerichtet} -x^{2}+2x=15&=-1(x^{2}-2x-15) &=-1(xquad)(xquad) & =-(x+3)(x-5) end{ausgerichtet})

Antworten:

(-1(x+3)(x-5)). Der Scheck bleibt dem Leser überlassen.

Beispiel (PageIndex{8})

Faktor:

(-60a^{2}-5a+30)

Lösung

Der GCF aller Terme ist (5). In diesem Fall muss jedoch (−5) herausgerechnet werden, da dies einen Trinomialfaktor ergibt, bei dem der führende Koeffizient positiv ist.

(-60a^{2}-5a+30=-5(12a^{2}+a-6))

Konzentrieren Sie sich auf die Faktoren von (12) und (6), die zusammen den mittleren Koeffizienten (1) ergeben.

(egin{array}{cc}{12=1cdot 12}&{6=1cdot 6}{=2cdot 6}&{=color{Olivgrün}{2cdot 3} }{=color{Olivgrün}{3cdot 4}}&{} end{array})

Nach langem Nachdenken finden wir, dass (3⋅3−4⋅2=9−8=1). Faktorisieren Sie das verbleibende Trinom.

(egin{ausgerichtet} -60a^{2}-5a+30&=-5(12a^{2}+a-6) &=-5(4aquad )(3aquad )& =-5(4a+3)(3a-2) end{ausgerichtet})

Antworten:

(-5(4a+3)(3a-2)). Der Scheck bleibt dem Leser überlassen.

Übung (PageIndex{3})

Faktor:

(24+2x−x^{2}).

Antworten

(−1(x−6)(x+4))

Factoring nach der AC-Methode

In diesem Abschnitt faktorisieren wir Trinome der Form (ax^{2}+bx+c) mit der zuvor beschriebenen AC-Methode.

Beispiel (PageIndex{9})

Faktor nach der AC-Methode:

(18x^{2}−21x+5).

Lösung:

Hier (a = 18, b = −21) und (c = 5).

(egin{ausgerichtet}ac&=18(5) &=90 end{ausgerichtet})

Faktor (90) und suchen Sie nach Faktoren, deren Summe (−21) ist.

(egin{ausgerichtet} 90&=1(90) &=2(45) &=3(30) &=5(18) &=color{Olivgrün}{6(15 )}quadcolor{Cerulean}{checkmark} &=9(10) end{aligned})

In diesem Fall entspricht die Summe der Faktoren (−6) und (−15) dem mittleren Koeffizienten (−21). Daher gilt (−21x=−6x−15x), und wir können schreiben

(18x^{2}color{Olivgrün}{-21x}color{schwarz}{+5=18x^{2}}color{Olivgrün}{-6x-15x}color{schwarz}{+5 })

Faktorisieren Sie den äquivalenten Ausdruck durch Gruppierung.

(egin{ausgerichtet} 18x^{2}-21x+5&=18x^{2}-6x-15x+5 &=6x(3x-1)-5(3x-1) &=( 3x-1)(6x-5) end{ausgerichtet})

Antworten:

((3x-1)(6x-5))

Beispiel (PageIndex{10})

Faktor nach der AC-Methode: (9x^{2}−61x−14).

Lösung:

Hier (a = 9, b = −61) und (c = −14).

Wir faktorisieren (-126) wie folgt:

(egin{ausgerichtet} -126&=1(-126) &=color{Olivgrün}{2(-63)}quadcolor{Cerulean}{checkmark} &=3(-42 )&=6(-21)&=7(-18)&=9(-14) end{ausgerichtet})

Die Summe der Faktoren (2) und (−63) entspricht dem mittleren Koeffizienten (−61). Ersetze (−61x) durch (2x−63x):

(egin{ausgerichtet} 9x^{2}-61x-14&=9x^{2}+2x-63x-14quadcolor{Cerulean}{Neuanordnen:die:Begriffe.} &=9x ^{2}-63x+2x-14quadcolor{Cerulean}{Faktor:by:grouping.}&=9x(x-7)+2(x-7) &=(x -7)(9x+2) end{ausgerichtet})

Antworten:

((x-7)(9x+2)). Der Scheck bleibt dem Leser überlassen.

Die zentralen Thesen

  • Wenn ein Trinom der Form (ax^{2}+bx+c) in das Produkt zweier Binome faktorisiert, dann ist der Koeffizient des mittleren Termes die Summe bestimmter Produkte der Faktoren des ersten und letzten Termes.
  • Wenn das Trinom den größten gemeinsamen Faktor aufweist, empfiehlt es sich, zuerst den GCF herauszurechnen, bevor versucht wird, ihn in ein Produkt von Binomialen zu faktorisieren.
  • Wenn der führende Koeffizient eines Trinoms negativ ist, empfiehlt es sich, diesen negativen Faktor auszuklammern, bevor Sie versuchen, das Trinom zu faktorisieren.
  • Das Zerlegen von Trinomen der Form (ax^{2}+bx+c) erfordert viel Übung und Geduld. Es ist äußerst wichtig, sich die Zeit zu nehmen, um durch viele Übungen kompetent zu werden.

Aufgabe (PageIndex{4}) Trinome faktorisieren

Faktor.

  1. (3x^{2}−14x−5)
  2. (5x^{2}+7x+2 )
  3. (2x^{2}+5x−3 )
  4. (2x^{2}+13x−7)
  5. (2x^{2}+9x−5 )
  6. (7x^{2}+20x−3 )
  7. (7x^{2}−46x−21)
  8. (3x^{2}+x−2)
  9. (5x^{2}+34x−7)
  10. (5x^{2}−28x−12)
  11. (9x^{2}−12x+4 )
  12. (4x^{2}−20x+25)
  13. (49x^{2}+14x+1)
  14. (25x^{2}−10x+1 )
  15. (2x^{2}+7x+16)
  16. (6x^{2}−19x−10 )
  17. (27x^{2}+66x−16 )
  18. (12x^{2}−88x−15)
  19. (12y^{2}−8y+1 )
  20. (16y^{2}−66y−27)
  21. (9x^{2}−12xy+4y^{2} )
  22. (25x^{2}+40x+16)
  23. (15x^{2}−26xy+8y^{2} )
  24. (12a^{2}−4ab−5b^{2} )
  25. (4x^{2}y^{2}+16xy−9 )
  26. (20x^{2}y^{2}+4xy−7 )
  27. Die Fläche eines Rechtecks ​​ergibt sich aus der Funktion (A(x)=3x^{2}−10x+3), wobei (x) in Metern gemessen wird. Schreiben Sie diese Funktion in faktorisierter Form um.
  28. Die Fläche eines Rechtecks ​​ergibt sich aus der Funktion (A(x)=10x^{2}−59x−6), wobei (x) in Metern gemessen wird. Schreiben Sie diese Funktion in faktorisierter Form um.
Antworten

1. ((x−5)(3x+1))

3. ((x+3)(2x−1) )

5. ((x+5)(2x−1) )

7. ((x−7)(7x+3))

9. ((x+7)(5x−1) )

11. ((3x−2)^{2})

13. ((7x+1)^{2} )

15. Prime

17. ((3x+8)(9x−2))

19. ((6y−1)(2y−1) )

21. ((3x−2y)^{2})

23. ((3x−4y)(5x−2y) )

25. ((2xy−1)(2xy+9) )

27. (A(x)=(3x−1)(x−3))

Aufgabe (PageIndex{5}) Zerlegen von Trinomen mit gemeinsamen Faktoren

Faktor.

  1. (6x^{2}−20x−16)
  2. (45x^{2}+27x−18 )
  3. (20x^{2}−20x+5 )
  4. (3x^{2}+39x−90)
  5. (16x^{2}+26x−10 )
  6. (54x^{2}−15x+6 )
  7. (45x^{2}−45x−20 )
  8. (90x^{2}+300x+250)
  9. (40x^{2}−36xy+8y^{2} )
  10. (24a^{2}b^{2}+18ab−81 )
  11. (6x^{2}y^{2}+46xy+28 )
  12. (2x^{5}+44x^{4}+144x^{3})
  13. (5x^{3}−65x^{2}+60x)
  14. (15a^{4}b^{2}−25a^{3}b−10a^{2})
  15. (6a^{4}b+2a^{3}b^{2}−4a^{2}b^{3})
  16. (20a^{3}b^{2}−60a^{2}b^{3}+45ab^{4})
Antworten

1. (2(x−4)(3x+2))

3. (5(2x−1)^{2})

5. (2(8x^{2}+13x−5) )

7. (5(3x−4)(3x+1))

9. (4(5x−2y)(2x−y))

11. (2(xy+7)(3xy+2))

13. (5x(x−12)(x−1) )

15. (2a^{2}b(3a−2b)(a+b))

Aufgabe (PageIndex{6}) Zerlegen von Trinomen mit gemeinsamen Faktoren

Zerlege (−1) und faktoriere dann weiter.

  1. (−x^{2}−4x+21 )
  2. (−x^{2}+x+12)
  3. (−x^{2}+15x−56 )
  4. (−x^{2}+x+72)
  5. (−y^{2}+10y−25 )
  6. (−y^{2}−16y−64 )
  7. (36−9a−a^{2} )
  8. (72−6a−a^{2})
  9. (32+4x−x^{2})
  10. (200+10x−x^{2})
Antworten

1. (−1(x−3)(x+7))

3. (−1(x−7)(x−8) )

5. (−1(y−5)^{2})

7. (−1(a−3)(a+12))

9. (−1(x−8)(x+4))

Aufgabe (PageIndex{7}) Zerlegen von Trinomen mit gemeinsamen Faktoren

Ziehen Sie zuerst einen negativen gemeinsamen Faktor heraus und faktorisieren Sie dann, wenn möglich, weiter.

  1. (−8x^{2}+6x+9 )
  2. (−4x^{2}+28x−49 )
  3. (−18x^{2}−6x+4 )
  4. (2+4x−30x^{2} )
  5. (15+39x−18x^{2} )
  6. (90+45x−10x^{2} )
  7. (−2x^{2}+26x+28)
  8. (−18x^{3}−51x^{2}+9x)
  9. (−3x^{2}y^{2}+18xy^{2}−24y^{2} )
  10. (−16a^{4}+16a^{3}b−4a^{2}b^{2} )
  11. Die Höhe eines von einem Turm abgefeuerten Projektils in Fuß wird durch die Funktion (h(t)=−16t^{2}+64t+80) angegeben, wobei (t) die Anzahl der Sekunden nach dem Abschuss darstellt. Schreiben Sie die gegebene Funktion in faktorisierter Form um.
  12. Die Höhe in Fuß eines von einem Turm abgefeuerten Projektils wird durch die Funktion (h(t)=−16t^{2}+64t+192) angegeben, wobei (t) die Anzahl der Sekunden nach dem Abschuss darstellt. Schreiben Sie die gegebene Funktion in faktorisierter Form um.
Antworten

1. (−(2x−3)(4x+3) )

3. (−2(3x−1)(3x+2))

5. (−3(2x−5)(3x+1))

7. (−2(x−14)(x+1))

9. (−3y^{2}(x−4)(x−2) )

11. (h(t)=−16(t+1)(t−5))

Aufgabe (PageIndex{8}) Faktorisieren mit der AC-Methode

Faktor nach der AC-Methode.

  1. (2x^{2}+5x−7)
  2. (3x^{2}+7x−10 )
  3. (4x^{2}−25x+6 )
  4. (16x^{2}−38x−5)
  5. (6x^{2}+23x−18)
  6. (8x^{2}+10x−25 )
  7. (4x^{2}+28x+40)
  8. (−6x^{2}−3x+30)
  9. (12x^{2}−56xy+60y^{2})
  10. (20x^{2}+80xy+35y^{2})
Antworten

1. ((x−1)(2x+7))

3. ((x−6)(4x−1) )

5. ((2x+9)(3x−2) )

7. (4(x+2)(x+5))

9. (4(x−3y)(3x−5y))

Übung (PageIndex{9}) Diskussionsforum-Themen

  1. Erstellen Sie Ihr eigenes Trinom der Form (ax^{2}+bx+c), das faktorisiert. Teilen Sie es zusammen mit der Lösung im Diskussionsforum.
  2. Schreiben Sie Ihre eigene Liste von Schritten zum Faktorisieren eines Trinoms der Form (ax^{2}+bx+c) und teilen Sie sie im Diskussionsforum.
  3. Erstellen Sie ein Trinom der Form (ax^{2}+bx+c), das nicht faktorisiert und teilen Sie es zusammen mit dem Grund, warum es nicht faktorisiert.
Antworten

1. Antworten können variieren

3. Antworten können variieren


Faktorisieren von Trinomen - Faktorisieren von Polynomen

Trinome sind algebraische Ausdrücke, die drei Terme enthalten. Quadratische Trinome haben die Form a x 2 x 2 + bx + c, und a, b und c stehen alle für eine Zahl.

Um Trinome zu faktorisieren, müssen Sie zwei Zahlen finden, die sich multiplizieren, um das "c" aus der obigen quadratischen Form zu ergeben, und auch gleich "b" zu addieren. Dies sind die Schritte für die einfacheren Fragen, bei denen das erste "a" gleich 1 ist. Bei schwierigeren Problemen ist "a" eine Zahl, die keine Eins ist. Sie müssen zuerst "a" und "c" multiplizieren und dann Faktoren des Produkts "a*c" finden, die sich ebenfalls zu "b" addieren.

Wir untersuchen dies mit Beispielfragen, um zu zeigen, wie Trinome faktorisiert werden.

In diesem Beispiel verwenden wir die Methode "Kreuzmultiplizieren, dann prüfen", um das Trinom zu faktorisieren. Dies ist eine der Möglichkeiten, Trinome zu faktorisieren.

Verwenden Sie Kreuzmultiplizieren und überprüfen Sie das Trinom Faktorisieren Sie den Term b^2 und setzen Sie ihn in das erste Kästchen

Faktorisieren Sie den letzten Term -20. Es gibt ein paar Kombinationen (1x20, 2x10, 4x5), die uns 20 geben können, also welche ist es? Wir multiplizieren diese Kombinationen mit den Faktoren des ersten Termes. Sehen Sie, welche Kombination eine Antwort ergibt, die dem mittleren Begriff entspricht (in dieser Frage ist der mittlere Begriff &ndashb).

Mittelfristige Kombination

Von diesen Kombinationen kann 4x-5 (was -1) entspricht, den passenden Mittelterm -b erzeugen.

Finden Sie heraus, dass 4,-5 dem mittleren Begriff entsprechen Erfolgreich faktorisiert b^2-b-20

Die Methode "Kreuzmultiplizieren, dann prüfen" kann auch auf härtere Trinome angewendet werden, bei denen der führende Koeffizient nicht 1 ist. In dieser Frage ist der führende Koeffizient 2 (aus dem führenden Term 2 x 2 2 2x2)).

Faktoriere den ersten Term 2x^2 und setze ihn in das erste Kästchen ein

Um den letzten Term +12 zu faktorisieren, gibt es einige Kombinationen (1x12, 2x6, 3x4). Wir multiplizieren diese Kombinationen noch einmal mit den Faktoren des ersten Termes. Sehen Sie, welche Kombination einen passenden Mittelwert ergibt (in dieser Frage ist der Mitteltermin +25x)

Finden Sie die Kombination, die 25x . entspricht

Aus diesen Kombinationen kann 1x12 den passenden Mittelwert +25x erzeugen. Das liegt daran (2x x 12) + (x x 1) = 24x + x = 25x

Finden Sie heraus, dass 12 und 1 dem Mittelterm von 25x . entsprechen 2x^2+25x+12 erfolgreich faktorisiert

Faktorisieren von Polynomen: ax²+bx+c

Dieses Paket hilft den Schülern zu verstehen, wie man komplexere quadratische Gleichungen faktorisiert. Die Schüler werden die Faktorisierung verwenden, um die beiden Lösungen (auch Wurzeln oder x-Achsenabschnitte genannt) einer quadratischen Gleichung (die als Parabel grafisch dargestellt wird) zu finden. Beim Faktorisieren werden zwei Terme gefunden – für quadratische Gleichungen sind diese Terme zwei Binome – die miteinander multipliziert werden können, um die quadratische Gleichung zu erhalten.

Viele Studenten sind mit der Verwendung des FOIL-Verfahrens zum Multiplizieren von Binomialen vertraut. Das Faktorisieren quadratischer Gleichungen ist im Wesentlichen das Gegenteil der Verwendung von FOIL, um ein Binomialpaar in ein Polynom umzuwandeln. Beispielsweise:

Wenn Sie das Problem erhalten:$(x-2)(x+4)$

Sie würden FOIL verwenden (was für "multiplizieren Sie die ERSTEN Terme, dann die OUTER-Terme, dann die INNER-Terme, dann die LETZTEN-Terme) verwenden, um zu erhalten:

was vereinfacht werden kann zu $x^2 +2x-8$

Auf der anderen Seite, wenn Sie den Ausdruck $x^2 +2x-8$ erhalten und aufgefordert werden, ihn zu faktorisieren

(oder wenn Ihnen $x^2 +2x-8$=0 gegeben wurde und Sie gebeten wurden, es zu lösen),

$x mal x = x^2$ und $-2 mal 4 = -8$ während $-2+4=2$,

Jede Seite beginnt mit einfacheren Problemen, die schwieriger werden, während die Schüler das Paket durcharbeiten. Einfachere Probleme sind in Standardform. Bei fortgeschritteneren Problemen müssen die Schüler ähnliche Begriffe vereinfachen und kombinieren, bevor sie das Problem faktorisieren.

Nachdem alle 36 Aufgaben gelöst wurden, sollten sich die Schüler mit diesen Aufgaben wohler fühlen und ein klares Verständnis dafür haben, wie sie sie lösen können.


Was Lehrer über Mangahigh sagen

Wir werden sowohl von Lehrern als auch von Schülern weltweit geliebt. Hier ist der Beweis!

Mangahigh macht unsere Schüler zu „Mathe-Süchtigen“, die miteinander um Bestnoten und Goldmedaillen kämpfen. Und da die Quizfragen sowohl das genaue Abrufen von Wissen als auch ein tiefes konzeptionelles Verständnis belohnen, macht jede Stunde, die sie mit Spaß verbringen, sie zu besseren Mathematikern. Fünf Sterne.

Tom Ding

Ark Academy, Wembley, London

Ich benutze Mangahigh seit über 5 Jahren in meinem Klassenzimmer. Was mich immer wieder zurückkehren lässt, sind die Mathespiele und die breite Palette an Konzepten, die angeboten werden. Aber das Beste daran ist die Tatsache, dass die Kinder es LIEBEN, es zu spielen. Ich habe Schüler, die mich bitten, ihnen Lehrerherausforderungen zuzuweisen! Betteln nach mehr Mathearbeit? Ich bin damit einverstanden!!

Renee Hernandez

Grüne Grundschule, Allen, Texas

Kinder waren begeistert von einem ADHS-Studenten, der sich in den letzten Stunden des Tages NIE zuvor konzentrieren konnte. Er würde nicht aufhören, bis er eine Medaille bekam! Absolut phänomenal! Seine Mutter ist überglücklich und der Rest des Mathe-Lehrzimmers war verblüfft!


Beispiel

Beispiel 1

Für die folgenden Trinomialfaktoren x 2 + 3x + 2 gehen wir wie folgt vor:

Sie müssen zwei Zahlen finden, damit beim Addieren das Ergebnis 3 ist und beim Multiplizieren das Ergebnis 2.

Nach einer Inspektion kann festgestellt werden, dass die gesuchten Zahlen: 2 und 1 sind. Daher x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Beispiel 2

Für den Trinomialfaktor x 2 -5x + 6 suchen wir nach zwei Zahlen, deren Summe -5 und das Produkt 6 ist. Die Zahlen, die diese beiden Bedingungen erfüllen, sind -3 und -2. Daher ist die Faktorisierung des gegebenen Trinoms x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2


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Ein Trinom ist ein quadratisches Polynom (oder ein Polynom 2. Grades), das im Allgemeinen aus drei Termen besteht:
$a< x >^ < 2 >+ bx ​​+ c,$

wobei (a eq 0). In vielen Fällen kann ein Trinom faktorisiert oder als Produkt zweier Binome dargestellt werden:
$a< x >^ < 2 >+ bx ​​+ c = (px + q)(rx + s).$

Der Prozess der Faktorisierung von Polynomen ist für die Vereinfachung vieler algebraischer Ausdrücke unerlässlich und ein nützliches Werkzeug zum Lösen von Gleichungen höheren Grades. Dieses Verfahren wird häufig bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten verwendet. Daher behandelt unser Online-Rechner nur Trinome mit ganzzahligen Koeffizienten.

Der Algorithmus, der in unserem Faktor-Trinomialrechner verwendet wird, nimmt die Darstellung des Trinoms in der Form an:
$a< x >^ < 2 >+ bx ​​+ c = a< x >^ < 2 >+ mx +nx + c,$

wobei die ganzen Zahlen (m) und (n) die folgenden Bedingungen erfüllen: (m + n = b), (mn = ac.)

Sobald (m) und (n) gefunden sind, verwenden wir Gruppierung und die Verteilungseigenschaft, um schließlich das Trinom zu faktorisieren.

Verwandte Rechner

Schauen Sie sich unsere anderen Algebra-Rechner an, wie zum Beispiel Completing the Square Calculator oder Perfect Square Calculator.


Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Verwenden Sie Factoring, um zu erstellen gleichwertige Formen von Polynome.

Bewerten und vereinfachen Sie algebraische Ausdrücke, zum Beispiel: Produkte/Quotienten von Polynomen, logarithmischen Ausdrücken und komplexen Brüchen und lösen und zeichnen Sie lineare, quadratische, exponentielle und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen sowie lösen und zeichnen Sie Gleichungs- und Ungleichungssysteme.

Operationen mit reellen Zahlen und Ausdrücken

Nichtlineare Gleichungen

Faktorisieren Sie algebraische Ausdrücke, einschließlich der Differenz von Quadraten und Trinomen (Trinome beschränkt auf die Form ax 2 +bx+c, wobei a gleich 1 ist, nachdem alle Monomfaktoren herausgerechnet wurden).

  • Funktionsfamilien weisen Eigenschaften und Verhaltensweisen auf, die darstellungsübergreifend erkannt werden können. Funktionen können transformiert, kombiniert und zusammengesetzt werden, um neue Funktionen in mathematischen und realen Situationen zu erstellen.
  • Mathematische Funktionen sind Beziehungen, die jedes Mitglied einer Menge (Domäne) einem eindeutigen Mitglied einer anderen Menge (Bereich) zuordnen, und die Beziehung ist darstellungsübergreifend erkennbar.
  • Zahlen, Maße, Ausdrücke, Gleichungen und Ungleichungen können mathematische Situationen und Strukturen in vielen äquivalenten Formen darstellen.
  • Muster weisen Beziehungen auf, die erweitert, beschrieben und verallgemeinert werden können.
  • Beziehungen und Funktionen sind mathematische Beziehungen, die mithilfe von Wörtern, Tabellen, Grafiken und Gleichungen dargestellt und analysiert werden können.
  • Es gibt einige mathematische Beziehungen, die immer wahr sind, und diese Beziehungen werden als Regeln für Arithmetik und Algebra verwendet und sind nützlich, um äquivalente Ausdrucksformen zu schreiben und Gleichungen und Ungleichungen zu lösen.
  • Algebraische Eigenschaften, Prozesse und Darstellungen
  • Analyse von ein- und zweivariablen (univariaten und bivariaten) Daten
  • Exponentialfunktionen und Gleichungen
  • Funktionen und Mehrfachdarstellungen
  • Lineare Beziehungen: Gleichung und Ungleichungen in einer und zwei Variablen
  • Lineares Gleichungssystem und Ungleichungen
  • Polynomfunktionen und Gleichungen
  • Quadratische Funktionen und Gleichungen
  • Erweitern Sie algebraische Eigenschaften und Prozesse auf quadratische, exponentielle und polynomielle Ausdrücke und Gleichungen sowie auf Matrizen und wenden Sie sie an, um Probleme der realen Welt zu lösen.
  • Stellen Sie eine Polynomfunktion auf verschiedene Weise dar, einschließlich Tabellen, Graphen, Gleichungen und kontextabhängigen Situationen, und stellen Sie Verbindungen zwischen Darstellungen her, beziehen Sie die Lösung der zugehörigen Polynomgleichung auf jede Darstellung.
  • Stellen Sie eine quadratische Funktion auf verschiedene Weise dar, einschließlich Tabellen, Grafiken, Gleichungen und kontextabhängigen Situationen, und stellen Sie Verbindungen zwischen Darstellungen her, um die Lösung der zugeordneten quadratischen Gleichung jeder Darstellung zuzuordnen.
  • Verwenden Sie algebraische Eigenschaften und Prozesse in mathematischen Situationen und wenden Sie sie an, um Probleme der realen Welt zu lösen.

Ziele

Die Schüler werden die Faktorisierung als Methode verwenden, um quadratische Funktionen zu lösen. Die Schüler werden:

Faktortrinome verschiedener Formen:

ax² + bx + c = 0, wo a, b, und C haben einen größten gemeinsamen Faktor (GCF)

Wenden Sie die Nullprodukteigenschaft an, um Gleichungen der Form (ax + b) (cx + d) = 0 . zu lösen

Erhalten Sie Lösungen für faktorierbare quadratische Gleichungen der Form

Wesentliche Fragen

Wie können wir zeigen, dass algebraische Eigenschaften und Prozesse Erweiterungen arithmetischer Eigenschaften und Prozesse sind, und wie können wir algebraische Eigenschaften und Prozesse verwenden, um Probleme zu lösen?

Wortschatz

Binomial: Ein Polynom mit zwei Termen. [IS.1 - Vorbereitung]

Trinom: Ein Polynom mit drei Termen.

Größter gemeinsamer Teiler: Der größte Faktor, den zwei oder mehr Zahlen gemeinsam haben.

Faktor: Eine ganze Zahl, die sich gleichmäßig in eine andere Zahl teilt.

Null einer Funktion: Der Wert des Arguments, für das die Funktion null ist. Ebenfalls x-Achsenabschnitt und Wurzel einer Gleichung.

Dauer

90&ndash120 Minuten [IS.2 - Alle Schüler]

Erforderliche Fähigkeiten

Materialien

Schüler-Whiteboards (oder Papier) und Marker und Radiergummis

Computer mit Internetzugang

Ausdrucke von Problemen/Lektionen, wo gewünscht

Zugehörige Einheiten- und Unterrichtspläne

Verwandte Materialien und Ressourcen &

Die mögliche Aufnahme kommerzieller Websites unten stellt keine stillschweigende Billigung ihrer Produkte dar, die nicht kostenlos sind und für diesen Unterrichtsplan nicht erforderlich sind.

Schüler-Whiteboards (oder Papier) und Marker und Radiergummis

Computer mit Internetzugang

Ausdrucke von Problemen/Lektionen, wo gewünscht

Formative Assessment

Observations during class lessons, discussions, and activities should focus on specific products that students create, particularly the two binomial factors of the trinomial. Require students to multiply the two binomial factors using FOIL and compare the resulting trinomial to the original prompt.

Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) requires students to use the zero property of multiplication and evaluates their level of understanding of the logical necessity of a zero product, if one of the factors is equal to zero.

Suggested Instructional Supports

This lesson helps students to develop skills in solving quadratic equations by factoring and provides them with useful techniques for factoring and for understanding the rationale that supports finding solutions. The lesson includes recognizing and using trinomials in various forms.

The Zero Product Property is an elementary concept that is familiar to students. In applying it to binomial factors, they can use the property as a tool in a way that has not previously been represented. Students are able to recognize that the property applies not only to monomials, but also to binomials, and is applicable for all real numbers.

The think-pair-share activity presents students with representations of all three types of trinomial factoring. By attempting solutions individually, students gain an immediate sense of how well they understand the techniques. In sharing their solution methods and results with partners, they can expand their understanding by seeing different solutions and correcting their own and their partners&rsquo errors.

The Solve by Factoring Worksheet requires students to classify as well as factor the trinomials presented. The classification tasks engage students in reviewing their understanding of the individual characteristics of the three types of trinomials. This activity encourages them to use the specific traits of the trinomial to find the unique binomial factors.

Students who find the factoring of trinomials a challenging operation will get some satisfaction in the application of the Zero Product Property. The property is easy to understand and use, and makes the steps to solving quadratic equations by identifying and deconstructing binomials more accessible. Students with the knowledge and skills to factor trinomials of higher difficulty will also appreciate this basic technique.

This lesson is organized so that students can build upon prior knowledge of factoring and solving linear equations to solve quadratic equations. Students should be introduced, through teacher instruction, to the concepts and procedures for solving quadratics by factoring. During this time students should be given time to individually practice these processes and for discussion with classmates. Students should receive immediate feedback on their work during the activities so they are on track to be successful with homework assignments. The student document can also be used to help students stay organized during classroom instruction.

IS.1 - Preparation
Consider word walls and different strategies to ensure that the vocabulary is constantly used during the lesson.
IS.2 - All Students
Consider pre-teaching the concepts critical to this lesson, including the use of hands-on materials. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.3 - Struggling Learners
Consider pre-teaching the Zero-product property and factoring. Strugglling students may need more direct instruction with learning the concepts critical to this lesson. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.4 - All Students
Consider modeling and doing think alouds to help students understand the problem solving process.

Instructional Procedures

After this lesson, students will know how to solve quadratic equations using factoring. Students are learning how to solve quadratic equations because there are many real-world situations that can be modeled by quadratic equations. Students should have prior knowledge of factoring trinomials. Students will understand that there are two solutions to a quadratic equation and why this is different from solving linear equations. They will also find that in dealing with real-life scenarios not all solutions make sense. They should be able to recognize the solution(s) that fit. Students will be able to check their work by substituting their solutions into the equation.

&bdquoYesterday we looked at quadratic equations and many types of situations that can be modeled using them. One of the things we discussed was the zeros of quadratic equations, which are the solutions. On the graphs we looked at, we noted that the zeros were located where the graph crossed the x-axis. Let&rsquos take a moment to recall one of these examples.&rdquo Display the following for students:

&bdquoNow solving this equation is rather simple when you can find the zeros right in the graph, but what if you do not have a graph or the zeros are not easy to calculate from the graph? Today, we are going to discuss an algebraic approach that can be used to solve problems like this, as well as story problems that can be modeled using quadratic equations.&rdquo

The following notes, models, and examples should be shown to students to explain the lesson. Visual and auditory learners will be able to see and/or hear the process that is involved in solving quadratics by factoring.

Zero-Product Property

For any ein und b, if ab = 0, then either ein = 0, b = 0, or ein und b equal 0.

Solving Equations by Factoring [IS.3 - Struggling Learners]

Schritt 1: Make the equation equal to _ 0 _.

Schritt 2: ___ Factor ___ the trinomial.

Schritt 3: Apply the ___ Zero Product Property __ (set each factor equal to __ 0 _ then ____ lösen ___).

Students should have an understanding of factoring trinomials from previous instruction. Depending on the skill level of your students, you may have to vary how much review of factoring trinomials you provide.

Type 3: Equations of the form ax² + bx + c = 0 with a GCF

Students should be instructed to factor out a GCF before beginning the rest of the solving process as in type 1 and 2.

Note: At first, many of these equations look as if they are type 2 equations yet, after factoring a GCF, the problem may reveal a type 1 equation. If the GCF is not factored out of the equation before beginning the factoring process, the solutions will be the same but the factored forms will be different. (This is demonstrated below.)

Without factoring out the GCF in problem 1: (3x + 6)(x &ndash 5) = 0, factored, but not completely, since 3 can be factored out of 3x + 6. But solving 3x + 6 = 0 gives a solution of &minus2, the same as in Example 1. This relationship is important because when students are asked to factor something completely, the answer of (3x + 6)(x &ndash 5) would not be correct since it is not completely factored. A similar situation can be shown with Example 2.

Think-pair-share (interpersonal and verbal intelligences): Place a problem on the board and have students individually work out the problem on paper. After 3 to 5 minutes, have students pair up to discuss their answers. Direct students to discuss any errors and help each other decide on a correct answer. Then have a class discussion on the correct answer and anything students noticed during their discussions such as common errors, arithmetic mistakes, procedural mistakes, etc. You may have a student display the process for the class on the board.

Sample problems for students:

Activity 2: Real-Life Scenarios [IS.4 - All Students]

Problem 1: The length of a rectangle is 3 more inches than its width. Find the dimensions of the rectangle with an area of 108 square inches.

1. This problem uses a type 1 scenario and also uses the concepts of area of a rectangle and the distributive property.

2. It is important to explain at this point that in applied situations not all solutions make sense. Have a discussion with students about which answer works and why. (&minus12 is a solution but does not make sense because a length cannot be negative, thus making 9 the only possible solution to the width).

Lösung: width = 9 in., length = 12 in.

Problem 2: The length and width of an 8-inch by 12-inch photograph are reduced by the same amount to make a new photograph with an area that is 1/3 of the original. By how many inches will the dimensions of the photograph have to be reduced?

1. This problem uses a type 1 scenario, the concept of area of a rectangle, and using FOIL (First Outside Inside Last when multiplying two binomials).

2. For situation 2 there are two possible solutions that are both positive (16 and 4), but discuss with students which one makes sense in the given situation. Since the possible solutions represent the value that is deducted from each side of the photograph, the only answer that would work is 4. An answer of 16 is not reasonable because it is not possible to cut 16 inches off a photograph that only has 12 inches on one side and 8 on the other.

Solution: Reduce the dimensions of the photograph by 4 inches.

Give students the following problems to work on independently for about 10 to 15 minutes. Have students label the type of each problem before beginning to work on it. After independent work time, have students pair up to compare and discuss answers. As students are finishing, have some students write the work for each problem on the board and then discuss the problems as a class. Hand out the Solving Quadratics by Factoring Worksheet (M-A1-1-2_Solving Quadratics by Factoring Worksheet.doc), as desired, for students to work on. (This resource is good as a day 2 follow-up lesson.)

Routine: Use the Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) to give students a structured format for taking notes. Provide this resource to students, as needed, to allow them to keep more organized and structured notes.

Have students reflect on factoring trinomials and whether they remember the process (intrapersonal). This should be done prior to going through the examples of solving quadratics by factoring. Display two problems (one at a time) and have students work through the factoring process on a white board (or piece of paper). Have students hold up their work when finished and make corrections and adjust teaching where needed to meet the needs of your students.

Alternate Method: For Activity 1, you can do the activity once after presenting all three situations or one situation at a time (after each of the methods), having students change partners for each situation. This approach might allow students more reflection and discussion on each of the methods, if time permits.

Visual Learners: For Activity 2, use the Problem Solving Graphic Organizer (M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer.docx and M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer Blank.docx) to help students organize their word- problem solving techniques more efficiently. This can help many students, especially those who need their work to be more visual and organized. There are two resources: one with sequential steps and ideas already filled in, and another that has a blank flow chart. Use whichever document fits the needs of your students.

Assign to students an Internet word-problem activity (see the Related Resources section). This activity will help build students&rsquo understanding and ability to read and evaluate important information from a word problem. This is a great way to give students more practice with word problems.


How do you factor a 2 BX C?

Trinomials in the form x 2 + bx + c can be factored by finding two integers, r and s, whose sum is b and whose product is C. If the remaining trinomial is still of the bilden ax 2 + bx + C, find two integers, r and s, whose sum is b and whose product is ac.

  1. Move all terms to one side of the equation, usually the left, using addition or subtraction.
  2. Factor the equation completely.
  3. Set each factor equal to zero, and solve.
  4. List each solution from Step 3 as a solution to the original equation.

In this way, how do you solve an equation with 2 variables?

To lösen systems of algebraic equations containing two variables, start by moving the variables to different sides of the equation. Then, divide both sides of the equation von eins of the variables zu lösen for that variable. Next, take that number and plug it into the formula to solve for the other variable.

In mathematics, a Koeffizient is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression it is usually a number, but may be any expression. For example, if y is considered as a parameter in the above expression, the Koeffizient of x is &minus3y, and the constant Koeffizient is 1.5 + y.


Trinomials

Let us consider the product (x+a)(x+b) and use the distributive property to show how each term of the resulting trinomial is formed. This can help us develop a factoring technique for trinomials.

Notice that the coefficient of the middle term is the sum of ein und b and the last term is the product of ein und b.

Example: Factor x²+2x-63

We need to find a pair of integers whose sum is 2 and whose product is -63.

x²+2x-63 = (x+___)(x+___)

The only possible pair of integers is 7 and 9. to get a product of -63 and a sum of 2, the larger number must be positive and the smaller number must be negative.

x²+2x-63 = (x+9)(x+(-7)) = (x+9)(x-7)

Factoring of the form ax²+bx+c

Let us consider factoring trinomials where the coefficient of the squared term is not one. First, let us use an informal trial and error technique that works quite well for some types of trinomials.

Example: Factor 12x²-x-6

First, observe that 12x² can be written as x·12x, 3x·4x, or 2x·6x. Then, since the middle term and the last term of the trinomial is negative, the binomials can be of the form

(3x+2)(4x-3) best suits the expression.

Perfect Square Trinomials

Perfect square trinomials are trinomials that resulted from squaring a binomial. They are easily recognized bby the nature of their terms. For example, 9y²+24y+16 is a perfect square trinomial because the first term is a perfect square, the last term is a perfect square, the middle term is twice the product of the numbers being squared in the first and last terms.

The following trinomials can be factored as indicated.

a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²

Example: Factor x²+14x+49

x²+14x+49=(x+7)(x+7)=(x+7)²

Authors:
Danielle Arriz Tio
Hans Nehru Alfante
John Rey Cueva
IV-St. Helena