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12.1: Von linearen Systemen zu Matrixgleichungen - Mathematik


Wir beginnen diesen Abschnitt, indem wir die Definition und Notation von Matrizen überprüfen. Dieser Standpunkt hat eine lange Geschichte der Erforschung, und zahlreiche Rechengeräte – darunter mehrere Computerprogrammiersprachen – wurden speziell für die Analyse von Matrixgleichungen entwickelt und optimiert.

Seien (m,ninmathbb{Z}_{+}) positive ganze Zahlen, und (mathbb{F}) bezeichne wie üblich entweder (mathbb{R}) oder (mathbb{C}). Dann definieren wir zunächst ein (m imes n) Matrix (A) sei ein rechteckiges Array von Zahlen

[ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{m,n} = (A^{(i,j)})_{i,j=1}^{m,n} = ,
links.
egin{bmatrix}
a_{1 1} & cdots & a_{1 n}
vdots & ddots & vdots
a_{m 1} & cdots & a_{m n}
end{bmatrix}
Rechts}
m mbox{ Zahlen}
hspace{-5,675cm}
underbrace{
Phantom{
egin{bmatrix}
a & a & a & a_{a_{a}}
ein & ein & ein
ein & ein & ein
ein & ein & ein
end{bmatrix}
}
}_{ extstyle n mbox{ Zahlen}}
]

wobei jedes Element (a_{i j} in mathbb{F}) im Array an heißt Eintrag von (A) (speziell wird (a_{i j}) der ``(i, j) Eintrag'' genannt). Wir sagen, dass (i) die Reihen von (A), da es sich über die Menge ({1, ldots, m}) erstreckt und dass (j) die Säulen von (A), da sie sich über die Menge ({1, ldots, n}) erstreckt. Wir sagen auch, dass die Matrix (A) hat Größe (m imes n) und beachten Sie, dass es sich um eine (endliche) Folge von doppelt tiefgestellten Zahlen handelt, für die die beiden tiefgestellten Zahlen in keiner Weise voneinander abhängen.

Definition A.1.1. Gegeben positive ganze Zahlen (m, n in mathbb{Z}_{+}), verwenden wir (mathbb{F}^{m imes n}), um die Menge aller (m mal n) Matrizen mit Einträgen über (mathbb{F}.)

Beispiel A.1.2. Die Matrix ( A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 -1 & 3 & i end{bmatrix} in mathbb{C}^{2 imes 3}), aber (A otin mathbb{R}^{2 imes 3}), da der Eintrag "(2,3)" von (A) nicht in (mathbb{R}.)

Angesichts der Allgegenwart von Matrizen sowohl in der abstrakten als auch in der angewandten Mathematik wurde ein reichhaltiges Vokabular entwickelt, um verschiedene Eigenschaften und Merkmale von Matrizen zu beschreiben. Darüber hinaus gibt es auch eine reiche Auswahl an äquivalenten Notationen. Für die Zwecke dieser Hinweise verwenden wir die obige Notation, es sei denn, die Größe der Matrix ist aus dem Kontext ersichtlich oder unwichtig. In diesem Fall lassen wir einen Großteil dieser Notation weg und bezeichnen eine Matrix einfach als

[ A = (a_{i j}) mbox{ oder } A = (a_{i j})_{m imes n}. ]

Um ein Gefühl für das wesentliche Vokabular zu bekommen, nehmen wir an, wir haben eine (m imes n)-Matrix (A = (a_{i j})) mit (m = n). Dann nennen wir (A) a Platz Matrix. Die Elemente (a_{1 1}, a_{2 2}, ldots, a_{n n}) in einer quadratischen Matrix bilden die Hauptdiagonale von (A), und die Elemente (a_{1 n}, a_{2, n-1}, ldots, a_{n 1}) bilden das, was manchmal als bezeichnet wird Hauptdiagonale verdrehen von (A). Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, werden auch oft genannt nicht-diagonal Einträge, und eine Matrix, deren Einträge außerhalb der Diagonalen alle Null sind, heißt a diagonale Matrix. Es ist üblich, (a_{1 2}, a_{2 3}, ldots, a_{n-1,n}) die superdiagonal von (A) und (a_{2 1}, a_{3 2}, ldots, a_{n,n-1}) die Unterdiagonale von (A). Die Motivation für diese Terminologie sollte klar sein, wenn Sie eine quadratische Mustermatrix erstellen und die Einträge innerhalb dieser bestimmten Teilsequenzen der Matrix verfolgen.

Quadratische Matrizen sind wichtig, weil sie für Anwendungen der Linearen Algebra von grundlegender Bedeutung sind. Insbesondere beinhaltet praktisch jede Anwendung der Linearen Algebra entweder direkt quadratische Matrizen oder verwendet sie auf indirekte Weise. Darüber hinaus beinhaltet praktisch jede Verwendung auch die Vorstellung von Vektor, wobei wir hier entweder eine (m imes 1)-Matrix (alias ~a Spaltenvektor) oder eine (1 imes n)-Matrix (alias a Zeilenvektor).

Beispiel A.1.3. Angenommen, (A = (a_{ij})), (B = (b_{ij})), (C = (c_{ij})), (D = (d_{ij} )), und (E = (e_{ij})) sind die folgenden Matrizen über (mathbb{F}):

[ A = links[
egin{array}{r}
3 \
-1 \
1
end{array}
ight]hspace{-.1cm},hspace{.1cm}
B =
links[
egin{array}{rr}
4 & -1 \
0 & 2
end{array}
ight]hspace{-.1cm},hspace{.1cm}
C =
links[
egin{array}{rrr}
1, & 4, & 2
end{array}
ight]hspace{-.1cm},hspace{.1cm}
D =
links[
egin{array}{rrr}
1 & 5 & 2 \
-1 & 0 & 1 \
3 & 2 & 4
end{array}
ight]hspace{-.1cm},hspace{.1cm}
E =
links[
egin{array}{rrr}
6 & 1 & 3 \
-1 & 1 & 2 \
4 & 1 & 3
end{array}
ight]hspace{-.1cm}.
]

Dann sagen wir, dass (A) eine (3 imes 1)-Matrix (auch bekannt als ein Spaltenvektor) ist, (B) eine (2 imes 2)-Quadratmatrix, (C ) ist eine (1 imes 3)-Matrix (auch bekannt als Zeilenvektor), und sowohl (D) als auch (E) sind quadratische (3 imes 3)-Matrizen. Darüber hinaus ist nur (B) eine obere Dreiecksmatrix (wie unten definiert), und keine der Matrizen in diesem Beispiel sind diagonale Matrizen.

Wir können einzelne Einträge in jeder Matrix besprechen. Z.B.,

  1. die (2^{ ext{th}})-Reihe von (D) ist (d_{2 1} = -1), (d_{2 2} = 0) und ( d_{2 3} = 1).
  2. die Hauptdiagonale von (D) ist die Folge (d_{1 1} = 1, d_{2 2} = 0, d_{3 3} = 4).
  3. die schiefe Hauptdiagonalen von (D) ist die Folge (d_{1 3} = 2, d_{2 2} = 0, d_{3 1} = 3).
  4. die nicht-diagonalen Einträge von (D) sind (zeilenweise) (d_{1 2}), (d_{1 3}), (d_{2 1}), (d_{ 2 3}), (d_{3 1}) und (d_{3 2}).
  5. die Spalte (2^{ ext{th}}) von (E) ist (e_{1 2} = e_{2 2} = e_{3 2} = 1).
  6. die Superdiagonale von (E) ist die Folge (e_{1 2} = 1, e_{2 3} = 2).
  7. die Unterdiagonale von (E) ist die Folge (e_{2 1} = -1, e_{3 2} = 1).

Eine quadratische Matrix (A = (a_{i j}) in mathbb{F}^{n imes n}) heißt oberes dreieckig (bzw. unteres Dreieck) falls (a_{ij} = 0) für jedes Paar von ganzen Zahlen (i,j in {1, ldots, n}) so dass (i > j) (bzw. ( i < j)). Mit anderen Worten, (A) ist dreieckig, wenn es die Form hat

[
egin{bmatrix}
a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} & cdots & a_{1 n}
0 & a_{2 2} & a_{2 3} & cdots & a_{2 n}
0 & 0 & a_{3 3} & cdots & a_{3 n}
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots
0 & 0 & 0 & cdots & a_{n n}
end{bmatrix}

ext{oder}

egin{bmatrix}
a_{1 1} & 0 & 0 & cdots & 0
a_{2 1} & a_{2 2} & 0 & cdots & 0
a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3} & cdots & 0
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots
a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & cdots & a_{n n}
end{bmatrix}.
]

Beachten Sie, dass eine Diagonalmatrix gleichzeitig sowohl eine obere Dreiecksmatrix als auch eine untere Dreiecksmatrix ist.

Zwei besonders wichtige Beispiele für Diagonalmatrizen sind wie folgt definiert: Gegeben eine beliebige positive ganze Zahl (ninmathbb{Z}_{+}) können wir die Identitätsmatrix (I_{n}) und die Nullmatrix (0_{n imes n}) durch Einstellung

[
Ich_{n} =
egin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots
0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1
end{bmatrix}
mbox{ und }
0_{n imes n} =
egin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
end{bmatrix},
]

wobei jede dieser Matrizen als quadratische Matrix der Größe (n imes n) verstanden wird. Die Nullmatrix (0_{m imes n}) ist analog für jedes (m, n in mathbb{Z}_{+}) definiert und hat die Größe (m imes n). D.h.,

[
0_{m imes n} =
links.
egin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0
end{bmatrix}
Rechts}
m mbox{ Zeilen}
hspace{-5,675cm}
underbrace{
Phantom{
egin{bmatrix}
a & a & a & a_{a_{a}} & a_{a}
ein & ein & ein
ein & ein & ein
ein & ein & ein
ein & ein & ein
ein & ein & ein
ein & ein & ein
end{bmatrix}
}
}_{ extstyle n mbox{ Spalten}}
]

Seien (m,ninmathbb{Z}_{+}) positive ganze Zahlen. Dann ein System von (m) lineare Gleichungen in (n) Unbekannte (x_{1}, ldots, x_{n}) sieht aus wie

egin{Gleichung}
label{eqn:GenericLinearSystem}
links.
egin{ausgerichtet}
a_{1 1}x_{1} + a_{1 2}x_{2} + a_{1 3}x_{3} + cdots + a_{1 n}x_{n} & = b_{1}
a_{2 1}x_{1} + a_{2 2}x_{2} + a_{2 3}x_{3} + cdots + a_{2 n}x_{n} & = b_{2}
a_{3 1}x_{1} + a_{3 2}x_{2} + a_{3 3}x_{3} + cdots + a_{3 n}x_{n} & = b_{3}
& ,vdots
a_{m 1}x_{1} + a_{m 2}x_{2} + a_{m 3}x_{3} + cdots + a_{m n}x_{n} & = b_{m}
end{ausgerichtet}
ight}, ag{A.1.1}
end{gleichung}

wobei jedes (a_{ij}, b_{i}inmathbb{F}) ein Skalar für (i = 1, 2, ldots, m) und (j = 1, 2, lPunkte, n). Mit anderen Worten, jeder Skalar (b_{1}, ldots, b_{m} in mathbb{F}) wird als Linearkombination der Unbekannten (x_{1}, ldots, x_ {n}) mit Koeffizienten aus dem Körper (mathbb{F}). Zu lösen System (A.1.1) bedeutet, die Menge aller möglichen Werte für (x_{1}, ldots, x_{n}) zu beschreiben (wenn man es sich als Skalare in (mathbb{F}) vorstellt) wie dass jede der (m)-Gleichungen im System (A.1.1) gleichzeitig erfüllt ist.

Anstatt sich direkt mit einem gegebenen linearen System zu befassen, ist es oft praktisch, das System zuerst mit einer weniger umständlichen Notation zu codieren. Konkret kann System (A.1.1) unter Verwendung von genau drei Matrizen zusammengefasst werden. Zuerst sammeln wir die Koeffizienten aus jeder Gleichung in die (m imes n)-Matrix (A = (a_{ij})in mathbb{F}^{m imes n}), die wir das Koeffizientenmatrix für das Linearsystem. Auf ähnliche Weise fügen wir die Unbekannten (x_{1}, x_{2}, ldots, x_{n}) zu einem (n imes 1) Spaltenvektor (x = (x_{i}) in mathbb{F}^{n}), und die rechten Seiten (b_{1}, b_{2}, ldots, b_{m}) der Gleichung werden verwendet, um ein ( m imes 1) Spaltenvektor (b = (b_{i}) in mathbb{F}^{m}). Mit anderen Worten,

[
A =
egin{bmatrix}
a_{1 1} & a_{1 2} & cdots & a_{1 n}
a_{2 1} & a_{2 2} & cdots & a_{2 n}
vdots & vdots & ddots & vdots
a_{m 1} & a_{m 2} & cdots & a_{m n}
end{bmatrix},
x =
egin{bmatrix}
x_{1}
x_{2}
vdots
x_{n}
end{bmatrix},
ext{ und }
b =
egin{bmatrix}
b_{1}
b_{2}
vdots
b_{m}
end{bmatrix}.
]

Dann kann die linke Seite der (i^{ ext{th}})-Gleichung im System (A.1.1) wiederhergestellt werden, indem man Skalarprodukt (alias Euklidisches inneres Produkt) von (x) mit der (i^{ ext{th}})-Reihe in (A):

[
egin{bmatrix}
a_{i 1} & a_{i 2} & cdots & a_{i n}
end{bmatrix}
cdot x
=
sum_{j = 1}^{n} a_{i j}x_{j}
=
a_{i 1}x_{1} + a_{i 2}x_{2} + a_{i 3}x_{3} + cdots + a_{i n}x_{n}.
]

Im Allgemeinen können wir das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren erweitern, um das Produkt zweier beliebiger Matrizen zu bilden (wie in Abschnitt A.2.2). Für die Zwecke dieses Abschnitts genügt es jedoch, einfach das Produkt aus der Matrix (Ainmathbb{F}^{m imes n}) und dem Vektor (xinmathbb{F }^{n}) sein

egin{Gleichung}
label{eqn:MatrixVectorProduct}
Ax =
egin{bmatrix}
a_{1 1} & a_{1 2} & cdots & a_{1 n}
a_{2 1} & a_{2 2} & cdots & a_{2 n}
vdots & vdots & ddots & vdots
a_{m 1} & a_{m 2} & cdots & a_{m n}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x_{1}
x_{2}
vdots
x_{n}
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
a_{1 1}x_{1} + a_{1 2}x_{2} + cdots + a_{1 n}x_{n}
a_{2 1}x_{1} + a_{2 2}x_{2} + cdots + a_{2 n}x_{n}
vdots
a_{m 1}x_{1} + a_{m 2}x_{2} + cdots + a_{m n}x_{n}
end{bmatrix}. ag{A.1.2}
end{gleichung}

Da jeder Eintrag im resultierenden (m imes 1)-Spaltenvektor (Axinmathbb{F}^{m}) genau der linken Seite jeder Gleichung im System (A. 1.1), haben wir effektiv System (A.1.1) als Single codiert Matrixgleichung

egin{Gleichung}
Ax =
egin{bmatrix}
a_{1 1}x_{1} + a_{1 2}x_{2} + cdots + a_{1 n}x_{n}
a_{2 1}x_{1} + a_{2 2}x_{2} + cdots + a_{2 n}x_{n}
vdots
a_{m 1}x_{1} + a_{m 2}x_{2} + cdots + a_{m n}x_{n}
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
b_{1}
vdots
b_{m}
end{bmatrix}
= b. ag{A.1.3}
end{gleichung}

Beispiel A.1.4. Das Linearsystem
[
links.
egin{array}{rrrrrrrrrrrr}
x_{1} & + & 6 x_{2} & ~ & ~ & ~ & + & 4 x_{5} & - & 2 x_{6} & = & 14
~ & ~ & ~ & ~ & x_{3} & ~ & + & 3 x_{5} & + & x_{6} & = & -3
~ & ~ & ~ & ~ & ~ & x_{4} & + & 5 x_{5} & + & 2 x_{6} & = & 11
end{array}
Rechts}.
]

hat drei Gleichungen und beinhaltet die sechs Variablen (x_{1}, x_{2}, ldots, x_{6}). Man kann überprüfen, ob mögliche Lösungen für dieses System enthalten:

[
egin{bmatrix}
x_{1}
x_{2}
x_{3}
x_{4}
x_{6}
x_{6}
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
14 \
0 \
-3 \
11 \
0 \
0
end{bmatrix}
ext{ und }
egin{bmatrix}
x_{1}
x_{2}
x_{3}
x_{4}
x_{6}
x_{6}
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
6 \
1 \
-9 \
-5 \
2 \
3
end{bmatrix}.
]

Beachten Sie, dass wir bei der Beschreibung dieser Lösungen die sechs Unbekannten (x_{1}, x_{2}, ldots, x_{6}) verwendet haben, um den (6 imes 1) Spaltenvektor ( x = (x_{i})inmathbb{F}^{6}). Auf ähnliche Weise können wir die Koeffizientenmatrix (Ainmathbb{F}^{3 imes 6}) und den (3 imes 1) Spaltenvektor (bin mathbb{F}^{ 3}), wobei

[ A =
egin{bmatrix}
1 & 6 & 0 & 0 & 4 & -2 \
0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 2
end{bmatrix}
ext{ und }
egin{bmatrix}
b_{1}
b_{2}
b_{3}
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
14 \
-3 \
11
end{bmatrix}.
]

Sie sollten überprüfen, ob bei diesen Matrizen jede der oben angegebenen Lösungen die Gleichung (A.1.3) erfüllt.

Wir schließen diesen Abschnitt mit der Erwähnung weiterer üblicher Konventionen für die Kodierung linearer Systeme. Genauer gesagt, anstatt zu versuchen, Gleichung (A.1.1) direkt zu lösen, kann man sich stattdessen das äquivalente Problem der Beschreibung aller Koeffizienten (x_{1}, ldots, x_{n} in mathbb{F}) ansehen. für die folgendes Vektorgleichung ist befriedigt:

egin{Gleichung}
label{eqn:GenericVectorSystem}
x_{1}
egin{bmatrix}
a_{1 1}
a_{2 1}
a_{3 1}
vdots
a_{m 1}
end{bmatrix}
+ x_{2}
egin{bmatrix}
a_{1 2}
a_{2 2}
a_{3 2}
vdots
a_{m2}
end{bmatrix}
+ x_{3}
egin{bmatrix}
a_{1 3}
a_{2 3}
a_{3 3}
vdots
a_{m 3}
end{bmatrix}
+ cdots + x_{n}
egin{bmatrix}
a_{1 n}
a_{2 n}
a_{3 n}
vdots
a_{m n}
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
b_{1}
b_{2}
b_{3}
vdots
b_{m}
end{bmatrix}. ag{A.1.4}
end{gleichung}

Dieser Ansatz betont die Analyse der sogenannten Spaltenvektoren (A^{(cdot, j)}) (j = 1, ldots, n ) der Koeffizientenmatrix (A) in der Matrixgleichung (A x = b). (Siehe in Abschnitt A.2.1 für weitere Details darüber, wie Gleichung (A.1.4) funktioniert. Umgekehrt ist es auch üblich, Gleichung (A.1.4) direkt zu begegnen, wenn bestimmte Fragen zu Vektoren in (mathbb{F}^{ n}).

Es ist wichtig zu beachten, dass sich System (A.1.1) von Gleichungen (A.1.3) und (A.1.4) nur in der Notation unterscheidet. Der gemeinsame Aspekt dieser unterschiedlichen Darstellungen ist, dass die linke Seite jeder Gleichung in System (A.1.1) eine lineare Summe ist. Aus diesem Grund ist es auch üblich, System (A.1.1) mit einer kompakteren Notation umzuschreiben, wie z

[
sum_{k = 1}^{n}a_{1 k}x_{k} = b_{1},
sum_{k = 1}^{n}a_{2 k}x_{k} = b_{2},
sum_{k = 1}^{n}a_{3 k}x_{k} = b_{3},
ldots,
sum_{k = 1}^{n}a_{m k}x_{k} = b_{m}.
]


SIAM Journal zu Matrixanalyse und Anwendungen

In diesem Beitrag entwickeln wir einen neuen superschnellen Löser für Toeplitz-Systeme linearer Gleichungen. Um Toeplitz-Systeme zu lösen, verwenden viele Leute Verschiebungsgleichungsmethoden. Mit Verschiebungsstrukturen können Toeplitz-Matrizen mit der FFT oder anderen trigonometrischen Transformationen in Cauchy-ähnliche Matrizen umgewandelt werden. Diese Cauchy-ähnlichen Matrizen haben eine besondere Eigenschaft, dh ihre nichtdiagonalen Blöcke haben kleine numerische Ränge. Diese Eigenschaft mit niedrigem Rang spielt eine zentrale Rolle in unserem superschnellen Toeplitz-Löser. Es ermöglicht uns, die Cauchy-ähnlichen Matrizen schnell durch strukturierte Matrizen namens approximate anzunähern sequentiell halbtrennbar (SSS)-Matrizen. Die Hauptarbeit der Konstruktionen dieser SSS-Formen kann in Vorberechnungen (unabhängig von den Toeplitz-Matrixeinträgen) geleistet werden. Diese SSS-Darstellungen sind aufgrund der niederrangigen Eigenschaft kompakt. Die SSS Cauchy-ähnlichen Systeme können mit linearer Speicherung in linearer Zeit gelöst werden. Abgesehen von Vorberechnungen sind die Hauptoperationen die FFT- und SSS-Systemlösung, die beide sehr effizient sind. Unser neuer Toeplitz-Solver ist in der Praxis stabil. Numerische Beispiele werden vorgestellt, um die Effizienz und die praktische Stabilität zu veranschaulichen.


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Erweiterte Matrizen konsistenter linearer Systeme

Mein Lehrbuch für Lineare Gleichungen hat also Probleme, auf erweiterte Matrizen zu verweisen, aber ich kann nicht finden, wo darüber gesprochen wird. Ich habe ein paar Beispiele gefunden, aber ich möchte wissen, was eine erweiterte Matrix ist und warum die folgenden sind oder nicht. Wikipedia war nicht hilfreich. (Außerdem ist dies mein erster Unterrichtstag und wir haben nur den Lehrplan durchgegangen, aber ich möchte einiges auf den Punkt bringen, damit ich die Fragen meines TA in der Mittwochsdiskussion stellen kann).

Start1 & h & 2-5 & &amp;amp; & Die obige Matrix ist die erweiterte Matrix eines konsistenten linearen Systems, wenn $h e4$

Start1 & 4 & -22 & h & -4end Die obige Matrix ist die erweiterte Matrix eines konsistenten linearen Systems.

Start-8 & 24 & h2 & -6 & 7end Die obige Matrix ist die erweiterte Matrix eines konsistenten linearen Systems, wenn $h e-28$

Dann die Probleme aus dem Buch Ich habe auch keine Antworten, aber dieses baut auf erweiterten Matrizen auf:

Start1 & -3 & 7 & h & 2 & -8 & g -2 & 4 & -6 & kend Wie was? Wie fange ich überhaupt an? Kann ich mit Sicherheit davon ausgehen, dass x-3y+7z=g?


Engagierte Studenten: Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen lösen

In meiner Schlusssteinklasse für zukünftige Mathematiklehrer der Sekundarstufe bitte ich meine Schüler, Ideen zu entwickeln für einnehmend ihre Schüler mit unterschiedlichen Themen im Lehrplan der Sekundarstufe Mathematik Mit anderen Worten, es ging bei der Aufgabe nicht darum, einen vollständigen Unterrichtsplan zu diesem Thema zu entwickeln. Stattdessen habe ich meine Schüler gebeten, über drei verschiedene Wege nachzudenken, um ihre Schüler überhaupt für das Thema zu interessieren.

Ich habe vor, einige der besten dieser Ideen in diesem Blog zu teilen (natürlich nachdem ich meine Schüler um Erlaubnis gebeten habe).

Dieser Schülerbeitrag stammt von meinem ehemaligen Schüler Andrew Sansom. Sein Thema aus Algebra II: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen.

A1. Welche interessanten (d. h. ungekünstelten) Wortaufgaben zu diesem Thema können Ihre Schüler jetzt lösen? (Sie können Ressourcen wie http://www.spacemath.nasa.gov finden, die in dieser Hinsicht sehr hilfreich sind. Sie können gerne andere vorschlagen.)

Der Square in Downtown Denton ist ein beliebter Ort zum Verweilen und Verweilen. Ein neuer Geschäftsinhaber muss entscheiden, auf welcher Straße er eine Anzeige platzieren soll, damit die meisten Leute sie sehen, wenn sie vorbeifahren. Er hat nicht genug Ressourcen, um jeden Block und jede Straße zu befahren, aber er weiß, dass er Algebra verwenden kann, um diejenigen zu lösen, die er verpasst hat. In die obige Karte hat er ein blaues Kästchen eingefügt, das die Anzahl der Menschen enthält, die während einer Stunde auf jeder Straße gelaufen sind. Verwenden Sie ein System linearer Gleichungen, um zu bestimmen, wie viel Verkehr auf jeder Straße/jedem Block auf dieser Karte herrscht.

TIPP: Denken Sie daran, dass an jeder Kreuzung stündlich die gleiche Anzahl von Personen ein- und ausgehen muss. Schreiben Sie also für jede Kreuzung eine Gleichung auf, bei der die Summe der hereingehenden Personen gleich der Anzahl der hinausgehenden Personen ist.
HINWEIS: Denken Sie daran, dass stündlich die gleichen Personen die gesamte Karte betreten und verlassen. Schreiben Sie eine Gleichung, bei der die Summe jeder Straße, die in die Karte hineingeht, gleich der Summe jeder Straße ist, die aus der Karte herausgeht.

1. Erstellen Sie jede Gleichung, wie in den Hinweisen vorgeschlagen.

2. Schreiben Sie das System simultaner linearer Gleichungen in Standardform um.

3. Schreiben Sie das System in eine erweiterte Matrix um

4. Reduzieren Sie das System auf die reduzierte Zeilenstufenform (mit einem Taschenrechner)


5. Verwenden Sie diese reduzierte Matrix, um Lösungen für jede Variable zu finden

Damit erhalten wir eine fertige Karte:


Offensichtlich sollte der Geschäftsinhaber in der Hickory Street zwischen Elm und Locust St (möglicherweise vor Beth Marie's) werben.

B1. Wie kann dieses Thema in zukünftigen mathematischen oder naturwissenschaftlichen Lehrveranstaltungen Ihrer Studierenden eingesetzt werden?

Systeme simultaner linearer Gleichungen treten häufig bei den meisten Problemen auf, bei denen mehrere Dinge gleichzeitig modelliert werden. In der High School hat die Fähigkeit, Matrizen zu verwenden, um solche Systeme (insbesondere große) zu lösen, einfach viele Probleme, die in AP- oder IB-Physikprüfungen auftauchen würden. Die Schaltungsanalyse (einschließlich der Gesetze von Kirchhof und Ohm) läuft häufig darauf hinaus, große Systeme simultaner Gleichungen aufzustellen, ähnlich dem obigen Netzwerkverkehrsproblem. Ebenso gibt es kinematische Probleme, bei denen mehrere Kräfte/Drehmomente auf ein Objekt einwirken, die sich natürlich für große Gleichungssysteme eignen.

In der Chemie lassen sich Mischungsprobleme mit Gleichungssystemen lösen. Wenn mehr als eine Substanz gemischt wird, kann das System zu groß werden, um es effizient zu lösen, außer durch Gaußsche Elimination und Matrixoperationen. (DeFreese, ohne Datum)

Auf Universitätsebene bereitet das Lernen, Systeme mit Matrizen zu lösen, auf die Lineare Algebra vor, die in fast jedem Mathematikunterricht danach nützlich ist.

D4. Was sind die Beiträge verschiedener Kulturen zu diesem Thema?

Simultane lineare Gleichungen wurden im alten China in einem Text namens Jiuzhang Suanshu oder Neun Kapitel der mathematischen Kunst vorgestellt, um Probleme mit Gewichten und Kornmengen zu lösen. Das vorgeschriebene Verfahren, das das Auflisten der Koeffizienten von Termen in einem Array beinhaltet, ist der Gaußschen Elimination außergewöhnlich ähnlich.

Später, im frühneuzeitlichen Europa, waren die Eliminationsmethoden bekannt, wurden aber nicht in Lehrbüchern gelehrt, bis Newton 1720 einen solchen englischen Text veröffentlichte, obwohl er in diesem Text keine Matrizen verwendete. Gauss lieferte 1794 einen noch systematischeren Ansatz zur Lösung simultaner linearer Gleichungen mit kleinsten Quadraten, der 1801 verwendet wurde, um Ceres zu finden, als es gesichtet und dann verloren ging. Zu Gauß' Lebzeiten und im darauffolgenden Jahrhundert war Gauss' Eliminationsverfahren eine Standardmethode zur Lösung großer Systeme für menschliche Computer. Darüber hinaus „entlastete Gauss die Computer durch die Einführung von Klammern von der Langeweile, Gleichungen neu schreiben zu müssen, und ermöglichte ihnen so, sich Gedanken darüber zu machen, wie sie ihre Arbeit am besten organisieren können.“ (Grcar J.F., 2011).


Matrixdarstellung des Systems linearer Gleichungen

Ein lineares Gleichungssystem ist wie folgt.

a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn = b 2 ⋯ am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn = bm

Dieses System kann als Matrixgleichung A ⋅ x → = b → dargestellt werden, wobei EIN ist die Koeffizientenmatrix.

A = ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m n )

b → ist der Vektor, der die rechten Seiten der Gleichungen enthält.

Wenn die Lösung nicht eindeutig ist, gibt linsolve eine Warnung aus, wählt eine Lösung aus und gibt sie zurück.

Wenn das System keine Lösung hat, gibt linsolve eine Warnung aus und gibt X zurück, wobei alle Elemente auf Inf gesetzt sind.

Der Aufruf von linsolve für numerische Matrizen, die keine symbolischen Objekte sind, ruft die MATLAB ® linsolve-Funktion auf. Diese Funktion akzeptiert nur echte Argumente. Wenn Ihr Gleichungssystem komplexe Zahlen verwendet, verwenden Sie sym, um mindestens eine Matrix in eine symbolische Matrix umzuwandeln, und rufen Sie dann linsolve auf.


Unterabschnitt 2.3.1 Die Matrixgleichung

In diesem Abschnitt stellen wir eine sehr prägnante Art vor, ein lineares Gleichungssystem zu schreiben:

sind Vektoren (im Allgemeinen unterschiedlicher Größe), daher müssen wir zuerst erklären, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert.

Anmerkung

In diesem Buch machen wir nicht reserviere die Briefe

für die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix. Wenn wir schreiben „

Definition

ist die Linearkombination

Beispiel

sinnvollerweise die Anzahl der Einträge von

muss gleich der Anzahl der Spalten von sein

Wir verwenden die Einträge von

als Koeffizienten der Spalten von

in einer Linearkombination. Der resultierende Vektor hat die gleiche Anzahl von Einträgen wie die Anzahl von Reihen von

hat diese Anzahl von Einträgen.

Eigenschaften des Matrix-Vektor-Produkts
Definition

EIN Matrixgleichung ist eine Gleichung der Form

ist ein Vektor, dessen Koeffizienten

In diesem Buch werden wir zwei komplementäre Fragen zu einer Matrixgleichung untersuchen

    Bei einer bestimmten Auswahl von

was sind alle lösungen zu

Die erste Frage ähnelt eher den Fragen, die Sie vielleicht aus Ihren früheren Kursen in Algebra gewohnt sind. Sie haben viel Übung beim Lösen von Gleichungen wie

Die zweite Frage ist vielleicht ein neues Konzept für Sie. Der Rangsatz in Abschnitt 2.9, der den Höhepunkt dieses Kapitels darstellt, sagt uns, dass die beiden Fragen eng miteinander verbunden sind.

Matrixgleichungen und Vektorgleichungen

Betrachten Sie die Vektorgleichung

Dies entspricht der Matrixgleichung

entspricht der Vektorgleichung

Beispiel
Vier Möglichkeiten, ein lineares System zu schreiben

Wir haben nun vier äquivalente Arten, ein System linearer Gleichungen zu schreiben (und darüber nachzudenken):

Speziell, alle vier haben die gleiche Lösungsmenge.

Wir werden für den Rest des Buches immer wieder frei zwischen den vier Arten hin und her wechseln, ein lineares System zu schreiben.

Eine andere Art zu rechnen

Die obige Definition ist eine nützliche Methode, um das Produkt einer Matrix mit einem Vektor zu definieren, wenn es darum geht, die Beziehung zwischen Matrixgleichungen und Vektorgleichungen zu verstehen. Hier geben wir eine Definition, die besser an Handrechnungen angepasst ist.

Definition

EIN Zeilenvektor ist eine Matrix mit einer Zeile. Das Produkt eines Zeilenvektors der Länge


Das System wird als konsistentes System mit einer einzigen Lösung bezeichnet. Um die Lösung des Systems zu bestimmen, verwenden wir die Cramersche Regel.

Wir berechnen $ Delta_>$, die Determinante, die durch Ersetzen der Spalte mit den Koeffizienten der jeweiligen Variablen $x_<1>$ durch die Spalte der konstanten Terme erhalten wird.
$Delta_>= egin b_ <1>& a_ <1,2>& a_ <1,3>& . & . & a_ <1,n> b_ <2>& a_ <2,2>& a_ <2,3>& . & . & a_ <2,n> b_ <3>& a_ <3,2>& a_ <3,3>& . & . & a_ <3,n> cdots b_ & ein_ & ein_ & . & . & ein_ Ende$

Wir berechnen $ Delta_>$, die Determinante, die man erhält, indem man die Spalte mit den Koeffizienten der jeweiligen Variablen $x_<2>$ durch die Spalte der konstanten Terme ersetzt.
$Delta_>= egin a_ <1,1>& b_ <1>& a_ <1,3>& . & . & a_ <1,n> a_ <2,1>& b_ <2>& a_ <2,3>& . & . & a_ <2,n> a_ <3,1>& b_ <3>& a_ <3,3>& . & . & a_ <3,n> cdots a_ & B_ & ein_ & . & . & ein_ Ende$

Wir berechnen $ Delta_>$, die Determinante, die durch Ersetzen der Spalte mit den Koeffizienten der jeweiligen Variablen $x_<3>$ durch die Spalte der konstanten Terme erhalten wird.
$Delta_>= egin a_ <1,1>& a_ <1,2>& b_ <1>& . & . & a_ <1,n> a_ <2,1>& a_ <2,2>& b_ <2>& . & . & a_ <2,n> a_ <3,1>& a_ <3,2>& b_ <3>& . & . & a_ <3,n> cdots a_ & ein_ & ein_ & . & . & ein_ Ende$

Das machen wir für die anderen Variablen bis zur letzten und schreiben dann die Lösung des Systems auf.
$x_=dfrac>>$

Beispiel 53
$egin 2cdot x + 3cdot y -5cdot z = color<-7> -3 cdot x + 2cdot y + z = color<-9> 4cdot x - y + 2cdot z = color <17>end$

Die dem System zugeordnete Matrix ist
$ egin 2 & 3 & -5 -3 & 2 & 1 4 & -1 & 2 end$

Wir berechnen die Determinante der Matrix und erhalten $Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65$
Wir berechnen $ Delta_= egin Farbe <-7>& 3 & -5 Farbe <-9>& 2 & 1 Farbe <17>& -1 & 2 end= -28 - 45 + 51 + 170 - 7 +54 = 195$

Wir berechnen $ Delta_= egin 2 & Farbe <-7>& -5 -3 & Farbe <-9>& 1 4 & Farbe <17>& 2 end=-36 + 255 -28 -180 -34 -42 = -65$

Wir berechnen $ Delta_= egin 2 & 3 &Farbe<-7> -3 & 2 & color<-9> 4 & -1 & color <17>end= 68 -21 -108 + 56 -18 + 153 =130$

Beispiel 54
$egin 4cdot x + 5cdot y -2cdot z = color<3> -2 cdot x + 3cdot y - z = color<-3> -1cdot x - 2cdot y + 3cdot z = color <-5>end$

Die dem System zugeordnete Matrix ist $ egin 4 & 5 & -2 -2 & 3 & -1 -1 & -2 & 3 end$

Wir berechnen die Determinante der Matrix und erhalten $Delta = 36 -8 + 5 -6 -8 + 30 = 49$

Wir berechnen $ Delta_= egin Farbe <3>& 5 & -2 Farbe <-3>& 3 &-1 color <-5>& -2 & 3 end= 27 - 12 + 25 - 30 - 6 + 45 = 49$

Wir berechnen $ Delta_= egin 4 & Farbe <3>& -2 -2 & Farbe <-3>& -1 -1 & Farbe <-5>& 3 end=-36 -20+ 3 +6 -20 + 18 = -49$

Wir berechnen $ Delta_= egin 4 & 5 & Farbe<3> -2 & 3 & color<-3> -1& -2 & Farbe <-5>end= -60 + 12 + 15 + 9 - 24 -50 = - 98$

Wenn das System homogen, seine Lösung ist <000>weil in Determinanten $Delta_$,$Delta_$ und $Delta_$ gibt es Spalten mit 0, also sind sie auch gleich 0.

Beispiel 55
$egin 2cdot x + 3cdot y -5cdot z = color<0> -3 cdot x + 2cdot y + z = color<0> 4cdot x - y + 2cdot z = color <0>end$

Die dem System zugeordnete Matrix ist
$ egin 2 & 3 & -5 -3 & 2 & 1 4 & -1 & 2 end$

Wir berechnen die Determinante der Matrix und erhalten $Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $


Lineare Systeme lösen

Matrizen können verwendet werden, um ein lineares Gleichungssystem zu beschreiben und es durch Matrixmultiplikation zu lösen. Angenommen, wir erhalten ein System von n linearen Gleichungen und n Unbekannten:

In diesem Fall ist n = 3. Immer wenn wir fehlende Variablen haben, wie in der letzten Gleichung, 2x2 - 5x3 = 3, können wir x . künstlich einführen1 into the equation by setting the coefficient of x1 to 0. In other words,

If we organize the coefficients of x1, x2, and x3 into a matrix A, we get:

If we organize the constants on the right-hand side of each equation into a column vector b, we get

Then in the language of matrix multiplication, solving for x1, x2, x3 is the same as finding a vector x = [x1, x2, x3] T such that

which is eqivalent to Ax = b. We can use Gaussian elimination on the augmented matrix,


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