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4.3: Isoselen-Dreiecke


Ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten heißt gleichschenklig; die verbleibende Seite wird als Basis bezeichnet.

Satz (PageIndex{1})

Angenommen ( riangle ABC) ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis ([AB]). Dann

(gemessener Winkel ABC equiv - gemessener Winkel BAC.)

Außerdem gilt die Umkehrung, wenn (dreieck ABC) nicht entartet ist.

Der folgende Beweis stammt von Pappus von Alexandria.

Beweis

Beachten Sie, dass

(CA = CB), (CB = CA), (gemessener Winkel ACB equiv -gemessener Winkel BCA).

Nach Axiom IV,

( riangle CAB cong riangle CBA.)

Wenden wir den Satz auf die Vorzeichen der Winkel von Dreiecken an (Satz 3.3.1) Und wieder Axiom IV erhalten wir, dass

(gemessener Winkel BAC equiv -gemessener Winkel ABC.)

Um das Gegenteil zu beweisen, nehmen wir (measuredangle CAB equiv - measuredangle CBA) an. Nach ASA-Bedingung (Satz 4.2.1), ( riangle CAB cong riangle CBA). Daher (CA = CB).

Ein Dreieck mit drei gleichen Seiten heißt gleichseitig.

Übung (PageIndex{1})

Sei ( riangle ABC) ein gleichseitiges Dreieck. Zeige, dass

(gemessener Winkel ABC = gemessener Winkel BCA = gemessener Winkel CAB.)

Hinweis

Wende Satz 4.3.1 zweimal an


Abbildung (PageIndex<1>)

Tasha segelt mit ihrem Vater auf dem alten Boot ihres Vaters. Das Segel sieht aus wie ein Dreieck. Alle Seiten des Segels sind unterschiedlich lang. Tasha möchte das Dreieck klassifizieren, weiß aber nicht, wie sie es benennen soll. Wie kann Tasha das Dreieck angesichts der Seitenlängen des Dreiecks klassifizieren?

In diesem Konzept lernen Sie, Dreiecke nach ihren Seitenlängen zu klassifizieren.


ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck. A ist der Punkt (-4,-3) B ist der Punkt (0,3) C ist der Punkt auf der Geraden y=3. a) Zeichnen Sie das Dreieck ABC auf dem Zentimeterraster. b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC

Sin38° =

Fläche eines Dreiecks =

=

=

Daher Fläche des gegebenen Dreiecks XYZ = 35,499 cm².

Die Länge der Seite a sei 10 cm.

Die Länge der Seite b sei 13 cm.

Das Maß für ∠C sei 105°

Wir müssen die Fläche des Dreiecks bestimmen.

Die Fläche des Dreiecks lässt sich mit der Formel ermitteln:

Einsetzen von a = 10, b = 13 und ∠C = 105° erhalten wir


Innenwinkel

Das 3:4:5-Dreieck ist nützlich, wenn Sie feststellen möchten, ob ein Winkel ein rechter Winkel ist.

Angenommen, Sie haben ein Stück Teppich und möchten feststellen, ob eine Ecke davon 90° beträgt. Messen Sie zuerst entlang einer Kante 3 Fuß. Das Maß entlang der angrenzenden Kante 4 Fuß. Wenn die Diagonale 5 Fuß beträgt, ist das Dreieck ein rechtwinkliges 3:4:5-Dreieck und die Ecke ist per Definition quadratisch.

Sie können natürlich jede beliebige Dimension verwenden und dann den Satz des Pythagoras verwenden, um zu sehen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Aber die Zahlen 3,4,5 sind leicht zu merken und es ist keine Berechnung erforderlich. Sie können auch Vielfache von 3,4,5 verwenden. Zum Beispiel 6,8,10. Was immer gerade bequem ist.


So berechnen Sie Fläche und Umfang

Bei gegebenen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks ist es möglich, den Umfang und die Fläche mit ein paar einfachen Formeln zu lösen.

Umfang lösen

Lösen Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks mit der folgenden Formel:

Somit ist der Umfang p ist gleich 2 mal leg ein plus Basis b.

Semiperimeter lösen

Bei gegebenem Umfang können Sie den Semiperimeter lösen. Der Semiperimeter so ist gleich dem halben Umfang.

Bereich lösen

Um nach Fläche aufzulösen, verwenden Sie die Formel von Heron:

Die Formel von Heron besagt, dass die Fläche T ist gleich der Quadratwurzel des Semiperimeters so mal Semiperimeter so minus Bein ein mal Semiperimeter so Minus- ein mal Semiperimeter so minus Basis b.


Teile eines rechtwinkligen Dreiecks

Beine : die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden

Hypotenuse : die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.

Kongruenz des rechten Dreiecks:

Satz 4.6 : (Bein-Bein-Kongruenz) : gleich wie______

Satz 4.7: (Hypotenuse-Winkel-Kongruenz) : gleich wie____

Satz 4.8: (Bein-Winkel-Kongruenz) : gleich wie_____

Postulat 4.4: (Hypotenuse-Beinkongruenz) : gleich wie____

Abschnitt 4.6 Gleichschenklige Dreiecke


Lösung für Riddler Express von letzter Woche

Herzlichen Glückwunsch an 👏 Erik Voigt 👏 aus New York, den Gewinner des Riddler Express der letzten Woche.

Letzte Woche haben Sie und Ihre unendlich vielen Freunde einen Kuchen geteilt, und Sie haben sich zwei ziemlich bizarre Möglichkeiten ausgedacht, ihn zu teilen.

Bei der ersten Methode nahm Freund 1 die Hälfte des Kuchens, Freund 2 ein Drittel was blieb, Freund 3 nahm ein Viertel von dem, was nach Freund 2 übrig war, Freund 4 nahm ein Fünftel von dem, was nach Freund 3 übrig war, und so weiter. Nachdem deine unendlich vielen Freunde ihre jeweiligen Stücke genommen haben, hast du alles, was noch übrig war.

Für die zweite Methode haben sich deine Freunde entschieden, dir etwas mehr Zeit zu sparen. Dieses Mal nahm Freund 1 1/2 2 (oder ein Viertel) des Kuchens, Freund 2 nahm 1/3 2 (oder ein Neuntel) von was blieb, Freund 3 nahm 1/4 2 von dem, was nach Freund 3 übrig blieb, und so weiter. Nochmals, nachdem deine unendlich vielen Freunde ihre jeweiligen Stücke genommen haben, hast du alles, was noch übrig ist.

Wie viel Kuchen hast du mit jeder dieser Methoden bekommen?

Bei beiden Problemen wurde mit einem cleveren mathematischen Zug untersucht, wie viel vom Kuchen übrig blieb, nachdem jeder Freund seine Portion genommen hatte. Bei der ersten Methode blieb also 1/2 nach Freund 1 übrig. Freund 2 nahm 1/3 von dem, was übrig war, was bedeutet, dass sie 2/3 der 1/2 oder 2/3 und mal 1/2 des ursprünglichen Kuchens zurückgelassen haben . Ebenso waren nach Freund 3 noch 3/4 · 2/3 · 1/2 des Kuchens übrig.

In umgekehrter Reihenfolge der Brüche in diesen Produkten wird der Restbetrag nach Nein Freunde nahmen ihre Stücke war 1/2 &mal 2/3 &mal 3/4 &mal 4/5 &mal 5/6 &mal 6/7 &mal &hellip &mal Nein/(Nein+1). Der Nenner jedes Bruchs wird durch den Zähler des nächsten Bruchs gestrichen, so dass das Gesamtprodukt nur 1/(Nein+1). Im Limit von unendlich vielen Freunden ging dieses Produkt an Null, was bedeutet, dass Sie mit der ersten Methode keinen Kuchen bekommen!

Die zweite Methode sah vielversprechender aus. Dieses Mal, nachdem N Freunde ihre jeweiligen Spielsteine ​​genommen hatten, war der Restbetrag (2 2 &minus1)/2 2 &mal (3 2 &minus1)/3 2 &mal (4 2 &minus1)/4 2 &mal &hellip &mal [(Nein+1) 2 &minus1]/(Nein+1) 2 . Das mag auf den ersten Blick etwas schwierig zu bewerten gewesen sein. Wie jedoch von der Löserin Elaine H. aus Tampa, Florida, festgestellt wurde, sind Quadratunterschiede wie ein 2 &minus1 kann immer als (ein+1)(ein&minus1).

Mit dieser Identität können wir dieses schwerere Produkt umschreiben als (1&mal3)/(2&mal2) &mal (2&mal4)/(3&mal3) &mal (3&mal5)/(4&mal4) &mal (4&mal6)/(5&mal5) &mal &hellip &mal [Nein&mal(Nein+2)]/[(Nein+1)&mal(Nein+1)]. Diesmal wurden die beiden Faktoren in jedem Nenner durch Faktoren in den Zählern sowohl des vorhergehenden als auch des folgenden Bruchs aufgehoben. Am Ende blieb nur noch 1/2 & mal (Nein+2)/(Nein+1). In der Grenze von unendlich vielen Freunden ist der Bruch (Nein+2)/(Nein+1) näherte sich 1, was bedeutete, dass Sie genau das bekommen haben Hälfte der Kuchen mit der zweiten Methode. Das ist eine halbwegs anständige Portion!

Für zusätzliches Guthaben haben Sie jede zweite Bedingung aus dem Produkt der zweiten Methode entfernt, sodass Sie (2 2 &minus1)/2 2 &mal (4 2 &minus1)/4 2 &mal (6 2 &minus1)/6 2 &mal (8 2 &minus1) übrig haben. /8 2 und so weiter. Da Begriffe aus dem zweiten Produkt entfernt wurden, musste dieses neue Produkt größer als die Hälfte sein. Es stellte sich heraus, dass dies der Kehrwert des Wallis-Produkts war, was bedeutete, dass Sie es bekamen 2/𝜋, oder etwa 63,7 Prozent des Kuchens. Weitere Informationen zum Wallis-Produkt und eine Möglichkeit, es mithilfe komplexer Analysen zu beweisen, finden Sie in Laurent Lessards Bericht.


Satz des gleichschenkligen Dreiecks

Wenn in einem gleichschenkligen Dreieck zwei Seiten eines Dreiecks kongruent sind, dann sind die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel kongruent. Umgekehrt, wenn die beiden Winkel eines Dreiecks deckungsgleich sind, sind auch die entsprechenden Seiten deckungsgleich. Wir können also sagen, dass ∠ABC = ∠ACB und AB = AC in der gegebenen Abbildung:

Nun wissen wir auch, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Höhe vom Scheitelwinkel (senkrecht) die Basis und den Scheitelwinkel halbiert. Wir können also sagen, dass ∠BAD = ∠DAC und BD = DC ist. Mit diesen Informationen können wir das sagen ΔADB und ΔCDB sind deckungsgleich.


Test an gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken

Tag 2 Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke Ziele: Beweisen Sie Sätze über gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. Wenden Sie die Eigenschaften von gleichschenklig und gleichseitig an.

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  • Veröffentlicht: 27. Juni 2016
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CGP04DAD - Murrieta Valley Unified School District

4.3 Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke 185 Ziel Verwenden Sie Eigenschaften von gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken. Schlüsselwörter Beine

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5: 3: 4: 8: Kongruente Dreiecke beweisen - wpcsd.k12.ny.us

Kongruente Dreiecke beweisen. Zusammenfassung der gleichschenkligen Dreiecke. Die Mediane eines Dreiecks sind kongruent, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

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Spezielle rechtwinklige Dreiecke und rechtwinklige Trigonometrie .

Thema Untersuchung spezieller rechtwinkliger Dreiecke und rechtwinkliger Trigonometrie . spezielle rechtwinklige Dreiecke und rechtwinkliges Dreieck . 45-45-90 rechtwinklige Dreiecke (gleichschenklig .

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Kapitel 4: Kongruente Dreiecke - Augusta County Public .

Kapitel 4 Kongruente Dreiecke Kapitel 5 Beziehungen in Dreiecken Kapitel 6 Proportionen und Ähnlichkeit Kapitel 7 Rechtwinklige Dreiecke und trigonometrische Dreiecke

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  • Veröffentlicht: 24. Juni 2016
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ARBEITSBLATT 1: Innenwinkel eines Dreiecks – Tafel

In einem gleichschenkligen Dreieck . Ein gleichseitiges Dreieck hat 3 gleiche Seiten und 3 gleiche Winkel. . 3.1 Winkel in Dreiecken, Seite 77 4. 5. 6.

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Linien, Winkel und Dreiecke 12.1 Winkel und Dreiecke .

Geraden, Winkel und Dreiecke 12.1 Winkel und Dreiecke ÜBEN SIE DAS FINDEN VON WINKELMASSNAHMEN Schreiben Sie Gleichungen und lösen Sie. . MathLinks: Klasse 8 (Schülerpaket 12)

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LEKTION Dreiecke nachlehren -

Wiederholen Sie 7-5 Dreiecke (Fortsetzung) LEKTION . 7-5 Dreiecke LEKTION 1. Klassifizieren Sie das Dreieck ABC.Was ist das . Alle rechtwinkligen Dreiecke?

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Lehrplan für Einheit 3: Kongruente Dreiecke - Klasse A Mathe-Hilfe

3. In diesem Kapitel werden kongruente Dreiecke behandelt. 4. Formale Definition: Kongruente Dreiecke a. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn

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  • Veröffentlicht: 23. Juni 2016
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Lehrplan für Einheit 3: Kongruente Dreiecke - Klasse A

3. In diesem Kapitel werden kongruente Dreiecke behandelt. 4. Formale Definition: Kongruente Dreiecke a. Zwei Dreiecke sind deckungsgleich, wenn sich ihre Eckpunkte so angleichen lassen.


Tamilnadu Samacheer Kalvi 6. Mathe Lösungen Term 2 Kapitel 4 Geometrie Ü 4.3

Verschiedene Übungsprobleme

Frage 1.
Welche Winkel hat ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck?
Lösung:
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt
Einer der Winkel ist 90°
Die anderen beiden Winkel sind gleich, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
Die anderen beiden Winkel müssen 45° und 45° . betragen
Winkel sind 90°, 45°, 45°.

Frage 2.
Welche der folgenden Aussagen beschreibt das gegebene Dreieck richtig?

(a) Es ist ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck.
(b) Es ist ein spitzes gleichschenkliges Dreieck.
(c) Es ist ein stumpfes gleichschenkliges Dreieck.
(d) es ist ein stumpfes skalenförmiges Dreieck.
Lösung:
(c) Es ist ein stumpfes gleichschenkliges Dreieck.

Frage 3.
Welche der folgenden Möglichkeiten ist nicht möglich?
(a) Ein stumpfes gleichschenkliges Dreieck
(b) Ein spitzes gleichschenkliges Dreieck
(c) Ein stumpfes gleichseitiges Dreieck
(d) Ein spitzes gleichseitiges Dreieck
Lösung:
(c) ein stumpfes gleichseitiges Dreieck

Frage 4.
Wenn ein Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks 124° beträgt, dann finden Sie die anderen Winkel.
Lösung:
In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei beliebige Seiten gleich. Außerdem sind zwei Winkel gleich.
Summe von drei Winkeln eines Dreiecks = 180°
Gegeben ein Winkel = 124°
Summe der anderen beiden Winkel = 180° – 124° = 56°
Andere Winkel sind = (frac<56><2>) = 28°
28° und 28°.

Frage 5.
Das Diagramm zeigt ein quadratisches ABCD. Wenn die Liniensegmente A und C verbinden, dann erwähnen Sie die Art der so gebildeten Dreiecke.

Lösung:
Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich und jeder Winkel beträgt 90°.
∆ABC und ∆ADC sind gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke.

Frage 6.
Zeichnen Sie ein Liniensegment AB der Länge 6 cm. Zeichnen Sie an jedem Ende dieses Liniensegments AB eine Linie senkrecht zur Linie AB. Sind diese Linien parallel?
Lösung:
Hier stehen CA und DB senkrecht auf AB.
Ja CA und DB sind parallel.

Konstruktion:
(i) Zeichne ein Liniensegment AB der Länge 6 cm.
(ii) Platzieren Sie das Quadrat so auf der Geraden, dass der Scheitel seines rechten Winkels zuerst mit B und dann mit A zusammenfällt und ein Arm des rechten Winkels mit der Geraden AB zusammenfällt.
(iii) Gezeichnete Linien DB und CA durch B und A, der andere Arm des rechten Winkels des gesetzten Quadrats.
(iv) Die Geraden CA und DB stehen bei A und B senkrecht zu AB.

Frage 7.
Ist ein Dreieck mit den Winkeln 90°, 90° und 0° möglich? Warum?
Lösung:
Nein, ein Dreieck kann nicht mehr als einen rechten Winkel haben

Frage 8.
Welche der folgenden Aussagen ist wahr. Warum?
(a) Jedes gleichseitige Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck.
(b) Jedes gleichschenklige Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck.
Lösung:
(a) Es ist wahr
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich.
Es kann auch ein gleichschenkliges Dreieck sein, das zwei gleiche Seiten hat.
(b) Aber nicht jedes gleichschenklige Dreieck muss ein gleichseitiges Dreieck sein.

Frage 9.
Wenn ein Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks 70° beträgt, dann finden Sie die Möglichkeiten für die anderen beiden Winkel.
Lösung:
70°, 40° (oder) 55°, 55°

Frage 10.
Welche der folgenden Seiten können die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sein?
(a) 6 cm, 3 cm, 3 cm
(b) 5 cm, 2 cm, 2 cm
(c) 6 cm, 6 cm, 7 cm
(d) 4 cm, 4 cm, 8 cm
Lösung:
In einer Dreieckssumme von zwei beliebigen Seiten größer als die dritte Seite
(a), (b) und (d) können kein Dreieck bilden.
(c) können die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sein.

Frage 11.
Studieren Sie die angegebene Abbildung und identifizieren Sie die folgenden Dreiecke.

(a) gleichseitiges Dreieck
(b) gleichschenklige Dreiecke
(c) Skalenische Dreiecke
(d) spitze Dreiecke
(e) stumpfe Dreiecke
(f) rechtwinklige Dreiecke
Lösung:
(a) BC = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 cm
AB = AC = 4 cm
∆ABC ist ein gleichseitiges Dreieck.
(b) ∆ABC und ∆AEF sind gleichschenklige Dreiecke.
Da AB = AC = 4 cm Auch AE = AF.
(c) In einem skalenförmigen Dreieck sind keine zwei Seiten gleich.
AEB, ∆AED, ∆ADF, ∆AFC, ∆ABD, ∆ADC, ∆ABF und ∆AEC sind skalenförmige Dreiecke.
(d) In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Winkel kleiner als 90°.
∆ABC, ∆AEF, ∆ABF und ∆AEC sind spitzwinklige Dreiecke.
(e) In einem stumpfwinkligen Dreieck ist jeder der Winkel größer als 90°.
∆AEB und ∆AFC sind stumpfwinklige Dreiecke.
(f) In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der Winkel 90°.
ADB, ∆ADC, ∆ADE und ∆ADF sind rechtwinklige Dreiecke.

Frage 12.
In der Tabelle sind zwei Seiten des Dreiecks angegeben. Finden Sie die dritte Seite des Dreiecks?

Lösung:

Frage 13..
Vervollständige die folgende Tabelle.

Lösung:

(i) Immer spitze Winkel
(ii) Spitzenwinkel
(iii) Stumpfer Winkel


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