Artikel

2.3: Pluralität - Mathematik


Die Wahlmethode, mit der wir in den Vereinigten Staaten am besten vertraut sind, ist die Pluralitätsmethode.

Pluralitätsmethode

Bei dieser Methode wird die Wahl mit den meisten Stimmen für die erste Präferenz zum Gewinner erklärt. Gleichstände sind möglich und müssten durch eine Art Stichwahl beigelegt werden.

Diese Methode wird manchmal fälschlicherweise als Mehrheitsmethode oder "Mehrheitsregeln" bezeichnet, aber es ist nicht erforderlich, dass eine Wahl die Mehrheit der Stimmen erhalten hat, um zu gewinnen. Eine Mehrheit liegt bei über 50 %; Es ist möglich, dass ein Gewinner ein hat Pluralität ohne eine Mehrheit zu haben.

Beispiel 2

Bei unserer Wahl von den vorherigen Seiten hatten wir die Präferenztabelle:

(egin{array}{|l|l|l|l|l|}
hline & 1 & 3 & 3 & 3
hline 1^{ ext {st}} ext { Wahl} & ext { A} & ext { A} & ext { O} & ext { H}
hline 2^{ ext {nd}} ext { Wahl} & ext { O} & ext { H} & ext { H} & ext { A}
hline 3^{ ext {rd}} ext { Wahl } & ext { H} & ext { O} & ext { A} & ext { O}
hline
end{array})

Lösung

Bei der Pluralitätsmethode kümmern wir uns nur um die Optionen der ersten Wahl. Summieren Sie sie zusammen:

Anaheim: 1+3 = 4 Stimmen erster Wahl

Orlando: 3 Stimmen erster Wahl

Hawaii: 3 Stimmen erster Wahl

Anaheim ist der Gewinner bei der Methode der Pluralwahl.

Beachten Sie, dass Anaheim mit 4 von 10 Stimmen gewonnen hat, 40% der Stimmen, was einer Mehrheit der Stimmen entspricht, aber nicht einer Mehrheit.

Jetzt ausprobieren 1

Drei Kandidaten treten bei einer Wahl für den Bezirksvorstand an: Goings (G), McCarthy (M) und Bunney (B)[1]. Der Abstimmungsplan ist unten aufgeführt. Welcher Kandidat gewinnt bei der Pluralitätsmethode?

(egin{array}{|l|l|l|l|l|}
hline & 44 & 14 & 20 & 70 & 22 & 80 & 39
hline 1^{ ext {st}} ext { Wahl} & ext { G} & ext { G} & ext { G} & ext { M } & ext { M} & ext { B } & ext { B }
hline 2^{ ext {nd}} ext { Wahl } & ext { M } & ext { B} & ext { } & ext { G } & ext { B} & ext { M } & ext { }
hline 3^{ ext {rd}} ext { Wahl } & ext { B} & ext { M} & ext { } & ext { B} & ext { G} & ext { G } & ext { }
hline
end{array})

Hinweis: In der dritten und letzten Spalte verzeichneten diese Wähler nur eine Stimme für den ersten Platz, sodass wir nicht wissen, wer ihre zweite und dritte Wahl gewesen wäre.

Antworten

Verwendung der Pluralitätsmethode:

G erhält (44+14+20 = 78) Stimmen erster Wahl

M erhält (70+22 = 92) Stimmen erster Wahl

B erhält (80+39 = 119) Stimmen erster Wahl

Hase (B) gewinnt nach der Pluralitätsmethode.


[1] Diese Daten basieren lose auf den Wahlen zum Bezirksvorstand 2008 in Pierce County, Washington. Siehe www.co.pierce.wa.us/xml/abtus...ec/summary.pdf


Ist Mathematik wie die Naturwissenschaften pluralistisch?

Meine letzte Kolumne befasste sich mit theoretischem Pluralismus, der philosophischen Haltung, dass einige wissenschaftliche Fragen, anstatt eine einzige Lösung zu haben, viele Lösungen generieren könnten, die wir aus subjektiven Gründen wählen. Ein paar Tage nachdem ich die Kolumne veröffentlicht hatte, erhielt ich eine E-Mail vom Mathematiker Ronald Graham. Ich hatte von ihm seit 1997 gehört, als ich ein Profil von ihm für Scientific American schrieb. Er diente auch als Quelle für meinen berüchtigten Artikel "The Death of Proof" aus dem Jahr 1993, in dem berichtet wurde, dass "die Zweifel, die das moderne menschliche Denken durchdringen, endlich die Mathematik infiziert haben". Konzept namens „mathematischer Pluralismus&rdquo Das Timing von Grahams E-Mail war rein zufällig. Er hatte meinen Beitrag zum Pluralismus in der Wissenschaft nicht gelesen. Er dachte nur, dass ich angesichts meines Interesses an den philosophischen Grundlagen der Mathematik Chows Sicht interessant finden könnte. Synchronizität, Mann! Ich habe in letzter Zeit auch viel über Mathematik nachgedacht, weil ich im letzten Frühjahr entdeckt habe, dass Kritiker von &ldquoDeath of Proof&rdquo ein geometrisches Objekt nach mir benannt haben. (Siehe Weiterführende Literatur.) Als ich Chow eine E-Mail schickte und ihn bat, den mathematischen Pluralismus zu erklären, schickte er mir die folgende Notiz. Chows Position impliziert, dass Mathematiker wie Wissenschaftler niemals auf eine einzige, endgültige Wahrheit konvergieren werden. Glücklicherweise! Es lebe der Pluralismus! &ndashJohn Horgan

Ich möchte mit meinen Aussagen vorsichtig sein, da ich mir der Kontroverse bewusst bin, die Ihr &ldquoDeath of Proof&rdquo-Artikel (und seine Folgemaßnahmen) ausgelöst hat. Ich glaube, dass Sie einige gültige Argumente vorgebracht haben und dass Mathematiker manchmal nicht gewillt sind zuzugeben, dass Mathematik nicht so vollkommen objektiv, sicher und unumstritten ist, wie sie gerne glauben würden. Andererseits glaube ich, dass jede Behauptung wie "Beweis ist tot" übersensationalisiert und irreführend ist.

Insbesondere würde ich sagen, dass praktisch alle professionellen Mathematiker darin übereinstimmen, dass Fragen der Form &bdquoIst Satz T beweisbar aus den Axiomen A1, A2 und A3?&rdquo objektiv wahre Antworten haben. Zugegeben, wenn einige Mathematiker behaupten, Theorem T bewiesen zu haben, aber der Beweis kompliziert ist, dann kann es einige Zeit dauern, bis Experten den Beweis durcharbeiten und überprüfen, ob er richtig ist, und einige hartnäckige Mathematiker können sich weigern, das Urteil des breitere Gemeinschaft, dass ihr Beweis unvollständig ist. Zum Beispiel sind Sie sich vielleicht der aktuellen Kontroverse um Shinichi Mochizukis angeblichen Beweis der abc-Vermutung bewusst. Dennoch begnügen sich Mathematiker letztendlich nicht damit, zu sagen: &bdquoNun, die Frage, ob dieser angebliche Beweis richtig und vollständig ist, ist nur eine dieser Debatten, die niemals gelöst werden können, weil es keine objektive Tatsache gibt.&rdquo

Andererseits, wenn es um die Frage geht, ob die Axiome A1, A2 und A3 wahr, dann haben wir (wie ich es nannte) &ldquoPluralismus&rdquo in der Mathematik. Die überwiegende Mehrheit der Mathematiker wird als objektive Tatsache behaupten, dass es keine größte Primzahl gibt, dass Pi irrational ist und jede differenzierbare Funktion stetig ist. Es gibt jedoch einige, die zustimmen, dass es objektiv wahr ist, dass (sagen wir) “jede differenzierbare Funktion ist stetig&rdquo aus den Standard-Axiomen bewiesen wurde, die aber nicht behaupten, dass die Standard-Axiome „ differenzierbare Funktion ist stetig. In der anderen Richtung, wenn man Axiome betrachtet, die ausreichend große unendliche Mengen beinhalten, wird man feststellen, dass die Mehrheit der Mathematiker zögert, selbstbewusst zu bestätigen, dass sie „wahr sind.&rdquo Ich persönlich halte es für wahrscheinlich, dass die mathematische Gemeinschaft niemals einen Konsens über genau welche Axiome „wahr&rdquo sind, und in diesem Sinne ist die mathematische Gemeinschaft (und wird meiner Meinung nach auf absehbare Zeit bleiben) pluralistisch.

Diese Art von Pluralismus behindert die Entwicklung der Mathematik als wissenschaftliche Disziplin nicht wirklich, solange Konsens darüber besteht, ob Satz T aus den Axiomen A1, A2 und A3 eine objektive Frage ist. Beachten Sie zum Vergleich, dass die Kontroversen über die Interpretation der Quantenmechanik den Betrieb der Physikergemeinschaft nicht wirklich stören, da sich alle Physiker darin einig sind, was eine korrekte quantenmechanische Berechnung ausmacht und welche experimentellen Beobachtungen die Berechnung vorhersagt. &ndash Timothy Chow, Princeton

Nachtrag: Ich habe diese Kolumne an einige mathematische Bekannte geschickt und sie haben mit diesen Kommentaren geantwortet:

Michael Harris und Timothy Chow hat mich im Oktober auf einen Aufsatz aufmerksam gemacht Mitteilungen des American Mathematical Gesellschaft die den Pluralismus verteidigt. In &ldquoAn Inclusive Philosophy of Mathematics&ldquo stellt John Hosack fest, dass die Mathematik aus verschiedenen Systemen besteht, beispielsweise aus Standard-, konstruktiver und univalenter Mathematik - basierend auf &ldquoinkompatiblen&rdquo-Grundlagen, aus denen unterschiedliche Ergebnisse abgeleitet werden können. Hosack argumentiert für eine, wie er es nennt, „inklusive Haltung, die andere Spielarten nicht als falsch ablehnt&rdquo. Er nennt diese Philosophie „deduktiven Pluralismus&rdquo. Chow sagt, Hosacks Ansichten seien ähnlich wie seine.

Jim Holt: Tut mir leid, hat Mochizuki irgendwelche Axiome jenseits der Peano-Arithmetik (oder einer konservativen Erweiterung davon) verwendet? Sprechen wir allgemeiner über den "Pluralismus", von dem angenommen werden könnte, daß er aus der Unvollständigkeit von Gödel hervorgeht? Oder über die Art, die sich aus der Betrachtung nicht-konservativer Erweiterungen der Peano-Arithmetik ergeben könnte (wie großkardinale Axiome oder Axiome für die transfinite Induktion bis hin zu großen Ordinalzahlen)? Ist jemand ein Pluralist in Bezug auf Goodsteins Theorem?

Ich hatte den Eindruck, dass der "Pluralismus", von dem Mengentheoretiker sprechen, keine natürlichen Bereiche der klassischen Mathematik berührt.

Scott Aaronson: Ich stimme Jim zu und ich denke, der Punkt ist wichtig.

Es gibt einen völlig offensichtlichen und unumstrittenen "Pluralismus" z. B. in der Wahl zwischen euklidischen oder nicht-euklidischen Axiomen für die Geometrie. Aus heutiger Sicht ist das nur ein Pluralismus, über den wir uns mit mathematischen Objekten unterhalten könnten.

Außerdem gibt es in der Mengentheorie "Pluralismus", es sei denn, wir sind eingefleischte Platoniker (wie Gödel es war), in dem Sinne, dass es viele interessante Modelle von ZF gibt, in denen Aussagen über transfinite Mengen wie AC oder CH entweder wahr oder falsch gemacht werden können.

Aber wenn es um "gewöhnliche" Teile der Mathematik geht - Arithmetik, reelle und komplexe Analysis, Kombinatorik usw. - nun, Gödel hat uns gelehrt, dass kein Axiomensystem alle wahren Aussagen enthalten kann, und manchmal lassen mächtigere Axiomensysteme es wirklich zu Wir beweisen interessante Aussagen, die wir mit schwächeren entweder nicht beweisen können oder beweisbar nicht beweisen können. Aber nichts wie der "Pluralismus" der Mengentheoretiker wurde jemals beobachtet -- es gibt beispielsweise kein bekanntes interessantes Universum der Arithmetik, in dem Fermats letzter Satz falsch ist.

Persönlich würde ich sogar noch weiter gehen: Ich bin ein "arithmetischer Platoniker", der es für selbstverständlich hält, dass zum Beispiel jede Turing-Maschine objektiv entweder anhält oder ewig läuft, unabhängig davon, ob dieses oder jenes Axiomensystem es beweisen kann. (Ich bin KEIN Platoniker, was die Aussagen der Mengenlehre angeht.) Selbst wenn es * einige interessante alternative Axiome für die Arithmetik gäbe, die bewiesen, dass Fermats letzter Satz falsch war oder dass es nur endlich viele Primzahlen gab, oder Wie auch immer, ich würde sagen, dass diese Axiome einfach nicht über das Gleiche sprechen, was ich meine, wenn ich "die positiven ganzen Zahlen" sage

Schließlich, was Mochizuki angeht – mein Eindruck von außen war, dass Scholze und Stix ein Problem aufdeckten, das allgemein als fatal angesehen wurde, bis auf einen kleinen Kreis um Mochizuki. Solange sich diese Situation nicht ändert, ist es also wahrscheinlich verfrüht, über die philosophischen Implikationen zu spekulieren.


Teil II Zeigen Sie alle Ihre Arbeiten

Bei folgendem Präferenzschema:

Lösung

Somit ist die Rangfolge nach der Borda-Zählmethode B, A, C, E, D. Daher ist B der Gewinner.

Es gibt 10 Vergleiche, die wir überprüfen müssen

Wenn wir 1 Punkt für Sieg, 1/2 Punkt für ein Unentschieden und 0 für eine Niederlage vergeben, sehen wir, dass A 3 Punkte hat, B 4 Punkte hat, C 2 Punkte hat, D 1 Punkt hat und E 0 Punkte hat. Der Gewinner ist also B.

Runde 1

Runde 2

Runde 3

Da B die Mehrheit der erstplatzierten 15 Stimmen hat, gewinnt B auch diese Wahl.


Hier finden Sie alle unsere Multiplikationsarbeitsblätter, von grundlegenden Multiplikationsfakten bis hin zum Multiplizieren von mehrstelligen ganzen Zahlen in Spalten.

K5 Learning bietet kostenlose Arbeitsblätter, Karteikarten und günstige Arbeitshefte für Kinder vom Kindergarten bis zur 5. Klasse. Wir helfen Ihren Kindern, gute Lerngewohnheiten zu entwickeln und in der Schule zu glänzen.

K5 Learning bietet kostenlose Arbeitsblätter, Karteikarten und günstige Arbeitshefte für Kinder vom Kindergarten bis zur 5. Klasse. Wir helfen Ihren Kindern, gute Lerngewohnheiten zu entwickeln und in der Schule zu glänzen.


Andere Unterschiede zwischen britischem und amerikanischem Englisch

In einigen Fällen verwenden britisches und amerikanisches Englisch unterschiedliche Wörter für dasselbe Konzept. Amerikanische Englischsprecher verwenden zum Beispiel die Wörter LKW, Einkaufswagen, und Sweatshirt Britische Englischsprecher sagen LKW, Wagen, und Jumper dasselbe bedeuten.

In anderen Fällen sind die Unterschiede zwischen britischen und amerikanischen englischen Wörtern viel subtiler. Amerikanisches Englisch verwendet zum Beispiel den Begriff Rennauto, während britisches Englisch das Wort verwendet Rennauto.

In noch anderen Fällen unterscheiden sich britische und amerikanische englische Wörter nur durch einen Buchstaben, wie im Fall von Mathematik und Mathe. Britisches Englisch beinhaltet U in der Schreibweise von aus dem Französischen abgeleiteten Wörtern, wie z Farbe oder Favorit, das amerikanisches Englisch weglässt.

Das passiert auch mit den Worten Sport und Sport. Im amerikanischen Englisch würde man sagen: “Ich genieße es, Sport zu treiben, und ich schaue auch gerne Sport.” Im britischen Englisch wäre dieser Satz “Ich genieße es, Sport zu treiben, und ich schaue auch gerne Sport.” 8221 Dieses Mal mag das amerikanische Englisch das –&#so!


Es hängt davon ab, ob zwei Drittel (oder ein ähnlicher Anteil) als Maß für die Menge oder für die Zahl angesehen werden. In (1) liegt die Betonung wahrscheinlich auf dem Menge der gegessenen Pizza, und nicht von der Anzahl der einzelnen Drittel, so wäre (b) angemessen. Im Gegensatz dazu liegt in (2) die Betonung auf dem Nummer der Besucher, die Männer waren, so ist die Pluralkonkordanz wie in (a) erforderlich.

Ja und nein. Ja, wenn Sie von Vielfachen von Brüchen sprechen, z. zwei Drittel sind Plural. Aber wenn du von einem Teil von a sprichst Single item, dieser Artikel ist singulär.

1). Ein Drittel der Pizza wurde gegessen. (ein Teil einer Pizza wurde gegessen)

Zwei Drittel der Pizza wurde gegessen. (ein Teil einer Pizza wurde gegessen)

Das Thema ist Pizza - Singular. Wenn Sie ein Drittel einer Pizza haben und ich ein Drittel derselben Pizza, haben wir zwei Drittel (Plural) einer Pizza (Singular).

Dies ändert sich natürlich, wenn das Thema Plural wird:

Ein Drittel von zwei Pizzen wurde gegessen. (ein Teil von zwei Pizzen wurde gegessen)

2). Ein Drittel der Besucher waren Männer. (mehrere Besucher waren Männer)

Zwei Drittel der Besucher waren Männer. (mehrere Besucher waren Männer)

Das Subjekt in diesem Fall - Männer - ist Plural.

Der Satz macht keinen Sinn, wenn das Subjekt singulär ist (zwei Drittel der Besucher waren Männer). Ich werde nur die Bedeutung leicht ändern, damit es funktioniert:

Ein Drittel des Mannes stand in Flammen. - Singular Zwei Drittel des Mannes standen in Flammen. - Immer noch einzigartig


MATHEMATIK

EINE BIBLISCHE ANSICHT DER MATHEMATIK

INHALT

1. Einleitung
I. Der Dogmatismus der Neutralität
A. Das von den Phänomenen der Mathematik nicht bestätigte Neutralitätspostulat
2. Arithmetische Wahrheit
3. Beweismaßstäbe
4. Zahlentheoretische Wahrheit
5. Geometrische Wahrheit
6. Wahrheiten der Analyse
7. Mathematische Existenz
B. Das Neutralitätspostulat in sich selbst widersprüchlich
8. In seinen allgemeinen metaphysischen Behauptungen
9. In seinen allgemeinen erkenntnistheoretischen Behauptungen
10. In seinen allgemeinen ethischen Ansprüchen

II. Antinomien der antitheistischen Mathematik
11. Klassifizierung der Schwierigkeiten des Antitheisten
A. Erkenntnistheoretische Probleme der antitheistischen Mathematik: a priori/a posteriori
12. Die a priori Antwort
13. Die A-posteriori-Antwort
14. Die konventionalistische Antwort
15. Implikationen von Gödels Beweis
B. Metaphysische Probleme der antitheistischen Mathematik: Einheit und Pluralität
16. Einheit und Pluralität der Wahrheit
17. Einheit und Pluralität der Wissenschaften
C. 18. Ethische Probleme der antitheistischen Mathematik: Motiv, Maßstab und Ziel

III. Eine christlich-theistische Sicht der Mathematik
A. Eine christliche Metaphysik der Mathematik, gegründet im Wesen Gottes
19. Ontologie
20. Modalität
21. Struktur
B. Eine christliche Epistemologie der Mathematik, gegründet in der Erkenntnis Gottes
22. Das Gottesbild bildet eine Grundlage für mathematische Apriori
23. Die Offenbarung bildet eine Grundlage für mathematische a posteriori
24. Exkurs zu den Einschränkungen
der menschlichen Mathematik
25. Die Einheit der Rasse und die Gabe der Sprache bilden die Grundlagen der öffentlichen Wissenschaft
C. 26. Eine christliche Ethik der Mathematik, gegründet in der Gerechtigkeit Gottes

1. Einführung

In ihren Weltanschauungen unterscheiden sich Christen und Nichtchristen in wesentlichen Punkten. Gewährt. Aber das hat sicherlich keinen Einfluss auf die Mathematik. Hier ist schließlich ein neutraler Bereich, in dem sich Christen und Nichtchristen einigen können. Beide wissen, dass 2 + 2 = 4 ist. Wie könnten sich religiöse Unterschiede jemals darauf auswirken?

In unserer Kultur ist dies die übliche Reaktion auf die Erwähnung der „christlichen“ Mathematik. Ungläubigkeit. Doch die Ironie liegt darin, dass gerade diese Ungläubigkeit auf mehreren Ebenen ihre eigene Nicht-Neutralität, ihre eigene dogmatisch antibiblische Haltung entlarvt. 1

ICH. Der Dogmatismus der “Neutralität”

Schauen wir uns das “Neutralitätspostulat genauer an.” Dieses Postulat besagt, dass das Wissen und die Struktur einer Wissenschaft – zum Beispiel der Mathematik – nicht durch religiösen Glauben beeinflusst wird. 1a Oder zumindest sollte die Wissenschaft nicht von religiösen Überzeugungen beeinflusst werden. Um es deutlicher auszudrücken, wahres wissenschaftliches Wissen bleibt gleich, ob Gott existiert oder nicht. Wir beabsichtigen, dieses Postulat sowohl hinsichtlich seiner Übereinstimmung mit den tatsächlichen Phänomenen der Mathematik als auch hinsichtlich seiner inneren Inkonsistenz zu kritisieren.

EIN. Das von den Phänomenen der Mathematik nicht bestätigte Neutralitätspostulat

Das Neutralitätspostulat hat eine besondere Anziehungskraft, wenn es auf die Mathematik angewendet wird, weil es offensichtlich weit verbreitete Übereinstimmungen über mathematische Wahrheiten gibt. “Jeder weiß, dass 2 + 2 = 4. ” Wenn religiöse Überzeugungen wirklich einen Einfluss haben, warum gibt es dann eine so weit verbreitete Übereinstimmung, die religiöse Grenzen überschreitet? Wir wollen diese Frage auf mehreren Ebenen beantworten: (1) indem wir zeigen, dass die Übereinstimmung in der Mathematik nicht so weit verbreitet ist und auch nicht so unkorreliert mit religiösen Überzeugungen ist, wie es die Lehrbücher glauben machen wollen (§§2-7) (2) durch zeigt, dass die nichtchristliche Philosophie der Mathematik in tiefgreifende Spaltungen und Antinomien verwickelt ist, in ihr Verständnis sogar einer so einfachen Wahrheit wie 2 + 2 = 4 (§§11-18) (3), indem sie dies nur auf einer gründlichen Biblische Grundlage kann man die wirkliche Übereinstimmung über mathematische Wahrheiten (§25) wirklich verstehen und bestätigen.

Welche Unterschiede haben sich also in der Mathematik im Zusammenhang mit dem religiösen Glauben ergeben? Es sind Differenzen entstanden über die arithmetische Wahrheit, über die Beweisstandards, über die zahlentheoretische Wahrheit, über die geometrische Wahrheit, über die analytischen Wahrheiten, über die mathematische Existenz – ganz zu schweigen von den seit langem bestehenden erkenntnistheoretischen Streitigkeiten über die Quelle der mathematischen Wahrheit. Betrachten wir diese Bereiche nacheinander.

2. Arithmetische Wahrheit

Es mag den Leser überraschen zu erfahren, dass nicht alle der Aussage zustimmen, dass 𔃲 + 2 = 4’ wahr ist. Aber beim zweiten Nachdenken muss klar sein, dass kein radikaler Monist mit 𔃲 + 2 = 4 zufrieden sein kann.’ Wenn man bei Parmenides 2 denkt, dass alles eins ist, wenn er beim vedantischen Hinduismus 3 denkt, dass alle Pluralität ist Illusion, 𔃲 + 2 = 4’ ist eine illusorische Aussage. Auf der höchsten Ebene des Seins, 1 + 1 = 1. 4

Was bedeutet dies? Selbst die einfachsten arithmetischen Wahrheiten können nur in einer Weltanschauung aufrechterhalten werden, die eine ultimative metaphysische Pluralität in der Welt anerkennt – sei es trinitarisch, polytheistisch oder zufällig erzeugte Pluralität. Gleichzeitig setzen die einfachsten arithmetischen Wahrheiten auch die ultimative Metaphysik voraus Einheit für die Welt und zumindest eine ausreichende Einheit, um das Fortbestehen von “sames” zu schützen. Zwei Äpfel bleiben übrig Äpfel während ich sie zähle, ist das Symbol 𔃲’ in gewisser Weise die gleich Symbol zu verschiedenen Zeiten, steht für die gleich Nummer.

Wir sind also schon ganz am Anfang der Arithmetik in das metaphysische Problem der Einheit und Vielheit, des Einen und der Vielen eingetaucht. Wie Van Til und Rushdoony aufgezeigt haben, findet dieses Problem seine Lösung nur in der Lehre von der ontologischen Trinität. 5 Im Moment werden wir nicht auf die dornigen metaphysischen Argumente eingehen, sondern nur beachten, dass 𔃲 + 2 = 4’ ohne echte Einheit und Pluralität in die Schwebe gerät. Die „Übereinkunft“ über die mathematische Wahrheit wird teilweise durch den von Thomas Kuhn und Michael Polanyi elegant beschriebenen Prozess des Ausschlusses von Menschen unterschiedlicher Überzeugungen aus der wissenschaftlichen Gemeinschaft erreicht. 6 Radikale Monisten sind beispielsweise nicht eingeladen, an mathematischen Symposien mitzuwirken.

3. Standards für den Nachweis

Mathematiker sind sich nicht immer einig, welche Beweise gültig sind. Intuitionisten wie L. E. J. Brouwer und Arend Heyting akzeptieren weder das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte noch den Beweis von reductio ad absurdum (Beweisen Sie eine Behauptung, indem Sie einen Widerspruch von ihrer Negation ableiten). 7 Daher werden sie einige Beweise nicht akzeptieren, die andere akzeptieren. Die Unterschiede zwischen Intuitionisten und den anderen haben religiöse Wurzeln in der Tatsache, dass diese Intuitionisten einen Appell an die Tatsache, dass Gott die Wahrheit über die Angelegenheit kennt, nicht als sinnvoll akzeptieren werden, ob wir es tun oder nicht. 8 Für sie hat eine sinnliche Wahrheit ihren endgültigen Ort in der Mensch Geist. Mathematik beschäftigt sich “nur mit mental Konstruktionen” (kursiv Mine). 9

4. Zahlentheoretische Wahrheit

Die Intuitionisten liefern auch das bequemste Beispiel dafür, wie religiöse Unterschiede zu Meinungsverschiedenheiten über die zahlentheoretische Wahrheit führen können. Betrachten Sie die Aussagen

A: Irgendwo in der Dezimalentwicklung von Pi kommt eine Folge von sieben aufeinander folgenden 7’en vor.

B: Es gibt unendlich viele Primzahlen p, so dass p + 2 eine Primzahl ist.

1975 weiß kein Mensch, ob A oder B wahr ist. Es gibt auch kein bekanntes Verfahren, mit dem wir in einer begrenzten Zeit sicher sein könnten, eine eindeutige Ja-oder-Nein-Antwort zu erhalten. Für die Intuitionisten bedeutet dies, dass A und B nicht als entweder richtig oder falsch. 10 Es macht keinen Sinn, sich unterhalten über Wahrheit oder Falschheit, solange wir keine Möglichkeit haben, dies zu überprüfen. Auf der anderen Seite wird der Christ auf der Grundlage von I John 3:20 (“Gott ist größer als unser Herz, und er weiß alles”), Psalm 147:5 und anderen Passagen wahrscheinlich das Gefühl haben, dass bei am wenigsten Gott weiß ganz genau, ob A oder B wahr ist. Unsere eigenen Grenzen setzen Seinem Wissen keine Grenzen (§24) (vgl. Jes 55:8-9 Ps. 139:6, 12, 17-18).

5. Geometrische Wahrheit

Immanuel Kants philosophisches Engagement führte ihn zur Überzeugung

dass wir die Wahrheiten der euklidischen Geometrie a priori kennen. Mit dem Aufkommen der nichteuklidischen Geometrien von Bolyai-Lobatchewsky und Riemann11 und der allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein wurde jedoch die “Wahrheit” der euklidischen Geometrie in Frage gestellt. 12 Auch die Frage, was es ist meint Damit eine Geometrie “getreu ist”, ist die Welt jetzt umstritten. 13 Und die tiefgreifenden philosophischen Unterschiede zwischen Operationalismus und Realismus, Positivismus und Platonismus beeinflussen die Schlussfolgerungen stark.

Man könnte einwenden, dass die rein axiomatische Geometrie (im Gegensatz zur angewandten Geometrie) zumindest frei von diesen Schwierigkeiten ist. Jeder kann zustimmen, wenn ein geometrischer Satz bewiesen ist. Aber wieder einmal widersprechen die Intuitionisten reductio ad absurdum Beweise. Darüber hinaus stellt man fest, dass ein rigoroses Festhalten an den Forderungen der axiomatischen Geometrie im modernen mengentheoretischen Stil die Verwendung unzähliger Punktmengen und unzähliger Mengen von Kongruenztransformationen erfordert, wodurch die philosophische Problematik der Unendlichkeit eingeführt wird (siehe §7 unter).

6. Wahrheiten der Analyse

Meinungsverschiedenheiten entstehen auch über die Wahrheiten der Analyse. Einer der Hauptgründe dafür ist, dass nur eine abzählbare Zahl der reellen Zahlen im Sinne einer Berechenbarkeit durch eine Turingmaschine definierbar sind. Nach dem Satz von Cantor ist die große “Mehrheit” der reellen Zahlen somit undefinierbar! Sollen wir diese undefinierbaren reellen Zahlen auf derselben Ebene wie berechenbare reelle Zahlen behandeln? Unsere Antwort auf diese Frage wird stark von unseren bisherigen philosophischen Überzeugungen abhängen. Wenn wir die platonistische philosophische Disposition haben, die annimmt, dass reelle Zahlen “da” sind, ob wir sie definieren können oder nicht, sind wir für die klassische Analyse prädisponiert. Wenn wir hingegen eine anthropozentrischere Weltanschauung haben, die den Menschen als Maß der Dinge betrachtet,14 bevorzugen wir wahrscheinlich konstruktive Analysen wie

-entwickelt von Errett Bishop. 15 Schließlich, wenn wir uns einer eher konventionellen Sichtweise der Mathematik (siehe §14) oder, wie Leibniz, der Realität der Infinitesimalen verschrieben haben, werden wir wahrscheinlich der nicht standardisierten Analyse von Robinson positiv gegenüberstehen. 16 So beeinflussen drei verschiedene Weltanschauungen, wenn sie nicht absolut bestimmend sind, doch entscheidend die Einstellung zu alternativen Analysekonstruktionen.

Da der Student normalerweise nur der klassischen Version der Analyse ausgesetzt ist, hat er den Eindruck, dass diese Version die unanfechtbare Wahrheit des Evangeliums ist. Dennoch stehen die Theoreme verschiedener Analyseversionen manchmal in einem radikalen Konflikt. In der klassischen Analysis ist die Menge der reellen Zahlen

erzeugt einen Dedekind-Schnitt, der die reellen Zahlen in zwei Teile teilt, positiv und nicht positiv in der Nicht-Standard-Analyse, die gleiche Definition erzeugt einen Schnitt der reellen Zahlen in zwei Teile, positiv nicht-infinitesimal einerseits und nicht-positiv plus positiv infinitesimal auf der einen Seite die andere in der konstruktiven Analyse erzeugt dieselbe Definition noch ein drittes Ergebnis, nämlich eine Einteilung der reellen Zahlen in absolut positiv, absolut nicht-positiv und eine dritte Gruppe von “weiß nicht.” Wiederum in der konstruktiven Analyse jeden konstruierbare Funktion auf [0,l] gleichmäßig stetig ist, 17 während in der klassischen Analysis die Kardinalzahl C C == 2 c von unstetigen Funktionen auf [0, 1] ist größer als (!) die Kardinalzahl C stetiger Funktionen. Es ist kaum zu leugnen, dass zumindest in diesem Bereich philosophisch-religiöse Differenzen ihre Wirkung hatten!

7. Mathematische Existenz

Gibt es 2? Gibt es 1/4? Existiert 2? Existiert -2? Existiert -1? Gibt es dx? Existiert die transfinite Zahl Aleph-zwei? Gibt es einen messbaren Kardinal?

Jede dieser Fragen wurde irgendwann in der Geschichte der Mathematik diskutiert. Ein Teil des Problems ist natürlich zu sagen, was wir bedeuten durch einen Existenzanspruch. Mathematische Einheiten existieren nicht wie Gesteine. Aber Fragen der mathematischen Existenz sind dennoch wichtig, weil sie sich auf die Legitimität der Verwendung bestimmter mathematischer Symbole in unseren Berechnungen beziehen. Wenn bestimmte mathematische Einheiten nicht “existieren,”

vermutlich sollten sie nicht verwendet werden. Weil 𔄙/0 nicht existiert,” kann man nicht streiten

0 · 1 = 0 · 2
(1/0) · 0 · 1 = (1/0) · 0 · 2
1 · 1 = 1 · 2
1 = 2

Meinungen über die mathematische Existenz hängen mit religiösen Unterschieden zusammen. Betrachten Sie einige Beispiele: Die Pythagoräer wollten aus philosophisch-religiösen Gründen die Existenz von Irrationalen wie √2 nicht anerkennen. 18 Die philosophischen Überzeugungen von Leibniz über die Unendlichkeit haben ihn dazu veranlasst, Infinitesimals wie dx zu verwenden. 19 Aus selbstbewusst christlicher Sicht hat D. H. Th. Vollenhoven und Herman Dooyeweerd lehnten die Existenz unzähliger transfiniter Zahlen ab, angeblich wegen ihres antinomischen Charakters. 20 (Der Autor stimmt ihrer Entscheidung an dieser Stelle nicht zu, aber Tatsache ist, dass ihre mathematischen Überzeugungen religiös motiviert waren.) Solche Beispiele zeigen deutlich, dass eine Frage der mathematischen Existenz keine religiös neutrale Angelegenheit sein kann. Allgemeiner gesagt war die Mathematik in der Vergangenheit keine religiös neutrale Wissenschaft. Kurzum, das Neutralitätspostulat wird durch die Geschichte der Mathematik nicht bestätigt.

B. Das Neutralitätspostulat in sich selbst widersprüchlich

Bisher haben wir uns auf die Frage konzentriert, ob das Neutralitätspostulat wirklich zu den Phänomenen der Mathematik passt. Wir haben gesehen, dass Entscheidungen über mathematische Wahrheiten häufig religiös voreingenommen sind. Aber auch abseits dieser historischen Tatsachen ist das Neutralitätspostulat mit ernsthaften inneren Schwierigkeiten behaftet:

8. In seinen allgemeinen metaphysischen Behauptungen

Das Neutralitätspostulat erhebt die implizite metaphysische Behauptung, dass (a) die mathematische Realität nicht das Ergebnis von Gottes Schöpfungsaktivität in irgendeiner (S. 166) wesentlichen Weise ist (denn wenn sie ein Ergebnis von Gottes Werk wäre, könnten wir uns das nicht vorstellen.) es “bleibt gleich” obwohl Gott nicht existierte) (b) Gottes Natur und die Natur der Zahl sind nicht wesentlich miteinander verbunden, sie sind nicht so verwandt, dass man aus einer Studie auf Eigenschaften von einem schließen könnte des anderen. Anderenfalls könnten unterschiedliche Meinungen über Gott, soweit wir wissen, zu unterschiedlichen Meinungen über die Natur der Zahl führen.

Anspruch (a) ist bereits eine Leugnung der Schöpfung im biblischen Sinne, wie wir sehen werden (§19) Anspruch (b) beinhaltet eine Leugnung der Trinität (siehe §19). Im Moment interessiert uns jedoch weniger, dass diese Behauptungen der orthodoxen christlichen Lehre widersprechen, sondern dass sie eine weitreichende, erstaunlich dogmatische metaphysisch Charakter. Die Behauptung, Metaphysik sei für die Mathematik irrelevant, erweist sich selbst als metaphysische Behauptung über die Mathematik. Das Neutralitätspostulat entpuppt sich als hochgradig „nicht neutral".

9. In seinen allgemeinen erkenntnistheoretischen Behauptungen

Das Neutralitätspostulat ist hinsichtlich seiner impliziten erkenntnistheoretischen Ansprüche in ein ähnliches Paradox verwickelt. Dieses Postulat bestreitet praktisch, dass Gott irgendwelche Wahrheiten über die Mathematik offenbaren kann. Angenommen, er könnte. Dann könnte er möglicherweise Informationen preisgeben, die noch nicht auf andere Weise festgestellt wurden. Dann würden diejenigen, die glaubten, was er offenbarte, in der Mathematik in einer anderen Position stehen als diejenigen, die es nicht taten. Solche aus religiösen Überzeugungen resultierenden Differenzen würden das Neutralitätspostulat verletzen.

Nun mag der Leser argumentieren, dass all dies rein spekulativ ist, da Gott sich tatsächlich nicht dafür entschieden hat, mathematische Theoreme in der Heiligen Schrift aufzuzeichnen. Beachten Sie aber Folgendes. (1) Ob Gott uns mathematische Informationen gegeben hat, kann nur durch eine tatsächliche Untersuchung der Schrift festgestellt werden, nicht (wie das Neutralitätspostulat vermutlich behauptet) in einer a priori Mode. (2) Obwohl die Bibel keine mathematischen Theoreme im modernen Sinne enthält, enthält sie Lehren, die uns in bestimmten Fällen belehren, welche Art von Mathematik legitim ist (vgl. die Beispiele in §§5-9). (3) Gottes allgemeine (vorerlösende) offenbarende Tätigkeit ist in jede Art von mathematischem Wissen eingebunden (siehe §23). (4) Im Lichte von (l)- (3) beschäftigt sich das Neutralitätspostulat durchaus mit religiösen Fragen.

Tatsächlich behauptet das Neutralitätspostulat zu wissen, was das Verhältnis von Gott und Zahlen sein kann und was nicht, was das Verhältnis von Theologie und Mathematik sein kann und was nicht, nicht nur in der Vergangenheit, sondern (wenn das Postulat etwas Substantielles bedeuten soll) ) auch in Zukunft. Nehmen wir nun an, wir fragen, wie diese weitreichenden Wissensansprüche untermauert werden können. Die Antwort muss lauten: Das Wissen kommt durch Offenbarung – entweder christliche Offenbarung oder eine säkularisierte Version der Offenbarung. Denn wenn man das Neutralitätspostulat untermauert, ist man daran beteiligt zu erklären, wie man kommt zu

kennen seine vermeintliche Wahrheit. Gerade dieses Erklären bildet eine Offenbarungslehre. Gewöhnlich sprechen die Leute über Offenbarung von einem anderen metaphysischen Letzten als Gott (Geist, Materie, Sinneserfahrung, Vernunft), dennoch brauchen die Menschen Offenbarung. Kurzum, das Neutralitätspostulat verstrickt sich in das paradoxe Netz, die Relevanz der (theistischen) Offenbarung nur aufgrund einer zugrunde liegenden (säkularen) Offenbarungslehre leugnen zu können. Das Neutralitätspostulat ist erkenntnistheoretisch nicht neutral.

LO. In seinen allgemeinen ethischen Ansprüchen

Drittens ist das Neutralitätspostulat bezüglich seiner impliziten ethischen Ansprüche paradox. Es macht eine Aussage darüber, was “sollten”: “Mathematik “sollte nicht” von religiösen Überzeugungen beeinflusst werden. Nennen wir diese Aussage ‘C.’C widerspricht der christlichen Ethik, wie wir sehen werden (§26). Aber konzentrieren wir uns noch einmal auf die intern Paradox in diesem ethischen Anspruch. C: Mathematik sollte nicht von religiösen Überzeugungen beeinflusst werden. Insbesondere sollte sie vermutlich nicht von den ethischen Urteilen beeinflusst werden, die mit dem religiösen Glauben korrelieren. Daher sollte die Mathematik nicht von dem ethischen Urteil C beeinflusst werden, dass „Mathematik nicht von religiösen Überzeugungen beeinflusst werden sollte“. Wir sind mit einem selbstzerstörerischen ethischen Anspruch konfrontiert.

Der ethische Anspruch C kann sich nur dann vor dem Vergessen retten, wenn er von einem anderen Anspruch D gestützt wird.

D: Behauptung C ist nicht a religiös (obwohl es eine ethische) Überzeugung ist.

Aber die meisten Leute würden zustimmen, dass allgemeine Behauptungen wie D über das Verhältnis des Religiösen zum Ethischen sind religiöse Ansprüche. Sie stehen in engem Zusammenhang mit der Frage, ob richtig und falsch (sagen wir) durch Gottes Gebote oder durch das Gewissen definiert werden. Lassen Sie uns daher zustimmen, dass D ein religiöser Glaube ist.

Aber jetzt sind wir wieder verstrickt. Aus C folgt zunächst, dass

E: Mathematik sollte von C beeinflusst werden.

F: Für jedes G, wenn G ein religiöser Glaube ist, sollte die Mathematik nicht von G beeinflusst werden.

Als Spezialfall von F, wenn C durch G ersetzt wird, erhalten wir

H: Wenn C ein religiöser Glaube ist, sollte die Mathematik nicht von C beeinflusst werden.

D: C ist kein religiöser Glaube.

Also ist D eine Konsequenz von C. Daher hat C als Konsequenz a

religiöser Glaube D. Daher ist vermutlich C selbst religiös, ein Widerspruch zu D.

II. Antinomien des antitheistischen 21 Mathematik

11. Einordnung der Schwierigkeiten der Antitheisten

Bisher haben wir uns auf die spezifischen Schwierigkeiten des Neutralitätspostulats konzentriert. Das Neutralitätspostulat ist, wie wir gesehen haben, von Konflikten mit mathematischen Phänomenen (§§2-7) und von innerer Inkonsistenz (§§8-10) heimgesucht.

Andere Schwierigkeiten jedoch teilt das Neutralitätspostulat mit allen nichtchristlichen, nichttheistischen Weltanschauungen (ob diese Ansichten für sich Neutralität beanspruchen oder nicht). Diesen Schwierigkeiten, die allen nichtchristlichen Versionen der Mathematik gemeinsam sind, wenden wir uns nun zu.

Natürlich hat jede einzelne Weltanschauung – Materialismus, Idealismus, Positivismus, Marxismus – ja, jeder einzelne Denker seine ganz eigenen Schwierigkeiten. Eine gründliche Kritik müsste also aus christlicher Sicht jeden Denker gesondert behandeln. In diesem Beitrag können wir nicht hoffen, mehr zu tun, als einen Umriss zu skizzieren, wie Kritik vorgehen sollte. Ein einheitliches Vorgehen der Kritik ist teilweise möglich, weil alle Nichtchristliche Systeme haben ähnliche Probleme, die aus ihrer gemeinsamen Weigerung erwachsen, den wahren Gott zu ehren.

Der Einfachheit halber unterteilen wir die Probleme in drei Hauptbereiche: metaphysisch, erkenntnistheoretisch und ethisch. Wir erwarten, dass die nichtchristliche Philosophie der Mathematik (a) metaphysische Probleme hat, weil sie die wahre Quelle des Seins aufgegeben hat (b) epistemologische Probleme hat, weil sie die wahre Quelle des Wissens aufgegeben hat (c) ethische Probleme hat, weil sie die wahre Wertquelle aufgegeben. Wir greifen diese Themen in der Reihenfolge (b), (c), (a) auf.

A. Erkenntnistheoretische Probleme der antitheistischen Mathematik: a priori/a posteriori

Mathematiker haben wie andere Wissenschaftler ein gewisses Vertrauen in ihre Überzeugungen. Dies muss begründet werden. Woher wissen wir, dass 2 + 2 = 4 ist? Mit internen Mitteln (a priori erfahrungsunabhängig) oder extern (A posteriori aus Erfahrung)? Gewinnen wir das Wissen durch Introspektion? Durch Erinnerung (Platon)? Durch logische Argumentation (Russell)? Oder gewinnen wir sie durch wiederholtes Erleben von zwei Äpfeln (S. 169) und zwei Äpfeln (John S. Mill)? Oder eine Kombination davon? Oder ist 𔃲 + 2 = 4’ überhaupt kein echtes “Wissen”, sondern einfach eine linguistische Konvention darüber, wie wir 𔃲’ und 𔃴’ verwenden (A. J. Ayer)? 22

12. Die Antwort von vornherein

Welche Antwort ein Mensch auf der antitheistischen Seite auch wählt, er wird zwangsläufig in Schwierigkeiten geraten. Angenommen, man betont die a priori Charakter des mathematischen Wissens. Dann ist 𔃲 + 2 = 4’ eine Art universelle, ewige Wahrheit. Aber warum sollten in diesem Fall zwei Äpfel plus zwei Äpfel erfahrungsgemäß normalerweise vier Äpfel ergeben? Warum sollte uns eine zugegebenermaßen kontingente Welt wiederholte Beispiele dieser Wahrheit bieten, viel mehr Beispiele, als wir zufällig erwarten könnten? Wenn die Außenwelt ist rein eine zufällige Angelegenheit, wenn im weitesten Sinne etwas passieren kann, wenn die Sonne morgen nicht aufgehen darf, wenn es tatsächlich keine Sonne gibt oder nur ein Sputnik, wenn morgen kommt, wenn es keine gibt morgen usw., kann man über Äpfel überhaupt eine gesicherte Aussage treffen? Warum verschwinden zum Beispiel Äpfel nicht und erscheinen zufällig, während wir sie zählen? Wenn andererseits die äußere Welt ein gewisses Maß an Regelmäßigkeit mit ihren Zufallselementen vermischt hat, warum sollte man dann erwarten, dass diese Regelmäßigkeit auch nur im entferntesten mit der a priori mathematische Erwartungen des menschlichen Geistes? Solche Fragen können unbegrenzt vervielfältigt werden. Hat man einmal die kartesische Trennung von Geist und Materie gemacht, a priori und A posteriori, man kann sie nie wieder zusammenbekommen.

Eine strenge aprioristische Sichtweise ist auch für praktischere Einwände offen. Wenn Mathematik wirklich ist a priori, warum entstehen Paradoxien? Solche Paradoxien kommen in Form von tatsächlichen Widersprüchen (Burali-forti’s Paradoxon, Russell’s Paradoxon) und in Form verschiedener kontraintuitiver Ergebnisse (die kontinuierlichen raumerfüllenden Kurven von Peano, überall – kontinuierliche nirgendwo – differenzierbare Funktionen, das abwärts gerichtete Löwenheim-Skolem-Theorem usw.). Die Paradoxien erscheinen heute weniger bedrohlich, teils weil Mathematiker ihnen gegenüber eine eher konventionelle Haltung einnehmen (§14), teils weil wir sie beseitigt haben, indem wir unsere Axiome modifiziert haben (um Widersprüche zu vermeiden) oder unsere Intuitionen (um mit den Theorien in Einklang zu bringen) modifiziert haben. Dennoch verdeutlichen die Paradoxien, dass, historisch betrachtet, angeblich a priori mathematische Überzeugungen sind nicht immer zuverlässig.

13. Die A-posteriori-Antwort

Es ist verständlich, dass diese Schwierigkeiten auf der a priori Seite haben die Leute dazu gebracht, nach einem zu suchen A posteriori Lösung. Dabei betonte man den induktiven Charakter der mathematischen Erkenntnis. Man kommt zu der Annahme, dass 2 + 2 = 4 aus wiederholter Erfahrung (A posteriori) aus zwei Objekten plus zwei Objekten, die vier Objekte bilden. In Ordnung, aber niemand hat wiederholte Erfahrung mit 2.123.955 Objekten plus 644.101 Objekten, die 2.768.056 Objekte ergeben. Warum also glaubt er, dass 2.123.955 + 644.10l = 2.768.056 ist? “Ah,” so heißt es, “er hat aus seiner Erfahrung mit kleinen Zahlen verallgemeinert.” Leider verbirgt sich hinter dem Wort “generalize” entweder ein unendlicher Regress oder das Gespenst der a priori. Wir können uns fragen, warum eine Person auf die eine und die andere Weise “verallgemeinert”? Warum schließt er, nachdem er beobachtet hat, dass 3 + 2 = 5, 4 + 2 = 6, … 12 + 2 = 14 ist, (verallgemeinert?), dass 13 + 2 = 15 und nicht 13 + 2 = 14 oder sogar 13? Im Sinne einer konsequenten A posteriori Standpunkt kann die Antwort nur sein, aufgrund früherer Erfahrungen mit anderen Verallgemeinerungen. Mit anderen Worten, er hat aus früheren Verallgemeinerungen verallgemeinert. Warum hat er verallgemeinert in Das besondere Weise von diesen anderen Verallgemeinerungen? Weil er aus früheren Erfahrungen mit dem Verallgemeinern aus früheren Verallgemeinerungen verallgemeinert hat und so weiter. Offenbar kann man diesem Rückschritt nur entkommen, indem man irgendwann sagt: “Weil der menschliche Geist so funktioniert.” Und dann wird man mit einem . konfrontiert a prioriWissen, oder zumindest a priori Heuristiken.

Das A posteriori Lösung ist auch offen für praktischere, prosaische Einwände. Was ist mit der ständig wachsenden Menge an abstrakten, nicht visualisierbaren mathematischen Einheiten? Zu behaupten, dass uns transfinite Zahlen, topologische Räume und abstrakte Algebren irgendwie durch Sinneserfahrungen eingeprägt werden, erfordert einige Vorstellungskraft.

14. Die konventionalistische Antwort

Ein dritter Lösungsversuch für das erkenntnistheoretische Problem verdient Erwähnung, allein schon wegen seiner großen Popularität unter Mathematikern selbst. Dies ist die Ansicht, dass Mathematik in gewissem Sinne eine bloße Konvention unserer Sprache ist und somit überhaupt kein “Wissen”. 2 + 2 = 4, weil wir uns in unserer Sprache darauf geeinigt haben, die Wörter “two” und “four” genau so zu verwenden (Wittgenstein). 23 Oder, um es anders auszudrücken, wenn wir 𔄚 + 2 = 4” sagen, sagen wir nur auf Umwegen “A ist A” (A. J. Ayer). 24 Oder 𔄚 + 2 = 4, weil es aus unseren (konventionell bestimmten) Postulaten” (Formalisten) folgt.

All diese “konventionellen” Antworten sind wirklich so viele Variationen der variations a priori Lösung, insofern man immer noch dieselben unbeantwortbaren Fragen stellen kann, warum sich die Mathematik im Umgang mit der Außenwelt als so nützlich erweisen sollte. Wenn es ist rein Konvention, warum sollte das so sein? Oder wenn man sagt, dass die Konventionen gewählt sind weil sie sind nützlich, man zieht in die A posteriori Lager, wo er mit denselben unbeantwortbaren Fragen zur Rolle der Verallgemeinerung konfrontiert wird. 25

Die Tatsache, dass die konventionalistische Antwort entweder in einer a priori oder ein A posteriori Richtung weist auf einen weiteren Faktor hin: dass die konventionalistische “answer” möglicherweise gar keine Antwort ist, sondern lediglich eine Verlagerung der Frage aus dem Bereich der Mathematik in den Bereich der Sprache. Das Gleiche a priori/a posteriori Probleme tauchen wieder auf, wenn wir fragen, warum (mathematische) Sprache angemessen funktioniert.

L5. Implikationen von Gödels Beweis

An dieser Stelle sollte erwähnt werden, dass unserer Meinung nach bestimmte beweistheoretische Ergebnisse die a priori/a posteriori Problem für eine antitheistische Philosophie der Mathematik. Wir beziehen uns insbesondere auf Gödels Beweis der Unvollständigkeit von Whitehead-Russells Axiomen für die Zahlentheorie erster Ordnung. 26 Dieser Beweis ist so vielen Philosophen der Mathematik in den Schoß gedrungen, dass wir zögern, ihm noch eine weitere Interpretation hineinzulesen. Dennoch scheint es uns, dass der Beweis bei jedem nur knapp das Vertrauen erschüttern sollte a priori oder konventionalistische Philosophie der Mathematik. Zum einen hat sie, indem sie gezeigt hat, dass keine Turing-Maschine gebaut werden kann, um alle zahlentheoretischen Wahrheiten und keine Falschheiten zu erzeugen, Zweifel an der Fähigkeit des menschlichen Geistes selbst aufgeworfen, alle zahlentheoretischen Wahrheiten zu kennen. Und wenn wir nicht alles wissen können, ist es das sicherlich nicht a priori für uns. Zweitens, indem gezeigt wird, dass jede Axiomenliste unvollständig ist, wirft sie Fragezeichen gegenüber jeder konventionalistischen Behauptung auf, dass die Wahrheit durch unsere Wahl der Axiome definiert wird. Unter der Annahme, dass die Zahlentheorie konsistent ist, produziert die Beweismaschinerie eine wahre Aussage, die nicht aus den Axiomen folgt, daher wird diese Wahrheit (eng gefasst) nicht konventionell durch die Wahl der Axiome definiert.

Auf der anderen Seite tröstet Gödels Beweis den A posteriori Lager. Denn die entscheidende wahr-aber-unbeweisbare Aussage S, die in seinem Beweis gezeigt wird, kann nicht als wahr “erfahren” werden oder A posteriori “ gesehen” als wahr im normalen Sinne. Das A-posteriori-Lager sagt vermutlich, dass wir durch direkte Erfahrung lernen (zwei Äpfel und zwei Äpfel ergeben vier Äpfel) und dann später durch Beweise (das Beweisverfahren selbst ist eine Verallgemeinerung aus der Erfahrung einfacher Beweise). Doch Gödels S kann weder direkt erlebt (es ist viel zu kompliziert) noch bewiesen werden. S ist die erste Aussage dieser Art, die jemals produziert wurde (keine Verallgemeinerung aus früheren Erfahrungen möglich), doch wenn man die “intuitive” Bedeutung von S untersucht, wird man überzeugt, dass S wahr sein muss.

Wegen der oben genannten Schwierigkeiten ist die antitheistische Philosophie der Mathematik dazu verdammt, ähnlich wie wir es in unserer Argumentation getan haben, zwischen den Polen der a priori wissen und A posteriori Wissen. Warum? Es wird den wahren Gott, den weisen Schöpfer von, nicht anerkennen beide der menschliche Geist mit seiner mathematischen Intuition und die Außenwelt mit ihren mathematischen Eigenschaften. In den Abschnitten 22-23 werden wir sehen, wie uns die biblische Sichtweise eine echte Lösung für das Problem liefert, “ zu wissen, dass 2 + 2 = 4 und zu wissen, dass S wahr ist.

B. Metaphysische Probleme der antitheistischen Mathematik: Einheit und Pluralität

16. Einheit und Pluralität der Wahrheit

Eng verbunden mit den erkenntnistheoretischen Fragen sind Fragen nach dem metaphysischen “status” von 𔃲 + 2 = 4’ in Bezug auf andere Wahrheiten. Was macht es bedeuten dass 2 + 2 = 4? Wenn wir testen wollten, ob ein Kind 𔃲 + 2 = 4 versteht, wären wir erst zufrieden, wenn es nicht nur die Fähigkeit demonstrierte, die Symbole auf dem Papier richtig zu manipulieren, sondern auch wusste, wann es 𔃲 + 2 . zu verwenden hatte = 4’ bei Wortaufgaben. Eine solche Überprüfung ist notwendig, da sich ein Kind die visuellen Formen und Manipulationen von 𔃲’ und 𔃴’ merken könnte, ohne jemals zu verstehen, was es tat. In der Tat könnten wir sagen, dass 2 + 2 = 4 ist wissen, wie man diese Symbole im Alltag verwendet. Man kann 𔃲 + 2 = 4’ nicht wissen, ohne viele andere Dinge zu wissen im Verhältnis zu diese eine Wahrheit. Wir haben es also unweigerlich mit einer großen Vielfalt von Erfahrungen und Wahrheiten und den Beziehungen zwischen ihnen zu tun.

Darüber hinaus kann, wie die moderne linguistische Theorie im Rahmen der Tagmemik gezeigt hat, kein sprachliches Symbol verstanden werden, ohne seinen Kontrast, seine Variation und seine Verteilung zu spezifizieren. 27 Insbesondere hat 𔃲 + 2 = 4’ die Bedeutung (a) nur als identifizierbares Ganzes mit einer gewissen zeitlichen Konstanz, im Gegensatz zu gewissen anderen möglichen Aussagen, beides

wahr (2 + 3 = 5, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4 usw.) und falsch (2 + 2 = 5,2 + 2 = 3 usw.) (b) nur als Einheit mit a bestimmt Variationen Bereich, was bedeutet, dass sie in unterschiedlichen Formen wiederholt werden kann, ohne ihre Identität zu verlieren (zwei plus zwei ergibt vier, zwei plus zwei gleich vier, zwei und zwei sind vier, II + II = IV, (1 + 1) + 2 = 4, etc.) (c) nur als Artikel verteilt in größeren Einheiten des linguistischen Verhaltens und des allgemeinen menschlichen Verhaltens (Beweise mit 𔃲 + 2 = 4, ’ Wortaufgaben, die sich darauf beziehen, 𔃲 + 2 = 4’verwendet bei der Berechnung von Lebensmittelpreisen, Einkommenssteuern und Raketenflugbahnen ).

Das Problem hier besteht für jede antitheistische Sichtweise darin, dem enormen “Meer” von Wahrheiten und Erfahrungen, in das 𔃲 + 2 = 4’ eingebettet ist, eine ultimative Einheit und Stabilität zu garantieren. Wie kann man, ohne alles zu wissen, wirklich etwas wissen? 𔃲 + 2 = 4’ wird in einem größeren Kontext verteilt, der, wenn wir ihn verstehen wollen, in einem noch größeren Kontext ad infinitum verteilt werden muss. Außerdem, woher wissen wir, dass das nächste, was wir an den Grenzen unseres Wissens entdecken, nicht das, was wir bisher “Wissen” genannt haben, durcheinander bringen und radikal umkippen wird? Eine solche Kontingenz scheint nicht nur abstrakt möglich zu sein (wegen der Notwendigkeit, Wissen teilweise über seine Verteilung in größeren Zusammenhängen zu definieren), sondern ist in der Vergangenheit in mehr als einer Wissenschaft tatsächlich aufgetreten. Die Physik hat ihr “Wissen” während der Newtonschen Revolution, der Einsteinschen Revolution und jetzt der Quantenrevolution radikal überarbeitet. Sogar die Mathematik musste sich manchmal revidieren, wenn man an die Entdeckung des Irrationalen durch die Pythagoräer denkt, an Widersprüche, die sich aus dem Denken mit bedingt konvergenten unendlichen Reihen ergeben, an Widersprüche wie Russells Paradox, das sich aus dem Denken mit der naiven Idee der Menge ergibt. Es stimmt, jedes dieser drei mathematischen “Probleme” gilt jetzt als gelöst, aber keines wurde ohne eine Überarbeitung der Standards gelöst, ja, und das eigentliche Konzept des korrekten mathematischen Denkens.

In all dieser Diskussion stellen wir in anderer Form wirklich das alte Problem einer Quelle für die letzte metaphysische Einheit der Welt, in diesem Fall die Einheit der Wahrheit. Auf christlicher Basis hören wir eine ganz einfache und klare Antwort: Gott weiß alles, und Seine Weisheit garantiert, dass die Wahrheit nicht durch die nächste Tatsache um die Ecke gestürzt wird. Er hat den Menschen nach Seinem Ebenbild so geschaffen, dass der Mensch die Wahrheit erkennen kann (“ denkt an Gottes Gedanken nach Ihm󈭰), ohne alles wissen zu müssen. (Für eine ausführlichere Diskussion siehe §§22, 24.)

Auf der anderen Seite, wenn der Antitheist mit einer ultimativen Einheit der Wahrheit beginnen will und nicht mit einer ultimativen Pluralität, hat er keine Möglichkeit zu erklären, wie Pluralität aus dieser einzigen Wahrheit entsteht. Wir haben hier das Problem der Einheit und Pluralität, mit dem wir uns bereits in §2 auseinandergesetzt haben.

17. Einheit und Pluralität der Wissenschaften

Dasselbe Problem tritt uns in noch anderer Form entgegen, wenn wir nach dem Verhältnis zwischen verschiedenen Wahrheitsbereichen oder verschiedenen Wissenschaften fragen. Wie verhält sich Mathematik zur Physik, zur Biologie, zur Logik, zur Linguistik, zur Ökonomie? Wie verhalten sich Teilbereiche der Mathematik wie Arithmetik, Geometrie, Analysis und Mengenlehre zueinander? Warum findet einer dieser Bereiche umfassende Anwendung auf andere? Anti-Theisten versuchen normalerweise, entweder mit ultimativer Pluralität oder ultimativer Einheit zu antworten. Wenn wir einerseits die Wissenschaften in eine ultimative Vielfalt aufspalten und Pluralität, können wir keine Antwort geben, außer “Nun, es passiert einfach.” Aber die wenigsten Menschen können wirklich damit leben. Viele Wissenschaftler haben eingeräumt, dass sie einfach glauben, Sie haben Vertrauen dass die Welt mathematisch und physikalisch regelmäßig ist. Einstein drückt es so aus:

Zu dieser [Religionssphäre] gehört auch der Glaube an die Möglichkeit, dass die für die Welt des Daseins geltenden Regelungen rational, also der Vernunft verständlich sind. Ich kann mir keinen echten Wissenschaftler ohne diesen tiefen Glauben vorstellen. Die Situation kann durch ein Bild ausgedrückt werden: Wissenschaft ohne Religion ist lahm, Religion ohne Wissenschaft ist blind. 29

Doch solche postulierten Götter können sich niemals über die Götzen von Jesajas Beschreibung erheben: "Sage uns, was nachher kommen wird, damit wir wissen, dass ihr Götter seid, die Gutes tun oder Schaden anrichten, damit wir bestürzt und verängstigt sind. Siehe, du bist nichts, und deine Arbeit ist nichts, ein Greuel ist derjenige, der dich erwählt (41:23-24 vgl. 44:6-11 usw.).

Andererseits können wir uns bemühen, die Wissenschaften auf ein Letztes zu reduzieren Einheit indem man einige von anderen ableitet. Die Philosophen der Mathematik haben in der Vergangenheit wiederum versucht, die Mathematik (a) auf die Linguistik (“Mathematik ist die Wissenschaft der formalen Sprachen” – die Formalisten),(b) auf die Psychologie (“Mathematik ist das Studium der Geisteswissenschaften) zu reduzieren mathematische Konstruktionen” – die Intuitionisten), (c) zur Logik (“Mathematik ist ein Zweig der Logik” – die Logikisten), (d) zur Physik (“Mathematik wird aus der Sinneserfahrung verallgemeinert” – die Empiriker) , (e) zur Soziologie (“Mathematik ist eine Gruppe gesellschaftlich nützlicher Aussagen” – die Pragmatiker). Die Form der vermeintlichen Reduktion der Mathematik gibt uns also einen groben und übersichtlichen Katalog der großen mathematisch-philosophischen Schulen.

Wie zu erwarten ist, werden solche Reduktionsversuche nie wirklich gelingen. Irgendwann werden sie der Besonderheit der mathematischen Wahrheit gegenüber der physikalischen, sprachlichen, psychologischen Wahrheit nicht gerecht. Eine detaillierte Diskussion von Reduktionismen würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, und wir müssen den Leser auf das umfangreiche Grundlagenwerk von Dooyeweerd und Vollenhoven sowie die besondere Untersuchung der Mathematik von Strauss verweisen. Bei der Vielfalt der Reduktionsversuche (auf die Linguistik, auf die Logik, auf die Psychologie usw.) sollte unser Verdacht geweckt werden, zu hinterfragen, ob irgendein davon kann wirklich die wahre Geschichte sein. Sie widerlegen sich gegenseitig, indem sie eine Seite des Bildes aufzeigen, die die anderen nicht ausreichend anerkannt haben.

C. 18. Ethische Probleme der antitheistischen Mathematik: Motiv, Maßstab und Ziel

Schließlich sei noch am Rande erwähnt, dass die antitheistische Mathematik keine befriedigenden ethischen Grundlagen hat, ebensowenig wie sie metaphysische oder erkenntnistheoretische Grundlagen hat. Kein Stück Mathematik kann geschrieben werden, kein Mathematiker kann jemals arbeiten, ohne ein implizites oder explizites Motiv, einen Maßstab und ein Ziel für die Arbeit. Ein Mathematiker kann von Egoismus, Angst, Altruismus motiviert sein oder vom Herrn für Geld, aus reinem Vergnügen oder zur Ehre Gottes arbeiten. Aber niemand macht jemals Mathematik, ohne diese Art von Faktor im Hintergrund zu haben. Darüber hinaus werden seine Motive, Maßstäbe und Ziele unweigerlich beeinflussen, auf welche Art von Problem er sich konzentriert, welches relative Gewicht er der reinen gegenüber der angewandten Mathematik beimisst, welche Maßstäbe er an sich selbst in seinem Lehren und Schreiben setzt, wie er seine Zeit einteilt zwischen Lehre und Forschung usw. Die Person, die solche Faktoren als “fremd” für das eigentliche Geschäft der Mathematik betrachtet, hat bereits die konsequente biblische Ausrichtung auf das Werk des Menschen als das Werk des Menschen, der vor seinem Schöpfer steht, aus den Augen verloren: “Dienst mit einem Guten Wille gegenüber dem Herrn und nicht gegenüber den Menschen, da er weiß, dass jeder Gutes tut, er wird dasselbe vom Herrn wieder empfangen, ob er ein Sklave oder ein Freier ist (Eph. 6,7-8). Für weitere Diskussionen über die biblische Sicht siehe §26.

Da die antitheistische Ethiktheorie im Bereich der Mathematik mit denselben Antinomien verstrickt ist wie in jedem anderen Lebensbereich, brauchen wir hier nicht auf die exzellente Diskussion der Ethik von Van Til einzugehen. 31

III. Eine christlich-theistische Sicht der Mathematik

Bisher hat sich unsere Diskussion in eine überwiegend negative Richtung entwickelt, weil wir uns mit einer Kritik an „neutralistischen“ (§§1-10) und antitheistischen (§§11-18) Ansichten der Mathematik beschäftigt haben. Es ist jedoch kaum möglich, die wahre Armut solcher Ansichten zu würdigen, ohne darüber nachzudenken, wie eine wahrhaft biblische Ansicht der Mathematik aussehen würde. Dieser Aufgabe wenden wir uns nun zu.

In Übereinstimmung mit unserer früheren Kritik der antitheistischen metaphysischen (§§8, 16, 17), erkenntnistheoretischen (§§9, 12-15) und ethischen (§§10, 18) Grundlagen schlagen wir vor, den biblischen Standpunkt zu diskutieren discuss auch in Bezug auf Metaphysik (§§19-21), Erkenntnistheorie (§§22-25) und Ethik (§26).Natürlich überschneiden und ergänzen sich biblische Grundlagen in diesen drei Bereichen, wir greifen die Themen nacheinander auf, um die radikalen Gegensätze zwischen theistischen und antitheistischen Ansichten kühner hervorzuheben.

In der folgenden Diskussion versuchen wir nicht, Mathematik (oder andere Wissenschaften) als eine Art „Beweis" oder Unterstützung für die Bibel zu verwenden. Umgekehrt behaupten wir vielmehr, dass wir nur auf der Grundlage des gehorsamen Hörens des Wortes Gottes eine richtige Grundlage für die Mathematik finden können! Es ist Gott, der die Mathematik erhält, nicht umgekehrt.

A. Christliche Metaphysik der Mathematik, begründet im Sein Gottes

19. Ontologie

Welchen metaphysischen Status haben Zahlen und Aussagen über Zahlen? Welchen Status hat die Geometrie? Welche Bedeutung hat Mathematik in dieser Welt? Für den der Schrift verpflichteten Christen muss die wichtigste Tatsache der Mathematik ihre Beziehung zum Herrn sein. Da er Schöpfer und Herrscher über alles ist, muss alles seinen Sinn, ja seine Existenz in ihm finden: „In ihm leben und bewegen wir uns und haben unser Sein“ (Apg 17,28). “Dein, o Herr, ist die Größe und die Macht und die Herrlichkeit und der Sieg und die Majestät für alles, was in den Himmeln und auf Erden ist, dein ist das Königreich, oh Herr, und du bist erhaben als Haupt über alles” (I Chr. 29:11).

Darüber hinaus besteht die grundlegendste ontologische Unterscheidung in der Heiligen Schrift zwischen Gott einerseits und seinen Geschöpfen andererseits (vgl. Jes 43,10-13). Daher spricht Van Til von der Schöpfer-Kreatur-Unterscheidung als grundlegend für alles christliche Denken, und Vollenhoven macht die Art und Weise, in der Philosophien Gott und das Universum trennen, zu seinem grundlegendsten Kriterium für die taxonomische Klassifizierung. 32 Wenn wir nicht wissen, wer Gott ist, wenn wir

Wenn wir einen Teil der Schöpfung mit Gott oder einen Teil von Gott mit der Schöpfung identifizieren, sind wir des schweren Götzendienstes schuldig.

Daher lautet die grundlegendste Frage zu mathematischen Strukturen und Gesetzen: Sind sie Aspekte der Schöpfung oder von Gott? Sind sie sozusagen geschaffene Dinge oder Gott, oder gehören sie vielleicht zu einer dritten Kategorie? Diese Frage ist immer noch zweideutig, da ihre Antwort davon abhängt, was wir unter “Mathematik verstehen.” “Mathematik” kann sich auf (a) die historisch wachsende Wissenschaft beziehen, die sich in Lehrbüchern, Artikeln, Konferenzen, Vorträgen usw. manifestiert. (b) die Gedanken der Mathematiker oder (c) die mathematische “Struktur” für die Welt, die irgendwie unabhängig von unseren Gedanken existiert (zwei Äpfel und zwei Äpfel machen vier Äpfel zu zwei verschiedenen Punkten, die eine eindeutige Linie zwischen ihnen bestimmen usw.). Mathematik (a) besteht eindeutig in [geschaffenen Dingen und Aktivitäten erschaffener Menschen, Mathematik (b) besteht in menschlichen Gedanken, die als solche niemals einen göttlichen Status haben (Jes 55, 8-9, Ps 147, 5). Zu (a) und (b) werden wir in §§22, 24 mehr zu sagen haben.

Konzentrieren wir uns zunächst auf die Mathematik (c). Da Mathematik (c) Eigenschaften von . betrifft erstellt Dinge, könnten wir auf den ersten Blick versucht sein zu sagen, “Mathematik (c) ist erschaffen.” Die Bibel, während sie immer wieder davon spricht, dass Gott Dinge erschaffen hat (Mineralien, Pflanzen, Tiere, Menschen, Engel), spricht anscheinend nie davon, dass Gott ’s Strukturen geschaffen hat” oder “Gesetze.” Ein wenig Nachdenken zeigt uns, dass dies kein Zufall ist. Die Bibel stellt die Welt niemals so dar, als ob sie von Gesetzen als solchen unabhängig vom Schöpfer regiert sei, sondern vielmehr von den Anordnungen des Königs, von Gott selbst, der spricht (vgl. Gen 8,22-9,7 Jer. 33,25 Ps . 33:6-11, 18-22 147:15-20). Weil seine Verordnungen mit ihm übereinstimmen (Ps. 19:7-9), erwarten wir, dass sie weise und ordentlich sind (Ps. 104:24 Spr.8:22-31 Röm. 11:33-36).

So ist es mit der Mathematik (c). Gott selbst hat a numerisch Natur. Er ist drei in einem. Es ist interessant, dass Jesus das Pluralpronomen „wir“ (Joh 17:21 vgl. Johannes 14:23) und den Plural „wir“ verwendet.esmen, Johannes 10,30) in Bezug auf den Vater und den Sohn. Mathematik (c) ist ewig, weil der Vater, der Sohn und der Heilige Geist (3!) ewig sind (Johannes 1:1 17,5 Hebr. 9:14). Und Gottes ewige Zahlennatur manifestiert sich in der Schöpfung genauso wie Seine Liebe, Weisheit und Gerechtigkeit.

Dem “Muster” seiner eigenen Pluralität folgend, erschafft er die Welt als Pluralität: 𔄘 Herr, wie mannigfaltig [Hebr., viele] sind deine Werke! In Weisheit hast du sie gemacht, die ganze Erde ist voll von deinen Geschöpfen“ (Ps. 104:24). Dieser Vers führt die Pluralität der Werke Gottes auf seine Weisheit zurück. Und letzten Endes findet die Weisheit Gottes ihre Verkörperung in Jesus Christus, „in dem alle Schätze der Weisheit und Erkenntnis verborgen sind“ (Kol 2,3), „den Gott unsere Weisheit, unsere Gerechtigkeit und Heiligung und Erlösung” (1. Kor. 1:30). Jesus lädt in einer früher verwendeten Sprache ein, in Ecclesiasticus, durch personifizierte Weisheit

(Matth. 11:25-30 vgl. Sir 24:25 [19] 51:23-26). 33 Denn von Anfang an ist der Sohn Gottes persönliche Weisheit. Gott braucht niemanden zu konsultieren (Jes 40:13-14). Daher können wir mit Recht sagen, dass die Vielheit dieser Welt (die Werke Gottes) ihren Grund in der Vielheit der Gemeinschaft des Vaters und des Sohnes findet. Und Psalm 104:24 weist auch auf einen Ursprung für Einheit in dieser Welt, wenn sie von der Weisheit der spricht eins Herr. Weil es einen Herrn gibt, gibt es eine innere Beständigkeit in allem, was er tut. Weisheit drückt sich in geordneter Herrschaft, in Gerechtigkeit, in proportionaler Liebe und Hass aus (Spr 8,13-17).

Indem wir 𔄙 + 1 = 2” sagen, sagen wir somit eine Wahrheit über die Dreieinigkeit: eine Wahrheit über die Weisheit Gottes und dann, sekundär, eine Wahrheit über die Welt, die er regiert. (Beachten Sie jedoch, dass, da die Dreifaltigkeit und die Weisheit Gottes unverständlich sind, Gottes eigene “-Mathematik für uns sozusagen nicht in ihrer ganzen Fülle zugänglich ist. Wir können nicht davon ausgehen, dass unsere Mathematik (b) notwendigerweise so ist alles wahr oder genau äquivalent zu Gottes “Mathematik.”) Wie weit ist dies von einer “neutralistischen” Sicht der Mathematik entfernt, die annimmt, dass Mathematik nichts mit Gott zu tun hat!

Unter diesem Gesichtspunkt können antitheistische Philosophien der Mathematik als mathematische Versionen alter Häresien klassifiziert werden. Ein strenges a priori Sicht der Mathematik (§12), wobei betont wird, dass die mathematische Wahrheit (b) Musssei, was es ist, ist schuldig, die Unterscheidung zwischen dem göttlichen und dem menschlichen Geist zu nivellieren. Was ist a priori denn Gott – nämlich Mathematik (c) – ist nicht a priori für uns. Wir können nicht unfehlbar mit mathematischen Ergebnissen argumentieren, weil Gottes Geist sich von unserem unterscheidet. Der Nivellierungsprozess endet damit, dass wir sagen, dass Gott sich unserem anpassen muss a priori Mathematik, was zum Tritheismus führt.

Als nächstes eine strenge A posteriori Die Auffassung der Mathematik (§13), die den kontingenten Charakter mathematischer Wahrheiten (§16) betont, ist schuldig, die Fixierung der numerischen Natur Gottes zu ignorieren. Diese Ansicht endet damit, dass Gott nicht mathematisch ist, was zu einem mystischen Monismus führt.

Schließlich ist eine konventionalistische Sicht der Mathematik (§14), die die Rolle menschlicher Postulationen in der Mathematik betont, schuldig, die Rolle Gottes bei der Bestimmung der mathematischen Struktur zu ignorieren. Diese Sichtweise endet also damit, dass Gottes Wirken in der Welt, d. h. praktischer Atheismus, effektiv geleugnet wird. Vielleicht ist die Neigung unserer Zeit zum praktischen Atheismus ein wichtiger Faktor

hinter der weit verbreiteten Bevorzugung einer konventionalistischen Sichtweise. 34

Wir sollten auch beachten, dass die biblische Sichtweise das Problem der Bedeutung von 𔃲 + 2 = 4’ in Bezug auf andere Wahrheiten (§16) auf klare Weise löst. 𔃲 + 2 = 4’ findet seine endgültige Bedeutung und Integration in der unveränderlichen Fülle der Divine Trinitarian Fellowship. Da Gott unveränderlich ist, wird die Wahrheit von 𔃲 + 2 = 4’ durch die nächste menschliche Entdeckung nicht geändert.

20. Modalität

Was sind die charakteristischen Merkmale der mathematischen Wahrheit im Gegensatz zu anderen Arten von Wahrheit? Wie verhält sich Mathematik zu anderen Wissenschaften? Bei der Beantwortung solcher Fragen müssen wir uns natürlich weiter vom direkten Zeugnis der Bibel entfernen. Dennoch scheint uns die Bibel in Genesis 1,28-30 einen Grund für eine vorläufige Einteilung der Wissenschaften zu bieten. Dort teilt Gott seine Schöpfung in vier Hauptgruppen ein: Mineral, Pflanze, Tier und Mensch, und er unterweist Adam über einige der charakteristischen Merkmale und Funktionen jeder Gruppe. Beim Studium solcher charakteristischen Merkmale machte Adam Anfänge in den Wissenschaften der Physik, der Biologie, der Zoologie und der Anthropologie. Siehe Diagramm 1.

Im Laufe der Zeit erwarten wir, dass sich innerhalb dieser Wissenschaften weitere große Divisionen abzeichnen werden. Für eine detaillierte Analyse der Hauptabteilungen verweisen wir den Leser auf die Arbeit der Amsterdamer Philosophie und des Autors. 35 Beschränken wir uns für unsere gegenwärtigen Zwecke auf einen Teilbereich der Physik. Physische Dinge teilen mit Pflanzen, Tieren und dem Menschen nicht nur sogenannte physikalische Eigenschaften (Kraftverhältnisse, Starrheit bzw Volumen, Form), quantitative Merkmale (wie viele?) und aggregierte Merkmale (als potenzielle Mitglieder verschiedener Aggregate (oder Sammlungen)). Somit erhalten wir Diagramm 2. Die letzten vier Wissenschaften von Diagramm 2 umfassen zusammen die Mathematik.

Es ist nun leicht zu erkennen, dass die Einheit und Pluralität der Wissenschaften entsteht

Merkmale oder Aspekte Königreich Aktivitäten in Gen 1:28-30 Wissenschaft
anthropologisch Männer Herrschaft (28) Anthropologie
zootisch Tiere Fortbewegung, Atem Zoologie
biotisch Pflanzen grün, als Nahrung dienen (30b) Biologie
körperlich Mineralien, physikalische Dinge körperliche Unterstützung (30a)
räumlicher Bereich (28)
Physik

Merkmale oder Aspekte Aktivität Wissenschaft
körperlich Energie haben Physik
Kinematik ziehen um Kinematik
räumlich Verlängerung haben Geometrie
quantitativ Nummer haben Arithmetik, elementare Algebra
aggregiert verschieden sein Agorologie = elementare Mengenlehre

aus derselben grundlegenden Quelle wie die Einheit und Pluralität innerhalb der Mathematik: aus der Natur Gottes und Seinem Plan. Insbesondere die kinematischen, räumlichen und aggregierten Eigenschaften dieser Welt lassen sich auf die Natur Gottes zurückführen, ähnlich wie wir es bereits für den quantitativen Aspekt getan haben. Wie Gott eine numerische Natur hat (die Dreieinigkeit), so hat Er eine kinematische, eine räumliche und eine aggregierende Natur. Natürlich müssen wir bei der Verwendung von Sprache über Gottes Natur Vorsicht walten lassen. Gott als Schöpfer ist für das Geschöpf letztlich unverständlich. Kein Mensch kann alles über Gott verstehen. Daher erwarten wir, dass Gottes aggregierende, quantitative, räumliche und kinematische Natur in gewisser Weise für uns unverständlich ist. Geschaffene Analogien brechen unweigerlich zusammen, denn sie sind nur endlich Bilder des Unendlichen. Im Fall der numerischen Natur Gottes ist dies offensichtlich. Gott ist drei Personen und doch gleichzeitig Eins Gott. Jesus kann sagen: “I und der Vater sind eins” (Johannes 10:30). Kein erschaffenes Ding ist drei und gleichzeitig eins auf dieselbe erhabene Weise. Wir werden auch sehen, dass die aggregierte, räumliche und kinematische Natur Gottes mit nichts in dieser erschaffenen Welt streng analog ist. Das war vielleicht ein Grund, warum die Menschen (zu Unrecht) dazu neigten, zu leugnen, dass Gottes Natur etwas mit Raum oder Kinematik zu tun hatte.

Erstens hat Gott ein aggregiert Natur, in dem Sinne, dass die verschiedenen Personen der Gottheit und seine Eigenschaften ausgezeichnet voneinander. Dies ist die ewige Grundlage für die Wissenschaft der Mengenlehre. “Lass deine Herzen nicht beunruhigt sein, glaube an Gott, glaube Auch in mir” (Johannes 14:1). „Und ich werde den Vater beten, und er wird dir geben Ein weiterer Counselor, für immer bei Ihnen zu sein” (14:16). “Wer mich nicht liebt, hält meine Worte nicht und das Wort, das du hörst, ist nicht mein, aber der Vater’s, der mich geschickt hat” (14:24). Die Personennamen Vater, Sohn und Geist implizieren bereits, dass es innerhalb der Gottheit verschiedene “Aggregate” gibt. Die Unverständlichkeit von Gottes aggregierender Natur wird durch Tatsachen wie das gegenseitige Innewohnen von Mitgliedern der Trinität und die gegenseitige Durchdringung von Attributen ausgedrückt. “Glaubst du nicht, dass ich im Vater bin und der Vater in mir? Die Worte, die ich euch sage, spreche ich nicht aus eigener Kraft, sondern der Vater, der in mir wohnt, tut seine Werke. Glauben Sie mir, dass ich im Vater bin und der Vater in mir, oder glauben Sie mir um des
arbeitet selbst” (Johannes 14:10-11). Irgendwie stellen wir fest, dass alle Mitglieder der Trinität auf ihre Weise sogar an den Werken beteiligt sind, die wir am deutlichsten mit einem bestimmten Mitglied der Trinität verbinden. In gewissem Sinne sind die Mitglieder der Trinität nicht ausgezeichnet, weil es nur einen Herrn gibt (5. Mose 6:4-5).

Zweitens hat Gott eine räumliche Natur. Dies drückt sich zunächst in den Lehren über die Erfüllung von Himmel und Erde durch Gott aus: “Kann sich ein Mensch an geheimen Orten verstecken, damit ich ihn nicht sehen kann: sagt der Herr. Habe ich nicht? füllenHimmel und Erde? sagt der Herr” (Jer 23:24). “In Ihn leben und bewegen wir uns und haben unser Sein” (Apostelgeschichte 17:28). Siehe auch 1. Könige 8:23,27 Jesaja 66:1-2 Apostelgeschichte 7:46-50 und Passagen über Gott’s Wohnung mit seinem Volk, Deuteronomium 4:7,39 Jesaja 57:15 66:2 I Korinther 6:19 Römer 8:9-11. Beachten Sie die starke Betonung der Tatsache, dass der Weltraum der Herrschaft Gottes keinen Widerstand entgegensetzt oder kein Problem darstellt, sondern dass Gott der Herr des Weltraums ist und darin tut, was Er will.

Dennoch könnte man sich fragen, ob die obigen Ausdrücke der Heiligen Schrift nur Gottes Beziehung der erschaffenen Welt, ohne etwas darüber implizieren zu wollen, was Gott in sich selbst ist oder war, bevor die Welt begann. Einige Ausdrücke der Heiligen Schrift scheinen über die geschaffene Welt hinaus in die Ewigkeit zu gehen. “Schau vom Himmel herab und sieh, von deinem Heiligen und Herrlichen Wohnen” (Jes. 63:15). “Denn so sagt der Hohe und Erhabene, der bewohnt Ewigkeit, dessen Name Heilig ist: Ich wohne in der Höhe und Heiligkeit,…” (57:15). Diese Passagen sagen, dass Gott nicht ohne einen “Wohnort” oder “Wohnort” war, bevor die Welt begann. 36 Wahrlich, die ewige

Die Stabilität von Gottes eigener “Wohnstätte” bildet die Grundlage dafür, dass Er die Wohnung des Gläubigen ist: “Herr, du warst unsere Wohnung Platz insgesamt Generationen. Bevor die Berge hervorgebracht wurden oder je du die Erde und die Welt geformt hattest, sogar von Ewigkeit zu Ewigkeit ist Gott“ (Ps. 90:1-2).

In ähnlicher Weise sprechen einige der Passagen, die von den Beziehungen der Dreieinigkeit sprechen, auf unterschiedliche Weise räumlich Bedingungen. Es gibt Ausdrücke der innewohnenden (Johannes 14:10-11 Kol 1:19 2:9) Ausdrücke der persönlichen Beziehung: “Am Anfang war das Wort, und das Wort war mit Gott, und das Wort war Gott” (Johannes 1:1). “Niemand hat jemals Gott den einzigen Sohn gesehen, der ist im Busen von der Vater, er hat ihn bekannt gemacht“ (Johannes 1,18) und Ausdrücke des “Vorgehens”: “Aber wenn der Ratgeber kommt, wen ich werde senden für dich aus der Vater, sogar der Geist der Wahrheit, der Geht von der Vater, er wird mir Zeugnis ablegen” (Johannes 15:26). Wieder treffen wir auf unverständliche innertrinitarische Beziehungen, denn wenn der Vater und der Sohn alles erfüllen und in allem sind (Eph. 1:23 4,6 Jer. 23:24), kann der Geist kaum vom Vater ausgehen im leicht verständlichen Sinne.

Aber anstatt zu verlangen, dass Gott unseren daraus abgeleiteten Vorstellungen entspricht ideas erstellt Welt, sollten wir vielmehr sehen, dass umgekehrt der “Raum” unserer Mathematik (b) aus dem Eindruck von Gottes herrschender Herrschaft auf endliche Dinge abgeleitet wird. Die räumliche und physische Ausdehnung dieser Welt wird in der Heiligen Schrift als ein Hinweis auf die ursprüngliche, ungeschaffene Unermesslichkeit Gottes verwendet (Jes 40,12,26, Ps 104,25).

Drittens hat Gott eine kinematische Natur. Wir meinen dies in dem Sinne, dass Gottes ewiges Eigentum ist Aktivität, Seine “Bewegung,” wenn man so will, bildet die metaphysische Basis und den Ursprung der geschaffenen Aktivität und Bewegung. “Er [der Sohn] spiegelt die Herrlichkeit Gottes wider und trägt den Stempel seiner Natur, Aufrechterhaltung das Universum [buchstäblich alle Dinge tragend durch sein Wort der Macht]” (Hebr. 1:-3). “In ihm, nach der Absicht dessen, der erfüllt alle dingenach dem Rat seines Willens” (Eph. 1:11). Das Wirken des Herrn drückt sich auf vielfältige Weise aus: Er lebt (5. Mose 32:39-42 Jes. 8:19), Er ruht (“physische” Aktivität?: Gen 2:1-3) , Er ist bewegt (emotionale Aktivität: Gen 6:6), Er spricht (sprachliche Aktivität: Ps. 33:9 147:4 Deut. 4:12-13),
Er richtet (juristische Tätigkeit: Ps. 75:2-8).

Zweifellos konzentrieren sich die meisten dieser Beschreibungen auf Gottes Beziehung zu dieser erschaffenen Welt und nicht auf das, was “Er in sich selbst ist.” Aber die Aktivitäten innerhalb der Trinität können nicht reduziert werden auf nur Aktivitäten innerhalb der geschaffenen Welt, ohne in den Modalismus zu verfallen. Zum Beispiel “Gott ist Liebe” (I John 4:16) und der Vater geliebt der Sohn schon vor der Gründung der

Welt (Johannes 3:35 Spr. 8:30-31 Kol. 1:13-16). In ähnlicher Weise, um ein anderes Bild aus der Heiligen Schrift zu verwenden, wurde der Vater Apropos von Ewigkeit her, in trinitarischer Gemeinschaft (Johannes 1:1-2). Gottes eigene ewige Aktivität und „Bewegung“ des Sprechens und Liebens verursacht die Bewegungen und damit den kinematischen Charakter dieser Welt: “Er sendet seine Befehl zur Erde sein Wort läuft zügig. Er gibt Schnee wie Wolle, er verstreut Raureif wie Asche. Er wirft sein Eis aus wie Häppchen, wer kann seiner Kälte widerstehen? Er sendet seine Wort, und schmilzt sie, er lässt seinen Wind wehen, und das Wasser fließt. Er >erklärt sein Wort an Jakob, seine Satzungen und Verordnungen an Israel. Er hat mit keiner anderen Nation so verfahren, die seine Verordnungen nicht kennt. Preist den Herrn!” (Ps. 147:3,5-20).Beachten Sie die Verbindung seines Wortes sowohl mit den Bewegungen der physischen Dinge als auch mit seiner Liebe zu Israel, seinem Sohn (eine Liebe, die sich in seiner Liebe zum einzigen Sohn erfüllt).

Wie bei anderen Aspekten der Natur Gottes ist auch die „kinematische Natur Gottes“ unverständlich. Zur gleichen Zeit, in der Gott so aktiv ist, ist er auch unveränderlich (Mal. 3:6 Ps. 102:27). Sein Wort ist Fest(Ps.119:89) es vergeht nie (Lukas 21:33). So bildet Gott selbst die Grundlage, nicht nur für die Veränderung in der Welt (er ordnet sie aus seiner eigenen Tätigkeit an), sondern auch für die Stabilität der Welt (er und seine Verordnungen ändern sich nicht).

21. Strukturell

Wie ist das Verhältnis zwischen den vier großen Teilbereichen der Mathematik (Abbildung 2)? Zwischen Mathematik und den anderen Wissenschaften? Gibt es überhaupt eine konstante Beziehung (§17)? Solche Fragen müssen letztlich mit den gleichen Begriffen beantwortet werden wie unsere früheren Fragen nach Einheit und Pluralität (§§16,19). Die Wissenschaften finden ihre Einheit in der persönlichen Weisheit Gottes (Ps 104,24). “Er ist vor allen Dingen, und in ihm halten alle Dinge zusammen” (Kol 1,17). Deshalb gilt die Mathematik für die Physik. Deshalb haben die grundlegenden Gesetze der Physik eine so einfache Form. Wir vertrauen darauf, dass die Mathematik weiterhin Anwendung in der Physik finden wird, nicht aus blindem Glauben (§17), sondern aus der Überzeugung heraus, dass die Gesetze der Physik und der Mathematik einfach zwei verschiedene Arten sind, auf denen Christus das Universum umfassend regiert.

Ähnliche Fragen können wir auch zu den Hauptbereichen der Mathematik stellen. Warum sollten Sätze der elementaren Algebra und der Mengenlehre auf Geometrie und Kinematik angewendet werden? Warum sollte man zum Beispiel die Gleichheit der Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks beweisen können entweder mit direkten, geometrischen Mitteln, oder durch eine algebraisch Berechnung des Kosinus der Basiswinkel in der analytischen Geometrie? Ebenso können arithmetische und zahlentheoretische Arbeiten erledigt werden entweder direkt, quantitativ oder mengentheoretisch (ausgehend von Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengen-

Theorie). Die Fläche unter Kurven kann berechnet werden, entweder durch direkte geometrische Näherung, oder durch algebraische Berechnung eines bestimmten Integrals, dessen Definition eine grundsätzlich Kinematik Prozess begrenzen. Die Überlegungen in verschiedenen Teilen der Mathematik (Agorologie = elementare Mengenlehre, Arithmetik, Geometrie, Kinematik [einschließlich Differential- und Integralrechnung]) stimmen aufgrund der Einheit Gottes überein. Das Hin- und Herwechseln zwischen den vier großen Teilbereichen der Mathematik macht sich ständig die Tatsache zunutze, dass diese Wissenschaften ihren Ursprung in der eins Weisheit Gottes.

Da Gott sowohl Einheit als auch Pluralität in sich selbst enthält, brauchen wir im christlichen Rahmen nicht auf die vergeblichen Versuche des Reduktionismus zurückzugreifen, die wir in §17 diskutiert haben. Tatsächlich können die Reduktionismen des §17 als eine Art mathematische Version einer alten Ketzerei angesehen werden: des Gnostizismus. Warum sollten wir das sagen? Nun, bei der Erforschung der Mathematik erforscht man die Natur der Herrschaft Gottes über das Universum, d. h. man erforscht die Natur Gottes selbst. Ein Reduktionismus läuft also letztlich auf den Versuch hinaus, einige Aspekte abzuleiten1 von Gottes Natur aus anderen Aspekten2, ein Versuch zu sagen, dass die letzteren Aspekte2 der Natur Gottes sind grundlegender. Die Aspekte2, sind dann irgendwie das, was “wirklich da ist,” im Gegensatz zur einzigen scheinbaren Existenz von Aspekten1. Ich klassifiziere dies als Häresie vom gnostischen Typ, weil der Gnostizismus eine Emanationstheorie entwickelt, bei der bestimmte untergeordnete Gottheiten ihr Sein von Emanationen der letzten Gottheit ableiten. Diese gnostische Ableitung des Seins ist der heutigen Ableitung von Aspekten nicht so unähnlich.

B. Eine christliche Epistemologie der Mathematik, gegründet in der Erkenntnis Gottes

22. Das Gottesbild ist eine Grundlage für mathematische Apriori

Wie lernen und diskutieren wir die Mathematik (b), also das Denken und Wissen menschlicher Mathematiker? Hier müssen wir uns zum ersten Mal auf das christliche Menschenbild konzentrieren. Wie passt der Mensch in das Bild der Mathematik? Wir können keinen anderen Ausgangspunkt haben als die “Definition” des Menschen, die von der Schrift bereitgestellt werden: Der Mensch ist das Ebenbild Gottes (Gen 1:26-30 vgl. Gen 2:7 I Kor 11:7). Als solches geht es ihm darum, die Werke auf einer endlichen Ebene rezeptiv nachzuahmen (Benennung, Gen 2:19 1:4 regieren, Gen 1:28 Ps 22:28 verbessernd, Gen 2:15 1:31 ) und Ruhe (Gen 2:2 Ex. 20:11) Gottes. Der Geist des Menschen wird also mit dem Potenzial erschaffen, Gott zu verstehen (wenn auch nicht erschöpfend). Er hat die Fähigkeit, die aggregierten, quantitativen, räumlichen und kinematischen Aspekte der Herrschaft Gottes zu verstehen, da er selbst ein Herrscher wie Gott ist. Somit kann er mit Sicherheit von 2 + 2 = 4 usw. auf 2.123.955 + 644.101 = 2.768.056 verallgemeinern.

Hier haben wir den ersten Schritt einer christlichen Antwort auf die erkenntnistheoretische

Problem von a priori/a posteriori (§§12-15). Das a priori Fähigkeit der vom Menschen geschaffenen Natur entspricht wirklich der A posteriori von dem, was “da draußen ist,”, weil der Mensch nach dem Bilde des Einen ist, der bestimmt hat, was “da draußen ist.” Gleichzeitig sind die mathematischen Überlegungen des Menschen nicht immer richtig, seine intuitiven Erwartungen werden nicht immer erfüllt (vgl. Beispiele in §12), denn der Mensch ist das Ebenbild Gottes des Unendlichen. Da Gott unverständlich ist, verwirrt uns seine Mathematik manchmal, und es ist zu erwarten, dass sie es sollte. Gödels Beweis (§15) artikuliert vielleicht ein spezifisches Beispiel einer prinzipiellen Einschränkung des menschlichen Wissens im Vergleich zu Gottes Wissen.

23. Die Offenbarung ist eine Grundlage für mathematische a posteriori

Als nächstes sollten wir fragen, wie ein Mensch mathematische Wahrheiten erkennt, die er vorher nicht kannte. Das ist, könnte man sagen, der A posteriori Seite der Mathematik. Die Bibel antwortet, dass Gott den Menschen alles offenbart, was sie wissen: “Wer die Menschen Wissen lehrt, der Herr, kennt die Gedanken
des Menschen, dass sie nur ein Hauch sind. Gesegnet ist der Mann, den du züchtigst, o Herr, und den du aus deinem Gesetz heraus lehrst” (Ps. 94:10b-12). “Aber es ist der Geist in einem Menschen, der Atem des Allmächtigen, der ihn verstehen lässt. Es sind nicht die Alten, die weise sind, noch die Alten, die verstehen, was richtig ist (Hiob 32:8-9 vgl. Spr. 8). Die Anweisung des Herrn kommt natürlich manchmal durch eine „natürliche“ Offenbarung (Ps.19 Jes. 40:26 51:6 Spr. 30:24-28). So können wir der wirklichen Neuheit gerecht werden, die manchmal in einem neuen mathematischen Theorem zu finden ist.

Beachten Sie, dass im christlichen Rahmen die a priori der Natur des Menschen und die A posteriori des Universums Gottes und seiner Offenbarung ergänzen sich, anstatt miteinander zu konkurrieren.

24. Exkurs zu den Grenzen der Humanmathematik

Dies ist vielleicht ein guter Punkt, um die Beziehung zwischen menschlicher und göttlicher „Mathematik“ weiter zu erforschen. Wenn Gott sich offenbart, offenbart er sich wahrhaftig, aber nicht erschöpfend. Das ist eine Einschränkung. Im Fall der Mathematik ist unser Wissen auch dadurch eingeschränkt, dass wir die Auswirkungen von Gottes Verordnungen und Herrschaft auf a . sehen endlich Welt, ohne direkten Zugang (außer im Fall von Aussagen der Heiligen Schrift) zu diesen Dekreten und dieser Regel selbst zu haben.

Nehmen wir den Fall der Geometrie. Obwohl Gott eine räumliche Natur hat (§20), wäre es blasphemisch zu sagen, dass er die Eigenschaften des euklidischen (oder nichteuklidischen) Raums hat. Unsere eigenen mathematischen Systeme (euklidische oder nichteuklidische) sind irgendwie nicht identisch mit Seinem “system.” Wir müssen sagen, dass euklidische und nichteuklidische Geometrien meiner Meinung nach sind beide Ausstellungen (Offenbarungen) darüber, wie Gott die Welt regieren könnte, für beide Entdeckungen oder Konstruktionen des menschlichen Geistes im Bild von Gott.

Vermutlich könnte Gott ein Universum mit entweder einer euklidischen oder nichteuklidischen oder einer anderen Geometrie geschaffen haben. Somit ist die Vielfalt der Geometrien kein Hindernis für den christlichen Standpunkt, sondern lediglich eine Illustration der Freiheit Gottes.

Ist die euklidische Geometrie (als ein System von Aussagen) der Schöpfer oder das Geschöpf? In gewissem Sinne beides. Das obige Argument zeigt, dass Geometrie in gewissem Sinne relativ zu dieser Welt ist (und daher geschaffen wurde). Nehmen wir nun die Aussage G, dass zwischen zwei beliebigen Punkten genau eine Gerade liegt. (Oder gleichermaßen, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180 ° beträgt.) Angenommen, G ist in unserer Welt tatsächlich wahr. Dann ist es richtig zu sagen, dass G eines der Gesetze der Schöpfung Gottes ausdrückt. G ist eines der Dinge, die Gott für diese Welt als wahr bestimmt hat (Lam. 3:37). Schließlich können wir uns nicht vorstellen, dass G aus einem anderen Grund wahr sein könnte, als weil Gott es bestimmt hat. Er ist Herr! Wie könnten wir G auf andere Weise kennen, als indem wir (§22) Gottes eigenes ursprüngliches Wissen von G widerspiegeln? Darüber hinaus sagen Gottes Dekrete, Seine Rede, Sein Wort (Jes 46:9-12), wer Gott ist (Johannes 1:1). G sagt, wer Gott ist. Doch G ist nicht in jeder Hinsicht mit Gott identisch.

Die Lösung dieses Paradoxons sollte vermutlich dem Phänomen der Menschwerdung entsprechen. Jesus ist Gott, doch Gott im Fleisch. Die Bibel spricht Gott auf Hebräisch, Aramäisch und Griechisch. Ist es richtig, parallel zu sagen, dass G eine Beschreibung von Gott ist, der dies regiert? endlich räumliche Welt? Ich glaube schon. G nimmt an Eigenschaften des Endlichen und Geschaffenen teil (es beinhaltet
Bezug auf Punkte, Linien und Grade) und auf Eigenschaften des Unendlichen (es ist unveränderlich). Manchmal (wie es tatsächlich bei der Inkarnation der Fall ist) können das Erschaffene und das Unerschaffene nicht leicht unterschieden werden.

25. Die Einheit der Rasse und die Gabe der Sprache sind Grundlagen der öffentlichen Wissenschaft

Die Existenz einer mathematischen Wissenschaft hängt von der Fähigkeit der Menschen ab, miteinander zu kommunizieren, und von der Verfügbarkeit eines Kommunikationsmediums. Beide Faktoren gehen auf die Schöpfung zurück. Männer haben einen rassischen Ursprung (Apostelgeschichte 17:26), sie teilen eine gemeinsame Natur (die
Bild Gottes, Gen 1:26-27 5:1-3), und sie haben die Gabe der Sprache als Teil ihrer Ausrüstung erhalten, um den kulturellen Auftrag zu erfüllen (Gen 2:19-23). Dies gibt uns heute hinreichenden Grund zu der Annahme, dass andere uns verstehen und dass unsere Sprache der kulturellen Aufgabe, die Gott uns gestellt hat, angemessen ist (vgl. § 26).

Wir haben auch eine Antwort auf unsere frühere Frage §1, warum die Wissenschaft trotz religiöser Unterschiede so viel Übereinstimmung hat. Die Menschen können nicht aufhören, Gottes Ebenbild zu sein, selbst wenn sie sich gegen ihn auflehnen (1. Mose 3,5,22). Entweder ahmen sie Gott im Gehorsam nach oder sie ahmen Ihn nach, indem sie versuchen, ihr eigener Herr zu werden. Sie können sich auch dem Impuls zur Erfüllung nicht entziehen, in einigen

gestalten den kulturellen Auftrag von Genesis 1:28-30. So erkennen sie Gott auf irgendeine Weise an, indem sie Ihn „nachahmen“. Es ist die Situation, die in Römer 1,18-22, Jakobus 2,19 beschrieben wird.

Daher können Nichtchristen im Ebenbild Gottes bedeutende Beiträge zur Mathematik leisten und tun dies auch. Sie können viele mathematische Wahrheiten kennen. Wie wir in §§19-21 gesehen haben, wissen sie, wenn sie die mathematische Wahrheit kennen, etwas von Gott (wenn auch nicht erschöpfend und an manchen Stellen fälschlicherweise). Trotzdem ist ihr „Wissen“ für sie nicht nützlicher als das Wissen der Dämonen (Jakobus 2:19). Daher teilen Christen und Atheisten, tatsächlich alle Arten von religiösen Menschen, mathematische Wahrheiten, aber für alle Nichtchristen ist es nur trotz ihr System. es ist weil Christentum ist Stimmt, weil Gott ist, wer er ist, weil der Mensch ist das Ebenbild Gottes, der Nichtchrist weiß alles. 37 Die vermeintliche “gemeinsame Grundlage” der gemeinsamen mathematischen Wahrheit beweist das genaue Gegenteil von dem, was der Neutralist beweisen soll.

26. Eine christliche Ethik der Mathematik, gegründet in der Gerechtigkeit Gottes

Schließlich geben wir einen kurzen Überblick darüber, wie biblische Ethik auf die Arbeit in der Mathematik angewendet wird. Ein Christ erkennt, dass er unter der Herrschaft Gottes lebt, dem Licht der gegenwärtigen Gebote Gottes und des kommenden Gerichts Gottes. Er sieht, dass sein ganzes Leben – eheliches, politisches, wirtschaftliches, soziales, räumliches – wie bei Abraham und dem Volk Israel durch seine Bundesbeziehung zu Gott strukturiert und bestimmt werden sollte. Das ganze Leben sollte eine Antwort des Dienstes an Gott sein (1. Kor. 10:31).

Daher kann die Arbeit in Mathematik für den Christen nur insofern von Bedeutung sein, als sie von der Liebe Gottes motiviert, vom Gesetz Gottes geboten und auf die Ehre Gottes und die Vollendung seines Reiches gerichtet ist. Das sind Motiv, Anspruch und Ziel der Arbeit in
Mathematik 38 (vgl. die nichtchristliche Sichtweise in §18).

Genauer gesagt müssen wir die Tatsache berücksichtigen, dass Männer eine Vielfalt von Berufungen haben (1. Kor. 7,17-24). Nicht alle Männer werden als Mathematiker bezeichnet. Für denjenigen, der sich so spezialisiert und die Gaben nutzt, die Gott ihm gegeben hat (Lukas 19:11-26 I Petr 4:10), wie funktioniert
Christliche Ethik zum Tragen kommen? Wie sollten sich das biblische Motiv, der Maßstab und das Ziel auf ihn auswirken? (a) Der Mathematiker sollte durch die Loyalität Gottes motiviert werden, die mathematischen Wahrheiten zu verstehen, die Gott für diese Welt bestimmt hat (und so etwas von Gottes mathematischer Natur zu verstehen, §19). Die Liebe zum Nächsten sollte ihn auch motivieren, Mathematik anzuwenden in Physik, Wirtschaftswissenschaften usw. (b) Der Mathematiker sollte

finde seinen Maßstab im Gebot Gottes, dem Programm, das Gott dem Menschen gegeben hat, um es zu erfüllen: “Sei fruchtbar und vermehre dich, und erfülle die Erde und unterwerfe sie und habe die Herrschaft. . .” (Gen 1,28). Ein Teil dieses Programms ist, dass der Mensch Gottes Werke verstehen soll (Gen 2,18-23). (c) Der Mathematiker sollte zur Ehre Gottes arbeiten. Er sollte Gott loben für die Schönheit und Nützlichkeit, die er in der Mathematik findet, für die unbegreifliche Natur Gottes, die sie zeigt, für den menschlichen Verstand, den Gott befähigt hat, die Mathematik zu verstehen (Ps. 145 148). Und er sollte sich bemühen, anderen immer vollständiger und klarer zu zeigen, was von ihm und durch ihn und für ihn alle Dinge sind. Ihm sei Ehre für immer. Amen“ (Röm. 11,36).

Wir beabsichtigen, durch die obige Beschreibung nicht nur zu beschreiben, was die innere Haltung eines Mathematikers sein sollte, sondern auch, was seine Arbeit, seine Worte und seine Schriften offen und verdeckt zum Ausdruck bringen sollten. Die Worte eines Mannes drücken normalerweise aus, was er ist: “Denn aus der Fülle des Herzens spricht der Mund. Der Gute bringt aus seinem guten Schatz Gutes hervor, und der Böse bringt aus seinem bösen Schatz Böses hervor. Ich sage dir, am Tag des Gerichts werden die Menschen Rechenschaft ablegen für jedes sorglose Wort, das sie von dir äußern Wörter du wirst gerechtfertigt sein, und durch deine Wörter du wirst verurteilt werden” (Matth. 12:34b-37). Wenn ein Mann zur Ehre Gottes arbeitet, wird er kein “geheimer” Gläubiger sein, den er sagen wird, wenn er über Mathematik spricht. Wie weit ist das von einer &8220neutralistischen&8221 Haltung entfernt! Der Mensch, der Gott bei seiner mathematischen Aufgabe ignoriert, ist nicht neutral, sondern rebellisch und undankbar gegenüber dem Geber all seines Wissens.

1 Die antibiblischen Voraussetzungen unschuldig aussehender agnostischer Aussagen sind seit langem ein Ziel von Van Tils penetranter Kritik. Siehe zum Beispiel Cornelius Van Til, A Survey of Christian Epistemology, Band II der Reihe Zur Verteidigung des biblischen Christentums (Philadelphia: den Dulk Foundation, 1969), S. 212-213.

1a Gegenüber dem Neutralitätspostulat sind wir dabei Nein bedeutet, eine „Relativität der Wahrheit“ zu befürworten, die sagen würde, dass das, was wirklich wahr ist, vom Beobachter abhängt. Im Gegenteil, die Wahrheit ist (per Definition) das, was Gott weiß, und daher von Anfang an völlig festgelegt. So viel setzen wir voraus. In den Teilen I und II und insbesondere in Teil I möchten wir uns jedoch auf das konzentrieren, was Menschen glauben und wissen über mathematische Wahrheit. Welche Wahrheiten, die sie kennen, und was sie damit machen, hängen von ihren religiösen Überzeugungen ab.

2 William K. C. Guthrie, Eine Geschichte der griechischen Philosophie, Bd. II (Cambridge: at the University Press, 1967), S. 30.

3 „In Gedanken sollte man darauf achten,/Hier gibt es nirgends Vielheit/Durch den Tod ist er an den Tod gebunden/Wer hier die Vielheit betrachtet.“ Paul Deussen, The Philosophy of the Upanishads, trans., von A. S. Geden (Edinburgh: T. &. T. Clark, 1906), p. 232, zitiert nach Brih (adâranyaka) 4.4.19. „…es gibt keine Pluralität und keine Veränderung. Die Natur, die den Anschein von Pluralität und Veränderung zeigt, ist eine bloße Illusion (mâyâ)“ (ebenda., P. 237).

4 “Es gibt jedoch im ganzen Universum, im Himmel und auf Erden, nichts außer dem Atman:-‘Es gibt kein Zweites außerhalb von ihm, kein anderes, das sich von ihm unterscheidet.’ ” ebenda., P. 157, Zitat aus Brih (adâranyaka) 4.3.23-30. Vgl. auch Sravepalli Radhakrishnan, Indische Philosophie, Bd. 2 (London: George Allen &. Unwin Ltd., 1927), S. 535.

5 Cornelius Van Til, The Defense of the Faith, revidiert und gekürzt (Philadelphia: Presbyterian and Reformed Publishing Co., 1963), S. 25-26 A Survey of Christian Epistemology, S. 25. 96 und Rousas J. Rushdoony, The One and the Many: Studies in the Philosophy of Order and Ultimacy (Nutley, N. J.: Craig Press, 1971).

6 Thomas S. Kuhn, Die Struktur wissenschaftlicher Revolutionen, 2. Aufl. (Chicago: University of Chicago Press, 1970), S. 168 und Michael Polanyi, Personal Knowledge: Towards a Post-Critical Philosophy (London: Routledge & Kegan Paul, 1958), S. 160-167.

7 Arend Heyting, “Disputation,” in Paul Benacerraf und Hilary Putnam, Hrsg., PPhilosophie der Mathematik: Ausgewählte Lektüre (Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., 1964), p. 61.

8 “Die . . . Sicht, dass es keine gibt unerfahren Wahrheiten und dass Logik kein absolut zuverlässiges Instrument zur Entdeckung von Wahrheiten ist, hat sich in der Mathematik viel später als in der Praxis und in der Wissenschaft durchgesetzt&8221 (kursiv von mir). Luitzen E. J. Brouwer, “Consciousness, Philosophy, and Mathematics,” in Philosophy of Mathematics, p. 78. Beachten Sie die Korrelation, die Brouwer zwischen “Life” und “Wissenschaft” auf der einen Seite (die eine religiöse Weltsicht ausdrückt) und der Mathematik auf der anderen herstellt.An anderer Stelle bekennt er seine philosophische Schuld an Kant, “Intuitionismus und Formalismus,” in ebenda., P. 69.

9 Arend Heyting, “Disputation,” in Philosophy of Mathematics, p. 61.

10 Vgl. Luitzen E. J. Brouwer, “Intuitionismus und Formalismus,” in ebenda., P. 77, und Arend Heyting, “Disputation,” in ebenda., P. 56, zur intuitiven Diskussion ähnlicher Fragen wie A und B.

11 Zur Bewertung der nichteuklidischen Geometrie aus christlicher Sicht vgl. die Diskussion in Dirk H. Th. Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde van Theistisch Standpunt (Amsterdam: Mi. G. Van Soest, 1918), S. 140-147.

12 Vgl. beispielsweise die Diskussion in John J. C. Smart, Hrsg., Problems of Space and Time (New York: The Macmillan Company, 1964).

13 “Sollen wir, Poincaré folgend, diese Ergebnisse [des physikalischen Experiments] auf den Einfluss einer zu diesem Zweck postulierten äußeren Kraft zurückführen? Oder sollen wir unsere Erkenntnisse für bare Münze nehmen und die Geometrie, zu der wir geführt werden, als natürliche Geometrie für die Physik akzeptieren? Die Antwort auf diese methodische Frage wird weitgehend von der Universalität der so gefundenen Geometrie abhängen - ob die in einer Situation oder einem Feld des physikalischen Diskurses gefundene Geometrie konsequent auf andere ausgedehnt werden kann - und letztendlich teilweise von der Vorliebe des Individuums oder der seiner Kollegen oder seiner Zeit.” Howard P. Robertson, “Geometry as a Branch of Physics,” in Paul A. Schilpp, Hrsg., Albert Einstein: Philosopher-Scientist (Evanston, Abb.: The Library) of Living Philosophers, Inc., 1949), p. 325.

14 Vergleichen Sie die Diskussion in §3.

15 Errett Bishop, Grundlagen der konstruktiven Analyse (New York: McGraw-Hill, 1967).

16 Abraham Robinson, Nichtstandardisierte Analyse (Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1966).

17 Luitzen E. J. Brouwer, “Consciousness, Philosophy, and Mathematics,” in Philosophy of Mathematics, p. 79.

18 Eine Geschichte der griechischen Philosophie, Bd. ich, s. 265.

19 “Toute 1’entreprise de Leibnizconsiste à créer une logique de 1’innni, preist nicht ses Doktrinen, Mathematik, Körperbau, Metaphyse, theologiques et Moral, ne sont que des facts divers.”-“Das ganze Unterfangen von Leibniz besteht darin, eine Logik der Unendlichkeit zu schaffen, von der alle seine Lehren, mathematisch, physisch, metaphysisch, theologische, und Moral-, sind nur diverse Aspekte” (kursiv von mir). Emile Bréhier, Histoire de la Philosophie, Tome II (Paris: Presses Universitaires de France, 1968), S. 210.

20 Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde, S. 188, und Herman Dooyeweerd, A New Critique of Theoretical Thought, Bd. II (Philadelphia: Presbyterian and Reformed Publishing Co., 1969), S. 45, 87, 340. Dooyeweerds christliche Philosophie betrachtet Antinomien als sicheres Zeichen spekulativen Denkens, das die Grenzen der Kreatur nicht erkennt (ebenda., P. 38).

21 Hier folgen wir Van Tils Praxis (z. B. Ein Überblick über die christliche Epistemologie, pp. 210-223) nichtchristliche Weltanschauungen, ob “neutral,” pantheistisch, deistisch oder atheistisch, durch ihre wahren Farben zu beschreiben. Der einzig wahre Theismus ist derjenige, der den wahren Gott, den Vater Jesu Christi, anbetet und ihm dient (1. Johannes 2:22-24, 2. Johannes 7-9), der ihn als Herrn aller anerkennt (1. Kor. 8,6 Eph. 1:21 Apostelgeschichte 10:36). Alles andere ist Götzendienst (Röm 1,22-25). Wir werden die Bedeutung eines radikal biblischen Ansatzes in §§19-26 weiter untersuchen.

22 “Wenn wir sagen, dass analytische Aussagen [zu denen Ayer mathematische Aussagen einschließt] keinen sachlichen Inhalt haben und folglich nichts aussagen, so meinen wir nicht, dass sie in der Weise sinnlos sind, wie metaphysische Äußerungen sinnlos sind. Denn obwohl sie uns keine Informationen über eine empirische Situation geben, erhellen sie uns doch, indem sie die Art und Weise veranschaulichen, wie wir Verwenden Sie bestimmte Symbole” (kursiv von mir). Alfred Jules Ayer, “The A priori,” in Philosophie der Mathematik , p. 295. Derselbe Artikel enthält einige Diskussionen über Mill’s und Russell’s Ansichten über mathematisches Wissen.

23 Ludwig Wittgenstein, Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik, herausgegeben und bearbeitet von G. H. von Wright, R. Rhees, G. E. M. Anscombe (Oxford: Basil Blackwell, 1967), S. 4,6.

24 “Die A priori,” in Philosophie der Mathematik , p. 300.

25 Vgl. zum Beispiel Ernest Nagel: “Die Wahl zwischen alternativen Systemen regulativer Prinzipien [in Logik und Mathematik] wird dann nicht willkürlich sein und eine objektive Grundlage haben, die Wahl wird jedoch nicht auf dem angeblich größeren Inhärenten beruhen Notwendigkeit eines logischen Systems gegenüber einem anderen, aber von der relativ größeren Angemessenheit eines von ihnen als Instrument, um eine gewisse Systematisierung des Wissens zu erreichen.” “Logic Without Ontology,” in Philosophy of Mathematics, S. 317.

26 Kurt Gödel, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I,” Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-198 “On formal unentscheidbare propositions of Principia mathematica and related systems” B. Meltzer (Edinburgh und London: Oliver und Boyd, 1962). Vgl. auch Carnaps Verallgemeinerung, dass jede formale Arithmetik fehlerhaft ist. Rudolf Carnap, The Logical Syntax of Language (New York: Harcourt, Brace and Company, 1937), §60d.

27 Kenneth L. Pike, Language in Relation to a Unified Theory of the Structure of Human Behavior, 2. überarbeitete Auflage (Den Haag-Paris: Mouton & Co., 1967).

28 Cornelius Van Til, A Survey of Christian Epistemology, S. 200-201, 94-99, und The Defense of the Faith, 13-14, 41-46.

29 Albert Einstein, S. 285, zitiert aus Science, Philosophy and Religion: A Symposium (New York: Harper & Row, 1941). In ähnlicher Weise nennt E. P. Wigner diese Formulierbarkeit physikalischer Gesetze in mathematischen Begriffen einen “Glaubensartikel” und ein “Wunder. . . die wir weder verstehen noch verdienen.” “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,” Communications on Pure and Applied Mathematics, 13 (1960): 10,14.

30 Dooyeweerd, Eine neue Kritik, Bd. II, S. 47, 91, 103, 106, 385 usw. Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde , S. 20-138, 200-402 Vollenhoven, “Problemen en Richtingen in de Wijsbegeerte der Wiskunde,” Philosophia Reformata 1 (1936): 162-187 DFM Strauss, “Number-Concept and Number-Idea,” Philosophia Reformata 35 (1970): 156-177 und 36 (1971): 13-42.

31 Cornelius Van Til, Christliche Theistische Ethik, Bd. III der Reihe Zur Verteidigung des biblischen Christentums (Philadelphia: den Dulk Christian Foundation, 1971).

32 Cornelius Van Til, An Introduction to Systematic Theology (Philadelphia: Westminster Theological Seminary, Lehrplan, 1966), S. 11-12 Dirk H.Th. Vollenhoven, Het Calvinisme en de Reformatie van de Wijsbegeerte (Amsterdam: H. J. Paris, 1933), S. 50-51.

33 Wir glauben nicht, dass Jesus oder die große Gruppe seiner palästinensischen Zeitgenossen Ecclesiasticus oder andere sogenannte apokryphe Bücher in irgendeiner Weise als das Wort Gottes betrachteten. Dennoch sind diese Passagen interessant, weil sie zeigen, welche Denkweise über die Frage der Weisheit in der Luft lag, und sie zeigen den Kontext, in dem Juden Jesu Aufruf verstanden hätten, “ zu ihm zu kommen” und zu ” 8220Nimm sein Joch.” Selbst wenn gezeigt werden könnte, dass Jesus speziell auf Ecclesiasticus anspielt (und nicht nur auf die jüdische Weisheitstradition, für die Sir ein Beispiel ist), würde dies nicht mehr beweisen als Paulus’ Anspielung auf das Griechische Dichter in Apostelgeschichte 17:28.

34 Auch die Philosophie der Rechtsidee oder Amsterdamer Philosophie fällt, obwohl sie eine radikal christliche Haltung beansprucht, einem alten Häresie-Sabellianismus zum Opfer. Der numerische Aspekt, der mathematischen Gesetzen unterliegt, tritt nach Dooyeweerd nur als einer der vielfältigen Aspekte der kosmischen Zeitordnung auf. Eine neue Kritik, Bd. ich, pp. 3, 24, 29, Fn. 31-32. Und die kosmische Zeit beinhaltet nicht Gott, den Ewigen. Ebenda., fn. P. 31. Daher können Gott selbst keine numerischen Eigenschaften zugeschrieben werden. 1 + 1 + 1 = 3 kann als theoretische Aussage nicht über Gott sprechen. “Die modalen Konzepte von Gesetzen und von Subjekt und Objekt beschränken sich im Wesentlichen auf einen besonderen Aspekt. Anders als die kosmonomische Idee weisen diese Modalkonzepte an sich nicht über die Bedeutungsvielfalt hinaus auf den transzendenten Ursprung und die Totalität hin.” Ebenda., P. 97. Wenn diese Beschränkungen für bare Münze genommen werden, führen sie zu einer entschieden sabellischen (modalistischen) Sicht der Dreifaltigkeit. Vgl. das Papier des Autors, “Sabellianism in the Philosophy of the Law-Idea,” Philosophia Reformata (erscheint).

35 J. M. Spier, Eine Einführung in die christliche Philosophie, 2. Aufl. (Nutley, N.J.: The Craig Press, 1966), S. 30-130. Spier popularisiert die Taxonomie von A New Critique, Vol. II. Vgl. auch Vern Poythress, “An Approach to Evangelical Philosophy of Science,” Th.M. Dissertation, Westminster Theological Seminary, 1974.

36 Wir sprechen hier nicht vom Himmel im herkömmlichen Sinne, da der Himmel ein geschaffener Ort ist (Apg 4,24 Neh 9,6). Da Gott alles außerhalb seiner selbst gemacht hat (Kol 1,16), ist sein ewig Wohnung kann nichts anderes sein als Gott selbst. Denn in der trinitarischen Gemeinschaft ist Er selbst eine vollkommene “Wohnstätte”, Er braucht nicht zu erschaffen, um sich selbst eine Wohnstätte zu machen. In der Tat fragen wir uns vielleicht, ob die Anführungszeichen herum gesetzt werden sollten unser „Wohnungen“, anstatt Seine: Seine Wohnung ist das Original.

37 Die Verteidigung des Glaubens, S. 154, 159.

38 Für eine ausführliche Diskussion von Motiv, Anspruch und Ziel vgl. Christlich-theistische Ethik.


3. Die Logik-These

Es wird oft behauptet, dass sich die Theorien PFO und PFO+ als &ldquoreine Logik&rdquo qualifizieren. Wir bezeichnen diese (zugegebenermaßen vage) Behauptung als die Logik-These. Da die entsprechenden Sprachen durch die Übersetzung (Tr) ins gewöhnliche Englisch interpretiert werden, ist dies eine Behauptung über die Logik bestimmter Axiome und Inferenzregeln des gewöhnlichen Englischen. [12]

Noch bevor die Logik-These präzisiert wird, ist es möglich, zumindest für einige der Axiome und Inferenzregeln von PFO und PFO+ ihre Plausibilität zu beurteilen. Da sind zunächst die Tautologien und die Inferenzregeln für die Identität und die singulären Quantoren. Es besteht breiter Konsens, dass diese als logisch einzustufen sind. Als nächstes gibt es die Inferenzregeln, die die mehreren Quantoren regeln. Da diese Regeln den Regeln für die singulären Quantoren völlig analog sind, ist es kaum zu leugnen, dass auch sie sich als logisch qualifizieren. Dann gibt es die Extensionalitätsaxiome und das Axiom, dass alle Pluralitäten nicht leer sind. Diese Axiome sind unproblematisch, weil sie plausibel für analytisch gehalten werden können. Was bleibt, sind die pluralen Verständnis-Axiome, bei denen die Dinge viel weniger klar sind. Denn diese Axiome haben keine offensichtlichen singulären Entsprechungen, und ihre syntaktische Form weist darauf hin, dass sie existenzielle Ansprüche stellen. Es ist also nicht offensichtlich, dass diese Axiome als rein logisch angesehen werden können.

Das soll nicht heißen, dass dies nicht der Fall ist geschlagen Menschen als offensichtlich, dass die pluralen Verständnis-Axiome rein logisch sind. Boolos behauptet zum Beispiel ohne Argument, dass die Übersetzung jedes Pluralverständnis-Axioms ins Englische &ldquoausdrückt a logisch Wahrheit, wenn irgendein englischer Satz dies tut (Boolos 1985b: 342 [1998a: 167] seine Hervorhebung).

Um die Logikalitätsthese prinzipieller zu beurteilen, muss noch mehr darüber gesagt werden, was es bedeuten könnte, wenn eine Theorie „rein logisch&rdquo ist. Daher werde ich nun einige der Merkmale überblicken, von denen allgemein angenommen wird, dass sie bei einer solchen Definition eine Rolle spielen. Obwohl es den Menschen freisteht, das Wort &ldquologic&rdquo zu verwenden, ist es wichtig, sich darüber im Klaren zu sein, welche unterschiedlichen Verwendungen es mit sich bringen . Im nächsten Abschnitt, in dem verschiedene Anwendungen der pluralen Quantifizierung diskutiert werden, werde ich sorgfältig darauf hinweisen, welche Stämme des Begriffs der Logik unsere Theorien PFO und PFO+ besitzen müssen, damit ihre verschiedenen Anwendungen erfolgreich sind.

Der vielleicht am wenigsten umstrittene Kandidat für ein entscheidendes Merkmal der Logik ist sein absolute Allgemeingültigkeit. Ein logisches Prinzip gilt in jeder Art von Diskurs, egal mit welcher Art von Objekten dieser Diskurs befasst ist. Der Modus Ponens beispielsweise gilt nicht nur in der Physik und Mathematik, sondern auch in der Religion und in der Analyse von Werken der Belletristik. Frege fängt die Idee gut ein, wenn er sagt, dass ein logisches Prinzip im &ldquot;weitesten Bereich von allen [&hellip] nicht nur das Tatsächliche, nicht nur das Anschaubare, sondern alles Denkbare&rdquo gilt&rdquo (Frege 1884: 21). Während also die Prinzipien der Physik nur in der realen Welt und in ihr nomologisch ähnlichen Welten gelten, regeln die Prinzipien der Logik alles denkbar. Wird eines dieser Prinzipien geleugnet, entsteht &bdquo völlige Verwirrung&rdquo (ebenda.).

Ein weiteres Merkmal, von dem allgemein angenommen wird, dass es die Logik definiert, ist seine Formalität: die Wahrheit eines logischen Prinzips wird durch die bilden des Denkens und/oder der Sprache und hängt in keiner Weise von seiner Angelegenheit. Was dieses Merkmal bedeutet, hängt offensichtlich davon ab, wie der Unterschied zwischen Form und Materie verstanden wird. Die populärste Erklärung der Unterscheidung zwischen Form und Materie leitet sich aus der weit verbreiteten Ansicht ab, dass keine Objekte aus konzeptioneller Notwendigkeit existieren (Field 1993 Yablo 2000). Aus dieser Sicht ist es natürlich, alles, was mit der Existenz von Gegenständen und ihren besonderen Eigenschaften zu tun hat, eher dem Gedanken als seiner Form zuzuordnen. Dies führt zu zwei Merkmalen, die oft als Definition der Logik angesehen werden. Erstens muss Logik sein ontologisch unschuldig das heißt, ein logisches Prinzip kann keine neuen ontologischen Verpflichtungen einführen (Boolos 1997 Field 1984). Zweitens dürfen die Grundbegriffe der Logik nicht zwischen verschiedenen Objekten unterscheiden, sondern müssen sie alle gleich behandeln. Diese letztere Idee wird oft als die Forderung formuliert, dass logische Begriffe unter Permutationen des Objektbereichs invariant sein müssen (Tarski 1986).

Ein drittes Merkmal, das oft als Definition der Logik angesehen wird, ist ihre (angebliche) kognitiver Primat. Primitive logische Begriffe müssen vollständig verstanden werden, und unser Verständnis von ihnen muss in dem Sinne direkt sein, dass es von einem Verständnis von Begriffen abhängt, die als außerlogisch klassifiziert werden müssen, oder diese beinhaltet. Nehmen wir zum Beispiel an, dass bestimmte mengentheoretische Prinzipien als extralogisch anzusehen sind. Dann kann unser Verständnis der primitiven logischen Begriffe nicht von diesen Prinzipien abhängen oder diese beinhalten.


Mathletics ist für Lehrer und Eltern, die ihre Schüler für das Mathematiklernen begeistern möchten

Für Schulen

Beobachten Sie, wie Ihre Lernenden wachsen

Mathletik gibt Ihren Schülern die Möglichkeit, das Lernen selbst in die Hand zu nehmen und ihre Autonomie, Problemlösungs- und Fähigkeit zum selbstständigen Arbeiten zu entwickeln.

Passend zu Ihrem Stil

Sie müssen nichts ändern – Mathletics kann durch flexible Unterrichtsplanung und Berichterstattung an Ihren Unterrichtsstil angepasst werden.

Entwickelt, um zu fesseln

Durch intrinsische und extrinsische Belohnungen bringen wir Sinn, Kreativität und Spaß in das Mathematiklernen.

Für Zuhause

Mathe zu Hause

Unterstützen Sie das Mathematiklernen Ihrer Schüler dort, wo sie sich am sichersten fühlen. Mathletik zu Hause kann Eltern, Tutoren und Heimlehrern die Möglichkeit geben, den Mathematik-Lernweg ihrer Kinder durch detaillierte Einblicke und Berichte zu gestalten.

Lernen mit Spaß

Das beste Lernen ist angenehmes Lernen. Mathletics verbindet intrinsische (interne) und extrinsische (externe) Belohnungen mit kreativen Abenteuern, um fesselnde Erfahrungen zu schaffen, die das Wissen und die Fähigkeiten der Lernenden auf die Probe stellen.

Lehrplanorientiert

Basierend auf soliden lehrplanorientierten Inhalten und von einem Team erfahrener Pädagogen entwickelt, ergänzt und verstärkt Mathletics die Schularbeiten und das Lernen im Klassenzimmer, wobei die volle Kontrolle in den Händen der Eltern, Tutoren oder Heimlehrer liegt.


Arten von Beziehungen

Das Leere Beziehung zwischen den Mengen X und Y oder auf E ist die leere Menge $emptyset$

Das Vollständige Beziehung zwischen den Mengen X und Y ist die Menge $X imes Y$

Das Identitätsbeziehung auf Menge X ist die Menge $lbrace (x, x) | x in X brace$

Die inverse Relation R' einer Relation R ist definiert als &minus $R' = lbrace (b, a) | (a, b) in R brace$

Beispiel &minus Wenn $R = lbrace (1, 2), (2, 3) brace$ dann ist $R' $ $lbrace (2, 1), (3, 2) brace$

Eine Relation R auf Menge A heißt Reflexiv wenn $forall a in A$ auf a bezogen ist (aRa gilt)

Beispiel &minus Die Beziehung $R = lbrace (a, a), (b, b) brace$ auf der Menge $X = lbrace a, b brace$ ist reflexiv.

Eine Relation R auf Menge A heißt Irreflexiv wenn kein $a in A$ auf a bezogen ist (aRa gilt nicht).

Beispiel &minus Die Beziehung $R = lbrace (a, b), (b, a) brace$ auf der Menge $X = lbrace a, b brace$ ist irreflexiv.

Eine Relation R auf Menge A heißt Symmetrisch wenn $xRy$ $yRx$ impliziert, $forall x in A$ und $forall y in A$.

Beispiel &minus Die Relation $R = lbrace (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3) brace$ auf der Menge $A = lbrace 1, 2, 3 brace$ ist symmetrisch.

Eine Relation R auf Menge A heißt Antisymmetrisch wenn $xRy$ und $yRx$ impliziert $x = y : forall x in A$ und $forall y in A$.

Beispiel &minus Die Beziehung $R = lbrace (x, y) o N |:x leq y brace$ ist antisymmetrisch, da $x leq y$ und $y leq x$ impliziert $x = y$ .

Eine Relation R auf Menge A heißt Transitiv wenn $xRy$ und $yRz$ $xRz impliziert, für alle x,y,z in A$.

Beispiel &minus Die Relation $R = lbrace (1, 2), (2, 3), (1, 3) brace$ auf der Menge $A = lbrace 1, 2, 3 brace$ ist transitiv.

Eine Beziehung ist ein Äquivalenzrelation wenn es reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Beispiel &minus Die Relation $R = lbrace (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2,1), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1) brace$ auf Menge $A = lbrace 1, 2, 3 brace$ ist eine Äquivalenzrelation, da sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.


Schau das Video: Pluralismus (September 2021).