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3.1: Graphen quadratischer Funktionen


Quellen: A_Bücherregale/Precalculus/Book:_Precalculus_(OpenStax)/03:_Polynomial_and_Rational_Functions/303:_Quadratic_Functions (von Jay Abramson) M_Bücherregale/Algebra/Book:_Intermediate_Algebra_(OpenStax)/09:_Quadratic_Equations_and_Functions/9.07:_Graph_Quadratic_Functions_Using_Properties (von Lynn Marecek)
m_Bücherregale/Algebra/Book:_Intermediate_Algebra_(OpenStax)/09:_Quadratic_Equations_and_Functions/9.08:_Graph_Quadratic_Functions_Using_Transformations

Graphen quadratischer Funktionen

EIN Quadratische Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom definiert wird, dessen größter Exponent zwei ist. Das bedeutet, dass es in der Form (f(x)=ax^2+bx+c) geschrieben werden kann, mit den Einschränkungen, dass (a) NICHT Null sein kann und (a), (b ) und (c) sind reelle Zahlen.

Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine U-förmige Kurve namens a Parabel. Es gibt bestimmte wichtige Merkmale, die in einem Diagramm zu sehen sind und die aus einer Gleichung berechnet werden können.

1. Die Orientierung einer Parabel ist, dass sie sich entweder nach oben oder nach unten öffnet

2. Die Scheitel ist der niedrigste oder höchste Punkt im Diagramm

3. Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt geht und die Parabel in zwei gleiche Teile teilt. Wenn (h) die (x)-Koordinate des Scheitelpunkts ist, dann lautet die Gleichung für die Symmetrieachse (x=h).

4. Die maximal oder minimal Wert einer Parabel ist die (y)-Koordinate des Scheitelpunkts.

5. Die (y)-Schnittpunkt ist der Punkt, an dem die Parabel die (y)-Achse schneidet.

Das (x)-Achsenabschnitte sind die Punkte, an denen die Parabel die (x)-Achse schneidet.

6. Die Domain einer Parabel sind alle reellen Zahlen, ( (-infty, infty)).

Das Angebot einer Parabel beginnt oder endet mit dem Wert der (y)-Koordinate des Scheitelpunkts.

Abbildung (PageIndex{1}): Diagramm zur Veranschaulichung der Merkmale einer Parabel .

Beispiel (PageIndex{1}): Identifizieren Sie die Merkmale einer Parabel aus einem Diagramm

Bestimmen Sie die Merkmale der unten abgebildeten Parabel.

Lösung.

Orientierung: öffnet sich

Scheitelpunkt: ((3,1))

Symmetrieachse: (x=3)

Mindestwert: (y=1)

(y)-Achsenabschnitt: ((0,7))
(x)-Schnittpunkt: keine

Domäne: ( (-infty, infty) )
Bereich: ([1, infty))

Formen einer quadratischen Funktion

Es gibt zwei wichtige Formen einer quadratischen Funktion

Definitionen: Formen quadratischer Funktionen

Eine quadratische Funktion ist eine parabolische Funktion zweiten Grades. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

  • Das generelle Form einer quadratischen Funktion ist (f(x)=ax^2+bx+c) mit reellen Zahlenparametern (a), (b) und (c) und (a{ eq }0).
  • Das Standardform einer quadratischen Funktion ist (f(x)=a(x−h)^2+k) mit reellen Zahlenparametern (a), (h) und (k) und (a { eq}0). Standardform ist auch bekannt als Scheitelpunktform.

Der Graph von (f(x)=a(x−h)^2+k) ist ein Graph von (y=x^2), der einige Transformationen erfahren hat. Die Reihenfolge, in der diese Transformationen durchgeführt werden, wird in den folgenden Schritten überprüft.

  1. Wenn (h>0), verschiebt sich der Graph nach rechts (h) Einheiten und wenn (h<0), verschiebt sich der Graph nach links (h) Einheiten.
  2. Falls (a<0), wurde der Graph über der (x)-Achse gespiegelt.
  3. Der Betrag von (a) gibt die Dehnung des Graphen an. Wenn (|a|>1) liegt eine vertikale Dehnung vor, da sich der einem bestimmten (x)-Wert zugeordnete Punkt weiter von der (x)-Achse entfernt und der Graph schmaler zu werden scheint. Bei (|a|<1) gibt es jedoch eine vertikale Komprimierung, da sich der einem bestimmten (x)-Wert zugeordnete Punkt näher an die (x)-Achse verschiebt und der Graph breiter zu werden scheint.
  4. Wenn (k>0), verschiebt sich der Graph um (k) Einheiten nach oben, während bei (k<0) der Graph (k) Einheiten nach unten verschoben wird.

Zusammenfassend ist klar, dass der Knoten im Punkt ((h, k)) liegt. Wenn die Gleichung in Standardform vorliegt, ist es daher sehr einfach, den Ort des Scheitelpunkts zu bestimmen.

Die Lage des Scheitelpunkts, wenn die Gleichung in allgemeiner Form vorliegt, kann dadurch bestimmt werden, dass diese beiden Formen einer quadratischen Gleichung dieselbe Funktion beschreiben. Eine Formel für (h) kann also gefunden werden, indem die Standardform erweitert und der allgemeinen Form gleichgesetzt wird.

[egin{align*} a(x−h)^2+k &= ax^2+bx+c [4pt] ax^2−2ahx+(ah^2+k)&=ax^2+ bx+c end{ausrichten*} ]

Damit die linearen Terme gleich sind, müssen die Koeffizienten gleich sein.

[–2ah=b ext{, also } h=−dfrac{b}{2a}. keine Nummer]

Dies ist die (x)-Koordinate des Scheitelpunkts. Um die entsprechende (y)-Koordinate des Scheitelpunkts zu ermitteln, werte die Funktion aus, wenn (x=h) gilt. Mit anderen Worten, (f(h)=k).

Eigenschaften des Graphen einer quadratischen Funktion hängen von den Parameterwerten (a), (b), (c) oder (a), (h), (k) in seine Gleichung. Eine Zusammenfassung, wie die Eigenschaften der Parabel für eine quadratische Funktion erhalten werden können, ist unten zusammengefasst.

HowTo: Finden von Merkmalen einer Parabel bei einer quadratischen Gleichung

  • Orientierung
    • (a > 0), die Parabel öffnet sich hoch ( stackrel {+ ::: +} {igcup} )
    • (a < 0 ), die Parabel öffnet sich Nieder ( stackrel{- ::: -}{igcap } )
  • Das Scheitel befindet sich bei ((h,k)).
    • Wenn die Funktion in allgemeiner Form vorliegt, berechne (h) und (k): (h=dfrac{-b}{2a}, qquad k=f(h)=f(dfrac{− b}{2a}).)
  • Das Symmetrieachse, (x=h) ist der ( underline { extrm{Gleichung}} ) der vertikalen Linie durch den Scheitelpunkt.
  • Das maximaler oder minimaler Wert hängt von der (y)-Koordinate (k) des Scheitels und der Orientierung der Parabel ab
    • Wenn sich die Parabel öffnet ((a > 0)), ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt des Graphen, also hat der Graph a Minimum Wert (k).
    • Wenn sich die Parabel nach unten öffnet ((a < 0)), ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt im Graphen, also hat der Graph a maximal Wert (k)
  • Das Domain ist immer (mathbb{R}) oder ((-infty, infty)).
    Das Angebot hängt von der (y)-Koordinate (k) des Scheitels und der Orientierung der Parabel ab
    • Wenn sich die Parabel öffnet, ((a > 0)), ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt des Graphen, so dass die Angebot der Funktion ist ( [k,infty)).
    • Wenn sich die Parabel nach unten öffnet, ((a < 0)), ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt im Graphen, so dass die Angebot der Funktion ist ((-infty, k]).
  • Abschnitte sind die Punkte, an denen die Parabel die Achsen kreuzt.
    • Die (x)-Achsenabschnitte sind die Punkte ((s, 0)), wobei (s) eine reelle Lösung von (f(x)=0) ist
    • Der (y)-Achsenabschnitt ist der Punkt ((0, f(0))).

Orientierung

Wenn der quadratische Term positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben, und wenn der quadratische Term negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten.

Beispiel (PageIndex{2}): Bestimme die Orientierung einer Parabel

Bestimmen Sie, ob sich jede Parabel nach oben oder unten öffnet:

A. (f(x)=-3 x^{2}+2 x-4)

A. Lösung:

Finden Sie den Wert von (a).

(quad) Da (a) negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten.

B. (f(x)=6 (x+1)^{2}-11)

B. Lösung:

Finden Sie den Wert von (a).

(f(x) = a(x - h)^2 + k)
(f(x)=6(x+1)^2-11)

(a=6)

(quad) Da (a) positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

Probieren Sie es aus (PageIndex{2})

Bestimmen Sie, ob der Graph jeder Funktion eine nach oben oder unten geöffnete Parabel ist:

  1. (f(x)=2x^{2}+5x-2)
  2. (f(x)=-3(x-4)^{2}+7)
Antworten
  1. nach oben (qquad) b. Nieder
  1. (f(x)=-2 x^{2}-2 x-3)
  2. (f(x)=5(x+1)^{2}+4)
Antworten
  1. nach unten (qquad) d. hoch

Scheitelpunkt und Symmetrieachse

Bei einer quadratischen Einheit in der Standardform (f(x)=a(x−h)^2+k) ist der Scheitelpunkt und die Symmetrieachse leicht zu finden, sobald die Parameter (h) und (k) wurde identifiziert. (Beachten Sie das Vorzeichen auf (h)!!) Der Scheitelpunkt ist ((h, k)) und die Symmetrieachse ist die vertikale Linie (x=h).

Wenn ein Quadrat in allgemeiner Form gegeben ist: (f(x)=ax^2+bx+c), sind weitere Berechnungen erforderlich. Nachdem Sie die Parameter (a) und (b) identifiziert haben, berechnen Sie (h=–dfrac{b}{2a}) und berechnen Sie dann die Funktion für diesen Wert von (x), um das entsprechende (y)-Koordinate für diesen Punkt im Graphen: ( k=f(h) ). Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, daher lautet ihre Gleichung ( x=h).

Beispiel (PageIndex{3a}): Ermitteln Sie den Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung

Für den Graphen von (f(x)=3x^{2}-6 x+2) finde:

  1. die Symmetrieachse
  2. der Scheitel

Lösung:

( egin{array}{llc}
ext{a.} & ext{Identifizieren Sie die Gleichungsparameter} & a=3, b=-6, c=2
& ext{Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie } x=-frac{b}{2 a} &
& ext{Setze die Werte }a ext{ und } b ext{ in die Formel ein} & x=-frac{-6}{2 cdot 3}
& ext{Vereinfachen.} & x=1
&& ext{Die Symmetrieachse ist die Gerade } x=1
end{array} )

( egin{array}{llc}
ext{b.} & ext{Der Scheitel ist ein Punkt auf der Symmetrielinie, also} & ext{ Die } x ext{-Koordinate des Scheitels ist } x=1
& ext{Die }y ext{-Koordinate ist }f(1) & f(1)=3({color{red}{1}})^2-6({color{red}{1 }})+2
& ext{vereinfachen} & f(1) = 3-6+2
& ext{Das Ergebnis ist die }y ext{-Koordinate des Scheitelpunkts.} & f(1)=-1
&& ext{Der Scheitelpunkt ist } (1, -1)
end{array} )

Beispiel (PageIndex{3b}): Ermitteln Sie den Scheitelpunkt aus der Standardform der quadratischen Gleichung

Für den Graphen von (f(x)=6(x-3)^{2}+4) finde:

  1. die Symmetrieachse
  2. der Scheitel

Lösung:

( egin{array}{lll}
ext{a.} & ext{Identifizieren Sie die Gleichungsparameter} & a=6, h=3, k=4
& ext{Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie } x=h &
& ext{Ersatz.} & ext{Die Symmetrieachse ist die Gerade } x=3
\
ext{b.} & ext{Verwende die Gleichungsparameter} & a=6, h=3, k=4
& ext{Der Scheitel ist der Punkt } (h, k) & ext{Der Scheitel ist der Punkt } (3,4)
end{array} )

Probieren Sie es aus (PageIndex{3})

Für die folgenden quadratischen Funktionen finden Sie a. die Symmetrieachse und b. der Scheitel

(f(x)=2x^{2}-8 x+1)

Antworten
  1. (x=2) (qquad) b. ((2,-7))

(f(x)=2(x-1)^{2}-5)

Antworten
  1. (x=1) (qquad) b. ((1,-5))

Minimaler oder maximaler Wert einer quadratischen Funktion

Zu wissen, dass die Scheitel einer Parabel ist der niedrigste oder höchste Punkt der Parabel gibt uns eine einfache Möglichkeit, den minimalen oder maximalen Wert einer quadratischen Funktion zu bestimmen.

Das (y)-Koordinate des Scheitelpunkts des Graphen einer quadratischen Funktion ist

  • das Minimum Wert der quadratischen Gleichung, wenn sich die Parabel öffnet nach oben.
  • das Maximum Wert der quadratischen Gleichung, wenn sich die Parabel öffnet nach unten.

Beispiel (PageIndex{4})

Ermitteln Sie den minimalen oder maximalen Wert der quadratischen Funktion (f(x)=x^{2}+2 x-8).

Lösung:

( egin{array}{llc}
ext{Identifizieren Sie die Gleichungsparameter} & a=1, b=2, c=-8
ext{Da }a ext{ positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben. } & ext{Die quadratische Gleichung hat ein Minimum.}
ext{Geben Sie die Formel für die Symmetrieachse an } & x=-frac{b}{2 a}
ext{Ersatz.} & x=-frac{2}{2 cdot 1}
ext{Vereinfachen.} & x=-1 qquad qquad ext{Die Symmetrieachse ist die Gerade } x=-1
& qquad qquad qquad quad ext{ Die } x ext{-Koordinate des Scheitelpunkts ist } x=-1
ext{Die }y ext{-Koordinate ist }f(-1) & f(-1)=({color{red}{-1}})^2-2({color{red}{ -1}})-8
ext{Vereinfachen} & f(-1) = 1-2-8
ext{Das Ergebnis ist die }y ext{-Koordinate des Scheitels.} & f(-1)=-9 qquad ext{Der Scheitel ist } (-1, -9)
end{array} )

Da die Parabel ein Minimum hat, ist die (y)-Koordinate des Scheitelpunkts der minimale (y)-Wert der quadratischen Gleichung. Der minimale Wert des Quadrats ist (-9) und tritt auf, wenn (x=-1).

Probieren Sie es aus (PageIndex{4})

Finden Sie den maximalen oder minimalen Wert der quadratischen Funktion

  1. (f(x)=x^{2}-8 x+12).
  2. (f(x)=-4(x-2)^{2}+5).
Antworten

A. Der minimale Wert der quadratischen Funktion ist (−4) und tritt auf, wenn (x=4) ist.

B. Der Maximalwert der quadratischen Funktion ist (5) und tritt auf, wenn (x=2).

Domäne und Reichweite

Jede Zahl kann der Eingabewert ( (x) ) für eine quadratische Funktion sein. Daher ist der Definitionsbereich jeder quadratischen Funktion alle reellen Zahlen. Da Parabeln einen maximalen oder einen minimalen Punkt haben, ist die Reichweite eingeschränkt. Da der Scheitelpunkt einer Parabel entweder ein Maximum oder ein Minimum ist, besteht der Bereich aus allen (y)-Werten größer oder gleich der (y)-Koordinate am Wendepunkt oder kleiner oder gleich zur (y)-Koordinate am Wendepunkt, je nachdem ob sich die Parabel nach oben oder unten öffnet.

Bestimmen Sie bei einer gegebenen quadratischen Funktion den Bereich und den Bereich.

  1. Das Domain einer quadratischen Funktion ist immer (mathbb{R}) oder ((-infty, infty)).
  2. Bestimmen Sie den maximalen oder minimalen Wert der Parabel, (k)
    1. Hat die Funktion die Form (f(x)=a(x−h)^2+k), dann ist der Wert von (k) leicht als einer der Parameter sichtbar.
    2. Hat die Funktion die Form (f(x)=ax^2+bx+c), muss der Scheitelpunkt bestimmt werden und der Wert für (k) ist die (y)-Koordinate des Scheitelpunkts.
  3. Bestimmen Sie, ob (a) positiv oder negativ ist.
    1. Wenn (a) positiv ist, hat die Parabel einen Minimalwert von (k) und die Angebot der Funktion ist ( [k,infty)).
    2. Wenn (a) negativ ist, hat die Parabel einen Maximalwert von (k) und die Angebot der Funktion ist ((-infty, k]).

Beispiel (PageIndex{5}): Bestimme den Bereich und den Bereich einer quadratischen Funktion

Finden Sie den Bereich und den Bereich von (f(x)=−5x^2+9x−1).

Lösung

Wie bei jeder quadratischen Funktion besteht der Definitionsbereich aus allen reellen Zahlen.

Da (a) negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten und hat einen Maximalwert.
Der Maximalwert muss ermittelt werden. Beginnen Sie damit, den (x)-Wert des Scheitelpunkts zu ermitteln.

( h=−dfrac{b}{2a} =−dfrac{9}{2(-5)}=dfrac{9}{10} )

Der Maximalwert wird durch (f(h)) angegeben.

(f(frac{9}{10})=−5(frac{9}{10})^2+9(frac{9}{10})-1 = frac{61}{20 })

Der Bereich ist (f(x){leq}frac{61}{20}), oder (left(−infty,frac{61}{20} ight]).

Probieren Sie es aus (PageIndex{5})

Finden Sie den Bereich und den Bereich von (f(x)=2Big(x−frac{4}{7}Big)^2+frac{8}{11}).

Antworten

Die Domäne sind alle reellen Zahlen. Der Bereich ist (f(x){geq}frac{8}{11}), oder (left[frac{8}{11},infty ight)).

Abschnitte

Der (y)-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph die (y)-Achse schneidet. Alle Punkte auf der (y)-Achse haben eine (x)-Koordinate von Null, so dass der (y)-Achsenabschnitt einer Quadratachse durch Auswertung der Funktion (f(0)) gefunden wird.

Die (x)-Achsenabschnitte sind die Punkte, an denen der Graph die (x)-Achse schneidet. Alle Punkte auf der (x)-Achse haben eine (y)-Koordinate von Null, so dass der (x)-Achsenabschnitt einer Quadratachse durch Lösen der Gleichung (f(x)=0 ). Beachten Sie in Abbildung (PageIndex{6}), dass die Anzahl der (x)-Achsenabschnitte je nach Lage des Graphen variieren kann.

Gegeben eine quadratische Funktion (f(x)) finden Sie die (y)- und (x)-Achsenabschnitte.

  1. Werte (f(0)) aus, um den (y)-Achsenabschnitt zu finden.
  2. Löse die quadratische Gleichung (f(x)=0), um die (x)-Achsenabschnitte zu finden.

Beispiel (PageIndex{6}): Ermittlung der (y)- und (x)-Achsenabschnitte einer Allgemeinen Form Quadratisch

Finden Sie die (y)- und (x)-Achsenabschnitte der quadratischen (f(x)=3x^2+5x−2).

Lösung

Finden Sie den (y)-Achsenabschnitt durch Auswertung von (f(0)).

( f(0)=3(0)^2+5(0)−2 =−2 )

Der (y)-Achsenabschnitt liegt also bei ((0,−2)).

Finden Sie für die (x)-Achsenabschnitte alle Lösungen von (f(x)=0).

(0=3x^2+5x−2)

In diesem Fall kann das Quadrat leicht faktorisiert werden, was die einfachste Lösungsmethode bietet. Typischerweise werden quadratische Gleichungen in allgemeiner Form, wie in diesem Beispiel, normalerweise durch Faktorisieren gelöst oder, wenn dies nicht gelingt, mit der quadratischen Formel oder vervollständigen Sie das Quadrat.

(0=(3x−1)(x+2))

[egin{align*} 0&=3x−1 & 0&=x+2 x&= frac{1}{3} & ext{or} ;;;;;; ;; x&=−2 end{align*} ]

Die (x)-Achsenabschnitte liegen also bei ((frac{1}{3},0)) und ((−2,0)).

Beispiel (PageIndex{7}):

Finden Sie die (y)- und (x)-Achsenabschnitte der quadratischen ( f(x)=x^2+x+2).

Lösung

Finden Sie den (y)-Achsenabschnitt durch Auswertung von (f(0)).

( f(0)=(0)^2+(0)+2 =2 )

Der (y)-Achsenabschnitt liegt also bei ((0,−2)).

Finden Sie für die (x)-Achsenabschnitte alle Lösungen von (f(x)=0) oder ( x^2+x+2 = 0). Dies spielt natürlich keine Rolle, also verwenden Sie die quadratische Formel.

Die quadratische Formel: (x=frac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a}) und für diese Gleichung (a=1), (b=1 ) und (c=2). Das Einsetzen dieser Werte in die Formel ergibt

[egin{align*} x&=dfrac{−1{pm}sqrt{1^2−4⋅1⋅(2)}}{2⋅1} &=dfrac{−1{ pm}sqrt{1−8}}{2} &=dfrac{−1{pm}sqrt{−7}}{2} qquad =dfrac{−1{pm}i sqrt{7}}{2} onumber end{align*}]

Da die Lösungen imaginär sind, gibt es keine (x)-Achsenabschnitte.

Beispiel (PageIndex{8}): Bestimme die (y)- und (x)-Achsenabschnitte einer Standardform Quadratisch

Finden Sie die (y)- und (x)-Achsenabschnitte der quadratischen (f(x)=-2(x+3)^2+5).

Lösung

Finden Sie den (y)-Achsenabschnitt durch Auswertung von (f(0)). Beachten Sie, dass die Menge in Klammern (((0+3)=(3))) ZUERST ausgewertet wird!!!

( egin{ausrichten*}
f(0) &=-2(0+3)^2+5
&=-2(3)^2+5\
&=-2(9)+5\
&=-18+5 = -13\
end{ausrichten*} )

Der (y)-Achsenabschnitt liegt also bei ((0,−13)).

Finden Sie für die (x)-Achsenabschnitte alle Lösungen von (f(x)=0). Das Lösen einer quadratischen Gleichung in Standardform, wie in diesem Beispiel, wird am effizientesten mit der Quadratwurzeleigenschaft erreicht

( egin{array}{c}
0 =-2(x+3)^2+5
2(x+3)^2 =5
(x+3)^2 =dfrac{5}{2}
x+3 =pm sqrt{ dfrac{5}{2}}
x = -3 pm sqrt{ frac{5}{2}}
end{array} )

Die (x)-Achsenabschnitte liegen also bei ( (-3+sqrt{2.5}, 0) ) und ( (-3-sqrt{2.5}, 0) ).

Probieren Sie es aus (PageIndex{8})

Finden Sie die (y)- und (x)-Achsenabschnitte für die Funktion (g(x)=13+x^2−6x).

Antworten

(y)-Achsenabschnitt bei ((0, 13)), keine (x)-Achsenabschnitte

Zeichnen Sie eine quadratische Funktion

In den vorherigen Abschnitten wurden die Teile beschrieben, die zum Zeichnen einer quadratischen Funktion benötigt werden. Eine Zusammenfassung dieser Schritte und Beispiele finden Sie unten.

Zeichnen Sie eine quadratische Funktion in der Form (f(x)=ax^2+bx+c)

  1. Bestimmen Sie, ob sich die Parabel nach oben ( (a > 0) ) oder nach unten ( (a < 0) ) öffnet.
  2. Finden Sie die Gleichung der Symmetrieachse ( x = h ) mit (h=– frac{b}{2a} ).
  3. Finden Sie den Scheitelpunkt ( (h, k) ), wobei ( k = f(h) ).
  4. Finden Sie den (y)-Achsenabschnitt ( f(0) ). Finden Sie den Punkt symmetrisch zum (y)-Achsenabschnitt entlang der Symmetrieachse.
  5. Finden Sie die (x)-Achsenabschnitte. (Setzen Sie (f(x)=0) und lösen Sie nach x mit Faktorisierung, QF oder CTS auf). Suchen Sie bei Bedarf nach zusätzlichen Punkten.
  6. Zeichnen Sie die Parabel.

Beispiel (PageIndex{9}) Wie man eine quadratische Funktion allgemeiner Form unter Verwendung von Eigenschaften grafisch darstellt

Zeichnen Sie (f(x)=x^{2}-6x+8) unter Verwendung seiner Eigenschaften.

Lösung:

Schritt 1: Bestimmen Sie, ob sich die Parabel nach oben oder unten öffnet.

Betrachten Sie (a) in der Gleichung (f(x)=x^{2}-6x+8)

Da (a) positiv ist, öffnet sich die Parabel.

(f(x)=x^{2}-6x+8)
(color{rot}{a=1,; b=-6, ;c=8})

Die Parabel öffnet sich nach oben.

Schritt 2: Finden Sie die Symmetrieachse.

(f(x)=x^{2}-6x+8)

Die Symmetrieachse ist die Gerade (x=-frac{b}{2 a}).

Symmetrieachse

(x=-frac{b}{2 a})

(x=-frac{(-6)}{2 cdot 1})

(x=3)

Die Symmetrieachse ist die Gerade (x=3).

Schritt 3: Finden Sie den Scheitelpunkt.

Der Scheitel liegt auf der Symmetrieachse. Setze (x=3) in die Funktion ein.

Scheitel

(f(x)=x^{2}-6x+8)
(f(3)=(color{red}{3}color{black}{)}^{2}-6(color{red}{3}color{black}{)}+8 )
(f(3)=-1)

Der Scheitelpunkt ist ((3,-1)).

Schritt 4: Finde den (y)-Achsenabschnitt. Finden Sie den Punkt symmetrisch zum (y)-Achsenabschnitt entlang der Symmetrieachse.

Finde (f(0)).

Verwenden Sie die Symmetrieachse, um einen zum (y)-Achsenabschnitt symmetrischen Punkt zu finden. Der (y)-Achsenabschnitt ist (3) Einheiten links von der Symmetrieachse, (x=3). Ein Punkt (3) rechts von der Symmetrieachse hat (x=6).

(y)-Schnittpunkt

(f(x)=x^{2}-6 x+8)
(f(0)=(color{red}{0}color{black}{)}^{2}-6(color{red}{0}color{black}{)}+8 )
(f(0)=8)

Der (y)-Achsenabschnitt ist ((0,8)).

Punkt symmetrisch zum (y)-Achsenabschnitt:

Der Punkt ist ((6,8)).

Schritt 5: Finde die (x)-Achsenabschnitte. Finden Sie bei Bedarf zusätzliche Punkte.

Löse (f(x)=0).

Lösen Sie diese quadratische Gleichung durch Faktorisieren.

(x)-Achsenabschnitte

(f(x)=x^{2}-6 x+8)
(color{rot}{0}color{schwarz}{=}x^{2}-6x+8)
(color{rot}{0}color{schwarz}{=}(x-2)(x-4))
(x=2) oder (x=4)

Die (x)-Achsenabschnitte sind ((2,0)) und ((4,0)).

Schritt 6: Zeichnen Sie die Parabel.

Wir zeichnen den Scheitelpunkt, die Achsenabschnitte und den Punkt symmetrisch zum (y)-Achsenabschnitt. Wir verbinden diese (5)-Punkte, um die Parabel zu skizzieren.

Probieren Sie es aus (PageIndex{9})

Zeichnen Sie die folgenden quadratischen Funktionen mithilfe ihrer Eigenschaften.

A. (f(x)=x^{2}+2x-8)

A. Antworten
öffnet sich, Scheitelpunkt: ((-1,-9)), Achse: (x=-1),
Achsenabschnitte: ((0, -8), (-4,0), (2, 0) ), symm. Punkt: ((-2, -8) )

B. (f(x)=x^{2}-8x+12)

B. Antworten
öffnet sich, Scheitelpunkt: ((4, -4)), Achse: (x=4),
Achsenabschnitte: ( (0, 12), (2, 0), (6, 0) ), Symm.pt: ((8,12))

Zeichnen Sie eine quadratische Funktion in der Form (f(x)=a(x-h)^2+k)

  1. Bestimmen Sie, ob sich die Parabel nach oben ( (a > 0) ) oder nach unten ( (a < 0) ) öffnet.
  2. Finden Sie die Gleichung der Symmetrieachse ( x = h ).
  3. Finden Sie den Scheitelpunkt ( (h, k) ).
  4. Bestimmen Sie den (y)-Achsenabschnitt, ( (f(0) ) Finden Sie den Punkt symmetrisch zum (y)-Achsenabschnitt über der Symmetrieachse.
  5. Finden Sie die (x)-Achsenabschnitte. (Verwenden Sie die Quadratwurzeleigenschaft, um (a(x-h)^2+h=0 zu lösen.) Finden Sie bei Bedarf zusätzliche Punkte.
  6. Zeichnen Sie die Parabel.

Beispiel (PageIndex{10}): Wie man eine quadratische Scheitelpunktform mit Eigenschaften grafisch darstellt

Zeichnen Sie die Funktion (f(x)=2(x+1)^{2}+3) mithilfe ihrer Eigenschaften

Lösung:

Schritt 1: Bestimmen Sie, ob sich die Parabel nach oben oder unten öffnet.

Bestimmen Sie die Konstanten (a, h, k).
Wegen (a=2) öffnet sich die Parabel nach oben.

(a=2,; h=-1,; k=3)
Die Parabel öffnet sich nach oben.

Schritt 2: Finden Sie die Symmetrieachse.

Die Symmetrieachse ist (x=h).

Die Symmetrieachse ist die Gerade (x=-1).

Schritt 3: Finden Sie den Scheitelpunkt.

Der Scheitelpunkt ist ((h,k)).

Der Scheitelpunkt ist ((-1,3)).

Schritt 4: Finden Sie den (y)-Achsenabschnitt. Finden Sie den Punkt symmetrisch zum (y)-Achsenabschnitt entlang der Symmetrieachse.

Finden Sie den (y)-Achsenabschnitt, indem Sie (f(0)) finden.
Der (y)-Achsenabschnitt ist (1) Einheiten rechts von der Symmetrieachse (x=-1). Ein Punkt (1) Einheiten links von der Symmetrieachse hat (x=-2).

(f(0)=2(0+1)^2+3=2(1)+3=5)
Der (y)-Achsenabschnitt ist ((0,5)).

Punkt symmetrisch zum (y)-Achsenabschnitt ist ( (-2,5) )

Schritt 5: Finde die (x)-Achsenabschnitte. Finden Sie bei Bedarf zusätzliche Punkte.

Löse (f(x)=0).
Verwenden Sie die Quadratwurzeleigenschaft.

Diese Gleichung hat imaginäre Lösungen, also gibt es keine (x)-Achsenabschnitte

( egin{array} {c}
2(x+1)^{2}+3=0
2(x+1)^{2}=-3
(x+1)^{2}=-3/2
x+1 = pm sqrt(-3/2)
x=-1 pm isqrt(1.5)
end{array} )

Keine (x) Achsenabschnitte

Schritt 6: Zeichnen Sie die Parabel.

Zeichne den Scheitelpunkt, die Achsenabschnitte und den Punkt symmetrisch zum (y)-Achsenabschnitt. Verbinden Sie diese Punkte, um die Parabel zu skizzieren.

Zwei weitere Punkte:
( f(1) = 2(1+1)^2+3 = 2(2^2)+3=11)
Daher ist ( (1, 11) ) auf dem Graphen.

Aus Symmetriegründen liegt auch der Punkt ( (-3, 11) ) auf dem Graphen

Probieren Sie es aus (PageIndex{10})

Zeichnen Sie die folgenden Funktionen mithilfe von Eigenschaften

A. (f(x)=3(x-1)^{2}+2)

A. Antworten
öffnet sich, Scheitelpunkt: ((1,2)), Achse: (x=1),
Achsenabschnitte: ((0, 5) ), symm. pt: ((2,5) )

B. (f(x)=-2(x-2)^{2}+1)

B. Antworten
öffnet sich nach unten, Scheitelpunkt: ((2,1)), Achse: (x=2),
Achsenabschnitte: ((0, -7), (approx 1.3,0), (approx 2.7, 0)), symm. Punkt: ((4, -7) )

Quadratische Zeichen in Standardform umschreiben

Wie die obigen Beispiele veranschaulichen, ist es oft einfacher, eine quadratische Gleichung in Standardform als in allgemeiner Form darzustellen. Dies gilt insbesondere, wenn Sie versuchen, (x)-Achsenabschnitte für Gleichungen zu finden, die nicht leicht faktorisieren. Es gibt zwei verschiedene Ansätze, um eine Gleichung in allgemeiner Form in eine Gleichung in Standardform (oder Scheitelpunktform) umzuwandeln. Eine Methode verwendet die Formeln für (h) und (k). Die andere Methode verwendet das Quadrat vervollständigen. Beides wird im Folgenden veranschaulicht.

Formelmethode

Schreiben Sie (y=ax^2+bx+c) in Scheitelpunktform um - Formelmethode.

  1. Identifizieren Sie die Konstanten ( a) und (b).
  2. Setze ( a) und (b) in die Formel ein: (h=−frac{b}{2a}).
  3. Setze (x=h) in die allgemeine Form der quadratischen Funktion ein, um (k) zu finden.
  4. Schreiben Sie das Quadrat in Standardform mit (h) und (k) um. Die Standardform der Funktion ist (f(x)=a(x−h)^2+k).

Beispiel (PageIndex{11}): Formelmethode zum Umschreiben in die Standardform

Schreiben Sie die quadratische Funktion (f(x)=2x^2+4x−4) in die Standardform um.

Lösung

Schritt 1. Werte der Parameter in der allgemeinen Form sind (a=2), (b=4) und (c=-4).
Der Parameter (a) ist in beiden Funktionsformen gleich, also (a=2).

Schritt 2. Löse nach (h).

[egin{align*} h&=−dfrac{b}{2a} &=−dfrac{4}{2(2)} =−1 end{align*}]

Schritt 3. Verwenden Sie den gefundenen Wert für (h), um (k) zu finden.

[egin{align*} k&=f(h)=f(−1) &=2(−1)^2+4(−1)−4 =−6 end{align*}]

Schritt 4. Die Standardform der Funktion ist:

[egin{align*} f(x)&=a(x−h)^2+k f(x)&=2(x+1)^2−6 end{align*}]

Probieren Sie es aus (PageIndex{11})

Finden Sie die Standardform für die Funktion (g(x)=13+x^2−6x).

Antworten

(g(x)=(x-3)^2 +4 )

Vervollständigen Sie die quadratische Methode

Eine andere Möglichkeit, (f(x)=ax^{2}+bx+c) in die Form (f(x)=a(x−h)^{2}+k) umzuwandeln, besteht darin, die Platz. Diese Form wird als Scheitelpunktform oder Standardform bezeichnet. Dieser Ansatz wird auch verwendet, wenn Kreise untersucht werden.

Wir müssen darauf achten, die Zahl zur GLEICHEN Seite der Funktion sowohl zu addieren als auch zu subtrahieren, um das Quadrat zu vervollständigen. Wir können die Zahl nicht auf beiden Seiten addieren, wie wir es beim Vervollständigen des Quadrats mit quadratischen Gleichungen getan haben.

Wenn wir das Quadrat in einer Funktion mit einem Koeffizienten von (x^{2}) vervollständigen, der nicht eins ist, müssen wir diesen Koeffizienten aus den (x)-Termen faktorisieren. Wir berücksichtigen ihn nicht aus dem konstanten Term. Oft ist es hilfreich, den konstanten Term etwas nach rechts zu verschieben, um sich nur auf die (x)-Terme konzentrieren zu können.

Sobald wir die Konstante erhalten haben, mit der wir das Quadrat vervollständigen möchten, müssen wir daran denken, sie mit dem Koeffizienten zu multiplizieren, der Teil des (x^2)-Terms war, bevor wir ihn subtrahieren.

Schreiben Sie (y=ax^2+bx+c) in die Scheitelpunktform um - vervollständigen Sie die Quadratmethode.

  1. Trennen Sie die (x)-Terme von der Konstanten.
  2. Wenn der Koeffizient von (x^{2}) nicht 1 ist, ziehe ihn aus den Termen (x^2) und (x) heraus.
  3. Finden Sie die CTS-Konstante, die benötigt wird, um das Quadrat der Terme (x^2) und (x) zu vervollständigen.
  4. Addiere die CTS-Konstante zu den Termen (x^2) und (x) und subtrahiere die CTS-Konstante (multipliziert mit dem Koeffizienten von (x^{2}), falls nicht 1)
  5. Schreiben Sie das Trinom als Binomialquadrat und kombinieren Sie Konstanten außerhalb des Binomialquadrats, um die Standardform der Funktion zu erhalten.

Beispiel (PageIndex{12}): CTS-Methode zum Umschreiben in Scheitelpunktform

Schreiben Sie (f(x)=−3x^{2}−6x−1) in die Form (f(x)=a(x−h)^{2}+k) um, indem Sie das Quadrat vervollständigen.

Lösung:

Schritt 1. Trennen Sie die (x)-Terme von der Konstanten.

(f(x)=−3x^{2}−6x−1)
(f(x)=−3x^{2}−6x qquad qquad−1)

Schritt 2. Faktorisieren Sie den Koeffizienten von (x^{2}, -3).

(f(x)=−3(x^{2}+2x) qquad qquad−1)

Schritt 3. Bereiten Sie sich darauf vor, das Quadrat zu vervollständigen.

(f(x)=−3(x^{2}+2x qquad qquad) −1)

Nimm die Hälfte von (2) und quadriere sie dann, um das Quadrat ((frac{1}{2}cdot 2)^{2}=1) zu vervollständigen.

(f(x)=-3(x^2+2x + largeBox) −1+3 largeBox)

Schritt 4. Die Konstante (1) vervollständigt das Quadrat in Klammern, aber die Klammern werden mit (-3) multipliziert. Wir fügen also wirklich (-3) hinzu. Wir müssen dann (3) hinzufügen, um den Wert der Funktion nicht zu ändern.

Schritt 5. Schreiben Sie das Trinom als Quadrat um und kombinieren Sie die Konstanten.

( f(x) = -3(x+1)^2+2 )

Die Funktion hat nun die Form (f(x)=a(x-h)^{2}+k).

Probieren Sie es aus (PageIndex{12})

Schreiben Sie die folgenden Funktionen in die Form (f(x)=a(x−h)^{2}+k) um, indem Sie das Quadrat vervollständigen.

A. (f(x)=−4x^{2}−8x+1)

A. Antworten

(f(x)=-4(x+1)^{2}+5)

B. (f(x)=2x^{2}−8x+3)

B. Antworten

(f(x)=2(x-2)^{2}-5)

Erhalten Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion aus einem Graphen

Bisher haben wir mit einer Funktion begonnen und dann ihren Graphen gefunden.

Jetzt werden wir den Prozess umkehren. Ausgehend vom Graphen finden wir die Funktion.

HOWTO: Schreiben Sie eine quadratische Funktion in allgemeiner Form

Geben Sie einen Graphen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form an.

  1. Identifizieren Sie die horizontale Verschiebung der Parabel; dieser Wert ist (h). Identifizieren Sie die vertikale Verschiebung der Parabel; dieser Wert ist (k).
  2. Ersetzen Sie (h) und (k) durch die Werte der horizontalen und vertikalen Verschiebung. in der Funktion (f(x)=a(x–h)^2+k).
  3. Ersetzen Sie (x) und (f(x)) durch die Werte eines beliebigen Punktes außer dem Scheitelpunkt des Parabelgraphen.
  4. Lösen Sie nach dem Streckfaktor (|a|) auf.
  5. Wenn sich die Parabel öffnet, ist (a>0). Wenn sich die Parabel nach unten öffnet, gilt (a<0), da dies bedeutet, dass der Graph an der (x)-Achse gespiegelt wurde.
  6. Erweitern und vereinfachen Sie das Schreiben in allgemeiner Form.

Beispiel (PageIndex{13}): Schreiben der Gleichung einer quadratischen Funktion aus dem Graphen

Schreiben Sie eine Gleichung für die quadratische Funktion (g) in Abbildung (PageIndex{13}) als Transformation von (f(x)=x^2), erweitern Sie dann die Formel und vereinfachen Sie die Terme zu schreibe die Gleichung in allgemeiner Form.

Lösung

Da es quadratisch ist, beginnen wir mit der Form (g(x)=a(x−h)^{2}+k). (Beachten Sie das Minuszeichen vor (h)!) Die Ecke ((h,k)) ist ((−2,−3)), also (h=−2) und (k=−3). Durch Einsetzen dieser Werte erhalten wir (g(x)=a(x+2)^2–3).

Durch Ersetzen der Koordinaten eines Punktes auf der Kurve, z. B. ((0,−1)), können wir nach dem Streckfaktor auflösen.

[egin{align*} −1&=a(0+2)^2−3 2&=4a a&=dfrac{1}{2} end{align*}]

In Standardform lautet das algebraische Modell für diesen Graphen (g(x)=dfrac{1}{2}(x+2)^2–3).

Um dies in allgemeiner polynomischer Form zu schreiben, können wir die Formel erweitern und Terme vereinfachen.

[egin{align*} g(x)&=dfrac{1}{2}(x+2)^2−3 &=dfrac{1}{2}(x+2)(x +2)−3 &=dfrac{1}{2}(x^2+4x+4)−3 &=dfrac{1}{2}x^2+2x+2−3 &=dfrac{1}{2}x^2+2x−1 end{align*}]

Beachten Sie, dass die horizontalen und vertikalen Verschiebungen des Basisgraphen der quadratischen Funktion die Position des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen; der Scheitel wird von Dehnungen und Kompressionen nicht beeinflusst.

Beispiel (PageIndex{14})

Bestimmen Sie die quadratische Funktion, deren Graph angezeigt wird.

Lösung:

Da es quadratisch ist, beginnen wir mit der Form (f(x)=a(x−h)^{2}+k).

Der Scheitel ((h,k)), ist ((−2,−1)), also (h=−2) und (k=−1).

(f(x)=a(x-(-2))^{2}-1 qquad longrightarrow qquad f(x)=a(x+2)^{2}-1)

Um (a) zu finden, verwenden wir den (y)-Achsenabschnitt ((0,7)).

Also (f(0)=7).

(7=a(0+2)^{2}-1)

Löse nach (a) auf.

(egin{array}{l}{7=4 a-1} {8=4 a} {2=a}end{array})

Schreiben Sie die Funktion.

(f(x)=2(x+2)^{2}-1)

Probieren Sie es aus (PageIndex{14})

Schreiben Sie die quadratische Funktion in (f(x)=a(x−h)^{2}+k)-Form, deren Graph gezeigt wird.

A.

A. Antworten

(f(x)=(x-3)^{2}-4)

B.

B. Antworten

(f(x)=(x+3)^{2}-1)

Probieren Sie es aus (PageIndex{15})

In Abbildung (PageIndex{15}) wurde der quadratischen Bahn eines Basketballs ein Koordinatengitter überlagert. Finden Sie eine Gleichung für den Weg der Kugel. Macht der Schütze den Korb?

Abbildung (PageIndex{15}): Stoppen Sie das bewegte Bild eines Jungen, der einen Basketball in einen Korb wirft, um die parabolische Kurve zu zeigen, die er macht
(Kredit: Änderung der Arbeit von Dan Meyer)

Antworten

Der Pfad geht durch den Ursprung und hat einen Scheitelpunkt bei ((−4, 7)), also (h(x)=–frac{7}{16}(x+4)^2+7). Um den Schuss zu machen, müsste (h(−7.5)) ungefähr 4 sein, aber (h(–7.5){approx}1.64); er schafft es nicht.

Schlüsselgleichungen

  • allgemeine Form einer quadratischen Funktion: (f(x)=ax^2+bx+c)
  • die quadratische Formel: (x=dfrac{−b{pm}sqrt{b^2−4ac}}{2a})
  • Standardform einer quadratischen Funktion: (f(x)=a(x−h)^2+k)

Schlüssel Konzepte

  • Eine Polynomfunktion zweiten Grades heißt quadratische Funktion.
  • Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Eine Parabel ist eine U-förmige Kurve, die sich nach oben oder unten öffnen kann.
  • Die Symmetrieachse ist die vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt geht. Die Nullstellen oder (x)-Achsenabschnitte sind die Punkte, an denen die Parabel die (x)-Achse schneidet. Der (y)-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Parabel die (y)-Achse schneidet.
  • Quadratische Funktionen werden oft in allgemeiner Form geschrieben. Die Standard- oder Scheitelpunktform ist nützlich, um den Scheitelpunkt einer Parabel leicht zu identifizieren. Beide Formen können aus einem Graphen geschrieben werden.
  • Der Scheitelpunkt kann aus einer Gleichung ermittelt werden, die eine quadratische Funktion darstellt. .
  • Der Definitionsbereich einer quadratischen Funktion sind alle reellen Zahlen. Die Reichweite variiert je nach Funktion.
  • Der minimale oder maximale Wert einer quadratischen Funktion ist durch den (y)-Wert des Scheitelpunkts gegeben.
  • Einige quadratische Gleichungen müssen mit der quadratischen Formel gelöst werden.

Glossar

Symmetrieachse
eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt einer Parabel gezogen wird, um die die Parabel symmetrisch ist; es ist definiert durch (x=−frac{b}{2a}).

allgemeine Form einer quadratischen Funktion
die Funktion, die eine Parabel beschreibt, geschrieben in der Form (f(x)=ax^2+bx+c), wobei (a,b,) und (c) reelle Zahlen sind und a≠0 .

Standardform einer quadratischen Funktion
the function that describes a parabola, written in the form (f(x)=a(x−h)^2+k), where ((h, k)) is the vertex.

Scheitel
the point at which a parabola changes direction, corresponding to the minimum or maximum value of the quadratic function

vertex form of a quadratic function
another name for the standard form of a quadratic function

zeros
in a given function, the values of (x) at which (y=0), also called roots


Recall that quadratic functions have the form ax 2 +bx+c, where a, b, and c are real numbers. If the value of a is 0, then we simply have a linear function and can graph it like any other linear function.

When a is not equal to 0, however, we need to use the values of a, b, and c to tell us about the graph. In particular, we are interested in the vertex, the y-intercept, the x-intercept(s), and the general shape of the graph.

Shape

Every parabola will turn upwards like a smiley face or turn downwards like a frown. We call parabolas that curve upwards “concave” and parabolas that curve downward convex. Solutions of the former will extend to positive infinity as x goes towards positive or negative infinity. On the other hand, the y-values of the latter will extend to negative infinity as x goes towards positive or negative infinity.

Note that concave parabolas may also be known as concave up and convex parabolas may also be known as concave down.

We know whether the parabola of our quadratic function will turn upwards or downwards based on the value of a. If a is positive, the parabola turns upwards. If a is negative, the parabola points downwards. This makes sense because we reflect functions over the x-axis by multiplying them by a negative.

The Axis of Symmetry

The function x 2 is an even function. This means that the function has the same value for x and -x. This makes sense because (-x) 2 =x 2 .

Even functions have a line of symmetry equal to x=0, the y-axis. This means the graph of the function on one side is the mirror image of the graph of the function on the other side.

Not every quadratic function is even because some have an x term, but every quadratic function does have a line of symmetry. This line goes right through the vertex of the function. Therefore, since the vertex has coordinates ( -b /2a, f( -b /2a)). Thus, the line of symmetry is x= -b /2a.

The y-intercept

The y-intercept of a parabola or any function is the point where x=0. This means we can find the y-intercept of a quadratic function by evaluating the function when x=0.

For a quadratic function of the form ax 2 +bx+c, we get a(0) 2 +b(0)+c=0+0+c.

Therefore, the y-intercept is (0, c).

Scheitel

The vertex of a parabola is the lowest point of an upward pointing parabola and the highest point of a downward pointing parabola.

The vertex of a parabola is the point ( -b /2a, f( -b /2a)). Note that, when we just have the function x 2 , the vertex is the origin, (0, 0).

This formula for finding the vertex may seem complicated, but it is actually related to certain points on the parabola. In order to find these, however, we have to know how to solve quadratic equations.


From A Graph to The Equation

What if we have a graph, and want to find an equation?

Example: you have just plotted some interesting data, and it looks Quadratic:

Just knowing those two points we can come up with an equation.

Firstly, we know h und k (at the vertex):

So let's put that into this form of the equation:

And so here is the resulting Quadratic Equation:

Note: This may not be the correct equation for the data, but it’s a good model and the best we can come up with.


Example: Small Steel Frame

Your company is going to make frames as part of a new product they are launching.

The frame will be cut out of a piece of steel, and to keep the weight down, the final area should be 28 cm 2

The inside of the frame has to be 11 cm by 6 cm

What should the width x of the metal be?

Area of steel before cutting:

Area of steel after cutting out the 11 × 6 middle:

Let us solve this one graphically!

Here is the graph of 4x 2 + 34x :

The desired area of 28 is shown as a horizontal line.

The area equals 28 cm 2 when:

x is about −9.3 or 0.8

The negative value of x make no sense, so the answer is:


One point touching the x-axis

This parabola touches the x-axis at (1, 0) only.

If we use ja = ein(x &minus h) 2 + k , we can see from the graph that h = 1 and k = 0.

But as in the previous case, we have an infinite number of parabolas passing through (1, 0). Here are some of them:

In this example, the blue curve passes through (0, 1) on the ja-axis, so we can simply substitute x = 0, ja = 1 into ja = ein(x &minus 1) 2 as follows:

So our quadratic function for this example is

Notiz: We could also make use of the fact that the x-value of the vertex of the parabola y = ax 2 + bx + c is given by:


Graphing Quadratic Functions

Draw the graph of ja = 2x 2 for &le x &le 3, using a scale of 1 cm to 1 unit on the x-axis and 1 cm to 5 units on the ja-Achse.

Step 1 : Construct the table of values.

The properties of quadratic graphs ja = ax 2

The curves of the functions you have drawn so far are called parabolas.

From the example above, you may have noticed the following properties.
Refer to the following diagram when you study these properties.
1. The graphs of ja = ax 2 (a &ne 0) pass through the origin (0, 0).
2. The ja-axis is the line of symmetry
3. (a) When ein is positive, each graph has a lowest point (origin) and opens upwards. This point is known as the minimum point.
(b) The smaller the value of ein, the wider the graph opens.
4. (a) When ein is negative, each graph has a highest point (the origin) and opens downwards. This point is known as the maximum point.
(b) The smaller the value of |a|, the wider the graph opens.

Graphing Quadratic Functions in General Form

The general form of a quadratic equation is ja = ax 2 + bx + c where ein, B und C are real numbers and ein is not equal to zero.

Graphing Quadratic Functions in Factored Form

Graphing Quadratic Functions in Vertex Form

The vertex form of a quadratic equation is
ja
= ein(x &minus h) 2 + k wo ein, h und k are real numbers and ein is not equal to zero.
We can convert quadratic functions from general form to vertex form or factored form.

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What is the difference between linear and quadratic functions?

A linear function is one of the form ja = mx + C. For each input of x, you get one output for y. The graph of these functions is a single straight line.

A quadratic function is one of the form ja = ax 2 + bx + c. For each output for y, there can be up to two associated input values of x. The graph of these functions is a parabola – a smooth, approximately u-shaped or n-shaped, curve.

You need to be able to confidently plot the graphs of these functions, and the simplest way to do so is by using a table of values.


3.1 - Quadratic Functions

The old standard form for a parabola was written like any other polynomial, f(x) = ax 2 + bx + c, a &ne 0.

We're going to complete the square and place it into a form where the translations are easily interpreted. This time, instead of dividing through by a, let's factor an a out of the x-terms instead.

Go ahead and take half of the x-coefficient and put it on the next line.

One thing to be careful of here. When you add the b 2 /(4a 2 ), you are really multiplying it by the a that you factored out, so it is really just a b 2 /(4a). This time, instead of adding it to both sides of the equation, add it and subtract it on the same side of the equation.

f(x) = a [ x 2 + (b/a) x + b 2 /(4a 2 ) ] + c - b 2 /(4a)

f(x) = a [ x + (b/2a) ] 2 + (4ac - b 2 )/(4a)

With a couple of substitutions, this can be written in the new standard form.

where h = -b/(2a) and k = (4ac - b 2 ) / (4a)

Do not worry about what k is, but you might want to memorize the value for h.

The x-coordinate of the vertex is -b/(2a). The y-coordinate is what you get when you plug -b/(2a) back into the original function for x.

There are three translations involved here.

  • The y-coordinates have been multiplied by ein. This is the same ein that was in the original problem. If a>0, then the parabola opens up and the vertex is at the bottom. If a<0, then the parabola opens down and the vertex is at the top.
  • There has been a horizontal shift. Instead of the x-coordinate of the vertex being at x=0, it is now at x=h, where h=-b/(2a). Since the axis of symmetry passes through the vertex, that means that the axis of symmetry is now x=-b/(2a).
  • There has been a vertical shift. The y-coordinate of the vertex is now at y=k. It is not worth your time to memorize the formula for the vertical shift. It isn't that hard, it is -a times the discriminant of the quadratic, but it is easier to find the x-coordinate, and plug that back into the equation to find the y-coordinate.

Unless the coefficients are really nasty (ie, decimals), you may find it quicker to complete the square to find the vertex than to let x=-b/(2a) and then find the y-coordinate.

But do note that the vertex is now at (h,k) instead of (0,0).


Rational Expressions

Quadratic function has the form $ f(x) = ax^2 + bx + c $ where a, b and c are numbers

You can sketch quadratic function in 4 steps. I will explain these steps in following examples.

Sketch the graph of the quadratic function

In this case we have $ a=1, b=2 $ and $c=-3$

STEP 1: Find the vertex.

To find x - coordinate of the vertex we use formula:

So, we substitute $1$ in for $a$ and $2$ in for $b$ to get

To find y - coordinate plug in $x=-1$ into the original equation:

$ y = f(-1) = (-1)^2 + 2cdot(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 $

So, the vertex of the parabola is $ < (-1,-4) >> $

STEP 2: Find the y-intercept.

To find y - intercept plug in $x=0$ into the original equation:

So, the y-intercept of the parabola is $ < y = -3 >> $

STEP 3: Find the x-intercept.

To find x - intercept solve quadratic equation $f(x)=0$ in our case we have:

Solutions for this equation are:

( to learn how to solve quadratic equation use quadratic equation solver )

STEP 4: plot the parabola.

Sketch the graph of the quadratic function

Here we have $ a=-1, b=2 $ and $c=-2$

The x-coordinate of the vertex is:

The y-coordinate of the vertex is:

$ y = f(1) = -1^2+2cdot1-2 = -1 + 2 - 2 = -1 $

$ y = f(0) = -0^2+2cdot0-2 = -0 + 0 - 2 = -2 $

In diesem Fall x-intercept doesn't exist since equation $-x^2+2x-2=0$ does not has the solutions (use quadratic equation solver to check ). So, in this case we will plot the graph using only two points


Finding Parabolas through Two Points

The equation $ f(x) = ax^2 + bx + c $ has three constants $a,b,c$ which can take any real number value. This gives three degrees of freedom in specifying a quadratic function. Requiring the graph of $f$ to pass through a point $P_1$ puts one condition on $a,b,c$ while requiring the graph of $f$ to pass through $P_2$ puts a second condition on $a,b,c$. Assuming the $P_1$ and $P_2$ have distinct $x$-coordinates, this leaves one degree of freedom for the coefficients $a,b,c$ of a quadratic whose graph goes through $P_1$ and $P_2$. This extra degree of freedom is revealed as a "scaling factor'' in part a) while part b) is more subtle as the graphs do not share the same vertex.

The second solution to part (b) is quite sophisticated. While students should be able to follow the logic its primary use should be to challenge them to think creatively about the problem. The first solution to (b) is more grounded in classroom practice and should likely be the one emphasized for the majority of students.


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