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2.3: Modellierung mit linearen Funktionen


Wenn wir Szenarien mit einer linearen Funktion modellieren und Probleme mit sich linear ändernden Größen lösen, folgen wir normalerweise denselben Problemlösungsstrategien, die wir für jede Art von Funktion verwenden würden:

Problemlösungsstrategie

  1. Identifizieren Sie sich ändernde Mengen und definieren Sie dann sorgfältig und klar beschreibende Variablen, um diese Mengen darzustellen. Skizzieren Sie gegebenenfalls ein Bild oder definieren Sie ein Koordinatensystem.
  2. Lesen Sie das Problem sorgfältig durch, um wichtige Informationen zu identifizieren. Suchen Sie nach Informationen, die Werte für die Variablen oder Werte für Teile des Funktionsmodells wie Steigung und Anfangswert angeben.
  3. Lesen Sie das Problem sorgfältig durch, um herauszufinden, was wir zu finden, zu identifizieren, zu lösen oder zu interpretieren versuchen.
  4. Identifizieren Sie einen Lösungsweg von den bereitgestellten Informationen zu dem, was wir suchen. Dies beinhaltet oft das Überprüfen und Verfolgen von Einheiten, das Erstellen einer Tabelle oder sogar das Finden einer Formel für die Funktion, die verwendet wird, um das Problem zu modellieren.
  5. Suchen Sie bei Bedarf eine Formel für die Funktion.
  6. Lösen oder bewerten Sie mit der gefundenen Formel für die gewünschten Mengen.
  7. Überlegen Sie, ob Ihre Antwort für die gegebene Situation angemessen und mathematisch sinnvoll ist.
  8. Geben Sie Ihr Ergebnis in geeigneten Einheiten deutlich wieder und antworten Sie gegebenenfalls in ganzen Sätzen.

Beispiel (PageIndex{1})

Emily hat 3500 Dollar für ihren Sommerbesuch in Seattle gespart. Sie rechnet damit, jede Woche 400 Dollar für Miete, Essen und Spaß auszugeben. Finden und interpretieren Sie den horizontalen Achsenabschnitt und bestimmen Sie einen angemessenen Bereich und Bereich für diese Funktion.

Lösung

Im Problem gibt es zwei wechselnde Größen: Zeit und Geld. Wie viel Geld sie im Urlaub noch hat, hängt davon ab, wie lange sie bleibt. Wir können unsere Variablen definieren, einschließlich Einheiten.

Ausgabe: (M), verbleibendes Geld, in Dollar

Eingabe: (t), Zeit, in Wochen

Beim Lesen des Problems identifizieren wir zwei wichtige Werte. Der erste, $3500, ist der Anfangswert für (M). Der andere Wert scheint eine Änderungsrate zu sein – die Einheiten von Dollar pro Woche entsprechen den Einheiten unserer Ausgabevariablen geteilt durch unsere Eingabevariable. Sie gibt jede Woche Geld aus, daher sollten Sie erkennen, dass der verbleibende Geldbetrag jede Woche abnimmt und die Steigung negativ ist.

Um die erste Frage zu beantworten und nach dem horizontalen Achsenabschnitt zu suchen, wäre es hilfreich, eine Gleichung zu haben, die dieses Szenario modelliert. Mit dem im Problem angegebenen Achsenabschnitt und der Steigung können wir die Gleichung schreiben: [M(t)=3500-400t onumber]

Um den horizontalen Schnittpunkt zu finden, setzen wir die Ausgabe auf Null und lösen nach der Eingabe auf:

[egin{array} {rcl} {0} &= & {3500 - 400t} {t} &= & { dfrac{3500}{400} = 8,75} end{array} onumber ]

Der horizontale Abschnitt beträgt 8,75 Wochen. Da dies den Eingabewert darstellt, bei dem die Ausgabe Null ist, könnten wir bei der Interpretation sagen: Emily wird nach 8,75 Wochen kein Geld mehr haben.

Bei der Modellierung eines realen Szenarios mit Funktionen gibt es normalerweise einen begrenzten Bereich, für den dieses Modell gültig ist – fast kein Trend setzt sich auf unbestimmte Zeit fort. In diesem Fall macht es sicherlich keinen Sinn, von Eingabewerten kleiner Null zu sprechen. Es ist auch wahrscheinlich, dass dieses Modell nach dem horizontalen Schnitt nicht gültig ist (es sei denn, Emily wird eine Kreditkarte verwenden und sich verschulden).

Die Domäne stellt die Menge der Eingabewerte dar und daher ist die sinnvolle Domäne für diese Funktion (0 le t le 8.75).

In einem realen Szenario kann die Vermietung jedoch wöchentlich oder nachts erfolgen. Sie kann möglicherweise nicht eine ganze Woche bleiben und daher sollten alle Optionen in Betracht gezogen werden. Emily könnte 0 bis 8 volle Wochen (und ein paar Tage) in Seattle bleiben, müsste sich aber verschulden, um 9 volle Wochen zu bleiben, also auf ganze Wochen beschränkt, wäre eine vernünftige Domäne, ohne sich zu verschulden, ( 0 le t le 8) oder (0 le t le 9), wenn sie sich verschuldet hatte, um die letzte Woche zu beenden.

Der Bereich stellt die Menge der Ausgabewerte dar und beginnt mit $3500 und endet mit $0 nach 8,75 Wochen, so dass der entsprechende Bereich (0 le M(t) le 3500) ist. Wenn wir die Miete jedoch auf ganze Wochen begrenzen, würde sich das Angebot ändern. Wenn sie nach 8 Wochen ging, weil sie nicht genug hatte, um volle 9 Wochen zu bleiben, hätte sie nach 8 Wochen (M(8) = 3500 - 400 (8) = $300) Dollar übrig, was eine Spanne ergibt von (300 le M(t) le 3500). Wenn sie die vollen 9 Wochen bleiben wollte, hätte sie 100 $ Schulden, was einer Spanne von (-100 le M(t) le 3500) entspricht.

Denken Sie vor allem daran, dass Domäne und Bereich miteinander verbunden sind, und was auch immer Sie für die Domäne (die unabhängige Variable) am geeignetsten entscheiden, diktiert die Anforderungen für den Bereich (die abhängige Variable).

Übung (PageIndex{1})

Ein Datenbankmanager lädt eine große Tabelle aus Sicherungen. Sie wird ungeduldig und stellt fest, dass 1,2 Millionen Zeilen geladen wurden. Zehn Minuten später waren 2,5 Millionen Zeilen geladen. Wie lange muss sie noch warten, bis alle 80 Millionen Zeilen geladen sind?

Antworten

Wenn (t) die Anzahl der Minuten ist, seit sie ungeduldig wurde, und N die Anzahl der geladenen Zeilen in Millionen, haben wir zwei Punkte: (0, 1,2) und (10, 2,5).

Die Steigung beträgt (m=dfrac{2.5-1.2}{10-0} =dfrac{1.3}{10} =0.13) Millionen Zeilen pro Minute.

Wir kennen den Schnittpunkt (N), also können wir die Gleichung schreiben:

[N=0,13t+1,2keineZahl ]

Um zu bestimmen, wie lange sie warten muss, müssen wir nach wann (N = 80) auflösen.

[N = 0,13t + 1,2 = 80keineZahl ]

[0,13t = 78,8keineZahl ]

[t = dfrac{78.8}{0.13} = 606 onumber]. Sie muss weitere 606 Minuten warten, also etwa 10 Stunden.

Beispiel (PageIndex{2})

Jamal wählt zwischen zwei Umzugsunternehmen. Der erste, U-Haul, erhebt eine Vorabgebühr von 20 US-Dollar, dann 59 Cent pro Meile. Die zweite, Budget, erhebt eine Vorabgebühr von 16 US-Dollar, dann 63 Cent pro Meile (Preise abgerufen am 2. August 2010 von www.budgettruck.com und http://www.uhaul.com/). Wann wird U-Haul die bessere Wahl für Jamal sein?

Lösung

Die zwei wichtigen Größen bei diesem Problem sind die Kosten und die Anzahl der gefahrenen Kilometer. Da wir zwei Unternehmen zu berücksichtigen haben, definieren wir zwei Funktionen:

Eingabe: (m), gefahrene Meilen

Ausgänge:

(Y(m)): Kosten in Dollar für die Anmietung bei U-Haul

(B(m)): Kosten in Dollar für die Anmietung von Budget

Wenn wir das Problem sorgfältig lesen, scheint es, dass wir für jedes Unternehmen die Anfangskosten und die Änderungsrate erhalten haben. Da unsere Leistung in Dollar gemessen wird, die Kosten pro Meile im Problem jedoch in Cent angegeben sind, müssen wir diese Mengen in unsere gewünschten Einheiten umrechnen: 0,59 USD pro Meile für U-Haul und 0,63 USD pro Meile für Budget.

Wenn wir uns ansehen, was wir suchen, möchten wir wissen, wann U-Haul die bessere Wahl sein wird. Da wir diese Entscheidung nur aufgrund der Kosten treffen müssen, suchen wir danach, wann U-Haul weniger kostet oder wann (Y(m) < B(m)). Der Lösungsweg führt uns dazu, die Gleichungen für die beiden Funktionen zu finden, den Schnittpunkt zu finden und dann zu sehen, wo die Funktion (Y(m)) kleiner ist. Mit den Änderungsraten und Ausgabeaufschlägen können wir die Gleichungen schreiben:

[Y(m) = 20 + 0,59mkeine Zahl ]
[B(m) = 16 + 0,63mkeine Zahl ]

Diese Graphen sind rechts skizziert, wobei Y(m) gestrichelt gezeichnet ist.

Um den Schnittpunkt zu finden, setzen wir die Gleichungen gleich und lösen:

[egin{array} {rcl} {Y(m)} &= & {B(m)} {20 + 0,59m} &= & {16 + 0,63m} {4} &= & {0.04m} {m} &= & {100} end{array} onumber ]

Dies sagt uns, dass die Kosten der beiden Unternehmen gleich sind, wenn 100 Meilen gefahren werden. Wenn wir entweder die Grafik betrachten oder feststellen, dass (Y(m)) langsamer wächst, können wir schlussfolgern, dass U-Haul der günstigere Preis ist, wenn mehr als 160 Meilen gefahren werden.

Beispiel (PageIndex{3})

Die Einwohnerzahl einer Stadt wächst linear. Im Jahr 2004 betrug die Einwohnerzahl 6.200. Bis 2009 war die Einwohnerzahl auf 8.100 angewachsen. Wenn dieser Trend anhält,

  1. Vorhersage der Bevölkerung im Jahr 2013
  2. Wann wird die Bevölkerung 15000 erreichen?

Lösung

Die beiden sich ändernden Größen sind die Bevölkerung und die Zeit. Wir könnten zwar den tatsächlichen Jahreswert als Eingangsgröße verwenden, dies führt jedoch tendenziell zu sehr hässlichen Gleichungen, da der vertikale Schnittpunkt dem Jahr 0 vor mehr als 2000 Jahren entsprechen würde!

Um es ein bisschen schöner zu machen und auch unser Leben einfacher zu machen, werden wir unseren Beitrag als Jahre seit 2004 definieren:

Eingabe: (t), Jahre seit 2004

Ausgabe: (P(t)), Einwohnerzahl der Stadt

Das Problem liefert uns zwei Input-Output-Paare. Umgerechnet, damit sie mit unseren definierten Variablen übereinstimmen, würde das Jahr 2004 (t = 0) entsprechen, was den Punkt (0, 6200) ergibt. Beachten Sie, dass wir uns durch unsere geschickte Wahl der Variablendefinition den vertikalen Achsenabschnitt der Funktion „gegeben“ haben. Das Jahr 2009 würde (t = 5) entsprechen, was den Punkt (5, 8100) ergibt.

Um die Bevölkerung im Jahr 2013 ((t = 9)) vorherzusagen, benötigen wir eine Gleichung für die Bevölkerung. Um herauszufinden, wann die Bevölkerung 15000 erreichen würde, müssten wir ebenfalls nach der Eingabe auflösen, die eine Ausgabe von 15000 ergeben würde. In jedem Fall benötigen wir eine Gleichung. Um es zu finden, berechnen wir zunächst die Änderungsrate:

[m=dfrac{8100-6200}{5-0} =dfrac{1900}{5} =380 ext{Personen pro Jahr} onumber]

Da wir den vertikalen Achsenabschnitt bereits kennen, können wir sofort die Gleichung schreiben:

[P(t)=6200+380tkeineZahl ]

Um die Population im Jahr 2013 vorherzusagen, bewerten wir unsere Funktion zu (t = 9)

[P(9)=6200+380(9)=9620keine Zahl ]

Wenn der Trend anhält, sagt unser Modell für 2013 eine Bevölkerung von 9.620 voraus.

Um herauszufinden, wann die Bevölkerung 15.000 erreicht, können wir (P(t) = 15000) setzen und nach (t) auflösen.

[egin{array} {rcl} {15000} &= & { 6200 + 380t} {8800} &= & {380t} {t} &approx & {23.158} end{array} keine Nummer ]

Unser Modell sagt voraus, dass die Bevölkerung in etwas mehr als 23 Jahren nach 2004 oder ungefähr im Jahr 2027 15.000 erreichen wird.

Beispiel (PageIndex{4})

Anna und Emanuel starten an derselben Kreuzung. Anna läuft mit 4 Meilen pro Stunde nach Osten, während Emanuel mit 5 Meilen pro Stunde nach Süden geht. Sie kommunizieren mit einem Funkgerät mit einer Reichweite von 2 Meilen. Wie lange, nachdem sie angefangen haben zu laufen, werden sie den Funkkontakt verlieren?

Lösung

Im Wesentlichen können wir diese Frage teilweise beantworten, indem wir sagen, dass sie den Funkkontakt verlieren, wenn sie 2 Meilen voneinander entfernt sind, was uns zu einer neuen Frage führt: Wie lange dauert es, bis sie 2 Meilen voneinander entfernt sind?

Bei diesem Problem sind unsere sich ändernden Mengen die Zeit und die Positionen der beiden Völker, aber letztendlich müssen wir wissen, wie lange es dauert, bis sie 2 Meilen voneinander entfernt sind. Wir können sehen, dass die Zeit unsere Eingabevariable ist, also definieren wir

Eingabe: (t), Zeit in Stunden.

Da es nicht offensichtlich ist, wie wir unsere Ausgabevariablen definieren, beginnen wir mit dem Zeichnen eines Bildes.

Aufgrund der Komplexität dieser Frage kann es hilfreich sein, einige Zwischenvariablen einzuführen. Dies sind Größen, die uns nicht direkt interessieren, aber für das Problem wichtig erscheinen. Für dieses Problem scheinen die Entfernungen von Anna und Emanuel vom Ausgangspunkt wichtig zu sein. Um diese zu notieren, definieren wir ein Koordinatensystem, setzen den „Startpunkt“ auf den Schnittpunkt, an dem beide begonnen haben, dann führen wir eine Variable (A) ein, um Annas Position darzustellen, und definieren es sollte eine Messung vom Startpunkt in östlicher Richtung sein. Ebenso führen wir eine Variable (E) ein, um Emanuels Position, gemessen vom Startpunkt in südlicher Richtung, darzustellen. Beachten Sie, dass wir beim Definieren des Koordinatensystems sowohl den Ursprung oder Startpunkt der Messung als auch die Messrichtung angegeben haben.

Wenn wir schon dabei sind, definieren wir eine dritte Variable, (D), als Maß für die Entfernung zwischen Anna und Emanuel. Das Anzeigen der Variablen auf dem Bild ist oft hilfreich:

Wenn wir uns die Variablen auf dem Bild ansehen, erinnern wir uns, dass wir wissen müssen, wie lange es dauert, bis (D), der Abstand zwischen ihnen, 2 Meilen beträgt.

Wenn wir dieses Bild sehen, erinnern wir uns, dass wir den Satz des Pythagoras verwenden können, eine Eigenschaft von rechtwinkligen Dreiecken, um den Abstand zwischen den beiden zu bestimmen.

Von hier aus können wir nun auf das Problem zurückblicken, um relevante Informationen zu erhalten. Anna läuft 4 Meilen pro Stunde und Emanuel geht 5 Meilen pro Stunde, das sind Änderungsraten. Mit diesen können wir Formeln für die zurückgelegte Strecke schreiben.

Sie beginnen beide an derselben Kreuzung, und wenn also (t = 0), sollte die von jeder Person zurückgelegte Entfernung ebenfalls 0 sein, also erhalten wir bei gegebener Geschwindigkeit für jede und dem Anfangswert für jede:

[A(t) = 4tkeineZahl ]
[E(t) = 3tkeineZahl ]

Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir:

[D(t)^{2} =A(t)^{2} +E(t)^{2} onumber ] Ersatz in den Funktionsformeln

[D(t)^{2} =(4t)^{2} +(3t)^{2} =16t^{2} +9t^{2} =25t^{2} onumber ] auflösen nach (D(t)) mit der Quadratwurzel

[D(t)=pm sqrt{25t^{2} } =pm 5|t| onumber]

Da wir in diesem Szenario nur positive Werte von t berücksichtigen und unser Abstand (D(t)) immer positiv sein wird, können wir diese Antwort auf (D(t)=5t) vereinfachen.

Interessanterweise ist auch der Abstand zwischen ihnen eine lineare Funktion. Damit können wir nun die Frage beantworten, wann die Entfernung zwischen ihnen 2 Meilen beträgt:

[egin{array} {rcl} {D(t)} &= & {2} {5t} &= & {2} {t} &= & {dfrac{2}{5} = 0,4} end{array} onumber ]

Sie werden in 0,4 Stunden oder 24 Minuten den Funkkontakt verlieren.

Beispiel (PageIndex{5})

Es gibt derzeit eine gerade Straße, die von der Stadt Westborough zu einer Stadt 30 Meilen östlich und 10 Meilen nördlich führt. Auf halbem Weg diese Straße entlang, mündet sie in eine zweite, senkrecht zur ersten Straße, die zur Stadt Eastborough führt. Wenn die Stadt Eastborough 32 km östlich der Stadt Westborough liegt, wie weit ist die Straßenkreuzung von Westborough entfernt?

Lösung

Hier kann es hilfreich sein, ein Bild der Situation zu zeichnen. Dann wäre es hilfreich, ein Koordinatensystem einzuführen. Obwohl wir den Ursprung überall platzieren könnten, erscheint es praktisch, ihn in Westborough zu platzieren. Dies setzt die andere Stadt auf die Koordinaten (30, 10) und Eastborough auf (20, 0).

Mit diesem Punkt zusammen mit dem Ursprung können wir die Steigung der Linie von Westborough zur anderen Stadt ermitteln: (m=dfrac{10-0}{30-0} =dfrac{1}{3}) . Dies ergibt die Gleichung der Straße von Westborough in die andere Stadt zu (W(x)=dfrac{1}{3} x).

Daraus können wir bestimmen, dass die senkrechte Straße nach Eastborough die Steigung (m=-3) hat. Da die Stadt Eastborough am Punkt (20, 0) liegt, können wir die Gleichung finden:

[E(x) = -3x + b onumber ] setze den Punkt (20, 0) ein
[0 = -3(20) + bkeine Zahl ]
[b = 60keineZahl ]
[E(x) = -3x + 60keineZahl ]

Wir können nun die Koordinaten der Kreuzung der Straßen finden, indem wir den Schnittpunkt dieser Linien finden. Gleich setzen,

[dfrac{1}{3} x = -3x + 60 onumber]
[dfrac{10}{3} x= 60keineZahl ]
[10x = 180keineZahl ]
[x = 18 onumber] Dies wieder in (W(x)) einsetzen
[y = W(18) = dfrac{1}{3} (18) = 6 onumber]

Die Straßen kreuzen sich im Punkt (18, 6). Mit der Entfernungsformel können wir nun die Entfernung von Westborough bis zur Kreuzung ermitteln:

[dist=sqrt{(18-0)^{2} +(6-0)^{2} } approx 18,934 ext{meilen} onumber]

Wichtige Themen dieses Abschnitts

Der Problemlösungsprozess

  1. Identifizieren Sie sich ändernde Mengen und definieren Sie dann sorgfältig und klar beschreibende Variablen, um diese Mengen darzustellen. Dies beinhaltet häufig das Überprüfen und Verfolgen von Einheiten, das Erstellen einer Tabelle oder sogar das Finden einer Formel für die Funktion, die zum Modellieren des Problems verwendet wird.
  2. Suchen Sie bei Bedarf eine Formel für die Funktion.
  3. Lösen oder bewerten Sie mit der gefundenen Formel für die gewünschten Mengen.
  4. Überlegen Sie, ob Ihre Antwort für die gegebene Situation angemessen und mathematisch sinnvoll ist.
  5. Geben Sie Ihr Ergebnis in geeigneten Einheiten deutlich wieder und antworten Sie gegebenenfalls in ganzen Sätzen.

2.3.3: Zweistufige Gleichungen mit Addition und Multiplikation

Die Blaskapelle der Floyd Middle School unterliegt einigen Veränderungen. Sie haben derzeit 140 Studenten plus das Hauptfach Schlagzeug und werden in diesem Jahr vier neue Studenten hinzufügen. Das bedeutet, dass sie ihre Formation für das große Finale in acht geraden Reihen wiederholen müssen. Bandmitglied Anica gibt bekannt, dass sie die Anzahl der Schüler in jeder Reihe mit einer Gleichung ermitteln kann.

In diesem Konzept lösen Sie Gleichungen mit den inversen Eigenschaften von Addition und Multiplikation.

Inverse Eigenschaften von Addieren und Multiplizieren

Ein Gleichung ist eine Aussage mit einem Gleichheitszeichen, bei der die Menge auf der einen Seite der Gleichen gleich der Menge auf der anderen Seite der Gleichen ist.

Hier ist eine einfache Gleichung:

Sie haben eine Gleichung mit einer Variablen, wobei x die unbekannte Größe ist. Um dies zu lösen, führen Sie eine umgekehrte Operation oder eine entgegengesetzte Operation durch. Sie würden 11 von 15 subtrahieren, um 4 zu erhalten. Das ist der Wert der Variablen.

Die meiste Zeit denkt man nicht einmal daran, eine inverse Operation durchzuführen, Ihr Verstand löst das Problem auf natürliche Weise auf diese Weise.

Wenn Sie eine Gleichung mit einer Variablen haben, heißt sie a einstufige Gleichung. Es braucht nur eine Operation oder eine inverse Operation, um es zu lösen.

a lösen zweistufige Gleichung, müssen Sie mehr als eine inverse Operation verwenden. Wenn Sie inverse Operationen ausführen, um den Wert einer Variablen zu ermitteln, arbeiten Sie daran, die Variable allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens zu erhalten. Das nennt man Isolieren der Variablen. Es ist eine Strategie zum Lösen von Gleichungen. Sie können die Variable isolieren, unabhängig davon, ob Sie einstufige oder zweistufige Gleichungen lösen.

Sie können jeden Teil der Gleichung einen Term nennen. Es gibt einen Begriff mit einer Variablen und einen Begriff ohne eine Variable. Beachten Sie, dass es auf der linken Seite der Gleichung zwei Terme gibt, 3a und 12.

Verwenden Sie zunächst inverse Operationen, um den Term zu erhalten, der eine Variable 3a allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens enthält. In Gleichungen würden Sie immer den Term belassen, der die Variable bis zum Ende hält, um die Variable zu isolieren. In der obigen Gleichung wird also 12 zu 3a addiert. Sie können die Umkehrung der Addition, die Subtraktion, als ersten Schritt verwenden. Wir können 12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

Verwenden Sie als Nächstes inverse Operationen, um das a selbst zu erhalten. Da 3a 3×a bedeutet, können Sie die Umkehrung der Multiplikation verwenden, die Division ist. Sie können beide Seiten der Gleichung durch 3 teilen, um die Variable zu isolieren.

Lassen Sie&rsquos Ihre Schritte zur Lösung dieser zweistufigen Gleichung überprüfen. Ihr Ziel ist es, Ihre Variable zu isolieren, sodass Sie zuerst diesen Variablenterm allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens erhalten müssen.

Beispiele

Vorhin wurde Ihnen ein Problem mit der neuen Konfiguration der Blaskapelle mitgeteilt.

Schauen wir uns zuerst die gegebenen Informationen an.

Es gibt 144 Schüler in der Band. Es gibt auch einen Tambourmajor. Die Schüler müssen in acht geraden Reihen organisiert werden.

Beachten Sie, dass der Tambourmajor nicht enthalten ist. Der Tambourmajor ist nicht in den Zeilen enthalten, da der Tambourmajor in der Führung steht.

Als nächstes haben Sie nur eine einstufige Gleichung.

In jeder Reihe werden 18 Schüler sein.

Ein Gärtner berechnet $20 für jede Gartenarbeit plus $15 für jede geleistete Arbeitsstunde. Er verlangte 80 Dollar für eine Gartenarbeit, die er gestern erledigt hatte.

  1. Schreiben Sie eine algebraische Gleichung, um h darzustellen, die Anzahl der Stunden, die der Gärtner für diesen 80-Dollar-Job gearbeitet hat.
  2. Finden Sie heraus, wie viele Stunden der Gärtner für diesen 80-Dollar-Job gearbeitet hat.

Um Teil a zu lösen, müssen Sie zunächst eine Gleichung schreiben. In diesem Problem suchen Sie nach der Anzahl der Stunden, also sei h = die Anzahl der Stunden.

Verwenden Sie eine Zahl, ein Operationszeichen, eine Variable oder ein Gleichheitszeichen, um jeden Teil des Problems darzustellen. Der Gärtner verdiente 15 Dollar für jede Stunde, die er bei dieser Arbeit gearbeitet hat. Sie können also 15 Dollar mit der Anzahl der Arbeitsstunden multiplizieren, um herauszufinden, wie viel Geld der Gärtner für seine Arbeitszeit berechnet hat.

Die für dieses Problem zu verwendende Gleichung lautet also:

Als nächstes lösen Sie Teil b. Sie müssen Ihre Gleichung aus Teil &lsquoa&rsquo verwenden, um die Anzahl der Stunden zu ermitteln, die der Gärtner für diesen Job gearbeitet hat.

Da 15 mit der Variablen h multipliziert wird, können Sie die Umkehrung der Multiplikation verwenden, die Division ist. Teilen Sie beide Seiten durch 15.

Der Gärtner arbeitete vier Stunden.

Verwenden Sie zunächst inverse Operationen (Subtraktion), um den Term zu erhalten, der eine Variable 4x allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens enthält.

Als nächstes verwenden Sie inverse Operationen (Division), um das x selbst zu erhalten.

Verwenden Sie zunächst inverse Operationen (Subtraktion), um den Term zu erhalten, der eine Variable, 3y, allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens enthält.

Verwenden Sie als Nächstes inverse Operationen (Division), um &lsquoy&rsquo allein zu erhalten.

Verwenden Sie zunächst inverse Operationen (Subtraktion), um den Term zu erhalten, der eine Variable 6x allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens enthält.

Verwenden Sie als Nächstes inverse Operationen (Division), um das &lsquox&rsquo allein zu erhalten.

Rezension

Löse die folgenden zweistufigen Gleichungen, die Addition und Multiplikation enthalten.

  1. 3x+4=22
  2. 4y+3=15
  3. 6x+5=35
  4. 7x+2=16
  5. 9y+8=80
  6. 12x+15=51
  7. 14J+2=30
  8. 7y+5=40
  9. 2x+4=48
  10. 6x+3=39
  11. 8x+2=10
  12. 8x+7=95
  13. 9x+9=90
  14. 3x+5=50
  15. 7x+12=61

Rezension (Antworten)

Um die Antworten der Überprüfung anzuzeigen, öffnen Sie diese PDF-Datei und suchen Sie nach Abschnitt 3.1.

Zusätzliche Ressourcen

PLIX: Spielen, lernen, interagieren, erkunden: T-Shirt-Gleichung

Trainieren: Zweistufige Gleichungen mit Addition und Multiplikation


Beantworte diese Frage

Mathehilfe und Check

Welche Art von Funktion modelliert am besten die Menge der Datenpunkte (–1, 22), (0, 6), (1, –10), (2, –26) und (3, –42)? linear **** quadratisch exponentiell keines der oben genannten 2. Welche Art von Funktion modelliert die Menge der Datenpunkte am besten?

Präalgebra

Die Daten in der Tabelle veranschaulichen eine lineare Funktion. x| –3, 0, 3, 6 Jahre| –6, –2, 2, 6 Welche Steigung hat die lineare Funktion? Welche Grafik repräsentiert die Daten?

Voralgebra

Welche Funktionsregel repräsentiert die Daten in der Tabelle X|-3|-2|-1|0 |1 Y|1 |-2|-5|-8|-11 A. Y=-3x-8 B. Y= 1/3x-8***? C. Y=1/3x+8 D. Y=-3x+8

12. Welche Funktion ist eine quadratische Funktion? A. y=3x^2+x B. y=2x-1 C. y=3/x D. y= -|x| Welche Funktionsregel repräsentiert die Daten in der Tabelle? x -3, -2, -1, 0, 1 y 1, -2, -5, -8, -11 A. y=-3x-8 B. y=1/3x -8 C. y=1/ 3x+8 D. y=3x+8

Jane organisiert eine Spendenaktion, um eine Tischtennisplatte für das Gemeindezentrum zu kaufen. Der Tisch kostet $500,00. Jane bittet die Beitragszahler, einen gleichen Anteil an den Kosten des Tisches zu zahlen. Sie hat bereits fünf Mitwirkende liniert

Die Tabelle zeigt die Ausgänge y für verschiedene Eingänge x: Eingang (x) 3 7 11 15 Ausgang (y) 4 6 8 10 Teil A: Stellen die Daten in dieser Tabelle eine Funktion dar? Rechtfertige deine Antwort. (3 Punkte) Teil B: Vergleichen Sie die Daten in der Tabelle mit den

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Myra verwendet eine inverse Variationsfunktion, um die Daten für die unten geordneten Paare zu modellieren. (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) Welche Aussage erklärt am besten, ob eine inverse Variationsfunktion das beste Modell für die Daten ist?

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welche Art von Funktion modelliert die Daten in der Tabelle am besten Verwenden Sie Differenzen oder Verhältnisse x y 0, 1,3 1, 7,8 2, 46,8 3, 280,8 4, 1684,8 A) Linear B) Quadratisch C) Exponential D) Keines der oben genannten

Mathe Ich brauche so schnell wie möglich Hilfe!

1) Identifizieren Sie die in der Tabelle gezeigte Funktionsregel. Funktionstabelle n - 3, 4, 5, 6 y - 2, 1, 0, -1 a. y = 2 + nb. y = 5nc. y = 5 - n d. nicht genügend Informationen ** 2) Welche Werte hat die Funktion y = -2x - 4 für x = 0,1,2 und

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Art der Funktion am besten modelliert die Daten in der Tabelle verwendet zu Differenzen oder Verhältnissen 0 0,6 1 4,2 2 29,4 3 205,8 4 1440.6

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Stellen die Daten in der Tabelle eine direkte oder inverse Variation dar? Schreiben Sie eine Gleichung, die die Daten in der Tabelle modelliert. X | 1 | 3 | 5 | 10 Jahre | 4 | 12| 20| 40 A) direkte Variation y=4x B) direkte Variation y=1/4x C) invers

Algebra

Der Wasserstand w eines Flusses nach einem Regenschauer ist eine Funktion der Zeit t in Stunden seit Beginn des Sturms. Die folgende Tabelle zeigt die zu verschiedenen Zeiten erfassten Wasserstandsmesswerte. Stunden seit Sturmbeginn (t)


2.3 Undurchführbarkeit der linearen Optimierung¶

In diesem Abschnitt diskutieren wir die grundlegende Theorie von Urkunden der Undurchführbarkeit für lineare Probleme. Diese Ideen werden weiter entwickelt, nachdem wir im nächsten Abschnitt die Dualität eingeführt haben.

Eine der ersten Fragen, mit denen man sich bei einem Optimierungsproblem konfrontiert sieht, ist, ob es überhaupt Lösungen gibt. Wie wir bereits besprochen haben, gilt für ein lineares Optimierungsproblem

ist ein konvexes Polytop. Wir sagen, das Problem ist möglich if (_p eqemptyset) und undurchführbar Andernfalls.

Betrachten Sie das Optimierungsproblem:

Dieses Problem ist undurchführbar. Wir sehen es, indem wir eine Linearkombination der Nebenbedingungen mit den Koeffizienten (y=(1,2,-1)^T) nehmen:

Dies beweist eindeutig die Undurchführbarkeit: Die linke Seite ist negativ und die rechte Seite ist positiv, was unmöglich ist.

2.3.1 Lemma von Farkas¶

Im letzten Beispiel haben wir die Undurchführbarkeit des linearen Systems bewiesen, indem wir eine explizite Linearkombination der Gleichungen gezeigt haben, so dass die rechte Seite (Konstante) positiv ist, während auf der linken Seite alle Koeffizienten negativ oder null sind. In der Matrixschreibweise ist eine solche Linearkombination durch einen Vektor (y) mit (A^Tyleq 0) und (b^Ty>0) gegeben. Das nächste Lemma zeigt, dass die Undurchführbarkeit von (2.11) Äquivalent auf die Existenz eines solchen Vektors.

Gegeben (A) und (b) wie in (2.11) ist genau eine der beiden Aussagen wahr:

Es existiert (xgeq 0) mit (Ax = b) .

Es gibt (y) mit (A^T y leq 0) und (b^T y > 0) .

Seien (a_1,ldots,a_n) die Spalten von (A) . Der Satz () ist ein geschlossener konvexer Kegel, der von (a_1,ldots,a_n) aufgespannt wird. Enthält dieser Kegel (b), dann haben wir die erste Alternative. Andernfalls kann der Kegel vom Punkt (b) durch eine durch (0) verlaufende Hyperebene getrennt werden, dh es existiert (y) mit (y^Tb>0) und (y^Ta_ileq 0) für alle (i) . Dies entspricht der zweiten Alternative. Schließlich schließen sich 1. und 2. gegenseitig aus, denn sonst hätten wir

Das Lemma von Farkas impliziert, dass entweder das Problem (2.11) machbar ist oder es gibt a Unbedenklichkeitsbescheinigung (y) . Mit anderen Worten, jedes Mal, wenn wir das Modell als nicht durchführbar klassifizieren, können wir diese Tatsache durch die Angabe eines geeigneten (y) wie in Beispiel 2.3 bestätigen.

2.3.2 Undurchführbarkeit lokalisieren¶

Wie wir bereits besprochen haben, gibt die Undurchführbarkeitsbescheinigung (y) Koeffizienten einer Linearkombination der Randbedingungen an, die „auf offensichtliche Weise“ nicht durchführbar ist, also auf der einen Seite positiv und auf der anderen negativ ist. In einigen Fällen kann (y) sehr spärlich sein, d. h. es kann nur sehr wenige Nicht-Nullen haben, was bedeutet, dass bereits eine sehr kleine Teilmenge der Einschränkungen die Grundursache für die Undurchführbarkeit ist. Dies kann interessant sein, wenn wir beispielsweise ein großes Modell debuggen, von dem wir erwartet hatten, dass es machbar ist, und die Undurchführbarkeit durch einen Fehler in der Problemformulierung verursacht wird. Dann müssen wir nur noch das Teilproblem betrachten, das durch Beschränkungen mit Indexmenge () .

Beachten Sie als Warnhinweis die Einschränkungen

Jedes Problem mit diesen Beschränkungen ist undurchführbar, aber das Weglassen einer der Ungleichungen erzeugt ein machbares Teilproblem.


Video-Lektion

Fügen Sie die Daten in einem Streudiagramm hinzu und bestimmen Sie, ob eine Korrelation zwischen x und y besteht oder nicht

x 1 4 5 7 9
ja 14 34 27 40 38


9.1 Integer-Modellierung¶

Ein allgemeines gemischt-ganzzahliges konisches Optimierungsproblem hat die Form

wobei (K) ein Kegel ist und (subseteq <1, dots, n>) die Menge der Variablen bezeichnet, die auf ganze Zahlen beschränkt sind.

Zwei Haupttechniken sind typisch für die gemischt-ganzzahlige Optimierung. Die erste ist die Verwendung von binäre Variablen, auch bekannt als Indikatorvariablen, die nur die Werte 0 und 1 annehmen und das Fehlen oder Vorhandensein eines bestimmten Ereignisses oder einer bestimmten Wahl anzeigen. Diese Einschränkung kann natürlich in der Form (9.1) schriftlich modelliert werden:

Der andere, bekannt als groß-M, bezieht sich darauf, dass manche Beziehungen nur dann linear modelliert werden können, wenn man eine feste Schranke (M) der beteiligten Größen annimmt und diese Konstante in die Modellformulierung eingeht. Die Wahl von (M) kann die Leistung des Modells beeinflussen, siehe Beispiel 7.8.

9.1.1 Implikationen von Positivität¶

Oft haben wir eine reellwertige Variable (xin R), die (0 leq x < M) für eine bekannte obere Schranke (M) erfüllt, und wir wollen die Implikation modellieren

Wenn wir (z) zu einer binären Variablen machen, können wir (9.2) als lineare Ungleichung schreiben

Tatsächlich schließt (x>0) die Möglichkeit von (z=0) aus, erzwingt also (z=1) . Da a priori (xleq M) ist, besteht keine Gefahr, dass die Einschränkung das Problem versehentlich unmöglich macht. Eine typische Anwendung dieses Tricks ist die Modellierung fixer Rüstkosten.

Angenommen, die Produktion eines bestimmten Artikels (i) kostet (u_i) pro Einheit, aber es fallen zusätzliche Fixkosten von (w_i) an, wenn wir den Artikel (i) überhaupt herstellen. Zum Beispiel könnten (w_i) die Kosten für die Einrichtung einer Produktionsanlage, die Anschaffungskosten der Ausrüstung usw. sein. Dann sind die Kosten für die Herstellung von (x_i) Produkteinheiten (i) durch die unstetige Funktion . gegeben

Wenn wir (M) eine obere Schranke für die Mengen bezeichnen, die wir produzieren können, können wir die Gesamtproduktionskosten von (n) Produkten unter einer affinen Nebenbedingung (Ax=b) mit minimize minimieren

Das ist ein lineares gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem. Beachten Sie, dass wir durch die Minimierung der Produktionskosten (z_i) auf 0 setzen, wenn (x_i=0) , so dass die Einrichtungskosten tatsächlich nur für Produkte mit (x_i>0) enthalten sind.

Abb. 9.1 Produktionskosten mit fixen Rüstkosten (w_i) . ¶

9.1.2 Halbstetige Variablen¶

Wir können auch modellieren Halbkontinuität einer Variablen (xin eal) ,

wobei (0<aleq b) mit einer doppelten Ungleichung

9.1.3 Indikatorbeschränkungen¶

Angenommen, wir möchten die Tatsache modellieren, dass eine bestimmte lineare Ungleichung erfüllt sein muss, wenn ein anderes Ereignis eintritt. Mit anderen Worten, für eine binäre Variable (z) wollen wir die Implikation

Angenommen, wir kennen im Voraus eine obere Schranke (a^Tx-bleq M) . Dann können wir das obige als lineare Ungleichung schreiben

Wenn nun (z=1) ist, dann haben wir (a^Txleq b) erzwungen, während für (z=0) die Ungleichung trivialerweise erfüllt ist und keine zusätzliche Einschränkung auf (x) erzwingt. .

9.1.4 Disjunktive Beschränkungen¶

Bei einer disjunktiven Nebenbedingung verlangen wir, dass mindestens eine der gegebenen linearen Nebenbedingungen erfüllt ist, d. h

Indem wir die binären Variablen (z_1,ldots,z_k) einführen, können wir Sec. 9.1.3 (Indikatorbeschränkungen) zum Schreiben eines linearen Modells

Beachten Sie, dass (z_j=1) impliziert, dass die (j)-te Einschränkung erfüllt ist, aber nicht umgekehrt. Das Erreichen dieses Effekts wird im nächsten Abschnitt beschrieben.

9.1.5 Zufriedenheit mit Einschränkungen¶

Nehmen wir an, wir wollen ein Optimierungsmodell definieren, das sich je nach Ungleichung unterschiedlich verhält

ist befriedigt. Angenommen, wir haben untere und obere Schranken für (a^Tx-b) in der Form (mleq a^Tx-bleq M) . Dann können wir ein Modell schreiben

Beachten Sie nun, dass aus (z=0) (bleq a^Txleq b+M) folgt, von denen die rechte Ungleichung redundant, d. h. immer erfüllt ist. Ebenso impliziert (z=1) (b+mleq a^Txleq b) . Mit anderen Worten ist (z) ein Indikator dafür, ob (a^Txleq b) .

In der Praxis würden wir eine Ungleichung mit etwas Spiel lockern, d. h.

um Probleme bei der Klassifizierung der Gleichheit (a^Tx=b) zu vermeiden.

9.1.6 Genauer Absolutwert¶

In Sek. 2.2.2 (Absolutwert) haben wir gezeigt, wie (|x|leq t) als zwei lineare Ungleichungen modelliert wird. Angenommen, wir müssen eine exakte Gleichheit modellieren

Sie definiert eine nichtkonvexe Menge, ist also nicht konisch darstellbar. Wenn wir (x) in positiven und negativen Teil (x=x^+-x^-) aufteilen, wobei (x^+,x^-geq 0) gilt, dann gilt (|x|= x^++x^-) solange entweder (x^+=0) oder (x^-=0) . Diese letzte Alternative kann mit einer binären Variablen modelliert werden, und wir erhalten ein Modell von (9.7):

wobei die Konstante (M) eine a priori bekannte obere Schranke von (|x|) im Problem ist.

9.1.7 Genaue 1-Norm¶

Wir können die obige Technik verwenden, um die exakte (ell_1) -Normgleichheitsbedingung zu modellieren

wobei (xin eal^n) eine Entscheidungsvariable und (c) eine Konstante ist. Solche Einschränkungen ergeben sich zum Beispiel in voll investiert portfolio optimizations scenarios (with short-selling). As before, we split (x) into a positive and negative part, using a sequence of binary variables to guarantee that at most one of them is nonzero:

9.1.8 Maximum¶

The exact equality (t=max) can be expressed by introducing a sequence of mutually exclusive indicator variables (z_1,ldots,z_n) , with the intention that (z_i=1) picks the variable (x_i) which actually achieves maximum. Choosing a safe bound (M) we get a model:

9.1.9 Boolean operators¶

Typically an indicator variable (zin<0,1>) represents a boolean value (true/false). In this case the standard boolean operators can be implemented as linear inequalities. In the table below we assume all variables are binary.

Table 9.1 Boolean operators ¶

At most one of (z_1,ldots,z_n) holds (SOS1, set-packing)

Exactly one of (z_1,ldots,z_n) holds (set-partitioning)

At least one of (z_1,ldots,z_n) holds (set-covering)

At most (k) of (z_1,ldots,z_n) holds (cardinality)

9.1.10 Fixed set of values¶

We can restrict a variable (x) to take on only values from a specified finite set () by writing

In (9.12) we essentially defined (z_i) to be the indicator variable of whether (x=a_i) . In some circumstances there may be more efficient representations of a restricted set of values, for example:

(modulo) (xin <1,4,7,10>iff x=3z+1, 0leq zleq 3, zinintegral) ,

(fraction) (xin <0,1/3,2/3,1>iff 3x=z, 0leq zleq 3, zinintegral) ,

(gap) (xin(-infty,a]cup[b,infty)iff b-M(1-z)leq xleq a+Mz, zin<0,1>) for sufficiently large (M) .

In a very similar fashion we can restrict a variable (x) to a finite union of intervals (igcup_i [a_i,b_i]) :

9.1.11 Alternative as a bilinear equality¶

In the literature one often finds models containing a bilinear constraint

This constraint is just an algebraic formulation of the alternative (x=0) or (y=0) and therefore it can be written as a mixed-integer linear problem:

for a suitable constant (M) . The absolute value can be omitted if both (x,y) are nonnegative. Otherwise it can be modeled as in Sec. 2.2.2 (Absolute value) .

9.1.12 Equal signs¶

Suppose we want to say that the variables (x_1,ldots,x_n) must either be all nonnegative or all nonpositive. This can be achieved by introducing a single binary variable (zin<0,1>) which picks one of these two alternatives:

Indeed, if (z=0) then we have (-Mleq x_ileq 0) and if (z=1) then (0leq x_ileq M) .

9.1.13 Continuous piecewise-linear functions¶

Consider a continuous, univariate, piecewise-linear, non-convex function (f:[alpha_1,alpha_5] mapsto R) shown in Fig. 9.2 . At the interval ([alpha_j,alpha_]) , (j=1,2,3,4) we can describe the function as

where (lambda_jalpha_j+lambda_alpha_=x) and (lambda_j+lambda_=1) . If we add a constraint that only two (adjacent) variables (lambda_, lambda_) can be nonzero, we can characterize every value (f(x)) over the entire interval ([alpha_1,alpha_5]) as some convex combination,

Fig. 9.2 A univariate piecewise-linear non-convex function. ¶

The condition that only two adjacent variables can be nonzero is sometimes called an SOS2 constraint. If we introduce indicator variables (z_i) for each pair of adjacent variables ((lambda_i,lambda_)) , we can model an SOS2 constraint as:

so that we have (z_j=1implies lambda_i=0, i eq) . Collectively, we can then model the epigraph (f(x)leq t) as

for a piecewise-linear function (f(x)) with (n) terms. This approach is often called the lambda-method.

For the function in Fig. 9.2 we can reduce the number of integer variables by using a Gray encoding

of the intervals ([alpha_j,alpha_]) and an indicator variable (yin <0,1>^2) to represent the four different values of Gray code. We can then describe the constraints on (lambda) using only two indicator variables,

which leads to a more efficient characterization of the epigraph (f(x)leq t) ,

The lambda-method can also be used to model multivariate continuous piecewise-linear non-convex functions, specified on a set of polyhedra (P_k) . For example, for the function shown in Fig. 9.3 we can model the epigraph (f(x)leq t) as

Note, for example, that (z_2=1) implies that (lambda_2=lambda_5=lambda_6=0) and (x=lambda_1 v_1 + lambda_3 v_3 + lambda_4 v_4) .

Fig. 9.3 A multivariate continuous piecewise-linear non-convex function. ¶

9.1.14 Lower semicontinuous piecewise-linear functions¶

The ideas in Sec. 9.1.13 (Continuous piecewise-linear functions) can be applied to lower semicontinuous piecewise-linear functions as well. For example, consider the function shown in Fig. 9.4 . If we denote the one-sided limits by (f_<->(c):=lim_f(x)) and (f_<+>(c):=lim_f(x)) , respectively, the one-sided limits, then we can describe the epigraph (f(x)leq t) for the function in Fig. 9.4 as

where we have a different decision variable for the intervals ([alpha_1,alpha_2)) , ([alpha_2,alpha_2]) , and ((alpha_2,alpha_3]) . As a special case this gives us an alternative characterization of fixed charge models considered in Sec. 9.1.1 (Implication of positivity) .

Fig. 9.4 A univariate lower semicontinuous piecewise-linear function. ¶


Cost Function of Linear Regression

Basics of Machine Learning Series

Linear Regression

Linear regression is an approach for modeling the relationship between a scalar dependent variable y and one or more explanatory variables (or independent variables) denoted X. The case of one explanatory variable is called simple linear regression oder univariate linear regression. For more than one explanatory variable, the process is called multiple linear regression. In linear regression, the relationships are modeled using linear predictor functions whose unknown model parameters are estimated from the data. Such models are called linear models.

Hypothesis

The hypothesis for a univariate linear regression model is given by,

  • Where
    • (h_ heta (x)) is the hypothesis function, also denoted as (h(x)) sometimes
    • (x) is the independent variable
    • ( heta_0) and ( heta_1) are the parameters of the linear regression that need to be learnt

    Parameters of the Hypothesis

    In the above case of the hypothesis, ( heta_0) and ( heta_1) are the parameters of the hypothesis. In case of a univariate linear regression, ( heta_0) is the y-intercept and ( heta_1) is the slope of the line.

    Different values for these parameters will give different hypothesis function based on the values of slope and intercepts.

    Cost Function of Linear Regression

    Assume we are given a dataset as plotted by the ‘x’ marks in the plot above. The aim of the linear regression is to find a line similar to the blue line in the plot above that fits the given set of training example best. Internally this line is a result of the parameters ( heta_0) and ( heta_1). So the objective of the learning algorithm is to find the best parameters to fit the dataset i.e. choose ( heta_0) and ( heta_1) so that (h_ heta (x)) is close to y for the training examples (x, y). This can be mathematically represented as,

    • Where
      • (h_ heta(x^<(i)>) = heta_0 + heta_1,x^ <(i)>)
      • ((x^<(i)>,y^<(i)>)) is the (i^
  • m is the number of training example
  • (<1 over 2>) is a constant that helps cancel 2 in derivative of the function when doing calculations for gradient descent
  • So, cost function is defined as follows,

    which is basically ( <1 over 2>ar) where (ar) is the mean of squares of (h_ heta(x^<(i)>) - y^<(i)>), or the difference between the predicted value and the actual value.

    Und learning objective is to minimize the cost function i.e.

    This cost function is also called the squared error function because of obvious reasons. It is the most commonly used cost function for linear regression as it is simple and performs well.

    Understanding Cost Function

    Cost function and Hypthesis are two different concepts and are often mixed up. Some of the key differences to remember are,

    ) training data
    Hypothesis (h_ heta(x)) Cost Function (J( heta_1))
    For a fixed value of ( heta_1), function of x Function of parameter ( heta_1)
    Each value of ( heta_1) corresponds to a different hypothesis as it is the slope of the line For any such value of ( heta_1), (J( heta_1)) can be calculated using (3) by setting ( heta_0 = 0)
    It is a linear line or a hyperplane Squared error cost function given in (3) is convex in nature

    Consider a simple case of hypothesis by setting ( heta_0 = 0), then (1) becomes

    which corresponds to different lines passing through the origin as shown in plots below as y-intercept i.e. ( heta_0) is nulled out.

    For the given training data, i.e. x’s marked on the graph, one can calculate cost function at different values of ( heta_1) using (3) which can be expressed in the following form using (5),

    On plotting points like this further, one gets the following graph for the cost function which is dependent on parameter ( heta_1).

    In the above plot each value of ( heta_1) corresponds to a different hypothesis. Das optimization objective was to minimize the value of (J( heta_1)) from (4), and it can be seen that the hypothesis correponding to the minimum (J( heta_1)) would be the best fitting straight line through the dataset.

    The issue lies in the fact that we cannot always find the optimum global minima of the plot manually because as the number of dimensions increase, these plots would be much more difficult to visualize and interpret. So there is a need of an automated algorithm that can help achieve this objective.


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    Respond to this Question

    Math help and check

    Which kind of function best models the set of data points (–1, 22), (0, 6), (1, –10), (2, –26), and (3, –42)? linear **** quadratic exponential none of the above 2. Which kind of function best models the set of data points

    Pre Algebra

    The data in the table illustrate a linear function. x| –3, 0, 3, 6 y| –6, –2, 2, 6 What is the slope of the linear function? Which graph represents the data?

    Pre algebra

    Which function rule represents the data in the table X|-3|-2|-1|0 |1 Y|1 |-2|-5|-8|-11 A. Y=-3x-8 B. Y=1/3x-8***? C. Y=1/3x+8 D. Y=-3x+8

    12. Which function is a quadratic function? A. y=3x^2+x B. y=2x-1 C. y=3/x D. y= -|x| Which function rule represents the data in the table? x -3, -2, -1, 0, 1 y 1, -2, -5, -8, -11 A. y=-3x-8 B. y=1/3x -8 C. y=1/3x+8 D. y=3x+8

    Jane is organizing a fundraiser to buy a ping-pong table for the community center. The table costs $500.00. Jane is asking contributors to pay for an equal share of the cost of the table. She already has five contributors lined

    The table shows the outputs y for different inputs x: Input (x) 3 7 11 15 Output (y) 4 6 8 10 Part A: Do the data in this table represent a function? Justify your answer. (3 points) Part B: Compare the data in the table with the

    Algebra

    Myra uses an inverse variation function to model the data for the ordered pairs below. (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) Which statement best explains whether an inverse variation function is the best model for the data?

    Algebra

    which kind of function best models the data in the table use differences or ratios x y 0, 1.3 1, 7.8 2, 46.8 3, 280.8 4, 1684.8 A) linear B) quadratic C) exponential D) none of the above

    Math I need help ASAP!

    1) Identify the function rule shown in the table. Function Table n - 3, 4, 5, 6 y - 2, 1, 0, -1 a. y = 2 + n b. y = 5n c. y = 5 - n d. not enough information ** 2) What is the values of the function y = -2x - 4 for x = 0,1,2 and

    Algebra

    kind of function best models the data on the table used to differences or ratios 0 0.6 1 4.2 2 29.4 3 205.8 4 1440.6

    Algebra 1

    Does the data in the table represent a direct or inverse variation? Write an equation that models the data in the table. X | 1 | 3 | 5 | 10 Y | 4 | 12| 20| 40 A) direct variation y=4x B) direct variation y=1/4x C) inverse

    Algebra

    The water level, w, in feet, of a river after a rainstorm is a function of the time, t, in hours, since the storm began. The table below shows the water level readings collected at different times. Hours Since Storm Began (t)


    2.3: Modeling with Linear Functions

    3x + 2y &ndash 5z = 8.

    In fact, any linear equation can be put in the form

    wo nein is the number of variables, the variables are x1, x2, . , xnein, und c0, c1, . , cnein are constants.

    EIN system is just a collection of such linear equations, and to solve a system look for the values of the variables which make all the equations true simultaneously. For instance, if x und y are the variables, then an example system of linear equations is

    5x &ndash 2y= 4
    x + 2y= 8

    There are various ways of solving this system, and they lead to the unique solution where x = 2 and y = 3. We&rsquoll look next at a common algorithm for solving systems of simultaneous equations called elimination.

    Elimination: the first example

      There are three classes of corn, of which three bundles of the first class, two of the second and one of the third make 39 measures. Two of the first, three of the second and one of the third make 34 measures. And one of the first, two of the second and three of the third make 26 measures. How many measures of grain are contained in one bundle of each class?

    3x+ 2y + z= 39
    2x+ 3y + z= 34
    x+ 2y + 3z= 26

      Rule. Arrange the 3, 2, and 1 bundles of the three classes and the 39 measures of the grains at the right. Arrange other conditions in the middle and at the left.

    Putting the numbers in rows rather than columns, and starting at the top instead of the right, we get the matrix of coefficients of the system of simultaneous linear equations that appears above.

    This matrix contains all the information of the system of equations so long as we remember what the rows and columns mean. But we don&rsquot have to write down all the variables, so it&rsquos more concise.

      Of the quantities that do not vanish, make the first the divisor and the next the dividend, that is, of the third class.
      To find the second class, with the divisor multiply the measure in the middle row and leave out from it the dividends for the third and second classes. The remainder being divided by the number of bundles of the first class gives the dividend for the first class.
      To find the first class, also with the divisor multiply the measures in the first row and leave out from it the dividends for the third and second classes. The remainder being divided by the number of bundles of the first class gives the dividend for the first class.

    A second example

      There are three kinds of corn. The grains contained in two, three and four bundles, respectively, of these classes of corn, are not sufficient to make a whole measure. If however we add to them one bundle of the second, third, and first classes, respectively, then the grains would become full one measure in each case. How many measures of grain does then each one bundle of the different classes contain?

    2x+ y = 1
    3y + z= 1
    x + 4z= 1

    As a matrix this looks like

    First, we&rsquoll put it in echelon form. There already is a 0 at the beginning of the second row. We need to get a 0 at the beginning of the third row. For this example, let&rsquos follow the ancient Chinese method that avoids fractions as long as possible. Double the third row to get 2 0 8 2, and subtract the first row from it.

    You might wonder how the ancient Chinese dealt with negative numbers like the ם that appears in the third row. They had no problem with them. According to Lui Hui (c. 263 C.E.) who wrote about the Jiuzhang suanshu, red rods were used for positive numbers and black rods for negative numbers. He also explained how to add and subtract positive and negative numbers.

    For this problem, we can continue by tripling the third row to get 0 &ndash3 24 3, and then adding the second row to it.

    The matrix is now in echelon form. We know z = 4/25. We can continue to avoid fractions if we multiply the second row by 25 to get 0 75 25 25 and subtracting the third from it.

    We now have y = 21/75 = 7/25. Multiply the first row by 25 to get 50 25 0 25, and subtract the second row 0 25 0 7 from it.

    Therefore, x = 18/50 = 9/25. We&rsquove solved the problem. The solution is: one bundle of the first class contains x = 9/25 measures of grain, one bundle of the second class contains y = 7/25 measures of grain, and one bundle of the third class contains z = 4/25 measures of grain.

    Fractions earlier in the method

    2x+ 5y&ndash 13 z= 1000
    3x&ndash 9y + 3z= 0
    &ndash5x+ 6y + 8z= &ndash600

    As a matrix this looks like

    We can begin by putting a 1 at the beginning of the first row by dividing that row by 2.

    Now subtract 3 times the first row from the second, and add 5 times the first row to the third. That will make the first entries in the second and third rows both 0.

    12.5&ndash6.5500
    0&ndash16.522.5&ndash1500
    018.5&ndash24.51900

    Next, divide the second row by &ndash16.5 to put a 1 in its first nonzero entry. We can wait on the third row until later.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    018.5&ndash24.51900

    (Note that we&rsquove only kept five significant figures. You would think that would be enough, but we&rsquoll see how that small roundoff error makes a larger error in the final answer.)

    Now subtract 18.5 times the second row from the third.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    00.7266218.18

    (The error is building up. The .7266 should be .727272. )

    Divide the third row by .7266 so its leading nonzero entry becomes 1.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    001300.275

    (The correct entry in the last row is 300, not 300.275.)

    The matrix is now in echelon form where the first nonzero entry in each row is a 1. We know what z is, 300.275. We can back substitute. Add 1.3636 times the third row to the second row, and add 6.5 times the third row to the first row.

    12.502451.79
    010500.364
    001300.275

    Subtract 2.5 times the second row from the first row.

    1001200.88
    010500.364
    001300.275

    Thus, the solution is that x = 1200.88, y = 500.364, and z = 300.275.

    The fractions are due to roundoff error. The actual solution is x = 1200, y = 500, and z = 300. Even though our computations were done with five significant figures, our final answer is only correct to three significant figures. Typical modern calculators keep a couple extra digits of accuracy to hide the roundoff error. Usually that&rsquos enough, but not always. Perhaps the original method which delays division to the end of the algorithm is a better method.

    Summary of the method, and wrinkles

    Of course, there are shortcuts and exceptions. The order of the rows in the matrix is irrelevant, so you can decide which one goes first. If there&rsquos a 1 as the first entry of some row other than the first, you might just as well make that row the first and save yourself some division. For example, in the matrix

    start off by making the third row the first. You don&rsquot actually have to exchange the rows it&rsquos enough to treat the third row as the first. You can do something similar with the columns, but you can get pretty confused if you do that. (You must remember which column refers to which variable.)

    One time when you have to treat some other row as the first is when the first leads off with a 0. For instance, in the matrix

    you have to make either the second or the third row into the first row.

    Now a wrinkle. In many applications, there is a unique solution, that is, there is only one way to assign values to the variables so that the equations are simultaneously true. But not in all applications. Sometimes, there are no solutions at all, and sometimes there are infinitely many solutions. Here&rsquos a coefficient matrix for a system of linear equations that has no solution.

    Note that if you sum the first two rows, then you get 5 &ndash1 10 13. That says 5xy + 10z = 13. But the third row says 5xy + 10z = 4. Since 13 does not equal 4, there is no solution. If you were to go through the algorithm of elimination, you end up with the matrix

    The important thing to notice is that the last row is a contradiction. It says 0 = 1. There are no values of x, y, und z to make that true. So, there are no solutions to the system. When one of the rows has all zeros in it except the final number, that means the system has no solutions.

    Next, let&rsquos look at a system where there are infinitely many solutions. Take the last example, but change the last entry in the last row to 13.

    Note now how the third row is the sum of the previous two. If you follow through the method of elimination, you end up with the matrix

    The last row says 0 = 0, and that is no condition whatsoever on the values of x, y, und z. The question is: what do you do at this point? The second row says y = 㪦/13, and the first row says x מz = 31/13, that is to say, x = 2z + 31/13. Those are the conditions on x und y, but there are no conditions on z. That means you can take any value of z you want, set y to &ndash14/13, and set x to 2z + 31/13, and you get a solution to the system of equations. There are infinitely many solutions. When the solutions are described that way, we say that they are parameterized durch z.


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