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3.2E: Die verbesserte Euler-Methode und verwandte Methoden (Übungen) - Mathematik


Die meisten der folgenden numerischen Übungen beinhalten Anfangswertprobleme, die in den Übungen in Abschnitt 3.1 behandelt wurden. Es ist aufschlussreich, die Ergebnisse, die Sie hier erhalten, mit den entsprechenden Ergebnissen aus Abschnitt 3.1 zu vergleichen.

Q3.2.1

In Übungen 3.2.1–3.2.5 Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren, um Näherungswerte der Lösung des gegebenen Anfangswertproblems an den Punkten (x_i=x_0+ih) zu finden, wobei (x_0) der Punkt ist, an dem die Anfangsbedingung auferlegt wird und (i =1), (2), (3).

1. (y'=2x^2+3y^2-2,quad y(2)=1;quad h=0.05)

2. (y'=y+sqrt{x^2+y^2},quad y(0)=1;quad h=0,1)

3. (y'+3y=x^2-3xy+y^2,quad y(0)=2;quad h=0.05)

4. (y'= {1+xover1-y^2},quad y(2)=3;quad h=0,1)

5. (y'+x^2y=sin xy,quad y(1)=pi;quad h=0,2)

Q3.2.2

6. Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren mit Schrittweiten (h=0.1), (h=0.05) und (h=0.025), um Näherungswerte für die Lösung des Anfangswertproblems [y' +3y=7e^{4x},quad y(0)=2 onumber] bei (x=0), (0.1), (0.2), (0.3), …, (1.0). Vergleichen Sie diese Näherungswerte mit den Werten der exakten Lösung (y=e^{4x}+e^{-3x}), die nach der Methode von Abschnitt 2.1 erhalten werden kann. Präsentieren Sie Ihre Ergebnisse in einer Tabelle wie Tabelle 3.2.2.

7. Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren mit Schrittweiten (h=0.1), (h=0.05) und (h=0.025), um Näherungswerte für die Lösung des Anfangswertproblems [y' +{2over x}y={3over x^3}+1,quad y(1)=1 onumber] bei (x=1.0), (1.1), (1.2 ), (1.3), …, (2.0). Vergleichen Sie diese Näherungswerte mit den Werten der exakten Lösung [y={1over3x^2}(9ln x+x^3+2) onumber], die nach der Methode von Abschnitt 2.1 erhalten werden kann. Präsentieren Sie Ihre Ergebnisse in einer Tabelle wie Tabelle 3.2.2.

8. Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren mit den Schrittweiten (h=0.05), (h=0.025) und (h=0.0125), um Näherungswerte für die Lösung des Anfangswertproblems [y' ={y^2+xy-x^2über x^2},quad y(1)=2, onumber] bei (x=1.0), (1.05), (1.10 ), (1.15), …, (1.5). Vergleichen Sie diese Näherungswerte mit den Werten der exakten Lösung [y={x(1+x^2/3)over1-x^2/3} onumber] aus Beispiel [Beispiel:2.4.3}. Präsentieren Sie Ihre Ergebnisse in einer Tabelle wie Tabelle 3.2.2.

9. In Beispiel [Beispiel:3.2.2} wurde gezeigt, dass [y^5+y=x^2+x-4 onumber] eine implizite Lösung des Anfangswertproblems [y'={2x +1over5y^4+1},quad y(2)=1. ag{A}] Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren mit den Schrittweiten (h=0.1), (h=0.05) und (h=0.025), um Näherungswerte für die Lösung von (A) zu finden bei (x=2.0), (2.1), (2.2), (2.3), …, (3.0). Präsentieren Sie Ihre Ergebnisse in tabellarischer Form. Um den Fehler dieser Näherungswerte zu überprüfen, konstruieren Sie eine weitere Tabelle mit Werten des Residuums [R(x,y)=y^5+yx^2-x+4 onumber] für jeden Wert von ((x, y)) in der ersten Tabelle erscheinen.

10. Sie können von . sehen Beispiel 2.5.1 dass [x^4y^3+x^2y^5+2xy=4 onumber] eine implizite Lösung des Anfangswertproblems [y'=-{4x^3y^3+2xy^5+2y ist über3x^4y^2+5x^2y^4+2x},quad y(1)=1. ag{A} ] Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren mit den Schrittweiten (h=0.1), (h=0.05) und (h=0.025), um Näherungswerte für die Lösung von (A) zu finden bei (x=1.0), (1.14), (1.2), (1.3), …, (2.0). Um den Fehler dieser Näherungswerte zu überprüfen, konstruieren Sie eine weitere Tabelle mit Werten des Residuums [R(x,y)=x^4y^3+x^2y^5+2xy-4 onumber] für jeden Wert von ((x,y)) erscheint in der ersten Tabelle.

11. Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren mit Schrittweiten (h=0.1), (h=0.05) und (h=0.025), um Näherungswerte für die Lösung des Anfangswertproblems [(3y ^2+4y)y'+2x+cos x=0, quad y(0)=1 quad ext{(Aufgabe 2.2.13)}] bei (x=0), (0.1 ), (0,2), (0,3), …, (1,0).

12. Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren mit Schrittweiten (h=0.1), (h=0.05) und (h=0.025), um Näherungswerte für die Lösung des Anfangswertproblems [y' +{(y+1)(y-1)(y-2)over x+1}=0, quad y(1)=0quad ext{(Aufgabe 2.2.14)}] bei (x=1.0), (1.1), (1.2), (1.3), …, (2.0).

13. Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren und das verbesserte semilineare Euler-Verfahren mit den Schrittweiten (h=0.1), (h=0.05) und (h=0.025), um Näherungswerte für die Lösung des Anfangs . zu finden Wertproblem [y'+3y=e^{-3x}(1-2x),quad y(0)=2, onumber] bei (x=0), (0.1), (0.2), (0.3), …, (1.0). Vergleichen Sie diese Näherungswerte mit den Werten der exakten Lösung (y=e^{-3x}(2+x-x^2)), die nach der Methode von Abschnitt 2.1 erhalten werden kann. Fällt Ihnen etwas Besonderes an den Ergebnissen auf? Erklären.

Q3.2.3

Die linearen Anfangswertprobleme in Übungen 3.2.14-3.2.19 nicht exakt nach bekannten elementaren Funktionen gelöst werden. Verwenden Sie in jeder Übung die verbesserte Euler- und die verbesserte semilineare Euler-Methode mit den angegebenen Schrittweiten, um Näherungswerte für die Lösung des gegebenen Anfangswertproblems an 11 gleichmäßig beabstandeten Punkten (einschließlich der Endpunkte) im Intervall zu finden.

14. (y'-2y= {1over1+x^2},quad y(2)=2); (h=0.1,0.05,0.025) auf ([2,3])

15. (y'+2xy=x^2,quad y(0)=3); (h=0.2,0.1,0.05) auf ([0,2]) (Übung 2.1.38)

16. ( {y'+{1über x}y={sin xüber x^2},quad y(1)=2}), (h=0.2,0.1,0.05) auf ([1,3]) (Übung 2.1.39)

17. ( {y'+y={e^{-x} an xover x},quad y(1)=0}); (h=0.05,0.025,0.0125) auf ([1,1.5]) (Übung 2.1.40),

18. ( {y'+{2xover 1+x^2}y={e^xover (1+x^2)^2}, quad y(0)=1}); (h=0.2,0.1,0.05) auf ([0,2]) (Aufgabe 2.1.41)

19. (xy'+(x+1)y=e^{x^2},quad y(1)=2); (h=0.05,0.025,0.0125) auf ([1,1.5]) (Übung 2.1.42)

Q3.2.4

In Übungen 3.2.20-32.22 Verwenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren und das verbesserte semilineare Euler-Verfahren mit den angegebenen Schrittweiten, um Näherungswerte der Lösung des gegebenen Anfangswertproblems an 11 gleichmäßig beabstandeten Punkten (einschließlich der Endpunkte) im Intervall zu finden.

20. (y'+3y=xy^2(y+1),quad y(0)=1); (h=0.1,0.05,0.025) auf ([0,1])

21. ( {y'-4y={xover y^2(y+1)},quad y(0)=1}); (h=0.1,0.05,0.025) auf ([0,1])

22. ( {y'+2y={x^2over1+y^2},quad y(2)=1}); (h=0.1,0.05,0.025) auf ([2,3])

Q3.2.5

23. Machen Sie Übung (PageIndex{7}) mit „verbesserter Euler-Methode“ ersetzt durch „Mittelpunkt-Methode“.

24. Machen Sie Übung (PageIndex{7}) mit der „verbesserten Euler-Methode“ ersetzt durch die „Heun-Methode“.

25. Machen Sie Übung (PageIndex{8}) mit „verbesserter Euler-Methode“ ersetzt durch „Mittelpunkt-Methode“.

26. Machen Sie Übung (PageIndex{8}) mit der „verbesserten Euler-Methode“ ersetzt durch die „Heun-Methode“.

27. Machen Sie Übung (PageIndex{11}) mit „verbesserter Euler-Methode“ ersetzt durch „Mittelpunkt-Methode“.

28. Machen Sie Übung (PageIndex{11}) mit der „verbesserten Euler-Methode“ ersetzt durch die „Heun-Methode“.

29. Machen Sie Übung (PageIndex{12}) mit „verbesserter Euler-Methode“ ersetzt durch „Mittelpunkt-Methode“.

30. Machen Sie Übung (PageIndex{12}) mit „verbesserter Euler-Methode“ ersetzt durch „Heun-Methode“.

31. Zeigen Sie, dass wenn (f), (f_x), (f_y), (f_{xx}), (f_{yy}) und (f_{xy}) sind stetig und beschränkt für alle ((x,y)) und (y) ist die Lösung des Anfangswertproblems [y'=f(x,y),quad y(x_0)=y_0, onumber] dann sind (y'') und (y''') beschränkt.

32. Numerische Quadratur (siehe Aufgabe 3.1.23).

  1. Leiten Sie die Quadraturformel [int_a^bf(x),dx approx 0.5h(f(a)+f(b))+hsum_{i=1}^{n-1}f(a+ ih) ag{A} onumber] (wobei (h=(ba)/n)) durch Anwendung der verbesserten Euler-Methode auf das Anfangswertproblem [y'=f(x),quad y( a)=0.keineZahl ]
  2. Die Quadraturformel (A) heißt die Trapezregel. Zeichnen Sie eine Zahl, die diese Terminologie rechtfertigt.
  3. Für mehrere Auswahlmöglichkeiten von (a), (b), (A) und (B) wenden Sie (A) auf (f(x)=A+Bx) mit ( n = 10,20,40,80,160,320). Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den genauen Antworten und erklären Sie, was Sie finden.
  4. Für mehrere Auswahlmöglichkeiten von (a), (b), (A), (B) und (C) wenden Sie (A) auf (f(x)=A+Bx +Cx^2), mit (n=10), (20), (40), (80), (160), (320). Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den genauen Antworten und erklären Sie, was Sie finden.

3.2E: Die verbesserte Euler-Methode und verwandte Methoden (Übungen) - Mathematik

Kurskoordinator: Dr. Judith Bunder

Kursplan

Den vollständigen Stundenplan aller Aktivitäten für diesen Kurs finden Sie im Kursplaner.

Lernergebnisse des Kurses
1 Demonstrieren Sie das Verständnis gängiger numerischer Methoden und wie sie verwendet werden, um Näherungslösungen für ansonsten schwer zu lösende mathematische Probleme zu erhalten.
2 Wenden Sie numerische Methoden an, um ungefähre Lösungen für mathematische Probleme zu erhalten.
3 Leiten Sie numerische Methoden für verschiedene mathematische Operationen und Aufgaben ab, wie Interpolation, Differentiation, Integration, die Lösung linearer und nichtlinearer Gleichungen und die Lösung von Differentialgleichungen.
4 Analysieren und bewerten Sie die Genauigkeit gängiger numerischer Methoden.
5 Implementieren Sie numerische Methoden in Matlab.
6 Schreiben Sie effizienten, gut dokumentierten Matlab-Code und präsentieren Sie numerische Ergebnisse auf informative Weise.
Hochschulabsolventenattribute

Dieser Kurs bietet den Studierenden die Möglichkeit, die unten angegebenen Absolventenattribute zu entwickeln:

  • informiert und durchdrungen von Spitzenforschung, die während des gesamten Studienprogramms eingerüstet ist
  • erworben im persönlichen Austausch mit forschungsaktiven Pädagogen, ab Jahrgang 1
  • akkreditiert oder validiert nach nationalen oder internationalen Standards (für relevante Programme)
  • durchdrungen von Forschungsmethoden und Strenge
  • basierend auf empirischer Evidenz und dem wissenschaftlichen Ansatz der Wissensentwicklung
  • durch geeignete und relevante Bewertung nachgewiesen demonstrated
Notwendige Ressourcen
Empfohlene Ressourcen
Online lernen
Lern- und Lehrmodi

In diesem Kurs werden verschiedene Methoden zur Bereitstellung des Kursmaterials verwendet.

Einige Vorlesungsmaterialien werden mithilfe von Online-Screencasts zusammen mit interaktiven Maple-TA-Übungen und -Quiz geliefert. Anderes Vorlesungsmaterial wird im traditionellen Präsenzvorlesungsformat geliefert.

Die Tutorien finden 14-tägig statt. In diesen Kursen bearbeiten Sie Übungsaufgaben, die Ihr Verständnis des Vorlesungsstoffs und die Fähigkeit zur Lösung theoretischer Probleme verbessern sollen. Sie werden ermutigt, die Probleme vor dem Tutorial auszuprobieren und alle verbleibenden Probleme danach zu lösen.

Die Praktika finden alle 14 Tage im Wechsel mit Tutorien statt. In diesen Kursen verwenden Sie Matlab, um in Vorlesungen entwickelte numerische Algorithmen zu implementieren. Der Abschluss der Session muss durch praktische Arbeiten nachgewiesen werden.

Die Aufgaben werden 14-tägig festgelegt. In den Aufgaben werden Sie normalerweise gebeten, ein Matlab-Programm zu schreiben, um ein mathematisches Problem zu lösen und Ihre Ergebnisse in einem schriftlichen Bericht darzustellen. Es können auch Fragen zu theoretischen Aspekten des Problems gestellt werden.

Arbeitsbelastung

Die folgenden Informationen dienen als Leitfaden, um den Studierenden dabei zu helfen, sich angemessen mit den Kursanforderungen zu befassen.

Aktivität Menge Arbeitsbelastung Stunden
Vorlesung 24 72
Tutorials 5 20
Zuordnungen 5 40
Praktika 6 24
SUMMEN 156
Zusammenfassung der Lernaktivitäten
Zeitplan
Woche 1 Matlab-Revision, Vektorisierung.
Woche 2 Polynominterpolation. Praxisbeispiel 1: Matlab und Vektorisierung.
Woche 3 Numerische Differenzierung und Integration. Tutorial 1: Polynominterpolation.
Woche 4 Lineare und kubische Splines in einer Dimension. Praxis 2: Numerische Integration und Differenzierung.
Woche 5 Radiale Basisfunktionssplines in mehreren Dimensionen. Tutorial 2: Numerische Integration und Differenzierung.
Woche 6 LU- und QR-Faktorisierung und Anwendungen. Praktisches 3: Splines.
Woche 7 Normen und Zustandsnummern. Jacobi-Methode. Tutorial 3: LU- und QR-Faktorisierung.
Woche 8 Fixpunktiteration, Newton-Methode. Praktisches 4: Numerische Lineare Algebra.
Woche 9 Euler-Verfahren, Verbessertes Euler-Verfahren, Anfangswertprobleme. Tutorial 4: Jacobi-Methode, Fixkomma-Iteration und Newton-Methode.
Woche 10 Runge-Kutta-Methoden, Zeitschrittbeschränkungen, Matlab-ODE-Löser. Praktisches 5: Newton-Methode und gewöhnliche Differentialgleichungen.
Woche 11 Grenzwertprobleme. Partielle Differentialgleichungen. Monte-Carlo-Methoden. Tutorial 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen.
Woche 12 Monte-Carlo-Methoden. Überprüfung Praktikum 6: Partielle Differentialgleichungen und Monte-Carlo-Integration
x
  1. Die Bewertung muss das Lernen fördern und verstärken.
  2. Die Bewertung muss eine solide und faire Beurteilung der Schülerleistung ermöglichen.
  3. Die Bewertungspraktiken müssen für die Schüler fair und gerecht sein und ihnen die Möglichkeit geben, das Gelernte zu demonstrieren.
  4. Die Bewertung muss akademischen Standards entsprechen.
Bewertungszusammenfassung
Komponente Gewichtung Ziel bewertet
Prüfung (3 Stunden) 65% Alle
Zuordnungen 25% Alle
Praktika 6% Alle
Quiz/MapleTA 4% Alle
Bewertungsbezogene Anforderungen
Bewertungsdetails
Bewertungsgegenstand Verteilt Geburtstermin Gewichtung
Aufgabe 1 Woche 2 Woche4 5%
Aufgabe 2 Woche 4 Woche 6 5%
Aufgabe 3 Woche 6 Woche 8 5%
Aufgabe 4 Woche 8 Woche 10 5%
Aufgabe 5 Woche 10 Woche 12 5%

Während des Kurses werden Tutorial-Quiz und MapleTA-Übungen angeboten. Sie haben das gleiche Gewicht.
Vorlage

Sie müssen für jede Aufgabe sowohl elektronische als auch gedruckte Komponenten einreichen. Das elektronische Bauteil ist gemäß der Zuordnungsvorschrift einzureichen. Es wird elektronisch markiert und das Ergebnis zu Ihrer Hardcopy-Marke hinzugefügt. Der gedruckte Teil ist mit einem unterschriebenen Deckblatt an den dafür vorgesehenen Abgabeboxen innerhalb der Fakultät für Mathematik abzugeben.

Verspätete Aufträge werden nicht angenommen. Schüler können aus medizinischen oder mitfühlenden Gründen von einer Aufgabe befreit werden. Es ist eine Dokumentation erforderlich und die Dozentin oder der Dozent muss so schnell wie möglich benachrichtigt werden.

Die Aufgaben haben eine zweiwöchige Bearbeitungszeit für Feedback an die Schüler.

Kursbenotung

Die Noten für Ihre Leistungen in diesem Kurs werden nach folgendem Schema vergeben:

M10 (Kursnotenschema)
Klasse Markierung Beschreibung
F NS Keine Einreichung fehlschlagen
F 1-49 Scheitern
P 50-64 Passieren
C 65-74 Kredit
D 75-84 Unterscheidung
HD 85-100 Hohe Auszeichnung
CN Auch weiterhin
NFE Keine formale Prüfung
RP Ergebnis ausstehend

Nähere Angaben zu den Noten/Ergebnissen sind den Prüfungen zu entnehmen.

Es stehen Notendeskriptoren zur Verfügung, die einen allgemeinen Leitfaden für den Arbeitsstandard bieten, der auf jeder Klassenstufe erwartet wird. Weitere Informationen finden Sie unter Bewertung für Studiengänge.

Die endgültigen Ergebnisse dieses Kurses werden über Access Adelaide zur Verfügung gestellt.

Die Universität legt großen Wert auf Lern- und Lehransätze, die die Studierendenerfahrung verbessern. Feedback von Studierenden wird auf verschiedene Weise eingeholt, einschließlich der laufenden Zusammenarbeit mit dem Personal, der Nutzung von Online-Diskussionsforen und der Nutzung von Umfragen zur Lernerfahrung und Lehre (SELT) sowie von GOS-Umfragen und Programmüberprüfungen.

SELTs sind eine wichtige Informationsquelle für die individuelle Lehrpraxis, Entscheidungen über Lehraufgaben und die Gestaltung von Studiengängen und Studienprogrammen. Sie ermöglichen es der Universität zu beurteilen, wie effektiv ihre Lernumgebungen und Lehrpraktiken das Engagement der Studierenden und die Lernergebnisse fördern. Gemäß der aktuellen SELT-Richtlinie (http://www.adelaide.edu.au/policies/101/) sind Kurs-SELTs vorgeschrieben und müssen am Ende jedes Semesters/Semesters/Trimesters für jedes Kursangebot durchgeführt werden. Feedback zu Themen, die durch SELT-Umfragen im Kurs aufgeworfen wurden, wird den eingeschriebenen Studierenden über verschiedene Ressourcen (z. B. MyUni) zur Verfügung gestellt. Darüber hinaus stehen aggregierte SELT-Kursdaten zur Verfügung.

Dieser Abschnitt enthält Links zu relevanten bewertungsbezogenen Richtlinien und Leitlinien - alle Hochschulrichtlinien.

Die Studierenden werden daran erinnert, dass die Universität zur Wahrung der akademischen Integrität aller Programme und Kurse einen Null-Toleranz-Ansatz verfolgt, wenn Studierende jedem Mitarbeiter, der an ihrer Lehre oder Bewertung beteiligt ist, Geld oder Güter oder Dienstleistungen von hohem Wert anbieten. Studierende, die Dozenten oder Tutoren oder Fachpersonal mehr als ein kleines Zeichen der Wertschätzung anbieten, ist unter keinen Umständen akzeptabel. Die Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter sind verpflichtet, alle derartigen Vorfälle ihrem Vorgesetzten/Vorgesetzten zu melden, der sie im Rahmen des Disziplinarverfahrens der Studierenden an die Universität überweist.

Die University of Adelaide verpflichtet sich zu regelmäßigen Überprüfungen der Kurse und Programme, die sie den Studierenden anbietet. Die University of Adelaide behält sich daher das Recht vor, Programme und Kurse ohne vorherige Ankündigung einzustellen oder zu ändern. Bitte lesen Sie die wichtigen Informationen im Haftungsausschluss.


3.2E: Die verbesserte Euler-Methode und verwandte Methoden (Übungen) - Mathematik

Wenn Sie einen Fehler, eine Auslassung usw. finden, teilen Sie mir dies bitte per E-Mail mit.

Die orangefarbene Kugel markiert unseren aktuellen Standort im Kurs.

Für eine Erklärung des Hintergrundmusters springen Sie zum Ende der Seite. 31. Jan.: plan.pdf und intro.pdf: Verwaltung und Philosophie/Beispiele

Der CA for Math 259 ist Jeechul Woo, ein Doktorand im Fachbereich Mathematik. Die natürliche Vermutung für seine Adresse ist richtig.

Sein Abschnitte wird stattfinden Donnerstags, 18-19 Uhr in Raum 109 des Science Centers.

Feb.2: elem.pdf: Elementare Methoden I: Variationen über Euklid
Hausaufgaben = Übungen 2, 5, 6. (Übungen 2,6 korrigiert 4. Februar, Dank an J.Woo bzw. S.Shah.)

Feb.5: euler.pdf: Elementare Methoden II: Das Euler-Produkt für s>1 und Konsequenzen
(korrigiert Feb.5, um Tippfehler auf Seite 1 zu korrigieren [falsche Gleichungsnummer für Zeta-Funktion, danke an C.Davis] und um einen dummen Tippfehler zu beheben [``nonlinear linear''] auf Seite 6 und erneut Feb.8 um die Übung zu verbessern 2)
Hausaufgaben = Übungen 2, 3, 4, 7.

Feb.7 und Feb.9: dirichlet.pdf: Dirichlet-Zeichen und L-Reihe Der Satz von Dirichlet unter der Hypothese, dass L-Reihen bei s=1 . nicht verschwinden
(Übungen 1,2,3 korrigiert 8./9. Feb. [Tippfehler S für P in #1, ``L-Reihe'' geändert in ``Dirichlet-Reihe'' in #2, Klarstellung für #3], danke an S.Kominers, J.Lesieutre, S .Shah und E.Udovina zwei kleinere Tippfehler in der Mitte von Seite 5 behoben am 13. Februar, dank N.Wage)
Hausaufgaben am 9. Februar = Übungen 1, 3, 7.
Hausaufgaben am 16. Februar = Übungen 5, 6, 8, 9, 10, 11.

21. Februar: chebi.pdf: Cebysevs Methode Einführung der Stirling-Approximation und der von Mangoldt-Funktion Lambda(n) und ihrer Summe psi(x)
(korrigiert 21. Feb., um Vorzeichenfehler auf Seite 2 zu beheben [die zweite Ableitung von log(y) ist -1/y 2 , nicht 1/y 2 -- glücklicherweise betrifft dies nur den Wert von C], dank J.Woo und Feb .22, um die Referenz und einige Hintergrundinformationen für das in Übung 2 erwähnte Diamond-Erdos-Theorem zu geben, danke an Jeff Lagarias für den Hinweis)
Hausaufgaben = Übungen 1, 4, 5, 7.

23. Februar: psi.pdf: Komplexe Analyse kommt über die Konturintegralformel für psi(x) und ähnliche Summen . ins Bild
(korrigiert 1. März, um einen von N.Wage festgestellten Fehler zu beheben: Die Schätzung unten auf Seite 2 [und späterer Text, der davon abhängt, einschließlich Übung 1] hat einen Fehlerterm vernachlässigt – autsch!)
Hausaufgaben = Übungen 1, 2, 3.

26. Februar: zeta1.pdf: Die Funktionalgleichung für die Riemannsche Zetafunktion mit Poisson-Inversion auf Theta-Reihen Grundlegende Fakten über Gamma(S) als Funktion einer komplexen Variablen S
(Übungen 6 und 9 korrigiert 28. Februar und 7. März [Störfaktor von sqrt(Pi) in (8), fehlender Faktor von 1/i in Bsp.9], dank E.Udovina-Formel (1) korrigiert 10. März – J.Woo stellte fest, dass die Summe über CP hatte einen falschen Start! Formel (8) korrigiert 15. März – Silas Richelson bemerkt, dass der letzte Exponent nicht pi w 2 u sein sollte)
Hausaufgaben = Übungen 1, 2, 7 (26. Februar) 8, 9, 10 (28. Februar).

2. März: gamma.pdf: Mehr über Gamma(S) als Funktion einer komplexen Variablen S: Produktformel, Stirling-Approximation und einige Konsequenzen
Hausaufgaben = Übungen 1, 4, 6

5. März: prod.pdf: Funktionen endlicher Ordnung: Hadamards Produktformel und ihre logarithmische Ableitung
(korrigiert 10. März, um einen von J.Woo festgestellten Tippfehler zu beheben: F0, nicht F, im RHS der Formel (3))
Hausaufgaben = Übungen 1, 2, 3, 4

7. März: zeta2.pdf: Die Hadamard-Produkte für xi(s) und zeta(s) vertikale Verteilung der Nullstellen von zeta(s).
(korrigiert 20. und 21. März, um Fehler zu beheben, die von J.Woo und T.Oey in der ersten Zeile des Displays oben auf Seite 5 festgestellt wurden)
Hausaufgaben = Übungen 1, 2

Dieses Bild erschien ohne Erklärung auf einer Webseite für John Derbyshires Primäre Besessenheit. Es ist eine Auftragung der Riemann-Zeta-Funktion auf dem Rand des Rechtecks ​​[0.4,0.6]+[0,14.5]ich in der komplexen Ebene. Da sich die Kontur einmal um den Ursprung windet (und den Punkt nicht enthält S=1, das ist der eindeutige Pol von Zeta(S)), hat die Zeta-Funktion eine eindeutige Null innerhalb dieses Rechtecks. Da die komplexen Nullstellen bekanntermaßen symmetrisch um die Gerade Re(S) = 1/2, muss diese Nullstelle gemäß der Riemannschen Hypothese einen Realteil von genau 1/2 haben.

Es ist bekannt, dass diese erste ``nichttriviale Nullstelle'' von Zeta(S) tritt auf bei S=1/2+es Pro T=14,13472514. Der Pol bei S=1 erklärt den breiten Streifen im dritten Quadranten, der entspricht S des Imaginärteils kleiner als 1.

Hier ist ein ähnliches Bild für L(S,chi4) auf [0.4,0.6]+[0,11]ich. Ohne Mast in der Nachbarschaft ist dieses Bild optisch weniger interessant. Wir sehen die ersten beiden nichttrivialen Nullstellen mit Imaginärteilen 6.0209489. und 10.2437703.

Weitere Bilder in dieser Richtung finden Sie in Juan Arias de Reynas Manuskript ``X-Ray of Riemann's Zeta function'', Teil 1 und Teil 2.

9. März: free.pdf: Das Nichtverschwinden von zeta(s) an der Kante sigma=1 des kritischen Streifens und der klassische nullfreie Bereich für
Hausaufgaben = Übung 1

12. März: pnt.pdf: Abschluss des Beweises des Primzahlensatzes mit fehlerbehafteter Riemann-Hypothese, und einige ihrer Konsequenzen und äquivalente Aussagen.
Hausaufgaben = Übungen 1, 2, 3

Hier ist ein erläuterndes Papier von B. Conrey zur Riemann-Hypothese, das eine Reihe weiterer suggestiver Bilder enthält, die die Riemann-Zetafunktion, ihre Nullstellen und die Verteilung der Primzahlen betreffen.

Hier ist das Rubinstein-Sarnak-Papier "Chebyshev's Bias" (in PostScript, aus dem Journal Experimentelle Mathematik wo das Papier 1994 erschien).

Hier ist eine Bibliographie der schnellen Berechnungen von pi(x).

[14. März: die Schließung des Bildes unter Zeta einer vertikalen Linie des Realteils größer als 1 Anwendungen: das Infimum von |zeta| auf einer solchen Geraden und das Supremum (=1.0339080723629239. ) der reellen Teile von Geraden, auf denen Zeta negative reelle Werte annimmt.]

16. März: lsx.pdf: L(s,chi) als ganze Funktion (wobei chi ein nichttriviales primitives Zeichen mod q ist) Gauss-Summen und die Funktionsgleichung, die L(s,chi) mit L(1- s,archi)
(Übung 2 korrigiert 21. März, um einen von E.Udovina festgestellten Fehler zu beheben, können wir sicherlich nicht erwarten, im Allgemeinen eine analytische Funktion für die geschlossen Halbebene, denn selbst wenn sie dort konvergiert, braucht sie in keiner Umgebung zu konvergieren. )
Hausaufgaben = Übungen 1, 2, 3 (16. März) 4, 5, 12 (19. März)

21. März: pnt_q.pdf: Produktformel für L(s,chi) und anschließende Teilbruchzerlegung seiner logarithmischen Ableitung a (schlechte!) nullfreie Region für L(s,chi) und daraus resultierende Abschätzungen auf psi(x,chi) und damit auf psi(x, a mod q) und pi(x, a mod q). Die Erweiterte Riemann-Hypothese und Konsequenzen.
Hausaufgaben = Übungen 1, 2, 3

[23. März: Das Vorzeichen quadratischer Gauss-Summen, über die Matrix für die diskrete Fourier-Transformation einige bekannte und weniger bekannte Zusammenhänge zwischen quadratischen Gauss-Summen und quadratischer Reziprozität]


Allgemeine Richtlinien und Informationen

Die Informationen in diesem Abschnitt gelten für alle Lehrveranstaltungen des Fachbereichs

Studierende mit Behinderungen

Wenn Sie ein Student mit einer Behinderung sind und glauben, dass Sie für diesen Kurs eine Unterkunft benötigen, liegt es in Ihrer Verantwortung, das Student Ability Success Center unter (619) 594-6473 zu kontaktieren. Um Verzögerungen beim Erhalt Ihrer Unterkunft zu vermeiden, sollten Sie sich so schnell wie möglich an das Student Ability Success Center wenden. Bitte beachten Sie, dass die Unterbringung nicht rückwirkend ist und ich keine Unterbringung aufgrund einer Behinderung anbieten kann, bis ich ein Unterbringungsschreiben vom Student Ability Success Center erhalten habe. Deine Kooperation wird geschätzt.

Datenschutz und geistiges Eigentum von Studenten

Der Family Educational Rights and Privacy Act (FERPA) schreibt den Schutz von Schülerinformationen vor, einschließlich Kontaktinformationen, Noten und benoteten Aufgaben. Ich werde keine Noten veröffentlichen oder benotete Aufgaben an öffentlichen Orten hinterlassen. Die Studierenden werden bei der Vergabe benachrichtigt, wenn Kopien von studentischen Arbeiten über das Semesterende hinaus aufbewahrt oder als Beispiele für zukünftige Studierende oder die breite Öffentlichkeit verwendet werden. Die Studierenden behalten die geistigen Eigentumsrechte an Arbeitsprodukten, die sie im Rahmen dieses Kurses erstellen, es sei denn, sie werden formell anders informiert.

Lernzentrum für Mathematik und Statistik

Das SDSU Math & Stat Learning Center befindet sich in der Love Library, Raum LL-328. "Das Math and Stats Learning Center ist offen, um Studenten in allen Mathematikkursen der unteren Division an der SDSU zu unterstützen. Wir haben Tutoren, die während der gesamten Öffnungszeiten für Walk-in-Hilfe zur Verfügung stehen. TAs für Mathematik 141, 150, 151 und 252 haben auch ihr Büro. Stunden dort. Bitte sehen Sie sich den Zeitplan an, wann die TAs für Ihre Klasse im Zentrum sein werden, indem Sie auf unsere Website gehen: mlc.sdsu.edu. Das MLC wird durch Ihre Studienerfolgsgebühr unterstützt. Wir empfehlen Ihnen dringend, diese wunderbare, kostenlose Ressource. Einige Studenten glauben, dass sie nicht um Hilfe bitten sollten. Untersuchungen haben jedoch gezeigt, dass die Durchschnittsnote der Studenten, die das MLC besuchen, eine halbe Note höher ist als die derjenigen, die keine solche Unterstützung suchen."

Wenn Sie in einer Klasse eingeschrieben sind, die keine gezielte Unterstützung hat, kann das MLC dennoch ein großartiger Ort zum Lernen/Treffen in Mathematik sein und wenn Sie daran interessiert sind, Tutor im Zentrum zu werden, beachten Sie die Website des Zentrums für Einstellungsausschreibungen .

Betrug und Plagiate

Die Schüler werden im Allgemeinen ermutigt, gemeinsam zu lernen und gemeinsam an der Lösung von Aufgaben zu arbeiten. Finals, Midterms, Quizzes, Projekte und andere festgelegte "individuelle Arbeit" Tätigkeiten müssen ohne fremde Hilfe durchgeführt werden. Alle Verstöße werden dem Center for Student Rights and Responsibilities gemeldet und führen nach Ermessen des Professors auch zu Punkt-/Notenabschlägen. Bitte lesen Sie die vollständige Richtlinie der SDSU zur akademischen Ehrlichkeit.

  • Kopieren, teilweise oder ganz, von einem anderen Test oder einer anderen Prüfung
  • Kopien eines Tests, einer Prüfung oder eines anderen Kursmaterials ohne Zustimmung des Dozenten zu beschaffen
  • Zusammenarbeit mit einem anderen oder anderen an der zu präsentierenden Arbeit ohne die Erlaubnis des Dozenten
  • Fälschen von Aufzeichnungen, Laborarbeiten oder anderen Kursdaten
  • Einreichen von Arbeiten, die zuvor in einem anderen Kurs präsentiert wurden, wenn dies den Regeln des Kurses widerspricht
  • Benotungsverfahren ändern oder stören
  • Unterstützung eines anderen Schülers in einem der oben genannten Fälle
  • wörtliche Verwendung oder Paraphrasierung von Quellen ohne Angabe der richtigen Namensnennung (dies kann Phrasen, Sätze, Absätze und/oder Arbeitsseiten umfassen)
  • Kopieren und Einfügen von Werken aus einer Online- oder Offline-Quelle direkt und als Ihr Eigen bezeichnen
  • Verwenden von Informationen, die Sie aus einer Online- oder Offline-Quelle finden, ohne den Autor zu erwähnen
  • Ersetzen von Wörtern oder Sätzen aus einer anderen Quelle und Einfügen eigener Wörter oder Sätze

Religiöse Bräuche

Geplante Abwesenheiten aus religiösen Gründen sollen die Studierenden laut Hochschulordnung den Lehrenden betroffener Lehrveranstaltungen bis zum Ende der zweiten Unterrichtswoche mitteilen.

Medizinische Abwesenheiten

Die Studierenden werden angewiesen, ihren Professor/Lehrer zu kontaktieren, falls sie den Unterricht usw. aufgrund einer Krankheit, Verletzung oder eines Notfalls verpassen müssen. Alle Entscheidungen über die Auswirkungen einer Abwesenheit sowie alle Regelungen zum Nachholen liegen bei den Ausbildern. Das Studentische Gesundheitsamt (SHS) bietet keine medizinischen Entschuldigungen für kurzfristige Abwesenheiten aufgrund von Krankheit oder Verletzung. Wenn eine medizinisch bedingte Abwesenheit länger als fünf Tage andauert, arbeitet SHS mit den Studierenden zusammen, um entsprechende Unterlagen bereitzustellen. Wenn ein Student ins Krankenhaus eingeliefert wird oder eine schwere, anhaltende Krankheit oder Verletzung hat, wird SHS auf Wunsch des Studenten und mit Zustimmung des Studenten über den Vizepräsidenten für Studentenangelegenheiten mit den Dozenten des Studenten kommunizieren und kann mit dem stellvertretenden Dekan des Studenten und/ oder das Student Ability Success Center

Sexuelle Gewalt / Titel IX Meldepflicht

Alle SDSU-Dozenten sind beauftragte Reporter und daher verpflichtet, Informationen über sexuelle Gewalt auf dem SDSU-Campus an die Titel-IX-Koordinatorin Jessica Rentto 619-594-6017 weiterzugeben. Der Title IX-Koordinator hat Zugang zu Unterkünften und Unterstützungsdiensten bei SDSU und Möglichkeiten, die Person, die Ihnen Schaden zugefügt hat, zur Rechenschaft zu ziehen. Sie sind nicht verpflichtet, Informationen weiterzugeben, die Sie nicht offenlegen möchten, und Ihre Beteiligung liegt in Ihrem Ermessen. Wenn Sie nicht möchten, dass der Title IX Officer benachrichtigt wird, können Sie diese Informationen nicht an Ihren Dozenten weitergeben, sondern können vertraulich mit den folgenden Personen auf dem Campus und in der Community sprechen: Anwalt für Opfer sexueller Gewalt 619-594-0210 oder Beratung und psychologische Dienste 619-594-5220, [email protected] Sie können Sie mit Support-Diensten verbinden und Optionen für eine universitäre oder strafrechtliche Untersuchung besprechen. Weitere Informationen zu Ihren Rechten und Möglichkeiten an der Universität als Überlebende von sexuellem Fehlverhalten oder sexueller Gewalt finden Sie unter titleix.sdsu.edu.

Anerkennung des Kumeyaay-Landes

Seit Jahrtausenden gehört das Volk der Kumeyaay zu diesem Land. Dieses Land hat sie über viele Generationen in einer Beziehung des Gleichgewichts und der Harmonie genährt, geheilt, beschützt und umarmt. Als Mitglieder der San Diego State Community erkennen wir dieses Vermächtnis an. Wir fördern diese Ausgeglichenheit und Harmonie. Wir finden Inspiration von diesem Land, dem Land der Kumeyaay.


Berechnung der Eulerschen Konstanten (e)

Die Eulersche Zahl, geschrieben als , ist wahrscheinlich die zweitbekannteste mathematische Konstante nach Pi. Aber was ist die Eulersche Zahl und wie berechnen wir sie? In der Tat, warum hat e so berühmt geworden und warum verdient es einen Platz auf unseren Taschenrechnern und in der Ruhmeshalle der mathematischen Konstanten?

Was ist die Eulersche Zahl (e) und woher?

Die Eulersche Zahl hat einen Wert von 2,718… , ist jedoch genau wie Pi eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht als Bruch geschrieben werden kann und eine dezimale Entwicklung hat, die ohne Wiederholung ewig andauert. Eulersche Zahl e ist vor allem aus zwei Gründen berühmt geworden: Erstens wird es in vielen wichtigen Situationen des wirklichen Lebens verwendet und zweitens hat es viele interessante mathematische Eigenschaften. Dies ist eine faszinierende und nützliche Zahl für Wissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker gleichermaßen.

Eulersche Zahl e und Zinseszins

Die Eulersche Zahl wurde erstmals im 17. Jahrhundert von Jacob Bernoulli entdeckt, als er das Problem des Zinseszinses untersuchte.

Stellen Sie sich vor, Sie haben 1 € und Sie erhalten zweimal im Jahr Zinsen zu einem Satz von 50%.

Am Ende des Jahres haben Sie 1 £ = 2,25 £

Stellen Sie sich nun vor, Sie haben 1 £ und Sie erhalten 12-mal pro Jahr oder jeden Monat Zinsen zu einem Satz von (8,3%)

Am Ende des Jahres würden Sie 1 £ 2.61303529 € erhalten

Stellen Sie sich nun vor, Sie haben 1 £ und Sie erhalten 365 Mal pro Jahr oder jeden Tag Zinsen zu einem Satz von (0,2739 & 8230.%)

Am Ende des Jahres erhalten Sie 1 £ 2,714567482

Jacob Bernoulli stellte eine wichtige Frage: Was würde passieren, wenn Sie so oft Zinsen erhalten, dass Sie sie kontinuierlich erhalten?

Welchen Wert hat tatsächlich, wenn n gegen Unendlich strebt?

Vielleicht haben Sie die Antwort bereits erraten, wenn Sie sich unser Beispiel mit n=365 ansehen, das bereits ziemlich nahe an . Damit sind wir bei der bekanntesten Berechnungsmethode:

Berechnung des Wertes der Eulerschen Zahl e als Grenze:

(Keep putting in bigger and bigger values of , until you get really close to the true value of .)

Unfortunately, Jacob Bernoulli didn’t have a computer at his disposal and was only able to say that the value was between 2 and 3. Some years later Leonhard Euler, one of the greatest mathematicians in history managed to calculate the value of , correct to 18 decimal places. Euler had also discovered the following:

Calculating the value of Euler’s Number e using an infinite series:

(In case you are wondering, 5! means and is the factorial function)

The more terms you calculate, the closer you will get to the true value of . You will only arrive at the exact value of if you carry on adding up the sequence forever.

Nobody knows exactly how Euler calculated to 18 decimal places, however the best guess is that he used the sequence above. It was also Euler who named the constant ‘’. Surprisingly, historians are fairly certain that he didn’t name it after himself, but that it was a pure coincidence that he chose the first letter of his surname.

Continued Fractions and e

Euler was also able to represent in the form of a “continued fraction”. There are lots of different ways to represent e as an infinite continued fraction. Here is one of them:

Calculating the value of Euler’s Number e as a continued fraction:

Other ways to calculate e

The three main ways of calculating have been listed above. There are however many other lesser known representations of such as:

If you visit the Wolfram Mathworld page on e, you can browse through a huge collection of different ways of calculating, some of which are very complicated indeed. This same page also lists a collection of mnemonics to help you remember the digits of . A favourite has to be:

“It enables a numskull to memorize a quantity of numerals” (10 digits)

Count the letters in each word and you will have: 2.718281828

Where is Euler’s Number e used in the real world?

Compound Interest is not the only practical use for . In fact, Euler’s number , the function , and the natural logarithm with base appear a lot in real-life processes. The main reason for this is that the exponential function can be used to describe growth and decay.

  • How populations grow
  • How temperature changes as materials heat up or cool down
  • Radioactive decay of particles

Unique mathematical property of

The function has a special mathematical property which has important consequences for calculations involving , making the mathematics involved work much more easily than with many other functions. It is one of the reasons that is used so frequently to model the real world.

The function is the only function where it is equal to its derivative ( stands for any number, and this just means that the property also holds for multiples of ). When you differentiate , it remains unchanged: . This also means that when you integrate it will remain unchanged apart from the constant of integration. This unique property simplifies many calculations involving

Don’t forget about

No discussion about Euler’s Number e would be complete without mentioning one of the most famous equations in mathematics called Euler’s Equation:

(If you aren’t sure what stands for – it is equal to the square root of minus 1 and is called an imaginary number.)

Euler’s Equation shows that both and are connected to one another. This is really surprising, given that comes from looking at the properties of a circle, and arises from situations which have nothing to do with circles such as compound interest. Euler’s Equation shows that is more than just a useful number which can be used by scientists to model the real world – it is a fascinating number in its own mathematical right.

Leonhard_Euler by Jakob Emanuel Handmann [Public domain], via Wikimedia Commons
Radioactive by [email protected]
Jacob Bernoulli By Niklaus Bernoulli (1662-1716) ([2] [3]) [Public domain], via Wikimedia Commons


Math class methods

Min() , max()

Let's start with the simple methods Both functions take two numbers of any data type as parameters. Min() returns the smallest number, max() returns the greatest one.

Round() , ceil() , floor()

All three functions are related to rounding. Round() takes a decimal number as parameter and returns the rounded number of the double data type in the way we learned in school (from 0.5 it rounds upwards, otherwise downwards). Ceil() upwards and floor() rounds downwards no matter what.

We'll certainly be using round() very often. I practically used the other functions e.g. in determining the number of pages of a guestbook. When we've 33 comments and we print only 10 comments per page, they'll, therefore, occupy 3.3 pages. The result must be rounded up since there will be actually 4 pages.

Abs() and signum()

Both methods take a number of any type as a parameter. Abs() returns its absolute value and signum() returns a number based on its sign, -1 , 0 or 1 (for a negative number, zero and a positive number).

Sin() , cos() , tan()

Classic trigonometric functions, all take an angle as a double , which has to be entered in radians (not degrees if your country uses them). To convert degrees to radians we multiply them by * (Math.PI / 180) . The return value is also a double .

Acos() , asin() , atan()

Inverse trigonometric (arcus, sometimes cyclometric) functions, which return the original angle according to the trigonometric value. The parameter is a double and the returned angle is in radians (also as double ). If we wish to have an angle in degrees, we have to divide the radians by / (180 / Math.PI) .

Pow() and sqrt()

Pow() takes two double parameters. The first is the base of the power and the second is the exponent. If we wanted to calculate eg. 2^3 , the code would be as following:

Sqrt is an abbreviation of SQuare RooT, which returns the square root of the number given as a double . Both functions return a double as the result.

Exp() , log() , log10()

Exp() returns the Euler's number raised to a given exponent. Log() returns the natural logarithm of a given number. Log10() returns the decadic logarithm of a number.

Hopefully, you noticed that the method list lacks any general root function. We, however, can calculate it using the functions the Math class provides.

We know that roots work like this: 3rd root of 8 = 8^(1/3). So we can write:

It's very important to write at least one number with a decimal point when we are dividing, otherwise, Java will assume that we want it to apply whole-number division, and the result would have been 8 ^ 0 = 1 in this case.


Book Description

Modelling with Ordinary Differential Equations integrates standard material from an elementary course on ordinary differential equations with the skills of mathematical modeling in a number of diverse real-world situations. Each situation highlights a different aspect of the theory or modeling. Carefully selected exercises and projects present excellent opportunities for tutorial sessions and self-study.
This text/reference addresses common types of first order ordinary differential equations and the basic theory of linear second order equations with constant coefficients. It also explores the elementary theory of systems of differential equations, Laplace transforms, and numerical solutions. Theorems on the existence and uniqueness of solutions are a central feature. Topics such as curve fitting, time-delay equations, and phase plane diagrams are introduced. The book includes algorithms for computer programs as an integral part of the answer-finding process. Professionals and students in the social and biological sciences, as well as those in physics and mathematics will find this text/reference indispensable for self-study.


2 Antworten 2

Before trying to speed up the interpreted code, you should care to get a correct solution at all. That there is still something amiss is visible in the time computations to+i*h that are only valid for a fixed step size. I'll explain the adaptive method from first principles.

The error estimation by Richardson extrapolation

uses the approximation that the numerical solution at time t computed with step size h relates to the exact solution in first order as

gives that the advancement in one and two steps of half size has the errors

is an estimator of the local error at step size h/2 . We know that the local errors in first order add to the global error (in a better approximation there is some compounding with the Lipschitz constant as "annual" interest rate). Thus in the reverse direction we desire to get that the local error is a h sized part of the global error. Divide all local error quantities by h to get values that directly compare to the global error.

The adaptive step size controller

now tries to keep that local error estimate local_err = norm(y(hh)-y(h/2h))/h = norm(C)*h/2 inside some corridor [tol/100, tol] where ´tol´ stands for the desired global error. The ideal step size from the current data is thus computed as

In the algorithm one would compute these integration steps and error estimates and then accept the steps and advance the computation if inside the tolerance bounds, then adapt the step size by above formula go to the next iteration of the loop. Instead of using the computed ideal step size one could also modify the step size by constant factors in the direction of the ideal step size. In general this will only increase the number of rejected steps to still reach the ideal step size.

To avoid oscillations and too abrupt changes in the tried and used step sizes, introduce some kind of moving average, dampen the change factor in direction 1 like in

In code this could look like

The practical application of this method gives the following plot.

In the top the solution curves are depicted. One sees a higher density at the curved or rapidly changing parts and a lower density where the solution curve is more straight. In the lower part the error against the solution of lowest tolerance is displayed. The difference is scaled by the tolerance of the solution, so that all share the same scale. As one can see, the output traces the tolerance demanded at input closely.


INDUCTIVE METHOD:

The inductive method is to move from specific examples to generalization and the deductive method is to move from generalization to specific examples.

Merits of the inductive method:

  • Scientific Method
  • The content becomes crystal clear to students.
  • Based on Actual Observation and Experimentation.
  • Thinking is Logical
  • Suitable for beginners
  • Increases Pupil – Teacher Relationship
  • Home Work is reduced

Demerits of the method

  • Not suitable for all topics
  • Time-Consuming Method
  • Laborious Method
  • Not Suitable for all types of students

DEDUCTIVE METHOD

  • It is a method of reasoning by which concrete applications or consequences are deducted from general principles or theorems are deduced from definitions and postulates.
  • It is proceeding from Abstract to Concrete, General to Particular, and Formula to ExampleS.
  • Students are given formula/rules/laws/principles directly.

Merits of this method

  1. Time-Saving Method
  2. Suitable for all topics
  3. Suitable to all Students
  4. Glorifies Memory
  5. Useful at Revision Stage
  6. Speed and efficiency
  7. Mostly Used at Higher Stage level

Demerits of this method

  • Not a psychological Method
  • No Originality and Creativity
  • Blind Memorization
  • Educationally Unsound
  • Students are Passive Learners
  • The reasoning is not clear

ANALYTIC METHOD

It proceeds from unknown to known, ’Analysis’ means ‘breaking up’ of the problem in hand so that it ultimately gets connected with something obvious or already known.

It is the process of unfolding of the problem or of conducting its operation to know its hidden aspects.

SYNTHETIC METHOD

  • It is the opposite of the analytic method. Here one proceeds from known to unknown.
  • In practice, synthesis is the complement of analysis.
  • To synthesis is to place together things that are apart.
  • It starts with something already known and connects that with the unknown part of the statement.
  • It starts with the data available or known and connects the same with the conclusion.
  • It is the process of putting together known bits of information to reach the point where unknown information becomes obvious and true.

PROBLEM-SOLVING METHOD

The problem-solving method is one, which involves the use of the process of problem-solving or reflective thinking or reasoning. The problem-solving method, as the name indicated, begins with the statement of a problem that challenges the students to find a solution.

Procedure for Problem-solving

  1. Identifying and defining the problem
  2. Analyzing the problem
  3. Formulating tentative hypothesis
  4. Testing the hypothesis
  5. Verifying of the result of checking the result

LABORATORY METHOD

  • The laboratory method is based on the maxim “learning by doing.”
  • This is an activity method and it leads the students to discover mathematics facts.
  • In it, we proceed from concrete to abstract.

The laboratory method is a procedure for stimulating the activities of the students and to encourage them to make discoveries.

  • This method needs a laboratory in which equipment and other useful teaching aids related to mathematics are available.
  • For example, equipment’s related to geometry, mathematical model, chart, balance, various figures, and shapes made up of wood or hardboards, graph paper, etc.

The procedure of Laboratory method

  • Aim of The Practical Work
  • Provided materials and instruments
  • Provide clear instructions
  • Carry out the experiment
  • Draw the conclusions

PROJECT METHOD

The project method is of American origin and is an outcome of Dewey’s philosophy of pragmatism. However, this method is developed and advocated by Dr. Kilpatrick.

Steps involved in Project Method

  1. Providing /creating the situations
  2. Proposing and choosing the project
  3. Planning the project
  4. Execution of the project
  5. Evaluation of the project
  6. Recording of the project

3.2E: The Improved Euler Method and Related Methods (Exercises) - Mathematics

Nonlinear dynamics and chaos

Day and time of course: Mon, Wed, Fri, 10:00-11:00. Location: Pierce 307

Teaching notes Textbooks Lehrplan Requirements

What's the point about optional/ extra credit problems: apart from the fun of doing them, they will count against homework problems in which you may have missed an answer. . .

  • ( St ) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering by Steven H. Strogatz
  • ( Sc ) Deterministic Chaos: An Introduction Heinz Georg Schuster, [VCH, 2nd edition, 1989]
  • ( Ott ) Chaos in dynamical systems , 1993. Edward Ott, Cambridge University Press.
  • ( GH ) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields , Guckenheimer, J and P. Holmes, Springer-Verlag, 1983.
  • ( W ) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Stephen Wiggins, 1990. (Texts in Applied Mathematics, Vol 2).
  • ( JS ) Classical Dynamics, a contemporary approach. Jorge V. Jose and Eugene J. Saletan. 1993 Cambridge University Press .
  • ( G ) Classical Mechanics , Herbert Goldstein, 2nd edition, 1981. Addison Wesley.

The course will introduce the students to the basic concepts of nonlinear physics, dynamical system theory, and chaos. These concepts will be demonstrated using simple fundamental model systems based on ordinary differential equations and some discrete maps. Additional examples will be given from physics, engineering, biology and major earth systems. The aim of this course is to provide the students with analytical methods, concrete approaches and examples, and geometrical intuition so as to provide them with working ability with non-linear systems.

  • A bit of history (Lorentz and the ``butterfly effect'')
  • Modeling - defining phase space, dimension, parameters, deterministic versus stochastic modeling finite vs infinite dimensional (PDE's, integral eq.) models, linear vs non-linear, autonomous vs non-autonomous systems
  • Examples: population dynamics, pendulum, Lorenz eq., .
  • The geometric approach to dynamical systems
  • Fixed points, linearization, and stability
  • Non-dimensionalization, the Buckingham Pi theorem (see notes here), small parameters, scales.
  • Dynamical systems - continuous vs discrete time (ODEs vs maps St 348), conservative vs dissipative ( St 312).
  • Existence, uniqueness and smooth dependence of solutions of ODE's on initial conditions and parameters.
  • The role of computers in nonlinear dynamics, a simple example of a numerical solution method for ODEs (improved Euler scheme).
  • Outline of rest of course.
  • What's a bifurcation, local vs global bifurcations ( GH ډ.1). Implicit function theorem, classification of bifurcations by number and type (real/ complex) eigenvalues that cross the imaginary axis.
  • saddle-node bifurcation ( St ډ.1 GH ډ.4)
  • Transcritical bifurcation, super critical and sub critical ( St ډ.2 GH ډ.4).
  • Pitchfork, super-critical and sub-critical. bead on a rotating hoop, higher order nonlinear terms and hysteresis ( St § 3.4 GH ډ.4)
  • Some generalities: center manifold and normal form. ( GH ډ.2-3.3).
  • Role of symmetry and symmetry breaking (imperfect bifurcations), relation to catastrophes and sudden transitions. ( St ډ.6)
  • Flows on a circle - oscillators, synchronization (fireflies flashing, Josephson junctions) ( St ڊ)

  • Linear systems: classifications, fixed points, stable and unstable spaces ( St ڋ)
  • Non-linear systems: phase portrait ( St ڌ.1), fixed points and linearization( St ڌ.3), stable and unstable manifolds ( St ڌ.4), conservative systems ( St ڌ.5), reversible systems ( St ڌ.6), Solution of the (fully non-linear) damped pendulum equation ( St ڌ.7), index theory ( St ڌ.8).
  • Limit cycles: Ruling out and finding out closed orbits (Lyapunov functions, Poincare Bendixon theorem) ( St ڍ.2 and ڍ.3)
  • relaxation oscillations (relation to glacial cycles) ( St ڍ.5), weakly non-linear oscillators (Duffing eq) ( St ڍ.6), Averaging method and two time-scales ( St ڍ.6)
  • Hopf bifurcation and oscillating chemical reactions ( St ڎ.2),
  • Global bifurcations of cycles: saddle-node infinite period, and homoclinic bifurcations, examples in Josephson Junction and driven pendulum in 2D ( St ڎ.4 andڎ.5)
  • Quasi periodicity, coupled oscillators, nonlinear resonance/ frequency locking (Frequency locking of glacial cycles to earth orbital variations), ( St ڎ.6)

The Lorentz model as an introduction to chaotic systems (examples briefly motivating it from atmospheric dynamics and as a model of Magnetic field reversals of the Earth) and then a more systematic characterization of chaotic systems (examples from fluid dynamics and mantle convection) ( St ڏ). Some preliminaries: Poincare maps.

  • Period doubling: logistic map, chaos, periodic windows, renormalization, quantitative and qualitative universality. ( Sc ډ)
  • Intermittency: in Lorenz system, in logistic map. Length of laminar intervals from renormalization and simpler approaches. Categories of intermittency (types I,II,III), ( Sc ڊ).
  • Quasi-periodicity/ 1-2-chaos/ Ruelle-Takens-Newhouse breakdown of 2d torus in experimental systems 1D circle map and overlapping of resonances reconstructed circle map from a time series damped-forced pendulum and El Nino's chaos ( Sc ڌ)
  • Characterizing chaotic systems: Delay coordinates, embedding, Lyapunov exponents (Ott ڊ.4 p. 129) Kolmogorov entropy ( Sc Appendix F and p 113 Greiner, Neise and Stocker `` thermodynamics and statistical mechanics '', p. 150) fractals and fractal dimensions, dimension spectrum ( St § 11, p. 398-412 Ott ډ, p69-71, 78-79, 89-92) Multi-fractals: dissipation in a turbulent flow, relation to dimension spectrum. ( Ott ڏ, p 305-309).
  • The horseshoe map and symbolic dynamics ( Ott 108-114) Heteroclinic and homoclinic tangles and creation of a horseshoe from a homoclinic intersection ( Ott ڊ.3). Shilnilov's phenomenon and chaos due to a 3d homoclinic orbit (GH, ڌ.5, p 318-323 and p 12-14 in Vered Rom-Kedar's notes).
  • Examples (Pendulum, The n-body problem)
  • Basics: Hamiltonian systems Liouville theorem/ symplectic condition ( Ott ڍ.1.1-7.1.2 p 208-215).
  • Motivation: the kicked rotor and chaos in the standard map ( Ott , p 216-217, 235-237 JS ڍ.5.1 p. 453-459).
  • More Basics: integrable vs non-integrable Hamiltonian systems motion of integrable on N-torus Canonical change of coordinates and generating functions ( G , ڏ-1, p. 378-385, Ott ڍ.1.1-7.1.2 p 208-215).
  • Perturbations to integrable systems averaging resonant and non-resonant tori ( G , 䅇-5, p 519-523) destruction of resonance tori and arising of chaos, KAM theory ( Ott § 7.2).
  • ``diffusion'' ( Ott ڍ.3.3), fluid mixing ( Ott p 246-249).

Homeworks will be given throughout the course. The best 80% of the assignments will constitute 50% of the final grade. A final take home exam will constitute another 50%.