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5.3: Stetige periodische Lösungen


5.3.1 Erzwungene vibrierende Saite.

Abbildung 5.3: Vibrierende Saite.

Das Problem wird durch die Gleichungen

[ y_{tt}=a^2y_{xx} y(0,t)=0,~~~~~~~y(L,t)=0, y(x,0)=f (x),~~y_t(x,0)=g(x). ]

Wir haben bereits gesehen, dass die Lösung die Form hat

[ y= sum_{n=1}^{infty} left( A_ncos left( frac{npi a}{L}t ight) + B_nsin left( frac{ npi a}{L}t ight) ight) sin left(frac{npi}{L}x ight),]

wobei (A_n) und (B_n) durch die Anfangsbedingungen bestimmt wurden. Die Eigenfrequenzen des Systems sind die (Kreis-)Frequenzen (frac{npi a}{L}) für ganze Zahlen (ngeq 1).

Aber das sind freie Schwingungen. Was ist, wenn eine äußere Kraft auf die Saite einwirkt. Nehmen wir beispielsweise Luftschwingungen (Geräusch) an, zum Beispiel eine zweite Saite. Oder vielleicht ein Düsentriebwerk. Nehmen Sie der Einfachheit halber einen schönen, reinen Klang an und nehmen Sie an, dass die Kraft an jeder Position der Saite gleichmäßig ist. Sagen wir (F(t)=F_0cos(omega t)) als Kraft pro Masseneinheit. Dann wird unsere Wellengleichung (denken Sie daran, dass Kraft Masse mal Beschleunigung ist)

[y_{tt}=a^2y_{xx}+F_0cos(omega t),]

natürlich mit den gleichen Randbedingungen.

Wir wollen hier die Lösung finden, die die obige Gleichung erfüllt und

[y(0,t)=0,~~~~~y(L,t)=0,~~~~~y(x,0)=0,~~~~~y_t(x,0) =0.]

Das heißt, die Saite befindet sich zunächst in Ruhe. Zuerst finden wir eine bestimmte Lösung (y_p) von (5.3.3), die (y(0,t)=y(L,t)=0) erfüllt. Wir definieren die Funktionen (f) und (g) als

[f(x)=-y_p(x,0),~~~~~g(x)=-frac{partial y_p}{partial t}(x,0).]

Wir finden dann Lösung (y_c) von (5.3.1). Wenn wir die beiden Lösungen addieren, finden wir, dass (y=y_c+y_p) (5.3.3) mit den Anfangsbedingungen löst.

Übung (PageIndex{1}):

Überprüfe, dass (y=y_c+y_p) (5.3.3) und die Nebenbedingungen (5.3.4) löst.

Das große Problem hier besteht also darin, die jeweilige Lösung (y_p) zu finden. Wir schauen uns die Gleichung an und machen eine fundierte Vermutung

[y_p(x,t)=X(x)cos(omega t).]

Wir stecken ein, um zu bekommen

[ - omega^2Xcos(omega t)=a^2X''cos(omega t),]

oder (- omega X=a^2X''+F_0) nach Aufhebung des Kosinus. Wir wissen, wie man eine allgemeine Lösung dieser Gleichung findet (es ist eine inhomogene Gleichung mit konstantem Koeffizienten). Die allgemeine Lösung ist

[ X(x)=Acosleft(frac{omega}{a}x ight)+Bsinleft(frac{omega}{a}x ight)- frac{ F_0}{omega^2}.]

Die Endpunktbedingungen implizieren (X(0)=X(L)=0). So

[ 0=X(0)=A- frac{F_0}{omega^2},]

oder (A=frac{F_0}{omega^2}), und auch

[ 0=X(L)=frac{F_0}{omega^2} cosleft( frac{omega L}{a} ight)+Bsinleft( frac{omega L}{a} ight)- frac{F_0}{omega^2}.]

Unter der Annahme, dass (sinleft(frac{omega L}{a} ight)) nicht Null ist, können wir nach (B) auflösen und erhalten

[ B=frac{-F_0 left( cos left( frac{omega L}{a} ight)-1 ight)}{- omega^2 sin left( frac{ omega L}{a} ight)}.]

Deswegen,

[ X(x)= frac{F_0}{omega^2} left( cos left( frac{omega}{a}x ight)- frac{ cos left( frac {omega L}{a} ight)-1 }{ sin left( frac{omega L}{a} ight)}sin left( frac{omega}{a}x rechts)-1 echts).]

Die gesuchte Lösung (y_p) ist

[ y_p(x,t)= frac{F_0}{omega^2} left( cos left( frac{omega}{a}x ight)- frac{ cos left( frac{omega L}{a} ight)-1 }{ sin left( frac{omega L}{a} ight)}sin left( frac{omega}{a} x ight)-1 ight) cos(omega t).]

Übung (PageIndex{2}):

Überprüfen Sie, ob (y_p) funktioniert.

Jetzt kommen wir zu dem Punkt, den wir übersprungen haben. Angenommen (sinleft(frac{omega L}{a} ight)=0). Das bedeutet, dass (omega) gleich einer der Eigenfrequenzen des Systems ist, also einem Vielfachen von (frac{pi a}{L}). Wir bemerken, dass, wenn (omega) nicht gleich einem Vielfachen der Grundfrequenz ist, sondern sehr nahe liegt, der Koeffizient (B) in (5.3.11) sehr groß zu werden scheint. Aber lassen Sie uns noch keine voreiligen Schlüsse ziehen. Wenn (omega = frac{npi a}{L}) für (n) gerade ist, dann ist (cosleft(frac{omega L}{a} ight)=1 ) und damit erhalten wir wirklich (B=0). Resonanz tritt also nur auf, wenn sowohl (cosleft(frac{omega L}{a} ight)=-1) als auch (sinleft(frac{omega L}{a} rechts)=0). Das ist, wenn (omega = frac{npi a}{L}) für ungerade (n) ist.

Wir könnten wieder nach der Resonanzlösung auflösen, wenn wir wollten, aber das ist im richtigen Sinne die Grenze der Lösungen, da (omega) einer Resonanzfrequenz nahekommt. Im wirklichen Leben tritt sowieso nie eine reine Resonanz auf.

Die obige Berechnung erklärt, warum eine Saite zu vibrieren beginnt, wenn die gleiche Saite in der Nähe gezupft wird. Ohne Reibung würde diese Vibration mit der Zeit immer lauter werden. Andererseits ist es unwahrscheinlich, dass Sie große Vibrationen bekommen, wenn die Antriebsfrequenz nicht nahe einer Resonanzfrequenz liegt, selbst wenn Sie ein Strahltriebwerk haben, das nahe an der Saite läuft. Das heißt, die Amplitude wird nicht weiter ansteigen, es sei denn, Sie stellen genau die richtige Frequenz ein.

Ähnliche Resonanzphänomene treten auf, wenn man ein Weinglas mit menschlicher Stimme zerbricht (ja, das ist möglich, aber nicht einfach2) wenn Sie zufällig genau die richtige Frequenz treffen. Denken Sie daran, dass ein Glas einen viel reineren Klang hat, d. h. es ähnelt eher einem Vibraphon, sodass viel weniger Resonanzfrequenzen zu treffen sind.

Wenn die Zwangsfunktion komplizierter ist, zerlegen Sie sie in die Fourier-Reihe und wenden das obige Ergebnis an. Möglicherweise müssen Sie das obige Problem auch lösen, wenn die Zwangsfunktion ein Sinus und kein Kosinus ist, aber wenn Sie darüber nachdenken, ist die Lösung fast dieselbe.

Beispiel (PageIndex{1}):

Lassen Sie uns die Berechnung für bestimmte Werte durchführen. Angenommen (F_0=1) und (omega=1) und (L=1) und (a=1). Dann

[ y_p(x,t)= left( cos(x)- frac{ cos(1)-1 }{ sin(1)}sin(x)-1 ight) cos(t ).]

Schreiben Sie der Einfachheit halber (B= frac{ cos(1)-1 }{ sin(1)} ).

Dann setze (t=0) ein, um zu erhalten

[f(x)=-y_p(x,0)=-cos x+B sin x+1,]

und nach Ableitung in ( t) sehen wir (g(x)=-frac{partial y_P}{partial t}(x,0)=0).

Um (y_c) zu finden, müssen wir also das Problem lösen

[ y_{yy}=y_{xx}, y(0,t)=0,~~~~y(1,t)=0, y(x,0)=- cos x+ B sin x+1, y_t(x,0)=0.]

Beachten Sie, dass die Formel, die wir verwenden, um (y(x,0)) zu definieren, nicht ungerade ist, daher ist es nicht einfach, die D’Alembert-Formel direkt anzuwenden! Sie müssen (F) als ungerade, 2-periodische Erweiterung von (y(x,0)) definieren. Dann sähe unsere Lösung so aus

[ y(x,t)= frac{F(x+t)+F(xt)}{2}+ left( cos(x) - frac{cos(1)-1}{ sin(1)}sin(x)-1 ight)cos(t).]

Abbildung 5.4: Auftragung von (y(x,t)=frac{F(x+t)+F(xt)}{2}+ left( cos(x) - frac{cos(1)-1 }{sin(1)}sin(x)-1 ight)cos(t).).

Es ist nicht schwer, bestimmte Werte für eine ungerade Erweiterung einer Funktion zu berechnen, und daher ist (5.3.17) eine wunderbare Lösung des Problems. Im Gegensatz zu einer Serienlösung ist es beispielsweise sehr einfach, dies von einem Computer erledigen zu lassen. Ein Diagramm ist in Abbildung 5.4 dargestellt

5.3.2 Temperaturschwankungen im Untergrund

Sei (u(x,t)) die Temperatur an einem bestimmten Ort in der Tiefe (x) unter der Erde zum Zeitpunkt (t). Siehe Abbildung 5.5.

Die Temperatur (u) erfüllt die Wärmegleichung (u_t=ku_{xx}), wobei (k) die Diffusivität des Bodens ist. Wir kennen die Temperatur an der Oberfläche (u(0,t)) aus Wetteraufzeichnungen. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass

Abbildung 5.5: Untergrundtemperatur.

[ u(0,t)=T_0+A_0 cos(omega t),]

wobei (T_0) die jährliche Durchschnittstemperatur ist und (t=0) Hochsommer ist (Sie können oben ein negatives Vorzeichen setzen, um es mitten im Winter zu machen, wenn Sie möchten). (A_0) gibt die typische Abweichung für das Jahr an. Das heißt, die heißeste Temperatur ist (T_0+A_0) und die kälteste ist (T_0-A_0). Der Einfachheit halber nehmen wir (T_0=0) an. Die Frequenz (omega) wird in Abhängigkeit von den Einheiten von (t) gewählt, so dass für (t=1) (omega t=2pi) gilt. Wenn zum Beispiel (t) in Jahren ist, dann ist (omega=2pi).

Es erscheint vernünftig, dass auch die Temperatur in der Tiefe (x) mit derselben Frequenz schwingt. Dies ist tatsächlich die stationäre periodische Lösung, unabhängig von den Anfangsbedingungen. Wir suchen also nach einer Lösung der Form

[ u(x,t)=V(x)cos(omega t)+ W(x)sin(omega t).]

für das problem

[ u_t=ku_{xx,}~~~~~~u(0,t)=A_0cos(omega t).]

Wir werden hier die komplexe Exponentialfunktion verwenden, um die Berechnungen zu vereinfachen. Angenommen, wir haben eine komplexwertige Funktion

[h(x,t)=X(x)e^{i omega t}.]

Wir suchen nach einem (h) mit ({ m Re}h=u). Um ein (h) zu finden, dessen Realteil (5.3.20) erfüllt, suchen wir ein (h) mit

[ h_t=kh_{xx,}~~~~~~h(0,t)=A_0 e^{i omega t}.]

Übung (PageIndex{3}):

Angenommen (h) erfüllt (5.3.22). Verwenden Sie die Eulersche Formel für die komplexe Exponentialfunktion, um zu überprüfen, dass (u={ m Re}h) (5.3.20) erfüllt.

Setze (h) in (5.3.22) ein.

[ i omega Xe^{i omega t}=kX''e^{i omega t}.]

Somit,

[ kX''-i omega X=0,]

oder

[ X''- alpha^2 X=0,]

wobei ( alpha = pm sqrt{frac{i omega }{k}}). Beachten Sie, dass (pm sqrt{i}= pm frac{1=i}{sqrt{2}}) also zu ( alpha= pm (1+i) sqrt{ frac{omega}{2k}}). Daher ist die allgemeine Lösung

[ X(x)=Ae^{-(1+i)sqrt{frac{omega}{2k}x}}+Be^{(1+i)sqrt{frac{omega}{ 2k}x}}.]

Wir nehmen an, dass ein (X(x)), das das Problem löst, als (x ightarrow infty) beschränkt sein muss, da (u(x,t)) beschränkt sein sollte (wir kümmern uns nicht um die Erdkern!). Wenn Sie die Eulersche Formel verwenden, um die komplexen Exponentialfunktionen zu entwickeln, werden Sie feststellen, dass der zweite Term unbeschränkt ist (wenn (B eq 0)), während der erste Term immer beschränkt ist. Daher (B=0).

Übung (PageIndex{4}):

Zeigen Sie mit der Eulerschen Formel, dass (e^{(1+i)sqrt{frac{omega}{2k}x}}) als (x ightarrowinfty) unbegrenzt ist, während (e ^{-(1+i)sqrt{frac{omega}{2k}x}}) ist beschränkt als (x ightarrowinfty).

Außerdem gilt (X(0)=A_0) wegen (h(0,t)=A_0e^{i omega t}). Also (A=A_0). Dies bedeutet, dass

[ h(x,t)=A_0e^{-(1+i)sqrt{frac{omega}{2k}x}}e^{i omega t}=A_0e^{-(1+i )sqrt{frac{omega}{2k}}x+i omega t}=A_0e^{- sqrt{frac{omega}{2k}}x}e^{i( omega t- sqrt{frac{omega}{2k}}x)}.]

Wir müssen den Realteil von (h) erhalten, also wenden wir die Eulersche Formel an, um zu erhalten

[ h(x,t)=A_0e^{- sqrt{frac{omega}{2k}}x} left( cos left( omega t - sqrt{frac{omega}{ 2k}x} ight) +i sin left(omega t - sqrt{frac{omega}{2k}x} ight) ight). ]

Dann endlich

[u(x,t)={ m Re}h(x,t)=A_0e^{- sqrt{frac{omega}{2k}}x} cos left( omega t- sqrt{frac{omega}{2k}}x ight).]

Yay!

Beachten Sie, dass die Phase in verschiedenen Tiefen unterschiedlich ist. In der Tiefe die Phase ist um (xsqrt{frac{omega}{2k}}) verzögert. Zum Beispiel in cgs-Einheiten (Zentimeter-Gramm-Sekunden) haben wir (k=0,005) (typischer Wert für Boden), . Wenn wir dann berechnen, wo die Phasenverschiebung (xsqrt{frac{omega}{2k}}=pi) ist, finden wir die Tiefe in Zentimetern, in der die Jahreszeiten umgekehrt sind. Das heißt, wir erhalten die Tiefe, bei der der Sommer am kältesten und der Winter am wärmsten ist. Wir erhalten ungefähr (700) Zentimeter, was ungefähr (23) Fuß unter der Erde liegt.

Achten Sie darauf, keine voreiligen Schlüsse zu ziehen. Die Temperaturschwankungen nehmen schnell ab, wenn Sie tiefer graben. Die Amplitude der Temperaturschwankungen beträgt (A_0e^{-sqrt{frac{omega}{2k}}x}). Diese Funktion zerfällt sehr schnell, wenn (x) (die Tiefe) wächst. Nehmen wir wieder typische Parameter wie oben. Wir nehmen auch an, dass unsere Oberflächentemperaturschwingung (pm 15^{circ}) Celsius, also (A_0=15) beträgt. Dann beträgt die maximale Temperaturschwankung bei (700) Zentimeter nur (pm 0.66^{circ}) Celsius.

Sie müssen nicht sehr tief graben, um einen effektiven „Kühlschrank“ mit nahezu konstanter Temperatur zu erhalten. Deshalb werden Weine in einem Keller gelagert; Sie brauchen eine konstante Temperatur. Die Temperaturdifferenz könnte auch energetisch genutzt werden. Ein Haus könnte geheizt oder gekühlt werden, indem man die oben genannte Tatsache nutzt. Auch ohne Erdkern können Sie ein Haus im Winter heizen und im Sommer kühlen. Der Erdkern erhöht die Temperatur, je tiefer Sie graben, obwohl Sie etwas tief graben müssen, um einen Unterschied zu spüren. Das haben wir oben nicht berücksichtigt.

2Mythbusters, Folge 31, Discovery Channel, ursprünglich ausgestrahlt am 18. Mai 2005.


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