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11.5: Kegelschnitte - Mathematik


Lernziele

  • Identifizieren Sie die Gleichung einer Parabel in Standardform mit gegebenem Fokus und Leitlinie.
  • Identifizieren Sie die Gleichung einer Ellipse in Standardform mit gegebenen Brennpunkten.
  • Identifizieren Sie die Gleichung einer Hyperbel in Standardform mit gegebenen Brennpunkten.
  • Erkennen Sie eine Parabel, Ellipse oder Hyperbel an ihrem Exzentrizitätswert.
  • Schreiben Sie die Polargleichung eines Kegelschnitts mit Exzentrizität (e).
  • Identifizieren Sie, wann eine allgemeine Gleichung zweiten Grades eine Parabel, Ellipse oder Hyperbel ist.

Kegelschnitte wurden seit der Zeit der alten Griechen untersucht und galten als ein wichtiges mathematisches Konzept. Bereits 320 v. Chr. waren griechische Mathematiker wie Menaechmus, Appollonius und Archimedes von diesen Kurven fasziniert. Appollonius verfasste eine ganze achtbändige Abhandlung über Kegelschnitte, in der er beispielsweise eine spezifische Methode zur Identifizierung eines Kegelschnitts durch die Verwendung der Geometrie herleiten konnte. Seitdem haben sich wichtige Anwendungen von Kegelschnitten ergeben (z. B. in der Astronomie), und die Eigenschaften von Kegelschnitten werden in Radioteleskopen, Satellitenschüsseln und sogar in der Architektur genutzt. In diesem Abschnitt besprechen wir die drei grundlegenden Kegelschnitte, einige ihrer Eigenschaften und ihre Gleichungen.

Kegelschnitte haben ihren Namen, weil sie durch das Schneiden einer Ebene mit einem Kegel erzeugt werden können. Ein Kegel hat zwei gleich geformte Teile, genannt Nickerchen. Eine Decke ist das, was die meisten Leute mit "Kegel" meinen, der die Form eines Partyhutes hat. Ein rechter Kreiskegel kann erzeugt werden, indem eine Linie, die durch den Ursprung geht, um den gedreht wird ja-Achse wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt.

Kegelschnitte werden durch den Schnitt einer Ebene mit einem Kegel erzeugt (Abbildung (PageIndex{2})). Ist die Ebene parallel zur Rotationsachse (die ja-Achse), dann die Kegelschnitt ist eine Hyperbel. Wenn die Ebene parallel zur Mantellinie verläuft, ist der Kegelschnitt eine Parabel. Steht die Ebene senkrecht zur Rotationsachse, ist der Kegelschnitt ein Kreis. Wenn die Ebene eine Decke in einem Winkel zur Achse schneidet (anders als 90°), dann ist der Kegelschnitt eine Ellipse.

Parabeln

Eine Parabel entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel parallel zur Mantellinie schneidet. In diesem Fall schneidet die Ebene nur eine der Decken. Eine Parabel kann auch durch Abstände definiert werden.

Definitionen: Focus, Directrix und Vertex

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Fixpunkt, genannt Fokus, ist gleich der Entfernung von einer festen Linie, genannt Direktion. Der Punkt auf halbem Weg zwischen Fokus und Leitlinie wird als bezeichnet Scheitel der Parabel.

Ein Diagramm einer typischen Parabel erscheint in Abbildung (PageIndex{3}). Mit diesem Diagramm in Verbindung mit der Abstandsformel können wir eine Gleichung für eine Parabel herleiten. Erinnern Sie sich an die Distanzformel: Gegebener Punkt P mit Koordinaten ((x_1,y_1)) und Punkt Q mit den Koordinaten ((x_2,y_2),) ergibt sich der Abstand zwischen ihnen durch die Formel

[d(P,Q)=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}.]

Dann erhalten wir aus der Definition einer Parabel und Abbildung (PageIndex{3})

[d(F,P)=d(P,Q)]

[sqrt{(0−x)^2+(p−y)^2}=sqrt{(x−x)^2+(−p−y)^2}.]

Beide Seiten quadrieren und Erträge vereinfachen

[ egin{align} x^2+(p−y)^2 = 0^2+(−p−y)^2 x^2+p^2−2py+y^2 = p^2 +2py+y^2 x^2−2py =2py x^2 =4py. end{ausrichten}]

Angenommen, wir möchten den Scheitelpunkt verschieben. Wir verwenden die Variablen ((h,k)), um die Koordinaten des Scheitelpunkts zu bezeichnen. Wenn der Fokus dann direkt über dem Scheitel liegt, hat er die Koordinaten ((h,k+p)) und die Leitlinie hat die Gleichung (y=k−p). Durch die gleiche Ableitung erhält man die Formel ((x−h)^2=4p(y−k)). Das Auflösen dieser Gleichung nach (y) führt zu folgendem Satz.

Gleichungen für Parabeln: Standardform

Gegeben eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei ((h,k)) und Fokus bei ((h,k+p)), wobei (p) eine Konstante ist, lautet die Parabelgleichung gegeben von

[y=dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k.]

Dies ist das Standardform einer Parabel.

Wir können auch die Fälle untersuchen, in denen sich die Parabel nach unten oder nach links oder rechts öffnet. Die Gleichung für jeden dieser Fälle kann auch in Standardform geschrieben werden, wie in den folgenden Grafiken gezeigt.

Darüber hinaus kann die Gleichung einer Parabel geschrieben werden in generelle Form, obwohl in dieser Form die Werte von (h), (k) und (p) nicht sofort erkennbar sind. Die allgemeine Form einer Parabel wird geschrieben als

[ax^2+bx+cy+d=0 label{para1}]

oder

[ay^2+bx+cy+d=0.label{para2}]

Gleichung ef{para1} stellt eine Parabel dar, die sich entweder nach oben oder nach unten öffnet. Gleichung ef{para2} stellt eine Parabel dar, die sich entweder nach links oder nach rechts öffnet. Um die Gleichung in die Standardform zu bringen, verwenden Sie die Methode der Quadratvervollständigung.

Beispiel (PageIndex{1}): Umwandeln der Gleichung einer Parabel vom Allgemeinen in die Standardform

Setze die Gleichung

[x^2−4x−8y+12=0]

in Standardform und zeichnen Sie die resultierende Parabel.

Lösung

Da y in dieser Gleichung nicht quadriert ist, wissen wir, dass sich die Parabel entweder nach oben oder nach unten öffnet. Daher müssen wir diese Gleichung nach y auflösen, wodurch die Gleichung in Standardform gebracht wird. Fügen Sie dazu zunächst (8y) zu beiden Seiten der Gleichung hinzu:

[8y=x^2−4x+12.]

Der nächste Schritt besteht darin, das Quadrat auf der rechten Seite zu vervollständigen. Beginnen Sie mit der Gruppierung der ersten beiden Begriffe auf der rechten Seite mit Klammern:

[8y=(x^2−4x)+12.]

Bestimmen Sie als nächstes die Konstante, die, wenn sie innerhalb der Klammern addiert wird, die Menge innerhalb der Klammern zu einem perfekten quadratischen Trinom macht. Nehmen Sie dazu den halben Koeffizienten von x und quadrieren Sie ihn. Dies ergibt ((dfrac{−4}{2})^2=4.) Addiere 4 innerhalb der Klammern und subtrahiere 4 außerhalb der Klammern, sodass der Wert der Gleichung nicht geändert wird:

[8y=(x^2−4x+4)+12−4.]

Kombinieren Sie nun ähnliche Terme und faktorisieren Sie die Menge in den Klammern:

[8y=(x−2)^2+8.]

Zum Schluss durch 8 teilen:

[y=dfrac{1}{8}(x−2)^2+1.]

Diese Gleichung ist jetzt in Standardform. Vergleicht man dies mit Gleichung, erhält man (h=2, k=1) und (p=2). Die Parabel öffnet sich mit Scheitelpunkt ((2,1)), Fokus ((2,3)) und Leitlinie (y=−1). Der Graph dieser Parabel sieht wie folgt aus.

Übung (PageIndex{1})

Bringen Sie die Gleichung (2y^2−x+12y+16=0) in die Standardform und zeichnen Sie die resultierende Parabel.

Hinweis

Löse nach (x) auf. Prüfen Sie, in welche Richtung sich die Parabel öffnet.

Antworten

[x=2(y+3)^2−2]

Die Symmetrieachse einer vertikalen (nach oben oder unten öffnenden) Parabel ist eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt geht. Die Parabel hat eine interessante reflektierende Eigenschaft. Angenommen, wir haben eine Satellitenschüssel mit parabolischem Querschnitt. Wenn ein Strahl elektromagnetischer Wellen wie Licht- oder Radiowellen von einem Satelliten geradlinig (parallel zur Symmetrieachse) in die Schüssel einfällt, werden die Wellen von der Schüssel reflektiert und sammeln sich im Brennpunkt der Parabel als gezeigt.

Stellen Sie sich eine Parabolschüssel vor, die dazu dient, Signale von einem Satelliten im Weltraum zu sammeln. Die Schüssel ist direkt auf den Satelliten ausgerichtet und ein Empfänger befindet sich im Fokus der Parabel. Vom Satelliten eintreffende Funkwellen werden von der Oberfläche der Parabel zum Empfänger reflektiert, der die digitalen Signale sammelt und decodiert. Dies ermöglicht es einem kleinen Empfänger, Signale aus einem weiten Himmelswinkel zu sammeln. Taschenlampen und Scheinwerfer im Auto funktionieren nach dem gleichen Prinzip, jedoch umgekehrt: Die Lichtquelle (also die Glühbirne) befindet sich im Brennpunkt und die reflektierende Fläche am Parabolspiegel fokussiert den Strahl geradeaus. Dadurch kann eine kleine Glühbirne einen weiten Raum vor der Taschenlampe oder dem Auto ausleuchten.

Ellipsen

Eine Ellipse kann auch in Bezug auf Abstände definiert werden. Bei einer Ellipse gibt es zwei Brennpunkte (Plural von Fokus) und zwei Richtungen (Plural von Directrix). Wir sehen uns die Direktiven später in diesem Abschnitt genauer an.

Definition: Ellipse

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, bei denen die Summe ihrer Abstände von zwei Fixpunkten (den Brennpunkten) konstant ist.

Ein Diagramm einer typischen Ellipse ist in Abbildung (PageIndex{6}) gezeigt. In dieser Abbildung sind die Brennpunkte mit (F) und (F′) bezeichnet. Beide haben denselben festen Abstand vom Ursprung, und dieser Abstand wird durch die Variable (c) dargestellt. Daher sind die Koordinaten von (F) ((c,0)) und die Koordinaten von (F′) ((−c,0).) Die Punkte (P) und (P′) befinden sich an den Enden der Hauptachse der Ellipse und haben die Koordinaten ((a,0)) bzw. ((−a,0)). Die Hauptachse ist immer die längste Distanz über die Ellipse und kann horizontal oder vertikal verlaufen. Somit ist die Länge der Hauptachse dieser Ellipse (2a). Außerdem heißen (P) und (P′) die Ecken der Ellipse. Die Punkte (Q) und (Q′) befinden sich an den Enden der Nebenachse der Ellipse und haben die Koordinaten ((0,b)) bzw. ((0,−b),). Die Nebenachse ist der kürzeste Abstand über die Ellipse. Die Nebenachse steht senkrecht zur Hauptachse.

Gemäß der Definition der Ellipse können wir jeden beliebigen Punkt auf der Ellipse wählen und die Summe der Abstände von diesem Punkt zu den beiden Brennpunkten ist konstant. Angenommen, wir wählen den Punkt (P). Da die Koordinaten des Punktes (P) ((a,0),) sind, ist die Summe der Entfernungen

[d(P,F)+d(P,F′)=(a−c)+(a+c)=2a.]

Daher ist auch die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt A mit den Koordinaten ((x,y)) gleich (2a). Mit der Distanzformel erhalten wir

[d(A,F)+d(A,F′)=2a.]

[sqrt{(x−c)^2+y^2}+sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a]

Subtrahiere das zweite Radikal von beiden Seiten und quadriere beide Seiten:

[sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a−sqrt{(x+c)^2+y^2}]

[(x−c)^2+y^2=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2]

[x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 ]

[−2cx=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx.]

Isolieren Sie nun das Radikal auf der rechten Seite und quadrieren Sie erneut:

[−2cx=4a^2−4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx]

[4asqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4cx]

[sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+dfrac{cx}{a}]

[(x+c)^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2}]

[x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2}]

[x^2+c^2+y^2=a^2+dfrac{c^2x^2}{a^2}.]

Isolieren Sie die Variablen auf der linken Seite der Gleichung und die Konstanten auf der rechten Seite:

[x^2−dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2]

[dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2.]

Teilen Sie beide Seiten durch (a^2−c^2). Dies ergibt die Gleichung

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1.]

Wenn wir auf Abbildung (PageIndex{6}) zurückgreifen, dann ist die Länge jedes der beiden grünen Liniensegmente gleich (a). Dies ist wahr, weil die Summe der Abstände vom Punkt (Q) zu den Brennpunkten (F) und (F′) gleich (2a) ist und die Längen dieser beiden Liniensegmente gleich. Dieses Liniensegment bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge (a) und Schenkellängen (b) und (c). Aus dem Satz des Pythagoras gilt (b^2+c^2=a^2) und (b^2=a^2−c^2). Daher wird die Ellipsengleichung

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1.]

Wenn schließlich der Mittelpunkt der Ellipse vom Ursprung zu einem Punkt ((h,k)) verschoben wird, haben wir die folgende Standardform einer Ellipse.

Gleichung einer Ellipse in Standardform

Betrachten Sie die Ellipse mit Mittelpunkt ((h,k)), eine horizontale Hauptachse mit der Länge (2a) und eine vertikale Nebenachse mit der Länge (2b). Dann lautet die Gleichung dieser Ellipse in Standardform

[dfrac{(x−h)^2}{a^2}+dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 label{HorEllipse}]

und die Brennpunkte befinden sich bei ((h±c,k)), wobei (c^2=a^2−b^2). Die Gleichungen der Richtungen lauten (x=h±dfrac{a^2}{c}).

Wenn die Hauptachse vertikal ist, wird die Ellipsengleichung

[dfrac{(x−h)^2}{b^2}+dfrac{(y−k)^2}{a^2}=1 label{VertEllipse}]

und die Brennpunkte befinden sich bei ((h,k±c)), wobei (c^2=a^2−b^2). Die Gleichungen der Richtungen lauten in diesem Fall (y=k±dfrac{a^2}{c}).

Wenn die Hauptachse horizontal ist, wird die Ellipse horizontal genannt, und wenn die Hauptachse vertikal ist, wird die Ellipse vertikal genannt. Die Gleichung einer Ellipse ist in allgemeiner Form, wenn sie in der Form

[Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,]

wo EIN und B entweder beide positiv oder beide negativ sind. Um die Gleichung von der allgemeinen in die Standardform umzuwandeln, verwenden Sie die Methode von das Quadrat vervollständigen.

Beispiel (PageIndex{2}): Finden der Standardform einer Ellipse

Setze die Gleichung

[9x^2+4y^2−36x+24y+36=0]

in Standardform und zeichnen Sie die resultierende Ellipse.

Lösung

Ziehe zuerst 36 von beiden Seiten der Gleichung ab:

[9x^2+4y^2−36x+24y=−36.]

Als nächstes gruppieren Sie die (x)-Terme und die (y)-Terme zusammen und rechnen Sie den gemeinsamen Faktor heraus:

[(9x^2−36x)+(4y^2+24y)=−36]

[9(x^2−4x)+4(y^2+6y)=−36.]

Wir müssen die Konstante bestimmen, die, wenn sie innerhalb jedes Klammersatzes addiert wird, ein perfektes Quadrat ergibt. Nehmen Sie im ersten Satz von Klammern den halben Koeffizienten von x und quadrieren es. Dies ergibt ((dfrac{−4}{2})^2=4.) Nehmen Sie im zweiten Satz von Klammern den halben Koeffizienten von ja und quadrieren es. Dies ergibt ((dfrac{6}{2})^2=9.) Fügen Sie diese in jedes Klammerpaar ein. Da der erste Satz von Klammern eine 9 vorangestellt hat, fügen wir tatsächlich 36 auf der linken Seite hinzu. Ebenso fügen wir 36 zum zweiten Satz hinzu. Daher wird die Gleichung

[9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=−36+36+36]

[9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=36.]

Faktorisieren Sie nun beide Klammern und dividieren Sie durch 36:

[9(x−2)^2+4(y+3)^2=36]

[dfrac{9(x−2)^2}{36}+dfrac{4(y+3)^2}{36}=1]

[dfrac{(x−2)^2}{4}+dfrac{(y+3)^2}{9}=1.]

Die Gleichung ist jetzt in Standardform. Vergleicht man dies mit Gleichung ef{VertEllipse}, erhält man (h=2, k=−3, a=3,) und (b=2). Dies ist eine vertikale Ellipse mit Mittelpunkt bei ((2,−3)), Hauptachse 6 und Nebenachse 4. Der Graph dieser Ellipse sieht wie folgt aus.

Übung (PageIndex{2})

Setze die Gleichung

[9x^2+16y^2+18x−64y−71=0]

in Standardform und zeichnen Sie die resultierende Ellipse.

Hinweis

Verschiebe die Konstante und vervollständige das Quadrat.

Antworten

[dfrac{(x+1)^2}{16}+dfrac{(y−2)^2}{9}=1]

Nach Keplers erstem Gesetz der Planetenbewegung ist die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne eine Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte, wie in Abbildung (PageIndex{8A}) gezeigt. Da die Umlaufbahn der Erde eine Ellipse ist, variiert die Entfernung von der Sonne im Laufe des Jahres. Ein weit verbreiteter Irrglaube ist, dass die Erde im Sommer näher an der Sonne ist. Tatsächlich ist die Erde im Sommer auf der Nordhalbkugel weiter von der Sonne entfernt als im Winter. Der Jahreszeitenunterschied wird durch die Neigung der Erdachse in der Orbitalebene verursacht. Kometen, die die Sonne umkreisen, wie der Halleysche Komet, haben ebenfalls elliptische Umlaufbahnen, ebenso wie Monde, die die Planeten umkreisen, und Satelliten, die die Erde umkreisen.

Auch Ellipsen haben interessante Reflexionseigenschaften: Ein von einem Brennpunkt ausgehender Lichtstrahl durchläuft nach Spiegelung in der Ellipse den anderen Brennpunkt. Das gleiche passiert auch mit einer Schallwelle. Die National Statuary Hall im US-Kapitol in Washington, DC, ist ein berühmter Raum in elliptischer Form, wie in Abbildung (PageIndex{8B}) gezeigt. Dieser Saal diente fast fünfzig Jahre lang als Treffpunkt des US-Repräsentantenhauses. Die Lage der beiden Brennpunkte dieses halbelliptischen Raumes ist durch Markierungen auf dem Boden deutlich gekennzeichnet, und selbst wenn der Raum voller Besucher ist, können sich zwei Personen, die auf diesen Stellen stehen und miteinander sprechen, viel hören deutlicher, als sie jemanden in der Nähe hören können. Die Legende besagt, dass John Quincy Adams seinen Schreibtisch auf einem der Brennpunkte hatte und alle anderen im Haus belauschen konnte, ohne jemals stehen zu müssen. Das ist zwar eine gute Geschichte, aber es ist unwahrscheinlich, dass dies der Fall ist, da die ursprüngliche Decke so viele Echos erzeugte, dass der gesamte Raum mit Teppichen aufgehängt werden musste, um den Lärm zu dämpfen. Die Decke wurde 1902 neu aufgebaut und erst dann entstand der heute berühmte Flüstereffekt. Eine weitere berühmte Flüstergalerie – der Ort vieler Heiratsanträge – befindet sich in der Grand Central Station in New York City.

Hyperbeln

Eine Hyperbel kann auch durch Entfernungen definiert werden. Bei einer Hyperbel gibt es zwei Brennpunkte und zwei Richtungen. Hyperbeln haben auch zwei Asymptoten.

Definition: Hyperbel

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, bei denen die Differenz zwischen ihren Abständen von zwei Fixpunkten (den Brennpunkten) konstant ist.

Ein Diagramm einer typischen Hyperbel sieht wie folgt aus.

Die Herleitung der Hyperbelgleichung in Standardform ist praktisch identisch mit der einer Ellipse. Ein kleiner Haken liegt in der Definition: Die Differenz zwischen zwei Zahlen ist immer positiv. Sei (P) ein Punkt auf der Hyperbel mit den Koordinaten ((x,y)). Dann ergibt die Definition der Hyperbel (|d(P,F_1)−d(P,F_2)|=Konstante). Um die Ableitung zu vereinfachen, nehmen wir an, dass (P) auf dem rechten Ast der Hyperbel liegt, sodass die Absolutwertbalken fallen. Wenn es auf dem linken Ast liegt, wird die Subtraktion umgekehrt. Die Ecke des rechten Zweiges hat die Koordinaten ((a,0),) also

[d(P,F_1)−d(P,F_2)=(c+a)−(c−a)=2a.]

Diese Gleichung gilt daher für jeden Punkt der Hyperbel. Zurück zu den Koordinaten ((x,y)) für (P):

[d(P,F_1)−d(P,F_2)=2a]

[sqrt{(x+c)^2+y^2}−sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a.]

Isolieren Sie das zweite Radikal und quadrieren Sie beide Seiten:

[sqrt{(x−c)^2+y^2}=-2a+sqrt{(x+c)^2+y^2}]

[(x−c)^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2]

[x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 ]

[−2cx=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx.]

Isolieren Sie nun das Radikal auf der rechten Seite und quadrieren Sie erneut:

(−2cx=4a^2-4asqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx)

(-4asqrt{(x+c)^2+y^2}=−4a^2−4cx)

(-sqrt{(x+c)^2+y^2}=−a−dfrac{cx}{a})

((x+c)^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2})

(x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+dfrac{c^2x^2}{a^2})

(x^2+c^2+y^2=a^2+dfrac{c^2x^2}{a^2}).

Isolieren Sie die Variablen auf der linken Seite der Gleichung und die Konstanten auf der rechten Seite:

[x^2−dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2]

[dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2.]

Zum Schluss dividiere beide Seiten durch (a^2−c^2). Dies ergibt die Gleichung

[dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1.]

Wir definieren jetzt B so dass (b^2=c^2−a^2). Dies ist möglich, weil (c>a). Daher wird die Gleichung der Hyperbel

[dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1.]

Wenn schließlich der Mittelpunkt der Hyperbel vom Ursprung zum Punkt ((h,k),) verschoben wird, haben wir die folgende Standardform einer Hyperbel.

Gleichung einer Hyperbel in Standardform

Betrachten Sie die Hyperbel mit Mittelpunkt ((h,k)), einer horizontalen Hauptachse und einer vertikalen Nebenachse. Dann lautet die Gleichung dieser Hyperbel

[dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 label{HorHyperbola}]

und die Brennpunkte befinden sich bei ((h±c,k),) mit (c^2=a^2+b^2). Die Gleichungen der Asymptoten sind gegeben durch (y=k±dfrac{b}{a}(x−h).) Die Gleichungen der Richtungen lauten

[x=h±dfrac{a^2}{sqrt{a^2+b^2}}=h±dfrac{a^2}{c}]

Wenn die Hauptachse vertikal ist, wird die Hyperbelgleichung

[dfrac{(y−k)^2}{a^2}−dfrac{(x−h)^2}{b^2}=1]

und die Brennpunkte befinden sich bei ((h,k±c),) mit (c^2=a^2+b^2). Die Gleichungen der Asymptoten sind gegeben durch (y=k±dfrac{a}{b}(x−h)). Die Gleichungen der Richtungen lauten

[y=k±dfrac{a^2}{sqrt{a^2+b^2}}=k±dfrac{a^2}{c}.]

Wenn die Hauptachse (Querachse) horizontal ist, wird die Hyperbel horizontal genannt, und wenn die Hauptachse vertikal ist, wird die Hyperbel vertikal genannt. Die Gleichung einer Hyperbel hat die allgemeine Form, wenn sie in der Form

[Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,]

wobei A und B entgegengesetzte Vorzeichen haben. Um die Gleichung von der allgemeinen in die Standardform umzuwandeln, verwenden Sie die Methode der Quadratvervollständigung.

Beispiel (PageIndex{3}): Finden der Standardform einer Hyperbel

Bringen Sie die Gleichung (9x^2−16y^2+36x+32y−124=0) in die Standardform und zeichnen Sie die resultierende Hyperbel. Wie lauten die Gleichungen der Asymptoten?

Lösung

Addiere zunächst 124 zu beiden Seiten der Gleichung:

(9x^2−16y^2+36x+32y=124.)

Nächste Gruppe die x Begriffe zusammen und die ja Begriffe zusammen, dann rechnen Sie die gemeinsamen Faktoren heraus:

((9x^2+36x)−(16y^2−32y)=124)

(9(x^2+4x)−16(y^2−2y)=124).

Wir müssen die Konstante bestimmen, die, wenn sie innerhalb jedes Klammersatzes addiert wird, ein perfektes Quadrat ergibt. Nehmen Sie im ersten Satz von Klammern den halben Koeffizienten von x und quadrieren Sie ihn. Dies ergibt ((dfrac{4}{2})^2=4). Nehmen Sie im zweiten Satz von Klammern den halben Koeffizienten von y und quadrieren Sie ihn. Dies ergibt ((dfrac{−2}{2})^2=1.) Fügen Sie diese in jedes Klammerpaar ein. In ähnlicher Weise subtrahieren wir 16 vom zweiten Satz von Klammern. Daher wird die Gleichung

(9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=124+36−16)

(9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=144.)

Als nächstes faktoriere beide Klammern und dividiere durch 144:

(9(x+2)^2−16(y−1)^2=144)

(dfrac{9(x+2)^2}{144}−dfrac{16(y−1)^2}{144}=1)

(dfrac{(x+2)^2}{16}−dfrac{(y−1)^2}{9}=1.)

Die Gleichung ist jetzt in Standardform. Vergleicht man dies mit Gleichung ef{HorHyperbola}, erhält man (h=−2, k=1, a=4,) und (b=3). Dies ist eine horizontale Hyperbel mit Mittelpunkt bei ((−2,1)) und Asymptoten gegeben durch die Gleichungen (y=1±dfrac{3}{4}(x+2)). Der Graph dieser Hyperbel erscheint in Abbildung (PageIndex{10}).

Übung (PageIndex{3})

Bringen Sie die Gleichung (4y^2−9x^2+16y+18x−29=0) in die Standardform und zeichnen Sie die resultierende Hyperbel. Wie lauten die Gleichungen der Asymptoten?

Hinweis

Verschiebe die Konstante und vervollständige das Quadrat. Überprüfen Sie, in welche Richtung sich die Hyperbel öffnet

Antworten

(dfrac{(y+2)^2}{9}−dfrac{(x−1)^2}{4}=1.) Dies ist eine vertikale Hyperbel. Asymptoten (y=−2±dfrac{3}{2}(x−1).)

Hyperbeln haben auch interessante reflektierende Eigenschaften. Ein auf einen Brennpunkt einer Hyperbel gerichteter Strahl wird von einem hyperbolischen Spiegel zum anderen Brennpunkt reflektiert. Dieses Konzept ist in Abbildung (PageIndex{11}) dargestellt.

Diese Eigenschaft der Hyperbel hat wichtige Anwendungen. Es wird bei der Funkpeilung (da die Differenz der Signale von zwei Türmen entlang von Hyperbeln konstant ist) und beim Bau von Spiegeln in Teleskopen (um das vom Parabolspiegel zum Okular kommende Licht zu reflektieren) verwendet. Eine weitere interessante Tatsache über Hyperbeln ist, dass für einen Kometen, der in das Sonnensystem eindringt, die Geschwindigkeit, die groß genug ist, um der Anziehungskraft der Sonne zu entkommen, der Weg, den der Komet nimmt, wenn er das Sonnensystem durchquert, hyperbolisch ist.

Exzentrizität und Directrix

Eine alternative Möglichkeit, einen Kegelschnitt zu beschreiben, umfasst die Richtungen, die Brennpunkte und eine neue Eigenschaft namens Exzentrizität. Wir werden sehen, dass der Wert der Exzentrizität eines Kegelschnitts diesen Kegelschnitt eindeutig definieren kann.

Definition: Exzentrizität und Richtungen

Das Exzentrizität (e) eines Kegelschnitts ist definiert als der Abstand von einem beliebigen Punkt auf dem Kegelschnitt zu seinem Brennpunkt, geteilt durch den senkrechten Abstand von diesem Punkt zur nächsten Leitlinie. Dieser Wert ist für jeden Kegelschnitt konstant und kann auch den Kegelschnitt definieren:

  1. Falls (e=1), ist der Kegelschnitt eine Parabel.
  2. Wenn (e<1), ist es eine Ellipse.
  3. Wenn (e>1,) ist es eine Hyperbel.

Die Exzentrizität eines Kreises ist Null. Das Direktion eines Kegelschnitts ist die Linie, die zusammen mit dem sogenannten Brennpunkt dazu dient, einen Kegelschnitt zu definieren. Hyperbeln und nicht kreisförmige Ellipsen haben zwei Brennpunkte und zwei zugehörige Richtungen. Parabeln haben einen Fokus und eine Leitlinie.

Die drei Kegelschnitte mit ihren Richtungen erscheinen in Abbildung (PageIndex{12}).

Erinnern Sie sich an die Definition einer Parabel, dass der Abstand von jedem Punkt auf der Parabel zum Brennpunkt gleich dem Abstand von demselben Punkt zur Leitlinie ist. Daher muss per Definition die Exzentrizität einer Parabel 1 sein. Die Gleichungen der Richtungen einer horizontalen Ellipse sind (x=±dfrac{a^2}{c}). Der rechte Scheitelpunkt der Ellipse liegt bei ((a,0)) und der rechte Fokus ist ((c,0)). Daher ist der Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokus (a−c) und der Abstand vom Scheitelpunkt zur rechten Leitlinie ist (dfrac{a^2}{c}−c.) Daraus ergibt sich die Exzentrizität als

[e=dfrac{a−c}{dfrac{a^2}{c}−a}=dfrac{c(a−c)}{a^2−ac}=dfrac{c(a −c)}{a(a−c)}=dfrac{c}{a}.]

Wegen (ca), sodass die Exzentrizität einer Hyperbel größer als 1 ist.

Beispiel (PageIndex{4}): Bestimmung der Exzentrizität eines Kegelschnitts

Bestimmen Sie die Exzentrizität der Ellipse beschrieben durch die Gleichung

(dfrac{(x−3)^2}{16}+dfrac{(y+2)^2}{25}=1.)

Lösung

Aus der Gleichung sehen wir, dass (a=5) und (b=4) sind. Der Wert von C kann mit der Gleichung (a^2=b^2+c^2) für eine Ellipse berechnet werden. Ersetzen der Werte von ein und B und lösen für C ergibt (c=3). Daher ist die Exzentrizität der Ellipse (e=dfrac{c}{a}=dfrac{3}{5}=0.6.)

Übung (PageIndex{4})

Bestimmen Sie die Exzentrizität der Hyperbel beschrieben durch die Gleichung

(dfrac{(y−3)^2}{49}−dfrac{(x+2)^2}{25}=1.)

Hinweis

Finden Sie zuerst die Werte von a und b, dann bestimmen Sie c mit der Gleichung (c^2=a^2+b^2).

Antworten

(e=dfrac{c}{a}=dfrac{sqrt{74}}{7}≈1.229)

Polargleichungen von Kegelschnitten

Manchmal ist es nützlich, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarform zu schreiben oder zu identifizieren. Dazu benötigen wir das Konzept des Fokusparameters. Das Fokusparameter eines Kegelschnitts P ist definiert als die Entfernung von einem Fokus zur nächsten Leitlinie. Die folgende Tabelle gibt die Fokusparameter für die verschiedenen Kegelschnitttypen an, wobei ein ist die Länge der großen Halbachse (d. h. die halbe Länge der Hauptachse), C der Abstand vom Ursprung zum Fokus ist und e ist die Exzentrizität. Bei einer Parabel steht a für den Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokus.

Tabelle (PageIndex{1}): Exzentrizitäten und Brennpunktparameter der Kegelschnitte
Konisch(e)(P)
Ellipse(0(dfrac{a^2−c^2}{c}=dfrac{a(1−e^2)}{c})
Parabel(e=1)(2a)
Hyperbel(e>1)(dfrac{c^2−a^2}{c}=dfrac{a(e^2−1)}{c})

Unter Verwendung der Definitionen des Fokusparameters und der Exzentrizität des Kegelschnitts können wir eine Gleichung für jeden Kegelschnitt in Polarkoordinaten herleiten. Insbesondere nehmen wir an, dass einer der Brennpunkte eines gegebenen Kegelschnitts am Pol liegt. Mit der Definition der verschiedenen Kegelschnitte in Bezug auf die Abstände kann dann der folgende Satz bewiesen werden.

Polargleichung von Kegelschnitten

Die Polargleichung eines Kegelschnitts mit Fokusparameter P wird gegeben von

(r=dfrac{ep}{1±ecos θ}) oder (r=dfrac{ep}{1±esin θ}.)

In der Gleichung links ist die Hauptachse des Kegelschnitts horizontal und in der Gleichung rechts ist die Hauptachse vertikal. Um mit einem in Polarform geschriebenen Kegelschnitt zu arbeiten, machen Sie zunächst den konstanten Term im Nenner gleich 1. Dazu dividieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch die Konstante, die vor dem Plus- oder Minuszeichen steht im Nenner. Dann ist der Koeffizient des Sinus oder Cosinus im Nenner die Exzentrizität. Dieser Wert identifiziert den Kegelschnitt. Wenn im Nenner Kosinus erscheint, ist der Kegelschnitt horizontal. Wenn Sinus erscheint, ist der Kegelschnitt vertikal. Wenn beide erscheinen, werden die Achsen gedreht. Der Mittelpunkt des Kegelschnitts liegt nicht unbedingt im Ursprung. Der Mittelpunkt liegt nur dann im Ursprung, wenn der Kegelschnitt ein Kreis ist (d. h. (e=0)).

Beispiel (PageIndex{5}): Einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten grafisch darstellen

Identifizieren und erstellen Sie einen Graphen des Kegelschnitts, der durch die Gleichung beschrieben wird

(r=dfrac{3}{1+2cos θ}).

Lösung

Der konstante Term im Nenner ist 1, also ist die Exzentrizität des Kegelschnitts 2. Dies ist eine Hyperbel. Der Fokusparameter p kann mit der Gleichung (ep=3.) berechnet werden. Da (e=2) ergibt sich (p=dfrac{3}{2}). Die Kosinusfunktion erscheint im Nenner, die Hyperbel ist also horizontal. Wählen Sie einige Werte für (θ) aus und erstellen Sie eine Wertetabelle. Dann können wir die Hyperbel grafisch darstellen (Abbildung (PageIndex{13})).

(θ)(R)(θ)(R)
01(π)−3
(dfrac{π}{4})(dfrac{3}{1+sqrt{2}}≈1.2426)(dfrac{5π}{4})(dfrac{3}{1−sqrt{2}}≈−7.2426)
(dfrac{π}{2})3(dfrac{3π}{2})3
(dfrac{3π}{4})(dfrac{3}{1−sqrt{2}}≈−7.2426)(dfrac{7π}{4})(dfrac{3}{1+sqrt{2}}≈1.2426)

Übung (PageIndex{5})

Identifizieren und erstellen Sie einen Graphen des Kegelschnitts, der durch die Gleichung beschrieben wird

(r=dfrac{4}{1−0.8sin θ}).

Hinweis

Finden Sie zuerst die Werte von e und P, und erstellen Sie dann eine Wertetabelle.

Antworten

Hier (e=0.8) und (p=5). Dieser Kegelschnitt ist eine Ellipse.

Allgemeine Gleichungen des zweiten Grades

Eine allgemeine Gleichung zweiten Grades kann in der Form geschrieben werden

[ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.]

Der Graph einer Gleichung dieser Form ist ein Kegelschnitt. Falls (B≠0) dann werden die Koordinatenachsen gedreht. Um den Kegelschnitt zu identifizieren, verwenden wir die Diskriminante des Kegelschnitts (4AC−B^2.)

Identifizieren des konischen Abschnitts

Einer der folgenden Fälle muss zutreffen:

  1. (4AC−B^2>0). Wenn ja, ist der Graph eine Ellipse.
  2. (4AC−B^2=0). Wenn ja, ist der Graph eine Parabel.
  3. (4AC−B^2<0). Wenn ja, ist der Graph eine Hyperbel.

Das einfachste Beispiel einer Gleichung zweiten Grades mit einem Kreuzterm ist (xy=1). Diese Gleichung kann nach (y) aufgelöst werden, um (y=dfrac{1}{x}) zu erhalten. Der Graph dieser Funktion wird wie gezeigt eine rechteckige Hyperbel genannt.

Die Asymptoten dieser Hyperbel sind die Koordinatenachsen (x) und (y). Um den Drehwinkel θ des Kegelschnitts zu bestimmen, verwenden wir die Formel (cot 2θ=frac{A−C}{B}). In diesem Fall (A=C=0) und (B=1), also (cot 2θ=(0−0)/1=0) und (θ=45°). Das Verfahren zur grafischen Darstellung eines Kegelschnitts mit gedrehten Achsen beinhaltet die Bestimmung der Koeffizienten des Kegelschnitts im gedrehten Koordinatensystem. Die neuen Koeffizienten heißen (A′,B′,C′,D′,E′,) und (F′,) und werden durch die Formeln

[ egin{align} A′ =Acos^ 2θ+Bcos θsin θ+Csin^2 θ B′ =0 C′ =Asin^2 θ−B sin θcos θ+Ccos^2θ D′ =Dcos θ+Esin θ E′ =−Dsin θ+Ecosθ F′ =F. end{ausrichten}]

Vorgehensweise: Zeichnen eines gedrehten Kegelschnitts

Das Verfahren zur grafischen Darstellung eines gedrehten Kegelschnitts ist wie folgt:

  1. Bestimmen Sie den Kegelschnitt mit der Diskriminante (4AC−B^2).
  2. Bestimmen Sie (θ) mit der Formel [cot2θ=dfrac{A−C}{B} label{rot}.]
  3. Berechnen Sie (A′,B′,C′,D′,E′) und (F′).
  4. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung mit (A′,B′,C′,D′,E′) und (F′) um.
  5. Zeichnen Sie ein Diagramm mit der gedrehten Gleichung.

Beispiel (PageIndex{6}): Identifizieren eines gedrehten Kegels

Bestimmen Sie den Kegelschnitt und berechnen Sie den Drehwinkel der Achsen für die durch die Gleichung beschriebene Kurve

[13x^2−6sqrt{3}xy+7y^2−256=0.]

Lösung

In dieser Gleichung gilt (A=13,B=−6sqrt{3},C=7,D=0,E=0,) und (F=−256). Die Diskriminante dieser Gleichung ist

[4AC−B^2=4(13)(7)−(−6sqrt{3})^2=364−108=256.]

Daher ist dieser Kegelschnitt eine Ellipse.

Um den Drehwinkel der Achsen zu berechnen, verwenden Sie Gleichung ef{rot}

[cot 2θ=dfrac{A−C}{B}.]

Das gibt

(cot 2θ=dfrac{A−C}{B}=dfrac{13−7}{−6sqrt{3}}=−dfrac{sqrt{3}}{3}).

Daher (2θ=120^o) und (θ=60^o), was der Drehwinkel der Achsen ist.

Um die gedrehten Koeffizienten zu bestimmen, verwenden Sie die oben angegebenen Formeln:

(A′=Acos^2θ+Bcos θsinθ+Csin^2θ)

(=13cos^260+(−6sqrt{3})cos 60sin 60+7sin^260)

(=13(dfrac{1}{2})^2−6sqrt{3}(dfrac{1}{2})(dfrac{sqrt{3}}{2})+7( dfrac{sqrt{3}}{2})^2)

(=4,)

(B′=0)

(C′=Asin^2θ−Bsin θcos θ+Ccos^2θ)

(=13sin^260+(6sqrt{3})sin 60 cos 60+7cos^260)

(=13(dfrac{sqrt{3}}{2})^2+6sqrt{3}(dfrac{sqrt{3}}{2})(dfrac{1}{2} )+7(dfrac{1}{2})^2)

(=16,)

(D′=Dcos θ+Esin θ)

(=(0)cos 60+(0)sin 60)

(=0,)

(E′=−Dsin θ+Ecos θ)

(=−(0)sin 60+(0)cos 60)

(=0)

(F′= F)

(=−256.)

The equation of the conic in the rotated coordinate system becomes

(4(x′)^2+16(y′)^2=256)

(dfrac{(x′)^2}{64}+dfrac{(y′)^2}{16}=1).

A graph of this conic section appears as follows.

Exercise (PageIndex{6})

Identify the conic and calculate the angle of rotation of axes for the curve described by the equation

[3x^2+5xy−2y^2−125=0.]

Hinweis

Follow steps 1 and 2 of the five-step method outlined above

Antworten

The conic is a hyperbola and the angle of rotation of the axes is (θ=22.5°.)

Schlüssel Konzepte

  • The equation of a vertical parabola in standard form with given focus and directrix is (y=dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k) where (p) is the distance from the vertex to the focus and ((h,k)) are the coordinates of the vertex.
  • The equation of a horizontal ellipse in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}+dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the major axis has length 2a, the minor axis has length 2b, and the coordinates of the foci are ((h±c,k)), where (c^2=a^2−b^2).
  • The equation of a horizontal hyperbola in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the vertices are located at ((h±a,k)), and the coordinates of the foci are ((h±c,k),) where (c^2=a^2+b^2).
  • The eccentricity of an ellipse is less than 1, the eccentricity of a parabola is equal to 1, and the eccentricity of a hyperbola is greater than 1. The eccentricity of a circle is 0.
  • The polar equation of a conic section with eccentricity e is (r=dfrac{ep}{1±ecosθ}) or (r=dfrac{ep}{1±esinθ}), where p represents the focal parameter.
  • To identify a conic generated by the equation (Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0),first calculate the discriminant (D=4AC−B^2). If (D>0) then the conic is an ellipse, if (D=0) then the conic is a parabola, and if (D<0) then the conic is a hyperbola.

Glossar

conic section
a conic section is any curve formed by the intersection of a plane with a cone of two nappes
directrix
a directrix (plural: directrices) is a line used to construct and define a conic section; a parabola has one directrix; ellipses and hyperbolas have two
discriminant
the value (4AC−B^2), which is used to identify a conic when the equation contains a term involving (xy), is called a discriminant
focus
a focus (plural: foci) is a point used to construct and define a conic section; a parabola has one focus; an ellipse and a hyperbola have two
eccentricity
the eccentricity is defined as the distance from any point on the conic section to its focus divided by the perpendicular distance from that point to the nearest directrix
focal parameter
the focal parameter is the distance from a focus of a conic section to the nearest directrix
general form
an equation of a conic section written as a general second-degree equation
major axis
the major axis of a conic section passes through the vertex in the case of a parabola or through the two vertices in the case of an ellipse or hyperbola; it is also an axis of symmetry of the conic; also called the transverse axis
minor axis
the minor axis is perpendicular to the major axis and intersects the major axis at the center of the conic, or at the vertex in the case of the parabola; also called the conjugate axis
nappe
a nappe is one half of a double cone
standard form
an equation of a conic section showing its properties, such as location of the vertex or lengths of major and minor axes
vertex
a vertex is an extreme point on a conic section; a parabola has one vertex at its turning point. An ellipse has two vertices, one at each end of the major axis; a hyperbola has two vertices, one at the turning point of each branch

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections

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11.5: Conic Sections - Mathematics

Write Practise Exam

Mathematics - Conic Sections

Mathematics

Physics

Chemistry

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Question - 1

The equation of parabola having vertex (0, 0) passing through (2, 3) and axis is X - axis, is

Question - 2

If the points (0, 4) and (0, 2) are respectively the vertex and focus of a parabola, then the equation of the parabola is

Question - 3

The equation of the parabola, whose axis is parallel to Y - axis and which passes through the points (0, 4), (1, 9) and (-2, 6), is

  • A (y=2left( x+frac < 3 >< 4 > ight) ^< 2 >+frac < 23 >< 8 >)
  • B (y=2left( x+frac < 3 >< 2 > ight) ^< 2 >-frac < 1 >< 2 >)
  • C (y=2left( x+frac < 3 >< 5 > ight) ^< 2 >+frac < 1 >< 2 >)
  • D (y=2left( x+frac < 1 >< 2 > ight) ^< 2 >-frac < 1 >< 2 >)

Question - 4

The equation(s) of the common tangent(s) to the parabolas y 2 - 4x - 2y + 5 = 0 and y 2 = - 4x is/are

Question - 5

The locus of the middle points of the chords of the parabola y 2 = 4x which touch the parabola x 2 = -8y is

Question - 6

If e is the eccentricity of the ellipse ( frac < < x >^ < 2 >>< < a >^ < 2 >> +frac < < y >^ < 2 >>< < b >^ < 2 >> =1) then

Question - 7

If P is a point on the ellipse (frac < < x >^ < 2 >> < 16 >+frac < < y >^ < 2 >> < 25 >=1) whose foci are S and S', then PS + PS' is equal to

Question - 8

The equation of the ellipse whose focus is (1, -1), the directrix x - y - 3 = 0 and eccentricity (frac < 1 > < 2 >) is

Question - 9

The number of points outside outside the ellipse on units major axis from which a normal (other than the X - axis) can be drawn to the ellipse is

Question - 10

From the point A(4, 3), tangents are drawn to the ellipse (frac < < x >^ < 2 >> < 16 >+frac < < y >^ < 2 >> < 9 >=1) to touch the ellipse at B and C. EF is a tangent to the ellipse parallel to the line BC and toward the point A. The distance of A from EF is equal to.


11.5: Conic Sections - Mathematics

Write Practise Exam

Mathematics - Conic Sections

Mathematics

Physics

Chemistry

NEET Biology 2020

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Question - 1

The equation of parabola having vertex (0, 0) passing through (2, 3) and axis is X - axis, is

Question - 2

If the points (0, 4) and (0, 2) are respectively the vertex and focus of a parabola, then the equation of the parabola is

Question - 3

The equation of the parabola, whose axis is parallel to Y - axis and which passes through the points (0, 4), (1, 9) and (-2, 6), is

  • A (y=2left( x+frac < 3 >< 4 > ight) ^< 2 >+frac < 23 >< 8 >)
  • B (y=2left( x+frac < 3 >< 2 > ight) ^< 2 >-frac < 1 >< 2 >)
  • C (y=2left( x+frac < 3 >< 5 > ight) ^< 2 >+frac < 1 >< 2 >)
  • D (y=2left( x+frac < 1 >< 2 > ight) ^< 2 >-frac < 1 >< 2 >)

Question - 4

The equation(s) of the common tangent(s) to the parabolas y 2 - 4x - 2y + 5 = 0 and y 2 = - 4x is/are

Question - 5

The locus of the middle points of the chords of the parabola y 2 = 4x which touch the parabola x 2 = -8y is

Question - 6

If e is the eccentricity of the ellipse ( frac < < x >^ < 2 >>< < a >^ < 2 >> +frac < < y >^ < 2 >>< < b >^ < 2 >> =1) then

Question - 7

If P is a point on the ellipse (frac < < x >^ < 2 >> < 16 >+frac < < y >^ < 2 >> < 25 >=1) whose foci are S and S', then PS + PS' is equal to

Question - 8

The equation of the ellipse whose focus is (1, -1), the directrix x - y - 3 = 0 and eccentricity (frac < 1 > < 2 >) is

Question - 9

The number of points outside outside the ellipse on units major axis from which a normal (other than the X - axis) can be drawn to the ellipse is

Question - 10

From the point A(4, 3), tangents are drawn to the ellipse (frac < < x >^ < 2 >> < 16 >+frac < < y >^ < 2 >> < 9 >=1) to touch the ellipse at B and C. EF is a tangent to the ellipse parallel to the line BC and toward the point A. The distance of A from EF is equal to.


Let’s take a look at topics and sub-topics of class 11 Maths Chapter 11, Conic Sections

Section 11.2 – In this section, you’ll acquire knowledge on different sections of a cone and related concepts such as vertex, axis, generator of a cone and degenerated conic sections. You’ll also learn how a cone can be converted into a circle, ellipse, parabola and hyperbola.

Section 11.3 – In this section, you’ll learn what a circle is and related concepts such as the centre of a circle, radius and equation of a circle.

Section 11.4 – In this section, you’ll study what is a parabola, and related concepts such as directrix and axis of a parabola, focus, degenerate case of parabola, standard equations and latus rectum of a parabola.

Section 11.5 – In this section, you’ll learn what an ellipse is and the related concepts – the foci, centre, vertices, major axis and minor axis of an ellipse. You’ll also study about the relationship between semi-major axis, semi-minor axis and the distance of the focus from the centre of the ellipse, special cases, eccentricity, standard equations and latus rectum of an ellipse.

Section 11.6 – In this section, you’ll study what a hyperbola is and related concepts like difference, foci of hyperbola, the transverse axis, centre, vertices, eccentricity, standard equation, equilateral hyperbola, Latus rectum and various observations of a hyperbola.

In this chapter, you are provided with several diagrams and examples along with their solutions for a clear understanding of Conic Sections. To know more about Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections, you should explore the exercises below. You can also download the Conic Sections Class 11 NCERT Solutions PDF, solved by expert Maths trainers.

Published on 2020-02-07 09:30:32 by arunima . Last Modified on 2020-02-07 09:30:32


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SAGOT KO SA "DOUBLE MEANING" NA SINABI NYO!

⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️

Yung ibang pictures na ginamit ko ay reply comment Ng ilang nag comment, credits SA Inyo :)

Salamat Po! :) Dahil nagustohan nyo!
Mabuhay Po kayo


NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Exercise 11.4

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections Ex 11.4

Frage 1:

Ans:

Frage 2:

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Frage 3:

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Question 4:

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Question 5:

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Question 6:

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Frage 7:

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Question 8:

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Question 9:

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Question 10:

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Question 11:

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Question 12:

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Question 13:

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Question 14:

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Question 15:

Ans:


NO LONGER AVAIL-Calc: ET 1st edition

Ihre Schüler haben ohne zusätzliche Kosten uneingeschränkten Zugriff auf WebAssign-Kurse, die diese Ausgabe des Lehrbuchs verwenden.

Der Zugang ist von der Verwendung dieses Lehrbuchs im Unterricht des Lehrers abhängig.

  • Kapitel 1: Precalculus Review
    • 1.1 Real Numbers, Functions, Equations, and Graphs (18)
    • 1.2 Linear and Quadratic Functions (20)
    • 1.3 The Basic Classes of Functions (15)
    • 1.4 Trigonometric Functions (11)
    • 1.5 Inverse Functions (12)
    • 1.6 Exponential and Logarithmic Functions (14)
    • 1.7 Technology: Calculators and Computers (11)
    • 2.1 Limits, Rates of Change, and Tangent Lines (11)
    • 2.2 Limits: A Numerical and Graphical Approach (12)
    • 2.3 Basic Limit Laws (11)
    • 2.4 Limits and Continuity (12)
    • 2.5 Evaluating Limits Algebraically (15)
    • 2.6 Trigonometric Limits (13)
    • 2.7 Intermediate Value Theorem (11)
    • 2.8 The Formal Definition of a Limit (11)
    • 3.1 Definition of the Derivative (11)
    • 3.2 The Derivative as a Function (16)
    • 3.3 Product and Quotient Rules (11)
    • 3.4 Rates of Change (12)
    • 3.5 Higher Derivatives (12)
    • 3.6 Derivatives of Trigonometric Functions (13)
    • 3.7 The Chain Rule (14)
    • 3.8 Implicit Differentiation (12)
    • 3.9 Derivatives of Inverse Functions (11)
    • 3.10 Derivatives of Logarithmic Functions (14)
    • 3.11 Related Rates (11)
    • 4.1 Linear Approximation and Applications (10)
    • 4.2 Extreme Values (12)
    • 4.3 The Mean Value Theorem and Monotonicity (12)
    • 4.4 The Shape of a Graph (12)
    • 4.5 Graph Sketching and Asymptotes (11)
    • 4.6 Applied Optimization (16)
    • 4.7 L'Ho'pital's Rule (11)
    • 4.8 Newton's Method (11)
    • 4.9 Antiderivatives (11)
    • 5.1 Approximating and Computing Area (11)
    • 5.2 The Definite Integral (11)
    • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus, Part I (11)
    • 5.4 The Fundamental Theorem of Calculus, Part II (11)
    • 5.5 Net or Total Change as the Integral of a Rate (11)
    • 5.6 Substitution Method (11)
    • 5.7 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions (11)
    • 5.8 Exponential Growth and Decay (11)
    • 6.1 Area Between Two Curves (11)
    • 6.2 Setting Up Integrals: Volumes, Density, Average Value (11)
    • 6.3 Volumes of Revolution (11)
    • 6.4 The Method of Cylindrical Shells (11)
    • 6.5 Work and Energy (11)
    • 7.1 Numerical Integration (11)
    • 7.2 Integration by Parts (11)
    • 7.3 Trigonometric Integrals (11)
    • 7.4 Trigonometric Substitution (11)
    • 7.5 Integrals of Hyperbolic and Inverse Hyperbolic Functions (11)
    • 7.6 The Method of Partial Fractions (11)
    • 7.7 Improper Integrals (11)
    • 8.1 Arc Length and Surface Area (10)
    • 8.2 Fluid Pressure and Force (11)
    • 8.3 Center of Mass (11)
    • 8.4 Taylor Polynomials (11)
    • 9.1 Separable Equations (12)
    • 9.2 Models Involving ja' = k(y-b) (12)
    • 9.3 Graphical and Numerical Methods (12)
    • 9.4 The Logistic Equation (11)
    • 9.5 First-order Linear Equations (11)
    • 10.1 Sequences (11)
    • 10.2 Summing an Infinite Series (11)
    • 10.3 Convergence of Series with Positive Terms (11)
    • 10.4 Absolute and Conditional Convergence (11)
    • 10.5 The Ratio and Root Tests (11)
    • 10.6 Power Series (11)
    • 10.7 Taylor Series (11)
    • 11.1 Parametric Equations (11)
    • 11.2 Arc Length and Speed (11)
    • 11.3 Polar Coordinates (11)
    • 11.4 Area and Arc Length in Polar Coordinates (11)
    • 11.5 Conic Sections (11)
    • 12.1 Vectors in the Plane (11)
    • 12.2 Vectors in Three Dimensions (11)
    • 12.3 Dot Product and the Angle Between Two Vectors (11)
    • 12.4 The Cross Product (11)
    • 12.5 Planes in Three-Space (11)
    • 12.6 Survey of Quadric Surfaces (11)
    • 12.7 Cylindrical and Spherical Coordinates (11)
    • 13.1 Vector-Valued Functions (11)
    • 13.2 Calculus of Vector-Valued Functions (11)
    • 13.3 Arc Length and Speed (10)
    • 13.4 Curvature (10)
    • 13.5 Motion in Three-Space (10)
    • 13.6 Planetary Motion According to Kepler and Newton (11)
    • 14.1 Functions in Two or More Variables (11)
    • 14.2 Limits and Continuity in Several Variables (11)
    • 14.3 Partial Derivatives (11)
    • 14.4 Linear Approximation, Differentiability, and Tangent Planes (11)
    • 14.5 The Gradient and Directional Derivatives (11)
    • 14.6 The Chain Rule (11)
    • 14.7 Optimization in Several Variables (11)
    • 14.8 Lagrange Multipliers: Optimizing with a Constraint (11)
    • 15.1 Integrals in Several Variables (11)
    • 15.2 Double Integrals over More General Regions (11)
    • 15.3 Triple Integrals (11)
    • 15.4 Integration in Polar, Cylindrical, and Spherical Coordinates (11)
    • 15.5 Change of Variables (10)
    • 16.1 Vector Fields (11)
    • 16.2 Line Integrals (11)
    • 16.3 Conservative Vector Fields (11)
    • 16.4 Parameterized Surfaces and Surface Integrals (11)
    • 16.5 Integrals of Vector Fields (11)
    • 17.1 Green's Theorem (11)
    • 17.2 Stokes' Theorem (10)
    • 17.3 Divergence Theorem (11)

    Refer To Figure 11 5 Identify The Curves In The Diagram

    G average variable cost curve. F average total cost curve.

    Extremely Massive Quasars Are Not Good Proxies For Dense

    17 refer to figure 10 4.

    Refer to figure 11 5 identify the curves in the diagram. When the marginal product of labor rises a the. Haverage fixed cost curve. H average fixed cost curve.

    19 if the marginal cost curve is below the average variable cost curve then a average variable cost is increasing. Identify the curves in the diagram. Figure 12 5 figure 125 shows cost and demand curves facing a typical firm in a constantcost perfectly competitive industry.

    F average total cost curve. Refer to figure 11 5. B a to c.

    7 refer to figure 11 5. Identify the curves in the diagram. Suppose the price of pilates sessions rise to 30 while income and the price of yoga sessions remain unchanged.

    H average fixed cost curve. A e marginal cost curves f average. F average total cost curve.

    A e marginal cost curves f average total cost curve. G average variable cost curve. 18 refer to figure 11 5.

    C fixed cost falls as capacity rises. C a to d. Identify the curves in the diagram.

    G average variable cost curve h marginal cost curve b e marginal cost curve. Identify the curves in the diagram. If another worker adds 9 units of output to a group of workers who had an average product of 7 units then the average product of labor.

    Curve g approaches curve f because a marginal cost is above average variable costs. E average fixed cost curve. 10 refer to figure 11 1.

    Faverage total cost curve. In a diagram that shows the marginal product of labor on the vertical axis and labor on the horizontal axis the marginal product curve 10 a never intersects the horizontal axis. 25 a e average fixed cost curve.

    B average fixed cost falls as output rises. The vertical difference between curves f and g measures 18 refer to figure 10 4. Show transcribed image text refer to figure 11 5 identify the curves in the diagram.

    D d to b. Identify the curves in the diagram. 17 refer to figure 11 5.

    B intersects the horizontal axis at a point corresponding to the 5th worker. The substitution effect of this price change is represented by the movement from a a to b. Identify the curves in the diagram.

    This preview has intentionally blurred sections. G average variable cost curve. E marginal cost curve.

    H average fixed cost curve. G average variable cost curve. 6 refer to figure 10 7.

    25 refer to figure 11 5. Figure 10 4 pic 16 refer to figure 10 4. Sign up to view the full version.

    Identify the curves in the diagram. Home study business economics economics questions and answers refer to figure 11 4. D the 5th worker is hired.

    Identify the curves in the diagram. Refer to figure 125.

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    Solved Refer To Figure 11 5 Identify The Curves In The D

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    Engineering Mathematics - Calculus ePrep Course forUniversity Preparation

    Due to the constraints of time, only the first ten chapters are compulsory for certification purposes, but materials and support for the remaining seven chapters are also available.

    I. Compulsory Chapters

    Chapter 1: Functions and Limits

    1.1: Four Ways to Represent a Function

    1.2: Mathematical Models: A Catalog of Essential Functions

    1.3: New Functions from Old Functions

    1.4: The Tangent and Velocity Problems

    1.5: The Limit of a Function

    1.6: Calculating Limits Using the Limit Laws

    1.7: The Precise Definition of a Limit

    Chapter 2: Derivatives

    2.1: Derivatives and Rates of Change

    2.2: The Derivative as a Function

    2.3: Differentiation Formulas

    2.4: Derivatives of Trigonometric Functions

    2.6: Implicit Differentiation

    2.7: Rates of Change in the Natural and Social Sciences

    2.9: Linear Approximations and Differentials

    Chapter 3: Applications of Differentiation

    3.1: Maximum and Minimum Values

    3.2: The Mean Value Theorem

    3.3: How Derivatives Affect the Shape of a Graph

    3.4: Limits at Infinity Horizontal Asymptotes

    3.5: Summary of Curve Sketching

    3.6: Graphing with Calculus and Calculators

    Chapter 4: Integrals

    4.3: The Fundamental Theorem of Calculus

    4.4: Indefinite Integrals and the Net Change Theorem

    Chapter 5: Applications of Integration

    5.3: Volumes by Cylindrical Shells

    5.5: Average Value of a Function

    Chapter 6: Inverse Functions

    6.2: Exponential Functions and Their Derivatives

    6.2*: The Natural Logarithmic Function

    6.3*: The Natural Exponential Function

    6.4: Derivatives of Logarithmic Functions

    6.4*: General Logarithmic and Exponential Functions

    6.5: Exponential Growth and Decay

    6.6: Inverse Trigonometric Functions

    6.8: Indeterminate Forms and l’Hospital’s Rule

    Chapter 7: Techniques of Integration

    7.2: Trigonometric Integrals

    7.3: Trigonometric Substitution

    7.4: Integration of Rational Functions by Partial Fractions

    7.5: Strategy for Integration

    7.6: Integration Using Tables and Computer Algebra Systems

    7.7: Approximate Integration

    Chapter 8: Further Applications of Integration

    8.2: Area of a Surface of Revolution

    8.3: Applications to Physics and Engineering

    8.4: Applications to Economics and Biology

    Chapter 9: Differential Equations

    9.1: Modeling with Differential Equations

    9.2: Direction Fields and Euler’s Method

    9.4: Models for Population Growth

    Chapter 10: Parametric Equations and Polar Coordinates

    10.1: Curves Defined by Parametric Equations

    10.2: Calculus with Parametric Curves

    10.4: Areas and Lengths in Polar Coordinates

    10.6: Conic Sections in Polar Coordinates

    Chapter 11: Infinite Sequences and Series

    11.3: The Integral Test and Estimates of Sums

    11.6: Absolute Convergence and the Ratio and Root Tests

    11.7: Strategy for Testing Series

    11.9: Representations of Functions as Power Series

    11.10: Taylor and Maclaurin Series

    11.11: Applications of Taylor Polynomials

    Chapter 12: Vectors and the Geometry of Space

    12.1: Three-Dimensional Coordinate Systems

    12.5: Equations of Lines and Planes

    12.6: Cylinders and Quadric Surfaces

    Chapter 13: Vector Functions

    13.1: Vector Functions and Space Curves

    13.2: Derivatives and Integrals of Vector Functions

    13.3: Arc Length and Curvature

    13.4: Motion in Space: Velocity and Acceleration

    Chapter 14: Partial Derivatives

    14.1: Functions of Several Variables

    14.2: Limits and Continuity

    14.4: Tangent Planes and Linear Approximations

    14.6: Directional Derivatives and the Gradient Vector

    14.7: Maximum and Minimum Values

    Chapter 15: Multiple Integrals

    15.1: Double Integrals over Rectangles

    15.3: Double Integrals over General Regions

    15.4: Double Integrals in Polar Coordinates

    15.5: Applications of Double Integrals

    15.8: Triple Integrals in Cylindrical Coordinates

    15.9: Triple Integrals in Spherical Coordinates

    15.10: Change of Variables in Multiple Integrals

    Chapter 16: Vector Calculus

    16.3: The Fundamental Theorem for Line Integrals

    16.6: Parametric Surfaces and Their Areas

    16.9: The Divergence Theorem

    Chapter 17: Second-Order Differential Equations

    17.1: Second-Order Linear Equations

    17.2: Nonhomogeneous Linear Equations

    17.3: Applications of Second-Order Differential Equations

    What You Get in this ePrep Course

    I. Free Textbook
    “Calculus” is a very popular Calculus textbook, authored by James Stewart, 8th Ed. Millions of students worldwide have used the textbooks by James Stewart.
    II. Free Consultation
    A retired NTU professor is acting as the tutor. You can consult him via email or WhatsApp.
    III. Materials Online
    1. Notes, video lessons and PowerPoint files.
    2. Answers/solutions to all questions/problems in the textbook.
    3. Online exercises.
    4. Problems and solutions in files.
    5. Bonus learning materials in other branches of mathematics, including algebra, geometry, trigonometry, probability, and statistics, as well as on other subjects such as business finance, corporate finance, engineering economy, economics, physics, mechanics, Python programming, life science, biotechnology, and psychology.
    NS. Digital Certificate
    A digital certificate will be issued if you have successfully completed this ePrep course and passing all the tests at the end of each of the ten compulsory chapters.

    Samples of Engineering Mathematics- Calculus ePrep Course Materials

    1. Video Lesson (Area between Curves)

    This video lesson discusses the determination of the area between two curves, by first finding the points of intersection, and then determine the area of the region bounded by the two curves by integrating the areas of the tiny triangles within the region.

    2. Problem and Solution (Integration)

    3. Review of Algebra (Binomial Theorem)

    Algebra is a very important and more fundamental branch of mathematics and it provides a useful tool for solving calculus problems. A review of algebra is therefore performed before the study of calculus.

    Sample Supplementary Course Materials

    – From Other Mathematics ePrep Courses

    1. Video Lesson on Maths for Managerial, Life and Soc Sc (Exponential Functions)

    This video lesson illustrates the solution steps in solving a half-life problem as an exponential decay model.

    2. Video Lesson on Probability (Probability of Discrete Events)

    This video lesson illustrates using the concept of sample space to solve a discrete event probability problem.

    3. Video Lesson on Statistics (Confidence Interval)

    This video lesson illustrates how we can use the sample mean, standard deviation, and sample size to compute the confidence interval for the population mean.

    Samples of Bonus Course Materials

    1. Video Lesson on Business Finance (Ordinary Annuity and Annuity Due)

    This short video lesson illustrates what annuity is and how annuity due differs.

    2. Video Lesson on Corporate Finance (Sustainable Growth Model)

    This video lesson illustrates that the Sustainable Growth Model is for a business that wants to maintain a target payout ratio and capital structure without issuing new equity, and it provides an estimate of the annual percentage increase in sales that can be supported.

    3. Cross-Word Puzzle on Biotechnology (Principle of Genetic Transfer)

    4. Worked Example on Engineering Economy (Project Evaluation)

    A retrofitted space-heating system is being considered for a small office building. The system can be purchased and installed for $110,000, and it will save an estimated 300,000 kilowatt-hours (kWh) of electric power each year over a six-year period. A kilowatt-hour of electricity costs .10, and the company uses a MARR of 15% per year in its economic evaluations of refurbished systems. The market value of the system will be $8,000 at the end of six years, and additional annual operating and maintenance expenses are negligible. Use the PW method to determine whether this system should be installed.

    To find the PW of the proposed heating system, we need to find the present equivalent of all associated cash flows.

    The estimated annual savings in electrical power is worth 300,000 kWh × .10/kWh = $30,000 per year.

    PW(15%) = −$110,000 + $30,000 (P/A, 15%, 6) + $8,000 (P/F, 15%, 6)

    = −$110,000 + $30,000(3.7845) + $8,000(0.4323)

    Since PW(15%)≥ 0, we conclude that the retrofitted space-heating system should be installed.

    MARR = Minimum Acceptable Rate of Return

    (P/A, 15%, 6) and (P/F, 15%, 6) are factors that can be obtained from tables, software, financial calculator, or by applying formulas.


    Schau das Video: ÜB13 Tipps. Mathe 2 für Informatiker Uni Tübingen (Oktober 2021).