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Herausforderungsantwort 35


Der Preis des Geschenks

Lösung vom Besucher gesendet Renato Santos:

Lassen Sie den Preis des Geschenks als vierstellige Zahl ausdrücken und vernachlässigen Sie dabei die Pfennige wie abcd (dh $ abcd, 00) die ist 1 oder 0 (für $ abcd ist 00 kleiner oder gleich $ 1.200) und b, c und d sind natürlich zwischen 0 und 9. Im Gegenteil, der Geschenkpreis wäre dcba, was sein sollte Wert von neun Geschenken.

Um diese Information gleichzusetzen, müssen wir die Dezimalnotation der Position berücksichtigen, dh abcd bedeutet tausend, bhundert, c zehn und d Einheiten oder 1000a + 100b + 10c + d. In ähnlicher Weise bedeutet dcba 1000d + 100c + 10b + a. Es sieht so aus:

1000d + 100c + 10b + a = 9 (1000a + 100b + 10c + d)
oder
1000d + 100c + 10b + a = 9000a + 900b + 90c + 9d

Lösung:
(1000-9) d + (100-90) c + (10-900) b + (1-9000) a = 0
oder
991d + 10c -890b -8999a = 0

Beachten Sie, dass 991 und 10 keine gemeinsamen Faktoren haben und wir daher in diesem Fall die Koeffizienten der Gleichung nicht reduzieren können. Wir haben hier eine einzige Gleichung mit vier Unbekannten. Eine Strategie wäre, vorläufige Werte für a, b, c und d einzusetzen.

Man kann jedoch wie Diophantus fortan den kontinuierlichen Bruchalgorithmus verwenden:

Wir haben den Term mit dem niedrigsten Koeffizienten isoliert gelassen:

10c = 8999a + 890b - 991d

Wir teilen die ganze Gleichung durch den Koeffizienten:

c = (8999/10) a + (890/10) b - (991/10) d

Trennen ganzer Teile von Fraktionen,

c = 899a + (9/10) a + 89b - 99d - (1/10) d
oder
c = 899a + 89b - 99d + (1/10) (9a - d)

Da a, b und c ganze Zahlen sein müssen, muss auch (1/10) (9a-d) sein. Dies wird natürlich nur passieren, wenn (9a-d) ein Vielfaches von 10 ist.

Da jedoch a, b, c und d die Ziffern des aktuellen Werts darstellen, müssen sie zwischen 0 und 9 liegen. Mit dieser Einschränkung kann (9a-d) nur das unbedeutende Vielfache von 10 sein, dh 0.

Es sieht aus wie 9a - d = 0
oder
d = 9a

Wenn wir dieses Ergebnis auf die vorherige Gleichung zurückführen, erhalten wir
c = 899a + 89b - 99 x 9a + (1/10) (9a - 9a)
oder
c = 899a + 89b - 891a
c = 8a + 89b

Da c zwischen 0 und 9 liegt und die Koeffizienten von a und b positiv sind, muss b gleich 0 sein, damit c 9 nicht überschreitet.
c = 8a

Denken wir auch daran, dass a 1 oder 0 ist.

Aber a = 0 ergibt den trivialen Fall a = 0, b = 0, c = 0 und d = 0, dh den Preis $ 0000.00 und korrekterweise 9 x 0000 $ 00 = 0000 $ 00.

Wir haben dann a = 1, was zu c = 8 führt und, zurückkehrend zu der vorherigen Gleichung, d = 9a => d = 9.

Somit erhalten wir endlich den Preis des Geschenks ($ abcd, 00) als $ 1089,00, was umgekehrt $ 9801 = 9 x $ 1089 ergibt, wie gewünscht.

ANTWORT: Das Geschenk hat 1089 Dollar gekostet

Lösung vom Besucher gesendet Paulo Martins Magalhães:

Wenn der für das Geschenk vorgesehene Betrag 1.200 USD betrug, müssen wir davon ausgehen, dass der Preis bei 1.000 USD lag.

Also suchten wir nach einer 4-stelligen Zahl, wobei 1 die erste war. Die letzte Ziffer könnte nur 9 sein, denn nur dann könnten wir die Zahl invertieren und das 9-fache der ersten bekommen.

Wir wissen also, dass die Zahl 1ab9 ist.

A und b zu finden ist relativ einfach, da die Zahl ein Vielfaches von 9 ist, da ihre Inverse dieselbe ist (da es sich um eine Zahl handelt, die das Neunfache des Preises der Gegenwart wert ist). Wir haben also die Nummer 1ab9. Damit eine solche Zahl ein Vielfaches von 9 ist, muss die Summe a + b 8 sein. Die Paare a und b, die diese Bedingung erfüllen, lauten wie folgt: 0 und 8; 1 und 7; 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2; 7 und 1 und schließlich 8 und 0.

Wenn wir das erste Paar testen, was logischer erscheint, da der Preis weniger als 1.200 US-Dollar beträgt, erhalten wir 1.089 US-Dollar, was dem Preis des Geschenks entspricht. (1089 × 9 = 9801).

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