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4.6: BM 13901 #23 - Mathematik


Rev. II

11 Über eine Fläche, die vier Breiten und die Fläche habe ich gehäuft, (41^{prime} 40^{primeprime}).

12 4, die vier Breiten, beschriften Sie. igi 4 ist (15^{prime}).

13 (15^{prime}) auf (41^{prime} 40^{prime prime}) erhöhst du: (10^{prime} 25^{prime prime}) du beschreibst.

14 1, die Projektion, verbinden Sie: durch (1^{circ} 10^{prime} 25^{prime prime}), (1^{circ}5^{prime}) ist gleich.

15 1, die Projektion, die du zusammengefügt hast, reißt du heraus: (5^{prime}) zu zwei

16 Sie wiederholen: (10^{prime}), (mathrm{NINDAN}), konfrontiert sich selbst.

Während das vorherige Problem den „modernen“ Aspekt der altbabylonischen Mathematik illustriert, scheint das vorliegende Problem dessen archaische Seite zu illustrieren – obwohl sie von derselben Tafel stammen.

Das ist kein wirklicher Widerspruch. Das aktuelle Problem #23 ist absichtlich archaisch. Mit anderen Worten, es ist archaisierend und nicht wirklich archaisch, was ihr Aussehen zusammen mit den „modernen“ Problemen derselben Sammlung erklärt. Der Autor ist nicht modern und archaisch zugleich, er zeigt seine Virtuosität im Spiel mit Archaismen. Die hier verwendeten Formulierungen scheinen in mehrfacher Hinsicht den Sprachgebrauch der akkadischen Landvermesser zu imitieren. Der Text spricht von der Breite eines Quadrats, nicht einer „Konfrontation“; außerdem erscheint dieses Wort in Silbenschrift, was ziemlich außergewöhnlich ist (vgl. Anmerkung 4, Seite 16). Der einleitende Satz „Über eine Oberfläche“9 scheint eine abgekürzte Version der charakteristischen Formel zu sein, die ein mathematisches Rätsel einleitet: „Wenn dich jemand so nach einer Fläche fragt …“ (vgl. S. 34, 110, 111 und 127). Der Ausdruck „die vier Breiten“10 spiegelt ein Interesse an dem wider, was ist wirklich da und für was ist auffallend, ein Interesse, das Rätsel im Allgemeinen kennzeichnet, aber auch die mathematischen Rätsel, die unter den mathematischen Praktikern der vormodernen Welt zirkulierten (siehe Seite 106). Auch die verwendete Methode ist typisch für Rätsel: die Verwendung eines erstaunlichen Kunstgriffs, der nicht zur Verallgemeinerung einlädt.

Das Problem lässt sich somit wie folgt ausdrücken:

(4c+square(c)=41^{prime} 40^{primeprime}).

Zahl 4.12 macht die Vorgehensweise deutlich: 4c wird durch 4 Rechtecke dargestellt ((1, c)); die Summe (41^{prime}40^{primeprime}) entspricht somit der kreuzförmigen Konfiguration, bei der in jede der vier Hauptrichtungen eine „Projektion“ vorsteht.

Die Zeilen 12–13 schreiben vor, (frac{1}{4}) des Kreuzes (abgegrenzt durch eine gestrichelte Linie) und die „Verbindung“ eines quadratischen Komplements (square(1)) zum gnomon das ergibt. Es ist kein „Halten“ erforderlich, die Seiten der Ergänzung sind bereits in der richtigen Position. Es lohnt sich jedoch zu bemerken, dass die „Projektion“ selbst „zusammengefügt“ ist: Sie ist also keine bloße Zahl, sondern eine an ihrer Seite identifizierte quadratische Konfiguration.

Die Vervollständigung des Gnomons ergibt ein Quadrat mit Fläche (1^{circ} 10^{prime} 25^{prime prime}) und damit Seite (1^{circ}5^{prime }). „Ausreißen“ der „Projektion“ – jetzt als eindimensionale Einheit – finden wir (5^{prime}). Wenn wir das Ergebnis verdoppeln, erhalten wir die Seite, die sich als (10^{prime}) herausstellt. Auch hier vermeidet der Text den üblichen Begriff und spricht nicht von einer "Konfrontation" wie die "modernen" Probleme der Sammlung; stattdessen heißt es, dass (10^{prime} mathrm{NINDAN}) "sich selbst konfrontiert".

Diese Methode unterscheidet sich so sehr von allem anderen im Gesamtkorpus, dass Neugebauer sie für das Ergebnis der Vermischung zweier mathematisch sinnvoller Probleme durch einen Kopisten hielt. Wie wir weiter unten (Seite 109) sehen werden, ist die Erklärung ganz anders.

Es sollte hinzugefügt werden, dass der archaisierende Aspekt nicht vollständig dominiert. Zeile 12, die zuerst nach der "Inschrift" von 4 fragt und danach deren igi angibt, scheint die Bedienung auf einem Tablet für grobe Arbeiten zu beschreiben, die in der Schule gelehrt wurden (siehe Hinweis 5, Seite 65 und Seite 120).


4.6: BM 13901 #23 - Mathematik

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Lösungen von früheren Papieren | Cambridge International Examinations (CIE) | AS & A-Level | Mathematik 9709 | Reine Mathematik 1 (P1-9709/01) | Jahr 2016 | Mai-Juni | (P1-9709/13) | Q#11

Dreieck ABC hat Ecken bei A( − 2, − 1), B(4,6) und C(6, − 3).


ich.
Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist und bestimmen Sie die genaue Fläche dieses Dreiecks.

ii. Der Punkt D ist der Punkt auf AB, so dass CD senkrecht auf AB steht. Berechnen Sie die x-Koordinate von D.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit (mindestens) zwei gleichen Seiten.

Um zu zeigen, dass das Dreieck ABC mit Ecken bei A( − 2, − 1), B(4,6) und C(6, − 3) gleichschenklig ist, müssen wir zwei beliebige Seiten gleich zeigen.

Lassen Sie uns die Längen von zwei Seiten des Dreiecks ermitteln.

Ausdruck, um den Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten zu finden und ist:

Daher können wir mit A( − 2, − 1) und B(4,6) AB wie folgt finden

Auch mit B(4,6) und C(6, − 3) können wir BC wie folgt finden

Da zwei Seiten des Dreiecks ABC gleich sind , es ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Als nächstes müssen wir den Flächeninhalt des Dreiecks ABC ermitteln.

Ausdruck für die Fläche des Dreiecks ist

Wir haben oben gesehen, dass das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck ist, und wir haben auch Längen von zwei gleichen Seiten gefunden.

Wir können das Dreieck wie unten gezeigt zeichnen.

Wir wissen das . Es ist offensichtlich, dass AC die Basis des Dreiecks ABC und BM die Höhe des Dreiecks ABC ist, was auch bedeutet, dass BM die Mittelsenkrechte von AC ist.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Länge von BM zu finden, wie den Satz des Pythagoras und die Distanzformel. Wir verwenden die Abstandsformel.

Ausdruck, um den Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten zu finden und ist:

Daher benötigen wir Koordinaten der Punkte B und M, um BM zu finden.

Um den Abstand BM zu finden, haben wir Koordinaten von Punkt B(4,6), aber wir brauchen Koordinaten von Punkt M. Da BM senkrechte Winkelhalbierende von AC ist, ist der Punkt M der Mittelpunkt von AC.

Um den Mittelpunkt einer Linie zu finden, benötigen wir die Koordinaten der Endpunkte der Linie.

Ausdrücke für Koordinaten des Mittelpunkts einer Linie, die Punkte verbindet und

x-Koordinate des Mittelpunkts der Linie

y-Koordinate des Mittelpunkts der Linie

Wir haben A( − 2, − 1) und C(6, − 3), also

x-Koordinate des Mittelpunkts der Linie

y-Koordinate des Mittelpunkts der Linie

Jetzt können wir den Abstand BM aus den Koordinaten von B(4,6) und M(2,-2) ermitteln

Schließlich benötigen wir die Länge von AC, um die Fläche des Dreiecks ABC zu finden.

Ausdruck, um den Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten zu finden und ist:

Wir haben A( − 2, − 1) und C(6, − 3), also

Wir erhalten, dass Punkt D der Punkt auf AB ist, so dass CD senkrecht auf AB steht. Wir können nach gegebener Bedingung zeichnen.

Es ist offensichtlich, dass Punkt D der Schnittpunkt der Linien AB und CD ist. Daher müssen wir die Koordinaten eines Schnittpunktes finden.

Wenn sich zwei Linien (oder eine Linie und eine Kurve) in einem Punkt schneiden, liegt dieser Punkt auf beiden Linien, d. h. die Koordinaten dieses Punktes haben auf beiden Linien (oder auf der Linie und der Kurve) gleiche Werte. Daher können wir gleichsetzen Koordinaten beider Geraden, d.h. gleich Gleichungen beider Geraden (oder der Geraden und der Kurve).

Daher benötigen wir Gleichungen der beiden Geraden AB und CD. Lassen Sie uns diese Gleichungen nacheinander finden.

Zuerst finden wir die Gleichung der Geraden AB.

Um die Geradengleichung zu finden, benötigen wir entweder die Koordinaten der beiden Punkte auf der Geraden (Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung) oder die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden und die Steigung der Geraden (Punkt-Steigungsform der Geradengleichung ).

Wir haben Koordinaten von beiden Punkten A( − 2, − 1) und B(4,6).

Zweipunktform der Geradengleichung ist

Nun finden wir die Geradengleichung CD.

Um die Geradengleichung zu finden, benötigen wir entweder die Koordinaten der beiden Punkte auf der Geraden (Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung) oder die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden und die Steigung der Geraden (Punkt-Steigungsform der Geradengleichung ).

Wir haben Koordinaten von einem Punkt auf der Geraden CD und das ist C(6, − 3) . Daher benötigen wir die Steigung der Geraden CD, um ihre Gleichung zu schreiben.

Gegeben sei, dass die Geraden AB und CD senkrecht stehen.

Stehen zwei Geraden senkrecht (normal) zueinander, dann Produkt ihrer Steigungen und ist

Wir können die Steigung der Geraden CD finden, wenn wir die Steigung der Geraden AB kennen.

Steigungs-Schnittpunkt-Form der Geradengleichung

Wo ist die Steigung der Linie.

Wir haben die Geradengleichung in Steigungsabschnittsform oben als gefunden

Daher ist die Steigung der Linie AB .

Daher können wir die Steigung der Geraden CD als

Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung ist

Nun, mit Koordinaten eines Punktes C(6, − 3) und Steigung der Geraden CD Zur Hand können wir eine CD-Gleichung schreiben.

Jetzt haben wir Gleichungen der beiden sich schneidenden Geraden, damit wir die Koordinaten des Schnittpunkts finden können.

Gleichung der Geraden AB ist

Gleichung der Geraden CD ist

Ein einzelner Wert von x gibt an, dass es nur einen Schnittpunkt gibt.

Daher ist die x-Koordinate von Punkt D .


Wahrscheinlichkeit und Statistik

Sätze, Vereinigungen und Schnittmengen

Wenn wir einen Stichprobenraum durch eine Menge darstellen S von Punkten, dann können Ereignisse, die bestimmten Spezifikationen entsprechen, als Teilmengen identifiziert werden A, B, … von S, bezeichnet als EINS, usw. Zwei Sätze A, B sind gleich, wenn EIN ist enthalten in B, bezeichnet EINB, und B ist enthalten in EIN, bezeichnet BEIN. Das Union EINB besteht aus allen Punkten (Ereignissen), die in EIN oder B oder beides (siehe Abb. 23.1 ). DasÜberschneidung EINB besteht aus allen Punkten, die in beiden enthalten sind EIN und B. Wenn EIN und B keine gemeinsamen Punkte haben, ihr Schnittpunkt ist der leeres Set (die keine Elemente hat), und wir schreiben EINB = . Die Punktemenge in EIN die nicht im Schnittpunkt von liegen EIN und B wird bezeichnet mit EINEINB, damit Definieren einer Subtraktion von Mengen. Nehmen wir die Clubfarbe in Beispiel 23.1.1 als Menge EIN und die vier Buchsen als Set B, dann umfasst ihre Vereinigung alle Clubs und Buben, und ihre Schnittmenge ist nur der Club-Bube.

Abbildung 23.1. Der schattierte Bereich gibt den Schnittpunkt an EINB, Entsprechend der EIN und B Ereignis setzt die gestrichelte Linie umschließt EINB, entsprechend dem Event-Set EIN oder B.

Jede Untermenge EIN hat seine Wahrscheinlichkeit P(EIN) ≥ 0. In Bezug auf diese mengentheoretischen Konzepte und Notationen werden die soeben diskutierten Wahrscheinlichkeitsgesetze zu

Der gesamte Probenraum hat P(S) = 1. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung EINB sich gegenseitig ausschließender Ereignisse ist die Summe

Das Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten beliebiger Mengen ist durch den folgenden Satz gegeben:

Um Gl. (23.4) schreiben wir die Vereinigung als zwei sich gegenseitig ausschließende Mengen: EINB = EIN ∪ (BBEIN), wobei wir den Schnittpunkt von subtrahiert haben EIN und B von B bevor Sie sich ihnen anschließen. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten dieser sich gegenseitig ausschließenden Mengen sind P(EIN) und P(B) − P(BEIN), die wir hinzufügen. Wir hätten auch schreiben können EINB = (EINEINB) ∪ B, woraus unser Theorem ähnlich folgt, indem wir diese Wahrscheinlichkeiten addieren: P(EINB) = [P(EIN) − P(EINB)] + P(B). Beachten Sie, dass EINB = BEIN. Die Beziehungen zwischen diesen Mengen können anhand von Abb. 23.1 überprüft werden.

Manchmal reichen die Regeln und Definitionen von Wahrscheinlichkeiten, die wir bisher besprochen haben, nicht aus, und wir müssen den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit einführen. Lassen EIN und B bezeichnen Gruppen von Ereignissen in unserem Beispielraum. Das bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|EIN) ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis, das Mitglied von EIN ist auch Mitglied von B. Um die Notwendigkeit dieser etwas formalen Definition zu verstehen, betrachten Sie das folgende Beispiel.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Stellen Sie sich eine Schachtel mit 10 identischen roten und 20 identischen blauen Stiften vor, aus denen wir Stifte nacheinander in zufälliger Reihenfolge entfernen, ohne sie zurückzulegen. Angenommen, wir zeichnen zuerst einen roten Stift, Ereignis R, gefolgt von der Ziehung eines blauen Stiftes, Ereignis B. Eine Möglichkeit zu berechnen P(R, B) ist anzumerken, dass unser Stichprobenraum aus 30 × 29 sich gegenseitig ausschließenden und gleich wahrscheinlichen Punkten besteht (jeweils eine geordnete Folge von zwei Ereignissen), von denen 10 × 20 unseren Spezifikationen entsprechen, was zur Berechnung führt P(R, B) = (10 × 20)/(30 × 29) = 20/87. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel P(R, B) bezieht sich auf bestellt Veranstaltungen.

Eine andere Möglichkeit, dieselbe Berechnung durchzuführen, besteht darin, zunächst zu bemerken, dass das anfängliche Zeichnen eines roten Stifts mit Wahrscheinlichkeit P(R) = 10/30.Aber jetzt die Wahrscheinlichkeit, in der nächsten Runde einen blauen Stift zu ziehen, Ereignis B, hängt jedoch davon ab, dass wir in der ersten Runde einen roten Stift gezogen haben und wird von der bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|R). Da es jetzt 29 Stifte gibt, von denen 20 blau sind, berechnen wir leicht P(B|R) = 20/29, und die Wahrscheinlichkeit der Folge „rot, dann blau“ ist

Die Verallgemeinerung des Ergebnisses in Gl. (23.5) ist die sehr nützliche Formel

was die offensichtliche Interpretation hat, dass die Wahrscheinlichkeit, dass EIN und B beide auftreten können geschrieben werden als die Wahrscheinlichkeit von EIN, multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit P ( B | A ), dass B auftritt, angesichts des Auftretens von EIN.

Zwei Beobachtungen relativ zu Gl. (23.6) sind in Ordnung. Erstens kann es umgeordnet werden, um eine explizite Formel für zu erhalten P(B|EIN):

Zweitens, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|EIN) = P(B) ist unabhängig von EIN, dann die Ereignisse EIN und B werden genannt unabhängig, und die kombinierte Wahrscheinlichkeit ist einfach Produkt beider Wahrscheinlichkeiten, oder

Ob EIN und B so definiert sind, dass keiner vom anderen abhängt (eine Bedingung, die in Beispiel 23.1.2 nicht erfüllt ist), können wir Gl. (23.7) als

Schulische Eignungstests

Colleges und Universitäten verlassen sich unter anderem auf die verbalen und mathematischen SAT-Ergebnisse als Prädiktoren für den Erfolg eines Studenten beim Bestehen von Kursen und Abschluss. Es ist bekannt, dass eine Forschungsuniversität hauptsächlich Studenten mit einem kombinierten mündlichen und mathematischen Ergebnis von 1400 Punkten oder mehr aufnimmt. Die Abschlussquote beträgt 95 %, dh 5 % Studienabbruch oder Wechsel. 97 % der Absolventen haben einen SAT-Wert von mindestens 1400 Punkten, während 80 % der Studienabbrecher einen SAT-Wert von unter 1400 haben. Angenommen, ein Student hat einen SAT-Wert unter 1400. Wie hoch ist seine Abschlusswahrscheinlichkeit? ?

Lassen EIN repräsentieren alle Schüler mit einem SAT-Testergebnis unter 1400, und lassen Sie B vertreten diejenigen mit Punktzahlen ≥ 1400. Dies sind sich gegenseitig ausschließende Ereignisse mit P(EIN) + P(B) = 1. Sei C repräsentieren diejenigen Studenten, die ihren Abschluss machen, und lassen Sie C ˜ diejenigen repräsentieren, die dies nicht tun. Unser Problem besteht hier darin, die bedingten Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen P(C|EIN) und P(C|B). Um Gl. (23.9) benötigen wir die vier Wahrscheinlichkeiten P(EIN), P(B), P(EINC), und P(BC).

Von den 95 % der Absolventen sind 3 % im Set in EIN und 97% sind im Set B, so

Als Folge der Gleichung für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt Gl. (23.9) vergleichen wir nun P(EIN|B) = P(EINB)/P(B) und P(B|EIN) = P(EINB)/P(EIN), um ein Ergebnis zu erhalten, das als . bekannt ist Satz von Bayes':

Der Satz von Bayes' ist ein Spezialfall des folgenden allgemeineren Satzes:

Wenn die zufälligen Ereignisse Aich mit Wahrscheinlichkeiten P(EINich) > 0 sich gegenseitig ausschließen und ihre Vereinigung die gesamte Stichprobe S repräsentiert, dann ein beliebiges Zufallsereignis BS hat die Wahrscheinlichkeit

Das Zerlegungsgesetz nach Gl. (23.11) ähnelt der Entwicklung eines Vektors in eine Basis von Einheitsvektoren, die seine Komponenten definieren. Diese Beziehung folgt aus der offensichtlichen Zerlegung B = ∪ich(BEINich) (diese Notation gibt die Vereinigung aller Größen an BEINich, siehe Abb. 23.2 ), was impliziert P(B) = ∑ich P(BEINich) weil die Komponenten BEINich schließen sich gegenseitig aus. Für jedes ich, wissen wir aus Gl. (23.9) das P(BEINich) = P(EINich) P(B|EINich), was den Satz beweist.

Abbildung 23.2. Der schattige Bereich B besteht aus sich gegenseitig ausschließenden Teilmengen von B gehört auch zu EIN1, EIN2, EIN3, bei dem die EINich schließen sich gegenseitig aus.


Vorlesungsnotizen

Wochenplan Frühjahr 2018

WocheTermineThemenDurrett-Abschnitte
1 16. Januar Zusammenfassung der Maßtheorie, wie sie in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet wird. Und verbinde dich mit den drei Stufen des Tao. Kerl. 1, Anhang A, Abschnitt 2.1.4
1 18. Januar Gemeinsame Verteilungen entsprechen marginal und einem Kernel. 5.1.3
2 23. Januar Bedingte Verteilungen und bedingter Erwartungswert. Die beiden Ansichten der bedingten Unabhängigkeit. Kolmogorov-Erweiterungssatz. 2.1.4,
2 25. Januar Markov-Ketten: Starker Markov, der Zeiten trifft und Funktionsidentitäten generiert. Beispiele. 6.1, 6.2
3 30. Januar Klassifizierung von Zuständen Wiederkehr und Vergänglichkeit. 6.3, 6.4
3 1. Februar Invariante Maße und stationäre Verteilungen. Einige alte Vorlesungsnotizen 6.5
4 6. Februar Existenz und Konvergenz zu stationären Verteilungen. 6.5
4 8. Februar Beispiele für Kopplungsgrenzen. Der ergodische Satz der Markov-Kette. 6.6
5 13. Februar Die Fundamentalmatrix. Treffen von Zeitformeln über die Besetzungszeitidentität. Asymptotische Varianzraten. Abschnitte 2.1-2.3 von Aldous-Fill
5 15. Februar Martingale-Methoden für Markov-Ketten. 6.4
6 20. Februar Metropolis-Algorithmus und Rejection-Sampling von allgemeinen Zustandsräumen und Harris-Ketten. 6.8
6 22. Februar Iterierte Zufallsfunktionen und Kopplung aus den vergangenen zeitkontinuierlichen reversiblen Ketten. Siehe Diaconis-Freedman und Abschnitt 3.6 von Aldous-Fill.
7 27. Februar/ 1. März Mar Überblick über schwache Konvergenz in metrischen Räumen. Satz von Prohorov und indirekter Beweis über Grenzcharakterisierung. C[0,1] und D[0,1] und Dichtheit. Beispiele für die Konvergenz zufälliger "Objekte". Billingsley Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
8 6./8. März Anwendungen des Ergodischen Theorems auf RW. 7.1, 7.2, 7.3
913./15. März Entropie und Shannon-Breiman-McMillan-Theorem, subadditiver ergodischer Satz und Anwendungen. 7.4, 7.5
10 20./22. März Brownsche Bewegung. Existenz und Pfadkontinuität. Invarianzeigenschaften. Nicht-Unterscheidbarkeit des Pfades. Assoziierte Martingale und ihre Verwendung beim Finden von Verteilungen, z.B. der Schlagzeit für BM mit Drift. 8.1, 8.5
Spring Break, Frühjahrsurlaub, Frühjahrsferien
11 3./5. April Reflexionsprinzip und daraus abgeleitete Formeln. Erwähnen Sie Brücke, Ausflug, Mäander. BM als Gaußscher Prozess. Gesetz des iterierten Logarithmus. Skorokhod-Einbettung. 8.4
12 10. April Donskers Invarianzprinzip und Anwendungen. 8.6
12 12. AprilKEINE KLASSE
13 17./19. April Die drei Arkussinusgesetze. Martingales zentraler Grenzwertsatz über Brownsche Einbettung. Ortszeit und ihre Relevanz. 8.4 Morters-Peres Kap. 6.
14 24. April Der Satz von Levy. Absolutes Maximum der Brownschen Brücke und der Kolmogorov-Smirnov-Grenze. 8.7 Morters-Peres Kap. 6.
14 26. April Satz von de Finetti und Darstellung austauschbarer Arrays. Tim Austins Exchangeable Random Arrays Notizen.
15+ 3. - 7. Mai Abschlussprüfung zum Mitnehmen, Donnerstag, 3. Mai, 12.30 Uhr, Montag, 7. Mai, 12.30 Uhr.

Kleinster Singulärwert von Zufallsmatrizen und Geometrie von Zufallspolytopen

Wir untersuchen das Verhalten des kleinsten singulären Werts einer rechteckigen Zufallsmatrix, d. h. einer Matrix, deren Einträge unabhängige Zufallsvariablen sind, die einige zusätzliche Bedingungen erfüllen. Wir beweisen eine Abweichungsungleichung und zeigen, dass eine solche Matrix auf ihrem Bild ein „guter“ Isomorphismus ist. Dann erhalten wir asymptotisch scharfe Schätzungen für Volumina und andere geometrische Parameter zufälliger Polytope (absolut konvexe Hüllen von Reihen zufälliger Matrizen). Alle unsere Ergebnisse gelten mit hoher Wahrscheinlichkeit, d. h. mit einer Wahrscheinlichkeit exponentiell (in Dimension) nahe 1.


Mathematik Teil I Lösungen für Mathematik der Klasse 10 Kapitel 1 - Lineare Gleichungen in zwei Variablen

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Seite Nr. 4:

Frage 1:

Führen Sie die folgende Aktivität durch, um die simultanen Gleichungen zu lösen.
5x + 3ja = 9 -----(ich)
2x + 3ja = 12 ----- (II)

Antworten:

Haftungsausschluss: Es ist ein Fehler im Q. In (II) hätte es 2 sein müssenx - 3ja = 12
5x + 3ja = 9 -----(ich)
2x - 3ja = 12 ----- (II)
(I) und (II) hinzufügen
7x = 21
x = 3
Den Wert von setzen x = 3 in (I) erhalten wir
5 3 + 3 y = 9 ⇒ 15 + 3 y = 9 ⇒ 3 y = 9 - 15 = - 6 ⇒ y = - 2
Daher, (x, ja) = (3, - 6).

Seite Nr. 5:

Frage 2:

Antworten:

(1) 3ein + 5B = 26 . (ICH)
ein + 5b = 22 . (II)
Subtrahieren (II) von (I)
2ein = 4
ein = 2
Den Wert von setzen ein = 2 Zoll (II)
5b = 22 - 2 = 20
B = 20 5 = 4
Daher, ein = 2 und B = 4.

(3) 2x &ndash 3ja = 9 . (ICH)
2x + ja = 13 . (II)
Subtrahieren (II) von (I) erhalten wir
&ndash 3y &minus y = 9 & minus 13
⇒ - 4 Jahre = - 4 ⇒ Jahre = 1
Setzen wir diesen Wert in (I) ein, erhalten wir
2 x - 3 1 = 9 ⇒ 2 x = 9 + 3 = 12 ⇒ x = 12 2 = 6
Daher, (x, y) = (6, 1)

(4) 5m &ndash 3n = 19 . (ICH)
m &ndash 6n = &ndash7 . (II)
Multiplizieren von (I) mit 2 erhalten wir
10m &ndash 6n = 38 . (III)
m &ndash 6n = &ndash7 . (NS)
Subtrahieren von (IV) von (III) erhalten wir
10 m - m - 6 n - - 6 n = 38 - - 7 ⇒ 9 m = 45 ⇒ m = 45 9 = 5
Setzen wir den Wert von m = 5 in (II) ein, erhalten wir
5 - 6 n = - 7 ⇒ - 6 n = - 7 - 5 ⇒ - 6 n = - 12 ⇒ n = - 12 - 6 = 2
Somit ist (m, n) = (5, 2).

(5) 5x + 2ja = &ndash3 . (ICH)
x + 5ja = 4 . (II)
Multiplizieren Sie (II) mit 5 wir erhalten
5x + 25ja = 20. (III)
Subtrahieren (III) von (I) erhalten wir
5 x - 5 x + 2 y - 25 y = - 3 - 20 ⇒ - 23 y = - 23 ⇒ y = - 23 - 23 = 1
Den Wert von setzen y = 1 in (II) erhalten wir
x + 5 1 = 4 ⇒ x + 5 = 4 ⇒ x = 4 - 5 = - 1
Daher, (x, y) = (&minus1, 1)

x - y = 4 x + y = 10 ⇒ 2 x = 14 ⇒ x = 7
Den Wert von setzen x = 7 in (IV) erhalten wir
7 + y = 10 ⇒ y = 10 - 7 ⇒ y = 3
Daher, (x, y) = (7, 3).

Seite Nr. 8:

Frage 1:

Vervollständigen Sie die folgende Tabelle, um ein Diagramm der Gleichungen zu zeichnen&ndash
(ICH) x + ja = 3 (II) x &ndash ja = 4

x + ja = 3
x 3         0                 0        
ja         0         5 3
(x, ja) (3, 0)         0         (0, 3)
x &ndash ja = 4
x         0         &ndash1 0
ja 0         0         &ndash4
(x, ja)         0                 0         (0, &ndash4)

Antworten:

x + ja = 3
x 3       - 2                 0        
ja         0         5 3
(x, ja) (3, 0)     - 2 ,   5     (0, 3)
x &ndash ja = 4
x         4         &ndash1 0
ja 0     - 5         &ndash4
(x, ja)       4 , 0             - 1 , - 5     (0, &ndash4)

Seite Nr. 8:

Frage 2:

Lösen Sie die folgenden simultanen Gleichungen grafisch.
(1) x + ja = 6 x &ndash ja = 4
(2) x + ja = 5 x &ndash ja = 3
(3) x + ja = 0 2x &ndash ja = 9
(4) 3x &ndash ja = 2 2x &ndash ja = 3
(5) 3x &ndash 4ja = &ndash7 5x &ndash 2ja = 0
(6) 2x &ndash 3ja = 4 3ja &ndash x = 4

Antworten:


Schnittpunkt der beiden Geraden ist (5, 1).

Schnittpunkt der beiden Geraden ist (4, 1)
(3) x + ja = 0

​Schnittpunkt der beiden Geraden ist (3, &minus3).

​Schnittpunkt der beiden Linien ist (&minus1, &minus5).

​Schnittpunkt der beiden Geraden ist (1, 2.5).

​Schnittpunkt der beiden Geraden ist (8, 4).

Seite Nr. 16:

Frage 1:

Füllen Sie die Lücken mit der richtigen Zahl aus

Antworten:

Seite Nr. 16:

Frage 2:

Finden Sie die Werte der folgenden Determinanten.

Antworten:

(3) 7 3 5 3 3 2 1 2 = 7 3 × 1 2 - 5 3 × 3 2 = 7 6 - 5 2 = 7 - 15 6 = - 8 6 = - 4 3

Seite Nr. 16:

Frage 3:

Lösen Sie die folgenden simultanen Gleichungen mit der Cramerschen Regel.
(1) 3x &ndash 4ja = 10 4x + 3ja = 5
(2) 4x + 3ja &ndash 4 = 0 6x = 8 &ndash 5ja
(3) x + 2ja = &ndash1 2x &ndash 3ja = 12
(4) 6x &ndash 4ja = &ndash12 8x &ndash 3ja = &ndash2
(5) 4m + 6n = 54 3m + 2n = 28
(6) 2 x + 3 y = 2     x - y 2 = 1 2

Antworten:

(1) 3x &ndash 4ja = 10
4x + 3ja = 5
D = 3 - 4 4 3 = 3 × 3 - - 4 × 4 = 9 + 16 = 25 D x = 10 - 4 5 3 = 10 × 3 - - 4 × 5 = 30 + 20 = 50 D y = 3 10 4 5 = 3 × 5 - 10 × 4 = 15 - 40 = - 25
x = D x D = 50 25 = 2 y = D y D = - 25 25 = - 1 x , y = 2 , - 1

(2) 4x + 3ja &ndash 4 = 0 6x = 8 &ndash 5ja
D = 4 3 6 5 = 4 × 5 - 6 × 3 = 20 - 18 = 2 D x = 4 3 8 5 = 4 × 5 - 3 × 8 = 20 - 24 = - 4 D y = 4 4 6 8 = 4 × 8 - 6 × 4 = 32 - 24 = 8

x = D x D = - 4 2 = - 2 y = D y D = 8 2 = 4 x , y = - 2 , 4

(3) x + 2ja = &ndash1 2x &ndash 3ja = 12
D = 1 2 2 - 3 = 1 × - 3 - 2 × 2 = - 3 - 4 = - 7 D x = - 1 2 12 - 3 = - 1 × - 3 - 2 × 12 = 3 - 24 = - 21 D y = 1 - 1 2 12 = 1 × 12 - - 1 × 2 = 12 + 2 = 14
x = D x D = - 21 - 7 = 3 y = D y D = 14 - 7 = - 2 x , y = 3 , - 2

(4) 6x &ndash 4ja = &ndash12 8x &ndash 3ja = &ndash2

D = 6 - 4 8 - 3 = 6 × - 3 - - 4 × 8 = - 18 + 32 = 14 D x = - 12 - 4 - 2 - 3 = - 12 × - 3 - - 4 × - 2 = 36 - 8 = 28 D y = 6 - 12 8 - 2 = 6 × - 2 - - 12 × 8 = - 12 + 96 = 84
x = D x D = 28 14 = 2 y = D y D = 84 14 = 6 x , y = 2 , 6

(5) 4m + 6n = 54 3m + 2n = 28
D = 4 6 3 2 = 4 × 2 - 6 × 3 = 8 - 18 = - 10 D x = 54 6 28 2 = 54 × 2 - 6 × 28 = 108 - 168 = - 60 D y = 4 54 3 28 = 4 × 28 - 54 × 3 = 112 - 162 = - 50
x = D x D = - 60 - 10 = 6 y = D y D = - 50 - 10 = 5 x , y = 6 , 5

(6) 2 x + 3 y = 2     x - y 2 = 1 2
D = 2 3 1 - 1 2 = 2 × - 1 2 - 3 × 1 = - 1 - 3 = - 4 D x = 2 3 1 2 - 1 2 = 2 × - 1 2 - 3 × 1 2 = - 1 - 3 2 = - 5 2 D y = 2 2 1 1 2 = 2 × 1 2 - 2 × 1 = 1 - 2 = - 1
x = D x D = - 5 2 - 4 = 5 8 y = D y D = - 1 - 4 = 1 4 x , y = 5 8 , 1 4

Seite Nr. 19:

Frage 1:

Lösen Sie die folgenden simultanen Gleichungen.

1   2 x - 3 y = 15   8 x + 5 y = 77 2   10 x + y + 2 x - y = 4   15 x + y - 5 x - y = - 2 3   27 x - 2 + 31 y + 3 = 85   31 x - 2 + 27 y + 3 = 89 4   1 3 x + y + 2 3 x - y = 3 4 &# 160 1 2 3 x + y - 1 2 3 x - y = - 1 8

Antworten:

1   2 x - 3 y = 15   8 x + 5 y = 77
Sei   1 x = u   und   1 y = v
Die Gleichung wird also
2 u - 3 v = 15                             & #160         . . . . . I 8 u + 5 v = 77                                       . . . . . II
Multiplizieren Sie (I) mit 4 wir erhalten
8 u - 12 v = 60                             & #160. . . . . III
(II) & minus (III)
8 u - 8 u + 5 v - - 12 v = 77 - 60 ⇒ 17 v = 17 ⇒ v = 1 Setzen von   den   Wert   von   v   in   I 2 u - 3 1 = 15 ⇒ 2 u = 15 + 3 = 18 ⇒ u = 9
Daher,
1 x = u = 9 ⇒ x = 1 9 1 y = v = 1 ⇒ y = 1 x , y = 1 9 , 1

2   10 x + y + 2 x - y = 4   15 x + y - 5 x - y = - 2
Seien 1 x + y = u   und   1 x - y = v
Die Gleichung wird also
10 u + 2 v = 4                             . . . . . I 15 u - 5 v = - 2                     . . . . . II  
Wenn wir (I) mit 5 und (II) mit 2 multiplizieren, erhalten wir
50 u + 10 v = 20                             & #160             . . . . . III 30 u - 10 v = - 4                           &# 160           . . . . . NS
Durch Addition von (III) und (IV) erhalten wir
u = 16 80 = 1 5
Setzen Sie diesen Wert in (I) ein
10 × 1 5 + 2 v = 4 ⇒ 2 + 2 v = 4 ⇒ v = 1

1 x + y = 1 5   und   1 x - y = 1 ⇒ x + y = 5   und   x - y = 1 Lösen von   dieser   Gleichungen & #160 wir   erhalten x = 3   und   y = 2

3   27 x - 2 + 31 Jahre + 3 = 85   31 x - 2 + 27 Jahre + 3 = 89
Sei   1 x - 2 = u   und   1 y + 3 = v
27 u + 31 v = 85                             & #160. . . . . I 31 u + 27 v = 89                               . . . . . II Addieren von   I   und   II 58 u + 58 v = 174 u + v = 3                                                 &# 160   . . . . . III Subtrahieren von   II   von   I 4 u - 4 v = 4 ⇒ u - v = 1                                           . . . . . IV        
Durch Addition von (III) und (IV) erhalten wir
2 u = 4 ⇒ u = 2
Den Wert von setzen du in III
2 + v = 3 ⇒ v = 1
1 x - 2 = u = 2 ⇒ x - 2 = 1 2 ⇒ x = 5 2
1 y + 3 = 1 ⇒ y + 3 = 1 ⇒ y = - 2
x , y = 5 2 , - 2

4   1 3 x + y + 2 3 x - y = 3 4   1 2 3 x + y - 1 2 3 x - y = - 1 8
Seien 1 3 x + y = u   und   1 3 x - y = v
u + 2 v = 3 4   und   1 2 u - 1 2 v = - 1 8
Die Gleichungen werden also
4 u + 4 v = 3                             & #160. . . . . I 4 u - 4 v = 1                               . . . . . II
Hinzufügen von (I) und (II)
8 u = 4 ⇒ u = 1 2
Den Wert von setzen du in (ich)
1 2 + 2 v = 3 4 ⇒ v = 1 4
1 3 x + y = u   und   1 3 x - y = v ⇒ 1 3 x + y = 1 2 3 x + y = 2                                   . . . . . III Auch   1 3 x - y = 1 4 ⇒ 3 x - y = 4                         . . . . . IV                      
(III) + (IV) wir erhalten
6 x = 6 ⇒ x = 1 y = - 1

Seite Nr. 26:

Frage 1:

Zwei Zahlen unterscheiden sich um 3. Die Summe aus der doppelten kleineren Zahl und der dreimal größeren Zahl ist 19. Finden Sie die Zahlen.

Antworten:

Die kleinere Zahl sei x und die größere Zahl be ja.
Da sich die beiden Zahlen um 3 unterscheiden,
y – x = 3. (ICH)
Außerdem ist die Summe aus der doppelten kleineren Zahl und der dreimal größeren Zahl 19
Also 2 x + 3 y = 19 . (II)
Die beiden erhaltenen Gleichungen sind
y - x = 3
2 x + 3 y = 19
Wenn wir (I) mit 3 multiplizieren, erhalten wir
3 y - 3 x = 9 . (III)
Addieren von (III) und (II) haben wir
4ja = 28
⇒ y = 28 4 = 7
Den Wert von setzen ja = 7 in (I) erhalten wir
7 - x = 3 ⇒ - x = 3 - 7 ⇒ - x = - 4 ⇒ x = 4
Somit sind die beiden Zahlen 4 und 7.

Seite Nr. 26:

Frage 2:

Antworten:

Die Länge des gegebenen Rechtecks ​​beträgt 2 x + y + 8 und 4 x - y
2 x + y + 8 = 4 x - y ⇒ y + y + 8 = 4 x - 2 x ⇒ 8 + 2 y = 2 x ⇒ 2 x - 2 y = 8 Teilen   durch160   2 x - y = 4                           &# 160                                 & #160       . . . . . ich
Breite des Rechtecks ​​ist 2ja und x + 4.
2 y = x + 4 ⇒ x - 2 y = - 4                       & #160                                 . . . . . II  
Subtrahieren (II) von (I)
x - x - y - - 2 y = 4 - - 4 ⇒ - y + 2 y = 8 ⇒ y = 8 Setzen   den   Wert   von   y = 8 & #160 in   ( I )   wir   bekommen x - 8 = 4 ⇒ x = 4 + 8 = 12
Länge = 4 x - y = 4 12 - 8 = 40
Breite = 2 × 8 = 16
Umfang = 2 Länge + Breite = 2 40 + 16 = 112 Einheiten
Fläche = Länge × Breite = 40 × 16 = 640   Einheit 2

Seite Nr. 26:

Frage 3:

Die Summe aus Vaters Alter und dem doppelten Alter seines Sohnes beträgt 70. Wenn wir das Alter des Vaters verdoppeln und zum Alter seines Sohnes addieren, ergibt dies 95.

Antworten:

Lass das Alter des Vaters sein x Jahre und das Alter des Sohnes sein ja Jahre.
Die Summe aus dem Alter des Vaters und dem doppelten Alter seines Sohnes beträgt 70.
x + 2 y = 70 . (ICH)
Das doppelte Alter des Vaters addiert zum Alter seines Sohnes ergibt 95
2 x + y = 95 . (II)
Durch Addition von (I) und (II) erhalten wir
3 x + 3 y = 165 Dividieren   durch   3 x + y = 55                   &# 160                                 & #160. . . . . III
Subtrahieren (I) von (II)
2 x - x + y - 2 y = 95 - 70 ⇒ x - y = 25                   &# 160                           . . . . . IV
Durch Addition von (III) und (IV) erhalten wir
2 x = 80 ⇒ x = 40 Setzen   den   Wert   von   x = 40   in   III 40 + y = 55 ⇒ y = 55 - 40 ⇒ J = 15
Somit beträgt das Alter des Vaters 40 Jahre und das Alter seines Sohnes 15 Jahre.

Seite Nr. 26:

Frage 4:

Der Nenner eines Bruches ist 4 mehr als das Doppelte seines Zählers. Der Nenner wird zum 12-fachen des Zählers, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner um 6 reduziert werden. Finden Sie den Bruch.

Antworten:

Der Bruch sei x y .
Nenner eines Bruches ist 4 mehr als das Doppelte seines Zählers.
So,
y = 4 + 2 x ⇒ 2 x - y = - 4                       & #160                             . . . . . ich
Außerdem wird der Nenner zum 12-fachen des Zählers, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner um 6 reduziert werden.
So,
y - 6 = 12 x - 6 ⇒ y - 6 = 12 x - 72 ⇒ 12 x - y = 72 - 6 = 66 ⇒ 12 x - y = 66                                       &# 160                   . . . . . II
Subtrahieren (I) von (II)
12 x - 2 x - y - - y = 66 - - 4 ⇒ 10 x = 70 ⇒ x = 70 10 = 7 ⇒ x = 7
Den Wert von setzen x = 7 Zoll (ich)
2 7 - y = - 4 ⇒ 14 - y = - 4 ⇒ y = 14 + 4 = 18
Der erhaltene Anteil beträgt somit 7 18 .

Seite Nr. 26:

Frage 5:

In einem Lastkraftwagen mit einer Kapazität von 10 Tonnen sind zwei Arten von Kisten A, B zu platzieren. Wenn der LKW mit 150 Kartons vom Typ A und 100 Kartons vom Typ B beladen wird, wiegt er 10 Tonnen. Aber wenn der LKW mit 260 Kartons vom Typ A beladen ist, kann er noch 40 Kartons vom Typ B aufnehmen, so dass er voll beladen ist. Ermitteln Sie das Gewicht jedes Kartontyps.

Antworten:

Das Gewicht der Kiste A sei x und die von Box B be ja.
Wenn der LKW mit 150 Kartons vom Typ A und 100 Kartons vom Typ B beladen wird, wiegt er 10 Tonnen, also 10000 kg.
So,
150 x + 100 y = 10000 ⇒ 15 x + 10 y = 1000 ⇒ 3 x + 2 y = 200               &# 160                                 & #160                             . . . . . ich
Wenn der LKW mit 260 Kartons vom Typ A beladen ist, kann er noch 40 Kartons vom Typ B aufnehmen, so dass er voll beladen ist.
260 x + 40 y = 10000 ⇒ 26 x + 4 y = 1000 ⇒ 13 x + 2 y = 500               &# 160                                 & #160                     . . . . . II
Subtrahieren (I) von (II) erhalten wir
13 x - 3 x + 2 y - 2 y = 500 - 200 ⇒ 10 x = 300 ⇒ x = 30 Setzen   den   Wert   von   x = 30   in   I 3 30 + 2 y = 200 ⇒ 90 + 2 y = 200 ⇒ 2 y = 200 - 90 = 110 ⇒ y = 110 2 = 55
Das Gewicht von Karton A = 30 kg und das von Karton B = 55 kg.

Seite Nr. 26:

Frage 6:

Von 1900 km legte Vishal einige Strecken mit dem Bus und einige mit dem Flugzeug zurück. Der Bus fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h und die durchschnittliche Geschwindigkeit des Flugzeugs beträgt 700 km/h. Die Fahrt dauert 5 Stunden. Finden Sie die Entfernung, reiste Vishal mit dem Bus.

Antworten:

Wir kennen Geschwindigkeit = Distanz Zeit
Durchschnittsgeschwindigkeit des Busses = 60km/h.
Lass die Zeit im Bus sein x Std.
Durchschnittsgeschwindigkeit des Busses = 700km/h.
Lass die Zeit im Bus sein ja Std.
Zurückgelegte Gesamtstrecke = 1900 km
60 x + 700 J = 1900 ⇒ 6 x + 70 J = 190 ⇒ 3 x + 35 J = 95               &# 160                 . . . . . ich
Es dauert 5 Stunden, um die Reise abzuschließen, also
x + y = 5                                     . . . . . II
Multiplizieren (II) mit 3
3 x + 3 y = 15                             & #160               . . . . . III
Subtrahieren (III) von (I) erhalten wir
3 x - 3 x + 35 y - 3 y = 95 - 15 ⇒ 32 y = 80 ⇒ y = 2 . 5
Den Wert von setzen ja = 2.5 in (II) erhalten wir
x+2. 5 = 5 ⇒ x = 2 . 5
Von Vishal mit dem Bus zurückgelegte Entfernung = Geschwindigkeit × Zeit = 60 × 2 . 5 = 150   km.

Seite Nr. 27:

Frage 1:

Antworten:

(1) 4 x +5 ja = 19
Wann x = 1, dann ja wird sein
4 1 + 5 y = 19 ⇒ 4 + 5 y = 19 ⇒ 5 y = 19 - 4 = 15 ⇒ 5 y = 15 ⇒ y = 15 5 = 3
Daher ist die richtige Antwort Option (B).

(2) x = D x D = 49 7 = 7
Daher ist die richtige Antwort Option (A).

(3) 5 3 - 7 - 4 = 5 × - 4 - 3 × - 7 = - 20 + 21 = 1
Daher ist die richtige Antwort Option (D).

(4) x + ja = 3 3 x &ndash 2 ja &ndash 4 = 0
D = 1 1 3 - 2 = 1 × - 2 - 1 × 3 = - 2 - 3 = - 5
Daher ist die richtige Antwort Option (C).

(5) Axt + durch = c und mx + ny = d
D = a b m n = a n - b m
ein
&ne bm
Also, D &ne 0.
Die gegebenen Gleichungen haben also eine eindeutige Lösung oder nur eine gemeinsame Lösung.
Daher ist die richtige Antwort Option A.

Seite Nr. 27:

Frage 2:

Vervollständigen Sie die folgende Tabelle, um den Graphen von 2 . zu zeichnenx &ndash 6ja = 3

Antworten:

Seite Nr. 27:

Frage 3:

Antworten:


Die Lösung der gegebenen Gleichungen ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, d. h. (3, 2).


Die Lösung der gegebenen Gleichungen ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, also (-2,-1).


Die Lösung der gegebenen Gleichungen ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, also (0, 5).

Die Lösung der gegebenen Gleichungen ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, also (2, 4).

Die Lösung der gegebenen Gleichungen ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, d. h. (3, 1).

Seite Nr. 27:

Frage 4:

Finden Sie die Werte jeder der folgenden Determinanten.

Antworten:

(1) 4 3 2 7 = 4 × 7 - 3 × 2 = 28 - 6 = 22

(2) 5 - 2 - 3 1 = 5 × 1 - - 2 × - 3 = 5 - 6 = - 1

(3) 3 - 1 1 4 = 3 × 4 - - 1 × 1 = 12 + 1 = 13

Seite Nr. 28:

Frage 5:

Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach der Cramer-Methode.
(1) 6x &ndash 3ja = &ndash10 3x + 5ja &ndash 8 = 0
(2) 4ich &ndash 2nein = &ndash4 4ich + 3n = 16
(3) 3x &ndash 2ja = 5 2 1 3 x + 3 y = - 4 3
(4) 7x + 3ja = 15 12ja &ndash 5x = 39
(5) x + y - 8 2 = x + 2 y - 14 3 = 3 x - y 4

Antworten:

(1) 6x &ndash 3ja = &ndash10 3x + 5ja &ndash 8 = 0
D = 6 - 3 3 5 = 6 × 5 - - 3 × 3 = 30 + 9 = 39 D x = - 10 - 3 8 5 = - 10 × 5 - - 3 × 8 = - 50 + 24 = - 26 D y = 6 - 10 3 8 = 6 × 8 - - 10 × 3 = 48 + 30 = 78 x = D x D = - 26 39 = - 2 3 y = D y D = 78 39 = 2 x , y = - 2 3 , 2

(2) 4ich &ndash 2nein = &ndash4 4ich + 3n = 16
D = 4 - 2 4 3 = 4 × 3 - - 2 × 4 = 12 + 8 = 20 D x = - 4 - 2 16 3 = - 4 × 3 - - 2 × 16 = - 12 + 32 = 20 D y = 4 - 4 4 16 = 4 × 16 - - 4 × 4 = 64 + 16 = 80 x = D x D = 20 20 = 1 y = D y D = 80 20 = 4 x , y = 1 , 4
(3) 3x &ndash 2ja = 5 2 1 3 x + 3 y = - 4 3
D = 3 - 2 1 3 3 = 9 + 2 3 = 29 3 D x = 5 2 - 2 - 4 3 3 = 15 2 - 8 3 = 29 6 D y = 3 5 2 1 3 - 4 3 = - 4 - 5 6 = - 29 6 x = D x D = 29 6 29 3 = 1 2 y = D y D = - 29 6 29 3 = - 1 2 x , y = 1 2 , - 1 2

(4) 7x + 3ja = 15 12ja &ndash 5x = 39
D = 7 3 - 5 12 = 7 × 12 - - 5 × 3 = 84 + 15 = 99 D x = 15 3 39 12 = 15 × 12 - 39 × 3 = 180 - 117 = 63 D y = 7 15 - 5 39 = 7 × 39 - - 5 × 15 = 273 + 75 = 348 x = D x D = 63 99 = 7 11 y = D y D = 348 99 = 116 33 x , y = 7 11 , 116 33

(5) x + y - 8 2 = x + 2 y - 14 3 = 3 x - y 4
x + y - 8 2 = x + 2 y - 14 3 ⇒ 3 x + 3 y - 24 = 2 x + 4 y - 28 ⇒ x - y = - 4                                       &# 160               . . . . . I und   x + 2 y - 14 3 = 3 x - y 4 ⇒ 4 x + 8 y - 56 = 9 x - 3 ⇒ 5 x - 11 y = - 56   &# 160                               . . . . . II

Aus (I) und (II)
D = 1 - 1 5 - 11 = - 11 × 1 - - 1 × 5 = - 11 + 5 = - 6 D x = - 4 - 1 - 56 - 11 = - 11 × - 4 - - 1 × - 56 = 44 - 56 = - 12 D y = 1 - 4 5 - 56 = - 56 × 1 - - 4 × 5 = - 56 + 20 = - 36 x = D x D = - 12 - 6 = 2 y = D y D = - 36 - 6 = 6 x , y = 2 , 6

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Frage 6:

Lösen Sie die folgenden simultanen Gleichungen.
(1) 2 x + 2 3 y = 1 6     3 x + 2 y = 0
(2) 7 2 x + 1 + 13 Jahre + 2 = 27     13 2 x + 1 + 7 Jahre + 2 = 33
(3) 148 x + 231 y = 527 x y     231 x + 148 y = 610 x y
(4) 7 x - 2 y x y = 5     8 x + 7 y x y = 15
(5) 1 2 3 x + 4 y + 1 5 2 x - 3 y = 1 4     5 3 x + 4 y - 2 2 x - 3 y = - 3 2

Antworten:

(2) 7 2 x + 1 + 13 Jahre + 2 = 27     13 2 x + 1 + 7 Jahre + 2 = 33
Seien 1 2 x + 1 = u   und   1 y + 2 = v
7 u + 13 v = 27                         . . . . . I 13 u + 7 v = 33                         . . . . . II
(I) + (II)
20 u + 20 v = 60 u + v = 3                         &# 160           . . . . . III
(II) & minus (I)
6 u - 6 v = 6                   u - v = 1       &# 160                           . . . . . IV
(III) + (IV)
2 u = 4 ⇒ u = 2 Setzen von   den   Wert   von   u   in   ( IV )   2 - v = 1 ⇒ v = 1
1 2 x + 1 = u = 2   ⇒ 2 x + 1 = 1 2 ⇒ x = - 1 4 und   1 y + 2 = v = 1 ⇒ y + 2 = 1 ⇒ y = - 1 x , y = - 1 4 , - 1

(3) 148 x + 231 y = 527 x y     231 x + 148 y = 610 x y
Mal xy
148 y + 231 x = 527                 . . . . . I       231 j + 148 x = 610                 . . . . . II Hinzufügen von   I   und   II     379 y + 379 x = 1137 ⇒ x + y = 3                                           &# 160. . . . . III II - I 83 y - 83 x = 83 ⇒ y - x = 1                     & #160                     . . . . . IV III + IV 2 Jahre = 4 ⇒ Jahre = 2

Den Wert von setzen ja in (IV)
2 - x = 1 ⇒ x = 1 x , y = 1, 2

(4) 7 x - 2 y x y = 5     8 x + 7 y x y = 15
⇒ 7 y - 2 x = 5   und   8 y + 7 x = 15
Sei 1 x = u , 1 y = v
7 v - 2 u = 5                         . . . . . I 8 v + 7 u = 15                     . . . . . II        
Multiplizieren Sie (I) mit 7 und (II) mit 2
49 v - 14 u = 35                         . . . . . III 16 v + 14 u = 30                         . . . . . IV
Hinzufügen von (III) und (IV)
65 v = 65 ⇒ v = 1 Und   1 y = v = 1 ⇒ y = 1
Den Wert von setzen v in (ich)
7 1 - 2 u = 5 ⇒ u = 1 1 x = u = 1 ⇒ x = 1 x , y = 1 , 1

(5) 1 2 3 x + 4 y + 1 5 2 x - 3 y = 1 4     5 3 x + 4 y - 2 2 x - 3 y = - 3 2
1 3 x + 4 y = u , 1 2 x - 3 y = v 1 2 u + 1 5 v = 1 4               &# 160 ⇒ 10 u + 4 v = 5                                     . . . . . I 5 u - 2 v = - 3 2 ⇒ 10 u - 4 v = - 3                   &# 160         . . . . . II
(I) + (II)
20 u = 2 ⇒ u = 1 10
Den Wert von setzen du in (II)
10 × 1 10 - 4 v = - 3 ⇒ 1 + 3 = 4 v ⇒ v = 1
1 3 x + 4 y = u = 1 10 ⇒ 3 x + 4 y = 10                   &# 160         . . . . . III 1 2 x - 3 y = v = 1 ⇒ 2 x - 3 y = 1                   &# 160             . . . . . NS
Multiplizieren Sie (III) mit 2 und (IV) mit 3
6 x + 8 y = 20                       . . . . . V 6 x - 9 y = 3                           . . . . . VI
(V) & minus (VI)
17 Jahre = 17 ⇒ Jahre = 1
Den Wert von setzen ja in (VI)
6 x - 9 = 3 ⇒ 6 x = 12 ⇒ x = 2 x , y = 2 , 1

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Frage 7:

Löse die folgenden Wortaufgaben.
(1) Eine zweistellige Zahl und die Zahl mit vertauschten Ziffern ergeben zusammen 143. In der angegebenen Zahl ist die Ziffer an der Einheitsstelle um 3 mehr als die Ziffer an der Zehnerstelle. Finden Sie die ursprüngliche Nummer.
(2) Kantabai kaufte 1 1 2 kg Tee und 5 kg Zucker in einem Geschäft. Sie zahlte Rs 50 als Hin- und Rückfahrt für die Rikscha. Die Gesamtkosten betrugen 700 Rupien. Dann stellte sie fest, dass die Ware bei einer Online-Bestellung zum gleichen Preis kostenlos nach Hause geliefert werden kann. Also bestellte sie nächsten Monat online 2 kg Tee und 7 kg Zucker. Dafür hat sie 880 Rupien bezahlt. Finden Sie den Zucker- und Teegehalt pro kg heraus.
(3) Um die Anzahl der Notizen zu finden, die Anushka hatte, führen Sie die folgende Aktivität durch.

(4) Die Summe der gegenwärtigen Alter von Manish und Savita ist 31. Manishs Alter vor 3 Jahren war viermal so alt wie Savita. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.
(5) In einer Fabrik beträgt das Verhältnis der Gehälter von Facharbeitern und Ungelernten 5 : 3. Der Gesamtlohn eines Tages von beiden beträgt Rs 720. Ermitteln Sie die Tageslöhne von Fach- und Ungelernten.
(6) Die Orte A und B sind 30 km voneinander entfernt und befinden sich auf einer geraden Straße. Hamid fährt mit dem Fahrrad von A nach B. Gleichzeitig startet Joseph von B mit dem Fahrrad, fährt Richtung A. Nach 20 Minuten treffen sie sich. Wäre Joseph gleichzeitig von B gestartet, aber in die entgegengesetzte Richtung (statt in Richtung A), hätte ihn Hamid nach 3 Stunden erwischt. Finden Sie die Geschwindigkeit von Hamid und Joseph.

Antworten:

(1) Die Nummer an der Stelle der Einheit sei x und die Ziffer an der Zehnerstelle sei y.
Die Zahl ist also 10y + x
Nach dem Vertauschen der Ziffern wird die Zahl 10x + j.
Angesichts dieser zweistelligen Zahl und der Zahl mit vertauschten Ziffern ergeben sich 143.
Also, 10y + x + 10x + y = 143
⇒ 11 x + 11 y = 143 ⇒ x + y = 13                     &# 160                     . . . . . ich
Außerdem ist in der angegebenen Zahl die Ziffer an der Einheitsstelle 3 mehr als die Ziffer an der Zehnerstelle.
Also x - y = 3                             & #160    . . . . . II
Durch Addition von (I) und (II) erhalten wir
2 x = 16 ⇒ x = 8
Den Wert von setzen x in (I) erhalten wir
8 + y = 13 ⇒ y = 13 - 8 = 5
Somit ist die Zahl 58.

(2) Lassen Sie die Teerate x Rs pro kg und Zucker be ja Rs pro kg.
Als Kantabai die Artikel kaufte, indem er in den Laden ging,
3 2 x + 5 J + 50 = 700 ⇒ 3 x + 10 J = 1300                     . . . . . ich
Als Kantabai die Artikel dann online gekauft hat
2 x + 7 y = 880                         . . . . . II
Wenn wir (I) mit 2 und (II) mit 3 multiplizieren, erhalten wir
6 x + 20 y = 2600                           . . . . . III 6 x + 21 y = 2640                           . . . . . NS
(IV) - (III)
y = 40
Den Wert von setzen y = 40 Zoll (II)
2 x + 7 40 = 880 ⇒ 2 x = 880 - 280 = 600 ⇒ x = 300
So kostet Tee 300 Rs pro kg und Zucker 40 Rs pro kg.

(3) Haftungsausschluss: Die gestellte Frage enthält einen Fehler. Anstelle von Rs 10-Noten sollten es Rs 100-Noten geben.
Die Anzahl der Noten von Rs 100 sei x und das von Rs 50 be ja.
100 x + 50 y = 2500 ⇒ 2 x + y = 50                       & #160         . . . . . ich
Wenn die Anzahl der Noten so vertauscht wird,
50 x + 100 y = 2000 ⇒ x + 2 y = 40                       & #160         . . . . . II
Multiplizieren Sie (I) mit 2
4 x + 2 y = 100                         . . . . . III
Subtrahiert man (III) von (II) erhält man
3 x = 60 ⇒ x = 20 3 x = 60 ⇒ x = 20
Den Wert von setzen x in (I) erhalten wir
y = 10
Es gibt also 20 Rs 100-Noten und 10 Rs 50-Noten.

(4) Lass das gegenwärtige Zeitalter von Manish sein x Jahre und das von Savita be ja Jahre.
Summe ihres gegenwärtigen Alters = 31
x + y = 31                               . . . . . ich
Ihr Alter vor 3 Jahren war
Manishs Alter = x - 3
Savitas Alter = J - 3
Manishs Alter vor 3 Jahren war viermal so alt wie Savita.
x - 3 = 4 y - 3 ⇒ x - 3 = 4 y - 12 ⇒ x - 4 y = - 9                           . . . . . II
(I) - (II) wir bekommen
5 Jahre = 40 ⇒ Jahre = 8
Den Wert von setzen ja in (I) erhalten wir
x + 8 = 31 ⇒ x = 23
Somit beträgt das Alter von Manish 23 Jahre und das Alter von Savita 8 Jahre.

(5) Gehaltsverhältnis von Fach- zu Ungelernten = 5 : 3
Lassen Sie ein Tagesgehalt der Fachkraft sein x und die der ungelernten Person sein y.
Ihr gesamtes Tagesgehalt Rs 720
x + y = 720                         . . . . . ich
Ebenfalls,
xy = 5 3 ⇒ 3 x = 5 ⇒ 3 x - 5 y = 0                   & #160    . . . . . II
Multiplizieren von (I) mit 3 erhalten wir
3 x + 3 y = 2160                             . . . . . III
(III) - (II)
8 Jahre = 2160 ⇒ Jahre = 270
Putting-Wert von ja in (I) erhalten wir
x = 450
Ein Tagesgehalt des Fachmanns Rs 450 und des ungelernten Rs 270.

(6) Die Geschwindigkeit von Hamid sei x km/h und die von Joseph be ja km/h.
Wenn beide in dieselbe Richtung fahren, beträgt die von ihnen zusammen zurückgelegte Strecke 30 km.
Wir wissen Geschwindigkeit = Distanz Zeit
Sie treffen sich nach 20 min = 20 60 = 1 3 Stunden
x 3 + y 3 = 30 ⇒ x + y = 90                       &# 160. . . . . ich
Als Joseph von Punkt B startete, sich aber in die entgegengesetzte Richtung bewegte.
Von Hamid zurückgelegte Strecke - Von Joseph zurückgelegte Strecke = 30
⇒ 3 x - 3 y = 30 ⇒ x - y = 10                     &# 160         . . . . . II
Durch Addition von (I) und (II) erhalten wir
2 x = 100 ⇒ x = 50
Den Wert von setzen x in (II) erhalten wir
50 - y = 10 ⇒ y = 40
So beträgt die Geschwindigkeit von Hamid 50 km/h und die von Joseph 40 km/h.


Chi-Quadrat berechnen

Mit den Daten in Tabellenform kann der Forscher mit der Berechnung der Statistik χ 2 fortfahren, um herauszufinden, ob das Impfprogramm einen Einfluss auf die Gesundheitsergebnisse der Mitarbeiter hatte. Die Formel zur Berechnung eines Chi-Quadrats lautet:

Der erste Schritt bei der Berechnung von χ 2 besteht darin, die Summe jeder Zeile und die Summe jeder Spalte zu berechnen. Diese Summen werden als “marginals” bezeichnet und es gibt Zeilengrenzwerte und Spaltengrenzwerte. Die Grenzwerte für die Fallstudiendaten sind in Tabelle 2 dargestellt.

Tabelle 2

Gesundheitliches ErgebnisNicht geimpft Col 1Geimpft Col 2Zeilenränder (Zeilensumme)
Krank mit Pneumokokken-Pneumonie23528
Krank mit nicht-Pneumokokken-Pneumonie81018
Gesund geblieben6177138
Spaltenränder (Summe der Spalte)9292N = 184

Der zweite Schritt ist die Berechnung des erwartet Werte für jede Zelle. In der Chi-Quadrat-Statistik stellen die 𠇎rwarteten”-Werte eine Schätzung dar, wie sich die Fälle verteilen würden, wenn es KEINE Impfwirkung gäbe. Die erwarteten Werte müssen sowohl die Inzidenz der Fälle in jeder Kategorie als auch die unverzerrte Verteilung der Fälle widerspiegeln, wenn es keine Impfwirkung gibt. Dies bedeutet, dass die Statistik nicht einfach die Gesamtzahl N zählen und durch 6 für die erwartete Zahl in jeder Zelle dividieren kann. Dabei würde nicht berücksichtigt, dass mehr Probanden gesund blieben, unabhängig davon, ob sie geimpft waren oder nicht. Die Chi-Quadrat-Erwartungen werden wie folgt berechnet:

Insbesondere wird für jede Zelle der Zeilenrand mit dem Spaltenrand multipliziert und dieses Produkt durch den Stichprobenumfang dividiert. Für Zelle 1 lautet die Berechnung wie folgt: (28 × 92)/184 = 13,92. Tabelle 3 liefert die Ergebnisse dieser Berechnung für jede Zelle. Nachdem die erwarteten Werte berechnet wurden, werden die Werte der Zelle χ 2 mit der folgenden Formel berechnet:

Die Zelle χ 2 für die erste Zelle in den Fallstudiendaten wird wie folgt berechnet: (23�.93) 2 /13,93 = 5,92. Der Zellenwert χ 2 für jede Zelle ist der Wert in Klammern in jeder der Zellen in Tabelle 3 .

Tisch 3

Erwartete Werte der Zelle und (Chi-Quadrat-Werte der Zelle).

GesundheitsergebnisNicht geimpftGeimpft
Krank mit Pneumokokken-Pneumonie13.92 (5.92)12.57 (4.56)
Krank mit nicht-Pneumokokken-Pneumonie8.95 (0.10)9.05 (0.10)
Gesund geblieben69.12 (0.95)69.88 (0.73)

Nachdem die Zellenwerte χ 2 berechnet wurden, werden sie summiert, um die Statistik χ 2 für die Tabelle zu erhalten. In diesem Fall ist χ 2 12,35 (gerundet). Die Chi-Quadrat-Tabelle benötigt die Freiheitsgrade (df) der Tabelle, um das Signifikanzniveau der Statistik zu bestimmen. Die Freiheitsgrade für eine χ 2 Tabelle werden mit der Formel berechnet:

Zum Beispiel hat eine 2 × 2 Tabelle 1 df. (2𢄡) × (2𢄡) = 1. Eine 3 × 3 Tabelle hat (3𢄡) × (3𢄡) = 4 df. Eine 4 × 5 Tabelle hat (4𢄡) × (5𢄡) = 3 × 4 = 12 df. Unter der Annahme eines χ 2 -Werts von 12,35 mit jedem dieser unterschiedlichen df-Niveaus (1, 4 und 12) sind die Signifikanzniveaus aus einer Tabelle von χ 2 -Werten die Signifikanzniveaus: df = 1, P &# x0003c 0,001, df = 4, P < 0,025 und df = 12, P > 0,10. Beachten Sie, dass das P-Niveau mit zunehmenden Freiheitsgraden weniger signifikant wird, bis der χ 2 -Wert von 12,35 auf dem 0,05-Niveau nicht mehr statistisch signifikant ist, da P größer als 0,10 war.

Für die Beispieltabelle mit 3 Zeilen und 2 Spalten gilt df = (3𢄡) × (2𢄡) = 2 × 1 = 2. Eine Chi-Quadrat-Signifikanztabelle ist in vielen elementaren Statistiktexten vorhanden und auf vielen Internetseiten. Unter Verwendung einer χ 2 -Tabelle ist die Signifikanz eines Chi-Quadrat-Werts von 12,35 mit 2 df gleich P < 0,005. Dieser Wert kann der Einfachheit halber auf P < 0,01 gerundet werden. Die genaue Signifikanz, wenn das Chi-Quadrat durch ein statistisches Programm berechnet wird, beträgt P = 0,0011.

Da der P-Wert der Tabelle kleiner als P < 0,05 ist, lehnt der Forscher die Nullhypothese ab und akzeptiert die Alternativhypothese: 𠇎s gibt einen Unterschied beim Auftreten von Pneumokokken-Pneumonie zwischen den geimpften und ungeimpften Gruppen.” Dieses Ergebnis gibt jedoch nicht an, was dieser Unterschied sein könnte. Um das Ergebnis vollständig zu interpretieren, ist es hilfreich, sich die Werte der Zelle χ 2 anzusehen.


Längen, Breiten, Flächen: Ein Porträt der altbabylonischen Algebra und ihrer Kin

Der Ausschuss für die Liste der Grundbibliotheken schlägt vor, dass Mathematikbibliotheken dieses Buch zum Erwerb in Betracht ziehen.

Seit die "drei Weisen aus dem Osten" dem Stern folgten, der die Geburt Jesu ankündigte (Mt 2,1-12), werden die Babylonier oder Chaldäer oder Magier in der volkstümlichen Vorstellung mit Mathematik und Astronomie in Verbindung gebracht. Wie Robert Recorde es formulierte Der Grund der Artes Teachyng die Arbeit und Praxis der Arithmetik (1543),

Etwa 300 Jahre später begannen britische und französische Entdecker, die zerstörten Städte Babyloniens an den Ufern der Flüsse Tigris und Euphrat in der damaligen Provinz des Osmanischen Reiches, dem heutigen Südirak, wiederzuentdecken. Diese gewaltigen und hochentwickelten Städte, die im dritten bis ersten Jahrtausend v. Chr. Aufblühen, lagen seit ihrem allmählichen Untergang in der Zeit, in der unser Gelehrtentrio angeblich seinen Weg nach Westen nach Bethlehem unternahm, unerforscht und unbeklagenswert. Im Laufe des späten neunzehnten Jahrhunderts lieferten die Ruinenhügel unzählige antike Artefakte aus allen Epochen der babylonischen Geschichte, darunter viele Hunderttausende Tontafeln, deren Größe von einer Briefmarke bis zu einem kräftigen Hardcover-Buch variierte und mit Keilen bedeckt war. geformte Keilschrift. Als die ersten Entzifferer dieser Schrift entdeckten, umfassten die aufgezeichneten Sprachen Babylonisch und Assyrisch (die wir heute als die südlichen und nördlichen Dialekte des Akkadischen betrachten, eine Art ältere Tante der semitischen Sprachen Hebräisch und Arabisch) und eine bisher unbekannte Sprache, Sumerian, der keine überlebenden Verwandten hatte.

Wie sich herausstellte, hatte Recorde die Richtung der Schriften der Babylonier falsch erraten, hatte aber mit ihrer Rechenleistung genau recht. Denn beim Durcharbeiten der Keilschrifttafeln in London, Istanbul, Berlin und Philadelphia wurde bald klar, dass unter den unzähligen Verwaltungsakten von Palästen, Tempeln und Haushalten die Briefe, die Literatur und die königlichen Annalen auch eine bedeutende Anzahl astronomischer und mathematischer Dokumente. Während das astronomische Material meist sehr spät stammt und aus der Zeit der persischen und hellenistischen Herrschaft im sechsten bis ersten Jahrhundert v. Chr. stammt, datiert der Großteil der Mathematik auf die ersten Jahrhunderte des zweiten Jahrtausends, der Zeit des großen Königs Hammurabi, der heute bekannt ist als die altbabylonische Zeit (ca. 2000-1600 v. Chr.).

Keilschriftisten wie Hermann Hilprecht, Vincent Scheil und François Thureau-Dangin (deren Namen außerhalb der kleinen Welt der Keilschriftstudien lange in Vergessenheit geraten sind) kämpften jahrelang darum, babylonische Mathematik zu veröffentlichen und zu interpretieren. Der große Durchbruch kam jedoch Ende der 1920er Jahre, als der große Otto Neugebauer seine Aufmerksamkeit von der modernen auf die antike Mathematik wandte. Seine akribische Suche nach neuen Tafeln, brillanten Textausgaben und sorgfältigen mathematischen Analysen gipfelte in dem monumentalen dreibändigen Werk Mathematische Keilschrifttexte (Springer, 1935-37) und mit dem Assyriologen Abe Sachs Mathematische Keilschrifttexte (Amerikanische Orientalische Gesellschaft, 1945). (Thureau-Dangins Rivale Texte mathématiques babyloniennes (Brill, 1938) war dazu bestimmt, nicht denselben klassischen Status zu erreichen.) Neugebauers Statur ist so groß, dass seine Interpretationen ein halbes Jahrhundert oder länger im Wesentlichen unangefochten blieben - bis 1990, als JH sein Veröffentlichungsprogramm begann, das in dem zu besprechenden Buch gipfelte .[1]

Marinus Taisbak erinnert uns an ein anderes MAA Online Buchbesprechung von David Fowlers Aphorismus, dass &ldquodie griechische Mathematik ist, eine Figur zu zeichnen und eine Geschichte darüber zu erzählen.&rdquo [2] Hier zeigt uns Jens Høslashyrup, dass die altbabylonische Algebra auf einer Ebene mit nicht Zeichnen Sie eine Figur, aber erzählen Sie trotzdem eine Geschichte darüber. Und faszinierenderweise tut JH dies, indem er Wörtern mehr Aufmerksamkeit schenkt als Zahlen. Lassen Sie mich im besten babylonischen Stil mit einem generischen Beispiel demonstrieren, was ich meine. Zuerst eine Übersetzung und Interpretation eines typischen Problems im Stil von Neugebauer und Thureau-Dangin, dann JH&rsquos neue Lesart.

BM 13901, Problem 1 [3] in der Standardinterpretation

Oder, in moderner symbolischer Notation, [x^2+x=045.] Also mit der quadratischen Formel [x=-030+sqrt <030^2+045>= 030.]

BM 13901, Problem 1, in JH&rsquos Lesart


Es sollte sofort klar sein, dass JH, wo es verständlicherweise um die Interpretation der altbabylonischen Algebra in Bezug auf die moderne mathematische Praxis der Neugebauer-Generation ging, darauf abzielt, die ursprünglichen Denkprozesse so weit wie möglich zurückzugewinnen. Er tut dies durch eine genaue Analyse der Sprache der altbabylonischen Mathematik, für die er eine Technik verwendet, die er „konforme Übersetzung&rsquo nennt. Dabei geht es darum, babylonische Fachbegriffe konsequent mit bestehenden englischen Wörtern oder Neologismen zu übersetzen, die den ursprünglichen Bedeutungen möglichst nahe kommen. Zum Beispiel das akkadische Wort mithartum, wörtlich &lsquowas sich selbst gleich und gegensätzlich ist&rsquo, wird zu einer &lsquoKonfrontation&rsquo anstelle eines &lsquosquare&rsquo, und die beiden verschiedenen Additionsverben werden gemäß ihrer nicht-technischen Verwendung außerhalb der Mathematik unterschieden, als &lsquoto akkumulieren&rsquo (kamârum, auch &lsquoto stapeln&rsquo) und &lsquoto anhängen&rsquo (warâbum, auch &lsquoto hinzufügen, erhöhen&rsquo). Am wichtigsten ist, dass JH das Substantiv übersetzt wasîtum, wörtlich &lsquowas herauskommt&rsquo, als &lsquoProjektion&rsquo die Neugebauerianer hingegen unbequem &lsquokoeffizient&rsquo oder &lsquounit&rsquo nach ihrer (scheinbar redundanten) Rolle in der Berechnung übersetzt. In diesen sehr konkreten Begriffen ausgedrückt, wird altbabylonische Algebra nicht arithmetisch, sondern geometrisch und metrisch: es geht nicht um abstrakte Zahlen, sondern um gemessene Linien, Flächen und Volumen.

JH&rsquos &lsquokonforme&rsquo-Übersetzungen sind nicht leicht zu befolgen Ich gestehe, dass ich gut fünf Jahre gebraucht habe, um seine Absichten vollständig zu verstehen. Erschwerend kommt hinzu, dass die Übersetzungen sowohl syntaktisch als auch lexikalisch &lsquokonform&rsquo sind, also möglichst genau der akkadischen Wortstellung folgen. Außerdem gehorchen sie auch den Zeilenumbrüchen, wie in einem Gedicht.Da JH's Analyse jedoch ausschließlich auf Wortebene erfolgt und die altbabylonische mathematische Syntax nichts Besonderes ist (alle grammatikalisch korrekte akkadische Prosa hat die Wortfolge Subjekt-Objekt-Verb), verliert man nichts von seinen Absichten, wenn man seine Übersetzungen in grammatikalisch neu anordnet richtiges Englisch. Im Gegenteil, sie sind viel einfacher zu verfolgen, also:

Obwohl keine Diagramme dieser geometrisierten Algebra überliefert sind, ist es möglich, sie einfach nach den Anweisungen auf dem Tablet zu rekonstruieren. Nehmen wir unser Beispiel Satz für Satz und zeichnen dabei die Bilder.

Diese erste Anweisung legt das Problem fest. Ungewöhnlicherweise folgt keine explizite Frage nach der Länge des Quadrats (&lsquoconfrontation&rsquo). Aber wie können wir im geometrischen Modus eine Linie (die Seite der &lsquoKonfrontation&rsquo) zu ihrem Bereich (&lsquosurface&rsquo) hinzufügen? Folgen wir der ersten Anweisung:

Mit anderen Worten, wir machen die Linie zu einem Bereich, indem wir ihr eine Einheitsbreite (die &lsquoProjektion&rsquo) geben. Auf diese Weise können wir zu Flächen &lsquobroad lines&rsquo und analog &lsquodick surface&rsquo zu Volumen addieren. (Tatsächlich ist das Konzept der &lgr;dicken Oberfläche&rsquo in der altbabylonischen Mathematik allgegenwärtig ). Zeichnen wir also die Oberfläche als graues Quadrat mit mysteriöser Länge S, und die projizierte oder erweiterte &lsquoKonfrontation&rsquo als Rechteck der Länge of S und Breite 1 daneben:

Laut der ersten Aussage beträgt ihre kombinierte Fläche 45' Jetzt können wir ohne weiteres loslegen:

Mit anderen Worten, brechen Sie die &lsquoProjektion&rsquo in zwei Hälften. Dann lassen Sie die beiden Teile die Seiten eines Quadrats (mit gestrichelten Linien markiert) bilden und berechnen seine Fläche:

die wir der Originalfigur hinzufügen können, deren Fläche noch 45' beträgt:

Wir haben nun ein zusammengesetztes Quadrat mit bekannter Fläche und damit Länge:

Und jetzt müssen wir nur noch die Reste der breiten Linien entfernen, um die Länge des ursprünglichen Quadrats herauszufinden:

Wir sehen, dass das Problem darin besteht, das Quadrat im wahrsten Sinne des Wortes zu vervollständigen: Elemente der Figur werden auf dem Weg geschaffen, gebrochen, neu angeordnet, herausgerissen. Jeder Schritt im Verfahren wird berücksichtigt und jede Anweisung ist sinnvoll. Außerdem ist jetzt klar, dass das Diagramm, ob real oder imaginär, seiner Konzeptualisierung eigen ist

Wie ich bereits sagte, ist dies nicht mehr als ein allgemeines Beispiel: Die JH&rsquos-Methode funktioniert für buchstäblich Dutzende altbabylonischer algebraischer Probleme. In Kapitel 3 arbeitet er fünfzehn davon ausführlich durch, nachdem er in den Kapiteln 1-2 kurz die Standardinterpretation dargelegt und seine Methodik (einschließlich einer vollständigen Referenztabelle seiner &lsquokonformen&rsquo-Übersetzungen) detailliert beschrieben hat. Nach einer Pause in Kapitel 4 für eine Diskussion der Methoden, die in den Problemen selbst verwendet werden, führt er uns durch etwa hundert weitere Beispiele altbabylonischer Probleme in der Algebra (Kapitel 5) und vierzehn in der &lsquoquasi-algebraischen Geometrie&rsquo (Kapitel 6). Das Ganze ist in Kapitel 7 zusammengefasst, wo JH die schwierigen Fragen anspricht, ob wir in diesem Zusammenhang wirklich von &lsquoalgebra&rsquo, &lsquoGleichungen&rsquo oder gar &lsquomathematik&rsquo sprechen können. So wie Filmkritiker nie die Ergebnisse der Filme, die sie bewerten, verraten, werde ich die Antworten hier nicht verraten, aber vielleicht können Sie sie trotzdem erraten.

Soweit so gut, aber wir sind auf Seite 309 angelangt und nach JH&rsquos eigenem Eingeständnis haben wir noch nicht viel gesehen Geschichte im Sinne von Kontextualisierung oder diachroner Untersuchung. Die Diskursanalyse, die die ersten 308 Seiten umfasst, würde in jedem anderen Buch (wörtlich oder metaphorisch) mehr als ausreichen, um dieses Werk als bahnbrechenden Klassiker zu etablieren, aber JHs Arbeit ist noch lange nicht getan. Er widmet weitere 100 Seiten der Zusammenfassung ihres historischen Umfelds (Kapitel 8-9) und ihrer Einordnung in die langen Traditionen der &lsquo-Mathematik&rsquo, mathematischer Rätsel und &lsquoscholasticized&rsquo-Versionen in den schriftlichen Aufzeichnungen von Babylonien, Ägypten, dem klassischen Mittelmeerraum, Indien, und der islamische Nahe Osten (Kapitel 10-11). Wie die früheren Kapitel wurden auch diese von Artikeln revidiert, die von JH in den letzten zehn Jahren oder so geschrieben wurden. Sie sind, wenn überhaupt, ambitionierter als der erste Teil des Buches, und wegen ihres außerordentlich großen Umfangs sind sie vielleicht weniger konsequent erfolgreich.

Wenn JHs Thema die algebraische Tradition ist, ist er absolut überzeugend, wenn er die Diskussion auf die sozialen und historischen Implikationen seiner Entdeckungen ausdehnt, werden die Schwächen seines Ansatzes aufgedeckt. Zum Beispiel ignoriert JH in seiner Analyse praktisch die beiden anderen großen Unterkorpora der altbabylonischen Mathematik: die metrologischen und arithmetischen Listen, Tabellen und Berechnungen, die zum elementaren Schreiblehrplan gehörten, und die &lsquoutilitaristischen&rsquo-Probleme der Quantitätsvermessung, die andererseits die andere Hälfte des fortgeschrittenen Korpus. Er verwendet weder museologische Informationen noch befasst er sich mit den physikalischen Eigenschaften der Tafeln, auf denen seine Texte geschrieben sind, beides sind wichtige Beweisquellen, wenn man versucht, das Datum und die Herkunft von archäologisch nicht nachgewiesenem Material wie diesem zu rekonstruieren. Dies ist nicht der Ort, um eine erschöpfende Kritik zu geben, aber lassen Sie mich ein Beispiel aus Kapitel 9 anführen, in dem JH versucht, die &lsquofinere [chronologische] Struktur&rsquo des altbabylonischen mathematischen Korpus zu entwirren.

Eines der wichtigsten Belege von JH&rsquo ist eine Zusammenstellung algebraischer Probleme, die &lsquo immer als einer der frühesten altbabylonischen Problemtexte angesehen wurde&rsquo (S. 338) und die er aus mathematisch-linguistischen Gründen weiter als &lsquoein Zeuge der experimentellen Phase, wenn die Schreiberschule übernahm zunächst eine Reihe von Vermessungsrätseln und machte sie zu einem Ausgangspunkt für die Schaffung einer Disziplin (S. 162). Die Probleme werden auf einem vierseitigen Prisma, AO 8862, aus der antiken Stadt Larsa aufgezeichnet, das heute im Louvre untergebracht ist. Nun zeigen Daten, die auf Multiplikationstabellen und anderen elementaren Übungen aufgezeichnet sind, dass es zwei verschiedene Schulversammlungen aus der Stadt Larsa gibt, eine aus der Zeit von König Rim-Sin (ca. 1815-1800 v. Chr.) Herrschaft von Hammurabis Nachfolger Samsu-iluna (ca. 1750-40 v. Chr.). Ein datiertes Beispiel aus der letztgenannten Gruppe ist ein sechsseitiges Prisma, das Tische aus Quadraten, inversen Quadraten und inversen Würfeln trägt, datiert auf 1749 v. Chr. und jetzt im Louvre, Museumsnummer AO 8865. Es und AO 8862 gehören zu einer größeren Gruppe von Altbabylonische Schultafeln aus Larsa. Zum Beispiel werden AO 8863 und AO 8864, beides sechseckige Prismen, die sumerische literarische Kompositionen aus dem Schreiblehrplan tragen, auf 1739 v. Chr. datiert. Vor diesem Hintergrund erscheint der Status von AO 8862 als &lsquoeiner der frühesten altbabylonischen Problemtexte&rsquo sofort unsicherer. [4]

Aber Mängel dieser Art halten mich nicht davon ab, dieses schwierige, aber spannende Buch als großen Wendepunkt im Studium der antiken Mathematik zu begrüßen. JH steht an vorderster Front der Bewegung, unser Feld von einem Katalog antiker Methoden, ausgedrückt in moderner Terminologie, zu einer wichtigen Episode in der Ideengeschichte zu transformieren. Dieses Buch ist keineswegs eine sanfte Einführung in die babylonische Mathematik und nichts, um Ihre Studenten dazu zu bringen, von vorne bis hinten zu lesen! &ndash, aber es zahlt sich sicherlich aus, wenn Sie wiederholt lesen. Es ist ein absolutes Muss für jeden, der über die Folklore von Recorde oder die empfangene Weisheit Neugebauers hinaus zu einem echten Verständnis der Denkprozesse und der Menschen hinter der Mathematik des alten Irak gelangen möchte.

1. JH hat in Jens Høyrup, &lsquoChanging trends in the Historiography of Mesopotamian Mathematics: an Insider&rsquos view&rsquo, eine ausgezeichnete Geschichte dieses Feldes gegeben. Geschichte der Wissenschaft 34 (1996), 1-32. Der wegweisende Artikel war &lsquoAlgebra und naive Geometrie. Eine Untersuchung einiger grundlegender Aspekte des altbabylonischen mathematischen Denkens&rsquo, Altorientalische Forschungen 17 (1990), 27-69, 262-354.

2. Marinus Taisbak&rsquos Rezension von Reviel Netz, The Shaping of Deduction in Greek Mathematics (Cambridge 1999), on MAA-Bewertungen, 1999.

3. BM 13901, eine altbabylonische Tafel unbekannter Herkunft, jetzt im British Museum, zuerst von F. Thureau-Dangin herausgegeben in Revue d&rsquoAssyriologie 33 (1936), 27-48, und das erste Beispiel in JH&rsquos Buch (S. 11-14). Die englische Übersetzung ist meine, eine Mischung aus Neugebauer's Deutsch und Thureau-Dangin's Französisch. Für das sexagesimale Stellenwertsystem werden zwei verschiedene Transliterationen verwendet, je nach persönlicher Vorliebe. Nach Neugebauer verwende ich ein Semikolon, um die Grenze zwischen ganzen Zahlen und Brüchen darzustellen, nach Thureau-Dangin verwendet JH die Notation von Grad, Sekunden und Minuten.

4. Ein Beispiel für die frühe Gruppe ist YBC 11924, ein Neunfaches Einmaleins aus dem Jahr 1815 v. Chr. (O. Neugebauer und A. Sachs, Mathematische Keilschrifttexte (American Oriental Society, 1945): p. 23 Nr. 99,13b. AO 8865 und AO 8862 sind beide herausgegeben von O. Neugebauer, Mathematische Keilschrifttexte (Springer, 1935-37): I 71-75 und I 108-123 II pls. 35-38. Kopien von AO 8863 und AO 8864 erscheinen in Henri de Genouillac, Textes Cunéiformes du Louvre, vol. 16 (1930) Nrn. 87 und 88 Ausgaben ihres Inhalts (Lipit-Eshtar Hymn B und Iddin-Dagan Hymn B) werden vom Electronic Text Corpus of Sumerian Literature veröffentlicht.


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