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6.1: Überprüfung des Dots and Boxes-Modells - Mathematik


Beginnen wir mit einem kurzen Überblick über den Stellenwert, verschiedene Grundlagen und unser „Dots & Boxes“-Modell, um über diese Ideen nachzudenken.

Die 1←2-Regel

Immer wenn sich zwei Punkte in einem einzelnen Kästchen befinden, „explodieren“ sie, verschwinden und werden zu einem Punkt im Kästchen links.

Beispiel: Neun Punkte 1←2 im System

Wir beginnen damit, dass wir neun Punkte in das Feld ganz rechts setzen.

Zwei Punkte in diesem Kästchen explodieren und werden zu einem Punkt in dem Kästchen links.

Wieder explodieren zwei Punkte in diesem Kästchen und werden zu einem Punkt in dem Kästchen links.

Wir machen es wieder!

Hey, jetzt haben wir mehr als zwei Punkte in der zweiten Box, damit diese explodieren und sich bewegen können!

Und das Feld ganz rechts hat immer noch mehr als zwei Punkte.

Fahren Sie fort, bis kein Kästchen zwei Punkte hat.

Nach all dem bleibt uns beim Lesen von links nach rechts ein Punkt übrig, gefolgt von null Punkten, null Punkten und einem letzten Punkt.

Antworten

Der 2←1-Code für neun Punkte lautet: 1001.

Die 1←3-Regel

Immer wenn sich drei Punkte in einem einzelnen Kästchen befinden, „explodieren“ sie, verschwinden und werden zu einem Punkt im Kästchen links.

Beispiel: Fünfzehn Punkte im 1←3-System

Folgendes passiert mit fünfzehn Punkten:

Antworten

Der 1←3-Code für fünfzehn Punkte lautet: 120.

Definition

Denken Sie daran, dass Zahlen, die im 1←2-System geschrieben sind, heißen binär oder Basis zwei Zahlen.

Zahlen, die im 1←3-System geschrieben sind, heißen Basis drei Zahlen.

Zahlen, die im 1←4-System geschrieben sind, heißen Basis vier Zahlen.

Zahlen, die im 1←10-System geschrieben sind, heißen Basis zehn Zahlen.

Im Allgemeinen werden Zahlen in der 1← . geschriebenb System heißen Base b Zahlen.

In einer Basis b Zahlensystem, jede Stelle steht für eine Potenz von b, was (b^{n}) für eine ganze Zahl bedeutet nein. Denken Sie daran, dies bedeutet b mit sich selbst multipliziert nein mal:

  • Die Stelle ganz rechts sind die Einheiten oder Einsen. (Warum ist das eine Macht von b?)
  • Der zweite Platz ist der „b" Platz. (In der Basis 10 ist es die Zehnerstelle.)
  • Die dritte Stelle ist die Stelle „(b^{2})“. (In der Basis zehn ist das die Hunderterstelle. Beachten Sie, dass (10^{2} = 100).)
  • Die vierte Stelle ist die Stelle „(b^{3})“. (In der Basis zehn ist das die Tausenderstelle, da (10^{3} = 1000).)
  • Und so weiter.

Notation

Immer wenn wir es mit Zahlen zu tun haben, die in verschiedenen Basen geschrieben sind, verwenden wir einen tiefgestellten Index, um die Basis anzugeben, damit keine Verwechslungen entstehen. So:

  • (102_{three}) ist eine Zahl zur Basis drei (lesen Sie es als „eins-null-zwei basis drei“). Dies ist der Basis-Drei-Code für die Zahl elf.
  • (222_{vier}) ist eine Zahl zur Basis vier (lesen Sie sie als „zwei-zwei-zwei zur Basis vier“). Dies ist der Basis-4-Code für die Zahl zweiundvierzig.
  • (54321_{ten}) ist eine Zahl zur Basis zehn. (Es ist in Ordnung, "vierundfünfzigtausenddreihunderteinundzwanzig" zu sagen. Warum?)

Wenn die Basis nicht geschrieben ist, nehmen wir an, dass es sich um die Basis 10 handelt.

Denken Sie daran: Wenn Sie das tiefgestellte Zeichen sehen, sehen Sie das Code für eine gewisse Anzahl von Punkten.

Denken / Paaren / Teilen

Gehen Sie die beiden obigen Beispiele sorgfältig durch, um sicherzugehen, dass Sie sich daran erinnern und verstehen, wie das „Dots & Boxes“-Modell funktioniert. Beantworte dann diese Fragen:

  • Wenn wir 9 zur Basis 2 schreiben, warum schreiben wir dann (1001_{zwei}) statt nur (11_{zwei})?
  • Wenn wir 15 zur Basis 3 schreiben, warum schreiben wir dann (120_{drei}) statt nur (12_{drei})?
  • Wie viele verschiedene Ziffern benötigen Sie in einem Basis-7-System? In einem Basis-12-System? In einer Basis b System? Woher weißt du das?

Allein

Bearbeite die folgenden Übungen alleine oder mit einem Partner.

  1. In der Basis 4 sind vier Punkte in einem Kästchen einen Punkt in dem Kästchen eine Stelle links wert.
    1. Welchen Wert hat jede Kiste?
    2. Wie schreibt man (29_{ten}) zur Basis 4?
    3. Wie schreibt man (132_{vier}) zur Basis 10?
  2. In unserem bekannten Basis-Zehn-System sind zehn Punkte in einer Box einen Punkt in der Box eine Stelle links wert.
    1. Welchen Wert hat jede Kiste?
    2. Wenn wir die Basis-Zehn-Zahl 7842 schreiben:
      • Welche Menge steht für die „7“?
      • Die „4“ sind vier Gruppen von welchem ​​Wert?
      • Die „8“ sind acht Gruppen von welchem ​​Wert?
      • Die „2“ sind zwei Gruppen von welchem ​​Wert?
  3. Schreiben Sie die folgenden Punktzahlen zur Basis zwei, zur Basis drei, zur Basis fünf und zur Basis acht. Zeichnen Sie das „Dots & Boxes“-Modell, wenn es Ihnen hilft, sich daran zu erinnern, wie es geht! (Anmerkung: Diese Zahlen sind alle in der Basis 10 geschrieben. Wenn wir nicht anders sagen, sollten Sie die Basis 10 annehmen.) $$(a); 2 qquad (b); 17 qquad (c); 27 qquad (d); 63 ldotp$$
  4. Wandeln Sie diese Zahlen in unser bekannteres Basis-Zehn-System um. Zeichnen Sie Punkte und Kästchen und „deexplodieren“ Sie die Punkte, wenn es Ihnen hilft, sich zu erinnern. $$(a); 1101_{zwei} qquad (b); 102_{drei} qquad (c); 24_{fünf} qquad (d); 24_{neun} ldotp$$

Denken / Paaren / Teilen

Berechnen Sie schnell jeden der folgenden Punkte. Schreiben Sie Ihre Antwort in die gleiche Basis wie die Aufgabe.

  • (131_{ten}) mal zehn.
  • (263207_{acht}) mal acht.
  • (563872_{neun}) mal neun.
  • Verwenden Sie das 1←10-System, um zu erklären, warum die Multiplikation einer ganzen Zahl zur Basis zehn mit zehn dazu führt, dass einfach eine Null an das rechte Ende der Zahl angehängt wird.
  • Angenommen, Sie haben eine ganze Zahl in der Basis geschrieben b. Welchen Effekt hat die Multiplikation dieser Zahl mit b? Begründen Sie, was Sie sagen.


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