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2.6: Implizite Differenzierung


In den vorherigen Abschnitten haben wir gelernt, die Ableitung (frac{dy}{dx}) oder (y^prime) zu finden, wenn (y) gegeben ist ausdrücklich als Funktion von (x). Das heißt, wenn wir (y=f(x)) für eine Funktion (f) kennen, können wir (y^prime) finden. Bei gegebenem (y=3x^2-7) können wir beispielsweise (y^prime =6x) leicht finden. (Hier geben wir explizit an, wie (x) und (y) zusammenhängen. Wenn wir (x) kennen, können wir (y) direkt finden.)

Manchmal ist die Beziehung zwischen (y) und (x) nicht explizit; eher ist es implizit. Zum Beispiel wissen wir vielleicht, dass (x^2-y=4). Diese Gleichheit definiert eine Beziehung zwischen (x) und (y); Wenn wir (x) kennen, könnten wir (y) herausfinden. Können wir noch (y^prime) finden? In diesem Fall sicher; wir lösen nach (y) auf, um (y=x^2-4) zu erhalten (daher kennen wir jetzt (y) explizit) und differenzieren dann zu (y^prime =2x).

Manchmal die implizit Die Beziehung zwischen (x) und (y) ist kompliziert. Angenommen, wir haben (sin(y)+y^3=6-x^3). Ein Graph dieser impliziten Funktion ist in Abbildung 2.19 dargestellt. In diesem Fall gibt es absolut keine Möglichkeit, nach (y) nach elementaren Funktionen aufzulösen. Das Überraschende ist jedoch, dass wir (y^prime) immer noch über einen Prozess namens finden können implizite Differenzierung.

Die implizite Differenzierung ist eine auf der Kettenregel basierende Technik, die verwendet wird, um eine Ableitung zu finden, wenn die Beziehung zwischen den Variablen implizit und nicht explizit gegeben ist (aufgelöst für eine Variable in Bezug auf die andere).

Wir beginnen mit der Überprüfung der Kettenregel. Seien (f) und (g) Funktionen von (x). Dann [frac{d}{dx}Big(f(g(x))Big) = f^prime(g(x))cdot g'(x).] Es sei nun ( y=g(x)). Wir können das obige umschreiben als [frac{d}{dx}Big(f(y))Big) = f^prime(y))cdot y^prime , quad ext{or} quad frac{d}{dx}Big(f(y))Big)= f^prime(y)cdot frac{dy}{dx}.label{2.1} ag{2.1} ] Diese Gleichungen sehen seltsam aus; Das Schlüsselkonzept, das wir hier lernen müssen, ist, dass wir (y^prime) finden können, auch wenn wir nicht genau wissen, wie (y) und (x) zusammenhängen.

Wir demonstrieren diesen Vorgang im folgenden Beispiel.

Beispiel 67: Implizite Differenzierung verwenden

Finden Sie (y^prime) unter der Voraussetzung (sin(y) + y^3=6-x^3).

Lösung

Wir beginnen mit der Ableitung beider Seiten (wodurch die Gleichheit erhalten bleibt). Wir haben:

[ frac{d}{dx}Big(sin(y) + y^3Big)=frac{d}{dx}Big(6-x^3Big).]

Die rechte Seite ist einfach; es gibt (-3x^2) zurück.

Die linke Seite erfordert mehr Aufmerksamkeit. Wir nehmen den abgeleiteten Term-by-Term. Mit der oben aus Gleichung 2.1 abgeleiteten Technik können wir sehen, dass [frac{d}{dx}Big(sin yBig) = cos y cdot y^prime .]

Wir wenden das gleiche Verfahren auf den (y^3)-Term an.

[frac{d}{dx}Big(y^3Big) = frac{d}{dx}Big((y)^3Big) = 3(y)^2cdot y^ prime .]

Zusammen mit der rechten Seite haben wir

[cos(y)y^prime +3y^2y^prime = -3x^2.]

Lösen Sie nun nach (y^prime) auf.

[egin{align*} cos(y)y^prime +3y^2y^prime &= -3x^2. ig(cos y+3y^2ig)y^prime &= -3x^2 y^prime &= frac{-3x^2}{cos y+3y^2} end{align*}]

Diese Gleichung für (y^prime) erscheint wahrscheinlich ungewöhnlich, da sie sowohl (x)- als auch (y)-Terme enthält. Wie ist es zu verwenden? Wir werden das als nächstes ansprechen.

Implizite Funktionen sind im Allgemeinen schwieriger zu handhaben als explizite Funktionen. Mit einer expliziten Funktion haben wir bei einem gegebenen (x)-Wert eine explizite Formel zur Berechnung des entsprechenden (y)-Werts. Bei einer impliziten Funktion muss man oft (x)- und (y)-Werte finden gleichzeitig die die Gleichung erfüllen. Es ist viel einfacher zu zeigen, dass ein gegebener Punkt die Gleichung erfüllt, als einen solchen Punkt tatsächlich zu finden.

Zum Beispiel können wir leicht behaupten, dass der Punkt ((sqrt[3]{6},0)) auf dem Graphen der impliziten Funktion (sin y + y^3=6-x^3 ). Setzen wir (0) für (y) ein, sehen wir auf der linken Seite (0). Bei (x=sqrt[3]6) sehen wir, dass die rechte Seite auch (0) ist; die Gleichung ist erfüllt. Im folgenden Beispiel wird die Tangentengleichung an diese Funktion an dieser Stelle ermittelt.

Beispiel 68: Verwenden der impliziten Differenzierung, um eine Tangente zu finden

Finden Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve der implizit definierten Funktion (sin y + y^3=6-x^3) im Punkt ((sqrt[3]6,0)).

Lösung

In Beispiel 67 haben wir festgestellt, dass [y^prime = frac{-3x^2}{cos y +3y^2}.]Wir finden die Steigung der Tangente im Punkt ((sqrt[ 3]6,0)), indem (sqrt[3]6) für (x) und (0) für (y) eingesetzt wird. Somit haben wir im Punkt ((sqrt[3]6,0)) die Steigung als [y^prime = frac{-3(sqrt[3]{6})^2}{ cos 0 + 3cdot0^2} = frac{-3sqrt[3]{36}}{1} approx -9,91.]

Daher lautet die Tangentengleichung an die implizit definierte Funktion (sin y + y^3=6-x^3) im Punkt ((sqrt[3]{6},0)) [y = -3sqrt[3]{36}(x-sqrt[3]{6})+0 approx -9,91x+18.]Die Kurve und diese Tangente sind in Abbildung 2.20 dargestellt.

Dies legt eine allgemeine Methode zur impliziten Differenzierung nahe. Gehen Sie für die folgenden Schritte davon aus, dass (y) eine Funktion von (x) ist.

  1. Nehmen Sie die Ableitung jedes Termes in der Gleichung. Behandeln Sie die (x)-Terme wie gewohnt. Bei der Ableitung von (y)-Termen gelten die üblichen Regeln, außer dass wir wegen der Kettenregel jeden Term mit (y^prime) multiplizieren müssen.
  2. Holen Sie sich alle (y^prime)-Terme auf einer Seite des Gleichheitszeichens und setzen Sie die restlichen Terme auf die andere Seite.
  3. Faktor aus (y^prime ); durch Division nach (y^prime) auflösen.

Praktischer Hinweis: Bei Handarbeit kann es von Vorteil sein, statt (y^prime) das Zeichen (frac{dy}{dx}) zu verwenden, da letzteres leicht mit (y) verwechselt werden kann. oder (y^1).

Beispiel 69: Implizite Differenzierung verwenden

Gegeben sei die implizit definierte Funktion (y^3+x^2y^4=1+2x), finde (y^prime).

Lösung

Wir werden die impliziten Ableitungen Term für Term nehmen. Die Ableitung von (y^3) ist (3y^2y^prime).

Der zweite Term, (x^2y^4), ist etwas knifflig. Sie erfordert die Produktregel, da sie das Produkt zweier Funktionen von (x) ist: (x^2) und (y^4). Seine Ableitung ist (x^2(4y^3y^prime) + 2xy^4). Der erste Teil dieses Ausdrucks erfordert ein (y^prime), weil wir die Ableitung eines (y)-Terms nehmen. Der zweite Teil erfordert es nicht, weil wir die Ableitung von (x^2) nehmen.

Die Ableitung der rechten Seite ist leicht (2). Insgesamt erhalten wir:

[3y^2y^prime + 4x^2y^3y^prime + 2xy^4 = 2.]

Verschieben Sie Terme so, dass die linke Seite nur aus den (y^prime)-Termen und die rechte Seite aus allen anderen Termen besteht:

[3y^2y^prime + 4x^2y^3y^prime = 2-2xy^4.]

Ziehe (y^prime) von der linken Seite aus und löse auf, um zu erhalten

[y^prime = frac{2-2xy^4}{3y^2+4x^2y^3}.]

Um die Gültigkeit unserer Arbeit zu bestätigen, suchen wir die Gleichung einer Tangente an diese Funktion an einem Punkt. Es ist leicht zu bestätigen, dass der Punkt ((0,1)) auf dem Graphen dieser Funktion liegt. An dieser Stelle gilt (y^prime = 2/3). Die Tangentengleichung lautet also (y = 2/3(x-0)+1). Die Funktion und ihre Tangente sind in Abbildung 2.21 grafisch dargestellt.

Beachten Sie, dass unsere Funktion ganz anders aussieht als andere Funktionen, die wir gesehen haben. Zum einen besteht es den vertikalen Linientest nicht. Solche Funktionen sind in vielen Bereichen der Mathematik wichtig, daher ist es auch wichtig, Werkzeuge zu entwickeln, um damit umzugehen.

Beispiel 70: Implizite Differenzierung verwenden

Gegeben sei die implizit definierte Funktion (sin(x^2y^2)+y^3=x+y), finde (y^prime).

Lösung

Term für Term zu unterscheiden, finden wir im ersten Term am schwierigsten. Es erfordert sowohl die Ketten- als auch die Produktregeln.

[egin{align*} frac{d}{dx}Big(sin(x^2y^2)Big) &= cos(x^2y^2)cdotfrac{d}{ dx}Big(x^2y^2Big) &= cos(x^2y^2)cdotig(x^2(2yy^prime )+2xy^2ig) & = 2(x^2yy^prime +xy^2)cos(x^2y^2). end{ausrichten*} ]

Die Ableitungen der anderen Terme überlassen wir dem Leser. Nachdem wir die Ableitungen beider Seiten genommen haben, haben wir

[2(x^2yy^prime +xy^2)cos(x^2y^2) + 3y^2y^prime = 1 + y^prime .]

Wir müssen jetzt vorsichtig sein, um richtig nach (y^prime) aufzulösen, insbesondere wegen des Produkts auf der linken Seite. Am besten multiplizieren Sie das Produkt. Dabei bekommen wir

[2x^2ycos(x^2y^2)y^prime + 2xy^2cos(x^2y^2) + 3y^2y^prime = 1 + y^prime .]

Von hier aus können wir Begriffe sicher verschieben, um Folgendes zu erhalten:

[2x^2ycos(x^2y^2)y^prime + 3y^2y^prime - y^prime = 1 - 2xy^2cos(x^2y^2).]

Dann können wir nach (y^prime) auflösen, um zu erhalten

[y^prime = frac{1 - 2xy^2cos(x^2y^2)}{2x^2ycos(x^2y^2)+3y^2-1}.]

Ein Graph dieser impliziten Funktion ist in Abbildung 2.22 dargestellt. Es ist leicht zu überprüfen, dass die Punkte ((0,0)), ((0,1)) und ((0,-1)) alle auf dem Graphen liegen. Wir können die Steigungen der Tangenten an jedem dieser Punkte mit unserer Formel für (y^prime) ermitteln.

Bei ((0,0)) beträgt die Steigung (-1).

Bei ((0,1)) beträgt die Steigung (1/2).

Bei ((0,-1)) ist die Steigung auch (1/2).

Die Tangentenlinien wurden dem Funktionsgraphen in Abbildung 2.23 hinzugefügt.

Nicht wenige "berühmte" Kurven haben Gleichungen, die implizit gegeben sind. Wir können die implizite Differentiation verwenden, um die Steigung an verschiedenen Punkten dieser Kurven zu finden. Wir untersuchen zwei solcher Kurven in den nächsten Beispielen.

Beispiel 71: Ermitteln von Neigungen von Tangentiallinien an einen Kreis

Finden Sie die Steigung der Tangente an den Kreis (x^2+y^2=1) im Punkt ((1/2, sqrt{3}/2)).

Lösung

Durch Ableitungen erhalten wir (2x+2yy^prime =0). Auflösen nach (y^prime) ergibt: [ y^prime = frac{-x}{y}.]

Das ist eine clevere Formel. Denken Sie daran, dass die Steigung der Geraden durch den Ursprung und den Punkt ((x,y)) auf dem Kreis (y/x) ist. Wir haben festgestellt, dass die Steigung der Tangente an den Kreis an diesem Punkt der entgegengesetzte Kehrwert von (y/x) ist, nämlich (-x/y). Daher stehen diese beiden Geraden immer senkrecht.

Im Punkt ((1/2, sqrt{3}/2)) haben wir die Steigung der Tangente als

[y^prime = frac{-1/2}{sqrt{3}/2} = frac{-1}{sqrt{3}} approx -0.577.]

Ein Graph des Kreises und seiner Tangente bei ((1/2,sqrt{3}/2)) ist in Abbildung 2.24 dargestellt, zusammen mit einer dünnen gestrichelten Linie vom Ursprung, die senkrecht zur Tangente steht. (Es stellt sich heraus, dass alle normalen Linien zu einem Kreis durch den Mittelpunkt des Kreises gehen.)

In diesem Abschnitt wurde gezeigt, wie man die Ableitungen von implizit definierten Funktionen findet, deren Graphen eine Vielzahl interessanter und ungewöhnlicher Formen enthalten. Die implizite Differenzierung kann auch verwendet werden, um unser Verständnis von „regulärer“ Differenzierung zu erweitern.

Eine Lücke in unserem derzeitigen Verständnis von Ableitungen ist folgende: Was ist die Ableitung der Quadratwurzelfunktion? Das heißt [frac{d}{dx}ig(sqrt{x}ig) = frac{d}{dx}ig(x^{1/2}ig) = ext{ ?}]

Wir spielen auf eine mögliche Lösung an, da wir die Quadratwurzelfunktion als Potenzfunktion mit einer rationalen (oder gebrochenen) Potenz schreiben können. Wir sind dann versucht, die Potenzregel anzuwenden und erhalten [frac{d}{dx}ig(x^{1/2}ig) = frac12x^{-1/2} = frac{1} {2sqrt{x}}.]

Das Problem dabei ist, dass die Potenzregel ursprünglich nur für positive ganzzahlige Potenzen definiert wurde, (n>0). Obwohl wir dies damals nicht begründeten, wird die Potenzregel im Allgemeinen mit dem sogenannten Binomialsatz bewiesen, der sich nur mit positiven ganzen Zahlen befasst. Die Quotientenregel ermöglichte es uns, die Potenzregel auf negative ganzzahlige Potenzen zu erweitern. Die implizite Differenzierung ermöglicht es uns, die Potenzregel auf rationale Potenzen auszudehnen, wie unten gezeigt.

Sei (y = x^{m/n}), wobei (m) und (n) ganze Zahlen ohne gemeinsame Faktoren sind (also (m=2) und (n=5) ist in Ordnung, aber (m=2) und (n=4) ist es nicht). Wir können diese explizite Funktion implizit umschreiben als (y^n = x^m). Wenden Sie nun implizite Differenzierung an.

[egin{align*}y &= x^{m/n} y^n &= x^m frac{d}{dx}ig(y^nig) &= frac{d}{dx}ig(x^mig) ncdot y^{n-1}cdot y^prime &= mcdot x^{m-1} y^ prime &= frac{m}{n} frac{x^{m-1}}{y^{n-1}} quad ext{(ersetze jetzt (x^{m/n} ) für (y))} &= frac{m}{n} frac{x^{m-1}}{(x^{m/n})^{n-1}} quad ext{(viel Algebra anwenden)} &= frac{m}nx^{(mn)/n} &= frac{m}nx^{m/n -1}.end {ausrichten*}]

Die obige Herleitung ist der Schlüssel zum Beweis der Erweiterung der Potenzregel auf rationale Potenzen. Mit Hilfe von Limits können wir dies noch einmal erweitern um alle Potenzen, einschließlich irrationaler (sogar transzendentaler!) Potenzen, ergibt den folgenden Satz.

Satz 21: Potenzregel für die Differenzierung

Sei (f(x) = x^n), wobei (n eq 0) eine reelle Zahl ist. Dann ist (f) eine differenzierbare Funktion und (f^prime(x) = ncdot x^{n-1}).

Dieser Satz erlaubt uns zu sagen, dass die Ableitung von (x^pi) (pi x^{pi -1}) ist.

Diese letzte Version der Potenzregel wenden wir nun im nächsten Beispiel an, der zweiten Untersuchung einer „berühmten“ Kurve.

Beispiel 72: Verwenden der Potenzregel

Finden Sie die Steigung von (x^{2/3}+y^{2/3}=8) im Punkt ((8,8)).

Lösung

Dies ist eine besonders interessante Kurve namens an Astroide. Es ist die Form, die von einem Punkt am Rand eines Kreises gezeichnet wird, der innerhalb eines größeren Kreises herumrollt, wie in Abbildung 2.25 gezeigt.

Um die Steigung des Astroiden im Punkt ((8,8) zu bestimmen, nehmen wir implizit die Ableitung.

[egin{align*} frac23x^{-1/3}+frac23y^{-1/3}y^prime &=0 frac23y^{-1/3}y^prime & = -frac23x^{-1/3} y^prime &= -frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} y^prime &= -frac{y^{1/3}}{x^{1/3}} = -sqrt[3]{frac{y}x}. end{ausrichten*}]

Setzen wir (x=8) und (y=8) ein, erhalten wir eine Steigung von (-1). Der Astroid mit seiner Tangente bei ((8,8)) ist in Abbildung 2.26 dargestellt.

Implizite Differenzierung und die zweite Ableitung

Wir können implizite Differentiation verwenden, um Ableitungen höherer Ordnung zu finden. Theoretisch ist das einfach: Zuerst (frac{dy}{dx}) finden, dann seine Ableitung nach (x) nehmen. In der Praxis ist es nicht schwer, erfordert aber oft ein wenig Algebra. Wir demonstrieren dies an einem Beispiel.

Beispiel 73: Ermitteln der zweiten Ableitung

Gegeben (x^2+y^2=1), finde (frac{d^2y}{dx^2} = y^{primeprime}).

Lösung

Wir haben in Beispiel 71 gefunden, dass (y^prime = frac{dy}{dx} = -x/y) ( (y^prime).

[egin{align*} y^{primeprime} &= frac{d}{dx}ig(y^prime ig) &= frac{d}{dx}left (-frac xy ight)qquad ext{(Nun benutze die Quotientenregel.)} &= -frac{y(1) - x(y^prime )}{y^2} end {ausrichten*}]

ersetze (y^prime) durch (-x/y):

[egin{align*}&= -frac{yx(-x/y)}{y^2} &= -frac{y+x^2/y}{y^2}. end{ausrichten*}]

Dies ist zwar kein besonders einfacher Ausdruck, aber er ist brauchbar. Wir sehen, dass (y^{primeprime}>0) für (y<0) und (y^{primeprime}<0) für (y>0) gilt. In Abschnitt 3.4 werden wir sehen, wie dies mit der Form des Graphen zusammenhängt.

Logarithmische Differenzierung

Betrachten Sie die Funktion (y=x^x); es ist in Abbildung 2.27 grafisch dargestellt. Es ist wohldefiniert für (x>0) und wir könnten daran interessiert sein, Gleichungen von tangentialen und senkrechten Linien zu seinem Graphen zu finden. Wie nehmen wir seine Ableitung?

Die Funktion ist keine Potenzfunktion: sie hat eine "Potenz" von (x), keine Konstante. Sie ist keine Exponentialfunktion: sie hat eine "Basis" von (x), keine Konstante .

Eine Differenzierungstechnik, bekannt als logarithmische Differenzierung wird hier nützlich. Das Grundprinzip ist folgendes: Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten einer Gleichung (y=f(x)) und verwenden Sie dann implizite Differentiation, um (y^prime) zu finden. Dies demonstrieren wir im folgenden Beispiel.

Beispiel 74: Verwendung der logarithmischen Differenzierung

Gegeben (y=x^x) verwenden Sie logarithmische Differentiation, um (y^prime) zu finden.

Lösung

Wie oben vorgeschlagen, nehmen wir zunächst den natürlichen Logarithmus beider Seiten und wenden dann implizite Differentiation an.

[egin{align*} y &= x^x ln (y) &= ln (x^x) ext{(Logarithmusregel anwenden)} ln (y) &= x ln x ext{(verwende jetzt implizite Differentiation)} frac{d}{dx}Big(ln (y)Big) &= frac{d}{dx}Big(xln x Big) frac{y^prime }{y} &= ln x + xcdotfrac1x frac{y^prime }{y} &= ln x + 1 y ^prime &= yig(ln x+1ig) ext{(Ersatz (y=x^x))} y^prime &= x^xig(ln x +1groß). end{ausrichten*} ]

Um unsere Antwort zu "testen", verwenden wir sie, um die Gleichung der Tangente bei (x=1.5) zu finden. Der Punkt auf dem Graphen, durch den unsere Tangente gehen muss, ist ((1.5, 1.5^{1.5} ) approx (1.5, 1.837)) Mit der Gleichung für (y^prime) finden wir die Steigung als

[y^prime = 1,5^{1,5}ig(ln 1,5+1ig) approx 1,837(1,405) approx 2,582.]

Die Tangentengleichung lautet also (y = 1.6833(x-1.5)+1.837). Abbildung 2.28 zeigt (y=x^x) zusammen mit dieser Tangente.

Die implizite Differenzierung erweist sich als nützlich, da sie es uns ermöglicht, die momentanen Änderungsraten einer Vielzahl von Funktionen zu finden. Insbesondere erweiterte es die Potenzregel auf rationale Exponenten, die wir dann auf alle reellen Zahlen erweiterten. Im nächsten Abschnitt wird implizite Differentiation verwendet, um die Ableitungen von invers Funktionen wie (y=sin^{-1} x).


2.6: Implizite Differenzierung

BRONX COMMUNITY COLLEGE

von die City University of New York

ABTEILUNG FÜR MATHEMATIK UND INFORMATIONEN

SYLLABUS: MTH 31 - Analytische Geometrie und Infinitesimalrechnung I (4 Credits/6 Stunden pro Woche)

VORAUSSETZUNG: MTH 30 oder gleichwertig und bei Bedarf ENG 2 und RDL 2

TEXT: Infinitesimalrechnung (8. Auflage) von James Stewart, Cengage Learning. ISBN 978-1285740621

Studierende, die MTH 33 nicht benötigen, können

Einzelvariablenrechnung (8. Auflage) von James Stewart, Cengage Learning ISBN 978-1305266636

Dieser Kurs ist ein Pathways Core B (Mathematical and Quantitative Reasoning) Kurs:
Ein Kurs in diesem Bereich muss alle der folgenden Lernergebnisse erfüllen. Ein Schüler wird:

a) Interpretieren und ziehen Sie geeignete Schlussfolgerungen aus quantitativen Darstellungen wie Formeln, Grafiken oder Tabellen.

b) Verwenden Sie algebraische, numerische, grafische oder statistische Methoden, um genaue Schlussfolgerungen zu ziehen und mathematische Probleme zu lösen.

c) Darstellung quantitativer Probleme in natürlicher Sprache in einem geeigneten mathematischen Format.

d) quantitative Analysen oder Lösungen für mathematische Probleme effektiv in schriftlicher oder mündlicher Form zu kommunizieren.

e) Bewerten Sie Lösungen für Probleme auf Angemessenheit mit einer Vielzahl von Mitteln, einschließlich einer fundierten Schätzung.

f) Anwendung mathematischer Methoden auf Probleme in anderen Studienrichtungen.

Lernergebnisse des Kurses (Wege, zu denen Lernergebnisse beigetragen haben)

Nach erfolgreichem Abschluss dieses Kurses ist ein Student in der Lage:

1. Bewerte Grenzen bei einem Wert und im Unendlichen mit Hilfe der Grenzwertgesetze und des Squeeze-Theorems (a, b, c, e)

2. Differenzieren Sie algebraische und trigonometrische Funktionen, einschließlich der Verwendung der Grenzwertdefinition Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln und impliziter Differenzierung (a, b)

3. Benutze Differentiation, um momentane Änderungsraten und Tangentenlinien (c, d, e, f) zu berechnen.

4. Berechnen von Maxima und Minima von Funktionen unter Verwendung von Kalkül zur Lösung von Optimierungsproblemen, die in Anwendungen und anderen Studienbereichen auftreten
(b, c, d, e, f)

5. Modellieren und lösen Sie verwandte Tarifprobleme (b, c, d, f)

6. Methoden der Infinitesimalrechnung auf das Skizzieren von Kurven anwenden (a, b, e)

7. Antidifferenzierende algebraische und trigonometrische Funktionen (a, b)

8. Näherungsintegrale durch Riemann-Summen (b, d, e)

9. Bewerten elementarer Integrale, auch unter Verwendung von Substitution und dem Fundamental Theorem of Calculus (b, d, e)

10. Berechnen Sie bestimmte Integrale geometrisch oder mithilfe von Analysis, um von Kurven (a, b, c, d, f) eingeschlossene Flächen zu bestimmen.

SEKTION THEMA VORGESCHLAGENE ÜBUNGEN

Kapitel 1: Funktionen und Grenzen

1.4 Das Tangenten- und Geschwindigkeitsproblem 49/ 1, 3, 5, 7

1.5 Die Grenze einer Funktion 59/ 1-5, 12-14, 17, 23-28

1.6 Berechnung von Limits nach den Limitgesetzen 70/1, 3-23 ungerade

1.8 Kontinuität 91/ 3, 7, 9, 15-21 ungerade, 25, 33, 37, 39, 41, 44, 45,

Rezension 96/ 1-11 ungerade, 17, 23, 27, 29

2.1 Derivate 113/ 1, 3, 7, 21-31 ungerade, 39-47 ungerade, 53, 57, 59

2.2 Die Ableitung als Funktion 125/ 1, 3, 4, 7, 19, 20, 21, 25-33 ungerade, 39-51 ungerade

2.3 Differenzierungsformeln 140/ 1-43 ungerade, 51, 53, 69, 77

2.4 Ableitungen trigonometrischer Funktionen 150/ 1-17 ungerade, 25, 29, 39-49 ungerade

2.5 Die Kettenregel 158/1-45 ungerade, 47, 51, 55, 69, 71

2.6 Implizite Differenzierung 166/ 1-19 ungerade, 25, 27, 31, 35, 43, 45

2.7 Änderungsraten des Natural und 178/ 1-9 ungerade, 15, 18

2.8 Verwandte Kurse 185/ 1, 3, 9, 10, 11, 13-33 ungerade

2.9 Lineare Approximationen und Differentiale 192/ 1, 3, 5, 7-25 ungerade, 31

Rezension 196/ 3, 5, 11, 13-37, 45, 51, 59, 61, 75, 77, 79, 82

Kapitel 3: Anwendungen der Differenzierung

3.1 Maximal- und Minimalwerte 211/ 3, 5, 15-27 ungerade, 29-55 ungerade

3.2 Der Mittelwertsatz 219/ 1, 11, 13, 17, 21

3.3 Wie Ableitungen die Form eines Graphen beeinflussen 227/ 1, 5, 7, 8, 9-17 ungerade, 33-41 ungerade

3.4 Grenzen bei unendlichen horizontalen Asymptoten 241/ 3, 9-29 ungerade, 37, 41

3.5 Zusammenfassung der Kurvenskizze 250/1-35 ungerade

3.7 Optimierungsprobleme 256/ 3, 5, 7, 11, 17, 21, 27, 31

3.8 Newton-Methode 276/ 5, 7, 13-19 ungerade, 29

3.9 Stammfunktionen 282/ 1-41 ungerade, 43, 45, 47

Rezension 286/ 1-27 ungerade, 38, 41, 46, 49, 55, 57

4.1 Flächen und Entfernung 303/ 1, 3, 5, 13, 15, 21, 25

4.2 Das definitive Integral 316/ 3, 5, 9, 17, 21-25 ungerade, 31, 33, 37

4.3 Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung 327/ 3, 7-35 ungerade, 45, 51, 53

4.4 Indefinite Integrale und das Netzänderungstheorem 336/ 1-11 ungerade, 19-41 ungerade, 55, 57


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Der Zugang ist von der Verwendung dieses Lehrbuchs im Unterricht des Lehrers abhängig.

  • Kapitel DT: Diagnosetest
    • DT.A: Algebra (46)
    • DT.B: Analytische Geometrie (13)
    • DT.C: Funktionen (20)
    • DT.D: Trigonometrie (14)
    • QP.1: Definition und Darstellung von Funktionen (13)
    • QP.2: Arbeiten mit Funktionsdarstellungen (14)
    • QP.3: Funktionsnotation (13)
    • QP.4: Bereich und Umfang einer Funktion (12)
    • QP.5: Lineare Gleichungen lösen (14)
    • QP.6: Lineare Funktionen (15)
    • QP.7: Parabeln (13)
    • QP.8: Quadratische Gleichungen faktorisieren und finden x-Achsenabschnitte einer quadratischen Funktion (12)
    • QP.9: Polynome (17)
    • QP.10: Mehr über das Faktorisieren von Polynomen (12)
    • QP.11: Wurzeln finden (14)
    • QP.12: Dividieren von Polynomen (14)
    • QP.13: Rationale Funktionen (19)
    • QP.14: Root-Funktionen (15)
    • QP.15: Rationalisierung des Zählers oder Nenners (11)
    • QS.16: Exponentialfunktionen (13)
    • QP.17: Logarithmische Funktionen (15)
    • QP.18: Trigonometrische Funktionen und der Einheitskreis (15)
    • QP.19: Graphen trigonometrischer Funktionen (15)
    • QP.20: Trigonometrische Identitäten (18)
    • QS.21: Sonderfunktionen (12)
    • QP.22: Algebraische Funktionskombinationen (14)
    • QP.23: Zusammensetzung von Funktionen (13)
    • QP.24: Transformationen von Funktionen (12)
    • QS.25: Inverse Funktionen (17)
    • 1.1: Vier Möglichkeiten zur Darstellung einer Funktion (113)
    • 1.2: Mathematische Modelle: Ein Katalog wesentlicher Funktionen (51)
    • 1.3: Neue Funktionen aus alten Funktionen (108)
    • 1.4: Das Tangenten- und Geschwindigkeitsproblem (26)
    • 1.5: Die Grenze einer Funktion (82)
    • 1.6: Berechnung von Limits mit Hilfe der Limitgesetze (99)
    • 1.7: Die genaue Definition einer Grenze (50)
    • 1.8: Kontinuität (77)
    • 1: Konzeptcheck
    • 1: Wahr-Falsch-Quiz (27)
    • 1: Übungen wiederholen
    • 1: Prinzipien der Problemlösung (11)
    • 1: Zusätzliche Probleme
    • 1: Just-in-Time-Fragen
    • 2.1: Derivate und Veränderungsraten (104)
    • 2.2: Die Ableitung als Funktion (101)
    • 2.3: Differenzierungsformeln (177)
    • 2.4: Ableitungen trigonometrischer Funktionen (96)
    • 2.5: Die Kettenregel (126)
    • 2.6: Implizite Differenzierung (97)
    • 2.7: Veränderungsraten in den Natur- und Sozialwissenschaften (62)
    • 2.8: Verwandte Tarife (79)
    • 2.9: Lineare Approximationen und Differentiale (69)
    • 2: Konzeptcheck
    • 2: Wahr-Falsch-Quiz (15)
    • 2: Wiederholungsübungen (1)
    • 2: Probleme Plus (11)
    • 2: Zusätzliche Probleme
    • 2: Just-in-Time-Fragen
    • 3.1: Maximal- und Minimalwerte (125)
    • 3.2: Der Mittelwertsatz (53)
    • 3.3: Was uns Ableitungen über die Form eines Graphen sagen (110)
    • 3.4: Grenzen bei unendlichen horizontalen Asymptoten (85)
    • 3.5: Zusammenfassung der Kurvenskizze (83)
    • 3.6: Graphische Darstellung mit Infinitesimalrechnung und Technologie (36)
    • 3.7: Optimierungsprobleme (103)
    • 3.8: Newton-Methode (77)
    • 3.9: Stammfunktionen (126)
    • 3: Konzeptcheck
    • 3: Wahr-Falsch-Quiz (20)
    • 3: Wiederholungsübungen
    • 3: Probleme Plus (7)
    • 3: Zusätzliche Probleme
    • 3: Just-in-Time-Fragen
    • 4.1: Die Flächen- und Entfernungsprobleme (55)
    • 4.2: Das definitive Integral (125)
    • 4.3: Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung (136)
    • 4.4: Unbestimmte Integrale und das Netzänderungstheorem (102)
    • 4.5: Die Substitutionsregel (133)
    • 4: Konzeptcheck
    • 4: Wahr-Falsch-Quiz (16)
    • 4: Übungen wiederholen
    • 4: Probleme Plus (6)
    • 4: Zusätzliche Probleme
    • 4: Just-in-Time-Fragen
    • 5.1: Bereiche zwischen Kurven (69)
    • 5.2: Bände (99)
    • 5.3: Volumen nach zylindrischen Schalen (64)
    • 5.4: Arbeit (45)
    • 5.5: Mittelwert einer Funktion (36)
    • 5: Konzeptcheck
    • 5: Wahr-Falsch-Quiz
    • 5: Übungen wiederholen
    • 5: Probleme plus (3)
    • 5: Zusätzliche Probleme
    • 5: Just-in-Time-Fragen
    • 6.1: Umkehrfunktionen (36)
    • 6.2: Exponentialfunktionen und ihre Ableitungen (81)
    • 6.2*: Die natürliche logarithmische Funktion (41)
    • 6.3: Logarithmische Funktionen (40)
    • 6.3*: Die natürliche Exponentialfunktion (62)
    • 6.4: Ableitungen logarithmischer Funktionen (89)
    • 6.4*: Allgemeine logarithmische und exponentielle Funktionen (37)
    • 6.5: Exponentielles Wachstum und Verfall (36)
    • 6.6: Inverse trigonometrische Funktionen (38)
    • 6.7: Hyperbolische Funktionen (57)
    • 6.8: Unbestimmte Formen und die Regel von l'Hospital (96)
    • 6: Konzeptcheck
    • 6: Wahr-Falsch-Quiz (7)
    • 6: Wiederholungsübungen
    • 6: Probleme plus (1)
    • 6: Zusätzliche Probleme
    • 6: Just-in-Time-Fragen
    • 7.1: Integration nach Teilen (93)
    • 7.2: Trigonometrische Integrale (89)
    • 7.3: Trigonometrische Substitution (57)
    • 7.4: Integration rationaler Funktionen durch Teilbrüche (84)
    • 7.5: Integrationsstrategie (87)
    • 7.6: Integration mit Tabellen und Technologie (62)
    • 7.7: Ungefähre Integration (67)
    • 7.8: Unsachgemäße Integrale (105)
    • 7: Konzeptcheck
    • 7: Wahr-Falsch-Quiz (13)
    • 7: Wiederholungsübungen
    • 7: Probleme plus (3)
    • 7: Zusätzliche Probleme (33)
    • 7: Just-in-Time-Fragen
    • 8.1: Bogenlänge (48)
    • 8.2: Fläche einer Rotationsfläche (44)
    • 8.3: Anwendungen für Physik und Ingenieurwissenschaften (53)
    • 8.4: Anwendungen in Wirtschaftswissenschaften und Biologie (29)
    • 8.5: Wahrscheinlichkeit (33)
    • 8: Konzeptcheck
    • 8: Wahr-Falsch-Quiz
    • 8: Wiederholungsübungen
    • 8: Probleme Plus (2)
    • 8: Zusätzliche Probleme (11)
    • 8: Just-in-Time-Fragen
    • 9.1: Modellierung mit Differentialgleichungen (29)
    • 9.2: Richtungsfelder und Euler-Verfahren (42)
    • 9.3: Trennbare Gleichungen (60)
    • 9.4: Modelle für das Bevölkerungswachstum (35)
    • 9.5: Lineare Gleichungen (50)
    • 9.6: Raubtier-Beute-Systeme (23)
    • 9: Konzeptcheck
    • 9: Wahr-Falsch-Quiz (7)
    • 9: Wiederholungsübungen
    • 9: Probleme Plus (2)
    • 9: Zusätzliche Probleme (5)
    • 9: Just-in-Time-Fragen
    • 10.1: Kurven definiert durch parametrische Gleichungen (50)
    • 10.2: Infinitesimalrechnung mit parametrischen Kurven (71)
    • 10.3: Polarkoordinaten (75)
    • 10.4: Berechnung in Polarkoordinaten (60)
    • 10.5: Kegelschnitte (74)
    • 10.6: Kegelschnitte in Polarkoordinaten (34)
    • 10: Konzeptcheck
    • 10: Wahr-Falsch-Quiz (10)
    • 10: Wiederholungsübungen
    • 10: Probleme plus (1)
    • 10: Zusätzliche Probleme (33)
    • 10: Just-in-Time-Fragen
    • 11.1: Sequenzen (86)
    • 11.2: Serie (97)
    • 11.3: Der Integraltest und Schätzungen von Summen (51)
    • 11.4: Die Vergleichstests (53)
    • 11.5: Alternierende Reihen und absolute Konvergenz (59)
    • 11.6: Die Verhältnis- und Wurzeltests (46)
    • 11.7: Strategie für Testreihen (50)
    • 11.8: Leistungsserie (56)
    • 11.9: Darstellungen von Funktionen als Potenzreihen (46)
    • 11.10: Taylor- und Maclaurin-Reihe (79)
    • 11.11: Anwendungen von Taylor-Polynomen (45)
    • 11: Konzeptcheck
    • 11: Wahr-Falsch-Quiz (20)
    • 11: Wiederholungsübungen
    • 11: Probleme Plus (2)
    • 11: Zusätzliche Probleme (15)
    • 11: Just-in-Time-Fragen
    • 12.1: Dreidimensionale Koordinatensysteme (51)
    • 12.2: Vektoren (51)
    • 12.3: Das Punktprodukt (66)
    • 12.4: Das Kreuzprodukt (57)
    • 12.5: Gleichungen von Linien und Ebenen (76)
    • 12.6: Zylinder und quadratische Flächen (69)
    • 12: Konzeptcheck
    • 12: Wahr-Falsch-Quiz (22)
    • 12: Wiederholungsübungen
    • 12: Probleme Plus (2)
    • 12: Zusätzliche Probleme (12)
    • 12: Just-in-Time-Fragen
    • 13.1: Vektorfunktionen und Raumkurven (48)
    • 13.2: Ableitungen und Integrale von Vektorfunktionen (55)
    • 13.3: Bogenlänge und Krümmung (58)
    • 13.4: Bewegung im Raum: Geschwindigkeit und Beschleunigung (47)
    • 13: Konzeptcheck
    • 13: Wahr-Falsch-Quiz (14)
    • 13: Wiederholungsübungen
    • 13: Probleme Plus (1)
    • 13: Zusätzliche Probleme (5)
    • 13: Just-in-Time-Fragen
    • 14.1: Funktionen mehrerer Variablen (75)
    • 14.2: Grenzen und Kontinuität (50)
    • 14.3: Partielle Derivate (94)
    • 14.4: Tangentialebenen und lineare Approximation (45)
    • 14.5: Die Kettenregel (65)
    • 14.6: Richtungsableitungen und der Gradientenvektor (78)
    • 14.7: Maximal- und Minimalwerte (65)
    • 14.8: Lagrange-Multiplikatoren (54)
    • 14: Konzeptcheck
    • 14: Wahr-Falsch-Quiz (12)
    • 14: Übungen wiederholen
    • 14: Probleme plus (3)
    • 14: Zusätzliche Probleme (19)
    • 14: Just-in-Time-Fragen
    • 15.1: Doppelintegrale über Rechtecken (78)
    • 15.2: Doppelintegrale über allgemeinen Regionen (81)
    • 15.3: Doppelintegrale in Polarkoordinaten (52)
    • 15.4: Anwendungen von Doppelintegralen (48)
    • 15.5: Oberfläche (23)
    • 15.6: Dreifachintegrale (65)
    • 15.7: Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten (44)
    • 15.8: Dreifachintegrale in Kugelkoordinaten (64)
    • 15.9: Änderung von Variablen in mehreren Integralen (39)
    • 15: Konzeptcheck
    • 15: Wahr-Falsch-Quiz (9)
    • 15: Wiederholungsübungen
    • 15: Probleme Plus (2)
    • 15: Zusätzliche Probleme (4)
    • 15: Just-in-Time-Fragen
    • 16.1: Vektorfelder (41)
    • 16.2: Linienintegrale (61)
    • 16.3: Der Fundamentalsatz für Linienintegrale (50)
    • 16.4: Satz von Green (44)
    • 16.5: Curl und Divergenz (53)
    • 16.6: Parametrische Flächen und ihre Flächen (74)
    • 16.7: Oberflächenintegrale (62)
    • 16.8: Satz von Stokes (34)
    • 16.9: Der Divergenzsatz (41)
    • 16.10: Zusammenfassung
    • 16: Konzeptcheck
    • 16: Wahr-Falsch-Quiz (13)
    • 16: Wiederholungsübungen
    • 16: Probleme Plus (2)
    • 16: Zusätzliche Probleme (9)
    • 16: Just-in-Time-Fragen
    • 17.1: Lineare Gleichungen zweiter Ordnung
    • 17.2: Inhomogene lineare Gleichungen
    • 17.3: Anwendungen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung
    • 17.4: Serienlösungen
    • 17: Konzeptcheck
    • 17: Wahr-Falsch-Quiz
    • 17: Wiederholungsübungen
    • 17: Zusätzliche Probleme
    • 17: Just-in-Time-Fragen
    • AA: Zahlen, Ungleichungen und Absolutwerte (71)
    • A.B: Koordinatengeometrie und Linien (61)
    • A.C: Graphen von Gleichungen zweiten Grades (40)
    • A.D.: Trigonometrie (83)
    • A.E: Sigma-Notation (49)
    • A.F: Beweise von Theoremen
    • A.G: Antworten auf ungeradzahlige Übungen

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    • Explore It (EI) modules help students visualize the course's complex topics through hands-on exploration and interactive simulation.
    • Master It Tutorials (MI) show how to solve a similar problem in multiple steps by providing direction along with derivation so students understand the concepts and reasoning behind the problem solving.
    • Video Examples (VE) ask students to watch a section level video segment and then answer a question related to that video. Consider assigning the video example as review prior to class or as a lesson review prior to a quiz or test.
    • Just In Time (JIT) problems are ideal for students who need to remediate their algebra and trigonometry skills. They are carefully selected prerequisite review problems tied to specific calculus problems and assignable at the section level.
    • QuickPrep (QP) questions review the concepts of linear functions to help improve student readiness for calculus. Assign any of these QuickPrep modules early in the course or whenever the review is most needed.
    • Active Examples (AE) guide students through the process needed to master a concept.

    Pi and Phi in the Great Pyramid of Egypt

    Another interesting relationship between Pi and Phi is related to the geometry of the Great Pyramid of Giza. This relationship connects dimensions of the Great Pyramid to both Pi and Phi, but it is not known with certainty whether this was an intentional aspect of its design, whether its design was based on Pi or Phi but not both, or whether it is a simple coincidence. It relates to the fact that 4 divided by square root of phi is almost exactly equal to Pi:

    The square root of Phi (1.6180339887…) = 1.2720196495…

    4 divided by 1.2720196495… = 3.14460551103…

    The difference of these two numbers is less than a 10th of a percent.

    See the Phi, Pi and the Great Pyramid page for more details.


    We derive explicit and new implicit finite-difference formulae for derivatives of arbitrary order with any order of accuracy by the plane wave theory where the finite-difference coefficients are obtained from the Taylor series expansion. The implicit finite-difference formulae are derived from fractional expansion of derivatives which form tridiagonal matrix equations. Our results demonstrate that the accuracy of a (2Nein + 2)th-order implicit formula is nearly equivalent to that of a (6Nein + 2)th-order explicit formula for the first-order derivative, and (2Nein + 2)th-order implicit formula is nearly equivalent to (4Nein + 2)th-order explicit formula for the second-order derivative. In general, an implicit method is computationally more expensive than an explicit method, due to the requirement of solving large matrix equations. However, the new implicit method only involves solving tridiagonal matrix equations, which is fairly inexpensive. Furthermore, taking advantage of the fact that many repeated calculations of derivatives are performed by the same difference formula, several parts can be precomputed resulting in a fast algorithm. We further demonstrate that a (2Nein + 2)th-order implicit formulation requires nearly the same memory and computation as a (2N + 4)th-order explicit formulation but attains the accuracy achieved by a (6Nein + 2)th-order explicit formulation for the first-order derivative and that of a (4Nein + 2)th-order explicit method for the second-order derivative when additional cost of visiting arrays is not considered. This means that a high-order explicit method may be replaced by an implicit method of the same order resulting in a much improved performance. Our analysis of efficiency and numerical modelling results for acoustic and elastic wave propagation validates the effectiveness and practicality of the implicit finite-difference method.

    Many scientific and engineering problems involve numerically solving partial differential equations. A variety of differ- ence techniques, such as the finite-difference (FD), the pseudospectral (PS) and the finite-element (FM) methods, have been developed. However, because of the straightforward implementation, requiring small memory and computation time, the FD is the most popular and has been widely utilized in seismic modelling (Kelly et al 1976, Dablain 1986, Virieux 1986, Igel et al 1995, Etgen and O'Brien 2007, Bansal and Sen 2008) and migration (Claerbout 1985, Larner and Beasley 1987, Li 1991, Ristow and Ruhl 1994, Zhang et al 2000, Fei and Liner 2008). In order to improve the efficiency, the accuracy and the stability of a FDM in numerical modelling, several variants of FD methods have been developed.

    A conventional FD needs a fixed number of grid points per wavelength in any one layer. In fact, a coarse mesh can be used in the high-velocity layer for its large wavelength. Therefore, variable grid schemes are proposed to significantly reduce computational time and memory requirements. When there is an abrupt transition from the adaptive region of a coarse mesh to a much finer mesh, large amplitude artificial reflections from the adaptive zone may occur. To overcome these problems, the scheme of interpolating the field variables in the adaptive region has been developed (Wang and Schuster 1996, Hayashi and Burns 1999). Other advanced methods include the PS-2 method for regular grids (Zahradník and Priolo 1995) and a simple case of so-called rectangular irregular grids. This method is developed further and applied to both nonplanar topography and internal discontinuities (Opršal and Zahradník 1999).

    To save computational cost, besides optimizing mesh sizes according to the local parameters, different temporal sampling in different parts of the numerical grid is introduced by Falk et al ( 1996). Since the method is restricted to ratios of time steps between the different domains of 2nein, a new method is proposed to handle any positive integer ratio and does not depend on the time-step ratio by Tessmer ( 2000).

    To improve the modelling accuracy of the first-order elastic and viscoelastic wave equations, staggered-grid FD schemes that involve defining different components of one physical parameter at different staggered points are usually applied to compute the derivatives in the equations (Virieux 1986, Levander 1988, Robertsson et al 1994, Graves 1996). However, boundary conditions of the elastic wave field at a free surface, i.e. the high-contrast discontinuity between vacuum and rock, must be defined in the FD algorithm (Robertsson 1996, Graves 1996, Opršal and Zahradník 1999, Saenger and Bohlen 2004). To avoid this problem, a rotated staggered-grid technique (Gold et al 1997, Saenger et al 2000) is presented where high contrast discontinuities can be incorporated without using explicit boundary conditions and without averaging elastic moduli. A velocity–stress rotated staggered-grid algorithm is used to simulate seismic waves in an elastic and viscoelastic model with 3D topography of the free surface (Saenger and Bohlen 2004). The accuracy for modelling Rayleigh waves utilizing the standard staggered-grid and the rotated staggered-grid method is also investigated by Bohlen and Saenger ( 2006).

    A conventional method uses FD operators with low-order accuracy to calculate space derivatives therefore, it needs small processor memory and less computation time, but leads to low accuracy results. High-order FD schemes are developed to improve the accuracy of the conventional finite-difference method. The FD scheme with any order accuracy has been derived for the first-order derivatives and used to solve the wave equations (Dablain 1986, Fornberg 1987, Crase 1990, Visbal and Gaitonde 2001, Hestholm 2007). The FD coefficients are determined by the Taylor series expansion (Dablain 1986) or by an optimization (Fornberg 1987). Using the Taylor series expansion also, the FD method with any even-order accuracy is presented for any order derivatives (Liu et al 1998) and utilized to simulate wave propagation in two-phase anisotropic media (Liu and Wei 2008).

    However, most of these methods make use of the explicit finite-difference method (EFDM). Some development on the implicit finite-difference method (IFDM) has also been reported in the literature. To yield good modelling results, implicit finite-difference formulae are skilfully derived for the elastic wave equation (Emerman et al 1982). These formulae express the value of a variable at some point at a future time in terms of the value of the variable at that point and at its neighbouring points at present time, past times and future times. An IFDM for time derivatives has also been implemented in seismic migration algorithms (Ristow and Ruhl 1997, Shan 2007, Zhang and Zhang 2007).

    Here, we focus on the space derivative calculation by a FDM. In our formulation, an EFDM directly calculates the derivative value at some point in terms of the function values at that point and at its neighbouring points. However, an IFDM expresses the derivative value at some point in terms of the function values at that point and at its neighbouring points and the derivative values at its neighbouring points. For example, a compact finite-difference method (CFDM) is one such IFDM (Lele 1992). In areas other than geophysics and seismology, several variants of the IFDM have been widely studied (Ekaterinaris 1999, Meitz and Fasel 2000, Lee and Seo 2002, Nihei and Ishii 2003). Zhang and Chen ( 2006) proposed a new numerical method, named the traction image method, to accurately and efficiently implement the traction-free boundary conditions in finite-difference simulation in the presence of surface topography. In this method, the physical traction-free boundary conditions provide a constraint on the derivatives of the velocity components along the free surface, which leads to a solution to calculate the derivative of the velocity components by a compact scheme.

    In this paper, we derive both explicit and implicit finite-difference formulae with even-order accuracy for any order derivative. Further, we develop a practical IFDM and demonstrate its efficiency and applicability with some numerical results.


    4.5 Substitution Method

    From the Fundamental Theorem, we see that differentiation and integration are as inverse process to each other. If we reverse the rule of differentiation, we will get a method to integrate a function.

    Theorem 4.7 (The Substitution Rule) If (u=g(x)) is a differentiable function whose range is an interval (I) and (f) is continuous on (I) , then [ int f(g(x))g'(x)mathrmx=int f(u)mathrmu. ]

    For a definite integral, we also need to substitute limits of integration when applying the substitution rule.

    Theorem 4.8 (The Substitution Rule for Definite Integral) If (g'(x)) is continuous on ([a, b]) and (f(x)) is continuous on the range of (u=g(x)) , ([g(a), g(b)]) , then [ int_a^bf(g(x))g'(x)mathrmx=int_^f(u)mathrmu. ]

    Applying the chain rule to functions with symmetries will simplify the calculation.

    Proposition 4.1 Suppose that (f) is a continuous function on ([-a, a]) .

    1. If (f) is an odd function, that is (f(-x)=-f(x)) , then [displaystyle int_<-a>^af(x)mathrmx =0.]
    2. If (f) is an even function, that is (f(-x)=f(x)) , then [displaystyle int_<-a>^af(x)mathrmx =2int_0^af(x)mathrmx.]

    Exercise 4.31 Evaluate the following integral. [ displaystyle int xsqrtmathrm x. ]

    Hinweis: You may also try the substitution (u=sqrt) .

    Exercise 4.32 Evaluate the following integral. [ displaystyle int frac>mathrm x. ]

    Here, I would like to show you another way. Let (u=sqrt<1-x^3>) . Then (u^2=1-x^3) and (mathrmx=frac<2umathrmu><-3x^2>) . Therefore, [ egin int frac>mathrm x=&int fracfrac<2umathrmu><-3x^2> =& -frac23int mathrmu =&-frac23u+C =&-frac23sqrt<1-x^3>+C end ]

    Exercise 4.33 Evaluate the following integral. [ displaystyle int(sin hetacos^2 heta)mathrm heta. ]

    Let (u=cos heta) . Then (mathrm heta=fracu><-sin theta>) . Therefore, [ egin int (sin hetacos^2 heta)mathrm heta=&int((sin heta) u^2) fracu><-sin heta> =& -int u^2 mathrmu =&-frac13u^3+C =&-frac13cos^2 heta+C end ]

    Exercise 4.34 Evaluate the following integral. [ displaystyle intsec^2 t an tmathrm t. ]

    Let (u= an t) . Then (mathrmt=fracu>) . Therefore, [ egin intsec^2 t an tmathrm t=&int umathrmu =&frac12u^2+C =&frac12 an^2t+C end ]

    Exercise 4.35 Evaluate the following integral. [ displaystyle int sqrt[3] <2x+1>mathrm x. ]

    Exercise 4.36 Evaluate the following integral. [ displaystyle int (3x-2)^5 mathrm t. ]

    One way is to use the binomial formula the expand the integrand and then integrate.

    Here we use a substitution to make the calculation easier.

    Exercise 4.37 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_1^4 frac)>>mathrm x. ]

    Hinweis: To avoid the mistake of forgetting substitute the integral limits, it will be better to find the indefinite integral first.

    Exercise 4.38 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_1^2 fracmathrm x. ]

    Exercise 4.39 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_0^ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta. ]

    There are different ways to find this integral.

    One way is to let (u=sin(2 heta)) . Then (mathrm u=2cos(2 heta)mathrm heta) and [ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta=frac12umathrmu ] Therefore, [ egin int_0^ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta =&int_^frac12umathrmu =&frac12 int_<0>^ <1>umathrmu =&frac14 u^2|_<0>^<1>=frac14. Ende ]

    Exercise 4.40 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x. ]

    Note that the function (f(x)=x^3+xsec^2x) is an odd function, that is (f(-x)=-f(x)) . If we let (u=-x) ,then (mathrmx=-mathrmu) and
    [ egin int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=&-int_<2>^<-2>((-u)^3+(-u)sec^2(-u))mathrm u =&-int_<-2>^<2>(u^3+usec^2u)mathrm u =&-int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x end ] Add to both sides the definite integral, we get [ 2int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=0. ] Therefore, [ int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=0. ]


    2.6: Implicit Differentiation

    This page will be updated as the semester progresses.

    Appendix D (Trigonometry) Completed notes
    Section 1.1 (Vectors) Completed notes
    Section 1.2 (The dot product) Completed notes
    Section 1.3 (Vector functions) Completed notes
    Section 2.2 (The limit of a function) Completed notes
    Section 2.3 (Calculating limits using the limit laws) Completed notes
    Section 2.5 (Continuity) Completed notes
    Section 2.6 (Limits at infinity horizontal asymptotes) Completed notes
    Section 2.7 (Tangents, velocities, and the other rates of change) Completed notes
    Section 3.1 (Derivatives) Completed notes
    Section 3.2 (Differentiation formulas) Partially completed notes
    Section 3.4 (Derivatives of trigonometric functions) Completed notes
    Review for Test 1

    Section 3.5 (The chain rule) Completed notes
    Section 3.6 (Implicit differentiation) Completed notes
    Section 3.7 (Derivatives of vector functions) Completed notes
    Section 3.8 (Higher derivatives) Completed notes
    Section 3.9 (Slopes and tangents to parametric curves) Completed notes
    Section 3.10 (Related rates) Completed notes
    Section 3.11 (Differentials linear and quadratic approximations) Completed notes
    Section 4.1 (Exponential functions and their derivatives) Completed notes
    Section 4.2 (Inverse functions) Completed notes
    Section 4.3 (Logarithmic functions) Completed notes
    Review for Test 2

    Section 4.4 (Derivatives of logarithmic functions) Completed notes
    Section 4.5 (Exponential growth and decay) Completed notes
    Section 4.6 (Inverse trigonometric functions) Completed notes
    Section 4.8 (L'Hospital's Rule) Completed notes
    Section 5.1 (What does f' say about f?) Completed notes
    Section 5.2 (Maximum and minimum values) Completed notes
    Section 5.3 (Derivatives and the shapes of curves) Completed notes
    Section 5.5 (Applied maximum and minimum problems) Completed notes
    Section 5.7 (Antiderivatives) Completed notes
    Section 6.1 (Sigma notation) Completed notes
    Section 6.2 (Area) Completed notes
    Section 6.3 (Definite integral) Completed notes
    Section 6.4 (The fundamental theorem of calculus) Completed notes


    3 THE PURPOSE OF FREE WILL

    The prevalent endorsement of the belief in free will raises an important fundamental question – Why would anyone believe in free will? If one believes in free will – then what is free will meant for?

    One group of scholars views free will beliefs as a mechanism that allows the self to pursue self-enhancing desired states and goals and seek own wants and needs (Hume, 1748 Edwards, 1754 ). Put more simply – free will is only worth having if it enables the individual to get what she or he wants (Dennett, 2003 ).

    A second view often referred to as the “action-control perspective” argues that the concept of free will has evolved to allow the self to coexist with others in society as to override inherent immediate biological urges that mainly focus on the self (Kant, 1797/1967 ) thus allowing for prospection, long-term planning, action control, and coordination with others in society (Baumeister, 2005 , 2008a ). The belief in free will could have possibly evolved so that people would be able to a deal with a world of increasingly complicated choices and complex societal interactions that require coordination and inhibition of self (Baumeister, 2008a Laurene, Rakos, Tisak, Robichaud, & Horvath, 2011 Rakos et al., 2008 ).

    The close conceptual relationship that free will holds with moral responsibility supports the view that free will is a notion embedded in societal considerations. The concept of free will may be regarded by societies and religions as a solution to the predicament of laypersons that associate determinism with inevitability, reduced accountability, and thus lower action control over socially undesirable behaviors. Based on the idea of free will as a social tool, the belief that a person could make different free choices in a given situation is considered essential to legal, moral, and political judgments (Juth & Lorentzon, 2010 Searle, 2007 ). More broadly, society often regards it appropriate to adjust legal and moral judgments based on the assessment of whether a wrongdoer acted out of his or her own free will (Greene & Cohen, 2004 Roskies, 2006 ). In order to legally hold a person accountable and bring a person to trial, it is now commonly expected that it be proven that the person could have done otherwise, meaning that there were no external influences coercing the person to act in this way (e.g., having a gun to the person's head) or that the person did not merely act out of uncontrollable urges (e.g., temporary insanity Burns & Bechara, 2007 ). Similarly, a contract between two people is only considered valid if the two sides have entered the contract out of their own free will, meaning that both sides were free from any coercion (Cohen, 1933 ).

    A developmental perspective argues free will to be rooted in the perception people experience in their everyday choices while growing up – even if such a perception is illusory, serving as a self-indicator regarding the ability to execute and increasing one's motivation to enter difficult choice situations (Bandura, 2006 Rakos, 2004 Wegner, 2004 ). Nichols ( 2004 ) showed that children between the ages of three and five typically endorse free will and reject determinism by making the claim that a person in a given scenario could have chosen to act differently, much more so than a physical object could have. Nichols goes on further to argue that the perception of having free will in kids is innate rather than learned – that freedom of an agent is inferred by native evidence to form the belief that humans are different than objects in their ability to act otherwise. Other studies have extended these findings by demonstrating that not only do kids at the age of five perceive people to have the capacity to choose more freely than objects do but that they also clearly distinguish between free and un-free actions by the same human agent (Chernyak, Kushnir, & Wellman, 2010 Kushnir, Wellman, & Chernyak, 2009 ).

    To summarize, the role of free will in people's beliefs could be the pursuit of own goals and desires or in the evolutionary role of free will as overcoming self to allow people to coexist with others in society. This belief could also be rooted in an innate intuitive perception developed by people while growing up to self-motivate when faced with making choices.


    2.6: Implicit Differentiation

    MATH 180: ELEMENTS OF CALCULUS I
    University of New Mexico, Spring 2015

    Lehrer: Janet Vassilev
    E-mail:
    [email protected]
    Webpage:
    http://math.unm.edu/

    jvassil
    Phone: 277-2214
    Office: SMLC 324
    Office Hours:
    Monday and Friday 1-1:50
    , Wednesday 10-10:50 or by appointment.

    Voraussetzung: Grade of C or better in MATH 121

    Lehrbuch: APPLIED CALCULUS for the Managerial, Life and Social Sciences, Ninth Edition, Brooks / Cole 2014, S. T. Tan
    Hardcover for both Math 180 and Math 181: ISBN-10: 1-133-60771-3 ISBN-13: 978-1-133-60771-7
    UNM Custom Edition Softcover for Math 180 only: ISBN-10: 1-305-02608-X ISBN-13: 978-1-305-02608-7

    Calculator: Calculators will not be allowed on any of the exams. A scientific calculator may be necessary for some homework assignments or quizzes.

    Hausaufgaben: Your daily homework is your most important effort in this course. It is imperative that you do all of the assigned problems, especially the hard ones, because this is how you actually learn the material. Expect 2-3 hours of homework for every hour of class meeting time (on average 6-9 hours per week). Keep all of your homework together in a folder so that if you are having trouble in the course, you can bring it with you when you go to see me or get tutoring.

    Quizfragen: There will be weekly quizzes. The quiz problems will be very similar to the homework problems, if not the same. Most of the quizzes will be in-class and announced, but occasionally there may be a pop quiz. No make-up quizzes will be given, even if you have an excused absence. The two lowest quiz scores will be dropped at the end of the semester.

    Exams: There will be three in-class exams, 100 points each. You have to show all your work and use proper mathematical notation to receive full credit. A correct answer without work will receive no more than 1 point. I do not give make up exams. If you are ill or have some form of excused absence, you must contact me on or before the day of the exam in order to have your final grade calculated without this test. I typically replace the score for this exam by your average on the final.

    Abschlussprüfung: The final exam, comprehensive and worth 200 points, will be held on Monday, May 4 th between 7:30 am and 9:30 am. The location of the exam will be announced near the end of the semester.

    Important Note: Notes of any kind, 3x5 cards, books, cell phones, computers, headphones etc. are not allowed on any tests, including the Final Exam.

    Grading : To get full credit on graded work, students must address all mathematical components presented by the problem, showing all steps and calculations. The use of proper notation, well-structured procedures, and legibility will be taken into account when assigning points. Your grade will be determined based on your performance on the following:

    Grading: The grades will for the most part be assigned as follows: 90% to 100% = A 80% to 89% = B 70% to 79% = C below 70% D or F
    However, there may be a slight curve. If so, the curve will be announce for each test. There will be no extra credit. Students who withdraw after week 3 will receive the grade W. No W’s will be given to students who have not withdrawn.

    Communication: Please check your UNM e-mail regularly or make sure to forward your e-mail from that address to an account that you check at least daily. I may send you important information and updates to your UNM e-mail address. If you e-mail me, include your full name and that you are a student in my 180 class.

    Teilnahme: Attendance is mandatory. A student with three or more unexcused absences may be dropped from the course. Tardiness or early departure may be regarded as absence. It is the student’s responsibility to withdraw from the course if he/she stops attending. A failing grade of “F” will be assigned if the student stops attending and does not withdraw.

    Student Behavior: According to the Code of Conduct as stated in the Policies and Regulations for UNM, student activities that interfere with the rights of others to pursue their education or to conduct their University duties and responsibilities will lead to disciplinary action. This includes any activities that are disruptive to the class and any acts of academic dishonesty. Students are expected to behave in a courteous and respectful manner toward the instructor and their fellow students. Students should turn off their cell-phones before the beginning of each class, and be prepared to remain seated the entire class. Students may be dropped from a class for inappropriate behavior.

    Students with Disabilities: We accommodate students with documented disabilities. During the first two weeks of the semester, those students should inform the instructor of their particular needs.

    Help: If you are struggling, seek help immediately. In addition to your instructor's office hours, there is extra help available at:
    - Das Calculus Tutoring Table, staffed by instructors every day, 3 rd floor DSH near the elevator
    - CAPS: Center for Academic Program Support, 3rd floor Zimmerman Library, 277-4560

    - MEP Engineering Annex, room 210, or call the study group at 277-8795
    - CATS: Counseling and Therapy Services, Student Health Center, 277-4537 (for test anxiety, etc.)


    Class 11th Maths - Video Tutorials in Hindi

    We warmly welcome you to our online courses. Maths is a subject that most of us don't like because it is very difficult to understand isn't it? What if learning maths becomes easy?

    Yes, I am here to help you to do maths in an easy way. I will make sure that you learn the formulas and easy tricks to solve all your maths assignments and prepare perfectly for your examinations.

    I will make sure that the dear students score great marks in their examinations and leave everyone shockingly amazed.

    In this course, you will be receiving

    1. Ebooks
    2. Live sessions
    3. Video tutorials that will be present in Hindi so that it becomes easy for you to understand
    4. Online course study materials
    5. Tips and tricks to learn the formulas
    6. Solve question papers
    7. Mock tests
    8. Doubt clearing sessions

    In this course, you will be learning about

    1. Complex numbers and every chapter related to it
    2. Quadrant arguments
    3. The principal value of an argument
    4. Cube root of unity
    5. Properties of modulus
    6. Properties of conjugate
    7. DE Moivre's theorem
    8. Questions on Nth root
    9. Questions based on complex numbers ( part 1 to part 16 )
    10. Binomial coefficient
    11. Odd terms sum And questions on it
    12. Sequences and series
    13. Arithmetic progression and questions on it
    14. Sum of arithmetic progression and questions on it
    15. Sum of n terms of G.P
    16. Chain rule
    17. Existence of limit
    18. Limits using trigonometric identities
    19. L' Hospital's rule
    20. Introduction to differentiation
    21. Parametric equations and many more chapters will be covered from the syllabus.

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