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3.2: Direkte Beweise - Mathematik


Um zu zeigen, dass eine Aussage (q) wahr ist, gehen Sie folgendermaßen vor:

  • Finden Sie entweder ein Ergebnis, das (pRightarrow q) aussagt, oder beweisen Sie, dass (pRightarrow q) wahr ist.
  • Zeigen oder überprüfen Sie, dass (p) wahr ist.
  • Schließen Sie, dass (q) wahr sein muss.

Die Logik ist gültig, denn wenn (pRightarrow q) wahr ist und (p) wahr ist, dann muss (q) wahr sein. Symbolisch sagen wir, dass die logische Formel [[(p Rightarrow q) wedge p] Rightarrow q] eine Tautologie ist (wir können dies leicht mit einer Wahrheitstafel überprüfen). Symbolisch präsentieren wir das Argument als [egin{array}{cl} & p Rightarrow q & p hline herefore & q end{array}] Ein solches Argument heißt argument modus ponens oder der Gesetz der Ablösung.

Beispiel (PageIndex{1}label{zB:directpf-01})

Das Argument

(b^2>4ac Rightarrow ax^2+bx+c=0) hat zwei reelle Lösungen.
(x^2-5x+6) erfüllt (b^2>4ac).
(deshalb)(x^2-5x+6=0) hat zwei reelle Lösungen.

ist ein Beispiel für Modus Ponens.

Es ist klar, dass Implikationen bei mathematischen Beweisen eine wichtige Rolle spielen. Wenn wir eine Folge von Implikationen haben, könnten wir sie „von Kopf bis Fuß“ zu einer weiteren Implikation verbinden: [egin{array}{cl} & p Rightarrow q & q Rightarrow r hline herefore & p Rightarrow r end{array}] Dies nennt man Gesetz des Syllogismus.

.

Beispiel (PageIndex{2}label{zB:directpf-02})

Das Argument

Deutsche Schäferhunde sind Hunde.
Hunde sind Säugetiere.
Säugetiere sind Wirbeltiere.
(deshalb)Deutsche Schäferhunde sind Wirbeltiere.

ist aufgrund des Gesetzes des Syllogismus gültig.

Die große Frage ist, wie können wir eine Implikation beweisen? Der einfachste Ansatz ist der direkter Beweis:

Angenommen (p) ist wahr.

Leiten Sie aus (p) ab, dass (q) wahr ist.

Wichtig ist: Verwenden Sie die von (p) abgeleitete Information, um zu zeigen, dass (q) wahr ist. So kann ein typischer direkter Beweis aussehen:

Beweis: Angenommen, )p) ist wahr. Dann . .

Wegen (p) finden wir . .

. Daher ist (q) wahr.

Beispiel (PageIndex{3}label{zB:directpf-03})

Beweisen Sie, dass (mn) gerade sein muss, wenn ein (m imes n)-Schachbrett vollständig von nicht überlappenden Dominosteinen bedeckt werden kann.

Lösung

Angenommen, das Schachbrett kann von nicht überlappenden Dominosteinen bedeckt werden, und sei (t) die Anzahl der Dominosteine, die das Schachbrett bedecken. Dann muss das Schachbrett (2t) Felder enthalten. Also (mn=2t), was bedeutet, dass (mn) eine gerade Zahl sein muss.

Bevor wir mit weiteren Beispielen fortfahren, möchten wir die formale Definition von geraden und ungeraden ganzen Zahlen vorstellen.

Definition

Eine ganze Zahl ist sogar wenn es als (2q) für eine ganze Zahl (q) geschrieben werden kann, und seltsam wenn es als (2q+1) für eine ganze Zahl (q) geschrieben werden kann.

Wir müssen nicht (q) verwenden, um die ganze Zahl zu bezeichnen, die, wenn sie mit 2 multipliziert wird, eine gerade ganze Zahl ergibt. Jeder Buchstabe funktioniert, sofern wir erwähnen, dass es sich um eine ganze Zahl handelt. Wenn beispielsweise (n) eine gerade ganze Zahl ist, können wir (n=2t) für eine ganze Zahl (t) schreiben. Der Begriff der geraden ganzen Zahlen kann weiter verallgemeinert werden.

Definition

Sei (m) eine ganze Zahl ungleich null. Eine ganze Zahl heißt a mehrere von (m), wenn es als (mq) für eine ganze Zahl (q) geschrieben werden kann.

Wir sind jetzt bereit, weitere Beispiele zu studieren.

Beispiel (PageIndex{4}label{zB:directpf-04})

Zeigen Sie, dass das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl ungerade ist.

Lösung

Sei (n) eine ungerade ganze Zahl. Dann (n=2t+1) für eine ganze Zahl (t) und [n^2 = (2t+1)^2 = 4t^2+4t+1 = 2(2t^2+2t) +1,] wobei (2t^2+2t) eine ganze Zahl ist. Daher ist (n^2) ungerade.

praktische Übung (PageIndex{1}label{he:directpf-01})

Sei (n) eine ganze Zahl. Zeigen Sie, dass, wenn (n) ungerade ist, (n^3) ungerade ist.

Beispiel (PageIndex{5}label{zB:directpf-05})

Zeigen Sie, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist.

Lösung

Seien (x) und (y) zwei ungerade ganze Zahlen. Wir wollen beweisen, dass (xy) ungerade ist. Dann (x=2s+1) und (y=2t+1) für einige ganze Zahlen (s) und (t) und [xy = (2s+1)(2t+1) = 4st+2s+2t+1 = 2(2st+s+t)+1,] wobei (2st+s+t) eine ganze Zahl ist. Daher ist (xy) ungerade.

In diesem Beweis müssen wir zwei verschiedene Größen (s) und (t) verwenden, um (x) und (y) zu beschreiben, da sie nicht gleich sein müssen. Wenn wir (x=2s+1) und (y=2s+1) schreiben, sagen wir tatsächlich (x=y). Wir müssen betonen, dass (s) und (t) ganze Zahlen sind, denn nur (x=2s+1) und (y=2t+1) zu sagen garantiert (x) und (y) sind ungerade. Zum Beispiel kann die gerade Zahl 4 als (2cdotfrac{3}{2}+1) geschrieben werden, die die Form (2s+1) hat. Es ist offensichtlich, dass 4 nicht ungerade ist. Auch wenn wir eine Zahl in der Form (2s+1) schreiben können, bedeutet dies nicht unbedingt, dass die Zahl ungerade sein muss, es sei denn wir wissen mit Sicherheit, dass (s) eine ganze Zahl ist. Dieses Beispiel zeigt, wie wichtig es ist, auf die Details in unserem Schreiben zu achten.

.

Beispiel (PageIndex{6}label{directpf-06})

Zeigen Sie, dass, wenn (x^3-7x^2+x-7=0), dann (x=7) ist.

Lösung

Angenommen (x^3-7x^2+x-7=0). Da [x^3-7x^2+x-7 = x^2(x-7)+(x-7) = (x^2+1)(x-7),] wenn es gleich ist Null, wir brauchen entweder (x^2+1=0) oder (x-7=0). Da (x^2+1) niemals Null sein kann, müssen wir (x-7=0) haben; also (x=7).

praktische Übung (PageIndex{2}label{he:directpf-02})

Zeigen Sie, dass, wenn (x^3+6x^2+12x+8=0), dann (x=-2) ist.

Das letzte Beispiel demonstriert eine Technik namens Beweis durch Fälle. Es gibt zwei Möglichkeiten, nämlich entweder (i) (x^2+1=0) oder (ii) (x-7=0). Die endgültige Schlussfolgerung wird gezogen, nachdem wir diese beiden Fälle getrennt untersucht haben.

Beispiel (PageIndex{7}label{zB:directpf-07})

Zeigen Sie, dass, wenn eine ganze Zahl (n) nicht durch 3 teilbar ist, (n^2-1) ein Vielfaches von 3 sein muss.

Anmerkung

Der Buchstabe (n) wurde verwendet, um die für uns interessante ganze Zahl zu identifizieren, und er erscheint in der Hypothese der Implikation, die wir beweisen wollen. Nichtsdestotrotz würden viele Autoren ihre Beweise mit dem vertrauten Satz „Let (n) be …“ beginnen.

Antworten

Sei (n) eine ganze Zahl, die nicht durch 3 teilbar ist. Wenn sie durch 3 geteilt wird, ist der Rest 1 oder 2. Also (n=3q+1) oder (n=3q+2 ) für eine ganze Zahl (q).

Fall 1: Wenn (n=3q+1) für eine ganze Zahl (q), dann [n^2-1 = 9q^2+6q = 3 (3q^2+2q),] wobei (3q^2+2q) ist eine ganze Zahl.

Fall 2: Wenn (n=3q+2) für eine ganze Zahl (q), dann [n^2-1 = 9q^2+12q+3 = 3(3q^2+4q+1), ] wobei (3q^2+4q+1) eine ganze Zahl ist.

In beiden Fällen haben wir gezeigt, dass (n^2-1) ein Vielfaches von 3 ist.

praktische Übung (PageIndex{3}label{he:directpf-03})

Zeigen Sie, dass (n^3+n) für alle (ninmathbb{N}) gerade ist.

praktische Übung (PageIndex{4}label{he:directpf-04})

Zeigen Sie, dass (n(n+1)(2n+1)) für alle (ninmathbb{N}) durch 6 teilbar ist.

Hinweis

Eine der beiden ganzen Zahlen (n) und (n+1) muss gerade sein, wir wissen also bereits, dass das Produkt (n(n+1)(2n+1)) ein Vielfaches von 2 ist. Es bleibt also zu zeigen, dass es auch ein Vielfaches von 3 ist. Betrachten Sie drei Fälle: (n=3q), (n=3q+1) oder (n=3q+2), wobei (q) ist eine ganze Zahl.

Wir schließen unsere Diskussion mit zwei häufigen Irrtümern (logischen Fehlern). Der erste ist der Irrtum der Umkehrung oder der Verleugnung des Vorangegangenen: [egin{array}{cl} & p Rightarrow q & overline{p} hline herefore & overline{q} end{array}] Damit ist die Umkehrung (overline{p}Rightarrow overline{q}), von dem wir wissen, dass es . ist nicht logisch äquivalent zur ursprünglichen Implikation. Daher ist dies eine falsche Methode, um eine Implikation zu beweisen.

.

Beispiel (PageIndex{8}label{zB:directpf-08})

Ist das folgende Argument

Wörterbücher sind wertvoll.
Dieses Buch ist kein Wörterbuch.
(deshalb)Dieses Buch ist nicht wertvoll.

gültig? Warum?

Ein weiterer häufiger Fehler ist bekannt als der Irrtum des Umgekehrten oder der Bestätigung der Konsequenz: [egin{array}{cl} & p Rightarrow q & q hline herefore & p end{array}] Damit ist nur die Umkehrung (qRightarrow p) bewiesen. Da die Umkehrung nicht logisch äquivalent zur ursprünglichen Implikation, ist dies eine falsche Art, eine Implikation zu beweisen.

.

Beispiel (PageIndex{9}label{zB:directpf-09})

Ist dieses Argument

Keine Medizin schmeckt gut.
Dieses Getränk schmeckt schlecht.
(deshalb)Das muss Medizin sein.

ein gültiges Argument? Warum?

  • Um eine Implikation (pRightarrow q) zu beweisen, nehmen Sie zunächst an, dass (p) wahr ist. Verwenden Sie die Informationen aus dieser Annahme zusammen mit anderen bekannten Ergebnissen, um zu zeigen, dass auch (q) wahr sein muss.
  • Bei Bedarf können Sie (p) in mehrere Fälle (p_1, p_2, ldots,) zerlegen und jede Implikation (p_iRightarrow q) (getrennt, einzeln) wie oben angegeben beweisen .
  • Achten Sie darauf, die mathematischen Ausdrücke klar zu schreiben. Verwenden Sie unterschiedliche Variablen, wenn die beteiligten Mengen möglicherweise nicht gleich sind.
  • Notieren Sie sich zunächst die gegebenen Informationen, die Annahme und was Sie beweisen möchten.
  • Verwenden Sie im nächsten Schritt ggf. die Definition und schreiben Sie die Informationen in mathematische Notationen um. Der Punkt ist, versuchen Sie, einige mathematische Gleichungen oder logische Aussagen zu erhalten, die wir manipulieren können.

.

Übung (PageIndex{1}label{ex:directpf-01})

Beweisen oder widerlegen Sie: (2^n+1) ist eine Primzahl für alle nichtnegativen ganzen Zahlen (n).

Übung (PageIndex{2}label{ex:directpf-02})

Zeigen Sie, dass für jede ganze Zahl (ngeq5) die ganzen Zahlen (n), (n+2) und (n+4) nicht alle Primzahlen sein können.

Hinweis

Wenn (n) ein Vielfaches von 3 ist, dann ist (n) selbst zusammengesetzt und der Beweis ist vollständig. Wir können also annehmen, dass (n) nicht durch 3 teilbar ist. Wie würde dann (n) aussehen, und was können Sie über (n+2) und (n+4) sagen?

Übung (PageIndex{3}label{ex:directpf-03})

Sei (n) eine ganze Zahl.

  1. Zeigen Sie, dass, wenn (n) ungerade ist, auch (n^2) ungerade ist.
  2. Zeigen Sie, dass, wenn (n) ungerade ist, auch (n^4) ungerade ist.
  3. EIN logische Folge ist ein Ergebnis, das leicht aus einem anderen Ergebnis abgeleitet werden kann. Leiten Sie (b) als Korollar von (a) her.
  4. Zeigen Sie, dass, wenn (m) und (n) ungerade sind, auch (mn) ungerade ist.
  5. Zeigen Sie, dass, wenn (m) gerade und (n) ungerade ist, (mn) gerade ist.

Übung (PageIndex{4}label{ex:directpf-04})

Beweisen Sie, dass für jede ungerade ganze Zahl (n) die Zahl (2n^2+5n+4) ungerade sein muss.

Übung (PageIndex{5}label{ex:directpf-05})

Sei (n) eine ganze Zahl.

  1. Beweisen Sie, dass, wenn (n) ein Vielfaches von 3 ist, auch (n^2) ein Vielfaches von 3 ist.
  2. Beweisen Sie, dass, wenn (n) ein Vielfaches von 7 ist, auch (n^3) ein Vielfaches von 7 ist.

Übung (PageIndex{6}label{ex:directpf-06})

Beweisen Sie, dass, wenn (n) kein Vielfaches von 3 ist, dann auch (n^2) kein Vielfaches von 3 ist.

Hinweis

Wenn (n) kein Vielfaches von 3 ist, dann gilt (n=3q+1) oder (n=3q+2) für etwas ganze Zahl (q).

Übung (PageIndex{7}label{ex:directpf-07})

Nutze die Fakten, die

(sqrt{2}) ist irrational und

wenn (x) irrational ist, dann ist auch (sqrt{x}) irrational,

um zu beweisen, dass (sqrt[8]{2}) irrational ist.

Übung (PageIndex{8}label{ex:directpf-08})

Denken Sie daran, dass wir ein Gegenbeispiel verwenden können, um eine Implikation zu widerlegen. Zeigen Sie, dass die folgenden Behauptungen falsch sind:

  1. Wenn (x) und (y) ganze Zahlen sind, so dass (x^2>y^2), dann gilt (x>y).
  2. Wenn (n) eine positive ganze Zahl ist, dann ist (n^2+n+41) eine Primzahl.

Übung (PageIndex{9}label{ex:directpf-09})

Erklären Sie, warum die folgenden Argumente ungültig sind:

  1. Sei (n) eine ganze Zahl. Wenn (n^2) ungerade ist, dann ist (n) ungerade. Daher muss (n) ungerade sein.
  2. Sei (n) eine ganze Zahl. Wenn (n) gerade ist, dann ist auch (n^2) gerade. Als ganze Zahl könnte (n^2) ungerade sein. Daher kann (n) nicht gerade sein. Daher muss (n) ungerade sein.

Übung (PageIndex{10}label{ex:directpf-10})

Analysieren Sie die folgende Argumentation:

  1. Sei (S) eine Menge reeller Zahlen. Wenn (x) in (S) liegt, dann ist (x^2) in (S). Aber (x) ist nicht in (S), also ist (x^2) nicht in (S).
  2. Sei (S) eine Menge reeller Zahlen. Wenn also (x^2) in (S) liegt, dann ist (x) in (S).

Um Ausdrücke zu manipulieren, können wir das Gesetz der Indizes verwenden. Diese Gesetze gelten nur für Ausdrücke mit dem gleiche Basis, 3 4 und 3 2 können beispielsweise mit dem Gesetz der Indizes manipuliert werden, aber wir können das Gesetz der Indizes nicht verwenden, um die Ausdrücke 3 5 und 5 7 zu manipulieren, da ihre Basis unterschiedlich ist (ihre Basis sind 3 bzw. 5).

Regel 1:

Jede Zahl außer 0, deren Index 0 ist, ist immer gleich 1, unabhängig vom Wert der Basis.

Regel 2:

Regel 3:

Um Ausdrücke mit derselben Basis zu multiplizieren, kopieren Sie die Basis und fügen Sie die Indizes hinzu.

Vereinfachen : (Hinweis: 5 = 5 1 )

Regel 4:

Um Ausdrücke mit derselben Basis zu teilen, kopieren Sie die Basis und subtrahieren Sie die Indizes.

Vereinfachen :

Regel 5:

Um einen Ausdruck auf den n-ten Index zu erhöhen, kopieren Sie die Basis und multiplizieren Sie die Indizes.

Regel 6:

Sie haben nun die wichtigen Regeln des Gesetzes der Indizes kennengelernt und sind bereit, einige Beispiele auszuprobieren!

Auf der nächsten Seite finden Sie die erste von vielen Fragen und vollständig ausgearbeitete Lösungen für Sie zum Üben.


3.2: Direkte Beweise - Mathematik

Letzte Woche haben wir einen effizienten Weg gefunden, D(n), die Anzahl der Teiler von n, zu berechnen. Diese Woche wenden wir uns dem Problem zu, einen besseren Weg zu finden, um die Summe S(n) aller Teiler von n zu berechnen.

Angenommen, wir möchten die Summe der Teiler von n = 144 ermitteln.

Wie letzte Woche beginnen wir mit der Bildung der Primfaktorzerlegung von 144:

Jeder Teiler von 144 muss ein Produkt aus einer Anzahl von 2en (zwischen 0 und 4) und einer Anzahl von 3en (zwischen 0 und 2) sein. Hier also eine Tabelle mit den Möglichkeiten:

Beachten Sie in der Tabelle, dass die Summe der ersten Spalte 1+3+9=13 ist. Und die anderen Spaltensummen sind 13. 2, dann 13. 4 und so weiter.

Die Summe ist also das Produkt von 1 + 3 + 9 = 13 mit 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

Beachten Sie, dass wir die wahre Gleichung schreiben könnten:

S(144) = S(2 4 . 3 2 ) = S(2 4 ). S(3 2 ).

Im Allgemeinen, wenn Sie die Primfaktorzerlegung der Zahl n haben, dann nehmen Sie zur Berechnung der Summe ihrer Teiler jeden verschiedenen Primfaktor und addieren alle seine Potenzen bis zu derjenigen, die in der Primfaktorzerlegung erscheint, und multiplizieren dann alle diese Summen zusammen!

Beispiel: Bestimme S(1800).

Lösung: Die Primfaktorzerlegung von 1800 ist 2 3 . 3 2 . 5 2 . Und

S(2 3 ) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15
S(3 2 ) = 1 + 3 + 9 = 13
S(5 2 ) = 1 + 5 + 25 = 31


3.2: Direkte Beweise - Mathematik

Beispiele für Beweis durch Widerspruch Contra

Beispiel 1: Beweisen Sie die folgende Aussage durch Widerspruch.

Es gibt keine größte gerade ganze Zahl.

Angenommen, nicht. [Wir nehmen die Negation des Satzes und nehmen an, dass er wahr ist.] Angenommen, es gibt die größte gerade ganze Zahl N. [Wir müssen einen Widerspruch ableiten.] Dann

Für jede gerade ganze Zahl n ist N ≥ n.

Nehmen wir nun an, M = N + 2. Dann ist M eine gerade ganze Zahl. [Weil es eine Summe von geraden ganzen Zahlen ist.] Auch M > N [da M = N + 2]. Daher ist M eine ganze Zahl, die größer als die größte ganze Zahl ist. Dies widerspricht der Annahme, dass N ≥ n für jede gerade ganze Zahl n ist. [Daher ist die Vermutung falsch und die Aussage wahr.]

Und damit ist der Beweis vervollständigt.

Beispiel 2: Beweisen Sie die folgende Aussage durch Widerspruch.

Der Unterschied zwischen jeder rationalen Zahl und jeder irrationalen Zahl ist irrational.

Angenommen, nicht. [Wir nehmen die Negation des Satzes und nehmen an, dass er wahr ist.] Angenommen ∃ eine rationale Zahl x und eine irrationale Zahl y, so dass (x − y) rational ist. [Wir müssen einen Widerspruch herleiten.] Nach Definition von rational haben wir

x = a/b für einige ganze Zahlen a und b mit b ≠ 0.

und x − y = c/d für einige ganze Zahlen c und d mit d ≠ 0.

Aber (ad − bc) sind ganze Zahlen [weil a, b, c, d alle ganze Zahlen sind und Produkte und Differenzen von ganzen Zahlen ganze Zahlen] und bd ≠ 0 [durch Null-Produkteigenschaft]. Daher ist nach Definition von rational y rational. Dies widerspricht der Annahme, dass y rational ist. [Daher ist die Annahme falsch und der Satz wahr.]

Und damit ist der Beweis vervollständigt.

Beispiel 3: Beweisen Sie die folgende Aussage durch Widerspruch:

Das Negative einer irrationalen Zahl ist irrational.

Übersetzen Sie zuerst die gegebene Aussage von der informellen in die formelle Sprache:

∀ reelle Zahlen x, wenn x irrational ist, dann ist −x irrational.

Angenommen, nicht. [wir nehmen die Negation der gegebenen Aussage und nehmen sie für wahr.] Nehmen wir im Gegenteil an, dass

∃ irrationale Zahl x, so dass −x rational ist.

[Wir müssen den Widerspruch herleiten.] Nach Definition von rational haben wir

−x = a/b für einige ganze Zahlen a und b mit b ≠ 0.

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 𕒵, ergibt

Aber −a und b sind ganze Zahlen [da a und b ganze Zahlen sind] und b ≠ 0 [durch null Produkteigenschaft.] Also ist x ein Verhältnis der beiden ganzen Zahlen −a und b mit b ≠ 0 Also ist per Definition von Ration x rational, was ein Widerspruch ist. [Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch ist und somit die gegebene Aussage wahr ist.]

Beispiel 4: Beweisen Sie die folgende Aussage durch Widerspruch:

Für alle ganzen Zahlen n ist n ungerade, wenn n 2 ungerade ist.

Angenommen, nicht. [Wir nehmen die Negation der gegebenen Aussage und nehmen an, dass sie wahr ist.] Nehmen wir im Gegenteil an, dass ∃ eine ganze Zahl n mit n 2 ungerade und n gerade ist. [Wir müssen den Widerspruch herleiten.] Nach Definition von gerade haben wir we

Durch Substitution haben wir also

Nun ist (2.k.k) eine ganze Zahl, weil Produkte von ganzen Zahlen ganze Zahlen sind und 2 und k ganze Zahlen sind. Daher,

und so ist per Definition von n 2 gerade, gerade.

Die Schlussfolgerung ist also, da n gerade ist, n 2 , das das Produkt von n mit sich selbst ist, ist auch gerade. Dies widerspricht der Annahme, dass n 2 ungerade ist. [Daher ist die Annahme falsch und die Aussage wahr.]


Das Stacks-Projekt

In diesem Abschnitt beweisen wir die grundlegende Tatsache, dass die höheren direkten Bilder einer kohärenten Garbe unter einem richtigen Morphismus kohärent sind.

Satz 30.19.1 . Sei $S$ ein lokal noethersches Schema. Sei $f : X o S$ ein echter Morphismus. Sei $mathcal$ ein kohärentes $mathcal . sein_ X$-Modul. Dann $R^ if_*mathcal$ ist ein kohärentes $mathcal_ S$-Modul für alle $i geq 0$.

Beweis. Da das Problem lokal auf $S$ auftritt, können wir annehmen, dass $S$ ein Noethersches Schema ist. Da ein echter Morphismus endlichen Typs ist, sehen wir, dass auch in diesem Fall $X$ ein Noethersches Schema ist. Betrachten Sie die Eigenschaft $mathcal

$ von zusammenhängenden Garben auf $X$ definiert durch die Regel

Wir werden das Ergebnis von Lemma 30.12.6 verwenden, um zu beweisen, dass $mathcal

$ gilt für jede zusammenhängende Garbe auf $X$.

eine kurze exakte Folge zusammenhängender Garben auf $X$ sein. Betrachten Sie die lange exakte Folge von höheren Direktbildern

[ R^

f_*mathcal_3 o R^pf_*mathcal_1 o R^pf_*mathcal_2 o R^pf_*mathcal_3 ach R^

f_*mathcal_1 ]

Dann ist klar, dass wenn 2 aus 3 der Garben $mathcal_ i$ hat die Eigenschaft $mathcal

$, dann sind die höheren Direktbilder des dritten in genau diesem Komplex zwischen zwei kohärenten Garben eingebettet. Daher sind diese höheren Direktbilder auch nach Lemma 30.9.2 und 30.9.3 kohärent. Also Eigenschaft $mathcal

$ gilt auch für das dritte.

Sei $Z subset X$ ein ganzzahliges abgeschlossenes Teilschema. Wir müssen eine zusammenhängende Garbe $mathcal . finden$ auf $X$ dessen Träger in $Z$ enthalten ist, dessen Stiel am generischen Punkt $xi $ von $Z$ ein $1$-dimensionaler Vektorraum über $kappa (xi )$ ist, so dass $mathcal

$ gilt für $mathcal$. Bezeichne $g = f|_ Z : Z o S$ die Einschränkung von $f$. Angenommen, wir finden eine kohärente Garbe $mathcal$ auf $Z$ so dass (a) $mathcal_xi $ ist ein $1$-dimensionaler Vektorraum über $kappa (xi)$, (b) $R^ pg_*mathcal = 0$ für $p > 0$ und (c) $g_*mathcal$ ist kohärent. Dann können wir $mathcal = (Z zu X)_*mathcal$. Da $Z o X$ eine geschlossene Immersion ist, sehen wir, dass $(Z o X)_*mathcal$ ist kohärent auf $X$ und $R^ p(Z o X)_*mathcal = 0$ für $p > 0$ (Lemma 30.9.9). Somit haben wir nach der relativen Leray-Spektralfolge (Kohomologie, Lemma 20.13.8) $R^pf_*mathcal = R^ pg_*mathcal = 0$ für $p > 0$ und $f_*mathcal = g_*mathcal$ ist kohärent. Endlich $mathcal_xi = ((Z ach X)_*mathcal)_xi = mathcal_xi $, das die Bedingung des Stiels bei $xi $ verifiziert. Daher hängt alles davon ab, eine kohärente Garbe $mathcal zu finden$ auf $Z$ mit den Eigenschaften (a), (b) und (c).

Wir können Chows Lemma 30.18.1 auf den Morphismus $Z o S$ anwenden. Damit erhalten wir ein Diagramm

wie in der Aussage von Chows Lemma. Außerdem sei $U subset Z$ das dichte offene Unterschema, so dass $pi ^<-1>(U) o U$ ein Isomorphismus ist. Durch die Diskussion in Bemerkung 30.18.2 sehen wir, dass $i' = (i, pi ) : Z' o mathbf

^ n_ Z$ ist eine geschlossene Immersion. Daher

ist $g'$-relativ reichlich und $pi $-relativ reichlich (zB von Morphisms, Lemma 29.39.7). Somit existiert nach Lemma 30.16.2 ein $n geq 0$ mit sowohl $R^ ppi _*mathcal^ = 0$ für alle $p > 0$ und $R^ p(g')_*mathcal^ = 0$ für alle $p > 0$. Setze $mathcal = pi_*mathcal^$. Eigenschaft (a) gilt, weil $pi _*mathcal^|_ U$ ist eine invertierbare Garbe (da $pi ^<-1>(U) o U$ ein Isomorphismus ist). Die Eigenschaften (b) und (c) gelten, weil nach der relativen Leray-Spektralfolge (Kohomologie, Lemma 20.13.8) gilt

und nach Wahl von $n$ die einzigen Terme ungleich Null in $E_2^$ sind diejenigen mit $q = 0$ und die einzigen von Null verschiedenen Terme von $R^

(g')_*mathcal^$ sind solche mit $p = q = 0$. Dies impliziert, dass $R^ pg_*mathcal = 0$ für $p > 0$ und dass $g_*mathcal = (g')_*mathcal^$. Wenn wir schließlich das vorherige Lemma 30.16.3 anwenden, sehen wir, dass $g_*mathcal = (g')_*mathcal^$ ist wie gewünscht kohärent. $square$

Lemma 30.19.2 . Sei $S = mathop>(A)$ mit $A$ ein Noetherscher Ring. Sei $f : X o S$ ein echter Morphismus. Sei $mathcal$ ein kohärentes $mathcal . sein_ X$-Modul. Dann ist $H^ i(X, mathcal)$ ist endlicher $A$-Modul für alle $i geq 0$.

Beweis. Dies ist nur der affine Fall von Satz 30.19.1. Nach Lemmas 30.4.5 und 30.4.6 wissen wir nämlich, dass $R^ if_*mathcal$ ist die quasi-kohärente Garbe zum $A$-Modul $H^ i(X, mathcal)$ und nach Lemma 30.9.1 ist dies genau dann eine kohärente Garbe, wenn $H^ i(X, mathcal)$ ist ein $A$-Modul endlichen Typs. $square$

Lemma 30.19.3 . Sei $A$ ein noetherscher Ring. Sei $B$ eine endlich erzeugte gradierte $A$-Algebra. Sei $f : X o mathop>(A)$ ein echter Morphismus sein. Setze $mathcal = f^*widetilde B$. Sei $mathcal$ ein quasi-kohärentes gradiertes $mathcal . sein$-Modul vom endlichen Typ.

Für jedes $p geq 0$ ist der benotete $B$-Modul $H^ p(X, mathcal)$ ist ein endlicher $B$-Modul.

Wenn $mathcal$ ist ein reichliches invertierbares $mathcal_ X$-Modul, dann existiert eine ganze Zahl $d_0$ mit $H^ p(X, mathcal otimes mathcal^) = 0$ für alle $p > 0$ und $d geq d_0$.

Beweis. Um dies zu beweisen betrachten wir das Faserproduktdiagramm

Beachten Sie, dass $f'$ ein echter Morphismus ist, siehe Morphismen, Lemma 29.41.5. Außerdem ist $B$ eine endlich erzeugte $A$-Algebra und damit Noethersch (Algebra, Lemma 10.31.1). Dies impliziert, dass $X'$ ein noethersches Schema ist (Morphismen, Lemma 29.15.6). Beachten Sie, dass $X'$ das relative Spektrum des quasi-kohärenten $mathcal_ X$-Algebra $mathcal$ nach Konstruktionen, Lemma 27.4.6. Da $mathcal$ ist ein quasi-kohärentes $mathcal$-Modul sehen wir, dass es ein eindeutiges quasi-kohärentes $mathcal_$-Modul $mathcal'$ mit $pi _*mathcal' = mathcal$, siehe Morphismen, Lemma 29.11.6 Da $mathcal$ ist endlicher Typ als $mathcal$-Modul schließen wir, dass $mathcal'$ ist ein endlicher Typ $mathcal_$-Modul (Details weggelassen). Mit anderen Worten, $mathcal'$ ist ein kohärentes $mathcal_$-Modul (Lemma 30.9.1). Da der Morphismus $pi : X' o X$ affin ist, gilt

nach Lemma 30.2.4. Somit folgt (1) aus Lemma 30.19.2. Gegeben $mathcal$ wie in (2) setzen wir $mathcal' = pi^*mathcal$. Beachten Sie, dass $mathcal'$ ist reichlich auf $X'$ von Morphisms, Lemma 29.37.7. Nach der Projektionsformel (Kohomologie, Lemma 20.50.2) gilt $pi_*(mathcal' otimes mathcal') = mathcal otimes mathcal$. Somit folgt Teil (2) aus der gleichen Argumentation wie oben aus Lemma 30.16.2. $square$


Richtungswinkel von Vektoren

Abbildung 1 zeigt einen Einheitsvektor u, der einen Winkel θ mit der positiven x-Achse bildet. Der Winkel θ heißt Richtungswinkel von Vektor u.

Der Endpunkt des Vektors u liegt auf einem Einheitskreis und somit du kann bezeichnet werden durch:

Jeder Vektor, der einen Winkel θ mit der positiven x-Achse bildet, kann als Einheitsvektor mal der Größe des Vektors geschrieben werden.

Daher kann der Richtungswinkel von θ eines beliebigen Vektors wie folgt berechnet werden:

Schauen wir uns einige Beispiele an.

Schritt 1: Identifizieren Sie die Werte für a und b und berechnen Sie θ.

Schritt 2: Bestimmen Sie den Quadranten, in dem der Vektor liegt.

Da der Vektorterminus (-2, 9) ist, fällt er in Quadrant II und damit auch θ.

Schritt 3: Nehmen Sie alle erforderlichen Anpassungen vor, um den Richtungswinkel θ von der positiven x-Achse zu finden.

Da der Referenzwinkel 78° beträgt, beträgt der Richtungswinkel von der positiven x-Achse 180° - 78° = 102°.

Schritt 1: Vereinfachen Sie den Vektor v durch Skalarmultiplikation.

k v = k v 1 , v 2 = k v 1 , k v 2 → S c a l a r   M u l t i p l i k a t i o n

v = 3 ( cos 60 ° i + sin 60 ° j )

v = 3 · cos 60 ° i + 3   · sin 60 ° j

Schritt 2: Identifizieren Sie die Werte für a und b und berechnen Sie θ.

tan θ = b a = 3 3 2 3 2 = 3 3 2   · 2 3 = 3

Schritt 3: Bestimmen Sie, in welchem ​​Quadranten der Vektor liegt.

Da der Vektorterminus ( 3 2 ,   3 3 2 ) = ( 1,5 , 2,6 ) ist und beide Komponenten positiv sind, fällt der Vektor in den Quadranten I und damit auch θ.

Schritt 4: Nehmen Sie alle erforderlichen Anpassungen vor, um den Richtungswinkel θ von der positiven x-Achse zu finden.

Da der Referenzwinkel 60° beträgt, beträgt der Richtungswinkel von der positiven x-Achse 60° - 0° = 60°.

Um darauf zu verlinken Richtungswinkel von Vektoren Seite, kopieren Sie den folgenden Code auf Ihre Website:


3.2: Direkte Beweise - Mathematik

Der Beweis jeder dieser Funktionen folgt aus den Definitionen der trigonometrischen Funktionen, Thema 15.

Nachweis der wechselseitigen Beziehungen

Daher ist sin &theta der Kehrwert von csc &theta :

wobei 1-über eine beliebige Größe das Symbol für ihre gegenseitige Lektion 5 der Algebra ist. Ebenso für die restlichen Funktionen.

Nachweis der tangentialen und kotangenten Identitäten

tan &theta = Sünde &theta
weil &theta
und Kinderbett &theta = weil &theta
Sünde &theta
.

Wenn man also Zähler und Nenner durch r teilt,

braun & theta & = j/r
x/r
= Sünde &theta
weil &theta
.
Kinderbett &theta = 1
braun & theta &
= weil &theta
Sünde &theta
.

Das sind die beiden Identitäten.

Beweis der pythagoräischen Identitäten

ein) Sünde 2 &theta + cos 2 &theta = 1
b) 1 + Bräune 2 &theta = sek 2 &theta
c) 1 + Kinderbett 2 &theta = csc 2 &theta

Beweis 1. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

Wenn man also beide Seiten durch r 2 teilt,

x 2
r 2
+ y 2
r 2
= r 2
r 2
= 1.

Abgesehen von der Reihenfolge der Begriffe ist dies die erste pythagoräische Identität, a).

Um b abzuleiten, dividiere Linie (1) durch x 2 um c abzuleiten), dividiere durch y 2 .

Oder wir können sowohl b) als auch c) aus a) ableiten, indem wir zuerst durch cos 2 &thgr; und dann durch sin 2 &thgr; dividieren. Auf der Divisionslinie 2) durch cos 2 &theta haben wir


Beweis durch Widerspruch

Es ist manchmal schwierig (oder unmöglich), mit direkten Methoden zu beweisen, dass eine Vermutung wahr ist. Um zum Beispiel zu zeigen, dass die Quadratwurzel aus zwei irrational ist, können wir die unendliche Zahl rationaler Zahlen, deren Quadrat zwei sein könnte, nicht direkt testen und verwerfen. Stattdessen zeigen wir, dass die Annahme, dass Wurzel zwei rational ist, zu einem Widerspruch führt. Die Schritte für einen Widerspruchsbeweis (auch indirekter Beweis) sind:

  1. Nehmen Sie das Gegenteil Ihrer Schlussfolgerung an.
    1. Für “die Primzahlen sind unendlich,” angenommen, dass die Primzahlen eine endliche Menge von Größe sind nein.
    2. Um die Aussage zu beweisen „wenn ein Dreieck skalenförmig ist, dann sind keine zwei seiner Winkel kongruent“, nehmen wir an, dass mindestens zwei Winkel kongruent sind.
    1. dass es eine Primzahl gibt, die nicht in der Anfangsmenge von gezählt wird nein Primzahlen.
    2. dass das Dreieck nicht maßstabsgetreu sein kann.

    Warum ist diese Methode sinnvoll? Eine Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, zu bemerken, dass Sie einen direkten Beweis für das Kontrapositiv Ihrer ursprünglichen Aussage erstellen (Sie beweisen, dass wenn nicht B, dann nicht EIN). Da kontrapositive Aussagen immer logisch äquivalent sind, folgt dann das Original.

    Beachten Sie, dass der Widerspruch uns zwingt, unsere Annahme abzulehnen, weil unsere anderen Schritte, die auf dieser Annahme basieren, logisch und gerechtfertigt sind. Der einzige "Fehler", den wir hätten machen können, war die Annahme selbst. Ein indirekter Beweis stellt fest, dass die entgegengesetzte Schlussfolgerung nicht mit der Prämisse übereinstimmt und dass daher die ursprüngliche Schlussfolgerung wahr sein muss.

    Gegensätze

    Mit den Republikanern an der Macht frisst Mann Mann. Bei den Demokraten ist es genau umgekehrt. — Autoaufkleber.

    Manchmal kann es eine Herausforderung sein, festzustellen, was das Gegenteil einer Schlussfolgerung ist. Das Gegenteil von “alles X sind Ja” ist nicht “alles X sind nicht Ja,” aber “zumindest einer X ist nicht Ja.” Ebenso müssen wir bei einer zusammengesetzten Schlussfolgerung vorsichtig sein. Betrachten Sie diese beiden Beispiele:

    Die ursprüngliche Vermutung Das Gegenteil des Fazits
    Wenn ich und nein sind ganze Zahlen und mn ist dann seltsam ich ist ungerade und nein ist ungerade. ich ist eben oder nein ist eben
    Wenn ich + nein ist irrational, dann ich ist irrational oder nein ist irrational. ich ist rational und nein ist rational

    Ressourcen

    Siehe Dreieck mit eingeschränkter Winkelsumme für ein Übungsproblem und Beweis durch Widerspruch Klassenaktivität für einen Unterrichtsplan, der den Beweis durch Widerspruch einführt.

    Übersetzungen mathematischer Formeln für die Webdarstellung wurden von tex4ht erstellt.


    3.2: Direkte Beweise - Mathematik

    Dieser Aufsatz wurde von einem Kurs inspiriert, den ich dieses Quartal belege. Die Klasse ist die Geschichte der Mathematik. In dieser Klasse lernen wir, wie man die Geschichte der Mathematik in den Mathematikunterricht einbezieht. Eine Möglichkeit, die Geschichte der Mathematik in Ihren Unterricht einzubeziehen, besteht darin, alte mathematische Probleme in Ihren Unterricht zu integrieren. Eine andere Möglichkeit besteht darin, ein neues Thema mit etwas Geschichte des Themas einzuführen. Hoffentlich gibt Ihnen dieser Aufsatz einige Ideen, wie Sie die Geschichte des Satzes des Pythagoras in das Lehren und Lernen einbeziehen können.

    Wir haben verschiedene Themen diskutiert, die in alten Zivilisationen entwickelt wurden. Der Satz des Pythagoras ist eines dieser Themen. Dieser Satz ist einer der frühesten bekannten Sätze für alte Zivilisationen. Es wurde nach Pythagoras, einem griechischen Mathematiker und Philosophen, benannt. Das Theorem trägt seinen Namen, obwohl wir Beweise dafür haben, dass die Babylonier diese Beziehung vor etwa 1000 Jahren kannten. Plimpton 322 , eine babylonische mathematische Tafel aus dem Jahr 1900 v. Chr., enthält eine Tabelle pythagoräischer Tripel. Der Chou-pei, ein alter chinesischer Text, liefert uns auch den Beweis, dass die Chinesen den Satz des Pythagoras viele Jahre vor der Entdeckung und dem Beweis durch Pythagoras oder einen seiner Kollegen in der pythagoräischen Gesellschaft kannten. Aus diesem Grund ist der Satz nach Pythagoras benannt.

    Pythagoras lebte im sechsten oder fünften Jahrhundert v. Er gründete die Pythagoräische Schule in Crotona. Diese Schule war eine Akademie für das Studium der Mathematik, Philosophie und Naturwissenschaften. Die Pythagoräische Schule war mehr als eine Schule, sie war „eine eng verbundene Bruderschaft mit geheimen Riten und Bräuchen“ (Eves 75). Aus diesem Grund wurde die Schule von demokratischen Kräften Italiens zerstört. Obwohl die Bruderschaft zerstreut war, bestand sie noch zwei Jahrhunderte weiter. Pythagoras und seinen Kollegen werden viele Beiträge zur Mathematik zugeschrieben.

    Im Folgenden wird untersucht, wie der Satz des Pythagoras im Laufe der Jahre bewiesen wurde.

    "Das Quadrat auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate auf den beiden Beinen" (Eves 80-81).


    Dieser Satz spricht von der Fläche der Quadrate, die auf jeder Seite des rechtwinkligen Dreiecks gebildet werden.

    Dementsprechend erhalten wir folgende Flächen für die Quadrate, wobei die grünen und blauen Quadrate auf den Schenkeln des rechtwinkligen Dreiecks und das rote Quadrat auf der Hypotenuse liegen.

    Fläche des grünen Quadrats ist
    Fläche des blauen Quadrats ist
    Fläche des roten Quadrats ist

    Aus unserem Theorem ergibt sich folgender Zusammenhang:

    Fläche des grünen Quadrats + Fläche des blauen Quadrats = Fläche des roten Quadrats oder

    Wie ich bereits sagte, wurde dieser Satz nach Pythagoras benannt, weil er es als erster bewiesen hat. Wahrscheinlich hat er beim Beweis dieses Satzes einen Zerlegungs-Beweis ähnlich dem folgenden verwendet.

    „A, b, c bezeichnen die Beine und die Hypotenuse des gegebenen rechtwinkligen Dreiecks und betrachten die beiden Quadrate in der nebenstehenden Abbildung, die jeweils a+b als Seite haben. The first square is dissected into six pieces-namely, the two squares on the legs and four right triangles congruent to the given triangle. The second square is dissected into five pieces-namely, the square on the hypotenuse and four right triangles congruent to the given triangle. By subtracting equals from equals, it now follows that the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the legs" (Eves 81).

    Consider the following figure.

    The area of the first square is given by (a+b)^2 or 4(1/2ab)+ a^2 + b^2.
    The area of the second square is given by (a+b)^2 or 4(1/2ab) + c^2.
    Since the squares have equal areas we can set them equal to another and subtract equals. The case (a+b)^2=(a+b)^2 is not interesting. Let's do the other case.
    4(1/2ab) + a^2 + b^2 = 4(1/2ab)+ c^2
    Subtracting equals from both sides we have

    concluding Pythagoras' proof.
    Over the years there have been many mathematicians and non-mathematicians to give various proofs of the Pythagorean Theorem. Following are proofs from Bhaskara and one of our former presidents, President James Garfield. I have chosen these proofs because any of them would be appropriate to use in any classroom.

    Bhaskara's First Proof

    Bhaskara's proof is also a dissection proof. It is similar to the proof provided by Pythagoras. Bhaskara was born in India. He was one of the most important Hindu mathematicians of the second century AD. He used the following diagrams in proving the Pythagorean Theorem.

    In the above diagrams, the blue triangles are all congruent and the yellow squares are congruent. First we need to find the area of the big square two different ways. First let's find the area using the area formula for a square.
    Thus, A=c^2.
    Now, lets find the area by finding the area of each of the components and then sum the areas.
    Area of the blue triangles = 4(1/2)ab
    Area of the yellow square = (b-a)^2
    Area of the big square = 4(1/2)ab + (b-a)^2
    = 2ab + b^2 - 2ab + a^2
    = b^2 + a^2

    Since, the square has the same area no matter how you find it
    A = c^2 = a^2 + b^2,
    concluding the proof.


    Bhaskara's Second Proof of the Pythagorean Theorem

    In this proof, Bhaskara began with a right triangle and then he drew an altitude on the hypotenuse. From here, he used the properties of similarity to prove the theorem.

    Now prove that triangles ABC and CBE are similar.
    It follows from the AA postulate that triangle ABC is similar to triangle CBE, since angle B is congruent to angle B and angle C is congruent to angle E. Thus, since internal ratios are equal s/a=a/c.
    Multiplying both sides by ac we get
    sc=a^2.

    Now show that triangles ABC and ACE are similar.
    As before, it follows from the AA postulate that these two triangles are similar. Angle A is congruent to angle A and angle C is congruent to angle E. Thus, r/b=b/c. Multiplying both sides by bc we get
    rc=b^2.

    Now when we add the two results we get
    sc + rc = a^2 + b^2.
    c(s+r) = a^2 + b^2
    c^2 = a^2 + b^2,
    concluding the proof of the Pythagorean Theorem.

    Garfield's Proof

    The twentieth president of the United States gave the following proof to the Pythagorean Theorem. He discovered this proof five years before he become President. He hit upon this proof in 1876 during a mathematics discussion with some of the members of Congress. It was later published in the New England Journal of Education .. The proof depends on calculating the area of a right trapezoid two different ways. The first way is by using the area formula of a trapezoid and the second is by summing up the areas of the three right triangles that can be constructed in the trapezoid. He used the following trapezoid in developing his proof.

    First, we need to find the area of the trapezoid by using the area formula of the trapezoid.
    A=(1/2)h(b1+b2) area of a trapezoid

    In the above diagram, h=a+b, b1=a, and b2=b.

    Now, let's find the area of the trapezoid by summing the area of the three right triangles.
    The area of the yellow triangle is
    A=1/2(ba).

    The area of the red triangle is
    A=1/2(c^2).

    The area of the blue triangle is
    A= 1/2(ab).

    The sum of the area of the triangles is
    1/2(ba) + 1/2(c^2) + 1/2(ab) = 1/2(ba + c^2 + ab) = 1/2(2ab + c^2).

    Since, this area is equal to the area of the trapezoid we have the following relation:
    (1/2)(a^2 + 2ab + b^2) = (1/2)(2ab + c^2).


    Proving A Quadrilateral is a Parallelogram

    Take a look at this quadrilateral:

    [insert drawing of quadrilateral where opposite sides are very slightly not parallel and of equal length, so it is really hard to see if it is a parallelogram]

    Is this quadrilateral a parallelogram? Can you be certain? Only by mathematically proving that the shape has the identifying properties of a parallelogram can you be sure. You can prove this with either a two-column proof or a paragraph proof.

    Six Ways

    Here are the six ways to prove a quadrilateral is a parallelogram:

    1. Prove that opposite sides are congruent
    2. Prove that opposite angles are congruent
    3. Prove that opposite sides are parallel
    4. Prove that consecutive angles are supplementary (adding to 180°)
    5. Prove that an angle is supplementary to both its consecutive angles
    6. Prove that the quadrilateral's diagonals bisect each other

    Two-Column Proof

    We can use one of these ways in a two-column proof. Bear in mind that, to challenge you, most problems involving parallelograms and proofs will not give you all the information about the presented shape. Here, for example, you are given a quadrilateral and told that its opposite sides are congruent.

    [insert drawing of quadrilateral GOAT with sides GO &cong TA and TG &cong OA]

    • GO &cong TA and TG &cong OA (Given)
    • Construct segment TO Construct a diagonal
    • TO &cong TO Reflexive Property
    • △GOT &cong △ TOA Side-Side-Side Postulate: If three sides of one △
    • are congruent to three sides of another △, then the two △ are congruent
    • &angGTO &cong &ang TOA CPCTC: Corresponding parts of congruent △ are
    • &angGOT &cong &ang OTA congruent
    • GO ∥ TA and TG ∥ OA Converse of the Alternate Interior Angles

    Theorem: If a transversal cuts across two lines and the alternate interior angles are congruent, then the lines are parallel

    ▱ GOAT Definition of a parallelogram: A quadrilateral

    with two pairs of opposite sides parallel

    The two-column proof proved the quadrilateral is a parallelogram by proving opposite sides were parallel.

    Paragraph Proof

    You can also use the paragraph proof form for any of the six ways. Paragraph proofs are harder to write because you may skip a step or leave out an explanation for one of your statements. You may wish to work very slowly to avoid problems.

    Always start by making a drawing so you know exactly what you are saying about the quadrilateral as you prove it is a parallelogram.

    Here is a proof still using opposite sides parallel, but with a different set of given facts. You are given a quadrilateral with diagonals that are identified as bisecting each other.

    [insert drawing of quadrilateral FISH with diagonals HI and FS, but make quadrilateral clearly NOT a parallelogram show congruency marks on the two diagonals showing they are bisected]

    Given a quadrilateral FISH with bisecting diagonals FS and HI, we can also say that the angles created by the intersecting diagonals are congruent. They are congruent because they are vertical angles (opposite angles sharing a vertex point).

    Notice that we have two sides and an angle of both triangles inside the quadrilateral. So, we can use the Side-Angle-Side Congruence Theorem to declare the two triangles congruent.

    Corresponding parts of congruent triangles are congruent (CPCTC), so &angIFS and &ang HSF are congruent. Those two angles are alternate interior angles, and if they are congruent, then sides FI and SH are parallel.

    You can repeat the steps to prove FH and IS parallel, which means two pairs of opposite sides are parallel. Thus, you have a parallelogram.

    In both proofs, you may say that you already were given a fact that is one of the properties of parallelograms. That is true with both proofs, but in neither case was the given information mathematically proven. You began with the given and worked through the problem, but if your proof "fell apart," then the given may have been wrong.

    Since neither our two-column proof or paragraph proof "fell apart," we know the givens were true, and we know the quadrilaterals are parallelograms.


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