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4.E: Systeme unterschiedlicher Repräsentanten (Übungen) - Mathematik


Bsp. 4.1.1 Wie viele verschiedene Systeme verschiedener Repräsentanten gibt es für (A_1={1,2}), (A_2={2,3}), …, (A_n={n,1 })?

Bsp. 4.1.2 Wie viele verschiedene Repräsentantensysteme gibt es für die Mengen (A_i=[n]ackslash{i}), (i=1,2,ldots,n), (nge2)?

Bsp. 4.1.3 Angenommen, das Mengensystem (A_1,A_2,ldots,A_n) hat an sdr, und dass (xin A_i). Zeigen Sie, dass das Set-System ein . hat sdr enthält (x). Zeigen Sie, dass (x) nicht notwendigerweise gewählt werden kann, um (A_i) darzustellen.

Bsp. 4.1.4 Angenommen, das Mengensystem (A_1,A_2,ldots,A_n) erfüllt (|igcup_{j=1}^k A_{i_j}|ge k+1) für jedes (1le k< n) und ({i_1,i_2,ldots,i_k}subseteq [n]) und (xin A_i). Zeigen Sie, dass das Set-System ein . hat sdr wobei (x) (A_i) darstellt.

Bsp. 4.1.5 Ein (m imes n)-Schachbrett, bei dem (m) gerade ist und sowohl (m) als auch (n) mindestens 2 haben, hat ein weißes und ein schwarzes Quadrat entfernt. Zeigen Sie, dass das Brett mit Dominosteinen bedeckt werden kann.

Bsp. 4.2.1 Finden Sie die Größe eines Maximums sdr für $$A_1={a,b,c}, A_2={a,b,c,d,e}, A_3={a,b}, A_4={b,c} , A_5={a}, A_6={a,c,e}.$$ Begründen Sie Ihre Antwort.

Bsp. 4.3.1 Zeigen Sie, dass es nur ein reduziertes lateinisches Quadrat der Ordnung 3 gibt.

Bsp. 4.3.2 Stellen Sie sicher, dass die Isotopierelation eine Äquivalenzrelation ist.

Bsp. 4.3.3 Finden Sie alle 4 reduzierten lateinischen Quadrate der Ordnung 4. Zeigen Sie, dass es für die Ordnung 4 höchstens 2 Isotopieklassen gibt.

Bsp. 4.3.4 Zeigen Sie, dass das im Beispiel definierte zweite Mengensystem 4.3.7 hat eine sdr wie behauptet.

Bsp. 4.3.5 Zeigen Sie, dass es keine orthogonalen lateinischen Quadrate der Ordnung 2 gibt.

Bsp. 4.3.6 Finden Sie die beiden orthogonalen lateinischen Quadrate der Ordnung (5) wie im Satz . beschrieben 4.3.9. Zeigen Sie Ihre Antwort wie im Beispiel 4.3.10.

Bsp. 4.3.7 Beweisen Sie, dass es ausreicht, um orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung (2^m), (mge2) zu konstruieren, zwei orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung (4=2^2) und zwei der Ordnung ( 8=2^3).

Bsp. 4.3.8 Ein (n imes n) lateinisches Quadrat (A) ist symmetrisch wenn sie symmetrisch um die Hauptdiagonale ist, also (A_{i,j}=A_{j,i}) für alle (i) und (j). Es ist einfach, symmetrische lateinische Quadrate zu finden: jede Additionstabelle modulo (n) ist ein Beispiel, wie in example 4.3.6. Ein lateinisches Quadrat ist idempotent wenn jedes Symbol auf der Hauptdiagonale erscheint. Zeigen Sie, dass, wenn (A) sowohl symmetrisch als auch idempotent ist, (n) ungerade ist. Finden Sie ein (5 imes 5) symmetrisches, idempotentes lateinisches Quadrat.

Bsp. 4.3.9 Das transponieren (A^ op) eines lateinischen Quadrats (A) ist die Spiegelung von (A) an der Hauptdiagonalen, so dass (A_{i,j}^ op=A_{j,i }). Ein lateinisches Quadrat ist selbstorthogonal, wenn (A) orthogonal zu (A^ op) ist. Zeigen Sie, dass es kein selbstorthogonales lateinisches Quadrat der Ordnung 3 gibt. Finden Sie eines der Ordnung 4.

Bsp. 4.5.1 Finden Sie in diesem bipartiten Graphen ein maximales Matching und eine minimale Scheitelpunktüberdeckung mit dem Algorithmus dieses Abschnitts. Beginnen Sie mit dem in Rot angezeigten Matching. Kopien dieser Grafik sind in dieser pdf-Datei verfügbar.

Bsp. 4.5.2 Zeigen Sie direkt, dass die Größe einer minimalen Knotenüberdeckung in (G) der minimale Wert von (n-k+|igcup_{j=1}^k A_{i_j}|) ist, wie oben erwähnt.


Jack Edmonds, „Maximales Matching und ein Polyeder mit <0, 1>-Scheitelpunkten“,Journal of Research des National Bureau of Standards 69B (1965) 125–130.

Jack Edmonds, „Matroid-Partition, Math. der Entscheidungswissenschaften“,Vorlesungen der American Mathematical Society in Angewandter Mathematik 11 (1968) S. 335–345.

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J.B. Kruskal, Über den kürzesten aufspannenden Teilbaum eines Graphen und das Travelling-Salesman-Problem,Proceedings American Mathematical Society 7 (1956) 48–50.

P. Rosenstiehl, "L'arbre minimum d'un graphe",Proz. Int. Symp. zur Graphentheorie in Rom 1966 (Dunod/Gordon-Breach, 1967).

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H. Whitney, „Über die abstrakten Eigenschaften der linearen Abhängigkeit“,Amerikanische Zeitschrift für Mathematik 57 (1935) 509–533.


Kombinatorik im 20. Jahrhundert

Viele Faktoren haben dazu beigetragen, dass sich die kombinatorische Theorie seit 1920 beschleunigt hat. Einer davon war die Entwicklung der statistischen Theorie der Versuchsplanung durch die englischen Statistiker Ronald Fisher und Frank Yates, die viele Probleme der kombinatorischen Interesse haben die ursprünglich zu ihrer Lösung entwickelten Methoden Anwendung in Bereichen wie der Codierungstheorie gefunden. Die Informationstheorie, die um die Mitte des Jahrhunderts entstand, ist auch zu einer reichen Quelle kombinatorischer Probleme ganz neuen Typs geworden.

Eine weitere Quelle für die Wiederbelebung des Interesses an der Kombinatorik ist die Graphentheorie, deren Bedeutung darin liegt, dass Graphen als abstrakte Modelle für viele verschiedene Arten von Beziehungsschemata zwischen Objektmengen dienen können. Seine Anwendungen erstrecken sich auf Operations Research, Chemie, statistische Mechanik, theoretische Physik und sozioökonomische Probleme. Die Theorie der Verkehrsnetze kann als ein Kapitel der Theorie der gerichteten Graphen angesehen werden. Eines der anspruchsvollsten theoretischen Probleme, das Vierfarbenproblem (siehe unten), gehört zur Domäne der Graphentheorie. Es hat auch Anwendungen auf andere Zweige der Mathematik wie die Gruppentheorie.

Die Entwicklung der Computertechnologie in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts ist eine Hauptursache für das Interesse an endlicher Mathematik im Allgemeinen und der kombinatorischen Theorie im Besonderen. Kombinatorische Probleme treten nicht nur bei der numerischen Analyse auf, sondern auch beim Entwurf von Computersystemen und bei der Anwendung von Computern auf Probleme wie die der Informationsspeicherung und -wiedergewinnung.

Die statistische Mechanik ist eine der ältesten und produktivsten Quellen kombinatorischer Probleme. Viele wichtige kombinatorische Arbeiten wurden seit Mitte des 20. Jahrhunderts von angewandten Mathematikern und Physikern geleistet – zum Beispiel die Arbeit an Ising-Modellen (siehe unten Das Ising-Problem).

In der reinen Mathematik wurden kombinatorische Methoden mit Vorteil in so unterschiedlichen Gebieten wie Wahrscheinlichkeit, Algebra (endliche Gruppen und Körper, Matrix- und Gittertheorie), Zahlentheorie (Differenzmengen), Mengenlehre (Satz von Sperner) und mathematische Logik (Ramseys Satz).

Dem breiten Spektrum kombinatorischer Probleme und der Vielfalt der Methoden, die zu ihrer Behandlung entwickelt wurden, steht das Fehlen einer zentralen vereinheitlichenden Theorie gegenüber. Vereinheitlichende Prinzipien und Querverbindungen sind jedoch in verschiedenen Bereichen der kombinatorischen Theorie aufgetaucht. Die Suche nach einem zugrunde liegenden Muster, das auf irgendeine Weise auf die Verflechtung der verschiedenen Teile der Kombinatorik hinweisen könnte, ist eine Herausforderung, vor der Mathematiker im letzten Viertel des 20. Jahrhunderts stehen.


4.E: Systeme unterschiedlicher Repräsentanten (Übungen) - Mathematik

Merkmale authentischer Aufgaben

Arten von authentischen Aufgaben

Authentische Aufgabe: Eine Aufgabe, die den Schülern erteilt wird, um ihre Fähigkeit zu bewerten, standardbasiertes Wissen und Fähigkeiten auf reale Herausforderungen anzuwenden

Mit anderen Worten, eine Aufgabe, die wir von den Schülern lösen sollen, gilt als authentisch, wenn 1) die Schüler gebeten werden, ihre eigenen Antworten zu konstruieren, anstatt aus den vorgelegten Antworten auszuwählen, und 2) die Aufgabe die Herausforderungen der realen Welt repliziert. (Natürlich gibt es viele andere Definitionen.)

Wenn ich Ihnen das Golfspielen beibringen würde, würde ich nicht durch einen Multiple-Choice-Test feststellen, ob Sie meinen Ansprüchen genügen. Ich würde Sie auf den Golfplatz schicken, um angesichts der Herausforderungen der realen Welt "Ihre eigenen Antworten zu konstruieren". Ebenso interessiert uns in der Schule letztlich weniger, wie viele Informationen sich die Schüler aneignen können, sondern wie gut sie sie nutzen können. Daher fordern unsere aussagekräftigsten Assessments die Schüler auf, authentische Aufgaben zu erfüllen.

Bei diesen Aufgaben handelt es sich jedoch nicht nur um Bewertungen. Authentisches Assessment fördert im Gegensatz zum traditionelleren Assessment die Integration von Lehren, Lernen und Bewerten. Beim Modell der "traditionellen Bewertung" werden Lehren und Lernen oft von der Bewertung getrennt, d. h. ein Test wird durchgeführt, nachdem (hoffentlich) Kenntnisse oder Fähigkeiten erworben wurden. Beim authentischen Bewertungsmodell wird dieselbe authentische Aufgabe, die verwendet wird, um die Fähigkeit der Schüler, das Wissen oder die Fähigkeiten anzuwenden, als Vehikel für das Lernen der Schüler verwendet. Wenn zum Beispiel ein reales Problem zu lösen ist, lernen die Schüler während der Entwicklung einer Lösung, die Lehrer moderieren den Prozess und die Lösungen der Schüler für das Problem werden zu einer Einschätzung, wie gut die Schüler sinnvoll anwenden können die Konzepte.

Merkmale authentischer Aufgaben

Eine andere Art und Weise, wie authentische Beurteilungen häufig von traditionellen Beurteilungen unterschieden werden, sind ihre definierenden Eigenschaften. Natürlich unterscheiden sich sowohl traditionelle Assessments als auch authentische Assessments erheblich in der Form, die sie annehmen. Aber in der Regel fallen traditionelle Bewertungen entlang der unten aufgeführten Kontinuum von Attributen mehr zum linken Ende jedes Kontinuums und authentische Bewertungen fallen mehr zum rechten Ende.

Auswählen einer Antwort ---------------------------------- Ausführen einer Aufgabe

Lassen Sie mich die Attribute verdeutlichen, indem ich sie im Kontext traditioneller und authentischer Bewertungen näher erläutere:

Auswählen einer Antwort zum Ausführen einer Aufgabe: Bei traditionellen Assessments werden den Schülern in der Regel mehrere Auswahlmöglichkeiten gegeben (z. B. a, b, c oder d wahr oder falsch, welche davon mit diesen übereinstimmen) und aufgefordert, die richtige Antwort auszuwählen. Im Gegensatz dazu verlangen authentische Assessments, dass die Schüler Verständnis zeigen, indem sie eine komplexere Aufgabe ausführen, die normalerweise für eine sinnvollere Anwendung repräsentativ ist.

Auf das wirkliche Leben erfunden: Es kommt im außerschulischen Leben nicht sehr oft vor, dass wir aufgefordert werden, aus vier Alternativen auszuwählen, um unsere Fähigkeiten in etwas anzugeben. Tests bieten diese erfundenen Mittel zur Beurteilung, um die Häufigkeit zu erhöhen, in der Sie in kurzer Zeit aufgefordert werden, Ihre Fähigkeiten unter Beweis zu stellen. Häufiger im Leben, wie bei authentischen Einschätzungen, werden wir aufgefordert, unsere Fähigkeiten zu demonstrieren, indem wir etwas tun.

Rückruf/Anerkennung von Wissen zur Konstruktion/Anwendung von Wissen: Durch gut konzipierte traditionelle Assessments (d. h. Tests und Quiz) kann effektiv festgestellt werden, ob die Schüler einen Wissensschatz erworben haben oder nicht. Somit können Tests, wie oben erwähnt, eine schöne Ergänzung zu authentischen Bewertungen im Bewertungsportfolio eines Lehrers sein. Außerdem haben wir sind oft gebeten, sich an Fakten und Ideen und Aussagen im Leben zu erinnern oder sie anzuerkennen, daher sind Tests in diesem Sinne einigermaßen authentisch. Der Nachweis von Rückruf und Anerkennung bei Tests ist jedoch in der Regel viel weniger aufschlussreich über das, was wir wirklich wissen und können, als wenn wir aufgefordert werden, ein Produkt oder eine Leistung aus Fakten, Ideen und Vorschlägen zu konstruieren. Authentische Assessments verlangen von den Schülern oft, das Gelernte auf substantielle Weise zu analysieren, zu synthetisieren und anzuwenden, und die Schüler schaffen dabei auch neue Bedeutungen.

Lehrer-strukturiert zu Schüler-strukturiert: Bei der Durchführung eines traditionellen Assessments wurde das, was ein Student demonstrieren kann und wird, von der Person(en), die den Test entwickelt haben, sorgfältig strukturiert. Die Aufmerksamkeit eines Schülers wird sich verständlicherweise auf das konzentrieren, was auf dem Test steht. Im Gegensatz dazu ermöglichen authentische Bewertungen den Schülern mehr Auswahl und Konstruktion bei der Bestimmung, was als Leistungsnachweis präsentiert wird. Auch wenn die Studierenden keine eigenen Themen oder Formate wählen können, gibt es in der Regel mehrere akzeptable Wege zur Konstruktion eines Produkts oder einer Performance. Offensichtlich bieten Bewertungen, die von den Lehrern sorgfältiger kontrolliert werden, Vor- und Nachteile. Ebenso haben stärker schülerstrukturierte Aufgaben Stärken und Schwächen, die bei der Auswahl und Gestaltung einer Bewertung berücksichtigt werden müssen.

Indirekte Beweise zu direkten Beweisen: Selbst wenn eine Multiple-Choice-Frage einen Schüler auffordert, Fakten zu analysieren oder auf eine neue Situation anzuwenden, anstatt sich nur an die Fakten zu erinnern, und der Schüler die richtige Antwort auswählt, was wissen Sie jetzt über diesen Schüler? Hatte dieser Student Glück und wählte die richtige Antwort? Welches Denken hat den Schüler zu dieser Antwort geführt? Wir wissen es wirklich nicht. Bestenfalls können wir einige Schlussfolgerungen darüber ziehen, was dieser Schüler möglicherweise wissen und mit diesem Wissen anfangen kann. Die Beweise sind sehr indirekt, insbesondere für Behauptungen einer sinnvollen Anwendung in komplexen Situationen der realen Welt. Authentische Assessments bieten hingegen einen direkteren Nachweis für die Anwendung und Konstruktion von Wissen. Wie im obigen Golfbeispiel bietet das Platzieren eines Golfschülers auf dem Golfplatz einen viel direkteren Nachweis seines Könnens, als dem Schüler eine schriftliche Prüfung zu geben. Kann ein Schüler die Argumente, die jemand anderes vorgebracht hat, effektiv kritisieren (eine wichtige Fähigkeit, die in der realen Welt oft benötigt wird)? Einen Schüler zu bitten, eine Kritik zu schreiben, sollte einen direkteren Beweis für diese Fähigkeit liefern, als dem Schüler eine Reihe analytischer Multiple-Choice-Fragen zu einer Passage zu stellen, obwohl beide Bewertungen nützlich sein können.

Ich habe den Begriff verwendet traditionelle Bewertung auf dieser Site, um auf die vielen Tests zu verweisen, die üblicherweise durchgeführt werden, um den Erwerb von Kenntnissen und Fähigkeiten zu bewerten. Tests bestehen normalerweise aus Items mit ausgewählten Antworten (siehe unten) und gelegentlich aus Items mit konstruierten Antworten. Im Gegensatz, authentische Einschätzungen umfassen Aufgaben wie Leistungen, Produkte und Konstruktionsantworten, die in der Regel eine direktere Anwendung von Wissen und Fähigkeiten erfordern. Diese Aufgabentypen werden im Folgenden zusammen mit allgemeinen Beispielen beschrieben.

Als Antwort auf eine Aufforderung wählen die Schüler eine Antwort aus den gegebenen oder aus dem Gedächtnis oder aus zulässigen Lernhilfen. Typischerweise wird kein neues Wissen aufgebaut. Die Schüler erinnern sich einfach an oder erkennen Informationen, die erforderlich sind, um die geeignete Antwort auszuwählen. Beispiele beinhalten

Multiple-Choice-Tests
Wahr falsch
Passende
Fülle die Lücke aus
Beschriften Sie ein Diagramm

Als Antwort auf eine Aufforderung konstruieren die Schüler eine Antwort aus altem und neuem Wissen. Da es keine exakte Antwort auf diese Aufforderungen gibt, konstruieren die Schüler neues Wissen, das sich wahrscheinlich geringfügig oder erheblich von dem anderer Schüler unterscheidet. Typischerweise sind konstruierte Antwortaufforderungen eng konzipiert, werden zu oder nahe der Zeit geliefert, zu der eine Antwort erwartet wird, und sind in der Länge begrenzt. Die Tatsache, dass die Schüler neues Wissen konstruieren müssen, bedeutet jedoch, dass zumindest ein Teil ihres Denkens offenbart werden muss. Im Gegensatz zu ausgewählten Antwortitems können die Lehrkräfte bei konstruierten Antwortantworten ein wenig in den Kopf schauen. Beispiele beinhalten

Als Reaktion auf eine Aufforderung (Aufgabe) oder eine Reihe von Aufforderungen konstruieren die Schüler ein substanzielles, greifbares Produkt, das ihr Verständnis bestimmter Konzepte und Fähigkeiten und/oder ihre Fähigkeit zur Anwendung, Analyse, Synthese oder Bewertung dieser Konzepte und Fähigkeiten offenbart. Es ähnelt einem Item mit konstruierter Antwort darin, dass die Schüler neues Wissen konstruieren und nicht nur eine Antwort auswählen müssen. Produktbewertungen sind jedoch in der Regel umfassender und länger, breiter angelegt und lassen mehr Zeit zwischen der Präsentation der Aufforderung und der Schülerantwort als Gegenstände mit konstruierten Antworten. Beispiele beinhalten

Als Reaktion auf eine Aufforderung (Aufgabe) oder eine Reihe von Aufforderungen konstruieren die Schüler eine Darbietung, die ihr Verständnis bestimmter Konzepte und Fähigkeiten und/oder ihre Fähigkeit, diese Konzepte und Fähigkeiten anzuwenden, zu analysieren, zu synthetisieren oder zu bewerten, offenbart. Es ähnelt einem Item mit konstruierter Antwort darin, dass die Schüler neues Wissen konstruieren und nicht nur eine Antwort auswählen müssen. Aufführungen sind jedoch in der Regel umfangreicher in Tiefe und Länge, breiter angelegt und lassen mehr Zeit zwischen der Präsentation der Aufforderung und der Schülerantwort als Gegenstände mit konstruierten Antworten. Beispiele beinhalten


Wo die Aktion stattfindet

Das Kongressausschusssystem ist der Ort, an dem die "Aktion" im US-Gesetzgebungsprozess wirklich stattfindet.

Jede Kammer des Kongresses verfügt über Ausschüsse, die bestimmte Funktionen erfüllen, sodass die gesetzgebenden Körperschaften ihre oft komplexe Arbeit mit kleineren Gruppen schneller erledigen können.

Es gibt ungefähr 250 Ausschüsse und Unterausschüsse des Kongresses, von denen jeder mit unterschiedlichen Funktionen betraut ist und sich alle aus Mitgliedern des Kongresses zusammensetzt. Jede Kammer hat ihre eigenen Ausschüsse, obwohl es gemeinsame Ausschüsse gibt, die aus Mitgliedern beider Kammern bestehen. Jedes Gremium erlässt nach Kammerrichtlinien ein eigenes Regelwerk, das jedem Gremium seinen eigenen Charakter verleiht.


4.E: Systeme unterschiedlicher Repräsentanten (Übungen) - Mathematik

Dieses Thema erhält aus mehreren Gründen einen eigenen Abschnitt. Erstens ist es wichtig, Richtungsfelder und ihre Aussagen über eine Differentialgleichung und ihre Lösung zu verstehen und kann ohne Kenntnisse darüber eingeführt werden, wie man eine Differentialgleichung löst, und kann daher hier getan werden, bevor wir sie lösen. Einige Informationen über die Lösung einer Differentialgleichung zu haben, ohne die Lösung tatsächlich zu haben, ist also eine nette Idee, die einer Untersuchung bedarf.

Da wir als Nächstes eine Differentialgleichung benötigen, ist dies ein guter Abschnitt, um Ihnen zu zeigen, dass Differentialgleichungen in vielen Fällen natürlich vorkommen und wie wir sie erhalten. Nahezu jede physikalische Situation, die in der Natur vorkommt, lässt sich mit einer entsprechenden Differentialgleichung beschreiben. Die Differentialgleichung kann je nach Situation und den Annahmen, die über die Situation gemacht werden, leicht oder schwierig zu finden sein und wir können sie möglicherweise nie lösen, aber sie wird existieren.

Der Vorgang, eine physikalische Situation mit einer Differentialgleichung zu beschreiben, wird als Modellierung bezeichnet. Wir werden uns in dieser Klasse mehrmals mit Modellieren befassen.

Eine der einfachsten physikalischen Situationen, die man sich vorstellen kann, ist ein fallender Gegenstand. Betrachten wir also ein fallendes Objekt mit der Masse (m) und leiten eine Differentialgleichung ab, die uns, wenn sie gelöst wird, die Geschwindigkeit des Objekts zu jedem Zeitpunkt (t) liefert. Wir nehmen an, dass beim Fallen nur die Schwerkraft und der Luftwiderstand auf das Objekt einwirken. Unten ist eine Abbildung, die die Kräfte zeigt, die auf das Objekt wirken.

Bevor wir alle Begriffe in diesem Problem definieren, müssen wir einige Konventionen festlegen. Wir nehmen an, dass nach unten wirkende Kräfte positive Kräfte sind, während nach oben wirkende Kräfte negativ sind. Ebenso nehmen wir an, dass ein sich nach unten bewegendes Objekt (d.h. ein fallendes Objekt) hat eine positive Geschwindigkeit.

Schauen wir uns nun die Kräfte an, die im obigen Diagramm dargestellt sind. () ist die Schwerkraft und wird durch ( = mg), wobei (g) die Erdbeschleunigung ist. In dieser Klasse verwenden wir (g) = 9,8 m/s 2 oder (g) = 32 ft/s 2, je nachdem, ob wir das metrische oder imperiale System verwenden. () ist die Kraft aufgrund des Luftwiderstands und für dieses Beispiel nehmen wir an, dass sie proportional zur Geschwindigkeit (v) der Masse ist. Daher ist die Kraft aufgrund des Luftwiderstands dann gegeben durch ( = - gamma v), wobei (gamma > 0). Beachten Sie, dass das „–“ erforderlich ist, um das richtige Vorzeichen der Kraft zu erhalten. Sowohl (gamma) als auch (v) sind positiv und die Kraft wirkt nach oben und muss daher negativ sein. Das „–“ gibt uns das richtige Vorzeichen und damit die Richtung für diese Kraft.

Erinnern Sie sich an den vorherigen Abschnitt, dass das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz geschrieben werden kann als

wobei (Flinks( ight)) ist die Summe der Kräfte, die auf das Objekt einwirken und kann eine Funktion der Zeit (t) und der Geschwindigkeit des Objekts (v) sein. Für unsere Situation haben wir zwei Kräfte, die auf die Schwerkraft des Objekts wirken, ( = mg). nach unten wirkend und daher positiv sein wird, und der Luftwiderstand ( = - gamma v), wirkt nach oben und ist daher negativ. Wenn man all dies in Newtons zweites Gesetz zusammenfügt, erhält man folgendes.

Um die Differentialgleichung zu vereinfachen, teilen wir die Masse (m) auf.

Dies ist dann eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, die, wenn sie gelöst wird, die Geschwindigkeit (v) (in m/s) eines fallenden Objekts der Masse (m) ergibt, das sowohl Schwerkraft als auch Luftwiderstand wirkt darauf.

Um Richtungsfelder zu betrachten (das ist ja das Thema dieses Abschnitts. ) wäre es hilfreich, einige Zahlen für die verschiedenen Größen in der Differentialgleichung zu haben. Nehmen wir also an, wir haben eine Masse von 2 kg und (gamma= 0.392). Einfügen in (eqref) ergibt die folgende Differentialgleichung.

Betrachten wir diese Differentialgleichung geometrisch. Nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit für einige Zeit (t) zufällig (v = 30) m/s beträgt. Beachten Sie, dass wir nicht sagen, dass die Geschwindigkeit jemals 30 m/s betragen wird. Wir sagen nur, dass die Geschwindigkeit zufällig zu einem Zeitpunkt (t) 30 m/s beträgt. Wenn die Geschwindigkeit also zu einem bestimmten Zeitpunkt (t) 30 m/s beträgt, können wir (v = 30) in (eqref) zu bekommen.

Erinnern Sie sich aus Ihrem Calculus I-Kurs daran, dass eine positive Ableitung bedeutet, dass die fragliche Funktion, in diesem Fall die Geschwindigkeit, zunimmt zu dieser Zeit zunehmen.

Denken Sie auch daran, dass der Wert der Ableitung bei einem bestimmten Wert von (t) die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion zu diesem Zeitpunkt (t) angibt. Wenn die Geschwindigkeit also für einige Zeit (t) 30 m/s beträgt, beträgt die Steigung der Tangente an den Geschwindigkeitsgraphen 3,92.

Wir könnten auf diese Weise fortfahren und verschiedene Werte von (v) auswählen und die Steigung der Tangente für diese Geschwindigkeitswerte berechnen. Nehmen wir jedoch einen etwas organisierteren Ansatz. Lassen Sie uns zuerst die Werte der Geschwindigkeit identifizieren, die eine Steigung von Null oder horizontale Tangentenlinien haben. Diese sind leicht zu finden. Alles was wir tun müssen, ist die Ableitung gleich Null zu setzen und nach (v) aufzulösen.

In unserem Beispiel haben wir nur einen Geschwindigkeitswert mit horizontalen Tangenten, (v = 50) m/s. Dies bedeutet, dass, wenn die Geschwindigkeit für einige Zeit (t) zufällig 50 m/s beträgt, die Tangente an diesem Punkt horizontal ist. Die Steigung der Tangente vor und nach diesem Punkt ist noch nicht bekannt und hat keinen Einfluss auf die Steigung zu diesem Zeitpunkt (t).

Wenn wir also (v = 50) haben, wissen wir, dass die Tangentenlinien horizontal sind. Wir bezeichnen dies auf einem Achsensystem mit horizontalen Pfeilen, die in die Richtung des zunehmenden (t) auf der Ebene von (v = 50) zeigen, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Lassen Sie uns nun einige Tangentenlinien und damit Pfeile für unseren Graphen für einige andere Werte von (v) erhalten. An dieser Stelle ist die einzige genaue Neigung, die für uns nützlich ist, die horizontale Neigung. Anstatt also für den Rest des Diagramms nach genauen Steigungen zu suchen, werden wir nur allgemeine Trends in der Steigung verfolgen. Steigt oder fällt die Steigung? Wie schnell nimmt die Steigung zu oder ab? Für dieses Beispiel sind diese Arten von Trends sehr einfach zu bekommen.

Beachten Sie zunächst, dass die rechte Seite von (eqref) ist ein Polynom und damit stetig. Dies bedeutet, dass es nur dann das Vorzeichen ändern kann, wenn es zuerst durch Null geht. Wenn also die Ableitung das Vorzeichen ändert (ohne Garantie dafür), wird dies bei (v) = 50 der Fall sein, und die einzige Stelle, an der sie das Vorzeichen ändern kann, ist (v = 50). Dies bedeutet, dass für (v>50) die Steigung der Tangenten an die Geschwindigkeit das gleiche Vorzeichen hat. Ebenso für (v 50). Das erste, was zu tun ist, ist herauszufinden, ob die Steigungen positiv oder negativ sind. Wir werden dies genauso tun, wie wir es im letzten Stück getan haben, d.h. Wählen Sie einen Wert von (v), setzen Sie diesen in (eqref) und sehen Sie, ob die Ableitung positiv oder negativ ist. Beachten Sie, dass Sie NIEMALS davon ausgehen sollten, dass die Ableitung das Vorzeichen ändert, wenn die Ableitung Null ist. Es ist leicht zu überprüfen, also sollten Sie dies immer tun.

Wir müssen die Ableitung überprüfen, also verwenden wir (v) = 60. Setzen wir dies in (eqref) gibt die Steigung der Tangente als -1,96 oder negativ an. Daher haben wir für alle Werte von (v>50) negative Steigungen für die Tangentenlinien. Wie bei (v Beispiel 1 Skizzieren Sie das Richtungsfeld für die folgende Differentialgleichung. Skizzieren Sie die Menge der Integralkurven für diese Differentialgleichung. Bestimmen Sie, wie sich die Lösungen als (t o infty ) verhalten und ob dieses Verhalten von der abhängt Wert von (y)(0) beschreiben diese Abhängigkeit [y' = left( <- y - 2> ight) ight)^2>]

Machen Sie sich zunächst keine Gedanken darüber, woher diese Differentialgleichung stammt. Ehrlich gesagt haben wir es uns gerade ausgedacht. Es kann eine tatsächliche physische Situation beschreiben oder auch nicht.

Diese Differentialgleichung sieht etwas komplizierter aus als das Fallende-Objekt-Beispiel von oben. Mit Ausnahme von etwas mehr Arbeit ist es jedoch nicht viel komplizierter. Der erste Schritt besteht darin, zu bestimmen, wo die Ableitung Null ist.

Wir können jetzt sehen, dass wir drei Werte von (y) haben, bei denen die Ableitung und damit die Steigung der Tangentiallinien Null ist. Die Ableitung wird bei (y) = -1, 1 und 2 Null sein. Beginnen wir also unser Richtungsfeld damit, horizontale Tangenten für diese Werte zu zeichnen. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Jetzt müssen wir den vier Regionen, in die der Graph jetzt unterteilt ist, Pfeile hinzufügen. Für jede dieser Regionen wähle ich einen Wert von (y) in dieser Region und setze ihn in die rechte Seite der Differentialgleichung ein, um zu sehen, ob die Ableitung in dieser Region positiv oder negativ ist. Um ein genaues Richtungsfeld zu erhalten, sollten Sie wiederum einige weitere Werte über den gesamten Bereich auswählen, um zu sehen, wie sich die Pfeile über den gesamten Bereich verhalten.

In diesem Bereich können wir (y) = -2 als Testpunkt verwenden. An diesem Punkt haben wir (y' = 36). Tangentenlinien in diesem Bereich haben also sehr steile und positive Steigungen. Auch bei (y o - 1) werden die Steigungen flacher, während sie positiv bleiben. Die folgende Abbildung zeigt die Richtungsfelder mit Pfeilen in diesem Bereich.

In diesem Bereich können wir (y) = 0 als Testpunkt verwenden. An diesem Punkt haben wir (y' = - 2). Daher haben Tangentenlinien in diesem Bereich negative Steigungen und sind anscheinend nicht sehr steil. Wie sehen die Pfeile in dieser Region aus? Da (y o 1) natürlich kleiner als 1 bleibt, sollten die Steigungen negativ sein und gegen Null gehen. Wenn wir uns von 1 weg und in Richtung -1 bewegen, werden die Steigungen steiler (und bleiben negativ), werden aber schließlich wieder abgeflacht und bleiben wieder negativ, da (y o - 1), da die Ableitung bei . gegen Null gehen muss dieser Punkt. Die folgende Abbildung zeigt die Richtungsfelder mit hinzugefügten Pfeilen zu diesem Bereich.

In diesem Bereich verwenden wir (y) = 1,5 als Testpunkt. An diesem Punkt haben wir (y' = - 0,3125). Tangentiallinien in dieser Region werden auch negative Steigungen aufweisen und anscheinend nicht so steil wie die vorherige Region sein. Pfeile in dieser Region verhalten sich im Wesentlichen genauso wie die in der vorherigen Region. In der Nähe von (y) = 1 und (y) = 2 werden die Hänge flacher und wenn wir uns von einem zum anderen bewegen, werden die Hänge etwas steiler, bevor sie wieder abflachen. Die folgende Abbildung zeigt die Richtungsfelder mit hinzugefügten Pfeilen zu diesem Bereich.

In diesem letzten Bereich verwenden wir (y) = 3 als Testpunkt. An diesem Punkt haben wir (y' = 16). Wie wir im ersten Bereich gesehen haben, beginnen Tangentenlinien in der Nähe von (y) = 2 ziemlich flach und werden dann, wenn wir uns von (y) = 2 wegbewegen, ziemlich steil.

Das vollständige Richtungsfeld für diese Differentialgleichung ist unten gezeigt.

Hier ist der Satz von Integralkurven für diese Differentialgleichung.

Werfen wir abschließend einen Blick auf das Langzeitverhalten aller Lösungen. Im Gegensatz zum ersten Beispiel hängt das Langzeitverhalten in diesem Fall vom Wert von (y) at . ab T = 0. Indem wir eine der beiden vorherigen Abbildungen untersuchen, können wir das folgende Verhalten von Lösungen als (t o infty) erhalten.

Wert von (y)(0) Verhalten wie (tis infty)
(ylinks(0 echts) < 1) (y o - 1)
(1 le yleft( 0 ight) < 2) (y zu 1)
(ylinks(0 echts) = 2) (y o 2)
(ylinks(0 echts) > 2) (y is infty)

Vergessen Sie nicht, anzuerkennen, was die horizontalen Lösungen bewirken. Dies ist oft der am meisten übersehene Teil dieser Art von Problem.

In beiden Beispielen, die wir bisher bearbeitet haben, enthält die rechte Seite der Ableitung nur die Funktion und NICHT die unabhängige Variable. Wenn die rechte Seite der Differentialgleichung sowohl die Funktion als auch die unabhängige Variable enthält, kann das Verhalten viel komplizierter sein und das Skizzieren der Richtungsfelder von Hand kann sehr schwierig sein. Computersoftware ist in diesen Fällen sehr praktisch.

In einigen Fällen sind sie jedoch nicht allzu schwer von Hand zu machen. Schauen wir uns das folgende Beispiel an.

Um Richtungsfelder für diese Art von Differentialgleichung zu skizzieren, identifizieren wir zunächst Stellen, an denen die Ableitung konstant ist. Dazu setzen wir die Ableitung in der Differentialgleichung gleich einer Konstanten, sagen wir (c). Dies gibt uns eine Familie von Gleichungen, genannt Isolinien, die wir zeichnen können, und auf jeder dieser Kurven wird die Ableitung ein konstanter Wert von (c) sein.

Beachten Sie, dass wir in den vorherigen Beispielen die Isokline für (c = 0) betrachtet haben, um das Richtungsfeld zu starten. Für unseren Fall ist die Familie der Isoklinen.

Der Graph dieser Kurven für mehrere Werte von (c) ist unten gezeigt.

Auf jeder dieser Geraden oder Isoklinen ist die Ableitung konstant und hat den Wert (c). Auf der (c = 0)-Isokline hat die Ableitung immer den Wert Null und daher sind die Tangenten alle horizontal. Auf der (c = 1) Isokline haben die Tangenten immer eine Steigung von 1, auf der (c = -2) Isokline haben die Tangenten immer eine Steigung von -2, etc. Im Folgenden sind einige Tangenten für jede dieser Isoklinen angegeben.

Um weitere Pfeile für diese Bereiche zwischen den Isoklinen hinzuzufügen, beginnen wir beispielsweise bei (c = 0) und gehen bis zu (c = 1) und dabei erhöhen wir die Steigung der Pfeile (Tangenten) von 0 auf 1. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wir können dann Integralkurven hinzufügen, wie wir es in den vorherigen Beispielen getan haben. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt.


Privilege Walk-Stundenplan

Einführung:

Viele Pädagogen und Aktivisten nutzen Privilegienwanderungen als erfahrungsbezogene Aktivität, um aufzuzeigen, wie Menschen von Systemen in unserer Gesellschaft profitieren oder von diesen ausgegrenzt werden. Es gibt viele Wiederholungen solcher Spaziergänge, von denen sich mehrere auf ein einziges Thema konzentrieren, wie z. B. Rasse, Geschlecht oder Sexualität. Dieser spezielle Spaziergang ist mit Fragen zu vielen verschiedenen Bereichen der Marginalisierung konzipiert, da das Ziel dieses Spaziergangs darin besteht, Intersektionalität zu verstehen. Menschen mit einer gemeinsamen demografischen Gruppe ziehen möglicherweise für eine Frage zusammen, trennen sich jedoch aufgrund anderer Fragen, wenn einige nach vorne und andere zurückgehen. Diese Iteration des Privilege Walks wird besonders für ein Klassenzimmer empfohlen, in dem die Schüler Zeit hatten, sich miteinander zu verbinden, sich aber nie die Zeit in einer etwas formelleren Umgebung, dh unter der Leitung eines Moderators, genommen haben, um dies zu erkunden Thema. It is a good tool for classes learning about privilege or social justice and could also be used to discuss intersectionality in classes that have the danger of singling out a single aspect of social injustice. It is important that the students or group members are already acquainted and are not doing this activity as strangers, since an immense amount of trust in the people and the environment are needed to help people feel comfortable with acknowledging that certain statements apply to them.

Many people with certain privileges never notice them, because they are so woven into the mainstream that those who have them cannot see them. For youth, understanding and acknowledging privileges is key to understanding why and how they react and perceive their surroundings. The capacity for youth to objectively reflect on their interactions with the world will be invaluable. The focus on intersectionality in this practice will allow practitioners and students alike to understand that having one privilege does not make up for another marginalization and that every privilege or marginalization exists on a different but intersecting plane from another. This focus will help to avoid having positive developments being derailed by debates over who is more oppressed. It also helps youth understand ideas of intersectionality and be aware of marginalized groups within the marginalized group. Privilege walks have previously been criticized for being most beneficial to straight, white, able-bodied men, since it is supposed that they learn the most and that more marginalized students are made to feel vulnerable. The particular walk posted on this page works to avoid falling into these issues and has given detailed reasoning for recommended debrief questions, since the nature of the debrief discussion can either exacerbate or alleviate some of these issues. Even though it is not a perfect exercise, the privilege walk is a less confrontational way to discuss privilege and promote reflection. It helps people to open up, literally, in steps instead of difficult to articulate words and relate to each other in a different way.

To discuss the complicated intersections of privileges and marginalizations in a less confrontational and more reflective way.

20 minutes for the Privilege Walk

60 minutes for the debrief

  • A wide open space, e.g., a classroom with all chairs and tables pushed back, an auditorium, or a gymnasium
  • Chairs to form a circle for the debrief
  • Painter’s tape to make an initial line for participants
  • Optional: tape or other materials to draw lines to indicate where to step back or forth
  • Have participants line up in a straight line across the middle of the room with plenty of space to move forward and backward as the exercise proceeds.
  • Have participants hold hands or place one hand on the shoulder of the person to their left or right depending on space constraints. Important: Make sure to ask participants if they are comfortable touching and being touched by others. If some are not, do not make them and do not make a big deal out of it.
  • You may give an explanation about the activity, how it is intended to educate about privilege, and what exactly is privilege, or you can send students into the activity with no such background.
  • Read the following to participants:
  • I will read statements aloud. Please move if a statement applies to you. If you do not feel comfortable acknowledging a statement that applies to you, simply do not move when it is read. No one else will know whether it applies to you.
  • Begin reading statements aloud in a clear voice, pausing slightly after each one. The pause can be as long or as short as desired as appropriate.
  • When you have finished the statements, ask participants to take note of where they are in the room in relation to others.
  • Have everyone gather into a circle for debriefing and discussion.

Privilege Walk Statements:

  1. If you are right-handed, take one step forward.
  2. If English is your first language, take one step forward.
  3. If one or both of your parents have a college degree, take one step forward.
  4. If you can find Band-Aids at mainstream stores designed to blend in with or match your skin tone, take one step forward.
  5. If you rely, or have relied, primarily on public transportation, take one step back.
  6. If you have attended previous schools with people you felt were like yourself, take one step forward
  7. If you constantly feel unsafe walking alone at night, take one step back.
  8. If your household employs help as servants, gardeners, etc., take one step forward.
  9. If you are able to move through the world without fear of sexual assault, take one step forward.
  10. If you studied the culture of your ancestors in elementary school, take one step forward.
  11. If you often feel that your parents are too busy to spend time with you, take one step back.
  12. If you were ever made fun of or bullied for something you could not change or was beyond your control, take one step back.
  13. If your family has ever left your homeland or entered another country not of your own free will, take one step back.
  14. If you would never think twice about calling the police when trouble occurs, take one step forward.
  15. If your family owns a computer, take one step forward.
  16. If you have ever been able to play a significant role in a project or activity because of a talent you gained previously, take one step forward.
  17. If you can show affection for your romantic partner in public without fear of ridicule or violence, take one step forward.
  18. If you ever had to skip a meal or were hungry because there was not enough money to buy food, take one step back.
  19. If you feel respected for your academic performance, take one step forward.
  20. If you have a physically visible disability, take one step back.
  21. If you have an invisible illness or disability, take one step back.
  22. If you were ever discouraged from an activity because of race, class, ethnicity, gender, disability, or sexual orientation, take one step back.
  23. If you ever tried to change your appearance, mannerisms, or behavior to fit in more, take one step back.
  24. If you have ever been profiled by someone else using stereotypes, take one step back.
  25. If you feel good about how your identities are portrayed by the media, take one step forward.
  26. If you were ever accepted for something you applied to because of your association with a friend or family member, take one step forward.
  27. If your family has health insurance take one step forward.
  28. If you have ever been spoken over because you could not articulate your thoughts fast enough, take one step back.
  29. If someone has ever spoken for you when you did not want them to do so, take one step back.
  30. If there was ever substance abuse in your household, take one step back.
  31. If you come from a single-parent household, take one step back.
  32. If you live in an area with crime and drug activity, take one step back.
  33. If someone in your household suffered or suffers from mental illness, take one step back.
  34. If you have been a victim of sexual harassment, take one step back.
  35. If you were ever uncomfortable about a joke related to your race, religion, ethnicity, gender, disability, or sexual orientation but felt unsafe to confront the situation, take one step back.
  36. If you are never asked to speak on behalf of a group of people who share an identity with you, take one step forward.
  37. If you can make mistakes and not have people attribute your behavior to flaws in your racial or gender group, take one step forward.
  38. If you have always assumed you’ll go to college, take one step forward.
  39. If you have more than fifty books in your household, take one step forward.
  40. If your parents have told you that you can be anything you want to be, take one step forward.

Debrief Questions:

During and after the Privilege Walk, participants might experience an array of intense feelings no matter their position in the front or the back. While the point of the Privilege Walk is indeed to promote understanding and acknowledgment of privileges and marginalization, it would be detrimental to end the activity with potentially traumatic or destructive emotions. The point of the debrief session is twofold. First, through the reflection provoking questions, help participants realize what exactly they were feeling and muster the courage to articulate it to each participant’s acceptable level. This process will relieve possible negative emotions, preventing possible damage. Second, as negative emotions are relieved, the debrief will help participants realize that either privileges or marginalizations are integral to the person’s being. Instead of casting off either privilege or marginalization, participants can learn how to reconcile with themselves, and through the utilization of newfound knowledge of the self, have a better relationship with themselves and others around them.

At the end of the exercise, students were asked to observe where they were in the room. This is a common question to use to lead into the discussion and allows people to reflect on what happened before starting to work with those idea in possibly more abstract ways. It keeps the activity very experience-near and in the moment.

This asks students to reflect in a broader sense about the experiences they might not think about in the way they were presented in this activity. It opens up a space to begin to discuss their perceptions of aspects of themselves and others that they might have never discussed before.

This question focuses on the concrete experience of separation that can happen during the activity. For some students, a physical aspect like this can be quite powerful. There are many iterations of the privilege walk that do not involve physical contact, but this extra piece can add another layer of experience and be an opening for very rich student responses.

The first part of this question asks students to reflect more on the activity and the thoughts behind it. The second part of this question is very important for creating knowledge. Students might suggest a question about which instructors had not thought. Asking students how they would change the activity and then working to incorporate those changes is an important part of collaborative learning.

  1. What do you wish people knew about one of the identities, situations, or disadvantages that caused you to take a step back?

This question invites people who would like to share about the ways they experience marginalization. It is a good question to ensure that this part of the conversation is had. That being said, it is also important to not expect or push certain students to speak, since that would be further marginalizing them and could cause them to feel unsafe. It is not a marginalized person’s job to educate others on their marginality. If they would like to do so, listen. If they would not like to do so, respect their wishes.

  1. How can your understanding of your privileges or marginalizations improve your existing relationships with yourself and others?

This question is based on the idea that people can always use knowledge and awareness of the self to improve how one lives with oneself and those existing within one’s life. It also invites students to think about ways that this understanding can create positive change. This is not only for the most privileged students but also for marginalized students to understand those in their group who may experience other marginalizations. This can bring the discussion form the first question, which asks about how they are standing apart to this last question, which can ask how can they work to stand together.

This activity was developed by Rebecca Layne and Ryan Chiu for Dr. Arthur Romano’s Conflict Resolution Pedagogy class at George Mason’s School for Conflict Analysis and Resolution. Some walk activity questions are commonly seen on other privilege walks while others were written by these students for this specific walk. Procedures were written from experiences participating in other walks. Debrief questions, excepting question one, were written by these students with the goal of this walk in mind. Question one is fairly universal for this activity.