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6.6: Hyperbolische Funktionen - Mathematik


Das hyperbolische Funktionen sind eine Reihe von Funktionen, die viele Anwendungen in Mathematik, Physik und Ingenieurwesen haben. Neben vielen anderen Anwendungen werden sie verwendet, um die Bildung von Satellitenringen um Planeten zu beschreiben, die Form eines Seils zu beschreiben, das an zwei Punkten hängt, und finden Anwendung in der speziellen Relativitätstheorie. Dieser Abschnitt definiert die hyperbolischen Funktionen und beschreibt viele ihrer Eigenschaften, insbesondere ihre Nützlichkeit für die Analysis.

Diese Funktionen werden manchmal als "hyperbolische trigonometrische Funktionen" bezeichnet, da es viele, viele Verbindungen zwischen ihnen und den trigonometrischen Standardfunktionen gibt. Abbildung (PageIndex{1}) zeigt eine solche Verbindung. Genauso wie Kosinus und Sinus verwendet werden, um Punkte auf dem durch (x^2+y^2=1) definierten Kreis zu definieren, sind die Funktionen the hyperbolischer Kosinus und hyperbolischer Sinus werden verwendet, um Punkte auf der Hyperbel (x^2-y^2=1) zu definieren.

Abbildung (PageIndex{1}): Verwenden von trigonometrischen Funktionen zum Definieren von Punkten auf einem Kreis und hyperbolischen Funktionen zum Definieren von Punkten auf einer Hyperbel. Die Fläche der schattierten Bereiche ist darin enthalten.

Wir beginnen mit ihrer Definition.

Definition (PageIndex{1}): Hyperbolische Funktionen

  1. ( cosh x = frac{e^x+e^{-x}}2)
  2. ( sinh x = frac{e^x-e^{-x}}2)
  3. ( anh x = frac{sinh x}{cosh x})
  4. ( ext{sech} x = frac{1}{cosh x})
  5. ( ext{csch} x = frac{1}{sinh x})
  6. ( coth x = frac{cosh x}{sinh x})

Diese hyperbolischen Funktionen sind in Abbildung (PageIndex{2}) dargestellt. In den Graphen von (cosh x) und (sinh x) sind Graphen von (e^x/2) und (e^{-x}/2) mit gestrichelten Linien enthalten. Da (x) "groß" wird, verhalten sich (cosh x) und (sinh x) jeweils wie (e^x/2); wenn (x) eine große negative Zahl ist, verhält sich (cosh x) wie (e^{-x}/2), während $sinh x$ sich wie (-e^{-x} verhält /2).

Beachten Sie, dass die Domänen von ( anh x) und ( ext{sech} x) ((-infty,infty)) sind, während sowohl (coth x) als auch ( ext {csch} x) haben vertikale Asymptoten bei (x=0). Beachten Sie auch die Reichweiten dieser Funktionen, insbesondere ( anh x): als (x oinfty) gehen sowohl (sinh x) als auch (cosh x) (e^{ -x}/2), daher nähert sich ( anh x) (1).

Das folgende Beispiel untersucht einige der Eigenschaften dieser Funktionen, die den Eigenschaften ihrer trigonometrischen Gegenstücke bemerkenswert ähnlich sind.

Aussprache Hinweis: „cosh“ reimt sich auf „gosh“, „sinh“ reimt sich auf „pinch“ und „tanh“ reimt sich auf „ranch“.

Abbildung (PageIndex{2}): Graphen der hyperbolischen Funktionen.

Beispiel (PageIndex{1}): Eigenschaften hyperbolischer Funktionen untersuchen

Verwenden Sie Definition (PageIndex{1}), um die folgenden Ausdrücke neu zu schreiben.

  1. (cosh^2 x-sinh^2x)
  2. ( anh^2 x+ ext{sech}^2 x)
  3. (2cosh xsinh x)
  4. (frac{d}{dx}ig(cosh xig))
  5. (frac{d}{dx}ig(sinh xig))
  6. (frac{d}{dx}ig( anh xig))

Lösung

  1. [egin{align} cosh^2x-sinh^2x &= left(frac{e^x+e^{-x}}2 ight)^2 -left(frac{e^ xe^{-x}}2 ight)^2 &= frac{e^{2x}+2e^xe^{-x} + e^{-2x}}4 - frac{e^{ 2x}-2e^xe^{-x} + e^{-2x}}4 &= frac44=1.end{align}]Also (cosh^2 x-sinh^2x= 1).
  2. [egin{align} anh^2 x+ ext{sech}^2 x &=frac{sinh^2x}{cosh^2 x} + frac{1}{cosh^2 x} &= frac{sinh^2x+1}{cosh^2 x}qquad ext{Nun nutze die Identität aus #1.} &= frac{cosh^2 x}{cosh ^2 x} = 1. end{align}]Also ( anh^2 x+ ext{sech}^2 x=1).
  3. [egin{align} 2cosh xsinh x &= 2left(frac{e^x+e^{-x}}2 ight)left(frac{e^xe^{- x}}2 ight) &= 2 cdotfrac{e^{2x} - e^{-2x}}4 &= frac{e^{2x} - e^{-2x} }2 = sinh (2x). end{align}]Also (2cosh xsinh x = sinh (2x)).
  4. [egin{align} frac{d}{dx}ig(cosh xig) &= frac{d}{dx}left(frac{e^x+e^{-x} }2 ight) &= frac{e^xe^{-x}}2 &= sinh x. end{align}]Also (frac{d}{dx}ig(cosh xig) = sinh x.)
  5. [egin{align} frac{d}{dx}ig(sinh xig) &= frac{d}{dx}left(frac{e^xe^{-x}}2 ight) &= frac{e^x+e^{-x}}2 &= cosh x. end{align}]Also (frac{d}{dx}ig(sinh xig) = cosh x.)
  6. [egin{align} frac{d}{dx}ig( anh xig) &= frac{d}{dx}left(frac{sinh x}{cosh x} rechts) &= frac{cosh x cosh x - sinh x sinh x}{cosh^2 x} &= frac{1}{cosh^2 x} &= ext{sech}^2 x. end{align}]Also (frac{d}{dx}ig( anh xig) = ext{sech}^2 x.)

Die folgende Schlüsselidee fasst viele der wichtigen Identitäten in Bezug auf hyperbolische Funktionen zusammen. Jeder kann überprüft werden, indem auf Definition (PageIndex{1}) zurückgegriffen wird.

Schlüsselidee 16: Nützliche Eigenschaften von hyperbolischen Funktionen

Grundlegende Identitäten

  1. (cosh^2x-sinh^2x=1)
  2. ( anh^2x+ ext{sech}^2x=1)
  3. (coth^2x- ext{csch}^2x = 1)
  4. (cosh2x=cosh^2x+sinh^2x)
  5. (sinh 2x = 2sinh xcosh x)
  6. (cosh^2x = frac{cosh 2x+1}{2})
  7. (sinh^2x=frac{cosh 2x-1}{2})

Derivate

  1. (frac{d}{dx}ig(cosh xig) = sinh x)
  2. (frac{d}{dx}ig(sinh xig) = cosh x)
  3. (frac{d}{dx}ig( anh xig) = ext{sech}^2 x)
  4. (frac{d}{dx}ig( ext{sech} xig) = - ext{sech} x anh x)
  5. (frac{d}{dx}ig( ext{csch} xig) = - ext{csch} xcoth x)
  6. (frac{d}{dx}ig(coth xig) = - ext{csch}^2x)

Integrale

  1. (int cosh x dx = sinh x+C)
  2. (int sinh x dx = cosh x+C)
  3. (int anhxdx = ln(coshx) +C)
  4. (int coth x dx = ln|sinh x,|+C)

Wir üben mit Key Idea 16

Beispiel (PageIndex{2}): Ableitungen und Integrale hyperbolischer Funktionen

Bewerten Sie die folgenden Ableitungen und Integrale.

  1. (frac{d}{dx}ig(cosh 2xig))
  2. (int ext{sech}^2(7t-3)dt)
  3. ( int_0^{ln 2} cosh x dx)

Lösung

  1. Wenn wir die Kettenregel direkt verwenden, haben wir (frac{d}{dx} ig(cosh 2xig) = 2sinh 2x).
    Um zu demonstrieren, dass es funktioniert, verwenden wir auch die Basisidentität aus Schlüsselidee 16: (cosh 2x = cosh^2x+sinh^2x).
    [egin{align}frac{d}{dx}ig(cosh 2xig) = frac{d}{dx}ig(cosh^2x+sinh^2xig) &= 2 cosh xsinh x+ 2sinh xcosh x &= 4cosh xsinh x.end{align}]Mit einer anderen Basisidentität können wir sehen, dass (4cosh xsinh x = 2sinh 2x). Wir bekommen so oder so die gleiche Antwort.
  2. Wir verwenden Substitution mit (u = 7t-3) und (du = 7dt). Durch die Anwendung der Schlüsselideen 10 und 16 haben wir:
    $$ int ext{sech}^2 (7t-3) dt = frac17 anh (7t-3) + C.$$
  3. $$int_0^{ln 2} cosh x dx = sinh xBig|_0^{ln 2} = sinh (ln 2) - sinh 0 = sinh(ln 2). $$
    Wir können diesen letzten Ausdruck vereinfachen, da (sinh x) auf Exponentialfunktionen basiert:
    $$sinh(ln 2) = frac{e^{ln 2}-e^{-ln 2}}2 = frac{2-1/2}{2} = frac34.$$

Inverse hyperbolische Funktionen

So wie die inversen trigonometrischen Funktionen bei bestimmten Integrationen nützlich sind, sind die inversen hyperbolischen Funktionen bei anderen nützlich. Abbildung 16 zeigt die Beschränkungen der Domänen, um jede Funktion eins zu eins zu machen, und die resultierenden Domänen und Bereiche ihrer Umkehrfunktionen. Ihre Grafiken sind in Abbildung (PageIndex{3}) dargestellt.

Da die hyperbolischen Funktionen in Form von Exponentialfunktionen definiert sind, können ihre Umkehrungen in Form von Logarithmen ausgedrückt werden, wie in Schlüsselidee 17 gezeigt. Es ist oft bequemer, sich auf (sinh^{-1}x) zu beziehen als auf (lnig(x+sqrt{x^2+1}ig)), besonders wenn man an der Theorie arbeitet und keine tatsächlichen Werte berechnen muss. Auf der anderen Seite ist Technologie oft hilfreich, wenn Berechnungen erforderlich sind, aber vielen Taschenrechnern fehlt eine extit{praktische} (sinh^{-1}x)-Taste. (Oft kann man über ein Menüsystem darauf zugreifen, aber nicht bequem.) In einer solchen Situation ist die logarithmische Darstellung nützlich. Der Leser wird nicht ermutigt, sich diese zu merken, sondern weiß, dass sie existieren und wie er sie bei Bedarf verwenden kann.

Tabelle (PageIndex{1}): Graphen von (cosh x), (sinh x) und ihren Umkehrungen.

Abbildung (PageIndex{3}): Graphen der hyperbolischen Funktionen und ihrer Umkehrungen.

Die folgenden Schlüsselideen geben die Ableitungen und Integrale an, die sich auf die inversen hyperbolischen Funktionen beziehen. In Schlüsselidee 19 werden sowohl die inverse hyperbolische als auch die logarithmische Funktionsdarstellung der Stammfunktion basierend auf Schlüsselidee 17 angegeben. Auch diese letzteren Funktionen sind oft nützlicher als die ersteren. Beachten Sie, wie inverse hyperbolische Funktionen verwendet werden können, um Integrale zu lösen, die wir in Abschnitt 6.4 mit Trigonometrischer Substitution gelöst haben.

Schlüsselidee 17: Logarithmische Definitionen der inversen hyperbolischen Funktionen.

  1. (cosh^{-1}x=lnig(x+sqrt{x^2-1}ig);xgeq1)
  2. ( anh^{-1}x = frac12lnleft(frac{1+x}{1-x} ight); |x|<1)
  3. ( ext{sech}^{-1}x = lnleft(frac{1+sqrt{1-x^2}}x ight); 0
  4. (sinh^{-1}x = lnig(x+sqrt{x^2+1}ig))
  5. (coth^{-1}x = frac12lnleft(frac{x+1}{x-1} ight); |x|>1)
  6. ( ext{csch}^{-1}x = lnleft(frac1x+frac{sqrt{1+x^2}}{|x|} ight); x eq0)

Leitidee 18: Ableitungen mit inversen hyperbolischen Funktionen

  1. (frac{d}{dx}ig(cosh^{-1} xig) = frac{1}{sqrt{x^2-1}}; x>1)
  2. (frac{d}{dx}ig(sinh^{-1} xig) = frac{1}{sqrt{x^2+1}})
  3. (frac{d}{dx}ig( anh^{-1} xig) = frac{1}{1-x^2}; |x|<1)
  4. (frac{d}{dx}ig( ext{sech}^{-1} xig) = frac{-1}{xsqrt{1-x^2}}; 0
  5. (frac{d}{dx}ig( ext{csch}^{-1} xig) = frac{-1}{|x|sqrt{1+x^2}}; x eq0)
  6. (frac{d}{dx}ig(coth^{-1} xig) = frac{1}{1-x^2}; |x|>1)

Leitidee 19: Integrale mit inversen hyperbolischen Funktionen

  1. (int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}} dx) (=qquad cosh^{-1}left(frac xa ight)+C; 0
  2. (int frac{1}{sqrt{x^2+a^2}} dx) (=qquad sinh^{-1}left(frac xa ight)+C; a>0) (qquad=lnGroß|x+sqrt{x^2+a^2}Groß|+C)
  3. (int frac{1}{a^2-x^2} dx) (=qquad left{egin{array}{ccc} frac1a anh^{-1}left (frac xa ight)+C & & x^2
  4. (int frac{1}{xsqrt{a^2-x^2}} dx) (=qquad -frac1a ext{sech}^{-1}left(frac xa ight)+C; 0
  5. (int frac{1}{xsqrt{x^2+a^2}} dx) (=qquad -frac1a ext{csch}^{-1}left|frac xa ight| + C; x eq 0, a>0) (quad= frac1a lnleft|frac{x}{a+sqrt{a^2+x^2}} echts|+C)

Im folgenden Beispiel üben wir die Verwendung der Ableitungs- und Integralformeln.

Beispiel (PageIndex{3}): Ableitungen und Integrale mit inversen hyperbolischen Funktionen

Werten Sie Folgendes aus.

  1. ( frac{d}{dx}left[cosh^{-1}left(frac{3x-2}{5} ight) ight])
  2. ( intfrac{1}{x^2-1} dx)
  3. ( int frac{1}{sqrt{9x^2+10}}dx)

Lösung

  1. Die Anwendung von Schlüsselidee 18 mit der Kettenregel ergibt:
    $$frac{d}{dx}left[cosh^{-1}left(frac{3x-2}5 ight) ight] = frac{1}{sqrt{left( frac{3x-2}5 ight)^2-1}}cdotfrac35.$$
  2. Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit ((-1)) ergibt: ( int frac{1}{x^2-1} dx = int frac{-1}{1-x^2} dx). Das zweite Integral kann durch direkte Anwendung von Item #3 aus Schlüsselidee 19 mit (a=1) gelöst werden. Also [ egin{align} int frac{1}{x^2-1} dx &= -int frac{1}{1-x^2} dx &= left {egin{array}{ccc} - anh^{-1}left(x ight)+C & & x^2<1 -coth^{-1}left(x rechts)+C & & 1Wir sollten anmerken, dass genau dieses Problem zu Beginn von Abschnitt 6.5 gelöst wurde. In diesem Beispiel wurde die Antwort als (frac12ln|x-1|-frac12ln|x+1|+C.) angegeben. Beachten Sie, dass dies der in Gleichung (PageIndex{ 29}), als (ln(a/b) = ln a - ln b).

  3. Dies erfordert eine Ersetzung, dann kann Punkt 2 von Schlüsselidee 19 angewendet werden.

    Sei (u = 3x), also (du = 3dx). Wir haben
    [intfrac{1}{sqrt{9x^2+10}}dx = frac13intfrac{1}{sqrt{u^2+10}} du. ]
    Beachte (a^2=10), also (a = sqrt{10}.) Wende nun die Integralregel an.
    [egin{align} &= frac13 sinh^{-1}left(frac{3x}{sqrt{10}} ight) + C &= frac13 ln Big|3x+ sqrt{9x^2+10}Groß|+C. end{ausrichten}]

Dieser Abschnitt deckt viel Boden ab. Neue Funktionen wurden eingeführt, zusammen mit einigen ihrer grundlegenden Identitäten, ihren Ableitungen und Stammfunktionen, ihren Umkehrungen und den Ableitungen und Stammfunktionen dieser Umkehrungen. Es wurden vier Schlüsselideen vorgestellt, von denen jede einiges an Informationen beinhaltete.

Betrachten Sie diesen Abschnitt nicht als Informationsquelle, die Sie sich merken sollten, sondern als Referenz für zukünftige Problemlösungen. Schlüsselidee 19 enthält vielleicht die nützlichsten Informationen. Kennen Sie die Integrationsformen, mit deren Hilfe Sie die inverse hyperbolische Antwort und die logarithmische Antwort auswerten und verstehen können.

Der nächste Abschnitt macht eine kurze Pause von der Demonstration neuer Integrationstechniken. Es demonstriert stattdessen eine Technik zum Auswerten von Grenzen, die unbestimmte Formen zurückgeben. Diese Technik wird in Abschnitt 6.8 nützlich sein, wo Grenzen bei der Auswertung bestimmter bestimmter Integrale auftreten.


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Wenn Sie diese Informationen nützlich finden, ziehen Sie in Erwägung, sich ein Exemplar meines Buches zu besorgen, Die Python-Standardbibliothek am Beispiel.

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Die Ausgabe aller Beispielprogramme von PyMOTW wurde mit Python 2.7.8 generiert, sofern nicht anders angegeben. Einige der hier beschriebenen Funktionen sind in früheren Python-Versionen möglicherweise nicht verfügbar.

Wenn Sie nach Beispielen suchen, die unter Python 3 funktionieren, lesen Sie bitte den Abschnitt PyMOTW-3 der Site.

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Mathematische Operationssymbole

Die meisten der mathematischen Operatoren BASIC erfordern keine Einführung. Die Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperatoren werden häufig verwendet, wie unten gezeigt:

Symbol Verfahrenstyp Anwendungsbeispiel Vorgangsreihenfolge
+ Zusatz c = a + b Letzte
- Subtraktion c = a - b Letzte
- Negation c = -a Letzte
* Multiplikation c = a * b Zweite
/ Einteilung c = a / b Zweite


BASIC kann auch zwei andere Operatoren für verwenden Division INTEGER. Bei der Ganzzahldivision werden nur ganzzahlige Werte zurückgegeben. MOD Restdivision gibt nur dann einen Wert zurück, wenn eine ganzzahlige Division eine Zahl nicht exakt teilen kann. Gibt 0 zurück, wenn ein Wert exakt teilbar ist.

Symbol Verfahrenstyp Anwendungsbeispiel Vorgangsreihenfolge
Integer-Division c = a b Zweite
MOD Restabteilung c = a MOD b Zweite

Es ist ein Fehler, durch Null zu dividieren oder den Rest modulo Null zu nehmen.


Es gibt auch einen Operator für exponentiell Berechnungen. Der Exponentialoperator wird verwendet, um den Wert einer Zahl auf einen bestimmten Exponenten ihrer selbst zu erhöhen. In QB sind die exponentiellen Rückgabewerte DOUBLE-Werte. Die SQR-Funktion kann die Quadratwurzel einer Zahl zurückgeben. Für andere exponentielle Wurzeln der Operator kann mit Brüchen wie (1 / 3) verwendet werden, die die Kubikwurzel einer Zahl bezeichnen.

Symbol Verfahren Anwendungsbeispiel Vorgangsreihenfolge
^ Exponent c = a^ (1 / 2) Zuerst
SQR Quadratwurzel c = SQR(a ^ 2 + b ^ 2) Zuerst

Anmerkungen

  • Exponentenbrüche sollten in ()-Klammern eingeschlossen werden, um als Wurzel und nicht als Division behandelt zu werden.
  • Negative Exponentialwerte müssen in QB64 in ()-Klammern eingeschlossen werden.

Multivariable Infinitesimalrechnung

11.2 Mehrfachintegration

Ein trivialer Fall eines Doppelintegrals ergibt sich aus dem Produkt zweier gewöhnlicher Integrale, sagen wir

Da die Variable in einem bestimmten Integral einfach a Attrappe variabel, ihr Name kann frei geändert werden, sagen wir von x zu ja, in der ersten Gleichheit oben. Es ist natürlich notwendig, dass die Dummy-Variablen unterschiedliche Namen haben, wenn sie in einem Vielfachintegral vorkommen. Ein Doppelintegral kann auch eine nicht separierbare Funktion f(x, y) beinhalten. Für gut verhaltene Funktionen können die Integrationen in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden. So

Für wohlerzogene Funktionen können die obigen Integrationen in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden.

Schwieriger sind Fälle, in denen die Integrationsgrenzen selbst Funktionen von . sind x und ja, beispielsweise

Wenn die Funktion f ( x , y ) stetig ist, kann eines der obigen Integrale in das andere umgewandelt werden, indem die funktionalen Beziehungen für die Grenzen von x = g ( y ) nach y = h ( x ) invertiert werden . Dies ist bekannt als Satz von Fubini. Die alternativen Auswertungen des Integrals sind in Abbildung 11.2 dargestellt.

Abbildung 11.2. Auswertung des Doppelintegrals f ( x , y ) dxdy . Links sind darüber horizontale Streifen integriert x zwischen g 1 ( y ) und g 2 ( y ) und dann über summiert ja. Rechts sind vertikale Streifen über integriert ja zuerst. Nach dem Satz von Fubini liefern die alternativen Methoden das gleiche Ergebnis.

Zur Veranschaulichung führen wir die doppelte Flächenintegration bei der geometrischen Darstellung hyperbolischer Funktionen durch (siehe Abbildung 4.17). Mit Bezug auf Abbildung 11.3 ist es eindeutig einfacher, zuerst die x-Integration über horizontale Streifen zwischen der geraden Linie und der rechteckigen Hyperbel. Die Fläche ist dann gegeben durch

Abbildung 11.3. Integration über Fläche EIN des schattierten Halbmondes. Dies ergibt eine geometrische Darstellung hyperbolischer Funktionen: y 0 = sinh ( 2 A ), x 0 = cosh ( 2 A ).

Dies reduziert sich auf eine Integration über ja:

Da x 0 = 1 + y 0 2 , erhalten wir A = 1 2 arcsinh y 0 . Somit können wir die hyperbolischen Funktionen durch die schattierte Fläche ausdrücken EIN:

Aufgabe 11.2.1

Um den Satz von Fubini zu testen, wiederholen Sie die Integration über dem schattierten Bereich in Abbildung 11.3 mit vertikalen statt horizontalen Streifen.


Zirkuläre Analogien

Rückblickend auf die traditionellen trigonometrischen Kreisfunktionen nehmen sie als Eingabe den Winkel, den der Bogen in der Mitte des Kreises einschließt. In ähnlicher Weise nehmen die hyperbolischen Funktionen einen reellen Wert an, der als bezeichnet wird hyperbolischer Winkel als Argument. Um hyperbolische Winkel zu verstehen, müssen wir zunächst auf eine etwas andere Weise über traditionelle Winkel nachdenken.

Wenn ein Bogen eines Einheitskreises einen Winkel von $ heta$ im Bogenmaß einschließt, dann ist die Fläche des entsprechenden Sektors $frac< heta> <2pi> imes pi$ oder $frac< heta> <2>$. Mit anderen Worten, der Winkel ist gleich der doppelten Fläche des Sektors.

Analog dazu ist ein hyperbolischer Winkel doppelt so groß wie der entsprechende hyperbolischer Sektor (was wie sein kreisförmiges Gegenstück einfach der Bereich ist, der von Strahlen vom Ursprung zu zwei Punkten auf der Hyperbel umschlossen wird). Das heißt, wenn Sie einen Punkt ($cosh t$, $sinh t$) auf der Einheitshyperbel wählen, erzeugt das Liniensegment, das den Punkt mit dem Ursprung verbindet, einen Sektor der Fläche $frac<2>$ mit der x-Achse und der Hyperbel.

Hyperbolischer Sektor und seine Beziehung zum hyperbolischen Winkel. Der ursprüngliche Uploader war Olympic bei der ukrainischen Wikipedia. CC BY-SA 3.0, über Wikimedia Commons.

Der wichtigste Punkt, den Sie hier beachten sollten, ist, hyperbolische Winkel mit Hilfe von Flächen zu visualisieren, nicht als eine aus zwei Strahlen erzeugte Figur, wie Sie sich normale Winkel vorstellen könnten. Daraus ergibt sich auch, dass hyperbolische Winkel unbeschränkt sind, da die Fläche des Sektors immer größer wird, wenn sich der Punkt immer weiter vom Ursprung entfernt, was bei Kreiswinkeln nicht der Fall ist.


6.6: Hyperbolische Funktionen - Mathematik

Anwendungen hyperbolischer Funktionen

Trigonometrische Funktionen sind eng mit der Dreiecksgeometrie verbunden. Funktionen wie Sinus und Kosinus werden oft als Kantenlängen von rechtwinkligen Dreiecken eingeführt. Hyperbolische Funktionen kommen in der Theorie der Dreiecke in hyperbolischen Räumen vor.

Lobatschewsky (1829) und J. Bolyai (1832) erkannten unabhängig voneinander, dass Euklids fünftes Postulat, das besagt, dass es für eine gegebene Linie und einen Punkt nicht auf der Linie genau eine Linie parallel zur ersten gibt, geändert werden kann und immer noch konsistent ist Geometrie. In der hyperbolischen Geometrie ist es zulässig, dass mehr als eine Linie zur ersten parallel ist (was bedeutet, dass die parallelen Linien die erste niemals treffen, egal wie weit sie ausgedehnt sind). In Dreiecke übersetzt bedeutet dies, dass die Summe der drei Winkel immer kleiner ist als .

Eine besonders schöne Darstellung der hyperbolischen Geometrie lässt sich in der Einheitsscheibe komplexer Zahlen (dem Poincar-Scheibenmodell) realisieren. In diesem Modell sind Punkte komplexe Zahlen in der Einheitsscheibe, und die Linien sind entweder Kreisbögen, die die Grenze des Einheitskreises orthogonal treffen, oder Durchmesser des Einheitskreises.

Der Abstand zwischen zwei Punkten (d. h. komplexen Zahlen) und in der Poincar-Scheibe beträgt:

Das attraktive Merkmal des Poincaré-Scheibenmodells besteht darin, dass die hyperbolischen Winkel mit den euklidischen Winkeln übereinstimmen. Formal ist der Winkel an einem Punkt zweier hyperbolischer Linien und wird durch die Formel beschrieben:

Im Folgenden werden die Werte der drei Winkel eines hyperbolischen Dreiecks an den Eckpunkten , , und durch , , und bezeichnet. Die hyperbolischen Längen der drei den Winkeln gegenüberliegenden Kanten werden mit , , und bezeichnet.

Die Kosinusregel und die zweite Kosinusregel für hyperbolische Dreiecke lauten:

Die Sinusregel für hyperbolische Dreiecke lautet:

Für ein rechtwinkliges Dreieck folgt die hyperbolische Version des Satzes des Pythagoras aus den vorhergehenden Formeln (der rechte Winkel wird am Scheitelpunkt genommen):

Unter Verwendung der Reihenentwicklung auf kleinen Skalen wird die hyperbolische Geometrie durch die bekannte euklidische Geometrie angenähert. Die Kosinusformeln und die Sinusformeln für hyperbolische Dreiecke mit einem rechten Eckpunkt werden zu:

Der eingeschriebene Kreis hat den Radius:

Der umschriebene Kreis hat den Radius:

Als rationale Funktionen der Exponentialfunktion treten die hyperbolischen Funktionen praktisch überall in den quantitativen Wissenschaften auf. Es ist unmöglich, ihre zahlreichen Anwendungen in Lehre, Wissenschaft, Technik und Kunst aufzuzählen.


Betrachten Sie die trigonometrischen oder kreisförmigen Funktionen. Die Gleichung des Einheitskreises im uv -Koordinatensystem ist du 2 + v 2 = 1.
Für jede reelle Zahl x , wir haben cos 2 x + Sünde 2 x = 1 also der Punkt ( cos x , Sünde x ) liegt auf dem Kreis du 2 + v 2 = 1. Jetzt
Betrachten Sie die hyperbolischen Funktionen. Für jede reelle Zahl x , wir haben cosh 2 x sinh 2 x = 1 also der Punkt ( cosh x , sinha x )
liegt auf der Kurve du 2 v 2 = 1, was eine Hyperbel ist. Das erklärt den Namen hyperbolisch Funktionen.

Offensichtlich ähneln die obigen Eigenschaften von sinh und cosh denen der trigonometrischen Funktionen sin und cos . Beispielsweise,
die Eigenschaften sinh 0 = 0, cosh 0 = 1 und cosh 2 x sinh 2 x = 1 ähneln den Eigenschaften sin 0 = 0, cos 0 = 1, und
cos 2 x + Sünde 2 x = 1 bzw. Diese Ähnlichkeit hat dazu geführt, dass sie als hyperbolisch bezeichnet werden Sinus und hyperbolisch Kosinus
beziehungsweise.

Die verbleibenden 4 hyperbolischen Funktionen werden in Bezug auf sinh und cosh definiert, daher sind sie auch hyperbolisch Funktionen und
sie werden in Bezug auf sinh und cosh auf die gleiche Weise definiert wie die 4 trigonometrischen Funktionen tan , cot , sec und csc defined
werden in Begriffen von Sünde definiert und das erklärt ihre Namen.


Einstein Gyrovector Spaces

3.6 Gyrolines – Die hyperbolischen Linien

Hyperbolische Punkte heißen Kreiselpunkte und in voller Analogie heißen hyperbolische Linien gyrolines. So ist zum Beispiel EIN und B in Abb. 3.1 sind Punkte in der euklidischen Ebene ℝ 2 . Sie werden durch eine Linie mit einem Punkt verbunden P zwischen liegen EIN und B, und mit dem Mittelpunkt MA, B zwischen EIN und B. Im Gegensatz, EIN und B in Abb. 3.2 sind Kreiselpunkte in der hyperbolischen Ebene ℝ c 2 . Dazu gesellt sich ein Gyroline mit einem Gyropoint P zwischen liegen EIN und B und mit dem Kreiselpunktid MA, B zwischen EIN und B. Im Allgemeinen, wenn c → ∞ eine hyperbolische Ebene ℝ c 2 strebt nach der euklidischen Ebene ℝ 2 , ein Kreiselpunkt strebt nach einem entsprechenden Punkt und eine Kreisellinie strebt nach einer entsprechenden Linie.

Lassen EIN, B ∈ ℝ c n seien zwei verschiedene Kreiselpunkte eines Einstein-Gyrovektorraums ( c n , ⊕, ⊗), wie in Abb. 3.2 gezeigt, und sei t a ℝ ein reeller Parameter. Dann, in voller Analogie zur Euklidischen Linie (3.41) , in Abb. 3.1 gezeigt, der Graph der Menge aller Kreiselpunkte

t ∈ ℝ , im Einstein-Gyrovector-Raum ( c n , ⊕, is) ist eine Sehne der Kugel ℝ c n . Diese Sehne ist eine geodätische Linie des kartesischen-Beltrami-Klein-Kugelmodells der hyperbolischen Geometrie, dargestellt in Abb. 3.2 für nein = 2. Die fehlenden kartesischen Koordinaten für die hyperbolische Scheibe in Abb. 3.2 sind in Abb. 3.4 dargestellt.

Der Kreiselpunkt MA, B der Gyropunkte EIN und B erhält man aus (3.45) durch Auswahl von t = 1/2,

in Abb. 3.2 dargestellt. Die zweite Identität in (3.46) folgt aus (3.37) und zeigt die Fähigkeit der Einstein-Coaddition an, Analogien mit klassischen Ergebnissen zu erfassen.

Die geodätische Linie (3.45) ist die einzigartige Kreisellinie, die durch die Kreiselpunkte verläuft EIN und B. Es geht durch den Kreiselpunkt EIN wann t = 0 und wegen des linken Aufhebungsgesetzes (2.50) , p. 25, es geht durch den Kreiselpunkt B wann t = 1. Außerdem geht es durch den Kreiselpunkt MA, B von EIN und B wann t = 1/2. Dementsprechend ist die Kreiselsegment das verbindet die gyropoints EIN und B in Abb. 3.2 ergibt sich aus dem Gyroline (3.45) mit 0 . t ≤ 1.

Jeder Kreiselpunkt von (3.45) mit 0 < t < 1 soll lügen zwischen A und B. So ist zum Beispiel der Kreiselpunkt P in Abb. 3.2 liegt zwischen den Kreiselpunkten EIN und B. Als solche sind die Gyropunkte EIN, P, und B gehorche dem Kreiseldreieck-Gleichheit wonach

wobei in voller Analogie zur euklidischen Geometrie

ist die hyperbolische Distanzfunktion, genannt Kreiseldistanzfunktion, die die Kreiseldistanz von . misst EIN zu B in c n . Die Kreiseldreieckgleichung (3.47) besagt, dass die Kreiseldistanz entlang einer Kreisellinie kreisenditiv ist.

Die Kreiselpunkte in Abb. 3.2 sind in Bezug auf ein unsichtbares kartesisches Koordinatensystem gezeichnet. Die fehlenden kartesischen Koordinaten für die hyperbolische Scheibe in Abb. 3.2 sind in Abb. 3.4 dargestellt.

Das Konzept der Gyroline wird in Abschn. 7.4 zum Konzept der Big-Gyroline der Signatur (ich, nein), ich, n ∈ ℕ , so dass Big-Gyroline der Signatur (1.nein) sind nein-dimensionale Gyroline.


IIT JEE Mathematik

y = sinh (x)

Bereich : ℜ Bereich : ℜ

Graph der Hyperbolik der Cos-Funktion -- y = cosh (x)

y = cosh (x)

Bereich : ℜ Bereich : [1, ∞)

Graph der Hyperbolic of tan-Funktion -- y = tanh (x)

y = tanh (x)

Bereich : ℜ Bereich : (-1,1)

Graph der Hyperbel der cot-Funktion -- y = coth (x)

y = Stoff (x)

Bereich : ℜ- Bereich : ( -∞ , -1 ) ∪ (1,∞)

Graph der Hyperbel der csc-Funktion -- y = csch (x)

y = csch (x)

Bereich : ℜ - Bereich : ℜ -

Graph der Hyperbel der sec-Funktion -- y = sech (x)

y = sech (x)

Domäne: r Reichweite : (0 ,1 ]


Differenzierung hyperbolischer trigonometrischer Funktionen

Finde $displaystyle frac d left(cosh(x^2+9) ight)$ .

$ frac d left(cosh(x^2+9) ight) = sinh(x^2+9)cdot frac d left(x^2 + 9 ight) = sinh(x^2+9)cdot 2x = 2xsinh(x^2+9) $

$displaystyle frac d left(cosh(x^2+9) ight) = 2xsinh(x^2+9)$

Beispiel 2

Angenommen $f(x) = x^4 anh 3x$. Finde $f'(x)$ .

Identifizieren Sie die Faktoren in der Funktion.

$ egin% f'(x) & = lue<4x^3> anh 3x + x^4cdot ed<3operatorname^2 3x> & = 4x^3 anh 3x + 3x^4sech^2 3x end $

$ egin f'(x) & = 4lau anh 3x + 3lausech^2 3x & = lauleft(4 anh 3x + 3xsech^2 3x ight) end $

$displaystyle f'(x) = x^3left(4 anh 3x + 3xsech^2 3x ight)$.

Beispiel 3

Differenzieren Sie mit der Quotientenregel. Die Teile in $lue$ beziehen sich auf den Zähler.

Beispiel 4

Angenommen $f(x) = coth^5 11x$. Finde $f'(x)$ .

Schreiben Sie die Funktion um, um zu betonen, dass der Kotangens in die fünfte Potenz angehoben wird.

$ egin f'(x) & = 5left(coth 11x ight)^4cdot frac d left(coth 11x ight)[6pt] & = 5left(coth 11x ight)^4cdot (-11csch^2 11x)[6pt] & = -55left (coth 11x ight)^4cdot csch^2 11x end $


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