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Ableitung von arcsech - Mathematik


Ableitung von sech-1(x)

Wir nutzen die Tatsache aus der Definition der Umkehrung, dass

[ ext{sech}( ext{sech}^{-1} ;x) = x ]

und die Tatsache, dass

[ ext{sech}', x = - anh (x) ext{sech} (x) ]

Nehmen Sie nun die Ableitung beider Seiten (unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite), um zu erhalten

[ - anh ( ext{sech}^{-1} x) ext{sech}( ext{sech}^{-1}, x)( ext{sech}^{-1} , x)' = 1 ]

oder

[ -x , anh ( ext{sech}^{-1}x)( ext{sech}^{-1} ,x)' = 1 ag{1}]

Wir wissen das

[ cosh^2 x - sinh^2 x = 1]

Dividieren durch (cosh^2(x)) ergibt

[ 1 - anh^2 (x) = ext{sech}^2, x]

oder

[ anh x = sqrt{1- ext{sech}^2 ,x}]

so dass

[ anh ( ext{sech}^{-1}, x) = sqrt{1- ext{sech}^{-1} , x} = sqrt{1-x^2} ]

Einsetzen in Gleichung 1 schließlich ergibt

[ -xsqrt{1-x^2} ( ext{sech}^{-1}, x) = 1]

[ ext{sech}^{-1} , x = dfrac{-1}{xsqrt{1-x^2}}]

Larry Green (Lake Tahoe Community College)


Inverse hyperbolische Sekante

Der inverse hyperbolische Sekant (Beyer 1987, S. 181 Zwillinger 1995, S. 481), manchmal auch Flächenhyperbolischer Sekant genannt (Harris und Stocker 1998, S. 271) und manchmal auch bezeichnet (Jeffrey 2000, S. 124), ist der mehrwertige Funktion, die die Umkehrfunktion des hyperbolischen Sekants ist. Die Varianten oder (Harris und Stocker 1998, S. 263) werden manchmal verwendet, um sich auf explizite Hauptwerte des inversen hyperbolischen Sekants zu beziehen, obwohl diese Unterscheidung nicht immer gemacht wird. Schlimmer noch, die Notation wird manchmal für den Hauptwert verwendet, während sie für die mehrwertige Funktion verwendet wird (Abramowitz und Stegun 1972, S. 87). Beachten Sie, dass in der Notation der hyperbolische Sekant ist und der hochgestellte Index eine Umkehrfunktion bezeichnet, nicht die multiplikative Inverse.

Der inverse hyperbolische Sekant ist eine mehrwertige Funktion und erfordert daher einen Verzweigungsschnitt in der komplexen Ebene, den die Konvention der Wolfram-Sprache an den Liniensegmenten und platziert. Dies folgt aus der Definition von as


Übungen 9.6

Bsp. 9.6.1 Zeigen Sie, dass der Bereich von $sinh x$ alle reellen Zahlen ist. (Hinweis: Zeigen Sie, dass wenn $y=sinh x$ dann $ds x =ln (y+sqrt)$.)

Bsp. 9.6.2 Berechnen Sie die folgenden Grenzen:

Bsp. 9.6.3 Zeigen Sie, dass der Bereich von $ anh x$ $(-1,1)$ ist. Was sind die Bereiche von $coth$, $sech$ und $csch$? (Benutzen Sie die Tatsache, dass es sich um reziproke Funktionen handelt.)

Bsp. 9.6.4 Beweisen Sie, dass für jedes $x,yinR$ $sinh (x+y) =sinh x cosh y + cosh x sinh y$ ist. Erhalten Sie eine ähnliche Identität für $sinh(x-y)$.

Bsp. 9.6.5 Beweisen Sie, dass für jedes $x,yinR$ $cosh (x+y) =cosh x cosh y + sinh x sinh y$ ist. Erhalten Sie eine ähnliche Identität für $cosh(x-y)$.

Bsp. 9.6.6 Zeigen Sie mit den Aufgaben 4 und 5, dass $sinh(2x)=2sinh x cosh x$ und $ds cosh(2x)=cosh^2 x +sinh^2 x$ für jedes $x$ . Schluß auch, dass $ds (cosh (2x) -1)/2 = sinh ^2 x$ ist.

Bsp. 9.6.7 Zeigen Sie, dass $ds ( anh x) =sech^2 x$. Berechnen Sie auch die Ableitungen der verbleibenden hyperbolischen Funktionen.

Bsp. 9.6.8 Was sind die Domänen der sechs inversen hyperbolischen Funktionen?

Bsp. 9.6.9 Skizzieren Sie die Graphen aller sechs inversen hyperbolischen Funktionen.

Die folgenden vier Übungen erweitern die geometrische Interpretation der hyperbolischen Funktionen. Siehe Abbildung 9.6.2.

Bsp. 9.6.10 Zeigen Sie mit den Aufgaben 4 und 5, dass $sinh(2x)=2sinh x cosh x$ und $ds cosh(2x)=cosh^2 x +sinh^2 x$ für jedes $x$ . Schließen Sie, dass $ds (cosh (2x) -1)/2 = sinh ^2 x$.

Bsp. 9.6.11 Berechne $ds int sqrt,dx$. (Tipp: Ersetzen Sie $u=arccosh x$ und verwenden Sie dann die obige Übung.)

Bsp. 9.6.12 Fix $t>0$. Skizzieren Sie die Region $R$ in der rechten Halbebene, die von den Kurven $y= anh t$, $y=- anh t$ und $ds y^2-x^2 =1$ begrenzt wird. Beachte gut: $t$ ist fest, das Flugzeug ist das $x$-$y$ Flugzeug.


Demo zur Derivatepraxis

Die Rückseite dieses Blattes enthält eine Liste von Übungsaufgaben. Es enthält auch Links zu Lösungen, die von Wolfram Alpha und SymboLab erstellt wurden.

Es gibt mehrere große Computeralgebra-Systeme (kurz: CAS). Viele unserer Mathematik-Grundkurse verwenden ein System namens Maple. Ein weiterer wichtiger CAS ist Mathematica. Mathematica ist Teil dessen, was die als Wolfram Alpha bekannte Online-Computer-Engine antreibt.

Wir haben mehrere Demos verwendet, die auf dem SageMath CAS basieren. Obwohl die Benutzeroberfläche von SAGE nicht so ausgefeilt ist wie die von Maple und Mathematica, ist sie Open Source und kann kostenlos verwendet werden. Sogar Wolfram Alpha hat, obwohl es frei verfügbar ist, hinter seiner Paywall gesperrt.

Natürlich sind Maple, Mathematica und SAGE nicht die einzigen verfügbaren Tools. Wir haben auch Desmos gesehen, der schöne Grafiken erstellt (aber keine symbolischen Berechnungen durchführt). SymboLab bietet ein weiteres Werkzeug für mathematische Berechnungen.

SymboLab ist viel eingeschränkter als das oben erwähnte CAS, verfügt jedoch über eine einfache Benutzeroberfläche und bietet schrittweise Lösungen für grundlegende Probleme der Algebra und der Analysis, einschließlich schrittweiser Ableitungsberechnungen. Wenn Sie immer noch Probleme mit abgeleiteten Regeln haben, wird SymboLab meiner Meinung nach sehr hilfreich sein.

Erwähnenswert ist auch, dass SAGE, Desmos, Wolfram Alpha und SymboLab alle kostenlos über einen Webbrowser verfügbar sind. Einige von ihnen haben begleitende Smartphone-Apps (die in der Regel nicht kostenlos sind). Zum Beispiel ist Desmos kostenlos, während Alpha ein paar Dollar kostet. Die App von SymboLab ist kostenlos, verfügt jedoch über gesperrte Funktionen, für deren Entsperrung eine Zahlung erforderlich ist. Persönlich würde ich nur über einen Browser auf diese Tools zugreifen.

  • Maple (ein leistungsstarkes CAS, das in vielen Klassen bei AppState verwendet wird): https://www.maplesoft.com
  • Mathematica (ein leistungsstarkes CAS und die Maschine hinter Wolfram Alpha): https://www.wolfram.com/mathematica/
  • SAGE (ein Open-Source-CAS, das viele in unserem Kurs verwendete Demos unterstützt): http://www.sagemath.org
  • Wolfram Alpha (eine größtenteils kostenlose Online-Computer-Engine): http://www.wolframalpha.com
  • SymboLab (ein kostenloser Online-Rechner für Algebra und Infinitesimalrechnung): https://www.symbolab.com
  • Desmos (ein kostenloses Online-Dienstprogramm zur grafischen Darstellung): https://www.desmos.com

Übungsprobleme.

Berechnen Sie die Ableitung. Diese Probleme beginnen mit ``Grundlagen'' und beginnen dann mit dem Hinzufügen von Regeln und neuen Funktionen. Die Probleme gegen Ende sind in der Regel kniffliger als die am Anfang.

Versuchen Sie auch einige grundlegende Vereinfachungen. Die Fähigkeit, Antworten zu vereinfachen, ist in vielen Kontexten wichtig – das heißt – Vereinfachung steht nicht im Mittelpunkt dieser Übung, also verschwenden Sie nicht viel Zeit mit dem Kampf mit Algebra.

Hinweis: Mit einem Klick auf „ALPHA“ gelangen Sie zur Lösung von Wolfram Alpha, mit einem Klick auf „SYMBO“ gelangen Sie zur Lösung von SymboLab.


Hintergrund und Kontext

    Sech ist die hyperbolische Sekantenfunktion, die das hyperbolische Analogon der Sec-Kreisfunktion ist, die während der Trigonometrie verwendet wird. Es ist definiert als der Kehrwert der hyperbolischen Kosinusfunktion als . Sie wird für reelle Zahlen definiert, indem die doppelte Fläche zwischen den Achse und ein Strahl durch den Ursprung, der die Einheitshyperbel schneidet . Sech [ α ] repräsentiert dann den Kehrwert der horizontalen Koordinate des Schnittpunktes. Die äquivalente Definition des hyperbolischen Sekants ist , wo ist die Basis des natürlichen Logarithmus Log . Sech wertet automatisch zu exakten Werten aus, wenn sein Argument der (natürliche) Logarithmus einer rationalen Zahl ist. Wenn als Argumente genaue numerische Ausdrücke angegeben werden, kann Sech mit beliebiger numerischer Genauigkeit ausgewertet werden. TrigFactorList kann verwendet werden, um Ausdrücke mit Sech in Terme zu faktorisieren, die Sinh, Cosh, Sin und Cos enthalten. Andere Operationen, die für die Manipulation von symbolischen Ausdrücken mit Sech nützlich sind, umfassen TrigToExp, TrigExpand, Simplify und FullSimplify. Sech führt elementweise über Listen und Matrizen. Im Gegensatz dazu kann MatrixFunction verwendet werden, um die hyperbolische Sekante einer quadratischen Matrix (d. h. die Potenzreihe für die hyperbolische Sekantenfunktion mit gewöhnlichen Potenzen durch Matrixpotenzen ersetzt) ​​im Gegensatz zu den hyperbolischen Sekanten der einzelnen Matrixelemente anzugeben. Sech [ x ] nimmt exponentiell ab, wenn sich x nähert . Sech erfüllt eine Identität, die der von Sec erfüllten pythagoräischen Identität ähnlich ist, nämlich . Die Definition der hyperbolischen Sekantenfunktion wird auf komplexe Argumente erweitert über die Identität . Sech hat Pole bei Werten zum eine ganze Zahl und wird an diesen Punkten zu ComplexInfinity ausgewertet. Sech [ z ] hat Reihenentwicklung über den Ursprung, der durch die Euler-Zahlen EulerE ausgedrückt werden kann. Die Umkehrfunktion von Sech ist ArcSech . Verwandte mathematische Funktionen umfassen Cosh und Csch .

Die inverse Kotangensfunktion - arccot

Für jede trigonometrische Funktion wie cot gibt es eine umgekehrte Funktion, die umgekehrt arbeitet. Diese inversen Funktionen haben den gleichen Namen, aber mit 'arc' davor. Die Umkehrung von cot ist also arccot ​​usw. Wenn wir "Arccot ​​A" sehen, interpretieren wir es als "der Winkel, dessen Kotangens A ist".

Kinderbett 60 = 0,577 Bedeutet: Der Kotangens von 60 Grad beträgt 0,577
Arccot ​​0,577 = 60 Bedeutet: Der Winkel, dessen Kotangens 0,577 beträgt, beträgt 60 Grad.

Manchmal geschrieben als Kinderbett oder Kinderbett -1


Von WeBWorK anerkannte mathematische Notation

Von WeBWork erkannte Operatoren, in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Rangfolge. Nicht alle Operatoren sind in allen Problemen verfügbar.

Operator Präz. Art Assoziativität Beschreibung
_ 9 binär links Extraktion von Vektor- und Matrixelementen
! 8 einstellig Recht Fakultät
^ 7 binär Recht Potenzierung
** 7 binär Recht Potenzierung
+ 6 einstellig links Unäres Plus (zeigt an, dass ein Wert positiv ist)
- 6 einstellig links Unäres Minus (zeigt an, dass ein Wert negativ ist)
/ 3 binär links Einteilung
* 3 binär links Multiplikation
. 2 binär links Vektorpunktprodukt
>< 2 binär links Vektorkreuzprodukt
U 1.5 binär links Union
- 1 binär links Subtraktion
+ 1 binär links Zusatz
, 0 binär links Listentrennzeichen (Vektor, Menge, Punkt usw.)


Ableitungen trigonometrischer Funktionen

In diesem Abschnitt werden wir lernen, wie man Ableitungen von Sinus- und Kosinusfunktionen bildet. Ich werde die Ableitungen der Ergebnisse zeigen, aber es ist nicht notwendig, dass Sie diese reproduzieren können, nur um sich die Ergebnisse zu merken. Ich zeige die Ableitungen nur der Vollständigkeit halber. Wenn Sie nur als Referenz suchen, habe ich die wichtigsten Ergebnisse in der folgenden Tabelle zusammengestellt:

Ableitungen trigonometrischer Funktionen:
$fracsin x = cos x$ $fraccos x = -sin x$
$frac an x = sec^2 x$ $fraccot x = -csc^2 x$
$fracsec x = sec x an x$ $fraccsc x = -csc x cot x$

Ableitungen

Wir beginnen mit der Ableitung der Sinusfunktion mit der Definition der Ableitung. Den Rest können wir mit Hilfe der Produkt- und Quotientenregeln ableiten. Für den Sinus müssen wir zwei vorläufige Grenzwerte berechnen. Die erste erfolgt durch ein geometrisches Argument.

Die nächste Grenze, die wir brauchen, ist

Diese Grenze wird einfach durch Multiplizieren mit dem Konjugierten berechnet.

Nun berechnen wir die Ableitung von $f(x) = sin x$.

Ich werde den Prozess der Verwendung der Definition der Ableitung zur Berechnung der Ableitung von $cos x$ nicht zeigen, sondern den Übungen überlassen. Es ist fast eine exakte Kopie der Ableitung, die für die Ableitung von $sin x$ gezeigt wurde.

Ausgestattet mit den Ableitungen von $sin x$ und $cos x$ ist es möglich, die anderen Ergebnisse über die Quotientenregel abzuleiten.

Zuerst führen wir die Ableitung von $ an$ durch.

Nun wenden wir wieder die Quotientenregel für $sec x$ an, aber diesmal ist die Zählerfunktion einfach 1.

Die anderen drei Ableitungen überlassen wir den Übungen. Beachten Sie, dass wir oben auf dieser Seite die soeben abgeleiteten Ergebnisse sowie die Ergebnisse, die ich ausgelassen habe, zusammengefasst haben. Lassen Sie uns nun mit einigen Beispielen fortfahren, die das bisher Gelernte anwenden.


Mathematische Ausdruckssyntax

Verwenden Sie bei der Eingabe von Formeln und Ausdrücken als Antwort eine mathematische Standardnotation, die der von einem Grafikrechner verwendeten ähnlich ist ( Beispiel — (x^2-2*x+1)*2*sin(x)*(x^2+1 )*e^(-x^2) wird akzeptiert).

Hier sind einige Hinweise zur Verwendung der mathematischen Ausdruckssyntax bei der Eingabe Ihrer Antwort:

  • Setzen Sie das Argument einer Funktion in Klammern () ( Beispiel — geben Sie sqrt(3x) ein, nicht sqrt 3x , was als (sqrt(3))*x interpretiert wird).
  • Achten Sie darauf, Klammern () einzuschließen (Beispiel — der Ausdruck 1/(x+1) unterscheidet sich von 1/x+1, das Möbius als interpretiert).

Differentialrechnung

3.3.3 Kettenregel

Die Kettenregel (auch bekannt als Funktion einer Funktionsregel ) ermöglicht die Bestimmung der Ableitung zusammengesetzter Funktionen . In ihrer einfachsten Form, d. h. für eine Zusammensetzung aus zwei Funktionen, hat die Kettenregel die Form

Alternativ könnten wir dies in der Notation „evaluiert bei“ schreiben, die vielleicht eine klarere Aussage über die Regel liefert.

Im Wesentlichen erfordert die Kettenregel die Verwendung einer Substitution, um die Zusammensetzung in ihre konstituierenden Funktionen zu zerlegen, und geht dann weiter, indem sie zuerst die Ableitung der „äußeren“ Funktion in Bezug auf die Substitution bildet. Wenn wir beispielsweise die zusammengesetzte Funktion in Gl. ( 3.12) würden wir mit der Substitution u = cos x beginnen und fortfahren als f′(du) = ddu nein /ddu = nu nein−1 . Ein wichtiger Punkt ist jedoch, dass wir das Differential des Komposits nach x, nicht du wir erklären dies, indem wir multiplizieren f′(du) von ddu/dx. Dieser vollständige Vorgang wird im folgenden Beispiel veranschaulicht.

Verwenden Sie die Kettenregel, um einen Ausdruck für abzuleiten

Lösung

Wir verwenden die Substitution u = cos x und erhalten

Die Kettenregel kann verwendet werden, um die Ableitungen einfacher Modifikationen von . zu erhalten Argumente der Grundfunktionen. Verwenden Sie zum Beispiel Gl. ( 3.13 ) können wir sofort Ausdrücke für Folgendes aufschreiben:

Wir sehen, dass die Wirkung einer Ableitung auf Funktionen der Form f(Axt), wo ein ist eine Konstante, um den Wert von herauszubekommen ein. Ableitungen der Funktionen der Form f(x + ein) keine Wirkung. Die allgemeinen Ergebnisse werden wie folgt gezeigt.

Diese Beobachtungen veranschaulichen die „Streckungs-“ und „Übersetzungs“-Eigenschaften einer solchen Modifizierung einer Funktion. Außerdem ist Gl. ( 3.9 ) sollte nun sofort ersichtlich sein, ohne auf intuitive Argumente über die „Form der Funktionen“ bei der in Abschnitt 3.2.4 vorgestellten Herleitung von d cos ( x ) / d x zurückgreifen zu müssen.

Die Kettenregel kann auf zusammengesetzte Funktionen erweitert werden, die aus einer Kette beliebiger Funktionen gebildet werden. Insbesondere schreiben wir für die Zusammensetzung von drei Funktionen

die auf offensichtliche Weise auf vier oder mehr Funktionen erweitert werden kann.

Wenn f(x) = exp(x), G(x) = 4x, und h ( x ) = sin x , geben Sie die folgenden zusammengesetzten Funktionen an und leiten Sie einen Ausdruck für die Ableitung nach ab x in jedem Fall. ein.

Lösung

Vollständig ausgedrückt sind die zusammengesetzten Funktionen

( f g ∘ h ) ( x ) = exp ( 4 sin x )

Nach der Kettenregel sind die Ableitungen

( f ∘ g ) ′ ( x ) = d f ( x ) d x g ( x ) d g ( x ) d x x = 4 exp ( 4 x )

( g ∘ h ) ′ ( x ) = d g ( x ) d x h ( x ) d h ( x ) d x x = 4 cos x

( f ∘ g ∘ h ) ′ ( x ) = d f ( x ) d x g ( h ( x ) ) d g ( x ) d x h ( x ) d h ( x ) d x x = 4 e 4 sin x cos x

( g ∘ h ∘ f ) ′ ( x ) = d g ( x ) d x h ( f ( x ) ) d h ( x ) d x f ( x ) d f ( x ) d x x = 4 e x cos ( 4 e x )

Verwenden Sie die Kettenregel, um den Gradienten der folgenden Funktion bei . zu finden x = 1.


Schau das Video: Derivative of an inverse hyperbolic function KristaKingMath (Oktober 2021).