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1.2: Eigenschaften von Potenzreihen - Mathematik


Im vorherigen Abschnitt über Potenzreihen und Funktionen haben wir gezeigt, wie man bestimmte Funktionen mit Potenzreihen darstellt. Diese Fähigkeit ist besonders nützlich, um Differentialgleichungen zu lösen, für die es keine Lösung in Bezug auf elementare Funktionen gibt.

Kombinieren von Leistungsserien

Wenn wir zwei Potenzreihen mit demselben Konvergenzintervall haben, können wir die beiden Reihen addieren oder subtrahieren, um eine neue Potenzreihe zu erstellen, ebenfalls mit demselben Konvergenzintervall. Auf ähnliche Weise können wir eine Potenzreihe mit einer Potenz von (x) multiplizieren oder eine Potenzreihe bei (x^m) für eine positive ganze Zahl (m) auswerten, um eine neue Potenzreihe zu erstellen. Dies ermöglicht es uns, Potenzreihendarstellungen für bestimmte Funktionen zu finden, indem wir Potenzreihendarstellungen anderer Funktionen verwenden. Da wir zum Beispiel die Potenzreihendarstellung für (f(x)=frac{1}{1−x} kennen, können wir Potenzreihendarstellungen für verwandte Funktionen finden, wie zum Beispiel

[y=dfrac{3x}{1−x^2}]

und

[y=dfrac{1}{(x−1)(x−3)}.]

In Anmerkung (PageIndex{1}) geben wir Ergebnisse bezüglich Addition oder Subtraktion von Potenzreihen, Zusammensetzung einer Potenzreihe und Multiplikation einer Potenzreihe mit einer Potenz der Variablen an. Der Einfachheit halber geben wir den Satz für Potenzreihen mit dem Zentrum (x=0) an. Ähnliche Ergebnisse gelten für Potenzreihen, die bei (x=a) zentriert sind.

Hinweis: (PageIndex{1}): Kombination von Leistungsreihen Power

Angenommen, die beiden Potenzreihen (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n) und (displaystylesum_{n=0}^∞d_nx^n) konvergieren gegen die Funktionen (f ) bzw. (g) auf einem gemeinsamen Intervall (I).

  1. Die Potenzreihe (displaystyle sum_{n=0}^∞(c_nx^n±d_nx^n)) konvergiert gegen (f±g) auf (I).
  2. Für jede ganze Zahl (m≥0) und jede reelle Zahl (b) konvergiert die Potenzreihe (displaystyle sum_{n=0}^∞bx^m_nx^n) gegen (bx^mf (x)) auf (I).
  3. Für jede ganze Zahl (m≥0) und jede reelle Zahl (b) konvergiert die Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n) gegen (f (bx^m)) für alle (x) mit (bx^m) in (I).

Beweis

Wir beweisen (i). im Fall der Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)). Angenommen, (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n) und (displaystyle sum_{n=0}^∞d_nx^n) konvergieren gegen die Funktionen (f) und (g) bzw. auf dem Intervall (I). Sei (x) ein Punkt in (I) und (S_N(x)) und (T_N(x)) bezeichnen die N-ten Teilsummen der Reihe (displaystyle sum_{n =0}^∞c_nx^n) bzw. (displaystyle sum_{n=0}^∞d_nx^n). Dann konvergiert die Folge ({S_N(x)}) gegen (f(x)) und die Folge ({T_N(x)}) gegen (g(x)). Außerdem ist die NeinTeilsumme von (displaystyle sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)) ist

[ egin{align*} sum_{n=0}^N(c_nx^n+d_nx^n)&=sum_{n=0}^Nc_nx^n+sum_{n=0}^Nd_nx^n [5pt] & =S_N(x)+T_N(x).end{ausrichten*}]

weil

[ egin{align*} lim_{N→∞}(S_N(x)+T_N(x))&=lim_{N→∞}S_N(x)+lim_{N→∞}T_N(x )[5pt] &=f(x)+g(x), end{ausrichten*}]

wir schließen, dass die Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)) gegen (f(x)+g(x)) konvergiert.

Wir untersuchen Produkte von Potenzreihen in einem späteren Theorem. Zuerst zeigen wir verschiedene Anwendungen von Note und wie man das Konvergenzintervall einer Potenzreihe bei gegebenem Konvergenzintervall einer verwandten Potenzreihe findet.

Beispiel (PageIndex{1}): Kombination von Potenzreihen

Angenommen, (displaystyle sum_{n=0}^∞a_nx^n) ist eine Potenzreihe, deren Konvergenzintervall ((−1,1)) ist, und (displaystyle sum_{ n=0}^∞b_nx^n) ist eine Potenzreihe, deren Konvergenzintervall ((−2,2).) ist.

  1. Bestimme das Konvergenzintervall der Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n).)
  2. Bestimme das Konvergenzintervall der Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n.)

Lösung

  1. Da das Intervall ((−1,1)) ein gemeinsames Konvergenzintervall der Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞a_nx^n) und (displaystyle sum_{n= 0}^∞b_nx^n), das Konvergenzintervall der Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n)) ist ((−1,1) ).
  2. Da (displaystyle sum_{n=0}^∞a_nx^n) eine bei Null zentrierte Potenzreihe mit Konvergenzradius (1,) ist, konvergiert sie für alle (x) im Intervall ( (−1,1).) Nach Note konvergiert die Reihe [ sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n=sum_{n=0}^∞a_n(3x)^n], wenn 3x liegt im Intervall ((−1,1)). Daher konvergiert die Reihe für alle x im Intervall ((−dfrac{1}{3},dfrac{1}{3}).)

Übung (PageIndex{1})

Angenommen, (displaystyle sum_{n=0}^∞a_nx^n) hat ein Konvergenzintervall von ((−1,1)). Bestimmen Sie das Konvergenzintervall von (displaystyle sum_{n=0}^∞a_n(dfrac{x}{2})^n).

Hinweis

Finden Sie die Werte von (x) so, dass (dfrac{x}{2}) im Intervall ((−1,1).) liegt.

Antworten

Konvergenzintervall ist ((−2,2).)

Im nächsten Beispiel zeigen wir, wie man Note und die Potenzreihe für eine Funktion f verwendet, um Potenzreihen für Funktionen zu konstruieren, die sich auf (f) beziehen. Konkret betrachten wir Funktionen bezogen auf die Funktion (f(x)=dfrac{1}{1−x}) und nutzen die Tatsache, dass

[dfrac{1}{1−x}=sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+ldots]

für (|x|<1.)

Beispiel (PageIndex{2}): Konstruieren von Potenzreihen aus bekannten Potenzreihen

Verwenden Sie die Potenzreihendarstellung für (f(x)=dfrac{1}{1−x}) kombiniert mit Note, um eine Potenzreihe für jede der folgenden Funktionen zu konstruieren. Finden Sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe.

  1. (f(x)=dfrac{3x}{1+x^2})
  2. (f(x)=dfrac{1}{(x−1)(x−3)})

Lösung

ein. Schreiben Sie zuerst (f(x)) als

[ f(x)=3x(dfrac{1}{1−(−x^2)}). keine Nummer]

Verwendung der Potenzreihendarstellung für (f(x)=dfrac{1}{1−x}) und Teile ii. und iii. Beachten Sie, dass eine Potenzreihendarstellung für (f) gegeben ist durch

[ sum_{n=0}^∞3x(−x^2)^n=sum_{n=0}^∞3(−1)^nx^{2n+1}. keine Nummer]

Da das Konvergenzintervall der Reihe für (dfrac{1}{1−x}) ((−1,1)) ist, ist das Konvergenzintervall für diese neue Reihe die Menge der reellen Zahlen x mit (∣x^2∣<1). Daher ist das Konvergenzintervall ((−1,1).)

b. Um die Potenzreihendarstellung zu finden, verwenden Sie Partialbrüche, um (f(x)=dfrac{1}{(1−x)(x−3)}) als Summe zweier Brüche zu schreiben. Wir haben

[ dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=dfrac{−1/2}{x−1}+dfrac{1/2}{x−3}=dfrac{ 1/2}{1−x}−dfrac{1/2}{3−x}=dfrac{1/2}{1−x}−dfrac{1/6}{1−dfrac{x }{3}}. keine Nummer]

Verwenden Sie zunächst Teil ii. Beachten Sie, wir erhalten

[ dfrac{1/2}{1−x}=sum_{n=0}^∞dfrac{1}{2}x^n ext{for} |x|<1. keine Nummer]

Dann unter Verwendung von Teilen ii. Beachten Sie, wir haben

[ dfrac{1/6}{1−x/3}=sum_{n=0}^∞dfrac{1}{6}(dfrac{x}{3})^n ext{for } |x|<3. keine Nummer]

Da wir diese beiden Potenzreihen kombinieren, muss das Konvergenzintervall der Differenz das kleinere dieser beiden Intervalle sein. Mit dieser Tatsache und Teil i. Beachten Sie, wir haben

[ dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=sum_{n=0}^∞(dfrac{1}{2}−dfrac{1}{6⋅3^n })x^n onumber]

wobei das Konvergenzintervall ((−1,1)) ist.

Übung (PageIndex{}2)

Verwenden Sie die Reihe für (f(x)=dfrac{1}{1−x}) auf (|x|<1), um eine Reihe für (dfrac{1}{(1−x )(x−2)}.) Bestimmen Sie das Konvergenzintervall.

Hinweis

Verwenden Sie Partialbrüche, um (dfrac{1}{(1−x)(x−2)}) als Differenz zweier Brüche umzuschreiben.

Antworten

(displaystyle sum_{n=0}^∞(−1+dfrac{1}{2^{n+1}})x^n). Das Konvergenzintervall ist ((−1,1)).

In Beispiel (PageIndex{2}) haben wir gezeigt, wie man Potenzreihen für bestimmte Funktionen findet. In Beispiel (PageIndex{3}) zeigen wir, wie Sie das Gegenteil tun: Bestimmen Sie, welche Funktion eine gegebene Potenzreihe darstellt.

Beispiel (PageIndex{3}): Finden der Funktion, die durch eine gegebene Potenzreihe dargestellt wird

Betrachten Sie die Potenzreihe (displaystyle sum_{n=0}^∞2^nx^n.) Bestimmen Sie die Funktion f, die durch diese Reihe repräsentiert wird. Bestimmen Sie das Konvergenzintervall der Reihe.

Lösung

Schreiben der angegebenen Reihe als

[ sum_{n=0}^∞2^nx^n=sum_{n=0}^∞(2x)^n, onumber]

wir können diese Reihe als Potenzreihe für erkennen

[ f(x)=dfrac{1}{1−2x}. keine Nummer]

Da dies eine geometrische Reihe ist, konvergiert die Reihe genau dann, wenn (|2x|<1.) Daher ist das Konvergenzintervall ((−dfrac{1}{2},dfrac{1}{ 2}).)

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie die Funktion, die durch die Potenzreihe (displaystyle sum_{n=0}^∞dfrac{1}{3^n}x^n) dargestellt wird.

Bestimmen Sie sein Konvergenzintervall.

Hinweis

Schreiben Sie (dfrac{1}{3^n}x^n=(dfrac{x}{3})^n).

Antworten

(f(x)=dfrac{3}{3−x}.) Das Konvergenzintervall ist ((−3,3)).

Erinnern Sie sich an die Fragen im Kapiteleröffnung, welche die bessere Art ist, Auszahlungen aus Lotteriegewinnen zu erhalten. Wir greifen diese Fragen nun erneut auf und zeigen, wie man anhand von Reihen den Wert von Zahlungen im Zeitverlauf mit einer heutigen Pauschalzahlung vergleicht. Wir werden berechnen, wie viel zukünftige Zahlungen in heutigen Dollar wert sind, vorausgesetzt, wir haben die Möglichkeit, Gewinne zu investieren und Zinsen zu verdienen. Der Wert zukünftiger Zahlungen in heutigen Dollar wird als . bezeichnet Vorhandener Wert dieser Zahlungen.

Beispiel (PageIndex{4}): Barwert zukünftiger Gewinne

Angenommen, Sie gewinnen im Lotto und erhalten die folgenden drei Optionen:

  • Erhalten Sie heute 20 Millionen Dollar;
  • Erhalten Sie in den nächsten 20 Jahren 1,5 Millionen Dollar pro Jahr; oder
  • Erhalten Sie 1 Million Dollar pro Jahr auf unbestimmte Zeit (die an Ihre Erben weitergegeben werden).

Welches ist das beste Angebot, wenn der jährliche Zinssatz 5 % beträgt? Wir beantworten dies, indem wir die folgende Abfolge von Fragen durcharbeiten.

  1. Wie viel sind die 1,5 Millionen Dollar, die im Laufe von 20 Jahren jährlich eingenommen werden, in Bezug auf den heutigen Dollar wert, wenn man einen jährlichen Zinssatz von 5 % annimmt?
  2. Verwenden Sie die Antwort zu Teil a. um eine allgemeine Formel für die find zu finden Vorhandener Wert der Zahlungen in Höhe von (C) Dollar, die jedes Jahr in den nächsten n Jahren erhalten werden, unter Annahme eines durchschnittlichen Jahreszinssatzes (r).
  3. Finden Sie eine Formel für den Barwert, wenn die jährlichen Zahlungen von (C) Dollar auf unbestimmte Zeit andauern, unter der Annahme eines durchschnittlichen Jahreszinses (r).
  4. Verwenden Sie die Antwort zu Teil c. den Barwert von 1 Million Dollar zu bestimmen, die jährlich auf unbestimmte Zeit gezahlt werden.
  5. Verwenden Sie Ihre Antworten zu den Teilen a. und d. um festzustellen, welche der drei Optionen die beste ist.

Lösung

ein. Betrachten Sie die Zahlung von 1,5 Millionen Dollar am Ende des ersten Jahres. Wenn Sie diese Zahlung heute statt in einem Jahr erhalten könnten, könnten Sie dieses Geld investieren und 5% Zinsen verdienen. Daher erfüllt der Barwert dieses Geldes (P_1) (P_1(1+0.05)=1.5)Millionen Dollar. Wir schließen daraus

(P_1=dfrac{1.5}{1.05}=$1.429) Millionen Dollar.

Betrachten Sie auch die Zahlung von 1,5 Millionen Dollar am Ende des zweiten Jahres. Wenn Sie diese Zahlung heute erhalten könnten, könnten Sie dieses Geld zwei Jahre lang anlegen und 5 % Zinsen verdienen, die jährlich aufgezinst werden. Daher erfüllt der Barwert dieses Geldes (P_2) (P_2(1+0.05)^2=1.5) Millionen Dollar. Wir schließen daraus

(P_2=1.5(1.05)^2=$1.361) Millionen Dollar.

Der Wert der zukünftigen Zahlungen heute ist die Summe der Barwerte (P_1,P_2,…,P_{20}) jeder dieser jährlichen Zahlungen. Der Barwert (P_k) erfüllt

(P_k=dfrac{1.5}{(1.05)^k}).

Deshalb,

(P=dfrac{1.5}{1.05}+dfrac{1.5}{(1.05)^2}+ldots+dfrac{1.5}{(1.05)^{20}}=$18.693) Millionen Dollar.

b. Verwenden des Ergebnisses aus Teil a. wir sehen, dass der Barwert P der jährlich über n Jahre gezahlten C-Dollar unter Annahme eines jährlichen Zinssatzes r gegeben ist durch

(P=dfrac{C}{1+r}+dfrac{C}{(1+r)^2}+ldots+dfrac{C}{(1+r)^n}) Dollar.

c. Verwenden des Ergebnisses aus Teil b. wir sehen, dass der Barwert einer unbegrenzt laufenden Rente durch die unendliche Reihe gegeben ist

(P=sum_{n=0}^∞dfrac{C}{(1+r)^{n+1}}).

Wir können uns den Barwert als Potenzreihe in r ansehen, die konvergiert, solange (∣dfrac{1}{1+r}∣<1). Da (r>0) konvergiert diese Reihe. Die Serie umschreiben als

(P=dfrac{C}{(1+r)}sum_{n=0}^∞(dfrac{1}{1+r})^n),

wir erkennen diese Reihe als Potenzreihe für

(f(r)=dfrac{1}{1−(dfrac{1}{1+r})}=dfrac{1}{(dfrac{r}{1+r})}= dfrac{1+r}{r}).

Wir schließen daraus, dass der Barwert dieser Rente

(P=dfrac{C}{1+r}⋅dfrac{1+r}{r}=dfrac{C}{r}.)

d. Vom Ergebnis zum Teil c. schließen wir, dass der Barwert (P) von (C=1) Millionen Dollar jedes Jahr auf unbestimmte Zeit ausgezahlt, unter der Annahme eines jährlichen Zinssatzes (r=0.05), ist gegeben durch

(P=dfrac{1}{0,05}=20) Millionen Dollar.

e. Von Teil a. Wir sehen, dass der Erhalt von 1,5 Millionen Dollar im Laufe von 20 Jahren in heutigen Dollar 18,693 Millionen Dollar wert ist. Ab Teil d. Wir sehen, dass der Erhalt von 1 Million Dollar pro Jahr auf unbestimmte Zeit 20 Millionen Dollar in heutigen Dollar wert ist. Daher hat entweder der Erhalt einer Pauschalzahlung von 20 Millionen Dollar heute oder der Erhalt von 1 Million Dollar auf unbestimmte Zeit den gleichen Barwert.

Multiplikation der Leistungsreihen

Wir können auch neue Potenzreihen erstellen, indem wir Potenzreihen multiplizieren. Die Möglichkeit, zwei Potenzreihen zu multiplizieren, bietet eine weitere Möglichkeit, Potenzreihendarstellungen für Funktionen zu finden. Wir multiplizieren sie ähnlich wie wir Polynome multiplizieren. Angenommen, wir wollen multiplizieren

[sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+ldots]

und

[sum_{n=0}^∞d_nx^n=d_0+d+1x+d_2x^2+ldots.]

Es scheint, dass das Produkt zufriedenstellen sollte

[(sum_{n=0}^∞c_nx^n)(sum_{n=−0}^∞d_nx^n)=(c_0+c_1x+c_2x^2+ldots)⋅(d_0+d_1x+ d_2x^2+ldots)=c_0d^0+(c_1d^0+c_0d^1)x+(c_2d^0+c_1d^1+c_0d^2)x^2+ldots.]

In Note geben wir das Hauptergebnis bezüglich der Multiplikation von Potenzreihen an und zeigen, dass wenn (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n) und (displaystyle sum_{n=0}^∞d_nx^ n) gegen ein gemeinsames Intervall (I) konvergieren, dann können wir die Reihe auf diese Weise multiplizieren, und die resultierende Reihe konvergiert auch gegen das Intervall (I).

Multiplizieren von Potenzreihen

Angenommen, die Potenzreihen (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n) und (displaystyle sum_{n=0}^∞d_nx^n) konvergieren gegen (f) und (g) bzw. auf einem gemeinsamen Intervall (I). Lassen

[e_n=c_0d_n+c_1d_{n−1}+c_2d_{n−2}+ldots+c_{n−1}d_1+c_nd_0=sum_{k=0}^nc_kd_{n−k}.]

Dann

[(sum_{n=0}^∞c_nx^n)(sum_{n=0}^∞d_nx^n)=sum_{n=0}^∞e_nx^n]

und

[sum_{n=0}^∞e_nx^n ext{konvergiert gegen}f(x)⋅g(x) ext{on} I.]

Die Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞e_nx^n) wird als Cauchy-Produkt der Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n) und (displaystyle sum_{n=0}^∞d_nx^n).

Wir lassen den Beweis dieses Theorems weg, da er über das Niveau dieses Textes hinausgeht und typischerweise in einem fortgeschritteneren Kurs behandelt wird. Wir geben nun ein Beispiel für diesen Satz, indem wir die Potenzreihendarstellung für

[f(x)=dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)}]

unter Verwendung der Potenzreihendarstellungen für

[y=dfrac{1}{1−x} ext{und} y=dfrac{1}{1−x^2}].

Beispiel (PageIndex{5}): Potenzreihe multiplizieren

Multiplizieren Sie die Potenzreihendarstellung

[dfrac{1}{1−x}=sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+ldots onumber]

für (|x|<1) mit der Potenzreihendarstellung

[dfrac{1}{1−x^2}=sum_{n=0}^∞(x^2)^n=1+x^2+x^4+x^6+ldots onumber ]

für (|x|<1), um eine Potenzreihe für (f(x)=dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)}) auf dem Intervall (( −1,1)).

Lösung

Wir müssen uns vermehren

[(1+x+x^2+x^3+ldots)(1+x^2+x^4+x^6+ldots). onumber]

Wenn wir die ersten Terme ausschreiben, sehen wir, dass das Produkt gegeben ist durch

[(1+x^2+x^4+x^6+ldots)+(x+x^3+x^5+x^7+ldots)+(x^2+x^4+x ^6+x^8+ldots)+(x^3+x^5+x^7+x^9+ldots)=1+x+(1+1)x^2+(1+1)x ^3+(1+1+1)x^4+(1+1+1)x^5+ldots=1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+ldots .keine Nummer]

Da die Reihen für (y=dfrac{1}{1−x}) und (y=dfrac{1}{1−x^2}) beide auf dem Intervall ((−1, 1)), konvergiert die Reihe für das Produkt auch auf dem Intervall ((−1,1)).

Übung (PageIndex{4})

Multiplizieren Sie die Reihe (dfrac{1}{1−x}=sum_{n=0}^∞x^n) mit sich selbst, um eine Reihe für (dfrac{1}{(1−x) (1−x)}.)

Hinweis

Multiplizieren Sie die ersten Terme von ((1+x+x^2+x^3+ldots)(1+x+x^2+x^3+ldots))

Antworten

(1+2x+3x^2+4x^3+ldots)

Differenzieren und Integrieren von Leistungsserien

Betrachten Sie eine Potenzreihe (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+ldots), die auf einem Intervall (I) konvergiert, und sei (f ) sei die durch diese Reihe definierte Funktion. Hier behandeln wir zwei Fragen zu (f).

  • Ist (f) differenzierbar, und wenn ja, wie bestimmen wir die Ableitung (f′)?
  • Wie berechnen wir das unbestimmte Integral (∫f(x)dx)?

Wir wissen, dass wir für ein Polynom mit endlich vielen Termen die Ableitung berechnen können, indem wir jeden Term separat differenzieren. Auf ähnliche Weise können wir das unbestimmte Integral auswerten, indem wir jeden Term separat integrieren. Hier zeigen wir, dass wir dasselbe für konvergente Potenzreihen tun können. Das heißt, wenn

[f(x)=c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+ldots]

konvergiert in einem Intervall ich, dann

[f′(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+ldots]

und

[∫f(x)dx=C+c_0x+c_1dfrac{x^2}{2}+c_2dfrac{x^3}{3}+ldots.]

Die Bewertung der Ableitung und des unbestimmten Integrals auf diese Weise heißt Term-für-Term-Differenzierung einer Potenzreihe und Term-für-Term-Integration einer Potenzreihe, beziehungsweise. Die Fähigkeit, Potenzreihen Term für Term zu differenzieren und zu integrieren, ermöglicht es uns auch, bekannte Potenzreihendarstellungen zu verwenden, um Potenzreihendarstellungen für andere Funktionen zu finden. Beispielsweise können wir bei gegebener Potenzreihe für (f(x)=dfrac{1}{1−x}) Term für Term differenzieren, um die Potenzreihe für (f′(x)= dfrac{1}{(1−x)^2}). In ähnlicher Weise können wir mit der Potenzreihe für (g(x)=dfrac{1}{1+x}) Term für Term integrieren, um die Potenzreihe für (G(x)=ln (1+x)), eine Stammfunktion von G. Wie das geht, zeigen wir in Beispiel und Beispiel. Zunächst geben wir Note an, die das Hauptergebnis zur Differenzierung und Integration von Potenzreihen liefert.

Term-für-Term-Differenzierung und -Integration für Power Series

Angenommen, die Potenzreihe (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n) konvergiert auf dem Intervall ((a−R,a+R)) für ein (R >0). Lassen f sei die durch die Reihe definierte Funktion

[f(x)=sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3 +ldots]

für (|x−a|f ist auf dem Intervall ((a−R,a+R)) differenzierbar und wir können (f′) finden, indem wir die Reihe Term für Term ableiten:

[f′(x)=sum{n=1}^∞nc_n(x−a)^n−1=c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+ldots]

für (|x−a|

[∫f(x)dx=C+sum_{n=0}^∞c_ndfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}=C+c_0(x−a)+ c_1dfrac{(x−a)^2}{2}+c_2dfrac{(x−a)^3}{3}+ldots]

für (|x−a|

Der Beweis dieses Ergebnisses würde den Rahmen des Textes sprengen und wird weggelassen. Beachten Sie, dass Note zwar den gleichen Konvergenzradius garantiert, wenn eine Potenzreihe Term für Term differenziert oder integriert wird, aber nichts darüber aussagt, was an den Endpunkten passiert. Es ist möglich, dass sich die differenzierte und integrierte Potenzreihe an den Endpunkten anders verhält als die ursprüngliche Reihe. Dieses Verhalten sehen wir in den nächsten Beispielen.

Beispiel (PageIndex{6}): Differenzieren von Potenzreihen

  1. Verwenden Sie die Potenzreihendarstellung [f(x)=dfrac{1}{1−x}=sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+ldots ] für (|x|<1), um eine Potenzreihendarstellung für [g(x)=dfrac{1}{(1−x)^2}] auf dem Intervall ((−1 ,1).) Bestimmen Sie, ob die resultierende Reihe an den Endpunkten konvergiert.
  2. Verwenden Sie das Ergebnis von Teil a. um die Summe der Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞dfrac{n+1}{4^n}) auszuwerten.

Lösung

ein. Da (g(x)=dfrac{1}{(1−x)^2}) die Ableitung von (f(x)=dfrac{1}{1−x}) ist, können wir Finden Sie eine Potenzreihendarstellung für g, indem Sie die Potenzreihen für f Term für Term differenzieren. Das Ergebnis ist

[g(x)=dfrac{1}{(1−x)^2}=dfrac{d}{dx}(dfrac{1}{1−x})=sum_{n=0} ^∞dfrac{d}{dx}(x^n)=dfrac{d}{dx}(1+x+x^2+x^3+ldots)=0+1+2x+3x^2 +4x^3+ldots=sum_{n=0}^∞(n+1)x^n onumber]

for (|x|<1.) Note garantiert nichts über das Verhalten dieser Reihe an den Endpunkten. Beim Testen der Endpunkte mit dem Divergenztest stellen wir fest, dass die Reihe an beiden Endpunkten (x=±1) divergiert. Beachten Sie, dass dies dasselbe Ergebnis wie in Beispiel ist.

b. Wir wissen das

[sum_{n=0}^∞(n+1)x^n=dfrac{1}{(1−x)^2}. keine Nummer]

Deshalb,

[egin{align*} sum_{n=0}^∞dfrac{n+1}{46n} &=sum_{n=0}^∞(n+1)(dfrac{1}{ 4})^n [5pt]& =dfrac{1}{(1−dfrac{1}{4})^2}[5pt]&dfrac{1}{(dfrac{3 }{4})^2}[5pt]&dfrac{16}{9} end{align*}]

Übung (PageIndex{5})

Differenzieren Sie die Reihe (dfrac{1}{(1−x)^2}=sum_{n=0}^∞(n+1)x^n) Term für Term, um eine Potenzreihendarstellung zu finden für (dfrac{2}{(1−x)^3}) auf dem Intervall ((−1,1)).

Hinweis

Schreiben Sie die ersten Terme auf und wenden Sie die Potenzregel an.

Antworten

(displaystyle sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)x^n)

Beispiel (PageIndex{7}): Integration von Leistungsreihen

Für jede der folgenden Funktionen f, finde eine Potenzreihendarstellung für f indem Sie die Potenzreihe für (f′) integrieren und ihr Konvergenzintervall bestimmen.

  1. (f(x)=ln(1+x))
  2. (f(x)=tan^{−1}x)

Lösung:

ein. Für (f(x)=ln(1+x)) ist die Ableitung (f′(x)=dfrac{1}{1+x}). Wir wissen das

(dfrac{1}{1+x}=dfrac{1}{1−(−x)}=sum_{n=0}^∞(−x)^n=1−x+x^2 −x^3+ldots)

für (|x|<1). Um eine Potenzreihe für (f(x)=ln(1+x)) zu finden, integrieren wir die Reihe Term für Term.

(∫f′(x)dx=∫(1−x+x^2−x^3+ldots)dx=C+x−dfrac{x^2}{2}+dfrac{x^3 }{3}−dfrac{x^4}{4}+ldots)

Da (f(x)=ln(1+x)) eine Stammfunktion von (dfrac{1}{1+x}) ist, muss noch nach der Konstanten C. Da (ln(1+0)=0) gilt (C=0). Daher ist eine Potenzreihendarstellung für (f(x)=ln(1+x))

(ln(1+x)=x−dfrac{x^2}{2}+dfrac{x^3}{3}−dfrac{x^4}{4}+ldots=sum_ {n=1}^∞(−1)^{n+1}dfrac{x^n}{n})

für (|x|<1). Hinweis garantiert nichts über das Verhalten dieser Potenzreihe an den Endpunkten. Wenn wir jedoch die Endpunkte überprüfen, finden wir, dass die Reihe bei (x=1) die alternierende harmonische Reihe ist, die konvergiert. Auch bei (x=−1) ist die Reihe die harmonische Reihe, die divergiert. Es ist wichtig zu beachten, dass, obwohl diese Reihe bei (x=1) konvergiert, Note nicht garantiert, dass die Reihe tatsächlich gegen (ln(2)) konvergiert. Tatsächlich konvergiert die Reihe gegen (ln(2)), aber um diese Tatsache zu zeigen, sind fortgeschrittenere Techniken erforderlich. (Der Satz von Abel, der in fortgeschritteneren Texten behandelt wird, behandelt diesen eher technischen Punkt.) Das Konvergenzintervall ist ((−1,1]).

b. Die Ableitung von (f(x)=tan^{−1}x) ist (f′(x)=dfrac{1}{1+x^2}). Wir wissen das

(dfrac{1}{1+x^2}=dfrac{1}{1−(−x^2)}=sum_{n=0}^∞(−x^2)^n=1 −x^2+x^4−x^6+ldots)

für (|x|<1). Um eine Potenzreihe für (f(x)=tan^{−1}x) zu finden, integrieren wir diese Reihe Term für Term.

(∫f′(x)dx=∫(1−x^2+x^4−x^6+ldots)dx=C+x−dfrac{x^3}{3}+dfrac{x ^5}{5}−dfrac{x^7}{7}+ldots)

Da (tan^{−1}(0)=0) gilt (C=0). Daher ist eine Potenzreihendarstellung für (f(x)=tan^{−1}x)

(tan^{−1}x=x−dfrac{x^3}{3}+dfrac{x^5}{5}−dfrac{x^7}{7}+ldots=sum_ {n=0}^∞(−1)^ndfrac{x^{2n+1}}{2n+1})

für (|x|<1). Auch hier garantiert Note nichts über die Konvergenz dieser Reihe an den Endpunkten. Wenn wir jedoch die Endpunkte überprüfen und den alternierenden Reihentest verwenden, stellen wir fest, dass die Reihe bei (x=1) und (x=−1) konvergiert. Wie in Teil a. diskutiert, kann mit dem Satz von Abel gezeigt werden, dass die Reihe tatsächlich gegen (tan^{−1}(1)) und (tan^{−1}(−1)) bei konvergiert (x=1) bzw. (x=−1). Das Konvergenzintervall ist also ([−1,1]).

Übung (PageIndex{6})

Integriere die Potenzreihe (ln(1+x)=sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}dfrac{x^n}{n}) Term für Term um (∫ln(1+x)dx.) auszuwerten

Hinweis

Verwenden Sie die Tatsache, dass (dfrac{x^{n+1}}{(n+1)n}) eine Stammfunktion von (dfrac{x^n}{n}) ist.

Antworten

(displaystyle sum_{n=2}^∞dfrac{(−1)^nx^n}{n(n−1)})

Bis jetzt haben wir verschiedene Techniken gezeigt, um Potenzreihendarstellungen für Funktionen zu finden. Aber woher wissen wir, dass diese Potenzreihen einzigartig sind? Das heißt, wenn eine Funktion (f) und eine Potenzreihe für (f) in (a) gegeben sind, ist es möglich, dass es eine andere Potenzreihe für (f) in a gibt, die wir haben könnten gefunden, wenn wir eine andere Technik verwendet hätten? Die Antwort auf diese Frage ist nein. Diese Tatsache sollte nicht überraschend erscheinen, wenn wir uns Potenzreihen als Polynome mit unendlich vielen Termen vorstellen. Intuitiv, wenn

[c_0+c_1x+c_2x^2+ldots=d_0+d_1x+d_2x^2+ldots]

für alle Werte (x) in einem offenen Intervall ich um Null, dann sollten die Koeffizienten (c_n) gleich (d_n) für (n≥0) sein. Dieses Ergebnis geben wir nun formal an.

Einzigartigkeit der Power-Serie

Seien (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n) und (displaystyle sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n) zwei konvergente Potenzreihe mit

[sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n]

für alle x in einem offenen Intervall, das (a) enthält. Dann gilt (c_n=d_n) für alle (n≥0).

Beweis

Lassen

[egin{align*} f(x)&=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+ldots &=d_0+d_1 (x−a)+d_2(x−a)^2+d_3(x−a)^3+ldots. end{ausrichten*}]

Dann (f(a)=c_0=d_0.) Nach Anmerkung können wir beide Reihen Term für Term differenzieren. Deshalb,

[egin{align*}f′(x)&=c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+ldots &=d_1+2d_2(x−a)+3d_3( x−a)^2+ldots,end{ausrichten*}]

und somit (f′(a)=c_1=d_1.) Ähnlich gilt

[egin{align*} f''(x)&=2c_2+3⋅2c_3(x−a)+ldots &=2d_2+3⋅2d_3(x−a)+ldotsend{align *}]

impliziert, dass (f''(a)=2c_2=2d_2,) und daher (c_2=d_2). Allgemeiner ausgedrückt gilt für jede ganze Zahl (n≥0,f^{(n)} (a)=n!c_n=n!d_n,) und folglich (c_n=d_n) für alle (n≥0 .)

In diesem Abschnitt haben wir gezeigt, wie man Potenzreihendarstellungen für bestimmte Funktionen mithilfe verschiedener algebraischer Operationen, Differentiation oder Integration findet. An dieser Stelle sind wir jedoch noch beschränkt auf die Funktionen, für die wir Potenzreihendarstellungen finden können. Als nächstes zeigen wir, wie man Potenzreihendarstellungen für viele weitere Funktionen durch die Einführung von Taylor-Reihen findet.

Schlüssel Konzepte

  • Gegeben zwei Potenzreihen (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n) und (displaystyle sum_{n=0}^∞d_nx^n), die gegen Funktionen (f) konvergieren und (g) auf einem gemeinsamen Intervall (I) konvergieren die Summe und die Differenz der beiden Reihen gegen (f±g) bzw. auf (I). Außerdem konvergiert für jede reelle Zahl (b) und ganze Zahl (m≥0) die Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞bx^mc_nx^n) gegen (bx^ mf(x)) und die Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n) konvergiert gegen (f(bx^m)), wenn (bx^m ) liegt im Intervall (I).
  • Bei zwei Potenzreihen, die auf einem Intervall ((−R,R),) konvergieren, konvergiert das Cauchy-Produkt der beiden Potenzreihen auf dem Intervall ((−R,R)).
  • Gegeben eine Potenzreihe, die gegen eine Funktion (f) auf einem Intervall ((−R,R)) konvergiert, kann die Reihe Term für Term differenziert werden und die resultierende Reihe konvergiert gegen (f′) auf ((−R,R)). Die Reihe kann auch gliedweise integriert werden und die resultierende Reihe konvergiert gegen (∫f(x)dx) auf ((−R,R)).

Glossar

Term-für-Term-Differenzierung einer Potenzreihe
eine Technik zum Bewerten der Ableitung einer Potenzreihe (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n) durch separates Bewerten der Ableitung jedes Termes, um die neue Potenzreihe ( Anzeigestil sum_{n=1}^∞nc_n(x−a)^{n−1})
Term-für-Term-Integration einer Potenzreihe
eine Technik zum Integrieren einer Potenzreihe (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n) durch separate Integration jedes Termes, um die neue Potenzreihe (C+sum_{n=0 .) zu erzeugen }^∞c_ndfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1})

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


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