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1.3: Änderungsraten und Verhalten von Graphen


Fähigkeiten zum Entwickeln

  • Ermitteln Sie die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion.
  • Verwenden Sie einen Graphen, um zu bestimmen, wo eine Funktion ansteigend, absteigend oder konstant ist.
  • Verwenden Sie ein Diagramm, um lokale Maxima und lokale Minima zu lokalisieren.
  • Verwenden Sie ein Diagramm, um das absolute Maximum und das absolute Minimum zu ermitteln.

Die Benzinkosten haben in den letzten Jahrzehnten einige starke Schwankungen erfahren. Tabelle (PageIndex{1}) listet die durchschnittlichen Kosten in Dollar für eine Gallone Benzin für die Jahre 2005–2012 auf. Die Benzinkosten können als Funktion des Jahres betrachtet werden.

Tabelle (PageIndex{1})
(j)20052006200720082009201020112012
(C(y))2.312.622.843.302.412.843.583.68

Wären wir nur daran interessiert, wie sich die Benzinpreise zwischen 2005 und 2012 verändert haben, könnten wir berechnen, dass die Kosten pro Gallone von 2,31 USD auf 3,68 USD gestiegen sind, was einem Anstieg von 1,37 USD entspricht. Dies ist zwar interessant, es könnte jedoch nützlicher sein, sich anzusehen, wie stark sich der Preis pro Jahr ändert. In diesem Abschnitt werden wir Änderungen wie diese untersuchen.

Die Preisänderung pro Jahr beträgt a Änderungsrate weil es beschreibt, wie sich eine Ausgangsgröße relativ zur Änderung der Eingangsgröße ändert. Wir können sehen, dass sich der Benzinpreis in Tabelle (PageIndex{1}) nicht jedes Jahr um denselben Betrag änderte, sodass die Änderungsrate nicht konstant war. Wenn wir nur die Anfangs- und Enddaten verwenden, würden wir die durchschnittliche Änderungsrate über den angegebenen Zeitraum. Um die durchschnittliche Änderungsrate zu ermitteln, teilen wir die Änderung des Ausgabewerts durch die Änderung des Eingabewerts.

[egin{align*} ext{Durchschnittliche Änderungsrate}&=dfrac{ ext{Änderung der Ausgabe}}{ ext{Änderung der Eingabe}} [5pt] &=dfrac{Delta y}{Delta x}[5pt] &=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[5pt] &=dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1 }end{ausrichten*} label{1.3.1}]

Der griechische Buchstabe (Delta) (Delta) bezeichnet die Veränderung einer Größe; wir lesen das Verhältnis als „Delta-(y) über Delta-(x)“ oder „die Änderung von (y) geteilt durch die Änderung von (x).“ Gelegentlich schreiben wir (Delta f) anstelle von (Delta y), was immer noch die Änderung des Ausgabewertes der Funktion darstellt, die sich aus einer Änderung ihres Eingabewertes ergibt. Es bedeutet nicht, dass wir die Funktion in eine andere Funktion ändern.

In unserem Beispiel stieg der Benzinpreis von 2005 bis 2012 um 1,37 US-Dollar. Über 7 Jahre betrug die durchschnittliche Änderungsrate

[dfrac{Delta y}{Delta x}=dfrac{$1,37}{7 ext{Jahre}}approx ext{0,196 Dollar pro Jahr.} label{1.3.2}]

Im Durchschnitt stieg der Gaspreis pro Jahr um etwa 19,6¢. Andere Beispiele für Änderungsraten sind:

  • Eine Rattenpopulation wächst um 40 Ratten pro Woche
  • Ein Auto, das 110 Meilen pro Stunde fährt (die zurückgelegte Entfernung ändert sich im Laufe der Zeit um 110 Meilen pro Stunde)
  • Ein Auto, das 27 Meilen pro Gallone fährt (die zurückgelegte Entfernung ändert sich um 27 Meilen pro Gallone)
  • Der Strom durch einen Stromkreis steigt um 0,125 Ampere für jedes Volt erhöhter Spannung
  • Der Geldbetrag auf einem College-Konto sinkt um 4.000 USD pro Quartal

Definition: Änderungsrate

Eine Änderungsrate beschreibt, wie sich eine Ausgangsgröße relativ zur Änderung der Eingangsgröße ändert. Die Einheiten einer Änderungsrate sind „Ausgabeeinheiten pro Eingabeeinheit“.

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen zwei Eingangswerten ist die Gesamtänderung der Funktionswerte (Ausgangswerte) dividiert durch die Änderung der Eingangswerte.

[dfrac{Delta y}{Delta x}=dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}]

Berechnen Sie bei gegebenem Wert einer Funktion an verschiedenen Punkten die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion für ter inIntervall zwischen zwei Werten (x_1) und (x_2).

  1. Berechnen Sie die Differenz (y_2−y_1=Delta y).
  2. Berechnen Sie die Differenz (x_2−x_1=Delta x).
  3. Bestimme das Verhältnis (dfrac{Delta y}{Delta x}).

Beispiel (PageIndex{1}): Berechnung einer durchschnittlichen Änderungsrate

Ermitteln Sie anhand der Daten in Tabelle (PageIndex{1}) die durchschnittliche Änderungsrate des Benzinpreises zwischen 2007 und 2009.

Lösung

Im Jahr 2007 lag der Benzinpreis bei 2,84 US-Dollar. Im Jahr 2009 betrugen die Kosten 2,41 US-Dollar. Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt

[egin{align*} dfrac{Delta y}{Delta x}&=dfrac{y_2−y_1}{x_2−x_1} [5pt] &=dfrac{$2,41−$2,84}{2009 −2007} [5pt] &=dfrac{−0,43}{2 ext{ Jahre}} [5pt] &=−0,22 $ ext{ pro Jahr} end{align*}]

Analyse

Beachten Sie, dass eine Abnahme durch eine negative Änderung oder „negative Zunahme“ ausgedrückt wird. Eine Änderungsrate ist negativ, wenn der Output bei steigendem Input abnimmt oder wenn der Output steigt, wenn der Input abnimmt.

(PageIndex{1})

Ermitteln Sie mithilfe der Daten in Tabelle (PageIndex{1}) die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 2005 und 2010.

Lösung

(dfrac{$2,84−$2,315}{5 ext{Jahre}} =dfrac{$0,535}{5 ext{Jahre}} =$0,106 ext{pro Jahr.})

Beispiel (PageIndex{2}): Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate aus einem Diagramm

Gegeben sei die Funktion (g(t)) in Abbildung (PageIndex{1}), bestimme die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall ([−1,2]).

Abbildung (PageIndex{1}): Diagramm einer Parabel.

Lösung

Bei (t=−1) zeigt Abbildung (PageIndex{2}) (g(−1)=4). Bei (t=2) zeigt der Graph (g(2)=1).

Abbildung (PageIndex{2}): Graph einer Parabel mit einer Linie von den Punkten (-1, 4) und (2, 1) zur Darstellung der Änderungen für g(t) und t.

Die horizontale Änderung (Updelta t=3) wird durch den roten Pfeil und die vertikale Änderung (Updelta g(t)=−3) durch den türkisfarbenen Pfeil angezeigt. Der Ausgang ändert sich um –3, während sich der Eingang um 3 ändert, was eine durchschnittliche Änderungsrate von ergibt

[dfrac{1−4}{2−(−1)}=dfrac{−3}{3}=−1]

Analyse

Beachten Sie, dass die von uns gewählte Reihenfolge sehr wichtig ist. Wenn wir beispielsweise (dfrac{y_2−y_1}{x_1−x_2}) verwenden, erhalten wir nicht die richtige Antwort. Entscheiden Sie, welcher Punkt 1 und welcher Punkt 2 sein wird, und halten Sie die Koordinaten fest als ((x_1,y_1)) und ((x_2,y_2)).

Beispiel (PageIndex{3}): Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate aus einer Tabelle

Nachdem Anna eine Freundin abgeholt hat, die 10 Meilen entfernt wohnt, zeichnet sie ihre Entfernung von zu Hause im Laufe der Zeit auf. Die Werte sind in Tabelle (PageIndex{2}) aufgeführt. Finden Sie ihre Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 6 Stunden heraus.

Tabelle (PageIndex{2})

t (Stunden)

01234567
D(t)(Meilen)
105590153214240292300

Lösung

Hier ist die Durchschnittsgeschwindigkeit die durchschnittliche Änderungsrate. Sie legte in 6 Stunden 282 Meilen zurück, mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von

[egin{align*}dfrac{292−10}{6−0}&=dfrac{282}{6}[5pt] &=47end{align*}]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 47 Meilen pro Stunde.

Analyse

Da die Geschwindigkeit nicht konstant ist, hängt die Durchschnittsgeschwindigkeit vom gewählten Intervall ab. Für das Intervall ([2,3]) beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 63 Meilen pro Stunde.

Beispiel (PageIndex{4}): Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate einer als Formel ausgedrückten Funktion Function

Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von (f(x)=x^2−frac{1}{x}) auf dem Intervall ([2, 4]).

Lösung

Wir können damit beginnen, die Funktionswerte an jedem Endpunkt des Intervalls zu berechnen.

[egin{align*}f(2)&=2^2−frac{1}{2} f(4)&=4^2−frac{1}{4} [5pt] & =4−frac{1}{2} &=16−frac{1}{4} [5pt] &=72 &=frac{63}{4}end{align*}]

Nun berechnen wir die durchschnittliche Änderungsrate.

[egin{align*} ext{Durchschnittliche Änderungsrate} &=dfrac{f(4)−f(2)}{4−2} [5pt] &=dfrac{frac{63 }{4}-frac{7}{2}}{4-2} [5pt] &=dfrac{frac{49}{4}}{2} [5pt] &= dfrac {49}{8}end{ausrichten*}]

(PageIndex{2})

Bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von (f(x)=x−2sqrt{x}) auf dem Intervall ([1, 9]).

Lösung

(frac{1}{2})

Beispiel (PageIndex{5}): Ermitteln der durchschnittlichen Änderungsrate einer Kraft

Die elektrostatische Kraft (F), gemessen in Newton, zwischen zwei geladenen Teilchen kann mit dem Abstand zwischen den Teilchen (d),in Zentimetern durch die Formel (F(d)=frac{2} {d^2}). Bestimmen Sie die durchschnittliche Kraftänderungsrate, wenn der Abstand zwischen den Partikeln von 2 cm auf 6 cm erhöht wird.

Lösung

Wir berechnen die durchschnittliche Änderungsrate von (F(d)=dfrac{2}{d^2}) auf dem Intervall ([2,6]).

[egin{align*} ext{Durchschnittliche Änderungsrate }&=dfrac{F(6)−F(2)}{6−2} [5pt] &=dfrac{frac{2 }{6^2}-frac{2}{2^2}}{6-2} & ext{Vereinfachen} [5pt] &=dfrac{frac{2}{36}-frac {2}{4}}{4} [5pt] &=dfrac{-frac{16}{36}}{4} & ext{Zählerterme kombinieren.} [5pt] &=− dfrac{1}{9} & ext{Vereinfachen}end{align*}]

Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt (−frac{1}{9}) Newton pro Zentimeter.

Beispiel (PageIndex{6}): Ermitteln einer durchschnittlichen Änderungsrate als Ausdruck

Bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von (g(t)=t^2+3t+1) im Intervall ([0, a]). Die Antwort ist ein Ausdruck mit (a).

Lösung

Wir verwenden die Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

(egin{align*} ext{Durchschnittliche Änderungsrate} &=dfrac{g(a)−g(0)}{a−0} & ext{Auswerten.} [5pt] &= dfrac{(a^2+3a+1)−(0^2+3(0)+1)}{a−0} & ext{Vereinfachen.} [5pt] &=dfrac{a^ 2+3a+1−1}{a} & ext{Vereinfachen und faktorisieren.}[5pt] &= dfrac{a(a+3)}{a} & ext{Teile durch den gemeinsamen Faktor a .}[5pt] &= a+3 end{ausrichten*})

Dieses Ergebnis sagt uns die durchschnittliche Änderungsrate in Bezug auf a zwischen (t=0) und jedem anderen Punkt (t=a). Im Intervall ([0,5]) wäre die durchschnittliche Änderungsrate beispielsweise (5+3=8).

(PageIndex{3})

Bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate von (f(x)=x^2+2x−8) auf dem Intervall ([5, a]).

Lösung

(a+7)

Als Teil der Untersuchung, wie sich Funktionen ändern, können wir Intervalle identifizieren, in denen sich die Funktion auf bestimmte Weise ändert. Wir sagen, dass eine Funktion in einem Intervall ansteigt, wenn die Funktionswerte mit steigenden Eingabewerten innerhalb dieses Intervalls zunehmen. In ähnlicher Weise nimmt eine Funktion in einem Intervall ab, wenn die Funktionswerte abnehmen, wenn die Eingabewerte über dieses Intervall zunehmen. Die durchschnittliche Änderungsrate einer ansteigenden Funktion ist positiv und die durchschnittliche Änderungsrate einer abnehmenden Funktion ist negativ. Abbildung (PageIndex{3}) zeigt Beispiele für ansteigende und abnehmende Intervalle einer Funktion.

Abbildung (PageIndex{3}): Die Funktion (f(x)=x^3−12x) wächst auf ((−infty, −2)cup (2,infty)) und fällt auf ((−2, 2 )).

Während einige Funktionen über ihre gesamte Domäne zunehmen (oder abnehmen), sind dies viele andere nicht. Ein Wert der Eingabe, bei dem sich eine Funktion von steigender zu fallender ändert (von links nach rechts, d. h. wenn die Eingabevariable ansteigt) heißt a lokales Maximum. Wenn eine Funktion mehr als eins hat, sagen wir, dass sie lokale Maxima hat. In ähnlicher Weise wird ein Wert der Eingabe, bei dem sich eine Funktion von abnehmend zu zunehmend ändert, wenn die Eingabevariable zunimmt, als a lokales Minimum. Die Pluralform ist „lokale Minima“. Zusammen heißen lokale Maxima und Minima lokale Extrema, oder lokale Extremwerte der Funktion. (Die Singularform ist „extremum“.) Oft wird der Begriff lokal durch den Begriff relativ ersetzt. In diesem Text verwenden wir den Begriff lokal.

Es ist klar, dass eine Funktion in einem Intervall, in dem sie konstant ist, weder zu- noch abnimmt. Eine Funktion ist auch an Extrema weder steigend noch fallend. Beachten Sie, dass wir von lokalen Extrema sprechen müssen, da jedes gegebene lokale Extremum, wie es hier definiert ist, nicht unbedingt das höchste Maximum oder niedrigste Minimum im gesamten Bereich der Funktion ist.

Für die Funktion, deren Graph in Abbildung (PageIndex{4}) gezeigt ist, ist das lokale Maximum 16 und tritt bei (x=−2) auf. Das lokale Minimum ist −16 und tritt bei (x=2) auf.

Abbildung (PageIndex{4}): Graph eines Polynoms, das die zunehmenden und abnehmenden Intervalle und das lokale Maximum zeigt.maximal

Um die lokalen Maxima und Minima eines Graphen zu lokalisieren, müssen wir den Graphen beobachten, um zu bestimmen, wo der Graph seinen höchsten bzw. niedrigsten Punkt innerhalb eines offenen Intervalls erreicht. Wie der Gipfel einer Achterbahn ist der Graph einer Funktion an einem lokalen Maximum höher als an nahegelegenen Punkten auf beiden Seiten. Der Graph wird auch an einem lokalen Minimum niedriger sein als an benachbarten Punkten. Abbildung (PageIndex{5}) veranschaulicht diese Ideen für ein lokales Maximum.

Abbildung (PageIndex{5}): Definition eines lokalen Maximums

Diese Beobachtungen führen uns zu einer formalen Definition lokaler Extrema.

Lokale Minima und lokale Maxima

  • Eine Funktion (f) ist ein ansteigende Funktion auf einem offenen Intervall, wenn (f(b)>f(a)) für jedes (a), (b)-Intervall mit (b>a).
  • Eine Funktion (f) ist a abnehmende Funktion auf einem offenen Intervall, wenn (f(b)a).

Eine Funktion (f) hat ein lokales Maximum an einem Punkt (b) in einem offenen Intervall ((a,c)), wenn (f(b)) größer oder gleich (f .) ist (x)) für jeden Punkt (x) ((x) ist ungleich (b)) im Intervall. Ebenso hat (f) ein lokales Minimum an einem Punkt (b) in ((a,c)), falls (f(b)) kleiner oder gleich (f(x) ist ) für jedes (x) ((x) ist ungleich (b)) im Intervall.

Beispiel (PageIndex{7}) Finden von zunehmenden und abnehmenden Intervallen in einem Graphen

Gegeben die Funktion (p(t)) in Abbildung (PageIndex{6}), identifizieren Sie die Intervalle, in denen die Funktion zu wachsen scheint.

Abbildung (PageIndex{6}): Graph eines Polynoms.

Lösung

Wir sehen, dass die Funktion in keinem Intervall konstant ist. Die Funktion nimmt dort zu, wo sie nach oben geneigt ist, wenn wir uns nach rechts bewegen, und sinkt, wo sie nach unten geneigt ist, wenn wir uns nach rechts bewegen. Die Funktion scheint von (t=1) bis (t=3) und von (t=4) an ansteigend zu sein.

In Intervallnotation würden wir sagen, dass die Funktion auf dem Intervall ((1,3)) und dem Intervall ((4,infty)) zunimmt.

Analyse

Beachten Sie in diesem Beispiel, dass wir offene Intervalle (Intervalle ohne Endpunkte) verwendet haben, da die Funktion bei (t=1), (t=3) und (t=4 . weder zu- noch abnimmt ). Diese Punkte sind die lokalen Extrema (zwei Minima und ein Maximum).

Beispiel (PageIndex{8}): Lokale Extrema aus einem Graphen finden

Zeichnen Sie die Funktion (f(x)=frac{2}{x}+frac{x}{3}). Verwenden Sie dann den Graphen, um die lokalen Extrema der Funktion zu schätzen und die Intervalle zu bestimmen, in denen die Funktion ansteigt.

Lösung

Mit Hilfe der Technologie finden wir, dass der Graph der Funktion wie in Abbildung (PageIndex{7}) aussieht. Es scheint, dass es einen Tiefpunkt oder ein lokales Minimum zwischen (x=2) und (x=3) gibt und einen spiegelbildlichen Höchstpunkt oder ein lokales Maximum irgendwo zwischen (x=−3 ) und (x=−2)

.

Abbildung (PageIndex{7}): Graph einer reziproken Funktion.

Analyse

Die meisten Grafikrechner und Grafikdienstprogramme können die Lage von Maxima und Minima schätzen. Abbildung (PageIndex{8}) zeigt Bildschirmbilder von zwei verschiedenen Technologien, die die Schätzung für das lokale Maximum und Minimum zeigen.

Abbildung (PageIndex{8}): Graph der Kehrwertfunktion auf einem Grafikrechner.

Basierend auf diesen Schätzungen wächst die Funktion im Intervall ((−infty,−2.449)) und (((2.449,infty)). Beachten Sie, dass, obwohl wir erwarten, dass die Extrema symmetrisch sind, die beiden verschiedenen Technologien aufgrund der unterschiedlichen Näherungsalgorithmen, die von jedem verwendet werden, nur bis zu vier Dezimalstellen übereinstimmen. (Die genaue Position der Extrema liegt bei (pmsqrt{6}), aber dies zu bestimmen erfordert Berechnungen.)

(PageIndex{8})

Zeichnen Sie die Funktion (f(x)=x^3−6x^2−15x+20), um die lokalen Extrema der Funktion abzuschätzen. Verwenden Sie diese, um die Intervalle zu bestimmen, in denen die Funktion zu- und abnimmt.

Lösung

Das lokale Maximum scheint bei ((−1,28)) und das lokale Minimum bei ((5,−80)) aufzutreten. Die Funktion wächst auf ((−infty,−1)cup(5,infty)) und fällt auf ((−1,5)).

Graph eines Polynoms mit lokalem Maximum bei (-1, 28) und lokalem Minimum bei (5, -80).

Beispiel (PageIndex{9}): Lokale Maxima und Minima aus einem Graphen finden

Finden Sie für die Funktion f, deren Graph in Abbildung (PageIndex{9}) gezeigt ist, alle lokalen Maxima und Minima.

Abbildung (PageIndex{9}): Graph eines Polynoms.

Lösung

Betrachten Sie den Graphen von (f). Der Graph erreicht ein lokales Maximum bei (x=1), weil es der höchste Punkt in einem offenen Intervall um (x=1) ist. Das lokale Maximum ist die y-Koordinate bei (x=1), was ist 2.

Der Graph erreicht ein lokales Minimum bei (x=−1), weil es der tiefste Punkt in einem offenen Intervall um (x=−1) ist. Das lokale Minimum ist die y-Koordinate bei (x=−1), die −2 ist.

Wir kehren nun zu unseren Toolkit-Funktionen zurück und diskutieren ihr grafisches Verhalten in Figure (PageIndex{10}), Figure (PageIndex{11}) und Figure (PageIndex{12}).

Abbildung (PageIndex{10})

.

Abbildung (PageIndex{11})


Abbildung (PageIndex{12})

Es gibt einen Unterschied zwischen dem Auffinden des höchsten und niedrigsten Punktes in einem Graphen in einer Region um ein offenes Intervall (lokal) und dem Auffinden des höchsten und niedrigsten Punktes auf dem Graphen für die gesamte Domäne. Die y-Koordinaten (Ausgabe) am höchsten und niedrigsten Punkt werden als bezeichnet absolutes Maximum und absolutes Minimum, beziehungsweise.Um absolute Maxima und Minima aus einem Graphen zu lokalisieren, müssen wir den Graphen beobachten, um zu bestimmen, wo der Graph seine höchsten und niedrigsten Punkte im Bereich der Funktion erreicht (Abbildung (PageIndex{13})).

Abbildung (PageIndex{13}): Graph eines Parabelsegments mit absolutem Minimum bei (0, -2) und absolutem Maximum bei (2, 2).

Nicht jede Funktion hat einen absoluten Maximal- oder Minimalwert. Die Toolkit-Funktion (f(x)=x^3) ist eine solche Funktion.

Absolute Maxima und Minima

  • Das absolutes Maximum von (f) bei (x=c) ist (f(c)) wobei (f(c)≥f(x)) für alle (x) im Bereich von ( f).
  • Das absolutes Minimum von (f) bei (x=d) ist (f(d)) wobei (f(d)≤f(x)) für alle (x) im Bereich von ( f).

Beispiel (PageIndex{10}): Ermitteln absoluter Maxima und Minima aus einem Graphen

Finden Sie für die in Abbildung (PageIndex{14}) gezeigte Funktion f alle absoluten Maxima und Minima.

Abbildung (PageIndex{14}): Graph eines Polynoms.

Lösung

Betrachten Sie den Graphen von (f). Der Graph erreicht an zwei Stellen ein absolutes Maximum, (x=−2) und (x=2), denn an diesen Stellen erreicht der Graph seinen höchsten Punkt im Funktionsbereich. Das absolute Maximum ist die y-Koordinate bei (x=−2) und (x=2), die 16 beträgt.

Der Graph erreicht ein absolutes Minimum bei x=3, da dies der tiefste Punkt im Bereich des Funktionsgraphen ist. Das absolute Minimum ist die y-Koordinate bei x=3, also -10.

  • Durchschnittliche Änderungsrate: (dfrac{Delta y}{Delta x}=dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1})
  • Eine Änderungsrate bezieht eine Änderung einer Ausgangsgröße auf eine Änderung einer Eingangsgröße. Die durchschnittliche Änderungsrate wird nur anhand der Anfangs- und Enddaten bestimmt. Siehe Beispiel.
  • Das Identifizieren von Punkten, die das Intervall in einem Diagramm markieren, kann verwendet werden, um die durchschnittliche Änderungsrate zu ermitteln. Siehe Beispiel.
  • Der Vergleich von Paaren von Eingabe- und Ausgabewerten in einer Tabelle kann auch verwendet werden, um die durchschnittliche Änderungsrate zu ermitteln. Siehe Beispiel.
  • Eine durchschnittliche Änderungsrate kann auch berechnet werden, indem die Funktionswerte an den Endpunkten eines durch eine Formel beschriebenen Intervalls bestimmt werden. Siehe Beispiel und Beispiel.
  • Die durchschnittliche Änderungsrate kann manchmal als Ausdruck bestimmt werden. Siehe Beispiel.
  • Eine Funktion wächst, wenn ihre Änderungsrate positiv ist, und sinkt, wenn ihre Änderungsrate negativ ist. Siehe Beispiel.
  • Ein lokales Maximum liegt vor, wenn eine Funktion von ansteigend zu abnehmend wechselt und einen größeren (mehr positiven oder weniger negativen) Ausgabewert hat als die Ausgabewerte benachbarter Eingabewerte.
  • Ein lokales Minimum liegt vor, wenn sich die Funktion von abnehmend zu zunehmend ändert (wenn die Eingabe zunimmt) und einen kleineren Ausgabewert (mehr negativ oder weniger positiv) als Ausgabewerte bei benachbarten Eingabewerten hat.
  • Minima und Maxima werden auch Extrema genannt.
  • Wir können lokale Extrema aus einem Graphen finden. Siehe Beispiel und Beispiel.
  • Die höchsten und niedrigsten Punkte in einem Diagramm zeigen die Maxima und Minima an. Siehe Beispiel.

Arten von Daten

Es gibt verschiedene Arten von Daten, die in einem Experiment gesammelt werden können. Typischerweise versuchen wir, Experimente zu entwerfen, die objektive, quantitative Daten sammeln.

Zielsetzung Daten sind faktenbasiert, messbar und beobachtbar. Dies bedeutet, dass zwei Personen, die dieselbe Messung mit demselben Werkzeug durchführen, dieselbe Antwort erhalten. Die Messung wird durch das zu messende Objekt bestimmt. Die mit einem Lineal gemessene Länge eines Wurms ist ein objektives Maß. Die Beobachtung, dass eine chemische Reaktion in einem Reagenzglas die Farbe ändert, ist ein objektives Maß. Beides sind beobachtbare Tatsachen.

Subjektiv Daten basieren auf Meinungen, Standpunkten oder emotionalen Urteilen. Subjektive Daten können zwei unterschiedliche Antworten geben, wenn sie von zwei verschiedenen Personen erhoben werden. Die Messung wird von der Person bestimmt, die die Messung durchführt. Die Befragung von Personen, welche der beiden Chemikalien schlechter riecht, ist eine subjektive Messung. Die Bewertung der Qualität einer Präsentation ist ein subjektives Maß. Die Bewertung Ihres relativen Glücks auf einer Skala von 1 bis 5 ist eine subjektive Messung. All dies hängt von der Person ab, die die Beobachtung vornimmt – jemand anderes könnte diese Messungen anders machen.

Quantitativ Messungen sammeln numerische Daten. Zum Beispiel ist die Messung eines Wurms mit einer Länge von 5 cm eine quantitative Messung.

Qualitativ Messungen beschreiben eher eine Qualität als einen numerischen Wert. Zu sagen, dass ein Wurm länger ist als ein anderer Wurm, ist ein qualitatives Maß.

Quantitativ Qualitativ
Zielsetzung Die chemische Reaktion hat 5 cm Blasen erzeugt. Die chemische Reaktion hat viele Blasen erzeugt.
Subjektiv Ich gebe der Anzahl der Blasen eine Punktzahl von 7 auf einer Skala von 1-10. Ich finde die Blasen hübsch.

Nachdem Sie in einem Experiment Daten gesammelt haben, müssen Sie herausfinden, wie Sie diese Daten am besten sinnvoll präsentieren können. Abhängig von der Art der Daten und der Geschichte, die Sie mithilfe dieser Daten erzählen möchten, können Sie Ihre Daten auf unterschiedliche Weise präsentieren.


Warum müssen Sie Diagramme, Grafiken und Diagramme verwenden?

Viele Präsentationen konzentrieren sich auf Daten und Zahlen. Klingt langweilig, oder? Abgesehen von wesentlichen Geschäftspräsentationsphrasen können Diagramme, Grafiken und Diagramme Ihnen auch dabei helfen, die Aufmerksamkeit Ihrer Zuhörer auf sich zu ziehen und zu halten. Fügen Sie sie Ihrer Präsentation hinzu, und Sie werden eine fundierte, evidenzbasierte Arbeit haben.

Wenn es um das Präsentieren und Erklären von Datendiagrammen, Grafiken und Diagrammen geht, sollten Sie den Leuten helfen, zumindest die wichtigsten Punkte daraus zu verstehen und auswendig zu lernen. Was die Anwendungsfälle angeht, eignen sich Diagramme und andere Visualisierungen perfekt, um Trends zu beschreiben, einen Vergleich anzustellen oder Beziehungen zwischen zwei oder mehr Elementen aufzuzeigen. Mit anderen Worten, Sie nehmen Ihre Daten und geben ihnen eine visuell verständliche Form.

Was ist besser zu wählen

Es gibt so viele verschiedene Arten von Diagrammen, Diagrammen und Grafiken, dass es schwierig wird, das richtige auszuwählen. Die Diagrammoptionen in Ihrem Tabellenkalkulationsprogramm können ebenfalls sehr rätselhaft sein.

Wann sollten Sie ein Flussdiagramm verwenden? Können Sie ein Diagramm anwenden, um einen Trend darzustellen? Ist ein Balkendiagramm nützlich, um Verkaufsdaten anzuzeigen? Um herauszufinden, was Sie auswählen sollten, müssen Sie die spezifischen Merkmale jedes Typs gut kennen.

Im Rest dieses Artikels werden Beispiele für verschiedene Arten von Präsentationsvisualisierungen gezeigt und detailliert erklärt, wie Diagramme und Diagramme beschrieben werden.


Die elektrostatische Kraft &thinsp F , gemessen in Newton, zwischen zwei geladenen Teilchen kann mit dem Abstand zwischen den Teilchen &thinsp d in Zentimetern durch die Formel &thinsp F (d) = 2 d 2 in Beziehung gesetzt werden. Bestimmen Sie die durchschnittliche Kraftänderungsrate, wenn der Abstand zwischen den Partikeln von 2 cm auf 6 cm erhöht wird.

Wir berechnen die durchschnittliche Änderungsrate von &thinsp F(d) = 2 d 2 &thinsp auf dem Intervall &thinsp[2, 6].

Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt &thinsp &minus 1 9 &thinsp Newton pro Zentimeter.


SCHLÜSSELFAKTOREN, DIE ERHÖHTE Adipositas ERKLÄREN, MIT DEM POTENZIAL FÜR ZUKÜNFTIGE PROGRAMMATISCHE UND POLITISCHE ÄNDERUNGEN ZU BERÜCKSICHTIGEN?

Letztlich spiegelt Fettleibigkeit ein Energieungleichgewicht wider, daher beziehen sich die wichtigsten Interventionsbereiche auf die Nahrungsaufnahme und den Energieverbrauch, für die körperliche Aktivität die wichtigste veränderbare Komponente ist. Es ist klar, dass in arbeitsintensiveren Berufen wie Landwirtschaft und Bergbau sowie in den weniger energieintensiven Dienstleistungs- und Fertigungssektoren durch große Verschiebungen beim Zugang zu Technologien der Energieverbrauch bei der Arbeit verringert wurde 23 . Veränderungen bei Verkehrsmitteln 24 , Freizeit und Heimproduktion 25 beziehen sich auf eine verringerte körperliche Aktivität. Darüber hinaus verschlimmert das komplexe Zusammenspiel zwischen biologischen Faktoren, die während der Entwicklung des Fötus und des Säuglings wirken, und diesen Energieungleichgewichten viele Gesundheitsprobleme 26 . Solche Veränderungen sind für China gut dokumentiert und finden sich auch in unterschiedlichen Erscheinungsformen in vielen Ländern.

Für die öffentliche Gesundheit ist es wichtig, Wege zur Steigerung der körperlichen Aktivität in allen Altersgruppen zu finden, aber die Möglichkeiten, den Energieverbrauch durch körperliche Aktivität zu erhöhen, können in Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen begrenzt sein. Um beispielsweise einen Anstieg der durchschnittlichen täglichen Energieaufnahme um etwa 110 kcal an Nahrung oder Getränken auszugleichen, muss eine 54 kg schwere Frau 30 Minuten lang und ein 82 kg schwerer Mann etwa 25 Minuten lang mäßig schnell gehen. Ein solches Maß an körperlicher Aktivität kann zu viel sein, um zu erwarten, und daher ist eine Ernährungsumstellung ein wichtiger Ansatz, um die Prävalenz von Adipositas zu senken, insbesondere angesichts des anhaltenden Rückgangs der körperlichen Aktivität und der Zunahme der sitzenden Zeit (unveröffentlichte Daten). Die Ernährungsdynamik stellt einen großen Komplex komplexer Probleme dar. Auf globaler Ebene neuer Zugang zu Technologien (z. B. billige Speiseöle, Lebensmittel mit übermäßigen ‘leeren Kalorien’, moderne Supermärkte sowie Lebensmittelvertrieb und -marketing) und regulatorische Rahmenbedingungen (z. B. die Welthandelsorganisation [WTO] und freiere) Waren-, Dienstleistungs- und Technologieströme) verändern die Ernährung in Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen. Damit einher gehen alle kritischen Fragen der Ernährungssicherheit und des globalen Zugangs zu einer angemessenen Aufnahmemenge. Viele Bevölkerungen konzentrieren sich auf die Grundversorgung mit Getreide und Hülsenfrüchten, während die allgemeine Umstellung die Preisstruktur und die Nahrungsmittelverfügbarkeit verändert und eine Ernährungsumstellung geschaffen hat, die mit Fettleibigkeit und Hunger verbunden ist. Wir haben detaillierte Zeitnutzungsdaten zusammen mit Energieverbrauch und anderen Daten verwendet, um vergangene Muster und Trends zu untersuchen und Muster der körperlichen Aktivität und der sitzenden Zeit bis 2020 und 2030 in den USA, Großbritannien, Brasilien, China und Indien vorherzusagen (unveröffentlichte Daten).

Bevor wir die Ernährungsdimension untersuchen, betrachten wir einen wichtigen biologischen Faktor, der Fettleibigkeit und chronische Krankheiten in sich schnell entwickelnden Ländern in Asien und Afrika beeinflusst. Dieser Faktor sind die während der Entwicklung des Fötus und des Säuglings erlittenen biologischen Schäden, die die Anfälligkeit für die oben beschriebenen Veränderungen beeinflussen können und somit die Entwicklung und Schwere chronischer Krankheitstrends für diese Länder beeinflussen.

Entwicklungsbedingte Ursachen von Gesundheit und Krankheit: Besondere Bedenken für Länder mit niedrigem und mittlerem Einkommen

Die Muster der Veränderung der Nahrungsaufnahme und des Energieverbrauchs im Zusammenhang mit der globalen Ernährungsumstellung sind im Kontext aktueller Theorien über die Entstehungsursachen von Erwachsenenkrankheiten besonders wichtig. Basierend auf drei Jahrzehnten Forschung haben wir heute erkannt, dass die Anfälligkeit für Fettleibigkeit und chronische Krankheiten von der Empfängnis bis ins Erwachsenenalter durch Umwelteinflüsse beeinflusst wird. Eine umfangreiche Literatur zeigt, dass eine fetale Ernährungsinsuffizienz eine Reihe von anatomischen, hormonellen und physiologischen Veränderungen auslöst, die das Überleben in einer “resourcearmen” Umgebung verbessern 27 . In einer postnatalen Umgebung mit reichlich vorhandenen Ressourcen können diese Entwicklungsanpassungen jedoch zur Entwicklung von Krankheiten beitragen. Einige der stärksten Beweise für die langfristigen Auswirkungen einer mäßigen bis schweren Ernährungseinschränkung während der Schwangerschaft stammen aus der Nachbeobachtung von Säuglingen, die nach einer Hungersnot der Mutter geboren wurden, wie sie in Teilen Europas während des Zweiten Weltkriegs erlebt wurde. Zum Beispiel fanden AC Ravelli und Kollegen 28, 29 höhere Fettleibigkeitsraten bei 50-jährigen Männern und Frauen, deren Mütter in der ersten Hälfte ihrer Schwangerschaft der niederländischen Hungersnot ausgesetzt waren, und GP Ravelli und Kollegen (Ravelli, Stein et al. 1976) fanden Fettleibigkeit bei 19-jährigen Männern, deren Mütter während ihrer Schwangerschaft eine Hungersnot erlebten. In ähnlicher Weise zeigt ein Follow-up von Hmong-Flüchtlingseinwanderern höhere Raten von zentraler Fettleibigkeit bei denen, die in einem Kriegsgebiet aufgewachsen sind, wobei die Auswirkungen bei denen, die in die Vereinigten Staaten einwanderten, stärker waren als bei denen, die in einer traditionellen ländlichen Umgebung leben 30 .

Die Theorie des entwicklungsbedingten Ursprungs des Mismatch passt gut zu den weiter unten diskutierten Themen des Mismatch, die in unseren frühen Forschungen 1, 2 und späteren Arbeiten auftauchten. 31� Diese Theorie des “mMismatch”, d. h. von frühen Ernährungsdefiziten gefolgt von Überschüssen 34 , kann in Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen, die einen schnellen sozialen und wirtschaftlichen Wandel durchlaufen, besonders wichtig sein, da der wirtschaftliche Fortschritt die Diskrepanz verstärkt 35 . Ein Großteil der Literatur zu den entwicklungsbedingten Ursprüngen von Gesundheit und Krankheit (DOHAD) konzentriert sich auf chronische Krankheiten. Angesichts des starken Zusammenhangs chronischer Krankheiten mit Fettleibigkeit und insbesondere mit zentraler Fettleibigkeit ist diese Evidenz jedoch äußerst relevant und liefert eine starke Begründung für die Adipositasprävention in Bevölkerungsgruppen, die als Folge der Ernährungsumstellung dramatische Veränderungen in der Ernährungsumgebung erfahren haben.

Die Mechanismen sind vielfältig, können jedoch Auswirkungen auf die Anzahl der Nephrone in der Niere 36 , Glukokortikoid-Exposition nach mütterlichem Stress oder schlechtem Ernährungszustand können die Insulin- und Hypothalamus-Hypophysen-Achse auf eine hohe metabolische Effizienz 27 und epigenetische Veränderungen programmieren. Mütterlicher Stress und spezifische Ernährungsaspekte (z. B. Einnahme von Folat und anderen Methylspendern) können die DNA-Methylierung und Genexpression beeinflussen 37, 38,39 . Laufende Studien an Orten wie Indien untersuchen die Rolle der mütterlichen Mikronährstoffaufnahme bei epigenetischen Veränderungen, die sich auf die kindliche Adipositas auswirken 39, 40 . Die Forschung in Indien hat weitere wichtige Erkenntnisse geliefert. Indische Säuglinge mit schlecht ernährten Müttern werden mit Gewichtsdefiziten geboren, aber relativ gesehen sind die Defizite der Magermasse größer als die der Adipositas. Im späteren Leben, bei der modernen energiereichen und fettreichen Ernährung, haben die vormals “thin-fat” Babys auch eine größere zentrale Adipositas 41, 42 .

Aus Studien über die Entstehung von Krankheiten in der Entwicklung geht hervor, dass Gesundheit eine starke generationsübergreifende Komponente hat. Während sich ein Großteil der Literatur über die frühen Entstehungsursachen von Fettleibigkeit und das damit verbundene Risiko auf Unterernährung konzentriert hat, gibt es auch substanzielle Hinweise darauf, dass mütterliches Übergewicht und Fettleibigkeit in der Schwangerschaft das Krankheitsrisiko bei den Nachkommen beeinflussen. Schwangerschaftsdiabetes hängt beispielsweise mit der Körperzusammensetzung der Nachkommen und einem erhöhten Risiko für Insulinresistenz und Diabetes bei Nachkommen zusammen 43, 44 . Daher besteht Besorgnis über eine intergenerationelle Verstärkung des Diabetesrisikos. Frauen, die als Kinder unterernährt waren, haben ein erhöhtes Risiko, als Erwachsene zentral adipös zu sein und eine eingeschränkte Glukosetoleranz zu haben. Wenn diese Bedingungen die Schwangerschaft einer Frau beeinträchtigen, haben ihre Nachkommen jetzt ein erhöhtes Risiko für die frühe Entwicklung von Fettleibigkeit und Diabetes. Da sich Fettleibigkeit in immer jüngerem Alter entwickelt, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass bei Jugendlichen und jungen Frauen Schwangerschaftskomplikationen im Zusammenhang mit Schwangerschaftsdiabetes und Bluthochdruck auftreten, dramatisch an. Es gibt immer mehr Hinweise darauf, dass mütterliche Adipositas, auch ohne Schwangerschaftsdiabetes, ein Risikofaktor für Adipositas bei Kindern ist, die mit einer fetalen Überernährung in Zusammenhang stehen (siehe Übersicht von CH Fall 45 ).

Am anderen Ende des Ernährungsspektrums wirkt mütterlicher Kleinwuchs als physische Einschränkung des fetalen Wachstums 46, 47 . Vitamin- und Mineralstoffmangel sowie Wachstumsverzögerung können wiederum mit einem erhöhten Fettleibigkeitsrisiko zusammenhängen 48 .

Über die fetale Periode hinaus sind Ernährung und andere Gesundheitsfaktoren im Säuglings-, Kindes- und Jugendalter wichtige Determinanten der Körperzusammensetzung von Erwachsenen und des Fettleibigkeitsrisikos. Angesichts der starken Zunahme von Übergewicht und Fettleibigkeit bei Kindern und Erwachsenen wurde versucht, das Alter zu bestimmen, in dem eine schnellere Gewichtszunahme mit einer späteren Fettleibigkeit zusammenhängt. Eine umfangreiche Literatur bezieht sich auf das ȁkrapide Wachstum” im Säuglingsalter mit dem Risiko von Fettleibigkeit in der späteren Kindheit und bis ins Erwachsenenalter 49 . Darüber hinaus ist eine schnelle Gewichtszunahme, insbesondere ab der Mitte der Kindheit, in Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen mit einem erhöhten Risiko für erhöhten Blutdruck oder eine Beeinträchtigung der Nüchternglukose im jungen Erwachsenenalter verbunden 50 . Es wurden Bedenken hinsichtlich der Förderung einer schnellen Gewichtszunahme bei unterernährten Kindern geäußert. In Ländern mit niedrigem Einkommen ist ein aufholendes oder kompensatorisches Wachstum nach einer Phase des stockenden Wachstums wünschenswert, da es mit einer geringeren Morbidität und einem verbesserten Überleben 51,52, 53 und einer besseren kognitiven Entwicklung einhergeht 54 . Ein zentrales Anliegen ist, ob die Vorteile eines schnelleren Wachstums in diesen Umgebungen die möglichen langfristigen Risiken überwiegen. Basierend auf der COHORTS-Analyse von Kindern aus fünf Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen hat eine schnellere Gewichtszunahme in den ersten beiden Lebensjahren eine Reihe von Vorteilen. Es ist mit der Entwicklung von fettfreier Körpermasse verbunden, aber nicht mit einem erhöhten Risiko für beeinträchtigte Nüchternglukose oder Diabetes im jungen Erwachsenenalter (Artikel des Teams unter Zeitschriftenbesprechung: z. B. Kuzawa et al. 55 ). Angesichts der Beobachtungen, dass Wachstumsmuster von Kindern wichtige Konsequenzen für die Entwicklung von Fettleibigkeit und chronischen Krankheiten haben, konzentriert sich eine weitere Forschungsrichtung auf Faktoren, die zur frühen Entwicklung von Adipositas beitragen oder davor schützen. In dieser Hinsicht wurden die möglichen Programmierfunktionen einer frühen Ernährung untersucht, einschließlich der Rolle des Stillens und der hohen Aufnahme von Nahrungsproteinen, Fett und Natrium. Diese Themen sind angesichts der dramatischen Veränderungen in der Nahrungszusammensetzung wichtig, die viele Bevölkerungen in den Entwicklungsländern charakterisieren.

Natürlich sind frühe Fütterungsprobleme wichtig. Einige Studien zeigen eine schützende Wirkung des Stillens auf die spätere Entwicklung von Fettleibigkeit und chronischen Erkrankungen 56, 57 , während andere Studien keine Effekte zeigen 58 . Eine ähnlich konstant hohe Proteinzufuhr während der Beikost in den ersten beiden Lebensjahren wurde in Kohortenstudien an deutschen Kindern mit einem höheren mittleren BMI und einem höheren Körperfettanteil im Alter von sieben Jahren in Verbindung gebracht 59 , und andere Forscher haben einen starken Zusammenhang zwischen einer hohen Proteinzufuhr vorgeschlagen und Fettleibigkeit 60 .

Auch Nahrungsfette können sowohl hinsichtlich der Fettmenge als auch der Fettzusammensetzung eine Rolle bei der Entstehung von nichtübertragbaren Krankheiten spielen. Die STRIP-Studie in Finnland zeigt, dass eine niedrigere Aufnahme von Gesamt- und gesättigten Nahrungsfetten im Säuglingsalter zu einem niedrigeren Serumcholesterin, LDL-c und Triglyeriden (sowie zu einem niedrigeren Blutdruck) bei Kindern bis zum Alter von 14 Jahren führt, auch ohne Auswirkungen auf Größe und Gewicht , oder BMI 61, 62 . Weltweit hat die Zunahme des Pflanzenölkonsums die Aufnahme von n-6-Fettsäuren und das Verhältnis von n-6 zu n-3-Fettsäuren erhöht. Dies ist besorgniserregend, da eine hohe Aufnahme von n-6-Fettsäuren mit einer veränderten Immunfunktion, der Differenzierung von Präadipozyten in reife Fettzellen und Veränderungen der Fettablagerungsmuster verbunden ist. In einer anderen Studie wird eine hohe Natriumaufnahme aus Säuglingsanfangsnahrung und Entwöhnungsnahrung mit einem erhöhten Blutdruck im Erwachsenenalter in Verbindung gebracht 63 .

Ernährungsumstellung

Die Erkenntnisse aus der entwicklungsgeschichtlichen Ursprungsforschung liefern nur eine Dimension des Wandels hin zu mehr Fettleibigkeit. Während frühere Expositionen und biologische Beleidigungen die negativen Auswirkungen einer Ernährungsumstellung zu verstärken scheinen, spielten letztendlich Verschiebungen im Energiehaushalt und die gesamte Struktur der Ernährung eine wichtige begleitende und separate Rolle. Wir sprechen zunächst von allgemeinen Trends und kehren dann zu den Themen Armut und Verfügbarkeit zurück.Diese verknüpfen die dynamischen Veränderungen unserer Nahrungsversorgung mit der Ernährungssicherheit.

Es ist nützlich zu verstehen, wie sich die Ernährung in der Welt mit niedrigem und mittlerem Einkommen stark verändert hat, um sich an das anzunähern, was wir oft als „westliche Ernährung“ bezeichnen und Lebensmittel aus tierischen Quellen. Die verfügbaren Daten für Länder mit niedrigem und mittlerem Einkommen belegen diesen Trend in allen städtischen Gebieten und zunehmend auch in ländlichen Gebieten. Diäten, die reich an Hülsenfrüchten, anderem Gemüse und grobkörnigem Getreide sind, verschwinden in allen Regionen und Ländern. Hinter dieser Verschiebung stehen einige bedeutende globale technologische Entwicklungen.

Speiseöl–Pflanzenöl-Revolution

Fette haben große Vorteile bei der Verbesserung des Geschmacks. Einige Wissenschaftler vermuten, dass die Auswahl von fetthaltigen im Gegensatz zu kohlenhydratreichen Nahrungsmitteln in erster Linie durch Gehirnmechanismen bestimmt wird, die zentrale Mengen von Neurotransmittern, Hormonen oder Neuropeptiden umfassen können 1 . In den 1950er und 1960er Jahren wurde in den Vereinigten Staaten und Japan eine Technologie entwickelt, um Ölsaaten (Mais, Sojabohnen, Baumwollsaaten, rote Palmkerne usw.) kostengünstig Öl zu entfernen 1 . Züchtungstechniken zur Erhöhung des Ölgehalts dieser Samen gingen einher mit den Veränderungen, und in Ländern mit höherem Einkommen stieg die Verfügbarkeit billiger Pflanzenöle stark an. Es folgte die Entfernung der Erucasäure aus Rapsöl, um gesünderes Rapsöl herzustellen, begleitet von umfangreichen Untersuchungen zu den guten und schlechten Komponenten jedes Speiseöls (z. B. Transfette und spezifische Fettsäuren). Bis 2010 waren in den Entwicklungsländern preiswerte Öle erhältlich. Zwischen 1985 und 2010 erhöhte sich die individuelle Aufnahme von Pflanzenölen je nach untersuchter Teilpopulation um das Drei- bis Sechsfache. In China, das einen mäßigen, aber keinen hohen Pflanzenölkonsum hat, verbrauchen Personen ab zwei Jahren heute im Durchschnitt fast 300 Kalorien und mehr als 30 Gramm Pflanzenöl täglich 64 .

Kalorienhaltige Süßstoffe

Die Ernährung der Welt ist heute viel süßer als früher 65 . Zum Beispiel enthalten 75 Prozent der in den USA gekauften Lebensmittel und Getränke zusätzliche kalorienhaltige Süßstoffe und der durchschnittliche Amerikaner ab 2 Jahren verbraucht etwa 375 kcal/Tag 66, 67 . In den Vereinigten Staaten, einem der wenigen Länder, in denen der zugesetzte Zucker in der Nahrung geschätzt wird 68 , hat die Forschung in den letzten 30 Jahren eine bemerkenswerte Stabilität der Aufnahme von zugesetztem Zucker aus Lebensmitteln gezeigt, während der zugesetzte Zucker aus Getränken deutlich zugenommen hat 66 . 1977 kamen zwei Drittel des zugesetzten Zuckers in der US-amerikanischen Ernährung aus Lebensmitteln, heute jedoch zwei Drittel aus Getränken. Dies kann jedoch eine Unterschätzung sein, da die Schätzung des USDA für zugesetzten Zucker Fruchtsaftkonzentrat ausschließt, eine Zuckerquelle, deren Konsum in den letzten zehn Jahren stark zugenommen hat und die jetzt in über 10 Prozent der US-Lebensmittel zu finden ist (unveröffentlichte Daten). . Mexiko, das von 1996 bis 2002 eine Verdoppelung der Kalorienzufuhr auf über 21 Prozent der Kilokalorien/Tag für alle Altersgruppen verzeichnete, ist eines der wenigen Entwicklungsländer mit Daten zu Mustern und Trends bei kalorischen Getränken 31, 69, 70 . Während für die meisten Länder mit niedrigem Einkommen keine Daten zur individuellen Nahrungsaufnahme verfügbar sind, deuten die nationalen aggregierten Daten zum verfügbaren Zucker (Daten zum Verschwinden von Lebensmitteln oder zum Lebensmittelhaushalt) darauf hin, dass dies in allen Regionen der Welt ein großes Problem darstellt 65 .

Umstellung auf eine erhöhte Nahrungsaufnahme aus tierischen Quellen

Frühere Untersuchungen von C. L. Delgado und anderen am International Food Policy Research Institute (IFPRI) fanden den Beginn einer Viehzuchtrevolution in den Entwicklungsländern 71 . Nachfolgende Untersuchungen von Popkin und anderen haben gezeigt, dass die Produktion von Rindfleisch, Schweinefleisch, Milchprodukten, Eiern und Geflügel in Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen stark ansteigt 72, 73 . Der größte Teil des weltweiten Anstiegs bei Lebensmitteln tierischen Ursprungs fand in Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen statt. Indien hat beispielsweise einen starken Anstieg des Konsums von Milchprodukten und China unter anderem von Schweinefleisch und Eiern verzeichnet.

Die Zunahme tierischer Lebensmittel hat sowohl positive als auch negative Auswirkungen auf die Gesundheit. Einerseits können für arme Menschen in den Entwicklungsländern ein paar zusätzliche Gramm Lebensmittel tierischen Ursprungs das Mikronährstoffprofil der konsumierten Nahrung erheblich verbessern. Andererseits ist ein übermäßiger Verzehr von Lebensmitteln tierischen Ursprungs mit einer übermäßigen Aufnahme von gesättigten Fettsäuren und einer erhöhten Sterblichkeit verbunden 74,75 .

Reduzierte Aufnahme von Hülsenfrüchten, grobem Getreide und anderem Gemüse

Obwohl keine systematische Forschung über den reduzierten Verzehr dieser ernährungsphysiologisch wichtigen Lebensmittel durchgeführt wurde, geht aus Fallstudien klar hervor, dass der Verzehr von Bohnen, einer Vielzahl von Bohnenprodukten und von uns oft als ‘grobes’ bezeichneten Getreidesorten wie Sorghum und Hirse ist deutlich zurückgegangen 6, 76, 77 . Dies geschah von den 1960er bis 1980er Jahren in den Vereinigten Staaten und in jüngerer Zeit in Asien und dem Rest Amerikas 78 .

Das Verständnis der Gründe für den Trend zu einem verstärkten Konsum von tierischen Lebensmitteln, Ölen und kalorienhaltigen Süßstoffen und einem reduzierten Konsum von Hülsenfrüchten, grobkörnigem und anderem Gemüse beginnt mit dem Verständnis der relativen Preisstrukturverschiebungen seit dem Zweiten Weltkrieg. Die meisten dieser Änderungen sind zielgerichtet und beziehen sich auf die Agrarpolitik auf der ganzen Welt 6, 79 .

Änderungen des Ernährungssystems

In den letzten 10 bis 15 Jahren haben mehrere Faktoren die Nahrungsmittelversorgung jedes Landes beeinflusst. Das Ernährungssystem, das die meisten städtischen und einen zunehmenden Anteil der ländlichen Gebiete in Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen kennzeichnet, hat sich mit der globalisierten Verbreitung von Technologien in Bezug auf Lebensmittelproduktion, Transport und Marketing, Massenmedien sowie Kapital- und Dienstleistungsströme drastisch verändert. Der Zugang zu vielen neuen kalorienarmen Nahrungsmitteln und Getränken hängt mit der aktuellen wirtschaftlichen und sozialen Entwicklung zusammen. Die moderne Lebensmitteltechnologie hat enorme Vorteile bei der Reduzierung von Lebensmittelverschwendung, der Verbesserung der Hygiene und der Reduzierung vieler nachteiliger Auswirkungen der Saisonalität unter den unzähligen Vorteilen erbracht. Ähnliches gilt für den modernen Supermarkt. Hier heben wir einige der potenziellen nachteiligen Auswirkungen dieser wichtigen Änderungen hervor, während wir den entscheidenden Nutzen für Hersteller und Verbraucher anerkennen.

Ein wesentlicher Bestandteil ist die moderne Lebensmittelverteilung und der Verkauf. Dies spiegelt die enorme Durchdringung von Super- und Megamarktunternehmen in den Entwicklungsländern wider 80 . In den meisten Ländern gibt es auch große Convenience-Store-Ketten. Der Frischmarkt (nasser oder offener öffentlicher Markt) verschwindet als wichtigste Nahrungsquelle in den Entwicklungsländern. Diese Märkte werden durch große regionale und lokale Supermärkte ersetzt, die normalerweise Teil multinationaler Ketten (z. B. Carrefour oder Walmart) sind, oder in Ländern wie Südafrika und China durch einheimische Ketten, die wie die globalen Ketten funktionieren und aussehen. Hypermärkte (Megastores) sind in zunehmendem Maße die treibende Kraft für die Veränderung der Nahrungsmittelausgaben in einem Land oder einer Region. In Lateinamerika beispielsweise stieg der Anteil der Supermärkte ’ am gesamten Lebensmitteleinzelhandel von 15 Prozent im Jahr 1990 auf 60 Prozent im Jahr 2000. Im Vergleich dazu machten Supermärkte im Jahr 2000 80 Prozent des Lebensmitteleinzelhandels in den Vereinigten Staaten aus. Dieser Prozess ist auch is tritt in unterschiedlicher Häufigkeit in Asien, Osteuropa, dem Nahen Osten und allen städtischen Gebieten Afrikas auf. Wir werden 2012 eine nationale Umfrage zu Ernährung und verwandten Faktoren in Indien durchführen.

Eine Studie legt nahe, dass die Veränderungen im Lebensmittelumfeld die Aufnahme von verarbeiteten, minderwertigen Lebensmitteln erhöhen könnten 81 . Carlos Monteiro äußerte sich besonders deutlich in seiner Sorge, dass sich diese moderne Lebensmittelumgebung auf die Ernährung ausgewirkt hat 4, 5, 82 . Tatsächlich passt seine Besorgnis über die Verarbeitung gut zu der großen Verlagerung weg vom Konsum von Hülsenfrüchten und grobem Getreide hin zum Konsum von raffiniertem Getreide, das in modernen Supermärkten und Convenience-Stores gekauft wird, die in den Städten Afrikas und Asiens sowie in den meisten Teilen des Nahen Ostens und Lateinamerikas vorgedrungen sind.

Die möglichen negativen Auswirkungen dieser Trends sind ein verbesserter Zugang zu billigeren verarbeiteten, fettreichen, zucker- und salzhaltigen Lebensmitteln in Entwicklungsländern. Gleichzeitig sind sie die Lieferanten von etwas Gutem. Supermärkte waren beispielsweise maßgeblich an der Entwicklung der Ultrahitzebehandlung (UHT) für die Pasteurisierung von Milch beteiligt, die eine lange Haltbarkeit (keine Kühlung erforderlich) und eine sichere Milchquelle für alle Einkommensgruppen bietet. Supermärkte spielten auch eine Schlüsselrolle bei der Einführung von Lebensmittelsicherheitsstandards 83 . Am wichtigsten ist, dass sie das Problem der Kühlkette gelöst haben und in vielen Fällen dem städtischen Verbraucher das ganze Jahr über qualitativ hochwertigere Produkte gebracht haben. Andere Faktoren sind die Liberalisierung ausländischer Direktinvestitionen, die Handelsliberalisierung und die Sättigung der westlichen Märkte, die wachsende Unternehmen an andere Standorte gedrängt hat. Verbesserungen der Logistik- und Beschaffungssysteme von Supermärkten haben es ihnen ermöglicht, auf Kosten mit den typischeren Verkaufsstellen in Entwicklungsländern zu konkurrieren, den kleinen Tante-Emma-Läden und den Nassmärkten (frische oder offene Märkte) für Obst, Gemüse , und alle anderen Produkte.

Ein weiteres Ergebnis der globalen Veränderungen des Lebensmittelkonsums ist der freiere Fluss des Lebensmittelhandels im Zusammenhang mit der WTO. So wurden beispielsweise Hindernisse für Speiseölimporte abgebaut und die Pflanzenölproduktion zentralisiert, um mit Importen zu konkurrieren und die Pflanzenölpreise in Ländern wie China deutlich zu senken.

Diese Veränderungen haben zusammen mit den weltweiten Investitionen in die Landwirtschaft im letzten halben Jahrhundert zu einer starken Verschiebung der relativen Preise geführt, um Nahrungsmittel tierischen Ursprungs, Speiseöle und andere wichtige globale Rohstoffe, einschließlich Zucker, zu begünstigen 79 . Die ergänzende Abbildung 3, die aus der Forschung des IFPRI reproduziert wurde, hebt einige der globalen Trends hervor, die sich aus den enormen Investitionen in den Tiernahrungssektor und Futtermittelpflanzen auf der ganzen Welt ergeben haben 71, 79 . Ergänzende Abbildung 4 hebt die realen Verschiebungen in China bei den relativen Kosten ausgewählter Lebensmittel auf der Grundlage von Daten von 330 Gemeinden und ihren Lebensmittelmärkten 84 hervor.

Ernährungssicherheit und die Doppelbelastung von Unterernährung und Fettleibigkeit

Dieser rasche Übergang von Einkommen und Ernährung und die starke Verlagerung hin zum Verzehr von Nahrungsmitteln aus tierischen Quellen schaffen eine große Nachfrage nach Grundgetreide für die Viehfütterung, wobei die Bedürfnisse der Armen nach derselben Nahrungsversorgung außer Acht gelassen werden. Während Dürre, Klimawandel und erhöhte Nachfrage nach Ethanol zu den weltweiten Nahrungsmittelpreisen beigetragen haben, bezieht sich der längerfristige Strukturwandel auf die Nachfrage nach Nahrungsmitteln aus tierischen Quellen und deren Auswirkungen auf die Mais-, Reis- und Weizenpreise. Angesichts des Bedarfs an Grundnahrungsmitteln für die Armen haben die Vermarktung, die Erwünschtheit und die Verfügbarkeit von kostengünstigen Speiseölen, kalorienarmen Lebensmitteln und dergleichen die städtischen Armen dazu ermutigt, fettleibige Lebensmittel von geringerer Qualität zu konsumieren (höchstwahrscheinlich mehr verarbeitete Lebensmittel, dies ist jedoch noch nicht dokumentiert). Diese komplexen Veränderungen spiegeln sich in der Entstehung von Adipositas neben dem Hunger auch in den gleichen Haushalten wider.

Familien, die nicht in der Lage sind, Nahrungsmittel anzubauen oder ein unzureichendes Einkommen haben, um Nahrungsmittel zu kaufen, werden sich wahrscheinlich für die günstigsten Kosten pro Kalorie aus der verfügbaren Auswahl entscheiden. Wenn sich die Lebensmittelpreise für Grundgetreide verdoppeln oder verdreifachen, steigt der Druck, die Lebensmittelkäufe anzupassen. Zu den wichtigsten Problemen zählen die Anfälligkeit armer Haushalte mit weiblicher Leitung 85 und die Kombination aus Preiserhöhungen und Volatilität auf den globalen Lebensmittelmärkten (auch im Zusammenhang mit dem Klimawandel). Es ist auch wichtig zu beachten, dass die relativen Preisänderungen am wichtigsten sind. Wenn die Preise für fetthaltige Lebensmittel, Öle, Zucker und Lebensmittel tierischen Ursprungs im Vergleich zu Hülsenfrüchten, Obst und anderem Gemüse sinken, verlieren letztere an Attraktivität.

Trotz des beträchtlichen Wirtschaftswachstums bestehen in vielen Ländern mit niedrigem und mittlerem Einkommen weiterhin große Ungleichheiten, und es ist üblich, Probleme wie Untergewicht, Wachstumshemmung und Mikronährstoffmangel mit steigenden Fettleibigkeitsraten einherzugehen. Diese 𠇍oppelte Belastung” durch Unterernährung und Fettleibigkeit besteht nicht nur in Ländern und Gemeinschaften 86, sondern auch in Haushalten 87, 88 und sogar bei Personen, die möglicherweise eine übermäßige Adipositas zusammen mit Mikronährstoffmangel haben, wie z Stunting und Übergewicht. Doppelbelastungshaushalte kommen am häufigsten in Ländern vor, die eine Ernährungsumstellung durchlaufen 87, 88 und können geschlechts- oder generationsbedingte Unterschiede bei der Nahrungsmittelverteilung im Zusammenhang mit sozialen Normen widerspiegeln. Zum Beispiel können hochwertige Lebensmittel bevorzugt an erwachsene Männer und nicht an Kinder gegeben werden. Aber es können auch andere Muster existieren. In China ist es üblich, im Zuge der Ein-Kind-Bevölkerungskontrollstrategie Kinder zu verwöhnen 91, 92 . Menschen verschiedener Generationen können auch unterschiedlich auf soziale und wirtschaftliche Veränderungen reagieren, da die jüngere Generation schneller neue Ernährungsmuster annimmt, während die älteren Menschen weiterhin traditioneller (und manchmal gesünder) essen.

Eine Herausforderung für Programme und Politiken ist die Notwendigkeit, Ernährungsunsicherheit und Hunger zu bekämpfen, ohne die Belastung durch Übergewicht und Fettleibigkeit zu erhöhen. Dies ist angesichts der relativ geringen Kosten und der hohen Verfügbarkeit von energiereichen, aber mikronährstoffarmen Lebensmitteln eine besondere Herausforderung. Auch hier sind die relativen Preise ausschlaggebend. Der fehlende Fokus auf grobkörniges Getreide, Hülsenfrüchte und anderes Gemüse und die große Aufmerksamkeit für Zuckerpflanzen, Ölsaaten, Pflanzenöltechnologien und billigere Lebensmittel tierischen Ursprungs haben zu der globalen Veränderung der Ernährung beigetragen.

In Ländern wie Mexiko, Brasilien, Chile und China, in denen große Schritte unternommen wurden, um akute Unterernährung durch Programme für gefährdete Bevölkerungsgruppen zu minimieren, wurden Hunger und Unterernährung reduziert. Ein Beispiel ist Oportunidades in Mexiko, das bedingte Geldtransferprogramm, das Vorschulkindern ein Stipendium und ergänzende Nahrung bietet 93, 94 . Diese Länder erkennen an, dass die Programme auf Unterernährung zugeschnitten sein müssen, ohne dabei das Energieungleichgewicht und die Fettleibigkeit bei den Empfängern zu beschleunigen, wie es in einigen Programmen der Fall war 93, 95 . Chile beispielsweise ernährte weiterhin kleine Kinder in seinen verschiedenen Ernährungsprogrammen, selbst wenn die meisten ausreichend ernährt waren, und überarbeitete die Programme einige Zeit lang nicht, um Probleme mit dem Energieungleichgewicht zu lösen, nachdem sie die Unterernährung reduziert hatten 95 . Die mexikanische Regierung erkannte die Notwendigkeit, den Fettgehalt der Milch zusammen mit anderen Änderungen in ihren Ernährungsprogrammen zu reduzieren, um das Problem der Fettleibigkeit bei Kindern anzugehen.


1.3: Änderungsraten und Verhalten von Graphen

Chemische Kinetik

Kinetik ist die Lehre von den Geschwindigkeiten chemischer Prozesse.

Die Geschwindigkeit einer Reaktion wird durch die Konzentrationsänderung über die Zeit definiert:

Geschwindigkeitsausdrücke beschreiben Reaktionen hinsichtlich der Änderung der Edukt- oder Produktkonzentrationen über die Zeit. Die Reaktionsgeschwindigkeit kann durch einen der Reaktanten oder Produkte in der Reaktion ausgedrückt werden.

Es gibt ein paar Regeln zum Schreiben von Preisausdrücken:

1) Ausdrücke für Reaktanten erhalten ein negatives Vorzeichen. Dies liegt daran, dass der Reaktant aufgebraucht ist oder abnimmt.

2) Ausdrücke für Produkte sind positiv. Dies liegt daran, dass sie zunehmen.

3) Alle Geschwindigkeitsausdrücke für die verschiedenen Reaktanten und Produkte müssen einander gleich sein, um korrekt zu sein. (Das bedeutet, dass die Stöchiometrie der Reaktion im Ausdruck kompensiert werden muss)

Beispiel: In einer Gleichung, die geschrieben wird: 2X + 3Y —> 5Z

Der Preisausdruck wäre:

Die mathematische Betrachtungsweise: Die Rate kann mit der Zeit (und der Konzentration) variieren, daher ist es üblich, die Rate über einen sehr kleinen Zeitraum zu definieren, &Deltat. Wir stellen uns die Geschwindigkeit als Ableitung der Konzentration nach der Zeit vor: Diese Ableitung ist die Steigung einer Konzentrationskurve gegen die Zeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. Im Diagramm wird eine exponentielle Anpassung verwendet, um eine beste Anpassungslinie zu erstellen, mit der Sie die Rate an jedem Punkt berechnen können.

Wir haben bereits festgestellt, dass eine Konzentrationsänderung die Reaktionsgeschwindigkeit beeinflussen kann (Kollisionstheorie). Mit fortschreitender Reaktion ändern sich die Konzentrationen sowohl der Reaktanten als auch der Produkte und somit ändert sich die Reaktionsgeschwindigkeit. Dies bedeutet auch, dass die Geschwindigkeit einer Reaktion durch abnehmende Konzentrationen ihrer Reaktionspartner oder zunehmende Konzentrationen ihrer Produkte ausgedrückt werden kann. Die Ausdrücke, die verwendet werden, um diese Beziehungen zu beschreiben, heißen Rate Gesetze oder Rate Gleichungen.

Drei Möglichkeiten, die Rate quantitativ zu bestimmen:

Anfangspreis: Bei der Methode der Anfangsgeschwindigkeiten wird die Reaktionsgeschwindigkeit r zu sehr kurzen Zeiten gemessen, bevor signifikante Konzentrationsänderungen auftreten. A + 2B --> 3C

Während die Form des Differentialgeschwindigkeitsgesetzes sehr kompliziert sein kann, haben viele Reaktionen ein Geschwindigkeitsgesetz der folgenden Form: r = k [A] a [B] b

Die Anfangskonzentrationen von A und B sind daher bekannt, wenn die Anfangsreaktionsgeschwindigkeit gemessen wird, sind die einzigen Unbekannten im Geschwindigkeitsgesetz die Geschwindigkeitskonstante k und die Exponenten a und b. Typischerweise misst man die Anfangsrate für mehrere verschiedene Konzentrationssätze und vergleicht dann die Anfangsraten.


Literatur-Empfehlungen

Mroczek, D.K., & Spiro, A., III. (2003). (Siehe Referenzen). Eine repräsentative Studie, die Originalforschung zu Wachstumsmodellierung und Persönlichkeitsmerkmalsänderung illustriert.

Mroczek, D.K., & Spiro, A., III. (2007). (Siehe Referenzen). Die erste Studie, die zeigt, dass individuelle Unterschiede in der Veränderung des Neurotizismus die Sterblichkeit vorhersagen.

Nesselroade, J. R. (1991). Interindividuelle Unterschiede in der intraindividuellen Veränderung. In L. M. Collins & J. L. Horn (Hrsg.), Beste Methoden zur Analyse von Veränderungen (S. 92�). Washington, DC: Amerikanische Psychologische Vereinigung. Ein klassisches Papier, das individuelle Unterschiede im Wandel, ihre Bedeutung und die vielfältigen Möglichkeiten, sie zu konzeptualisieren und zu messen, definiert.

Roberts, B. W., Walton, K., & Viechtbauer, W. (2006). (Siehe Referenzen). Ein umfassender Überblick über die durchschnittliche Veränderung von Persönlichkeitsmerkmalen.

Helson, R., Mitchell, V., & Moane, G. (1984). Persönlichkeit und Muster der Einhaltung und Nichteinhaltung der sozialen Uhr. Zeitschrift für Persönlichkeits- und Sozialpsychologie, 46, 1079�. Ein historischer Klassiker𠅎ine der ersten Veröffentlichungen, die die Aufmerksamkeit auf die Beziehung zwischen Lebenserfahrungen und der Entwicklung von Persönlichkeitsmerkmalen im Erwachsenenalter lenken.


Substitutionseffekt

Aus dem Gesetz der Nachfrage folgt, dass die nachgefragte Menge eines Produkts steigt, wenn der Produktpreis sinkt und umgekehrt. Ein Grund für dieses Phänomen ist die Substitution, d. h. wenn Verbraucher den Konsum des Produkts einstellen, dessen Preis steigt, und auf andere ähnliche Produkte umsteigen. Dies geschieht, wenn der Preisanstieg das Produkt teurer macht als seine Substitute und vernünftige Verbraucher entscheiden, dass es sich nicht lohnt, das Produkt weiterhin zu seinem erhöhten Preis zu konsumieren.

Um das Ausmaß des Substitutionseffekts zu bestimmen, ignorieren wir den Einkommenseffekt, d. h. die Rotation der Haushaltslinie. Wir tun dies, indem wir die Budgetgerade nach außen verschieben, so dass sie die anfängliche Indifferenzkurve bei Punkt S schneidet. Die Abnahme der nachgefragten Filmmenge, die aufgrund der Bewegung entlang der anfänglichen Indifferenzkurve IC1 von Punkt E nach S auftritt, repräsentiert den Substitutionseffekt.

Bitte beachten Sie, dass der Substitutionseffekt bei der Änderung der nachgefragten Menge eine Rolle spielt, wenn alle anderen Determinanten der Nachfrage, d. h. der Preis der Ersatzgüter, das Einkommensniveau usw., konstant sind. Die Rotation der Haushaltslinie im aktuellen Beispiel ist auf eine unterstellte Änderung des Realeinkommens und nicht auf eine tatsächliche Änderung des Einkommens zurückzuführen. Bei einer tatsächlichen Änderung des Einkommensniveaus verschiebt sich die Nachfragekurve, d. h. es bewirkt eine Nachfrageänderung auf allen Preisniveaus.


Etablierung eines Prozesses zur Entscheidungsfindung auf Ebene 3

Wie bereits erwähnt, ist es innerhalb eines mehrstufigen FTI-Ansatzes wichtig, einen Prozess zu etablieren, um a) festzustellen, welche Schüler Schwierigkeiten haben, b) Interventionsstrategien oder Unterstützungen auszuwählen und diese Unterstützungen auf die Schüler abzustimmen und c) zu bewerten, ob die Interventionsstrategien sind hilfreich. Auf jeder Ebene des Kontinuums kann der Prozess in seiner Intensität variieren, aber er folgt immer einer konsistenten Reihe von Fragen oder Schritten. Praktiker können ihre Entscheidungsfindung leiten, indem sie sich an einen Selbstbefragungsprozess halten, bei dem sie sich die folgenden Fragen stellen:

Dieser Selbstbefragungsprozess ist den meisten Pädagogen bekannt und wird von vielen effektiven Lehrern formell oder informell eingesetzt, wenn sie proaktiv daran arbeiten, den Fortschritt der Schüler in ihren Klassenzimmern zu bewerten. Beispielsweise bewerten Lehrkräfte, die in ihren Klassenzimmern auf die individuellen Bedürfnisse der Schüler eingehen, regelmäßig die Fähigkeiten der Schüler und ihre Reaktionsfähigkeit auf Unterrichtsstrategien und bieten bei Bedarf zusätzliche Unterstützung und Abhilfe auf der Ebene der ganzen Klasse, in Kleingruppen oder auf individueller Ebene.

In schulweiten, mehrstufigen Ansätzen für FTI wird ein ähnlicher, aber oft stärker formalisierter Prozess auf der gesamten Schule, im Klassenzimmer und auf der Ebene einzelner Schüler angewendet. Über die Ebenen hinweg wird die Art der angebotenen Dienste und Unterstützung auf der Grundlage der Intensität der Probleme und des Ausmaßes des Bedarfs differenziert. Auf Stufe 3 konzentrieren sich die Bemühungen auf die Bedürfnisse einzelner Schüler, die erhebliche Probleme in akademischen, sozialen und/oder Verhaltensbereichen haben. Somit ist der Prozess auf dieser Ebene intensiver und individueller als auf anderen Ebenen. In den folgenden Abschnitten werden Überlegungen zu jedem Schritt eines Stufe-3-Selbstbefragungsprozesses erörtert.

Schritt 1: Wer hat ein Problem und was genau ist das Problem?

Der erste Schritt im Prozess besteht darin, das Problem zu definieren, und in diesen Schritt eingebettet ist die Feststellung, bei wem das Problem auftritt und welcher Support-Level (d. h. Stufe 1, Stufe 2 oder Stufe 3) gewährleistet ist. Bei der Definition eines Problems ist es wichtig, objektiv und beobachtbar klar zu beschreiben, wie das Problem „aussieht“, damit alle Beteiligten wissen, dass es sich um dasselbe handelt. Die Messung eines Problems sollte direkt erfolgen und innerhalb des Kontexts (z. B. Klassenzimmer oder Situation) erfolgen, in dem das Problem auftritt. Um zu quantifizieren, wie stark ein Problem vorliegt, sollte das Problem in Messbegriffen (z. B. Häufigkeit, Rate, Dauer, Größe) beschrieben werden. Um sich weiterhin auf die Verbesserung von Problemsituationen konzentrieren zu können, ist es hilfreich, Probleme als Diskrepanzen zwischen der tatsächlichen oder aktuellen Leistung eines Schülers (d. h. „was ist“) und einer gewünschten oder erwarteten Leistung (d. h. „was sein sollte“) zu beschreiben. Daher müssen neben der Messung der tatsächlichen Leistung eines Schülers auch Kriterien für das erwartete Leistungsniveau festgelegt werden. Durch die Quantifizierung von Problemen als Diskrepanzen können Pädagogen diese Informationen verwenden, um das Ausmaß oder die Schwere eines Problems zu bestimmen. Diese Informationen können nützlich sein, um Ziele zu formalisieren (d. h. eine Verringerung der Diskrepanz) und Probleme innerhalb und zwischen den Schülern zu priorisieren.

Betrachten Sie das Lesen als Beispiel, um diesen Prozess zu veranschaulichen. Ein Maß für die „Lesegesundheit“, das nachweislich die spätere Leseflüssigkeit und das Leseverständnis vorhersagt, ist die Anzahl der Wörter, die ein Schüler pro Minute richtig liest, oder die mündliche Leseflüssigkeit (Hosp & Fuchs, 2005). Die Dynamic Indicators of Basic Early Literacy Skills (DIBELS http://www.dibels.uoregon.edu) ist ein forschungsbasiertes, standardisiertes, normbezogenes Maß für Lese- und Lesekompetenz, das ein Maß für die mündliche Leseflüssigkeit für Klassen 1 bis 6 (Gut, Gruba & Kaminski, 2002). Die DIBELS-Maßnahmen wurden als Screening- und Evaluierungsinstrumente entwickelt, und die Ergebnisse der DIBELS können verwendet werden, um Schüler in Kategorien von Leserisiko einzuordnen. Für die DIBELS wurden vorgegebene, forschungsbasierte Zielraten festgelegt, die auf der eben erwähnten Website abrufbar sind. Diese Zielquoten können als Standards für die „erwartete Leistung“ verwendet werden, um die tatsächlichen Schülerleistungen in einem FTI-Modell zu vergleichen. Insbesondere Schüler, die mit oder über den empfohlenen (d. h. Benchmark-)Raten lesen, haben ein geringes Risiko für Leseprobleme. Im Gegensatz dazu gelten Schüler, die unter den Benchmark-Werten liegen, entweder als „ein gewisses Risiko“ für die Entwicklung von Leseproblemen oder als „gefährdet“ für die Entwicklung von Leseproblemen.

Die DIBELS-Benchmark-Kriterien legen beispielsweise nahe, dass ein Schüler der 3. Klasse zu Beginn (Herbstsemester) der 3. Klasse 77 oder mehr Wörter pro Minute richtig lesen soll, in der Mitte (Wintersemester) 92 oder mehr Wörter und 110 oder mehr am Ende (Frühlingssemester). So kann ein Schüler, der pro Minute weniger Wörter richtig liest als die angegebene Benchmark-Menge (dh 77 Wörter im Herbst der 3. Klasse), als Leseproblem angesehen werden und je nach seiner Punktzahl als bedürftig angesehen werden strategische (Tier 2) oder intensive (Tier 3) Leseintervention unterstützt. Um dies deutlicher zu veranschaulichen, betrachten wir hypothetische Daten, die im Herbst von allen Schülern der 3. Klasse einer Grundschule aufgenommen wurden. Stellen Sie sich vor, dass alle Schüler der 3. Klasse mit dem DIBELS auf Leseschwierigkeiten untersucht wurden. Wie bei jedem Screening-Gerät ist das DIBELS so empfindlich, dass es Schüler erkennt, bei denen das Risiko von Leseproblemen besteht. Um festzustellen, wer möglicherweise Leseschwierigkeiten hat, würde das Team der Lehrer der 3. Klasse prüfen, welche Schüler unter der erwarteten Zielrate von 77 richtig gelesenen Wörtern pro Minute liegen. Nehmen wir zum Beispiel an, dass Ben mit einer Rate von 67 Wörtern pro Minute richtig liest, was bedeutet, dass er pro Minute 10 Wörter weniger richtig liest als die gewünschte Rate (d. h. 77 – 67 = 10). Ella, die 30 Wörter pro Minute richtig liest, liest 47 Wörter weniger richtig pro Minute als die gewünschte Rate (d. h. 77 – 30 = 47). Beide Kinder lesen weniger als die gewünschte Rate von 77 und benötigen möglicherweise zusätzliche Lesehilfen, aber das quantifizierte Problem (d. h. die Diskrepanz zwischen tatsächlicher und erwarteter Leistung) ist für Ella größer. Dies soll natürlich nicht bedeuten, dass ein Schüler auf der Grundlage einer einzelnen Punktzahl in eine Kategorie der Unterstützung der Stufe 2 oder 3 eingestuft werden sollte. Stattdessen sind Screening-Geräte wie die DIBELS, die wiederholt verabreicht werden können und zeiteffizient sind, nützlich, da sie helfen können, Schüler zu identifizieren, die möglicherweise zusätzliche Interventionsunterstützung oder eine weitere Beurteilung zur Feststellung des Unterstützungsbedarfs benötigen. Weitere Informationen finden Sie im Artikel von Jenkins und Johnson im Abschnitt zu Universal Screening auf dieser Website. [NCLD Link zum Artikel hinzufügen]

Eine wichtige Frage, die Schulen berücksichtigen müssen, ist, ob ein Schüler Dienste der Stufe 1, 2 oder 3 erhalten sollte. Die Dienste der Stufe 3 sind auf die Bedürfnisse von Schülern ausgerichtet, die erhebliche Probleme haben und/oder auf die Bemühungen der Stufe 1 und 2 nicht reagieren. Schulen sollten Richtlinien aufstellen, um zu bestimmen, wie Schüler in die Stufe 1, 2 oder 3 der Unterstützungsstufen eintreten. Obwohl die Richtlinien von Schule zu Schule unterschiedlich sein können, sollten Schüler, die Dienste der Stufe 3 benötigen, auf zwei Arten auf diese Dienste zugreifen können. Erstens können Schüler, die Unterstützung der Stufe 1 oder 2 erhalten, keine angemessenen Fortschritte machen und nicht auf das Kontinuum der auf Stufe 1 oder Stufe 2 verfügbaren Unterstützungen reagieren, in Stufe 3 versetzt werden, um intensivere Interventionsunterstützung zu erhalten. Zweitens sollte es einen Mechanismus geben, durch den Schüler mit sehr schweren oder erheblichen schulischen, Verhaltens- oder sozial-emotionalen Problemen direkt in die Stufe 3 eingeordnet werden können, um die erforderliche intensive und individuelle Interventionsunterstützung zu erhalten. Für einige Schüler ist die zweite Option notwendig, um die erforderliche Unterstützung rechtzeitig bereitzustellen, anstatt den Zugang zu diesen Unterstützungen zu verzögern, indem die Schüler warten müssen, bis sie die Interventionsdienste der Stufen 1 und 2 durchlaufen. Im Gegensatz zu einem festen Multi-Gating-System, bei dem die Studierenden nur nach einem Zeitraum mit weniger intensiven (dh Tier 1 oder 2) Dienstleistungen intensivere Dienste (dh Stufe 3) erhalten könnten, sollte der RTI-Ansatz dies ermöglichen: eine gewisse Flexibilität, um die Schüler je nach Bedarf zeitnah und effizient zu bedienen.

Schritt 2: Welche Interventionsstrategien können verwendet werden, um das Ausmaß oder die Schwere des Problems zu reduzieren?

Wenn festgestellt wurde, dass ein Schüler Interventionsunterstützung der Stufe 3 benötigt, ist der nächste Schritt im Selbstbefragungsprozess die Auswahl und Implementierung geeigneter Interventionsunterstützung. Eine Option in diesem Schritt besteht darin, direkt in die Intervention überzugehen, indem eine evidenzbasierte Interventionsstrategie ausgewählt wird, die ein Standardprotokoll für die Implementierung hat. Es gibt viele Interventionsstrategien, aus denen Sie wählen können. Mehrere Websites bieten beispielsweise lehrerfreundliche Interventionsressourcen (z. B. http://www.interventioncentral.com http://www.free-reading.net http://ies.ed.gov/ncee/wwc/) .

Eine zweite Möglichkeit in dieser Phase besteht darin, weitere Informationen zu sammeln, bevor Sie zur Intervention übergehen. Um die Entwicklung und Auswahl einer Intervention für ein bestimmtes Problem zu unterstützen, kann es wichtig sein, eine Analyse des Kontexts und der Funktion des Problems durchzuführen. Dazu müssen wir uns fragen, welche Faktoren zu dem Problem beitragen und wie wir diese Faktoren ändern können, um das Lernen zu fördern und das Ausmaß oder die Schwere des Problems zu verringern. Ein Endziel dieser Phase des Prozesses besteht darin, „die Bedingungen zu diagnostizieren, unter denen das Lernen der Schüler ermöglicht wird“ (Tilly, 2002, S. 29). Dieses Ziel wird durch das Sammeln von Informationen (z. B. direkte Beobachtung, Interviews, Bewertungsskalen, lehrplanbasierte Messungen akademischer Fähigkeiten, Überprüfung von Aufzeichnungen) aus einer Reihe von Quellen (z. B. Schüler, Lehrer, Eltern, Gleichaltrige, Administrator) erreicht beantworten Sie Fragen, die uns helfen, zu verstehen, warum (dh unter welchen Bedingungen) das Problem auftritt. Konkret möchten wir wissen, wo, wann, mit wem und bei welchen Aktivitäten das Problem wahrscheinlich oder unwahrscheinlich auftritt.

Obwohl in dieser Phase viele Fragen gestellt werden können, ist es wichtig, sich darauf zu konzentrieren, die Faktoren zu identifizieren, die wir ändern können (d. h. Unterrichtsstrategien, Lehrplanmaterialien), um die Problemsituation zu mildern. Wenn beispielsweise die Unterrichtsleistung eines Kindes unter unseren Erwartungen liegt, fragen wir möglicherweise, ob es sich bei dem Problem um ein Fertigkeitsproblem (dh kann es nicht) oder um ein Leistungsproblem (dh wird nicht) handelt (weitere Informationen zu diesem Prozess finden Sie unter siehe Daly Chafouleas & Skinner, 2005 Daly, Martens, Witt & Dool, 1997 Witt, Daly & Noell, 2000). Eine weitere wichtige und damit verbundene Frage im Zusammenhang mit Lernproblemen ist, ob die Abstimmung zwischen dem Qualifikationsniveau des Schülers, den Lehrplanmaterialien und den Unterrichtsstrategien angemessen ist (Howell & Nolet, 2000). Wenn das Problem eine Leistung beinhaltet, die unter den Erwartungen liegt, ist es wichtig, die folgenden Arten von Fragen zu stellen, ob dies daran liegt, dass der Schüler a) die Aufgabe oder Aktivität nicht ausführen möchte, b) lieber etwas anderes tun möchte, c) erhält etwas (z. B. Aufmerksamkeit, Zugang zu einer bevorzugten Tätigkeit), indem er die Aufgabe nicht erledigt, d) verfügt nicht über die erforderlichen Fähigkeiten, um die Aufgabe auszuführen, e) bekommt eine zu schwierige Arbeit oder wird so präsentiert, dass die der Schüler noch nicht gesehen hat oder f) nicht genügend Zeit hat, um die Fertigkeit fließend zu üben.

Bei der Beantwortung der obigen Fragen besteht ein direkter Zusammenhang zwischen unserer Befragung und der Entwicklung einer Lösung. Wenn die von uns gesammelten Informationen zum Beispiel darauf hindeuten, dass der Schüler über die erforderlichen Fähigkeiten verfügt, um zusammenhängenden Text zu entschlüsseln, dies jedoch langsam tut, könnten wir die Hypothese aufstellen, dass der Schüler möglicherweise nicht genügend Zeit hatte, das Lesen zu üben, um fließend zu werden. Eine geeignete Intervention für diesen Schüler könnte sich auf die Verbesserung der Leseflüssigkeit durch eine Intervention konzentrieren, die verstärkte Leseübungen beinhaltet, wie z. B. wiederholtes Lesen (siehe Daly et al., 2005 für eine Beschreibung des wiederholten Lesens). Wenn wir alternativ vermuten, dass das Leseproblem eines Schülers damit zusammenhängt, dass er nicht genügend Unterstützung beim Erwerb der Fertigkeit hat und/oder ein Defizit in den Vorlesefertigkeiten hat (z. B. Probleme mit dem phonemischen Bewusstsein), könnte sich unsere hypothetische Interventionsstrategie auf die direkte Fertigkeit konzentrieren Entwicklung der vorausgesetzten Fähigkeiten, mit Aufforderungen und korrigierendem Feedback. In jedem Beispiel bezog sich das Leseproblem auf ein Fertigkeitsproblem und die Lösungen wurden mit der Art des Fertigkeitsproblems (z. B. Erwerb, Sprachkenntnisse) verknüpft.

Wenn die von uns gesammelten Informationen darauf hindeuten, dass das Leseproblem kein Fertigkeitsproblem ist, sondern eher ein Leistungsproblem (d. h. kein Problem), dann sollte sich die Intervention darauf konzentrieren, die Funktion (z. B. Fluchtaufgabe) des Verhaltens anzugehen. Es wurde viel über die Verknüpfung von Bewertung und Intervention durch funktionale Verhaltensbewertung geschrieben, und wenn es sich bei Problemen um Leistungsprobleme handelt, können Interventionen die Verhaltensfunktion auf verschiedene Weise angehen. Wenn das Verhalten eines Schülers beispielsweise durch Flucht vor einer Aufgabe aufrechterhalten wird, kann die Intervention die Motivation des Schülers, der Aufgabe zu entkommen, verringern, indem die Aufgabe weniger aversiv wird (z. B. Anpassung der Materialauswahl, um das Interesse zu steigern), dem Schüler mehr beibringen geeignete Art und Weise zu kommunizieren, dass die Aufgabe aversiv ist (eine kurze Pause verlangt) oder ein Ausweichen aus der Aufgabe nach der Ausführung der Aufgabe für einen vordefinierten Zeitraum zu ermöglichen.

Unabhängig davon, ob Pädagogen direkt zur Intervention übergehen oder weitere Informationen zur Analyse des Problems sammeln, liegt der Schwerpunkt dieses Schrittes im Selbstbefragungsprozess auf der Auswahl einer Lösung (Interventionsstrategie), die das Ausmaß oder die Schwere des Problems reduziert ( dh verringert die Diskrepanz zwischen der aktuellen und der erwarteten Leistung des Schülers). Interventionen sollten auf der Grundlage ihrer funktionalen Relevanz für das Problem (dh Übereinstimmung mit dem Grund des Auftretens des Problems), kontextueller Eignung (dh Übereinstimmung mit dem Umfeld und der Situation, in der das Problem auftritt) und der Erfolgswahrscheinlichkeit (dh , nachgewiesener Erfolg in der Forschungsliteratur). Stufe-3-Interventionen sind darauf ausgerichtet, signifikante Probleme anzugehen, für die Schüler intensive Interventionen benötigen. Daher erfordern Interventionen der Stufe 3 eine sorgfältige Planung. Im Einzelnen sollte ein Interventionsplan Folgendes beschreiben:

Darüber hinaus sollte ein Interventionsplan Zeitpläne für die Umsetzung von Zielen und das Erreichen der gewünschten Ziele festlegen. Das Endziel dieser Phase des Prozesses ist ein klar umrissener Interventionsplan. (Beispiele für evidenzbasierte Interventionsstrategien finden Sie im What Works Clearinghouse unter http://www.whatworks.ed.gov, einer Ressource, die vom Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education entwickelt wurde.)

Schritt 3: Wurde das Problem des Schülers durch die Intervention gelöst?

Der RTI einer Person kann nur nach der tatsächlichen Durchführung einer Intervention und einer sorgfältigen (d. h. zuverlässigen und validen), wiederholten Messung ihres Verhaltens im Zeitverlauf ermittelt werden. Obwohl eine gründliche Beschreibung und Analyse des Problems, warum es auftritt und welche Interventionen wahrscheinlich effektiv sind, für den Selbstbefragungsprozess auf Stufe 3 wichtig ist, ist der Prozess unvollständig, bis Praktiker fragen, ob das Problem des Schülers als Ergebnis des Eingriffs. Der beste Weg, um festzustellen, ob ein Schüler Fortschritte in Richtung der gewünschten Ziele in der FTI macht, besteht darin, fortlaufend Informationen über die Integrität zu sammeln, mit der die Intervention durchgeführt wurde, und in Bezug auf die Interventionsimplementierung über die Diskrepanz zwischen der gewünschten und der tatsächlichen Leistung. Der Interventionsprozess endet nicht, bis das Problem (d. h. die Diskrepanz zwischen dem, was ist und was sein sollte) gelöst ist. Daher sind kontinuierliche Überwachung und Evaluierung wesentliche Bestandteile eines effektiven FTI-Prozesses. Insbesondere sollten Informationen zu gezielten Schülerergebnissen (dh Messung der Verhaltensänderung relativ zu den angestrebten Zielen), zur ordnungsgemäßen Durchführung der Intervention (dh zu der Messung, ob die Intervention wie geplant durchgeführt wird) und zur sozialen Validität (Praxis und Akzeptanz der Intervention und Ergebnis). Bei der Überprüfung und Analyse der Daten sollte entschieden werden, ob der Interventionsplan überarbeitet oder die Ziele angepasst werden sollen. Ein-Fach-Designmethoden sind der Schlüssel zur Bestimmung des RTI eines Studenten (für weitere Informationen siehe Olson, Daly, Andersen, Turner & LeClair, 2007).


1.3: Änderungsraten und Verhalten von Graphen

In Abschnitt 14.3 „Methoden zur Bestimmung der Reaktionsordnung“ haben Sie gelernt, dass das integrierte Geschwindigkeitsgesetz für jede gängige Reaktionsart (nullte, erste oder zweite Ordnung in einem einzelnen Reaktanten) als Gerade aufgetragen werden kann. Die Verwendung dieser Diagramme bietet eine Alternative zu den beschriebenen Methoden, um zu zeigen, wie sich die Reaktantenkonzentration mit der Zeit ändert und um die Reaktionsordnung zu bestimmen.

Wir werden die Verwendung dieser Graphen veranschaulichen, indem wir die thermische Zersetzung von NO . betrachten2 Gas bei erhöhten Temperaturen, die nach folgender Reaktion abläuft:

Experimentelle Daten für diese Reaktion bei 330 °C sind in Tabelle 14.5 "Konzentration von NO" aufgeführt, sie werden als [NO2], ln[NEIN2] und 1/[NEIN2] gegen die Zeit, um den integrierten Geschwindigkeitsgesetzen für Reaktionen nullter, erster und zweiter Ordnung zu entsprechen. Die tatsächlichen Konzentrationen von NO2 sind in Teil (a) in Abbildung 14.15 "Die Zersetzung von NO" gegen die Zeit aufgetragen.Da die Handlung von [NO2] gegen t keine gerade Linie ist, wissen wir, dass die Reaktion nicht nullter Ordnung in NO . ist2. Ein Diagramm von ln[NO2] gegen t (Teil (b) in Abbildung 14.15 "Die Zersetzung von NO") zeigt uns, dass die Reaktion in NO . nicht erster Ordnung ist2 weil eine Reaktion erster Ordnung eine Gerade ergeben würde. Nachdem wir das Verhalten nullter und erster Ordnung eliminiert haben, konstruieren wir ein Diagramm von 1/[NO2] gegen t (Teil (c) in Abbildung 14.15 „Die Zersetzung von NO“). Dieses Diagramm ist eine gerade Linie, die anzeigt, dass die Reaktion in NO . zweiter Ordnung ist2.

Tabelle 14.5 Konzentration von NO2 als Funktion der Zeit bei 330°C

Zeit (s) [NEIN2] (M) ln[NEIN2] 1/[NEIN2] (M −1 )
0 1.00 × 10 −2 −4.605 100
60 6.83 × 10 −3 −4.986 146
120 5.18 × 10 −3 −5.263 193
180 4.18 × 10 −3 −5.477 239
240 3.50 × 10 −3 −5.655 286
300 3.01 × 10 −3 −5.806 332
360 2.64 × 10 −3 −5.937 379

Abbildung 14.15 Die Zersetzung von NO2

Diese Diagramme zeigen die Zersetzung einer Probe von NO2 bei 330 °C als (a) die Konzentration von NO2 gegen t, (b) der natürliche Logarithmus von [NO2] gegen t, und (c) 1/[NO2] gegen t.

Wir haben gerade die Reaktionsordnung unter Verwendung von Daten aus einem einzigen Experiment bestimmt, indem wir die Konzentration des Reaktanten als Funktion der Zeit aufgetragen haben. Aufgrund der charakteristischen Linienformen in Abbildung 14.16 „Eigenschaften von Reaktionen, die dem Geschwindigkeitsgesetz nullter, erster und zweiter Ordnung gehorchen“ können die Graphen verwendet werden, um die Reaktionsordnung einer unbekannten Reaktion zu bestimmen. Im Gegensatz dazu erforderte die in Abschnitt 14.3 „Methoden zur Bestimmung der Reaktionsordnung“ beschriebene Methode mehrere Experimente bei unterschiedlichen NO2 Konzentrationen sowie genaue anfängliche Reaktionsgeschwindigkeiten, die für schnelle Reaktionen schwer zu erhalten sein können.

Abbildung 14.16 Eigenschaften von Reaktionen, die den Geschwindigkeitsgesetzen nullter, erster und zweiter Ordnung gehorchen

Beispiel 9

Distickstoffpentoxid (N2Ö5) zerfällt zu NO2 und O2 bei relativ niedrigen Temperaturen in der folgenden Reaktion:

Diese Reaktion wird in einem CCl . durchgeführt4 Lösung bei 45°C. Die Konzentrationen von N2Ö5 als Funktion der Zeit sind in der folgenden Tabelle zusammen mit den natürlichen Logarithmen und dem Kehrwert N2Ö5 Konzentrationen. Zeichnen Sie ein Diagramm der Konzentration gegen t, ln Konzentration versus t, und 1/Konzentration versus t und dann das Geschwindigkeitsgesetz bestimmen und die Geschwindigkeitskonstante berechnen.

Zeit (s) [Nein2Ö5] (M) ln[N2Ö5] 1/[N2Ö5] (M −1 )
0 0.0365 −3.310 27.4
600 0.0274 −3.597 36.5
1200 0.0206 −3.882 48.5
1800 0.0157 −4.154 63.7
2400 0.0117 −4.448 85.5
3000 0.00860 −4.756 116
3600 0.00640 −5.051 156

Gegeben: ausgewogene chemische Gleichung, Reaktionszeiten und Konzentrationen

Gefragt: Graph von Daten, Geschwindigkeitsgesetz und Geschwindigkeitskonstante

EIN Verwenden Sie die Daten in der Tabelle, um die Konzentration, den natürlichen Logarithmus der Konzentration und den Kehrwert der Konzentration (die vertikale Achse) gegen die Zeit (die horizontale Achse) separat aufzuzeichnen. Vergleichen Sie die Graphen mit denen in Abbildung 14.16 „Eigenschaften von Reaktionen, die dem Geschwindigkeitsgesetz nullter, erster und zweiter Ordnung gehorchen“, um die Reaktionsordnung zu bestimmen.

B Schreiben Sie das Geschwindigkeitsgesetz für die Reaktion auf. Berechnen Sie mit den entsprechenden Daten aus der Tabelle und dem linearen Diagramm, das dem Geschwindigkeitsgesetz für die Reaktion entspricht, die Steigung der aufgetragenen Linie, um die Geschwindigkeitskonstante für die Reaktion zu erhalten.

Die Handlung von ln[N2Ö5] gegen t ergibt eine Gerade, während die Plots von [N2Ö5] gegen t und 1/[N2Ö5] gegen t unterlassen Sie. Dies bedeutet, dass die Zerlegung von N2Ö5 ist erster Ordnung in [N2Ö5].

B Das Geschwindigkeitsgesetz für die Reaktion lautet daher

Die Berechnung der Geschwindigkeitskonstante ist einfach, da wir wissen, dass die Steigung der Auftragung von ln[A] gegen t für eine Reaktion erster Ordnung ist −k. Wir können die Steigung berechnen, indem wir zwei beliebige Punkte verwenden, die auf der Linie im Diagramm von ln[N2Ö5] gegen t. Verwenden der Punkte für t = 0 und 3000 s,

Steigung = ln [ N 2 O 5 ] 3000 − ln [ N 2 O 5 ] 0 3000 s − 0 s = ( − 4,756 ) − ( − 3,310 ) 3000 s = − 4,820 × 10 − 4 s − 1

1,3-Butadien (CH2=CH—CH=CH2 C4H6) ist ein flüchtiges und reaktives organisches Molekül, das bei der Gummiherstellung verwendet wird. Oberhalb von Raumtemperatur reagiert es langsam zu Produkten. Konzentrationen von C4H6 als Funktion der Zeit bei 326 °C sind in der folgenden Tabelle zusammen mit ln[C4H6] und die reziproken Konzentrationen. Zeichnen Sie die Daten als Konzentration versus t, ln Konzentration versus t, und 1/Konzentration versus t. Bestimmen Sie dann die Reaktionsordnung in C4H6, das Geschwindigkeitsgesetz und die Geschwindigkeitskonstante für die Reaktion.

Zeit (s) [C4H6] (M) ln[C4H6] 1/[C4H6] (M −1 )
0 1.72 × 10 −2 −4.063 58.1
900 1.43 × 10 −2 −4.247 69.9
1800 1.23 × 10 −2 −4.398 81.3
3600 9.52 × 10 −3 −4.654 105
6000 7.30 × 10 −3 −4.920 137

Zusammenfassung

Für eine Reaktion nullter Ordnung ist ein Diagramm der Konzentration eines beliebigen Reaktanten gegen die Zeit eine gerade Linie mit einer Steigung von −k. Für eine Reaktion erster Ordnung ist eine Auftragung des natürlichen Logarithmus der Konzentration eines Reaktanten gegen die Zeit eine Gerade mit einer Steigung von −k. Für eine Reaktion zweiter Ordnung ist eine Kurve des Kehrwerts der Konzentration eines Reaktanten gegen die Zeit eine gerade Linie mit einer Steigung von k.

Schlüssel zum Mitnehmen

  • Das Auftragen der Konzentration eines Reaktanten als Funktion der Zeit erzeugt einen Graphen mit einer charakteristischen Form, der verwendet werden kann, um die Reaktionsreihenfolge in diesem Reaktanten zu identifizieren.

Konzeptionelle Probleme

Vergleichen Sie die Differentialgesetze erster Ordnung und die integrierten Ratengesetze in Bezug auf Folgendes. Gibt es Informationen, die aus dem integrierten Tarifgesetz gewonnen werden können, die nicht aus dem differentiellen Tarifgesetz gewonnen werden können?

  1. der Betrag der Geschwindigkeitskonstanten
  2. die Informationen, die zur Bestimmung der Bestellung erforderlich sind
  3. die Form der Grafiken

Wie würde sich ein Diagramm von [A] gegen die Zeit in der einstufigen Reaktion 2. Ordnung 2A → Produkte mit einem Diagramm von 1/[A] gegen die Zeit vergleichen? Welcher dieser Graphen wäre dem gleichen Satz von Graphen für A während der einstufigen Reaktion zweiter Ordnung A + B → Produkte am ähnlichsten? Erklären.

Welche Beziehung besteht bei Reaktionen derselben Ordnung zwischen der Größe der Geschwindigkeitskonstanten und der Reaktionsgeschwindigkeit? Wenn Sie Reaktionen mit unterschiedlichen Ordnungen vergleichen würden, könnten die gleichen Argumente angeführt werden? Warum?

Antworten

  1. Für eine gegebene Reaktion unter bestimmten Bedingungen hängt die Größe der Geschwindigkeitskonstanten erster Ordnung nicht davon ab, ob ein differentielles Geschwindigkeitsgesetz oder ein integriertes Geschwindigkeitsgesetz verwendet wird.
  2. Das Differentialgeschwindigkeitsgesetz erfordert mehrere Experimente, um die Reaktantenordnung zu bestimmen, das integrierte Geschwindigkeitsgesetz benötigt nur ein Experiment.
  3. Unter Verwendung des Differentialgeschwindigkeitsgesetzes ist eine Kurve der Konzentration über der Zeit eine Kurve mit einer Steigung, die mit der Zeit weniger negativ wird, während für das integrierte Geschwindigkeitsgesetz eine Kurve von ln[Reaktant] über der Zeit eine Gerade mit der Steigung = − . ergibtk. Das integrierte Geschwindigkeitsgesetz ermöglicht es Ihnen, die Konzentration eines Reaktanten zu jedem Zeitpunkt während der Reaktion zu berechnen, das differentielle Geschwindigkeitsgesetz nicht.

Die Reaktionsgeschwindigkeit steigt mit steigender Geschwindigkeitskonstante. Wir können Reaktionsgeschwindigkeiten und Geschwindigkeitskonstanten für Reaktionen verschiedener Ordnungen nicht direkt vergleichen, da sie mathematisch nicht äquivalent sind.

Numerische Probleme

Ein Verfahren zur Verwendung von Graphen zur Bestimmung der Reaktionsreihenfolge besteht darin, relative Geschwindigkeitsinformationen zu verwenden. Das Auftragen des Logarithmus der relativen Geschwindigkeit gegen den Logarithmus der relativen Konzentration liefert Informationen über die Reaktion. Hier ist ein Beispiel für Daten aus einer Reaktion nullter Ordnung:

Das Variieren von [A] ändert die Reaktionsgeschwindigkeit nicht. Erstellen Sie unter Verwendung der relativen Raten in der Tabelle Diagramme von log(Rate) gegen log(Konzentration) für Reaktionen nullter, erster und zweiter Ordnung. Was stellt die Steigung jeder Linie dar?

Die folgende Tabelle folgt der Zerlegung von N2Ö5 Gas durch Untersuchung des Partialdrucks des Gases als Funktion der Zeit bei 45°C. Wie ist die Reaktionsordnung? Wie hoch ist die Ratenkonstante? Wie lange würde es dauern, bis der Druck bei 45 °C 105 mmHg erreicht?


Schau das Video: Kurvendiskussion Teil 9 - Verhalten der Funktion an den Rändern (Oktober 2021).