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0.0: Auftakt zu linearen Funktionen - Mathematik


Stellen Sie sich vor, Sie stellen eines Tages eine Pflanze in den Boden und stellen fest, dass sie sich nur wenige Tage später verdoppelt hat. Diese Mitglieder der Grasfamilie sind die am schnellsten wachsenden Pflanzen der Welt. Es wurde beobachtet, dass eine Bambusart jede Stunde fast 1,5 Zoll wächst.1 In einem Zeitraum von 24 Stunden wächst diese Bambuspflanze ungefähr 36 Zoll oder unglaubliche 3 Fuß! Eine konstante Änderungsrate, wie der Wachstumszyklus dieser Bambuspflanze, ist eine lineare Funktion.


Abbildung (PageIndex{1}): Ein Bambuswald in China (Bildnachweis: „JFXie“/Flickr)

Wie wir in Kapitel 1, Abschnitt 1 sehen werden, ist eine Funktion eine Relation, die jedem Element im Definitionsbereich genau ein Element im Bereich zuweist. Lineare Funktionen sind ein bestimmter Funktionstyp, mit dem viele reale Anwendungen modelliert werden können, z. B. das Pflanzenwachstum im Zeitverlauf. In diesem Kapitel werden wir lineare Funktionen, ihre Graphen und ihre Beziehung zu Daten untersuchen.


Mathematik PreCalculus Mathematik in Nebraska

Im vorigen Kapitel haben wir uns mit algebraischen Ausdrücken beschäftigt. In diesem Abschnitt stellen wir eine neue Art von mathematischer Aussage vor, die als . Insbesondere werden wir uns ansehen und wie man sie löst.

In diesem Abschnitt werden Sie.

definieren und was es bedeutet, dass eine Gleichung ist

Löse lineare Gleichungen in einer Variablen und bestimme die Anzahl der Lösungen

lineare Gleichungen in zwei Variablen manipulieren

für reale Anwendungen verwenden

An ist eine mathematische Aussage, dass zwei Ausdrücke gleich sind, wie z. B. (3x-12=0 ext<.>) A ​​zu einer Gleichung ist jede Menge von Werten, die die Variablen ersetzen kann, um eine wahre Aussage zu erzeugen. Die Variable in der Gleichung (3x-12=0) ist (x) und die Lösung ist (x=4 ext<.>). Um dies zu überprüfen, ersetzen Sie (x) durch den Wert 4 ) und überprüfen Sie, ob Sie eine wahre Aussage erhalten:

In diesem Kapitel interessieren wir uns besonders für Gleichungen ersten Grades. Lineare Gleichungen sind Gleichungen, die so geschrieben werden können, dass jeder Term entweder eine Konstante oder eine Konstante mal eine einzelne Variable ohne Exponenten ist. Beispielsweise,

Bei diesen Beispielen gibt es einiges zu beachten. Beachten Sie zunächst, dass die letzte obige Gleichung linear ist, auch wenn sie nicht in ihrer vereinfachten Form vorliegt. Alle Terme (13x, 9, -3x) sind entweder Konstanten oder Konstanten mal der Variablen (x ext<.>) Vereinfachen wir die Gleichung, so erhalten wir (y=10x+9 ext<, >) und wiederum sind die Terme (10x) und (9) eine Konstante mal die Variable und eine Konstante, die die Bedingungen für eine lineare Gleichung erfüllt. Zweitens kann eine lineare Gleichung eine oder mehrere Variablen haben: (y=-5) ist eine lineare Gleichung in einer Variablen, während (y=4x) eine lineare Gleichung in zwei Variablen ist.

Einige Beispiele für Gleichungen, die NICHT linear sind, sind:

Unterabschnitt Lineare Gleichungen lösen

Um eine Gleichung zu lösen, können wir einfachere Gleichungen erzeugen, die die gleichen Lösungen haben. Gleichungen mit identischen Lösungen heißen . Beispielsweise,

sind äquivalente Gleichungen, weil die Lösung jeder Gleichung (4 ext<.>) ist. Oft können wir einfachere äquivalente Gleichungen finden, indem wir die an der Variablen durchgeführten Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen.

Am Ende dieses Abschnitts werden wir lineare Gleichungen in mehr als einer Variablen betrachten, aber wir werden uns zuerst darauf konzentrieren, lineare Gleichungen in einer einzigen Variablen zu lösen.

Die folgende Liste enthält wichtige Regeln zum Lösen linearer Gleichungen.

Um äquivalente Gleichungen zu generieren

Wir können die addieren oder subtrahieren gleich Nummer an beide Seiten einer Gleichung.

Wir können multiplizieren oder dividieren beide Seiten einer Gleichung durch die gleich Zahl (außer Null).

Die Anwendung einer dieser Regeln erzeugt eine neue Gleichung, die der alten äquivalent ist, und behält somit die Lösung bei. Wir verwenden die Regeln, um die Variable auf einer Seite der Gleichung zu isolieren.

Beispiel 43

Löse die Gleichung (3x - 5 = x + 3 ext<.>)

Wir sammeln zuerst alle variablen Terme auf der einen Seite der Gleichung und die konstanten Terme auf der anderen Seite.

Die Lösung ist (4 ext<.>) (Sie können die Lösung überprüfen, indem Sie (4) in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um zu zeigen, dass Sie als Ergebnis eine wahre Aussage erhalten.)

Die folgenden Schritte sollten es Ihnen ermöglichen, jede lineare Gleichung zu lösen. Natürlich benötigen Sie möglicherweise nicht alle Schritte für eine bestimmte Gleichung.

So lösen Sie eine lineare Gleichung

Vereinfachen Sie jede Seite der Gleichung separat.

Wenden Sie das Verteilungsgesetz an, um Klammern zu entfernen.

Durch Hinzufügen geeigneter Terme zu beiden Seiten der Gleichung oder Subtrahieren geeigneter Terme von beiden Seiten der Gleichung erhalten Sie alle variablen Terme auf einer Seite und alle konstanten Terme auf der anderen.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen.

Beispiel 44

Löse (3(2x - 5) - 4x = 2x - (6 - 3x) ext<.>)

Wir beginnen mit der Vereinfachung jeder Seite der Gleichung.

Als nächstes sammeln wir alle variablen Terme auf der linken Seite der Gleichung und alle konstanten Terme auf der rechten Seite.

Schließlich dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen.

Wir werden oft auf die Notwendigkeit stoßen, lineare Gleichungen mit Bruch- oder Dezimalkoeffizienten zu lösen. In diesem Fall können wir die Nenner "löschen", indem wir beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner multiplizieren, wie im folgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel 45

Wir beginnen damit, das kleinste gemeinsame Vielfache der drei Nenner zu finden: LCM((3,4,2)=12 ext<.>) Dann multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit (12 ext<,> ) und fahren Sie wie gewohnt mit der Lösung fort.

Wenn wir Dezimalkoeffizienten haben, ist es manchmal einfacher, mit (10,100 ext<,>) usw. zu multiplizieren, bevor die Gleichung gelöst wird.

Beispiel 46

Wie immer besteht unser erster Schritt darin, gleiche Begriffe zu kombinieren.

Da die Dezimalkoeffizienten bis zu (2) Dezimalstellen haben, multiplizieren wir jede Seite der Gleichung mit (100) bevor wir die Gleichung lösen.

Unterabschnitt Anzahl der Lösungen für lineare Gleichungen einer Variablen.

Nicht alle linearen Gleichungen haben eine Lösung. Obwohl alle obigen Beispiele für lineare Gleichungen mit einer Variablen eine Lösung haben, gibt es zwei andere mögliche Szenarien. Erstens hat eine Gleichung einer Variablen, die auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens äquivalente Ausdrücke hat, unendlich viele Lösungen. Beispielsweise,

alle haben unendlich viele Lösungen. In dieser Situation führen alle Werte, die wir für die Variablen ersetzen, zu einer wahren Aussage. Zweitens hat eine Gleichung, die zwei Ausdrücke hat, die für alle Werte der Variablen ungleich sind, keine Lösung. Beispielsweise,

alle haben keine lösungen. Hier erhalten wir, egal welche Werte wir für die Variablen ersetzen, eine falsche Aussage.

Die Anzahl der Lösungen einer linearen Gleichung ist möglicherweise nicht sofort ersichtlich. Um die Anzahl der Lösungen zu bestimmen, gehen Sie wie oben beschrieben vor, um eine lineare Gleichung zu lösen. Wenn wir an irgendeinem Punkt eine Aussage haben, die wir als immer wahr oder immer falsch erkennen, dann wissen wir, dass die Gleichung unendlich viele bzw. null Lösungen hat. Andernfalls werden wir die Lösung der Gleichung beenden, um die einzelne Lösung zu bestimmen.

Beispiel 47

Lösen Sie jede Gleichung. Bestimmen Sie, ob es eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen gibt.

Da (-10x+36) für jeden Wert von (x ext<,>) nicht gleich (-10x+25) ist, hat diese Gleichung keine Lösung.

Diese Gleichung hat genau eine Lösung, (x=frac<19><7> ext<.>)

Es gilt immer (-36-12x = -36-12x ext<,>) unabhängig vom Wert von (x ext<.>) Mit anderen Worten, diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 48

Diese Gleichung hat genau eine Lösung, (x=-4 ext<.>)

Unterabschnitt Lineare Gleichungen und Formeln mit mehreren Variablen

Bisher haben wir nur lineare Gleichungen in einer Variablen gelöst. Manchmal stoßen wir auf eine lineare Gleichung in mehr als einer Variablen, obwohl wir nicht unbedingt eine explizite Lösung finden können, es kann jedoch hilfreich sein, solche Gleichungen für bestimmte Variablen zu lösen.

Beispiel 49

Löse die Gleichung (y=3(x+8)) nach (x ext<.>)

Um nach (x ext<,>) aufzulösen, können wir die gleichen Prozesse wie zuvor verwenden: wir vereinfachen zuerst beide Seiten und isolieren dann (x ext<.>)

Das Auflösen einer Gleichung nach einer gegebenen Variablen ist besonders beim Umgang mit Formeln hilfreich. A ist eine Gleichung, die eine reale Situation widerspiegelt. Beispielsweise,

gibt den Umfang eines Rechtecks ​​in Länge und Breite an.

Angenommen, wir haben einen Drahtzaun, der einen Auslaufbereich für Kaninchen umschließt, und wir möchten sehen, welche Abmessungen für verschiedene Rechtecke mit diesem Umfang möglich sind. In diesem Fall wäre es sinnvoller, eine Formel für die Länge des Rechtecks ​​in Bezug auf seinen Umfang und seine Breite zu haben. Wir können eine solche Formel finden, indem wir die Umfangsformel für (L) nach (P) und (W ext<.>) lösen.

Das Ergebnis ist eine neue Formel, die die Länge eines Rechtecks ​​in Bezug auf seinen Umfang und seine Breite angibt.

Beispiel 50

Löse (3x - 5y = 40) nach (y) nach (x ext<.>)

Wir isolieren (y) auf einer Seite der Gleichung.

Es gibt viele reale Anwendungen, für die wir Formeln verwenden können. Eine solche nützliche Formel ist die, die Fahrenheit auf Celsius bezieht.

Beispiel 51

Die Formel (5F = 9C + 160) bezieht die Temperatur in Grad Fahrenheit, (F ext<,>) auf die Temperatur in Grad Celsius, (C ext<.>) Löse die Formel nach (C) in Bezug auf (F ext<.>)

Wir beginnen damit, den Begriff zu isolieren, der (C ext<.>) enthält.

Wir können die Formel für (C) auch in Bezug auf (F) schreiben als (C = dfrac<5><9>F - dfrac<160><9> ext<.>)

Formeln sind in einer Vielzahl von Fächern zu finden. Eine besonders nützliche Alltagsanwendung ist die von Prozent. Zum Beispiel wird der einfache Zins (I) durch die Formel (I=prt) gegeben, wobei (p) den investierten Kapitalbetrag zu einem jährlichen Zinssatz (r) darstellt (als Dezimalzahl, nicht als a Prozent) für (t) Jahre.

Beispiel 52

Berechnen Sie die einfachen Zinsen für eine (2)-jährige Investition von $(1250) bei einem jährlichen Zinssatz von (3,75 ext<.>)

Wir müssen (3,75)% in eine Dezimalzahl umwandeln, bevor wir sie in der Formel verwenden:


Beispiele

Lineares Programm, Lineare Ungleichheitsbeschränkungen

Löse ein einfaches lineares Programm, das durch lineare Ungleichungen definiert ist.

Verwenden Sie für dieses Beispiel diese linearen Ungleichheitsbeschränkungen:

Verwenden Sie die Zielfunktion -x(1) -x(2)/3.

Lineares Programm mit linearen Ungleichungen und Gleichungen

Löse ein einfaches lineares Programm, das durch lineare Ungleichungen und lineare Gleichungen definiert ist.

Verwenden Sie für dieses Beispiel diese linearen Ungleichheitsbeschränkungen:

Verwenden Sie die Einschränkung der linearen Gleichheit x ( 1 ) + x ( 2 ) / 4 = 1 / 2 .

Verwenden Sie die Zielfunktion -x(1) -x(2)/3.

Lineares Programm mit allen Einschränkungstypen

Löse ein einfaches lineares Programm mit linearen Ungleichungen, linearen Gleichungen und Schranken.

Verwenden Sie für dieses Beispiel diese linearen Ungleichheitsbeschränkungen:

Verwenden Sie die Einschränkung der linearen Gleichheit x ( 1 ) + x ( 2 ) / 4 = 1 / 2 .

Verwenden Sie die Zielfunktion -x(1) -x(2)/3.

Lineares Programm, das den Algorithmus 'innerer Punkt' verwendet

Löse ein lineares Programm mit dem 'Innenpunkt'-Algorithmus.

Verwenden Sie für dieses Beispiel diese linearen Ungleichheitsbeschränkungen:

Verwenden Sie die Einschränkung der linearen Gleichheit x ( 1 ) + x ( 2 ) / 4 = 1 / 2 .

Verwenden Sie die Zielfunktion -x(1) -x(2)/3.

Legen Sie Optionen fest, um den Algorithmus 'innerer Punkt' zu verwenden.

Lösen Sie das lineare Programm mit dem 'Innenpunkt'-Algorithmus.

Löse LP mit problembasiertem Ansatz für linprog

Dieses Beispiel zeigt, wie Sie ein Problem mit dem problembasierten Ansatz erstellen und dann mit dem solverbasierten Ansatz lösen. Das Problem ist

Erstellen Sie ein OptimizationProblem-Objekt namens prob, um dieses Problem darzustellen.

Wandeln Sie das Problemobjekt in eine Problemstruktur um.

Lösen Sie die resultierende Problemstruktur.

Das zurückgegebene fval ist negativ, obwohl die Lösungskomponenten positiv sind. Intern verwandelt prob2struct das Maximierungsproblem in ein Minimierungsproblem des Negativen der Zielfunktion. Siehe Maximieren eines Ziels.

Welcher Anteil von sol entspricht welcher Optimierungsvariablen? Untersuchen Sie die Variables-Eigenschaft von prob .

Wie Sie vielleicht erwarten, entspricht sol(1) x , und sol(2) entspricht y . Siehe Algorithmen.

Den Zielfunktionswert zurückgeben

Berechnen Sie die Lösung und den Zielfunktionswert für ein einfaches lineares Programm.

Die Ungleichungsbeschränkungen sind

Die Zielfunktion ist - x ( 1 ) - x ( 2 ) / 3 .

Lösen Sie das Problem und geben Sie den Zielfunktionswert zurück.

Erhalten Sie mehr Output, um den Lösungsprozess zu untersuchen

Rufen Sie das Exit-Flag und die Ausgabestruktur ab, um den Lösungsprozess und die Qualität besser zu verstehen.

Verwenden Sie für dieses Beispiel diese linearen Ungleichheitsbeschränkungen:

Verwenden Sie die Einschränkung der linearen Gleichheit x ( 1 ) + x ( 2 ) / 4 = 1 / 2 .

Verwenden Sie die Zielfunktion -x(1) -x(2)/3.

Legen Sie Optionen fest, um den Dual-Simplex-Algorithmus zu verwenden.

Lösen Sie das lineare Programm und fordern Sie den Funktionswert, das Exit-Flag und die Ausgabestruktur an.

fval , der Zielfunktionswert, ist größer als Rückgabe des Zielfunktionswerts, da es mehr Einschränkungen gibt.

exitflag = 1 zeigt an, dass die Lösung zuverlässig ist.

output.iterations = 0 zeigt an, dass linprog die Lösung während des Presolve gefunden hat und überhaupt nicht iterieren musste.

Erhalten Sie Lösungs- und Lagrange-Multiplikatoren

Lösen Sie ein einfaches lineares Programm und untersuchen Sie die Lösung und die Lagrange-Multiplikatoren.

Verwenden Sie die Zielfunktion

f ( x ) = - 5 x 1 - 4 x 2 - 6 x 3 .

Verwenden Sie die Einschränkungen der linearen Ungleichung

Beschränken Sie alle Variablen auf positiv:

Setzen Sie Aeq und beq auf [] , um anzuzeigen, dass es keine linearen Gleichheitsbeschränkungen gibt.

Rufen Sie linprog auf und erhalten Sie die Lagrange-Multiplikatoren.

Untersuchen Sie die Lösung und die Lagrange-Multiplikatoren.

lambda.ineqlin ist für die zweite und dritte Komponente von x ungleich null. Dies zeigt an, dass die zweite und dritte lineare Ungleichungsbedingung mit Gleichheiten erfüllt sind:

lambda.lower ist für die erste Komponente von x ungleich null. Dies zeigt an, dass x(1) an seiner unteren Grenze von 0 liegt.


0.0: Auftakt zu linearen Funktionen - Mathematik

Da wir fast ausschließlich mit Gleichungssystemen arbeiten werden, bei denen die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl der Gleichungen ist, beschränken wir unsere Betrachtung auf diese Art von Systemen.

Alles, was wir hier tun werden, kann bei Bedarf leicht auf Systeme mit mehr Unbekannten als Gleichungen oder mehr Gleichungen als Unbekannten ausgedehnt werden.

Beginnen wir mit dem folgenden System von (n)-Gleichungen mit den (n)-Unbekannten (x_<1>), (x_<2>),…, (x_).

Beachten Sie, dass in den Indizes der Koeffizienten in diesem System (a_), entspricht (i) der Gleichung, in der sich der Koeffizient befindet, und (j) entspricht der Unbekannten, die mit dem Koeffizienten multipliziert wird.

Um dieses System mit linearer Algebra zu lösen, schreiben wir zuerst die erweiterte Matrix für dieses System. Eine erweiterte Matrix besteht eigentlich nur aus allen Koeffizienten des Systems und den Zahlen für die rechte Seite des Systems, die in Matrixform geschrieben sind. Hier ist die erweiterte Matrix für dieses System.

Um dieses System zu lösen, verwenden wir elementare Zeilenoperationen (die wir in Kürze definieren werden), um die erweiterte Matrix in Dreiecksform umzuschreiben. Die Matrix hat eine Dreiecksform, wenn alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale (die Diagonale mit (a_<11>), (a_<22>), …,(a_)) sind Nullen.

Sobald dies erledigt ist, können wir uns daran erinnern, dass jede Zeile in der erweiterten Matrix einer Gleichung entspricht. Wir werden dann unsere neue erweiterte Matrix wieder in Gleichungen umwandeln und an diesem Punkt wird das Lösen des Systems sehr einfach.

Bevor wir an einem Beispiel arbeiten, definieren wir zunächst die elementaren Zeilenoperationen. Es gibt drei davon.

    Vertauschen Sie zwei Reihen. Das ist genau das, was es sagt. Wir werden Zeile (i) mit Zeile (j) austauschen. Die Notation, die wir verwenden werden, um diese Operation zu bezeichnen, ist: ( leftrightarrow )

Es ist immer ein wenig einfacher, diese Operationen zu verstehen, wenn wir sie in Aktion sehen. Lassen Sie uns also ein paar Systeme lösen.

Der erste Schritt besteht darin, die erweiterte Matrix für dieses System aufzuschreiben. Vergessen Sie nicht, dass Koeffizienten von Termen, die nicht vorhanden sind, null sind.

Nun wollen wir, dass die Einträge unterhalb der Hauptdiagonale Null sind. Die Hauptdiagonale wurde rot eingefärbt, damit wir sie in diesem ersten Beispiel verfolgen können. Aus Gründen, die irgendwann offensichtlich werden werden, würden wir es vorziehen, auch die Hauptdiagonaleinträge alle zu sein.

Wir können eine Eins an der obersten Stelle erhalten, indem wir feststellen, dass wir, wenn wir die erste und zweite Reihe vertauschen, eine Eins an der obersten Stelle kostenlos erhalten. Also machen wir das.

Jetzt müssen die letzten beiden Einträge (die -2 und 3) in der ersten Spalte Null sein. Wir können dies mit der Operation der dritten Zeile tun. Beachten Sie, dass wir, wenn wir die erste Zeile zweimal nehmen und sie zur zweiten Zeile hinzufügen, eine Null im zweiten Eintrag in der ersten Spalte erhalten und wenn wir die erste Zeile -3 mal in die dritte Zeile nehmen, erhalten wir die 3 zu eine Null sein. Wir können beide Operationen gleichzeitig ausführen, also lassen Sie uns das tun.

Bevor Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren, stellen wir sicher, dass Sie das befolgt haben, was wir gerade getan haben. Schauen wir uns die erste Operation an, die wir durchgeführt haben. Diese Operation besagt, einen Eintrag in Zeile 1 mit 2 zu multiplizieren und diesen zum entsprechenden Eintrag in Zeile 2 hinzuzufügen und dann den alten Eintrag in Zeile 2 durch diesen neuen Eintrag zu ersetzen. Im Folgenden sind die vier einzelnen Operationen aufgeführt, die wir dazu durchgeführt haben.

[Start2left( 1 ight) + left( < - 2> ight) & = 0 2left( 2 ight) + 1 & = 5 2left( 3 ight) + left ( < - 1> echts) & = 5 2links( <13> echts) + 4 & = 30end]

Okay, der nächste Schritt ist optional, aber auch wieder bequem. Technisch gesehen ist die 5 in der zweiten Spalte in Ordnung. Aber es wird uns das Leben auf der Straße leichter machen, wenn es eine 1 ist. Dafür können wir den Betrieb in der zweiten Reihe nutzen. Wir können die ganze Reihe durch 5 teilen. Dadurch erhält man,

Der nächste Schritt besteht darin, die Operation der dritten Zeile zu verwenden, um die -6 in der zweiten Spalte zu einer Null zu machen.

Nun, offiziell sind wir fertig, aber auch hier ist es etwas bequemer, alle Einsen auf die Hauptdiagonale zu bringen, damit wir einen letzten Schritt machen.

Wir können jetzt wieder in Gleichungen umwandeln.

An dieser Stelle ist die Lösung recht einfach. Wir bekommen (x_<3>) kostenlos und wenn wir das haben, können wir dies in die zweite Gleichung einsetzen und erhalten (x_<2>). Wir können dann die erste Gleichung verwenden, um (x_<1>) zu erhalten. Beachten Sie auch, dass die Einsen entlang der Hauptdiagonale bei diesem Prozess etwas geholfen haben.

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist

Der in diesem Beispiel verwendete Prozess heißt Gaußsche Elimination. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an.

Schreiben Sie zuerst die erweiterte Matrix auf.

Wir werden nicht so viele Worte verlieren, wenn wir dieses Beispiel bearbeiten. Hier ist die Arbeit für diese erweiterte Matrix.

Wir gehen in diesem Beispiel nicht weiter. Gehen wir zurück zu den Gleichungen, um zu sehen, warum.

Die letzte Gleichung sollte Anlass zur Sorge geben. Hier gibt es eine von drei Möglichkeiten. Erstens haben wir es irgendwie geschafft zu beweisen, dass 0 gleich 8 ist und wir wissen, dass das nicht möglich ist. Zweitens haben wir einen Fehler gemacht, aber wenn wir unsere Arbeit noch einmal durchgehen, sieht es nicht so aus, als ob wir einen Fehler gemacht haben.

Damit bleibt die dritte Option. Wenn wir so etwas wie die dritte Gleichung erhalten, die einfach keinen Sinn ergibt, wissen wir sofort, dass es keine Lösung gibt. Mit anderen Worten, es gibt keinen Satz von drei Zahlen, der alle drei Gleichungen gleichzeitig wahr macht.

Arbeiten wir ein anderes Beispiel. Wir werden das System für dieses neue Beispiel erhalten, indem wir eine sehr kleine Änderung am System gegenüber dem vorherigen Beispiel vornehmen.

Der einzige Unterschied zwischen diesem System und dem System aus dem zweiten Beispiel besteht also darin, dass wir die 1 auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens in der dritten Gleichung in eine -7 geändert haben.

Schreiben Sie nun die erweiterte Matrix für dieses System auf.

Die Schritte für dieses Problem sind identisch mit den Schritten für das zweite Problem, daher werden wir sie nicht alle aufschreiben. Wenn wir die gleichen Schritte ausführen, kommen wir zu der folgenden Matrix.

Diesmal reduziert sich die letzte Gleichung auf

und im Gegensatz zum zweiten Beispiel ist dies kein Problem. Null ist tatsächlich gleich Null!

Wir könnten hier aufhören und zu Gleichungen zurückkehren, um eine Lösung zu erhalten, und in diesem Fall gibt es eine Lösung. Wenn wir jedoch noch einen Schritt weiter gehen und eine Null sowohl über der Eins in der zweiten Spalte als auch darunter erhalten, wird unser Leben ein wenig einfacher. Dies gibt,

Wenn wir nun zur Gleichung zurückkehren, erhalten wir die folgenden beiden Gleichungen.

Wir haben zwei Gleichungen und drei Unbekannte. Dies bedeutet, dass wir nach zwei der Variablen in Bezug auf die verbleibende Variable auflösen können. Da (x_<3>) in beiden Gleichungen enthalten ist, werden wir danach lösen.

Diese Lösung bedeutet, dass wir den Wert von (x_<3>) beliebig wählen und dann die Werte (x_<1>) und (x_<2>) finden können. . In diesen Fällen schreiben wir die Lösung typischerweise wie folgt:

Auf diese Weise erhalten wir unendlich viele Lösungen, eine für jeden Wert von (t).

Diese drei Beispiele führen uns zu einer netten Tatsache über Gleichungssysteme.

Gegeben ein Gleichungssystem, (eqref) haben wir eine der drei Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen.

Bevor wir zum nächsten Abschnitt übergehen, müssen wir uns noch eine weitere Situation ansehen. Das Gleichungssystem in (eqref) heißt inhomogenes System, wenn mindestens einer der bichs ist nicht null. Wenn jedoch alle (b_)'s null sind, nennen wir das System homogen und das System wird sein,

Beachten Sie nun, dass wir im homogenen Fall garantiert die folgende Lösung haben.

Diese Lösung wird oft als . bezeichnet triviale Lösung.

Für homogene Systeme kann die obige Tatsache wie folgt modifiziert werden.

Gegeben ein homogenes Gleichungssystem, (eqref), haben wir eine der beiden Möglichkeiten für die Anzahl der Lösungen.

    Genau eine Lösung, die triviale Lösung

Bei der zweiten Möglichkeit können wir eine Lösung ungleich Null sagen, denn wenn es unendlich viele Lösungen geben wird und wir wissen, dass eine davon die triviale Lösung ist, dann müssen alle anderen mindestens eine der (x_) ist ungleich Null und daher erhalten wir eine von Null verschiedene Lösung.


Systeme mit Null als Eigenwert

Wir diskutierten den Fall eines Systems mit zwei unterschiedlichen reellen Eigenwerten, wiederholten Eigenwerten (nicht null) und komplexen Eigenwerten. Aber wir haben den Fall nicht diskutiert, wenn einer der Eigenwerte Null ist. Tatsächlich ist es leicht zu erkennen, dass dies genau dann passiert, wenn wir mehr als einen Gleichgewichtspunkt haben (der (0,0) ist). In diesem Fall haben wir eine Linie von Gleichgewichtspunkten (der Richtungsvektor für diese Linie ist der Eigenvektor, der dem Eigenwert Null zugeordnet ist).

Beispiel. Finden Sie die allgemeine Lösung für

Antworten. Das charakteristische Polynom dieses Systems ist

was reduziert sich auf . Die Eigenwerte sind und . Finden wir die zugehörigen Eigenvektoren. Für , einstellen

Die Gleichung übersetzt sich in

Die beiden Gleichungen sind gleich. Wir haben also y = 2 x . Daher ist ein Eigenvektor

Die Gleichung übersetzt sich in

Die beiden Gleichungen sind gleich (als - x - y = 0). Wir haben also y = -x. Daher ist ein Eigenvektor

Daher lautet die allgemeine Lösung

Beachten Sie, dass alle Lösungen parallel zum Vektor sind. Wenn geht die Flugbahn ins Unendliche. Aber wenn , konvergiert die Trajektorie zum Gleichgewichtspunkt auf der Linie der Gleichgewichtspunkte (dh durch (0,0) und mit einem Richtungsvektor). Das Bild unten erklärt mehr, was passiert.

Der allgemeine Fall ist diesem Beispiel sehr ähnlich. Angenommen, ein System hat 0 und als Eigenwerte. Wenn also ein Eigenvektor zu 0 und ein Eigenvektor zu gehört ist, dann ist die allgemeine Lösung

Wir haben zwei Fälle, ob oder . Wenn , dann ist ein Gleichgewichtspunkt. Wenn, dann ist die Lösung eine Linie parallel zum Vektor. Außerdem haben wir, wenn wenn , die Lösung von der Gleichgewichtslinie weg tendiert

wenn, die Lösung strebt entlang einer Linie parallel zu dem Gleichgewichtspunkt an.


Die Steigung einer linearen Funktion

Die Steilheit eines Hügels wird als Hang bezeichnet. Das gleiche gilt für die Steilheit einer Linie. Die Steigung ist definiert als das Verhältnis der vertikalen Änderung zwischen zwei Punkten, der Steigung, zur horizontalen Änderung zwischen den gleichen zwei Punkten, dem Verlauf.

Die Steigung einer Linie wird normalerweise durch den Buchstaben m dargestellt. (x1, ja1) stellt den ersten Punkt dar, während (x2, ja2) steht für den zweiten Punkt.

Es ist wichtig, die x- und y-Koordinaten sowohl im Zähler als auch im Nenner in der gleichen Reihenfolge zu halten, sonst erhalten Sie die falsche Steigung.

Finden Sie die Steigung der Linie

Eine Linie mit positiver Steigung (m > 0) steigt wie die obige Linie von links nach rechts an, während eine Linie mit negativer Steigung (m < 0) von links nach rechts fällt.

Eine Linie mit der Steigung Null (m = 0) ist horizontal, während eine Linie mit undefinierter Steigung vertikal ist.

In früheren Kapiteln haben wir uns angesehen, wie schnell ein Auto fährt, und über die Geschwindigkeit in Meilen pro Stunde gesprochen. Dies ist ein Beispiel für die Änderungsrate. Die Änderungsrate vergleicht eine Änderung einer Größe mit einer Änderung einer anderen Größe, wie zum Beispiel mit welcher Geschwindigkeit fährt ein Auto, wenn es in 2 Stunden 120 Meilen zurücklegt?

Sie können eine Steigung einer Linie als Änderungsrate interpretieren.



MathHelp.com

. wobei die Indizes lediglich angeben, dass wir einen "ersten" Punkt (dessen Koordinaten mit einer "1" tiefgestellt sind) und einen "zweiten" haben zwei Punkte, mit denen wir arbeiten. Beachten Sie, dass es irrelevant ist, welchen Punkt wir als "ersten" Punkt auswählen, wenn wir den anderen Punkt als "ersten" auswählen, werden die Subtraktionen umgekehrt, aber wir erhalten immer noch genau den gleichen Wert für die Steigung:

(Wenn Sie sich nicht sicher sind, ob die beiden obigen Formeln genau die gleichen Werte liefern, egal welches Punktpaar daran angeschlossen ist, wählen Sie einige Punkte aus und probieren Sie sie aus. Sehen Sie, was Sie erhalten.)

Die Formel für die Steigung wird manchmal als "Anstieg über Lauf" bezeichnet, da der Bruchteil des "Anstiegs" (die Änderung in ja , nach oben oder unten) geteilt durch den "run" (die Änderung in change x , von links nach rechts). Wenn Sie schon einmal Dachdecker gemacht, eine Treppe gebaut, gestufte Landschaftsgestaltung oder Rinnen oder Abflussrohre installiert haben, sind Sie wahrscheinlich schon auf dieses Konzept des "Überlaufs" gestoßen. Der Punkt ist, dass die Steigung uns sagt, wie viel ja ändert sich für so viel, dass x verändert sich. Zum Beispiel könnte die Neigung (im "realen Leben") Ihnen sagen, dass Ihr Garten für jeden Meter, den Sie in Richtung Straße bewegen, um fünf Zentimeter nach unten geneigt ist.

Bilder können hilfreich sein, also beginnen wir unsere Erkundung mit einem Blick auf die folgende Zeile:

Für diese Gleichung betrachten wir die Gerade, berechnen die Steigung und betrachten die ja -abfangen.

Um einige Punkte aus der Liniengleichung zu finden, müssen wir Werte für eine der Variablen auswählen und dann die entsprechenden Werte der anderen Variablen berechnen. Da es einen Bruch gibt, der mit der . multipliziert wird x , und dieser Bruch hat einen Nenner von 3 , werde ich Werte auswählen, die ein Vielfaches von 3 sind, sodass der Nenner abgebrochen wird. Ganze Zahlen sind einfacher, oder?

Beginnen wir also mit der Auswahl x = &ndash3 . Wenn wir das einstecken, erhalten wir:

Der Punkt, den wir auf der Linie gefunden haben, ist (&ndash3, &ndash6) Wenn wir dann wählen x = 0 , erhalten wir:

Der Punkt, den wir dieses Mal gefunden haben, ist (0, &ndash4) . Und jetzt, da wir zwei Punkte auf der Linie haben, können wir die Steigung dieser Linie aus der Steigungsformel ermitteln:

Schauen wir uns diese beiden Punkte in der Grafik an:

Beim Treppensteigen nach rechts vom ersten Punkt zum zweiten Punkt kann unser "Weg" als ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet werden:

Der vertikale Abstand zwischen den ja -Werte der beiden Punkte (d. h. die Höhe des Dreiecks) ist der " ja 2 &ndash ja 1 " Teil der Steigungsformel. Der horizontale Abstand zwischen den x -Werte (d. h. die Breite des Dreiecks von Seite zu Seite) ist der " x 2 &ndash x 1 " Teil der Steigungsformel. Die Linie, die wir zeichnen müssen, ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

Beachten Sie, dass die Steigung für diese Gleichung und diesen Graphen gleich oder "zwei über drei" ist. Um vom ersten Punkt zum zweiten zu gelangen, gehen wir "zwei und mehr als drei". Diese Beziehung zwischen der Steigung einer Geraden und Punktpaaren auf dieser Geraden gilt immer für eine Geradengleichung" ja = mx + b ", die "up- und over"-Werte können immer aus dem Wert von gewonnen werden ich .

Nachdem wir zwei Punkte auf der Linie gefunden haben, können wir dieses "up two, over three" weiter verwenden, um weitere Punkte für die Linie zu finden (und wir möchten mindestens drei Punkte zeichnen, um sicherzustellen, dass alles richtig ausgerichtet ist).

Um zum "nächsten" Punkt auf dieser Zeile zu gelangen, müssen wir keine Berechnungen durchführen. Stattdessen können wir noch zwei nach oben gehen (zu ja = &ndash2 ) und über weitere drei nach rechts (to x = 3 ), was uns gibt:

Mit diesen drei Punkten haben wir den Graphen von bestätigt.

(Wenn Sie sich der Gültigkeit des letzten Punktes nicht sicher sind, setzen Sie 3 für x in der Liniengleichung und vergewissern Sie sich, dass Sie tatsächlich &ndash2 für . erhalten ja .)

Ist Ihnen übrigens aufgefallen, dass die Gleichung der Geraden ein "minus vier" hat und die Gerade die ja -Achse bei &ndash4 ? Das passiert immer ja -intercept (d. h. die Stelle, an der die Linie die ja -Achse) für eine Gerade mit Gleichung " ja = mx + b " wird immer bei sein ja = b .

Im vorherigen Beispiel haben wir mit einer graphischen Linie und ihrer Gleichung begonnen, ein paar Punkte auf der Linie gefunden, die Steigung und die . gefunden ja -Schnittpunkt und bemerkte die Verbindung zwischen der Gleichung der Linie, den Werten von ich und b , und wie die Gleichung grafisch dargestellt wurde. Versuchen wir es mit einer anderen Liniengleichung, aber diesmal beginnen wir nicht mit dem Graphen. Stattdessen verwenden wir die Gleichung, um den Graphen schnell und einfach zu finden, wobei ein Minimum an Plot erforderlich ist.

Wir haben erfahren, dass die Zahl mit dem multipliziert wird x ist die Steigung, also ist die Steigung ich = &ndash2 für diese Zeile. "Aber warte!", höre ich dich weinen "Es gibt nur ein 'up' (naja, ein 'down') für diese Steigung gibt es kein 'over'!" Ja, du hast recht. irgendwie. Aber wir können damit umgehen, indem wir uns daran erinnern irgendein Zahl kann über " 1 " gesetzt werden.

In diesem Fall können wir diese Tatsache nutzen, um den Steigungswert in einen Bruch umzuwandeln. Indem wir &ndash2 über eine 1 legen, erhalten wir einen Steigungswert von . Durch Anwendung dieses Tricks wird die Steigung nun neu formatiert, um uns klar zu sagen, dass wir von unserem ersten Punkt aus zum "nächsten" Punkt gelangen können, indem wir "zwei nach unten und über eins" gehen.

Beginnen wir einfach mit unseren Eingabewerten und verwenden Sie x = 0 . Wenn wir das einstecken, erhalten wir:

Der Punkt (0, 3) liegt also auf der Linie und ist der Punkt, an dem die Linie die ja -Achse. Tatsächlich mussten wir nicht einmal Null für die Variable einsetzen, da wir direkt in der Gleichung der Linie sehen können, dass die ja -Abfangen wird bei . sein b = 3. Lassen Sie uns diesen Punkt also darstellen:

Da wir nun unseren ersten Punkt haben, können wir den Steigungswert verwenden, um weitere Punkte zu finden. Unser neu formulierter Steigungswert von sagt uns, dass wir beim Gehen von einem Punkt zum (am bequemsten) nächsten Punkt "zwei und mehr abwärts" gehen werden. (Das "Down" kommt vom "minus"-Zeichen auf dem Steigungswert. Das "over" ist immer eine Bewegung nach rechts, aber das Schild am Hang kann uns dazu bringen, uns entweder nach oben oder nach unten zu bewegen.) Wenn wir also vom Schnittpunkt zwei und mehr nach unten gehen, um zum nächsten Punkt zu gelangen, landen wir am Punkt (1, 1) :

Wenn wir zwei weitere nach unten und über einen weiteren gehen, gelangen wir zum nächsten (praktischen) Punkt (2, &ndash1) :

Dann liegt der Punkt (2, &ndash1) auch auf dieser Linie. Und mit diesen drei Punkten können wir die Linie grafisch darstellen:

Wenn Sie die Gleichung einer geraden Linie haben, können Sie immer schnell und einfach grafisch darstellen, indem Sie mit dem beginnen ja -Schnittpunktwert und dann Zeichnen anderer Punkte unter Verwendung des Steigungswerts. Im "realen Leben" funktioniert dies möglicherweise nicht so gut. Zum Beispiel würde ich wahrscheinlich nicht versuchen, die Plotpunkte für eine Gleichung wie z. ja = 0.0062x &ndash 379.04 . Stattdessen würde ich Software verwenden, um dezimale Näherungen für die Plotpunkte zu erhalten. Aber für die meisten Algebra-Klassen-Übungen funktioniert die obige Methode gut und kann bei Tests eine echte Zeitersparnis sein.


0.0: Auftakt zu linearen Funktionen - Mathematik

However, no algorithm using a finite state machine can produce a truly random sequence, since the finiteness forces the sequence to be periodic. The best we can do is use very long period sequences, called pseudo-random sequences.

What properties should a pseudo-random sequence have to make it look like a random sequence?

Golomb's Principles

Furthermore, to be of practical use for cryptologists we would require:

Feedback Shift Registers

An FSR of length n (n-stage) consists of:

We first consider the case that f is a linear function, i.e.,

The output of this LFSR is determined by the initital values s0, s1, . son-1 and the linear recursion relationship:

where cnein = 1 by definition.

A sequence produced by a length n LFSR which has period 2 n -1 is called a PN-sequence (or a pseudo-noise sequence).

We can characterize the LFSR's that produce PN-sequences. We define the characteristic polynomial of an LFSR as the polynomial,

where cnein = 1 by definition and c0 = 1 by assumption.

Some Facts and Definitions From Algebra

  1. Every polynomial f(x) with coefficients in GF(2) having f(0) = 1 divides x m + 1 for some m. The smallest m for which this is true is called theZeitraum of f(x).
  2. Einirreducible (can not be factored) polynomial of degree n has a period which divides 2 n - 1.
  3. An irreducible polynomial of degree n whose period is 2 n - 1 is called a primitive polynomial.

Satz: A LFSR produces a PN-sequence if and only if its characteristic polynomial is a primitive polynomial.

Ex: The characteristic polynomial of our previous example of an LFSR with n = 4 is:
f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + 1 = ( x + 1)(x 3 + x + 1) and so is not irreducible and therefore not primitive.

Ex: f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 is a monic irreducible polynomial since it has no linear factors and remainder x + 1 when divided by x 2 + x + 1. However, x 5 + 1 = (x + 1) f(x) and so it has period 5 and is not primitive.

Ex: f(x) = x 4 + x 3 + 1 is a monic irreducible polynomial over GF(2). To find its period, we have to determine the smallest m so that f(x) divides x m + 1. Clearly, m > 4, also, by 2) above, the period divides 2 4 - 1 = 15, thus it must be either 5 or 15. By trying the possibilities we get x 5 + 1 = (x+1)(x 4 + x 3 + 1) + (x 3 + x)
x 15 + 1 = (x 11 + x 10 + x 9 + x 8 + x 6 + x 4 + x 3 + 1)(x 4 + x 3 + 1) Thus, f(x) has period 15 and so, is a primitive polynomial.

Def: Let (f) denote the set of all sequences that can be produced from an LFSR with characteristic polynomial f(x).

Since each starting state produces a different (we are considering shifts as different) sequence, there are 2 n elements in (f) since there are that many starting states. The sum of two sequences in (f) is again in (f) since the sum will satisfy the same recursion relationship (i.e., the sum corresponds to a different starting state).

We can characterize the elements of (f) in terms of the reciprocal polynomial of f.

Def: Das reciprocal polynomial of f(x) of degree n, denoted f*(x) is:
f*(x) = x n f(1/x) = c0 x n + c1 x n-1 + . + cnein. Note that if f(x) = g(x)h(x) then f*(x) = g*(x) h*(x).

Pf: We show that each element of (f) can be uniquely expressed in the desired form, and the result will follow since there are exactly 2 n binary polynomials of degree < n.

Let S(x) be in (f), where S(x) = sich x i and f*(x) = c0 x n + . + cnein. Dann,

Lemma 1 : Let h(x) and f(x) be the characteristic polynomials of an m-stage and respectively n-stage LFSR. Then (h) is contained in (f) iff h(x) divides f(x).

Lemma 2: Let S(x) be in (f) with S(x) = t(x)/f*(x). Then there exists an h(x) with h(x) dividing f(x) and h(x) not equal to f(x) with S(x) in (h) iff gcd( t(x), f*(x)) 1.

We will now consider the pseudo-randomness of PN sequences.

G1 : Since every non-zero state appears once per period and the leftmost bit of the state is the next output value of the sequence, it is easy to see that there are 2 n-1 1's and 2 n-1 - 1 0's in any period.

G2 : For k n - 2, a run of length k will occur in the sequence whenever the leftmost k +2 states are of the form 0111. 110 or 100. 001. Since all states occur, the number of each of these state sequences is 2 n-k-2 . There is one state 011..11, and it is followed by state 11..11 since f is primitive f(1) = 1, and that state is followed by 11..110, thus there is no block of size n-1 and one block of size n. Similarly, there is no gap of size n and only one of size n-1. We can therefore calculate the number of runs as

and of these 1/2 k of them are of length k.

G3 : Let <>ich> be a PN-sequence and <>i+k> be the same sequence shifted k places. The sum of these two sequences satisfies the same recursion relation as the both of them do and so is a PN-sequence as well. The number of agreements in the two sequences will be the number of 0's in the sum and the number of disagreements is the number of 1's in the sum. So by G1,

Thus we see that PN-sequences satisfy all of Golomb's conditions for pseudo-randomness. Turning now to the cryptographic conditions:

C1 : One can obtain sufficiently large periods by taking n large enough. In fact, n = 166 will give a period of 2 166 - 1 > 10 50 .

C2 :Being simple Boolean circuits, LFSR's are extremely easy to implement and are very fast.

C3 : Zilch. Given 2n consecutive plaintext bits, sk, sk+1, . sok+2n-1 we can write down a system of n equations in the n unkowns c0, . cn-1 which is non-degenerate and so has a unique solution. This gives the characteristic polynomial and so the LFSR to the cryptanalyst.

Thus, linear feedback shift registers should not be used in cryptographic work (despite this, LFSR's are still the most commonly used technique). However, this arguement does not apply to non-linear FSR's so we need to examine them next.

An FSR with a possibly non-linear feedback function will still produce a periodic sequence (with a possible non-periodic beginning). If the period is p, then the LFSR with characteristic function 1 + x p and starting state equal to the period of the sequence, will produce the same sequence possibly other LFSR's will also. Hence, the following definition makes sense.

Def: Das linear equivalence of a periodic sequence S(x) is the length n of the smallest LFSR that can generate S(x).

Satz: Let S(x) be the generating function of a periodic binary sequence with period p. Let S (p) (x) be the truncated polynomial of degree p-1. Then there exists a unique polynomial m(x) with

a) S(x)(m), and
b) if S(x)(h) then m(x) | h(x).

m(x) is called the minimal characteristic polynomial of S(x), and

Beweis. Let S(x) be in (m), but not in (f) for any proper divisor f of m. We shall prove that m is unique. Note that S(x) = S (p) (x)/ (1 + x p ). Since S(x) (m), we know that there exists a t(x) with degree < degree of m, such that S(x) = t(x)/m*(x). By Lemma 2, gcd (m*(x),t(x)) = 1, so

Cor: The linear equivalence of S(x) with period p is the degree of m(x) above.

Ex: Consider the following non-linear feedback function (3-stage):
f(s0,s1,s2) = s0 + s1 + s1so2 + 1 with starting state 1 0 1 we get the following sequence The period 8 sequence produced has the generating polynomial S (8) (x) = 1 + x 2 + x 6 + x 7 .

Now gcd (S (8) (x), 1 + x 8 ) = 1 + x, so m*(x) = (1 + x) 7 = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 , and m(x) = m*(x). With starting state 1 0 1 0 0 0 1, this 7-stage LFSR produces the same sequence. The linear equivalence of our starting sequence is thus 7.

We see that the use of non-linear functions does not gain any cryptographic security since we can always find a LFSR to give the same sequence. In an attempt to get this security, various means of combining the outputs of LFSR's in a non-linear way have been attempted. Clearly, sums, shifts and products of outputs don't work. Most of the information on these techniques is classified (so, jemand does believe that the required security can be obtained this way). One such approach which is in the public domain is the multiplexing algorithm of Jennings.

Take an m-stage (the aich) and an n-stage (the bich) LFSR with primitive characteristic polynomials and non-zero starting states. Choose h min(m, log2 n) entries from the set of subscripts <0, 1, . m-1>and order them 0 i1 < i2 < . < iha < m. At time t, define

Let t be any one-one mapping from <0,1. 2 h -1>into <0,1, . n-1>. Define the output of the multiplexed sequence to be

Thm: If (m,n) = 1 this multiplexed sequence has period (2 m -1)(2 n - 1).

Thm: If (m,n) = 1 and h = m - 1, then the sequence has linear equivalence n(2 m - 1).


Geometric and Coordinate Vectors

Das Wort Vektor can refer to multiple concepts. Let’s learn more about geometric and coordinate vectors.

Koordinaten are values describing a position. For instance, any position on earth can be specified by geographical coordinates (latitude, longitude, and elevation).

Geometric vectors, also called Euclidean vectors, are mathematical objects defined by their magnitude (the length) and their direction. These properties allow you to describe the displacement from a location to another.

For instance, Figure 1 shows that the point EIN has coordinates (1, 1) and the point B has coordinates (3, 2). The geometric vector v describes the displacement from EIN zu B, but since vectors are defined by their magnitude and direction, you can also represent v as starting from the origin.

Cartesian Plane

In Figure 1, we used a coordinate system called the Cartesian plane. The horizontal and vertical lines are the coordinate axes, usually labeled respectively x und ja. The intersection of the two coordinates is called the Ursprung and corresponds to the coordinate 0 for each axis.

In a Cartesian plane, any position can be specified by the x und der ja coordinates. The Cartesian coordinate system can be extended to more dimensions: the position of a point in a nein-dimensional space is specified by nein coordinates. The real coordinate nein-dimensional space, containing nein-tuples of real numbers, is named ℝ . For instance, the space ℝ² is the two-dimensional space containing pairs of real numbers (the coordinates). In three dimensions (ℝ³), a point in space is represented by three real numbers.

Coordinate vectors are ordered lists of numbers corresponding to the vector coordinates. Since vector initial points are at the origin, you need to encode only the coordinates of the terminal point.

For instance, let’s take the vector v represented in Figure 2. The corresponding coordinate vector is as follows:

Each value is associated with a direction: in this case, the first value corresponds to the x-axis direction and the second number to the ja-Achse.

As illustrated in Figure 3, these values are called Komponenten oder entries of the vector.

In addition, as represented in Figure 4, you can simply represent the terminal point of the arrow: this is a scatter-plot.

Indizierung refers to the process of getting a vector component (one of the values from the vector) using its position (its index).

Python uses zero-based indexing, meaning that the first index is zero. However mathematically, the convention is to use one-based indexing. I’ll denote the component ich of the vector v with a subscript, as v_i, without bold font because the component of the vector is a scalar.

In Numpy, vectors are called one-dimensional arrays. You can use the function np.array() to create one:

Let’s take the example of v, a three-dimensional vector defined as follows:

As shown in Figure 5, you can reach the endpoint of the vector by traveling 3 units on the x-axis, 4 on the ja-axis, and 2 on the z-Achse.

More generally, in a nein-dimensional space, the position of a terminal point is described by nein components.

You can denote the dimensionality of a vector using the einstellen notation ℝ. It expresses the real coordinate space: this is the nein-dimensional space with real numbers as coordinate values.

For instance, vectors in ℝ³ have three components, as the following vector v beispielsweise:

In the context of data science, you can use coordinate vectors to represent your data.

You can represent data samples as vectors with each component corresponding to a feature. For instance, in a real estate dataset, you could have a vector corresponding to an apartment with its features as different components (like the number of rooms, the location, etc.).

Another way to do it is to create one vector per feature, each containing all observations.

Storing data in vectors allows you to leverage linear algebra tools. Note that, even if you can’t visualize vectors with a large number of components, you can still apply the same operations on them. This means that you can get insights about linear algebra using two or three dimensions, and then, use what you learn with a larger number of dimensions.


0.0: Prelude to Linear Functions - Mathematics

Lineare Gleichungen grafisch darstellen

· Use coordinate pairs to graph linear relationships.

· Graph a linear equation using x- und ja- intercepts.

· Determine whether an ordered pair is a solution of an equation.

· Solve application problems involving graphs of linear equations.

Graphing ordered pairs is only the beginning of the story. Once you know how to place points on a grid, you can use them to make sense of all kinds of mathematical relationships.

You can use a Koordinatenebene to plot points and to map various relationships, such as the relationship between an object’s distance and the elapsed time. Many mathematical relationships are linear relationships. Let’s look at what a linear relationship is.

A linear relationship is a relationship between variables such that when plotted on a coordinate plane, the points lie on a line. Let’s start by looking at a series of points in Quadrant I on the coordinate plane.

Look at the five ordered pairs (and their x- und ja-coordinates) below. Do you see any pattern to the location of the points? If this pattern continued, what other points could be on the line?

You probably identified that if this pattern continued the next ordered pair would be at (5, 10). This makes sense because the point (5, 10) “lines up” with the other points in the series—it is literally on the same line as the others. Applying the same logic, you may identify that the ordered pairs (6, 12) and (7, 14) would also belong if this coordinate plane were larger they, too, will line up with the other points.

These series of points can also be represented in a table. In the table below, the x- und ja-coordinates of each ordered pair on the graph is recorded.

x -coordinate

ja -coordinate

Notice that each ja-coordinate is twice the corresponding x-Wert. Alle von denen x- und ja-values follow the same pattern, and, when placed on a coordinate plane, they all line up.

Once you know the pattern that relates the x- und j-values, you can find a ja-value for any x-value that lies on the line. So if the rule of this pattern is that each ja-coordinate is zweimal die entsprechende x-value, then the ordered pairs (1.5, 3), (2.5, 5), and (3.5, 7) should all appear on the line too, correct? Look to see what happens.

If you were to keep adding ordered pairs (x, ja) where the ja-value was twice the x-value, you would end up with a graph like this.

Look at how all of the points blend together to create a line. You can think of a line, then, as a collection of an infinite number of individual points that share the same mathematical relationship. In this case, the relationship is that the ja-value is twice the x-Wert.

There are multiple ways to represent a linear relationship—a table, a linear graph, and there is also a Lineargleichung. A linear equation is an equation with two variables whose ordered pairs graph as a straight line.

There are several ways to create a graph from a linear equation. One way is to create a table of values for x und ja, and then plot these ordered pairs on the coordinate plane. Two points are enough to determine a line. However, it’s always a good idea to plot more than two points to avoid possible errors.

Then you draw a line through the points to show all of the points that are on the line. The arrows at each end of the graph indicate that the line continues endlessly in both directions. Every point on this line is a solution to the linear equation.

Graph the linear equation ja = 1.5x.

Bewerten ja = − 1.5x for different values of x, and create a table of corresponding x und ja Werte.

Since the coefficient of x is − 1.5, it is convenient to choose multiples of 2 for x. This ensures that ja is an integer, and makes the line easier to graph.

Convert the table to ordered pairs. Then plot the ordered pairs (shown below).

Draw a line through the points to indicate all of the points on the line.

Graph the linear equation ja = 2x + 3.

Bewerten ja = 2x + 3 for different values of x, and create a table of corresponding x und ja Werte.

Convert the table to ordered pairs.

Plot the ordered pairs (shown below).

Draw a line through the points to indicate all of the points on the line.

The linear equations graphed above were solved for y. If the equation is not stated in terms of ja, it is best to first solve the equation for ja. Wenn es keine gibt ja in the equation, then solve the equation for x.

Graph the linear equation ja + 3x = 5.

Lösen. ja + 3x = 5 for ja

ja + 3x – 3x = 5 – 3x

Bewerten ja = 5 – 3x for different values of x, and create a table of corresponding x und ja Werte.

Plot the ordered pairs (shown below).

Draw a line through the points to indicate all of the points on the line.

The linear equations x = 2 and ja = − 3 only have one variable in each of them. However, because these are linear equations, then they will graph on a coordinate plane just as the linear equations above do. Just think of the equation x = 2 as x = 0ja + 2 and think of ja = − 3 as ja = 0x – 3.

Graph ja =3.

ja = 0x – 3, and evaluate ja wann x has several values. Or just realize that ja = − 3 means every ja value will be − 3, no matter what x ist.

Plot the ordered pairs (shown below).

Draw a line through the points to indicate all of the points on the line.

Notice that ja = − 3 graphs as a horizontal line.

Which table of values could be generated by the equation 2ja – 5x = 10?

The correct answer is D. To generate a table of values for this equation, first solve the equation for ja.

Now pick values for x and then evaluate the equation for ja. Wann x = 0, ja = 5, when x = 1, ja = 7.5, when x = 2, ja = 10.

x - und ja- Intercepts

The intercepts of a line are the points where the line intercepts, or crosses, the horizontal and vertical axes. To help you remember what “intercept” means, think about the word “intersect”. The two words sound alike and in this case mean the same thing.

The straight line on the graph below intercepts the two coordinate axes. The point where the line crosses the x-axis is called the x-Achsenabschnitt. Das y-Achsenabschnitt is the point where the line crosses the ja-Achse.

Das x-intercept above is the point ( − 2, 0). Das ja-intercept above is the point (0, 2).

Notice that the ja-intercept always occurs where x = 0, and the x-intercept always occurs where ja = 0.

To find the x- and y-intercepts of a linear equation, you can substitute 0 for ja and for x beziehungsweise.

For example, the linear equation 3ja + 2x = 6 has an x intercept when ja = 0, so 3(0) + 2x = 6.

Ebenso die ja-intercept occurs when x = 0.

Das ja-intercept is (0, 2).

Was ist der ja-intercept of a line with the equation ja = 5x – 4?

Incorrect. ist der x-intercept. Bei der ja-intercept, x = 0. When 0 is substituted for x in the equation, ja = − 4. The correct answer is (0, − 4).

Incorrect. This answer switches the values of x und ja. Coordinates are given in the order (x, y). Bei der ja-intercept, x = 0. When 0 is substituted for x in the equation, ja = − 4. The correct answer is (0, − 4).

Correct. Bei der ja-intercept, x = 0. When 0 is substituted for x in the equation, ja = − 4.

Incorrect. This is the coefficient of x and the constant, not the ja-intercept. Bei der ja-intercept, x = 0. When 0 is substituted for x in the equation, ja = − 4. The correct answer is (0, − 4).

Using Intercepts to Graph Linear Equations

You can use intercepts to graph linear equations. Once you have found the two intercepts, draw a line through them.

Let’s do it with the equation 3ja + 2x = 6. You figured out that the intercepts of the line this equation represents are (0, 2) and (3, 0). That’s all you need to know.

Graph 5ja + 3x = 30.

When an equation is in Ax + Durch = C form, you can easily find the x- und ja-intercepts and then graph.

Um die zu finden ja-intercept, set

x = 0 and solve for ja.

Um die zu finden x-intercept, set

ja = 0 and solve for x.

Ordered Pairs as Solutions

So far, you have considered the following ideas about lines: a line is a visual representation of a linear equation, and the line itself is made up of an infinite number of points (or ordered pairs). The picture below shows the line of the linear equation ja = 2x – 5 with some of the specific points on the line.

Every point on the line is a solution to the equation ja = 2x – 5. You can try any of the points that are labeled like the ordered pair, (1, − 3).

You can also try ANY of the other points on the line. Every point on the line is a solution to the equation ja = 2x – 5. All this means is that determining whether an ordered pair is a solution of an equation is pretty straightforward. If the ordered pair is on the line created by the linear equation, then it is a solution to the equation. But if the ordered pair is not on the line—no matter how close it may look—then it is not a solution to the equation.

Identifying Solutions

To find out whether an ordered pair is a solution of a linear equation, you can do the following:

o Graph the linear equation, and graph the ordered pair. If the ordered pair appears to be on the graph of a line, then it is a possible solution of the linear equation. If the ordered pair does not lie on the graph of a line, then it is not a solution.

o Substitute the (x, ja) values into the equation. If the equation yields a true statement, then the ordered pair is a solution of the linear equation. If the ordered pair does not yield a true statement then it is not a solution.

Determine whether (2, 4) is a solution to the equation 4ja + 5x = 3.

For this problem, you will use the substitution method. Ersatz x =

− 2 and ja = 4 into the equation.

The statement is not true, so ( − 2, 4) is not a solution to the equation 4ja + 5x = 3.

(−2, 4) is not a solution to the equation 4ja + 5x = 3.

Linear equations can be used to model a number of real-life problems, like how much money you make over time, or the distance that a bicyclist will travel given a steady rate of pedaling. Graphing these relationships on a coordinate plane can often help you think about (and find solutions to) the problem.

Eilene drives 20 miles from her house to the train station, and then boards a non-stop train to New York. The train travels at 55 miles per hour for the entire journey. After 2 hours on the train, how far is she from her house? After about how many hours on the train will Eilene be 300 miles from her house?

Lassen x = the time (in hours) that Eilene traveled on the train.

You know that the rate is 55 mph on the train.

So, the distance on the train is d = rt, or 55x

She already traveled 20 miles, so her total distance is 55x + 20.

Lassen ja be the total distance, so ja = 55x + 20.

By substituting in some values for x, you can find out the corresponding values for y.

x , Zeit

ja , Distance from House (miles)

Once you have calculated a few ordered pairs, you can use a graph to model the situation. (Notice that this graph does not go through the origin—when Eilene boards the train, she is already 20 miles away from her home since she lives 20 miles from the train station!)

Also, keep the graph in Quadrant I, as you are constrained to positive distance and positive time.

The first part of the question can be solved by looking at the table of values or at the graph. Wann x = 2, ja = 130 this means that Eilene will be 130 miles away from home after 2 hours on the train.

Now think about the second part of the question: after how many hours on the train will Eilene be 300 miles from her house? Look to see what the x-coordinate is when ja = 300. It is a little more than 5, so she will be 300 miles away after about 5 hours (and a few minutes!) on the train. Problem solved.

Morgan is buying a laptop for $1,080 to use for school. Morgan is going to use the computer store’s finance plan to make this purchase—she’ll pay $45 per month for 24 months. She wants to know how much she will still owe after each month of the plan.

Morgan can keep track of her debt by making a graph. Das x-axis will be the number of months and the ja-axis will represent the amount of money she still owes on the computer.

Morgan knows two points in her pay-off schedule: the day she buys the computer she’ll be at 0 months and $1,080 owed, and the day she pays it off completely, she’ll be at 24 months and owed. With these two points, she can draw a line, running from the ja-intercept at (0, 1080) to the x-intercept at (24, 0).

Morgan can now use this graph to figure out how much money she still owes after any number of months. For example, after 6 months, it looks like Morgan owes $800. (And if she calculated it exactly, she would find that $810 remained on her balance.)

When graphed on a coordinate plane, a linear relationship will be a line. Examples of linear relationships are linear equations such as ja = x + 3, 2x – 5ja = 8, and x = 4. In order to graph the equation, you can find sets of ordered pairs to plot by substituting numbers for one variable and finding the other. Usually it will be easiest to find order pairs if you solve the equation for ja first, or if there is no ja in the equation then solve the equation for x. You can also graph the equation by using the x- und ja-intercepts to find two points to plot. In either case, you draw a line to indicate that all of the points on the line are ordered pairs that satisfy the linear equation. While two points can determine a line, it is always a good idea to check at least one other point.


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