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5.4: Konservative Vektorfelder


Lernziele

  • Beschreiben Sie einfache und geschlossene Kurven; Definieren Sie verbundene und einfach verbundene Regionen.
  • Erklären Sie, wie Sie eine Potentialfunktion für ein konservatives Vektorfeld finden.
  • Verwenden Sie den Fundamentalsatz für Linienintegrale, um ein Linienintegral in einem Vektorfeld auszuwerten.
  • Erklären Sie, wie Sie ein Vektorfeld testen, um festzustellen, ob es konservativ ist.

In diesem Abschnitt setzen wir das Studium konservativer Vektorfelder fort. Wir untersuchen den Fundamentalsatz für Linienintegrale, der eine nützliche Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung auf Linienintegrale konservativer Vektorfelder ist. Wir entdecken auch, wie man testet, ob ein gegebenes Vektorfeld konservativ ist, und wie man eine Potentialfunktion für ein als konservativ bekanntes Vektorfeld erstellt.

Kurven und Regionen

Bevor wir unser Studium konservativer Vektorfelder fortsetzen, benötigen wir einige geometrische Definitionen. Die Theoreme in den folgenden Abschnitten beruhen alle auf der Integration über bestimmte Arten von Kurven und Regionen, daher entwickeln wir hier die Definitionen dieser Kurven und Regionen. Wir definieren zunächst zwei spezielle Kurvenarten: geschlossene Kurven und einfache Kurven. Wie wir gelernt haben, ist eine geschlossene Kurve eine Kurve, die am selben Punkt beginnt und endet. Eine einfache Kurve ist eine Kurve, die sich selbst nicht kreuzt. Eine geschlossene und einfache Kurve ist eine einfache geschlossene Kurve (Abbildung (PageIndex{1})).

DEFINITION: Geschlossene Kurven

Kurve (C) ist a geschlossene Kurve wenn es eine Parametrisierung (vecs r(t)), (a≤t≤b) von (C) gibt, so dass die Parametrisierung die Kurve genau einmal durchläuft und (vecs r(a)= vecsr(b)). Kurve (C) ist eine einfache Kurve, wenn (C) sich selbst nicht schneidet. Das heißt, (C) ist einfach, wenn es eine Parametrisierung (vecs r(t)), (a≤t≤b) von (C) gibt, so dass (vecs r) ist eins zu eins über ((a,b)). Es ist möglich für (vecs r(a)=vecs r(b)), was bedeutet, dass die einfache Kurve auch abgeschlossen ist.

Beispiel (PageIndex{1}): Bestimmen, ob eine Kurve einfach und geschlossen ist

Ist die Kurve mit Parametrierung (vecs{r}(t)=leftlanglecos t,frac{sin(2t)}{2} ight angle), (0≤t≤2 pi) eine einfache geschlossene Kurve?

Lösung

Beachten Sie, dass (vecs{r}(0)=⟨1,0⟩=vecs r(2pi)); daher ist die Kurve geschlossen. Die Kurve ist jedoch nicht einfach. Um dies zu sehen, beachte, dass (vecs{r}left(frac{pi}{2} ight)=⟨0,0⟩=vecs{r}left(frac{3pi} {2} ight)), und deshalb kreuzt sich die Kurve im Ursprung (Abbildung (PageIndex{2})).

Übung (PageIndex{1})

Ist die durch Parametrierung (vecs{r}(t)=⟨2cos t,3sin t⟩), (0≤t≤6pi) gegebene Kurve eine einfache geschlossene Kurve?

Hinweis

Skizzieren Sie die Kurve.

Antworten

Ja

Viele der Sätze in diesem Kapitel beziehen ein Integral über einen Bereich auf ein Integral über den Rand des Bereichs, wobei der Rand des Bereichs eine einfache geschlossene Kurve oder eine Vereinigung einfacher geschlossener Kurven ist. Um diese Sätze zu entwickeln, benötigen wir zwei geometrische Definitionen für Gebiete: die eines zusammenhängenden Gebiets und die eines einfach zusammenhängenden Gebietes. Eine verbundene Region ist eine Region, in der es einen Pfad in der Region gibt, der zwei beliebige Punkte verbindet, die innerhalb dieser Region liegen. Ein einfach verbundener Bereich ist ein verbundener Bereich, der keine Löcher enthält. Diese beiden Begriffe zusammen mit dem Begriff einer einfachen geschlossenen Kurve ermöglichen es uns, später in diesem Kapitel mehrere Verallgemeinerungen des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung anzugeben. Diese beiden Definitionen gelten für Regionen in beliebig vielen Dimensionen, aber wir beschäftigen uns nur mit Regionen in zwei oder drei Dimensionen.

DEFINITION: verbundene Regionen

Eine Region D ist ein verbundene Region falls es für zwei beliebige Punkte (P_1) und (P_2) einen Pfad von (P_1) nach (P_2) mit einer vollständig darin enthaltenen Spur gibt D. Eine Region D ist eine einfach zusammenhängende Region, wenn D ist für jede einfache geschlossene Kurve verbunden C das liegt drin D, und Kurve C kann kontinuierlich bis zu einem gewissen Punkt geschrumpft werden, während man ganz drinnen bleibt D. In zwei Dimensionen ist eine Region einfach verbunden, wenn sie verbunden ist und keine Löcher hat.

Alle einfach zusammenhängenden Gebiete sind zusammenhängend, aber nicht alle zusammenhängenden Gebiete sind einfach zusammenhängend (Abbildung (PageIndex{3})).

Übung (PageIndex{2})

Ist die Region im unteren Bild verbunden? Ist die Region einfach verbunden?

Hinweis

Betrachten Sie die Definitionen.

Antworten

Die Region in der Abbildung ist verbunden. Die Region in der Abbildung ist nicht einfach verbunden.

Fundamentalsatz für Linienintegrale

Nachdem wir nun einige grundlegende Kurven und Bereiche verstanden haben, wollen wir den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung auf Linienintegrale verallgemeinern. Denken Sie daran, dass der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung besagt, dass, wenn eine Funktion (f) eine Stammfunktion (F) hat, das Integral von (f) von (a) nach (b) nur von abhängt die Werte von (F) bei (a) und (b) – das heißt,

[int_a^bf(x),dx=F(b)−F(a).]

Wenn wir uns den Gradienten als Ableitung vorstellen, dann gilt der gleiche Satz für Vektorlinienintegrale. Wie das funktioniert, zeigen wir an einem Motivationsbeispiel.

Beispiel (PageIndex{2}): Auswertung eines Linienintegrals und der Stammfunktionen der Endpunkte

Sei (vecs{F}(x,y)=⟨2x,4y⟩). Berechnen (displaystyle int_C vecs{F} cdot dvecs{r}), wobei C ist das Liniensegment von ((0,0)) nach ((2,2)) (Abbildung (PageIndex{4})).

Lösung

Wir verwenden die Methode aus dem vorherigen Abschnitt, um (int_Cvecs{F}cdot dvecs{r}) zu berechnen. Kurve C kann parametrisiert werden durch (vecs{r}(t)=⟨2t,2t⟩), (0≤t≤1). Dann gilt (vecs{F}(vecs r(t))=⟨4t,8t⟩) und (vecs r′(t)=⟨2,2⟩), was impliziert, dass

[egin{align*} int_C vecs{F}·dvecs{r} &=int_0^1⟨4t,8t⟩·⟨2,2⟩dt [4pt] &=int_0^ 1(8t+16t)dt=int_0^1 24tdt[4pt] &={ig[12t^2ig]}_0^1=12. end{ausrichten*}]

Beachten Sie, dass (vecs{F}=vecs abla f), wobei (f(x,y)=x^2+2y^2) gilt. Wenn wir uns den Gradienten als Ableitung vorstellen, dann ist (f) eine „Stammableitung“ von (vecs{F}). Bei einvariablen Integralen ist das Integral der Ableitung (g′(x)) (g(b)−g(a)), wobei ein ist der Startpunkt des Integrationsintervalls und b ist der Endpunkt. Wenn Vektorlinienintegrale wie Integrale mit einer Variablen funktionieren, würden wir erwarten, dass das Integral (vecs{F}) (f(P_1)−f(P_0)) ist, wobei (P_1) der Endpunkt ist der Integrationskurve und (P_0) ist der Startpunkt. Beachten Sie, dass dies für dieses Beispiel der Fall ist:

[int_C vecs{F} cdot dvecs{r}=int_C vecs abla f cdot dvecs{r}=12 onumber]

und

[f(2,2)−f(0,0)=4+8−0=12. keine Nummer]

Mit anderen Worten, das Integral einer „Ableitung“ kann berechnet werden, indem man eine „Stammfunktion“ an den Endpunkten der Kurve auswertet und wie bei einvariablen Integralen subtrahiert.

Der folgende Satz besagt, dass das, was im vorherigen Beispiel passiert ist, unter bestimmten Bedingungen für jedes Gradientenfeld gilt. Der gleiche Satz gilt für Vektorlinienintegrale, die wir als Fundamentalsatz für Linienintegrale.

Satz: DAS GRUNDLEGENDE THEOREM FÜR LINE INTEGRALE

Lassen C sei eine stückweise glatte Kurve mit der Parametrisierung (vecs r(t)), (a≤t≤b). Sei (f) eine Funktion von zwei oder drei Variablen mit partiellen Ableitungen erster Ordnung, die existieren und auf stetig sind C. Dann,

[int_Cvecs abla fcdot dvecs{r}=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)). label{FunTheLine}]

Beweis

Zuerst,

[int_C vecs abla f cdot d vecs{r}=int_a^b vecs abla f( vecs r(t)) cdot vecs r′(t),dt. keine Nummer ]

Nach der Kettenregel gilt

[dfrac{d}{dt}(f( vecs r(t))= vecs abla f( vecs r(t)) cdot vecs r′(t) onumber]

Daher gilt nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung

[egin{align*} int_C vecs abla f cdot d vecs{r} &=int_a^b vecs abla f( vecs r(t)) cdot vecs r′(t )dt [4pt] &=int_a^bdfrac{d}{dt}(f( vecs r(t))dt [4pt] &={ig[f( vecs r(t ))ig]}_{t=a}^{t=b}[4pt] &=f( vecs r(b))−f( vecs r(a)). end{align* }]

(Quadrat)

Wir wissen, dass, wenn (vecs{F}) ein konservatives Vektorfeld ist, es eine Potentialfunktion (f) mit (vecs abla f=vecs F) gibt. Deshalb

[int_Cvecs F·dvecs r=int_Cvecs abla f·dvecs{r}=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)).]

Mit anderen Worten, genau wie beim Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung ist die Berechnung des Linienintegrals (int_Cvecs F·dvecs{r}), wobei (vecs{F}) konservativ ist, eine Zwei -Schritt Prozess:

  1. Finden Sie eine Potentialfunktion („Stammfunktion“) (f) für (vecs{F}) und
  2. Berechne den Wert von (f) an den Endpunkten von (C) und berechne ihre Differenz (f(vecs r(b))−f(vecs r(a))).

Beachten Sie jedoch, dass es einen Hauptunterschied zwischen dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung und dem Fundamentalsatz für Linienintegrale gibt:
Eine stetige Funktion einer Variablen muss eine Stammfunktion haben. Ein Vektorfeld braucht jedoch, selbst wenn es stetig ist, keine Potentialfunktion zu haben.

Beispiel (PageIndex{3}): Anwendung des Fundamentalsatzes

Berechnen Sie das Integral (int_Cvecs{F}cdot dvecs{r}), wobei (vecs{F}(x,y,z)=⟨2xln y,dfrac{x^2 }{y}+z^2,2yz⟩) und (C) ist eine Kurve mit der Parametrisierung (vecs{r}(t)=⟨t^2,t,t⟩), (1 t≤e)

  1. ohne den Fundamentalsatz der Linienintegrale zu verwenden und
  2. unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Linienintegrale.

Lösung

1. Lassen Sie uns zunächst das Integral ohne den Fundamentalsatz für Linienintegrale berechnen und stattdessen die Methode verwenden, die wir im vorherigen Abschnitt gelernt haben:

[egin{align*} int_C vecs{F} cdot dr &=int_1^evecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t),dt[ 4pt] &=int_1^e⟨2t^2ln t,dfrac{t^4}{t}+t^2,2t^2⟩ cdot ⟨2t,1,1⟩,dt[ 4pt] &=int_1^e(4t^3ln t+t^3+3t^2),dt [4pt] &=int_1^e 4t^3ln t ,dt+int_1^ e(t^3+3t^2),dt [4pt] &=int_1^e 4t^3ln t,dt+{Big[dfrac{t^4}{4}+t^ 3Big]}_1^e [4pt] &=int_1^e 4t^3ln t,dt+dfrac{e^4}{4}+e^3 −dfrac{1}{4 } −1 [4pt] &= int_1^e 4t^3ln t,dt+dfrac{e^4}{4}+e^3 −dfrac{5}{4}end{align *}]

Integral (displaystyle int_1^e t^3ln t,dt) erfordert eine Integration in Teilen. Seien (u=ln t) und (dv=t^3). Dann (u=ln t), (dv=t^3)

und

[du=dfrac{1}{t},dt, ;;v=dfrac{t^4}{4}. onumber]

Deshalb,

[egin{align*} int_1^et^3ln t,dt &={Big[dfrac{t^4}{4}ln tBig]}_1^e−dfrac{ 1}{4}int_1^et^3,dt [4pt] &=dfrac{e^4}{4}−dfrac{1}{4}left(dfrac{e^4} {4}−dfrac{1}{4} ight). end{ausrichten*}]

So,

[egin{align*} int_C vecs F cdot dvecs{r} &= 4int_1^et^3ln t, dtquad +quad dfrac{e^4}{4 }+e^3 − dfrac{5}{4} [4pt] &=4left(dfrac{e^4}{4}−dfrac{1}{4}left(dfrac{ e^4}{4}−dfrac{1}{4} ight) ight)+dfrac{e^4}{4}+e^3−dfrac{5}{4}[4pt ] &=e^4−dfrac{e^4}{4}+dfrac{1}{4}+dfrac{e^4}{4}+e^3−dfrac{5}{4} [4pt] &=e^4+e^3−1. end{ausrichten*}]

2. Da (f(x,y,z)=x^2ln y+yz^2) eine potentielle Funktion für (vecs F) ist, verwenden wir den Fundamentalsatz für Linienintegrale zur Berechnung von das Integral. Beachten Sie, dass

[egin{align*} int_C vecs F cdot dvecs{r} &=int_C vecs abla f cdot dvecs{r} [4pt] &=f(vecs r (e))−f(vecs r(1)) [4pt] &=f(e^2,e,e)−f(1,1,1)[4pt] &=e^4 +e^3−1. end{ausrichten*}]

Diese Berechnung ist viel einfacher als die Berechnung, die wir in (a) durchgeführt haben. Solange wir eine Potentialfunktion haben, ist die Berechnung eines Linienintegrals mit dem Fundamentalsatz für Linienintegrale viel einfacher als die Berechnung ohne den Satz.

Beispiel (PageIndex{3}) veranschaulicht eine nette Eigenschaft des Fundamentalsatzes der Linienintegrale: Es erlaubt uns, viele Vektorlinienintegrale einfacher zu berechnen. Solange wir eine Potentialfunktion haben, besteht die Berechnung des Linienintegrals nur darin, die Potentialfunktion an den Endpunkten auszuwerten und zu subtrahieren.

Übung (PageIndex{3})

Vorausgesetzt, (f(x,y)={(x−1)}^2y+{(y+1)}^2x) ist eine potentielle Funktion für (vecs F(x,y)=⟨2xy− 2y+{(y+1)}^2,{(x−1)}^2+2yx+2x⟩), berechne Integral (int_C vecs F·dvecs r), wobei (C ) ist die untere Hälfte des Einheitskreises gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

Hinweis

Der Fundamentalsatz für Linienintervalle besagt, dass dieses Integral nur vom Wert von (f) an den Endpunkten von (C) abhängt.

Antworten

2

Der Fundamentalsatz für Linienintegrale hat zwei wichtige Konsequenzen. Die erste Konsequenz ist, dass, wenn (vecs{F}) konservativ und (C) eine geschlossene Kurve ist, die Zirkulation von (vecs{F}) entlang (C) null ist – dh (int_C vecs F·dvecs r=0). Um zu sehen, warum dies wahr ist, sei (f) eine potentielle Funktion für (vecs{F}). Da (C) eine geschlossene Kurve ist, ist der Endpunkt (vecs r(b)) von (C) gleich dem Anfangspunkt (vecs r(a)) von (C ) – das heißt (vecs r(a)=vecs r(b)). Daher gilt nach dem Fundamentalsatz für Linienintegrale

[egin{align} oint_C vecs F·dvecs r &=oint_C vecs abla f·dvecs r[4pt] &=f(vecs r(b))−f( vecs r(a)) [4pt] &=f(vecs r(b))−f(vecs r(b)) [4pt] &=0. end{ausrichten}]

Denken Sie daran, dass ein konservatives Vektorfeld (vecs{F}) „konservativ“ heißt, weil solche Vektorfelder Kräfte modellieren, in denen Energie erhalten bleibt. Wir haben gezeigt, dass die Schwerkraft ein Beispiel für eine solche Kraft ist. Wenn wir uns das Vektorfeld (vecs{F}) im Integral (oint_Cvecs F·dvecs r) als Gravitationsfeld vorstellen, dann gilt die Gleichung (oint_C vecs{F}·d vecs{r}=0) folgt. Bewegt sich ein Teilchen entlang einer Bahn, die an derselben Stelle beginnt und endet, dann ist die Schwerkraftarbeit des Teilchens null.

Die zweite wichtige Konsequenz des Fundamentalsatzes für Linienintegrale (Gleichung ef{FunTheLine}) ist, dass Linienintegrale von konservativen Vektorfeldern pfadunabhängig sind – das heißt, sie hängen nur von den Endpunkten der gegebenen Kurve ab und nicht von der Pfad zwischen den Endpunkten.

DEFINITION: Pfadunabhängigkeit

Sei (vecs{F}) ein Vektorfeld mit Definitionsbereich (D); es ist pfadunabhängig (oder pfadunabhängig), wenn

[int_{C_1} vecs{F}·dvecs{r}=int_{C_2} vecs{F}·dvecs{r}]

für beliebige Pfade (C_1) und (C_2) in (D) mit gleichen Anfangs- und Endpunkten.

Die zweite Konsequenz wird im folgenden Satz formal formuliert.

Satz: KONSERVATIVE FELDER

Wenn (vecs{F}) a . ist konservatives Vektorfeld, dann ist (vecs{F}) pfadunabhängig.

Beweis

Sei (D) das Gebiet von (vecs{F}) und seien (C_1) und (C_2) zwei Pfade in (D) mit gleichen Anfangs- und Endpunkten (Abbildung (PageIndex{5})). Nennen Sie den Anfangspunkt (P_1) und den Endpunkt (P_2). Da (vecs{F}) konservativ ist, gibt es eine Potentialfunktion (f) für (vecs{F}). Nach dem Fundamentalsatz für Linienintegrale gilt:

[int_{C_1} vecs{F}·dvecs{r}=f(P_2)−f(P_1)=int_{C_2} vecs{F}·dvecs{r}. keine Nummer]

Daher ist (int_{C_1}vecs F·dvecs r=int_{C_2}vecs F·dvecs r) und (vecs{F}) pfadunabhängig.

(Quadrat)

Um zu visualisieren, was die Unabhängigkeit des Weges bedeutet, stellen Sie sich drei Wanderer vor, die vom Basislager auf den Gipfel eines Berges steigen. Wanderer 1 nimmt einen steilen Weg direkt vom Camp zum Gipfel. Wanderer 2 nimmt eine kurvenreiche Route, die vom Camp zum Gipfel nicht steil ist. Wanderer 3 beginnt, indem er den steilen Weg nimmt, aber auf halbem Weg zum Gipfel entscheidet, dass es für ihn zu schwierig ist. Deshalb kehrt er zum Lager zurück und nimmt den nicht steilen Weg nach oben. Alle drei Wanderer bewegen sich auf Wegen in einem Gravitationsfeld. Da die Schwerkraft eine Kraft ist, bei der Energie erhalten bleibt, ist das Gravitationsfeld konservativ. Durch die Unabhängigkeit des Weges ist die Gesamtarbeit der Schwerkraft bei jedem der Wanderer gleich, da sie alle am selben Ort begannen und am selben Ort endeten. Die von den Wanderern geleistete Arbeit beinhaltet andere Faktoren wie Reibung und Muskelbewegung, so dass die Gesamtenergiemenge, die jeder einzelne verbraucht, nicht gleich ist, aber die Nettoenergie, die gegen die Schwerkraft verbraucht wird, ist für alle drei Wanderer gleich.

Wir haben gezeigt, dass, wenn (vecs{F}) konservativ ist, (vecs{F}) pfadunabhängig ist. Es stellt sich heraus, dass, wenn das Gebiet von (vecs{F}) offen und zusammenhängend ist, auch die Umkehrung gilt. Das heißt, wenn (vecs{F}) pfadunabhängig ist und das Gebiet von (vecs{F}) offen und zusammenhängend ist, dann ist (vecs{F}) konservativ. Daher ist die Menge der konservativen Vektorfelder auf offenen und zusammenhängenden Gebieten genau die Menge der pfadunabhängigen Vektorfelder.

Satz: DER PATH-UNABHÄNGIGKEITSTEST FÜR KONSERVATIVE FELDER

Ist (vecs{F}) ein stetiges bahnunabhängiges Vektorfeld und das Gebiet (D) von (vecs{F}) offen und zusammenhängend, dann gilt (vecs{F }) ist konservativ.

Beweis

Wir beweisen den Satz für Vektorfelder in (ℝ^2). Der Beweis für Vektorfelder in (ℝ^3) ist ähnlich. Um zu zeigen, dass (vecs F=⟨P,Q⟩) konservativ ist, müssen wir eine Potentialfunktion (f) für (vecs{F}) finden. Sei dazu (X) ein Fixpunkt in (D). Für jeden Punkt ((x,y)) in (D) sei (C) ein Pfad von (X) nach ((x,y)). Definiere (f(x,y)) durch (f(x,y)=int_C vecs F·dvecs r). (Beachten Sie, dass diese Definition von (f) nur deshalb sinnvoll ist, weil (vecs{F}) pfadunabhängig ist. Wenn (vecs{F}) nicht pfadunabhängig wäre, dann könnte es möglich sein einen anderen Pfad (C′) von (X) nach ((x,y)) zu finden, so dass (int_C vecs F·dvecs r≠int_C vecs F·dvecs r), und in einem solchen Fall wäre (f(x,y)) keine Funktion.) Wir wollen zeigen, dass (f) die Eigenschaft (vecs abla f=vecs F ).

Da die Domäne (D) geöffnet ist, ist es möglich, einen Datenträger mit der Mitte ((x,y)) zu finden, sodass der Datenträger vollständig in (D) enthalten ist. Sei ((a,y)) mit (a

[f(x,y)=int_{C_1} vecs F·dvecs r+int_{C_2}vecs Fcdot dvecs r. onumber]

Das erste Integral hängt nicht von (x) ab, also

[f_x(x,y)=dfrac{∂}{∂x}int_{C_2} vecs F cdot dvecs r. keine Nummer]

Parametrieren wir (C_2) durch (vecs r(t)=⟨t,y⟩), (a≤t≤x), dann

[egin{align*} f_x(x,y) &=dfrac{∂}{∂x}int_{C_2} vecs F cdot dvecs r [4pt] &=dfrac{∂ }{∂x}int_a^x vecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t),dt [4pt] &=dfrac{∂}{∂x}int_a ^x vecs F(vecs r(t)) cdot dfrac{d}{dt}(⟨t,y⟩),dt [4pt] &=dfrac{∂}{∂x} int_a^x vecs F(vecs r(t)) cdot ⟨1,0⟩,dt [4pt] &=dfrac{∂}{∂x}int_a^x P(t,y) ,dt.[4pt] end{align*}]

Nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung (Teil 1),

[f_x(x,y)=dfrac{∂}{∂x}int_a^x P(t,y),dt=P(x,y). onumber]

Ein ähnliches Argument mit einem vertikalen Liniensegment anstelle eines horizontalen Liniensegments zeigt, dass (f_y(x,y)=Q(x,y)).

Daher ist (vecs abla f=vecs F) und (vecs{F}) konservativ.

(Quadrat)

Wir haben viel Zeit damit verbracht, die obigen Sätze zu diskutieren und zu beweisen, aber wir können sie einfach zusammenfassen: Ein Vektorfeld (vecs F) auf einem offenen und zusammenhängenden Gebiet ist genau dann konservativ, wenn es pfadunabhängig ist. Dies ist wichtig zu wissen, da konservative Vektorfelder in Anwendungen extrem wichtig sind und diese Theoreme uns eine andere Sichtweise geben, was es bedeutet, unter Verwendung der Pfadunabhängigkeit konservativ zu sein.

Beispiel (PageIndex{4}): Zeigen, dass ein Vektorfeld nicht konservativ ist

Zeigen Sie mit Pfadunabhängigkeit, dass das Vektorfeld (vecs F(x,y)=⟨x^2y,y+5⟩) nicht konservativ ist.

Lösung

Wir können zeigen, dass (vecs{F}) nicht konservativ ist, indem wir zeigen, dass (vecs{F}) nicht pfadunabhängig ist. Wir tun dies, indem wir zwei verschiedene Pfade angeben, (C_1) und (C_2), die beide bei ((0,0)) beginnen und bei ((1,1) enden), und doch (int_{C_1} vecs F cdot dvecs r≠int_{C_2} vecs F cdot dvecs r).

Sei (C_1) die Kurve mit Parametrierung (vecs r_1(t)=⟨t,,t⟩), (0≤t≤1) und sei (C_2) die Kurve mit Parametrisierung (vecs r_2(t)=⟨t,,t^2⟩), (0≤t≤1) (Abbildung (PageIndex{7}).). Dann

[egin{align*} int_{C_1} vecs{F}·dvecs r &=int_0^1 vecs F(vecs r_1(t))·vecs r_1′(t), dt [4pt] &=int_0^1⟨t^3,t+5⟩·⟨1,1⟩,dt=int_0^1(t^3+t+5),dt[ 4pt] &={Big[dfrac{t^4}{4}+dfrac{t^2}{2}+5tBig]}_0^1=dfrac{23}{4} end{ ausrichten*}]

und

[egin{align*} int_{C_2}vecs F·dvecs r &=int_0^1 vecs F(vecs r_2(t))·vecs r_2′(t),dt [4pt] &=int_0^1⟨t^4,t^2+5⟩·⟨1,2t⟩,dt=int_0^1(t^4+2t^3+10t),dt [4pt] &={Groß[dfrac{t^5}{5}+dfrac{t^4}{2}+5t^2Groß]}_0^1=dfrac{57}{10 }. end{ausrichten*}]

Da (int_{C_1} vecs F cdot dvecs r≠int_{C_2} vecs F cdot dvecs r), der Wert eines Linienintegrals von (vecs{F} ) hängt vom Weg zwischen zwei gegebenen Punkten ab. Daher ist (vecs{F}) nicht pfadunabhängig und (vecs{F}) nicht konservativ.

Übung (PageIndex{4})

Zeigen Sie, dass (vecs{F}(x,y)=⟨xy,,x^2y^2⟩) nicht pfadunabhängig ist, indem Sie die Strecke von ((0,0)) nach ( (0,2)) und das Stück des Graphen von (y=dfrac{x^2}{2}), das von ((0,0)) nach ((0,2) ).

Hinweis

Berechnen Sie die entsprechenden Linienintegrale.

Antworten

Wenn (C_1) und (C_2) die beiden Kurven darstellen, dann gilt [int_{C_1} vecs F cdot dvecs r≠int_{C_2} vecs F cdot dvecs r. keine Nummer]

Konservative Vektorfelder und Potentialfunktionen

Wie wir gelernt haben, besagt der Fundamentalsatz für Geradenintegrale, dass, wenn (vecs{F}) konservativ ist, die Berechnung von (int_C vecs F·dvecs r) zwei Schritte umfasst: zuerst bestimme a Potentialfunktion (f) für (vecs{F}) und zweitens (f(P_1)−f(P_0)) berechnen, wobei (P_1) der Endpunkt von (C ) und (P_0) ist der Ausgangspunkt. Um diesen Satz für einen konservativen Körper (vecs{F}) zu verwenden, müssen wir in der Lage sein, eine Potentialfunktion (f) für (vecs{F}) zu finden. Daher müssen wir folgende Frage beantworten: Wie finden wir bei einem konservativen Vektorfeld (vecs{F}) eine Funktion (f) mit (vecs abla f=vecs{F} )? Bevor wir eine allgemeine Methode zum Auffinden einer potentiellen Funktion angeben, wollen wir die Methode mit einem Beispiel motivieren.

Beispiel (PageIndex{5}): Finden einer potentiellen Funktion

Finden Sie eine Potentialfunktion für (vecs F(x,y)=⟨2xy^3,3x^2y^2+cos(y)⟩ und zeigen Sie damit, dass (vecs{F}) konservativ ist .

Lösung

Angenommen, (f(x,y)) ist eine potentielle Funktion für (vecs{F}). Dann gilt (vecs abla f=vecs F), und daher

[f_x(x,y)=2xy^3 ; ; ext{und} ;; f_y(x,y)=3x^2y^2+cos y. keine Nummer]

Integrieren der Gleichung (f_x(x,y)=2xy^3) nach (x) ergibt die Gleichung

[f(x,y)=x^2y^3+h(y). keine Nummer]

Beachten Sie, dass wir, da wir eine Funktion mit zwei Variablen in Bezug auf (x) integrieren, eine Integrationskonstante hinzufügen müssen, die eine Konstante in Bezug auf (x) ist, aber immer noch eine Funktion von (y ). Die Gleichung (f(x,y)=x^2y^3+h(y)) kann durch die partielle Ableitung nach (x) bestätigt werden:

[dfrac{∂f}{∂x}=dfrac{∂}{∂x}(x^2y^3)+dfrac{∂}{∂x}(h(y))=2xy^3+ 0=2xy^3. keine Nummer]

Da (f) eine potentielle Funktion für (vecs{F}) ist,

[f_y(x,y)=3x^2y^2+cos(y), onumber]

und deshalb

[3x^2y^2+g′(y)=3x^2y^2+cos(y). keine Nummer]

Dies impliziert, dass (h′(y)=cos y), also (h(y)=sin y+C). Deshalb, irgendein Funktion der Form (f(x,y)=x^2y^3+sin(y)+C) ist eine potentielle Funktion. Nimmt man insbesondere (C=0) ergibt die Potentialfunktion (f(x,y)=x^2y^3+sin(y)).

Um zu überprüfen, dass (f) eine potentielle Funktion ist, beachte (vecs abla f(x,y)=⟨2xy^3,3x^2y^2+cos y⟩=vecs F).

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie eine Potentialfunktion für (vecs{F}(x,y)=⟨e^xy^3+y,3e^xy^2+x⟩).

Hinweis

Folgen Sie den Schritten in Beispiel (PageIndex{5}).

Antworten

(f(x,y)=e^xy^3+xy)

Die Logik des vorherigen Beispiels erstreckt sich auf das Finden der Potentialfunktion für jedes konservative Vektorfeld in (ℝ^2). Somit haben wir die folgende Problemlösungsstrategie, um potentielle Funktionen zu finden:

STRATEGIE ZUR PROBLEMLÖSUNG: FINDEN EINER POTENZIALFUNKTION FÜR EIN KONSERVATIVES VEKTORFELD (vecs{F}(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩)

  1. Integriere (P) nach (x). Dies führt zu einer Funktion der Form (g(x,y)+h(y)), wobei (h(y)) unbekannt ist.
  2. Nehmen Sie die partielle Ableitung von (g(x,y)+h(y)) nach (y), was die Funktion (gy(x,y)+h′(y)) ergibt .
  3. Verwenden Sie die Gleichung (gy(x,y)+h′(y)=Q(x,y)), um (h′(y)) zu finden.
  4. Integriere (h′(y)), um (h(y)) zu finden.
  5. Jede Funktion der Form (f(x,y)=g(x,y)+h(y)+C), wobei (C) eine Konstante ist, ist eine potentielle Funktion für (vecs{ F}).

Wir können diese Strategie anpassen, um potentielle Funktionen für Vektorfelder in (ℝ^3) zu finden, wie im nächsten Beispiel gezeigt.

Beispiel (PageIndex{6}): Finden einer potentiellen Funktion in (ℝ^3)

Finden Sie eine potentielle Funktion für (F(x,y,z)=⟨2xy,x^2+2yz^3,3y^2z^2+2z⟩) und zeigen Sie damit, dass (vecs{F}) ist konservativ.

Lösung

Angenommen, (f) ist eine potentielle Funktion. Dann gilt (vecs abla f=vecs{F}) und damit (f_x(x,y,z)=2xy). Integrieren dieser Gleichung in Bezug auf (x) ergibt die Gleichung (f(x,y,z)=x^2y+g(y,z)) für eine Funktion (g). Beachten Sie, dass in diesem Fall die Integrationskonstante bezüglich (x) eine Funktion von (y) und (z) ist.

Da (f) eine Potentialfunktion ist,

[x^2+2yz^3=f_y(x,y,z)=x^2+g_y(y,z). keine Nummer]

Deshalb,

[g_y(y,z)=2yz^3. keine Nummer]

Integrieren dieser Funktion nach (y) ergibt

[g(y,z)=y^2z^3+h(z) onumber]

für eine Funktion (h(z)) von (z) allein. (Beachten Sie, dass wir, da wir wissen, dass (g) nur eine Funktion von (y) und (z) ist, nicht (g(y,z)=y^2z^3 . schreiben müssen +h(x,z)).) Daher gilt

[f(x,y,z)=x^2y+g(y,z)=x^2y+y^2z^3+h(z). keine Nummer]

Um (f) zu finden, müssen wir jetzt nur noch (h) finden. Da (f) eine Potentialfunktion ist,

[3y^2z^2+2z=g_z(y,z)=3y^2z^2+h′(z). keine Nummer]

Dies impliziert, dass (h′(z)=2z), also (h(z)=z^2+C). Mit (C=0) erhält man die Potentialfunktion

[f(x,y,z)=x^2y+y^2z^3+z^2. keine Nummer]

Um zu überprüfen, dass (f) eine potentielle Funktion ist, beachte, dass (vecs abla f(x,y,z)=⟨2xy,x^2+2yz^3,3y^2z^2+2z⟩= vecs F(x,y,z)).

Übung (PageIndex{6})

Finden Sie eine Potentialfunktion für (vecs{F}(x,y,z)=⟨12x^2,cos ycos z,1−sin ysin z⟩).

Hinweis

Folgen Sie dem Beispiel (PageIndex{6}), beginnen Sie mit der Integration in Bezug auf (x).

Antworten

(f(x,y,z)=4x^3+sin ycos z+z)

Wir können den Prozess des Findens einer Potentialfunktion auf eine Gravitationskraft anwenden. Denken Sie daran, dass, wenn ein Objekt eine Einheitsmasse hat und sich im Ursprung befindet, die Gravitationskraft in (ℝ^2) die das Objekt auf ein anderes Objekt der Einheitsmasse im Punkt ((x,y)) ausübt ist gegeben durch das Vektorfeld

(vecs F(x,y)=−Glinkslangledfrac{x}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} },dfrac{y}{ {( x^2+y^2)}^{3/2} } ight angle),

wobei (G) die universelle Gravitationskonstante ist. Im nächsten Beispiel bauen wir eine Potentialfunktion für (vecs{F}) und bestätigen damit, was wir bereits wissen: dass die Gravitation konservativ ist.

Beispiel (PageIndex{7}): Finden einer potentiellen Funktion

Finden Sie eine Potentialfunktion (f) für (vecs{F}(x,y)=−Gleftlangledfrac{x}{ {(x^2+y^2)}^{3/ 2} },dfrac{y}{ {(x^2+y^2)}^{3/2}} ight angle).

Lösung

Angenommen, (f) ist eine potentielle Funktion. Dann gilt (vecs abla f=vecs{F}) und damit

[f_x(x,y)=dfrac{−Gx}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} }. onumber]

Um diese Funktion bezüglich (x) zu integrieren, wir können (u)-Substitution verwenden. Wenn (u=x^2+y^2), dann (dfrac{du}{2}=x,dx), also

[egin{align*} int dfrac{−Gx}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} },dx &=int dfrac{−G}{2u ^{3/2}} ,du [4pt] &=dfrac{G}{sqrt{u}}+h(y) [4pt] &=dfrac{G}{sqrt{ x^2+y^2}}+h(y) end{ausrichten*}]

für eine Funktion (h(y)). Deshalb,

[f(x,y)=dfrac{G}{ sqrt{x^2+y^2}}+h(y). onumber]

Da (f) eine potentielle Funktion für (vecs{F}) ist,

[f_y(x,y)=dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} } onumber].

Da (f(x,y)=dfrac{G}{sqrt{x^2+y^2}}+h(y)), ist (f_y(x,y)) auch gleich ( dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} }+h′(y)).

Deshalb,

[dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} }+h′(y)=dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2 )}^{3/2} }, onumber]

was impliziert, dass (h′(y)=0). Daher können wir (h(y)) als eine beliebige Konstante nehmen; insbesondere kann (h(y)=0) sein. Die Funktion

[f(x,y)=dfrac{G}{ sqrt{x^2+y^2} } onumber]

ist eine Potentialfunktion für das Gravitationsfeld (vecs{F}). Um zu bestätigen, dass (f) eine potentielle Funktion ist, beachte, dass

[egin{align*} vecs abla f(x,y) &=⟨−dfrac{1}{2} dfrac{G}{ {(x^2+y^2)}^{3 /2} } (2x),−dfrac{1}{2} dfrac{G}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} }(2y)⟩ [4pt] &=⟨dfrac{−Gx}{ {(x^2+y^2)}^{3/2} },dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2)}^{3 /2} }⟩[4pt] &=vecs F(x,y). end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{7})

Finden Sie eine Potentialfunktion (f) für die dreidimensionale Gravitationskraft (vecs{F}(x,y,z)=leftlangledfrac{−Gx}{ {(x^2+y^ .) 2+z^2)}^{3/2} },dfrac{−Gy}{ {(x^2+y^2+z^2)}^{3/2} },dfrac{−Gz }{ {(x^2+y^2+z^2)}^{3/2} } ight angle).

Hinweis

Folgen Sie der Problemlösungsstrategie.

Antworten

(f(x,y,z)=dfrac{G}{sqrt{x^2+y^2+z^2}})

Testen eines Vektorfeldes

Bisher haben wir mit Vektorfeldern gearbeitet, von denen wir wissen, dass sie konservativ sind, aber wenn uns nicht gesagt wird, dass ein Vektorfeld konservativ ist, müssen wir in der Lage sein zu testen, ob es konservativ ist. Denken Sie daran, dass, wenn (vecs{F}) konservativ ist, (vecs{F}) die Kreuzpartialeigenschaft hat (siehe Die Kreuzpartialeigenschaft konservativer Vektorfelder). Das heißt, wenn (vecs F=⟨P,Q,R⟩) konservativ ist, dann gilt (P_y=Q_x), (P_z=R_x) und (Q_z=R_y). Wenn also (vecs{F}) die Kreuzpartialeigenschaft hat, ist dann (vecs{F}) konservativ? Wenn das Gebiet von (vecs{F}) offen und einfach zusammenhängend ist, dann lautet die Antwort ja.

Theorem: DER ÜBERGREIFENDE TEST FÜR KONSERVATIVE FELDER

Ist (vecs{F}=⟨P,Q,R⟩) ein Vektorfeld auf einem offenen, einfach zusammenhängenden Gebiet (D) und (P_y=Q_x), (P_z=R_x) , und (Q_z=R_y) durch (D), dann ist (vecs{F}) konservativ.

Obwohl ein Beweis dieses Theorems den Rahmen des Textes sprengen würde, können wir seine Macht anhand einiger Beispiele entdecken. Später sehen wir, warum es notwendig ist, die Region einfach zu verbinden.

Wenn wir diesen Satz mit der Kreuzpartialeigenschaft kombinieren, können wir bestimmen, ob ein gegebenes Vektorfeld konservativ ist:

Satz: ÜBERGREIFENDE EIGENSCHAFT KONSERVATIVER FELDER

Sei (vecs{F}=⟨P,Q,R⟩) ein Vektorfeld auf einem offenen, einfach zusammenhängenden Gebiet (D). Dann gilt (P_y=Q_x), (P_z=R_x) und (Q_z=R_y) in (D) genau dann, wenn (vecs{F}) konservativ ist.

Die Version dieses Satzes in (ℝ^2) ist ebenfalls wahr. Ist (vecs F(x,y)=⟨P,Q⟩) ein Vektorfeld auf einem offenen, einfach zusammenhängenden Gebiet in (ℝ^2), dann ist (vecs F) konservativ, wenn und nur wenn (P_y=Q_x).

Beispiel (PageIndex{8}): Bestimmen, ob ein Vektorfeld konservativ ist

Bestimmen Sie, ob das Vektorfeld (vecs F(x,y,z)=⟨xy^2z,x^2yz,z^2⟩) konservativ ist.

Lösung

Beachten Sie, dass das Gebiet von (vecs{F}) ganz (ℝ^2) ist und (ℝ^3) einfach zusammenhängend ist. Daher können wir Die Cross-Partial-Eigenschaft konservativer Vektorfelder um zu bestimmen, ob (vecs{F}) konservativ ist. Lassen

[P(x,y,z)=xy^2z onumber]

[Q(x,y,z)=x^2yz onumber]

und

[R(x,y,z)=z^2. onumber]

Da (Q_z(x,y,z)=x^2y) und (R_y(x,y,z)=0) ist, ist das Vektorfeld nicht konservativ.

Beispiel (PageIndex{9}): Bestimmen, ob ein Vektorfeld konservativ ist

Bestimme das Vektorfeld (vecs{F}(x,y)=⟨xln(y), ,dfrac{x^2}{2y}⟩) ist konservativ.

Lösung

Beachten Sie, dass der Bereich von (vecs{F}) der Teil von (ℝ^2) ist, in dem (y>0) ist. Somit ist das Gebiet von (vecs{F}) Teil einer Ebene oberhalb der (x)-Achse, und dieses Gebiet ist einfach zusammenhängend (es gibt keine Löcher in diesem Gebiet und dieses Gebiet ist zusammenhängend). Lassen

[P(x,y)=xln(y) ;; ext{und} ;; Q(x,y)=dfrac{x^2}{2y}. keine Nummer]

Dann ist (P_y(x,y)=dfrac{x}{y}=Q_x(x,y)) und somit (vecs{F}) konservativ.

Übung (PageIndex{8})

Bestimmen Sie, ob (vecs{F}(x,y)=⟨sin xcos y,,cos xsin y⟩) konservativ ist.

Hinweis

Benutzen Die Cross-Partial-Eigenschaft konservativer Vektorfelder aus dem vorherigen Abschnitt.

Antworten

Es ist konservativ.

Beim Benutzen Die Cross-Partial-Eigenschaft konservativer Vektorfelder, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass ein Theorem ein Werkzeug ist und wie jedes Werkzeug nur unter den richtigen Bedingungen angewendet werden kann. Im Falle von Die Cross-Partial-Eigenschaft konservativer Vektorfelder, the theorem can be applied only if the domain of the vector field is simply connected.

To see what can go wrong when misapplying the theorem, consider the vector field from Example (PageIndex{4}):

[vecs F(x,y)=dfrac{y}{x^2+y^2},hat{mathbf i}+dfrac{−x}{x^2+y^2},hat{mathbf j}.]

This vector field satisfies the cross-partial property, since

[dfrac{∂}{∂y}left(dfrac{y}{x^2+y^2} ight)=dfrac{(x^2+y^2)−y(2y)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}]

und

[dfrac{∂}{∂x}left(dfrac{−x}{x^2+y^2} ight)=dfrac{−(x^2+y^2)+x(2x)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}.]

Since (vecs{F}) satisfies the cross-partial property, we might be tempted to conclude that (vecs{F}) is conservative. However, (vecs{F}) is not conservative. To see this, let

[vecs r(t)=⟨cos t,sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the upper half of a unit circle oriented counterclockwise (denote this (C_1)) and let

[vecs s(t)=⟨cos t,−sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the lower half of a unit circle oriented clockwise (denote this (C_2)). Notice that (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint. Since ({sin}^2 t+{cos}^2 t=1),

[vecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t)=⟨sin(t),−cos(t)⟩ cdot ⟨−sin(t), cos(t)⟩=−1]

und

[vecs F(vecs s(t))·vecs s′(t)=⟨−sin t,−cos t⟩·⟨−sin t,−cos t⟩={sin}^2 t+{cos}^2t=1.]

Deshalb,

[int_{C_1} vecs F·dvecs r=int_0^{pi}−1,dt=−pi]

und

[int_{C_2}vecs F·dvecs r=int_0^{pi} 1,dt=pi.]

Thus, (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint, but (int_{C_1} vecs F·dvecs r≠int_{C_2} vecs F·dvecs r). Therefore, (vecs{F}) is not independent of path and (vecs{F}) is not conservative.

To summarize: (vecs{F}) satisfies the cross-partial property and yet (vecs{F}) is not conservative. What went wrong? Does this contradict The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields? The issue is that the domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^2) except for the origin. In other words, the domain of (vecs{F}) has a hole at the origin, and therefore the domain is not simply connected. Since the domain is not simply connected, The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields does not apply to (vecs{F}).

We close this section by looking at an example of the usefulness of the Fundamental Theorem for Line Integrals. Now that we can test whether a vector field is conservative, we can always decide whether the Fundamental Theorem for Line Integrals can be used to calculate a vector line integral. If we are asked to calculate an integral of the form (int_C vecs F·dvecs r), then our first question should be: Is (vecs{F}) conservative? If the answer is yes, then we should find a potential function and use the Fundamental Theorem for Line Integrals to calculate the integral. If the answer is no, then the Fundamental Theorem for Line Integrals cannot help us and we have to use other methods, such as using the method from the previous section (using (vecs F(vecs r(t))) and (vecs r'(t))).

Example (PageIndex{10}): Using the Fundamental Theorem for Line Integrals

Calculate line integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs F(x,y,z)=⟨2xe^yz+e^xz,,x^2e^yz,,x^2e^y+e^x⟩) and (C) is any smooth curve that goes from the origin to ((1,1,1)).

Lösung

Before trying to compute the integral, we need to determine whether (vecs{F}) is conservative and whether the domain of (vecs{F}) is simply connected. The domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^3), which is connected and has no holes. Therefore, the domain of (vecs{F}) is simply connected. Lassen

[P(x,y,z)=2xe^yz+e^xz, ;; Q(x,y,z)=x^2e^yz, ;; ext{and} ;; R(x,y,z)=x^2e^y+e^x onumber]

so that (vecs{F}(x,y,z)=⟨P,Q,R⟩). Since the domain of (vecs{F}) is simply connected, we can check the cross partials to determine whether (vecs{F}) is conservative. Beachten Sie, dass

[egin{align*} P_y(x,y,z) &=2xe^yz=Q_x(x,y,z) [4pt]P_z(x,y,z) &=2xe^y+e^x=R_x(x,y,z) [4pt] Q_z(x,y,z) &=x^2e^y=R_y(x,y,z).end{align*}]

Therefore, (vecs{F}) is conservative.

To evaluate (int_C vecs F·dvecs r) using the Fundamental Theorem for Line Integrals, we need to find a potential function (f) for (vecs{F}). Let (f) be a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f=vecs F), and therefore (f_x(x,y,z)=2xe^yz+e^xz). Integrating this equation with respect to (x) gives (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(y,z)) for some function (h). Differentiating this equation with respect to (y) gives (x^2e^yz+h_y(y,z)=Q(x,y,z)=x^2e^yz), which implies that (h_y(y,z)=0). Therefore, (h) is a function of (z) only, and (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(z)). To find (h), note that (f_z=x^2e^y+e^x+h′(z)=R=x^2e^y+e^x). Therefore, (h′(z)=0) and we can take (h(z)=0). A potential function for (vecs{F}) is (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz).

Now that we have a potential function, we can use the Fundamental Theorem for Line Integrals to evaluate the integral. By the theorem,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C vecs abla f·dvecs r[4pt] &=f(1,1,1)−f(0,0,0)[4pt] &=2e. end{align*}]

Analyse

Notice that if we hadn’t recognized that (vecs{F}) is conservative, we would have had to parameterize (C) and use the method from the previous section. Since curve (C) is unknown, using the Fundamental Theorem for Line Integrals is much simpler.

Übung (PageIndex{9})

Calculate integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs{F}(x,y)=⟨sin xsin y, 5−cos xcos y⟩) and (C) is a semicircle with starting point ((0,pi)) and endpoint ((0,−pi)).

Hint

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

Antworten

(−10pi)

Example (PageIndex{11}): Work Done on a Particle

Let (vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) be a force field. Suppose that a particle begins its motion at the origin and ends its movement at any point in a plane that is not on the (x)-axis or the (y)-axis. Furthermore, the particle’s motion can be modeled with a smooth parameterization. Show that (vecs{F}) does positive work on the particle.

Lösung

We show that (vecs{F}) does positive work on the particle by showing that (vecs{F}) is conservative and then by using the Fundamental Theorem for Line Integrals.

To show that (vecs{F}) is conservative, suppose (f(x,y)) were a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f(x,y)=vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) and therefore (f_x(x,y)=2xy^2) and (f_y(x,y)=2x^2y). The equation (fx(x,y)=2xy^2) implies that (f(x,y)=x^2y^2+h(y)). Deriving both sides with respect to (y) yields (f_y(x,y)=2x^2y+h′(y)). Therefore, (h′(y)=0) and we can take (h(y)=0).

If (f(x,y)=x^2y^2), then note that (vecs abla f(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩=vecs F), and therefore (f) is a potential function for (vecs{F}).

Let ((a,b)) be the point at which the particle stops is motion, and let (C) denote the curve that models the particle’s motion. The work done by (vecs{F}) on the particle is (int_C vecs{F}·dvecs{r}). By the Fundamental Theorem for Line Integrals,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C abla f·dvecs r [4pt] &=f(a,b)−f(0,0)[4pt] &=a^2b^2. end{align*}]

Since (a≠0) and (b≠0), by assumption, (a^2b^2>0). Therefore, (int_C vecs F·dvecs r>0), and (vecs{F}) does positive work on the particle.

Analyse

Notice that this problem would be much more difficult without using the Fundamental Theorem for Line Integrals. To apply the tools we have learned, we would need to give a curve parameterization and use the method from the previous section. Since the path of motion (C) can be as exotic as we wish (as long as it is smooth), it can be very difficult to parameterize the motion of the particle.

Übung (PageIndex{10})

Let (vecs{F}(x,y)=⟨4x^3y^4,4x^4y^3⟩), and suppose that a particle moves from point ((4,4)) to ((1,1)) along any smooth curve. Is the work done by (vecs{F}) on the particle positive, negative, or zero?

Hint

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

Antworten

Negative

Schlüssel Konzepte

  • The theorems in this section require curves that are closed, simple, or both, and regions that are connected or simply connected.
  • The line integral of a conservative vector field can be calculated using the Fundamental Theorem for Line Integrals. This theorem is a generalization of the Fundamental Theorem of Calculus in higher dimensions. Using this theorem usually makes the calculation of the line integral easier.
  • Conservative fields are independent of path. The line integral of a conservative field depends only on the value of the potential function at the endpoints of the domain curve.
  • Given vector field (vecs{F}), we can test whether (vecs{F}) is conservative by using the cross-partial property. If (vecs{F}) has the cross-partial property and the domain is simply connected, then (vecs{F}) is conservative (and thus has a potential function). If (vecs{F}) is conservative, we can find a potential function by using the Problem-Solving Strategy.
  • The circulation of a conservative vector field on a simply connected domain over a closed curve is zero.

Schlüsselgleichungen

  • Fundamental Theorem for Line Integrals
    (displaystyle int_C vecs abla f·dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
  • Circulation of a conservative field over curve C that encloses a simply connected region
    (displaystyle oint_C vecs abla f·dvecs r=0)

Glossar

closed curve
a curve that begins and ends at the same point
connected region
a region in which any two points can be connected by a path with a trace contained entirely inside the region
Fundamental Theorem for Line Integrals
the value of line integral (displaystyle int_Cvecs ∇f⋅dvecs r) depends only on the value of (f) at the endpoints of (C: displaystyle int_C vecs ∇f⋅dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
independence of path
a vector field (vecs{F}) has path independence if (displaystyle int_{C_1} vecs F⋅dvecs r=displaystyle int_{C_2} vecs F⋅dvecs r) for any curves (C_1) and (C_2) in the domain of (vecs{F}) with the same initial points and terminal points
simple curve
a curve that does not cross itself
simply connected region
a region that is connected and has the property that any closed curve that lies entirely inside the region encompasses points that are entirely inside the region


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