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8.2: Vereinfachung radikaler Ausdrücke


Beginnen wir mit dem Vergleich zweier mathematischer Ausdrücke.

[egin{align*} sqrt{9}sqrt{16} &= 3cdot 4 &= 12 end{align*} onumber ]

und

[egin{align*} sqrt{9cdot 16} &= sqrt{144} &= 12 end{align*} onumber]

Beachten Sie, dass sowohl (sqrt{9}sqrt{16}) als auch (sqrt{9cdot 16}) gleich (12) sind. Also (sqrt{9}sqrt{16} = sqrt{9cdot 16}). Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

[egin{align*} sqrt{4}sqrt{9} &= 2cdot 3 &= 6 end{align*} onumber ]

und

[egin{align*} sqrt{4cdot 9} &= sqrt{36} &= 6 end{align*} onumber]

Beachten Sie, dass sowohl (sqrt{4}sqrt{9}) als auch (sqrt{4cdot 9}) gleich (6) sind. Also (sqrt{4}sqrt{9} = sqrt{4cdot 9}). Es scheint sich ein Muster zu bilden, nämlich:

[sqrt{a}sqrt{b} = sqrt{ab} onumber]

Versuchen wir es mit einem Beispiel auf unserem Rechner. Geben Sie zuerst (sqrt{2}sqrt{3}) ein, dann (sqrt{2cdot 3}) (siehe Abbildung (PageIndex{1})). Beachten Sie, dass sie das gleiche Ergebnis liefern. Daher ist (sqrt{2}sqrt{3} = sqrt{2cdot 3})

Die obige Diskussion führt uns zu folgendem Ergebnis.

Multiplikationseigenschaft von Radikalen

Wenn (a ≥ 0) und (b ≥ 0), dann gilt:[sqrt{a}sqrt{b} = sqrt{acdot b} onumber]

Beispiel (PageIndex{1})

Vereinfachen Sie jeden der folgenden Ausdrücke so weit wie möglich:

  1. (sqrt{3} sqrt{11})
  2. (sqrt{12} sqrt{3})
  3. (sqrt{2} sqrt{13})

Lösung

Verwenden Sie in jedem Fall die Eigenschaft (sqrt{a} sqrt{b}=sqrt{a b}). Das heißt, multiplizieren Sie die beiden Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen und platzieren Sie das Produkt unter einer einzelnen Quadratwurzel.

  1. (egin{ausgerichtet} sqrt{3} sqrt{11} &=sqrt{3 cdot 11} &=sqrt{33} end{ausgerichtet})
  2. (egin{ausgerichtet} sqrt{12} sqrt{3} &=sqrt{12 cdot 3} &=sqrt{36} &=6 end{ausgerichtet})
  3. (egin{ausgerichtet} sqrt{2} sqrt{13} &=sqrt{2 cdot 13} &=sqrt{26} end{ausgerichtet})

Übung (PageIndex{1})

Vereinfachen: (sqrt{2} sqrt{8})

Antworten

(4)

Einfache radikale Form

Wir können die Eigenschaft (sqrt{a} sqrt{b}=sqrt{a b}) auch umgekehrt verwenden, um ein perfektes Quadrat herauszurechnen. Beispielsweise:

[egin{array}{rlrl}{sqrt{50}} & {=sqrt{25} sqrt{2}} & {} & color {Red} { ext { Ziehe ein perfektes Quadrat heraus. }} {} & {=5 sqrt{2}} & {} & color {Red} { ext { Vereinfachen: } sqrt{25}=5}end{array} onumber ]

Der Ausdruck (5sqrt{2}) heißt in einfache Radikalform. Wie beim Reduzieren eines Bruchs auf die niedrigsten Terme sollten Sie nach Möglichkeit immer versuchen, ein perfektes Quadrat herauszurechnen.

Einfache radikale Form

Berücksichtigen Sie nach Möglichkeit immer ein perfektes Quadrat.

Beispiel (PageIndex{2})

Setze (sqrt{8}) in einfache Radikalform.

Lösung

Aus (sqrt{8}) können wir ein perfektes Quadrat herausrechnen, in diesem Fall (sqrt{4}).

[egin{array}{rlrl}{sqrt{8}} & {=sqrt{4} sqrt{2}} & {} & color {Red} { ext { Ziehe ein perfektes Quadrat heraus. }} {} & {=2 sqrt{2}} & {} & color {Rot} { ext { Vereinfachen: } sqrt{4}=2}end{array} onumber ]

Übung (PageIndex{2})

Setze (sqrt{12}) in einfache Radikalform.

Antworten

(2sqrt{3})

Manchmal, nachdem Sie ein perfektes Quadrat herausgerechnet haben, können Sie immer noch ein weiteres perfektes Quadrat herausrechnen.

Beispiel (PageIndex{3})

Setze (sqrt{72}) in einfache Radikalform.

Lösung

Aus (sqrt{72}) können wir ein perfektes Quadrat herausrechnen, in diesem Fall (sqrt{9}).

[egin{array}{rlrl}{sqrt{72}} & {=sqrt{9} sqrt{8}} & {} & color {Red} { ext { Ziehe ein perfektes Quadrat heraus. }} {} & {=3 sqrt{8}} & {} & color {Rot} { ext { Vereinfachen: } sqrt{9}=3}end{array} onumber ]

Aus (sqrt{8}) können wir jedoch ein weiteres perfektes Quadrat herausrechnen, in diesem Fall (sqrt{4}).

[egin{array}{ll}{=3 sqrt{4} sqrt{2}} & color {Red} { ext { Ein weiteres perfektes Quadrat herausrechnen. }} {=3 cdot 2 cdot sqrt{2}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen: } sqrt{4}=2} {=6 sqrt{2}} & color {Rot} { ext { Multiplizieren: } 3 cdot 2=6}end{array} onumber ]

Alternative Lösung

Wir können den Prozess vereinfachen, indem wir beachten, dass wir (sqrt{36}) aus (sqrt{72}) herausrechnen können, um den Prozess zu starten.

[egin{array}{rlrl}{sqrt{72}} & {=sqrt{36} sqrt{2}} & {} & color {Red} { ext { Ziehe ein perfektes Quadrat heraus. }} {} & {=6 sqrt{2}} & {} & color {Rot} { ext { Vereinfachen: } sqrt{36}=6}end{array} onumber ]

Obwohl die zweite Lösung effizienter ist, ist die erste Lösung immer noch mathematisch korrekt. Der Punkt, den wir hier ansprechen müssen, ist, dass wir nach Möglichkeit weiterhin ein perfektes Quadrat ausklammern müssen. Unsere Antwort ist nicht in einfacher radikaler Form, bis wir kein perfektes Quadrat mehr herausrechnen können.

Übung (PageIndex{3})

Setze (sqrt{200}) in einfache Radikalform.

Antworten

(10sqrt{2})

Der Satz des Pythagoras

Ein Winkel, der (90) Grad misst, heißt a rechter Winkel. Wenn einer der Winkel eines Dreiecks ein rechter Winkel ist, wird das Dreieck als rechtwinkliges Dreieck bezeichnet. Traditionell markiert man den rechten Winkel mit einem kleinen Quadrat (siehe Abbildung (PageIndex{2})).

Terminologie des rechtwinkligen Dreiecks

  • Die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel direkt gegenüberliegt, wird Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks genannt.
  • Die verbleibenden zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks werden die Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks genannt.

Beweis des Satzes des Pythagoras

Jede Seite des Quadrats in Abbildung (PageIndex{3}) wurde in zwei Segmente unterteilt, eines der Länge (a), das andere der Länge (b).

Wir können die Gesamtfläche des Quadrats berechnen, indem wir eine der Seiten des Quadrats quadrieren.

[egin{array}{ll}{A=(a+b)^{2}} & color {Red} { ext { Eine Seite quadrieren, um die Fläche zu finden. }} {A=a^{2}+2 a b+b^{2}} & color {Red} { ext { Quadrieren eines Binomialmusters. }}end{array} onumber]

Somit ist die Gesamtfläche des Quadrats (A = a^2 +2ab + b^2).

Ein zweiter Ansatz zum Bestimmen der Fläche des Quadrats besteht darin, die Flächen der geometrischen Teile, aus denen das Quadrat besteht, zu summieren. Wir haben vier kongruente rechtwinklige Dreiecke, hellrot schattiert, mit Basis (a) und Höhe (b). Die Fläche jedes dieser Dreiecke ergibt sich aus der Hälfte der Basis mal der Höhe; d.h. die Fläche jedes Dreiecks ist ((1 / 2) a b). Im Inneren haben wir ein kleineres Quadrat mit der Seite (c). Seine Fläche wird gefunden, indem man seine Seite quadriert; d.h. die Fläche des kleineren Quadrats ist (c^2).

Die Gesamtfläche des Quadrats ist die Summe seiner Teile, eines kleineren Quadrats und vier kongruenter Dreiecke. Das ist:

[egin{array}{ll}{A=c^{2}+4left(frac{1}{2} ab ight)} & color {Red} { ext { Addieren der Fläche von das innere Quadrat und die Fläche von vier rechtwinkligen Dreiecken. }} {A=c^{2}+2 ab} & color {Rot} { ext { Vereinfachen: } 4((1 / 2) ab)=2 ab}end{array} onumber ]

Die beiden Ausdrücke (a^2 +2ab+ b^2) und (c^2 +2ab) repräsentieren beide die Gesamtfläche des großen Quadrats. Daher müssen sie einander gleich sein.

[egin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2}=c^{2}+2 ab & quad color {Red} ext { Jede Seite dieser Gleichung repräsentiert die Fläche des großen Platzes. } a^{2}+b^{2}=c^{2} & quad color {Rot} ext { Subtrahiere } 2 a b ext { von beiden Seiten. } end{ausgerichtet} onumber ]

Die letzte Gleichung (a^2 + b^2 = c^2) heißt Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras

Wenn (a) und (b) die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks und (c) seine Hypotenuse sind, dann gilt:

[a^2 + b^2 = c^2 keineZahl ]

Wir sagen: "Die Summe der Quadrate der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat seiner Hypotenuse."

Guter Hinweis: Beachten Sie, dass die Hypotenuse allein auf einer Seite der Gleichung (a^2 + b^2 = c^2) sitzt. Auf der anderen Seite befinden sich die Beine der Hypotenuse.

Wenden wir den Satz des Pythagoras an.

Beispiel (PageIndex{4})

Finden Sie die Länge der fehlenden Seite des unten gezeigten rechtwinkligen Dreiecks.

Lösung

Schreiben Sie zuerst den Satz des Pythagoras auf und setzen Sie dann die angegebenen Werte an den entsprechenden Stellen ein.

[egin{aligned} a^{2}+b^{2}=c^{2} & color {Red} ext { Satz des Pythagoras. } (4)^{2}+(3)^{2}=c^{2} & color {Rot} ext { Ersatz: } 4 ext { für } a, 3 ext { für } b 16+9=c^{2} & color {Rot} ext { Quadrat: }(4)^{2}=16,(3)^{2}=9 25=c^{ 2} & color {Rot} ext { Add: } 16+9=25 end{aligned} onumber ]

Die Gleichung (c^2 = 25) hat zwei reelle Lösungen, (c = −5) und (c = 5). In dieser Situation stellt (c) jedoch die Länge der Hypotenuse dar und muss eine positive Zahl sein. Daher:

[c=5 quad color {Rot} ext { Nichtnegative Quadratwurzel. } keine Nummer ]

Somit ist die Länge der Hypotenuse (5).

Übung (PageIndex{4})

Finden Sie die fehlende Seite des unten gezeigten rechten Dreiecks.

Antworten

(13)

Beispiel (PageIndex{5})

Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse der Länge (8). Finden Sie die Längen der Beine.

Lösung

Im Allgemeinen ist ein gleichschenkliges Dreieck ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten. In diesem Fall hat ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck zwei gleiche Schenkel. Wir lassen (x) die Länge jedes Beins darstellen.

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, indem Sie (x) für jedes Bein und (8) für die Hypotenuse einsetzen.

[egin{array}{rlrl}{a^{2}+b^{2}} & {=c^{2}} & {} & color {Red} { ext { Satz des Pythagoras. }} {x^{2}+x^{2}} & {=8^{2}} & {} & color {Red} { ext { Ersatz: } x ext { for } a, x ext { for } b, 8 ext { for } c .} {2 x^{2}} & {=64} & {} & color {Red} { ext { Kombiniere ähnliche Begriffe: } x+x=2 x} {x^{2}} & {=32} & {} & color {Red} { ext { Dividiere beide Seiten durch } 2}end{array} onumber ]

Die Gleichung (x^2 = 32) hat zwei reelle Lösungen, (x=-sqrt{32}) und (x=sqrt{32}). In dieser Situation stellt (x) jedoch die Länge jedes Beins dar und muss eine positive Zahl sein. Daher:

[x=sqrt{32} quad color {Red} ext { Nichtnegative Quadratwurzel. } keine Nummer ]

Denken Sie daran, dass Ihre endgültige Antwort in einfacher radikaler Form sein muss. Wir müssen, wenn möglich, ein perfektes Quadrat ausrechnen.

[egin{array}{ll}{x=sqrt{16} sqrt{2}} & color {Red} { ext { Ziehe ein perfektes Quadrat heraus. }} {x=4 sqrt{2}} & color {Red} { ext { Vereinfachen: } sqrt{16}=4}end{array} onumber ]

Somit ist die Länge jedes Beins (4sqrt{2}).

Übung (PageIndex{5})

Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse der Länge (10). Finden Sie die Längen der Beine.

Antworten

Jedes Bein hat die Länge (5sqrt{2})

Anwendungen

Versuchen wir es mit einer Wortaufgabe.

Beispiel (PageIndex{6})

An der Garagenwand lehnt eine 20 Meter lange Leiter. Wenn die Basis der Leiter (8) Fuß von der Garagenwand entfernt ist, wie hoch reicht die Leiter dann an der Garagenwand? Finden Sie eine genaue Antwort und verwenden Sie dann Ihren Taschenrechner, um Ihre Antwort auf das nächste Zehntel eines Fußes zu runden.

Lösung

Wir halten uns wie immer an die Anforderungen an Word-Problemlösungen.

  1. Richten Sie ein Variablenwörterbuch ein. Zu diesem Zweck erstellen wir ein gut markiertes Diagramm, wobei (h) den Abstand zwischen dem Fuß der Garagenwand und der oberen Spitze der Leiter darstellt.

  1. Stelle eine Gleichung auf. Mit dem Satz des Pythagoras können wir schreiben:[egin{array}{ll}{8^{2}+h^{2}=20^{2}} & color {Red} { ext { Satz des Pythagoras . }} {64+h^{2}=400} & color {Rot} { ext { Quadrat: } 8^{2}=64 ext { und } 20^{2}=400}end {Array} onumber]
  2. Löse die Gleichung.[egin{array}{ll}{h^{2}=336} & color {Red} { ext { Subtrahiere } 64 ext { von beiden Seiten. }} {h=sqrt{336}} & color {Red} {h ext { wird die nichtnegative Quadratwurzel sein. }} {h=sqrt{16} sqrt{21}} & color {Red} { ext { Ziehe ein perfektes Quadrat heraus. }} {h=4 sqrt{21}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen: } sqrt{16}=4}end{array} onumber ]
  3. Beantworte die Frage. Die Leiter reicht (4 sqrt{21}) Fuß die Wand hinauf. Mit einem Taschenrechner sind dies ungefähr (18,3) Fuß, gerundet auf das nächste Zehntel Fuß.
  4. Zurückschauen. Verstehen Sie, dass, wenn wir (18.3) ft, eine Näherung, verwenden, unsere Lösung nur näherungsweise prüft.

Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras: [egin{array}{r}{8^{2}+18.3^{2} stackrel{?}{=} 20^{2}} {64+334.89 stackrel{ ?}{=} 400} {398.89 stackrel{?}{=} 400}end{array} onumber ]Die Näherung ist nicht perfekt, aber sie scheint nahe genug zu sein, um diese Lösung zu akzeptieren.

Übung (PageIndex{6})

An einer Wand lehnt eine Leiter (15) Fuß lang. Wenn der Fuß der Leiter (6) Fuß von der Wand entfernt ist, wie hoch reicht die Leiter dann an der Wand? Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um Ihre Antwort auf das nächste Zehntel eines Fußes zu runden.

Antworten

(13,7) Fuß.


EINFACHE RADIKALISCHE AUSDRÜCKE: GEMISCHTE REVIEW

Zerlegen Sie 117 und 52 durch synthetische Division in Primfaktoren.

Den obigen radikalen Ausdruck zu vereinfachen ist nichts anderes als den Nenner zu rationalisieren. 

Also, rationalisiere den Nenner. 

Hier ist der Nenner 2 +  √5. 

Im gegebenen Bruch multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der Konjugierten von   2 +  5. Das ist   2 -  √5.

Den obigen radikalen Ausdruck zu vereinfachen ist nichts anderes als den Nenner zu rationalisieren. 

Also, rationalisiere den Nenner. 

Hier ist der Nenner   √3. 

Im gegebenen Bruch multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit   √3.

Um die beiden obigen Brüche zu addieren, machen Sie die Nenner gleich. 

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von   √2 und   √5 ist  

Um den Nenner auf der rechten Seite zu rationalisieren, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit   √10.

Den obigen radikalen Ausdruck zu vereinfachen ist nichts anderes als den Nenner zu rationalisieren. 

Also, rationalisiere den Nenner. 

Hier ist der Nenner 6 -  √5. 

Im gegebenen Bruch multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der Konjugierten von 6  -  5. Das ist 6  +  √5.

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Arbeiten mit Radikalen

Das Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl erfordert, dass wir Zahlen zerlegen oder faktorisieren. Wir müssen herausfinden, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden kann, um die Zahl zu erhalten, die wir haben.

Wenn wir zum Beispiel aufgefordert würden, `sqrt16` zu finden, würde uns wahrscheinlich der Gedanke `16 = 4^2 = 4*4` in den Sinn kommen. Hey, jetzt haben wir gerade `16` in `4*4` eingerechnet.

Factoring ist die Wurzel der Vereinfachung radikaler Ausdrücke. Wenn wir Exponenten als wiederholte Multiplikation verstehen, können wir ebenso über Radikale und Wurzeln nachdenken, obwohl die Art und Weise, wie wir über die wiederholte Multiplikation unter dem Radikalzeichen denken, etwas anders sein kann, als wir es gewohnt sind.

Lassen Sie uns diese Idee des Faktorisierens untersuchen, indem Sie den radikalen Ausdruck `root(3)(125)` verwenden. Wir können dies lesen als &ldquot;dritte Wurzel von `125` &rdquo oder &ldquot; Kubikwurzel von `125` .&rdquo Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, suchen wir nach einer Zahl, die, wenn sie mit sich selbst zweimal multipliziert wird (für insgesamt drei identische Faktoren) ), entspricht `125`. Lassen Sie uns '125' faktorisieren und sehen Sie, ob wir diese Zahl finden können.


VEREINFACHUNG VON RADIKALEN

Die Idee hier ist, einen perfekten Quadratfaktor des Radikands zu finden, den Radikand als Produkt zu schreiben und dann die Produkteigenschaft zur Vereinfachung zu verwenden.

9 ist ein perfektes Quadrat, das ebenfalls einen Faktor von 45 hat.

Wenn die Zahl unter dem Radikal keine perfekten Quadratfaktoren hat, kann sie nicht weiter vereinfacht werden. Zum Beispiel kann die Zahl 17 nicht weiter vereinfacht werden, weil die einzigen Faktoren von 17 oder 17 und 1 sind. Es gibt also keine anderen perfekten Quadratfaktoren als 1 .

Verwenden Sie die Quotienteneigenschaft, um unter ein einzelnes Quadratwurzelzeichen zu schreiben.

Ein Ausdruck gilt nur dann als vereinfacht, wenn im Nenner kein Wurzelzeichen vorhanden ist. Wenn wir ein Radikalzeichen haben, müssen wir den Nenner rationalisieren. Dies wird erreicht, indem Zähler und Nenner mit dem Rest im Nenner multipliziert werden. Beachten Sie, dass wir hier nur mit einer Sonderform von 1 multiplizieren, sodass der Wert des Ausdrucks nicht geändert wird.

Manchmal müssen wir eine Kombination von Schritten verwenden.

21 und 9 haben einen gemeinsamen Faktor von 3, also reduzieren Sie den Anteil unter dem Radikal.

Jetzt rationalisieren Sie den Nenner.

Wir können nur zwei radikale Ausdrücke addieren oder subtrahieren, wenn die Radikanden gleich sind. 17 + 13 können beispielsweise nicht weiter vereinfacht werden. Aber wir können 5 2 + 3 2 vereinfachen, indem wir die Verteilungseigenschaft verwenden, weil die Radikanden gleich sind.

Achtung! Manchmal sehen die Radikanden anders aus, aber es ist möglich, zu vereinfachen und denselben Radikand zu erhalten.


Fragen

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-8-2/”>Answer Key 8.2


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8.2: Vereinfachung radikaler Ausdrücke

Hier zeigen wir Ihnen Schritt für Schritt, wie Sie die Quadratwurzel aus 20 vereinfachen. Die Quadratwurzel aus 20 lässt sich wie folgt schreiben:

20

Das √-Symbol wird als Radikalzeichen bezeichnet. Die Quadratwurzel von 20 zu vereinfachen bedeutet, die einfachste radikale Form von 󕈼 zu erhalten.

Schritt 1: Faktoren auflisten
Listen Sie die Faktoren von 20 wie folgt auf:

Schritt 2: Finden Sie perfekte Quadrate
Identifiziere die perfekten Quadrate* aus der Liste der Faktoren oben:

Schritt 3: Teilen
Teilen Sie 20 durch das größte perfekte Quadrat, das Sie im vorherigen Schritt gefunden haben:

Schritt 4: Berechnen
Berechnen Sie die Quadratwurzel des größten perfekten Quadrats:

Schritt 5: Antwort erhalten
Setzen Sie die Schritte 3 und 4 zusammen, um die Quadratwurzel von 20 in ihrer einfachsten Form zu erhalten:

2 5

Quadratwurzel-Rechner vereinfachen
Bitte geben Sie zur Vereinfachung eine andere Quadratwurzel ein:

Dezimalform
Quadratwurzel von 20 in Dezimalform, gerundet auf die nächsten 5 Dezimalstellen:

Exponentenform
Quadratwurzel von 20 geschrieben mit Exponent anstelle von Radical:

Vereinfachen Sie die Quadratwurzel von 21
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Quadratwurzeln und radikale Ausdrücke

In diesem Kapitel lernen wir, wie man mit radikalen Ausdrücken wie Quadrat . arbeitet
Wurzeln. Ein guter Hintergrund in dieser Art von Algebra wird uns sehr helfen, da wir
Arbeiten Sie mit der Lösung von Polynomgleichungen, die nicht faktorisiert werden können. Wir werden lernen
wie das geht in Kapitel 9.

Im Allgemeinen hat die Quadratwurzel jeder positiven Zahl zwei Lösungen: eine positive
Lösung und eine negative Lösung. Aber wenn ein radikaler Ausdruck konventionell ist
von selbst präsentiert (das ist nicht Teil einer Gleichung), dann nehmen wir nur das Positive
Lösung und verwerfen Sie die negative Lösung. Diese positive Antwort heißt die
‘Prinzipwert’. Der Grund, warum dies getan wird, hängt mit der Mathematik von . zusammen
Funktionen und wird in diesem Kurs nicht behandelt. Auf der anderen Seite, wenn Radikale
als Teil einer Gleichung dargestellt, dann kann es zwei Lösungen geben.

A. Eine Quadratwurzel: Die Quadratwurzel einer Zahl “x” ist eine Zahl “y” such
dass y 2 = x . Einige Beispiele für Quadratwurzeln sind wie folgt:

B. Radikale Ausdrücke: Ein radikaler Ausdruck ist ein algebraischer Ausdruck, der
enthält mindestens ein Radikalzeichen. Einige Beispiele sind wie folgt:

Beachten Sie, dass der Ausdruck unter dem Radikal als “radicand” . bezeichnet wird

C. Irrationale Zahlen: Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht
geschrieben als Brüche mit ganzen Zahlen im Zähler und Nenner, oder
Dezimalstellen, die enden oder sich wiederholen. Einer der berühmtesten irrationalen
Zahlen ist “π ”. “Pi” ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem
Durchmesser. In diesem Kapitel werden die meisten irrationalen Zahlen kommen
quer werden Quadratwurzeln von Zahlen sein, die keine perfekten Quadrate sind.
Identifizieren Sie die folgenden als rationale oder irrationale Zahlen.

D. Quadratwurzeln und “Absoluter Wert”:
Kopieren Sie für jede reelle Zahl “A” ein Beispiel aus Ihrem
Ausbilder, der veranschaulicht, warum bei diesem Typ der absolute Wert verwendet werden muss
der Situation:

E. Vereinfachen rationaler Ausdrücke, die Variablen enthalten: Arbeiten Sie die
folgende Beispiele: Angenommen, alle Variablen repräsentieren nicht negative Werte.

F. Ungefähre Quadratwurzeln, die irrational sind: (Verwenden Sie Ihre Taschenrechner, um
Geben Sie eine Annäherung an die folgenden Quadratwurzeln, die nicht rational sind.
Runden Sie jeweils auf das nächste Hundertstel)

Hinweis: Bitte verstehen Sie den Unterschied zwischen der Vereinfachung eines Quadrats
Wurzel und Approximation einer Quadratwurzel. Was du gerade in den drei gemacht hast
Probleme oben war Annäherung, nicht Vereinfachung!

Abschnitt 8.2: Radikale Ausdrücke multiplizieren und vereinfachen

Nicht alle Quadratwurzeln sind Quadratwurzeln für perfekte Quadrate, wie Sie im letzten gesehen haben
Sektion. In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie Sie nicht perfekte Quadratwurzeln vereinfachen können
ohne sie anzunähern.

A. Quadratwurzeln multiplizieren: Die folgende Regel gilt für die Multiplikation
Quadratwurzeln.

(Beachten Sie, dass auch das Gegenteil der Fall ist)
(Diese Regeln werden uns gute Dienste leisten)

B. Multiplizieren Sie die folgenden Quadratwurzeln, aber vereinfachen Sie zu diesem Zeitpunkt nicht:

C. Einen Radikalausdruck vereinfachen: Wenn Sie einen Radikalausdruck vereinfachen möchten
das kein perfektes Quadrat ist, werden Sie es in ein spezielles Produkt einbeziehen.
Zeichnen Sie auf, was Ihr Lehrer Ihnen über diese wichtige Fähigkeit zeigt.

D. Vereinfachen Sie die folgenden Beispiele:

E. Multiplizieren Sie die folgenden radikalen Ausdrücke und vereinfachen Sie dann:

Abschnitt 8.3: Quotienten mit Quadratwurzeln

A. Wir haben bereits in den Abschnitten 8.1 und 8.2 gelernt, wie man Radikale vereinfacht. In diesem
Abschnitt lernen wir, wie man Radikale aus dem Nenner von a . entfernt
Fraktion.

1. Das Entfernen des Radikals vom Nenner macht manchmal das
Ausdruck leichter zu bewerten.

b. Rationalisieren Sie den Nenner: (Das bedeutet, dass wir die
Radikal oder irrationale Zahl aus dem Nenner des Bruchs).

c. Schätzen Sie nun das Ergebnis aus “b” oben:

B. Die Quotientenregel für Quadratwurzeln:

Auch das Gegenteil davon ist richtig:

Wir werden diese Regeln verwenden, um radikale Ausdrücke zu vereinfachen, die expression
Quotienten einbeziehen: Arbeiten Sie die folgenden Beispiele durch, um herauszufinden, wie.

D. Rationalisieren Sie den Nenner oder vereinfachen Sie jeden der folgenden Ausdrücke.

Abschnitt 8.4: Weitere Operationen mit Radikalen

Das Hinzufügen von radikalen Ausdrücken ist dem Hinzufügen von “ähnlichen Ausdrücken” in Polynomen sehr ähnlich.

A. Einige Beispiele für polynomielle Addition und Subtraktion:

1. (2x 2 + 3x – 5) + (7x 2 – 6x + 11) =

2. (3x 3 – 7x 2 + 5x – 7) – (6x 2 – 5x + 4) =

B. Einige Beispiele für das Hinzufügen von radikalen Ausdrücken. In diesen Beispielen
Radikale werden wie eine Variable (z. B. x oder y) behandelt, weil sie nicht
weiter vereinfacht werden.

Also, genauso wie 3x + 5x = 8x dann

C. Einige Beispiele, die etwas komplizierter sind. Um diese Probleme zu lösen, haben wir
müssen die radialen Ausdrücke vereinfachen.

D. Weitere Beispiele, die Multiplikation beinhalten:
Multiplizieren Sie die folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie, wenn möglich:

Abschnitt 8.5: Radikale Gleichungen

In diesem Abschnitt lernen wir, wie man Gleichungen löst, die Radical . beinhalten
Ausdrücke mit Quadratwurzeln. Wir werden dies erreichen, indem wir eine Technik anwenden
das beinhaltet die Quadratur beider Seiten der Gleichung, mit der wir arbeiten.
Allerdings müssen wir bei diesem Prozess besonders vorsichtig sein, weil wir manchmal
kommen zu Lösungen, die in unserer ursprünglichen Gleichung nicht funktionieren. Beachte das Folgende
Abbildung, um zu sehen, was oft passieren kann:

1. Nehmen Sie die folgende Gleichung: x = 5
2. Quadriere beide Seiten dieser Gleichung: _________________
3. Lösen Sie diese neue Gleichung: _________________________
4. Wie viele Lösungen hatte die ursprüngliche Gleichung?
5. Wie viele Lösungen hatte die neue Gleichung, nachdem wir beide quadriert hatten
Seiten der Gleichung?
6. Was ist passiert?

Offensichtlich kann das Quadrieren dazu führen, dass ‘lustige’ Dinge mit einer Antwort passieren.

A. Lösen Sie die folgenden Gleichungen und denken Sie daran, Ihre Ergebnisse auf zu überprüfen
“Externe” Lösungen. Bevor wir wirklich etwas lösen, werfen wir einen Blick darauf
diese Probleme und identifizieren Sie die Probleme, bei denen wahrscheinlich zwei Antworten auftreten
erscheinen.

Identifizieren Sie die folgenden Probleme, die möglicherweise zwei Antworten haben_____________

Abschnitt 8.6: Anwendungen mit rechtwinkligen Dreiecken

In diesem Abschnitt werden wir den “Pythagoräischen Satz” verwenden, um Probleme zu lösen, die
mit rechtwinkligen Dreiecken.

A. Bestimmen Sie Folgendes für das gegebene rechtwinklige Dreieck:
1. Beine
2. Hypotenuse
3. Rechter Winkel

B. Notieren Sie die Formel für den Satz des Pythagoras unten:

C. FÜHREN SIE DIESE PROBLEME AUS:
1. Ermitteln Sie die Länge der dritten Seite (x). Wenn die Antwort keine ganze Zahl ist, verwenden Sie
radikale Notation.

Bestimmen Sie für jedes der beiden folgenden Probleme in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge der Seite
nicht gegeben.

4. MAUERWERK. Bestimmen Sie die Länge einer Diagonale einer quadratischen Fliese mit 4 cm Seitenlänge.

5. Wie lang muss ein Abspannseil sein, um von der Spitze eines 13-m-Telefonmastes zu reichen?
zu einem Punkt auf dem Boden 9 m vom Fuß der Stange entfernt.

6. Ein Fußballfeld ist 100 Meter lang und 50 Meter breit. Wie lang ist der
Diagonale?


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