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3.7E: Übungen - Mathematik


Übung (PageIndex{1})

Im Übungen 1-17 Bestimmen Sie die exakten Gleichungen und lösen Sie sie.

1. (6x^2y^2,dx+4x^3y,dy=0)

2. ((3ycos x+4xe^x+2x^2e^x),dx+(3sin x+3),dy=0)

3. (14x^2y^3,dx+21 x^2y^2,dy=0)

4. ((2x-2y^2),dx+(12y^2-4xy),dy=0)

5. ((x+y)^2,dx+(x+y)^2,dy=0)

6. ((4x+7y),dx+(3x+4y),dy=0)

7. ((-2y^2sin x+3y^3-2x),dx+(4ycos x+9xy^2),dy=0)

8. ((2x+y),dx+(2y+2x),dy=0)

9. ((3x^2+2xy+4y^2),dx+(x^2+8xy+18y),dy=0)

10. ((2x^2+8xy+y^2),dx+(2x^2+xy^3/3),dy=0)

11. ( {left({1over x}+2x ight),dx+ left({1over y}+2y ight),dy=0})

12. ((ysin xy+xy^2cos xy),dx+(xsin xy+xy^2cos xy),dy=0)

13. ( {{x,dxover(x^2+y^2)^{3/2}}+{y,dy over(x^2+y^2)^{3/2 }}=0})

14. (left(e^x(x^2y^2+2xy^2)+6x ight),dx+(2x^2ye^x+2),dy=0)

15. (left(x^2e^{x^2+y}(2x^2+3)+4x ight),dx+(x^3e^{x^2+y}-12y^2) ,dy=0)

16. (left(e^{xy}(x^4y+4x^3)+3y ight),dx+(x^5e^{xy}+3x),dy=0)

17. ((3x^2cos xy-x^3ysin xy+4x),dx+(8y-x^4sin xy),dy=0)

Übung (PageIndex{2})

Im Übungen 18-22 das Anfangswertproblem lösen.

18. ((4x^3y^2-6x^2y-2x-3),dx+(2x^4y-2x^3),dy=0,quad y(1)=3)

19. ((-4ycos x+4sin xcos x+sec^2x),dx+ (4y-4sin x),dy=0,quad y(pi/4)= 0)

20. ((y^3-1)e^x,dx+3y^2(e^x+1),dy=0,quad y(0)=0)

21. ((sin x-ysin x-2cos x),dx+cos x,dy=0,quad y(0)=1)

22. ((2x-1)(y-1),dx+(x+2)(x-3),dy=0,quad y(1)=-1)

Übung (PageIndex{3})

23. Lösen Sie die exakte Gleichung [(7x+4y),dx+(4x+3y),dy=0. onumber] Zeichnen Sie ein Richtungsfeld und einige Integralkurven für diese Gleichung auf dem Rechteck [{- 1le xle1,-1le yle1}. onumber]

24. Löse die exakte Gleichung [e^x(x^4y^2+4x^3y^2+1),dx+(2x^4ye^x+2y),dy=0. onumber] Plot a Richtungsfeld und einige Integralkurven für diese Gleichung auf dem Rechteck [{-2le xle2,-1le yle1}. onumber]

25. Zeichnen Sie ein Richtungsfeld und einige Integralkurven für die exakte Gleichung [(x^3y^4+x),dx+(x^4y^3+y),dy=0 onumber] auf das Rechteck ({-1le xle 1,-1le yle1}). (Sehen Aufgabe 3.5.37(a)).

26. Zeichnen Sie ein Richtungsfeld und einige Integralkurven für die exakte Gleichung [(3x^2+2y),dx+(2y+2x),dy=0 onumber] auf das Rechteck ({-2 le xle 2,-2le yle2}). (Siehe EÜbung 3.5.37(b)).

27.

  1. Löse die exakte Gleichung [(x^3y^4+2x),dx+(x^4y^3+3y),dy=0 ag{A} ] implizit.
  2. Für welche Wahlmöglichkeiten von ((x_0,y_0)) impliziert Satz 2.3.1, dass das Anfangswertproblem [(x^3y^4+2x),dx+(x^4y^3+3y),dy =0,quad y(x_0)=y_0, ag{B}] hat eine eindeutige Lösung auf einem offenen Intervall ((a,b)), das (x_0) enthält?
  3. Zeichnen Sie ein Richtungsfeld und einige Integralkurven für (A) auf einem rechteckigen Bereich, der im Ursprung zentriert ist. Welches Gültigkeitsintervall hat die Lösung von (B)?

28.

  1. Löse die exakte Gleichung [(x^2+y^2),dx+2xy,dy=0 ag{A} ] implizit.
  2. Für welche Wahlmöglichkeiten von ((x_0,y_0)) impliziert Satz 2.3.1, dass das Anfangswertproblem [(x^2+y^2),dx+2xy,dy=0,quad y( x_0)=y_0, ag{B} ] hat eine eindeutige Lösung (y=y(x)) auf einem offenen Intervall ((a,b)), das (x_0) enthält?
  3. Zeichnen Sie ein Richtungsfeld und einige Integralkurven für (A). Bestimmen Sie aus dem Diagramm das Intervall ((a,b)) von b, die Monotonieeigenschaften (falls vorhanden) der Lösung von (B) und (lim_{x o a+}y(x) ) und (lim_{x o b-}y(x)).

29. Finden Sie alle Funktionen (M) so dass die Gleichung exakt ist.

  1. (M(x,y),dx+(x^2-y^2),dy=0)
  2. (M(x,y),dx+2xysin xcos y,dy=0)
  3. (M(x,y),dx+(e^x-e^ysin x),dy=0)

30. Finden Sie alle Funktionen (N) so dass die Gleichung exakt ist.

  1. ((x^3y^2+2xy+3y^2),dx+N(x,y),dy=0)
  2. ((ln xy+2ysinx),dx+N(x,y),dy=0)
  3. ((xsin x+ysin y),dx+N(x,y),dy=0)

31. Angenommen (M,N,) und ihre partiellen Ableitungen sind auf einem offenen Rechteck (R) stetig und (G) ist eine Stammfunktion von (M) nach (x) ; dh [{partial Goverpartial x}=M. onumber] Zeigen Sie, dass für (M_y e N_x) in (R) die Funktion [N-{partial G overpartial y} onumber] ist nicht unabhängig von (x).

32. Beweisen Sie: Falls die Gleichungen (M_1,dx+N_1,dy=0) und (M_2, dx+N_2,dy=0) exakt auf einem offenen Rechteck (R) sind, ebenso die Gleichung [(M_1+M_2),dx+(N_1+N_2),dy=0. onumber]

33. Finden Sie Bedingungen für die Konstanten (A), (B), (C) und (D), so dass die Gleichung [(Ax+By),dx+(Cx+Dy) ,dy=0 onumber ] ist genau.

34. Finden Sie Bedingungen für die Konstanten (A), (B), (C), (D), (E) und (F), so dass die Gleichung [( Ax^2+Bxy+Cy^2),dx+(Dx^2+Exy+Fy^2),dy=0keine Zahl ] ist genau.

35. Angenommen (M) und (N) sind stetig und haben stetige partielle Ableitungen (M_y) und (N_x), die die Genauigkeitsbedingung (M_y=N_x) auf einem offenen Rechteck ( R). Zeigen Sie, dass wenn ((x,y)) in (R) ist und [F(x,y)=int^x_{x_0}M(s,y_0),ds+int^y_{ y_0}N(x,t),dt, onumber] dann (F_x=M) und (F_y=N).

36. Unter den Annahmen von Übung 2.5.35, zeige, dass [F(x,y)=int^y_{y_0}N(x_0,s),ds+int^x_{x_0}M(t,y),dt. onumber]

37. Verwenden Sie die von . vorgeschlagene Methode Übung 2.5.35, mit ((x_0,y_0)=(0,0)), um die genauen Gleichungen zu lösen:

  1. ((x^3y^4+x),dx+(x^4y^3+y),dy=0)
  2. ((x^2+y^2),dx+2xy,dy=0)
  3. ((3x^2+2y),dx+(2y+2x),dy=0)

38. Löse das Anfangswertproblem [y'+{2over x}y=-{2xyover x^2+2x^2y+1},quad y(1)=-2. onumber]

39. Löse das Anfangswertproblem [y'-{3over x}y={2x^4(4x^3-3y)over3x^5+3x^3+2y},quad y(1)= 1.keineZahl ]

40. Löse das Anfangswertproblem [y'+2xy=-e^{-x^2}left({3x+2ye^{x^2}over2x+3ye^{x^2}} ight) ,quad y(0)=-1. onumber]

41. Schreiben Sie die trennbare Gleichung [h(y)y'=g(x) ag{A}] in eine exakte Gleichung [M(x,y),dx+N(x,y) um, dy=0. ag{B} ] Zeigen Sie, dass die Anwendung der Methode dieses Abschnitts auf (B) die gleichen Lösungen liefert, die man erhalten würde, wenn die Methode der Trennung von Variablen auf (A) angewendet würde

42. Angenommen, alle zweiten partiellen Ableitungen von (M=M(x,y)) und (N=N(x,y)) seien stetig und (M,dx+N,dy=0 ) und (-N,dx+M,dy=0) sind auf einem offenen Rechteck (R) exakt. Zeigen Sie, dass (M_{xx}+M_{yy}=N_{xx}+N_{yy}=0) auf (R) gilt.

43. Angenommen, alle zweiten partiellen Ableitungen von (F=F(x,y)) seien stetig und (F_{xx}+F_{yy}=0) auf einem offenen Rechteck (R). (Eine Funktion mit diesen Eigenschaften heißt harmonisch; siehe auch Übung 2.5.42.) Zeigen Sie, dass (-F_y,dx+F_x,dy=0) auf (R) exakt ist, und deshalb gibt es eine Funktion (G) mit (G_x=-F_y) und (G_y=F_x) in (R). (Eine Funktion (G) mit dieser Eigenschaft heißt a harmonisch konjugiert aus).)

44. Überprüfen Sie, ob die folgenden Funktionen harmonisch sind, und finden Sie alle ihre harmonischen Konjugierten. (Sehen Übung 3.5.43.)

  1. (x^2-y^2)
  2. (e^xcosy)
  3. (x^3-3xy^2)
  4. (cos xcosh y)
  5. (sin xcosh y)

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Leitender Statistiker bei der USC Kinderdatennetzwerk, Autor von vier Stata Press-Büchern und ehemaliger UCLA-Statistikberater, der die UCLA Statistical Consulting Resources-Website.

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Kommentar von der Stata-Technikergruppe

Die siebte Ausgabe von Jeffrey Wooldridges Lehrbuch Einführung in die Ökonometrie: Ein moderner Ansatz wird seinem Untertitel in der Themenwahl und der Behandlung von Standardmaterial gerecht.

Wooldridge erkennt an, dass die moderne Ökonometrie viel mehr umfasst als gewöhnliche kleinste Quadrate (OLS) mit einigen Erweiterungen, um die Spezialfälle zu behandeln, die häufig in ökonometrischen Daten vorkommen. Neben Kapiteln zu OLS enthält er Kapitel zu aktuellen Schätz- und Inferenztechniken für Zeitreihendaten, Paneldaten, begrenzte abhängige Variablen und Stichprobenauswahl.

In seinen Behandlungen von OLS und zweistufigen kleinsten Quadraten betritt Wooldridge Neuland, indem er sich auf fortschrittliche statistische Konzepte anstelle von Matrixalgebra konzentriert. Ein traditioneller Ansatz zur Einführung in die Ökonometrie würde fortgeschrittene Abschnitte verwenden, um die Matrixalgebra und ihre Anwendungen in der Ökonometrie zu erklären. Im Gegensatz dazu verwendet Wooldridge die fortgeschrittenen Abschnitte seines Textes, um neu entwickelte statistische Konzepte und Techniken vorzustellen. Dieser Ansatz führt zu einem Text mit einer größeren Breite, als dies bei Büchern dieser Art üblich ist. Dieses Buch eignet sich gleichermaßen für ein weiterführendes grundständiges Studium, als Grundlage eines Erhebungskurses auf Graduiertenebene oder als konzeptionelle Ergänzung zu weiterführenden Lehrveranstaltungen.

Die siebte Auflage führt diskrete Kovariaten und den modernen Ansatz mit Potenzial-Ergebnis-Ansatz für kausale Inferenz früher und leichter zugänglich in den neuen Abschnitten 2.7, 3.7 und 4.7 sowie im verbesserten Abschnitt 7.6 ein. Die neuen Unterabschnitte 13.2(a) und 13.2(b) erläutern klar den Differenz-in-Differenzen-Ansatz für kausale Inferenz. Das Ergebnis ist, dass ein ausgezeichnetes Einführungsbuch noch besser gemacht wurde.


Englisch 3 Texas-Standards

(1) The English Language Arts and Reading Texas Essential Knowledge and Skills (TEKS) sind in die folgenden Stränge gegliedert: Lesen, bei dem die Schüler eine Vielzahl von literarischen und informativen Texten lesen und verstehen Schreiben, bei denen die Schüler eine Vielzahl von schriftlichen Texten mit eine klare Kontrollidee, kohärente Organisation und ausreichende Details Forschung, bei der von den Schülern erwartet wird, eine Reihe relevanter Quellen zu finden und Ideen und Informationen auszuwerten, zu synthetisieren und zu präsentieren Hören und Sprechen, bei denen die Schüler zuhören und auf die Ideen von andere, während sie ihre eigenen Ideen in Gesprächen und in Gruppen sowie in mündlichen und schriftlichen Konventionen einbringen, in denen die Schüler lernen, die mündlichen und schriftlichen Konventionen der englischen Sprache in Wort und Schrift anzuwenden. Die Standards sind kumulativ – die Schüler werden bei Bedarf weiterhin frühere Standards ansprechen, während sie sich um die Standards für ihre Note kümmern. In Englisch III werden die Schüler an Aktivitäten teilnehmen, die auf ihren Vorkenntnissen und Fähigkeiten aufbauen, um ihre Lese-, Schreib- und mündlichen Sprachfähigkeiten zu stärken. Die Schüler sollen täglich lesen und schreiben.

Englischlerner:

(2) Bei Studierenden, deren Erstsprache nicht Englisch ist, dient die Muttersprache der Studierenden als Grundlage für den englischen Spracherwerb.

(A) Englischlerner (ELLs) erwerben Englisch, lernen Inhalte auf Englisch und lernen gleichzeitig lesen. Aus diesem Grund ist es unerlässlich, dass der Leseunterricht umfassend ist und dass den Schülern Phonembewusstsein, Phonik, Decodierung und Wortangriffsfähigkeiten vermittelt werden, während gleichzeitig akademischer Wortschatz sowie Verständnisfähigkeiten und -strategien vermittelt werden. Leseanweisungen, die die Fähigkeit von ELL verbessern, unbekannte Wörter zu entschlüsseln und diese Wörter im Kontext zu verstehen, werden ihre Fähigkeit beschleunigen, das Gelesene zu verstehen und aus dem Lesen zu lernen. Darüber hinaus muss die Entwicklung von Geläufigkeit, Rechtschreibung und grammatikalischen Konventionen der akademischen Sprache in sinnvollen Kontexten und nicht isoliert erfolgen.

(B) Für ELLs erfordert das Verstehen von Texten zusätzliche Gerüste, um verständliche Eingaben zu unterstützen. ELL-Studenten sollten die Kenntnisse ihrer Erstsprache (z. B. Verwandte) zur Weiterentwicklung des Wortschatzes nutzen. Vokabeln müssen im Kontext eines vernetzten Diskurses gelehrt werden, damit Sprache sinnvoll ist. ELLs müssen lernen, wie sich rhetorische Mittel in Englisch von denen in ihrer Muttersprache unterscheiden. Gleichzeitig lernen Englischlernende auf Englisch, der Fokus liegt auf akademischem Englisch, Konzepten und den inhaltsspezifischen Sprachstrukturen.

(C) In der Anfangsphase der englischen Entwicklung wird von ELLs erwartet, dass sie Standards in einer zweiten Sprache erfüllen, die viele einsprachige Englischsprecher in ihrer Muttersprache nur schwer erfüllen können. Die Fähigkeit der Englischlerner, diese Standards zu erfüllen, wird jedoch von ihren Englischkenntnissen beeinflusst. Während Englischlerner analysieren, synthetisieren und bewerten können, können ihre Englischkenntnisse ihre Fähigkeit beeinträchtigen, dieses Wissen in der Anfangsphase des englischen Spracherwerbs nachzuweisen. Es ist auch wichtig zu verstehen, dass ELLs ohne vorherige oder unterbrochene Schulbildung explizite und strategische Unterstützung benötigen, wenn sie Englisch erwerben und gleichzeitig lernen, auf Englisch zu lernen.

(3) Um das öffentliche Bildungsziel 1 des Texas Education Code, §4.002, zu erreichen, das besagt: "Die Schüler im öffentlichen Bildungssystem werden beispielhafte Leistungen im Lesen und Schreiben der englischen Sprache zeigen", werden die Schüler das Wesentliche erreichen Kenntnisse, Fähigkeiten und Erwartungen der Schüler in Englisch III, wie in Unterabschnitt (b) dieses Abschnitts beschrieben.

(4) Um den Texas Education Code, §28.002(h), zu erfüllen, der besagt: ". Jeder Schulbezirk soll die Fortsetzung der Tradition des Unterrichts der Geschichte der Vereinigten Staaten und Texas und des Systems des freien Unternehmertums in regulären Fächern und in der Lektüre fördern Lehrveranstaltungen und bei der Übernahme von Lehrbüchern" werden den Studierenden mündliche und schriftliche Erzählungen sowie andere Informationstexte zur Verfügung gestellt, die ihnen helfen können, nachdenkliche, aktive Bürger zu werden, die die demokratischen Grundwerte unseres Staates und unserer Nation schätzen.

(1) Lese-/Wortschatzentwicklung. Die Schüler verstehen neue Vokabeln und verwenden sie beim Lesen und Schreiben. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) die Bedeutung von technischen akademischen englischen Wörtern der Klassenstufe in mehreren Inhaltsbereichen (z. B. Naturwissenschaften, Mathematik, Sozialkunde, Kunst) bestimmen, die aus dem Lateinischen, Griechischen oder anderen linguistischen Wurzeln und Affixen abgeleitet sind

(B) Textkontext analysieren (innerhalb eines Satzes und in größeren Textabschnitten), um Rückschlüsse auf die Nuancen der Wortbedeutungen zu ziehen

(C) Wortbedeutung durch Identifizierung und Analyse von Analogien und anderen Wortbeziehungen ableiten

(D) Kenntnisse über verwandte Sprachen in verschiedenen Sprachen und über Wortherkünfte erkennen und verwenden, um die Bedeutung von Wörtern zu bestimmen und

(E) nach Bedarf allgemeine und spezialisierte Wörterbücher, Thesauri, Glossare, Sprachgeschichten, Zitatbücher und andere verwandte Referenzen (gedruckt oder elektronisch) verwenden.

(2) Lesen/Verstehen von literarischem Text/Thema und Genre. Die Studierenden analysieren, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen zu Thema und Genre in verschiedenen kulturellen, historischen und zeitgenössischen Kontexten und liefern Beweise aus dem Text, um ihr Verständnis zu unterstützen. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) analysieren die Art und Weise, in der das Thema oder die Bedeutung einer Auswahl eine Ansicht oder einen Kommentar zum menschlichen Zustand darstellt

(B) die Charaktere und Textstrukturen der mythischen, traditionellen und klassischen Literatur mit amerikanischen Romanen, Theaterstücken oder Filmen des 20. und 21. Jahrhunderts in Beziehung setzen und

(C) die in einem literarischen Werk gefundenen Hauptgedanken mit Primärquellendokumenten aus seinem historischen und kulturellen Umfeld in Beziehung setzen.

(3) Lesen/Verstehen von literarischem Text/Poesie. Die Studierenden verstehen, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen über die Struktur und Elemente der Poesie und liefern Beweise aus Texten, um ihr Verständnis zu unterstützen. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie die Auswirkungen von Metriken, Reimschemata (z. B. end, internal, slant, eye) und anderen Konventionen in der amerikanischen Poesie analysieren.

(4) Lesen/Verstehen von literarischem Text/Drama. Die Schüler verstehen, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen über die Struktur und Elemente des Dramas und liefern Beweise aus Texten, um ihr Verständnis zu unterstützen. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie die Themen und Merkmale in verschiedenen Epochen des modernen amerikanischen Dramas analysieren.

(5) Lesen/Verstehen von literarischem Text/Fiktion. Die Studierenden verstehen, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen über die Struktur und Elemente der Fiktion und liefern Beweise aus Texten, um ihr Verständnis zu unterstützen. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) bewerten, wie verschiedene literarische Elemente (z. B. figurative Sprache, Standpunkt) die Darstellung des Autors der Handlung und des Schauplatzes in Werken der Belletristik prägen

(B) die interne und externe Entwicklung von Charakteren durch eine Reihe von literarischen Mitteln analysieren

(C) die Wirkung der Erzählung analysieren, wenn sich der Standpunkt des Erzählers von einem Charakter zum anderen verschiebt und

(D) zeigen Vertrautheit mit Werken von Autoren in der amerikanischen Belletristik aus jeder großen literarischen Epoche.

(6) Lesen/Verstehen von literarischem Text/Literarischen Sachbüchern. Die Studierenden verstehen, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen über die vielfältigen Strukturmuster und Merkmale literarischer Sachbücher und liefern Beweise aus Texten, um ihr Verständnis zu unterstützen. Die Studierenden sollen analysieren, wie rhetorische Techniken (z. B. Wiederholung, Parallelstruktur, Understatement, Overstatement) in literarischen Essays, wahren Lebensabenteuern und historisch bedeutsamen Reden den Leser beeinflussen, Emotionen hervorrufen und Bedeutungen schaffen.

(7) Lesen/Verstehen von literarischem Text/sensorische Sprache. Die Schüler verstehen, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen darüber, wie die sensorische Sprache eines Autors Bilder in literarischen Texten erzeugt, und liefern Beweise aus dem Text, um ihr Verständnis zu unterstützen. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie die Bedeutung klassischer, mythologischer und biblischer Anspielungen in Wörtern, Phrasen, Passagen und literarischen Werken analysieren.

(8) Lesen/Verstehen von Informationstexten/Kultur und Geschichte. Die Studierenden analysieren, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen über die Absicht des Autors in kulturellen, historischen und zeitgenössischen Kontexten und liefern Beweise aus dem Text, um ihr Verständnis zu unterstützen. Von den Schülern wird erwartet, dass sie analysieren, wie Stil, Ton und Diktion eines Textes den Zweck und die Perspektive oder Haltung des Autors fördern.

(9) Lesen/Verstehen von Informationstext/Erläuterungstext. Die Studierenden analysieren, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen zu erläuternden Texten und liefern Beweise aus dem Text, um ihr Verständnis zu unterstützen. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) einen Text so zusammenfassen, dass er den Standpunkt des Autors, seine Hauptgedanken und seine Elemente erfasst, ohne Stellung zu nehmen oder eine Meinung zu äußern

(B) Unterscheiden Sie zwischen induktivem und deduktivem Denken und analysieren Sie die Elemente von deduktiv und induktiv begründeten Texten und die verschiedenen Arten, wie Schlussfolgerungen unterstützt werden

(C) subtile Schlussfolgerungen und komplexe Schlussfolgerungen über die Ideen im Text und ihre Organisationsmuster ziehen und verteidigen und

(D) Ideen zu synthetisieren und logische Verbindungen (z. B. thematische Verknüpfungen, Autorenanalysen) zwischen und zwischen mehreren Texten herzustellen, die ähnliche oder unterschiedliche Genres und technische Quellen repräsentieren, und diese Ergebnisse mit Textnachweisen zu untermauern.

(10) Lesen/Verstehen von Informationstext/Überzeugungstext. Die Studierenden analysieren, ziehen Schlussfolgerungen und ziehen Schlussfolgerungen über überzeugenden Text und liefern Beweise aus dem Text, um ihre Analyse zu unterstützen. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) bewerten, wie sich der Zweck des Autors und das angegebene oder wahrgenommene Publikum auf den Ton überzeugender Texte auswirken und

(B) historische und zeitgenössische politische Debatten auf logische Irrtümer wie Nicht-Sequituren, zirkuläre Logik und voreilige Verallgemeinerungen analysieren.

(11) Lesen/Verstehen von Informationstexten/Prozedurtexten. Die Studierenden verstehen, wie Informationen in prozeduralen Texten und Dokumenten erfasst und verwendet werden. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) die Logik der im Text dargestellten Informationsabfolge (z. B. Produktunterstützungsmaterial, Verträge) zu bewerten und

(B) übersetzen (von Text zu Grafik oder von Grafik zu Text) komplexe, sachliche, quantitative oder technische Informationen, die in Karten, Diagrammen, Illustrationen, Grafiken, Zeitleisten, Tabellen und Diagrammen dargestellt sind.

(12) Lese-/Medienkompetenz. Die Schüler verwenden Verständnisfähigkeiten, um zu analysieren, wie Wörter, Bilder, Grafiken und Töne in verschiedenen Formen zusammenwirken, um die Bedeutung zu beeinflussen. Die Studierenden werden frühere Standards in immer komplexer werdenden Texten vertieft anwenden. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) bewerten, wie in Medien präsentierte Botschaften soziale und kulturelle Ansichten auf andere Weise als traditionelle Texte widerspiegeln

(B) die Interaktionen verschiedener Techniken (z. B. Layout, Bilder, Schrift in Printmedien, Bilder, Text, Ton im elektronischen Journalismus) in mehrschichtigen Medien bewerten

(C) die Objektivität der Berichterstattung über das gleiche Ereignis in verschiedenen Medien zu bewerten und

(D) Änderungen in Form und Ton in verschiedenen Medien für unterschiedliche Zielgruppen und Zwecke bewerten.

(13) Schreib-/Schreibprozess . Die Schüler verwenden Elemente des Schreibprozesses (Planen, Entwerfen, Überarbeiten, Bearbeiten und Veröffentlichen), um Texte zu verfassen. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) Planen Sie einen ersten Entwurf, indem Sie das richtige Genre auswählen, um die beabsichtigte Bedeutung mehreren Zielgruppen zu vermitteln, geeignete Themen durch eine Reihe von Strategien (z. B. Diskussion, Hintergrundlektüre, persönliche Interessen, Interviews) zu bestimmen und eine These oder eine steuernde Idee zu entwickeln

(B) Ideen nachhaltig und überzeugend strukturieren (z. B. mit Hilfe von Gliederungen, Notizen, grafischen Organizern, Listen) und Entwürfe in zeitlich festgelegten und offenen Situationen entwickeln, die Übergänge und rhetorische Mittel beinhalten, um Bedeutung zu vermitteln

(C) Überarbeitung von Entwürfen, um die Bedeutung zu klären und spezifische rhetorische Zwecke, Konsistenz des Tons und logische Organisation zu erreichen, indem die Wörter, Sätze und Absätze neu angeordnet werden, um Tropen (z. B. Metaphern, Gleichnisse, Analogien, Übertreibung, Untertreibung, rhetorische Fragen, Ironie) zu verwenden ), Schemata (z. B. Parallelität, Antithese, umgekehrte Wortfolge, Wiederholung, umgekehrte Strukturen) und durch Hinzufügen von Übergangswörtern und -phrasen

(D) Entwürfe für Grammatik, Mechanik und Rechtschreibung bearbeiten und

(E) den endgültigen Entwurf als Reaktion auf das Feedback von Gleichaltrigen und Lehrern überarbeiten und schriftliche Arbeiten für ein geeignetes Publikum veröffentlichen.

(14) Schreiben/Literarische Texte. Die Schüler schreiben literarische Texte, um ihre Ideen und Gefühle über reale oder vorgestellte Menschen, Ereignisse und Ideen auszudrücken. Die Studierenden sind für mindestens zwei Formen des literarischen Schreibens verantwortlich. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) eine fesselnde Geschichte mit einem gut entwickelten Konflikt und einer gut entwickelten Lösung, komplexen und nicht-stereotypischen Charakteren, einer Reihe literarischer Strategien (z. B. Dialog, Spannung) und Mitteln zur Verbesserung der Handlung sowie sensorischen Details, die die Stimmung bestimmen, schreiben oder Ton

(B) ein Gedicht schreiben, das ein Bewusstsein für poetische Konventionen und Traditionen in verschiedenen Formen widerspiegelt (z. B. Sonette, Balladen, freie Verse) und

(C) ein Drehbuch mit einem expliziten oder impliziten Thema schreiben und dabei verschiedene literarische Techniken anwenden.

(15) Schreiben/Auslegungs- und Verfahrenstexte . Die Studierenden schreiben erläuternde und verfahrens- oder arbeitsbezogene Texte, um Ideen und Informationen für bestimmte Zwecke an ein bestimmtes Publikum zu kommunizieren. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) einen analytischen Aufsatz von ausreichender Länge schreiben, der Folgendes beinhaltet:

(i) effektive einleitende und abschließende Absätze und eine Vielzahl von Satzstrukturen

(ii) rhetorische Mittel und Übergänge zwischen den Absätzen

(iii) ein klares Thesenstatement oder eine beherrschende Idee

(iv) ein klares Organisationsschema für die Vermittlung von Ideen

(v) relevante und substanzielle Beweise und ausgewählte Details und

(vi) Informationen zu mehreren relevanten Perspektiven und Berücksichtigung der Validität, Zuverlässigkeit und Relevanz von Primär- und Sekundärquellen

(B) verfahrens- oder arbeitsbezogene Dokumente schreiben (z. B. Lebensläufe, Vorschläge, Hochschulanträge, Betriebshandbücher), die Folgendes umfassen:

(i) ein klar angegebener Zweck in Kombination mit einem gut unterstützten Standpunkt zum Thema

(ii) geeignete Formatierungsstrukturen (z. B. Überschriften, Grafiken, Leerzeichen)

(iii) relevante Fragen, die die Leser einbeziehen und ihre Bedürfnisse berücksichtigen

(iv) genaue technische Informationen in zugänglicher Sprache und

(v) angemessene Organisationsstrukturen, gestützt durch Fakten und Details (ggf. dokumentiert)

(C) eine Interpretation einer Auslegung oder eines literarischen Textes schreiben, die:

(i) fördert eine klare Thesenaussage

(ii) befasst sich mit den Schreibfähigkeiten für einen analytischen Aufsatz, einschließlich Verweisen und Kommentaren zu Zitaten aus dem Text

(iii) analysiert die ästhetischen Auswirkungen der Verwendung stilistischer oder rhetorischer Mittel eines Autors author

(iv) identifiziert und analysiert die Mehrdeutigkeiten, Nuancen und Komplexitäten innerhalb des Textes und

(v) antizipiert und beantwortet Fragen der Leser oder widersprüchliche Informationen und

(D) eine Multimedia-Präsentation (z. B. Dokumentarfilm, Klassenzeitung, Dokudrama, Infomercial, visuelle oder Textparodien, Theaterproduktion) mit Grafiken, Bildern und Ton produzieren, die ein bestimmtes Publikum anspricht und Informationen aus mehreren Blickwinkeln synthetisiert.

(16) Schreiben/Überzeugende Texte. Die Schüler schreiben überzeugende Texte, um die Einstellungen oder Handlungen eines bestimmten Publikums zu bestimmten Themen zu beeinflussen. Von den Schülern wird erwartet, dass sie einen argumentativen Aufsatz (z. B. bewertende Aufsätze, Vorschläge) für das entsprechende Publikum schreiben, der Folgendes umfasst:

(A) eine klare These oder Position basierend auf logischen Gründen, die durch präzise und relevante Beweise gestützt werden, einschließlich Fakten, Expertenmeinungen, Zitate und/oder Ausdrücke allgemein akzeptierter Überzeugungen belief

(B) genaue und ehrliche Darstellung abweichender Ansichten (d. h. in den eigenen Worten des Autors und nicht aus dem Zusammenhang gerissen)

(C) eine Organisationsstruktur, die dem Zweck, der Zielgruppe und dem Kontext angemessen ist

(D) Informationen über das gesamte Spektrum relevanter Perspektiven

(E) nachgewiesene Berücksichtigung der Gültigkeit und Zuverlässigkeit aller verwendeten Primär- und Sekundärquellen und

(F) eine Sprache, die aufmerksam gestaltet wurde, um ein desinteressiertes oder ablehnendes Publikum zu bewegen, indem bestimmte rhetorische Mittel verwendet werden, um Behauptungen zu untermauern (z. B. Appelle an Logik, Emotionen, ethische Überzeugungen).

Mündliche und schriftliche Vereinbarungen

(17) Mündliche und schriftliche Vereinbarungen/Übereinkommen. Die Studierenden verstehen die Funktion und die Konventionen der Wissenschaftssprache beim Sprechen und Schreiben. Die Studierenden werden weiterhin frühere Standards mit größerer Komplexität anwenden. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) die Funktion verschiedener Arten von Sätzen und Wendungen verwenden und verstehen (z. B. Adjektiv, Nomen, Adverbialsätze und Wendungen) und

(B) Verwenden Sie eine Vielzahl von korrekt strukturierten Sätzen (z. B. zusammengesetzt, komplex, zusammengesetzt-komplex).

(18) Mündliche und schriftliche Konventionen/Handschrift, Großschreibung und Interpunktion . Die Schüler schreiben leserlich und verwenden in ihren Kompositionen geeignete Großschreibungs- und Zeichensetzungskonventionen. Von den Schülern wird erwartet, dass sie die Konventionen der Interpunktion und Großschreibung korrekt und konsequent verwenden.

(19) Mündliche und schriftliche Vereinbarungen/Rechtschreibung. Die Schüler schreiben richtig. Von den Schülern wird erwartet, dass sie richtig buchstabieren, einschließlich der Verwendung verschiedener Ressourcen, um die richtige Schreibweise zu bestimmen und zu überprüfen.

(20) Forschung/Forschungsplan. Die Studierenden stellen offene Forschungsfragen und entwickeln einen Plan, um diese zu beantworten. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) ein Brainstorming durchführen, sich mit anderen beraten, ein Thema festlegen und eine Hauptforschungsfrage formulieren, um das Hauptforschungsthema anzugehen und

(B) einen Plan für die eingehende Forschung zu einem komplexen, vielschichtigen Thema formulieren.

(21) Recherche/Sammeln von Quellen. Die Studierenden ermitteln, lokalisieren und erkunden das gesamte Spektrum relevanter Quellen zu einer Forschungsfrage und erfassen die gesammelten Informationen systematisch. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) den Forschungsplan befolgen, um Beweise von Experten zu diesem Thema und Texte zu sammeln, die für ein informiertes Publikum auf diesem Gebiet verfasst wurden, wobei zwischen zuverlässigen und unzuverlässigen Quellen unterschieden und eine übermäßige Abhängigkeit von einer Quelle vermieden wird

(B) systematisch relevante und genaue Informationen organisieren, um zentrale Ideen, Konzepte und Themen zu unterstützen, Ideen in konzeptionelle Landkarten/Zeitachsen zu skizzieren und Faktendaten von komplexen Schlussfolgerungen zu trennen und

(C) alle recherchierten Informationen nach einem Standardformat (z. B. Autor, Titel, Seitenzahl) umschreiben, zusammenfassen, zitieren und genau zitieren, wobei zwischen primären, sekundären und anderen Quellen unterschieden wird.

(22) Recherche/Synthese von Informationen. Die Studierenden klären Forschungsfragen und werten und synthetisieren gesammelte Informationen. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) die Hauptforschungsfrage nach Bedarf ändern, um den Forschungsplan neu auszurichten

(B) zwischen Theorien und den sie unterstützenden Beweisen unterscheiden und feststellen, ob die gefundenen Beweise schwach oder stark sind und wie diese Beweise dazu beitragen, ein stichhaltiges Argument zu erstellen und

(C) den Forschungsprozess bei jedem Schritt zu kritisieren, um Änderungen zu implementieren, wenn der Bedarf auftritt und identifiziert wird.

(23) Recherche/Organisation und Präsentation von Ideen. Die Studierenden organisieren und präsentieren ihre Ideen und Informationen entsprechend dem Forschungszweck und ihrem Publikum. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie die Forschung in einer erweiterten schriftlichen oder mündlichen Präsentation zusammenfassen, die:

(A) bietet eine Analyse, die persönliche Meinungen unterstützt und entwickelt, im Gegensatz zur einfachen Neuformulierung bestehender Informationen

(B) verwendet verschiedene Formate und rhetorische Strategien, um für die These zu argumentieren

(C) entwickelt ein Argument, das die Komplexität und Diskrepanzen von Informationen aus mehreren Quellen und Perspektiven einbezieht und gleichzeitig Gegenargumente vorwegnimmt und widerlegt

(D) verwendet ein Stilhandbuch (z. B. Verein für moderne Sprachen, Chicago-Handbuch des Stils) um Quellen zu dokumentieren und schriftliche Materialien zu formatieren und

(E) ist von ausreichender Länge und Komplexität, um das Thema anzugehen.

(24) Hören und Sprechen/Hören. Die Schüler werden Verständnisfähigkeiten nutzen, um anderen in formellen und informellen Umgebungen aufmerksam zuzuhören. Die Studierenden werden weiterhin frühere Standards mit größerer Komplexität anwenden. Von den Studierenden wird erwartet:

(A) einem Redner aufmerksam zuhören, indem er Anfragen formuliert, die ein Verständnis des Inhalts widerspiegeln und die eingenommenen Positionen und die Beweise zur Unterstützung dieser Positionen identifizieren

(B) Bewerten Sie die Klarheit und Kohärenz der Botschaft eines Sprechers und kritisieren Sie die Auswirkungen der Diktion und Syntax eines Sprechers auf ein Publikum.

(25) Hören und Sprechen/Sprechen. Die Schüler sprechen klar und auf den Punkt und verwenden dabei die Konventionen der Sprache. Die Studierenden werden weiterhin frühere Standards mit größerer Komplexität anwenden. Students are expected to give a formal presentation that exhibits a logical structure, smooth transitions, accurate evidence, well-chosen details, and rhetorical devices, and that employs eye contact, speaking rate (e.g., pauses for effect), volume, enunciation, purposeful gestures, and conventions of language to communicate ideas effectively.

(26) Listening and Speaking/Teamwork. Students work productively with others in teams. Students will continue to apply earlier standards with greater complexity. Students are expected to participate productively in teams, offering ideas or judgments that are purposeful in moving the team towards goals, asking relevant and insightful questions, tolerating a range of positions and ambiguity in decision-making, and evaluating the work of the group based on agreed-upon criteria.
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Using adjoint for PDE-constrained optimization

This code demonstrates how to solve an inverse initial value problem for a system of time-dependent PDEs on a 2D rectangular grid. The goal is to determine an optimal initial condition that can minimizes the difference between the simulated result and the reference solution. We will use this example to illustrate the performance considerations for realistic large-scale applications. In particular, we will show how to play with checkpointing and how to profile/tune the performance.

Compile the code

The example ex5opt_ic.c can be compiled with

ATPESC participants do not need to compile code because binaries are available in the ATPESC project folder on Cooley.

Command line options

You can determine the command line options available for this particular example by doing

and show the options related to TAO only by doing

Problem being solved

The underlying PDE models reaction and diffusion of two chemical species that can produce a variety of patterns. It is widely used to describe pattern-formation phenomena in biological, chemical and physical systems. The concentrations of the two species are calculated according to the equation [frac<>>

= D_1 abla^2 mathbf - mathbf mathbf^2 + gamma(1 -mathbf) frac<>>
= D_2 abla^2 mathbf + mathbf mathbf^2 - (gamma + kappa)mathbf]

Given the pattern (observation) at the final time of the simulation, we want to determine the initial pattern that can minimize the difference between the simulated result and the observation. [ ext_ | X - X^|]

Run 1: Monitor solution graphically

  • -forwardonly perform the forward simulation without doing optimization
  • -ts_type rk -ts_rk_type 3 changes the time stepping algorithm to a 3rd-order Runge-Kutta method
  • -ts_monitor_draw_solution monitors the progress for the solution at each time step
  • Add -draw_pause -2 if you want to pause at the end of simulation to see the plot

Run 2: Optimal checkpointing schedule

By default, the checkpoints are stored in binary files on disk. Of course, this may not be a good choice for large-scale applications running on high-performance machines where I/O cost is significant. We can make the solver use RAM for checkpointing and specify the maximum allowable checkpoints so that an optimal adjoint checkpointing schedule that minimizes the number of recomputations will be generated.

  • -tao_max_it 1 forces the optimization to stop after one iteration so that we can focus on the output related to the adjoint checkpointing. The output corresponds to the schedule depicted by the following diagram:

Questions

Looking at the output, we will find that the new schedule uses both RAM and disk for checkpointing and takes two less recomputations.

Run 3: Monitor the optimization progress

Questions

Essential functions we have provided are FormFunctionGradient for TAO, TSIFunction and TSIJacobian for TS, RHSJacobianP for TSAdjoint. Because of the integral in the objective function, extra functions including CostIntegrand, DRDYFunction and DRDPFunction are given to TSAdjoint.

Run 4: Implicit time integration method

Now we switch to an implicit method (Crank-Nicolson) using fixed stepsize, which is the default setting in the code. At each time step, a nonlinear system is solved by the PETSc nonlinear solver SNES .

  • -snes_monitor can show the progress of SNES
  • -ts_monitor can show the progress of TS
  • -log_view prints a summary of the logging

Questions

Of course answer may vary depending on the settings such as number of procs, problem size, and solver options. Typically most of the time should be spent on VecMDot or MatMult

  1. Use memory instead of disk for checkpointing( -ts_trajectory_type memory -ts_trajectory_solution_only 0 ) 2. Tune the time stepping solver, nonlinear solver, linear solver, preconditioner and so forth.

Run 5: Scale up the problem

We use explicit Runge-Kutta methods for time integration, and increase the grid resolution to 512 X 512.

Questions

No. The PDE solution blows up. As we decrease the grid spacing, the stepsize should be reduced according to CFL condition. For example, adding -ts_dt 0.1 should work.

Weitere Informationen

Because this example uses DMDA , Jacobian can be efficiently approximated using finite difference with coloring. You can use the option -snes_fd_color to enable this feature.


Optimization

In this section, we propose an optimization framework to seek optimal air electrode designs for maximizing the Li-O2 battery's discharge capacity. For that, the design parameters first are determined. The surrogate model (response surface) of discharge capacity in the design-parameter space then is constructed via the co-kriging method. Optimization finally is achieved by searching global or local maxima on the response surface.

Design parameters of a fresh air electrode

In particular, the PSD of a reconstructed air electrode in the high-fidelity model was parametrized by the bimodal log-normal function p(r) defined in Eq. 1. Figure 3 demonstrates the parametrization of two example PSD curves.

Figur 3. Examples of parametrizing the PSDs of reconstructed porous air electrodes by the bimodal log-normal function p(r). "": data points " − ": fitting curves.

Since the integral of p(r) in Eq. 1 is 1, we can replace k1 und k2 with their ratio χ = k1/k2 in the study. Besides the five parameters (r1, r2, s1, s2, and χ) associated with the PSD, we also consider the gesamt surface-to-volume ratio (EIN) and gesamt porosity () of the fresh air electrode. Hence, we have totally 7 design parameters: (ln r1, ln r2, ln s1, ln s2, χ, EIN, ). Here, we take the logarithm of r1, r2, s1, s2 for simplicity of analysis.

Co-kriging method

Co-kriging is a regression method that correlates multiple sets of data. Typically, these data are of multi-fidelity. For example, some data are of lower accuracy from cheap empirical model or simulation predictions, while other data are from more accurate but costly simulations or experiments. It is a form of kriging method, hence, we start with a brief review of kriging method.

Kriging (or Gaussian process regression) technique views the observed response surface as a realization of a stochastic process, which takes the following form:

Hier, Y is the observed quantity of interest is the vector of K parameters (or inputs) represents a global model and is a stationary Gaussian random field with zero mean, which creates a deviation from the global model. 36,46 Therefore, the observed response ja at sample point is considered a realization of . can be set as a constant μ (this is called "ordinary kriging") and Eq. 18 becomes

which is used in this paper. We denote the sample data as and the observed responses as , where nein is the total number of samples. The prediction given by the kriging method is:

where is the estimation of μ, denotes a vector with all entries being 1. Ψ in Eq. 20 is the correlation matrix that can be computed from the correlation function , i.e., . In this work, we use a Gaussian exponential correlation function:

in Eq. 20 is the correlation vector between sampled data and the new sample , and it is set as . The unknown variable and parameters θk are obtained through maximum likelihood estimate (MLE) (more details can be found in Ref. 36).

Different from kriging, co-kriging accounts for multiple sets of data. It has different variants, and we specifically employ the version in Ref. 36 Assume that we have neine data of discharge capacity corresponding to neine different sets of design parameters computed from the high-fidelity model and neinc data computed from the low-fidelity model that may not quantitatively reproduce the prediction of high-fidelity model but is able to capture its variation trend. The specific setup is as follows: consists of neine 7-dimensional (7D) vectors of the design parameters, and consists of neine scalars of the discharge capacity predicted by the multiscale model likewise, consists of neinc 7D vectors of the design parameters, and consists of neinc scalars of the discharge capacity predicted by the empirical device-scale model. Using co-kriging, these two sets of data can be incorporated to accurately obtain the entire response surface for discharge capacity in the 7D parameter space.

For simplicity, we denote and . By using the auto-regressive model, 37 we assume that the Gaussian process corresponding to the expensive data takes the following form:

Hier, Ye und Yc are Gaussian process with realizations and , respectively and Zd is a Gaussian process representing the difference between Ye and ρYc. The prediction by the co-kriging method takes the same form as Eq. 20, but the definitions of and Ψ are different:

Here, , , and are matrices defined as

are correlation functions taking the same form as Eq. 21 with different θk since the correlations between the data of different fidelity can be different. Similarly, vectors and are defined as

Parameters are estimated by MLE. By comparing to kriging, we notice that co-kriging includes multiple correlations between different sets of data.

Sobol sensitivity analysis

After the response surface is constructed from the co-kriging method, a sensitivity analysis using Sobol indexes can be used to rank the relative importances of all 7 design parameters to the discharge capacity. The Sobol sensitivity index is based on the analysis of variance (ANOVA). 47 Specifically, we represent a multi-variate integrable function as:

Then we define the "variance" as:

is called global sensitivity indexes that measure the importance of the ANOVA component function or equivalently the importance of the "interaction" between variables . Further, for an arbitrary index ich, the total sensitivity indexes for the variable xich are introduced as Ref. 48:

Algorithm

Based on the response surface and sensitivity analysis, we can employ genetic algorithm 49 to search the global (or local) maxima of discharge capacities. The genetic algorithm solves optimization problems by mimicking the principles of biological evolution, repeatedly modifying a "population" of individual points using rules modeled on gene combinations in biological reproduction. It starts with an initial "population" (initial guesses). At each step, it selects individuals from the current population and uses them to generate population for the next step by "recombination" (e.g., mutation and crossover). Over several "generations", the population "evolves" toward an optimal solution. More specifically, we first generated 20 random samples x ich , ich = 1, ⋅⋅⋅, 20 ("population") in the searching domain of parameter space. Here, each x ich is a vector. Second, we evaluated the response surface at these samples. Next, we selected a group of x ich in the current population, called "parents", who contribute their "genes"–the entries of their vectors–to their "children". The individuals that have larger values on the response surface were selected as "parents". As the number of generations increased, the individuals in the population got closer and finally approached the (local) maximum point. In this paper, the genetic algorithm was employed using the function ga in the MATLAB Global Optimization Toolbox. 50

Compared with the classical derivative-based optimization algorithms, genetic algorithm is more suitable for problems in which the objective function is highly nonlinear. For such problems, the genetic algorithm improves the chances of finding an optimal solution.

The entire procedure for the proposed optimization framework is summarized in Algorithm 1.

Algorithm 1.
1: Determine the 7 design parameters.
2: Run neinc simulations by the empirical device-scale model, and the predicted discharge capacities are set as .
3: Run neine simulations by the multiscale model, and the predicted discharge capacities are set as .
4: Construct the response surface of discharge capacity with respect to the 7 design parameters via the co-kriging method.
5: Perform sensitivity analysis for all 7 design parameters using Sobol indexes.
6: Search global or local maxima of the response surface by genetic algorithm.

4. Apatite Fission Track Thermochronology Applied to Detachment Fault Systems

[12] Low-medium temperature thermochronology is a powerful approach to constraining time-temperature histories of rocks during exhumation from near-surface depths (3–5 km, temperatures of 40–300°C). Common methods include fission track thermochronology, 40 Ar/ 39 Ar thermochronology, and more recently (U-Th)/He dating. All of these methods can be applied to a variety of minerals that provide information on different temperature intervals. However, the most powerful methods are those that incorporate a kinetic parameter that can be used to constrain the rate of cooling, such as 40 Ar/ 39 Ar thermochronology using potassium feldspar and multidiffusion domain modeling [e.g., McDougall and Harrison, 1999 ] and AFT thermochronology with track length and apatite compositional measurements [e.g., Ketcham, 2005 ]. Use of more than one thermochronometer on the same set of samples will usually provide a more complete record than one method in isolation [e.g., Reiners et al., 2003 Fitzgerald et al., 2006 ].

[13] Fission track thermochronology has been applied extensively in areas where extensional processes dominate. It has been widely applied in rift flank mountains, including the Red Sea [e.g., Kohn and Eyal, 1981 ], Kenya [e.g., Foster and Gleadow, 1996 ], the Transantarctic Mountains [e.g., Fitzgerald, 1994 ] and the Wasatch Front [e.g., Naeser et al., 1983 Armstrong et al., 2003 ]. In addition, the concept of the exhumed partial annealing zone (PAZ) was developed from a study in the Transantarctic Mountains [ Gleadow and Fitzgerald, 1987 Fitzgerald and Gleadow, 1990 ]. Using this concept, the timing and amount of exhumation or denudation can be calculated [ Gleadow and Fitzgerald, 1987 Brown, 1991 Fitzgerald et al., 1995 ]. If the fission track “stratigraphy” [ Brown, 1991 ] of an area is well known, the locations of faults and their displacements [e.g., Fitzgerald, 1992 Foster and Gleadow, 1996 ] can also be constrained.

[14] Prior to the application of thermochronologic techniques, relationships between exhumed (and/or tilted) rock units and the regional geology (preextensional, synextensional, and postextensional sedimentary rocks, lava flows, ash deposits, dikes) offered insight into the timing and duration of extension. In the Basin and Range province of the western United States, thermochronological applications have provided important constraints on the timing of extension and rate of slip on detachment faults, as well as constraints on the dip angle of these faults while they were active [e.g., Fitzgerald et al., 1991 Foster et al., 1991 , 1993 John and Foster, 1993 Fitzgerald et al., 1994 Howard and Foster, 1996 Foster and John, 1999 Fayon et al., 2000 Reiners et al., 2000 Stockli et al., 2000 , 2001 , 2002 Wells et al., 2000 Brady, 2002 Reiners, 2002 Carter et al., 2004 , 2006 ], as summarized by Stockli [2005] . Sampling strategy and sample location with respect to controlling structures in studies such as these are essential to providing the tightest constraints on timing of extension and slip rate. In general, the timing of extension and associated footwall exhumation is synchronous with the onset of rapid cooling as recorded by using age-closure temperature graphs for multiple thermochronometers [e.g., Baldwin et al., 1993 Foster and John, 1999 ] or from a single thermochronometer and multiple samples collected over a significant paleodepth. In the latter, the bases of exhumed PAZs (fission track) or partial retention zones (PRZ) ( 40 Ar/ 39 Ar thermochronology or (U-Th)/He dating) indicate the onset of rapid cooling [e.g., Fitzgerald et al., 1991 Baldwin and Lister, 1998 Reiners et al., 2000 Stockli et al., 2000 , 2002 ].

[15] In extended terranes, especially in footwalls, an important component of the sampling strategy is to collect samples parallel to the extension direction. The Gold Butte block of southern Nevada is an excellent example of a tilted crustal block that displays multiple exhumed PAZ/PRZs (Figure 3), all indicating the onset of rapid cooling due to extension-related tectonic exhumation at ∼17 Ma [ Fitzgerald et al., 1991 Reiners et al., 2000 ]. Note that the paleodepth of each sample is constrained assuming a single planar fault and a rigid block. Should the exhuming fault be listric, the paleodepth calculation will be less for each sample [ Reiners, 2005 ]. This will affect the determination of the vertical exhumation rate, and hence angle of the fault during slip, but not the timing of the onset of rapid cooling and hence extension (we discuss this in more detail below). We use the plot of age versus horizontal distance parallel to extension direction for data from Fitzgerald et al. [1991] to demonstrate how to interpret such information and to provide a platform for the presentation of the new data. There are four classic components in an age versus horizontal distance diagram (Figure 3d):

[16] 1. Ages from the deepest crustal levels rapidly cooled as a result of tectonic exhumation and slip along the master detachment. Confined fission track lengths have means >14 μm with small standard deviations and ages young progressively toward deeper crustal levels. In general, a regression line will be proportional to the inverse slip rate along the fault. Complications to this simple interpretation (i.e., factors that change the thermal structure in the upper crust) depend on the dip of the fault (the steeper the dip, the greater the underestimate of true slip rate), which thermochronometer is used (higher temperature methods lead to an underestimation of true rate due to more significant advection of isotherms during extension), isostatic rebound of the footwall following tectonic unloading, the effects of syntectonic intrusions, topographic effect on the shape of near-surface isotherms, effects of erosion as well as tectonic exhumation and if there are multiple detachment faults or excisement/incisement of the hanging wall [e.g., Lister and Baldwin, 1993 Ketcham, 1996 Foster and John, 1999 Stockli, 2005 ]. As is the case with using age-elevation profiles to determine apparent exhumation rates, apparent slip rates are averages for the time interval revealed. In the example shown in Figure 3d there are too few samples and the ages overlap such that the apparent slip rate is unconstrained (i.e., infinite). However, if we combine the data of Fitzgerald et al. [1991] with the new AFT data presented herein, a more meaningful slip rate is obtained (see below). In general, apparent slip rates in the Colorado River extensional corridor range from ∼0.3 cm/a (3 km/Ma) to ∼0.9 cm/a [ Foster and John, 1999 ].

[17] 2. A break in slope, or inflexion point, marks the base of the apatite PAZ (or PRZ) and indicates the onset of rapid cooling due to tectonic exhumation and the onset of extension. Note that, as is also the case with age-elevation profiles [ Fitzgerald and Gleadow, 1990 ], the break in slope slightly underestimates the timing of onset of rapid cooling, as samples that define the base of a PAZ/PRZ still have to cool through the PAZ/PRZ and hence some annealing or age reduction occurs.

[18] 3. A zone of samples that resided for considerable periods of time within a PAZ (or PRZ). These samples are partially annealed, with the rate of annealing (or loss of daughter product due to diffusion) dependent on the sample position within the PAZ. Note that the slope of this section does not indicate an apparent slip rate in the same manner that the slope of an exhumed PAZ (Figure 3c) does not indicate an apparent exhumation rate [ Fitzgerald and Gleadow, 1990 ].

[19] 4. At the top of an exhumed PAZ, the variation of age with increasing paleodepth changes from significant (i.e., a gentle slope) to indistinguishable (i.e., a steep slope), representing the change from the period of relative tectonic and thermal stability to an earlier period of more rapid cooling. This component is not recognizable in the AFT data from the Gold Butte block (although we see it in the data from the edge of the Colorado Plateau east of White Hills, see below) or in any of the higher temperature systems such as zircon and titanite (U-Th)/He or zircon fission track ages (Figure 3c). This suggests no significant cooling (or reheating and cooling) effected the entire Gold Butte block since ∼200 Ma, including any thermal event associated with the Laramide orogeny. Note that even though two-mica granites at the western end of the block have ages of 64–66 Ma (M. Martin, personal communication as cited by Reiners et al. [2000] ), all thermochronometer systems for samples close to these granites would have ages of zero during the Cretaceous as they lay well below the base of their respective partial annealing or partial retention zones. Reiners et al. [2000] did record a cluster of 40 Ar/ 39 Ar white mica ages of ∼90 Ma in the west central part of the Gold Butte block at a depth of ∼14–12 km below the Cambrian nonconformity and interpreted these as evidence of a ∼90 Ma cooling event. The reason behind this Cretaceous cooling event remains unclear, but as suggested by Reiners et al. [2000] , it could have been due to cessation of Sevier thrusting [ Dumitru, 1990 ], erosion following the Laramide orogeny [e.g., Dumitru et al., 1994 ], or regional relaxation of isotherms following intense plutonism in the Sierra Nevada [e.g., Dumitru et al., 1991 House et al., 1997 ].

[20] As mentioned in component 1, the thermal regime in an active zone of extension is dynamic [ Grasemann and Mancktelow, 1993 ter Voorde and Bertotti, 1994 Ehlers and Chapman, 1999 ], with the field geotherm being modified owing to the rapidity of extension and the movement of a hot footwall against a cool hanging wall, erosion of the footwall following tectonic exhumation, deposition of sediments on the footwall and any topographic effects on the shape of critical isotherms [ Ehlers et al., 2001 ]. In extended regions, the modification of the field geotherm is most significant following the onset of tectonic exhumation. During rapid slip along a normal fault, isotherms are advected such that critical isotherms in the footwall for the various thermochronologic methods will move toward the surface and the geotherm will increase [e.g., Ehlers et al., 2001 ]. However, the age of the base of an exhumed PAZ or PRZ, while a slight underestimate, can still constrain the onset of the timing of cooling and exhumation. Nor will advection affect the calculation of the preextension paleogeothermal gradient. However, plots of AFT age versus paleodepth (to determine an exhumation rate) will be an underestimate because of advection [ Ehlers, 2005 ] and plots of AFT age versus horizontal distance (to constrain the slip rate) will also underestimate the slip rate [e.g., Stockli, 2005 ]. To determine the slip rate (AFT plotted against horizontal distance on a line parallel to the extension direction), isotherms must be in steady state, near horizontal and stationary [ Ketcham, 1996 Foster and John, 1999 ]. In areas of rapid extension, isotherms do reach dynamic steady state within ∼1 Ma of the initiation of extension [ Ketcham, 1996 ].


5. SUMMARY

We have developed a comprehensive photochemistry model for the study of terrestrial exoplanet atmospheres. The photochemistry model solves the one-dimensional chemical-transport equation for 111 O, H, C, N, and S species including S8 and H2SO4 aerosols. The output is the steady state of molecular mixing ratios in which concentrations of all species at all altitudes do not vary. In order to find the steady-state solution from arbitrary initial conditions for a wide variety of atmospheric compositions, required for the study of exoplanets, we have designed a numerical scheme that allows the selection of chemical species to be treated in fast or slow reactions automatically. The steady-state solution depends on a pool of input parameters, among which the major chemical species, surface emission, deposition velocities of long-lived species, and ultraviolet radiation are found to be critical. We validate the photochemistry model by simulating the atmospheric composition of current Earth and Mars.

Based on the photochemistry model, we have investigated the main chemistry processes and lifetimes of key spectrally active species for rocky exoplanet atmospheres by simulating benchmark cases of atmospheres having redox states ranging from reducing to oxidizing. We find that atomic hydrogen is a more abundant reactive radical than hydroxyl radical in anoxic atmospheres, and therefore reactions with atomic hydrogen are likely to be an important removal pathway for spectrally important trace gases. The source of H and OH is water vapor photolysis in anoxic atmospheres, and the abundance of H in the atmosphere is always larger than the amount of OH because OH can react with H2 or CO to produce H. In addition to atomic hydrogen, in weakly oxidizing N2 atmospheres, OH, despite its lower abundance than H, is important in removing CH4 and CO. In highly oxidizing CO2 atmospheres, atomic oxygen is the most abundant reactive species.

As a general observation we find that volcanic carbon compounds are long-lived and volcanic sulfur compounds are short-lived. In particular, due to the scarcity of OH in anoxic atmospheres, methane is always long-lived, having chemical lifetime longer than 10,000 years. We also find that the reduction of CO2 to CO and formaldehyde is minimal in N2 atmospheres and limited in H2-dominated atmospheres. In contrast to carbon species, volcanic sulfur compounds (i.e., H2S and SO2) are readily converted into either elemental sulfur or sulfuric acid aerosols in atmospheres from reducing to oxidizing. We will discuss in detail the sulfur chemistry in an accompanying paper (Hu et al. 2012).

The photochemistry is critical for prospecting the possible atmospheric composition that will eventually be characterized by a TPF-like mission. We have shown that volcanic carbon compounds including CH4 and CO2 are likely to be abundant in terrestrial exoplanet atmospheres and in the accompany paper we will show that an enhanced volcanic activity leads to formation of optically thick sulfur or sulfate aerosols. As for biosignatures, we here have shown that photochemically produced O2 and O3 can be a potential false positive biosignature in thick CO2 atmospheres. We also find that oxygen and ozone can only build up without H2 and CH4 emission so we confirm that simultaneous detection of ozone and methane remains a rigorous biosignature. More generally, the three benchmark models presented in this paper can serve as the standard atmospheres for reducing, weakly oxidizing, and highly oxidizing atmospheres on habitable exoplanets for assessing chemical lifetime of potential biosignature gases.

We thank James Kasting for helpful suggestions about the photochemical model. We thank Kerry Emanuel for enlightening discussion about modeling the Earth's hydrological cycle. We thank Linda Elkins-Tanton for helpful suggestions on the mantle degassing. We thank Susan Solomon for discussions about CO2 cycle on terrestrial exoplanets. We thank the anonymous referee for the improvement of the manuscript. R.H. is supported by the NASA Earth and Space Science Fellowship (NESSF/NNX11AP47H).


A2 Maths question quotient rule

A scientist is studying a population of mice on an island.
The number of mice, N, in the population, t months after the start of the study, ismodelled by the equation
N= 900/ 3 + 7e^(&minus0.25t)
Show that the rate of growth dN is given by dN = N(300 &minus N)/1200

I tried to go about using the quotient rule
u=900 du/dx=0 and v=3+7e^(0.25t) dv/dx = &minus7e^(&minus0.25t)/4

I was wondering if the dv/dx value is right, and where I'd go from here because it all just ends up a bit confusing? - I got up to N(&minus7e^(&minus0.25t)/4 )/3+7e^(0.25t) and I dont know how to simplify this any further

Not what you're looking for? Try&hellip

(Original post by mushed)
Hi, im a bit confused on this question!

A scientist is studying a population of mice on an island.
The number of mice, N, in the population, t months after the start of the study, ismodelled by the equation
N= 900/ 3 + 7e^(&minus0.25t)
Show that the rate of growth dN is given by dN = N(300 &minus N)/1200

I tried to go about using the quotient rule
u=900 du/dx=0 and v=3+7e^(0.25t) dv/dx = &minus7e^(&minus0.25t)/4

I was wondering if the dv/dx value is right, and where I'd go from here because it all just ends up a bit confusing? - I got up to N(&minus7e^(&minus0.25t)/4 )/3+7e^(0.25t) and I dont know how to simplify this any further


Jimmy you must leave the room shut the door and be quiet. Which of the following options correctly punctuates the sentence above? A Jimmy, you must leave the room, shut the door, and be quiet. B. Jimmy you must leave the room, shut the door and be quiet.

Two planes leave simultaneously from Chicago's O'Hare Airport, one flying due north and the other due east (see figure). The northbound plane is flying 50 miles per hour faster than the eastbound plane. After 3 hours the planes are 2840 miles apart. Finden


Judging from the OP's post, I don't think he was referring to closed timelike curves. I think he meant simply using the gravitational potential of a black hole to "travel into the future".

OP: If this is the case, what do you want to know? Do you want to know why this type of effect occurs, or how to calculate it, or what?

No, this would happen as a result of gravitational time dilation. Correct?


Hypothetically, there is a black hole not to far away (i.e. not the center of the galaxy) I get in my rocket ship and fly to the black hole. I enter into orbit with just the right amount of velocity that i don't get pulled in or shot out. I orbit the black hole a few times. My time in orbit would go slower due to gravitational time dilation. I turn on the ol rocket boosters, break free from orbit, come home, and less time has elapsed for me, then on earth.

That's precisely the effect I mentioned.

The closed timelike curves mentioned by dmitry would hypothetically allow a traveler to travel into the past, though. Most physicists think these curves are simply artifacts of theories though, rather than objects that actually exist.

I would like to explain this to a colleague and provide him some materials which he can refer to, other then this forum, haha. I was curious if anyone had written popular articles, or research papers on this.

Judging from the OP's post, I don't think he was referring to closed timelike curves. I think he meant simply using the gravitational potential of a black hole to "travel into the future".

OP: If this is the case, what do you want to know? Do you want to know why this type of effect occurs, or how to calculate it, or what?

I have little knowledge of gravitational time dilation, but, if gravitation had such a dilatory effect wouldn't it be the same if the body orbited was a black hole or not. With no gravtational effects wouldn't you still age less than someone who remained on earth even if you just travelled to where you were going and then returned to earth.

This effect occurs whether you orbit a black hole or not. For example, you could pilot your space ship close to the event horizon and hover there for a while. This would a dilation effect, even though there might not be any motion between observers. This is actually separate from the velocity effect!

Sciroccokid: I don't know of any research papers which discuss this (my knowledge of papers is limited in general), but I don't think many would. The primary reason is that this isn't an incredibly complicated topic. It's not the kind of thing people do research on, seeing as it's solvable with a 1st year introduction to General Relativity, and probably available as an exercise or example in any textbook.

I did a quick search and couldn't find anything from a popular publication from google, but did find this, which explains the subject (perhaps in more detail than you're interested):
http://home.earthlink.net/

This effect occurs whether you orbit a black hole or not. For example, you could pilot your space ship close to the event horizon and hover there for a while. This would a dilation effect, even though there might not be any motion between observers. This is actually separate from the velocity effect!

Sciroccokid: I don't know of any research papers which discuss this (my knowledge of papers is limited in general), but I don't think many would. The primary reason is that this isn't an incredibly complicated topic. It's not the kind of thing people do research on, seeing as it's solvable with a 1st year introduction to General Relativity, and probably available as an exercise or example in any textbook.