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9.7E: ÜBUNGEN - Mathematik


Übung (PageIndex{1})

Berechnen Sie für die folgenden Übungen, ohne den Satz von Stokes zu verwenden, direkt sowohl den Fluss von (curl, vecs{F}cdot N) über die gegebene Fläche als auch das Zirkulationsintegral um ihren Rand, vorausgesetzt, alle sind im Uhrzeigersinn ausgerichtet.

1. (vecs{F}(x,y,z) = y^2 , hat{ mathbf i} + z^2 , hat{mathbf j} + x^2 , hat {mathbfk}); (S) ist der Erstoktantenanteil der Ebene (x + y + z = 1).

2. (vecs{F}(x,y,z) = z, hat{mathbf i} + x, hat{mathbf j} + y, hat{mathbf k} ); (S) ist Halbkugel (z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}).

Antworten

[iint_S (Locke , vecs{F} cdot vecs{N}) , dS = pi a^2]

3. (vecs{F}(x,y,z) = y^2,hat{mathbf i}+ 2x,hat{mathbfj} + 5,hat{mathbf k }); (S) ist Halbkugel (z = (4 - x^2 - y^2)^{1/2}).

4. (vecs{F}(x,y,z) = z,hat{mathbf i}+ 2x,hat{mathbfj} + 3y,hat{mathbfk} ); (S) ist die obere Hemisphäre (z = sqrt{9 - x^2 - y^2}).

Antworten

[iint_S (Locke , (vecs{F}) cdot vecs{N}) , dS = 18 pi]

5. (vecs{F}(x,y,z) = (x + 2z) , hat{ mathbf i} + (y - x) , hat{ mathbf j} + (z - y) , hat{mathbfk}); (S) ist ein dreieckiger Bereich mit Ecken ((3, 0, 0), (0, 3/2, 0),) und ((0, 0, 3)).

6. (vecs{F}(x,y,z) = 2y,hat{mathbf i} + 6z, hat{mathbf i} + 3x,hat{mathbf k} ); (S) ist ein Teil des Paraboloids (z = 4 - x^2 - y^2) und liegt oberhalb der (xy-)-Ebene.

Antworten

[iint_S (Locke , (vecs{F}) cdot vecs{ N}) , dS = -8 pi]

Übung (PageIndex{2})

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Stokes, um [iint_S(curl, (vecs{F}) cdot vecs{ N}) , dS] für die Vektorfelder und die Fläche auszuwerten.

1. (vecs{F}(x,y,z) = xy, hat{mathbf i} - z, hat{mathbf j}) und (S) ist die Fläche von der Würfel (0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq 1), mit Ausnahme der Fläche, wo (z = 0) und nach außen Einheitsnormalenvektor.

2. (vecs{F}(x,y,z) = xy, hat{mathbf i}+ x^2, hat{mathbf j} + z^2, hat{ mathbfk}); und (C) ist der Schnittpunkt des Paraboloids (z = x^2 + y^2) und der Ebene (z = y) und unter Verwendung des nach außen gerichteten Normalenvektors.

Antworten

[iint_S (Locke , (vecs{F}) cdot vecs{ N}) , dS = 0]

3. (vecs{F}(x,y,z) = 4y, hat{mathbf i} + z, hat{mathbf j} + 2y, hat{mathbf k} ); und (C) ist der Schnittpunkt der Kugel (x^2 + y^2 + z^2 = 4) mit der Ebene (z = 0) und unter Verwendung des nach außen gerichteten Normalenvektors.

Übung (PageIndex{3})

1. Benutze den Satz von Stokes, um [int_C [2xy^2z , dx + 2x^2yz , dy + (x^2y^2 - 2z) , dz],] auszuwerten, wobei (C) ist die durch (x = cos t, , y = sin t, , 0 leq t leq 2pi) gegebene Kurve, durchlaufen in Richtung aufsteigender (t).

Antworten

[int_C F cdot dS = 0]

2. [T] Verwenden Sie ein computeralgebraisches System (CAS) und den Satz von Stokes, um das Linienintegral [int_C (y , dx + z , dy + x , dz), ] zu approximieren, wobei (C) ist der Schnittpunkt der Ebene (x + y = 2) und der Fläche (x^2 + y^2 + z^2 = 2(x + y)), die vom Ursprung aus gegen den Uhrzeigersinn durchquert wird.

3. [T] Verwenden Sie einen Satz von CAS und Stokes, um das Linienintegral [int_C (3y, dx + 2z , dy - 5x , dz),] zu approximieren, wobei (C) der Schnittpunkt der (xy-)Ebene und Halbkugel (z = sqrt{1 - x^2 - y^2}), von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn quer durchquert, also vom Positiven z-Achse zur (xy-)-Ebene.

Antworten

[int_C F cdot dS = - 9,4248]

4. [T] Verwenden Sie einen Satz von CAS und Stokes, um das Linienintegral [ int_C [(1 + y) , z dx + (1 + z) x dy + (1 + x) y dz], ] zu approximieren wobei (C) ein Dreieck mit Ecken ((1,0,0), , (0,1,0)) und ((0,0,1)) gegen den Uhrzeigersinn ist.

5. Verwenden Sie den Satz von Stokes, um das Linienintegral [int_C (z , dx + x , dy + y , dz),] auszuwerten, wobei (C) ein Dreieck mit Ecken ((3, 0 , 0), (0, 0, 2),) und ((0, 6, 0)) in der angegebenen Reihenfolge durchlaufen.

6. Benutze den Satz von Stokes, um [int_C left(dfrac{1}{2} y^2 , dx + z , dy + x , dz ight),] auszuwerten, wobei (C ) ist die Schnittkurve der Ebene (x + z = 1) und des Ellipsoids (x^2 + 2y^2 + z^2 = 1), die vom Ursprung im Uhrzeigersinn orientiert ist.

Antworten

[int_C left(dfrac{1}{2} y^2 , dx + z , dy + x , dz ight) = - dfrac{pi}{4}]

7. Benutze den Satz von Stokes, um [iint_S (curl , F cdot N) dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F}(x,y,z) = x , hat{ mathbf i } + y^2 , hat{mathbf j} + ze^{xy}k) und (S) ist der Teil der Fläche (z = 1 - x^2 - 2y^2) mit (z geq 0), gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

8. Verwenden Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld (vecs{F}(x,y,z) = z, hat{ mathbf i} + 3x, hat{mathbf j} + 2z, hat{mathbf k}) wobei (S) Fläche (z = 1 - x^2 - 2y^2, , z geq 0), (C) ist Randkreis (x ^2 + y^2 = 1), und S ist positiv orientiert z-Richtung.

Antworten

[iint_S (Locke , F cdot N)dS = -3pi]

9. Verwenden Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld (vecs{F}(x,y,z) = - dfrac{3}{2} y^2, hat{mathbf i}- 2 xy, hat{mathbfj}+yz, hat{mathbfk}), wobei (S) der Teil der Fläche der Ebene (x+y+z = 1) ist, der im Dreieck enthalten ist (C) mit Ecken ((1, 0, 0), (0, 1, 0),) und ((0, 0, 1),) von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.

10. Ein bestimmter geschlossener Weg C in der Ebene (2x + 2y + z = 1) projiziert bekanntlich auf den Einheitskreis (x^2 + y^2 = 1) im (xy)-Ebene. Lassen (c ) sei eine Konstante und sei (R(x,y,z) = x, hat{mathbf i} + y, hat{mathbf j} + z, hat{mathbf k} ). Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [int_C(ck imes R) cdot dS.] auszuwerten.

Antworten

[int_C (ck imes R) cdot dS = 2pi c]

11. Benutze den Satz von Stokes und sei (C) der Rand der Fläche (z = x^2 + y^2) mit (0 leq x leq 2) und (0 leq y leq 1) mit nach oben gerichteter Normale ausgerichtet. Definieren

(vecs{F}(x,y,z) = [sin (x^3) + xz] , hat{ mathbf i}+ (x - yz), hat{ mathbf j} + cos(z^4), hat{mathbfk}) und bewerte (int_C F cdot dS).

12. Sei (S) Halbkugel (x^2 + y^2 + z^2 = 4) mit (zgeq 0), nach oben gerichtet. Sei (vecs{F}(x,y,z) = x^2 e^{yz}, hat{ mathbf i} + y^2 e^{xz}, hat{ mathbf j } + z^2 e^{xy}, hat{mathbf k}) sei ein Vektorfeld. Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS.] zu berechnen.

Antworten

[iint_S curl , F cdot dS = 0]

13. Sei (vecs{F}(x,y,z) = xy, hat{mathbf i} + (e^{z^2} + y), hat{ mathbf j}+ (x + y), hat{mathbfk}) und sei (S) der Graph der Funktion (y = dfrac{x^2}{9} + dfrac{z^2} {9} - 1) mit (zleq 0) orientiert, so dass der Normalenvektor S hat eine positive ja Komponente. Verwenden Sie den Satz von Stokes, um das Integral [iint_S curl , F cdot dS.] zu berechnen

14. Benutze den Satz von Stokes, um [ oint F cdot dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F}(x,y,z) = y, hat{ mathbf i} + z, hat{ mathbf j} + x, hat{ mathbf k}) und (C) ist ein Dreieck mit den Ecken ((0, 0, 0) , (2, 0, 0) ) und (0,-2,2)) von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

Antworten

[ oint F cdot dS = -4]

15. Verwenden Sie das Oberflächenintegral im Satz von Stokes, um die Zirkulation des Feldes zu berechnen F, (vecs{F}(x,y,z) = x^2y^3, hat{ mathbf i} + , hat{mathbf j} + z, hat{ mathbf k }) um (C), das ist der Schnittpunkt von Zylinder (x^2 + y^2 = 4) und Halbkugel (x^2 + y^2 + z^2 = 16, , z geq 0), von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

16. Benutze den Satz von Stokes, um [iint_S curl, F cdot dS.] zu berechnen, wobei (vecs{F}(x,y,z) = , hat{mathbf i} + xy^ 2, hat{ mathbf j} + xy^2 , hat{ mathbf k}) und (S) ist ein Teil der Ebene (y + z = 2) innerhalb des Zylinders (x ^2 + y^2 = 1) und gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

Antworten

[iint_S curl , F cdot dS = 0]

17. Benutze den Satz von Stokes, um [iint_S curl, F cdot dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F}(x,y,z) = -y^2 , hat{ mathbf i } + x, hat{mathbf j} + z^2, hat{mathbf k}) und (S) ist der Teil der Ebene (x + y + z = 1) in der positive Oktant und gegen den Uhrzeigersinn orientiert (x geq 0, , y geq 0, , z geq 0).

18. Sei (vecs{F}(x,y,z) = xy,hat{mathbf i} + 2z,hat{mathbfj} - 2y,hat{mathbfk} ) und sei (C) der Schnittpunkt der Ebene (x + z = 5) und des Zylinders (x^2 + y^2 = 9), der von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist. Berechnen Sie das Linienintegral von F über (C) mit dem Satz von Stokes.

Antworten

[iint_S curl , F cdot dS = -36 pi]

19. [T] Verwenden Sie einen CAS und seien (vecs{F}(x,y,z) = xy^2, hat{ mathbf i} + (yz - x), hat{ mathbf j} + e^{yxz}, hat{mathbfk}). Verwenden Sie den Satz von Stokes, um das Oberflächenintegral von curl . zu berechnen F über Fläche (S) mit nach innen gerichteter Orientierung bestehend aus Würfel ([0,1] imes [0,1] imes [0,1]) mit fehlender rechten Seite.

20. Lass S sei das Ellipsoid (dfrac{x^2}{4} + dfrac{y^2}{9} + z^2 = 1) gegen den Uhrzeigersinn orientiert und sei F sei ein Vektorfeld mit Komponentenfunktionen, die stetige partielle Ableitungen haben.

Antworten

[iint_S curl , F cdot N = 0]

21. Lass (S) sei der Teil des Paraboloids (z = 9 - x^2 - y^2) mit (z geq 0). Überprüfe den Satz von Stokes für das Vektorfeld (vecs{F}(x,y,z) = 3z, hat{ mathbf i} + 4x, hat{mathbf j} + 2y, hat{ mathbfk}).

22. Benutze den Satz von Stokes, um [iint_S curl, F cdot dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F}(x,y,z) = e^{xy} cos , z, hat{mathbf i} + x^2 z, hat{mathbf j}+ xy, hat{mathbf k}), und (S) ist die Hälfte der Kugel (x = sqrt {1 - y^2 - z^2}), nach dem Positiven orientiert x-Achse.

Antworten

[iint_S F cdot dS = 0]

23. [T] Benutze einen Satz von CAS und Stokes, um [iint_S (curl , F cdot N) , dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F}(x,y,z) = x ^2 y, hat{mathbf i} + xy^2, hat{mathbf j} + z^3, hat{mathbf k}) und (C) ist die Kurve von der Schnittpunkt der Ebene (3x + 2y + z = 6) und des Zylinders (x^2 + y^2 = 4), von oben gesehen im Uhrzeigersinn.

24. [T] Benutze einen Satz von CAS und Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F}(x,y,z) = left( sin( y + z) - yx^2 - dfrac{y^3}{3} ight), hat{mathbf i} + x, cos(y+z), hat{mathbf j } + cos(2y),,hat{mathbfk}) und (S) besteht aus der Oberseite und den vier Seiten, aber nicht der Unterseite des Würfels mit Ecken ((pm 1, , pm1, , pm1)), nach außen orientiert.

Antworten

[iint_S curl , F cdot dS = 2.6667]

25. [T] Verwenden Sie einen Satz von CAS und Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F}(x,y,z) = z^2, hat{ mathbf i} + 3xy, hat{ mathbf j}+ x^3y^3, hat{ mathbf k}) und (S) ist der obere Teil von (z = 5 - x^2 - y^2) über der Ebene (z = 1) und S ist nach oben ausgerichtet.

26. Benutze den Satz von Stokes, um [iint_S (curl, Fcdot N) dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F}(x,y,z) = z^2, hat{ mathbf i}+ y^2, hat{mathbf j} + x, hat{mathbf k}) und (S) ist ein Dreieck mit Ecken ((1, 0, 0) (0, 1, 0)) und ((0, 0, 1)) mit Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinn.

Antworten

[iint_S (curl, F cdot N)dS = -dfrac{1}{6}

Übung (PageIndex{4})

1. Lass S sei paraboloid (z = a (1 - x^2 - y^2)), für (z geq 0), wobei (a > 0) eine reelle Zahl ist. Sei (vecs{F}(x,y,z) = langle x - y, , y + z, , z - x angle). Für welche(n) Wert(e) von ein (falls vorhanden) hat [iint_S ( abla imes F) cdot n, dS] seinen maximalen Wert?

2. [T] Benutze einen Satz von CAS und Stokes, um [oint Fcdot dS,] auszuwerten, falls (vecs{F}(x,y,z) = (3z - sin x) , hat{ mathbf i} + (x^2 + e^y) , hat{ mathbf j} + (y^3 - cos z) , hat{mathbf k}), wobei (C) ist die durch (x = cos t, , y = sin t, , z = 1; , 0 leq t leq 2pi) gegebene Kurve.

Antworten

[oint_C F cdot dr = 0]

3. [T] Bewerte mit einem Satz von CAS und Stokes (vecs{F}(x,y,z) = 2y, hat{ mathbf i} + e^z, hat{ mathbf j} - arctan , x, hat{ mathbf k}) mit (S) als Teil des Paraboloids (z = 4 - x^2 - y^2) abgeschnitten durch die ( xy-)Ebene gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

4. [T] Bewerte mit einem CAS [iint_S curl (F) cdot dS,] wobei (vecs{F}(x,y,z) = 2z, hat{ mathbf i} + 3x, hat{mathbf j} + 5y, hat{mathbf k}) und (S) ist die Fläche parametrisch nach (r(r, heta) = r,cos heta , hat{ mathbf i}+ r , sin heta , hat{ mathbf j} + (4 - r^2) , hat{ mathbf k} , (0 leq heta leq 2pi, , 0 leq r leq 3)).

Antworten

[iint_S curl (F) cdot dS = 84.8230]

Übung (PageIndex{5})

1. Für die folgenden Anwendungsübungen besteht das Ziel darin, [A = iint_S ( abla imes F) cdot n , dS,] auszuwerten, wobei (vecs{F} = langle xz, , -xz, , xy angle) und (S) ist die obere Hälfte des Ellipsoids (x^2 + y^2 + 8z^2 = 1), wobei (z geq 0) ist.

a) Werten Sie ein Flächenintegral über eine bequemere Fläche aus, um den Wert von (EIN.)

Antworten

[A = iint_S ( abla imes F) cdot n, dS = 0] Bewerte ( EIN) mit einem Linienintegral.

2. Nehmen Sie das Paraboloid (z = x^2 + y^2) für (0 leq z leq 4) und schneiden Sie es mit der Ebene (y = 0). Lassen S sei die Fläche, die für (y geq 0) übrig bleibt, einschließlich der ebenen Fläche im xz-Flugzeug. Sei (C) der Halbkreis und das Liniensegment, das die Kappe von (S) in der Ebene (z = 4) mit Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinn begrenzt. Sei (vecs{F} = langle 2z + y, , 2x + z, , 2y + x angle). Bewerte [iint_S ( abla imes F) cdot n, dS.]

Antworten

[iint_S ( abla imes F) cdot n, dS = 2pi]

Übung (PageIndex{7})

1. Für die folgenden Übungen lassen Sie S sei die von der Kurve (C , : , r(t) = langle cos varphi , cos t, , sin t, , sin varphi , cos t angle . eingeschlossene Scheibe ), für (0leq tleq 2pi), wobei (0leqvarphileqdfrac{pi}{2}) ein fester Winkel ist.

a) Wie lang ist (C) in Bezug auf (varphi)?

b) Wie groß ist die Zirkulation von (C) des Vektorfeldes (vecs{F} = langle -y, , -z, , x angle) als Funktion von (varphi) ?

Antworten

(C = pi(cosvarphi - sinvarphi))

c) Für welchen Wert von (varphi) ist die Zirkulation maximal?

2. Kreis (C) in der Ebene (x + y + z = 8) hat Radius 4 und Mittelpunkt (2, 3, 3). Bewerte [oint_C F cdot dr] für (vecs{F} = langle 0, , -z, , 2y angle), wobei (C) von aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist über.

Antworten

[oint_C F cdot dr = 48 pi]

3. Geschwindigkeitsfeld (v = langle 0, , 1 -x^2, , 0 angle), für (|x| leq 1) und (|z| leq 1) , steht für eine horizontale Strömung im ja-Richtung. Berechnen Sie die Locke von v im Uhrzeigersinn drehen.

4. Bewerte das Integral [ iint_S ( abla imes F) cdot n , dS,] wobei (vecs{F} = - xz, hat{ mathbf i} + yz, hat {mathbf j}+ xye^z, hat{mathbf k}) und (S) ist die Obergrenze des Paraboloids (z = 5 - x^2 - y^2) über der Ebene ( z = 3), und nein Punkte im positiven z-Richtung auf S.

Antworten

[ iint_S ( abla imes F) cdot n = 0]

5. Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Stokes, um die Zirkulation der folgenden Vektorfelder um jede glatte, einfache geschlossene Kurve (C) zu bestimmen.

a) (vecs{F} = abla(x,sin ye^z))

b) (vecs{F} = langle y^2z^3, , z2xyz^3, 3xy^2z^2 angle)

Antworten

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