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3.5: Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen nichtlinearer Gleichungen - Mathematik


Obwohl es Methoden zum Lösen einiger nichtlinearer Gleichungen gibt, ist es unmöglich, für die meisten Lösungen nützliche Formeln zu finden. In diesem Abschnitt geben wir eine solche Bedingung an und illustrieren sie mit Beispielen.

Einige Terminologie: an offenes Rechteck (R) ist eine Menge von Punkten ((x,y)) mit

[a

(Abbildung (PageIndex{1})). Diese Menge bezeichnen wir mit (R: { a < x < b, c < y < d }). „Offen“ bedeutet, dass das Begrenzungsrechteck (in Abbildung (PageIndex{1}) durch die gestrichelten Linien gekennzeichnet) nicht in (R) enthalten ist.

Der nächste Satz liefert hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Anfangswertproblemen für nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Wir verzichten auf den Beweis, der den Rahmen dieses Buches sprengen würde.

Satz (PageIndex{1}): Existenz und Eindeutigkeit

  1. Wenn (f) auf einem offenen Rechteck [R: { a < x < b, c < y < d } onumber] stetig ist, das ((x_0,y_0)) enthält, dann ist der Anfangswert Problem [label{eq:3.5.1} y'=f(x,y), quad y(x_0)=y_0] hat mindestens eine Lösung auf einem offenen Teilintervall von ((a,b) ), die (x_0.) enthält
  2. Wenn sowohl (f) als auch (f_y) auf (R) stetig sind, dann hat Gleichung ef{eq:3.5.1} eine eindeutige Lösung auf einem offenen Teilintervall von ((a,b)) das enthält (x_0)

Es ist wichtig, genau zu verstehen, was Satz (PageIndex{1}) sagt.

  • (a) ist ein Existenzsatz. Es garantiert, dass eine Lösung in einem offenen Intervall existiert, das (x_0) enthält, liefert jedoch keine Informationen darüber, wie die Lösung gefunden oder das offene Intervall bestimmt wird, in dem sie existiert. Außerdem gibt (a) keine Auskunft über die Anzahl der Lösungen, die Gleichung ef{eq:3.5.1} haben kann. Es lässt die Möglichkeit offen, dass Gleichung ef{eq:3.5.1} zwei oder mehr Lösungen haben kann, die sich für Werte von (x) in beliebiger Nähe von (x_0) unterscheiden. Wir werden in Beispiel (PageIndex{6}) sehen, dass dies passieren kann.

  • (b) ist a Eindeutigkeitssatz. Es garantiert, dass Gleichung ef{eq:3.5.1} eine eindeutige Lösung auf einem offenen Intervall (a,b) hat, das (x_0) enthält. Wenn jedoch ((a,b) e(-infty,infty)), kann Gleichung ef{eq:3.5.1} mehr als eine Lösung in einem größeren Intervall haben, das ((a, b)). Zum Beispiel kann es vorkommen, dass (bb) und verschiedene Werte für (b

[label{eq:3.5.2}y=f(x,y),quad y(b)=overline{y}]

die sich in jedem offenen Intervall unterscheiden, das (b) enthält. Daher muss (f) oder (f_y) an irgendeiner Stelle in jedem offenen Rechteck, das ((b, y) enthält, eine Diskontinuität haben, da sonst ef{eq:3.5.2 } hätte eine eindeutige Lösung für ein offenes Intervall, das (b) enthält. Wir überlassen es Ihnen, eine ähnliche Analyse für den Fall (a > −∞) durchzuführen.

Beispiel (PageIndex{1})

Betrachten Sie das Anfangswertproblem

[label{eq:3.5.3} y'={x^2-y^2 over 1+x^2+y^2}, quad y(x_0)=y_0.]

Schon seit

[f(x,y) = {x^2-y^2 over 1+x^2+y^2} quad ext{und} quad f_y(x,y) = -{2y(1 +2x^2)über (1+x^2+y^2)^2} onumber]

sind stetig für alle ((x,y)), Satz (PageIndex{1}) impliziert, dass, wenn ((x_0,y_0)) beliebig ist, dann Gleichung ef{eq:3.5.3} hat eine eindeutige Lösung für ein offenes Intervall, das (x_0) enthält.

Beispiel (PageIndex{2})

Betrachten Sie das Anfangswertproblem

[label{eq:3.5.4} y'={x^2-y^2 over x^2+y^2}, quad y(x_0)=y_0.]

Hier

[f(x,y) = {x^2-y^2 over x^2+y^2}quad ext{and} quad f_y(x,y) = -{4x^2y over (x^2+y^2)^2} onumber]

sind überall stetig, außer bei ((0,0)). Wenn ((x_0,y_0) e(0,0)), gibt es ein offenes Rechteck (R), das ((x_0,y_0)) enthält, das ((0,0) nicht enthält ). Da (f) und (f_y) auf (R) stetig sind, folgt aus Satz (PageIndex{1}) wenn ((x_0,y_0) e(0,0)) dann hat Gleichung ef{eq:3.5.4} eine eindeutige Lösung auf einem offenen Intervall, das (x_0) enthält.

Beispiel (PageIndex{3})

Betrachten Sie das Anfangswertproblem

[label{eq:3.5.5} y'={x+yover x-y},quad y(x_0)=y_0.]

Hier

[f(x,y) = {x+yover x-y}quad ext{and} quad f_y(x,y) = {2xover (x-y)^2} onumber]

sind überall stetig, außer auf der Geraden (y=x). Wenn (y_0 e x_0), gibt es ein offenes Rechteck (R), das ((x_0,y_0)) enthält, das die Gerade (y=x) nicht schneidet. Da (f) und (f_y) auf (R) stetig sind, impliziert Satz (PageIndex{1}), dass für (y_0 e x_0) Gleichung ef{eq:3.5 .5} hat eine eindeutige Lösung für ein offenes Intervall, das (x_0) enthält.

Beispiel (PageIndex{4})

In Beispiel 2.2.4 haben wir gesehen, dass die Lösungen von

[label{eq:3.5.6} y'=2xy^2]

sind

[yequiv0quad ext{und} quad y=-{1 over x^2+c}, onumber]

wobei (c) eine beliebige Konstante ist. Dies impliziert insbesondere, dass keine andere Lösung der Gleichung ef{eq:3.5.6} als (yequiv0) für jeden Wert von (x) gleich Null sein kann. Zeigen Sie, dass Satz (PageIndex{1b}) dies impliziert.

Wir erhalten einen Widerspruch, indem wir annehmen, dass Gleichung ef{eq:3.5.6} eine Lösung (y_1) hat, die für einen Wert von (x) gleich Null ist, aber nicht identisch Null ist. Wenn (y_1) diese Eigenschaft hat, gibt es einen Punkt (x_0) mit (y_1(x_0)=0), aber (y_1(x) e0) für einen Wert von (x ) in jedem offenen Intervall, das (x_0) enthält. Das bedeutet, dass das Anfangswertproblem

[label{eq:3.5.7} y'=2xy^2,quad y(x_0)=0]

hat zwei Lösungen (yequiv0) und (y=y_1), die sich für einen Wert von (x) in jedem offenen Intervall unterscheiden, das (x_0) enthält. Dies widerspricht Theorem (PageIndex{1})(b), da in Gleichung ef{eq:3.5.6} die Funktionen

[f(x,y)=2xy^2 quad ext{und} quad f_y(x,y)= 4xy. keine Nummer]

sind beide stetig für alle ((x,y)), was impliziert, dass Gleichung ef{eq:3.5.7} eine eindeutige Lösung auf einem offenen Intervall hat, das (x_0) enthält.

Beispiel (PageIndex{5})

Betrachten Sie das Anfangswertproblem

[label{eq:3.5.8} y' = {10over 3}xy^{2/5}, quad y(x_0) = y_0.]

  1. Für welche Punkte ((x_0,y_0)) impliziert Satz (PageIndex{1a}), dass Gleichung ef{eq:3.5.8} eine Lösung hat?
  2. Für welche Punkte ((x_0,y_0)) impliziert Satz (PageIndex{1b}), dass Gleichung ef{eq:3.5.8} eine eindeutige Lösung auf einem offenen Intervall hat, das (x_0) enthält ?

Lösung a

Schon seit

[f(x,y) = {10over 3}xy^{2/5} onumber]

ist stetig für alle ((x,y)), Satz (PageIndex{1}) impliziert, dass Gleichung ef{eq:3.5.8} eine Lösung für jedes ((x_0,y_0)) hat .

Lösung b

Hier

[f_y(x,y) = {4 over 3}xy^{-3/5} onumber]

ist stetig für alle ((x,y)) mit (y e 0). Wenn also (y_0 e0) existiert, gibt es ein offenes Rechteck, auf dem sowohl (f) als auch (f_y) stetig sind, und Satz (PageIndex{1}) impliziert, dass Gleichung ef{eq: 3.5.8} hat eine eindeutige Lösung für ein offenes Intervall, das (x_0) enthält.

Wenn (y=0) dann ist (f_y(x,y)) undefiniert und daher unstetig; daher gilt Satz (PageIndex{1}) nicht für Gleichung ef{eq:3.5.8}, wenn (y_0=0).

Beispiel (PageIndex{6})

Beispiel (PageIndex{5}) lässt die Möglichkeit offen, dass das Anfangswertproblem

[label{eq:3.5.9} y'={10 over 3}xy^{2/5}, quad y(0)=0]

hat mehr als eine Lösung für jedes offene Intervall, das (x_0=0) enthält. Zeigen Sie, dass dies wahr ist.

Lösung

Nach Betrachtung ist (yequiv0) eine Lösung der Differentialgleichung

[label{eq:3.5.10} y'={10 over 3} xy ^{2/5}.]

Da (yequiv0) die Anfangsbedingung (y(0)=0) erfüllt, ist es eine Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.9}.

Angenommen, (y) ist eine Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.10}, die nicht identisch Null ist. Trennen von Variablen in Gleichung ef{eq:3.5.10} ergibt yield

[y^{-2/5}y'={10 over 3}x onumber]

auf jedem offenen Intervall, in dem (y) keine Nullen hat. Integrieren und Umschreiben der beliebigen Konstanten als (5c/3) ergibt

[{5over 3}y^{3/5} = {5over 3}(x^2+c) . keine Nummer]

Deshalb

[label{eq:3.5.11} y = (x^2+c)^{5/3}. ]

Da wir in Gleichung ef{eq:3.5.10} durch (y) dividiert haben, um Variablen zu trennen, ist unsere Ableitung von Gleichung ef{eq:3.5.11} nur in offenen Intervallen legitim, in denen (y) . hat keine Nullen. Allerdings definiert Gleichung ef{eq:3.5.11} tatsächlich (y) für alle (x), und die Differenzierung von Gleichung ef{eq:3.5.11} zeigt, dass

[egin{ausgerichtet}y'={10 over 3}x(x^2+c)^{2/3}={10 over 3}xy^{2/5},,-infty end{ausgerichtet} ]

Daher erfüllt Gleichung ef{eq:3.5.11} Gleichung ef{eq:3.5.10} auf ((-infty,infty)) auch wenn (cle 0), so dass ( y(sqrt{|c|})=y(-sqrt{|c|})=0). Insbesondere ergibt sich aus (c=0) in Gleichung ef{eq:3.5.11}

[y=x^{10/3} onumber]

als zweite Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.9}. Beide Lösungen sind auf ((-infty,infty)) definiert und unterscheiden sich in jedem offenen Intervall, das (x_0=0) enthält (Abbildung (PageIndex{2})). Tatsächlich gibt es vier verschiedene Lösungen der Gleichung ef{eq:3.5.9} definiert auf ((-infty,infty)), die sich auf jedem offenen Intervall unterscheiden, das (x_0=0) enthält. Kannst du die anderen beiden identifizieren?

Beispiel (PageIndex{7})

Aus Beispiel (PageIndex{5}), das Anfangswertproblem

[label{eq:3.5.12} y'={10 over 3}xy^{2/5}, quad y(0)=-1]

hat eine eindeutige Lösung für ein offenes Intervall, das (x_0=0) enthält. Finden Sie eine Lösung und bestimmen Sie das größte offene Intervall ((a,b)), auf dem sie eindeutig ist.

Lösung

Sei (y) eine beliebige Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.12}. Wegen der Anfangsbedingung (y(0)=-1) und der Stetigkeit von (y) gibt es ein offenes Intervall (I), das (x_0=0) enthält, auf dem (y ) hat keine Nullstellen und hat folglich die Form Gleichung ef{eq:3.5.11}. Setzen von (x=0) und (y=-1) in Gleichung ef{eq:3.5.11} ergibt (c=-1), also

[label{eq:3.5.13} y=(x^2-1)^{5/3}]

für (x) in (I). Daher unterscheidet sich jede Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.12} von Null und ist durch Gleichung ef{eq:3.5.13} auf ((-1,1)); das heißt, Gleichung ef{eq:3.5.13} ist die eindeutige Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.12} auf ((-1,1)). Dies ist das größte offene Intervall, für das Gleichung ef{eq:3.5.12} eine eindeutige Lösung hat. Um dies zu sehen, beachte, dass Gleichung ef{eq:3.5.13} eine Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.12} auf ((-infty,infty)) ist. Von Aufgabe 2.2.15, gibt es unendlich viele andere Lösungen von Gleichung ef{eq:3.5.12}, die sich von Gleichung ef{eq:3.5.13} in jedem offenen Intervall größer als ((-1,1)) unterscheiden. Eine solche Lösung ist

[y = left{ egin{array}{cl} (x^2-1)^{5/3}, & -1 le x le 1, [6pt] 0, & |x |>1. end{array} ight. keine Nummer]

Beispiel (PageIndex{8})

Aus Beispiel (PageIndex{5})), das Anfangswertproblem

[label{eq:3.5.14} y'={10 over 3}xy^{2/5}, quad y(0)=1]

hat eine eindeutige Lösung für ein offenes Intervall, das (x_0=0) enthält. Finden Sie die Lösung und bestimmen Sie das größte offene Intervall, in dem sie eindeutig ist.

Lösung

Sei (y) eine beliebige Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.14}. Wegen der Anfangsbedingung (y(0)=1) und der Stetigkeit von (y) gibt es ein offenes Intervall (I), das (x_0=0) enthält, auf dem (y) hat keine Nullstellen und hat folglich die Form Gleichung ef{eq:3.5.11}. Setzen von (x=0) und (y=1) in Gleichung ef{eq:3.5.11} ergibt (c=1), also

[label{eq:3.5.15} y=(x^2+1)^{5/3}]

für (x) in (I). Daher unterscheidet sich jede Lösung der Gleichung ef{eq:3.5.14} von Null und ist durch Gleichung ef{eq:3.5.15} auf ((-infty,infty)); das heißt, Gleichung ef{eq:3.5.15} ist die eindeutige Lösung von Gleichung ef{eq:3.5.14} auf ((-infty,infty)). Abbildung (PageIndex{4})) zeigt den Graphen dieser Lösung.


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