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5.7E: Übungen


Übung (PageIndex{1})

Verwenden Sie die folgende Abbildung, um die Beziehung zwischen den rechteckigen, zylindrischen und sphärischen Koordinatensystemen zu identifizieren.

Für die folgenden Übungen werden die Zylinderkoordinaten (displaystyle (r,θ,z)) eines Punktes angegeben. Finden Sie die rechteckigen Koordinaten (displaystyle (x,y,z)) des Punktes.

1) (displaystyle (4,frac{π}{6},3))

Antworten

(displaystyle (2sqrt{3},2,3))

2) (displaystyle (3,frac{π}{3},5))

3) (displaystyle (4,frac{7π}{6},3))

Antworten

(displaystyle −2sqrt{3},−2,3))

4) (displaystyle (2,π,−4))

Für die folgenden Übungen werden die rechtwinkligen Koordinaten (displaystyle (x,y,z)) eines Punktes angegeben. Finden Sie die Zylinderkoordinaten (displaystyle (r,θ,z)) des Punktes.

5) (displaystyle (1,sqrt{3},2))

Antworten

(displaystyle (2,frac{π}{3},2))

6) (displaystyle (1,1,5))

7) (displaystyle (3,−3,7))

Antworten

(displaystyle (3sqrt{2},−frac{π}{4},7))

8) (displaystyle (−2sqrt{2},2sqrt{2},4))

Übung (PageIndex{2})

Für die folgenden Aufgaben wird die Gleichung einer Fläche in Zylinderkoordinaten angegeben. Finden Sie die Gleichung der Oberfläche in rechteckigen Koordinaten. Identifizieren und zeichnen Sie die Oberfläche.

9) [T] (displaystyle r=4)

Antworten

Ein Zylinder der Gleichung (displaystyle x^2+y^2=16,) mit Mittelpunkt im Ursprung und Linien parallel zum z-Achse,

10) [T] (displaystyle z=r^2cos^2θ)

11) [T] (displaystyle r^2cos(2θ)+z^2+1=0)

Antworten

Hyperboloid zweier Gleichungsblätter (displaystyle −x^2+y^2−z^2=1,) mit dem ja-Achse als Symmetrieachse,

12) [T] (displaystyle r=3sinθ)

13) [T] (displaystyle r=2cosθ)

Antworten

Zylinder der Gleichung (displaystyle x^2−2x+y^2=0,) mit Mittelpunkt (displaystyle (1,0,0)) und Radius (displaystyle 1), mit Strichen ruling parallel zum z-Achse,

14) [T] (displaystyle r^2+z^2=5)

15) [T] (displaystyle r=2secθ)

Antworten

Gleichungsebene (displaystyle x=2,)

16) [T] (displaystyle r=3cscθ)

Übung (PageIndex{3})

Für die folgenden Aufgaben wird die Gleichung einer Fläche in rechtwinkligen Koordinaten angegeben. Finden Sie die Gleichung der Oberfläche in Zylinderkoordinaten.

17) (displaystyle z=3)

Antworten

(displaystyle z=3)

18) (displaystyle x=6)

19) (displaystyle x^2+y^2+z^2=9)

Antworten

(displaystyle r^2+z^2=9)

20) (displaystyle y=2x^2)

21) (displaystyle x^2+y^2−16x=0)

Antworten

(displaystyle r=16cosθ,r=0)

22) (displaystyle x^2+y^2−3sqrt{x^2+y^2}+2=0)

Übung (PageIndex{4})

Für die folgenden Aufgaben werden die Kugelkoordinaten (displaystyle (ρ,θ,φ)) eines Punktes angegeben. Finden Sie die rechteckigen Koordinaten (displaystyle (x,y,z)) des Punktes.

23) (displaystyle (3,0,π))

Antworten

(displaystyle (0,0,−3))

24) (displaystyle (1,frac{π}{6},frac{π}{6}))

25) (displaystyle (12,−frac{π}{4},frac{π}{4}))

Antworten

(displaystyle (6,−6,sqrt{2}))

26) (displaystyle (3,frac{π}{4},frac{π}{6}))

Übung (PageIndex{5})

Für die folgenden Übungen werden die rechtwinkligen Koordinaten (displaystyle (x,y,z)) eines Punktes angegeben. Finden Sie die Kugelkoordinaten (displaystyle (ρ,θ,φ)) des Punktes. Drücken Sie das Maß der Winkel in Grad auf die nächste ganze Zahl gerundet aus.

27) (displaystyle (4,0,0))

Antworten

(displaystyle (4,0,90°))

28) (displaystyle (−1,2,1))

29) (displaystyle (0,3,0))

Antworten

(displaystyle (3,90°,90°))

30) (displaystyle (−2,2sqrt{3},4))

Übung (PageIndex{6})

Für die folgenden Aufgaben wird die Gleichung einer Fläche in Kugelkoordinaten angegeben. Identifizieren und zeichnen Sie die Oberfläche.

31) [T] (displaystyle ρ=3)

Antworten

Kugel der Gleichung (displaystyle x^2+y^2+z^2=9) zentriert im Ursprung mit Radius (displaystyle 3),

32) [T] (displaystyle φ=frac{π}{3})

33) [T] (displaystyle ρ=2cosφ)

Antworten

Kugel der Gleichung (displaystyle x^2+y^2+(z−1)^2=1) zentriert bei (displaystyle (0,0,1)) mit Radius (displaystyle 1) ,

34) [T] (displaystyle ρ=4cscφ)

35) [T] (displaystyle φ=frac{π}{2})

Antworten

Die xy-Ebene der Gleichung (displaystyle z=0,)

36) [T] (displaystyle ρ=6cscφsecθ)

Übung (PageIndex{7})

Für die folgenden Aufgaben wird die Gleichung einer Fläche in rechtwinkligen Koordinaten angegeben. Finden Sie die Gleichung der Oberfläche in Kugelkoordinaten. Identifizieren Sie die Oberfläche.

37) (displaystyle x^2+y^2−3z^2=0, z≠0)

Antworten

(displaystyle φ=frac{π}{3}) oder (displaystyle φ=frac{2π}{3};) Elliptischer Kegel

38) (displaystyle x^2+y^2+z^2−4z=0)

39) (displaystyle z=6)

Antworten

(displaystyle ρcosφ=6;) Ebene bei (displaystyle z=6)

40) (displaystyle x^2+y^2=9)

Übung (PageIndex{8})

Für die folgenden Übungen werden die Zylinderkoordinaten eines Punktes angegeben. Finden Sie die zugehörigen Kugelkoordinaten mit dem Maß des Winkels φ

im Bogenmaß auf vier Nachkommastellen gerundet.

41) [T] (displaystyle (1,frac{π}{4},3))

Antworten

(displaystyle (sqrt{10},frac{π}{4},0.3218))

42) [T] (displaystyle (5,π,12))

43) (displaystyle (3,frac{π}{2},3))

Antworten

(displaystyle (3sqrt{2},frac{π}{2},frac{π}{4}))

44) (displaystyle (3,−frac{π}{6},3))

Übung (PageIndex{9})

Für die folgenden Aufgaben werden die Kugelkoordinaten eines Punktes angegeben. Finden Sie die zugehörigen Zylinderkoordinaten.

45) (displaystyle (2,−frac{π}{4},frac{π}{2}))

Antworten

(displaystyle (2,−frac{π}{4},0))

46) (displaystyle (4,frac{π}{4},frac{π}{6}))

47) (displaystyle (8,frac{π}{3},frac{π}{2}))

Antworten

(displaystyle (8,frac{π}{3},0))

48) (displaystyle (9,−frac{π}{6},frac{π}{3}))

Übung (PageIndex{10})

Finden Sie für die folgenden Übungen das am besten geeignete Koordinatensystem zur Beschreibung der Körper.

49) Der im ersten Oktanten liegende Körper mit einer Ecke im Ursprung und eingeschlossen von einem Würfel der Kantenlänge (displaystyle a), wobei (displaystyle a>0)

Antworten

Kartesisches System, (displaystyle {(x,y,z)|0≤x≤a,0≤y≤a,0≤z≤a})

50) Eine Kugelschale, die durch den Bereich zwischen zwei konzentrischen Kugeln bestimmt wird, die im Ursprung zentriert sind, mit den Radien (displaystyle a) bzw. (displaystyle b), wobei (displaystyle b>a>0 )

51) Eine feste innere Kugel (displaystyle x^2+y^2+z^2=9) und ein äußerer Zylinder (displaystyle (x−frac{3}{2})^2+y^2 =frac{9}{4})

Antworten

Zylindrisches System, (displaystyle {(r,θ,z)∣r^2+z^2≤9,r≥3cosθ,0≤θ≤2π})

52) Eine zylindrische Schale der Höhe (displaystyle 10), die durch den Bereich zwischen zwei Zylindern mit gleichem Mittelpunkt, parallelen Linien und Radien von (displaystyle 2) bzw. (displaystyle 5) bestimmt wird

Übung (PageIndex{11})

53) [T] Verwenden Sie ein CAS, um den Bereich zwischen dem elliptischen Paraboloid (displaystyle z=x^2+y^2) und dem Kegel (displaystyle x^2+y^2−z^2 . in Zylinderkoordinaten darzustellen =0.)

Antworten

Die Region wird beschrieben durch die Punktmenge (displaystyle {(r,θ,z)∣∣0≤r≤1,0≤θ≤2π,r^2≤z≤r}.)

54) [T] Verwenden Sie ein CAS, um in Kugelkoordinaten die „Eiscreme-Kegel-Region“ oberhalb der xy-Ebene zwischen Kugel (displaystyle x^2+y^2+z^2=4) und elliptisch darzustellen Kegel (displaystyle x^2+y^2−z^2=0.)

Übung (PageIndex{12})

55) Washington, DC, liegt auf (displaystyle 39°) N und (displaystyle 77°) W (siehe folgende Abbildung). Angenommen, der Radius der Erde beträgt (displaystyle 4000) Meilen. Drücken Sie die Position von Washington, DC, in Kugelkoordinaten aus.

Antworten

(displaystyle (4000,−77°,51°))

56) San Francisco liegt auf (displaystyle 37,78°N) und (displaystyle 122,42°W.) Angenommen der Erdradius beträgt (displaystyle 4000)mi. Drücken Sie die Position von San Francisco in Kugelkoordinaten aus.

57) Finden Sie den Breiten- und Längengrad von Rio de Janeiro, wenn seine Kugelkoordinaten (displaystyle (4000,−43,17°,102,91°) sind.)

Antworten

(displaystyle 43,17°W, 22,91°S)

58) Finden Sie den Breiten- und Längengrad von Berlin, wenn seine Kugelkoordinaten (displaystyle (4000.13.38°,37.48°).) sind.

Übung (PageIndex{13})

59) [T] Betrachten Sie den Torus der Gleichung (displaystyle (x^2+y^2+z^2+R^2−r^2)^2=4R^2(x^2+y^2) ,) wobei (displaystyle R≥r>0.)

ein. Schreiben Sie die Torusgleichung in Kugelkoordinaten.

b. Wenn (displaystyle R=r,) ist, wird die Oberfläche Horntorus genannt. Zeigen Sie, dass die Gleichung eines Horntorus in Kugelkoordinaten (displaystyle ρ=2Rsinφ.) ist.

c. Verwenden Sie ein CAS, um den Horntorus mit (displaystyle R=r=2) in Kugelkoordinaten darzustellen.

Antworten

(displaystyle a. ρ=0, ρ+R2−r2−2Rsinφ=0;)

c.

60) [T] Die „holprige Kugel“ mit einer Gleichung in Kugelkoordinaten ist (displaystyle ρ=a+bcos(mθ)sin(nφ)), mit (displaystyle θ∈[0,2π]) und (displaystyle φ∈[0,π]), wobei (displaystyle a) und (displaystyle b) positive Zahlen sind und (displaystyle m) und (displaystyle n) positive ganze Zahlen sind, können in der angewandten Mathematik verwendet werden, um das Tumorwachstum zu modellieren.

ein. Zeigen Sie, dass die holprige Kugel in einer Kugel der Gleichung (displaystyle ρ=a+b.) enthalten ist. Bestimmen Sie die Werte von (displaystyle θ) und (displaystyle φ), bei denen die beiden Flächen schneiden.

b. Verwenden Sie ein CAS, um die Oberfläche für (displaystyle a=14, b=2, m=4,) und (displaystyle n=6) zusammen mit der Kugel (displaystyle ρ=a+b. )

c. Finden Sie die Gleichung der Schnittkurve der Fläche bei b. mit dem Kegel (displaystyle φ=frac{π}{12}). Zeichnen Sie die Schnittkurve in der Schnittebene.


Reebok B5.7e IWM Heimtrainer Testbericht

Die Reebok Performance-Serie von Heimtrainern gibt es schon seit einigen Jahren und hat sich bei Heimfitness-Enthusiasten als beliebte Wahl erwiesen. Der B5.7e IWM ist das neueste Modell der Serie und das Spitzenmodell (mit Ausnahme einer schwarzen Limited Edition, von der nur 500 Stück hergestellt wurden).

Also, ist dieses Fahrrad gut und worum geht es beim IWM? Beginnen wir mit dem Fahrrad selbst. Das Aussehen und das Design des Fahrrads folgen dem gleichen Muster wie die Einsteiger-Performance-Bikes, jedoch mit höherwertigen Komponenten. Der Sitz ist gut gepolstert und bequem und lässt sich sowohl seitlich als auch in der Höhe verstellen. Der Rennlenker ist ebenfalls verstellbar und durch die Kombination von Sitz- und Lenkerverstellung sollte es für Benutzer jeder Größe möglich sein, die perfekte Position zu finden.

Der B5.7e IWM ist dank eines anständigen 10 kg Schwungrads und der in der Konstruktion verwendeten Hochleistungskomponenten sehr leicht zu bedienen. Der Widerstandsmechanismus ist das M-Force EMS-System von Reebok. Dies ist ein elektromagnetisches System ohne bewegliche Teile – die Stärke des Widerstands wird durch Variieren der Stromstärke gesteuert, die durch einige Spulen geleitet wird. Dies bietet mehrere Vorteile gegenüber den herkömmlichen servounterstützten Magnetbremsen: Das Ändern des Widerstandsniveaus von der Konsole aus erfolgt fast augenblicklich und völlig geräuschlos und da es keine beweglichen Teile gibt, wird die Kalibrierung über einen längeren Zeitraum nicht driften.

Als Top-Modell der Reebok-Reihe ist das B5.7e IWM ein Ergometer mit einem Widerstandsbereich von 25-400W. Der Höchstwiderstand ist mit 400 W tatsächlich sehr hoch, aber wir können bestätigen, dass die Tretbewegung immer noch sehr glatt ist (obwohl dies nur für ein paar Minuten getestet wurde, da Ihr Rezensent wirklich Schwierigkeiten hatte! :s )

Die Konsole ist sehr übersichtlich mit einem großen, blauen LCD-Bildschirm, der alle wichtigen Feedback-Metriken anzeigt. Eine Sache, die uns an den Fitnessgeräten der Reebok Performance-Serie besonders gefällt, ist die Möglichkeit, mehrere Benutzerprofile einzurichten. Für jedes Profil können Sie Ihr Alter, Geschlecht, Gewicht und Größe eingeben und diese Daten werden von geeigneten Programmen (wie IWM-Programmen) verwendet, sowie um genauere Schätzungen des Kalorienverbrauchs bereitzustellen.

Bei den Programmen gibt es eine sehr gute Auswahl von 12 Programmen, die so ziemlich alle verschiedenen Trainingsmethoden abdecken, die Sie auf einem Heimtrainer ausführen. Wir freuen uns, dass dies ein Herzfrequenz-Kontrollprogramm beinhaltet. Zusätzlich zu den standardmäßigen Handgriff-Pulssensoren am Lenker ist mit dem B5.7e IWM eine genaue Herzfrequenzmessung möglich, da die Konsole über einen kabellosen Polar-Herzfrequenzempfänger verfügt. Sie benötigen nur einen standardmäßigen, uncodierten Polar-Brustgurt (nicht im Lieferumfang enthalten, aber an den meisten Orten für unter 25 £ erhältlich), um die Vorteile zu nutzen.

IWM steht für Interactive Weight Management und ist ein ziemlich einzigartiges Merkmal dieses Heimtrainers. Das Fahrrad wird mit einer drahtlosen Waage geliefert und sobald Sie dort ein Benutzerprofil eingerichtet haben, drücken Sie die IWM-Taste auf der Konsole, stellen Sie sich auf die Waage und Ihr Gewicht (auf die nächsten 10 Gramm gemessen) wird drahtlos an die Konsole. Die gemessenen Gewichtsdaten werden zusammen mit Ihren Profilinformationen von IWM verwendet, um ein benutzerdefiniertes Trainingsprogramm zu erstellen.

Wir haben herausgefunden, dass die IWM-Technologie auf dem Body-Mass-Index des Benutzers basiert, und obwohl die hier verwendete Wissenschaft nicht genau genug ist, um mit einem menschlichen Personal Trainer zu entsprechen, der den Fortschritt überwacht und bei Änderungen der Trainingsroutine berät, bietet sie jedoch Workout-Vielfalt und wir denken, es hilft bei der alles entscheidenden Motivation!

In Bezug auf die Garantie sind es die Standard-Reebok 2 Jahre Vor-Ort-Teile und -Arbeit. Sollte also etwas schief gehen, gibt es keinen Grund zur Sorge.

Das Reebok B5.7e IWM ist derzeit bei keinem uns bekannten Händler in Großbritannien erhältlich.
Es kann sich lohnen, bei ebay nach einer gebrauchten Maschine zu suchen

Das Reebok B5.7e IWM ist sicherlich ein großartiges Fahrrad mit hohen Spezifikationen, das normalerweise für 600 £ verkauft wird. Obwohl es absolut gesehen ein ausgezeichneter Heimtrainer ist, rechtfertigt es den Preis nicht. Da der Aktionsrabatt jedoch direkt von Reebok Fitness angeboten wird, führt dies zu einem Sub £450 Preis, ein Schnäppchen, das wir sehr empfehlen!


5.7E: Übungen

Trapezgewinde sind in der DIN 103 kodifiziert. Obwohl metrische Gewinde weltweit im Allgemeinen weiter verbreitet sind als zöllige Gewinde, ist das Acme-Gewinde weltweit sehr verbreitet und kann weiter verbreitet sein als das metrische Trapezgewinde.

Trapezgewinde sind in den ISO-Normen wie folgt definiert: ISO 2901, ISO 2901, ISO 2903, ISO 2904 und ISO 103. Lehren Metrisches ISO-Trapezgewinde sind in der DIN 103-9 definiert.

wo Tr bezeichnet ein Trapezgewinde, 8 der Nenndurchmesser in Millimeter ist und 1.5 ist die Steigung in Millimetern. Wenn kein Suffix vorhanden ist, handelt es sich um einen eingängigen Thread. Wenn ein Suffix vorhanden ist, ist der Wert nach dem Multiplikationszeichen die Steigung und der Wert in den Klammern die Tonhöhe. Beispielsweise:

TR 60 x 18 (P9) LH würde zwei Starts bedeuten, da der Vorsprung geteilt durch die Tonhöhe zwei ist. Das "LH" bezeichnet ein Linksgewinde.

Die Gewindeform und zugehörige Gleichungen zur Berechnung von Trapezgewinden finden Sie hier:
Externe ISO Metrische Trapezgewinde-Gewinde Tabelle TR320 - TR1120


Reebok B5.7e Heimtrainer

Das Reebok B5.7e Heimtrainer bietet Ihnen eine vollständig verstellbare Sitz- und Lenkereinstellung, die bei der Verwendung hervorragenden Komfort bietet, und bietet Ihnen die ideale Trainingsposition. Die Konsole liefert regelmäßiges und genaues Feedback zu allen wichtigen Trainingsdaten und die Pulssensoren am Handgriff garantieren Ihnen konsistente Herzfrequenzwerte, die auf der Konsole angezeigt werden. All diese Funktionen bieten Ihnen eine vollständige Personalisierung und ein anpassbares Training, das Ihren Bedürfnissen entspricht. Es eignet sich auch für verschiedene Benutzertypen, sodass alle Benutzer das Beste aus diesem hervorragenden Heimtrainer herausholen können.

Der B5.7e ist elegant, funktional und einfach zu bedienen und eignet sich für eine Reihe von Benutzern vom Hardcore-Radfahrer bis hin zum Gelegenheits-Fitness-User. Das magnetische Widerstandssystem sorgt für einen konstanten Widerstand während Ihrer gesamten Sitzung, während das große, ausbalancierte Schwungrad Ihnen einen reibungslosen Zyklusablauf garantiert.

Produktinformation

Beschreibung

Das Reebok B5.7e Heimtrainer bietet Ihnen eine vollständig verstellbare Sitz- und Lenkereinstellung, die bei der Verwendung hervorragenden Komfort bietet, und bietet Ihnen die ideale Trainingsposition. Die Konsole liefert regelmäßiges und genaues Feedback zu allen wichtigen Trainingsdaten und die Pulssensoren am Handgriff garantieren Ihnen konsistente Herzfrequenzwerte, die auf der Konsole angezeigt werden. All diese Funktionen bieten Ihnen eine vollständige Personalisierung und ein anpassbares Training, das Ihren Bedürfnissen entspricht. Es eignet sich auch für verschiedene Benutzertypen, sodass alle Benutzer das Beste aus diesem hervorragenden Heimtrainer herausholen können.

Der B5.7e ist elegant, funktional und einfach zu bedienen und eignet sich für eine Reihe von Benutzern vom Hardcore-Radfahrer bis hin zum Gelegenheits-Fitness-User. Das magnetische Widerstandssystem sorgt für einen konstanten Widerstand während Ihrer gesamten Sitzung, während das große, ausbalancierte Schwungrad Ihnen einen reibungslosen Zyklusablauf garantiert.

Hauptmerkmale

  • Schwungradgewicht: 10 kg (22 lbs)
  • Widerstand: Elektromagnetischer Widerstand, 25-400W in 5W Schritten
  • Bremssystem: M-Force EMS Elektroinduktion
  • Riemenübertragung: Poly-V-Riemen
  • Computer: LCD-Display mit blauer Hintergrundbeleuchtung
  • Feedback: Geschwindigkeit, Zeit, Distanz, Kalorien, Puls, U/min, Watt
  • Programme: 12 (5 Programme individuell bestimmbar und speicherbar)
  • Benutzerprofile: 9
  • Herzfrequenzmessung: ergonomische Handpulssensoren und integrierter Polar-Empfänger mit Brustsender (optional)
  • Sitzverstellung: vertikal & horizontal
  • Lenker: Einstellbar
  • Pedale: Komfortpedale mit Riemen
  • Anpassung der Bodenhöhe: Ja
  • Flaschenhalter: Ja
  • Transporträder: Ja
  • Maximales Benutzergewicht: 150 kg (330 lbs)
  • Produktgewicht: 41kg (90lbs)
  • Abmessungen: Länge = 100 cm (39,4 Zoll), Breite = 55 cm (21,6 Zoll), Höhe = 148 cm (58,3 Zoll)
  • Garantie: Hersteller vor Ort 2 Jahre Teile- und Arbeitsschutz

Lieferung

Wenn dieser Artikel als "auf Lager" angezeigt wird, wird Ihnen dieser Artikel KOSTENLOS mit einem Lieferservice am nächsten Tag an alle Postleitzahlen auf dem Festland von England, Wales und Schottland geliefert (ausgenommen Highlands und Inseln, wie in den Ausnahmen unten beschrieben).

Die Standardlieferung erfolgt am nächsten Werktag „signed for“-Service bei Lieferungen, Montag bis Freitag von 7.30 – 17.30 Uhr bis vor Ihre Haustür. Wenn Sie Ihre Bestellung verzögern möchten, um sicherzustellen, dass sie nach Hause kommt, oder um eine erweiterte Lieferung anzufordern, fordern Sie dies bitte während der Zahlung über die „besonderen Anweisungen“ an.

(Bitte beachten Sie, dass wir, wenn Sie diesen Artikel mit anderen Artikeln bestellen, versuchen, Ihre gesamte Bestellung nach Möglichkeit zusammen zu liefern).

An folgende Orte können wir leider nicht liefern:

Schottisches Hochland und Inseln (AB30-AB38, AB44-AB56, FK17-FK99, G83, HS1 - HS9, IV1- IV28, IV30 - IV39, IV41 - IV56, IV63, KA27- KA28, KW1 - KW17, PA20 - PA49, PA60 - PA78, PH17 - PH26, PH30 - PH44, PH49 - PH50, ZE), Nordirland (Alle nordirischen Postleitzahlen).

Bewertungen

  • Schwungradgewicht: 10 kg (22 lbs)
  • Widerstand: Elektromagnetischer Widerstand, 25-400W in 5W Schritten
  • Bremssystem: M-Force EMS Elektroinduktion
  • Riemenübertragung: Poly-V-Riemen
  • Computer: LCD-Display mit blauer Hintergrundbeleuchtung
  • Feedback: Geschwindigkeit, Zeit, Distanz, Kalorien, Puls, U/min, Watt
  • Programme: 12 (5 Programme individuell bestimmbar und speicherbar)
  • Benutzerprofile: 9
  • Herzfrequenzmessung: ergonomische Handpulssensoren und integrierter Polar-Empfänger mit Brustsender (optional)
  • Sitzverstellung: vertikal & horizontal
  • Lenker: Einstellbar
  • Pedale: Komfortpedale mit Riemen
  • Anpassung der Bodenhöhe: Ja
  • Flaschenhalter: Ja
  • Transporträder: Ja
  • Maximales Benutzergewicht: 150 kg (330 lbs)
  • Produktgewicht: 41kg (90lbs)
  • Abmessungen: Länge = 100 cm (39,4 Zoll), Breite = 55 cm (21,6 Zoll), Höhe = 148 cm (58,3 Zoll)
  • Garantie: Hersteller vor Ort 2 Jahre Teile- und Arbeitsschutz

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5.7E: Übungen

Trapezgewinde sind typischerweise präzisionsgewalzte Gewindeprofile und werden oft für Leitspindeln verwendet und sind der Acme-Gewindeform ähnlich, außer dass der Gewindewinkel 30° beträgt. Es ist in DIN 103 kodifiziert. Obwohl metrische Gewinde weltweit im Allgemeinen weiter verbreitet sind als zöllige Gewinde, ist das Acme-Gewinde weltweit sehr verbreitet und kann weiter verbreitet sein als das metrische Trapezgewinde.

Trapezgewinde sind in den ISO-Normen wie folgt definiert: ISO 2901, ISO 2901, ISO 2903, ISO 2904 und ISO 103. Lehren Metrisches ISO-Trapezgewinde sind in der DIN 103-9 definiert.

Diese Abmessungen werden durch die folgende Formel bestimmt:

D = Außendurchmesser des Innengewindes
d = Außengewinde-Außendurchmesser (Nenndurchmesser)
D2 = Steigungsspielraum des Innengewindes
d2 = Flankendurchmesser des Außengewindes
D1 = kleiner Durchmesser des Innengewindes
P = Tonhöhe
H = Höhe des Fundamentaldreiecks
H1 = Höhe Grundprofil
einc = Scheitelfreiheit
es = Grundabweichung bei Außengewinden

Trapezgewinde sind in ISO-Normen wie folgt definiert:

wo Tr bezeichnet ein Trapezgewinde, 8 der Nenndurchmesser in Millimeter ist und 1.5 ist die Steigung in Millimetern. Wenn kein Suffix vorhanden ist, handelt es sich um einen eingängigen Thread. Wenn ein Suffix vorhanden ist, ist der Wert nach dem Multiplikationszeichen die Steigung und der Wert in den Klammern die Tonhöhe. Beispielsweise:

TR 60 x 18 (P9) LH würde zwei Starts bedeuten, da der Vorsprung geteilt durch die Tonhöhe zwei ist. Das "LH" bezeichnet ein Linksgewinde.


Prognose: Prinzipien und Praxis (3. Aufl.)

In der Praxis haben wir natürlich eine Sammlung von Beobachtungen, aber wir kennen die Werte der Koeffizienten (eta_0,eta_1, dots, eta_k) nicht. Diese müssen aus den Daten geschätzt werden.

Das Prinzip der kleinsten Quadrate bietet eine Möglichkeit, die Koeffizienten effektiv auszuwählen, indem die Summe der quadrierten Fehler minimiert wird. Das heißt, wir wählen die Werte von (eta_0, eta_1, dots, eta_k), die [ sum_^T varepsilon_t^2 = sum_^T (y_t - eta_ <0>- eta_ <1>x_ <1,t>- eta_ <2>x_ <2,t>- cdots - eta_ x_)^2. ]

Das nennt man kleinsten Quadrate Schätzung, weil sie den kleinsten Wert für die Summe der quadrierten Fehler ergibt. Das Finden der besten Schätzungen der Koeffizienten wird oft als „Anpassen“ des Modells an die Daten oder manchmal als „Lernen“ oder „Training“ des Modells bezeichnet. Auf diese Weise wurde die in Abbildung 7.3 gezeigte Linie erhalten.

Wenn wir uns auf die geschätzt Koeffizienten verwenden wir die Notation (hateta_0, dots, hateta_k) . Die Gleichungen dafür werden in Abschnitt 7.9 angegeben.

Die Funktion TSLM() passt ein lineares Regressionsmodell an Zeitreihendaten an. Sie ähnelt der Funktion lm(), die häufig für lineare Modelle verwendet wird, aber TSLM() bietet zusätzliche Möglichkeiten für die Behandlung von Zeitreihen.

Beispiel: US-Konsumausgaben

Ein multiples lineares Regressionsmodell für den US-Konsum ist [ y_t=eta_0 + eta_1 x_<1,t>+ eta_2 x_<2,t>+ eta_3 x_<3,t>+ eta_4 x_<4,t >+varepsilon_t, ] wobei (y) die prozentuale Veränderung der realen persönlichen Konsumausgaben, (x_1) die prozentuale Veränderung des real verfügbaren persönlichen Einkommens, (x_2) die prozentuale Veränderung der Industrieproduktion ist , (x_3) ist die prozentuale Veränderung der persönlichen Ersparnisse und (x_4) ist die Veränderung der Arbeitslosenquote.

Die folgende Ausgabe enthält Informationen zum angepassten Modell. Die erste Spalte der Koeffizienten gibt eine Schätzung jedes (eta)-Koeffizienten an und die zweite Spalte gibt seinen Standardfehler an (dh die Standardabweichung, die durch wiederholtes Schätzen der (eta)-Koeffizienten auf ähnlichen Datensätzen erhalten würde ). Der Standardfehler gibt ein Maß für die Unsicherheit des geschätzten (eta)-Koeffizienten an.

Für Prognosezwecke sind die letzten beiden Spalten von begrenztem Interesse. Der „t-Wert“ ist das Verhältnis eines geschätzten (eta)-Koeffizienten zu seinem Standardfehler und die letzte Spalte gibt den p-Wert an: die Wahrscheinlichkeit, dass der geschätzte (eta)-Koeffizient so groß wie er ist wenn kein wirklicher Zusammenhang zwischen Verbrauch und dem entsprechenden Prädiktor besteht. Dies ist nützlich, wenn Sie die Wirkung jedes Prädiktors untersuchen, aber nicht besonders nützlich für Vorhersagen.

Angepasste Werte

Vorhersagen von (y) können erhalten werden, indem die geschätzten Koeffizienten in der Regressionsgleichung verwendet werden und der Fehlerterm auf Null gesetzt wird. Im Allgemeinen schreiben wir [egin Hut_t = hateta_ <0>+ hateta_ <1>x_ <1,t>+ hateta_ <2>x_ <2,t>+ cdots + hateta_ x_. ag <7.2>end] Einsetzen der Werte von (x_<1,t>,dots,x_) für (t=1,dots,T) liefert Vorhersagen von (y_t) innerhalb der Trainingsmenge, bezeichnet als referred angepasste Werte. Beachten Sie, dass dies Vorhersagen der Daten sind, die zur Schätzung des Modells verwendet werden, keine echten Vorhersagen zukünftiger Werte von (y) .

Die folgenden Diagramme zeigen die tatsächlichen Werte im Vergleich zu den angepassten Werten für die prozentuale Veränderung der US-Konsumausgabenreihe. Das Zeitdiagramm in Abbildung 7.6 zeigt, dass die angepassten Werte ziemlich genau den tatsächlichen Daten entsprechen. Dies wird durch die starke positive Beziehung bestätigt, die das Streudiagramm in Abbildung 7.7 zeigt.

Abbildung 7.6: Zeitdiagramm der tatsächlichen US-Konsumausgaben und der prognostizierten US-Konsumausgaben.

Abbildung 7.7: Tatsächliche US-Konsumausgaben im Vergleich zu den prognostizierten US-Konsumausgaben.

Güte der Anpassung

Eine übliche Methode, um zusammenzufassen, wie gut ein lineares Regressionsmodell an die Daten angepasst ist, ist das Bestimmtheitsmaß oder (R^2) . Dies kann als Quadrat der Korrelation zwischen den beobachteten (y)-Werten und dem vorhergesagten (hat) Werte. Alternativ kann es auch berechnet werden als, [ R^2 = frac_ - Bar)^2>-Bar)^2>, ] wobei die Summen über alle Beobachtungen sind. Somit spiegelt es den Anteil der Variation in der Prognosevariablen wider, der durch das Regressionsmodell berücksichtigt (oder erklärt) wird.

Bei der einfachen linearen Regression ist der Wert von (R^2) auch gleich dem Quadrat der Korrelation zwischen (y) und (x) (vorausgesetzt, ein Achsenabschnitt wurde eingeschlossen).

Wenn die Vorhersagen nahe an den tatsächlichen Werten liegen, würden wir erwarten, dass (R^2) nahe an 1 liegt. Wenn die Vorhersagen andererseits nicht mit den tatsächlichen Werten zusammenhängen, dann gilt (R^2=0 ) (wieder unter der Annahme, dass es einen Intercept gibt). In allen Fällen liegt (R^2) zwischen 0 und 1.

Der Wert (R^2) wird bei Prognosen häufig, wenn auch oft falsch, verwendet. Der Wert von (R^2) wird nie abnehmen, wenn dem Modell ein zusätzlicher Prädiktor hinzugefügt wird, und dies kann zu einer Überanpassung führen. Es gibt keine festen Regeln dafür, was ein guter (R^2)-Wert ist, und typische Werte von (R^2) hängen vom verwendeten Datentyp ab. Die Validierung der Vorhersageleistung eines Modells anhand der Testdaten ist viel besser als das Messen des (R^2)-Werts an den Trainingsdaten.

Beispiel: US-Konsumausgaben

Abbildung 7.7 zeigt die tatsächlichen Verbrauchswerte gegenüber den angepassten Werten. Die Korrelation zwischen diesen Variablen ist (r=0,877), also (R^2= 0,768) (in der Ausgabe oben gezeigt). In diesem Fall leistet das Modell hervorragende Arbeit, da es 76,8% der Variation der Verbrauchsdaten erklärt. Vergleichen Sie das mit dem (R^2)-Wert von 0,15, der aus der einfachen Regression mit demselben Datensatz in Abschnitt 7.1 erhalten wurde. Durch das Hinzufügen der drei zusätzlichen Prädiktoren konnte viel mehr der Variation der Verbrauchsdaten erklärt werden.

Standardfehler der Regression

Ein weiteres Maß dafür, wie gut das Modell die Daten angepasst hat, ist die Standardabweichung der Residuen, die oft als „Reststandardfehler“ bezeichnet wird. Dies wird in der obigen Ausgabe mit dem Wert 0,31 angezeigt.

Es wird berechnet mit [egin hat_e=sqrtSumme_^>, ag <7.3>end] wobei (k) die Anzahl der Prädiktoren im Modell ist. Beachten Sie, dass wir durch (T-k-1) dividieren, weil wir bei der Berechnung der Residuen (k+1)-Parameter (den Achsenabschnitt und einen Koeffizienten für jede Prädiktorvariable) geschätzt haben.

Der Standardfehler bezieht sich auf die Größe des durchschnittlichen Fehlers, den das Modell erzeugt. Wir können diesen Fehler mit dem Stichprobenmittelwert von (y) oder mit der Standardabweichung von (y) vergleichen, um einen Einblick in die Genauigkeit des Modells zu erhalten.

Der Standardfehler wird beim Generieren von Vorhersageintervallen verwendet, wie in Abschnitt 7.6 besprochen.


Das Wort auf der Straße

UPDATE: ꃞr NordicTrack E 5.7 wurde eingestellt und durch alle neuen, aktualisierten Modelle ersetzt.  Schauen Sie sich hier die neuesten Bewertungen an.

Zu den Merkmalen des NordicTrack E5.7 Ellipsentrainers gehören ein kräftiger 250-Pfund-Rahmen mit den Maßen 65 x 27 x 70 Zoll, sowie Transporträder und ein Wirbelstrom-Magnetbremssystem mit 20 digitalen Widerstandsstufen.

Die Schrittlänge kann von 18" - 20" eingestellt werden und die Rampe kann manuell von einer flachen Ebene bis zu einem Steigung von 20 Grad. Es ist auch eine gut aussehende Maschine mit einer platinmetallischen Farbe und bietet eine Benutzergewichtskapazität von bis zu 300 Pfund sowie iFit Live-Funktion.

Aber hier endet die gute Nachricht. Während die oben aufgeführten Spezifikationen verlockend erscheinen, stellen Sie, sobald Sie eine Handvoll Benutzerbewertungen gelesen haben, fest, dass dieser 599-Dollar-Trainer weder gut konzipiert noch gut gebaut ist. Wenn es funktioniert, bietet der NordicTrack E5.7 beim Treten ein abgehacktes elliptisches Gefühl, das größere Fahrer sofort bemerken werden.

Aber die alarmierendste Tatsache ist, dass bis zu 50% der Benutzer, die Online-Bewertungen veröffentlichen, berichten von Problemen mit der Konstruktion mit versagenden Schweißnähten, brechenden Pedalen und Armen und anderen Herstellungsfehlern.


5.6 Eigentumsrechte, Rechtsstaatlichkeit und Wahlrecht

Bruno findet die neuen Regeln, nach denen er ein Angebot macht, das Angela nicht ablehnt, doch gar nicht so schlecht. Angela geht es auch besser als zuvor, als sie kaum genug zum Überleben hatte. Aber sie möchte sich am Überschuss beteiligen.

Fairness – das Gesetz mit demokratischen Mitteln ändern

Angela und ihre Landarbeiter setzen sich für ein neues Gesetz ein, das die Arbeitszeit auf 4 Stunden pro Tag begrenzt, während die Gesamtvergütung mindestens 4,5 Scheffel beträgt. Sie drohen, überhaupt nicht zu arbeiten, es sei denn, das Gesetz wird verabschiedet.

Bruno Angela, Sie und Ihre Kollegen bluffen. Angela Nein, das sind wir nicht. Wir wären mit unserer Reservierungsoption nicht schlechter dran als mit Ihrem Vertrag, arbeiten die Stunden und erhalten den kleinen Bruchteil der Ernte, die Sie auferlegen!

Angela und ihre Kollegen gewinnen, und das neue Gesetz begrenzt den Arbeitstag auf 4 Stunden.

Vor dem Kurzarbeitsgesetz arbeitete Angela 8 Stunden und erhielt 4,5 Scheffel Getreide. Dies ist Punkt D in Abbildung 5.11. Das neue Gesetz setzt die Aufteilung um, bei der Angela und ihre Freunde 4 Stunden arbeiten, 20 Stunden Freizeit und die gleiche Anzahl Scheffel bekommen. Da sie die gleiche Menge Getreide und mehr Freizeit haben, sind sie besser dran. Abbildung 5.11 zeigt, dass sie sich jetzt auf einer höheren Indifferenzkurve befinden.

Die Wirkung einer Erhöhung der Verhandlungsmacht von Angela durch die Gesetzgebung.

Abbildung 5.11 Die Wirkung einer Erhöhung der Verhandlungsmacht von Angela durch die Gesetzgebung.

Vor dem Kurzarbeitsgesetz

Bruno macht ein Take-it-or-leave-it-Angebot, bekommt Getreide gleich CD und Angela arbeitet 8 Stunden lang. Angela befindet sich auf ihrer Reservierungsindifferenzkurve bei D und MRS = MRT.

Abbildung 5.11a Bruno macht ein Take-it-or-leave-it-Angebot, bekommt Getreide gleich CD und Angela arbeitet 8 Stunden lang. Angela befindet sich auf ihrer Reservierungsindifferenzkurve bei D und MRS = MRT.

What Angela receives before legislation

Angela gets 4.5 bushels of grain. She is just indifferent between working for 8 hours and her reservation option.

Figure 5.11b Angela gets 4.5 bushels of grain. She is just indifferent between working for 8 hours and her reservation option.

The effect of legislation

With legislation that reduces work to 4 hours a day and keeps Angela’s amount of grain unchanged, she is on a higher indifference curve at F. Bruno’s grain is reduced from CD to EF (2 bushels).

Figure 5.11c With legislation that reduces work to 4 hours a day and keeps Angela’s amount of grain unchanged, she is on a higher indifference curve at F. Bruno’s grain is reduced from CD to EF (2 bushels).

When Angela works for 4 hours, the MRT is larger than the MRS on the new indifference curve.

Figure 5.11d When Angela works for 4 hours, the MRT is larger than the MRS on the new indifference curve.

To sum up, the introduction of the new law has increased Angela’s bargaining power and Bruno is worse off than before. You can see that she is better off at F than at D. She is also better off than she would be with her reservation option, which means she is now receiving an economic rent.

Angela’s rent can be measured, in bushels of grain, as the vertical distance between her reservation indifference curve (IC1 in Figure 5.10) and the indifference curve she is able to achieve under the new legislation (IC2). We can think of the economic rent in two equivalent ways:

  • What she would give up to live under a better law: The rent is the maximum amount of grain per year that Angela would give up to live under the new law rather than in the situation before the law was passed.
  • What she would pay to pass a new law: Because Angela is obviously political, it is also the amount she would be willing to pay in order to have the law passed, for example, by lobbying the legislature or contributing to election campaigns.

Question 5.10 Choose the correct answer(s)

In Figure 5.11, D and F are the outcomes before and after the introduction of a new law that limits Angela’s work time to 4 hours a day while requiring a minimum pay of 4.5 bushels. Based on this information, which of the following statements are correct?

  • The change from D to F is a Pareto improvement.
  • The new outcome F is Pareto efficient.
  • Both Angela and Bruno receive economic rents at F.
  • As a result of the new law, Bruno has less bargaining power.
  • It is not a Pareto improvement, because Bruno is worse off (gets less grain) at F than at D.
  • At outcome F, where Angela works for 4 hours, MRT > MRS (compare the slopes of the feasible frontier and indifference curve). Therefore, it cannot be Pareto efficient. (For example, Bruno could be better off without making Angela worse off, if they could move to the left along IC2.)
  • At F, Angela is above her reservation indifference curve and is thus receiving an economic rent. Bruno’s reservation option is to receive nothing, so the grain he receives at F is an economic rent for him.
  • At D, Bruno obtained rent equal to CD, and Angela obtained no rent. At F, his rent is much lower—the law has increased Angela’s bargaining power and reduced Bruno’s.

Efficiency: Bargaining to an efficient sharing of the surplus

Angela and her friends are pleased with their success. She asks what you think of the new policy.

You Congratulations, but your policy is far from the best you could do. Angela Why? You Because you are not on the Pareto efficiency curve! Under your new law, Bruno is getting 2 bushels, and cannot make you work for more than 4 hours. So why don’t you offer to continue to pay him 2 bushels, in exchange for agreeing to let you keep anything you produce above that? Then you get to choose how many hours you work.

The small print in the law allows a longer work day if both parties agree, as long as the workers’ reservation option is a 4-hour day if no agreement is reached.

Now redraw Figure 5.11 and use the concepts of the joint surplus and the Pareto efficiency curve from Figure 5.10 to show Angela how she can get a better deal.

You Look at Figure 5.12. The surplus is largest at 8 hours of work. When you work for 4 hours, the surplus is smaller, and you pay most of it to Bruno. If you increase the surplus, you can pay him the same amount and your own surplus will be bigger—so you will be better off. Follow the steps in Figure 5.12 to see how this works.

Bargaining to restore Pareto efficiency.

Figure 5.12 Bargaining to restore Pareto efficiency.

The maximum joint surplus

The surplus to be divided between Angela and Bruno is maximized where MRT = MRS, at 8 hours of work.

Figure 5.12a The surplus to be divided between Angela and Bruno is maximized where MRT = MRS, at 8 hours of work.

But Angela prefers point F implemented by the legislation, because it gives her the same amount of grain but more free time than D.

Figure 5.12b But Angela prefers point F implemented by the legislation, because it gives her the same amount of grain but more free time than D.

Angela could also do better than F

Compared to F, however, she would prefer any allocation on the Pareto efficiency curve between C and G.

Figure 5.12c Compared to F, however, she would prefer any allocation on the Pareto efficiency curve between C and G.

At allocation H, Bruno gets the same amount of grain—CH = EF. Angela is better off than she was at F. She works longer hours but has more than enough grain to compensate her for the loss of free time.

Figure 5.12d At allocation H, Bruno gets the same amount of grain—CH = EF. Angela is better off than she was at F. She works longer hours but has more than enough grain to compensate her for the loss of free time.

A win–win agreement by moving to an allocation between G and H

F is not Pareto efficient because MRT > MRS. If they move to a point on the Pareto efficiency curve between G and H, Angela and Bruno can both be better off.

Figure 5.12e F is not Pareto efficient because MRT > MRS. If they move to a point on the Pareto efficiency curve between G and H, Angela and Bruno can both be better off.

The move away from point D (at which Bruno had all the bargaining power and obtained all the gains from exchange) to point H where Angela is better off consists of two distinct steps:

  1. From D to F, the outcome is imposed by new legislation: This was definitely not win–win. Bruno lost because his economic rent at F is less than the maximum feasible rent that he got at D. Angela benefitted.
  2. Once at the legislated outcome, there were many win–win possibilities open to them: They are shown by the segment GH on the Pareto efficiency curve. Win–win alternatives to the allocation at F are possible by definition, because F was not Pareto efficient.

Bruno wants to negotiate. He is not happy with Angela’s proposal of H.

Bruno I am no better off under this new plan than I would be if I just accepted the short-hours legislation. You But Bruno, Angela now has bargaining power, too. The legislation changed her reservation option, so it is no longer 24 hours of free time at survival rations. Her reservation option is now the legislated allocation at point F. I suggest you make her a counter offer. Bruno Angela, I’ll let you work the land for as many hours as you choose, if you pay me half a bushel more than EF.

They shake hands on the deal.

Because Angela is free to choose her work hours, subject only to paying Bruno the extra half bushel, she will work for 8 hours where MRT = MRS. Because this deal lies between G and H, it is a Pareto improvement over point F. Moreover, because it is on the Pareto-efficient curve CD, we know there are no further Pareto improvements to be made. This is true of every other allocation on GH—they differ only in the distribution of the mutual gains, as some favour Angela while others favour Bruno. Where they end up will depend on their bargaining power.

Question 5.11 Choose the correct answer(s)

In Figure 5.12, Angela and Bruno are at allocation F, where she receives 3 bushels of grain for 4 hours of work. From the figure, we can conclude that:

  • All the points on EF are Pareto efficient.
  • Any point in the area between G, H and F would be a Pareto improvement.
  • Any point between G and D would be a Pareto improvement.
  • They would both be indifferent between all points on GH.
  • Along EF, MRS < MRT. Therefore, EF is not Pareto efficient—there are other allocations where both would be better off.
  • In area GHF, Angela is on a higher indifference curve than IC2, and Bruno has more grain than EF, so both are better off.
  • Points on GD are Pareto efficient, but below G, Angela is on a lower indifference curve than at F, so she would be worse off.
  • Points on GH are all Pareto efficient, but Bruno and Angela are not indifferent. He prefers points nearer to G, and she prefers points nearer to H.

Seminar

The seminar this week is devoted to learning how to use the Synth package in R. This package has been developed to make it easier to implement synthetic control designs, though as you will see it does have a somewhat idiosyncratic coding style. You will need to install the package and load it as we have done in previous weeks:

6.0.1 The effect of Economic and Monetary Union on Current Account Balances – Hope (2016)

In early 2008, about a decade after the Euro was first introduced, the European Commission published a document looking back at the currency’s short history and concluded that the European Economic and Monetary Union was a “resounding success”. By the end of 2009 Europe was at the beginning of a multiyear sovereign debt crisis, in which several countries – including a number of Eurozone members – were unable to repay or refinance their government debt or to bail out over-indebted banks. Although the causes of the Eurocrisis were many and varied, one aspect of the pre-crisis era that became particularly damaging after 2008 were the large and persistent current account deficits of many member states. Current account imbalances – which capture the inflows and outflows of both goods and services and investment income – were a marked feature of the post-EMU, pre-crisis era, with many countries in the Eurozone running persistent current account deficits (indicating that they were net borrowers from the rest of the world). Large current account deficits make economies more vulnerable to external economic shocks because of the risk of a sudden stop in capital used to finance government deficits.

David Hope investigates the extent to which the introduction of the Economic and Monetary Union in 1999 was responsible for the current account imbalances that emerged in the 2000s. Using the sythetic control method, Hope evaluates the causal effect of EMU on current account balances in 11 countries between 1980 and 2010. In this exercise, we will focus on just one country – Spain – and evaluate the causal effect of joining EMU on the Spanish current account balance. Of the (J) countries in the sample, therefore, (j = 1) is Spain, and (j=2. 16) will represent the “donor” pool of countries. In this case, the donor pool consists of 15 OECD countries that did not join the EMU: Australia, Canada, Chile, Denmark, Hungary, Israel, Japan, Korea, Mexico, New Zealand, Poland, Sweden, Turkey, the UK and the US.

The hope_emu.csv file contains data on these 16 countries across the years 1980 to 2010. The data includes the following variables:

  1. period – the year of observation
  2. country_ID – the country of observation
  3. country_no – a numeric country identifier
  4. CAB – current account balance
  5. GDPPC_PPP – GDP per capita, purchasing power adjusted
  6. invest – Total investment as a % of GDP
  7. gov_debt – Government debt as a % of GDP
  8. openness – trade openness
  9. demand – domestic demand growth
  10. x_price – price level of exports
  11. gov_deficit – Government primary balance as a % of GDP
  12. credit – domestic credit to the private sector as a % of GDP
  13. GDP_gr – GDP growth in %

Use the read.csv function to load the data into R now. For this assignment, we will need the qualitative variables to be stored as character variables, rather than the factor encoding that R uses by default. For this reason, we will set the stringsAsFactors arugment in the read.csv function to be false.

Frage 1. Plotting Spain’s current account balance

Plot the trajectory of the Spanish current account balance over time in red. Add other lines to the plot for the current account balance for 3 other countries (using the lines() function). Plot an additional dashed vertical line in 1999 to mark the introduction of the EMU (use the abline function, setting the v argument to the appropriate number). Would you be happy using any of them on their own as the control group?

None of these individual countries is a perfect approximation to the pre-treatment trend for Spain, although the US and the UK lines are clearly closer than the Japanese line. The goal of the synthetic control analysis is to create a weighting scheme which, when applied to all countries in the donor pool, creates a closer match to the pre-intervention treated unit trend than any of the individual countries do alone.

Frage 2. Preparing the synthetic control

The Synth package takes data in a somewhat unusual format. The main function we will use to get our data.frame into the correct shape is the dataprep() function. Look at the help file for this function using ?dataprep . You will see that this function requires us to correctly specify a number of different arguments. I have summarised the main arguments you will need to use in the table below:

Argument Beschreibung
foo This is where we put the data.frame that we want to use for the analysis
predictors This argument expeects a vector of names for the covariates we would like to use to estimate the model. You will need to use the c() function, and enter in all the variable names that you will be using.
dependent The name of the dependent variable in the analysis (here, "CAB" )
unit.variable The name of the variable that identifies each unit (must be numeric)
unit.names.variable The name of the variable that contains the name for each unit (here, "country_ID" )
time.varaible The name of the variable that identifies each time period (must be numeric)
treatment.identifier The identifying number of the treatment unit (must correspond to the value for the treated unit in unit.variable )
controls.identifier The identifying numbers of the control units (must correspond to the values for the control units in unit.variable )
time.predictors.prior A vector indicating the time periods before the treatment
time.optimize.ssr Another vector indicating the time periods before the treatment
time.plot A vector indicating the time periods before and after the treatment

Use the dataprep() function to prepare the emu data. Try on your own first, and then look at the solution below.

Frage 3. Estimating the synthetic control

Fortunately, though getting the data in the prep function correctly can be a pain, estimating the synthetic control is very straightforward. Use the synth() function on the dataprep_out object that you just created, remembering to assign the output to a new object.

Hinweis: It can take a few minutes for this function to run, so be patient!

R prints some details when it finishes the estimation of the synthetic control, but these are a little difficult to interpret directly. Instead, we will move on to interpreting the types of plots that we saw in the lecture.

Frage 4. Plotting the results

Use synth’s path.plot() and gaps.plot() functions to produce plots which compare Spain’s actual current account balance trend to that of the synthetic Spain you have just created. These function takes two main arguments, and then some additional styling arguments to make the plot look nice:

Argument Beschreibung
synth.res This is where we put the saved output of the synth() function (i.e. the estimated synthetic control object)
dataprep.res This is where we put the saved output of the dataprep() function (i.e. the data we used to estimate the synthetic control).
tr.intake A number to indicate the time of the treatment intake (here, 1999)
Xlab The name of the variable on the x-axis (here, "Time" )
Ylab The name of the variable on the x-axis (here, "Current account balance" )
Legend Optional text for the legend of the plot.
Ylim The range of the y-axis (here, c(-10,5) )

Look at the help file for more details.

Interpret these plots. What do they suggest about the effect of the introduction of EMU on the Spanish current account balance?

The synthetic version of Spain provides a reasonably good approximation to the pre-treatment trend of Spain, as there are only small differences in the Current Account Balance between real Spain and synthetic Spain before 1999.

In addition, it is clear that the trajectory of Spain and its synthetic control diverge significantly after the EMU is introduced in 1999. In particular, the actual Spanish current account balance deteriorated much more than the current account balances of the synthetic control unit in the post-EMU period. This therefore provides some empirical support for the hypothesis that the introduction of the EMU caused the current account balances of Spain to deteriorate.

Frage 5. Interpreting the synthetic control unit

A crucial strength of the synthetic control approach is that it allows us to be very transparent about the comparisons we are making when making causal inferences. In particular, we know that the synthetic Spain that we created in question 2 is a weighted average of the 15 OECD non-EMU countries in our data. Let’s practice some of this transparency now by reporting the estimated vector of country weights in a nice table.

Look in the help file for ?synth , and read the “Value” section of that page. The value section will tell you all of the things that are returned by a function. You can access them by using the dollar sign operator that we have used in the past to extract variables from a data.frame.

ein. What are the top five countries contributing to synthetic Spain?

As the table shows (I have contructed this table using the information from the lines of code above), the main contributors to synthetic Spain are Great Britain, Mexico, Australia and Japan, with a smaller contribution from Poland.

b. Fortunately, there is an easier way to extract this information as well as a) information on the weights assigned to each of the predictor variables in the model, and b) the balance on each predictor variable across the treated country and the synthetic country. Look at the help file for the synth.tab() function and apply that function to the output of the synth() and dataprep() functions from the questions above. Which variables contribute the most to the synthetic control? Is the synthetic control unit closer to the treated unit in terms of the covariates than the sample mean?

The country-weights are stored in synth.tables$tab.w , and contain the same information as the table that I constructed manually above.

synth.tables$tab.v contains the weights assigned to each of the predictor variables in the model. As this table shows, the highest weight is assigned to the x_price variable,which suggests that the price level of exports is an important predictor for matching the pre-treatment trend of current account balances in Spain to those of other countries. GDP per capita, the degree of domestic demand growth, and the degree of trade openness are all important for this reason as well.

synth.tables$tab.pred gives the mean of each of the predictor variables in the Treated unit (Spain), the Synthetic unit that is constructed by the synthetic control method, and for the entire sample. It is clear from the table that for all these variables, the synthetic unit is a much closer match for the treated unit than is the sample as a whole. This is, in fact, the whole point of synthetic control! It allows us to construct a control unit that is as similar as possible to our treatment unit.

Frage 6. Estimate a placebo synthetic control treatment effect

One way to check the validity of the synthetic control is to estimate “placebo” effects – i.e. effects for units that were not exposed to the treatment. In this question we will replicate the analysis above for Australia, which did not join EMU in 1999.

ein. In constructing synthetic Australia, we must exclude Spain – the actual treatment unit – from the analysis. Before you repeat the steps above for Australia, create a new data.frame that doesn’t include the Spanish observations.

Note: Here you will want to select all rows of the emu data for which the country_ID variable is nicht equal to "ESP" .

b. Now repeat the steps above to estimate the synthetic control for Australia.

c. What does the estimated treatment effect for Australia tell you about the validity of the design for estimating the treatment effect of the EMU on the Spanish current account balance?

The placebo test here supports the inferences drawn from the main synthetic control analysis. There is clearly no effect of the introduction of EMU on the current account balance of Australia. Of course, full permutation inference would require re-estimating the synthetic control for jeder unit in the donor pool, not just Australia, and comparing the distribution of these placebo treatment effects to the treatment effect for Spain. In the homework, you will be asked to complete this analysis.

d. Compare the treatment effects from the Australian synthetic control analysis and the Spanish synthetic control analysis in terms of the pre- and post-treatment root mean square error values.

We can calculate the root mean squared prediction error for the pre-and post-intervention periods for both Australia and Spain. Recall that the the RMSE measures the size of the gap between the outcome of interest in each country and its synthetic counterpart. Large values of the ratio of the pre- and post-RMSEs provides evidence that the treatment effect is large. (We take the ratio of these measures because a large post-treatment RMSE is not itself sufficient evidence of a large treatment effect, because the synthetic control may be a poor approximation to the unit of interest. We account for the quality of the synthetic control unit by diving the post-treatment RMSE by the pre-treatment RMSE).

The ratio of the RMSEs is much larger for Spain than for Australia, confirming the insight we took from the plots: the (null) placebo effect we estimated for Australia gives additional strength to our conclusion about the treatment effect we estimated for Spain.


Page History

27 November 2008 - Benchmark
25 January 2009 - Added information on British use
20 September 2009 - Added information for mounts on Hornet (CV-8) in 1942 and on Essex class (CVS-9) post-war
22 December 2009 - Added note on proposed Jean Bart reconstruction
14 January 2011 - Added information on USS Albany and USS Long Beach mountings, added cutaway sketch
27 February 2011 - Additional information on projectiles, including dyes and Chaff
13 October 2011 - Corrected typographical errors, added Mark 30 trunnion height
02 May 2012 - Added comment regarding USS Carpenter rearmament, added comments regarding missile cruiser conversions
17 October 2012 - Modified Mount / Turret note about HMS Delhi
25 October 2012 - Minor changes for clarity
24 February 2013 - Added rearmament data
05 July 2014 - Added information about crew for Mark 21 mounting and added crew diagram for Mark 21 Mounting
12 January 2016 - Added armor protection, train/elevation rates for Mark 21
03 June 2016 - Converted to HTML 5 format
07 June 2017 - Added note regarding barrel wear during Okinawa campaign
05 July 2017 - Added photograph of USS Independence and reorganized notes
20 August 2017 - Added photograph of USS Mansfield
20 February 2018 - Reorganized notes
29 September 2018 - Minor formatting changes
12 January 2019 - Added and redid mounting sketches
16 June 2019 - Added notes and sketch regarding those DEs fitted with Hedgehog ASW
31 August 2019 - Minor changes for clarity
09 August 2020 - Added use of Mark 24 mounting, added details and sketch for Mark 25 mounting, added notes regarding blast hood for mount captain and ejected cartridge cases and added photographs of USS Lamson (DD-367), USS Jarvis (DD-393) and USS Walke (DD-416)
23 October 2020 - Updated to latest template and added sketch of Mark 38 Mod 2 twin mounting
01 December 2020 - Added photograph of USS Farragut (DD-348)


Schau das Video: e ăn gan gà nè (September 2021).