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16.5: Curl und Divergenz - Mathematik


In diesem letzten Abschnitt werden wir einige Beziehungen zwischen dem Gradienten, der Divergenz und der Wellung herstellen und auch eine neue Größe namens called einführen Laplace. Wir werden dann zeigen, wie man diese Größen in Zylinder- und Kugelkoordinaten schreibt.

Gradient

Für eine reellwertige Funktion (f(x,y,z)) auf (mathbb{R}^ 3) ist der Gradient (∇f(x, y, z)) ein Vektor- bewertete Funktion auf (mathbb{R}^ 3), d. h. ihr Wert an einem Punkt ((x, y, z)) ist der Vektor

[ onumber f (x, y, z) = left ( dfrac{∂f}{ ∂x} , dfrac{∂f}{ ∂y} , dfrac{∂f}{ ∂z} rechts) = dfrac{∂f}{ ∂x} extbf{i} + dfrac{∂f}{ ∂y} extbf{j} + dfrac{∂f}{ ∂z} extbf{k} ]

in (mathbb{R}^ 3), wobei jede der partiellen Ableitungen am Punkt ((x, y, z)) ausgewertet wird. Auf diese Weise können Sie sich die Symbol (∇) als „angewandt“ auf eine reellwertige Funktion (f), um einen Vektor (∇f) zu erzeugen.

Es stellt sich heraus, dass Divergenz und Kräuselung auch durch das Symbol (∇) ausgedrückt werden können. Dies geschieht, indem man sich (∇) als a . vorstellt Vektor in (mathbb{R}^ 3), nämlich

[∇ = dfrac{∂}{ ∂x} extbf{i} + dfrac{∂}{ y} extbf{j} + dfrac{∂}{ ∂z} extbf{k} . Etikett{Gl.4.51}]

Hier sind die Symbole (dfrac{∂}{ ∂x} ,, dfrac{∂}{∂y} ext{ und }dfrac{∂}{ ∂z}) zu denken als „ partielle Ableitungsoperatoren“, die auf eine reellwertige Funktion „angewendet“ werden, sagen wir (f (x, y, z)), um die partiellen Ableitungen (dfrac{∂f}{ ∂x} , , dfrac{ f}{ ∂y} ext{ und }dfrac{∂f}{ z}). Zum Beispiel erzeugt (dfrac{∂}{ ∂x}) „angewandt“ auf (f (x, y, z) ext{ }dfrac{∂f}{ ∂x}).

Ist (∇) Ja wirklich ein Vektor? Genau genommen nein, da (dfrac{∂}{ ∂x} ,, dfrac{∂}{ ∂y} ext{ und }dfrac{∂}{ ∂z}) keine tatsächlichen Zahlen sind. Aber es hilft Überlegen von (∇) als Vektor, insbesondere mit Divergenz und Krümmung, wie wir gleich sehen werden. Der Vorgang des „Anwendens“ von (dfrac{∂}{ ∂x} ,, dfrac{∂}{ ∂y} ,, dfrac{∂}{ ∂z}) auf eine reellwertige Funktion (f (x, y, z)) wird normalerweise als multiplizieren die Mengen:

[ onumber left ( dfrac{∂}{ x} ight ) (f ) = dfrac{∂f}{ ∂x},, left ( dfrac{∂}{ ∂y} ight ) (f ) = dfrac{∂f}{ ∂y} ,, left ( dfrac{∂}{ ∂z} ight ) (f ) = dfrac{∂f}{ ∂z}]

Aus diesem Grund wird (∇) oft als „del-Operator“ bezeichnet, da er auf Funktionen „operiert“.

Abweichungen

Zum Beispiel ist es oft bequem, die Divergenz div f als (∇cdot extbf{f}), da für ein Vektorfeld ( extbf{f}(x, y, z) = f_1(x, y, z) extbf{i}+ f_2( x, y, z) extbf{j}+ f_3(x, y, z) extbf{k}), das Skalarprodukt von f mit (∇) (als Vektor gedacht) macht Sinn:

[ onumber egin{align} · extbf{f} &= left ( dfrac{∂}{ ∂x} extbf{i} + dfrac{∂}{ ∂y} extbf{j} + dfrac{∂}{∂z} extbf{k} ight ) · (f_1(x, y, z) extbf{i} + f_2(x, y, z) extbf{j} + f_3( x, y, z) extbf{k}) [4pt] onumber &= left ( dfrac{∂}{ ∂x} ight ) (f_1) + left ( dfrac{∂}{ ∂ y} ight ) (f_2) + left ( dfrac{∂}{ ∂z} ight ) (f_3) [4pt] onumber &= dfrac{∂f_1}{ ∂x} + dfrac{ ∂f_2}{ ∂y} + dfrac{∂f_3}{ ∂z} [4pt] onumber &= ext{div } extbf{f} [4pt] end{align}]

Wir können auch curl schreiben f in Bezug auf (∇), nämlich als (∇ × extbf{f}), denn für ein Vektorfeld ( extbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z ) extbf{i}+Q(x, y, z) extbf{j}+ R(x, y, z) extbf{k}), gilt:

[ onumber egin{align} ∇ × extbf{f} &= egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} [4pt] dfrac{∂} { ∂x} & dfrac{∂}{ ∂y} & dfrac{∂}{ ∂z} [4pt] onumber P(x, y, z) & Q(x, y, z) & R (x, y, z) [4pt] end{vmatrix} [4pt] onumber &=left ( dfrac{∂R}{ ∂y} − dfrac{∂Q}{ ∂z} ight) extbf{i} − left ( dfrac{∂R}{ ∂x} − dfrac{∂P}{ ∂z} ight ) extbf{j} + left ( dfrac{∂Q }{ ∂x} − dfrac{∂P}{ y} ight ) extbf{k} [4pt] onumber &= left ( dfrac{∂R}{ ∂y} − dfrac{ ∂Q}{ ∂z} ight ) extbf{i} + left (dfrac{∂P}{ ∂z}-dfrac{∂R}{ ∂x} ight ) extbf{j} + links ( dfrac{∂Q}{ ∂x} − dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) extbf{k} [4pt] onumber &= ext{curl } extbf{f} [4pt] end{ausrichten}]

Für eine reellwertige Funktion (f (x, y, z)) ist der Gradient (∇f (x, y, z) = dfrac{∂f}{ ∂x} extbf{i} + dfrac{∂f}{ ∂y} extbf{j} + dfrac{∂f}{ ∂z} extbf{k}) ist ein Vektorfeld, also können wir seine Divergenz nehmen:

[ onumber egin{align} ext{div }∇f &= ∇· f [4pt] onumber &=left ( dfrac{∂}{ ∂x} extbf{i} + dfrac{∂}{ ∂y} extbf{j} + dfrac{∂}{ ∂z} extbf{k} ight ) · left ( dfrac{∂f}{ ∂x} extbf{i} + dfrac{∂f}{ y} extbf{j} + dfrac{∂f}{ ∂z} extbf{k} ight ) [4pt] onumber &=dfrac{∂}{ ∂x} left ( dfrac{∂f}{ x} ight ) + dfrac{∂}{ ∂y} left ( dfrac{∂f}{ ∂y} ight ) + dfrac{∂ }{ z} left ( dfrac{∂f}{ ∂z} ight ) [4pt] onumber &= dfrac{∂^2 f}{ ∂x^ 2} + dfrac{∂^ 2 f}{ y^ 2} + dfrac{∂^ 2 f}{ ∂z^ 2} [4pt] end{align}]

Beachten Sie, dass dies eine reellwertige Funktion ist, der wir einen speziellen Namen geben werden:

Definition 4.7: Laplace

Für eine reellwertige Funktion (f (x, y, z)) gilt Laplace von (f), bezeichnet mit (∆f), ist gegeben durch

[∆f (x, y, z) = ∇· f = dfrac{∂^ 2 f}{ ∂x^ 2} + dfrac{∂^ 2 f}{ ∂y^ 2} + dfrac{ ∂^ 2 f}{ ∂z^ 2} .label{Gl.4.52}]

Oft wird für den Laplace-Operator die Notation (∇^2 f) anstelle von (∆f) verwendet, wobei die Konvention (∇^ 2 = ∇· ∇) verwendet wird.

Beispiel 4.17

Sei ( extbf{r}(x, y, z) = x extbf{i}+y extbf{j}+z extbf{k}) das Ortsvektorfeld auf (mathbb{R }^3). Dann ist (lVert extbf{r}(x, y, z) Vert^2 = extbf{r} · extbf{r} = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2) reell -wertige Funktion. Finden

  1. die Steigung von (lVert extbf{r} Vert ^2)
  2. die Divergenz von ( extbf{r})
  3. die Locke von ( extbf{r})
  4. der Laplace-Operator von (lVert extbf{r} Vert ^2)

Lösung:

(a) (∇ Vert extbf{r} Vert^2 = 2x extbf{i}+2y extbf{j}+2z extbf{k} = 2 extbf{r})

(b) (∇· extbf{r} = dfrac{∂}{ ∂x} (x)+ dfrac{∂}{ ∂y} (y)+ dfrac{∂}{ ∂z} (z ) = 1+1+1 = 3)

(c)

[ onumber ∇ × extbf{r} = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} [4pt] dfrac{∂}{ ∂x} & dfrac{∂}{ y} & dfrac{∂}{ ∂z} [4pt] x & y & z [4pt] end{vmatrix} = (0−0) extbf{i} − (0−0) extbf{j} + (0−0) extbf{k} = extbf{0} ]

(d) (∆ lVert extbf{r} Vert ^2 = dfrac{∂^ 2}{ ∂x^ 2} (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 )+ dfrac{∂^ 2}{ y^ 2} (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 )+ dfrac{∂^ 2}{ ∂z^ 2} (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 ) = 2 +2+2 = 6)

Beachten Sie, dass wir (∆lVert extbf{r} Vert^2) auch anders berechnen können, indem wir die Notation (∇) zusammen mit den Teilen (a) und (b) verwenden:

[ onumber ∆lVert extbf{r} Vert ^2 = ∇· ∇ lVert extbf{r} Vert ^2 = ∇· 2 extbf{r} = 2∇· extbf{r} = 2(3) = 6]

Beachten Sie, dass wir in Beispiel 4.17, wenn wir die Kurve des Gradienten von (lVert extbf{r} Vert ^2) nehmen,

[ onumber ∇ × (∇ Vert extbf{r} Vert ^2 ) = ∇ × 2 extbf{r} = 2∇ × extbf{r} = 2 extbf{0} = extbf{0 } .]

Der folgende Satz zeigt, dass dies im Allgemeinen der Fall sein wird:

Satz 4.15.

Für jede glatte reellwertige Funktion (f (x, y, z), ∇ × (∇f ) = extbf{0}).

Beweis

Wir sehen an der Glätte von f das

[egin{align} ∇ × (∇f ) &= egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} [4pt] dfrac{∂}{ ∂x } & dfrac{∂}{ ∂y} & dfrac{∂}{ ∂z} [4pt] dfrac{∂f}{ ∂x} & dfrac{∂f}{ ∂y} & dfrac {∂f}{ ∂z} [4pt] end{vmatrix} [4pt] &= left ( dfrac{∂^ 2 f}{ ∂y∂z} − dfrac{∂^ 2 f }{ z∂y} ight ) extbf{i} − left ( dfrac{∂^ 2 f}{ ∂x∂z} − dfrac{∂^ 2 f}{ ∂z∂x} ight ) extbf{j} + left ( dfrac{∂^ 2 f}{ ∂x∂y} − dfrac{∂^ 2 f}{ ∂y∂x} ight ) extbf{k} = extbf {0} ,[4pt] end{align}]

da die gemischten partiellen Ableitungen in jeder Komponente gleich sind.

(Quadrat)

Folgerung 4.16

Hat ein Vektorfeld (f(x, y, z)) ein Potential, dann curl ( extbf{f} = extbf{0}).

Eine andere Möglichkeit, Satz 4.15 zu formulieren, besteht darin, dass Gradienten drehungsfrei sind. Beachten Sie auch, dass in Beispiel 4.17 die Divergenz der Locke von r wir bekommen trivial

[∇· (∇ × extbf{r}) = ∇· extbf{0} = 0 .]

Der folgende Satz zeigt, dass dies im Allgemeinen der Fall sein wird:

Satz 4.17.

Für jedes glatte Vektorfeld ( extbf{f}(x, y, z), ∇· (∇ × extbf{f}) = 0.)

Der Beweis ist einfach und bleibt dem Leser als Übungsaufgabe.

Folgerung 4.18

Der Fluss der Windung eines glatten Vektorfeldes (f(x, y, z)) durch jede geschlossene Fläche ist null.

Beweis: Sei (Σ) eine geschlossene Fläche, die einen Festkörper (S) begrenzt. Der Fluss von (∇ × extbf{f}) durch (Σ) ist

[egin{align} iintlimits_Σ (∇ × extbf{f})· dσ &= iiintlimits_S ∇· (∇ × extbf{f}), dV ext{ (nach dem Divergenzsatz )} [4pt] &= iiiintlimits_S 0, dV ext{ (nach Satz 4.17)} [4pt] &= 0 [4pt] end{align}]

( ag{( extbf{QED})})

Es gibt eine andere Methode zum Beweis von Satz 4.15, die nützlich sein kann und oft in der Physik verwendet wird. Wenn nämlich das Flächenintegral (iintlimits_Σ f (x, y, z),dσ = 0) für alle Flächen (Σ) in einem festen Bereich (normalerweise alle von (mathbb{R}^ 3) ), dann müssen wir (f (x, y, z) = 0) überall in diesem Bereich haben. Der Beweis ist nicht trivial, und Physiker machen sich normalerweise nicht die Mühe, ihn zu beweisen. Aber das Ergebnis ist wahr und kann auch auf Doppel- und Dreifachintegrale angewendet werden.

Um beispielsweise Satz 4.15 zu beweisen, nehmen wir an, dass (f(x, y, z)) eine glatte reellwertige Funktion auf (mathbb{R}^ 3) ist. Sei (C) eine einfache geschlossene Kurve in (mathbb{R}^ 3) und sei (Σ) eine beliebige Deckfläche für (C) (dh (Σ) ist orientierbar und seine Grenze ist (C)). Da (∇f) ein Vektorfeld ist, dann ist

[ onumber egin{align} iintlimits_Σ (∇ × (∇f ))· extbf{n},dσ &= oint_C ∇f · d extbf{r} ext{ nach Satz von Stokes , also} [4pt] onumber &= 0 ext{ nach Korollar 4.13.} [4pt] end{align}]

Da (Σ) willkürlich gewählt wurde, muss ((∇×(∇f ))· extbf{n} = 0) durch (mathbb{R}^ 3) gelten, wobei have nein ist ein beliebiger Einheitsvektor. Verwenden von ich, j und k anstelle von nein, sehen wir, dass wir (∇ × (∇f ) = extbf{0}) in (mathbb{R}^ 3) haben müssen, was den Beweis vervollständigt.

Beispiel 4.18

Ein System elektrischer Ladungen hat a Ladungsdichte (ρ(x, y, z)) und erzeugt ein elektrostatisches Feld ( extbf{E}(x, y, z)) an Punkten ((x, y, z)) im Raum. Gaußsches Gesetz besagt, dass

[ onumber iintlimits_Σ extbf{E}· dσ = 4π iiiintlimits_S ρ ,dV]

für jede geschlossene Fläche (Σ), die die Ladungen einschließt, wobei (S) der von (Σ) eingeschlossene feste Bereich ist. Zeigen Sie, dass (∇· extbf{E} = 4πρ). Dies ist einer von Maxwell-Gleichungen.

Lösung

Nach dem Divergenzsatz haben wir

[ onumber egin{align} iiintlimits_S ∇· extbf{E} dV &= iintlimits_Σ extbf{E}· dσ [4pt] onumber &= 4π iiintlimits_S ρ ,dV ext{ nach dem Gaußschen Gesetz, also ergibt die Kombination der Integrale} [4pt] onumber iiiintlimits_S (∇· extbf{E}−4πρ) ,dV &= 0 ext{ , also} [4pt] onumber ∇· extbf{E}−4πρ &= 0 ext{ da }Σ ext{ und damit } S ext{ beliebig war, also} [4pt] onumber ∇· textbf{E} &= 4πρ. [4pt] end{ausrichten}]

Oft (insbesondere in der Physik) ist es praktisch, andere Koordinatensysteme zu verwenden, wenn es um Größen wie Gradient, Divergenz, Curl und Laplace-Funktion geht. Wir werden die Formeln dafür in Zylinder- und Kugelkoordinaten darstellen.

Erinnern Sie sich an Abschnitt 1.7, dass ein Punkt ((x, y, z)) in Zylinderkoordinaten ((r,θ, z), ext{ mit }x = r cos θ , y = r sin θ, z = z.) An jedem Punkt ((r,θ, z), ext{ let } extbf{e}_r, extbf{e}_θ, extbf{e}_z ext{ seien Einheitsvektoren in Richtung steigender }r, θ, z,) (siehe Abbildung 4.6.1). Dann bilden ( extbf{e}_r, extbf{e}_θ, extbf{e}_z) eine orthonormale Menge von Vektoren. Beachte nach der Rechts-Hand-Regel, dass ( extbf{e}_z × extbf{e}_r = extbf{e}_θ.)

Ebenso kann ein Punkt ((x, y, z)) in Kugelkoordinaten ((ρ,θ,φ)) dargestellt werden, wobei (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ.) An jedem Punkt ((ρ,θ,φ)) sei ( extbf{e}_ρ, extbf{e}_θ, extbf{ e}_φ) jeweils Einheitsvektoren in Richtung steigender (ρ, θ, φ) sein (siehe Abbildung 4.6.2). Dann sind die Vektoren ( extbf{e}_ρ, extbf{e}_θ, extbf{e}_φ) orthonormal. Nach der Rechte-Hand-Regel sehen wir, dass ( extbf{e}_θ × extbf{e}_ρ = extbf{e}_φ).

Wir können nun die Ausdrücke für Gradient, Divergenz, Curl und Laplace in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten in den folgenden Tabellen zusammenfassen:

Kartesisch

((x, y, z)): Skalarfunktion (F); Vektorfeld ( extbf{f} = f_1 extbf{i}+ f_2 extbf{j}+ f_3 extbf{k})

  • Steigung : (∇F = dfrac{∂F}{ ∂x} extbf{i} + dfrac{∂F}{ ∂y} extbf{j} + dfrac{∂F}{ ∂z} textbf{k})
  • Divergenz : (∇· extbf{f} = dfrac{∂f_1}{ ∂x} + dfrac{∂f_2}{ ∂y} + dfrac{∂f_3}{ ∂z})
  • curl : (∇ × extbf{f} = left ( dfrac{∂f_3}{ ∂y} − dfrac{∂f_2}{ ∂z} ight ) extbf{i} + left ( dfrac {∂f_1}{ ∂z} − dfrac{∂f_3}{ ∂x} ight ) extbf{j} + left ( dfrac{∂f_2}{ ∂x} − dfrac{∂f_1}{ ∂ y} ight) extbf{k})
  • Laplace-Operator: (∆F = dfrac{∂^ 2F}{ ∂x^ 2} + dfrac{∂^ 2F}{ ∂y^ 2} + dfrac{∂^ 2F}{ ∂z^ 2})

Zylindrisch

((r,θ, z)): Skalarfunktion (F); Vektorfeld ( extbf{f} = f_r extbf{e}_r + f_θ extbf{e}_θ + f_z extbf{e}_z)

  • Steigung : (∇F = dfrac{∂F}{ ∂r} extbf{e}_r + dfrac{1}{ r}dfrac{ ∂F}{ ∂θ} extbf{e}_θ + dfrac{∂F}{ ∂z} extbf{e}_z)
  • Divergenz : (∇· extbf{f} = dfrac{1}{ r}dfrac{ ∂}{ ∂r} (r f_r) + dfrac{1}{ r} dfrac{∂f_θ}{ ∂ } + dfrac{∂f_z}{ ∂z})
  • curl : (∇ × extbf{f} = left ( dfrac{1}{ r} dfrac{∂f_z}{ ∂θ} − dfrac{∂f_θ}{ ∂z} ight ) extbf{ e}_r + left ( dfrac{∂f_r}{ ∂z} − dfrac{∂f_z}{ ∂r} ight ) extbf{e}_θ + dfrac{1}{ r} left ( dfrac{∂}{ ∂r} (r f_θ)− dfrac{∂f_r}{ ∂θ} ight ) extbf{e}_z)
  • Laplace-Operator: (∆F = dfrac{1}{ r}dfrac{ ∂}{ ∂r} left ( r dfrac{∂F}{ ∂r} ight ) + dfrac{1}{ r^ 2} dfrac{∂^ 2F}{ ∂θ^2} + dfrac{∂^ 2F}{ ∂z^ 2})

Sphärisch

((ρ,θ,φ)): Skalarfunktion (F); Vektorfeld ( extbf{f} = f_ρ extbf{e}_ρ + f_θ extbf{e}_θ + f_φ extbf{e}_φ)

  • Steigung : (∇F = dfrac{∂F}{ ∂ρ} extbf{e}_ρ + dfrac{1}{ ρ sin φ} dfrac{∂F}{ ∂θ} extbf{e} _θ + dfrac{1}{ ρ}dfrac{ ∂F}{ ∂φ} extbf{e}_φ)
  • Divergenz : (∇· extbf{f} = dfrac{1}{ ρ^ 2} dfrac{∂}{ ∂ρ} (ρ^ 2 f_ρ) + dfrac{1}{ ρ} sin φ dfrac{∂f_θ}{ ∂θ} + dfrac{1}{ ρ sin φ} dfrac{∂}{ ∂φ} (sin φ f_θ))
  • curl : (∇ × extbf{f} = dfrac{1}{ ρ sin φ} left ( dfrac{∂}{ ∂φ} (sin φ f_θ)− dfrac{∂f_φ}{ ∂ θ} ight ) extbf{e}_ρ + dfrac{1}{ ρ} left ( dfrac{∂}{ ∂ρ} (ρ f_φ)− dfrac{∂f_ρ}{ ∂φ} ight ) extbf{e}_θ + left ( dfrac{1}{ ρ sin φ} dfrac{∂f_ρ}{ ∂θ} − dfrac{1}{ ρ} dfrac{∂}{ ∂ρ} ( ρ f_θ) ight ) extbf{e}_φ)
  • Laplace-Operator: (∆F = dfrac{1}{ ^ 2} dfrac{∂}{ ∂ρ} left ( ρ^ 2 dfrac{∂F}{ ∂ρ} ight ) + dfrac{1 }{ ρ^ 2 sin^2 φ} dfrac{∂^ 2F}{ ∂θ^2} + dfrac{1}{ ρ^ 2 sin φ} dfrac{∂}{ ∂φ} left ( sin φ dfrac{∂F}{ ∂φ} ight ) )

Die Herleitung der obigen Formeln für Zylinder- und Kugelkoordinaten ist einfach, aber äußerst mühsam. Die Grundidee besteht darin, das kartesische Äquivalent der fraglichen Größe zu nehmen und durch die entsprechende Koordinatentransformation in diese Formel einzusetzen. Als Beispiel leiten wir die Formel für die Steigung in Kugelkoordinaten her.

Tor: Zeigen Sie, dass die Steigung einer reellwertigen Funktion (F(ρ,θ,φ)) in Kugelkoordinaten ist:

[ onumber ∇F = dfrac{∂F}{ ∂ρ} extbf{e}_ρ + dfrac{1}{ ρ sin φ} dfrac{∂F}{ ∂θ} extbf{e} _θ +dfrac{1}{ ρ}dfrac{ F}{ ∂φ} extbf{e}_φ]

Idee: In der kartesischen Gradientenformel (∇F(x, y, z) = dfrac{∂F}{ ∂x} extbf{i}+ dfrac{∂F}{ ∂y} extbf{j}+ dfrac{∂F}{ ∂z} extbf{k}), setze die kartesischen Basisvektoren ich, j, k in Form der Kugelkoordinaten-Basisvektoren ( extbf{e}_ρ, extbf{e}_θ, extbf{e}_φ) und Funktionen von (ρ, θ ext{ und }φ). Dann setze die partiellen Ableitungen (dfrac{∂F}{ ∂x} , dfrac{∂F}{ ∂y} , dfrac{∂F}{ ∂z}) in Bezug auf (dfrac{∂ F}{ ∂ρ} , dfrac{∂F}{ ∂θ} , dfrac{∂F}{ ∂φ}) und Funktionen von (ρ, θ ext{ und }φ).

Schritt 1: Erhalte Formeln für ( extbf{e}_ρ, extbf{e}_θ, extbf{e}_φ) in Bezug auf ich, j, k.

Wir sehen aus Abbildung 4.6.2, dass der Einheitsvektor ( extbf{e}_ρ) in (ρ)-Richtung an einem allgemeinen Punkt ((ρ,θ,φ)) ( extbf {e}_ρ = dfrac{ extbf{r}}{ lVert extbf{r} Vert} , ext{ wobei } extbf{r} = x extbf{i} + y extbf{j} + z extbf{k}) ist der Ortsvektor des Punktes in kartesischen Koordinaten. So,

[ onumber extbf{e}_ρ = dfrac{ extbf{r}}{ lVert extbf{r} Vert} = dfrac{x extbf{i}+ y extbf{j}+ z extbf{k}}{ sqrt{ x^ 2 + y^ 2 + z^ 2}} ,]

also mit (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, ext{ und }ρ = sqrt{ x^ 2 + y^ 2 + z ^ 2}), erhalten wir:

[ onumber fbox{( extbf{e}_ρ = sin φ cos θ extbf{i} + sin φ sin θ extbf{j} + cos φ extbf{k}) }]

Da nun der Winkel (θ) in der (xy)-Ebene gemessen wird, dann muss der Einheitsvektor ( extbf{e}_θ ext{ in }θ)-Richtung parallel zu (xy)-Ebene. Das heißt, ( extbf{e}_θ ext{ hat die Form }a extbf{i} + b extbf{j} + 0 extbf{k}). Um herauszufinden, was (a ext{ und }b) sind, beachte, dass da ( extbf{e}_θ perp extbf{e}_ρ), insbesondere ( extbf{e}_θ perp extbf{e}_ρ), wenn ( extbf{e}_ρ ext{ in der }xy)-Ebene liegt. Das ist der Fall, wenn der Winkel (φ ext{ }π/2) ist. Setzt man (φ = π/2) in die Formel für ( extbf{e}_ρ ext{ ein, erhält man } extbf{e}_ρ = cos θ extbf{i}+sin θ extbf{j }+0 extbf{k}), und wir sehen, dass ein dazu senkrechter Vektor (−sin θ extbf{i}+cos θ extbf{j}+0 extbf{k}) ist. . Da dieser Vektor ebenfalls ein Einheitsvektor ist und in die (positive) Richtung (θ) zeigt, muss er ( extbf{e}_θ) lauten:

[ onumber fbox{( extbf{e}_θ = −sin θ extbf{i} + cos θ extbf{j} + 0 extbf{k})}]

Da ( extbf{e}_φ = extbf{e}_θ × extbf{e}_ρ,) schließlich gilt:

[ onumber fbox{( extbf{e}_φ = cos cos θ extbf{i} + cos φ sin θ extbf{j} − sin φ extbf{k}) }]

Schritt 2: Verwenden Sie die drei Formeln aus Schritt 1, um nach aufzulösen ich, j, k in Bezug auf ( extbf{e}_ρ, extbf{e}_θ, extbf{e}_φ).

Dies läuft darauf hinaus, ein System von drei Gleichungen in drei Unbekannten zu lösen. Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu tun, aber wir werden es tun, indem wir die Formeln für ( extbf{e}_ρ ext{ und } extbf{e}_φ ext{ kombinieren, um }k zu eliminieren), was uns eine Gleichung mit nur ich und j. Mit der Formel für ( extbf{e}_}) erhalten wir dann ein System von zwei Gleichungen in zwei Unbekannten (ich und j), mit dem wir zuerst auflösen nach j dann für ich. Schließlich lösen wir für k.

Beachten Sie zunächst, dass

[ onumber sin extbf{e}_ρ + cos extbf{e}_φ = cos θ extbf{i} + sin θ extbf{j}]

so dass

[ onumber sin θ (sin φ extbf{e}_ρ + cos φ extbf{e}_φ) + cos θ extbf{e}_θ = (sin^2 θ +cos^2 θ) extbf{j} = extbf{j} ,]

und so:

[ onumber fbox{( extbf{j} = sin φ sin θ extbf{e}_ρ + cos θ extbf{e}_θ + cos φ sin θ extbf{e}_φ )}]

Ebenso sehen wir das

[ onumber cos θ (sin φ extbf{e}_ρ + cos φ extbf{e}_φ) − sin θ extbf{e}_θ = (cos^2 θ +sin^2 θ) extbf{i} = extbf{i} ,]

und so:

[ onumber fbox{( extbf{i}} = sin φ cos θ extbf{e}_ρ − sin θ extbf{e}_θ + cos φ cos θ extbf{e}_φ )}]

Zuletzt sehen wir das:

[ onumber fbox{( extbf{k} = cos φ extbf{e}_ρ − sin φ extbf{e}_φ)}]

Schritt 3: Erhalten Sie Formeln für (dfrac{∂F}{ ∂ρ} , dfrac{∂F}{ ∂θ} , dfrac{∂F}{ ∂φ} ext{ in Bezug auf }dfrac{∂F} { x} , dfrac{∂F}{ ∂y} , dfrac{∂F}{ ∂z}).

Nach der Kettenregel haben wir

[ onumber egin{align} dfrac{∂F}{ ∂ρ} &= dfrac{∂F}{ ∂x} dfrac{∂x}{ ∂ρ} + dfrac{∂F}{ ∂ y}dfrac{ y}{ ∂ρ} + dfrac{∂F}{ ∂z} dfrac{∂z}{ ∂ρ}, [4pt] onumber dfrac{∂F}{ ∂θ } &= dfrac{∂F}{ ∂x} dfrac{∂x}{ ∂θ} + dfrac{∂F}{ ∂y} dfrac{∂y}{ ∂θ} + dfrac{∂F }{ z} dfrac{∂z}{ ∂θ}, [4pt] onumber dfrac{∂F}{ ∂φ} &= dfrac{∂F}{ ∂x} dfrac{∂x }{ ∂φ} + dfrac{∂F}{ ∂y} dfrac{∂y}{ ∂φ} + dfrac{∂F}{ ∂z} dfrac{∂z}{ ∂φ} , [4pt] end{align}]

was ergibt:

[fbox{( onumber egin{align} dfrac{∂F}{ ∂ρ} &= sin φ cos θdfrac{∂F}{ ∂x} + sin φ sin θ dfrac{∂F}{ ∂y} + cos φ dfrac{∂F}{ ∂z} [4pt] onumber dfrac{∂F}{ ∂θ} &= −ρ sin φ sin θ dfrac{∂F}{ ∂x} + ρ sin φ cos θ dfrac{∂F}{ ∂y} [4pt] onumber dfrac{∂F}{ ∂φ} &= ρ cos φ cos dfrac{∂F}{ ∂x} + ρ cos sin θ dfrac{∂F}{ ∂y} − ρ sin φ dfrac{∂F}{ ∂z} [ 4pt] end{ausrichten})}]

Schritt 4: Verwenden Sie die drei Formeln aus Schritt 3, um nach (dfrac{∂F}{ ∂x} , dfrac{∂F}{ ∂y} , dfrac{∂F}{ ∂z}) in Bezug auf aufzulösen (dfrac{∂F}{ ∂ρ} , dfrac{∂F}{ ∂θ} , dfrac{∂F}{ ∂φ} ).

Dies beinhaltet wiederum das Lösen eines Systems von drei Gleichungen in drei Unbekannten. Mit einem ähnlichen Eliminationsverfahren wie in Schritt 2 erhalten wir:

[fbox{( onumber egin{align}dfrac{∂F}{ ∂x} &= dfrac{1}{ ρ sin φ} left ( ρ sin^2 φ cos θ dfrac{∂F}{ ∂ρ} − sin θ dfrac{∂F}{ ∂θ} + sin φ cos φ cos θ dfrac{∂F}{ ∂φ} ight ) [4pt ] onumber dfrac{∂F}{ ∂y} &= dfrac{1}{ ρ sin φ} left ( ρ sin^2 φ sin θ dfrac{∂F}{ ∂ρ} + cos dfrac{∂F}{ ∂θ} + sin φ cos sin θ dfrac{∂F}{ ∂φ} ight ) [4pt] onumber dfrac{∂F}{ ∂ z} &= dfrac{1}{ρ} left ( ρ cos φ dfrac{∂F}{ ∂ρ} − sin φ dfrac{∂F}{ ∂φ} ight ) [4pt ] end{ausrichten})}]

Schritt 5: Ersetzen Sie die Formeln für ich, j, k aus Schritt 2 und die Formeln für (dfrac{∂F}{ ∂x} , dfrac{∂F}{ ∂y} , dfrac{∂F}{ ∂z}) aus Schritt 4 in den kartesischen Gradienten Formel (∇F(x, y, z) = dfrac{∂F}{ ∂x} extbf{i}+ dfrac{∂F}{ ∂y} extbf{j}+ dfrac{∂F }{ ∂z} extbf{k}).

Dieser letzte Schritt ist vielleicht der mühsamste, da er die Vereinfachung von (3×3+3×3+ 2×2 = 22)-Termen beinhaltet! Nämlich,

[ onumber egin{align} ∇F &= dfrac{1}{ ρ sin φ} left ( ρ sin^2 φ cos θ dfrac{∂F}{ ∂ρ} −sin θ dfrac{∂F}{ ∂θ} +sin φ cos φ cos dfrac{∂F}{ ∂φ} ight ) (sin φ cos θ extbf{e}_ρ −sin θ extbf{e}_θ +cos φ cos θ extbf{e}_φ) [4pt] onumber &+dfrac{1}{ ρ sin φ} left ( ρ sin^2 φ sin θ dfrac{∂F}{ ∂ρ} +cos dfrac{∂F}{ ∂θ} +sin φ cos sin θ dfrac{∂F}{ ∂φ} ight ) ( sin φ sin extbf{e}_ρ +cos θ extbf{e}_θ +cos φ sin θ extbf{e}_φ)[4pt] onumber &+dfrac{1} { ρ} left ( ρ cos φ dfrac{∂F}{ ∂ρ} −sin φ dfrac{∂F}{ ∂φ} ight ) (cos φ extbf{e}_ρ −sin φ extbf{e}_φ) ,[4pt] end{align}]

die wir sehen, hat 8 Terme mit ( extbf{e}_ρ), 6 Terme mit ( extbf{e}_θ) und 8 Terme mit ( extbf{e}_φ). Aber die Algebra ist einfach und liefert das gewünschte Ergebnis:

[∇F = dfrac{∂F}{ ∂ρ} extbf{e}_ρ + dfrac{1}{ ρ sin φ} dfrac{∂F}{ ∂θ} extbf{e}_θ + dfrac{1}{ } dfrac{∂F}{ ∂φ} extbf{e}_φ quad checkmark ]

Beispiel 4.19

In Beispiel 4.17 haben wir gezeigt, dass (∇lVert extbf{r} Vert ^2 = 2 extbf{r} ext{ und }∆lVert extbf{r} Vert ^2 = 6, ext{ wobei } extbf{r}(x, y, z) = x extbf{i} + y extbf{j} + z extbf{k}) in kartesischen Koordinaten. Stellen Sie sicher, dass wir die gleichen Antworten erhalten, wenn wir zu Kugelkoordinaten wechseln.

Lösung

Da (lVert extbf{r} Vert ^2 = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = ρ^ 2 ext{ in Kugelkoordinaten sei }F(ρ,θ,φ) = ρ^ 2 ) (so dass (F(ρ,θ,φ) = lVert extbf{r} Vert ^2) ). Der Gradient von (F) in Kugelkoordinaten ist

[ onumber egin{align} F &= dfrac{∂F}{ ∂ρ} extbf{e}_ρ + dfrac{1}{ ρ sin φ} dfrac{∂F}{ ∂θ } extbf{e}_θ + dfrac{1}{ ρ} dfrac{∂F}{ ∂φ} extbf{e}_φ [4pt] onumber &=2ρ extbf{e}_ρ + dfrac{1}{ ρ sin φ} (0) extbf{e}_θ + dfrac{1}{ ρ} (0) extbf{e}_φ [4pt] onumber &= 2ρ extbf{ e}_ρ = 2ρ dfrac{ extbf{r}}{ lVert extbf{r} Vert} , ext{ wie wir zuvor gezeigt haben, also}[4pt] onumber &= 2ρ dfrac{ textbf{r}}{ ρ} = 2 extbf{r} , ext{ wie erwartet. Und der Laplace-Operator ist} [4pt] onumber ∆F &= dfrac{1}{ ρ^ 2} dfrac{∂}{ ∂ρ} left ( ρ^2 dfrac{∂F}{ ∂ρ } ight) + dfrac{1}{ ^ 2 sin^2 φ} dfrac{∂^2F}{ ∂θ^2} + dfrac{1}{ ρ^ 2 sin φ} dfrac{ ∂}{ ∂φ} left ( sin φ dfrac{∂F}{ ∂φ} ight ) [4pt] onumber &= dfrac{1}{ ρ^ 2} dfrac{∂}{ ∂ρ} (ρ^ 2 2ρ) + dfrac{1}{ ρ^ 2 sin φ} (0) + dfrac{1}{ ρ^ 2 sin φ} dfrac{∂}{ ∂φ} left ( sin φ(0) ight ) [4pt] onumber &= dfrac{1}{ ρ^ 2} dfrac{∂}{ ∂ρ} (2ρ^ 3 ) + 0 + 0 [4pt] onumber &= dfrac{1}{ ρ^ 2} (6ρ^ 2 ) = 6 , ext{ wie erwartet.} [4pt] end{align}]


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