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8.3: Die Hyperbel


Lernziele

  • Suchen Sie die Scheitelpunkte und Brennpunkte einer Hyperbel.
  • Schreiben Sie Hyperbelgleichungen in Standardform.
  • Im Ursprung zentrierte Hyperbeln darstellen.
  • Graphische Hyperbeln, die nicht im Ursprung zentriert sind.
  • Lösen Sie angewandte Probleme mit Hyperbeln.

Was haben Kometenbahnen, Überschallknalle, antike griechische Säulen und Naturzugkühltürme gemeinsam? Sie können alle durch den gleichen Typ von modelliert werden konisch. Wenn sich beispielsweise etwas schneller als Schallgeschwindigkeit bewegt, entsteht eine Stoßwelle in Form eines Kegels. Ein Teil eines Kegelschnitts entsteht, wenn die Welle den Boden schneidet, was zu einem Überschallknall führt (Abbildung (PageIndex{1})).

Die meisten Menschen kennen den Überschallknall, der von Überschallflugzeugen erzeugt wird, aber die Menschen haben die Schallmauer lange vor dem ersten Überschallflug durchbrochen. Das Knallen einer Peitsche entsteht, weil die Spitze die Schallgeschwindigkeit überschreitet. Die von vielen Schusswaffen abgefeuerten Kugeln durchbrechen auch die Schallmauer, obwohl der Knall der Waffe normalerweise das Geräusch des Überschallknalls ersetzt.

Auffinden der Scheitelpunkte und Brennpunkte einer Hyperbel

In der analytischen Geometrie ist a Hyperbel ist ein konischer Abschnitt, der durch das Schneiden eines geraden kreisförmigen Kegels mit einer Ebene unter einem solchen Winkel gebildet wird, dass beide Hälften des Kegels geschnitten werden. Dieser Schnittpunkt erzeugt zwei separate unbeschränkte Kurven, die Spiegelbilder voneinander sind (Abbildung (PageIndex{2})).

Wie die Ellipse kann auch die Hyperbel als eine Menge von Punkten in der Koordinatenebene definiert werden. Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte ((x,y)) in einer Ebene, so dass die Differenz der Abstände zwischen ((x,y)) und den Brennpunkten eine positive Konstante ist.

Beachten Sie, dass die Definition einer Hyperbel der einer Ellipse sehr ähnlich ist. Der Unterschied besteht darin, dass die Hyperbel definiert wird durch die Unterschied zweier Distanzen, wobei die Ellipse durch die Summe von zwei Distanzen.

Wie bei der Ellipse hat jede Hyperbel zwei Symmetrieachsen. Das Querachse ist ein Liniensegment, das durch das Zentrum der Hyperbel verläuft und Eckpunkte als Endpunkte hat. Die Brennpunkte liegen auf der Linie, die die Querachse enthält. Das konjugieren achse steht senkrecht zur Querachse und hat die Ko-Scheitelpunkte als Endpunkte. Das Mittelpunkt einer Hyperbel ist der Mittelpunkt sowohl der transversalen als auch der konjugierten Achse, wo sie sich schneiden. Jede Hyperbel hat auch zwei Asymptoten die durch seine Mitte gehen. Wenn sich eine Hyperbel vom Zentrum zurückzieht, nähern sich ihre Äste diesen Asymptoten. Das zentrales Rechteck der Hyperbel ist im Ursprung zentriert mit Seiten, die durch jeden Scheitelpunkt und Ko-Scheitelpunkt gehen; es ist ein nützliches Werkzeug, um die Hyperbel und ihre Asymptoten grafisch darzustellen. Um die Asymptoten der Hyperbel zu skizzieren, skizzieren und verlängern Sie einfach die Diagonalen des zentralen Rechtecks ​​(Abbildung (PageIndex{3})).

In diesem Abschnitt beschränken wir unsere Diskussion auf Hyperbeln, die vertikal oder horizontal in der Koordinatenebene positioniert sind; die Achsen liegen entweder auf oder parallel zu den (x)- und (y)-Achsen. Wir betrachten zwei Fälle: solche, die am Ursprung zentriert sind, und solche, die an einem anderen Punkt als dem Ursprung zentriert sind.

Herleitung der Gleichung einer Ellipse, die im Ursprung zentriert ist

Seien ((−c,0)) und ((c,0)) die Brennpunkte einer im Ursprung zentrierten Hyperbel. Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte ((x,y)), so dass die Differenz der Abstände von ((x,y)) zu den Brennpunkten konstant ist. Siehe Abbildung (PageIndex{4}).

Wenn ((a,0)) eine Ecke der Hyperbel ist, ist der Abstand von ((−c,0)) zu ((a,0)) (a−(−c)= a+c). Der Abstand von ((c,0)) zu ((a,0)) ist (c−a). Die Summe der Abstände von den Brennpunkten zum Scheitelpunkt ist

((a+c)−(c−a)=2a)

Wenn ((x,y)) ein Punkt auf der Hyperbel ist, können wir die folgenden Variablen definieren:

(d_2=) der Abstand von ((−c,0)) nach ((x,y))

(d_1=) der Abstand von ((c,0)) nach ((x,y))

Nach Definition einer Hyperbel ist (d_2−d_1) für jeden Punkt ((x,y)) auf der Hyperbel konstant. Wir wissen, dass die Differenz dieser Abstände (2a) für die Ecke ((a,0)) ist. Daraus folgt (d_2−d_1=2a) für jeden Punkt auf der Hyperbel. Wie bei der Herleitung der Ellipsengleichung beginnen wir mit der Anwendung des Entfernungsformel. Der Rest der Ableitung ist algebraisch. Vergleichen Sie diese Ableitung mit der aus dem vorherigen Abschnitt für Ellipsen.

[egin{align*} d_2-d_1&=2a sqrt{{(x-(-c))}^2+{(y-0)}^2}-sqrt{{(xc)} ^2+{(y-0)}^2}&=2aqquad ext{Abstandsformel} sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-sqrt{{(xc .) )}^2+y^2}&=2aqquad ext{Ausdrücke vereinfachen.} sqrt{{(x+c)}^2+y^2}&=2a+sqrt{{(xc) }^2+y^2}qquad ext{Radikal zur gegenüberliegenden Seite verschieben.} {(x+c)}^2+y^2&={(2a+sqrt{{(xc)}^2+ y^2})}^2qquad ext{Quadrat beide Seiten.} x^2+2cx+c^2+y^2&=4a^2+4asqrt{{(xc)}^2+ y^2}+{(xc)}^2+y^2qquad ext{Erweitere die Quadrate.} x^2+2cx+c^2+y^2&=4a^2+4asqrt{ {(xc)}^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2qquad ext{Verbleibendes Quadrat erweitern.} 2cx&=4a^2+4asqrt{{( xc)}^2+y^2}-2cxqquad ext{Verbinde ähnliche Terme.} 4cx-4a^2&=4asqrt{{(xc)}^2+y^2}qquad ext {Isoliere das Radikal.} cx-a^2&=asqrt{{(xc)}^2+y^2}qquad ext{Teile durch 4.} {(cx-a^2) }^2&=a^2{left[sqrt{{(xc)}^2+y^2} ight]}^2qquad ext{Quadrat beide Seiten.} c^2x^2- 2a^2cx+a^4&=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)qquad ext{Erweitere die Quadrate.} c^2x^2-2a^2cx+a^ 4&=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2qquad ext{Verteilung ibute } a^2 a^4+c^2x^2&=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2qquad ext{Kombiniere ähnliche Begriffe.} c^2x^ 2-a^2x^2-a^2y^2&=a^2c^2-a^4qquad ext{Terme neu anordnen.} x^2(c^2-a^2)-a^2y ^2&=a^2(c^2-a^2)qquad ext{Faktor gemeinsame Terme.} x^2b^2-a^2y^2&=a^2b^2qquad ext{Menge } b^2=c^2−a^2. dfrac{x^2b^2}{a^2b^2}-dfrac{a^2y^2}{a^2b^2}&=dfrac{a^2b^2}{a^2b^2 }qquad ext{Beide Seiten teilen durch } a^2b^2 dfrac{x^2}{a^2}-dfrac{y^2}{b^2}&=1 end {ausrichten*}]

Diese Gleichung definiert eine im Ursprung zentrierte Hyperbel mit Ecken ((pm a,0)) und Co-Ecken ((0,pm b)).

STANDARDFORMEN DER GLEICHUNG EINER HYPERBOLA MIT ZENTRUM ((0,0))

Die Standardform der Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt ((0,0)) und Querachse auf der (x)-Achse ist

(dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1)

wo

  • die Länge der Querachse ist (2a)
  • die Koordinaten der Eckpunkte sind ((pm a,0))
  • die Länge der konjugierten Achse ist (2b)
  • die Koordinaten der Scheitelpunkte sind ((0,pm b))
  • der Abstand zwischen den Brennpunkten ist (2c), wobei (c^2=a^2+b^2)
  • die Koordinaten der Brennpunkte sind ((pm c,0))
  • die Gleichungen der Asymptoten lauten (y=pm dfrac{b}{a}x)

Siehe Abbildung (PageIndex{5a}).

Die Standardform der Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt ((0,0)) und Querachse auf der (y)-Achse ist

(dfrac{y^2}{a^2}−dfrac{x^2}{b^2}=1)

wo

  • die Länge der Querachse ist (2a)
  • die Koordinaten der Eckpunkte sind ((0,pm a))
  • die Länge der konjugierten Achse ist (2b)
  • die Koordinaten der Ko-Eckpunkte sind ((pm b,0))
  • der Abstand zwischen den Brennpunkten ist (2c), wobei (c^2=a^2+b^2)
  • die Koordinaten der Brennpunkte sind ((0,pm c))
  • die Gleichungen der Asymptoten sind (y=pm dfrac{a}{b}x)

Siehe Abbildung (PageIndex{5b}).

Beachten Sie, dass die Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte und Brennpunkte durch die Gleichung (c^2=a^2+b^2) zusammenhängen. Wenn uns die Gleichung einer Hyperbel gegeben wird, können wir diese Beziehung verwenden, um ihre Scheitelpunkte und Brennpunkte zu identifizieren.

Gewusst wie: Gegeben der Gleichung einer Hyperbel in Standardform, lokalisieren Sie ihre Scheitelpunkte und Brennpunkte

  1. Bestimmen Sie, ob die Querachse auf der (x)- oder (y)-Achse liegt. Beachten Sie, dass (a^2) immer unter der Variablen mit dem positiven Koeffizienten liegt. Wenn Sie also die andere Variable gleich Null setzen, können Sie die Achsenabschnitte leicht finden. In dem Fall, in dem die Hyperbel im Ursprung zentriert ist, fallen die Achsenabschnitte mit den Scheitelpunkten zusammen.
    • Hat die Gleichung die Form (dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1), dann liegt die Querachse auf der (x) -Achse. Die Scheitelpunkte befinden sich bei ((pm a,0)) und die Brennpunkte befinden sich bei ((pm c,0)).
    • Hat die Gleichung die Form (dfrac{y^2}{a^2}−dfrac{x^2}{b^2}=1), dann liegt die Querachse auf der (y) -Achse. Die Scheitelpunkte befinden sich bei ((0,pm a)) und die Brennpunkte befinden sich bei ((0,pm c)).
  2. Löse nach (a) auf, indem du die Gleichung (a=sqrt{a^2}) verwendest.
  3. Löse nach (c) auf, indem du die Gleichung (c=sqrt{a^2+b^2}) verwendest.

Beispiel (PageIndex{1}): Auffinden der Scheitelpunkte und Brennpunkte einer Hyperbel

Identifizieren Sie die Ecken und Brennpunkte der Hyperbel mit der Gleichung (dfrac{y^2}{49}−dfrac{x^2}{32}=1).

Lösung

Die Gleichung hat die Form (dfrac{y^2}{a^2}−dfrac{x^2}{b^2}=1), also liegt die Querachse auf der (y)- Achse. Die Hyperbel ist im Ursprung zentriert, daher dienen die Scheitelpunkte als ja-Schnittpunkte des Graphen. Um die Scheitelpunkte zu finden, setze (x=0) und löse nach (y).

[egin{align*} 1&=dfrac{y^2}{49}-dfrac{x^2}{32} 1&=dfrac{y^2}{49}-dfrac{0 ^2}{32} 1&=dfrac{y^2}{49} y^2&=49 y&=pm sqrt{49} &=pm 7 end{align* }]

Die Brennpunkte befinden sich bei ((0,pm c)). Auflösen nach (c),

[egin{align*} c&=sqrt{a^2+b^2} &=sqrt{49+32} &=sqrt{81} &=9 end{align *}]

Daher befinden sich die Scheitelpunkte bei ((0,pm 7)) und die Brennpunkte bei ((0,9)).

Übung (PageIndex{1})

Identifizieren Sie die Ecken und Brennpunkte der Hyperbel mit der Gleichung (dfrac{x^2}{9}−dfrac{y^2}{25}=1).

Antworten

Scheitelpunkte: ((pm 3,0)); Schwerpunkte: ((pm sqrt{34},0))

Schreiben von Gleichungen von Hyperbeln in Standardform

Genau wie bei Ellipsen erlaubt uns das Schreiben der Gleichung für eine Hyperbel in Standardform, die wichtigsten Merkmale zu berechnen: ihren Mittelpunkt, Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte, Brennpunkte, Asymptoten sowie die Längen und Positionen der transversalen und konjugierten Achsen. Umgekehrt kann eine Gleichung für eine Hyperbel anhand ihrer Hauptmerkmale gefunden werden. Wir beginnen damit, Standardgleichungen für Hyperbeln zu finden, die im Ursprung zentriert sind. Dann werden wir unsere Aufmerksamkeit darauf richten, Standardgleichungen für Hyperbeln zu finden, die an einem anderen Punkt als dem Ursprung zentriert sind.

Hyperbeln im Ursprung zentriert

Wenn wir die Standardformen für Hyperbeln mit dem Zentrum ((0,0)) betrachten, sehen wir, dass die Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte und Brennpunkte durch die Gleichung (c^2=a^2+b^2) ). Beachten Sie, dass diese Gleichung auch als (b^2=c^2−a^2) umgeschrieben werden kann. Diese Beziehung wird verwendet, um die Gleichung für eine Hyperbel zu schreiben, wenn die Koordinaten ihrer Brennpunkte und Scheitelpunkte gegeben sind.

Gewusst wie: Gegeben die Scheitelpunkte und Brennpunkte einer Hyperbel, die bei ((0,0) zentriert ist), schreiben Sie ihre Gleichung in Standardform

  1. Bestimmen Sie, ob die Querachse auf der (x)- oder (y)-Achse liegt.
    • Wenn die gegebenen Koordinaten der Scheitelpunkte und Brennpunkte die Form ((pm a,0)) bzw. ((pm c,0) haben, dann ist die Querachse die (x)- Achse. Verwenden Sie die Standardform (dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1).
    • Haben die gegebenen Koordinaten der Scheitelpunkte und Brennpunkte die Form ((0,pm a)) bzw. ((0,pm c)), dann ist die Querachse die (y)- Achse. Verwenden Sie die Standardform (dfrac{y^2}{a^2}−dfrac{x^2}{b^2}=1).
  2. Finden Sie (b^2) mit der Gleichung (b^2=c^2−a^2).
  3. Setzen Sie die Werte für (a^2) und (b^2) in die in Schritt 1 ermittelte Standardform der Gleichung ein.

Beispiel (PageIndex{2}): Ermitteln der Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt ((0,0)) bei gegebenen Brennpunkten und Scheitelpunkten

Wie lautet die Standardformgleichung der Hyperbel mit Ecken ((pm 6,0)) und Brennpunkten ((pm 2sqrt{10},0))?

Lösung

Die Scheitelpunkte und Brennpunkte liegen auf der (x)-Achse. Die Gleichung für die Hyperbel hat also die Form (dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1).

Die Ecken sind ((pm 6,0)), also (a=6) und (a^2=36).

Die Brennpunkte sind ((pm 2sqrt{10},0)), also (c=2sqrt{10}) und (c^2=40).

Nach (b^2) auflösen, haben wir

[egin{align*} b^2&=c^2-a^2 b^2&=40-36qquad ext{Ersatz für } c^2 ext{ und } a^2 b ^2&=4qquad ext{Subtrahieren.} end{align*}]

Schließlich setzen wir (a^2=36) und (b^2=4) in die Standardform der Gleichung (dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y ^2}{b^2}=1). Die Gleichung der Hyperbel ist (dfrac{x^2}{36}−dfrac{y^2}{4}=1), wie in Abbildung (PageIndex{6}) gezeigt.

Übung (PageIndex{2})

Wie lautet die Standardformgleichung der Hyperbel mit Ecken ((0,pm 2)) und Brennpunkten ((0,pm 2sqrt{5}))?

Antworten

(dfrac{y^2}{4}−dfrac{x^2}{16}=1)

Hyperbeln, die nicht im Ursprung zentriert sind

Wie die Graphen für andere Gleichungen kann der Graph einer Hyperbel übersetzt werden. Wird eine Hyperbel in (h) Einheiten horizontal und (k) Einheiten vertikal übersetzt, ist der Mittelpunkt der Hyperbel ((h,k)). Diese Übersetzung führt zu der Standardform der Gleichung, die wir zuvor gesehen haben, wobei (x) durch ((x−h)) und (y) ersetzt durch ((y−k)) ersetzt wird.

STANDARDFORMEN DER GLEICHUNG EINER HYPERBOLA MIT ZENTRUM ((H, K))

Die Standardform der Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt ((h,k)) und Querachse parallel zur (x)-Achse ist

[dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}−dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}=1]

wo

  • die Länge der Querachse ist (2a)
  • die Koordinaten der Eckpunkte sind ((hpm a,k))
  • die Länge der konjugierten Achse ist (2b)
  • die Koordinaten der Ko-Eckpunkte sind ((h,kpm b))
  • der Abstand zwischen den Brennpunkten ist (2c), wobei (c^2=a^2+b^2)
  • die Koordinaten der Brennpunkte sind ((hpm c,k))

Die Asymptoten der Hyperbel fallen mit den Diagonalen des zentralen Rechtecks ​​zusammen. Die Länge des Rechtecks ​​ist (2a) und seine Breite (2b). Die Steigungen der Diagonalen sind (pmdfrac{b}{a}), und jede Diagonale geht durch den Mittelpunkt ((h,k)). Mit der Punkt-Steigungs-Formel lässt sich einfach zeigen, dass die Gleichungen der Asymptoten (y=pmdfrac{b}{a}(x−h)+k) lauten. Siehe Abbildung (PageIndex{7a}).

Die Standardform der Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt ((h,k)) und Querachse parallel zur (y)-Achse ist

[dfrac{{(y−k)}^2}{a^2}−dfrac{{(x−h)}^2}{b^2}=1]

wo

  • die Länge der Querachse ist (2a)
  • die Koordinaten der Eckpunkte sind ((h,kpm a))
  • die Länge der konjugierten Achse ist (2b)
  • die Koordinaten der Ecken sind ((hpm b,k))
  • der Abstand zwischen den Brennpunkten ist (2c), wobei (c^2=a^2+b^2)
  • die Koordinaten der Brennpunkte sind ((h,kpm c))

Mit der obigen Argumentation lauten die Gleichungen der Asymptoten (y=pm dfrac{a}{b}(x−h)+k). Siehe Abbildung (PageIndex{7b}).

Wie Hyperbeln, die am Ursprung zentriert sind, haben Hyperbeln, die an einem Punkt ((h,k)) zentriert sind, Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte und Brennpunkte, die durch die Gleichung (c^2=a^2+b^2) verbunden sind ). Wir können diese Beziehung zusammen mit den Mittelpunkts- und Entfernungsformeln verwenden, um die Standardgleichung einer Hyperbel zu finden, wenn die Scheitelpunkte und Brennpunkte gegeben sind.

Gewusst wie: Gegeben die Scheitelpunkte und Brennpunkte einer Hyperbel, die bei ((h,k) zentriert ist), schreiben Sie ihre Gleichung in Standardform

  1. Bestimmen Sie, ob die Querachse parallel zur (x)- oder (y)-Achse ist.
    • Sind die (y)-Koordinaten der gegebenen Scheitelpunkte und Brennpunkte gleich, dann ist die Querachse parallel zur (x)-Achse. Verwenden Sie die Standardform (dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}−dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}=1).
    • Sind die (x)-Koordinaten der gegebenen Scheitelpunkte und Brennpunkte gleich, dann ist die Querachse parallel zur (y)-Achse. Verwenden Sie die Standardform (dfrac{{(y−k)}^2}{a^2}−dfrac{{(x−h)}^2}{b^2}=1).
  2. Bestimmen Sie den Mittelpunkt der Hyperbel ((h,k)), indem Sie die Mittelpunktsformel und die angegebenen Koordinaten für die Scheitelpunkte verwenden.
  3. Finden Sie (a^2), indem Sie nach der Länge der Querachse (2a) auflösen, die der Abstand zwischen den gegebenen Scheitelpunkten ist.
  4. Finden Sie (c^2) mit (h) und (k) aus Schritt 2 zusammen mit den gegebenen Koordinaten für die Brennpunkte.
  5. Löse nach (b^2) mit der Gleichung (b^2=c^2−a^2) auf.
  6. Setzen Sie die Werte für (h), (k), (a^2) und (b^2) in die Standardform der in Schritt 1 ermittelten Gleichung ein.

Beispiel (PageIndex{3}): Finden der Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt ((h, k)) unter gegebenen Brennpunkten und Knoten

Wie lautet die Standardformgleichung der Hyperbel die Knoten bei ((0,−2)) und ((6,−2)) und Brennpunkte bei ((−2,−2)) und ((8,−2)) hat ?

Lösung

Die (y)-Koordinaten der Scheitelpunkte und Brennpunkte sind gleich, die Querachse verläuft also parallel zur (x)-Achse. Damit hat die Hyperbelgleichung die Form

(dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}−dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}=1)

Zuerst identifizieren wir das Zentrum ((h,k)). Der Mittelpunkt liegt auf halbem Weg zwischen den Ecken ((0,−2)) und ((6,−2)). Mit der Mittelpunktformel haben wir

((h,k)=(dfrac{0+6}{2},dfrac{−2+(−2)}{2})=(3,−2))

Als nächstes finden wir (a^2). Die Länge der Querachse (2a) wird durch die Scheitelpunkte begrenzt.Wir können also (a^2) finden, indem wir den Abstand zwischen den (x)-Koordinaten der Scheitelpunkte bestimmen.

Jetzt müssen wir (c^2) finden. Die Koordinaten der Brennpunkte sind ((hpm c,k)). Also ((h−c,k)=(−2,−2)) und ((h+c,k)=(8,−2)). Wir können die (x)-Koordinate von jedem dieser Punkte verwenden, um nach (c) aufzulösen. Unter Verwendung des Punktes ((8,−2)) und Einsetzen von (h=3),

[egin{align*} h+c&=8 3+c&=8 c&=5 c^2&=25 end{align*}]

Als nächstes lösen Sie nach (b^2) mit der Gleichung (b^2=c^2−a^2):

[egin{align*} b^2&=c^2-a^2 &=25-9 &=16 end{align*}]

Setzen Sie schließlich die gefundenen Werte für (h), (k), (a^2) und (b^2) in die Standardform der Gleichung ein.

(dfrac{{(x−3)}^2}{9}−dfrac{{(y+2)}^2}{16}=1)

Übung (PageIndex{3})

Wie lautet die Standardformgleichung der Hyperbel mit den Ecken ((1,−2)) und ((1,8)) und den Brennpunkten ((1,−10)) und ((1, 16))?

Antworten

(dfrac{{(y−3)}^2}{25}+dfrac{{(x−1)}^2}{144}=1)

Graphische Darstellung von Hyperbeln, die am Ursprung zentriert sind

Wenn wir eine Gleichung in Standardform für eine im Ursprung zentrierte Hyperbel haben, können wir ihre Teile interpretieren, um die Hauptmerkmale ihres Graphen zu identifizieren: Zentrum, Scheitelpunkte, Co-Scheitelpunkte, Asymptoten, Brennpunkte sowie Längen und Positionen des transversalen und konjugierte Achsen. Um Hyperbeln im Ursprung zentriert darzustellen, verwenden wir die Standardform (dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1) für horizontale Hyperbeln und den Standard bilden (dfrac{y^2}{a^2}−dfrac{x^2}{b^2}=1) für vertikale Hyperbeln.

Gewusst wie: Gegeben eine Standardformgleichung für eine Hyperbel mit dem Zentrum ((0,0)), skizzieren Sie den Graphen

  1. Bestimmen Sie, welche der Standardformen für die gegebene Gleichung gilt.
  2. Verwenden Sie das in Schritt 1 identifizierte Standardformular, um die Position der Querachse zu bestimmen; Koordinaten für die Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte und Brennpunkte; und die Gleichungen für die Asymptoten.
    • Hat die Gleichung die Form (dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1), dann
      • die Querachse liegt auf der (x)-Achse
      • die Koordinaten der Ecken sind ((pm a,0)
      • die Koordinaten der Scheitelpunkte sind ((0,pm b))
      • die Koordinaten der Brennpunkte sind ((pm c,0))
      • die Gleichungen der Asymptoten lauten (y=pm dfrac{b}{a}x)
    • Hat die Gleichung die Form (dfrac{y^2}{a^2}−dfrac{x^2}{b^2}=1), dann
      • die Querachse liegt auf der (y)-Achse
      • die Koordinaten der Eckpunkte sind ((0,pm a))
      • die Koordinaten der Scheitelpunkte sind ((pm b,0))
      • die Koordinaten der Brennpunkte sind ((0,pm c))
      • die Gleichungen der Asymptoten sind (y=pm dfrac{a}{b}x)
  3. Lösen Sie nach den Koordinaten der Brennpunkte mit der Gleichung (c=pm sqrt{a^2+b^2}) auf.
  4. Plotten Sie die Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte, Brennpunkte und Asymptoten in der Koordinatenebene und zeichnen Sie eine glatte Kurve, um die Hyperbel zu bilden.

Beispiel (PageIndex{4}): Graphische Darstellung einer Hyperbel zentriert bei ((0,0)) gegeben einer Gleichung in Standardform

Zeichnen Sie die Hyperbel, die durch die Gleichung (dfrac{y^2}{64}−dfrac{x^2}{36}=1) gegeben ist. Identifizieren und beschriften Sie die Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte, Brennpunkte und Asymptoten.

Lösung

Die für die gegebene Gleichung gültige Standardform ist (dfrac{y^2}{a^2}−dfrac{x^2}{b^2}=1). Somit liegt die Querachse auf der (y)-Achse

Die Koordinaten der Scheitelpunkte sind ((0,pm a)=(0,pm sqrt{64})=(0,pm 8))

Die Koordinaten der Eckpunkte sind ((pm b,0)=(pm sqrt{36}, 0)=(pm 6,0))

Die Koordinaten der Brennpunkte sind ((0,pm c)), wobei (c=pm sqrt{a^2+b^2}). Nach (c) auflösen, gilt

(c=pm sqrt{a^2+b^2}=pm sqrt{64+36}=pm sqrt{100}=pm 10)

Daher sind die Koordinaten der Brennpunkte ((0,pm 10))

Die Gleichungen der Asymptoten lauten (y=pm dfrac{a}{b}x=pm dfrac{8}{6}x=pm dfrac{4}{3}x)

Plotten und beschriften Sie die Scheitelpunkte und Ko-Scheitelpunkte und skizzieren Sie dann das zentrale Rechteck. Die Seiten des Rechtecks ​​sind parallel zu den Achsen und verlaufen durch die Scheitelpunkte und Scheitelpunkte. Skizzieren und verlängern Sie die Diagonalen des zentralen Rechtecks, um die Asymptoten anzuzeigen. Das zentrale Rechteck und die Asymptoten bilden den Rahmen, der benötigt wird, um einen genauen Graphen der Hyperbel zu skizzieren. Beschriften Sie die Brennpunkte und Asymptoten und zeichnen Sie eine glatte Kurve, um die Hyperbel zu bilden, wie in Abbildung (PageIndex{8}) gezeigt.

Übung (PageIndex{4})

Zeichnen Sie die Hyperbel, die durch die Gleichung (dfrac{x^2}{144}−dfrac{y^2}{81}=1) gegeben ist. Identifizieren und beschriften Sie die Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte, Brennpunkte und Asymptoten.

Antworten

Ecken: ((pm 12,0)); Ko-Scheitelpunkte: ((0,pm 9)); Schwerpunkte: ((pm 15,0)); Asymptoten: (y=pm dfrac{3}{4}x);

Grafische Darstellung von Hyperbeln, die nicht am Ursprung zentriert sind

Die Darstellung von Hyperbeln, die an einem anderen Punkt ((h,k)) als dem Ursprung zentriert sind, ähnelt der Darstellung von Ellipsen, die an einem anderen Punkt als dem Ursprung zentriert sind. Wir verwenden die Standardformen (dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}−dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}=1) für horizontales Hyperbeln und (dfrac{{(y−k)}^2}{a^2}−dfrac{{(x−h)}^2}{b^2}=1) für vertikale Hyperbeln. Aus diesen Standardformgleichungen können wir die wichtigsten Merkmale des Graphen leicht berechnen und darstellen: die Koordinaten seines Zentrums, der Scheitelpunkte, der Scheitelpunkte und der Brennpunkte; die Gleichungen seiner Asymptoten; und die Positionen der transversalen und konjugierten Achsen.

Gewusst wie: Gegeben eine allgemeine Form für eine Hyperbel mit Mittelpunkt ((h, k)), skizzieren Sie den Graphen

  1. Konvertieren Sie das allgemeine Formular in dieses Standardformular. Bestimmen Sie, welche der Standardformen für die gegebene Gleichung gilt.
  2. Verwenden Sie das in Schritt 1 identifizierte Standardformular, um die Position der Querachse zu bestimmen; Koordinaten für Zentrum, Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte, Brennpunkte; und Gleichungen für die Asymptoten.
    1. Hat die Gleichung die Form (dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}−dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}=1) , dann
      • die Querachse ist parallel zur (x)-Achse
      • das Zentrum ist ((h,k))
      • die Koordinaten der Eckpunkte sind ((hpm a,k))
      • die Koordinaten der Ko-Eckpunkte sind ((h,kpm b))
      • die Koordinaten der Brennpunkte sind ((hpm c,k))
      • die Gleichungen der Asymptoten lauten (y=pm dfrac{b}{a}(x−h)+k)
    2. Hat die Gleichung die Form (dfrac{{(y−k)}^2}{a^2}−dfrac{{(x−h)}^2}{b^2}=1) , dann
      • die Querachse ist parallel zur (y)-Achse
      • das Zentrum ist ((h,k))
      • die Koordinaten der Eckpunkte sind ((h,kpm a))
      • die Koordinaten der Ecken sind ((hpm b,k))
      • die Koordinaten der Brennpunkte sind ((h,kpm c))
      • die Gleichungen der Asymptoten lauten (y=pm dfrac{a}{b}(x−h)+k)
  3. Lösen Sie nach den Koordinaten der Brennpunkte mit der Gleichung (c=pm sqrt{a^2+b^2}) auf.
  4. Plotten Sie den Mittelpunkt, die Scheitelpunkte, Ko-Scheitelpunkte, Brennpunkte und Asymptoten in der Koordinatenebene und zeichnen Sie eine glatte Kurve, um die Hyperbel zu bilden.

Beispiel (PageIndex{5}): Graphische Darstellung einer Hyperbel zentriert bei ((h, k)) gegeben einer Gleichung in allgemeiner Form

Zeichnen Sie die Hyperbel, die durch die Gleichung (9x^2−4y^2−36x−40y−388=0) gegeben ist. Identifizieren und beschriften Sie das Zentrum, die Scheitelpunkte, die Ko-Scheitelpunkte, die Brennpunkte und die Asymptoten.

Lösung

Beginnen Sie damit, die Gleichung in Standardform auszudrücken. Gruppieren Sie Terme, die dieselbe Variable enthalten, und verschieben Sie die Konstante auf die gegenüberliegende Seite der Gleichung.

((9x^2−36x)−(4y^2+40y)=388)

Faktorisieren Sie den führenden Koeffizienten jedes Ausdrucks.

(9(x^2−4x)−4(y^2+10y)=388)

Vervollständige das Quadrat zweimal. Denken Sie daran, die Gleichung auszugleichen, indem Sie auf jeder Seite die gleichen Konstanten hinzufügen.

(9(x^2−4x+4)−4(y^2+10y+25)=388+36−100)

Umschreiben als perfekte Quadrate.

(9{(x−2)}^2−4{(y+5)}^2=324)

Teilen Sie beide Seiten durch den konstanten Term, um die Gleichung in Standardform zu bringen.

(dfrac{{(x−2)}^2}{36}−dfrac{{(y+5)}^2}{81}=1)

Die für die gegebene Gleichung gültige Standardform ist (dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}−dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}= 1), wobei (a^2=36) und (b^2=81) oder (a=6) und (b=9). Somit ist die Querachse parallel zur (x)-Achse. Es folgt dem:

der Mittelpunkt der Ellipse ist ((h,k)=(2,−5))

die Koordinaten der Ecken sind ((hpm a,k)=(2pm 6,−5)), oder ((−4,−5)) und ((8,−5) )

die Koordinaten der Ecken sind ((h,kpm b)=(2,−5pm 9)), oder ((2,−14)) und ((2,4) )

die Koordinaten der Brennpunkte sind ((hpm c,k)), wobei (c=pm sqrt{a^2+b^2}). Nach (c) auflösen, gilt

(c=pm sqrt{36+81}=pm sqrt{117}=pm 3sqrt{13})

Daher sind die Koordinaten der Brennpunkte ((2−3sqrt{13},−5)) und ((2+3sqrt{13},−5)).

Die Gleichungen der Asymptoten lauten (y=pm dfrac{b}{a}(x−h)+k=pm dfrac{3}{2}(x−2)−5).

Als nächstes zeichnen und beschriften wir den Mittelpunkt, die Scheitelpunkte, die Ko-Scheitelpunkte, die Brennpunkte und die Asymptoten und zeichnen glatte Kurven, um die Hyperbel zu bilden, wie in Abbildung (PageIndex{10}) gezeigt.

Übung (PageIndex{5})

Zeichnen Sie die Hyperbel in der Standardform einer Gleichung (dfrac{{(y+4)}^2}{100}−dfrac{{(x−3)}^2}{64}=1) . Identifizieren und beschriften Sie das Zentrum, die Scheitelpunkte, die Ko-Scheitelpunkte, die Brennpunkte und die Asymptoten.

Antworten

Zentrum: ((3,−4)); Ecken: ((3,−14)) und ((3,6)); Ko-Scheitelpunkte: ((−5,−4)); und ((11,−4)); Brennpunkte: ((3,−4−2sqrt{41})) und ((3,−4+2sqrt{41})); Asymptoten: (y=pm dfrac{5}{4}(x−3)−4)

Lösen angewandter Probleme mit Hyperbeln

Wie wir zu Beginn dieses Abschnitts besprochen haben, haben Hyperbeln in vielen Bereichen reale Anwendungen wie Astronomie, Physik, Ingenieurwesen und Architektur. Besonders interessant ist die Designeffizienz hyperbolischer Kühltürme. Kühltürme werden verwendet, um Abwärme an die Atmosphäre zu übertragen und werden oft für ihre Fähigkeit zur effizienten Stromerzeugung angepriesen. Aufgrund ihrer hyperbolischen Form können diese Strukturen extremen Winden standhalten und benötigen dabei weniger Material als alle anderen Formen ihrer Größe und Stärke (Abbildung (PageIndex{12})). Zum Beispiel kann ein (500)-Fuß-Turm aus einer Stahlbetonschale nur (6) oder (8) Zoll breit sein!

Die ersten hyperbolischen Türme wurden 1914 entworfen und waren (35) Meter hoch. Heute befinden sich die höchsten Kühltürme in Frankreich mit einer Höhe von bemerkenswerten (170) Metern. In Beispiel (PageIndex{6}) verwenden wir das Design-Layout eines Kühlturms, um eine hyperbolische Gleichung zu finden, die seine Seiten modelliert.

Beispiel (PageIndex{6}): Lösung angewandter Probleme mit Hyperbeln

Der konstruktive Aufbau eines Kühlturms ist in Abbildung (PageIndex{13}) dargestellt. Der Turm ist (179,6) Meter hoch. Der Durchmesser der Spitze beträgt (72) Meter. Am nächsten sind die Seiten des Turms (60) Meter voneinander entfernt.

Finden Sie die Gleichung der Hyperbel, die die Seiten des Kühlturms modelliert. Angenommen, der Mittelpunkt der Hyperbel – in der Abbildung durch den Schnittpunkt der gestrichelten senkrechten Linien angezeigt – ist der Ursprung der Koordinatenebene. Endwerte auf vier Dezimalstellen runden.

Lösung

Wir nehmen an, dass der Mittelpunkt des Turms im Ursprung liegt, also können wir die Standardform einer horizontalen Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung verwenden: (dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2 }{b^2}=1), wobei die Äste der Hyperbel die Seiten des Kühlturms bilden. Wir müssen die Werte von (a^2) und (b^2) finden, um das Modell zu vervollständigen.

Zuerst finden wir (a^2). Denken Sie daran, dass die Länge der Querachse einer Hyperbel (2a) ist. Diese Länge wird durch den Abstand dargestellt, bei dem die Seiten am nächsten sind, der als (65,3) Meter angegeben wird. Also (2a=60). Daher (a=30) und (a^2=900).

Um nach (b^2) aufzulösen, müssen wir (x) und (y) in unserer Gleichung durch einen bekannten Punkt ersetzen. Dazu können wir die Abmessungen des Turms verwenden, um einen Punkt ((x,y)) zu finden, der auf der Hyperbel liegt. Wir werden die obere rechte Ecke des Turms verwenden, um diesen Punkt darzustellen. Da die (y)-Achse den Turm halbiert, kann unser (x)-Wert durch den Radius der Spitze oder (36) Meter dargestellt werden. Das ja-Wert wird durch die Entfernung vom Ursprung zur Spitze dargestellt, die als (79,6) Meter angegeben wird. Deshalb,

[egin{align*} dfrac{x^2}{a^2}-dfrac{y^2}{b^2}&=1qquad ext{Standardform der horizontalen Hyperbel.} b^2&=dfrac{y^2}{dfrac{x^2}{a^2}-1}qquad ext{Isolat } b^2 &=dfrac{{(79.6)}^ 2}{dfrac{{(36)}^2}{900}-1}qquad ext{Ersatz für } a^2,: x, ext{ und } y &approx 14400.3636qquad ext{Auf vier Dezimalstellen gerundet} end{align*}]

Die Seiten des Turms können durch die hyperbolische Gleichung modelliert werden

(dfrac{x^2}{900}−dfrac{y^2}{14400.3636}=1),oder (dfrac{x^2}{{30}^2}−dfrac{y ^2}{{120.0015}^2}=1)

Übung (PageIndex{6})

Ein Entwurf für ein Kühlturmprojekt ist in Abbildung (PageIndex{14}) dargestellt. Finden Sie die Gleichung der Hyperbel, die die Seiten des Kühlturms modelliert. Endwerte auf vier Dezimalstellen runden.

Antworten

Die Seiten des Turms können durch die hyperbolische Gleichung modelliert werden. (dfrac{x^2}{400}−dfrac{y^2}{3600}=1) oder (dfrac{x^2}{{20}^2}−dfrac{y^ 2}{{60}^2}=1).

Medien

Greifen Sie auf diese Online-Ressourcen zu, um zusätzliche Anweisungen zu erhalten und mit Hyperbeln zu üben.

  • Kegelschnitte: Die Hyperbel Teil 1 von 2
  • Kegelschnitte: Die Hyperbel Teil 2 von 2
  • Zeichnen Sie eine Hyperbel mit Mittelpunkt am Ursprung
  • Zeichnen Sie eine Hyperbel mit Mittelpunkt nicht am Ursprung not

Schlüsselgleichungen

Hyperbel, Mittelpunkt im Ursprung, Querachse auf x-Achse(dfrac{x^2}{a^2}−dfrac{y^2}{b^2}=1)
Hyperbel, Mittelpunkt im Ursprung, Querachse auf ja-Achse(dfrac{y^2}{a^2}−dfrac{x^2}{b^2}=1)
Hyperbel, Zentrum bei ((h,k)), Querachse parallel zu x-Achse(dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}−dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}=1)
Hyperbel, Zentrum bei ((h,k)), Querachse parallel zu ja-Achse(dfrac{{(y−k)}^2}{a^2}−dfrac{{(x−h)}^2}{b^2}=1)

Schlüssel Konzepte

  • Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte ((x,y)) in einer Ebene, so dass die Differenz der Abstände zwischen ((x,y)) und den Brennpunkten eine positive Konstante ist.
  • Die Standardform einer Hyperbel kann verwendet werden, um ihre Scheitelpunkte und Brennpunkte zu lokalisieren. Siehe Beispiel (PageIndex{1}).
  • Wenn wir die Koordinaten der Brennpunkte und Scheitelpunkte einer Hyperbel gegeben haben, können wir die Hyperbelgleichung in Standardform schreiben. Siehe Beispiel (PageIndex{2}) und Beispiel (PageIndex{3}).
  • Wenn eine Gleichung für eine Hyperbel gegeben ist, können wir ihre Scheitelpunkte, Scheitelpunkte, Brennpunkte, Asymptoten sowie Längen und Positionen der transversalen und konjugierten Achsen identifizieren, um die Hyperbel grafisch darzustellen. Siehe Beispiel (PageIndex{4}) und Beispiel (PageIndex{5}).
  • Reale Situationen können mit den Standardgleichungen von Hyperbeln modelliert werden. Angesichts der Abmessungen eines natürlichen Zugkühlturms können wir beispielsweise eine hyperbolische Gleichung finden, die seine Seiten modelliert. Siehe Beispiel (PageIndex{6}).

Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist eine Oberfläche, die aus einer Kugel durch Verformung durch Richtungsskalierung oder allgemeiner durch eine affine Transformation erhalten werden kann.

  • Kugel, ein = b = c = 4 oben
  • Sphäroid, ein = b = 5 , c = 3 unten links,
  • Dreiachsig Ellipsoid, ein = 4.5 , b = 6 c = 3 , unten rechts

Ein Ellipsoid ist eine quadratische Fläche, d. h. eine Fläche, die als Nullmenge eines Polynoms vom Grad zwei in drei Variablen definiert werden kann. Unter quadratischen Flächen ist ein Ellipsoid durch eine der beiden folgenden Eigenschaften gekennzeichnet. Jeder ebene Querschnitt ist entweder eine Ellipse oder leer oder auf einen einzigen Punkt reduziert (dies erklärt den Namen, der "ellipsenartig" bedeutet). Er ist beschränkt, das heißt, er kann in eine ausreichend große Kugel eingeschlossen werden.

Ein Ellipsoid hat drei paarweise senkrechte Symmetrieachsen, die sich in einem Symmetriezentrum, dem Zentrum des Ellipsoids, schneiden. Die Liniensegmente, die auf den Symmetrieachsen durch das Ellipsoid begrenzt werden, heißen Hauptachsen, oder einfach Achsen des Ellipsoids.Wenn die drei Achsen unterschiedliche Längen haben, heißt das Ellipsoid dreiachsig oder selten Scalen, und die Achsen sind eindeutig definiert.

Wenn zwei der Achsen die gleiche Länge haben, dann ist das Ellipsoid ein Rotationsellipsoid, auch Sphäroid genannt. In diesem Fall ist das Ellipsoid bei einer Drehung um die dritte Achse invariant, und es gibt somit unendlich viele Möglichkeiten, die beiden senkrechten Achsen gleicher Länge zu wählen. Wenn die dritte Achse kürzer ist, ist das Ellipsoid ein abgeflachtes Sphäroid, wenn es länger ist, ist es ein gestrecktes Sphäroid. Wenn die drei Achsen die gleiche Länge haben, ist das Ellipsoid eine Kugel.


Die Hyperbel

  • Suchen Sie die Scheitelpunkte und Brennpunkte einer Hyperbel.
  • Schreiben Sie Hyperbelgleichungen in Standardform.
  • Im Ursprung zentrierte Hyperbeln grafisch darstellen.
  • Graphische Hyperbeln nicht im Ursprung zentriert
  • Lösen Sie angewandte Probleme mit Hyperbeln.

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Lernziele

Ziel 1: Verwenden Sie die Entfernungsformel. (IA 11.1.1)

Hinweis: Entfernungsformel:

: Die Distanz d zwischen zwei Punkten x 1 , y 1 x 1 , y 1 und x 2 , y 2 x 2 , y 2 ist d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 d = x 2 - x 1 2 + y 2 - j 1 2 .

Beispiel 1

Aufgabe 1
Verwenden Sie die Entfernungsformel

Verwenden Sie die Abstandsformel, um den Abstand zwischen den Punkten (−5, −3) und (7,2) zu ermitteln.

Lösung
Schreiben Sie die Entfernungsformel. d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2
Beschriften Sie die Punkte (–5, –3) als (x1, ja1) und Punkt (7, 2) als (x2, ja2) und ersetzen. d = 7 2 - ( -5 ) 2 + 2 - ( -3 ) 2 d = 7 2 - ( -5 ) 2 + 2 - ( -3 ) 2
Vereinfachen. d = 12 2 + 5 2 = 144 + 55 = 169 d = 12 2 + 5 2 = 144 + 55 = 169
d = 13 d = 13

Übung macht den Meister

Übung 1

Verwenden Sie die Distanzformel, um den Abstand zwischen den Punkten (−2,−5) und (−14,−10) zu ermitteln.

Übung 2

Verwenden Sie die Abstandsformel, um den Abstand zwischen den Punkten (10, −4) und (−1,5) zu ermitteln. Schreiben Sie die Antwort in exakter Form und ermitteln Sie dann die dezimale Näherung, gegebenenfalls auf Zehntel gerundet.

Ziel 2: Zeichnen Sie eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei (0,0). (IA 11.4.1)

A sind alle Punkte in einer Ebene, bei denen die Differenz ihrer Abstände zu zwei Fixpunkten konstant ist. Jeder der Fixpunkte wird a der Hyperbel genannt.

Die Linie durch die Brennpunkte wird als . Die beiden Punkte, an denen die Querachse die Hyperbel schneidet, sind jeweils a der Hyperbel. Der Mittelpunkt des Segments, das die Brennpunkte verbindet, wird als Hyperbel bezeichnet. Die Linie senkrecht zur Querachse, die durch das Zentrum verläuft, wird als . Jedes Stück des Graphen heißt a der Hyperbel.

Tabelle 2: Die Standardform der Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt (0,0)
Gleichung x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1
Orientierung Querachse ist horizontal.
Öffnet rechts und links.
Querachse ist vertikal.
Öffnet nach oben und unten.
Scheitelpunkte (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, a)
x-Achsenabschnitte (-a, 0), (a, 0) keiner)
y-Achsenabschnitte keiner (0, -a), (0, a)
Rechteck Verwendung (±a,0), (0,±b) Verwendung (0,±a), (±b,0)
Asymptoten ( y = ± b a x y = ± b a x y = ± a b x y = ± a b x

Beachten dass im Gegensatz zur Ellipsengleichung der Nenner von x 2 x 2 nicht immer a 2 a 2 und der Nenner von y 2 y 2 nicht immer b 2 b 2 ist.

dass, wenn der x 2 x 2 Term positiv ist, die Querachse auf der x-Achse liegt. Wenn der Term y 2 y 2 positiv ist, liegt die Querachse auf der y-Achse.

Wie man eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei (0, 0) grafisch darstellt:

  1. Schritt 1. Schreiben Sie die Gleichung in Standardform.
  2. Schritt 2. Bestimmen Sie, ob die Querachse horizontal oder vertikal ist.
  3. Schritt 3. Finden Sie die Scheitelpunkte.
  4. Schritt 4. Skizzieren Sie das am Ursprung eingegebene Rechteck, das eine Achse bei ± . schneidetein und das andere bei ±b.
  5. Schritt 5. Skizzieren Sie die Asymptoten – die Linien durch die Diagonalen des Rechtecks.
  6. Schritt 6. Zeichnen Sie die beiden Zweige der Hyperbel. Beginnen Sie am Scheitelpunkt und verwenden Sie die Asymptoten als Richtlinie.

Beispiel 2

Aufgabe 1
Zeichne eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei (0,0).

Graph x 2 25 − y 2 4 = 1 . x 2 25 − y 2 4 = 1 .

Lösung

Beispiel 3

Aufgabe 1

Diagramm 4 y 2 − 16 x 2 = 64 . 4 y 2 − 16 x 2 = 64 .

Lösung
4 y 2 − 16 x 2 = 64 4 y 2 − 16 x 2 = 64
Um die Gleichung in Standardform zu schreiben, dividiere
jeder Term durch 64, um die Gleichung gleich 1 zu machen.
4 Jahre 2 64 − 16 x 2 64 = 64 64 4 Jahre 2 64 − 16 x 2 64 = 64 64
Vereinfachen. y 2 16 − x 2 4 = 1 y 2 16 − x 2 4 = 1
Seit der ja 2 -Term ist positiv, die Querachse ist vertikal.
Da a 2 = 16 a 2 = 16 ist, ist a = ± 4 . a = ± 4 .
Die Eckpunkte sind auf dem ja -Achse, ( 0 , − a ) , ( 0 , − a ) , (0 , a ) . ( 0 , a ) .
Da b 2 = 4 b 2 = 4 ist, ist b = ± 2 . b = ± 2 .
( 0 , −4 ) , ( 0 , −4 ) , ( 0 , 4 ) ( 0 , 4 )
Skizzieren Sie das Rechteck, das die schneidet x -Achse bei ( −2 , 0 ) , ( −2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ( 2 , 0 ) und die ja -Achse an den Scheitelpunkten.
Skizzieren Sie die Asymptoten durch die Diagonalen des Rechtecks.
Zeichne die beiden Äste der Hyperbel.

Übung macht den Meister

Zeichne eine Hyperbel mit Mittelpunkt bei (0,0).

Übung 3

Diagramm x 2 9 - y 2 16 = 1 x 2 9 - y 2 16 = 1 .

Übung 4

Diagramm 25 y 2 - 9 x 2 = 225 25 y 2 - 9 x 2 = 225 .

Was haben Kometenbahnen, Überschallknalle, antike griechische Säulen und Naturzugkühltürme gemeinsam? Sie können alle durch den gleichen Typ von modelliert werden. Wenn sich beispielsweise etwas schneller als Schallgeschwindigkeit bewegt, entsteht eine Stoßwelle in Form eines Kegels. Ein Teil eines Kegelschnitts entsteht, wenn die Welle den Boden schneidet, was zu einem Überschallknall führt. Siehe Abbildung 1.

Abbildung 1: Eine den Boden kreuzende Stoßwelle bildet einen Teil eines Kegelschnitts und führt zu einem Überschallknall.

Die meisten Menschen kennen den Überschallknall, der von Überschallflugzeugen erzeugt wird, aber die Menschen haben die Schallmauer lange vor dem ersten Überschallflug durchbrochen. Das Knallen einer Peitsche entsteht, weil die Spitze die Schallgeschwindigkeit überschreitet. Die von vielen Schusswaffen abgefeuerten Kugeln durchbrechen auch die Schallmauer, obwohl der Knall der Waffe normalerweise das Geräusch des Überschallknalls ersetzt.


Inhalt

Bei Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems, in dem der Ursprung der Mittelpunkt des Ellipsoids ist und die Koordinatenachsen Achsen des Ellipsoids sind, hat die implizite Gleichung des Ellipsoids die Standardform

wo ein, b, c sind positive reelle Zahlen.

Die Punkte (ein, 0, 0) , (0, b, 0) und (0, 0, c) liegen auf der Oberfläche. Die Strecken vom Ursprung zu diesen Punkten werden als Haupthalbachsen des Ellipsoids bezeichnet, weil ein, b, c halb so lang wie die Hauptachsen sind. Sie entsprechen der großen Halbachse und der kleinen Halbachse einer Ellipse.

Wenn ein = b > c , man hat ein abgeplattetes Sphäroid, wenn ein = b < c , man hat ein gestrecktes Sphäroid, wenn ein = b = c , man hat eine Kugel.

Das Ellipsoid kann auf verschiedene Weise parametrisiert werden, die einfacher auszudrücken ist, wenn die Ellipsoidachsen mit Koordinatenachsen übereinstimmen. Eine häufige Wahl ist

Diese Parameter können als Kugelkoordinaten interpretiert werden, wobei θ der Polarwinkel und φ der Azimutwinkel des Punktes ist (x, ja, z) des Ellipsoids. [1]

Messen von der Mitte statt von einem Pol,

Messung von Winkeln direkt zur Oberfläche des Ellipsoids, nicht zur umschriebenen Kugel,

γ wäre der geozentrische Breitengrad auf der Erde und λ ist der Längengrad. Dies sind echte Kugelkoordinaten mit dem Ursprung im Zentrum des Ellipsoids. [ Zitat benötigt ]

In der Geodäsie wird die geodätische Breite am häufigsten verwendet, als Winkel zwischen der Vertikalen und der Äquatorialebene, definiert für ein zweiachsiges Ellipsoid. Ein allgemeineres triaxiales Ellipsoid finden Sie unter ellipsoidischer Breitengrad.

Das vom Ellipsoid begrenzte Volumen ist

In Bezug auf die Hauptdurchmesser EIN, B, C (wo EIN = 2ein , B = 2b , C = 2c ), das Volumen ist

Diese Gleichung reduziert sich auf das Volumen einer Kugel, wenn alle drei elliptischen Radien gleich sind, und auf die eines abgeplatteten oder gestreckten Sphäroids, wenn zwei von ihnen gleich sind.

Die Oberfläche eines allgemeinen (triaxialen) Ellipsoids beträgt [2] [3]

und wo F(φ, k) und E(φ, k) sind unvollständige elliptische Integrale erster bzw. zweiter Art. [4]

Die Oberfläche eines Rotationsellipsoids (oder Sphäroids) kann durch elementare Funktionen ausgedrückt werden:

die, wie aus trigonometrischen Grundidentitäten folgt, äquivalente Ausdrücke sind (d. h. die Formel für SOblate kann verwendet werden, um die Oberfläche eines gestreckten Ellipsoids zu berechnen und umgekehrt). In beiden Fällen kann e wiederum als Exzentrizität der durch den Querschnitt durch die Symmetrieachse gebildeten Ellipse identifiziert werden. (Siehe Ellipse). Ableitungen dieser Ergebnisse können in Standardquellen, zB Mathworld, gefunden werden. [5]

Ungefähre Formel Bearbeiten

In der "flachen" Grenze von c viel kleiner als a und b ist die Fläche ungefähr 2 approximatelyab , gleichwertig p ≈ 1.5850 .

Eigenschaften Bearbeiten

Der Schnittpunkt einer Ebene und einer Kugel ist ein Kreis (oder wird auf einen einzigen Punkt reduziert oder ist leer). Jedes Ellipsoid ist das Bild der Einheitskugel unter einer affinen Transformation, und jede Ebene ist das Bild einer anderen Ebene unter derselben Transformation. Da affine Transformationen also Kreise auf Ellipsen abbilden, ist der Schnittpunkt einer Ebene mit einem Ellipsoid eine Ellipse oder ein einzelner Punkt oder leer. [7] Offensichtlich enthalten Sphäroide Kreise. Dies gilt auch, aber weniger offensichtlich, für triaxiale Ellipsoide (siehe Kreisabschnitt).

Bestimmung der Ellipse eines ebenen Schnitts Bearbeiten

Gesucht: Drei Vektoren f0 (Mitte) und f1 , f2 (konjugierte Vektoren), so dass die Ellipse durch die parametrische Gleichung dargestellt werden kann

Lassen ichdudu + ichvv + ichww = δ sei die hessische Normalform der neuen Ebene und

seinen Einheitsnormalenvektor. Daher

ist der Center des Schnittkreises und

Wo ichw = ±1 (d.h. die Ebene ist horizontal), sei

In jedem Fall sind die Vektoren e1, e2 sind orthogonal, parallel zur Schnittebene und haben die Länge ρ (Kreisradius). Daher kann der Schnittkreis durch die parametrische Gleichung . beschrieben werden

Die umgekehrte Skalierung (siehe oben) transformiert die Einheitskugel wieder in das Ellipsoid und die Vektoren e0, e1, e2 werden auf Vektoren abgebildet f0, f1, f2 , die für die parametrische Darstellung der Schnittellipse gesucht wurden.

Wie man die Scheitelpunkte und Halbachsen der Ellipse findet, wird in Ellipse beschrieben.

Beispiel: Die Diagramme zeigen ein Ellipsoid mit den Halbachsen ein = 4, b = 5, c = 3 die von der Ebene geschnitten wird x + ja + z = 5 .


Schreiben der Gleichung von Hyperbeln

Wir können die Gleichung einer Hyperbel schreiben, indem wir diesen Schritten folgen:

1. Identifizieren Sie den Mittelpunkt (h, k)
2. Identifizieren Sie a und c
3. Verwenden Sie die Formel c 2 = a 2 + b 2 um b (oder b 2 ) zu finden
4. Setzen Sie h, k, a und b in das richtige Muster ein.
5. Vereinfachen

Manchmal erhalten Sie eine Grafik und manchmal werden Ihnen nur einige Informationen mitgeteilt.

1. Finden Sie die Gleichung einer Hyperbel, deren Scheitelpunkte bei (-1, -1) und (-1, 7) liegen und deren Brennpunkte bei (-1, 8) und (-1, -2) liegen.

Lassen Sie uns zunächst die Informationen, die wir haben, grafisch darstellen:

Wir können sagen, dass es sich um eine vertikale Hyperbel handelt. Suchen wir als nächstes unseren Mittelpunkt und markieren ihn. Wenn wir möchten, können wir auch eine grobe Hyperbel einzeichnen, um die Visualisierung zu erleichtern:

Der Mittelpunkt ist (-1, 3). Um a zu finden, zählen wir von der Mitte zu einem der beiden Scheitelpunkte. a = 4. Um c zu finden, zählen wir von der Mitte zu einem der beiden Brennpunkte. c = 5

Wir verwenden die Formel c 2 = a 2 + b 2, um b zu finden. Dazu subtrahieren wir a = 4 und c = 5 und lösen dann nach b auf.

Wir haben alle unsere Informationen: h = -1, k = 3 , a = 4, b = 3 . Da es sich um eine vertikale Hyperbel handelt, wählen wir diese Formel und ersetzen sie in unseren Informationen.


Und vereinfachen:

2. Finden Sie die Gleichung dieser Hyperbel:

Wir können sagen, dass es sich um eine horizontale Hyperbel handelt. Suchen wir als nächstes unseren Mittelpunkt und markieren ihn.k

Der Mittelpunkt ist (1, 2). Um a zu finden, zählen wir von der Mitte zu einem der beiden Scheitelpunkte. a = 2. Um c zu finden, zählen wir von der Mitte zu einem der beiden Fokusse. c = 6

Wir verwenden die Formel c 2 = a 2 + b 2, um b zu finden. Dazu subtrahieren wir a = 2 und c = 6 und lösen dann nach b auf.

c 2 = a 2 + b 2
6 2 = 2 2 + b 2
36 = 4 + b2
32 = b2

Um b zu finden, müssten wir die Quadratwurzel ziehen, aber sie wird nicht gleichmäßig herauskommen. Das ist jedoch in Ordnung, denn das Muster benötigt b 2 , also können wir b 2 einfach durch 32 ersetzen.

Wir haben alle unsere Informationen: h = 1, k = 2 , a = 2, b 2 = 32 . Da es sich um eine horizontale Hyperbel handelt, wählen wir diese Formel und ersetzen sie in unseren Informationen.

Trainieren: Finden Sie die Gleichung jeder Parabel:

1) Scheitelpunkte: (2, 1) und (2, -5) Brennpunkte: (2, 3) und (2, -7)
2) Scheitelpunkte: (0, 1) und (6, 1) Brennpunkte: (-1, 1) und (7, 1)
3) Scheitelpunkte: (1, 0) und (3, 0) Brennpunkte: (-1, 0) und (5, 0)


8.3: Die Hyperbel

1. Die Skizze zeigt den Graphen von xy = 16.
Vervollständige die folgende Tabelle:
x 1 a 4 c 12 16
j 16 8 b 3,2 d 1

1.1 Berechnen Sie den Wert von a, b, c und d in der Tabelle.
1.2 Was passiert mit dem Wert von y, wenn x größer wird?
1.3 Ist y direkt proportional zu x? Erklären.
1.4 Können x oder y in diesem Graphen jemals gleich 0 sein? Erklären.
1.5.1 Welche Bedeutung hat der Punkt (4 b)? Erklären.
1.5.2 Berechnen Sie die Gleichung der Geraden durch die
Ursprung und Punkt (4 b).
1.6 Betrachten Sie die Punkte M(64 m) und N(128 n). Berechnen Sie die Werte von m und n.

2. Betrachten Sie die folgende Tabelle:
x 1 2 3 b 6 c 10 f 24 h
y 36 18 a 9 d 4 e 3 g 1

2.1 Schreiben Sie die Gleichung des Graphen auf.
2.2 Berechnen Sie die Werte von a bis h in der Tabelle.
2.3 Zeichnen Sie die Grafik auf Millimeterpapier.
2.4 Zeigen Sie in Ihrem Diagramm deutlich an, wo Sie die Werte von a bis h auf dem Diagramm ablesen.
2.5 Die Punkte M(144 m) und N(n 0,2) sind Punkte auf dem Graphen. Berechne den Wert von m und n.

3. Studieren Sie die folgende Tabelle:
x 1 2 4 8 0,5 32 e
y 8 a b c 16 d 64

3.1 Schreiben Sie die Gleichung des Graphen auf.
3.2 Berechnen Sie die Werte der Buchstaben in der Tabelle.
3.3 Sind die Punkte M(0,25 16) und N(128 0,0625) Punkte auf dem Graphen? Erkläre deine Antwort.

4. Die Skizze zeigt den Graphen von xy = 9
4.1 (1 b) und (c 18) sind Punkte im Graphen.
Berechnen Sie die Werte von b und c.
4.2 Die Gerade y = x schneidet die Hyperbel im
Punkt (3a).
4.2.1 Berechnen Sie den Wert von a.
4.2.2 Welche Bedeutung hat der Punkt (3 a)?

5. Die Skizze zeigt den Graphen von xy = 16
5.1 Die Punkte (b 32) und (10 c) sind Punkte auf
der Graph. Berechnen Sie die Werte von b und c.
5.2 Die Gerade y = x schneidet die Hyperbel in
der Punkt (a 4).
5.2.1 Berechnen Sie den Wert von a.
5.2.2 Welche Bedeutung hat der Punkt (a 4)?
5.3 Erklären Sie, wie Sie den Wert mithilfe des Diagramms ermitteln können
der Quadratwurzel von 16.
5.4 Erklären Sie, wie Sie den Wert mithilfe des Diagramms ermitteln können
der Quadratwurzel von 64.

6. Skizzieren Sie den Graphen von xy = 25, indem Sie die folgende Tabelle ausfüllen:
x 1 2 4 10 d e f
y 25 a b c 20 50 0,25

6.1 Zeichnen Sie eine Gerade in Ihren Graphen, mit der Sie die Quadratwurzel von 25 finden können.
Markieren Sie die Stelle, an der Sie den Wert P ablesen.
6.2 Erklären Sie, wie Sie den Graphen verwenden können, um die Quadratwurzel von 100 und 1 zu bestimmen.
6.3 Durch die Punkte (d 20) und (e 50) geht eine Gerade.
6.3.1 Berechnen Sie die Geradengleichung.
6.3.2 Berechnen Sie die Koordinaten der Achsenabschnitte der Geraden.

7. Angenommen, xy = 24
7.1 Die Punkte A(2 a), B(b 8), C(c 6) und D(16 d) sind Punkte auf der Hyperbel.
Berechnen Sie die Werte von a, b, c und d.
7.2 Was passiert mit den Werten von x, wenn y kleiner wird?
7.3 Für welche(n) Wert(e) von x ist y = 0?
Erkläre deine Antwort.
7.4 Erklären Sie, wie Sie den Graphen verwenden können, um die Quadratwurzel von 24 zu bestimmen.
7.5 Erklären Sie, wie Sie den Graphen verwenden können, um die Quadratwurzel von 96 und von 6 zu bestimmen.


Wie man horizontale Hyperbeln grafisch darstellt - Tutorial

1. Die lineare Exzentrizität (c) ist der Abstand zwischen dem Zentrum und dem Fokus (oder einem der beiden Fokusse).
2. Der Latus rectum (2&gamma) ist der Akkord, der durch den Brennpunkt (oder einen der beiden Brennpunkte) verläuft.
3. Der Scheitelpunkt ist ein Punkt in der Achse, an dem sich Hyperbeln schneiden.
4. Die asymptotischen Linien sind eine Linie, die entlang einer Kurve verläuft, die Kurve jedoch nie berührt.
5. Der Fokus ist ein beliebiger Fixpunkt, der sich innerhalb der Kurve entlang der Achse befindet.

Exzentrizität (c) = &radic(a2 + b2)
Brennpunkte = (0,c) & (0,-c)
Scheitelpunkte = (0,a) & (0,-a)
Asymptotische Linien = (b/a)x & -(b/a)x
Latus Rektum = 2b 2 /a

Beispiel: Exzentrizität, Brennpunkte, Scheitelpunkte, asymptotische Linien und Mastdarm der Hyperbel mit einem Punkt (3,2) finden?
Gegeben: a = 3
b = 2

Finden,
Exzentrizität, Foci, Vertices, asymptotische Linien und Latus rectum

Lösung: Schritt 1 :
Exzentrizität (c) = &radic(a2 + b2)
c = &radikal(32 + 22) c = &radikal(9+4) = &radikal13 = 3,6

Schritt 2 :
Brennpunkte = (0,c) & (0,-c)
Brennpunkte = (0,3.6) & (0,-3.6)

Schritt 3 :
Scheitelpunkte = (0,a) & (0,-a)
Scheitelpunkte = (0,3) & (0,-3)

Schritt 4 :
Asymptotische Linien = (b/a)x & -(b/a)x
Asymptotische Linien = (2/3)x & -(2/3)x
Asymptotische Linien = (0.67)x & -(0.67)x


Gelöste Beispielprobleme bei realen Anwendungen von Kegelschnitten


Da die Breite des LKW 3 . beträgtich , um den Abstand zu bestimmen, müssen wir die Höhe des Torbogens 1,5 . ermittelnich vom Zentrum. Wenn diese Höhe 2,7 Zoll beträgtich oder weniger wird der LKW den Torbogen nicht räumen.

Aus dem Diagramm ein = 6 und b = 3 ergibt die Ellipsengleichung als .

Der Rand der 3ich breiter LKW entspricht x = 1.5ich von der Mitte Wir finden die Höhe des Torbogens 1,5 "ich aus der Mitte durch Ersetzen x = 1,5 und auflösen nach ja


Somit ist die Höhe des Bogengangs 1,5ich vom Zentrum ist ungefähr 2,90ich . Da die Höhe des Lastwagens 2,7 Zoll beträgtich , wird der LKW den Torbogen räumen.

Die maximale bzw. minimale Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 152 × 10 6 km bzw. 94,5 × 10 6 km. Die Sonne befindet sich in einem Brennpunkt der elliptischen Umlaufbahn. Finden Sie die Entfernung von der Sonne zum anderen Brennpunkt.

WIE = 94,5×10 6 km, SA ' = 152 × 10 6 km

ein + c = 152 ×10 6

2 . subtrahierenc = 57,5×10 6 = 575×10 5 km


Der Abstand der Sonne vom anderen Brennpunkt beträgt SS= 575×10 5 km.

Eine Betonbrücke ist als parabolischer Bogen konzipiert. Die Straße über die Brücke ist 40ich lang und die maximale Höhe des Bogens beträgt 15ich . Schreiben Sie die Gleichung des parabolischen Bogens.

Aus dem Graphen ist der Scheitelpunkt bei (0, 0) und die Parabel ist nach unten offen


Gleichung der Parabel ist x 2 = −4ay

(−20, −15) und (20, −15) liegen auf der Parabel


Daher ist die Gleichung 3x 2 =-80y

Die parabolische Kommunikationsantenne hat einen Fokus bei 2ich Abstand vom Scheitel der Antenne. Finden Sie die Breite der Antenne 3ich vom Scheitel.

Lass die Parabel sein ja 2 = 4Axt .

Da der Fokus 2 . beträgtich vom Scheitelpunkt ein = 2

Gleichung der Parabel ist ja 2 = 8x


Lassen P sei ein Punkt auf der Parabel, dessen x -Koordinate ist 3ich vom Scheitelpunkt P (3, ja)

Die Breite der Antenne 3m vom Scheitelpunkt ist 4√6 ich.

Die gleichung ja = (1/32) x 2 Modelle Querschnitte von Parabolspiegeln, die für Sonnenenergie verwendet werden. Im Brennpunkt jeder Parabel befindet sich ein Heizrohr. Wie hoch befindet sich dieses Rohr über dem Scheitel der Parabel?


Gleichung der Parabel ist

Das ist x 2 = 32ja der Scheitelpunkt ist (0, 0)

Das Heizrohr muss also im Fokus (0, ein) . Daher muss das Heizrohr 8 Einheiten über dem Scheitel der Parabel platziert werden.

Ein Suchscheinwerfer hat einen parabolischen Reflektor (hat einen Querschnitt, der eine „Schale“ bildet). Die Parabolschüssel ist 40 cm breit von Rand zu Rand und 30 cm tief. Die Glühbirne befindet sich im Fokus.

(1) Wie lautet die Parabelgleichung für den Reflektor?

(2) Wie weit vom Scheitelpunkt entfernt soll die Glühbirne platziert werden, damit die maximale Entfernung zurückgelegt wird?


Die Parabelgleichung lautet

(1) Da der Durchmesser 40 . beträgt cm und die Tiefe beträgt 30 cm , liegt der Punkt (30,20) auf der Parabel.

Gleichung ist y 2 = 40/3 x.

(2) Die Glühbirne ist fokussiert (0, ein) . Die Glühbirne hat also einen Abstand von 10/3 cm vom Scheitel.

Beispiel 5.36

Eine Gleichung des elliptischen Teils eines optischen Linsensystems ist .

Der parabolische Teil des Systems hat einen Brennpunkt gemeinsam mit dem rechten Brennpunkt der Ellipse. Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich im Ursprung und die Parabel öffnet sich nach rechts. Bestimmen Sie die Parabelgleichung.

Lösung


In der angegebenen Ellipse ein 2 = 16 , b 2 = 9

dann c 2 = ein 2 - b 2

Daher sind die Brennpunkte F ( 7, 0), F ¢ (-√7, 0) . Der Fokus der Parabel ist (√7, 0) ⇒ a =√7 Gleichung der Parabel ist y 2 = 4√7x .

Beispiel 5.37

Ein Zimmer 34ich long ist als Flüstergalerie konstruiert. Der Raum hat eine elliptische Decke, wie in Abb. 5.64 dargestellt. Wenn die maximale Höhe der Decke 8 . beträgtich , bestimmen, wo sich die Brennpunkte befinden.

Lösung

Die Länge ein der halben Hauptachse der elliptischen Decke beträgt 17ich . Die Höhe b der halbkleinen Achse ist 8ich . So


Bei der elliptischen Decke befinden sich die Brennpunkte auf beiden Seiten etwa 15ich vom Zentrum, entlang seiner Hauptachse.

Ein nicht-invasives medizinisches Wunder

In einem Lithotripter wird eine hochfrequente Schallwelle von einer Quelle emittiert, die sich in einem der Brennpunkte der Ellipse befindet. Der Patient wird so platziert, dass sich der Nierenstein im anderen Brennpunkt der Ellipse befindet.

Beispiel 5.38

Wenn die Ellipsengleichung ( x und ja werden in Zentimetern gemessen) wo sollte der Nierenstein des Patienten auf den Zentimeter genau so platziert werden, dass der reflektierte Schall auf den Nierenstein trifft?

Lösung

Die Ellipsengleichung lautet .


Der Ursprung der Schallwelle und des Nierensteins des Patienten sollte in den Brennpunkten liegen, um die Steine ​​​​zu zertrümmern.

ein 2 = 484 und b 2 = 64

c 2 = ein 2 - b 2

Daher sollte der Nierenstein des Patienten 20,5 cm von der Ellipsenmitte entfernt platziert werden.

Beispiel 5.39

Zwei Stationen der Küstenwache befinden sich punktweise 600 km voneinander entfernt EIN(0, 0) und B(0, 600) . Ein Notsignal von einem Schiff um P wird von zwei Sendern zu leicht unterschiedlichen Zeiten empfangen. Es wird festgestellt, dass das Schiff 200 km weiter von der Station entfernt ist EIN als vom Bahnhof B . Bestimmen Sie die Hyperbelgleichung, die durch den Standort des Schiffes geht.

Lösung

Da sich das Zentrum bei (0, 300) befindet, auf halbem Weg zwischen den beiden Brennpunkten, die die Stationen der Küstenwache sind, lautet die Gleichung


Um die Werte von zu bestimmen ein und b , wählen Sie zwei Punkte aus, die bekanntermaßen auf der Hyperbel liegen, und ersetzen Sie jeden Punkt in der obigen Gleichung.

Der Punkt (0, 400) liegt auf der Hyperbel, da er 200 km weiter von Station . entfernt ist EIN als vom Bahnhof B .


Es gibt auch einen Punkt (x, 600) auf der Hyperbel mit 600 2 + x 2 = ( x + 200) 2 .

360000 + x 2 = x 2 + 400x + 40000


Somit lautet die erforderliche Gleichung der Hyperbel


Das Schiff liegt irgendwo auf dieser Hyperbel. Der genaue Standort kann anhand von Daten einer dritten Station bestimmt werden.

Bestimmte Teleskope enthalten sowohl einen Parabolspiegel als auch einen hyperbolischen Spiegel. Bei dem in Abbildung 5.68 gezeigten Teleskop teilen sich Parabel und Hyperbel den Fokus F 1, das ist 14ich über dem Scheitelpunkt der Parabel. Der zweite Fokus der Hyperbel F 2 ist 2ich über dem Scheitelpunkt der Parabel. Der Scheitelpunkt des hyperbolischen Spiegels ist 1ich unten F 1. Positionieren Sie ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Zentrum der Hyperbel und mit den Brennpunkten auf dem ja -Achse. Dann finden Sie die Gleichung der Hyperbel.

Lassen V 1 sei der Scheitelpunkt der Parabel und V 2 sei der Scheitelpunkt der Hyperbel.

= 14 - 2 = 12ich, 2c = 12, c = 6


Der Abstand vom Mittelpunkt zum Scheitelpunkt der Hyperbel ist ein = 6 −1 = 5


8.3: Die Hyperbel

Taxi-Geometrie mit Technologie:

Einige Erkundungsmaterialien

Übersicht über die Taxi-Geometrie

Die Taxi Cab Geometrie hat die folgende Distanzfunktion zwischen den Punkten A(x 1 ,y 1 ) und B(x 2 ,y 2 ):

D = |x 2 - x 1 | + |y 2 - y 1 |

Es wird behauptet, dass alle Axiome und Theoreme der Neutralen Geometrie (Kapitel 1) bis zur SAS-Kongruenz gelten.

Konstruieren Sie Grafikrechner und/oder GSP-Dateien (oder GeoGebra-Dateien) für

Taxi-Kreis

Grafikrechner 3.5 Datei für Mittelpunkt A und Radius d.

|x - a| + |y - b| = d

Grafikrechner 3.5 Datei für Mitte A bis B

Wenn A(a,b) der Ursprung (0,0) ist, ist die Gleichung des Taxikreises |x| + |y| = d.

Insbesondere lautet die Gleichung des Taxicab-Einheitskreises |x| + |y| = 1. Zeichnen Sie es.

In der Euklid-Ebene verwenden wir den Einheitskreis, um die Cosinus-, Sinus- und Tangentialverhältnisse zu definieren. Gibt es eine analoge Möglichkeit, trigonometrische Verhältnisse für die Taxicab-Ebene zu definieren?

Das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises in der euklidischen Ebene ist eine Konstante – pi.

Ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines TC-Kreises konstant? Was ist es?

Eine GCF-Datei

Unter Verwendung der TC-Distanzmetrik und der Definition einer Ellipse als Sollwerte, bei denen die Summe der Distanzen von zwei Fixpunkten eine Konstante d ist, können wir eine Gleichung für die Ellipse mit Brennpunkten bei A(a,b) und B write schreiben (g,h) wie

(|x - a| + |y - b|) + (|x - g| + |y - h|) = d

Erstellen Sie Ihre eigene GCF-Datei oder verwenden Sie die im obigen Link, um die Formen und Orte zu erkunden, die sich aus dieser Gleichung ergeben.

Hier sind sechs Beispiele für verschiedene Auswahlmöglichkeiten von A, B und d. Jede TC-Ellipse in jeder der ersten 5 besteht aus sechs oder acht Segmenten. Diese Segmente sind entweder parallel zur x-Achse oder y-Achse (hier nicht gezeigt) oder Segmente mit einer Steigung von 1 oder einer Steigung von -1.

ÜBERPRÜFEN SIE DURCH ZÄHLEN DER RASTERLINIEN, DASS JEDER PUNKT DER DARGESTELLTEN SEGMENTE TEIL DER TCEllipse SIND.

Die letzte tritt auf, wenn AB = d. Wenn wir es als TCEllipse einschließen, ist es ein degenerierter Fall. Wird die Region immer ein Quadrat sein? Warum? Stellen Sie sicher, dass für jeden Punkt im Quadrat die Summe der TC-Abstände von A und B eine Konstante ist.

FÜR IHRE GSP-KONSTRUKTIONEN möchten Sie den Schnittpunkt der beiden von Ihnen erzeugten TC-Kreise verfolgen.

Klicken Sie hier für eine GSP-Datei, die von der Webseite von Susan Sexton angepasst wurde

Zunächst einmal sind 4 Schnittpunkte zu verfolgen, nicht 2. Sie sehen immer nur 2 gleichzeitig.

Als nächstes gibt es 4 Mal, bei denen die Seiten der TC-Kreise auf demselben Segment zusammenfallen. Zu diesen Zeiten erfüllen alle Punkte auf dem Segment, die zusammenfallen, die Gleichung. Somit ist die Ellipse, wenn sie existiert und nicht entartet ist, eine geschlossene Figur mit 8 oder 6 Segmenten.

Überprüfen.

Aus dieser GSP-Datei können Sie die Brennpunkte A und B leicht verschieben. Ich habe keine Möglichkeit gefunden, die Segmente der Steigung 1 oder -1 aus dieser Animation zu verfolgen.

Taxi Hyperbelbol

GCF-Datei für Taxi Cab Hyperbola

Die Definition einer Hyperbel ist die Menge von Punkten, bei denen der Abstandsunterschied von zwei Fixpunkten konstant ist. Versuchen Sie diese Gleichung:

|(x - a) + (y - b)| - |(x - g) + (y - h)| = d

für Fixpunkte A(a,b) und B(h,g). Es scheint, dass die andere Menge von Punkten, die die konstante Differenz erfüllen, durch diese Gleichung bestimmt würde:

|(x - g) + (y - h)| - |(x - a) + (y - b)| = d

Daher wäre eine einzige Gleichung, die beide Punktemengen erhält:

||(x - a) + (y - b)| - |(x - g) + (y - h)|| = d

Wie bei der TCEllipse erfordert die Konstruktion der GSP-Version möglicherweise etwas Aufmerksamkeit auf Segmente überlappender Quadrate und nicht nur auf Schnittpunkte.

Stellen Sie sicher, dass die rechte Figur eine TCHyperbola mit A(6,7), B(14,14) und d = 3 ist

Erkunden Sie andere Schwerpunkte und andere Werte von d.

Was passiert mit d> AB? Was passiert, wenn d = AB ist?

Hier gibt es andere Verrücktheiten. Untersuchen Sie diese drei Fälle für d = 2:

1. A(5,5) und B(11, 14)

2. A(5,5) und B(12,14)

3. A(5,5) und B(13, 14)

ERKLÄREN

Die übliche euklidische Definition einer Parabel ist der Ort von Punkten, die von einer Linie und einem Fixpunkt gleich weit entfernt sind.

Bestimmen Sie eine Möglichkeit, den Abstand von einer Linie auszudrücken, und schreiben Sie damit eine Gleichung für eine Parabel, die mit Graphing Calculator 3.5 grafisch dargestellt werden kann.

Zuallererst müssen wir erkennen, dass die Entfernung von einem Punkt zu einer Linie in der Taxicab-Geometrie die folgende Definition hat:

Definition: Lassen l sei eine Gerade und P ein Punkt. Dann ist der Abstand von P nach l ist der Minimum TC-Abstand PQ wobei Q ein Punkt auf ist l.

Diskussion:

Drei Fälle werden vorgestellt. Taxiabstand ist die Summe entlang einer Horizontalen plus einer Vertikalen. Liegt der Punkt Q auf der Horizontalen mit P dann ha wäre die Taxientfernung von P nach Q. Wenn der Punkt Q auf der Vertikalen mit P liegt, dann ist v die Taxientfernung von P nach Q TC-Abstand von P zur Linie wäre das Minimum für alle Punkte Q auf der Linie.

So

wenn die Steigung von l ist mehr als 1, das ha ist der Mindestabstand.

wenn die Steigung von l kleiner als 1 ist, v ist der Mindestabstand.

wenn die Steigung von l gleich 1 ist, h = v und alle Punkte zwischen BC haben die gleiche TC-Länge.

Ähnliche Zahlen könnten auf negative Steigungen untersucht werden.

Die Definition einer Parabel ist der Ort von Punkten, so dass ein Punkt auf der Parabel von einer Linie, die als Leitlinie bezeichnet wird, und einem Punkt, der Brennpunkt genannt wird, gleich weit entfernt ist. In der euklidischen Geometrie wird der Abstand eines Punktes von der Linie entlang der Senkrechten von einem Punkt auf der Leitlinie gemessen. Dabei spielt es keine Rolle, welche Steigung die Linie hat. Es sollte eine Warnflagge wehen, um zu warnen, dass mit der Taxicab-Geometrie etwas anderes gemacht wird.

GRAFIKRECHNER 3.5 für die TC Parabel

Fall 1. |m| >1.

|Wenn die Zeile ist y = mx + c und wir haben punkt F(a,b), dann müssen wir die beiden TC-Abstände gleich setzen. |x - a| + |y - b| gibt uns den Abstand von F. Der Abstand zur Linie wäre entlang a horizontal von jedem Punkt (x, y) auf dem Ort. Daher sind die Koordinaten eines Punktes Q mit minimalem Abstand von (x,y) wäre ( (j-c)/m, j). Somit wäre der Abstand zur Linie |x - (y-c)/m| + |y - y| = |x - (y-c)/m|. Somit lautet die Gleichung für die TC-Parabel

|x - a| + |y - b| = |x - (y-c)/m|

Wie im ersten Fall haben wir y = mx + c und Punkt F(a,b). Der Abstand zur Linie wäre entlang der vertikal von jedem Punkt (x, y) auf dem Ort. Daher sind die Koordinaten eines Punktes Q mit minimalem Abstand von (x,y) wäre (x, mx+b). Somit wäre der Abstand zur Linie |x - x| + |y - (mx+b)| oder, das heißt, |y - (mx+b)|. Somit lautet die Gleichung für die TC-Parabel

|x - a| + |y - b| = |y - (mx+b)|

Fall 3. m = 1

Verwenden Sie eine der beiden vorherigen GCF-Dateien, um diesen Fall zu untersuchen.

Bau der TC Parabola mit GSP.

Ein wichtiger Punkt bei den GSP-Konstruktionen ist, dass der TC-Abstand eines Punktes von einer Linie entlang eines Segments parallel zu einer der Achsen wäre. Bestimmen Sie auf diese Weise einen TC-Abstand und entwickeln Sie daraus einen TC-Kreis um den Punkt F. Wir suchen dann den Schnittpunkt einer parallel zur Leitlinie verlaufenden Linie und dem TC-Kreis um F. Alle Fälle sind im GSP . implementiert Datei (vier Seiten) unten. Außerdem wurden GSP-Skripttools in die Datei integriert.

Senkrechte Winkelhalbierende eines Liniensegments

Die Winkelhalbierende eines Liniensegments ist die Menge von Punkten, die von den beiden Enden des Segments gleich weit entfernt sind. Die Gleichung sollte also lauten:

|(x - a) + (y - b)| = |(x - g) + (y - h)|

für A(a,b) und B(g,h). Klicken Sie hier für eine GCF-Datei, die diese Gleichung implementiert.

Verifizieren Sie diesen Graphen einer senkrechten Winkelhalbierenden TC für A(1,1) und B(8,7).

Untersuchen Sie einen ähnlichen Graphen für A(1,1) und B(7,7)

Untersuchen Sie ein ähnliches Diagramm für A(1,1) und B(6,7). Vergleichen und erklären Sie die 3 Grafiken.

Untersuche den Graphen mit A(1,1) und B(1, 7)

Untersuche den Graphen mit A(1,1) und B(7, 1)

Befindet sich der Mittelpunkt von AB immer auf dem Graphen? Beweisen oder widerlegen.

Inwiefern unterscheidet sich der Graph von A(1, 8) B(8,3) von den bisher untersuchten?

Konstruieren Sie mehrere gleichseitige Taxi-Dreiecke. Was beobachtest du?

Betrachten Sie ein Segment AB und konstruieren Sie darauf ein gleichseitiges Dreieck TC. Der rote TC-Kreis hat den Mittelpunkt bei A und der grüne TC-Kreis hat den Mittelpunkt bei B. Die beiden Kreise teilen sich die Punkte C und C' sowie alle Punkte auf dem Segment CC'.

Daher ist Dreieck ABC gleichseitig TC, Dreieck ABC' ist gleichseitig TC, UND, wenn C'' irgendein Punkt auf CC' ist, dann ist Dreieck ABC'' gleichseitig TC.

ÜBERPRÜFEN Sie diese oder widerlegen sie. Beweist dies, dass die SSS-Kongruenz nicht gilt?

Gibt es euklidische gleichseitige Dreiecke, die TC gleichseitig sind?

Gibt es euklidische gleichschenklige Dreiecke, die gleichschenklige TC sind?


Daltons Gesetz des Partialdrucks

Stellen Sie sich vor, was passieren würde, Gase mit unterschiedlichem Druck, aber gleicher Temperatur werden in einen Behälter gegeben. Der Gesamtdruck würde ansteigen, weil es mehr Kollisionen mit den Wänden des Behälters geben würde. Es gibt so viel Leerraum im Behälter, dass jede Art von Gasmolekülen in der Mischung genauso oft auf die Wände des Behälters trifft wie bei nur einer Gassorte. Der Gesamtdruck erhöht sich, wenn mehr Gasmoleküle auf die Behälterwände treffen, aber der Druck aufgrund einzelner Gasmoleküle bleibt gleich. Die Gesamtzahl der Kollisionen mit der Wand in diesem Gemisch ist daher gleich der Summe der Kollisionen, die auftreten würden, wenn jedes Gas für sich allein vorhanden wäre. Mit anderen Worten,

Der Gesamtdruck eines Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrücke der einzelnen Gase.
P t = P 1 + P 2 + P 3 + . . . = + + + . P t ​ = P 1 ​ + P 2 ​ + P 3 ​ + . . .


Schau das Video: Hyperbolas Section (September 2021).