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1.18: Lineare Gleichungen lösen


Die Art der Gleichung bestimmt die Methode, mit der wir sie lösen. Wir besprechen zuerst lineare Gleichungen. Dies sind Gleichungen, die nur die erste Potenz einer Variablen enthalten und nichts Höheres.

Beispiel 16.1

Beispiele für lineare Gleichungen:

  1. (x-4=6) ist eine lineare Gleichung.
  2. (5 x-6=4 x+2) ist eine lineare Gleichung.
  3. (x^{2}-2 x+1=0) ist keine lineare Gleichung, da die Variable (x) in der zweiten Potenz steht. Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir in Kapitel 20 untersuchen werden.

Kritische Beobachtung: Wir können alles zu einer Gleichung hinzufügen oder davon subtrahieren, solange wir dies auf beiden Seiten gleichzeitig tun. Dies ist ein sehr wichtiges Werkzeug, um lineare Gleichungen zu lösen. Es wird uns helfen isolieren die Variable auf der einen Seite der Gleichung und die Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung.

Wenn (quad a=bquad) dann (quad a+c=b+c).

Wenn (quad a=bquad) dann (quad a-c=b-c).

Beispiel 16.2

Isolieren Sie die Variable in der gegebenen Gleichung:

a) (x-4=6)

Hier addieren wir 4 zu beiden Seiten der Gleichung, um zu erhalten

[x-4+4=6+4keineZahl]

was den Effekt hat, dass (x) auf der einen Seite der Gleichung und die Zahlen auf der anderen Seite isoliert werden, da wir beim Vereinfachen sehen, dass

[x=10keineZahl]

Es kann hilfreich sein, dies in vertikaler Form zu schreiben:

[x-4=6keineZahl]

[+4 quad+4keineZahl]]

[Pfeil nach rechts x=10]

b) (x+7=-2 .) Hier addieren wir -7 von beiden Seiten, da dies den Effekt hat, dass (x:) (vertikal geschrieben)

[x+7=-2keineZahl]

[+-7 quad-7keineZahl]

[Longrightarrow x=-9 onumber]

c) (5x-6=4x+2)

Hier erscheint (x) auf beiden Seiten der Gleichung. Wenn wir einen der Terme von beiden Seiten subtrahieren, hat dies den Effekt, dass (x) auf einer Seite isoliert wird.

Wir haben die Wahl. Wir subtrahieren (4 x) von beiden Seiten, so dass ein (x) auf der linken Seite liegt. Die Alternative wäre gewesen, (5x) zu subtrahieren, was uns (-x) auf der (mathrm{RHS}) hinterlassen hätte (das wäre etwas unpraktisch). Wir haben (vertikal geschrieben)

[5 x-6=4 x+2keine Zahl]

[-4 x-4 xkeine Zahl]

[Longrightarrow x-6=2 onumber]

[quad+6 quad+6keineZahl]

[Longrightarrow x=8 onumber]

Beachten Sie, dass jede Lösung überprüft werden kann, indem Sie die gefundene Zahl in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Beispiel 16.3

Lösen:

a) (17-(4-2x)=3(x+4))

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zuerst alle Klammern entfernen und alle ähnlichen Terme kombinieren.

[17-(4-2 x)=3(x+4)keine Zahl]

[Longrightarrow 17-4+2 x=3 x+12 onumber]

[Longrightarrow 13+2 x=3 x+12 onumber]

In Anlehnung an das obige Beispiel ergibt sich die Lösung (durch Subtraktion von (2 x) von beiden Seiten und Subtraktion von 12 von beiden Seiten) zu (x=1 .). Nun können wir überprüfen, ob unsere Arbeit korrekt ist, indem wir (x=1) in der ursprünglichen Gleichung und prüfen, ob ( extrm{RHS}) und ( extrm{LHS}) denselben Wert ergeben:

Rechts: (17-(4-2 x)=17+(-1)(4+(-2 x))=17+(-1)(4+(-2 cdot 1))=17+( -1)(4+(-2))=17+(-1)(2)=17+(-2)=15)

Links: (3(x+4)=3(1+4)=3(5)=15)

Da beide Werte gleich sind, ist unsere Lösung von (x=1) richtig.

Kritische Beobachtung: Wir können eine Gleichung mit jeder beliebigen Zahl ungleich null multiplizieren oder dividieren, solange wir dies auf beiden Seiten gleichzeitig tun. Dies ist ein sehr wichtiges Werkzeug, um lineare Gleichungen zu lösen, bei denen der Koeffizient der Variablen nicht 1 ist.

Wenn (a=b) dann (a mal c=b mal c).

Wenn (a=b) dann (frac{a}{c}=frac{b}{c} quad), wenn (c eq 0).

Beispiel 16.4

a) (6x=42)

[6 x=42keineZahl]

[Longrightarrow frac{6 x}{6}=frac{42}{6} onumber]

[Longrightarrow x=7 onumber]

b) (-4 x-30=0)

In diesem Beispiel werden wir zuerst den ' (x) -term' isolieren, der (4 x) ist, bevor wir (x) isolieren.

[-4 x-30=0keineZahl]

[quad+30 quad +30keineZahl]

[Longrightarrow-4 x=30 onumber]

[Longrightarrow frac{-4 x}{-4}=frac{30}{-4} onumber]

[Longrightarrow x=-frac{15}{2} onumber]

c) (2x=frac{1}{4})

[2 x=frac{1}{4} onumber]

[Longrightarrow frac{2 x}{2}=frac{1}{4} div 2 onumber]

[Longrightarrow x=frac{1}{4} cdot frac{1}{2} onumber]

[Longrightarrow x=frac{1 cdot 1}{4 cdot 2} onumber]

[Longrightarrow x=frac{1}{8} onumber]

Beachten Sie, dass eine Division durch 2 auf beiden Seiten der Gleichung gleichbedeutend ist mit einer Multiplikation mit (frac{1}{2}). Wir können die Lösung also wie folgt umschreiben:

[2 x=frac{1}{4} onumber]

[Longrightarrow frac{1}{2} cdot 2 x=frac{1}{2} cdot frac{1}{4} onumber]

[Longrightarrow frac{1 cdot 2 x}{2}=frac{1 cdot 1}{4 cdot 2} onumber]

[Longrightarrow x=frac{1}{8} onumber]

Im Allgemeinen ergibt die Multiplikation einer Zahl mit ihrem Kehrwert 1:

[frac{a}{b} cdot frac{b}{a}=frac{a b}{b a}=1 onumber]

Lassen Sie uns diese Tatsache im nächsten Beispiel verwenden.

d) (frac{2 x}{3}=frac{5}{6})

[frac{2 x}{3}=frac{5}{6} onumber]

[Longrightarrow frac{2}{3} cdot x=frac{5}{6} onumber]

[Longrightarrow frac{2}{3} cdot x=frac{5}{6} onumber]

[Longrightarrow frac{3}{2} cdot frac{2}{3} cdot x=frac{3}{2} cdot frac{5}{6} onumber]

[Longrightarrow x=frac{3 cdot 5}{2 cdot 6} onumber]

[Longrightarrow x=frac{5}{2 cdot 2} onumber]

[Longrightarrow x=frac{5}{4} onumber]

e) (frac{x}{5}+3=6)

[frac{x}{5}+3=6keineZahl]

[quad -3 quad-3keine Zahl]

[Longrightarrow frac{x}{5}=3 onumber]

[Longrightarrow 5 cdot frac{x}{5}=5 cdot 3 onumber]

[Longrightarrow x=15 onumber]

f) (5x-6=2x+3)

[5 x-6=2 x+3keineZahl]

[quad+6 quad +6 quadkeine Zahl]

[Longrightarrow 5 x=2 x+9 onumber]

[Longrightarrow-2 x quad -2 x onumber]

[Longrightarrow 3 x=9 onumber]

[Longrightarrowfrac{3 x}{3}=frac{9}{3} onumber]

[Longrightarrow x=3 onumber]

g) (-3(x-1)=4(x+2)+2)

Wir entfernen zuerst die Klammern und sammeln ähnliche Begriffe.

[-3(x-1)=4(x+2)+2keineZahl]

[Longrightarrow-3 x+3=4 x+8+2 onumber]

[Longrightarrow-3 x+3=4 x+10 onumber]

Jetzt fahren wir mit der Lösung der linearen Gleichung fort, indem wir die Variable isolieren:

[-3 x+3=4 x+10keineZahl]

[quad -3 quad-3 quad onumber]

[Longrightarrow-3 x=4 x+7 onumber]

[quad -4 x quad -4 x quad onumber]

[Longrightarrow-7 x=7 onumber]

[Longrightarrow frac{-7 x}{-7}=frac{7}{-7} onumber]

[Longrightarrow x=-1 onumber]

h) (10-3 x=-2(x-1))

[10-3 x=-2(x-1)keineZahl]

[Longrightarrow 10-3 x=-2 x+2 onumber]

[quad -10 quad quad-10keine Zahl]

[Longrightarrow-3 x=-2 x-8 onumber]

[quad +2x quad + 2 x quad onumber]

[Longrightarrow-x=-8 onumber]

[Longrightarrow x=8 onumber]

Exit-Problem

Löse: (5 y-(7-2 y)=2(y+4))


Ein lineares Programm findet eine optimale Lösung für ein Problem, bei dem die Variablen zahlreichen linearen Beziehungen unterliegen. Darüber hinaus könnte das Problem erfordern, dass eine bestimmte Bedingung maximiert oder minimiert wird, beispielsweise die Kosten eines Produkts minimiert oder der Gewinn maximiert wird.

Ein oft diskutiertes Beispiel für ein lineares Programm ist der Handelsreisende. Ausgehend von seiner Heimatstadt muss ein Verkäufer alle Städte eines Bezirks bereisen, aber um die Reisekosten zu minimieren, muss er den kürzesten Weg nehmen, der jede Stadt durchquert und in seiner Heimatstadt endet. Im Allgemeinen ist der bestmögliche Weg ein Weg, der jede Stadt nur einmal durchquert und somit einer geschlossenen Schleife ähnelt (Start und Ende in der Heimatstadt).

Persönlich habe ich lineare Programme in einer Vielzahl von Anwendungen angewendet.

  • Transportindustrie: Zur Routenoptimierung, bei der verschiedene Depots besucht werden müssen und gleichzeitig die Betriebskosten minimiert werden.
  • Energiewirtschaft: Optimieren Sie den Stromverbrauch für einen Haushalt mit Solarmodul und prognostizieren Sie gleichzeitig das Lastmuster.
  • Logikprobleme: Lösen von logischen Problemen/Rätseln mit einem linearen Programm, bei dem alle logischen Randbedingungen 'parallel' erfüllt werden müssen (Thema des nächsten Beitrags).

Beispiele

Iterative Lösung für lineares System

Lösen Sie ein quadratisches lineares System mit pcg mit Standardeinstellungen und passen Sie dann die Toleranz und die Anzahl der Iterationen an, die im Lösungsprozess verwendet werden.

Erstellen Sie eine zufällige symmetrische dünn besetzte Matrix A . Erzeuge auch einen Vektor b der Zeilensummen von A für die rechte Seite von Ax = b, so dass die wahre Lösung x ein Vektor von Einsen ist.

Löse Ax = b mit pcg . Die Ausgabeanzeige beinhaltet den Wert des relativen Restfehlers b - Ax ‖ ‖ b ‖ .

Standardmäßig verwendet pcg 20 Iterationen und eine Toleranz von 1e-6 , und der Algorithmus kann in diesen 20 Iterationen für diese Matrix nicht konvergieren. Das Residuum liegt jedoch nahe der Toleranz, sodass der Algorithmus wahrscheinlich nur mehr Iterationen benötigt, um zu konvergieren.

Lösen Sie das System erneut mit einer Toleranz von 1e-7 und 150 Iterationen.

Verwendung von pcg mit Preconditioner

Untersuchen Sie den Effekt der Verwendung einer Vorkonditionierungsmatrix mit pcg, um ein lineares System zu lösen.

Erstellen Sie eine symmetrische positiv-definite, gebänderte Koeffizientenmatrix.

Definiere b für die rechte Seite der linearen Gleichung Ax = b .

Legen Sie die Toleranz und die maximale Anzahl von Iterationen fest.

Verwenden Sie pcg, um eine Lösung mit der angeforderten Toleranz und Anzahl der Iterationen zu finden. Geben Sie fünf Ausgaben an, um Informationen zum Lösungsprozess zurückzugeben:

x ist die berechnete Lösung für A*x = b .

fl0 ist ein Flag, das anzeigt, ob der Algorithmus konvergiert hat.

rr0 ist das relative Residuum der berechneten Antwort x .

it0 ist die Iterationsnummer bei der Berechnung von x.

rv0 ist ein Vektor der Resthistorie für b - Ax ‖ .

fl0 ist 1, weil pcg innerhalb der angeforderten 100 Iterationen nicht gegen die angeforderte Toleranz von 1e-8 konvergiert.

Um die langsame Konvergenz zu unterstützen, können Sie eine Vorkonditionierungsmatrix angeben. Da A symmetrisch ist, verwende ichol, um den Vorkonditionierer M = L L T zu generieren. Lösen Sie das vorkonditionierte System, indem Sie L und L' als Eingaben für pcg angeben.

Die Verwendung eines Ichol-Vorkonditionierers erzeugt bei der 79. Iteration einen relativen Rest von weniger als der vorgeschriebenen Toleranz von 1e-8. Die Ausgabe rv1(1) ist norm(b) und rv1(end) ist norm(b-A*x1) .

Verwenden Sie nun die Option michol, um einen modifizierten unvollständigen Cholesky-Vorkonditionierer zu erstellen.

Dieser Vorkonditionierer ist besser als derjenige, der in diesem Beispiel durch die unvollständige Cholesky-Faktorisierung mit Nullfüllung für die Koeffizientenmatrix erzeugt wird, sodass pcg noch schneller konvergieren kann.

Sie können sehen, wie sich die Vorkonditionierer auf die Konvergenzrate von pcg auswirken, indem Sie jede der Resthistorien ausgehend von der anfänglichen Schätzung (Iterationsnummer 0 ) auftragen. Fügen Sie eine Linie für die angegebene Toleranz hinzu.

Erste Vermutungen liefern

Untersuchen Sie die Wirkung der Bereitstellung von pcg mit einer ersten Schätzung der Lösung.

Erstellen Sie eine tridiagonale dünn besetzte Matrix. Verwenden Sie die Summe jeder Zeile als Vektor für die rechte Seite von Ax = b, so dass die erwartete Lösung für x ein Vektor von Einsen ist.

Verwenden Sie pcg, um Ax = b zweimal zu lösen: einmal mit der voreingestellten Anfangsschätzung und einmal mit einer guten Anfangsschätzung der Lösung. Verwenden Sie 200 Iterationen und die Standardtoleranz für beide Lösungen. Geben Sie die anfängliche Schätzung in der zweiten Lösung als Vektor an, wobei alle Elemente gleich 0,99 sind.

In diesem Fall ermöglicht es die Angabe einer anfänglichen Schätzung, dass pcg schneller konvergiert.

Zwischenergebnisse zurückgeben

Sie können die anfängliche Schätzung auch verwenden, um Zwischenergebnisse zu erhalten, indem Sie pcg in einer for-Schleife aufrufen. Jeder Aufruf des Solvers führt einige Iterationen durch und speichert die berechnete Lösung. Dann verwenden Sie diese Lösung als Anfangsvektor für den nächsten Iterationsstapel.

Dieser Code führt beispielsweise viermal 100 Iterationen durch und speichert den Lösungsvektor nach jedem Durchlauf in der for-Schleife:

X(:,k) ist der bei Iteration k der for-Schleife berechnete Lösungsvektor, und R(k) ist der relative Rest dieser Lösung.

Funktions-Handle anstelle einer numerischen Matrix verwenden

Lösen Sie ein lineares System, indem Sie pcg mit einem Funktionshandle versehen, das A*x anstelle der Koeffizientenmatrix A berechnet.

Verwenden Sie die Galerie, um eine 20-mal-20-positiv-definitive tridiagonale Matrix zu generieren. Die Super- und Unterdiagonalen haben Einsen, während die Hauptdiagonalen von 20 bis 1 herunterzählen. Vorschau der Matrix.

Da diese tridiagonale Matrix eine spezielle Struktur hat, können Sie die Operation A*x mit einem Funktionshandle darstellen. Wenn A einen Vektor multipliziert, sind die meisten Elemente im resultierenden Vektor Nullen. Die von Null verschiedenen Elemente im Ergebnis entsprechen den von Null verschiedenen tridiagonalen Elementen von A . Darüber hinaus hat nur die Hauptdiagonale von Null verschiedene Werte, die nicht gleich 1 sind.

Der Ausdruck Ax wird zu:

[ 20 1 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 1 19 1 0 0 0 1 18 1 0 ⋮ ⋮ 0 1 17 1 0 0 1 16 1 0 ⋮ ⋮ 0 1 15 1 0 0 1 14 1 0 ⋮ ⋮ 0 1 13 ⋱ 0 0 0 ⋱ ⋱ 1 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 1 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 & #x22EE ⋮ x 20 ] = [ 2 0 x 1 + x 2 x 1 + 19 x 2 + x 3 x 2 + 18 x 3 + x 4 ⋮ x 18 + 2 x 19 + x 20 x 19 + x20].

Der resultierende Vektor kann als Summe von drei Vektoren geschrieben werden:

[ 2 0 x 1 + x 2 x 1 + 19 x 2 + x 3 x 2 + 18 x 3 + x 4 ⋮ x 18 + 2 x 19 + x 20 x 19 + x 20 ] = [ 0 x 1 & #x22EE x 19 ] + [ 20 x 1 19 x 2 ⋮ x 20 ] + [ x 2 ⋮ x 20 0 ] .

Schreiben Sie in MATLAB® eine Funktion, die diese Vektoren erzeugt und addiert, wodurch der Wert von A*x erhalten wird:

(Diese Funktion wird am Ende des Beispiels als lokale Funktion gespeichert.)

Lösen Sie nun das lineare System Ax = b, indem Sie pcg mit dem Funktionshandle versehen, das A*x berechnet. Verwenden Sie eine Toleranz von 1e-12 und 50 Iterationen.

Prüfen Sie, ob afun(x1) einen Vektor von Einsen erzeugt.


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Das Befüllen eines Schwimmbeckens mit zwei Rohren dauert 24 Stunden. Wenn das Rohr mit dem größeren Durchmesser 8 Stunden lang verwendet wird und das Rohr mit dem kleineren Durchmesser 18 Stunden lang verwendet wird. Nur die Hälfte des Beckens ist gefüllt. Wie lange würde jedes Rohr brauchen, um das Schwimmbad zu füllen?

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Es dauert 24 Stunden durch Rohre, um den Pool zu füllen

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Gegeben in der Frage ist die Hälfte so gefüllt

Daher benötigt ein größeres Rohr 40 Stunden und ein kleineres 60 Stunden.

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18. Januar 2015

Sequalator 1.20.2 veröffentlicht

Sequalator steht für Simultaner Gleichungsrechner.
Es ist eine Software zum Lösen Linear Simultangleichungen. Der Solver basiert auf der Gauß-Jordan-Eliminationsmethode zum Lösen von Linear Simultaneous Equations.
Sequalator ist kostenlose Software! Sie können es sowohl für Bildungs- als auch für kommerzielle Zwecke verwenden.
Die Nutzungsbedingungen für diese Software finden Sie in der Lizenz.

  • Begrüßungsbildschirm beim Start - Die jüngsten Verbesserungen haben die Startzeit erheblich verlängert, so dass es nach dem Start der Anwendung einige Zeit dauert, bis das Hauptfenster von Sequalator angezeigt wird. Wenn also alle Komponenten geladen werden, wird das Sequalator-Symbol jetzt angezeigt, bis das Hauptfenster angezeigt wird. Dies ist eine notwendige Verbesserung, um eine angemessene Benutzererfahrung zu bieten.
  • Fehler behoben - Ein kleiner Fehler wurde von einem unserer Benutzer in der Community gemeldet. Die Benchmarks für den Stealth-Modus waren schlechter als das einfache User Interface (UI). Dieser Fehler wurde nun behoben und dementsprechend wird der Bugtracker aktualisiert, um den Fehler zu schließen.
  • Benutzeroberfläche des Analysedialogs verbessert - Früher zeigte der Dialog 0 für den Lösungssatz aus der Datei an, auch wenn kein Lösungssatz in der Datei gespeichert war. Dies wurde korrigiert, sodass jetzt, wenn kein Lösungssatz in der Datei gespeichert ist, kein Wert im Dialogfeld angezeigt wird. Dementsprechend werden einige Optionen im Dialog aktualisiert.

Gaußsche Elimination mit partiellem Schwenken

  • Wir beginnen mit dem Pivot-Wert in der ersten Zeile und ersten Spalte: Zeile =0, Spalte = 0
  • Ermitteln Sie den maximalen absoluten Wert der Spalte des Pivots. Wenn alle Werte in dieser Spalte 0 sind, stoppen wir.
  • Ansonsten tauschen wir E_0 und E_1

Wenden Sie als Nächstes äquivalente Transformationen an, um alle Einträge unter dem Pivot in 0 umzuwandeln, indem Sie:

  1. Finden Sie das Verhältnis zwischen Element j,i und Pivot i,i (d. h. 2/4 = 1/2).
  2. Multiplizieren Sie alle Elemente in E0 mit 1/2. Subtrahiere alle Elemente in Zeile 1 von 1/2 E0 (d. h. 2-(4*1/2)=2–2 =0)

Nachdem jede Spalte vereinfacht wurde, gehen wir zur nächsten Spalte rechts über.

Pivot: Zeile = 1, Spalte = 1. Maximaler Absolutwert: 2 in Zeile 2. Vertauschen Sie dann E_1 und E_2

Anwenden der entsprechenden Transformation, um alle Einträge unterhalb des Pivots in 0 to umgewandelt zu bekommen

Nett! Nun haben wir ein Gleichungssystem:

Sobald wir hier angekommen sind, ist dieses Gleichungssystem unglaublich einfach durch Rücksubstitution zu lösen


Lineargleichung

Unsere Redakteure prüfen, was Sie eingereicht haben, und entscheiden, ob der Artikel überarbeitet werden soll.

Lineargleichung, Aussage, dass ein Polynom ersten Grades – das heißt die Summe einer Menge von Termen, von denen jeder das Produkt einer Konstanten und der ersten Potenz einer Variablen ist – gleich einer Konstanten ist. Insbesondere eine lineare Gleichung in nein Variablen hat die Form ein0 + ein1x1 + … + einneinxnein = c, in welchem x1, …, xnein Variablen sind, die Koeffizienten ein0, …, einnein sind Konstanten und c ist eine Konstante. Wenn es mehr als eine Variable gibt, kann die Gleichung in einigen Variablen linear sein und in den anderen nicht. Somit ist die Gleichung x + ja = 3 ist in beiden linear x und y, wohingegen x + ja 2 = 0 ist linear in x aber nicht in y. Jede Gleichung zweier Variablen, die in jeder linear sind, stellt eine gerade Linie in kartesischen Koordinaten dar, wenn der Konstantenterm c = 0, die Linie geht durch den Ursprung.

Ein Gleichungssystem mit einer gemeinsamen Lösung wird als System simultaner Gleichungen bezeichnet. Zum Beispiel im System beide Gleichungen werden von der Lösung erfüllt x = 2, ja = 3. Der Punkt (2, 3) ist der Schnittpunkt der durch die beiden Gleichungen dargestellten Geraden. Siehe auch Cramersche Regel.

Eine lineare Differentialgleichung ist ersten Grades in Bezug auf die abhängige Variable (oder Variablen) und ihre (oder ihre) Ableitungen. Als einfaches Beispiel beachten Sie dy/dx + Py = Q, in welchem P und Q können Konstanten oder Funktionen der unabhängigen Variablen sein, x, aber nicht die abhängige Variable einbeziehen, y. In dem speziellen Fall, dass P ist eine Konstante und Q = 0, dies stellt die sehr wichtige Gleichung für exponentielles Wachstum oder Zerfall (wie radioaktiver Zerfall) dar, deren Lösung ist ja = kePx , wo e ist die Basis des natürlichen Logarithmus.

Dieser Artikel wurde zuletzt von William L. Hosch, Associate Editor, überarbeitet und aktualisiert.


Grundlegende Matrixoperationen

Die meisten Funktionen der linearen Algebra finden Sie im Matrix-Modus. Um in den Matrix-Modus zu gelangen, drücken Sie beim TI-85/86 die Sequenz [2nd][7] und beim TI-82/83 drücken Sie [2nd][x -1 ]. Dieser Modus bietet Ihnen ein Menü, das Sie zu den Funktionen der linearen Algebra führt, einen Matrixeditor und ein Menü bestehender Matrizen. Um den Matrix-Modus zu verlassen und zum Home-Bildschirm zurückzukehren, drücken Sie die [EXIT]-Taste am TI-85/86 oder die QUIT-Taste ([2nd][MODE]) am TI-82/83.

  • Wechseln Sie in den Matrix-Modus und dann in den Matrix-Editor
    (TI-85/86: [2.][MATRX][F2]) (TI-83: [2.][MATRX][->][->])
  • Benennen Sie die Matrix "B"
    (TI-85/86: [B]) (TI-83: ​​Pfeil nach unten, dann wählen Sie: [v][Eingabe])
  • Eine 2x2-Matrix, mit den Pfeiltasten zwischen den Feldern wechseln
    (TI-83/85/86: [2][->][2][->][->])
  • Fülle die Matrix
    (TI-83/85/86: [1][ENTER][2][ENTER][3][ENTER][4][ENTER])
  • Matrixmodus verlassen
    (TI-85/86: [AUSFAHRT]) (TI-83: [VERLASSEN])

Die Matrix befindet sich jetzt im Taschenrechner. Zeigen Sie die Matrix an, indem Sie in den Matrixmodus zurückkehren, zum Menü „Namen“ gehen und B auswählen. (Alternativ können Sie beim TI-85/86 einfach den Befehl eingeben B auf dem Startbildschirm.) Sie sehen nun die Matrix:

Wir können nun mit dieser Matrix mit den üblichen Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Inversionsoperatoren ( x -1 ) rechnen:

Elemente der Matrix können direkt manipuliert werden. Dazu kann auf dem Startbildschirm eine neue Matrix erstellt werden:

Lineare Systeme lösen

Matrizen werden häufig verwendet, um ein System linearer Gleichungen auszudrücken und zu lösen. Betrachten Sie die Matrixgleichung A*x=b, wobei A die 2x2-Matrix [[1,2][3,4]] und b der Vektor [1,1] ist. Wenn die Matrix invertierbar ist (diese ist), können wir diese Gleichung als x=A -1 b lösen:

Ein allgemeinerer Fall ist, wenn die Matrix nicht invertierbar ist. Um ein solches System zu lösen, können wir eine erweiterte Matrix zeilenreduzieren. Diese Zeilenreduktion erfolgt mit einer Folge der elementaren Zeilenoperationen. Diese Operationen heißen rowSwap, *row und *row+ beim TI-82/83 und rSwap, multR und mRAdd beim TI-85/86. Alle außer dem TI-82 haben auch die Funktionen ref (Reihenstufenform) und rref (reduzierte Reihenstufenform), um eine Matrix in einem einzigen Schritt zu reduzieren. Wir lösen zuerst die Matrixgleichung Ax=b wobei A die 2x3-Matrix [[1,2,3] [2,1,1]] und b der Vektor [6,4] ist. Die hier verwendeten Matrixbefehle finden Sie alle in den Menüs des Matrix-Modus.

Auf dem TI-83/85/86 könnten wir dasselbe (die erweiterte Matrix in eine reduzierte Zeilenstufenform bringen) mit einem einzigen Befehl erreichen:

Wir interpretieren diese Antwort wie folgt - Der Vektor [0.66, 2.66, 0] ist eine Lösung, ebenso wie jeder Vektor der Form für jeden Wert von z.

Wir suchen nun nach Lösungen von Cx=d, wobei C die 3x2-Matrix [[1,2][2,1][1,1]] und d der Vektor [1,2,2] ist.

Wir interpretieren diese Antwort wie folgt – Wenn diese erweiterte Matrix reduziert wird, lautet die dritte Gleichung am Ende 0*x + 0*y = 1, eine inkonsistente Gleichung – eine, die für keine Werte von x und y erfüllt werden kann. Somit war die ursprüngliche Matrixgleichung Cx=d inkonsistent und hatte keine Lösung.

LU-Zerlegungen (nur TI-85/86)

Die TI-85/86-Rechner implementieren einen LU-Zerlegungsbefehl. Mit diesem Befehl werden die Matrizen L (unteres Dreieck), U (oberes Dreieck) und P (Permutation) in spezifizierte Variablen platziert. Dieser Befehl führt eine LU-Zerlegung mit partiellem Pivoting durch und erzeugt drei Matrizen, L, U und P, so dass, wenn A die ursprüngliche Matrix ist, L*U=P*A ist.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Wir können die Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen quadratischen Matrix berechnen. Der TI-85/86 verfügt über Befehle, die die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix direkt berechnen. Der Befehl eigVl berechnet numerisch die Eigenwerte einer Matrix und der Befehl eigVc berechnet numerisch die Eigenvektoren.

Auf jedem dieser Rechner können wir Eigenwerte mit der numerischen Potenzmethode berechnen:

Wenn wir einen TI-85/86 haben, können wir die eingebauten Befehle verwenden, um zu bestätigen, dass der größte Eigenwert der Matrix A 4,507 ist:

[[-.497 .532 .130]
[-.110 .684 -.455]
[.860 .498 .881]]

Der Befehl eigVc gibt die Eigenvektoren als Spalten einer Matrix in derselben Reihenfolge wie die entsprechenden Eigenwerte zurück. Hier können wir das Eigenwert/Eigenvektor-Paar l=-.285, v=(-0.497, -0.110, 0.860) bestätigen, indem wir Av/l berechnen und bestätigen, dass es gleich v ist. Wir extrahieren den ersten Eigenvektor durch Transponieren der Matrix der Eigenvektoren, die erste Zeile machen und dann die erste Zeile extrahieren:

[[-.497 -.110 .860]
[.532 .684 .498]
[ .130 -.455 .881]]

Auch Matrizen mit komplexen Eigenwerten werden behandelt, wobei komplexe Zahlen als Liste der Real- und Imaginärkomponenten zurückgegeben werden. In diesem Beispiel sind die Eigenwerte i und -i.

Iterative Methoden und die Hilbert-Matrix

Wir untersuchen die klassische schlecht konditionierte Matrix, die Hilbert-Matrix, deren (i,j)-Eintrag 1/(i+j) ist. (Beachten Sie, dass die geschweiften Klammern zum Einstellen der Dimension von H im Listenmodus-Menü des TI-85/86 und auf der Tastatur des TI-82/83 als [2nd][(] und [2nd][] zu finden sind). )].)

[[0.5 0.33 0.25 .
[0.33 0.25 0.2 .
[0.25 0.2 0.16 .
[0.2 0.16 0.14 .

Eine Matrixgleichung mit der Hilbert-Matrix kann schwierig zu lösen sein - die schlecht konditionierte Natur der Matrix kann zu großen Fehlern bei der Reduktion führen. Ein Maß für die schlechte Natur dieser Matrix, die auf dem TI-85/86 verfügbar ist, ist die Zustandsnummer:

Polieren einer Antwort - Hier werden wir ein Problem mit der Hilbert-Matrix aufstellen, das eine bekannte Antwort hat. Multiplizieren Sie H mit dem bekannten Vektor [1,1. 1], um eine rechte Seite unserer Gleichung B zu erhalten. Wenn wir die Gleichung H*I=B nach I lösen, sollten wir den Vektor [1,1. 1]. Wir sehen, dass wir uns nicht sehr nahe sind. Wenn wir uns die reduzierte Matrix sehr genau ansehen, sehen wir eine unerwartete nicht-pivot-Spalte:

Wir polieren nun die ungenaue Antwort, indem wir wiederholt die Antwort I nehmen, den Rest C = B - H*I berechnen, das System H*X = C lösen und die neue Antwort I + X berechnen.


Lineare Regression

Bevor versucht wird, ein lineares Modell an beobachtete Daten anzupassen, sollte ein Modellierer zunächst feststellen, ob eine Beziehung zwischen den interessierenden Variablen besteht oder nicht. Dies bedeutet nicht unbedingt, dass eine Variable die andere verursacht (z. B. führen höhere SAT-Ergebnisse nicht zu höheren Hochschulnoten), sondern es besteht ein signifikanter Zusammenhang zwischen den beiden Variablen. Ein Streudiagramm kann ein hilfreiches Werkzeug sein, um die Stärke der Beziehung zwischen zwei Variablen zu bestimmen. Wenn kein Zusammenhang zwischen den vorgeschlagenen erklärenden und abhängigen Variablen zu bestehen scheint (d. h. das Streudiagramm zeigt keine steigenden oder fallenden Trends an), wird die Anpassung eines linearen Regressionsmodells an die Daten wahrscheinlich kein nützliches Modell liefern. Ein wertvolles numerisches Maß für die Assoziation zwischen zwei Variablen ist der Korrelationskoeffizient, ein Wert zwischen -1 und 1, der die Stärke der Assoziation der beobachteten Daten für die beiden Variablen angibt.

Eine lineare Regressionsgerade hat eine Gleichung der Form Y = a + bX , wobei X die erklärende Variable und Y die abhängige Variable ist. Die Steigung der Geraden ist b und a ist der Achsenabschnitt (der Wert von y, wenn x = 0).

Kleinste-Quadrate-Regression

Beispiel

Um die Anpassung des Modells an die beobachteten Daten anzuzeigen, kann man die berechnete Regressionslinie über den tatsächlichen Datenpunkten zeichnen, um die Ergebnisse auszuwerten. Für dieses Beispiel erscheint das Diagramm rechts mit der Anzahl der Personen pro Fernsehgerät (der erklärenden Variablen) auf der x-Achse und der Anzahl der Personen pro Arzt (der abhängigen Variablen) auf der y-Achse. Während die meisten Datenpunkte in der unteren linken Ecke des Diagramms geclustert sind (was relativ wenige Personen pro Fernsehgerät und pro Arzt anzeigt), gibt es einige Punkte, die weit vom Hauptcluster der Daten entfernt liegen. Diese Punkte werden als Ausreißer bezeichnet und können je nach Lage einen großen Einfluss auf die Regressionsgeraden haben (siehe unten).

Datenquelle: The World Almanac and Book of Facts 1993 (1993), New York: Pharos Books. Datensatz verfügbar über das JSE-Datensatzarchiv.

Ausreißer und einflussreiche Beobachtungen

Nachdem diese einflussreiche Beobachtung entfernt wurde, lautet die Regressionsgleichung jetzt Die Korrelation zwischen den beiden Variablen ist auf 0,427 gesunken, was den r²-Wert auf 0,182 reduziert. Ohne diese einflussreiche Beobachtung können weniger als 20 % der Variation der Anzahl der Personen pro Arzt durch die Anzahl der Personen pro Fernseher erklärt werden. Auch im neuen Modell sind einflussreiche Beobachtungen sichtbar, deren Auswirkungen ebenfalls untersucht werden sollten.


Schau das Video: Løsning af Lineære Ligninger (September 2021).