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9: Wurzeln und Radikale


9: Wurzeln und Radikale

Bevor Sie lernen, wie man Radikale multipliziert und wie man Quadratwurzeln multipliziert, müssen Sie sich mit den folgenden Vokabeln vertraut machen:

Radikal vs. Radicand

Das Radikale ist das Quadratwurzelsymbol und das Radikand ist der Wert innerhalb des Wurzelsymbols. Der Radicand kann Zahlen, Variablen oder beides enthalten.

Die Multiplikationseigenschaft von Quadratwurzeln

Der Schlüssel zum Erlernen der Vermehrung von Radikalen ist das Verständnis der Multiplikationseigenschaft von Quadratwurzeln.

Die Eigenschaft besagt, dass, wenn Sie Radikale miteinander multiplizieren, Sie das Produkt der Radikanden nehmen und sie unter einem einzigen Radikal platzieren.

Zum Beispiel ist Radikal 5 mal Radikal 3 gleich Radikal 15 (weil 5 mal 3 gleich 15 ist).


Fragen

Vereinfachen Sie die folgenden Radikale.

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-9-2/”>Answer Key 9.2


Modellierung, Funktionen und Graphen

In Abschnitt 3.2 haben wir gesehen, dass die inverse Variation durch Verwendung negativer Exponenten als Potenzfunktion ausgedrückt werden kann. Wir können auch Exponenten verwenden, um Quadratwurzeln und andere Radikale zu bezeichnen.

Unterabschnitt (n)te Wurzeln

Denken Sie daran, dass (s) eine Quadratwurzel von (b) ist, wenn (s^2 = b ext<,>) und (s) eine Kubikwurzel von (b) ist, wenn (s^3 = b ext<.>) Auf ähnliche Weise können wir die vierte, fünfte oder sechste Wurzel einer Zahl definieren. Zum Beispiel ist die vierte Wurzel von (b) eine Zahl (s), deren vierte Potenz (b ext<.>) ist. Im Allgemeinen machen wir die folgende Definition.

(n)te Wurzeln.

(s) heißt an wenn (s^n = b ext<.>)

Wir verwenden das Symbol (sqrt[n]) zur Bezeichnung der (n)-ten Wurzel von (b ext<.>) Ein Ausdruck der Form (sqrt[n]) heißt a , (b) heißt , und (n) heißt .

Beispiel 3.50 .
  1. (sqrt[4] <81>= 3) weil (3^4 = 81)
  2. (sqrt[5] <32>= 2) weil (2^5 = 32)
  3. (sqrt[6] <64>= 2) weil (2^6 = 64)
  4. (sqrt[4] <1>= 1) weil (1^4 = 1)
  5. (sqrt[5] <100.000>= 10) weil (10^5 = 100.000)
Kontrollpunkt 3.51 . Übung 1.

Unterabschnitt Exponentielle Notation für Radikale

Eine bequeme Notation für Radikale verwendet gebrochene Exponenten. Betrachten Sie den Ausdruck (9^<1/2> ext<.>) Welche Bedeutung können wir einem Exponenten beimessen, der ein Bruch ist? Das dritte Exponentengesetz besagt, dass wir, wenn wir eine Potenz potenzieren, die Exponenten miteinander multiplizieren:

Wenn wir also die Zahl (9^<1/2> ext<,>) quadrieren, erhalten wir

Somit ist (9^<1/2>) eine Zahl, deren Quadrat (9 ext<.>) ist. Dies bedeutet jedoch, dass (9^<1/2>) eine Quadratwurzel von ist (9 ext<,>) oder

Im Allgemeinen ist jede nichtnegative Zahl hoch (1/2) gleich der positiven Quadratwurzel der Zahl, oder

Beispiel 3.52 .
  1. (displaystyle 25^ <1/2>= 5)
  2. (displaystyle -25^ <1/2>= -5)
  3. ((-25)^<1/2>) ist keine reelle Zahl.
  4. (displaystyle 0^ <1/2>= 0)
Prüfpunkt 3.53 . Übung 2.

Die gleiche Argumentation funktioniert für Wurzeln mit jedem Index. Zum Beispiel ist (8^<1/3>) die Kubikwurzel von (8 ext<,>), weil

Im Allgemeinen machen wir die folgende Definition für gebrochene Exponenten.

Exponentielle Notation für Radikale.

Für jede ganze Zahl (n ge 2) und für (a ge 0 ext<,>)

Beispiel 3.54 .
Achtung 3.55 .

Ein Exponent von (dfrac<1><2>) bezeichnet die Quadratwurzel seiner Basis und ein Exponent von (dfrac<1><3>) bezeichnet die Kubikwurzel seiner Basis.

Kontrollpunkt 3.56 . Übung 3.

Natürlich können wir auch Dezimalbrüche für Exponenten verwenden. Beispielsweise,

Kontrollpunkt 3.57 . QuickCheck 1.
Beispiel 3.58 .
Kontrollpunkt 3.59 . Übung 4.
Kontrollpunkt 3.60 . Innehalten und reflektieren.

Erklären Sie, warum (x^<4>>) eine sinnvolle Notation für (sqrt[4] ist ext<.>)

Unterabschnitt Irrationale Zahlen

Was ist mit (n)ten Wurzeln wie (sqrt<23>) und (5^<1/3>), die nicht einfach ausgewertet werden können? Dies sind Beispiele für . Wir können einen Taschenrechner verwenden, um dezimale Näherungen für irrationale Zahlen zu erhalten. Sie können beispielsweise überprüfen, dass

Es ist nicht möglich, für eine irrationale Zahl ein genaues dezimales Äquivalent aufzuschreiben, aber wir können eine Annäherung an beliebig viele Dezimalstellen finden.

Achtung 3.61.

Die folgende Tastenfolge zur Auswertung der irrationalen Zahl (7^<1/5>) ist falsch:

Sie können überprüfen, dass diese Sequenz (dfrac<7^1><5> ext<,>) anstelle von (7^<1/5> ext<.>) berechnet. Denken Sie daran, dass gemäß der Reihenfolge von Operationen werden Potenzen vor Multiplikationen oder Divisionen berechnet. Wir müssen den Exponenten (1/5) in Klammern einschließen und eingeben

Oder, weil (frac<1><5>= 0.2 ext<,>) wir eingeben können

Unterabschnitt Arbeiten mit gebrochenen Exponenten

Bruchexponenten vereinfachen viele Berechnungen mit Radikalen. Sie sollten lernen, leicht zwischen exponentieller und radikaler Notation umzurechnen. Denken Sie daran, dass ein negativer Exponent einen Kehrwert bezeichnet.

Beispiel 3.62 .

Wandeln Sie jedes Radikal in eine exponentielle Notation um.

Prüfpunkt 3.63 . Übung 5.
Beispiel 3.64 .

Wandeln Sie jede Potenz in radikale Notation um.

  1. (displaystyle 5^ <1/2>= sqrt<5>)
  2. (displaystyle x^ <0.2>= sqrt[5])
  3. (displaystyle 2x^ <1/3>= 2 sqrt[3])
  4. (displaystyle 8a^ <-1/4>= dfrac<8>)
Hinweis 3.65.

Beachten Sie in Beispiel 3.64d, dass der Exponent (-1/4) nur für (a ext<,>) gilt, nicht für (8a ext<.>)

Kontrollpunkt 3.66 . Übung 6.
Kontrollpunkt 3.67 . QuickCheck 2.

Unterabschnitt Verwenden von gebrochenen Exponenten zum Lösen von Gleichungen

In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass Machterhöhung und Wurzelbildung inverse Operationen sind, d. h. jede Operation macht die Wirkung der anderen rückgängig. Diese Beziehung ist besonders leicht zu erkennen, wenn die Wurzel mit einem gebrochenen Exponenten bezeichnet wird. Um zum Beispiel die Gleichung zu lösen

wir würden die vierte Wurzel jeder Seite nehmen. Aber anstatt die radikale Notation zu verwenden, können wir beide Seiten der Gleichung potenzieren (dfrac<1><4> ext<:>)

Das dritte Exponentengesetz sagt uns, dass (left(x^a ight)^b = x^ ext<,>) also

Um eine Gleichung mit einer Potenzfunktion (x^n ext<,>) zu lösen, isolieren wir im Allgemeinen zuerst die Potenz und erheben dann beide Seiten zum Exponenten (dfrac<1> ext<.>)

Beispiel 3.68 .

Für Astronomen ist die Masse eines Sterns die wichtigste Eigenschaft, aber auch die am schwierigsten direkt zu messende. Bei vielen Sternen variiert ihre Leuchtkraft oder Helligkeit ungefähr in der vierten Potenz der Masse.

  1. Unsere Sonne hat eine Leuchtkraft von (4 imes 10^<26>) Watt und eine Masse von (2 imes 10^<30>) Kilogramm. Da die Zahlen so groß sind, verwenden Astronomen oft diese Sonnenkonstanten als Maßeinheiten: Die Leuchtkraft der Sonne ist (1) Sonnenleuchtkraft und ihre Masse ist (1) Sonnenmasse. Schreiben Sie eine Potenzfunktion für die Leuchtkraft (L ext<,>) eines Sterns in Bezug auf seine Masse (M ext<,>) mit den Einheiten Sonnenmasse und Sonnenleuchtkraft.
  2. Der Stern Sirius ist (23) mal heller als die Sonne, seine Leuchtkraft ist also (23) Sonnenleuchtkraft. Schätze die Masse von Sirius in Einheiten der Sonnenmasse ab.
Kontrollpunkt 3.69 . Übung 7.

Unterabschnitt Potenzfunktionen

Die Grundfunktionen (y = sqrt) und (y = sqrt[3]) sind Potenzfunktionen der Form (f(x) = x^<1/n> ext<,>) und die Graphen aller dieser Funktionen haben ähnliche Formen wie diese beiden, je nachdem, ob der Index der Wurzel ist gerade oder ungerade.

Abbildung (a) zeigt die Graphen von

Abbildung (b) zeigt die Graphen von

Wir können keine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. (Siehe Eine Anmerkung zu Wurzeln negativer Zahlen "Eine Anmerkung zu Wurzeln negativer Zahlen" am Ende dieses Abschnitts.) Wenn also (n) gerade ist, ist der Bereich von (f(x) = x^< 1/n>) ist auf nichtnegative reelle Zahlen beschränkt, aber wenn (n) ungerade ist, ist der Definitionsbereich von (f(x) = x^<1/n>) die Menge aller reellen Zahlen.

Wir werden auch Potenzfunktionen mit negativen Exponenten kennenlernen. Zum Beispiel hängt die Herzfrequenz eines Tieres von seiner Größe oder Masse ab, wobei kleinere Tiere im Allgemeinen schnellere Herzfrequenzen haben. Die Herzfrequenzen von Säugetieren werden ungefähr durch die Potenzfunktion angegeben

wobei (m) die Masse des Tieres und (k) eine Konstante ist.

Beispiel 3.70 .

Ein typischer Mann wiegt etwa (70) Kilogramm und hat einen Ruhepuls von (70) Schlägen pro Minute.

Füllen Sie die Tabelle mit den Herzfrequenzen der Säugetiere aus, deren Massen angegeben sind.

Tier Spitzmaus Kaninchen Katze Wolf Pferd Eisbär Elefant Wal
Masse (kg) (0.004) (2) (4) (80) (300) (600) (5400) (70,000)
Pulsschlag () () () () () () () ()

Wir setzen (H = 70) und (m = 70) in die Gleichung ein und lösen dann nach (k ext<.>)

Wir berechnen die Funktion (H) für jede der in der Tabelle angegebenen Massen.

Tier Spitzmaus Kaninchen Katze Wolf Pferd Eisbär Elefant Wal
Masse (kg) (0.004) (2) (4) (80) (300) (600) (5400) (70,000)
Pulsschlag (805) (170) (143) (68) (49) (41) (24) (12)

Wir tragen die Punkte in die Tabelle ein, um das unten gezeigte Diagramm zu erhalten.

Viele Eigenschaften im Zusammenhang mit dem Wachstum von Pflanzen und Tieren lassen sich durch Potenzfunktionen ihrer Masse beschreiben. Das Studium der Beziehung zwischen den Wachstumsraten verschiedener Teile eines Organismus oder von Organismen ähnlicher Art wird als . Eine Gleichung der Form

verwendet, um eine solche Beziehung zu beschreiben, wird als bezeichnet.

Natürlich können Potenzfunktionen mit jeder der besprochenen Notationen ausgedrückt werden. Zum Beispiel kann die Funktion in Beispiel 3.70 geschrieben werden als

Kontrollpunkt 3.71 . Übung 8.
Kontrollpunkt 3.72 . Innehalten und reflektieren.

Beschreiben Sie die Unterschiede in den Graphen von (f(x)=x^>) für (n) positiv und negativ, für (x gt 0 ext<.>)

Unterabschnitt radikalische Gleichungen lösen

A ist einer, bei dem die Variable unter einer Quadratwurzel oder einem anderen Radikal erscheint. Der Rest kann mit einem gebrochenen Exponenten bezeichnet werden. Zum Beispiel die Gleichung

ist eine Radikalgleichung, weil (x^ <1/3>= sqrt[3] ext<.>) Um die Gleichung zu lösen, isolieren wir zuerst die Potenz zu erhalten

Dann erhöhen wir beide Seiten der Gleichung auf den Kehrwert von (dfrac<1><3> ext<,>) oder (3 ext<.>)

Beispiel 3.73 .

Wenn ein Auto plötzlich bremst, lässt sich seine Geschwindigkeit anhand der Länge der Bremsspuren abschätzen, die es auf dem Bürgersteig hinterlässt. Eine Formel für die Geschwindigkeit des Autos in Meilen pro Stunde ist (v = f (d) = (24d)^<1/2> ext<,>) wobei die Länge der Bremsspuren (d text<,>) wird in Fuß angegeben.

  1. Wenn ein Auto Bremsspuren hinterlässt, die (80) Fuß lang sind, wie schnell fuhr das Auto, als der Fahrer bremste?
  2. Wie weit kommt ein Auto ins Schleudern, wenn sein Fahrer beim Fahren von (80) Meilen pro Stunde bremst?

Um die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmen, berechnen wir die Funktion für (d = alert<80> ext<.>)

Das Auto fuhr mit ungefähr (44) Meilen pro Stunde.

Wir möchten den Wert von (d) ermitteln, wenn der Wert von (v) bekannt ist. Wir setzen (v = alert<80>) in die Formel ein und lösen die Gleichung

Da (d) hoch (frac<1><2> ext<,>) erscheint, quadrieren wir zuerst beide Seiten der Gleichung, um zu erhalten

Sie können überprüfen, ob dieser Wert für (d) in der ursprünglichen Gleichung funktioniert. Somit wird das Auto ungefähr (267) Fuß ins Schleudern geraten. Ein Graph der Funktion (v = (24d)^<1/2>) ist unten gezeigt, zusammen mit den Punkten, die den Werten in den Teilen (a) und (b) entsprechen.

Kontrollpunkt 3.74 . QuickCheck 4.
Hinweis 3.75 .

Somit können wir eine Gleichung lösen, bei der eine Seite eine (n)-te Wurzel von (x) ist, indem wir beide Seiten der Gleichung mit der (n)-ten Potenz erhöhen. Wir müssen vorsichtig sein, wenn wir beide Seiten einer Gleichung auf eine gerade Potenz erhöhen, da fremde Lösungen eingeführt werden können. Da sich die meisten Anwendungen von Potenzfunktionen jedoch nur mit positiven Domänen befassen, beinhalten sie normalerweise keine Fremdlösungen.

Kontrollpunkt 3.76 . Übung 9.

In Beispiel 3.70 haben wir die Herzfrequenzfunktion gefunden, (H(m) = 202.5m^<-1/4> ext<.>)

Unterabschnitt A Anmerkung zu Wurzeln negativer Zahlen

Sie wissen bereits, dass (sqrt<-9>) keine reelle Zahl ist, da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat (-9 ext<.>) ist. Ebenso (sqrt[4]< -16>) ist keine reelle Zahl, da es keine reelle Zahl (r) gibt, für die (r^4 = -16 ext<.>) ist (Beide Radikale sind . Komplexe Zahlen werden diskutiert in Kapitel 7.) Im Allgemeinen können wir keine gerade Wurzel (Quadratwurzel, vierte Wurzel usw.) einer negativen Zahl finden.

Andererseits hat jede positive Zahl zwei gerade Wurzeln, die reelle Zahlen sind. Zum Beispiel sind sowohl (3) als auch (-3) Quadratwurzeln von (9 ext<.>) Das Symbol (sqrt<9>) bezieht sich nur auf das positive oder , von (9 ext<.>) Wenn wir uns auf die negative Quadratwurzel von (9 ext<,>) beziehen wollen, müssen wir (-sqrt <9>= -3 ext<.> . schreiben ) Ebenso sind (2) und (-2) vierte Wurzeln von (16 ext<,>), weil (2^4 = 16) und ((-2)^4 = 16 ext<.>) Das Symbol (sqrt[4]<16>) bezieht sich jedoch nur auf die Haupt- oder positive vierte Wurzel. So,

Bei ungeraden Wurzeln (Würfelwurzeln, fünften Wurzeln usw.) ist es einfacher. Jede reelle Zahl, egal ob positiv, negativ oder null, hat genau eine reellwertige ungerade Wurzel. Beispielsweise,

Hier ist eine Zusammenfassung unserer Diskussion.

Wurzeln der reellen Zahlen.
  1. Jede positive Zahl hat zwei reellwertige Wurzeln, eine positive und eine negative, wenn der Index gerade ist.
  2. Eine negative Zahl hat keine reellwertige Wurzel, wenn der Index gerade ist.
  3. Jede reelle Zahl, ob positiv, negativ oder null, hat genau eine reelle Nullstelle, wenn der Index ungerade ist.
Beispiel 3.77 .
  1. (sqrt[4]<-625>) ist keine reelle Zahl.
  2. (displaystyle - sqrt[4] <625>= -5)
  3. (displaystyle sqrt[5] <-1>= -1)
  4. (sqrt[4]<-1>) ist keine reelle Zahl.

Die gleichen Prinzipien gelten für Potenzen mit gebrochenen Exponenten. So

aber ((-64)^<1/6>) ist keine reelle Zahl. Andererseits,

denn der Exponent (1/6) gilt nur für (64 ext<,>) und das negative Vorzeichen wird angewendet, nachdem die Wurzel berechnet wurde.

Kontrollpunkt 3.78 . QuickCheck 5.
Kontrollpunkt 3.79 . Übung 10.
Kontrollpunkt 3.80 . Innehalten und reflektieren.

Was ist der Definitionsbereich der Funktion (f(x)=x^<2n>> ext<,>) und warum?

Kontrollpunkt 3.81 . Übung 11.

Unterabschnitt Abschnitt Zusammenfassung

Unterabschnitt Vokabular

Schlagen Sie die Definitionen neuer Begriffe im Glossar nach.

Unterabschnitt KONZEPTE

(n)te Wurzeln: (s) heißt an wenn (s^n = b ext<.>)

Exponentielle Notation: Für jede ganze Zahl (nge 2) und für (age 0 ext<,>) (a^<1/n>=sqrt[n] ext<.> )

Wir können kein genaues dezimales Äquivalent für an aufschreiben, aber wir können eine irrationale Zahl auf beliebig viele Dezimalstellen annähern.

Wir können die Gleichung (x^n = b) lösen, indem wir beide Seiten zu (dfrac<1> ) Leistung.

An ist eine Potenzfunktion der Form ( ext = k ( ext)^p ext<.>)

Wir können die Gleichung (x^ <1/n>= b) lösen, indem wir beide Seiten in die (n)-te Potenz erheben.

Wurzeln der reellen Zahlen.

Jede positive Zahl hat zwei reellwertige Wurzeln, eine positive und eine negative, wenn der Index gerade ist.

Eine negative Zahl hat keine reellwertige Wurzel, wenn der Index gerade ist.

Jede reelle Zahl, ob positiv, negativ oder null, hat genau eine reelle Nullstelle, wenn der Index ungerade ist.

Unterabschnitt STUDIENFRAGEN

Verwenden Sie ein Beispiel, um die Begriffe Radikal, Radicand, Index und Hauptwurzel zu veranschaulichen.

Erklären Sie, warum (x^<1/4>) eine sinnvolle Notation für (sqrt[4] ist. ext<.>)

Was bedeutet die Schreibweise (x^<0,2>)?

Drücken Sie jede der folgenden algebraischen Notationen in Worten aus und bewerten Sie sie dann für (= 16 ext<:>)

Wie lautet das dritte Exponentengesetz ((xa)^b = x^ ext<,>) nützlich beim Lösen von Gleichungen?

Unterabschnitt FÄHIGKEITEN

Üben Sie jede Fertigkeit der aufgelisteten Hausaufgaben.

Bewerten Sie Potenzen und Wurzeln: #1–8, 17–20

Konvertieren zwischen radikaler und exponentieller Notation: #9–16, 21 und 22

Radikalgleichungen lösen: #23–38, 59 und 60

Potenzfunktionen grafisch darstellen und analysieren: #39–58

Arbeiten Sie mit gebrochenen Exponenten: #61–68

Übungen Hausaufgaben 3.3

Finden Sie für die Aufgaben 1-4 die angegebene Wurzel ohne einen Taschenrechner zu verwenden und überprüfen Sie dann Ihre Antworten.


Eigenschaften von Wurzeln

Jede positive reelle Zahl hat eine positive neinWurzel und die Regeln für Operationen mit solchen Wurzeln gehorchen den folgenden Regeln:

Wir können jeden Ausdruck mit Radikalen in eine Exponentenform umwandeln:

Die Verwendung der Exponentenform macht es einfacher, Potenzen und Wurzeln aufzuheben. Im nächsten Kapitel werden wir die Exponentenregeln ausführlicher behandeln.

Da Wurzeln Sonderfälle von Exponenten sind, sind Radikalregeln im Wesentlichen Exponentenregeln, die mit einer anderen Notation, dem Radikalsymbol, geschrieben werden.


Roots for Radicals: Organisieren für Macht, Aktion und Gerechtigkeit

Dieses Buch ruft uns zu einem Paradigmenwechsel vom westlichen, weiß dominierten, euro-amerikanischen Kapitalismus zu einer gerechteren, kollektiven Denkweise für das Gemeinwohl über alle Ideologien hinweg auf.

Dieses Buch wurde mir von einer Freundin empfohlen, weil sie der Meinung war, dass es gute Richtlinien enthält, um unter anderem Grenzen zwischen Arbeit und Privatleben zu setzen. Roots for Radicals wurde von einem Chicagoer Organisator geschrieben, der sich stark für die unparteiische Bürgerorganisation einsetzt, insbesondere in Bezug auf Wohnungs- und Gesundheitsfragen.

Wie wirkt sich das auf Ihre Arbeit aus?

Wie beabsichtigt, hat mich dieses Buch etwas über Grenzen gelehrt. Chambers unterscheidet insbesondere zwischen öffentlichem und privatem Leben und a Dieses Buch wurde mir von einer Freundin empfohlen, weil sie der Meinung war, dass es gute Richtlinien für die Abgrenzung unter anderem zwischen Arbeit und Privatleben enthält. Roots for Radicals wurde von einem Chicagoer Organisator geschrieben, der sich stark für die unparteiische Bürgerorganisation einsetzt, insbesondere in Bezug auf Wohnungs- und Gesundheitsfragen.

Wie wirkt sich das auf Ihre Arbeit aus?

Wie beabsichtigt, hat mich dieses Buch etwas über Grenzen gelehrt. Chambers unterscheidet insbesondere zwischen öffentlichem und privatem Leben und argumentiert, dass „das, was die Menschen im öffentlichen Leben brauchen, respektiert wird, was ähnlich wie, aber anders als gemocht werden“. Er behauptet, dass Gemocht zu werden im privaten Bereich sein sollte, aber im öffentlichen Leben erhöht das Gewinnen von Respekt Ihre Verhandlungsmacht. Als Dienstleistungsberuf kann es sich meiner Meinung nach so anfühlen, als ob unsere Aufgabe darin besteht, nett zu sein. Chambers Argument deutet jedoch darauf hin, dass wir mehr davon profitieren, durchsetzungsfähig zu sein, auch wenn es nicht immer Sympathien erregt.

Chambers hat mir eine weitere Reihe von Richtlinien zur Verfügung gestellt, die ich nützlich fand. Insbesondere fand ich diese vier Universalien des Organisierens informativ:

1) Eiserne Regel: Tue niemals, niemals für andere, was sie selbst tun können.
2) Macht ohne Liebe ist Tyrannei Liebe ohne Macht ist sentimentaler Brei
3) Habenichtse sollten nicht romantisiert werden, sie betrügen, lügen, stehlen, kreuzen sich und spielen Opfer, genau wie es die Besitzenden tun
4) Wenn man die Gelegenheit hat, neigen die Leute dazu, das Richtige zu tun

Würden Sie dieses Buch anderen empfehlen?

Ja. Der Autor ist sehr eigensinnig, geht aber bei Problemen nicht auf Zehenspitzen und teilt einige ziemlich beeindruckende Leistungen, die seine Organisation erreicht hat.


Chloe Weber L.Ac, MSOM

Chloe entwickelte ein Interesse an der öffentlichen Gesundheit und Medizin, nachdem in der High School kutane Leishmaniose diagnostiziert wurde. Als einer der ersten in Costa Rica diagnostizierten Fälle zog es Chloe zu einem Studium der Ökologie und Evolutionsbiologie an der CU Boulder, wo sie begann zu verstehen, wie sich Krankheiten mit uns entwickeln und die tiefe Verbindung zwischen Mensch und Umwelt. Schließlich wurde Chloe von der chinesischen Medizin angezogen, um Probleme der öffentlichen Gesundheit anzugehen. Sie schloss ihr Studium mit einem Master of Oriental Medicine am Southwest Acupuncture College in Boulder ab und verbrachte einige Zeit am Universitätskrankenhaus Heilongjiang in Harbin, China.

Nach ihrem Abschluss war Chloe Mitbegründerin einer gemeinnützigen begehbaren chinesischen Kräuterklinik namens Urban Herbs. Chloe leitete ihre Klinik und konnte in ihr Kräuterstudium eintauchen und fand große Freude an der Öffentlichkeitsarbeit. Als Chloes Sohn Remy die Reise zur Diagnose antrat, beschloss sie, nach New York zu ziehen, um sich darauf zu konzentrieren, ihn zu unterstützen. Chloe hat derzeit eine Privatpraxis in NYC und behandelt Patienten in Manhattan und Bellmore. Die Zusammenarbeit mit Remy hat Chloe dazu gebracht, sich intensiv mit integrativer Neurologie und funktioneller Medizin zu beschäftigen und hat sie motiviert, Wege zu finden, um Kindern mit Entwicklungsstörungen und Anfällen zu helfen. Während sich Remy und Chloe mit den vielen Hanfextraktölen, die sie ausprobierten, besser fühlten, hielt nichts Remys Anfälle auf. Chloe war der Meinung, dass sie eine stärkere Formel entwickeln könnte, um Menschen mit Anfällen zu helfen, und so wurde Radical Roots geboren!

Carie Martin, D.Ac, M.S.Ac

Vizepräsident für Vertrieb

Carie Martin hat den größten Teil von 2 Jahrzehnten als führend in ganzheitlicher Gesundheit und Wellness verbracht – zuerst als Yoga- und Fitnesstrainerin und Gesundheitstrainerin und jetzt als Ärztin für Akupunktur und VP of Sales für Radical Roots Herbs. Als regelmäßiger Redner, der Patienten, Pflegepersonal und Familienmitgliedern, die von Krebs betroffen sind, Unterstützung und Informationen bietet, hält Carie auch regelmäßig Vorträge mit Organisationen über das Wohlbefinden am Arbeitsplatz und den Aufbau gesunder Teams.

In den letzten 9 Jahren in der klinischen Praxis hat Carie eine Vielzahl von Patienten, Ärzten und Anbietern behandelt und von ihnen gelernt, die den Wunsch verstärkt haben, das, was Natur und Wissenschaft zu bieten haben, sinnvoller in das tägliche Leben zu integrieren. Neben direkter Patientenbetreuung, Vorträgen und Beratungstätigkeit hat Carie Yoga- und Meditationsworkshops geleitet und bei Wellness-Retreats in den USA und im Ausland unterrichtet.

Nachdem Carie die Vorteile von Hanf bei der Behandlung von Patienten mit chronischen und Autoimmunerkrankungen erkannt hatte, trat sie 2019 Radical Roots Herbs bei, um die Botschaft seines Potenzials weit und breit zu verbreiten. Im Einklang mit dem Engagement des Unternehmens, Natur- und Kräutermedizin nachhaltig in den Vordergrund zu stellen, ist Carie auch stolz darauf, die Gründerin des Unternehmens, Chloe Weber, bei ihrer Mission zu unterstützen, die Kraft dieser Produkte in die Hände der Menschen zu legen.


Das ist, als würde man das Pflaster schnell abreißen. Es schockiert sie für eine Sekunde, aber der Schmerz negativer Zahlen vergeht schnell.

Fast 100 % der Zeit wird ein Schüler fragen: „Warum ist die Quadratwurzel von 16 nicht positiv 4?”

Hier passiert der magische Aha-Moment…

Jetzt haben Sie ihre volle Aufmerksamkeit und können ihnen dieses verrückte neue Konzept einer mathematischen Aufgabe mit zwei Antworten erklären.

Geben Sie ihnen Beispiele und Gegenbeispiele, testen Sie ihr Gehirn. Sobald Sie die Mathematik hinter dem Konzept verstanden haben, lassen Sie sie eine Liste von Dingen erstellen, bei denen die negative Antwort nicht erforderlich wäre. Wenn Sie zum Beispiel über Entfernungen sprechen, sagen wir nie, dass wir minus 5 Meilen laufen. Nur die positive Antwort wäre notwendig. Dann können Sie ihnen Beispiele für Zeiten geben, in denen die negative Antwort einfach nicht benötigt wird.


9: Wurzeln und Radikale

In diesem Abschnitt werden wir uns eine Integrationstechnik ansehen, die nützlich sein kann für etwas Integrale mit Wurzeln darin. Wir haben bereits einige Integrale mit Wurzeln darin gesehen. Einige können schnell mit einer einfachen Substitution in Calculus I durchgeführt werden und einige können mit trigonometrischen Substitutionen durchgeführt werden.

Allerdings erlauben uns nicht alle Integrale mit Nullstellen, eine dieser Methoden zu verwenden. Schauen wir uns ein paar Beispiele an, um eine andere Technik zu sehen, die gelegentlich verwendet werden kann, um bei diesen Integralen zu helfen.

Wenn wir mit einem Integral konfrontiert werden, das eine Wurzel enthält, können wir manchmal die folgende Ersetzung verwenden, um das Integral in eine leicht zu bearbeitende Form zu vereinfachen.

Anstatt also (u) das Zeug unter dem Radikal sein zu lassen, wie wir es oft in Calculus I getan haben, lassen wir (u) das ganze Radikal sein. Nun wird es hier ein wenig mehr Arbeit geben, da wir auch wissen müssen, was (x) ist, damit wir das im Zähler einsetzen und das Differential (dx) berechnen können. Dies ist jedoch leicht genug zu bekommen. Lösen Sie einfach die Substitution für (x) wie folgt:

Mit dieser Substitution lautet das Integral nun

Wenn also ein Integral manchmal die Wurzel (sqrt[n]<>) die Ersetzung,

kann verwendet werden, um das Integral in eine Form zu vereinfachen, mit der wir umgehen können.

Schauen wir uns noch schnell ein weiteres Beispiel an.

Wir machen dasselbe wie im vorherigen Beispiel. Hier ist die Ersetzung und die zusätzliche Arbeit, die wir tun müssen, um (x) in Bezug auf (u) zu erhalten.

Mit dieser Substitution ist das Integral

Dieses Integral kann nun mit Partialbrüchen durchgeführt werden.

Das Setzen von Zählern gleich ergibt,

[4u = Alinks( echts) + Blinks( Recht)]

Der Auswahlwert von (u) ergibt die Koeffizienten.

[Startu = & - 2 & hspace <0.5in>- 8 = & , Bleft( < - 7> ight) & hspace<0.5in>B = & , frac<8><7> u = & ,5 & hspace <0.5in>20 = & , Aleft( 7 ight) & hspace<0.5in>A = & , frac<<20>><7> Ende]

Wir haben also eine schöne Methode gesehen, um Wurzeln aus dem Integral zu entfernen und es in eine Form zu bringen, mit der wir umgehen können. Beachten Sie jedoch, dass dies nicht immer funktioniert und das neue Integral manchmal genauso schwierig ist.


9: Wurzeln und Radikale

Hier werden wir die Quadratwurzel von 9 definieren, analysieren, vereinfachen und berechnen. Wir beginnen mit der Definition und beantworten dann einige häufig gestellte Fragen zur Quadratwurzel von 9. Anschließend zeigen wir Ihnen verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung der Quadratwurzel von 9 mit und ohne Computer oder Taschenrechner. Wir haben viele Informationen zu teilen, also fangen wir an!


Quadratwurzel aus 9 Definition
Die Quadratwurzel von 9 in mathematischer Form wird mit dem Wurzelzeichen wie folgt geschrieben √9. Wir nennen dies die Quadratwurzel von 9 in radikaler Form. Die Quadratwurzel von 9 ist eine Größe (q), die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt.


Ist 9 ein perfektes Quadrat?
9 ist ein perfektes Quadrat, wenn die Quadratwurzel von 9 gleich einer ganzen Zahl ist. Wie wir weiter unten auf dieser Seite berechnet haben, ist die Quadratwurzel aus 9 eine ganze Zahl.


Ist die Quadratwurzel von 9 rational oder irrational?
Die Quadratwurzel von 9 ist eine rationale Zahl, wenn 9 ein perfektes Quadrat ist. Es ist eine irrationale Zahl, wenn sie kein perfektes Quadrat ist. Da 9 ein perfektes Quadrat ist, ist es eine rationale Zahl. Dies bedeutet, dass die Antwort auf "die Quadratwurzel von 9?" wird keine Dezimalstellen haben.


Kann man die Quadratwurzel von 9 vereinfachen?
Eine Quadratwurzel eines perfekten Quadrats kann vereinfacht werden, da die Quadratwurzel eines perfekten Quadrats einer ganzen Zahl entspricht:


So berechnen Sie die Quadratwurzel von 9 mit einem Taschenrechner
Der einfachste und langweiligste Weg, die Quadratwurzel von 9 zu berechnen, ist die Verwendung Ihres Taschenrechners! Geben Sie einfach 9 gefolgt von √x ein, um die Antwort zu erhalten. Das haben wir mit unserem Rechner gemacht und folgende Antwort bekommen:



So berechnen Sie die Quadratwurzel von 9 mit einem Computer
Wenn Sie einen Computer mit Excel oder Numbers verwenden, können Sie SQRT(9) in eine Zelle eingeben, um die Quadratwurzel von 9 zu erhalten. Unten ist das Ergebnis, das wir erhalten haben:


Was ist die Quadratwurzel von 9 mit einem Exponenten?
Alle Quadratwurzeln können in eine Zahl (Basis) mit einem gebrochenen Exponenten umgewandelt werden. Die Quadratwurzel von 9 ist keine Ausnahme. Hier ist die Regel und die Antwort auf "die Quadratwurzel von 9 umgewandelt in eine Basis mit einem Exponenten?":


So finden Sie die Quadratwurzel von 9 durch die lange Divisionsmethode
Hier zeigen wir Ihnen, wie Sie die Quadratwurzel aus 9 mit der langen Divisionsmethode berechnen. Dies ist die verlorene Kunst, wie sie die Quadratwurzel von 9 von Hand berechneten, bevor die moderne Technologie erfunden wurde.

Schritt 1)
Stellen Sie 9 in Paaren von zwei Ziffern von rechts nach links ein:

9

Schritt 2)
Beginnen Sie mit der ersten Menge: Das größte perfekte Quadrat kleiner oder gleich 9 ist 9, und die Quadratwurzel von 9 ist 3. Setzen Sie also 3 oben und 9 unten wie folgt:

3
9
9

Der Unterschied zwischen den unteren beiden Zahlen ist Null, also sind Sie fertig! Die Antwort ist die grüne Zahl oben. Die Quadratwurzel von 9 ist wieder 3.


Quadratwurzel einer Zahl
Bitte geben Sie eine andere Zahl in das Feld unten ein, um die Quadratwurzel der Zahl und andere detaillierte Informationen zu erhalten, wie Sie sie auf dieser Seite für 9 erhalten haben.



Anmerkungen
Denken Sie daran, dass negativ mal negativ gleich positiv ist. Somit hat die Quadratwurzel von 9 nicht nur die positive Antwort, die wir oben erklärt haben, sondern auch das negative Gegenstück.

Auf dieser Seite beziehen wir uns oft auf perfekte Quadratwurzeln. Vielleicht möchten Sie die Liste der perfekten Quadrate als Referenz verwenden.


Quadratwurzel von 10
Hier ist die nächste Zahl auf unserer Liste, zu der wir ebenso detaillierte Quadratwurzelinformationen haben.


Inhalt

Die Geburt und Entwicklung der Galois-Theorie wurde durch die folgende Frage verursacht, die bis Anfang des 19. Jahrhunderts eine der wichtigsten offenen mathematischen Fragen war:

Gibt es eine Formel für die Wurzeln einer Polynomgleichung fünften (oder höheren) Grades hinsichtlich der Koeffizienten des Polynoms, die nur die üblichen algebraischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und Anwendung von Radikalen (Quadratwurzeln, Kubikwurzeln usw.)?

Der Satz von Abel-Ruffini liefert ein Gegenbeispiel, das beweist, dass es Polynomgleichungen gibt, für die eine solche Formel nicht existieren kann. Die Theorie von Galois liefert eine viel vollständigere Antwort auf diese Frage, indem sie erklärt, warum sie ist es möglich ist, einige Gleichungen, einschließlich aller Gleichungen vom Grad vier oder niedriger, auf die obige Weise zu lösen, und warum es für die meisten Gleichungen vom Grad fünf oder höher nicht möglich ist. Darüber hinaus stellt es ein Mittel zur Verfügung, um zu bestimmen, ob eine bestimmte Gleichung gelöst werden kann, die sowohl konzeptionell klar als auch leicht als Algorithmus ausgedrückt werden kann.

Die Theorie von Galois gibt auch einen klaren Einblick in Fragen zu Problemen beim Zirkel- und Linealbau. Es gibt eine elegante Charakterisierung der Längenverhältnisse, die mit dieser Methode konstruiert werden können. Damit ist es relativ einfach, klassische Probleme der Geometrie zu beantworten wie

  1. Welche regelmäßigen Vielecke sind konstruierbar? [1]
  2. Warum ist es nicht möglich, jeden Winkel mit einem Zirkel und einem Lineal zu trennen? [1]
  3. Warum ist das Verdoppeln des Würfels mit derselben Methode nicht möglich?

Vorgeschichte Bearbeiten

Galois' Theorie stammt aus dem Studium symmetrischer Funktionen – die Koeffizienten eines monischen Polynoms sind (bis zum Vorzeichen) die elementaren symmetrischen Polynome in den Wurzeln. Beispielsweise, (xein)(xb) = x 2 – (ein + b)x + ab , wobei 1, ein + b und ab sind die elementaren Polynome vom Grad 0, 1 und 2 in zwei Variablen.

Dies wurde zuerst von dem französischen Mathematiker François Viète aus dem 16. Jahrhundert in Viètes Formeln für den Fall positiver reeller Wurzeln formalisiert. Nach Ansicht des britischen Mathematikers Charles Hutton aus dem 18. Jahrhundert [2] wurde der Ausdruck von Koeffizienten eines Polynoms in Bezug auf die Nullstellen (nicht nur für positive Nullstellen) zuerst von dem französischen Mathematiker Albert Girard Hutton aus dem 17. Jahrhundert verstanden, der schreibt:

. [Girard war] der erste, der die allgemeine Lehre von der Bildung der Koeffizienten der Potenzen aus der Summe der Wurzeln und ihrer Produkte verstand. Er war der erste, der die Regeln zum Summieren der Potenzen der Wurzeln jeder Gleichung entdeckte.

In diesem Sinne ist die Diskriminante eine symmetrische Funktion in den Wurzeln, die Eigenschaften der Wurzeln widerspiegelt – sie ist null genau dann, wenn das Polynom eine Mehrfachwurzel hat, und für quadratische und kubische Polynome ist sie genau dann positiv, wenn alle Wurzeln . sind reell und verschieden und negativ genau dann, wenn es ein Paar verschiedener komplex konjugierter Wurzeln gibt. Siehe Diskriminant: Natur der Wurzeln für Details.

Das Kubische wurde zuerst von dem italienischen Mathematiker Scipione del Ferro aus dem 15.-16. Jahrhundert teilweise gelöst, der seine Ergebnisse jedoch nicht veröffentlichte. Diese Methode löste jedoch nur eine Art kubischer Gleichungen. Diese Lösung wurde 1535 von Niccolò Fontana Tartaglia unabhängig wiederentdeckt, der sie mit Gerolamo Cardano teilte und ihn bat, sie nicht zu veröffentlichen. Cardano erweiterte dies dann auf zahlreiche andere Fälle, wobei ähnliche Argumente verwendet wurden, siehe mehr Details zu Cardanos Methode. Nach der Entdeckung der Arbeit von del Ferro war er der Meinung, dass Tartaglias Methode nicht länger geheim war, und veröffentlichte seine Lösung daher in seiner 1545 Ars Magna. [3] Sein Schüler Lodovico Ferrari löste das quartische Polynom, dessen Lösung auch darin enthalten war Ars Magna. Cardano hat in diesem Buch jedoch keine "allgemeine Formel" für die Lösung einer kubischen Gleichung angegeben, da ihm weder komplexe Zahlen noch die algebraische Notation zur Verfügung standen, um eine allgemeine kubische Gleichung beschreiben zu können. Dank moderner Notation und komplexer Zahlen funktionieren die Formeln in diesem Buch im allgemeinen Fall, aber Cardano wusste dies nicht. Es war Rafael Bombelli, der es geschafft hat, mit komplexen Zahlen zu arbeiten, um alle Formen kubischer Gleichungen zu lösen.

Ein weiterer Schritt war das Papier von 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations by the French-Italian mathematician Joseph Louis Lagrange, in his method of Lagrange resolvents, where he analyzed Cardano's and Ferrari's solution of cubics and quartics by considering them in terms of permutations of the roots, which yielded an auxiliary polynomial of lower degree, providing a unified understanding of the solutions and laying the groundwork for group theory and Galois' theory. Crucially, however, he did not consider composition of permutations. Lagrange's method did not extend to quintic equations or higher, because the resolvent had higher degree.

The quintic was almost proven to have no general solutions by radicals by Paolo Ruffini in 1799, whose key insight was to use permutation groups, not just a single permutation. His solution contained a gap, which Cauchy considered minor, though this was not patched until the work of the Norwegian mathematician Niels Henrik Abel, who published a proof in 1824, thus establishing the Abel–Ruffini theorem.

While Ruffini and Abel established that the general quintic could not be solved, some particular quintics can be solved, such as x 5 - 1 = 0 , and the precise criterion by which a given quintic or higher polynomial could be determined to be solvable or not was given by Évariste Galois, who showed that whether a polynomial was solvable or not was equivalent to whether or not the permutation group of its roots – in modern terms, its Galois group – had a certain structure – in modern terms, whether or not it was a solvable group. This group was always solvable for polynomials of degree four or less, but not always so for polynomials of degree five and greater, which explains why there is no general solution in higher degrees.

Galois' writings Edit

In 1830 Galois (at the age of 18) submitted to the Paris Academy of Sciences a memoir on his theory of solvability by radicals Galois' paper was ultimately rejected in 1831 as being too sketchy and for giving a condition in terms of the roots of the equation instead of its coefficients. Galois then died in a duel in 1832, and his paper, "Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux", remained unpublished until 1846 when it was published by Joseph Liouville accompanied by some of his own explanations. [4] Prior to this publication, Liouville announced Galois' result to the Academy in a speech he gave on 4 July 1843. [5] According to Allan Clark, Galois's characterization "dramatically supersedes the work of Abel and Ruffini." [6]

Aftermath Edit

Galois' theory was notoriously difficult for his contemporaries to understand, especially to the level where they could expand on it. For example, in his 1846 commentary, Liouville completely missed the group-theoretic core of Galois' method. [7] Joseph Alfred Serret who attended some of Liouville's talks, included Galois' theory in his 1866 (third edition) of his textbook Cours d'algèbre supérieure. Serret's pupil, Camille Jordan, had an even better understanding reflected in his 1870 book Traité des substitutions et des équations algébriques. Outside France, Galois' theory remained more obscure for a longer period. In Britain, Cayley failed to grasp its depth and popular British algebra textbooks did not even mention Galois' theory until well after the turn of the century. In Germany, Kronecker's writings focused more on Abel's result. Dedekind wrote little about Galois' theory, but lectured on it at Göttingen in 1858, showing a very good understanding. [8] Eugen Netto's books of the 1880s, based on Jordan's Traité, made Galois theory accessible to a wider German and American audience as did Heinrich Martin Weber's 1895 algebra textbook. [9]

Given a polynomial, it may be that some of the roots are connected by various algebraic equations. For example, it may be that for two of the roots, say EIN und B , that EIN 2 + 5B 3 = 7 . The central idea of Galois' theory is to consider permutations (or rearrangements) of the roots such that irgendein algebraic equation satisfied by the roots is still satisfied after the roots have been permuted. Originally, the theory had been developed for algebraic equations whose coefficients are rational numbers. It extends naturally to equations with coefficients in any field, but this will not be considered in the simple examples below.

These permutations together form a permutation group, also called the Galois group of the polynomial, which is explicitly described in the following examples.

Quadratic equation Edit

By using the quadratic formula, we find that the two roots are

Examples of algebraic equations satisfied by EIN und B include

If we exchange EIN und B in either of the last two equations we obtain another true statement. For example, the equation EIN + B = 4 becomes B + EIN = 4 . It is more generally true that this holds for every possible algebraic relation between EIN und B such that all coefficients are rational that is, in any such relation, swapping EIN und B yields another true relation. This results from the theory of symmetric polynomials, which, in this case, may be replaced by formula manipulations involving the binomial theorem.

One might object that EIN und B are related by the algebraic equation EINB − 2 √ 3 = 0 , which does not remain true when EIN und B are exchanged. However, this relation is not considered here, because it has the coefficient −2 √ 3 which is not rational.

We conclude that the Galois group of the polynomial x 2 − 4x + 1 consists of two permutations: the identity permutation which leaves EIN und B untouched, and the transposition permutation which exchanges EIN und B . It is a cyclic group of order two, and therefore isomorphic to Z/2Z .

A similar discussion applies to any quadratic polynomial ax 2 + bx + c , wo ein , b und c are rational numbers.

  • If the polynomial has rational roots, for example x 2 − 4x + 4 = (x − 2) 2 , or x 2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) , then the Galois group is trivial that is, it contains only the identity permutation. In this example, if EIN = 2 and B = 1 then EIN - B = 1 is no longer true when EIN sind B are swapped.
  • If it has two irrational roots, for example x 2 − 2 , then the Galois group contains two permutations, just as in the above example.

Quartic equation Edit

which can also be written as

We wish to describe the Galois group of this polynomial, again over the field of rational numbers. The polynomial has four roots:

There are 24 possible ways to permute these four roots, but not all of these permutations are members of the Galois group. The members of the Galois group must preserve any algebraic equation with rational coefficients involving EIN , B , C und D .

Among these equations, we have:

It follows that, if φ is a permutation that belongs to the Galois group, we must have:

This implies that the permutation is well defined by the image of EIN , and that the Galois group has 4 elements, which are:

(EIN, B, C, D) → (EIN, B, C, D) (EIN, B, C, D) → (B, EIN, D, C) (EIN, B, C, D) → (C, D, EIN, B) (EIN, B, C, D) → (D, C, B, EIN)

This implies that the Galois group is isomorphic to the Klein four-group.

In the modern approach, one starts with a field extension L/K (read " L over K "), and examines the group of automorphisms of L that fix K . See the article on Galois groups for further explanation and examples.

The connection between the two approaches is as follows. The coefficients of the polynomial in question should be chosen from the base field K . The top field L should be the field obtained by adjoining the roots of the polynomial in question to the base field. Any permutation of the roots which respects algebraic equations as described above gives rise to an automorphism of L/K , and vice versa.

In the first example above, we were studying the extension Q( √ 3 )/Q , wo Q is the field of rational numbers, and Q( √ 3 ) is the field obtained from Q by adjoining √ 3 . In the second example, we were studying the extension Q(EIN,B,C,D)/Q .

There are several advantages to the modern approach over the permutation group approach.

  • It permits a far simpler statement of the fundamental theorem of Galois theory.
  • The use of base fields other than Q is crucial in many areas of mathematics. For example, in algebraic number theory, one often does Galois theory using number fields, finite fields or local fields as the base field.
  • It allows one to more easily study infinite extensions. Again this is important in algebraic number theory, where for example one often discusses the absolute Galois group of Q , defined to be the Galois group of K/Q wo K is an algebraic closure of Q .
  • It allows for consideration of inseparable extensions. This issue does not arise in the classical framework, since it was always implicitly assumed that arithmetic took place in characteristic zero, but nonzero characteristic arises frequently in number theory and in algebraic geometry.
  • It removes the rather artificial reliance on chasing roots of polynomials. That is, different polynomials may yield the same extension fields, and the modern approach recognizes the connection between these polynomials.

The notion of a solvable group in group theory allows one to determine whether a polynomial is solvable in radicals, depending on whether its Galois group has the property of solvability. In essence, each field extension L/K corresponds to a factor group in a composition series of the Galois group. If a factor group in the composition series is cyclic of order nein , and if in the corresponding field extension L/K the field K already contains a primitive nein th root of unity, then it is a radical extension and the elements of L can then be expressed using the nein th root of some element of K .

If all the factor groups in its composition series are cyclic, the Galois group is called solvable, and all of the elements of the corresponding field can be found by repeatedly taking roots, products, and sums of elements from the base field (usually Q ).

One of the great triumphs of Galois Theory was the proof that for every nein > 4 , there exist polynomials of degree nein which are not solvable by radicals (this was proven independently, using a similar method, by Niels Henrik Abel a few years before, and is the Abel–Ruffini theorem), and a systematic way for testing whether a specific polynomial is solvable by radicals. The Abel–Ruffini theorem results from the fact that for nein > 4 the symmetric group Snein contains a simple, noncyclic, normal subgroup, namely the alternating group EINnein .

A non-solvable quintic example Edit

Van der Waerden [10] cites the polynomial f(x) = x 5 − x − 1 . By the rational root theorem this has no rational zeroes. Neither does it have linear factors modulo 2 or 3.

The Galois group of f(x) modulo 2 is cyclic of order 6, because f(x) modulo 2 factors into polynomials of orders 2 and 3, (x 2 + x + 1)(x 3 + x 2 + 1) .

f(x) modulo 3 has no linear or quadratic factor, and hence is irreducible. Thus its modulo 3 Galois group contains an element of order 5.

It is known [11] that a Galois group modulo a prime is isomorphic to a subgroup of the Galois group over the rationals. A permutation group on 5 objects with elements of orders 6 and 5 must be the symmetric group S5 , which is therefore the Galois group of f(x) . This is one of the simplest examples of a non-solvable quintic polynomial. According to Serge Lang, Emil Artin was fond of this example. [12]

Das inverse Galois problem is to find a field extension with a given Galois group.

As long as one does not also specify the ground field, the problem is not very difficult, and all finite groups do occur as Galois groups. For showing this, one may proceed as follows. Choose a field K and a finite group G . Cayley's theorem says that G is (up to isomorphism) a subgroup of the symmetric group S on the elements of G . Choose indeterminates <xα> , one for each element α von G , and adjoin them to K to get the field F = K(<xα>) . Contained within F is the field L of symmetric rational functions in the <xα> . The Galois group of F/L is S , by a basic result of Emil Artin. G acts on F by restriction of action of S . If the fixed field of this action is M , then, by the fundamental theorem of Galois theory, the Galois group of F/M is G .

On the other hand, it is an open problem whether every finite group is the Galois group of a field extension of the field Q of the rational numbers. Igor Shafarevich proved that every solvable finite group is the Galois group of some extension of Q . Various people have solved the inverse Galois problem for selected non-Abelian simple groups. Existence of solutions has been shown for all but possibly one (Mathieu group M23 ) of the 26 sporadic simple groups. There is even a polynomial with integral coefficients whose Galois group is the Monster group.


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