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9.1: Pole und Nullen


Wir erinnern Sie an die folgende Terminologie: Angenommen (f(z)) ist analytisch bei (z_0) und

[f(z) = a_n (z - z_0)^n + a_{n + 1} (z - z_0)^{n + 1} + ...,]

mit (a_n e 0). Dann sagen wir, (f) hat eine Nullstelle (n) bei (z_0). Wenn (n = 1) ist, sagen wir (z_0) ist eine einfache Null.

Angenommen (f) hat ein isolierte Sigularität bei (z_0) und Laurent-Reihen

[f(z) = dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + dfrac{b_{n - 1}}{(z - z_0)^{n - 1}} + ... + dfrac{b_1}{z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + ...]

die gegen (0 < |z - z_0| < R) und mit (b_n e 0) konvergiert. Dann sagen wir, (f) hat einen Pol der Ordnung (n) bei (z_0). Wenn (n = 1) ist, sagen wir (z_0) ist ein einfacher Pol.

Es gibt mehrere Beispiele in den Anmerkungen zu Thema 8. Hier ist noch einer

Beispiel (PageIndex{1})

[f(z) = dfrac{z + 1}{z^3 (z^2 + 1)} onumber]

hat isolierte Singularitäten bei (z = 0), (pm i) und eine Nullstelle bei (z = -1). Wir werden zeigen, dass (z = 0) ein Pol der Ordnung 3 ist, (z = pm i) Pole der Ordnung 1 sind und (z = -1) eine Nullstelle der Ordnung 1 ist. Der Stil Argumentation ist in jedem Fall gleich.

Bei (z = 0):

[f(z) = dfrac{1}{z^3} cdot dfrac{z + 1}{z^2 + 1}. keine Nummer]

Nennen Sie den zweiten Faktor (g(z)). Da (g(z)) analytisch bei (z = 0) und (g(0) = 1) ist, hat es eine Taylor-Reihe

[g(z) = dfrac{z + 1}{z^2 + 1} = 1 + a_1 z + a_2 z^2 + ... onumber]

Deshalb

[f(z) = dfrac{1}{z^3} + dfrac{a_1}{z^2} + dfrac{a_2}{z} + ... onumber]

Dies zeigt, dass (z = 0) ein Pol der Ordnung 3 ist.

Bei (z = i): (f(z) = dfrac{1}{z - i} cdot dfrac{z + 1}{z^3 (z + i)}). Nennen Sie den zweiten Faktor (g(z)). Da (g(z)) in (z = i) analytisch ist, hat es eine Taylor-Reihe

[g(z) = dfrac{z + 1}{z^3 (z + i)} = a_0 + a_1 (z - i) + a_2 (z - i)^2 + ... onumber ]

wobei (a_0 = g(i) e 0). Deshalb,

[f(z) = dfrac{a_0}{z - i} + a_1 + a_2 (z - i) + ... onumber]

Dies zeigt, dass (z = i) ein Pol der Ordnung 1 ist.

Die Argumente für (z = -i) und (z = -1) sind ähnlich.


9.1: Pole und Nullen

    Er kann als ein Filterabschnitt mit zwei Nullen betrachtet werden, dem in Reihe ein Filterabschnitt mit zwei Polen folgt.

Es ist eine sehr nützliche Eigenschaft der Direktform-I-Implementierung, dass sie bei der Zweierkomplement-Festpunktarithmetik intern nicht überlaufen kann: Solange das Ausgangssignal im Bereich liegt, ist der Filter frei von numerischem Überlauf. Die meisten IIR-Filterimplementierungen verfügen nicht über diese Eigenschaft. Obwohl DF-I gegen internen Überlauf immun ist, sollte daraus nicht geschlossen werden, dass es immer die beste Wahl der Implementierung ist. Andere zu berücksichtigende Formen sind parallele und serielle Abschnitte zweiter Ordnung (ڏ.2 unten) und normalisierte Leiterformen [32,48,86]. 10.2 Wir werden auch sehen, dass die transponierte Direktform II (Abb.9.4 unten) ebenfalls ein starker Anwärter ist.

Zweier-Komplement-Wrap-Around

In diesem Abschnitt geben wir ein Beispiel, das zeigt, wie ein temporärer Überlauf im Zweierkomplement-Fixkomma keine negativen Auswirkungen hat.

Bei der 3-Bit-Festkomma-Arithmetik mit Vorzeichen sind die verfügbaren Zahlen wie in Tabelle 9.1 gezeigt.

Lass uns die Summe aufführen , was zu einem vorübergehenden Überlauf (, die sich um wickelt ), aber ein Endergebnis () was im zulässigen Bereich liegt : 10.3


Jetzt machen wir im Drei-Bit-Zweierkomplement:


In beiden Beispielen läuft das Zwischenergebnis über, aber das Endergebnis ist korrekt. Eine andere Möglichkeit zu sagen, was passiert ist, besteht darin, dass ein positiver Wrap-Around in der ersten Addition durch einen negativen Wrap-Around in der zweiten Addition aufgehoben wird.


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Irrtümer und Auslassungen vorbehalten (E&OE). Produktverpackung und -material können weitere und/oder andere Informationen von der Website enthalten, einschließlich der Produktbeschreibung und anderer Informationen. Lesen Sie immer die Etiketten, Warnungen und Anweisungen sowie andere mit dem Produkt gelieferte Informationen, bevor Sie ein Produkt verwenden. Alle Maße sind ungefähre Angaben. Farben können variieren.

Angesichts der Vielzahl von Faktoren, die die Verwendung und Leistung eines Produkts beeinflussen können, ist der Benutzer allein dafür verantwortlich, das Produkt zu bewerten und festzustellen, ob es für einen bestimmten Zweck geeignet und für die Anwendungsmethode des Benutzers geeignet ist.


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Ausgabeargumente

B,a — Transferfunktionskoeffizienten Zeilenvektoren

Übertragungsfunktionskoeffizienten des Filters, die als Zeilenvektoren der Länge n + 1 für Tiefpass- und Hochpassfilter und 2 n + 1 für Bandpass- und Bandsperrfilter zurückgegeben werden.

Für digitale Filter wird die Übertragungsfunktion durch b und a ausgedrückt als

H ( z ) = B ( z ) A ( z ) = b(1) + b(2) z − 1 + ⋯ + b(n+1) z − na(1) + a(2) z − 1 + ⋯ + a(n+1) z − n .

Für analoge Filter wird die Übertragungsfunktion durch b und a ausgedrückt als

H ( s ) = B ( s ) A ( s ) = b(1) sn + b(2) sn − 1 + ⋯ + b(n+1) a(1) sn + a(2) sn − 1 + ⋯ + a(n+1) .

Datentypen: doppelt

Z,p,k — Nullen, Pole und Verstärkung Spaltenvektoren, skalar

Nullen, Pole und Verstärkung des Filters, zurückgegeben als zwei Spaltenvektoren der Länge n (2 n für Bandpass- und Bandstopp-Designs) und ein Skalar.

Für digitale Filter wird die Übertragungsfunktion in Form von z , p und k als . ausgedrückt

H ( z ) = k ( 1 − z(1) z − 1 ) ( 1 − z(2) z − 1 ) ⋯ ( 1 − z(n) z − 1 ) ( 1 − p(1) z − 1 ) ( 1 − p(2) z − 1 ) ⋯ ( 1 − p(n) z − 1 ).

Für analoge Filter wird die Übertragungsfunktion in Form von z , p und k als . ausgedrückt

H ( s ) = k ( s − z(1) ) ( s − z(2) ) ⋯ ( s − z(n) ) ( s − p(1) ) ( s − p(2) ) & #x22EF ( s − p(n) ) .

Datentypen: doppelt

A,B,C,D — Zustandsraummatrizen Matrizen

Zustandsraumdarstellung des Filters, zurückgegeben als Matrizen. Wenn ich = n für Tiefpass- und Hochpass-Designs und ich = 2 n für Bandpass- und Bandsperrfilter, dann ist A ich × ich, B ist ich × 1, C ist 1 × ich, und D ist 1 × 1.

Bei digitalen Filtern beziehen sich die Zustandsraummatrizen auf den Zustandsvektor x, die Eingabe du, und die Ausgabe ja durch

x ( k + 1 ) = A x ( k ) + B u ( k ) y ( k ) = C x ( k ) + Du ( k ) .

Bei analogen Filtern beziehen sich die Zustandsraummatrizen auf den Zustandsvektor x, die Eingabe du, und die Ausgabe ja durch

Datentypen: doppelt


9.6 Satz von Miller

An dieser Stelle werden wir einen Umweg machen, um den Satz von Miller zu diskutieren. Obwohl die Methoden, die wir bisher verwendet haben, völlig allgemein sind, gibt es bestimmte Konfigurationen, die sich einfacher mit dem Satz von Miller analysieren lassen. Der Satz von Miller besagt, dass in einer linearen Schaltung, wenn es einen Zweig mit einer Impedanz Z gibt, zwei Knoten mit Knotenspannungen V . verbindet 1und V 2, kann dieser Zweig durch zwei andere Zweige ersetzt werden, die die entsprechenden Knoten über die Impedanzen Z / (1-K ) und KZ / (K - 1) mit Masse verbinden, wobei die Verstärkung von Knoten 1 zu Knoten 2 K = V . ist 2 / V 1.

Abbildung 9.6.1 Satz von Miller

An dieser Stelle werden wir die Schritte durchgehen, die zeigen, wie die Miller-Impedanzen ermittelt werden. Wir können die äquivalente Zweitor-Netzwerktechnik verwenden, um den in Abbildung 9.6.1(a) dargestellten Zweitor durch sein Äquivalent in Abbildung 9.6.2 zu ersetzen.

Wenn wir die Spannungsquellen in Abbildung 9.6.2 durch ihre Norton-äquivalenten Stromquellen ersetzen, erhalten wir Abbildung 9.6.3.

Unter Verwendung des Quellenabsorptionssatzes (siehe Anhang am Ende dieses Kapitels) erhalten wir Abbildung 9.6.4.

Das ergibt Abbildung 9.6.5 (das ist Abbildung 9.6.1(b) ), wenn wir die beiden Impedanzen parallel kombinieren.


Berichte

1. (AKTUALISIERT 29.10.2020) Im Beurteilungsbericht, der aus dem Personen- und Aktivitätsbildschirm generiert wurde, fehlen Daten

Problem: Der auf dem Bildschirm Person und Aktivität erstellte Bewertungsbericht enthält weniger Daten als der gleiche Bericht, der auf der Registerkarte Drucken auf dem Bildschirm Bewertung erstellt wurde. Und eine Fehlermeldung, die besagt, dass der Berichtsparameter noch nicht erstellt wurde. Bitte warten Sie einige Zeit und versuchen Sie es erneut." könnte angezeigt werden, wenn ein Benutzer im Bildschirm "Person und Aktivitäten" auf die Schaltfläche "Assmt Rpt" klickt.

Problemumgehung: Sie sollten den Bewertungsbericht nur über die Registerkarte Drucken innerhalb des Tests erstellen.

2. Schwierigkeiten beim Drucken einiger Berichte aufgrund eines Microsoft Silverlight-Problems

Problem: Wenn Benutzer versuchen, Berichte zu erstellen, konvertiert Silverlight manchmal Berichte in Bilder, die erheblich mehr Daten als andere Formate verwenden können. Große Datendateien verursachen Probleme für Drucker, je nachdem, was im System und im Netzwerk gerade passiert, wenn ein Druckauftrag gesendet wird. Infolgedessen werden Berichte nicht durchgehend richtig gedruckt.

Problemumgehung 1: Warten Sie ungefähr 5 Minuten, bevor Sie einen Bericht drucken. Starten Sie das System neu, wenn das Problem weiterhin besteht.

Problemumgehung 2: Richten Sie den Drucker/Kopierer als lokalen IP-Drucker ein.

Problemumgehung 3: Schließen Sie den Computer direkt an den Drucker an.

Problemumgehung 4: Speicherplatz erhöhen:


Wenn Sie Ihre eigene Anwendung codieren möchten, die die Betragsantwort grafisch darstellt, müssen Sie zuerst die Pole und Nullstellen aus Ihrer Übertragungsfunktion in der Domäne $Z$ extrahieren. Der folgende Prozess kann entweder analytisch oder grafisch sein. Ich werde versuchen, beides abzudecken, beginnend mit dem analytischen Ansatz, dann grafisch.

Extrahieren der Pole und Nullstellen

Nehmen Sie Ihre Zeitbereichsgleichung. : $y[n] = 0.0976⋅x[n]+0.1952⋅x[n−1]+0.0976⋅x[n−2]+0.9429⋅y[n−1]−0.3334⋅y[n−2]$ Übertragungsfunktion im Z-Gebiet ist $H(z)=frac=frac<0.0976+0.1952z^<-1>+0.0976z^<-2>><1-0.9429z^<-1>+0.3334z^<-2>>=frac<0.0976(1+2z ^<-1>+1z^<-2>)><1-0.9429z^<-1>+0.3334z^<-2>>$

Das Auflösen von Zähler und Nenner für $z=0$ ergibt einige Pole, Nullen und Gewinne. Ich werde diesen Schritt nicht im Detail beschreiben, da dieses Thema weit verbreitet ist. In Ihrem Fall finden Sie: $null = <-1, -1>$ $pole = <(0,4746 + 0,3289j), (0,4746 - 0,3289j)>$ $K_=0.0976$ $K_=1$ Der analytische Ansatz

Sobald Sie die Pole und Nullstellen haben, können Sie Ihre Übertragungsfunktion in dieser anderen Form umschreiben:

Die Größenantwort Ihres Filters ist im Wesentlichen die Größe Ihrer Übertragungsfunktion, wenn $z=e^$. Wir können $|H(z)|iggr vert_ definieren.<>>$

Übersetzen Sie das in einen Code, und Sie erhalten etwas wie: (Matlab-Beispiel)

Der grafische Ansatz

Was wir hier sehen werden, ist genau das, was wir gerade im analytischen Ansatz gesehen haben, aber wir werden versuchen, es ein wenig zu visualisieren. Lassen Sie uns Ihre Pole und Nullen in die $Z$-Ebene einzeichnen:

Der Einheitskreis oder $z=e^$, enthält alle Frequenzen von $omega=0$ bis $omega=Nyquist=frac<2pi f_><2>$

Um den Frequenzgang Ihres Filters bei einem bestimmten Wert von $omega$ zu kennen. Zeichnen Sie von jedem Pol/Nullpunkt eine Linie zum entsprechenden Punkt auf dem Einheitskreis.

Man nehme die Produkte der Linienlänge ausgehend von einer Null und dividiere durch das Produkt der Linienlänge ausgehend von einem Pol. Sie erhalten die Größenantwort Ihres Filters.

Nehmen Sie sich ein paar Sekunden Zeit, um zu verstehen, was wir gerade dort gemacht haben, und Sie werden sehen, dass es genau das ist, was der analytische Ansatz vorschlägt.

Ich habe vor nicht allzu langer Zeit Matlab-Code geschrieben, um den Frequenzgang eines Filters darzustellen, und ich habe diese Frage gepostet, um Hilfe bei der Durchführung zu erhalten. Es könnte dir auch helfen.


Inhalt

Die Riemannsche Zetafunktion ζ(so) ist eine Funktion einer komplexen Variablen so = σ + es . (Die Notationen s , σ und t werden traditionell beim Studium der Zetafunktion nach Riemann verwendet.) Wenn Re(so) = σ > 1 , kann die Funktion als konvergierende Summe oder Integral geschrieben werden:

ist die Gammafunktion. Die Riemann-Zeta-Funktion wird für andere komplexe Werte durch analytische Fortsetzung der für defined definierten Funktion definiert σ >1.

Leonhard Euler betrachtete die obige Reihe 1740 für positive ganzzahlige Werte von s , und später erweiterte Tschebyschew die Definition auf Re s ( s ) > 1. (s)>1.> [3]

Die obige Reihe ist eine prototypische Dirichlet-Reihe, die absolut gegen eine analytische Funktion für s konvergiert, so dass σ > 1 und divergiert für alle anderen Werte von s . Riemann zeigte, dass die durch die Reihe auf der Halbebene der Konvergenz definierte Funktion analytisch auf alle komplexen Werte fortgeführt werden kann so 1 . Zum so = 1 , die Reihe ist die harmonische Reihe, die nach +∞ divergiert, und

Somit ist die Riemannsche Zetafunktion eine meromorphe Funktion auf der gesamten komplexen s -Ebene, die überall holomorph ist außer einem einfachen Pol bei so = 1 mit Rest 1 .

Für jede positive gerade ganze Zahl 2nein :

wo B2nein ist die 2nein -te Bernoulli-Zahl.

Für ungerade positive ganze Zahlen ist kein solcher einfacher Ausdruck bekannt, obwohl angenommen wird, dass diese Werte mit der algebraischen K-Theorie der ganzen Zahlen zusammenhängen, siehe Spezielle Werte von L-Funktionen.

Für nicht positive ganze Zahlen gilt

zum nein ≥ 0 (unter Verwendung der Konvention, dass B1 = − 1 / 2 ).

Insbesondere verschwindet ζ bei den negativen geraden ganzen Zahlen, weil Bich = 0 für alle ungeraden m außer 1. Dies sind die sogenannten "trivialen Nullstellen" der Zetafunktion.

  • ζ ( − 1 ) = − 1 12 <12>>>
  • ζ ( 0 ) = − 1 2 <2>>>
  • ζ ( 1 2 ) ≈ < frac <1><2>><igr )>approx > −1.460 354 508 809 586 812 88 . ( OEIS: A059750 )
  • ζ ( 1 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = ∞ <2>>+< frac <1><3>>+ cdots =infty >
  • ζ ( 3 2 ) ≈ < frac <3><2>><igr )>approx > 2.612 375 348 685 488 343 348 . ( OEIS: A078434 )
  • ζ ( 2 ) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 ≈ <2^<2>>>+<3^<2>>>+cdots =><6>>approx > 1,644 934 066 848 226 436 472 . ( OEIS: A013661 )
  • ζ ( 3 ) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ ≈ <2^<3>>>+< 3^<3>>>+cdots approx > 1.202 056 903 159 594 285 399 . ( OEIS: A002117 )
  • ζ ( 4 ) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + ⋯ = π 4 90 ≈ <2^<4>>>+<3^<4>>>+cdots =><90>>approx > 1.082 323 233 711 138 191 516 . ( OEIS: A013662 )

1737 wurde der Zusammenhang zwischen der Zetafunktion und den Primzahlen von Euler entdeckt, der die Identität bewies

wobei per Definition die linke Seite ist ζ(so) und das unendliche Produkt auf der rechten Seite erstreckt sich über alle Primzahlen p (solche Ausdrücke heißen Euler-Produkte):

Die Zetafunktion erfüllt die Funktionalgleichung

Ein Beweis der Funktionalgleichung verläuft wie folgt: Wir beobachten, dass wenn σ > 0 ist, dann

Mit der durch absolute Konvergenz begründeten Umkehrung der Grenzprozesse (daher die strengere Forderung an σ )

was für alle konvergent ist so, so gilt bei analytischer Fortsetzung. Außerdem ist die RHS unverändert, wenn so wird auf 1 − . geändert so. Daher

das ist die Funktionsgleichung. E.C. Titchmarsh (1986). Die Theorie der Riemannschen Zeta-Funktion (2. Aufl.). Oxford: Oxford Science Publications. S. 21–22. ISBN 0-19-853369-1 . Bernhard Riemann zugeschrieben.

Die Funktionsgleichung wurde von Riemann in seiner 1859 erschienenen Arbeit "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude" aufgestellt und verwendet, um die analytische Fortsetzung zu konstruieren. Eine äquivalente Beziehung hatte Euler über hundert Jahre zuvor, 1749, für die Dirichlet-Eta-Funktion (die alternierende Zeta-Funktion) vermutet:

Übrigens ergibt diese Beziehung eine Gleichung zur Berechnung von ζ(so) im Bereich 0 < Re(so) < 1, d.h.

bei dem die η-Reihe konvergent (wenn auch nicht absolut) in der größeren Halbebene so > 0 (für eine ausführlichere Übersicht zur Geschichte der Funktionalgleichung siehe z. B. Blagouchine [8] [9] ).

Riemann fand auch eine symmetrische Version der Funktionalgleichung für die xi-Funktion:

Die ersten paar nichttrivialen Nullstellen [10] [11]
Null
1/2 ± 14.134725 ich
1/2 ± 21.022040 ich
1/2 ± 25.010858 ich
1/2 ± 30.424876 ich
1/2 ± 32.935062 ich
1/2 ± 37.586178 ich

Die Hardy-Littlewood-Vermutungen Bearbeiten

Diese beiden Vermutungen eröffneten neue Richtungen bei der Untersuchung der Riemannschen Zetafunktion.

Nullfreie Region Bearbeiten

Die Lage der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion ist in der Zahlentheorie von großer Bedeutung. Der Primzahlensatz ist äquivalent zu der Tatsache, dass es keine Nullstellen der Zetafunktion auf der Re(so) = 1 Zeile. [13] Ein besseres Ergebnis [14], das aus einer effektiven Form des Mittelwertsatzes von Vinogradov folgt, ist, dass ζ (σ + es) ≠ 0 wann immer | t | ≥ 3 und

Das stärkste Ergebnis dieser Art, auf das man hoffen kann, ist die Wahrheit der Riemannschen Hypothese, die viele tiefgreifende Konsequenzen für die Zahlentheorie haben würde.

Andere Ergebnisse Bearbeiten

Es ist bekannt, dass es auf der kritischen Geraden unendlich viele Nullstellen gibt. Littlewood zeigte, dass, wenn die Sequenz ( γnein ) die Imaginärteile aller Nullstellen in der oberen Halbebene in aufsteigender Reihenfolge enthält, dann

Das Theorem der kritischen Linie besagt, dass ein positiver Anteil der nichttrivialen Nullstellen auf der kritischen Linie liegt. (Die Riemann-Hypothese würde implizieren, dass dieser Anteil 1 beträgt.)

Für Summen, die die Zeta-Funktion bei ganzzahligen und halbzahligen Werten beinhalten, siehe rationale Zeta-Reihen.

Gegenseitiges Bearbeiten

Der Kehrwert der Zeta-Funktion kann als Dirichlet-Reihe über der Möbius-Funktion ausgedrückt werden μ(nein) :

für jede komplexe Zahl s mit Realteil größer 1. Es gibt eine Reihe ähnlicher Beziehungen mit verschiedenen bekannten multiplikativen Funktionen, die im Artikel über die Dirichlet-Reihe angegeben sind.

Universalität Bearbeiten

Der kritische Streifen der Riemannschen Zetafunktion hat die bemerkenswerte Eigenschaft Universalität. Diese Zetafunktionsuniversalität besagt, dass es eine Stelle auf dem kritischen Streifen gibt, die jede holomorphe Funktion beliebig gut annähert. Da holomorphe Funktionen sehr allgemein sind, ist diese Eigenschaft ziemlich bemerkenswert. Der erste Beweis der Universalität wurde 1975 von Sergei Mikhailovitch Voronin erbracht. [15] Neuere Arbeiten haben effektive Versionen des Satzes von Voronin [16] und dessen Erweiterung auf Dirichlet-L-Funktionen enthalten. [17] [18]

Schätzungen des Maximums des Moduls der Zetafunktion Edit

Lassen Sie die Funktionen F(TH) und G(so0Δ) durch die Gleichungen definiert werden

Der Fall H ln ln T wurde von Kanakanahalli Ramachandra der Fall untersucht Δ > c , wo c eine hinreichend große Konstante ist, ist trivial.

Anatolii Karatsuba wies insbesondere [19] [20] nach, dass, wenn die Werte H und Δ bestimmte hinreichend kleine Konstanten überschreiten, die Abschätzungen

halten, wo c1 und c2 sind bestimmte absolute Konstanten.

Das Argument der Riemann-Zeta-Funktion Edit

Es gibt einige Sätze über Eigenschaften der Funktion S(t) . Zu diesen Ergebnissen [21] [22] gehören die Mittelwertsätze für S(t) und sein erstes Integral

über Intervalle der reellen Geraden, und auch der Satz, der behauptet, dass jedes Intervall (T, T + H] zum

Punkte, an denen die Funktion S(t) wechselt das Vorzeichen. Frühere ähnliche Ergebnisse wurden von Atle Selberg für den Fall erhalten

Dirichlet-Reihe Bearbeiten

Eine Erweiterung des Konvergenzbereichs kann durch Umordnen der ursprünglichen Reihe erhalten werden. [23] Die Serie

konvergiert für Re(so) > 0 , während

konvergiert sogar für Re(so) > –1 . Auf diese Weise kann der Konvergenzbereich auf Re(so) > −k für jede negative ganze Zahl −k .

Integrale vom Mellin-Typ Bearbeiten

Die Mellin-Transformation einer Funktion f(x) ist definiert als

in dem Bereich, in dem das Integral definiert ist. Es gibt verschiedene Ausdrücke für die Zeta-Funktion als Mellin-Transformations-ähnliche Integrale. Wenn der Realteil von s größer als eins ist, haben wir

wobei Γ die Gammafunktion bezeichnet. Durch die Modifikation der Kontur zeigte Riemann, dass

für alle s (wobei H die Hankel-Kontur bezeichnet).

Ausgehend von der Integralformel ζ ( n ) Γ ( n ) = ∫ 0 ∞ xn − 1 ex − 1 dx , =int _<0>^< infty >><>-1>>mathrm x,> kann man [24] durch Substitution und iterierte Differentiation für natürliches k ≥ 2 . zeigen

Wir können auch Ausdrücke finden, die sich auf Primzahlen und den Primzahlensatz beziehen. Wenn π(x) ist die Primzahlzählfunktion, dann

für Werte mit Re(so) >1 .

Diese Ausdrücke können verwendet werden, um den Primzahlensatz mittels der inversen Mellin-Transformation zu beweisen. Die Primzahlzählfunktion von Riemann ist einfacher zu handhaben und π(x) kann daraus durch Möbius-Inversion gewonnen werden.

Theta-Funktionen Bearbeiten

Die Riemann-Zeta-Funktion kann durch eine Mellin-Transformation [25]

Dieses Integral konvergiert jedoch nur, wenn der Realteil von s größer als 1 ist, kann aber regularisiert werden. Dies ergibt den folgenden Ausdruck für die Zeta-Funktion, die für alle s außer 0 und 1 wohldefiniert ist:

Laurent-Serie Bearbeiten

Die Riemannsche Zetafunktion ist meromorph mit einem einzigen Pol der Ordnung eins bei so = 1 . Es kann daher als Laurent-Serie über . erweitert werden so = 1 die Serienentwicklung ist dann

Die Konstanten γnein hier heißen die Stieltjes-Konstanten und können durch den Grenzwert definiert werden

Integral Bearbeiten

Für alle soC , so ≠ 1 , die Integralbeziehung (vgl. Abel-Plana-Formel)

gilt, was für eine numerische Auswertung der Zeta-Funktion verwendet werden kann.

Steigende Fakultät Bearbeiten

Eine weitere Reihenentwicklung mit der für die gesamte komplexe Ebene gültigen steigenden Fakultät ist [ Zitat benötigt ]

Dies kann rekursiv verwendet werden, um die Dirichlet-Reihendefinition auf alle komplexen Zahlen zu erweitern.

Die Riemann-Zeta-Funktion erscheint auch in einer Form ähnlich der Mellin-Transformation in einem Integral über den Gauß-Kuzmin-Wirsing-Operator, der auf wirkt x so − 1 führt dieser Kontext zu einer Reihenentwicklung bezüglich der fallenden Fakultät. [26]

Hadamard-Produkt Bearbeiten

wobei das Produkt über den nicht-trivialen Nullstellen ρ von . liegt ζ und der Buchstabe γ bezeichnet wiederum die Euler-Mascheroni-Konstante. Eine einfachere unendliche Produktentwicklung ist

Dieses Formular zeigt deutlich den einfachen Pol bei so = 1 , die trivialen Nullstellen bei −2, −4, . wegen des Gammafunktionsterms im Nenner und der nicht-trivialen Nullstellen bei so = ρ . (Um die Konvergenz in letzterer Formel zu gewährleisten, sollte das Produkt über "passende Paare" von Nullstellen, d. h. die Faktoren für ein Nullstellenpaar der Form . und 1 − ρ kombiniert werden.)

Global konvergente Reihen Bearbeiten

Die Serie erschien in einem Anhang zu Hasses Aufsatz und wurde 1994 zum zweiten Mal von Jonathan Sondow veröffentlicht. [29]

Hasse bewies auch die global konvergierende Reihe

in derselben Veröffentlichung. [28] Forschungen von Iaroslav Blagouchine [30] [27] haben ergeben, dass Joseph Ser 1926 eine ähnliche, äquivalente Reihe veröffentlichte. [31] Andere ähnliche global konvergente Reihen umfassen

Reihendarstellung bei positiven ganzen Zahlen über das ursprüngliche Edit

Reihendarstellung durch die unvollständigen Poly-Bernoulli-Zahlen Bearbeiten

Die Funktion ζ lässt sich für Re(so) > 1 , durch die unendliche Reihe

wo k ∈ <−1, 0>, Wk der k-te Zweig der Lambert W -Funktion ist, und B (μ)
nein, ≥2 ist eine unvollständige Poly-Bernoulli-Zahl. [34]

Die Mellin-Transformation der Engel-Karte Bearbeiten

Reihendarstellung als Summe geometrischer Reihen Bearbeiten

In Analogie zum Euler-Produkt, das mit geometrischen Reihen bewiesen werden kann, ist die Zeta-Funktion für Re(so)>1 kann als Summe geometrischer Reihen dargestellt werden:

Ein klassischer Algorithmus, der vor etwa 1930 verwendet wurde, geht weiter, indem er die Euler-Maclaurin-Formel anwendet, um zu erhalten, für nein und ich positive ganze Zahlen,

Ein moderner numerischer Algorithmus ist der Odlyzko-Schönhage-Algorithmus.

Die Zeta-Funktion kommt in der angewandten Statistik vor (siehe Zipf-Gesetz und Zipf-Mandelbrot-Gesetz).

Die Regularisierung von Zetafunktionen wird als ein mögliches Mittel zur Regularisierung divergenter Reihen und divergenter Integrale in der Quantenfeldtheorie verwendet. In einem bemerkenswerten Beispiel zeigt sich die Riemann-Zeta-Funktion explizit in einer Methode zur Berechnung des Casimir-Effekts. Die Zeta-Funktion ist auch für die Analyse dynamischer Systeme nützlich. [38]

Unendliche Reihe Bearbeiten

Die bei äquidistanten positiven ganzen Zahlen ausgewertete Zeta-Funktion erscheint in unendlichen Reihendarstellungen einer Reihe von Konstanten. [39]

Tatsächlich ergeben die geraden und ungeraden Terme die beiden Summen

Parametrisierte Versionen der obigen Summen sind gegeben durch

die alle bei t = 1 stetig sind. Andere Summen beinhalten

wobei Im den Imaginärteil einer komplexen Zahl bezeichnet.

Es gibt noch mehr Formeln im Artikel Harmonische Zahl.

Es gibt eine Reihe verwandter Zetafunktionen, die als Verallgemeinerungen der Riemannschen Zetafunktion angesehen werden können. Dazu gehört die Hurwitz-Zeta-Funktion

(die konvergente Reihendarstellung wurde 1930 von Helmut Hasse gegeben, [28] vgl. Hurwitz-Zeta-Funktion), die mit der Riemann-Zeta-Funktion übereinstimmt, wenn q = 1 (die untere Grenze der Summation in der Hurwitz-Zeta-Funktion ist 0, nicht 1), die Dirichlet-L-Funktionen und die Dedekind-Zeta-Funktion. Weitere verwandte Funktionen finden Sie in den Artikeln Zeta-Funktion und L-Funktion.

die mit der Riemannschen Zetafunktion übereinstimmt, wenn z = 1 .

die mit der Riemannschen Zetafunktion übereinstimmt, wenn z = 1 und q = 1 (die untere Grenze der Summation in der Lerch-Transzendenten ist 0, nicht 1).

Die Clausen-Funktion Clso(θ), der als Real- oder Imaginärteil von Li . gewählt werden kannso(e ich ) .

Man kann diese Funktionen analytisch auf den n-dimensionalen komplexen Raum fortsetzen. Die speziellen Werte, die diese Funktionen bei positiven ganzzahligen Argumenten annehmen, werden von Zahlentheoretikern als multiple Zeta-Werte bezeichnet und wurden mit vielen verschiedenen Zweigen der Mathematik und Physik verbunden.

  1. ^
  2. "Jupyter Notebook-Viewer". Nbviewer.ipython.org . Abgerufen am 4. Januar 2017.
  3. ^ Dieser Aufsatz enthielt auch die Riemannsche Hypothese, eine Vermutung über die Verteilung komplexer Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, die von vielen Mathematikern als das wichtigste ungelöste Problem der reinen Mathematik angesehen wird.
  4. Bombieri, Enrico. "Die Riemannsche Hypothese – offizielle Problembeschreibung" (PDF) . Lehm-Mathematik-Institut. Abgerufen am 8. August 2014 .
  5. ^
  6. Devlin, Keith (2002). Die Millennium-Probleme: Die sieben größten ungelösten mathematischen Rätsel unserer Zeit. New York: Barnes & Noble. S. 43–47. ISBN978-0-7607-8659-8 .
  7. ^
  8. Polchinski, Joseph (1998). Eine Einführung in die bosonische Saite. Stringtheorie. ich. Cambridge University Press. s. 22. ISBN978-0-521-63303-1 .
  9. ^
  10. Kainz, A. J. Titulaer, U. M. (1992). „Eine genaue Zweistrom-Moment-Methode für kinetische Grenzschichtprobleme linearer kinetischer Gleichungen“. J.Phys. A: Mathe. Gen. 25 (7): 1855–1874. Bibcode:1992JPhA. 25,1855K. doi: 10.1088/0305-4470/25/7/026.
  11. ^
  12. Ogilvy, C.S. Anderson, J.T. (1988). Exkursionen in Zahlentheorie. Dover-Publikationen. S. 29–35. ISBN0-486-25778-9 .
  13. ^
  14. Sandifer, Charles Edward (2007). Wie Euler es geschafft hat. Mathematische Vereinigung von Amerika. s. 193. ISBN 978-0-88385-563-8 .
  15. ^I. V. Blagouchine Die Geschichte der Funktionsgleichung der Zeta-Funktion. Seminar zur Geschichte der Mathematik, Steklov Institute of Mathematics in St. Petersburg, 1. März 2018.PDF
  16. ^I. V. Blagouchine Wiederentdeckung der Malmstenschen Integrale, deren Auswertung durch Konturintegrationsmethoden und einige damit zusammenhängende Ergebnisse. Das Ramanujan-Journal, Bd. 35, Nr. 1, S. 21-110, 2014. Nachtrag: vol. 42, S. 777–781, 2017.PDF
  17. ^
  18. Eric Weisstein. "Riemann-Zeta-Funktionsnullpunkte" . Abgerufen am 24. April 2021 .
  19. ^
  20. Die L-Funktionen und Modular Forms Database. "Nullen von ζ(so)".
  21. ^
  22. Hardy, G. H. Fekete, M. Littlewood, J. E. (1. September 1921). „Die Nullstellen von Riemanns Zeta-Funktion auf der kritischen Linie“. doi:10.1112/jlms/s1-1.1.15. Journal zitieren erfordert |journal= (Hilfe)
  23. ^
  24. Diamond, Harold G. (1982). „Elementare Methoden in der Untersuchung der Verteilung von Primzahlen“. Bulletin der American Mathematical Society. 7 (3): 553–89. doi: 10.1090/S0273-0979-1982-15057-1 . MR0670132.
  25. ^
  26. Ford, K. (2002). „Vinogradovs Integral und Schranken für die Riemann-Zeta-Funktion“. Proz. London Math. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv: 1910.08209 . doi:10.1112/S0024611502013655. S2CID121144007.
  27. ^
  28. Voronin, S.M. (1975). „Theorem über die Universalität der Riemann-Zeta-Funktion“. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. 39: 475–486. Nachgedruckt in Mathematik. UdSSR Izv. (1975) 9: 443–445.
  29. ^
  30. Ramūnas Garunkštis Antanas Laurinčikas Kohji Matsumoto Jörn Steuding Rasa Steuding (2010). „Effektive einheitliche Approximation durch die Riemann-Zeta-Funktion“. Veröffentlichungen Matemàtiques. 54 (1): 209–219. doi: 10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1 . JSTOR43736941.
  31. ^
  32. Bhaskar Bagchi (1982). „Ein gemeinsamer Universalitätssatz für Dirichlet L-Funktionen“. Mathematische Zeitschrift. 181 (3): 319–334. doi:10.1007/bf01161980. ISSN0025-5874. S2CID120930513.
  33. ^
  34. Steuding, Jörn (2007). Wertverteilung von L-Funktionen. Vorlesungsnotizen in Mathematik. 1877. Berlin: Springer. s. 19. arXiv: 1711.06671 . doi:10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN978-3-540-26526-9 .
  35. ^
  36. Karatsuba, A.A. (2001). "Untere Schranken für den maximalen Modul von ζ(so) in kleinen Bereichen des kritischen Streifens". Matte. Zametki. 70 (5): 796–798.
  37. ^
  38. Karatsuba, A.A. (2004). „Untere Schranken für den maximalen Modul der Riemann-Zeta-Funktion auf kurzen Abschnitten der kritischen Linie“. Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Matte. 68 (8): 99–104. Bibcode:2004IzMat..68.1157K. doi:10.1070/IM2004v068n06ABEH000513.
  39. ^
  40. Karatsuba, A.A. (1996). „Dichtesatz und das Verhalten des Arguments der Riemann-Zeta-Funktion“. Matte. Zametki (60): 448–449.
  41. ^
  42. Karatsuba, A.A. (1996). "Über die Funktion S(t) ". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Matte. 60 (5): 27–56.
  43. ^
  44. Knopp, Konrad (1947). Funktionstheorie, Teil 2. New York, Dover Veröffentlichungen. S. 51–55.
  45. ^
  46. "Auswerten des bestimmten Integrals."math.stackexchange.com.
  47. ^
  48. Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Springer. s. 422. ISBN3-540-65399-6 .
  49. ^
  50. "Eine vom Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator abgeleitete Reihendarstellung für die Riemann Zeta" (PDF) . Linas.org . Abgerufen am 4. Januar 2017.
  51. ^ einbc
  52. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). „Drei Anmerkungen zu Sers und Hasses Darstellungen für die Zeta-Funktionen“. INTEGERS: Das elektronische Journal der kombinatorischen Zahlentheorie. 18A: 1–45. arXiv: 1606.02044 . Bibcode:2016arXiv160602044B.
  53. ^ einbc
  54. Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe" [A summation method for the Riemann ζ series]. Mathematische Zeitschrift (in German). 32 (1): 458–464. doi:10.1007/BF01194645. S2CID120392534.
  55. ^
  56. Sondow, Jonathan (1994). "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society. 120 (2): 421–424. doi: 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
  57. ^
  58. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π −2 and into the formal enveloping series with rational coefficients only". Journal of Number Theory. 158: 365–396. arXiv: 1501.00740 . doi:10.1016/j.jnt.2015.06.012.
  59. ^
  60. Ser, Joseph (1926). "Sur une expression de la fonction ζ(s) de Riemann" [Upon an expression for Riemann's ζ function]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (in French). 182: 1075–1077.
  61. ^
  62. Borwein, Peter (2000). "An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function" (PDF) . In Théra, Michel A. (ed.). Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis. Conference Proceedings, Canadian Mathematical Society. 27. Providence, RI: American Mathematical Society, on behalf of the Canadian Mathematical Society. pp. 29–34. ISBN978-0-8218-2167-1 .
  63. ^
  64. Mező, István (2013). "The primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.
  65. ^
  66. Komatsu, Takao Mező, István (2016). "Incomplete poly-Bernoulli numbers associated with incomplete Stirling numbers". Publicationes Mathematicae Debrecen. 88 (3–4): 357–368. arXiv: 1510.05799 . doi:10.5486/pmd.2016.7361. S2CID55741906.
  67. ^
  68. "A220335 - OEIS". oeis.org . Retrieved 17 April 2019 .
  69. ^
  70. Munkhammar, Joakim (2020). "The Riemann zeta function as a sum of geometric series". The Mathematical Gazette. 104 (561): 527–530. doi:10.1017/mag.2020.110.
  71. ^
  72. Odlyzko, A. M. Schönhage, A. (1988), "Fast algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta function", Trans. Amer. Math. Soc., 309 (2): 797–809, doi: 10.2307/2000939 , JSTOR2000939, MR0961614 .
  73. ^
  74. "Work on spin-chains by A. Knauf, et. al". Empslocal.ex.ac.uk . Retrieved 4 January 2017 .
  75. ^ Most of the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)
  • Apostol, T. M. (2010), "Zeta and Related Functions", in Olver, Frank W. J. Lozier, Daniel M. Boisvert, Ronald F. Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-19225-5 , MR2723248
  • Borwein, Jonathan Bradley, David M. Crandall, Richard (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF) . J. Comp. App. Mathematik. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi: 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 .
  • Cvijović, Djurdje Klinowski, Jacek (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. App. Mathematik. 142 (2): 435–439. Bibcode:2002JCoAM.142..435C. doi: 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . MR1906742.
  • Cvijović, Djurdje Klinowski, Jacek (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". Proc. Amer. Math. Soc. 125 (9): 2543–2550. doi: 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
  • Edwards, H. M. (1974). Riemann's Zeta Function . Academic Press. ISBN0-486-41740-9 . Has an English translation of Riemann's paper.
  • Hadamard, Jacques (1896). "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques". Bulletin de la Société Mathématique de France. 14: 199–220. doi: 10.24033/bsmf.545 .
  • Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford.
  • Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe". Math. Z. 32: 458–464. doi:10.1007/BF01194645. MR1545177. S2CID120392534. (Globally convergent series expression.)
  • Ivic, A. (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN0-471-80634-X .
  • Motohashi, Y. (1997). Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge University Press. ISBN0521445205 .
  • Karatsuba, A. A. Voronin, S. M. (1992). The Riemann Zeta-Function. Berlin: W. de Gruyter.
  • Mező, István Dil, Ayhan (2010). "Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function". Journal of Number Theory. 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl: 2437/90539 . MR2564902.
  • Montgomery, Hugh L. Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge University Press. Ch. 10. ISBN978-0-521-84903-6 .
  • Newman, Donald J. (1998). Analytic number theory. Graduate Texts in Mathematics. 177. Springer-Verlag. Ch. 6. ISBN0-387-98308-2 .
  • Raoh, Guo (1996). "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function". Proceedings of the London Mathematical Society. s3–72: 1–27. arXiv: 1308.3597 . doi:10.1112/plms/s3-72.1.1.
  • Riemann, Bernhard (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse". Monatsberichte der Berliner Akademie. . Im Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
  • Sondow, Jonathan (1994). "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc. 120 (2): 421–424. doi: 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
  • Titchmarsh, E. C. (1986). Heath-Brown (ed.). The Theory of the Riemann Zeta Function (2nd rev. ed.). Oxford University Press.
  • Whittaker, E. T. Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press. Ch. 13.
  • Zhao, Jianqiang (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proc. Amer. Math. Soc. 128 (5): 1275–1283. doi: 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . MR1670846.
    Media related to Riemann zeta function at Wikimedia Commons
  • "Zeta-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] — an explanation with a more mathematical approach A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers. Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary. functions.wolfram.com , section 23.2 of Abramowitz and Stegun
  • Frenkel, Edward. "Million Dollar Math Problem" (video) . Brady Haran . Retrieved 11 March 2014 . —Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function

380 ms 13.2% Scribunto_LuaSandboxCallback::callParserFunction 280 ms 9.7% type 160 ms 5.6% (for generator) 120 ms 4.2% Scribunto_LuaSandboxCallback::find 100 ms 3.5% Scribunto_LuaSandboxCallback::gsub 80 ms 2.8% 80 ms 2.8% dataWrapper 80 ms 2.8% [others] 700 ms 24.3% Number of Wikibase entities loaded: 1/400 -->


OK, we have gathered lots of info. We know all this:

  • positive roots: 2, oder 0
  • negative roots: 1
  • total number of roots: 5

So, after a little thought, the overall result is:

  • 5 roots: 2 positive, 1 negative, 2 complex (one pair), oder
  • 5 roots: 0 positive, 1 negative, 4 complex (two pairs)

And we managed to figure all that out just based on the signs and exponents!


9.7. Annotations

Ein annotation is a modifier consisting of the name of an annotation type (§9.6) and zero or more element-value pairs, each of which associates a value with a different element of the annotation type.

The purpose of an annotation is simply to associate information with the annotated program element.

Annotations must contain an element-value pair for every element of the corresponding annotation type, except for those elements with default values, or a compile-time error occurs.

Annotations may, but are not required to, contain element-value pairs for elements with default values.

Annotations may be used as modifiers in any declaration, whether package (§7.4.1), class (§8.1.1) (including enums (§8.9)), interface (§9.1.1) (including annotation types (§9.6)), field (§8.3.1, §9.3), method (§8.4.3, §9.4), formal parameter (§8.4.1), constructor (§8.8.3), or local variable (§14.4.1).

Annotations may also be used on enum constants. Such annotations are placed immediately before the enum constant they annotate.

It is a compile-time error if a declaration is annotated with more than one annotation for a given annotation type.

Annotations are conventionally placed before all other modifiers, but this is not a requirement they may be freely intermixed with other modifiers.


Annotations:
Anmerkung
Annotations Annotation

Annotation:
NormalAnnotation
MarkerAnnotation
SingleElementAnnotation

There are three kinds of annotations. The first (normal annotation) is fully general. The others (marker annotation and single-element annotation) are merely shorthands.

9.7.1. Normal Annotations

EIN normal annotation is used to annotate a program element.


NormalAnnotation:
@ TypeName ( ElementValuePairsopt )

ElementValuePairs:
ElementValuePair
ElementValuePairs , ElementValuePair

ElementValuePair:
Identifier = ElementValue

ElementValue:
ConditionalExpression
Anmerkung
ElementValueArrayInitializer

ElementValues:
ElementValue
ElementValues , ElementValue

Das TypeName names the annotation type corresponding to the annotation.

Note that the at-sign ( @ ) is a token unto itself. Technically it is possible to put whitespace between it and the TypeName , but this is discouraged as a matter of style.

It is a compile-time error if TypeName does not name an annotation type that is accessible (§6.6) at the point where the annotation is used.

Das Kennung in an ElementValuePair must be the simple name of one of the elements (i.e. methods) of the annotation type identified by TypeName otherwise, a compile-time error occurs.

The return type of this method defines the element type of the element-value pair.

Ein ElementValueArrayInitializer is similar to a normal array initializer (§10.6), except that annotations are permitted in place of expressions.

An element type T is commensurate with an element value V if and only if one of the following conditions is true:

T is an array type E [] and either:

V is an ElementValueArrayInitializer and each ElementValue (analogous to a VariableInitializer in an array initializer) in V is commensurate with E or

V is an ElementValue that is commensurate with E .

The type of V is assignment compatible (§5.2) with T , and furthermore:

If T is a primitive type or String , and V is a constant expression (§15.28).

If T is Class , or an invocation of Class , and V is a class literal (§15.8.2).

If T is an enum type, and V is an enum constant.

Note that null is not a legal element value for any element type.

It is a compile-time error if the element type is not commensurate with the ElementValue .

If the element type is not an annotation type or an array type, ElementValue must be a ConditionalExpression (§15.25).

EIN ConditionalExpression is simply an expression without assignments, and not necessarily an expression involving the conditional operator ( ? : ). ConditionalExpression is preferred over Ausdruck im ElementValue because an element value has a simple structure (constant expression or class literal or enum constant) that may easily be represented in binary form.

If the element type is an array type and the corresponding ElementValue is not an ElementValueArrayInitializer , then an array value whose sole element is the value represented by the ElementValue is associated with the element. Otherwise, if the corresponding ElementValue ist ein ElementValueArrayInitializer , then the array value represented by the ElementValueArrayInitializer is associated with the element.

In other words, it is permissible to omit the curly braces when a single-element array is to be associated with an array-valued annotation type element.

Note that the array's element type cannot be an array type. That is, nested array types are not permitted as element types. (While the annotation syntax would permit this, the annotation type declaration syntax would not.)

Ein ElementValue is always FP-strict (§15.4).

An annotation on an annotation type declaration is known as a meta-annotation .

An annotation type may be used to annotate its own declaration. More generally, circularities in the transitive closure of the "annotates" relation are permitted.

For example, it is legal to annotate an annotation type declaration with another annotation type, and to annotate the latter type's declaration with the former type. (The pre-defined meta-annotation types contain several such circularities.)

Example 9.7.1-1. Normal Annotations

Here is an example of a normal annotation.

Here is an example of a normal annotation that takes advantage of default values.

Note that the types of the annotations in the examples in this section are the annotation types defined in the examples in §9.6. Note also that the elements are in the above annotation are in the same order as in the corresponding annotation type declaration. This is not required, but unless specific circumstances dictate otherwise, it is a reasonable convention to follow.

9.7.2. Marker Annotations

The second form of annotation, marker annotation , is a shorthand designed for use with marker annotation types.

It is shorthand for the normal annotation:

It is legal to use the marker annotation form for annotation types with elements, so long as all the elements have default values.

Example 9.7.2-1. Marker Annotations

Here is an example using the Preliminary marker annotation type from §9.6.1:

9.7.3. Single-Element Annotations

The third form of annotation, single-element annotation , is a shorthand designed for use with single-element annotation types.


SingleElementAnnotation:
@ Identifier ( ElementValue )

It is shorthand for the normal annotation:

It is legal to use single-element annotations for annotation types with multiple elements, so long as one element is named value , and all other elements have default values.

Example 9.7.3-1. Single-Element Annotations

Here is an example of a single-element annotation.

Here is an example of an array-valued single-element annotation.

Here is an example of a single-element array-valued single-element annotation. Note that the curly braces are omitted.

Here is an example with of a single-element annotation that contains a normal annotation.

Here is an example of a single-element annotation with a Class element whose value is restricted by the use of a bounded wildcard.

Here is an example of a single-element annotation using an enum type defined inside the annotation type.


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