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8.2: Wurzeln identifizieren und vereinfachen


Lernziele

  • Quadratwurzeln
    • Verwenden Sie die Quadratwurzelschreibweise, um Hauptquadratwurzeln zu schreiben
    • Vereinfachung der Hauptquadratwurzeln mit Faktorisierung
  • Würfelwurzeln
    • Verwenden Sie die Kubikwurzelnotation, um Kubikwurzeln zu schreiben
    • Vereinfachen von Kubikwurzeln mit Faktorisierung
  • Quadratwurzeln vereinfachen
    • Quadratwurzeln mit Variablen vereinfachen
    • Bestimmen Sie, wann eine vereinfachte Wurzel einen Absolutwert benötigt
  • Rationale Exponenten
    • Konvertieren zwischen Radikal- und Exponentennotation
    • Verwenden Sie die Exponentengesetze, um Ausdrücke mit rationalen Exponenten zu vereinfachen
    • Verwenden Sie rationale Exponenten, um radikale Ausdrücke zu vereinfachen

Wir wissen, wie man eine Zahl quadriert:

(links(-5 echts)^2=25)

Das Ziehen einer Quadratwurzel ist das Gegenteil des Quadrierens, sodass wir diese Aussagen treffen können:

  • 5 ist die nicht-ngeative Quadratwurzel von 25
  • -5 ist die negative Quadratwurzel von 25

Finden Sie die Quadratwurzeln der folgenden Zahlen:

  1. 36
  2. 81
  3. -49
  4. 0
  1. Wir wollen eine Zahl finden, deren Quadrat 36 ist. (6^2=36) daher ist die nichtnegative Quadratwurzel von 36 6 und die negative Quadratwurzel von 36 ist -6
  2. Wir wollen eine Zahl finden, deren Quadrat 81 ist. (9^2=81) daher ist die nichtnegative Quadratwurzel von 81 9 und die negative Quadratwurzel von 81 ist -9
  3. Wir wollen eine Zahl finden, deren Quadrat -49 ist. Wenn Sie eine reelle Zahl quadrieren, ist das Ergebnis immer positiv. Halten Sie inne und denken Sie eine Sekunde darüber nach. Eine negative Zahl mal sich selbst ist positiv und eine positive Zahl mal sich selbst ist positiv. Daher hat -49 keine Quadratwurzeln, es gibt keine reellen Zahlenlösungen für diese Frage.
  4. Wir wollen eine Zahl finden, deren Quadrat 0 ist. (0^2=0) daher ist die nichtnegative Quadratwurzel von 0 0. Wir weisen 0 kein Vorzeichen zu, also hat sie nur eine Quadratwurzel, und das ist 0.

Die Notation, die wir verwenden, um eine Quadratwurzel für jede reelle Zahl a auszudrücken, lautet wie folgt:

Eine Quadratwurzel schreiben

Das Symbol für die Quadratwurzel heißt a radikales Symbol. Für eine reelle Zahl, ein die Quadratwurzel von ein wird geschrieben als (sqrt{a})

Die Zahl, die unter dem Wurzelsymbol steht, heißt Radikand.

Per Definition bedeutet das Quadratwurzelsymbol (sqrt{hphantom{5}}) immer, die nichtnegative Wurzel zu finden, die als bezeichnet wird Hauptwurzel.

(sqrt{a}) ist definiert für (a>0)

Machen wir ein ähnliches Beispiel wie das obige Beispiel, diesmal mit Quadratwurzelnotation. Beachten Sie, dass die Verwendung der Quadratwurzelnotation bedeutet, dass Sie nur die Hauptwurzel finden – die nichtnegative Wurzel.

Beispiel

Vereinfachen Sie die folgenden Quadratwurzeln:

  1. (sqrt{16})
  2. (sqrt{9})
  3. (sqrt{-9})
  4. (sqrt{5^2})

[reveal-answer q=”614386″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[versteckte Antwort a="614386″]

  1. (sqrt{16}=4). Wir schreiben nur die nichtnegative Wurzel, weil das Wurzelsymbol so definiert ist.
  2. (sqrt{9}=3). Wir schreiben nur die nichtnegative Wurzel, weil das Wurzelsymbol so definiert ist.
  3. (sqrt{-9}). Wir suchen eine Zahl, deren Quadrat -9 ist. Es gibt keine reellen Zahlen, deren Quadrat -9 ist, also ist dieses Radikal keine reelle Zahl.
  4. (5^2). Wir haben bereits die Zahl, deren Quadrat (5^2) ist, es ist 5!

[/versteckte-Antwort]

Das letzte Problem im vorherigen Beispiel zeigt uns eine wichtige Beziehung zwischen Quadraten und Quadratwurzeln, und wir können sie wie folgt zusammenfassen:

Die Quadratwurzel eines Quadrats

Für eine nichtnegative reelle Zahl gilt a, (sqrt{a^2}=a)

Im folgenden Video vereinfachen wir weitere Quadratwurzeln mit der Tatsache, dass (sqrt{a^2}=a) bedeutet, die Hauptquadratwurzel zu finden.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Was ist, wenn Sie mit einer Zahl arbeiten, deren Quadrat Sie nicht sofort kennen? Wir können Faktorisieren und die Produktregel für Quadratwurzeln verwenden, um Quadratwurzeln wie (sqrt{225}) zu finden.

Die Produktregel für Quadratwurzeln

Da a und b nichtnegative reelle Zahlen sind, gilt (sqrt{acdot{b}}=sqrt{a}cdotsqrt{b})

In den folgenden Beispielen werden wir diese Ideen zusammenfassen, um Quadratwurzeln von Zahlen zu vereinfachen, die auf den ersten Blick nicht offensichtlich sind:

  • Quadratwurzel eines Quadrats,
  • die Produktregel für Quadratwurzeln
  • Factoring

Beispiel

Vereinfachen (sqrt{144})

[reveal-answer q=”620082″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”620082″]

Bestimmen Sie die Primfaktoren von 144.

(egin{array}{c}sqrt{144}\sqrt{2cdot 72}\sqrt{2cdot 2cdot 36}\sqrt{2 cdot 2cdot 2cdot 18}\sqrt{2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 9}\sqrt{2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3cdot 3}end{array})

Da wir eine Quadratwurzel finden, gruppieren wir diese Faktoren in Quadrate um.

(sqrt{2^2cdot 2^2cdot3^2})

Jetzt können wir die Produktregel für Quadratwurzeln und die Quadratwurzel einer Quadratidee verwenden, um die Berechnung der Quadratwurzel abzuschließen.

(egin{array}{c}sqrt{2^2cdot 2^2cdot3^2}=sqrt{2^2}cdotsqrt{2^2}cdot sqrt{3^2}=2cdot3cdot2=12end{array})

Antworten

(sqrt{144}=12)

[/versteckte-Antwort]

Beispiel

Vereinfachen (sqrt{225})
[reveal-answer q=”686109″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[versteckte Antwort a=”686109″]

Zuerst Faktor 225:

(egin{array}{c}sqrt{225}=sqrt{5cdot45}=sqrt{5cdot5cdot9}=sqrt{5 cdot5cdot3cdot3}end{array})

Da wir eine Quadratwurzel finden, gruppieren wir diese Faktoren in Quadrate um. Beende die Vereinfachung mit der Produktregel für Wurzeln und dem Quadrat einer Quadratidee.

(egin{array}{c}sqrt{5^2cdot3^2}=sqrt{5^2}cdotsqrt{3^2}=5cdot3 =15end{array})

Antworten

(sqrt{225}=15)

[/versteckte-Antwort]

Vorsicht! Die Quadratwurzel einer Produktregel gilt, wenn Sie NUR unter der Quadratwurzel multiplizieren. Sie können die Regel nicht auf Summen anwenden:

(sqrt{a+b} esqrt{a}+sqrt{b})

Beweisen Sie sich dies mit einigen reellen Zahlen: Lassen Sie a = 64 und b = 36, dann verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um jeden Ausdruck zu vereinfachen.

(egin{array}{c}sqrt{64+36}=sqrt{100}=10\sqrt{64}+sqrt{36}=8+6=14 10 e14end{array})

Bisher haben Sie Beispiele gesehen, die perfekte Quadrate sind. Das heißt, jeder ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist. Aber viele radikale Ausdrücke sind keine perfekten Quadrate. Einige dieser Radikale können noch vereinfacht werden, indem man perfekte Quadratfaktoren findet. Das folgende Beispiel veranschaulicht, wie der Radikand faktorisiert wird, indem nach Faktorenpaaren gesucht wird, die als Quadrat ausgedrückt werden können.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt{63})

[reveal-answer q=”908978″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”908978″]Faktor 63

(sqrt{7cdot 3cdot3})

Faktoren in Quadrate umgruppieren

(sqrt{7cdot3^2})

Beenden Sie die Vereinfachung mit der Produktregel für Wurzeln und dem Quadrat einer Quadratidee.

(sqrt{7cdot3^2}=sqrt{7}cdotsqrt{3^2}=sqrt{7}cdot3)

Da 7 eine Primzahl ist und wir sie nicht als Quadrat schreiben können, muss sie unter dem Radikalzeichen bleiben. Aus Konvention schreiben wir die Konstante 3 vor das Radikal. Dies hilft dem Leser zu wissen, dass die 3 nicht mehr unter dem Radikal ist.

(3cdot sqrt{7})

Antworten

(sqrt{63}=3sqrt{7})

[/versteckte-Antwort]

Die endgültige Antwort (3sqrt{7}) sieht vielleicht etwas seltsam aus, ist aber in vereinfachter Form. Sie können dies als „drei radikale sieben“ oder „dreimal die Quadratwurzel von sieben“ lesen.

Abkürzung auf diese Weise

Im nächsten Beispiel nehmen wir eine Abkürzung, indem wir die uns bekannten gemeinsamen Quadrate verwenden, anstatt Primfaktoren zu verwenden. Es hilft, die Quadrate der Zahlen zwischen 0 und 10 frisch im Kopf zu haben, um das Vereinfachen von Radikalen schneller zu machen.

  • (0^2=0)
  • (2^2=4)
  • (3^2=9)
  • (4^2=16)
  • (5^2=25)
  • (6^2=36)
  • (7^2=49)
  • (8^2=64)
  • (9^2=81)
  • (10^2=100)

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt{2.000})

[reveal-answer q=”932245″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”932245″]Faktor 2.000, um perfekte Quadrate zu finden.

(egin{array}{r}sqrt{100cdot 20}=sqrt{100cdot 4cdot 5}end{array})

(100=10^2,4=2^2)

(egin{array}sqrt{100cdot 4cdot 5}= sqrt{10^2cdot 4^2cdot 5}=sqrt{10^2} cdotsqrt{4^2}cdotsqrt{5}=10cdot4cdotsqrt{5})

Multiplizieren.

(20cdot sqrt{5})

Antworten

(sqrt{2.000}=20sqrt{5})

[/versteckte-Antwort]

In diesem letzten Video zeigen wir Beispiele für die Vereinfachung von Radikalen, die keine perfekten Quadrate sind.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Würfelwurzeln

Rubiks Cune

Während Quadratwurzeln wahrscheinlich das häufigste Radikal sind, können Sie auch die dritte Wurzel, die fünfte Wurzel, die 10. Wurzel oder wirklich jede andere finden neinte Wurzel einer Zahl. So wie die Quadratwurzel eine Zahl ist, die bei der Quadratur den Radikand ergibt, ist der Kubikwurzel ist eine Zahl, die, wenn sie gewürfelt wird, den Radicand ergibt.

Finden Sie die Kubikwurzeln der folgenden Zahlen:

  1. 27
  2. 8
  3. -8
  4. 0
  1. Wir wollen eine Zahl finden, deren Würfel 27 ist. (9=3^2), also (3/cdot3/cdot3=3^3=27)
  2. Wir wollen eine Zahl finden, deren Kubus 8 ist. (2cdot2cdot2=8) die Kubikwurzel von 8 ist 2.
  3. Wir wollen eine Zahl finden, deren Würfel -8 ist. Wir wissen, dass 2 die Kubikwurzel von 8 ist, also können wir vielleicht -2 versuchen. (-2cdot{-2}cdot{-2}=-8), also ist die Kubikwurzel von -8 -2. Dies unterscheidet sich von Quadratwurzeln, da die Multiplikation von drei negativen Zahlen eine negative Zahl ergibt.
  4. Wir wollen eine Zahl finden, deren Würfel 0 ist. (0) allein erhalten Sie immer (0).

Die Kubikwurzel einer Zahl wird mit einer kleinen Zahl 3 geschrieben, die als bezeichnet wird Index, direkt außerhalb und über dem Radikalsymbol. Es sieht aus wie (sqrt[3]). Diese kleine 3 unterscheidet Kubikwurzeln von Quadratwurzeln, die ohne kleine Zahl außerhalb und über dem Wurzelsymbol geschrieben werden.

(3sqrt{x}), drei mal das Quadrat Wurzel von x. Sie mögen auf den ersten Blick ähnlich aussehen, führen aber zu ganz anderen Ausdrücken!

Wir können auch die Faktorisierung verwenden, um Kubikwurzeln wie (sqrt[3]{125}) zu vereinfachen. Sie können dies als „die dritte Wurzel von 125“ oder „die Kubikwurzel von 125“ lesen. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, suchen Sie nach einer Zahl, die bei zweifacher Multiplikation mit sich selbst (für insgesamt drei identische Faktoren) 125 ergibt. Lassen Sie uns 125 faktorisieren und diese Zahl finden.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt[3]{125})

[reveal-answer q="517592″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”517592″]125 endet auf 5, also wissen Sie, dass 5 ein Faktor ist. Erweitern Sie 125 in (5cdot25).

(sqrt[3]{5cdot 25})

Faktor 25 in 5 und 5.

(sqrt[3]{5cdot 5cdot 5})

Die Faktoren sind (5^{3}).

(sqrt[3]

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)

Antworten

(sqrt[3]{125}=5)

[/versteckte-Antwort]

Die Primfaktoren von 125 sind (5^{3}). Die Kubikwurzel einer Würfelzahl ist die Zahl selbst, also (sqrt[3]

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=5). Sie haben die Kubikwurzel gefunden, die drei identischen Faktoren, die zusammen multipliziert 125 ergeben. 125 ist als a . bekannt perfekter Würfel weil seine Kubikwurzel eine ganze Zahl ist.

Hier ist ein Beispiel für die Vereinfachung eines Radikals, das kein perfekter Würfel ist.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt[3]{32

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})

[reveal-answer q=”617053″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”617053″]Faktor 32 in Primfaktoren.

(sqrt[3]{2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot

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})

Da Sie nach der Kubikwurzel suchen, müssen Sie Faktoren finden, die dreimal unter dem Radikal erscheinen. Umschreiben (

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).

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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)

Umschreiben (

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

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cdot

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).

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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)

Schreiben Sie den Ausdruck als Produkt mehrerer Radikale um.

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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cdot sqrt[3]{2cdot 2}cdot sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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cdot sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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)

Vereinfachen und multiplizieren.

(2cdot sqrt[3]{4}cdot mcdot sqrt[3]

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)

Antworten

(sqrt[3]{32

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}=2msqrt[3]{4

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})

[/versteckte-Antwort]

Im folgenden Beispiel verwenden wir die folgende Idee:

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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=-1)

um das Radikale zu vereinfachen. Sie müssen dies nicht tun, aber es kann Ihnen helfen, Würfel leichter zu erkennen, wenn sie nicht negativ sind.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt[3]{-27

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})

[reveal-answer q=”670300″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”670300″]Zerteilen Sie den Ausdruck in Würfel.

Trennen Sie die Würfelfaktoren in einzelne Radikale.

(egin{array}{r}sqrt[3]{-1cdot 27cdot

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cdot

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}Quadrat[3]

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Quadrat[3]

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cdot sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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cdot sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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cdot sqrt[3]{x}cdot sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

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end{array})

Vereinfachen Sie die Kubikwurzeln.

(-1cdot 3cdot xcdot ycdot sqrt[3]{x})

Antworten

(sqrt[3]{-27

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}=-3xysqrt[3]{x})

[/versteckte-Antwort]

Im folgenden Video zeigen wir weitere Beispiele für die Vereinfachung von Kubikwurzeln.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Sie können Ihre Antwort überprüfen, indem Sie die umgekehrte Operation ausführen. Wenn Sie Recht haben, wenn Sie (-27

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ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[5]/div/p[4]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

).

(egin{array}{l}left( -3xysqrt[3]{x} ight)left( -3xysqrt[3]{x} ight)left( -3xysqrt[ 3]{x} ight)-3cdot -3cdot -3cdot xcdot xcdot xcdot ycdot ycdot ycdot sqrt[3]{x}cdot sqrt[3]{x}cdot sqrt[3]{x}-27cdot

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cdot

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cdot sqrt[3]

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\-27

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cdot x-27

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end{array})

Sie können die ungerade Wurzel einer negativen Zahl finden, aber nicht die gerade Wurzel einer negativen Zahl. Das heißt, Sie können die Radikale (sqrt[7]{-2187}) vereinfachen, aber Sie können die Radikale (sqrt[6]{-2.500}) nicht vereinfachen.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt[3]{-24

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})

[reveal-answer q=”473861″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”473861″]Faktor (−1) und 8 sind die perfekten Würfel.

(sqrt[3]{-1cdot 8cdot 3cdot

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Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[3]/span, Zeile 1, Spalte 2

})

Faktorvariablen. Sie suchen nach Würfelexponenten, also faktorisieren Sie (a^{3}) und (a^{2}).

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[5]/span, Zeile 1, Spalte 6

)

Trennen Sie die Faktoren in einzelne Radikale.

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[7]/span[1], line 1, Spalte 6

cdot sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[7]/span[2], line 1, Spalte 3

cdot sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[7]/span[3], line 1, Spalte 3

cdot sqrt[3]{3cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[7]/span[4], line 1, Spalte 2

})

Vereinfachen Sie mit der Eigenschaft (sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[8]/span, Zeile 1, Spalte 3

=x).

(-1cdot 2cdot acdot sqrt[3]{3cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[9]/span, Zeile 1, Spalte 2

})

Dies ist die einfachste Form dieses Ausdrucks; alle Würfel sind aus dem radikalen Ausdruck herausgezogen.

(-2asqrt[3]{3

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/p[11]/span, Zeile 1, Spalte 2

})

Antworten

(sqrt[3]{-24

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[1]/p[1]/span [1], Zeile 1, Spalte 2

}=-2asqrt[3]{3

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[1]/p[1]/span [2], Zeile 1, Spalte 2

})

[/versteckte-Antwort]

Die Schritte, die beim Vereinfachen eines Radikals zu berücksichtigen sind, werden im Folgenden beschrieben.

Ein Radikal vereinfachen

Bei der Arbeit mit Exponenten und Radikalen:

  • Wenn nein ist ungerade, (sqrt[n]

    ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

    Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[1]/div/div/ul/ li[1]/span, Zeile 1, Spalte 3
    =x).
  • Wenn nein ist gerade, (sqrt[n]

    ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

    Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[1]/div/div/ul/ li[2]/span, Zeile 1, Spalte 3
    =links| x echts|). (Der Absolutwert trägt der Tatsache Rechnung, dass wenn x negativ und gerade potenziert ist, wird diese Zahl positiv sein, ebenso wie die neinHauptwurzel dieser Zahl.)

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt{100

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[1]/span [1], Zeile 1, Spalte 2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[1]/span [2], Zeile 1, Spalte 2

})

[reveal-answer q=”982628″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”982628″]Getrennte Faktoren; Suchen Sie nach quadrierten Zahlen und Variablen. Faktor 100 in (10cdot10).

(sqrt{10cdot 10cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[3]/span [1], Zeile 1, Spalte 2

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[3]/span [2], Zeile 1, Spalte 2

})

Faktor (left(y^{2} ight)^{2}).

(sqrt{10cdot 10cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[5]/span [1], Zeile 1, Spalte 2

cdot

ParseError: "}" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[5]/span [2], Zeile 1, Spalte 3

})

Trennen Sie die quadrierten Faktoren in einzelne Radikale.

(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[7]/span [1], Zeile 1, Spalte 4

cdot sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[7]/span [2], Zeile 1, Spalte 3

cdot sqrt

ParseError: "}" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/p[7]/span [3], Zeile 1, Spalte 4

)

Ziehe die Quadratwurzel jedes Radikals. Da Sie nicht wissen, ob x positiv oder negativ ist, verwenden Sie (left|x ight|), um beide Möglichkeiten zu berücksichtigen, um sicherzustellen, dass Ihre Antwort positiv ist.

(10cdotleft|x ight|cdot{y}^{2})

Vereinfachen und multiplizieren.

(10links|x echts|y^{2})

Antworten

(sqrt{100

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/div/p[1] /span[1], Zeile 1, Spalte 2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/div/p[1] /span[2], Zeile 1, Spalte 2

}=10links| x echts|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/div/p[1] /span[3], Zeile 1, Spalte 2

)

[/versteckte-Antwort]

Sie können Ihre Antwort überprüfen, indem Sie sie quadrieren, um sicherzustellen, dass sie (100

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/div/p[3] /span[1], Zeile 1, Spalte 2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[10]/div[6]/div[2]/div/p[3] /span[2], Zeile 1, Spalte 2

).

Im letzten Video zeigen wir Beispiele für das Finden von Kubikwurzeln mit negativen Radikanden.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Quadratwurzeln mit Variablen vereinfachen

Radikale Ausdrücke sind Ausdrücke, die Radikale enthalten. Radikale Ausdrücke gibt es in vielen Formen, von einfachen und vertrauten, wie (sqrt[3]{250

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[11]/p/span, Zeile 1, Spalte 2

j}). Mit der Faktorisierung können Sie auch diese radikalen Ausdrücke vereinfachen.

Radikale

Vereinfachen von Quadratwurzeln

Radikale Ausdrücke enthalten manchmal sowohl Variablen als auch Zahlen. Betrachten Sie den Ausdruck (sqrt{9

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 2

}). Einen radikalen Ausdruck mit Variablen zu vereinfachen ist nicht so einfach wie die Beispiele, die wir bereits mit ganzen Zahlen gezeigt haben.

Betrachten Sie den Ausdruck (sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/p[2]/span, Zeile 1, Spalte 3

). Das sieht so aus, als ob es gleich sein sollte x, Recht? Testen wir einige Werte für x und schau was passiert.

Sehen Sie sich in der folgenden Tabelle jede Zeile an und bestimmen Sie, ob der Wert von x ist gleich dem Wert von (sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Courses/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/p[3]/span, Zeile 1, Spalte 3

). Wo sind sie gleich? Wo sind sie nicht gleich?

Nachdem Sie dies für jede Zeile getan haben, schauen Sie noch einmal und bestimmen Sie, ob der Wert von (left|x ight|).

(x^{2})(links|x echts|)
(−2)422
0000
63666
101001010

Hinweis – in Fällen, in denen x ist eine negative Zahl, (sqrt{x^{2}}=left|x ight|). Diese Tatsache müssen Sie bei der Vereinfachung von Radikalen berücksichtigen, die Variablen enthalten, da (sqrt{x^{2}}) definitionsgemäß immer nichtnegativ ist.

Die Quadratwurzel eines radikalen Ausdrucks ziehen

Wenn Sie die Quadratwurzel eines Ausdrucks finden, der hochgestellte Variablen enthält, bedenken Sie, dass (sqrt{x^{2}}=left|x ight|).

Beispiele: (sqrt{16

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[1]/div/p[2]/span[1] , Zeile 1, Spalte 2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[1]/div/p[2]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

}=4links|xy echts|)

Lass es uns versuchen.
Das Ziel ist es, Faktoren unter dem Radikal zu finden, die perfekte Quadrate sind, damit Sie ihre Quadratwurzel ziehen können.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt{9

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 2

})

[reveal-answer q=”41297″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”41297″]Faktor, um identische Paare zu finden.

(sqrt{3cdot 3cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/p[3]/span[1], line 1, Spalte 2

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/p[3]/span[2], line 1, Spalte 2

})

Schreiben Sie die Paare in perfekte Quadrate um, beachten Sie, wie wir die Potenzregel für Exponenten verwenden, um ({x^3}^2) zu vereinfachen.

(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/p[5]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

In einzelne Radikale trennen.

(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/p[7]/span[1], line 1, Spalte 3

cdot sqrt

ParseError: "}" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/p[7]/span[2], line 1, Spalte 2

)

Vereinfachen Sie mit der Regel, dass (sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/p[8]/span, Zeile 1, Spalte 3

=links|x echts|).

(3links|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/p[9]/span, Zeile 1, Spalte 2

echts|)

Antworten

(sqrt{9

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/div/p[1]/span[1] , Zeile 1, Spalte 2

}=3links|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/div/p[1]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

echts|)

[/versteckte-Antwort]

Variable Faktoren mit geraden Exponenten können als Quadrate geschrieben werden. Im obigen Beispiel ist (

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/div/p[3]/span[1] , Zeile 1, Spalte 2

=

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/div/p[3]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/div/p[3]/span[3] , Zeile 1, Spalte 2

={left|x^3 ight|}^{2}) und

(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/div/p[4]/span[1] , Zeile 1, Spalte 2

=

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/div/p[4]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[2]/div/p[4]/span[3] , Zeile 1, Spalte 2

={left(|y^2 ight|)}^{2}).

Versuchen wir, einen anderen radikalen Ausdruck zu vereinfachen.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt{49

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[1]/span[1], line 1, Spalte 2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[1]/span[2], line 1, Spalte 2

})

[reveal-answer q=”283065″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”283065″]Suchen Sie nach quadrierten Zahlen und Variablen. Faktor 49 in (x^{10}) in (y^{8}) in (y^{4}cdot{y}^{4}).

(sqrt{7cdot 7cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[3]/span[1], line 1, Spalte 2

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[3]/span[2], line 1, Spalte 2

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[3]/span[3], line 1, Spalte 2

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[3]/span[4], line 1, Spalte 2

})

Schreibe die Paare in Quadrate um.

(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[5]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

Trennen Sie die quadrierten Faktoren in einzelne Radikale.

(sqrt{7^2}cdotsqrt{({x^5})^2}cdotsqrt{({y^4})^2})

Ziehen Sie die Quadratwurzel jedes Radikals mit der Regel (sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[8]/span, Zeile 1, Spalte 3

=links|x echts|).

(7cdotleft|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[9]/span[1], line 1, Spalte 2

echts|cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[9]/span[2], line 1, Spalte 2

)

Multiplizieren.

(7links|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[11]/span[1], line 1, Spalte 2

echts|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/p[11]/span[2], line 1, Spalte 2

)

Antworten

(sqrt{49

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[1]/span[1] , Zeile 1, Spalte 2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[1]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

}=7links|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[1]/span[3] , Zeile 1, Spalte 2

echts|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[1]/span[4] , Zeile 1, Spalte 2

)

[/versteckte-Antwort]

Sie finden, dass die Quadratwurzel von (7left|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[3]/span[1] , Zeile 1, Spalte 2

echts|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[3]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

). Um diese Berechnung zu überprüfen, könntest du (49

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[3]/span[3] , Zeile 1, Spalte 2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[3]/span[4] , Zeile 1, Spalte 2

). Und tatsächlich erhalten Sie diesen Ausdruck, wenn Sie ({left({7left|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[3]/span[5] , Zeile 1, Spalte 2

echts|

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[3]/div/p[3]/span[6] , Zeile 1, Spalte 2

} echts)^{2}}).

Im folgenden Video zeigen wir einige Beispiele für die Vereinfachung von Radikalen mit Variablen.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

[reveal-answer q="141094″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”141094″]Faktor, um Variablen mit geraden Exponenten zu finden.

(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[3]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

Schreiben Sie (left(b^{2} ight)^{2}) um.

(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[5]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

Trennen Sie die quadrierten Faktoren in einzelne Radikale.

(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[7]/span[1], line 1, Spalte 3

cdotsqrt

ParseError: "}" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[7]/span[2], line 1, Spalte 4

cdotsqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[7]/span[3], line 1, Spalte 3

cdot sqrt{acdot b})

Ziehe die Quadratwurzel jedes Radikals. Denken Sie daran, dass (sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[8]/span, Zeile 1, Spalte 3

=links| ein echts|).

(left| a ight|cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[9]/span, Zeile 1, Spalte 2

cdotleft|{c} ight|cdotsqrt{acdot b})

Vereinfachen und multiplizieren. Die gesamte Menge (b^2) wird sowieso positiv sein.

(links| a

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/p[11]/span, Zeile 1, Spalte 2

c echts|sqrt{ab})

Antworten

(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/div/p[1]/span[1] , Zeile 1, Spalte 3

=links| ein

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[12]/div[4]/div/p[1]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

c echts|sqrt{ab})

[/versteckte-Antwort]

Im nächsten Abschnitt werden wir Kubikwurzeln untersuchen und die hier gezeigten Methoden verwenden, um sie zu vereinfachen. Würfelwurzeln unterscheiden sich von Quadratwurzeln dadurch, dass es möglich ist, eine negative Zahl unter der Wurzel zu haben, wie z. B. (sqrt[3]{-125}).

Rationale Exponenten

Wurzeln können auch als gebrochene Exponenten ausgedrückt werden. Die Quadratwurzel einer Zahl kann mit einem Wurzelsymbol geschrieben werden oder indem die Zahl mit (frac{1}{2}) potenziert wird. Dies ist in der folgenden Tabelle dargestellt.

ExponentenformWurzelformWurzel eines QuadratsVereinfacht
(sqrt{25})(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[1]/tbody/tr[1]/td[2] /span, Zeile 1, Spalte 3
)
(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[1]/tbody/tr[1]/td[3] /span, Zeile 1, Spalte 3
)
4
(sqrt{100})(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[1]/tbody/tr[2]/td[2] /span, Zeile 1, Spalte 4
)
10

Verwenden Sie das folgende Beispiel, um sich mit den verschiedenen Methoden zum Schreiben von Quadratwurzeln vertraut zu machen.

Beispiel

Füllen Sie die fehlenden Zellen in der Tabelle aus.

ExponentenformWurzelformWurzel eines QuadratsVereinfacht
(sqrt{81})
(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/div[1]/table[1]/tbody/tr[2] /td[3]/span, Zeile 1, Spalte 4
)

[reveal-answer q=”990781″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[versteckte Antwort a=”990781″]

ExponentenformWurzelformWurzel eines QuadratsVereinfacht
(sqrt{36})(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/div[1]/table[2]/tbody/tr[1] /td[2]/span, Zeile 1, Spalte 3
)
(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/div[1]/table[2]/tbody/tr[1] /td[3]/span, Zeile 1, Spalte 3
)
9
(sqrt{144})(sqrt

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/div[1]/table[2]/tbody/tr[2] /td[2]/span, Zeile 1, Spalte 4
)
12

[/versteckte-Antwort]

Im folgenden Video zeigen wir ein weiteres Beispiel für das Ausfüllen einer Tabelle, um die verschiedenen Notationen für Wurzeln zu verbinden.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Wir können das Konzept des Schreibens von (sqrt{x}=x^{frac{1}{2}}) auf Kubikwurzeln erweitern. Denken Sie daran, dass das Würfeln einer Zahl sie mit drei potenziert. Beachten Sie, dass in diesen Beispielen der Nenner des rationalen Exponenten die Zahl 3 ist.

Radikale Form

Exponentenform

Ganze Zahl

(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[2]/tbody/tr[1]/td[1] /span, Zeile 1, Spalte 2
)
2
(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[2]/tbody/tr[2]/td[1] /span, Zeile 1, Spalte 4
)
5
(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[2]/tbody/tr[3]/td[1] /span, Zeile 1, Spalte 5
)
10

Diese Beispiele helfen uns, eine Beziehung zwischen Radikalen und rationalen Exponenten zu modellieren: nämlich dass die neinDie Wurzel einer Zahl kann entweder als (

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/p[5]/span, Zeile 1, Spalte 2

).

Radikale Form

Exponentenform

(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[3]/tbody/tr[1]/td/span, Zeile 1, Spalte 2
)
(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[3]/tbody/tr[2]/td/span, Zeile 1, Spalte 2
)
(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[3]/tbody/tr[3]/td/span, Zeile 1, Spalte 2
)
(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[13]/table[3]/tbody/tr[5]/td/span, Zeile 1, Spalte 2
)

Konvertieren zwischen Radikal- und Exponentennotation

Wenn Sie mit einem Ausdruck konfrontiert werden, der einen rationalen Exponenten enthält, können Sie ihn mit einem Radikal umschreiben. Beachten Sie in der obigen Tabelle, wie der Nenner des rationalen Exponenten den Index der Wurzel bestimmt. Ein Exponent von (frac{1}{5}) übersetzt also in die fünfte Wurzel oder (frac{1}{8}) übersetzt in die achte Wurzel oder (sqrt[8]

ParseError: ungültiges DekiScript (klicken Sie für Details)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/p/span, Zeile 1, Spalte 1

) .

Beispiel

Write (sqrt[4]) kann als Exponent (frac{1}{4}) umgeschrieben werden. Entfernen Sie das Radikal und platzieren Sie den Exponenten neben der Basis.

(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[1]/p[2]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

Antworten

(sqrt[3]{81}=

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[1]/div/p[1]/span, line 1 line , Spalte 3

)

[/versteckte-Antwort]

Beispiel

Ausdrücken (

ParseError: ")" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[2]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 3

) in Radikalform.

[reveal-answer q=”581351″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”581351″]Schreibe den Ausdruck mit dem gebrochenen Exponenten als Radikal um. Der Nenner des Bruches bestimmt die Wurzel, in diesem Fall die Kubikwurzel.

(sqrt[3]{2x})

Die Klammern in (

ParseError: ungültiges DekiScript (klicken Sie für Details)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[2]/p[4]/span, Zeile 1, Spalte 1

) geben an, dass sich der Exponent auf alles innerhalb der Klammern bezieht.

Antworten

(

ParseError: ")" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[2]/div/p[1]/span, line 1 line , Spalte 3

=sqrt[3]{2x})

[/versteckte-Antwort]

Denken Sie daran, dass sich Exponenten nur auf die Größe unmittelbar links davon beziehen, es sei denn, es wird ein Gruppierungssymbol verwendet. Das folgende Beispiel sieht dem vorherigen Beispiel sehr ähnlich, mit einem wichtigen Unterschied – es gibt keine Klammern! Schau was passiert.

Beispiel

Express (2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[3]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 2

) in Radikalform.

[reveal-answer q=”236347″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”236347″]Schreibe den Ausdruck mit dem gebrochenen Exponenten als Radikal um. Der Nenner des Bruches bestimmt die Wurzel, in diesem Fall die Kubikwurzel.

(2sqrt{x})

Der Exponent bezieht sich nur auf den Teil des Ausdrucks direkt links vom Exponenten, in diesem Fall x, aber nicht die 2.

Antworten

(2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[3]/div/p[1]/span, line 1 line , Spalte 2

=2sqrt{x})

[/versteckte-Antwort]

Das nächste Beispiel soll Ihnen dabei helfen zu üben, einen rationalen Exponenten auf die entsprechenden Terme in einem radikalisch geschriebenen Ausdruck zu setzen

Beispiel

Drücken Sie (4sqrt[3]{xy}) mit rationalen Exponenten aus.

[reveal-answer q=”527560″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”527560″]Schreibe das Radikal mit einem rationalen Exponenten um. Die Wurzel bestimmt den Bruch. In diesem Fall ist der Index des Radikals 3, der rationale Exponent ist also (frac{1}{3}).

(4

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[4]/p[3]/span, Zeile 1, Spalte 5

)

Da 4 außerhalb des Radikals liegt, ist es nicht im Gruppierungssymbol enthalten und der Exponent bezieht sich nicht darauf.

Antworten

(4sqrt[3]{xy}=4

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[14]/div[4]/div/p[1]/span, line 1 , Spalte 5

)

[/versteckte-Antwort]

Im nächsten Video zeigen wir Beispiele für die Umwandlung zwischen Radikal- und Exponentenform.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Bei der Umwandlung von radikaler in rationale Exponentennotation wird der Grad der Wurzel zum Nenner des Exponenten. Wenn Sie mit einer Quadratwurzel beginnen, erhalten Sie einen Exponenten von (frac{1}{3}) Sie verwenden eine Kubikwurzel. Die folgende Aussage fasst diese Idee zusammen.

Schreiben von Bruchexponenten

Beliebiger Rest in der Form (a^{frac{1}{n}}).

Vereinfachen radikaler Ausdrücke mit rationalen Exponenten und Exponentengesetzen

Lassen Sie uns nun einige radikale Ausdrücke untersuchen und sehen, wie wir sie vereinfachen. Beginnen wir mit der Vereinfachung dieses Ausdrucks, (sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 3 column

).

Eine Methode zur Vereinfachung dieses Ausdrucks besteht darin, Gruppen von (a^{3}) zu faktorisieren und herauszuziehen, wie unten in diesem Beispiel gezeigt.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[1]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

[reveal-answer q=”235013″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”235013″]Umschreiben durch Herausrechnen von Würfeln.

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[1]/p[3]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

Schreiben Sie jeden Faktor unter ein eigenes Radikal und vereinfachen Sie.

(egin{array}{r}sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[1]/p[5]/span[1], line 1, Spalte 3

cdot sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[1]/p[5]/span[2], line 1, Spalte 3

acdot{a}end{array})

Antworten

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[1]/div/p[1]/span[1] , Zeile 1, Spalte 3

=

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[1]/div/p[1]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

)

[/versteckte-Antwort]

Sie können diesen Ausdruck auch vereinfachen, indem Sie sich das Radikal als einen Ausdruck mit einem rationalen Exponenten vorstellen und das Prinzip verwenden, dass jedes Radikal in der Form (

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[1]/div/p[3]/span, line 1 line , Spalte 2

).

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[2]/p[1]/span, Zeile 1, Spalte 3

)

[reveal-answer q=”898415″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”898415″]Schreibe das Radikal mit einem rationalen Exponenten um.

(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[2]/p[3]/span, Zeile 1, Spalte 2

)

Vereinfachen Sie den Exponenten.

(

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[2]/p[5]/span, Zeile 1, Spalte 2

)

Antworten

(sqrt[3]

ParseError: Doppelpunkt erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[2]/div/p[1]/span[1] , Zeile 1, Spalte 3

=

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[2]/div/p[1]/span[2] , Zeile 1, Spalte 2

)

[/versteckte-Antwort]

Beachten Sie, dass rationale Exponenten denselben Regeln unterliegen wie andere Exponenten, wenn sie in algebraischen Ausdrücken vorkommen.

Beide Vereinfachungsmethoden lieferten das gleiche Ergebnis, (a^{2}). Je nach Kontext des Problems kann es einfacher sein, die eine oder andere Methode zu verwenden, aber im Moment werden Sie feststellen, dass Sie diesen Ausdruck mit rationalen Exponenten schneller vereinfachen konnten als mit dem "Pull-Out". Methode.

Versuchen wir es mit einem anderen Beispiel.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt[4]{81

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[3]/p[1]/span[1], line 1, Spalte 2

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[3]/p[1]/span[2], line 1, Spalte 2

})

[reveal-answer q=”324337″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”324337″]Schreibe das Radikal mit rationalen Exponenten um.

(

ParseError: "}" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[3]/p[3]/span, Zeile 1, Spalte 5

)

Verwenden Sie die Exponentenregeln, um den Ausdruck zu vereinfachen.

(egin{array}{r}

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[3]/p[5]/span[1], line 1, Spalte 3

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[3]/p[5]/span[2], line 1, Spalte 2

cdot

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[3]/p[5]/span[3], line 1, Spalte 2

\

ParseError: ")" erwartet (für Details klicken)

Callstack:at (Kurse/Lumen_Learning/Book:_Beginning_Algebra_(Lumen)/08:_Roots_and_Rational_Exponents/8.02:_Identify_and_Simplify_Roots), /content/body/div[15]/div[3]/p[5]/span[4], line 1, Spalte 3

ParseError: EOF erwartet (für Details klicken)

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\3

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end{array})

Ändere den Ausdruck mit dem rationalen Exponenten zurück in die radikale Form.

(3

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sqrt[4]

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)

Antworten

(sqrt[4]{81

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}=3

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sqrt[4]

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)

[/versteckte-Antwort]

Auch hier besteht die alternative Methode darin, an der Vereinfachung unter dem Radikal durch Factoring zu arbeiten. Für das gerade gelöste Beispiel sieht es so aus.

Beispiel

Vereinfachen. (sqrt[4]{81

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})

[reveal-answer q=”295348″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”295348″]Schreiben Sie den Ausdruck um.

(sqrt[4]{81}cdot sqrt[4]

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cdot sqrt[4]

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)

Faktorisieren Sie jedes Radicand.

(sqrt[4]{3cdot 3cdot 3cdot 3}cdot sqrt[4]

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cdot sqrt[4]

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)

Vereinfachen.

(egin{array}{r}sqrt[4]

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cdot sqrt[4]

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cdot sqrt[4]

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3cdot

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cdot sqrt[4]

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end{array})

Antworten

(sqrt[4]{81x^{8}y^{3}}=3x^{2}sqrt[4]{y^{3}})

[/versteckte-Antwort]

Das folgende Video zeigt weitere Beispiele, wie man einen radikalen Ausdruck mit rationalen Exponenten vereinfacht.

Ein YouTube-Element wurde aus dieser Textversion ausgeschlossen. Sie können es hier online einsehen: pb.libretexts.org/ba/?p=140

Zusammenfassung

Die Quadratwurzel einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt. Hauptquadratwurzeln sind immer positiv und die Quadratwurzel von 0 ist 0. Sie können nur die Quadratwurzel von nicht negativen Werten ziehen. Die Quadratwurzel eines perfekten Quadrats ist eine ganze Zahl. Andere Quadratwurzeln können vereinfacht werden, indem Faktoren identifiziert werden, die perfekte Quadrate sind, und ihre Quadratwurzel ziehen.

Ein radikaler Ausdruck ist eine mathematische Art, die neinte Wurzel einer Zahl. Quadratwurzeln und Kubikwurzeln sind die häufigsten Radikale, aber eine Wurzel kann eine beliebige Zahl sein. Um Radikalausdrücke zu vereinfachen, suchen Sie nach Exponentialfaktoren innerhalb des Radikals und verwenden Sie dann die Eigenschaft (sqrt[n]

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=links| x echts|) wenn nein ist es sogar, Mengen herauszuziehen. Bei der Vereinfachung von radikalen Ausdrücken gelten alle Regeln von Ganzzahloperationen und Exponenten.

Ein Radikal kann als Ausdruck mit einem gebrochenen Exponenten ausgedrückt werden, indem die Konvention (sqrt[n]

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=

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). Das Umschreiben von Radikalen mit gebrochenen Exponenten kann bei der Vereinfachung einiger Radikalausdrücke nützlich sein. Denken Sie beim Arbeiten mit gebrochenen Exponenten daran, dass gebrochene Exponenten denselben Regeln unterliegen wie andere Exponenten, wenn sie in algebraischen Ausdrücken vorkommen.


Vereinfachen von Quadratwurzeln

Um eine Quadratwurzel zu vereinfachen: Machen Sie die Zahl innerhalb der Quadratwurzel so klein wie möglich (aber immer noch eine ganze Zahl):

Beispiel: &radic12 ist einfacher als 2&radic3

Holen Sie sich Ihren Taschenrechner und prüfen Sie, ob Sie möchten: Beide haben den gleichen Wert!

Hier ist die Regel: wenn a und b nicht negativ sind

Und so verwenden Sie es:

Beispiel: &radic12 . vereinfachen

Und die Quadratwurzel von 4 ist 2:

Beispiel: &radic8 . vereinfachen

(Weil die Quadratwurzel von 4 gleich 2 ist)

Beispiel: &radic18 . vereinfachen

Oft hilft es, die Zahlen zu faktorisieren (am besten in Primzahlen):

Beispiel: &radic6 &mal &radic15 . vereinfachen

Zuerst können wir die beiden Zahlen kombinieren:

Dann sehen wir zwei 3er und beschließen, sie " herauszuziehen":


Quadratwurzel von 8

Die Quadratwurzel von 8 ist 2[sqrt<2>]. Das Quadrat einer Zahl x erhält man, wenn man es mit sich selbst multipliziert. Die Quadratwurzel der resultierenden Zahl, x[^<2>], wird als [sqrt>], also x. Obwohl 8 keine Primzahl ist, erhalten wir beim Ziehen der Quadratwurzel 2 als einzigen Primfaktor. Wenn wir nun eine irrationale Zahl [sqrt<2>] mit einer rationalen Zahl 2 multiplizieren, ist das so erhaltene Ergebnis 2[sqrt<2>] eine irrationale Zahl. Daher ist die Quadratwurzel von 8, d. h. [sqrt<8>], eine irrationale Zahl 2[sqrt<2>].

Die Quadratwurzel von 8, bezeichnet mit [sqrt<8>], ist die Zahl, deren Quadrat die Zahl 8 ergibt. In einem einfacheren for wird [sqrt<8>] geschrieben als [2 sqrt<2>]. Dieser Wert wird als surd bezeichnet, da dies nicht weiter vereinfacht werden kann. 8 ist jedoch ein perfekter Würfel der Zahl 2, da 2 x 2 x 2 = 8. Sie können also leicht die Kubikwurzel von 8 finden, die als [sqrt[3]<8>]= 2 bezeichnet wird. Es gibt jedoch einige Zahlen wie 4, 9, 16 usw., die perfekte Quadrate sind und deren Quadrate leicht zu finden sind. In diesem Artikel erfahren Sie mehr über die Quadratwurzel von 8 und wie Sie den Wert der Wurzel 8 finden.

[sqrt<4>] = 2, wie Sie wissen 2 x 2 = 4

[sqrt<9>] = 3, wie Sie wissen 3 x 3 = 9

[sqrt<16>] = 4, wie Sie wissen 4 x 4 = 16

Jede Quadratwurzel wird durch das Quadratwurzelsymbol √ dargestellt. Dieses Symbol ist als Radikalsymbol oder einfach als Radix bekannt. Die Zahl unter diesem Radikalsymbol wird als Radicand bezeichnet. Daher wird die Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll, Radikand genannt.


8.2: Wurzeln identifizieren und vereinfachen

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Google-Nutzer sind heute auf diese Seite gekommen, indem sie diese Algebra-Begriffe eingegeben haben:


4Quadratansichten

Es gibt viele Werkzeuge und Techniken für diesen Prozess. Hier sind die Qualitätsziele im Zusammenhang mit diesem Prozess

  • Implementieren Sie spezifische Designrichtlinien (siehe Abschnitt 8.2.2.6 zu “Design for X”)
  • Implementieren Sie Qualitätssicherungsinstrumente und -techniken (siehe Absatz 8.2.2.5 zu Qualitätsaudits, Absatz 8.2.2.2 zu Datenanalysetechniken wie z. B. Fehleranalyse)
  • Verbesserung der Effizienz und Effektivität von Prozessen und Aktivitäten, um bessere Ergebnisse zu erzielen (siehe Abschnitt 8.2.2.8 über Methoden zur Qualitätsverbesserung)
  • Bestätigen, dass die Qualitätsprozesse implementiert werden und dass ihre Verwendung die Qualitätsziele erreicht (siehe Abschnitte 8.2.2.1, 8.2.2.2 und 8.2.2.4 zu Datenerfassungs-, Analyse- und Darstellungstechniken)

Es gibt auch einige “generische” Werkzeuge und Techniken wie Entscheidungsfindung (Absatz 8.2.2.3) und Problemlösung (Absatz 8.2.2.7), die allgemeiner sind und mit anderen Prozessen in anderen Wissensbereichen verwendet werden.

8.2.2 Qualität managen: Werkzeuge und Techniken

  • Qualitätschecklisten–überprüfen, ob eine Reihe von erforderlichen Schritten durchgeführt wurden oder ob eine Liste von Anforderungen erfüllt wurde. Diese Checklisten basieren normalerweise auf den Akzeptanzkriterien, die in der Scope-Baseline enthalten sind.
  • Alternativenanalyse–verwendet, um verschiedene Optionen oder Ansätze in Bezug auf die Qualität zu identifizieren und dann auszuwählen, welche für die Verwendung in diesem Projekt am besten geeignet sind
  • Dokumentenanalyse–diese analysiert die folgenden Dokumente, um auf Prozesse hinzuweisen, die möglicherweise außer Kontrolle geraten
    • Qualitätsberichte
    • Testberichte
    • Leistungsberichte
    • Varianzanalyse
    • die Eingaben für einen Prozess, um zu sehen, ob es Einschränkungen gibt, die sie dem Prozess auferlegen
    • nicht wertschöpfende Aktivitäten, die während dieses Prozesses auftreten
    • die Ausgaben für einen Prozess, um zu sehen, ob sie zur Identifizierung von Problemen verwendet werden können

    Wenn Alternativen diskutiert werden (siehe “Alternativenanalyse” in Abschnitt 8.2.2.2 über Datenanalysetechniken), dann muss ein Entscheidungsprozess eingeführt werden, um zwischen diesen Alternativen zu entscheiden. Die Festlegung von Kriterien ist wichtig, damit die verschiedenen Alternativen bewertet werden können, um die Alternativen einzugrenzen, die für das Projekt am praktikabelsten sind. gegebenenfalls kann die endgültige Entscheidung durch Abstimmungen in einer Sitzung von Projektteammitgliedern und Experten getroffen werden.

    Hier sind einige Techniken zur Darstellung von Daten, die in Verbindung mit den in Abschnitt 8.2.2.2 aufgeführten Datenanalysetechniken verwendet werden.

    • Affinitätsdiagramme ordnen potenzielle Fehlerursachen in Gruppen ein, die Bereiche zeigen, auf die sich am meisten konzentrieren sollte. Weitere Informationen zu dieser Technik finden Sie in dem Beitrag, den ich für die 5. Ausgabe des PMBOK nur zu dieser Technik erstellt habe.
    • Ursache-Wirkungs-Diagramme werden manchmal als Fischgräten-Diagramme, Warum-Warum-Diagramme oder Ishikawa-Diagramme bezeichnet und werden verwendet, um die Grundursache des genannten Problems zu identifizieren. Diese Art von Diagramm zerlegt die möglichen Ursachen der Problemstellung in diskrete Verzweigungen. Siehe Abbildung 8-9 auf S. 1. 294 des PMBOK-Leitfadens für ein Beispiel.
    • Flussdiagramme werden verwendet, um eine Reihe von Schritten zu zeigen, die zu einem Fehler führen, und werden in Verbindung mit der Prozessanalyse (siehe Abschnitt 8.2.2.2 zu Datenanalysetechniken) verwendet, um die Prozesse zu identifizieren, die den Fehler verursachen, damit diese Prozesse mithilfe von . verbessert werden können Methoden zur Qualitätsverbesserung (siehe Abschnitt 8.2.2.8).
    • Histogramme–dies sind grafische Darstellungen von historischen Daten. Im Qualitätsmanagement können sie beispielsweise die Anzahl der Fehler pro Liefergegenstand anzeigen. Dann können die Leistungen mit den meisten Mängeln identifiziert und vorrangig bearbeitet werden.
    • Matrixdiagramme–diese zeigen die Stärke der Beziehungen zwischen Faktoren, Ursachen und Zielen, die zwischen den Zeilen und Spalten bestehen, die die Matrix bilden. Ein Beispiel für ein Qualitätstool namens House of Quality, das Matrixdiagramme verwendet, finden Sie in meinem folgenden Beitrag:
    • Streudiagramme–dies zeigt die Beziehung zwischen zwei Variablen. Wenn keine Beziehung zwischen den beiden Variablen besteht, gibt es kein erkennbares Muster zwischen den Datenpunkten im Diagramm. Bei positiver Korrelation ergibt sich ein ansteigendes Muster zu den Datenpunkten, bei negativer Korrelation ergibt sich ein nach unten geneigtes Muster. Verwechseln Sie eine negative Korrelation nicht mit gar keiner Korrelation! Wenn X zunimmt, während Y zunimmt, ist dies eine positive Korrelation, da die Tendenz bei beiden Variablen gleich ist. Wenn X jedoch abnimmt, während Y zunimmt, ist dies eine negative Korrelation, da die Tendenz zwischen den beiden Variablen entgegengesetzt ist. Wenn es KEINE Korrelation gibt, kann Y mit zunehmendem X überall sein, anstatt ein bestimmtes Muster zu haben.

    Ein Audit ist ein strukturierter, unabhängiger Prozess, mit dem festgestellt wird, ob die Projektaktivitäten den Unternehmens- und Projektrichtlinien, -prozessen und -verfahren entsprechen. Sie ist strukturiert, weil sie auf einem organisierten Format wie einer Checkliste basiert (siehe Abschnitt 8.2.2.1 Checklisten). Es ist unabhängig, da es nicht von denselben Personen durchgeführt wird, die für die Projektaktivitäten verantwortlich sind. Aus diesem Grund wird ein Qualitätsaudit in der Regel von einem projektexternen Team durchgeführt. Hier sind die Arten von Dingen, nach denen ein Qualitätsaudit sucht:

    • Identifizierung bewährter und bewährter Verfahren, die implementiert werden, und Austausch bewährter Verfahren, die in ähnlichen Projekten in der Organisation durchgeführt werden
    • Identifizierung von Nichtkonformitäten, Lücken und Mängeln zwischen Aktivitäten, die im Rahmen des Projekts durchgeführt werden, und wie sie basierend auf den im Projektmanagementplan festgelegten Projektverfahren durchgeführt werden sollen.
    • Unterstützung bei der Verbesserung der Implementierung von Prozessen anbieten (siehe Abschnitt 8.2.2.8 Methoden zur Qualitätsverbesserung)

    Neben der Betrachtung von Projektaktivitäten können Qualitätsaudits auch bestätigen, dass genehmigte Änderungsanträge korrekt umgesetzt wurden.

    8.2.2.6 Design für X (manchmal abgekürzt als DfX)

    Hierbei handelt es sich um eine Reihe von technischen Richtlinien, die während des Entwurfs eines Produkts zur Optimierung eines bestimmten Aspekts des Entwurfs angewendet werden können. hat ist das “X” in DfX und kann sich auf Zuverlässigkeit, Sicherheit, Benutzerfreundlichkeit oder jedes andere Merkmal des Designs beziehen, auf das Sie sich konzentrieren möchten. Dies ist ein Trendthema in der Qualität in PMI, das Qualitätsentwicklung so vorsieht, dass Fehler gar nicht erst produziert werden, anstatt zu versuchen, Fehler später durch Inspektion zu reduzieren.

    Qualitätssicherung und Qualitätsverbesserung erfordert eine Problemlösung, bei der Sie die Ursache des Fehlers (das Problem) finden, mögliche Lösungen generieren, eine dieser Lösungen auswählen und dann implementieren müssen. Schließlich müssen Sie überprüfen, ob die Lösung wirksam ist.


    2.2. Formale Kriterien zur Identifizierung von Wortarten

    Um eine Einteilung von Wörtern in just zu rechtfertigen grammatikalisch Wir müssen also grammatikalische Kriterien entwickeln, im Sinne von Klassifikationskriterien, die nicht an vage, anekdotische oder begrenzte semantische Begriffe gebunden sind.

    Ein gut etablierter Test für die Kategorie eines Wortes stammt von seiner Verteilung, d. h. der Kontext oder die Menge von Kontexten, in denen ein Wort vorkommen kann (oder nicht). Diese Technik war für die von amerikanischen Linguisten in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts entwickelten Methoden so grundlegend, dass sie ihrer ganzen Sprachschule ihren Namen gab: Distributionalismus. Verteilungskriterien werden nicht allein, sondern in Verbindung mit morphologischen Kriterien verwendet, um beispielsweise die Existenz einer Wortkategorie oder einer Wortart in einer Sprache zu rechtfertigen.

    Nehmen wir zum Beispiel den Satz in (1a). Wenn wir das fett gedruckte Wort daraus entfernen, erhalten wir einen Rahmen (1b) oder einen Kontext, in den wir alle Wörter einfügen können, die uns einfallen. Die Wörter in (2a) können dort beispielsweise eingefügt werden, die in (2b) jedoch nicht.

    (1) ein. ich verbeugte sich mein Kopf
    b. Ich ______ meinen Kopf
    (2) ein. gewaschen, zugedeckt, rasiert, aufgezogen, verletzt
    b. jetzt, dunkel, könig, stadt

    Die Wörter in (2a) bilden dann eine Verteilungsäquivalenzklasse, die auch verbeugte sich. Die Wörter in (2b) sind nicht in dieser Klasse. Beachten Sie auch, dass die Wörter in (2a) komplex sind und mit einer Wurzel und dem Affix gebildet werden -ed (Sie können die Kriterien anwenden, die wir im vorherigen Kapitel entwickelt haben, um dies zu begründen). Auch die Wurzeln dieser Wörter können in (1b) im selben Slot vorkommen. Aber was passiert, wenn wir versuchen, eine hinzuzufügen? -ed an die Wörter in (2b) anhängen? Überzeugen Sie sich selbst!

    (3) *bekannt, *verdunkelt, *königlich, *bürgerlich

    Somit beobachten wir eine formale Korrelation zwischen zwei scheinbar unabhängigen Faktoren: a) der Fähigkeit, in der Umgebung aufzutreten (1b) und b) der Fähigkeit, eine -ed Affix. Um diesen Zusammenhang zu verstehen, müssen wir postulieren, dass alle Wörter, die diese Eigenschaftskonstellation haben, eine natürliche Klasse bilden, also eine Kategorie oder Wortart. Wir nennen diese Kategorie ‘Verb’. Wir können dann einfach sagen, dass ein Verb ein Wort ist, das in der Umgebung (1b) vorkommen kann und dass es ein bestimmtes Affix haben kann (-ed), ohne uns für jedes einzelne Wort immer wieder wiederholen zu müssen. Das heißt, die Klassifizierung von Wörtern in Wortarten hilft uns, Regelmäßigkeiten in Bezug auf die Grammatik festzustellen, und darin liegt die Nützlichkeit (und Rechtfertigung) für die Verwendung von Wortarten in unserer Grammatik. Ihre Bedeutung oder begriffliche Charakterisierung ist sekundär.

    Aber wie wir bereits gelernt haben, reicht es nicht aus, zu zeigen, was eine sprachliche Einheit oder ein Satz von Einheiten leisten kann, wir müssen unsere Analyse auch dadurch begründen, dass wir zeigen, was sie können kann nicht tun. Suchen wir also nach einem Kontext oder einer Umgebung, in der die Wörter in (2a) nicht vorkommen können. Betrachten Sie den Rahmen in (4):

    Keines der Wörter in (2a) darf im leeren Slot in (4) vorkommen. Diese Tatsache können wir nun als Regelmäßigkeit der Grammatik ausdrücken: nein Verben kann in den leeren Slots in (4) auftreten. Aber was ist mit den Wörtern in (2b)? Manche können es, manche nicht. (5) enthält die Wörter, die in (4) eingefügt werden können, mit einigen weiteren hinzugefügt.

    (5) König, Stadt, Handgelenk, Schuh, Spielzeug

    Diese Wörter bilden dann eine separate Verteilungsklasse oder einen Wortteil. Diese sind Substantive. Substantive haben auch ihr morphologisches Korrelat: wir können an -(e)s befestige diese Worte, um uns zu bekommen Könige, Schuhe, usw. Und wieder können diese Wörter im leeren Feld in (4) vorkommen. Wie unsere Definition von ‘Verb’ basiert unsere Definition von ‘Nomen’ nur auf formalen (d. h. Verteilungs-, morphologischen) Kriterien. wir können ‘noun’ als eine Wortart definieren, die auf einer Konstellation von Verteilungs- und morphologischen Eigenschaften einer Menge von Wörtern basiert. All diese grammatikalischen Tatsachen wären ohne Rückgriff auf Wortartenklassifikationen sehr schwer zu erklären.

    Neben Nomen und Verben, andere, grössere Kategorien Adjektive und Adverbien enthalten. Wir können die Verteilungsklasse von Adjektiven mit dem Rahmen in (6) identifizieren. Die Wörter in (7a) passen alle in diesen Rahmen und können auch mit dem Suffix kombiniert werden combine -ähm, wie in (7b):

    (6) meine schuhe sind sehr ______.
    (7) ein. dunkel, schwer, groß
    b. dunkler, schwerer, größer

    Nimm schließlich ein Adverb wie jetzt. Wir können es fast negativ einordnen. Jetzt kann in keiner der drei Umgebungen vorkommen, die sich als selektiv für Verben, Nomen bzw. Adjektive erwiesen haben. Außerdem, jetzt darf keines der Suffixe haben, die die anderen Wortkategorien haben können. Wir können nicht sagen *gewusst, *jetzt, oder *jetzt!

    Die innere Struktur eines Wortes kann auch ein zuverlässiger Hinweis auf die Wortart des Wortes sein. Betrachten Sie die folgende Wortliste:

    Schriftsteller stark Gefangenschaft vereinfachen
    klären Mixer furchtlos Finale
    besiedeln zweifelhaft Aussage ängstlich
    einfach schmerzlos marginal verdampfen

    Wörter die auf enden -ähm, und -ment haben die gleiche Verteilung wie Substantive, daher sind sie Substantive. Die mit der Endung -ize und -ify sind Verben, die auf enden -voll, -Weniger, oder -al sind Adjektive und die auf enden -ly sind Adverbien.


    8.2: Wurzeln identifizieren und vereinfachen

    Home > CCA2 > Kapitel 8 > Lektion 8.2.3 > Aufgabe 8-104

    In den Teilen (a) bis (d) unten wird für jede Polynomfunktion der Graph von gezeigt. Geben Sie basierend auf diesen Informationen an, wie viele lineare und quadratische Faktoren die faktorisierte Form ihrer Gleichung haben sollte und wie viele reelle und komplexe (nicht-reelle) Lösungen haben könnten. (Nehmen Sie für jede eine Polynomfunktion des niedrigsten möglichen Grades an.)

    Beispiel: rechts hat drei lineare Faktoren, also drei reelle Nullstellen und keine komplexen Nullstellen. 

    Es gibt drei lineare Faktoren (einer wiederholt), also zwei reelle (eine einfache, eine doppelte) und null komplexe (nicht-reelle) Wurzeln.

    Es gibt einen linearen Faktor und einen quadratischen Faktor, also eine reelle und zwei komplexe (nicht-reelle) Wurzeln.

    Es gibt vier lineare Faktoren, also vier reelle und null komplexe (nicht-reelle) Wurzeln.

    Es gibt zwei lineare und einen quadratischen Faktor, also zwei reelle und zwei komplexe (nicht-reelle) Wurzeln.


    Brüche vereinfachen

    Verwenden Sie diese Seite, um einen Bruch auf seine niedrigsten Terme zu reduzieren. Geben Sie Zähler und Nenner als . ein ganze Zahlen. Drücken Sie dann die "Vereinfachen des Bruchs" Schaltfläche, um den vereinfachten Bruch zu berechnen und anzuzeigen. Sie können sowohl für Zähler als auch für Nenner positive oder negative Zahlen eingeben, solange ihr Wert zwischen -2147483648 und 2147483647 liegt unechte Brüche, also Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist.

    Wie werden Brüche auf ihre niedrigsten Terme reduziert

    Brüche können vereinfacht werden, indem Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Faktor dividiert werden. So macht es dieser Rechner.

    Wenn Brüche von Hand reduziert werden, kann es einfacher sein, Zähler und Nenner wiederholt durch Faktoren zu dividieren, die beiden gemeinsam sind. Der Vorgang ist abgeschlossen, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren mehr aufweisen.

    Reduzierte Brüche sind Brüche, die auf ihre einfachste Form reduziert wurden. Wenn der GCF von Zähler und Nenner gleich 1 ist, kann der Bruch nicht weiter gekürzt werden.


    Was ist Faserwurzel?

    Eine faserige Wurzel ist eine Wurzel, die aus Gruppen von Wurzeln ähnlicher Größe und Länge besteht. Sie dringen nicht so tief in den Boden ein wie eine Pfahlwurzel.

    Die faserige Wurzel ist ein Merkmal von Pflanzen, die einkeimblättrig sind. Im Gegensatz zur Pfahlwurzel bleibt die während der Entwicklung entstandene Primärwurzel nicht erhalten, sondern Wurzeln, sogenannte Adventivwurzeln, werden aus dem Stamm der Pflanze gebildet.

    Alle diese Wurzeln, die zusammen die Faserwurzel bilden, sind von gleicher Größe und Länge.

    Ein faseriges Wurzelsystem dringt nicht tief in den Boden ein, sondern bildet ein dichtes Wurzelgeflecht, das den Boden gut zusammenhält.

    Viele Arten von Gräsern haben faserige Wurzeln, einschließlich Pflanzen, die mit Gras wie Mais verwandt sind.

    Zu den Vorteilen von faserigen Wurzelsystemen gehört, dass sie es der Pflanze ermöglichen, Wasser und Mineralien über eine große Oberfläche näher an der Bodenoberfläche aufzunehmen.

    Sie sind auch nützlich, um Bodenerosion zu verhindern oder zu reduzieren, da diese Wurzelsysteme helfen, die Bodenpartikel zusammenzuhalten.


    Verwenden von Control System Designer für Root Locus Design

    Eine andere Möglichkeit, das oben Gesagte zu vervollständigen, ist die Verwendung des interaktiven Steuerungssystem-Designer Werkzeug innerhalb von MATLAB. Mit dem gleichen Modell wie oben definieren wir zunächst die Anlage, .

    Das controlSystemDesigner Funktion kann für Analyse und Design verwendet werden. In diesem Fall konzentrieren wir uns auf die Verwendung des Wurzelorts als Entwurfsmethode, um die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises zu verbessern. Geben Sie zunächst Folgendes in das MATLAB-Befehlsfenster ein:

    Das folgende Fenster sollte erscheinen. Sie können die GUI auch starten, indem Sie zu APPS Tab und klicken Sie auf das App-Symbol unter Design und Analyse von Steuerungen. Hier sehen Sie das Wurzelkurvendiagramm zusammen mit dem Bode-Diagramm mit offenem Regelkreis und dem Sprungantwortdiagramm mit geschlossenem Regelkreis für die gegebene Anlage in Einheitsrückführung mit einem Standardregler von .

    Der nächste Schritt besteht darin, die Entwurfsanforderungen zum Root-Locus-Diagramm hinzuzufügen. Dies erfolgt direkt auf dem Plot durch Rechtsklick und Auswahl Designanforderungen, Neu. Designanforderungen können für die Einschwingzeit, das prozentuale Überschwingen, das Dämpfungsverhältnis, die Eigenfrequenz oder eine Regionsbeschränkung festgelegt werden.

    Hier stellen wir die konstruktiven Anforderungen an das Dämpfungsverhältnis und die Eigenfrequenz wie zuvor mit dem sgrid Befehl. Denken Sie daran, dass die Grenze unserer Anforderungen erfordert = 0,7 und = 1,8. Legen Sie diese innerhalb der Designanforderungen fest. Auf dem Plot ist jeder noch weiße Bereich ein akzeptabler Bereich für die Pole der geschlossenen Schleife.

    Vergrößern Sie den Wurzelort, indem Sie mit der rechten Maustaste auf eine Achse klicken und . auswählen Eigenschaften gefolgt vom Etikett Grenzen. Ändern Sie die Grenzen der realen Achse auf -25 bis 5 und die imaginäre Achse begrenzt auf -2,5 bis 2,5.

    Außerdem können wir die aktuellen Werte einiger wichtiger Parameter in der Antwort sehen. Klicken Sie im Schrittantwortdiagramm mit der rechten Maustaste auf das Diagramm und gehen Sie zu Eigenschaften und wählen Sie Spitzenreaktion. Wiederholen Sie für das Merkmal Anstiegszeit. Es sollten nun zwei große Punkte auf dem Bildschirm erscheinen, die die Werte dieser Parameter anzeigen. Klicken Sie auf jeden dieser Punkte, um ein Feld mit Informationen anzuzeigen.

    Beide Plots sollten wie hier gezeigt aussehen, sobald der Bode-Plot geschlossen ist:

    Wie die Kennlinie an der Sprungantwort zeigt, ist das Überschwingen akzeptabel, die Anstiegszeit jedoch viel zu groß. Die rosa Kästchen auf dem Wurzelort zeigen die entsprechenden Polpositionen im geschlossenen Regelkreis für die aktuell gewählte Regelverstärkung .

    Um dies zu beheben, müssen wir einen neuen Wert für die Verstärkung wählen . Ähnlich wie wir die rlocfind Befehl kann die Verstärkung des Reglers direkt auf dem Wurzel-Locus-Plot geändert werden. Klicken und ziehen Sie das rosa Kästchen, das der imaginären Achse (am Ursprung) am nächsten liegt, in den akzeptablen Bereich unseres Root-Locus-Diagramms, wie unten gezeigt.

    In dem Vorschau Im Kasten des Fensters ist zu sehen, dass die Schleifenverstärkung auf 360 geändert wurde. Bei der Überprüfung des Diagramms der Sprungantwort im geschlossenen Regelkreis werden nun unsere beiden Anforderungen erfüllt.


    Schau das Video: faktorisering og forenkling av brøkuttrykk (Oktober 2021).