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6.3: Fläche, Oberfläche und Volumen - Mathematik


Definition: Bereich

Die Ausdehnung oder Messung einer Oberfläche oder eines Grundstücks. (Zweidimensional)

Definition: Fläche

Der Bereich eines solchen äußeren Teils oder der obersten Schicht. (3-dimensional)

Definition: Volumen

Der Raum, den eine Substanz oder ein Objekt einnimmt oder in einem Behälter eingeschlossen ist, insbesondere wenn er groß ist. (3-dimensional)

Partneraktivität 1

  1. Warum ist die Fläche „quadratisch“? d.h. (15 ext{cm}^{2})
  2. Warum wird Volumen „gewürfelt“? d.h. (40 ext { Liter}^{3})

Partneraktivität 2

Überlegen Innerhalb die Box und ungefähre die schattierte Fläche: (Fläche eines Quadrats ist Basis mal Höhe)

Partneraktivität 3

Überlegen um die Box (Fläche) und ungefähre die schattierte Fläche: (Wie viele Seiten sind auf dem Bild nicht zu sehen, die in der endgültigen Antwort enthalten sein müssen?)

Partneraktivität 4

Überlegen Innerhalb das Kästchen (Volumen) und ungefähre den schattierten Bereich: Das Volumen ist die Höhe mal Breite der Basiszeit.


Die Fläche des Ganzen von allem, sei es ein Objekt oder eine Fläche, ist die Summe der Flächen seiner Bestandteile. Wir wissen jetzt, dass die Oberfläche eines dreidimensionalen Objekts die Gesamtfläche aller seiner Oberflächen ist. In diesem Abschnitt lernen wir die verschiedenen Formeln kennen, mit denen die Oberfläche verschiedener Objekte berechnet wird.

Oberfläche des Würfels

Die Oberfläche des Würfels ist die Gesamtfläche, die von allen sechs Seiten des Würfels bedeckt ist. Die allgemeine Formel für die Oberfläche eines Würfels lautet:

Das Gesamtfläche des Würfels ist die Summe der Fläche der Grundfläche und der Fläche der vertikalen Flächen des Würfels. Es gibt insgesamt 6 Flächen, also die Gesamtfläche = 6s 2
Das Mantelfläche eines Würfels ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen des Würfels. Es gibt 4 Seitenflächen, also ist die Summe der Flächen aller 4 Seitenflächen eines Würfels seine Seitenfläche. LSA = 4a 2 wobei "a" die Seitenlänge ist.

Oberfläche des Quaders

Die Oberfläche eines Quaders lässt sich durch zwei verschiedene Flächenkategorien erklären, nämlich die Seitenfläche und die Gesamtfläche. Das Gesamtfläche des Quaders erhält man, indem man die Fläche aller 6 Flächen addiert, während die Mantelfläche des Quaders wird gefunden, indem die Fläche jeder Fläche ohne die Basis und die Oberseite ermittelt wird. Die Gesamtfläche und die Mantelfläche können in Länge (l), Breite (b) und Höhe des Quaders (h) ausgedrückt werden als:

  • Gesamtoberfläche des Quaders, S = 2 (lb + bh + lh) Einheiten 2
  • Seitenfläche des Quaders, L = 2h (l + b) Einheiten 2

Oberfläche des Kegels

Die Oberfläche eines Kegels ist die Fläche, die von der Oberfläche eines Kegels eingenommen wird. Ein Kegel ist eine 3D-Form mit einer kreisförmigen Basis. Dies bedeutet, dass die Basis aus einem Radius und einem Durchmesser besteht. Da ein Kegel eine gekrümmte Oberfläche hat, können wir sowohl seine gekrümmte Oberfläche als auch die Gesamtoberfläche ausdrücken. Wenn der Radius der Kegelbasis "r" ist und die schräge Höhe des Kegels "l" ist, wird die Oberfläche eines Kegels wie folgt angegeben:

Oberfläche des Zylinders

Ein Zylinder ist ein 3D-Volumenkörper, der aus zwei kreisförmigen Grundflächen besteht, die mit einer gekrümmten Fläche verbunden sind. Da ein Zylinder eine gekrümmte Oberfläche hat, können wir sowohl seine gekrümmte Oberfläche als auch die Gesamtoberfläche ausdrücken. Wenn der Grundradius des Zylinders "r" und die Höhe des Zylinders "h" ist, wird die Oberfläche eines Zylinders wie folgt angegeben:

Oberfläche der Kugel

Eine Kugel ist ein dreidimensionales festes Objekt, das eine runde Struktur wie ein Kreis hat. Die von der äußeren Oberfläche der Kugel bedeckte Fläche wird als Oberfläche einer Kugel bezeichnet. Die Oberfläche einer Kugel ist die Gesamtfläche der sie umgebenden Flächen. Die Oberfläche einer Kugel wird in Quadrateinheiten angegeben.

Die Oberfläche einer Kugel ist gleich der Mantelfläche eines Zylinders. Das Verhältnis zwischen der Oberfläche einer Kugel und der Mantelfläche eines Zylinders lautet daher:
Oberfläche der Kugel = seitliche Oberfläche des Zylinders
⇒ Die Oberfläche der Kugel = 2πrh
Wenn ein Kugeldurchmesser = 2r
Dann ist die Oberfläche der Kugel 2πrh = 2πr(2r) = 4πr 2 Quadrateinheiten.

Oberfläche der Hemisphäre

Halbkugel ist eine dreidimensionale Form, die entsteht, wenn eine Kugel entlang einer Ebene geschnitten wird, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft. Mit anderen Worten, eine Halbkugel ist die Hälfte einer Kugel. Die Oberfläche einer Halbkugel ist die Gesamtfläche, die ihre Oberfläche bedeckt. Es lässt sich in zwei Kategorien einteilen:

  • Die gekrümmte Oberfläche einer Halbkugel (CSA) = ½ (gekrümmte Oberfläche einer Kugel) = ½ (4 r 2 ) = 2 π r 2 , wobei "r" der Radius der Halbkugel ist.
  • Die Gesamtoberfläche einer Halbkugel (TSA) = gekrümmte Oberfläche + Grundfläche = 2 r 2 + π r 2 = 3 π r 2 , wobei r der Radius der Halbkugel ist.

Oberfläche des Prismas

Es gibt zwei Arten von Flächen, über die wir lesen, erstens die Seitenfläche des Prismas und zweitens die Gesamtfläche des Prismas. Lassen Sie uns im Detail lernen.

Die Seitenfläche eines Prismas ist die Summe der Flächen aller seiner Seitenflächen, während die Gesamtfläche eines Prismas die Summe seiner Seitenfläche und der Fläche seiner Grundflächen ist.

Die Seitenfläche des Prismas = Basisumfang × Höhe
Die Gesamtfläche eines Prismas = Seitenfläche des Prismas + Fläche der beiden Grundflächen = (2 × Grundfläche) + Seitenfläche oder (2 × Grundfläche) + (Grundumfang × Höhe).

Es gibt sieben Arten von Prismen, die auf der Form der Prismenbasis basieren. Die Basen der verschiedenen Prismentypen sind unterschiedlich, ebenso die Formeln zur Bestimmung der Oberfläche des Prismas. Sehen Sie sich die folgende Tabelle an, um dieses Konzept hinter der Oberfläche verschiedener Prismen zu verstehen:

Gestalten Base Oberfläche des Prismas = (2 × Grundfläche) + (Grundumfang × Höhe)
Dreieckiges Prisma Dreieckig Fläche des Dreiecksprismas = bh + (s1 + s2 + b)H
Quadratisches Prisma Quadrat Oberfläche des quadratischen Prismas = 2a 2 + 4ah
Rechteckiges Prisma Rechteckig Oberfläche des rechteckigen Prismas = 2(lb + bh + lh)
Trapezförmiges Prisma Trapezförmig Oberfläche des Trapezprismas = h (b + d) + l (a + b + c + d)
Fünfeckiges Prisma Fünfeckig Oberfläche des fünfeckigen Prismas = 5ab + 5bh
Sechseckiges Prisma Sechseckig Oberfläche des hexagonalen Prismas = 6b(a + h)
Oberfläche eines regelmäßigen hexagonalen Prismas = 6ah + 3√3a 2
Achteckiges Prisma Achteckig Oberfläche des achteckigen Prismas = 4a 2 (1 + √2) + 8aH


Große Ideen Mathebuch 6. Klasse Lösungsschlüssel Kapitel 7 Fläche, Fläche und Volumen

Um in der Prüfung zu bestehen, müssen Kandidaten der 6. Klasse das wichtige Vorbereitungsmaterial von Big Ideas Math Book Answer Key Note 6 Chapter 7 Area, Surface Area und Volume lesen. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Probleme zu lösen oder zu berechnen, können Sie sie mit Hilfe von . leicht verstehen Big Ideas Math Book Lösungsschlüssel Kapitel 7. Sehen Sie sich die folgenden Abschnitte an, um die Leistung und die verschiedenen Kapitel zu diesem Konzept kennenzulernen. Sie finden die verschiedenen Kapitel wie Fläche von Parallelogrammen, Fläche von Dreiecken, Flächen von Trapezen, dreidimensionale Figuren und so weiter.

Performance

Lektion: 1 Bereiche von Parallelogrammen

Lektion: 2 Bereiche von Dreiecken

Lektion: 3 Bereiche von Trapezen und Drachen

Lektion: 4 dreidimensionale Figuren

Lektion: 5 Oberflächenbereiche von Prismen

Lektion: 6 Flächen von Pyramiden

Lektion: 7 Bände rechteckiger Prismen

Kapitel 7 – Fläche, Oberfläche und Volumen

Fläche, Oberfläche und Lautstärke STEAM Video/Leistung

Verpackungsdesign

Die Oberfläche kann verwendet werden, um die Materialmengen zu bestimmen, die zum Erstellen von Objekten benötigt werden. Beschreiben Sie eine andere Situation, in der Sie die Oberfläche eines Objekts ermitteln müssen.

Sehen Sie sich das STEAM-Video „Verpackungsdesign“ an. Beantworten Sie dann die folgenden Fragen. Alex schneidet ein Design aus Papier und faltet es zu einer Schachtel.

Frage 1.
Tory sagt, dass die Länge des Designs 47 Zoll beträgt und die Breite 16 Zoll beträgt. Zeigen Sie mehrere Möglichkeiten, wie Sie drei der Designs auf einer 48 Zoll breiten Papierrolle anordnen können. Sie können die Länge des Papiers so lang wie nötig machen.

Antworten:
Wir können die Länge des Papiers = 15,6666 Zoll machen

Erläuterung:
Angesichts der Länge des Designs = 47 Zoll
dass die Breite des Designs = 16 Zoll
Fläche des Designs = 752 Zoll
Sie können die drei des Designs auf einer Papierrolle von 48 Zoll . anordnen
(752/48)
15.6666 Zoll
Frage 2.
Tory sagt, dass das ausgeschnittene Design eine Fläche von 619 Quadratzoll hat. Was ist die geringstmögliche Menge an Papier, die beim Ausschneiden von drei der Designs verschwendet wird?

Antworten:
Die geringste Papiermenge, die beim Ausschneiden von drei der Designs verschwendet wird = 12,89

Erläuterung:
Die Fläche des Rechtecks ​​= Breite x Höhe
619 Quadratzoll = 48 Zoll x Länge
619 = 48l
l = 619/48
l = 12,89

Leistungsaufgabe

Maximierung des Volumens von Boxen

Nach Abschluss dieses Kapitels können Sie die erlernten Konzepte anwenden, um die Fragen in der STEAM-Videoleistungsaufgabe zu beantworten. Sie erhalten die Maße einer kleinen Box und zweier größerer Boxen.

Sie werden aufgefordert, festzulegen, wie viele kleine Kartons in jede größere Kiste gelegt werden können. Warum sollte bei der Entscheidung eines Unternehmens für die Verpackung eines Produkts auch die Fläche der Verpackung berücksichtigt werden?

Fläche, Fläche und Volumen Machen Sie sich bereit für Kapitel 7

Kapitelerkundung

Die Formeln für die Flächen von Polygonen lassen sich aus einer Flächenformel, der Fläche eines Rechtecks, ableiten.

Mit einem Partner zusammenarbeiten. Finden Sie (a) die Abmessungen der Figuren und (b) die Flächen der Figuren. Was fällt ihnen auf?

Frage 1.

Antworten:
Die Fläche des Rechtecks ​​= Das Produkt aus Länge und Produkt der Breite
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Breite und des Produkts der Höhe

Erläuterung:
Die Fläche des Rechtecks ​​ist gleich der Fläche des Parallelogramms
Die Fläche des Rechtecks ​​= das Produkt aus Länge und Produkt der Breite
Die Fläche des Rechtecks ​​= Länge x Breite
Fläche = l x w
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Breite
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = b x h

Frage 2.

Antworten:
Die Fläche des Rechtecks ​​= das Produkt aus Länge und Produkt der Breite
Die Fläche des Parallelogramms = (1/2) x das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe

Erläuterung:
Die Fläche des Rechtecks ​​ist gleich der Fläche des Parallelogramms
Die Fläche des Rechtecks ​​= das Produkt aus Länge und Produkt der Breite
Die Fläche des Rechtecks ​​= Länge x Breite
Fläche = l x w
Die Fläche des Dreiecks =(1/2) x das Produkt der Basis und das Produkt der Breite
Fläche =(1/2) Basis x Höhe
Fläche =(1/2) b x h

Frage 3.

Antworten:
Die Fläche des Rechtecks ​​= das Produkt aus Länge und Produkt der Breite
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x Höhe x (Basis 1 + Basis 2)

Erläuterung:
Die Fläche des Rechtecks ​​ist gleich der Fläche des Parallelogramms
Die Fläche des Rechtecks ​​= das Produkt aus Länge und Produkt der Breite
Die Fläche des Rechtecks ​​= Länge x Breite
Fläche = l x w
Die Fläche des Trapezes =(1/2) x Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x Höhe x Basen
Fläche =(1/2) x Höhe (b1 + b2)

Die folgenden Vokabularbegriffe werden in diesem Kapitel definiert. Überlegen Sie, was jeder Begriff bedeuten könnte, und notieren Sie Ihre Gedanken.

Lektion 7.1 Bereiche von Parallelogrammen

Ein Polygon ist eine geschlossene Figur in einer Ebene, die aus drei oder mehr Liniensegmenten besteht, die sich nur an ihren Endpunkten schneiden. Mehrere Beispiele für Polygone sind Parallelogramme, Rauten, Dreiecke, Trapeze und Drachen.
Die Formel für die Fläche eines Parallelogramms lässt sich aus der Definition der Fläche eines Rechtecks ​​ableiten. Denken Sie daran, dass die Fläche eines Rechtecks ​​das Produkt seiner Länge ℓ und seiner Breite w ist. Der Prozess, den Sie in diesem Kapitel verwenden, um diese und andere Flächenformeln abzuleiten, wird als deduktives Denken bezeichnet.

ERKUNDUNG 1
Ableitung der Flächenformel eines Parallelogramms
Mit einem Partner zusammenarbeiten.
ein. Zeichne ein beliebiges Rechteck auf ein Zentimeter-Rasterpapier. Schneiden Sie das Rechteck in zwei Teile, die zu einem Parallelogramm angeordnet werden können. Was fällt Ihnen an den Flächen des Rechtecks ​​und des Parallelogramms auf?
b. Kopieren Sie das untenstehende Parallelogramm auf ein Stück Papier mit Zentimeterraster. Schneiden Sie das Parallelogramm aus und ordnen Sie die Teile neu an, um seinen Bereich zu finden.


c. Zeichne ein beliebiges Parallelogramm auf ein Stück Papier mit einem Zentimeterraster und finde seine Fläche. Ändert sich die Fläche, wenn Sie eine andere Seite als Basis verwenden? Erklären Sie Ihre Argumentation.
d. Verwenden Sie Ihre Ergebnisse, um eine Formel für die Fläche A eines Parallelogramms zu schreiben.

Antworten:
c : Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Breite und des Produkts der Höhe
Fläche = Breite x Höhe
Fläche = b x h
Ja, der Bereich ändert sich.
Wir verwenden die Basen als gleiche Länge und Breite als gleiche Länge
d : die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Breite und des Produkts der Höhe

c : Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Breite und des Produkts der Höhe
Fläche = Breite x Höhe
Fläche = b x h
Ja, der Bereich ändert sich.
Wir verwenden die Basen als gleiche Länge und Breite als gleiche Länge
d : die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Breite und des Produkts der Höhe

Die Fläche eines Polygons ist die Fläche, die es bedeckt. Sie können die Fläche eines Parallelogramms ähnlich wie die Fläche eines Rechtecks ​​ermitteln.

Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.

Frage 1.

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis b und ihrer Höhe h.
Fläche = b x h
b = 20 m, h = 25 m
Also die Fläche des Parallelogramms = 500 m

Frage 2.

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis b und seiner Höhe h
Fläche = b x h
b = 7 Zoll, h = 18 Zoll
Also Fläche = 126 in

Frage 3.

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis b und seiner Höhe h
Fläche = b x h
b = 30 m, h = 20,5 m
Also Fläche = 615 m²

Wenn Sie Flächen suchen, müssen Sie möglicherweise Quadrateinheiten umrechnen. Die Diagramme auf der linken Seite zeigen, dass es 9 Quadratfuß pro Quadratyard gibt.

1 Meter 2 = (1 Meter) (1 Meter) = (3 Fuß) (3 Fuß) = 9 Fuß 2
Sie können ein ähnliches Verfahren verwenden, um andere Quadrateinheiten umzurechnen.

Frage 4.
Bestimme die Fläche des Parallelogramms in Quadratzentimetern.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = 400 cm²

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = 4 m x 10 m
Fläche = 40 m
1 Meter = 100 Zentimeter
40 Meter = 400 Zentimeter
Fläche = 400 cm²

Selbsteinschätzung für Konzepte und Fähigkeiten

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 5.
SCHREIBEN
Erklären Sie, wie Sie die Fläche eines Rechtecks ​​verwenden, um die Fläche eines Parallelogramms zu finden

Antworten:
Fläche des Rechtecks ​​= Länge x Breite
Fläche des Parallelogramms = Basis x Höhe

Erläuterung:
Fläche des Rechtecks ​​= Länge x Breite
Fläche = l x b
Fläche des Parallelogramms = Basis x Höhe
Fläche = b x h
Fläche = bh

FINDUNGSBEREICH
Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.

Frage 6.

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = b x h
b = 16 ft und h = 5 ft gegeben
Fläche = 16 x 5
Fläche = 80 ft

Frage 7.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 14 . 4 km

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = b x h
b = 3 km und h = 4,8 km gegeben
Fläche = 3 x 4,8
Fläche = 14,4 km

Frage 8.
ARGUMENTATION
Zeichne ein Parallelogramm mit einer Fläche von 24 Quadratzoll.

Antworten:
Wir müssen annehmen, dass die Grundfläche = 4 Quadratzoll und die Höhe = 6 Quadratzoll

Selbsteinschätzung zur Problemlösung

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 9.
Die Seite eines Bürogebäudes in Hamburg hat die Form eines Parallelogramms. Die Seitenfläche des Gebäudes beträgt etwa 2150 Quadratmeter. Welche Länge x hat der Teil des Gebäudes, der sich über den Fluss erstreckt?

Antworten:
Die Länge des sich über den Fluss erstreckenden Gebäudeteils = 45 m

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basen und das Produkt der Basen
Fläche = 2150 Quadratmeter gegeben
Fläche = 25 m x (39 +47) gegeben, dass Höhe = 25 und Basis = 39
Fläche = 25 x (86)
Fläche = 2150
Die Länge des sich über den Fluss erstreckenden Gebäudeteils = 45 m

Frage 10.
Sie machen eine Foto-Requisite für eine Schulmesse. Sie schneiden ein 10-Zoll-Quadrat aus einem parallelogrammförmigen Holzstück. Welche Fläche hat die Fotostütze?

Antworten:
Die Fläche der Foto-Requisite = 32

Erläuterung:
die Fläche der Fotostütze = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = h x b
Fläche = 8 x 4
Fläche = 32 ft

Frage 11.
GRAB TIEFER!
Eine Galaxie enthält ein parallelogrammförmiges Staubfeld. Das Staubfeld hat eine Basis von 150 Meilen. Die Höhe beträgt 14% der Basis. Welche Fläche hat das Staubfeld?

Antworten:
Die Fläche des Staubfeldes =3.150

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Höhe und Produkt der Basis
Fläche = h x b gegeben, dass Höhe = 14% = (14/100) x 150 = 21, Basis = 150 Meilen
Fläche = 3150

Bereiche der Parallelogramme Hausaufgaben & Übung 7.1

Überprüfen und aktualisieren

Antworten:
:

Erläuterung:
Die gegebene Gleichung = y = 4x
für angenommen x = 0, dann y = 0
x = 1 , dann y = 4 das heißt (1,4) y = 4 x 1 = 4
x = 2 , dann y = 8, das heißt (2,8) y = 4 x 2 = 8
x = 3 , dann y = 12 das heißt (3,12) y = 4 x 3 = 12

Antworten:

Erläuterung:
Die gegebene Gleichung = y = x + 3
für angenommen x = 0, dann y = 3
x = 1 , dann y = 4 das heißt (1,4) y = 1 + 3 = 4
x = 2 , dann y = 5 das heißt (2, 5) y = 2 + 3 = 5
x = 3 , dann y = 6 das heißt (3,16) y = 3 + 3 = 6
x = 4 , dann y = 7, also (4, 7) y = 4 + 3 = 7

Antworten:

Erläuterung:
Die gegebene Gleichung = y = 2x + 5
für angenommen x = 0, dann y = 5
x = 1 , dann y = 7, also (1,7) y = 2 + 5 = 7
x = 2 , dann y = 9, also (2, 9) y = 4 + 5 = 9
x = 3 , dann y = 11, also (3,11) y = 6 + 5 = 11
x = 4 , dann y = 13, also (4, 13) y = 8 + 5 = 13

Stellen Sie die Verhältnisbeziehung mit einem Diagramm dar.

Frage 4.

Erläuterung:

Frage 5.

Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung der Zahl.

Erläuterung:
5 x 11 = 55
S0 5,11

Erläuterung:
2 x 30 = 60
2 x 15 = 30
5 x 3 = 15
3 x 1 = 3

Erläuterung:
3 x 50 = 150
5 x 10 = 50
5 x 2 = 10
2 x 1 = 2

Erläuterung:
2 x 63 = 126
3 x 21 = 63
3 x 7 = 21
7 x 1 = 7

Addieren oder subtrahieren.


Frage 11.
9.035 – 6.144

Erläuterung:

Frage 12.
28.351 – 19.3518

Antworten:
28.351 = 19.3518 = 8.9992

Erläuterung:

Konzepte, Fähigkeiten und Problemlösung
VERWENDUNG VON WERKZEUGEN
Ordne das Parallelogramm als Rechteck neu an. Suchen Sie dann den Bereich. (Siehe Erkundung 1, S. 285.)

Frage 13.

Antworten:

Frage 14.

Antworten:

Frage 15.

Antworten:

FINDUNGSBEREICH
Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.

Frage 16.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 18 ft

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis und Höhe
Fläche = b x h vorausgesetzt, dass Basis = 6 ft Höhe = 3 ft
Fläche = 18 ft
Frage 17.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 840 mm

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis und Höhe
Fläche = b x h vorausgesetzt, dass Basis = 20 mm Höhe = 42 ft
Fläche = 840 mm

Frage 18.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 187 km

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis und Höhe
Fläche = b x h vorausgesetzt, dass Basis = 17 km Höhe = 11 km
Fläche = 187 km

Frage 19.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 3750 cm

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis und Höhe
Fläche = b x h vorausgesetzt, dass Basis = 75 cm Höhe = 50 cm
Fläche = 3750 cm

Frage 20.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 243 in

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis und Höhe
Fläche = b x h vorausgesetzt, dass Basis = 13,5 in der Höhe = 18 in
Fläche = 243 Zoll

Frage 21.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 894 mi

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis und Höhe
Fläche = b x h vorausgesetzt, dass Basis = 24 Zoll, Höhe = 37 x (1/4)
Fläche = 24 x 37,25
Fläche = 894 Meilen

Frage 22.
DU BIST DER LEHRER
Ihr Freund findet die Fläche des Parallelogramms. Hat dein Freund recht? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Ja mein Freund hat recht

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = 8 m x 15 m
Gegeben, dass Basis = 8 m und Höhe = 15 m
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = 8 m x 15 m
Fläche = 120 m

Frage 23.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Eine Keramikfliese in Form eines Parallelogramms hat eine Grundfläche von 4 Zoll und eine Höhe von 1,5 Zoll. Welche Fläche hat die Fliese?

Antworten:
Die Fläche der Fliese = 6 Zoll

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = 4 x 1,5
Fläche = 6 Zoll

FINDUNGSBEREICH
Finden Sie die Fläche des Parallelogramms. Runden Sie bei Bedarf auf das nächste Hundertstel.

Frage 24.

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = 6 x 8
Fläche = 48 m
1 Meter = 100 Zentimeter
48 m = 4800 cm

Frage 25.

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = 1320 m x 1496 m²
Fläche = 1974720yd
1 Yard = 0,000568 Meilen
1974720 yd = 1.121.64096 Meilen

Frage 26.

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = 5 m x 4 m
Fläche = 20 m
1 Meter = 3 Fuß 3,37 Zoll
20m = 67 . 4 ft

Frage 27.
OFFENES ENDE
Ihr Deck hat eine Fläche von 128 Quadratmetern. Nach dem Hinzufügen eines Abschnitts beträgt die Fläche (s 2 + 128) Quadratfuß. Zeichnen Sie ein Diagramm, wie dies passieren kann.

Antworten:

Frage 28.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Sie verwenden den parallelogrammförmigen Schwamm, um das T-Shirt-Design zu erstellen. Die Fläche des Designs beträgt 66 Quadratzoll. Wie oft verwenden Sie den Schwamm, um das Design zu erstellen? Zeichnen Sie ein Diagramm, um Ihre Antwort zu untermauern.

Antworten:
33 Mal wird der Schwamm verwendet, um das Design zu erstellen = 33
Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = Basis x Höhe
Fläche = 3 x 1
Fläche = 3 Zoll
Die Fläche des Designs = 66 Zoll
66/3 = 33

FINDEN EINER FEHLENDEN DIMENSION
Finden Sie die fehlende Dimension des beschriebenen Parallelogramms.

Frage 29.

Antworten:
Höhe = 9 ft
Erläuterung:
Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = 6 ft x 9 ft
Fläche = 54 ft
Also Höhe = 54

Frage 30.

Erläuterung:
Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
Fläche = Grundfläche x Höhe
Fläche = 6. 5 cm x 2,5 cm
Fläche = 16,25
Also Höhe = 2,5 cm

Frage 31.

Erläuterung:
5(x + 4) = 5x + 20

Frage 32.
GRAB TIEFER!
Die Treppe hat drei identische parallelogrammförmige Paneele. Der horizontale Abstand zwischen jedem Panel beträgt 4,25 Zoll. Die Fläche jedes Panels beträgt 287 Quadratzoll. Was ist der Wert von x?

Antworten:
Der Wert von x = 14

Erläuterung:
(1/2)bx = 287
(1/2) x 14 x x = 287
7x = 287
x = 287/7
x = 41
50.5 -8
42,5 x 2 = 8,50

Frage 33.
LOGIK
Jede Dimension eines Parallelogramms wird mit einer positiven Zahl n multipliziert. Schreiben Sie einen Ausdruck für die Fläche des neuen Parallelogramms.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = (1/2) x b x h
Fläche = (1/2) Mrd. x hn
(1/2) bhn

Frage 34.
KRITISCHES DENKEN
Ordne die gezeigte Raute um, um eine Formel für die Fläche einer Raute in Bezug auf ihre Diagonalen zu schreiben.

Antworten:
Die Fläche der Raute = (1/2) ab
Fläche = (1/2) x ab

Erläuterung:
Die Fläche der Raute = (1/2) ab
Fläche = (1/2) x ab

Lektion 7.2 Flächen von Dreiecken

ERKUNDUNG 1

Ableitung der Flächenformel eines Dreiecks
Mit einem Partner zusammenarbeiten.
ein. Zeichnen Sie ein beliebiges Parallelogramm auf ein Stück Papier mit einem Zentimeterraster. Schneiden Sie das Parallelogramm in zwei identische Dreiecke. Wie können Sie die Fläche des Parallelogramms verwenden, um die Fläche jedes Dreiecks zu finden?
b. Kopieren Sie das Dreieck unten auf ein Stück Zentimeter-Rasterpapier. Finden Sie die Fläche des Dreiecks. Erklären Sie, wie Sie das Gebiet gefunden haben.

c. Zeichnen Sie ein beliebiges spitzes Dreieck auf ein Zentimeter-Rasterpapier und finden Sie seine Fläche. Wiederholen Sie diesen Vorgang für ein rechtwinkliges Dreieck und ein stumpfes Dreieck.
d. Ändern sich die Flächen in Teil(c) wenn Sie unterschiedliche Seiten als Basis verwenden? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
a : Die Fläche des Parallelogramms = (1/2) x b x h
Die Fläche des Dreiecks = Basis x Höhe
b : Fläche des Dreiecks = Basis x Höhe
Fläche = b x h
c : Die Fläche des spitzwinkligen Dreiecks = (1/2) x b x h
Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks = (1/2) x Basis x Senkrechte
Die Fläche des stumpfwinkligen Dreiecks =(1/2) x b x h

Erläuterung:
ein :
b:
c:




e. Verwenden Sie Ihre Ergebnisse, um eine Formel für die Fläche A eines Dreiecks zu schreiben. Verwenden Sie die Formel, um die Fläche des angezeigten Dreiecks zu finden.

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = halbes x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h vorausgesetzt b= 6 m ,h = 5 m
Fläche = (1/2) x 30
Fläche = 15 m

Finden Sie die Fläche des Dreiecks

Frage 1.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) x bh
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) x das Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
b = 11 ft , h = 4 ft
Fläche = (1/2) x bh
Fläche = (1/2) x 11 x 4
Fläche = (1/2) x 44
Fläche = 22 ft

Frage 2.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) x das Produkt der Basis b und das Produkt der Höhe h
b = 15 cm, h = 8 cm
Fläche = (1/2) x 15 x 8
Fläche = (1/2) x 120
Fläche = 60

Frage 3.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) x das Produkt der Basis b und das Produkt der Höhe h
Also b = 22m ,h= 10 m
Fläche = (1/2) x 10 x 22
Fläche = (1/2) x 220
Fläche = 110 m

Frage 4.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) x das Produkt aus Basis b und dem Produkt der Höhe h
Also b = (13/2) yd h = 2 yd
Fläche = (1/2) x b x h
Fläche = (1/2) x 6,5 x 2
Fläche = (1/2) x 13
Fläche = 6,5

Finden Sie die fehlende Dimension des Dreiecks.

Frage 5.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks =(1/2) x das Produkt der Basis b und das Produkt der Höhe h
Fläche des Dreiecks = 24 cm gegeben
Also die Höhe = 6cm gegeben
Fläche = (1/2) x b x h
Fläche = (1/2) x 8 x 6
Fläche = (1/2) x 48
Fläche = 24
Also Basis = 8 cm

Frage 6.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks =(1/2) x das Produkt der Basis b und das Produkt der Höhe h
Fläche des Dreiecks = 175 ft gegeben,
Also müssen wir die Höhe finden?
Fläche = (1/2) x 20 x 17,5
Fläche = (1/2) x 350
Fläche = 175
Also die Höhe = 17,5 ft

Selbsteinschätzung für Konzepte und Fähigkeiten

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 7.
FINDUNGSBEREICH
Finden Sie die Fläche des Dreiecks auf der linken Seite.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 12

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) x das Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
b = 8, h = 3
Fläche = (1/2) x bh
Fläche = (1/2) x 8 x 3
Fläche = (1/2) x 24
Fläche = 12

Frage 8.
SCHREIBEN
Erklären Sie, wie Sie die Fläche eines Parallelogramms verwenden, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Die Fläche des Dreiecks = Hälfte x Produkt der Basis b und des Produkts der Höhe h

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = b x h
Fläche des Dreiecks = Hälfte x Produkt aus Basis und Höhe
Fläche = (1/2) x b x h
FINDEN EINER FEHLENDEN DIMENSION
Finden Sie die fehlende Dimension des Dreiecks.

Frage 9.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = (1/2) x Basis x Höhe
Fläche = (1/2) x 10 mm x 6 mm
Fläche = (1/2) x 60 mm
Fläche = 30 mm
Also Basis = 10 mm
Frage 10.

Eine zusammengesetzte Figur besteht aus Dreiecken, Quadraten, Rechtecken und anderen zweidimensionalen Figuren. Um den Bereich einer zusammengesetzten Figur zu finden, teilen Sie ihn in Figuren mit Bereichen auf, die Sie finden können. Dies wird als Zerlegung bezeichnet.

Selbsteinschätzung zur Problemlösung

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 11.
Eine Naturschutzgruppe kauft das gezeigte 9 Quadratmeilen Land. Wie groß ist die Entfernung von Punkt A nach Punkt B?

Antworten:
Die Entfernung von Punkt A zu Punkt B = 3 Meilen

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) ab
Angenommen, das gezeigte Land = 9 Quadratmeilen
(1/2)bh = Dreieck ABC + Dreieck BCD
(3/2)b + (3/2)b = 9
(6/2)b = 9
3b = 9
b = 3 Meilen
Frage 12.
GRAB TIEFER!
Finden Sie den Bereich der Seite des Schornsteins. Erklären Sie, wie Sie das Gebiet gefunden haben.

Antworten:
Die Fläche des Schornsteins = 31,5 sq. ft

Erläuterung:
Schornsteinfläche = (1/2) x Basis x Höhe
Fläche = (1/2) x 3 x 21
Fläche = 31,5 sq. ft

Bereiche der Dreiecke Hausaufgaben & Übung 7.2

Überprüfen und aktualisieren

Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.

Frage 1.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 72 in

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = Produkt aus Höhe h und Produkt der Basis b
b = 12 Zoll, h = 6 Zoll gegeben
Fläche = 12 x 6
Fläche = 72 Zoll

Frage 2.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 10,5 km

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis b und das Produkt der Höhe h
b = 3,5 km, h = 3 km gegeben
Fläche = 3,5 x 3
Fläche = 10,5 km

Frage 3.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 255 mi

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis b und das Produkt der Höhe h
b = 17 mi, h = 25 mi gegeben
Fläche = 17 x 15
Fläche = 255 Meilen

Sagen Sie, welche Eigenschaft die Aussage veranschaulicht.

Antworten:
Das Produkt von x = das Produkt von y

Erläuterung:
Das Produkt von x = n x 1 = n
das Produkt von y = n
n = n

Antworten:
Das Produkt von x = das Produkt von y

Erläuterung:
Das Produkt von x = m x 4 = 4 m
das Produkt von y = m x 4 = 4 m
4. m = m. 4

Frage 6.
(x + 2) + 5 = x + (2 + 5)

Antworten:
Das Produkt von x = das Produkt von y

Erläuterung:
Das Produkt von x = (x + 2) + 5
das Produkt von y = x + (2 +5)
(x +2) +5 = x + (2 +5)

Frage 7.
Was ist der erste Schritt bei der Verwendung der Reihenfolge der Operationen?
A. Multiplizieren und dividieren Sie von links nach rechts.
B. Addiere und subtrahiere von links nach rechts.
C. Ausführen von Operationen in Gruppierungssymbolen.
D. Zahlen mit Exponenten auswerten.

Antworten:
Zahlen mit Exponenten auswerten

Konzepte, Fähigkeiten und Problemlösung

VERWENDUNG VON WERKZEUGEN
Finden Sie die Fläche des Dreiecks, indem Sie ein Parallelogramm bilden. (Siehe Erkundung 1, S. 291.)

Frage 8.

Antworten:
Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks = (1/2) x ab

Erläuterung:

Frage 9.

Antworten:
stumpfwinkliges Dreieck = (1/2) x b xh

Erläuterung:

Frage 10.

Antworten:
spitzwinkliges Dreieck

Erläuterung:

FINDUNGSBEREICH
Finden Sie die Fläche des Dreiecks.

Frage 11.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 6 cm

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Also b = 3 cm , h = 4 cm
Fläche = (1/2) x 3 x 4
Fläche = (1/2) x 12
Fläche = 6 cm²

Frage 12.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 90 mi

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Also b = 20 mi , h = 9 mi
Fläche = (1/2) x 20 x 9
Fläche = (1/2) x 180
Fläche = 90 Quadratmeilen

Frage 13.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 1620 in

Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Also b = 60 Zoll, h = 54 Zoll
Fläche = (1/2) x 3240
Fläche = 1620 Zoll

Frage 14.

Die Fläche des Dreiecks = 189 mm

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Also b =21 mm , h = 18 mm
Fläche = (1/2) x 378
Fläche = 189 mm

Frage 15.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 1125 cm

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Also b = 75 cm , h = 30 cm
Fläche = (1/2) x 2250
Fläche = 1125 cm

Frage 16.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 132 m

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Also b = 8 m , h = 33 m
Fläche = (1/2) x 264
Fläche = 132 m

Frage 17.
DU BIST DER LEHRER
Ihr Freund findet die Fläche des Dreiecks. Hat dein Freund recht? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Ja mein Freund hat recht

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Schluchzen =10 m , h = 12 m
Fläche = (1/2) x 120
Fläche = 60 m

Frage 18.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Schätzen Sie die Fläche des Pappelblattes ab.

Antworten:
Die Fläche des Pappelblattes = 10 in

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Schluchzen = 5 Zoll, h = 4 Zoll
Fläche = (1/2) x 20
Fläche = 10 Zoll

Frage 19.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Ein Regal hat die Form eines Dreiecks. Die Grundfläche des Regals beträgt 36 Zentimeter und die Höhe beträgt 18 Zentimeter. Finden Sie die Fläche des Regals in Quadratzoll.

Antworten:
Die Form des Dreiecks = 324

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und Produkt aus Höhe h
Fläche = (1/2) x b x h
Schluchzen = 36 cm , h = 18 cm
Fläche = (1/2) x 648
Fläche = 324 cm²

FINDEN EINER FEHLENDEN DIMENSION
Finden Sie die fehlende Dimension des Dreiecks.

Frage 20.

Frage 21.

Antworten:
Basis des Dreiecks = 4,66 ft

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks =(1/2) x das Produkt der Basis b und das Produkt der Höhe h
Fläche des Dreiecks = 14 ft gegeben
Also die Höhe = 6 ft gegeben
Fläche = (1/2) x b x h
Fläche = (1/2) x 4,66 x 6
Fläche = (1/2) x 27,96
Fläche = 14
soo Basis = 4,66 ft

Frage 22.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) x das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = (1/2) x 1,5 x h, wenn Fläche = 2 in
2 = (1/2) x 1,5h
1,5 h = 4
h = (4/1,5)
h = 2,66 Zoll
ZUSAMMENGESETZTE ZAHLEN
Finden Sie den Bereich der Figur.

Frage 23.

Antworten:
Die Fläche der Figur = 44 ft

Erläuterung:
Die Fläche des Rechtecks ​​= 2 x (Länge + Breite)
Fläche = 2 x (12 +10)
Fläche = 2 x (22)
Fläche = 44 sq. ft

Frage 24.

Antworten:
Die Fläche der Figur = 52 cm

Erläuterung:
Die Fläche des Rechtecks ​​= 2 x (Länge + Breite)
Fläche = 2 x (11 +15)
Fläche = 2 x (26)
Fläche = 52 cm²

Frage 25.

Antworten:
Die Fläche des Umfangs = 5/2 x a x b

Erläuterung:
Die Fläche des Umfangs = (5/2) x a x b
wobei a = Mittelpunkt
b = Seiten

Frage 26.
SCHREIBEN
Sie kennen die Höhe und den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks. Erklären Sie, wie Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ermitteln. Zeichne ein Diagramm, um deine Argumentation zu untermauern.

Antworten:
Der Umfang des gleichseitigen Dreiecks = a x a x a = 3a

Erläuterung:
Der Umfang des gleichseitigen Dreiecks = 3a
Höhe des gleichseitigen Dreiecks = h
die Fläche des Dreiecks = (1/2) x Produkt aus Basis b und dem Produkt der Höhe h
Fläche = (1/2) x bh

Frage 27.
KRITISCHES DENKEN
Die Gesamtfläche des Polygons beträgt 176 Quadratmeter. Was ist der Wert von x?

Erläuterung:
Die Fläche des Polygons = 176 Quadratfuß gegeben
Fläche = 16 x 8 = 128
Fläche = 176 – 128 = 48
Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks = (a x b )/2
Fläche = (8 x X)/2
48 = 4x + 4x
8x = 48
x = (48/8)
x = 6 ft

Frage 28.
ARGUMENTATION
Die Grundfläche und die Höhe von Dreieck A sind halb so groß wie Grundfläche und Höhe von Dreieck B. Wie viel mal größer ist die Fläche von Dreieck B?

Erläuterung:
Das Dreieck B ist 2 mal größer als das Dreieck A

Frage 29.
STRUKTUR
Verwenden Sie Ihr Wissen über das Auffinden von Flächen von Dreiecken, um eine Formel für die Fläche einer Raute in Bezug auf ihre Diagonalen zu schreiben. Vergleichen Sie die Formel mit Ihrer Antwort zu Abschnitt 7.1 Aufgabe 34.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) ab
Die Fläche der Raute = (1/2) ab

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks ist gleich der Fläche der Raute
Fläche des Dreiecks = (1/2) ab
Fläche der Raute = (1/2) ab

Lektion 7.3 Bereiche von Trapezen und Drachen

ERKUNDUNG 1
Herleitung der Flächenformel eines Trapezes
Mit einem Partner zusammenarbeiten.
ein. Zeichnen Sie ein beliebiges Parallelogramm auf ein Stück Papier mit einem Zentimeterraster. Schneiden Sie das Parallelogramm in zwei identische Trapeze. Wie können Sie die Fläche des Parallelogramms verwenden, um die Fläche jedes Trapezes zu finden?
b. Kopieren Sie das untenstehende Trapez auf ein Stück Zentimeter-Rasterpapier. Finden Sie die Fläche des Trapezes. Erklären Sie, wie Sie das Gebiet gefunden haben.

c. Zeichnen Sie ein beliebiges Trapez auf ein Stück Papier mit einem Zentimeterraster und finden Sie seine Fläche.
d. Verwenden Sie Ihre Ergebnisse, um eine Formel für die Fläche A eines Trapezes zu schreiben. Verwenden Sie die Formel, um die Fläche des gezeigten Trapezes zu finden.


Sie können die Zerlegung verwenden, um Bereiche von Trapezen und Drachen zu finden. Ein Drachen ist ein Viereck, das zwei Paare benachbarter Seiten gleicher Länge und gegenüberliegende Seiten unterschiedlicher Länge hat.

Versuch es
Finden Sie den Bereich der Figur.

Frage 1.

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (5 + 12). Vorausgesetzt, dass b1 = 5 und b2 = 12
Fläche = (1/2) x 9(17) vorausgesetzt h = 9
Fläche = (1/2) x 153
Fläche = 76,5 Quadratzoll

Frage 2.

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (3 + 3). Vorausgesetzt, dass b1 = 3 und b2 = 3
Fläche = (1/2) x 7,7(17) vorausgesetzt h = 7,7
Fläche = (1/2) x 130,9
Fläche = 65,45 Quadratmeilen

In Beispiel 1(a) hätten Sie eine Kopie des Trapezes verwenden können, um ein Parallelogramm zu bilden. Wie Sie vielleicht bei der Erkundung festgestellt haben, führt dies zu folgender Formel für die Fläche eines Trapezes.

Versuch es
Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Frage 3.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 22,5 mm²

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (5 + 4). Vorausgesetzt, dass b1 = 5 und b2 = 4
Fläche = (1/2) x 8(9) vorausgesetzt h = 8
Fläche = (1/2) x 45
Fläche = 22,5 mm²

Frage 4.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 30 sq. in

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (7,7 + 2,3). Vorausgesetzt, dass b1 = 7,7 und b2 = 2,3
Fläche = (1/2) x 6(10), vorausgesetzt h = 6 in
Fläche = (1/2) x 60
Fläche = 30 Quadratzoll

Versuch es
Finden Sie den Bereich der Figur.

Frage 5.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes1 = 60 m²
Die Fläche des Trapezes2= 88 m²

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes1 = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (5 + 5). Vorausgesetzt, dass b1 = 5 und b2 = 5
Fläche = (1/2) x 12(10) vorausgesetzt h = 6 m
Fläche = (1/2) x 120
Fläche = 60 m²
Die Fläche des Trapezes2 = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (8 + 8). Vorausgesetzt, dass b1 = 8 und b2 = 8
Fläche = (1/2) x 11(16) vorausgesetzt h = 6 m
Fläche = 88 m²
Frage 6.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 112 sq. in

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (6 + 10). Vorausgesetzt, dass b1 = 6 und b2 = 10
Fläche = (1/2) x 14(16) vorausgesetzt h = 14 in
Fläche = (1/2) x 224
Fläche = 112 Quadratzoll

Selbsteinschätzung für Konzepte und Fähigkeiten
Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 7.
SCHREIBEN
Erklären Sie, wie Sie die Fläche eines Parallelogramms verwenden, um die Fläche eines Trapezes zu bestimmen.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = Produkt aus Höhe h und Produkt der Basis b
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.

Frage 8.
ARGUMENTATION
Welche Maßnahmen benötigst du, um die Fläche eines Drachens zu finden?

Antworten:
Rhombus wird verwendet, um den Bereich des Drachens zu finden

Erläuterung:
Die Fläche der Raute = (1/2) x Seite x Höhe
Fläche = (1/2) x s x h
Fläche = (1/2) sh
Drachen ist auch gleich wie die Raute

FINDUNGSBEREICH
Finden Sie den Bereich der Figur.

Frage 9.

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x Höhe x das Produkt der Basis 1 und der Basis 2
Fläche = (1/2) x Höhe x (b1 + b2)
Fläche = (1/2) x 5 x (9 + 12)
Fläche = (1/2) x 5 x 21
Fläche = (1/2) x 105
Fläche = 52,5 sq. yd

Frage 10.

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x Höhe x das Produkt der Basis 1 und der Basis 2
Fläche = (1/2) x Höhe x (b1 + b2)
Fläche = (1/2) x 10 x (7 + 4)
Fläche = (1/2) x 10x 11
Fläche = (1/2) x 110
Fläche = 55 m²

Selbsteinschätzung zur Problemlösung

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 11.
GRAB TIEFER!
Ein Archäologe schätzt, dass das gezeigte Manuskript ursprünglich ein Rechteck mit einer Länge von 20 Zoll war. Schätzen Sie die Fläche des fehlenden Fragments ab.

Erläuterung:
Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks = a x b wobei a = Höhe b = Basis
Fläche = a x b a=12 b = 18 – 6 = 12
Fläche = 12 x 12
Fläche = 144 Quadratzoll

Frage 12.
Das Buntglasfenster besteht aus identischen drachenförmigen Glasscheiben. Die ungefähren Abmessungen einer Scheibe werden angezeigt. Das Glas, aus dem das Fenster hergestellt wurde, kostet 12,50 USD pro Quadratmeter. Ermitteln Sie die Gesamtkosten des Glases, das für die Herstellung des Fensters verwendet wurde.

Antworten:
Die Gesamtkosten für das Glas, das für die Herstellung des Fensters verwendet wird, betragen 14.4375 $
Erläuterung:
Die Fläche der Raute = (1/2) x das Produkt aus der Seite s und dem Produkt der Höhe h
Fläche = (1/2) x 2 Fuß x 2,31 Fuß
Fläche = ( 4,62/2)
Fläche = 2,31 x 12,50 $
Fläche = 14,4375$

Bereiche Trapeze und Drachen Hausaufgaben & Übung 7.3

Überprüfen und aktualisieren

Finden Sie die Fläche des Dreiecks.

Frage 1.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = halbes Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
Fläche = (1/2)bh
Fläche = (1/2) x 18 x 7
Fläche = (126/2)
Fläche = 63 in

Frage 2.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = halbes Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
Fläche = (1/2)bh
Fläche = (1/2) x 8 x 6,5
Fläche = (52/2)
Fläche = 26 km²

Frage 3.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = halbes Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
Fläche = (1/2)bh
Fläche = (1/2) x 4 x 12,5
Fläche = (50/2)
Fläche = 25 sq. ft

Klassifizieren Sie das Viereck./

Frage 4.

Antworten:
Das obige Viereck sieht ähnlich aus wie das Rechteck

Erläuterung:
Rechteck
die Fläche des Rechtecks ​​= Länge x Breite
Fläche = l x w

Frage 5.

Antworten:
Das obige Diagramm ähnelt dem Trapez

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = halbes Produkt aus Grundfläche und Produkt der Höhe
Fläche = (1/2) x b x h
Frage 6.

Antworten:
Die obige Abbildung ähnelt dem Parallelogramm

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt aus Höhe und Produkt der Basis b base
Fläche = b x h

Frage 7.
An einem normalen Tag landen alle 15 Minuten 12 Flugzeuge auf einem Flughafen. Welcher Tarif entspricht nicht dieser Situation?
A. 24 Flugzeuge alle 30 Minuten
B. 4 Flugzeuge alle 5 Minuten
C. 6 Flugzeuge alle 5 Minuten
D. 48 Flugzeuge pro Stunde

Erläuterung:
4 Flugzeuge alle 5 Minuten
Konzepte, Fähigkeiten und Problemlösung
VERWENDUNG VON WERKZEUGEN
Finden Sie die Fläche des Trapezes, indem Sie ein Parallelogramm bilden. (Siehe Erkundung 1, S. 297.)

Frage 8.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x b x l x h

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x b x l x h
Fläche = (1/2) x b x h x l
Fläche = (lxb/2)x h

Frage 9.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x b x l x h

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x b x l x h
Fläche = (1/2) x b x h x l
Fläche = (lxb/2)x h

Frage 10.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x b x l x h

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x b x l x h
Fläche = (1/2) x b x h x l
Fläche = (lxb/2)x h

FINDUNGSBEREICH
Verwenden Sie die Zerlegung, um den Bereich der Figur zu finden.

Frage 11.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 2, Höhe = 5 gegeben
Fläche = (1/2) x 5 x 2
Fläche = 5
die Fläche eines anderen Dreiecks = 5
der Rest = Rechteck
Rechteckfläche = Länge x Breite
Fläche = 15 + 5 + 5 = 25 cm

Frage 12.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 2, Höhe = 5 gegeben
Fläche = (1/2) x 8 x 2=3
Fläche = 12
der Rest = Rechteck
Rechteckfläche = Länge x Breite
Fläche = 80 + 12 m
Fläche = 92 m²

Frage 13.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 2, Höhe = 5 gegeben
Fläche = (1/2) x 8 x 5 = 20
Fläche = 20
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 17, Höhe = 5 gegeben
Fläche = (1/2) x 17 x 5= 20
Fläche = 42,5
Fläche = 20 + 20+ 42,5 + 42,5
Fläche = 125 m

Frage 14.

Antworten:
Die Fläche der Figur = 44 Zoll

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 9, Höhe = 4 gegeben
Fläche = (1/2) x 9 x 4= 18
Fläche = 18
der Rest = Rechteck
Rechteckfläche = Länge x Breite
Fläche = 18 + 18 + 4 +
Fläche = 44 Zoll
Frage 15.

Antworten:
Die Fläche der Figur = 55 Meilen

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 10, Höhe = 7 gegeben
Fläche = (1/2) x 10 x 7= 35
Fläche = 35 Meilen
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 10, Höhe = 4 gegeben
Fläche = (1/2) x 10 x 4= 20
Fläche = 20 Meilen
Fläche = 20 + 35 = 55
Fläche = 55 Meilen

Frage 16.

Antworten:
Die Fläche der Figur = 17,68 Meilen

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 3,2, Höhe = 3,8 gegeben
Fläche = (1/2) x 3,2 x 3,8 = 35
Fläche = 6.08
Die Fläche des Dreiecks = (1/2) b x h
Basiswert = 3,2, Höhe = 1,6 gegeben
Fläche = (1/2) x 3,2 x 1,6 = 20
Fläche = 2,56
Fläche = 2,56 + 2,56 + 6,08 + 6,08 = 17,68 km
Fläche = 17,68 Meilen

FINDUNGSBEREICH
Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Frage 17.

Erläuterung:
Fläche des Trapezes = halbes Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x h x (b1 +b2)
Fläche = (1/2) x 4 x (6 + 8)/
Fläche = (1/2) x 4 x 14
Fläche = 28 Quadratzoll

Frage 18.

Erläuterung:
Fläche des Trapezes = halbes Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x h x (b1 +b2)
Fläche = (1/2) x 4 x (3,5 + 1,5)
Fläche = (1/2) x 4 x 5
Fläche = 10 cm²

Frage 19.

Erläuterung:
Fläche des Trapezes = halbes Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x h x (b1 +b2)
Fläche = (1/2) x 10 x (13,5 + 7,5)
Fläche = (1/2) x 10 x 21
Fläche = 105 sq. ft

Frage 20.
DU BIST DER LEHRER
Ihr Freund findet den Bereich des Trapezes. Hat dein Freund recht? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Nein mein Freund hat nicht recht

Erläuterung:
Trapezfläche = halbes Produkt aus Höhe und Produkt der Grundflächen base
Fläche = (1/2) x h x (b1 +b2)
Fläche = (1/2) x 8 x (6 +14)
Fläche = (1/2) x 160
Fläche = 80 m²

Frage 21.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Licht scheint durch ein Fenster. Wie groß ist die vom Licht erzeugte Fläche des trapezförmigen Bereichs?

Antworten:
16 sq. ft
Erläuterung:
Fläche des Trapezes = halbes Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x h x (b1 +b2) vorausgesetzt b1 = 3 und b2 = 5
Fläche = (1/2) x 4 x (5 +3)
Fläche = (1/2) x 32
Fläche = 16 sq. ft

ZUSAMMENGESETZTE ZAHLEN
Finden Sie den Bereich der Figur.

Frage 22.

Antworten:
178,5 Quadratfuß
Erläuterung:
Fläche des Trapezes = halbes Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x h x (14 +7) vorausgesetzt b1 = 14 und b2 = 7
Fläche = (1/2) x 17 x (14 +7)
Fläche = (1/2) x 357
Fläche = 178,5 sq. ft

Frage 23.

Frage 24.

FINDEN EINER FEHLENDEN DIMENSION
Finden Sie die Höhe des Trapezes.

Frage 25.

Antworten:
Die Höhe des Trapezes = Quadratwurzel aus Höhe und Basen

Frage 26.

Frage 27.

FINDUNGSBEREICH
Finden Sie die Fläche (in Quadratfuß) eines Trapezes mit Höhenhandbasen b1 und B2.

Frage 28.
h = 6 Zoll.
b1 = 9 Zoll.
b2 = 12 Zoll.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 0,43722 Quadratfuß

Erläuterung:
Fläche des Trapezes = halbes Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x h x (9 +12) vorausgesetzt b1 = 9 und b2 = 12
Fläche = (1/2) x 6 x (9 + 12)
Fläche = (1/2) x 126
Fläche = 63 in
1 Zoll = 0,00694 Quadratfuß
also 0.43722sq ft

Frage 29.
h = 12 m
b1 = 5 m²
b2 = 7 m²

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 648 Quadratfuß

Erläuterung:
Trapezfläche = halbes Produkt aus Höhe und Produkt der Grundflächen base
Fläche = (1/2) x h x (5 +7) vorausgesetzt b1 = 5 und b2 = 7
Fläche = (1/2) x 12 x (5 + 7)
Fläche = (1/2) x 144
Fläche = 72 m²
1 Yard = 9 Quadratfuß
also 72 yd = 72 x 9 sq ft
Fläche = 648 sq ft

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 355,212 Quadratfuß

Erläuterung:
Fläche des Trapezes = halbes Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x h x (3 +8) vorausgesetzt b1 = 3 und b2 = 8
Fläche = (1/2) x 6 x (3 + 8)
Fläche = (1/2) x 66
Fläche =33 m
1 m = 10,764 Quadratfuß
also 33 m = 33 x 10,764 Quadratfußq
Fläche = 355,212 sq ft

Frage 31.
OFFENES ENDE
Die Fläche des trapezförmigen Studentenwahlzeichens beträgt 5 Quadratmeter. Finden Sie zwei mögliche Werte für jede Basislänge.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 4 ft

Erläuterung:
Fläche des Trapezes = halbes Produkt der Höhe und des Produkts der Basen
Fläche = (1/2) x h x (4 +4) vorausgesetzt b1 = 4 und b2 = 4
Fläche = (1/2) x 2 x (4 + 4)
Fläche = (1/2) x 8
Fläche = 4 sq. ft

Frage 32.
ARGUMENTATION
Wie viel Mal größer ist die vom größeren Lautsprecher abgedeckte Fläche des Bodens als die vom kleineren Lautsprecher?

Erläuterung:
Der größere Lautsprecher ist 2-mal größer als der des kleineren Lautsprechers

Frage 33.
ARGUMENTATION
Das Rechteck und das Trapez haben die gleiche Fläche. Wie lang ist ℓ des Rechtecks?

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 36
Erläuterung:
Im oben angegebenen Trapez sind die Basen b1 = 12 und b2 = 24 Höhe = 9 ft
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x h x(b1 + b2)
Fläche = (1/2) x 9 x (12 +24)
Fläche = (1/2) x 324
Fläche = 162
Die Länge des Dreiecks = Länge X w
162 = 9l
Länge = 36 ft

KRITISCHES DENKEN
In der Abbildung ist die Fläche des Trapezes kleiner als das Doppelte der Fläche des Dreiecks. Finden Sie die möglichen Werte von x. Kann das Trapez die gleiche Fläche wie das Dreieck haben? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Der mögliche Wert von x = 15 in

Erläuterung:
In der obigen Aussage sagten sie, dass die Fläche des Trapezes weniger als das Doppelte der Fläche des Dreiecks beträgt
Fläche des Dreiecks = (1/2) x b x h
Fläche = (1/2) x 15 x 10
Fläche = (150/2) =75
Fläche des Trapezes = (1/2) x h x (b1 + b2)
Fläche = (1/2) x 10 x (15 +15)
Fläche = (300/2)
Fläche = 150
Die Fläche des Trapezes ist also 2 mal kleiner als die Fläche des Dreiecks.

Frage 35.
STRUKTUR
In Abschnitt 7.1 Aufgabe 34 und Abschnitt 7.2 Aufgabe 29 haben Sie eine Formel für den Flächeninhalt einer Raute in Bezug auf ihre Diagonalen geschrieben.
ein. Verwenden Sie Ihr Wissen über das Auffinden von Figurenflächen, um eine Formel für die Fläche eines Drachens in Bezug auf seine Diagonalen zu schreiben.
b. Gibt es Ähnlichkeiten zwischen Ihrer Formel in Teil (a) und der Formel, die Sie in den Abschnitten 7.1 und 7.2 gefunden haben? Erkläre warum oder warum nicht.

Antworten:
Die Fläche der Raute = (1/2) x Seite x Höhe

Erläuterung:
Der Drachen sieht genauso aus wie die Raute
Fläche der Raute = (1/2) x Seite x Höhe

Lektion 7.4 Dreidimensionale Figuren

ERKUNDUNG 1
Erkunden von Flächen, Kanten und Scheitelpunkten

Mit einem Partner zusammenarbeiten. Verwenden Sie das abgebildete rechteckige Prisma.
ein. Prismen haben Flächen, Kanten und Scheitelpunkte. Was bedeutet jeder dieser Begriffe?
b. Was bedeutet es, wenn Linien oder Ebenen in drei Dimensionen parallel oder senkrecht sind? Verwenden Sie Zeichnungen, um jeweils ein Paar der folgenden Elemente zu identifizieren.

  • parallele Gesichter
  • parallele Kanten
  • Kante parallel zu einer Fläche
  • senkrechte Gesichter
  • senkrechte Kanten
  • Kante senkrecht zu einer Fläche

ERKUNDUNG 2

Zeichnen von Ansichten eines Volumenkörpers
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Zeichnen Sie die Vorder-, Seiten- und Draufsichten jedes Würfelstapels. Dann finden Sie die Anzahl der Würfel im Stapel. Ein Beispiel ist links dargestellt.

Antworten:
a: die Anzahl der Würfel = 4
b: die Anzahl der Würfel = 4
c: die Anzahl der Würfel = 5
d: die Anzahl der Würfel = 6

Erläuterung:
a: />
b:: />
c: />
d: />

Ein Körper ist eine dreidimensionale Figur, die einen Raum umschließt. Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Flächen alle Polygone sind.

Frage 1.
Ermitteln Sie die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte des Volumenkörpers.

Antworten:
Gesichter = 5
Kanten = 12
Scheitelpunkte = 6

Erläuterung:
Die Anzahl der Gesichter = 5
die Anzahl der Kanten = 12
die Anzahl der Ecken = 6

Zeichnen Sie den Körper.

Antworten:

Frage 3.
fünfeckige Pyramide

Antworten:

Selbsteinschätzung für Konzepte und Fähigkeiten

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 4.
FLÄCHEN, KANTEN UND VERTICES
Ermitteln Sie die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte des Volumenkörpers auf der linken Seite.

Antworten:
Gesichter: 3
Kanten: 6
Scheitelpunkte: 3

Erläuterung:
Die Anzahl der Flächen des Festkörpers links = 3
Kanten = 6
Scheitelpunkte = 3

Frage 5.
ZEICHNEN EINES SOLID
Zeichne ein achteckiges Prisma.

Antworten:

Frage 6.
WELCHER GEHÖRT NICHT?
Welche Figuren gehören nicht zu den anderen drei? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Die 3. Figur unterscheidet sich von den anderen 3 Figuren

Erläuterung:
Die 3. Figur entspricht dem quadratischen Prisma
die anderen 3 Figuren sind dreieckige Prismen

Selbsteinschätzung zur Problemlösung

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 7.
Das Flatiron Building in New York City hat die Form eines dreieckigen Prismas. Zeichnen Sie eine Skizze des Gebäudes.

Antworten:

Frage 8.
Die Pyramide der Nischen befindet sich in El Tajín, einer archäologischen Stätte in Veracruz, Mexiko. Zeichnen Sie die Vorder-, Seiten- und Draufsicht der Pyramide. Erklären.

Antworten:
Vorderseite = 2
Seite = 1
oben = 1

Erläuterung:
/>

Frage 9.
Verwenden Sie den abgebildeten Diamanten mit Punktschliff.
ein. Ermitteln Sie die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte der Raute.
b. Zeichnen Sie die Vorder-, Seiten- und Draufsicht der Raute.
c. Wie kann ein Juwelier den Diamanten im Spitzenschliff wie in Beispiel 3 in einen Diamanten im Tafelschliff umwandeln?

Antworten:
a : die Anzahl der Flächen = 8,Kanten = 16,Eckpunkte = 6
b : vorne = 2 , seitlich = 2, oben = 1

Erläuterung:
a : Gesichter = 8
Kanten = 16
Scheitelpunkte = 6
b : />

Dreidimensionale Figuren Hausaufgaben & Übung 7.4

Überprüfen und aktualisieren

Finden Sie den Bereich der Figur.

Frage 1.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 15 ft
Erläuterung:
Im oben angegebenen Trapez sind die Basen b1 = 12 und b2 = 24 Höhe = 9 ft
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x h x(b1 + b2)
Fläche = (1/2) x 3 x (4 +6)
Fläche = (1/2) x 30
Fläche = 15
Frage 2.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 18 km
Erläuterung:
Im oben angegebenen Trapez sind die Basen b1 = 12 und b2 = 24 Höhe = 9 ft
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x h x(b1 + b2)
Fläche = (1/2) x 3 x (5 +7)
Fläche = (1/2) x 36
Fläche = 18 km

Frage 3.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 18 km
Erläuterung:
Im oben angegebenen Trapez sind die Basen b1 = 12 und b2 = 24 Höhe = 9 ft
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x h x(b1 + b2)
Fläche = (1/2) x 18 x (6 +6)
Fläche = (1/2) x 216
Fläche = 18 k

Finden Sie die LCM der Zahlen.

Erläuterung:
Faktoren von 8 = 2 x 2 x 2
Faktoren von 12 = 2 x 2x 3
l.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3
l.c.m = 24

Erläuterung:
Faktoren von 15 = 5 x 3
Faktoren von 25 = 5 x 5
l.c.m. = 5 x 3 x 5
l.c.m = 75

Erläuterung:
Faktoren von 32 = 8 x 4
Faktoren von 44 = 11 x 4
l.c.m. = 4 x 11 x 8
l.c.m = 352

Erläuterung:
Faktoren von 3 = 3 x 1
Faktoren von 7 = 7 x 1
Faktoren von 10 =5 x 2
l.c.m. = 3 x 7 x 5 x 2
l.c.m = 210

Ein Eimer enthält Steine ​​und Muscheln. Sie erhalten die Anzahl der Muscheln im Eimer und das Verhältnis von Steinen zu Muscheln. Finden Sie die Anzahl der Steine ​​im Eimer.

Frage 8.
18 Muscheln 2 bis 1

Antworten:
Anzahl der Steine ​​= 12
Anzahl der Muscheln = 6

Erläuterung:
(18/3) = 6
2 : 1 = 12 : 6

Frage 9.
30 Muscheln 4 : 3

Antworten:
Anzahl der Steine ​​= 17,14
Anzahl der Muscheln = 12.6

Erläuterung:
(30/7) = 4.2
4 : 3 = 17.4 : 12.6

Frage 10.
40 Muscheln 7 : 4

Antworten:
Anzahl der Steine ​​= 25,45
Anzahl der Muscheln = 14,54

Erläuterung:
(40/11) = 3.63
7 : 4 = 25.45 : 14.54

Konzepte, Fähigkeiten und Problemlösung

ZEICHNUNG VON ANSICHTEN EINES SOLID
Zeichnen Sie die Vorder-, Seiten- und Draufsicht des Würfelstapels. Dann finden Sie die Anzahl der Würfel im Stapel. (Siehe Erkundung 2, S. 305.)

Frage 11.

Antworten:
vorne = 10
Seite = 3
oben = 4

Erklärung: />

Frage 12.

Antworten:
vorne = 9
Seite = 3
oben = 5

Erklärung: />

Frage 13.

Antworten:
vorne = 5
Seite = 5
oben = 8

Erklärung: />

FLÄCHEN, KANTEN UND VERTICES
Ermitteln Sie die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte des Volumenkörpers.

Frage 14.

Antworten:
Gesichter = 10
Kanten = 24
Scheitelpunkte = 9

Erläuterung:
Die Anzahl der Gesichter = 10
die Anzahl der Kanten = 24
die Anzahl der Ecken =9

Frage 15.

Antworten:
Gesichter = 17
Kanten = 34
Scheitelpunkte = 13

Erläuterung:
Die Anzahl der Gesichter = 17
die Anzahl der Kanten = 34
die Anzahl der Ecken =13

Frage 16.

Antworten:
Gesichter = 10
Kanten = 20
Scheitelpunkte = 7

Erläuterung:
Die Anzahl der Gesichter = 10
die Anzahl der Kanten = 20
die Anzahl der Ecken =7

ZEICHNUNG VON FESTSTOFFEN
Zeichnen Sie den Körper.

Frage 17.
dreieckiges Prisma

Antworten:

Frage 18.
fünfeckiges Prisma

Antworten:

Frage 19.
rechteckige Pyramide

Frage 20.
sechseckige Pyramide

Antworten:

Frage 21.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Die Cestius-Pyramide in Rom, Italien, hat die Form einer quadratischen Pyramide. Zeichne eine Skizze der Pyramide.

Antworten:

Frage 22.
FORSCHUNG
Verwenden Sie das Internet, um ein Bild des Washington Monument zu finden. Beschreiben Sie seine Form.

ZEICHNUNG VON ANSICHTEN EINES SOLID
Zeichnen Sie die Vorder-, Seiten- und Draufsicht des Volumenkörpers.

Frage 23.

Antworten:
vorne = 1
Seite = 2
oben = 1

Erläuterung:
/>

Frage 24.

Antworten:
vorne =2
Seite = 2
oben = 1

Erläuterung:
/>

Frage 25.

Antworten:
vorne =2
Seite = 2
oben = 1

Erläuterung:
/>

Frage 26.

Antworten:
vorne =2
Seite = 2
oben = 2

Erläuterung:
/>

Frage 27.

Antworten:
vorne = 1
Seite = 2
oben = 1

Erläuterung:
/>

Frage 28.

Antworten:
vorne = 1
Seite = 1
oben = 1

Erläuterung:
/>

ZEICHNUNG VON FESTSTOFFEN
Zeichnen Sie einen Volumenkörper mit den folgenden Vorder-, Seiten- und Draufsichten.

Frage 29.

Antworten:

Erläuterung:
vorne = 2 oben = 1 Seite = 2

Frage 30.

Frage 31.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Entwerfen und zeichnen Sie ein Haus. Benennen Sie die verschiedenen Körper, aus denen Sie ein Modell des Hauses erstellen können.

Frage 32.
GRAB TIEFER!
Es werden zwei der drei Ansichten eines Volumenkörpers angezeigt.
ein. Was ist die größte Anzahl von Würfeln im Festkörper?
b. Wie viele Würfel hat der Festkörper am wenigsten?
c. Zeichnen Sie die Vorderansichten beider Volumenkörper in den Teilen (a) und (b).

Antworten:
a: Die größte Anzahl von Würfeln im Festkörper = 3
b : Die kleinste Anzahl von Würfeln im Festkörper = 2
c : />

Frage 33.
OFFENES ENDE
Zeichnen Sie zwei verschiedene Körper mit fünf Flächen.
ein. Schreiben Sie die Anzahl der Scheitelpunkte und Kanten für jeden Volumenkörper.
b. Erklären Sie, wie Ihnen die Kenntnis der Anzahl der Kanten und Scheitelpunkte beim Zeichnen einer dreidimensionalen Figur hilft.

Frage 34.
KRITISCHES DENKEN
Die Basis einer Pyramide hat n Seiten. Ermitteln Sie die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte der Pyramide. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Lektion 7.5 Oberflächen von Prismen

ERKUNDUNG 1
Verwenden von Rasterpapier zum Konstruieren eines Volumenkörpers
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Kopieren Sie die unten gezeigte Abbildung auf Rasterpapier.

ein. Schneide die Figur aus und falte sie zu einer festen Masse. Welche Art von Festkörper bildet die Figur?
b. Wie groß ist die Fläche der gesamten Oberfläche des Festkörpers?

ERKUNDUNG 2
Den Bereich der gesamten Oberfläche ermitteln
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Finden Sie die Fläche der gesamten Oberfläche jedes Festkörpers. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Die Oberfläche eines Volumenkörpers ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen. Sie können eine zweidimensionale Darstellung eines Festkörpers, ein sogenanntes Netz, verwenden, um die Oberfläche des Festkörpers zu ermitteln. Die Oberfläche wird in Quadrateinheiten gemessen.

Schlüsselidee
Netz eines rechteckigen Prismas
Ein rechteckiges Prisma ist ein Prisma mit rechteckigen Grundflächen.

Finden Sie die Oberfläche des rechteckigen Prismas.

Frage 1.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche der Oberseite + Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche der Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 9 x 5 + 9 x 5 + 6 x 9+ 6 x 9 + 6 x 5 +6 x 5
Oberfläche = 45 + 45 + 54 + 54 + 30 +30
Oberfläche = 258 mm²

Frage 2.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche = 10 x 3,5 + 10 x 3,5 + 10 x 8+ 10 x 8 + 8 x 3,5 + 8 x 3,5
Oberfläche = 35 +35+ 80 + 80 +28 +28
Oberfläche = 286 sq. ft

Schlüsselidee
Netz eines dreieckigen Prismas
Ein Dreiecksprisma ist ein Prisma mit dreieckigen Grundflächen.

Finden Sie die Oberfläche des dreieckigen Prismas.

Frage 3.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 3 x 5 = 15+ (1/2) x 3 x 4 = 6 + (1/2) x 3 x 4 = 6 + 4 x 5 = 20 + 5 x 4 = 20
unten = 3 x 5 , vorne = (1/2) x 3 x 4, hinten = (1/2) x 3 x 4, Seite = 4 x 5 , Seite = 5 x 4
Oberfläche = 15 +6 +6 +20 + 20
Fläche = 67 sq. yd

Frage 4.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 10 x 10 = 100+ (1/2) x 10 x 16=80 + (1/2) x 10 x 16 = 80+ 9 x 10 =90 + 10 x 16=160
unten = 10 x 10 , vorne = (1/2) x 10 x 16, hinten = (1/2) x 10 x 16, Seite = 9 x 10 , Seite = 10 x 16
Oberfläche = 100 +80 +80+90 +160
Fläche = 510 m²

Wenn alle Kanten eines rechteckigen Prismas die gleiche Länge s haben, ist das rechteckige Prisma ein Würfel. Das Würfelnetz zeigt, dass jede der 6 identischen quadratischen Flächen eine Fläche von s 2 hat. Eine Formel für die Oberfläche eines Würfels lautet also
S = 6s 2 . Formel für die Oberfläche eines Würfels

Versuch es
Finden Sie die Oberfläche des Würfels.

Frage 5.

Erläuterung:
Fläche des Würfels = 6 s2
Fläche = 6 x Seite x Seite
Fläche = 6 x 4 x 4
Fläche = 96 cm²

Frage 6.

Erläuterung:
Fläche des Würfels = 6 s2
Fläche = 6 x Seite x Seite
Fläche = 6 x 0,5 x 0,5
Fläche = 1,5 Quadratzoll

Selbsteinschätzung für Konzepte und Fähigkeiten

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 7.
SUCHEN DER OBERFLÄCHE
Bestimmen Sie die Oberfläche eines Würfels mit einer Kantenlänge von 9 Zentimetern.

Erläuterung:
Fläche des Würfels = 6 s2
Fläche = 6 x Seite x Seite mit s = 9 cm
Fläche = 6 x 9 x 9
Fläche = 486 cm²

Frage 8.
VERSCHIEDENE WÖRTER, GLEICHE FRAGE
Was ist anders? Finden Sie „beide“ Antworten.

Selbsteinschätzung zur Problemlösung

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 9.
Licht scheint durch ein Glasprisma und bildet einen Regenbogen. Welche Oberfläche hat das Prisma?

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 6 x 3 = 18+ (1/2) x 5 x 6=30 + (1/2) x 5 x 6 = 30+ 3 x 5 =15+ 5 x 6= 30
unten = 6 x 3 , vorne = (1/2) x 5 x 6, hinten = (1/2) x 5 x 6, Seite = 3 x 5 , Seite = 5 x 6
Oberfläche = 18 +15 +15 +15 +30
Fläche = 93 cm²

Frage 10.
Ein Pint Tafelfarbe deckt 60 Quadratmeter ab. Was ist die geringste Anzahl von Pints ​​Farbe, die benötigt wird, um die Wände eines Raumes in Form eines rechteckigen Prismas mit einer Länge von 4,50 Metern, einer Breite von 4 Metern und einer Höhe von 3 Metern zu streichen? Erklären.

Frage 11.
GRAB TIEFER!
Für den Einsatz in Robotik und Prothetik wird ein flexibles Metamaterial entwickelt. Ein Block aus Metamaterial hat die Form eines Würfels mit einer Oberfläche von 600 Quadratzentimetern. Welche Kantenlänge hat der Metamaterialblock?

Antworten:
Die Kantenlänge des Metamaterialblocks = 25 Quadratzentimeter

Erläuterung:
Die Oberfläche des Würfels = 6 s im Quadrat
Fläche = 6 x 25 x 4
Fläche = 6 x 100
Fläche = 600 Quadratzentimeter

Flächen von Prismen Hausaufgaben & Übung 7.5

Überprüfen und aktualisieren

Zeichnen Sie die Vorder-, Seiten- und Draufsicht des Volumenkörpers.

Frage 1.

Antworten:
vorne = 1
Seite = 2
oben = 1

Erläuterung:
/>
Frage 2.

Antworten:
vorne = 1
Seite = 1
oben = 1

Erläuterung:
/>

Frage 3.

Antworten:
vorne = 1
Seite = 2
oben = 2

Erläuterung:
/>
Finden Sie den GCF der Zahlen.

Erläuterung:
Die Faktoren von 18 sind = 3 x 3 x 2
Die Faktoren von 72 sind = 3 x 3 x 2 x 2 x 2
Von den oben genannten sind die größten gemeinsamen Faktoren = 3 x 3 x 2 =18

Erläuterung:
Die Faktoren von 44 sind = 2 x 2 x 11
Die Faktoren von 110 sind = 2 x 5 x 11
Von den oben genannten sind die größten gemeinsamen Faktoren = 2 x 11 = 22

Erläuterung:
Die Faktoren von 78 sind = 2 x 3 x 13
Die Faktoren von 93 sind = 3 x 31
Von den oben genannten sind die größten gemeinsamen Faktoren = 3

Erläuterung:
Die Faktoren von 60 sind = 2 x 2 x 3 x 5
Die Faktoren von 96 sind = 2 x 2 x 2x 2 x 2 x 3
Die Faktoren von 156 sind =2 x 2 x 3 x 13
Von den oben genannten sind die größten gemeinsamen Faktoren = 2 x 2 x 3 = 12

Löse die Gleichung.

Erläuterung:
s = 12 + 5
s = 17

Erläuterung:
x = 20 -9
x = 11

Erläuterung:
48 = 6r
r = (48/6)
r = 8

Erläuterung:
(m/5) = 13
m = 13 x 5
m = 65

Konzepte, Fähigkeiten und Problemlösung
VERWENDUNG VON WERKZEUGEN
Verwenden Sie ein Netz, um den Bereich der gesamten Oberfläche des Festkörpers zu finden. Erklären Sie Ihre Argumentation. (Siehe Erkundung 2, S. 311.)

Frage 15.

Antworten:
Die Fläche des Rechtecks ​​= Länge x Breite
Fläche = l x b

Erläuterung:
Die obige Abbildung entspricht dem Rechteck
Die Fläche des Rechtecks ​​= Länge x Breite
Fläche = l x b

Frage 16.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = (/2) x Länge x Breite
Fläche =(1/2) x l x b

Erläuterung:
Die obige Abbildung ist die gleiche wie das Dreieck
Die Fläche des Rechtecks ​​=(1/2) x Länge x Breite
Fläche =(1/2) l x b

Frage 17.

Antworten:
Die Oberfläche des Quadrats = (/2) x Länge x Breite
Fläche =(1/2) x l x b

Erläuterung:
Die obige Abbildung ist die gleiche wie das Dreieck
Die Fläche des Rechtecks ​​=(1/2) x Länge x Breite
Fläche =(1/2) l x b

SUCHEN DER OBERFLÄCHE
Finden Sie die Oberfläche des rechteckigen Prismas.

Frage 18.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 5 x 1 + 5 x 1 + 10 x 5 + 10 x 5 + 10 x 1 +10 x 1
Oberfläche = 5 + 5 + 50 + 50 +10 +10
Oberfläche = 130

Frage 19.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 6 x 9 + 6 x 9 + 9 x 3 + 9 x 3 + 6 x 3 +6 x 3
Oberfläche = 54 + 54 + 27 + 27 +18 +18
Oberfläche = 198 cm²

Frage 20.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Fläche = 2 x 4+ 2 x 4 + 4 x 5 + 4 x 5 + 2 x 5 +2 x 5
Oberfläche = 8 + 8 + 20 + 20+10+10
Oberfläche = 76

Frage 21.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche = 2 x 4+ 2 x 4 + 3 x 2 + 3 x 2 + 4 x 3 +4 x 3
Oberfläche = 8 + 8 + 6 + 6 +12 +12
Oberfläche = 52

Frage 22.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche = 5,5 x 3 + 5,5 x 3 + 3 x 7,25 + 3 x 7,25 + 5,5 x 7,25 + 5,5 x 7,25
Oberfläche = 16,5+ 16,5 + 21,75 + 21,75 +39,875 +39,875
Oberfläche = 116,375 m²

Frage 23.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche = 6 x 2,33 + 6 x 2,33 + 2,33 x 1,25 + 2,33 x 1,25 + 6 x 1,25 + 6 x 1,25
Oberfläche = 13,98+ 13,98 + 2,9125 + 2,9125 +7,5 +7,5
Oberfläche = 48,785 mi

SUCHEN DER OBERFLÄCHE
Finden Sie die Oberfläche des dreieckigen Prismas.

Frage 24.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 3 x 4 = 12 + (1/2) x 3 x 10 = 15 + (1/2) x 3 x 10 = 15 + 4 x 5 = 20 + 4 x 10 = 40
unten = 3 x 4 , vorne = (1/2) x 3 x 10, hinten = (1/2) x 3 x 10, Seite = 4 x 5 , Seite = 4 x 10
Oberfläche = 12 +15 +15+20 +40
Fläche = 102 cm²

Frage 25.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 16 x 10 = 160+ (1/2) x 16 x 17 = 136 + (1/2) x 16 x 17 = 136+ 15 x 10=150 + 15 x 16 = 240
unten = 16 x 10 , vorne = (1/2) x 16 x 17, hinten = (1/2) x 16 x 17, Seite = 15 x 10 , Seite = 15 x 16
Oberfläche = 160 +136+ 136 + 150 + 240
Fläche = 822 m

Frage 26.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 12 x 9 = 108+ (1/2) x 12 x 10 = 60 + (1/2) x 12 x 10 = 60 + 15 x 9 = 135 + 9 x 20 = 180
unten = 12 x 9 , vorne = (1/2) x12 x 10, hinten = (1/2) x 12 x 10, Seite = 115 x 9 , Seite = 9 x 20
Oberfläche =108 +60 +60+ 135 +180
Fläche = 543 Zoll

Frage 27.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 1 x 3 = 3+ (1/2) x 1 x 2,2 = 1,1 + (1/2) x 1 x 2,2 = 1,1 + 2 x 3 = 6+ 3 x 2,2 = 6,6
unten = 1 x 3 , vorne = (1/2) x1 x 2,2, hinten = (1/2) x 1 x 2,2, Seite = 2 x 3 , Seite = 3 x 2,2
Oberfläche = 3 + 1,1 + 1,1 + 6 + 6,6
Fläche = 17,8 ft

Frage 28.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 4 x 4 = 16+ (1/2) x 4 x 3 = 6 + (1/2) x 4 x 3 = 6 + 5,7 x 4=22,8+ 3 x 4 = 12
unten = 4 x 4 , vorne = (1/2) x 4 x 3, hinten = (1/2) x 4 x 3, Seite = 5,7 x 4 , Seite = 3 x 4
Oberfläche = 16 + 6 + 6 +22,8 + 12
Fläche = 62, 8 mm

Frage 29.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 10 x (17/3) = 56,6+ (1/2) x 10 x 13 = 65 + (1/2) x 10 x 13 = 65 + 12 x (17/3) = 68+ (17/ 3) x 13 = 73,6
unten = 10 x (17/3) , vorne = (1/2) x 10 x 13, hinten = (1/2) x 10 x 13, seitlich = 12 x (17/3) , seitlich = (17/3 ) x 13
Oberfläche = 56,6 + 65 + 65 + 68 + 73,6
Fläche = 3228,26 m

Frage 30.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Eine Geschenkbox in Form eines rechteckigen Prismas misst 8 x 8 x 10 Zoll. Was ist die geringste Menge an Geschenkpapier, um die Geschenkbox zu verpacken? Erklären

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche = 8 x 8 + 8 x 8 + 10 x 8 + 10 x 8+ 8 x 10 + 8 x 10
Oberfläche = 64 + 64+ 80 + 80 + 80 + 80
Oberfläche = 440 in
Die geringste Menge an Geschenkpapier, die zum Verpacken der Geschenkbox benötigt wird = 440 in

Frage 31.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Was ist die geringste Menge an Stoff, die für die Herstellung des Zeltes benötigt wird?

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 6 x 4 = 24+ (1/2) x 6 x 5 = 15 + (1/2) x 6 x 5 = 15+ 7 x 4 = 28+ 5 x 4 = 20
unten = 6 x 4 , vorne = (1/2) x 6 x 5, hinten = (1/2) x 6 x 5, Seite = 7 x 4 , Seite = 5 x 4
Oberfläche = 24 + 15 + 15 + 28 + 20
Fläche = 20 sq. ft

SUCHEN DER OBERFLÄCHE

Finden Sie die Oberfläche des Würfels.

Frage 32.

Erläuterung:
Fläche des Würfels = 6 s2
Fläche = 6 x Seite x Seite
Fläche = 6 x 6 x 6
Fläche = 216 km²

Frage 33.

Erläuterung:
Fläche des Würfels = 6 s²
Fläche = 6 x Seite x Seite
Fläche = 6 x (1/2) x (1/2)
Fläche = 6 x 0,11111
Fläche = 0,6666 sq. ft

Frage 34.

Erläuterung:
Fläche des Würfels = 6 s²
Fläche = 6 x Seite x Seite
Fläche = 6 x 5,5 x 5,5
Fläche = 6 x 30,25
Fläche = 181,5 sq. yd

Frage 35.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Ein Stück Trockeneis hat die Form eines Würfels mit einer Kantenlänge von 7 Zentimetern. Finden Sie die Oberfläche des Trockeneises.

Antworten:
294 Zentimeter
Erläuterung:
Fläche des Würfels = 6 s2
Fläche = 6 x Seite x Seite
Fläche = 6 x 7 x 7
Fläche = 6 x 49
Fläche = 294 cm²

Frage 36.
DU BIST DER LEHRER
Ihr Freund findet die Oberfläche des Prismas. Hat dein Freund recht? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Nein, mein Freund hat nicht Recht, weil mein Freund die Oberfläche des Würfels gemacht hat

Erläuterung:
Mein Freund hat die Oberfläche des Würfels gemacht
Würfel = 6s²

Frage 37.
KRITISCHES DENKEN
Eine öffentliche Bibliothek hat das Aquarium gezeigt. Das vordere Glasstück hat eine Fläche von 24 Quadratmetern. Wie viele Quadratmeter Glas wurden für den Bau des Aquariums verwendet?

Antworten:
Die Quadratmeter Glas wurden verwendet, um das Aquarium zu bauen = 12 ft

Erläuterung:
Die Quadratmeter Glas wurden für den Bau des Aquariums verwendet = l x b
Quadrat = 6 x 2,5
Quadrat = 12

Frage 38.
PROBLEME LÖSEN
Eine Müslischachtel hat die abgebildeten Maße.
ein. Finden Sie die Oberfläche der Müslischachtel.
b. Der Hersteller beschließt, die Größe der Schachtel zu verringern, indem er jede der Abmessungen um 1 Zoll verringert. Finden Sie die Abnahme der Oberfläche.

Antworten:
a: 216 Zoll
b : 144 Zoll

Erläuterung:
Oberfläche von a = 6 x s x s
Fläche = 6 x 36
Fläche = 216
Oberfläche von b = 6 x s x s
Fläche = 6 x 24
Fläche = 144, weil sie sagten, dass die Müslischachtel um 1 Zoll verringert wird

Frage 39.
ARGUMENTATION
Das Material, aus dem eine Aufbewahrungsbox hergestellt wird, kostet 1,25 US-Dollar pro Quadratfuß. Die Boxen haben das gleiche Volumen. Welche Box könnte ein Unternehmen am liebsten herstellen? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Frage 40.
LOGIK
Welche der folgenden sind Netze eines Würfels? Wählen Sie alle zutreffenden.

Frage 41.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Ein Liter Fleck bedeckt 100 Quadratmeter. Wie viele Liter sollten Sie kaufen, um die Rollstuhlrampe zu färben? (Angenommen, Sie müssen den Boden der Rampe nicht beflecken.)

Frage 42.
GRAB TIEFER!
Ein Würfel wird aus einem rechteckigen Prisma entfernt. Finden Sie die Oberfläche der Figur, nachdem Sie den Würfel entfernt haben.

Erläuterung:
Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche des Bodens + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 9 x 8= 72 + (1/2) x 9 x 5=94,5 + (1/2) x 9 x 5 = 94,5 + 5 x 8 = 40+ 8 x 5 =40
unten = 9 x 8 , vorne = (1/2) x 9 x 5, hinten = (1/2) x 9 x 5, Seite = 5 x 8 , Seite = 8 x 5
Oberfläche = 72 + 94,5 + 94,5 +40 +40
Fläche = 341 sq. ft

Lektion 7.6 Oberflächen von Pyramiden

ERKUNDUNG 1
Verwenden eines Netzes zum Konstruieren eines Volumenkörpers
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Kopieren Sie das unten gezeigte Netz auf Gitterpapier.

ein. Schneiden Sie das Netz aus und falten Sie es zu einer festen Masse. Welche Art von Festkörper bildet das Netz?
b. Wie groß ist die Oberfläche des Festkörpers?

ERKUNDUNG 2
Auffinden von Oberflächen von Festkörpern
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Finden Sie die Oberfläche jedes Festkörpers. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Schlüsselidee

In diesem Buch ist die Basis jeder Pyramide entweder ein Quadrat oder ein gleichseitiges Dreieck. Die Seitenflächen sind also identische Dreiecke.

Versuch es
Finden Sie die Oberfläche der quadratischen Pyramide.

Frage 1.

Erläuterung:
Oberfläche der quadratischen Pyramide = Boden + Seite + Seite + Seite + Seite
Fläche = 4 + 3 + 3 + 3
unten = 2 x 2= 4, Seite = (1/2) x 2 x 3 = 3,
Fläche = 16 sq. ft

Frage 2.

Antworten:
62,5 cm²
Erläuterung:
Oberfläche der quadratischen Pyramide = Boden + Seite + Seite + Seite + Seite
Fläche = 25 + 12,5 + 12,5 + 12,5
unten = 5 x 5 = 25, Seite = (1/2) x 5 x 5 = 12,5,
Fläche = 62,5 cm²

Versuch es
Finden Sie die Oberfläche der dreieckigen Pyramide.

Frage 3.

Erläuterung:
Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Boden + Seite + Seite + Seite
Fläche = 17 + 3 + 3 + 3
unten = (1/2) x 3 x 4 = 17 , Seite =(1/2) x 3 x 2 = 3
Fläche = 26 cm²

Frage 4.

Erläuterung:
Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Boden + Seite + Seite + Seite
Fläche = 17 + 3 + 3 + 3
unten = (1/2) x 3 x 4 = 17 , Seite =(1/2) x 3 x 2 = 3
Fläche = 26 cm²

Selbsteinschätzung für Konzepte und Fähigkeiten
Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 5.
PRÄZISION
Erklären Sie, wie Sie die Oberfläche einer Pyramide bestimmen.

Antworten:
Oberfläche der Pyramide = Fläche +(1/2) x p x s

Erläuterung:,
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s wobei p = Umfang der Basis, s = schräge Höhe

SUCHEN DER OBERFLÄCHE
Finden Sie die Oberfläche der Pyramide.

Frage 6.

Erläuterung:,
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s wobei p = Umfang der Basis, s = schräge Höhe
Fläche = 7 +(1/2) x 4 x 7
Fläche = 7 + 14
Fläche = 21 sq. yd

Frage 7.

Erläuterung:,
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s wobei p = Umfang der Basis, s = schräge Höhe
Fläche = 8 +(1/2) x 7 x 6,9
Fläche = 7 + (48,3/2)
Fläche = 7 + 24,15
Fläche = 31,15 m²

Selbsteinschätzung zur Problemlösung

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 8.
Eine Salzlampe hat die Form einer dreieckigen Pyramide. Finden Sie die Oberfläche jeder dreieckigen Fläche.

Antworten:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = 115,5 Quadratzoll

Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 3 in
Fläche des Gesichts2 = 3 in
Fläche des Gesichts3 = 3 in
Fläche des Gesichts4 = 3in
Fläche der Basis = 3.5
Oberfläche = 12 + 3,5 = 15,5 Quadratzoll

Frage 9.
GRAB TIEFER!
Ursprünglich hatte jede dreieckige Fläche der Großen Pyramide von Gizeh eine Höhe von 612 Fuß und eine Basis von 756 Fuß. Heute beträgt die Höhe jeder dreieckigen Fläche der quadratischen Pyramide 592 Fuß. Finden Sie die Veränderung der Gesamtoberfläche der vier dreieckigen Seiten der Großen Pyramide von Gizeh.

Antworten:
Die Oberfläche der vier Dreiecksflächen = 612 sq. ft

Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 612 sq. ft
Fläche des Gesichts2 = 612 sq. ftft
Fläche des Gesichts3 = 612 sq. ft
Fläche des Gesichts4 = 612 sq. ft
Fläche der Basis = 756 sq. ft
Oberfläche = 3204 sq. ft

Flächen von Pyramiden Hausaufgaben & Übung 7.6

Überprüfen und aktualisieren

Finden Sie die Oberfläche des Prismas.

Frage 1.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche = 7 x 2 + 7 x 2 + 7 x 3+ 7 x 3 + 3 x 2 + 3 x 2
Oberfläche = 14 +14+ 21 + 21 +6+6
Oberfläche = 82 sq. ft

Frage 2.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche = + 7 x 2 + 7 x 3+ 7 x 3 + 3 x 2 + 3 x 2
Oberfläche = 14 +14+ 21 + 21 +6+6
Oberfläche = 82 sq. ft

Frage 3.

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche =8 x 8 + 8 x 8 + 8 x 8+ 8 x 8 + 8 x 8 + 8 x 8
Oberfläche = 64 +64 + 64 + 64+ 64+64
Oberfläche = 384 Quadratzoll

Vergleichen Sie den Ausdruck mit einem äquivalenten Ausdruck.

Frage 4.

Erläuterung:
3 x (4n + 2)
12n + 6
A. 2 x (6n + 6)
12n + 12

Frage 5.

Erläuterung:
6 x (2n + 3)
12n + 18
A. 6 x (2n + 3)
12n + 18

Frage 6.

Erläuterung:
4x (3n + 4 )
12n + 16
C. 2 x (6n + 3)
12n + 6

Frage 7.

Antworten:
12n + 12
D. 2 x (6n +8)

Erläuterung:
4x (3n + 3)
12n + 12
C. 2 x (6n + 8)
12n + 16

Schreibe den Bruch oder die gemischte Zahl in Prozent.

Erläuterung:
(17/25) = (17/25 x 100)
(17 x 4)/(25 x 4)
(68/100)
(34/50)
68%

Erläuterung:
(19/20) = (19/20 x 100)
(19 x 5)/(20 x 5)
(95/100)
95%
Frage 10.
6(frac<7><8>)

Erläuterung:
(7/8) = (7/8 x 100)
6 x (7/8) = 6 x (7/8 x 100)
(55/8)

Erläuterung:
(3/400) = (3/400 x 100)
(3/4) = 0.75%

Konzepte, Fähigkeiten und Problemlösung
VERWENDUNG VON WERKZEUGEN
Verwenden Sie ein Netz, um die Oberfläche des Festkörpers zu finden. Erklären Sie Ihre Argumentation. (Siehe Erkundung 2, S. 319.)

Frage 12.

Antworten:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = a+(1/2) x p x s

Erläuterung:
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s wobei p = Umfang der Basis, s = schräge Höhe

Frage 13.

Antworten:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = a+(1/2) x p x s

Erläuterung:
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s wobei p = Umfang der Basis, s = schräge Höhe

Frage 14.

Antworten:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = a+(1/2) x p x s

Erläuterung:
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s wobei p = Umfang der Basis, s = schräge Höhe

SUCHEN DER OBERFLÄCHE
Finden Sie die Oberfläche der Pyramide.

Frage 15.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 27 in

Erläuterung:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 5 Quadratzoll
Fläche des Gesichts2 = 5 Quadratzoll
Fläche des Gesichts3 = 5 Quadratzoll
Fläche des Gesichts4 = 5 Quadratzoll
Fläche der Basis = 7 Quadratzoll
Oberfläche = 27 Quadratzoll

Frage 16.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 51,6 sq. yd

Erläuterung:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 11,4 sq. yd
Fläche des Gesichts2 = 11,4 sq. yd
Fläche des Gesichts3 = 11,4 sq. yd
Fläche des Gesichts4 = 11,4 sq. yd
Grundfläche = 6 sq. yd
Oberfläche = 51,6 sq. yd

Frage 17.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 80 cm²

Erläuterung:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 17 cm²
Fläche des Gesichts2 = 17 cm²
Fläche des Gesichts3 = 17 cm²
Fläche des Gesichts4 = 17 cm²
Grundfläche = 12 cm²
Oberfläche = 80 cm²

Frage 18.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 50,8 sq. ft

Erläuterung:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 10,4 sq. ft
Fläche des Gesichts2 = 10,4 sq. ft
Fläche des Gesichts3 = 9 sq. ft
Fläche des Gesichts4 = 9 sq. ft
Fläche der Basis = 12 sq. ft
Oberfläche = 50,8 sq. ft

Frage 19.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 49,8 Quadratzoll

Erläuterung:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 6,9 Quadratzoll
Fläche des Gesichts2 = 6,9 Quadratzoll
Fläche des Gesichts3 = 14 Quadratzoll
Fläche des Gesichts4 = 14 Quadratzoll
Fläche der Basis = 8 Quadratzoll
Oberfläche = 49,8 Quadratzoll

Frage 20.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 27 m²

Erläuterung:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 8 m²
Fläche des Gesichts2 = 8 m²
Fläche des Gesichts3 = 3,5 m²
Fläche des Gesichts4 = 3,5 m²
Grundfläche = 4 m²
Oberfläche = 27 m²

Frage 21.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Ein Briefbeschwerer hat die Form einer dreieckigen Pyramide. Finden Sie die Oberfläche des Briefbeschwerers.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 9,8 Quadratzoll

Erläuterung:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 2,2 Quadratzoll
Fläche des Gesichts2 = 2,2 Quadratzoll
Fläche des Gesichts3 = 1,7 Quadratzoll
Fläche des Gesichts4 = 1,7 Quadratzoll
Fläche der Basis = 2 Quadratzoll
Oberfläche = 9,8 Quadratzoll

Frage 22.
PROBLEME LÖSEN
Der Eingang zum Louvre-Museum in Paris, Frankreich, ist eine quadratische Pyramide. Die Seitenlänge der Basis beträgt 116 Fuß und die Höhe einer der dreieckigen Flächen beträgt 91,7 Fuß. Finden Sie die Fläche der vier dreieckigen Seiten des Eingangs zum LouvreMuseum.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 48,2 sq. ft

Erläuterung:
Die Oberfläche der dreieckigen Pyramide = Fläche der Seitenflächen + Fläche der Basis
Fläche des Gesichts1 = 91,7 sq. ft
Fläche des Gesichts2 = 91,7 sq. ft
Fläche des Gesichts3 = 91,7 sq. ft
Fläche des Gesichts4 = 91,7 sq. ft
Fläche der Basis = 116 sq. ft
Oberfläche = 482,8 sq. ft

Frage 23.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Ein Siliziumwafer ist texturiert, um die Lichtreflexion zu minimieren. Dadurch entsteht eine Fläche aus quadratischen Pyramiden. Jede dreieckige Fläche einer der Pyramiden hat eine Grundfläche von 5 Mikrometern und eine Höhe von 5,6 Mikrometern. Ermitteln Sie die Oberfläche der Pyramide einschließlich der Grundfläche.

Antworten:
Fläche = 42 Quadratmikrometer

Erläuterung:,
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s wobei p = Umfang der Basis, s = schräge Höhe
Fläche = 28 +(1/2) x 5 x 5,6
Fläche = 28+ (28/2)
Fläche = 28+ 14
Fläche = 42 Quadratmikrometer

Frage 24.
ARGUMENTATION
Eine Hängeleuchtenabdeckung aus Glas hat die Form einer quadratischen Pyramide. Die Abdeckung hat keinen Boden. Ein Quadratmeter des Glases wiegt 2,45 Pfund. Die Kette kann 35 Pfund tragen. Wird die Kette die Lichtabdeckung tragen? Erklären.

Antworten:
Ja, die Kette unterstützt die Lichtabdeckung

Erläuterung:
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s wobei p = Umfang der Basis, s = schräge Höhe
Fläche = 4+(1/2) x 2 x 2
Fläche = 4+ 4
Fläche = 8
Fläche = 8 sq. ft

Frage 25.
GEOMETRIE
Die Oberfläche der gezeigten quadratischen Pyramide beträgt 84 Quadratzoll. Was ist der Wert von x?

Antworten:
Der Wert von x = 14 Zoll

Erläuterung:
Die Oberfläche der quadratischen Pyramide = Länge x Breite
Fläche = l x b
84 =6x
x = (84/6)
x = 14 Zoll

Frage 26.
STRUKTUR
Im Diagramm der Basis der sechseckigen Pyramide sind alle Dreiecke gleich. Finden Sie die Oberfläche der sechseckigen Pyramide.

Antworten:
Die Oberfläche der sechseckigen Pyramide = 478,32 cm

Erläuterung:
Die Oberfläche der sechseckigen Pyramide = 3ab +3bs
Fläche = 3 x 8 x 6,93 +3 x 8 x 13 wobei a = 8,b =8, s = 13
Fläche = 166,32+312
Fläche = 478,32 cm²

Frage 27.
KRITISCHES DENKEN
Können Sie eine quadratische Pyramide aus einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 14 Zoll und vier der gezeigten Dreiecke bilden? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Ja
Erläuterung:
gegeben, dass das Quadrat Seitenlängen von 14 Zoll und vier der Dreiecke hat.
damit wir die quadratische Pyramide bilden können

Lektion 7.7 Volumen rechteckiger Prismen

Denken Sie daran, dass das Volumen einer dreidimensionalen Figur ein Maß für den von ihr eingenommenen Raum ist. Das Volumen wird in Kubikeinheiten gemessen.

ERKUNDUNG 1

Verwenden eines Einheitenwürfels
Mit einem Partner zusammenarbeiten. Ein Einheitswürfel ist ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1 Einheit. Die parallelen Kanten des Einheitswürfels wurden in 2, 3 und 4 gleiche Teile geteilt, um kleinere rechteckige Prismen zu erhalten, die identisch sind.

ein. Die Volumina der identischen Prismen sind gleich. Was können Sie sonst noch über die Volumina der Prismen bestimmen? Erklären.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 1 Einheit

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = 1 x 1
Volumen = 1
b. Verwenden Sie die identischen Prismen in Teil (a), um das Volumen des Prismas unten zu finden. Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 4,3125 cu. Einheit

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (3/4) x (2/3)
Volumen = 0,75 x 5,75
Volumen = 4,3125 Kubikmeter. Einheiten

c. Wie kann man mit einem Einheitswürfel das Volumen des unten stehenden Prismas ermitteln? Erklären.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,375 cu. ich

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (1/2) x (3/4)
Volumen = 0,5x 0,75
Volumen = 0,375 cu. ich


d. Funktionieren die Formeln V = Bh und V = ℓwh für Rechteckprismen mit gebrochenen Kantenlängen? Nennen Sie Beispiele, um Ihre Antwort zu untermauern.

Schlüsselidee
Volumen eines rechteckigen Prismas
Wörter
Das Volumen V eines rechteckigen Prismas ist das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe des Prismas.
Algebra
V = Bh oder V = lwh

Wenn ein rechteckiges Prisma ein Würfel mit einer Kantenlänge von s ist, können Sie auch die Formel V = s 3 verwenden, um das Volumen V des Würfels zu bestimmen.

Versuch es
Finden Sie das Volumen des Prismas.

Frage 1.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,6665 cu. ft

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (1,333) x (0,5)
Volumen = 1,33 x 0,5
Volumen = 0,6665 Kubikmeter. ft

Frage 2.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,6665 cu. ft

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (1,333) x (0,5)
Volumen = 1,33 x 0,5
Volumen = 0,6665 Kubikmeter. ft

Versuch es
Finden Sie die fehlende Dimension des Prismas.

Frage 3.

Antworten:
Die fehlende Dimension des Prismas = 6 in

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = b x l x h
Volumen = 6x 6 x 2
Volumen = 72 Zoll
also Länge = 6 Zoll

Frage 4.

Antworten:
Die Breite des Prismas = 12,5 cm

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = 5 x (1/2) x 12,5 x 20
Volumen = (11/2) x 12,5 x 20
Volumen = 1375 cm
also Breite = 12,5 cm

Selbsteinschätzung für Konzepte und Fähigkeiten

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 5.
KRITISCHES DENKEN
Erklären Sie, wie sich Volumen und Oberfläche unterscheiden.

Antworten:
Das Volumen wächst exponentiell und die Oberfläche wächst mit dem Volumen
die Oberfläche wächst mit dem Volumen

Frage 6.
FINDEN EINER FEHLENDEN DIMENSION
Die Grundfläche eines rechteckigen Prismas hat eine Fläche von 24 Quadratmillimetern. Das Volumen des Prismas beträgt 144 Kubikmillimeter. Machen Sie eine Skizze des Prismas. Dann finden Sie die Höhe des Prismas.

Antworten:
Die Höhe des Prismas = 6 Millimeter

Erläuterung:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = Bh
wobei b = Grundfläche und h = Höhe
also Volumen = 144 Kubikmillimeter gegeben
B = 24
Volumen = Bh
144 = 24h
h = (144/24)
h = 6 mm

VOLUMEN FINDEN
Finden Sie das Volumen des Prismas.

Frage 7.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,2343 cu. ich

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (3/4) x (1/2) x (5/8)
Volumen = 0,75 x 0,5 x 0,625
Volumen = 0,2343 Kubikmeter. ich

Frage 8.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,343 cu. im

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (7/10) x (7/10) x (7/10)
Lautstärke = 0,7 x 0,7 x 0,7
Volumen = 0,343 cu. im

Beim Ermitteln von Volumen müssen Sie möglicherweise Kubikeinheiten umrechnen. Die Diagramme auf der linken Seite zeigen, dass es 27 Kubikfuß pro Kubikyard gibt.

1 Meter 3 = (1 Meter) (1 Meter) (1 Meter) = (3 Fuß) (3 Fuß) (3 Fuß) = 27 Fuß 3
Sie können ein ähnliches Verfahren verwenden, um andere Kubikeinheiten umzurechnen.

Selbsteinschätzung zur Problemlösung

Lösen Sie jede Übung. Bewerten Sie dann Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch.

Frage 9.
GRAB TIEFER!
Der Haikäfig hat die Form eines rechteckigen Prismas und hat ein Volumen von 315 Kubikfuß. Finden Sie eine Reihe von angemessenen Abmessungen für die Basis des Käfigs. Rechtfertige deine Antwort.

Antworten:
Die Basis des Prismas = 4.906 ft

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
314 = (8) x(8) x h
314 = 64h
h = (314/64)
h = 4,906 ft

Frage 10.
Der Whirlpool hat die Form eines rechteckigen Prismas. Wie viel Kilo Wasser kann der Whirlpool fassen? Ein Kubikfuß Wasser wiegt etwa 62,4 Pfund.

Antworten:
Der Whirlpool kann fassen = 312 Pfund

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Whirlpool = (2) x (2) x 1,25
Whirlpool = 4 x 1,25
Whirlpool = 5
Whirlpool = 5
5 x 62,4 = 312 Pfund

Bände von rechteckigen Prismen Hausaufgaben & Übung 7.7

Überprüfen und aktualisieren

Finden Sie die Oberfläche der Pyramide.

Frage 1.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 220,5 sq. ft

Erläuterung:
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s
wobei Fläche = l x w
Oberfläche =21 x (1/2) x 7 x3
Oberfläche = 21x 10,5
Oberfläche = 220,5 sq. ft

Frage 2.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 364,5 m²

Erläuterung:
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s
wobei Fläche = l x w
Oberfläche =27 x (1/2) x 4,5 x6
Oberfläche = 27 x (27/2) = 13,5
Oberfläche = 364,5 m²

Frage 3.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 20.760 sq. yd

Erläuterung:
Die Oberfläche der Pyramide = Fläche + (1/2) x p x s
wobei Fläche = l x w
Oberfläche =346 x (1/2) x 12 x 20
Oberfläche = 346 x (120/2) = 60
Oberfläche = 20.760 sq. yd

Schreiben Sie den Satz als Ausdruck. Bewerten Sie dann den Ausdruck, wenn x = 2 und y = 12.

Frage 4.
8 mehr als eine Zahl x

Antworten:
Ja
Erläuterung:
8 ist mehr als 2
wobei x = 2 gegeben

Frage 5.
die Differenz einer Zahl y und 9

Antworten:
Die Differenz einer Zahl y und 9 = 3

Erläuterung:
Differenz = 12 – 9
Differenz = 3
wobei y = 12 gegeben

Konzepte, Fähigkeiten und Problemlösung
STRUKTUR
Der Einheitswürfel ist in identische rechteckige Prismen unterteilt. Welches Volumen hat eines der identischen Prismen? (Siehe Erkundung 1, S. 325.)

Frage 6.

Erläuterung:
In der obigen Abbildung ist die Basis = (2/2) Einheiten
Basis = (2/2) Einheiten
Höhe = (4/2) Einheiten

Frage 7.

Erläuterung:
In der obigen Abbildung ist die Basis = (3/3) Einheiten
Basis = (3/2) Einheiten
Höhe = (2/3) Einheiten

Frage 8.

Erläuterung:
In der obigen Abbildung ist die Basis = (5/5) Einheiten
Basis = (5/3) Einheiten
Höhe = (3/5) Einheiten

VOLUMEN FINDEN
Finden Sie das Volumen des Prismas.

Frage 9.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,297 Cu. im

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (0,66) x (0,6) x (0,75)
Volumen = 0,297 Cu. im

Frage 10.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 1,3125 Cu. cm

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (7/4) x(3/2) x (1/2)
Volumen = 1,75 x 1,5 x 0,5
Volumen = 1,3125 Cu. cm

Frage 11.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,064 Cu. ft

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (2/5) x (2/5) x (2/5)
Volumen = 0,4 x 0,4 x 0,4
Volumen = 0,064 Cu. ft

Frage 12.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,75 Cu. ich

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (5/8) x (3/4) x (2)
Volumen = 0,625 x 0,6 x 2
Volumen = 0,75 Cu. ich

Frage 13.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 3,111255 Cu. cm

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (5/3) x (5/6) x (9/4)
Volumen = 1,66 x 0,833 x 2,25
Volumen = 3,111255 Cu. cm

Frage 14.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 12,425 Cu. ich

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (14/5) x (10/7) x (25/8)
Volumen = 2,8 x 1,42 x 3,125
Volumen = 12,425 Cu. ich

FINDEN EINER FEHLENDEN DIMENSION
Finden Sie die fehlende Dimension des Prismas.

Frage 15.
Volumen = 1620 cm 3

Antworten:
Das fehlende Maß des Prismas = 20 cm

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
1620 = (9) x (9) x h
1620 = 81 h
h = (1620/8)
h = 8
Frage 16.
Volumen = 220,5 cm 3

Antworten:
Das fehlende Maß des Prismas = 4,5 cm

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
220,5 = (7) x (7) x w
220,5 = 49 W
w = (220,5/49)
b = 4,5 cm²

Frage 17.
Volumen = 532 in 3

Antworten:
Die fehlende Dimension des Prismas = 16 in

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
532 = (7/4) x (19) x w
532 = 33.25
h = (532/33,25)
h = 16 Zoll

Frage 18.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
Ein FBI-Agent bestellt einen Block Ballistik-Gel. Das Gel wiegt 54 Pfund pro Kubikfuß. Wie schwer ist der Gelblock?

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 720 in

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (6) x (20) x 6
Volumen = 720 Zoll
Frage 19.
MODELLIEREN DES ECHTEN LEBENS
ein. Schätzen Sie die Menge an Auflauf, die in der Schüssel übrig ist.
b. Passt der Auflauf in den Vorratsbehälter? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
a : Die Menge an Auflauf, die in der Schüssel übrig bleibt = 396 in

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (2,75) x (12) x 12
Volumen = 396

b : Der Auflauf passt nicht in den Behälter

Erläuterung:
Die Länge des Behälters ist kleiner als die Auflaufform

Frage 20.
GEOMETRIE
Wie viele (frac<3><4>)-Zentimeter-Würfel benötigen Sie, um einen Würfel mit einer Kantenlänge von 12 Zentimetern zu erstellen?

Erläuterung:
Aus 16 Würfeln entsteht ein Würfel mit einer Kantenlänge von 12 Zentimetern
in obiger Frage (3/4) = 0,75
0,75 x 16 = 12

Frage 21.
ARGUMENTATION
Wie viele 1-Millimeter-Würfel braucht man, um einen Würfel mit einer Kantenlänge von 1 Zentimeter zu füllen? Wie kann dieses Ergebnis Ihnen helfen, ein Volumen von Kubikmillimetern in Kubikzentimeter umzurechnen? von Kubikzentimeter auf Kubikmillimeter?

Antworten:
10 mm Würfel werden benötigt um einen Würfel mit einer Kantenlänge von 1 cm² zu füllen

Erläuterung:
1 mm = 0,1 cm
0,1 x 10 = 1 cm²
1 Kubik-mm = 0,001 Kubik-cm
1 Kubik-cm = 1000 Kubik-mm

Frage 22.
LOGIK
Der Behälter ist teilweise mit Einheitswürfeln gefüllt. Wie viele Einheitswürfel passen in den Behälter? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
6 Würfel passen in den Behälter

Erläuterung:
Im obigen Diagramm sind 6 Einheiten mit Farbe gefüllt
so passen 6 Einheitswürfel in den Behälter.

Frage 23.
PROBLEME LÖSEN
Die Fläche des schattierten Gesichts beträgt 96 Quadratzentimeter. Welches Volumen hat das rechteckige Prisma?

Antworten:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = 4 x 3 x 8

Erläuterung:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = Länge x Breite x Höhe
Volumen = 4 x 3 x 8

Frage 24.
GRAB TIEFER!
Ist das kombinierte Volumen eines 4-Fuß-Würfels und eines 6-Fuß-Würfels gleich dem Volumen eines 10-Fuß-Würfels? Verwenden Sie ein Diagramm, um Ihre Antwort zu begründen.

Frage 25.
PROJEKT
Sie haben 1400 Quadratmeter Bretter, die Sie für ein neues Baumhaus verwenden können.
ein. Entwerfen Sie ein Baumhaus mit einem Volumen von mindestens 250 Kubikfuß. Fügen Sie Skizzen Ihres Baumhauses bei.
b. Sind Ihre Maße angemessen? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Flächen-, Oberflächen- und Volumenverbindungskonzepte

Verwenden des Problemlösungsplans

Frage 1.
Ein Sportkomplex verfügt über zwei Schwimmbecken, die wie rechteckige Prismen geformt sind. Die Wassermenge im kleineren Becken ist wie viel Prozent der Wassermenge im größeren Becken?

Verstehe das Problem.
Sie kennen die Form und die Abmessungen der beiden Schwimmbecken. Sie werden aufgefordert, die Wassermenge im kleineren Becken in Prozent der Wassermenge im größeren Becken anzugeben.
Mach einen Plan.
Ermitteln Sie zunächst das Volumen jedes Pools. Stellen Sie dann die Wassermenge im kleineren Becken als Bruchteil der Wassermenge im größeren Becken dar. Finden Sie einen äquivalenten Bruch, dessen Nenner 100 ist, um den Prozentsatz zu finden.

Antworten:
28% des Wassers im 1. Becken ist größer als das des kleineren Beckens

Erläuterung:
Volumen des ersten Beckens = 25 x 3 x 50=3750
Volumen des zweiten Beckens = 25 x 21 x 2 = 1050
1050 : 3750 = 0.28
0.28 = 28 %
Lösen und prüfen
Verwenden Sie den Plan, um das Problem zu lösen. Dann überprüfe deine Lösung.

Frage 2.
Verwenden Sie ein Diagramm, um die Beziehung zwischen der Oberfläche S (in Quadratmetern) und der Höhe h (in Metern) des Dreiecksprismas darzustellen. Dann finden Sie die Höhe, wenn die Fläche 260 Quadratmeter beträgt.

Antworten:
Die Höhe des Dreiecksprismas = 43,33 Meter

Erläuterung:
Die Oberfläche des Dreiecksprismas = (1/2) x b x h
Fläche = (1/2) x 12h
260 = 6h
h = (260/6)
h = 43,33 m

Frage 3.
Eine Spielzeugfirma verkauft zwei verschiedene Spielzeugkisten. Die Spielzeugkisten haben unterschiedliche Abmessungen, aber das gleiche Volumen. Was ist die Breite w von Toy Chest 2?

Antworten:
Die Breite der Spielzeugkiste2 = 384 in

Erläuterung:
In der obigen Abbildung hat die Spielzeugkiste 2 eine Länge von 24 Zoll und ein Volumen von 16 Zoll
Breite = 24 x 16
Breite = 384 Zoll

Leistungsaufgabe
Maximierung des Volumens von Boxen

Zu Beginn dieses Kapitels haben Sie sich ein STEAM-Video mit dem Titel „Packaging Design“ angesehen. Sie sind jetzt bereit, die Leistungsaufgabe zu diesem Video abzuschließen, das unter BigIdeasMath.com verfügbar ist. Stellen Sie sicher, dass Sie den Problemlösungsplan verwenden, während Sie die Leistungsaufgabe durcharbeiten.

Kapitelübersicht Fläche, Oberfläche und Volumen

Vokabeln überprüfen Review

Schreiben Sie die Definition auf und geben Sie ein Beispiel für jeden Wortschatz.

Antworten:
Polygon = ein Polygon ist eine geschlossene Figur in einer Ebene, die aus 3 oder mehr Liniensegmenten besteht, die sich nur an ihren Endpunkten schneiden.
zusammengesetzte Figur = zusammengesetzte Figur besteht aus Dreiecken, Quadraten, Rechtecken und anderen zweidimensionalen Figuren.
Drachen = Drachen ist ein Viereck, das zwei Paare benachbarter Seiten gleicher Länge und gegenüberliegende Seiten unterschiedlicher Länge hat.

Grafik-Organisatoren
Sie können ein Four Square verwenden, um Informationen zu einem Konzept zu organisieren. Jedes der vier Quadrate kann eine Kategorie sein, wie beispielsweise Definition, Vokabular, Beispiel, Nicht-Beispiel, Wörter, Algebra, Tabelle, Zahlen, Visual, Graph oder Gleichung. Hier ist ein Beispiel für ein Viererquadrat für die Fläche eines Parallelogramms.

Wählen und vervollständigen Sie einen grafischen Organizer, um das Konzept zu studieren.

  1. Fläche eines Dreiecks
  2. Fläche eines Trapezes
  3. Fläche einer zusammengesetzten Figur
  4. Polyeder
  5. Oberfläche eines Prismas
  6. Oberfläche einer Pyramide
  7. Volumen eines rechteckigen Prismas

Kapitel Selbsteinschätzung

Verwenden Sie beim Abschließen der Übungen die unten stehende Skala, um Ihr Verständnis der Erfolgskriterien in Ihrem Tagebuch zu bewerten.

7.1 Bereiche von Parallelogrammen (S. 285–290)

Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.

Frage 1.

Erläuterung:
Fläche des Parallelogramms = b x h
Fläche = 25 x 20
Fläche = 500 m²

Frage 2.

Erläuterung:
Fläche des Parallelogramms = b x h
Fläche = 22 x 11
Fläche = 242 mm

Frage 3.

Erläuterung:
Fläche des Parallelogramms = b x h
Fläche = 9 x 5
Fläche = 45 cm²

Frage 4.
Finden Sie die Fläche (in Quadratzoll) des Parallelogramms.

Antworten:
Fläche = 72 Quadratzoll

Erläuterung:
Fläche des Parallelogramms = b x h
Fläche = 2 x 3
Fläche = 6 ft
1 Fuß = 12 Zoll
Fläche = 72 Quadratzoll

Frage 5.
Die abgebildete Werbetafel hat die Form eines Parallelogramms mit einer Grundfläche von 48 Fuß. Wie hoch ist die Werbetafel?

Antworten:
Die Höhe der Werbetafel = 14 ft

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = b x h
672 = 48 h
h = (672/48)
h = 14 ft

Frage 6.
Die abgebildete Autobahn-Lärmschutzwand besteht aus identischen parallelogrammförmigen Abschnitten. Die Fläche jedes Abschnitts beträgt 7,5 Quadratmeter und die Höhe der Barriere beträgt 5 Meter. Wie viele Meter breit ist jeder Abschnitt der Lärmschutzwand?

Antworten:
Jeder Abschnitt der Lärmschutzwand ist 1,5 m² groß

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = b x h
Fläche = 1,5 x 5
Fläche = 7,5
also b = 1,5 m

Frage 7.
Zeichne ein Parallelogramm mit einer Fläche zwischen 58 und 60 Quadratzentimetern.

Antworten:
59 Quadratzentimeter

Erläuterung:

7.2 Flächen von Dreiecken (S. 291–296)

Finden Sie die Fläche des Dreiecks.

Frage 8.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 80 km²

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = halbes Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
Fläche = (1/2) x 16 x 10
Fläche = (1/2) x 160
Fläche = 80 km²

Frage 9.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 175 cm²

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = halbes Produkt aus Basis und Produkt der Höhe
Fläche = (1/2) x 14 x 25
Fläche = (1/2) x 350
Fläche = 175 cm²

Finden Sie die fehlende Dimension des Dreiecks.

Frage 10.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = b x h
gegeben, dass h = 7 mi und Fläche = 35 mi
Basis = 5 mi

Frage 11.

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = b x h
gegeben, dass b = 4 cm und Fläche = 5 mi
Höhe = 5 cm

Finden Sie die Fläche der Figur.

Frage 12.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 112,5 sq. yd

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (12 + 3). Vorausgesetzt, dass b1 = 12 und b2 = 3
Fläche = (1/2) x 15(15) vorausgesetzt h = 15 yd
Fläche = (1/2) x 225
Fläche = 112,5 sq. yd

Frage 13.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 4 mm²

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (8 + 8). Vorausgesetzt, dass b1 = 8 und b2 = 8
Fläche = (1/2) x 2(16) vorausgesetzt h = 2 yd
Fläche = (1/2) x 8
Fläche = 4 mm²

Frage 14.
Zeichnen Sie eine zusammengesetzte Figur mit einer Fläche von weniger als 35 Quadratzoll.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = b x h
Fläche = 6 x 4
Fläche = 24 Quadratzoll

Erläuterung:

Frage 15.
Der dreieckige Eingang zur Höhle ist 2([frac<1><2>/latex] Fuß hoch und 4 Fuß breit. Welche Fläche hat der Eingang?

Antworten:
Die Fläche des Eingangs = 10

Erläuterung:
2 x (1/2) = 5/2 = 2,5
2,5 x 4 = 10
7.3 Bereiche von Trapezen und Drachen (S. 297 – 304)

Frage 16.
Verwenden Sie die Zerlegung, um den Bereich des Drachens zu finden.

Antworten:
Die Fläche des Drachens = 255 sq. in

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = (1/2) x 10 x 9 + 10 x 21
Fläche = (1/2) x 90 +210
Fläche = 45 + 210
255 Quadratzoll
Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Frage 17.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 105 m²

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (15 + 6). Vorausgesetzt, dass b1 = 15 und b2 = 6
Fläche = (1/2) x 10(21) vorausgesetzt h = 10 in
Fläche = (1/2) x 210
Fläche = 105 m²

Frage 18.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 6 sq. in

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (1,5 + 2,5). Vorausgesetzt b1 = 1(1/2) = 1,5 und b2 = 2(1/2) = 2,5
Fläche = (1/2) x 3(4) vorausgesetzt h = 10 in
Fläche = (1/2) x 12
Fläche = 6 Quadratzoll

Frage 19.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 49 Quadratmeilen

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (6 + 8). Vorausgesetzt, dass b1 = 6 und b2 = 8
Fläche = (1/2) x 7(14) vorausgesetzt h = 7 mi
Fläche = (1/2) x 98
Fläche = 49 Quadratmeilen

Finden Sie die Fläche der Figur.

Frage 20.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 56 sq. ft

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (6 + 7). Vorausgesetzt, dass b1 = 6 und b2 = 7
Fläche = (1/2) x 8(14) vorausgesetzt h = 8 ft
Fläche = (1/2) x 112
Fläche = 56 sq ft

Frage 21.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 48 cm²

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (4 + 8). Vorausgesetzt, dass b1 = 4 und b2 = 8
Fläche = (1/2) x 8(12) vorausgesetzt h = 8 ft
Fläche = (1/2) x 96
Fläche = 48 cm²

Frage 22.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 40 sq. in

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (6 +10). Vorausgesetzt, dass b1 = 6 und b2 = 10
Fläche = (1/2) x 5(16) vorausgesetzt h = 80
Fläche = (1/2) x 80
Fläche = 40 Quadratzoll

Frage 23.
Sie erstellen ein Design für die Seite des Seifenkistenautos. Wie viel Platz haben Sie für die Gestaltung?

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 240 sq. in

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (6 +14). Vorausgesetzt, dass b1 = 6 und b2 = 14
Fläche = (1/2) x 24(20) vorausgesetzt h = 24
Fläche = (1/2) x 480
Fläche = 240 Quadratzoll

Frage 24.
Bestimmen Sie die Fläche (in Quadratzentimetern) eines Trapezes mit einer Höhe von 2 Metern und einer Grundlänge von 3 Metern und 5 Metern.

Antworten:
Die Fläche des Trapezes = 240 sq. in

Erläuterung:
Die Fläche des Trapezes = das halbe Produkt seiner Höhe h und der Summe seiner Basen b1 und b2.
Fläche = (1/2) x h x( b1 + b2)
Fläche = (1/2) x h (3 +5). Vorausgesetzt, dass b1 = 3 und b2 = 5
Fläche = (1/2) x 2(8) vorausgesetzt h = 2
Fläche = (1/2) x 16
Fläche = 8 m²
1 Meter = 100 cm²
Fläche = 8 x 100 = 800 cm²

7.4 Dreidimensionale Figuren (S. 305–310)

Ermitteln Sie die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte des Volumenkörpers.

Frage 25.

Antworten:
Gesichter = 6
Kanten = 12
Scheitelpunkte =7

Erläuterung:
Die Anzahl der Gesichter = 6
Die Anzahl der Kanten = 12
Die Anzahl der Ecken =7

Frage 26.

Antworten:
Gesichter = 5
Kanten = 10
Scheitelpunkte =6

Erläuterung:
Die Anzahl der Gesichter = 5
Die Anzahl der Kanten = 10
Die Anzahl der Scheitelpunkte =6

Frage 27.

Antworten:
Gesichter = 9
Kanten = 20
Scheitelpunkte = 12

Erläuterung:
Die Anzahl der Gesichter = 9
Die Anzahl der Kanten = 20
Die Anzahl der Scheitelpunkte = 12

Frage 28.
quadratische Pyramide

Frage 29.
sechseckiges Prisma

Zeichnen Sie die Vorder-, Seiten- und Draufsicht des Volumenkörpers.

Frage 30.

Antworten:
vorne = 1
Seite = 2
oben = 1

Erläuterung:
/>

Frage 31.

Antworten:
vorne = 4
Seite = 2
oben = 2

Erläuterung:
/>

Frage 32.

Antworten:
vorne = 1
Seite = 1 />
oben = 1

7.5 Flächen von Prismen (S. 311–318)

Finden Sie die Oberfläche des Prismas.

Frage 33.

Antworten:
Die Oberfläche des Prismas = 100 sq. in

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Fläche = 7 x 2 + 7 x 2 + 4x 7+ 4 x 7 + 4 x 2 + 4 x 2
Oberfläche = 14 +14+ 28 + 28 +8+8
Oberfläche = 100 Quadratzoll

Frage 34.

Antworten:
Die Oberfläche des Prismas = 243 m²

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Oberfläche = 6 x 9 + 6 x 9 + 9 x 4,5+ 9 x 4,5 + 6 x 4,5 + 6 x 4,5
Oberfläche = 54 +54+ 40,5 + 40,5 +27+ 27
Oberfläche = 243 m²

Frage 35.

Antworten:
Die Oberfläche des Prismas = 590 cm

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Fläche = 8 x 7 + 8 x 7 + 15 x 8+ 15 x 8 + 17 x 7 + 17 x 7
Oberfläche = 56 +56+ 120 + 120 +119+ 119
Oberfläche = 590 cm²

Frage 36.

Antworten:
Die Oberfläche des Dreiecksprismas = 49 sq. ft

Erläuterung:
Die Oberfläche des Dreiecksprismas = 2 b + p s
Oberfläche = 2 x 5 +6 x 6,5
Oberfläche = 10 + 39
Oberfläche = 49 sq. ft

Frage 37.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 1.17.649 cu. yd

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (7) x (7) x (7)
Volumen = 49 x 49 x 49
Volumen = 1.17.649 Kubikmeter. yd

Frage 38.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 614.125 cu. mi

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh
wobei b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (17/2) x (17/2) x (17/2)
Lautstärke = 8,5 x 8,5 x 8,5
Volumen = 614,125 Kubikmeter mi

Frage 39.
Ein Liter wasserfeste Farbe bedeckt 75 Quadratfuß. Ein Schwimmbecken hat die Form eines rechteckigen Prismas mit einer Länge von 6 Metern, einer Breite von 3 Metern und einer Höhe von 5 Metern. Wie viele Liter sollten Sie kaufen, um das Schwimmbad mit zwei Anstrichen zu streichen?

Antworten:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = 1000 cu. ft

Erläuterung:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = b ase x Höhe
Volumen = b x h wobei b = l x w
Volumen = 20 x 10 x 5
Volumen = 1000 Kubikmeter ft
7.6 Flächen von Pyramiden (S. 319–324)

Finden Sie die Oberfläche der Pyramide.

Frage 41.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 95,2 m

Erläuterung:
Die Oberfläche der quadratischen Pymaride = Fläche + (1/2) x ps
Oberfläche = 55,2 + (1/2) x 10 x 8
Oberfläche = 55,2 + 40
Oberfläche = 95,2 m²

Frage 42.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 88,1 cm

Erläuterung:
Die Oberfläche der quadratischen Pymaride = Fläche + (1/2) x ps
Oberfläche = 65,8 + (1/2) x 7 x 9,4
Oberfläche = 55,2 + 32,9
Oberfläche = 88,1 cm²

Frage 43.
Sie machen eine quadratische Pyramide für ein Schulprojekt. Finden Sie die Oberfläche der Pyramide.

Antworten:
Die Oberfläche der Pyramide = 41,25

Erläuterung:
Die Oberfläche der quadratischen Pyramide = Fläche + (1/2) x ps
Oberfläche = 27,5 + (1/2) x 5,5 x 5
Oberfläche = 27,5 + 13,75
Oberfläche = 41,25 in

7.7 Bände rechteckiger Prismen (S. 325–330)

Finden Sie Volumina und fehlende Abmessungen von rechteckigen Prismen.

Frage 44.

Antworten:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = 4,875 ft

Erläuterung:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = b ase x Höhe
Volumen = b x h wobei b = l x w
Volumen = (5/2) x (3/2) x (4/3)
Volumen = 2,5 x 1,5 x 1,33
Volumen = 4,875 ft

Frage 45.

Antworten:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = 0,605 cm

Erläuterung:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = b ase x Höhe
Volumen = b x h wobei b = l x w
Volumen = (1/2) x (2/3) x (11/6)
Volumen = 0,5 x 0,66 x 1,83
Volumen = 0,605 cm

Frage 46.

Antworten:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = 0,05272 cu. im

Erläuterung:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = b ase x Höhe
Volumen = b x h wobei b = l x w
Volumen = (3/8) x (3/8) x (3/8)
Volumen = 0,375 x 0,375 x 0,375
Volumen = 0,05273 Kubikmeter im

Frage 47.
Das Prisma hat ein Volumen von 150 Kubikfuß. Finden Sie die Länge des Prismas.

Antworten:
Die Länge des rechteckigen Prismas = 7 ft

Erläuterung:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = Grundfläche x Höhe
Volumen = b x h wobei b = l x w
Volumen = (5) x (4) x (7)
Volumen = 150
Länge = 7 ft

Frage 48.
Wie viele Kubikzoll Papiertaschentücher kann die Box aufnehmen?

Antworten:
Die Länge des rechteckigen Prismas = 162 . 5 Zoll

Erläuterung:
Das Volumen des rechteckigen Prismas = b ase x Höhe
Volumen = b x h wobei b = l x w
Volumen = (5) x (5) x (6,5)
Volumen = 162,5 Zoll

Frage 49.
Zeichnen Sie ein rechteckiges Prisma mit einem Volumen von weniger als 1 Kubikzoll.

Flächen-, Oberflächen- und Volumen-Übungstest

7 Praxistest

Finden Sie den Bereich der Figur.

Frage 1.

Antworten:
Die Fläche des Parallelogramms = 13000 cm

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = das Produkt der Basis und das Produkt der Höhe
Fläche = 130 x 100
Fläche = 13000 cm²

Frage 2.

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 154 in

Erläuterung:
Die Fläche des Dreiecks = (1/2 ) x b x h
Fläche = (1/2) x 14 x 22
Fläche = (1/2) x 308
Fläche = 154 in

Frage 3.

Finden Sie die Oberfläche des Festkörpers.

Frage 4.

Erläuterung:
Fläche = Fläche der Unterseite + Fläche der Vorderseite + Fläche der Rückseite + Fläche einer Seite + Fläche einer Seite
Oberfläche = 12 x 7 = 84+ (1/2) x 7 x 5 = 17,5+ (1/2) x 7 x 5 = 17,5+ 13 x 5 = 65 + 12 x 13 = 156
unten = 12 x 7 , vorne = (1/2) x 7 x 5, hinten = (1/2) x 7 x 5, Seite = 13 x 5 , Seite = 12 x 13
Oberfläche = 84 + 17,5 +17,5 + 65+156
Fläche = 340 ft

Frage 5.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 1567,5 m

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = Bh mit b = l x w
wobei b = Fläche der Basis
Volumen = (9,5) x (11) x (15)
Volumen = 1567,5 m

Finden Sie das Volumen des Prismas.

Frage 6.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 3,5 cm

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = b x h
Volumen = (3/2) x (7/3)
Volumen = 1,5 x 2,33
Volumen = 3,5 cm

Frage 7.

Antworten:
Das Volumen des Prismas = 0,64 yd

Erläuterung:
Das Volumen des Prismas = b x h
Volumen = (4/5) x (4/5)
Volumen = 0,8 x 0,8
Volumen = 0,64 m²

Frage 8.
Zeichne ein achteckiges Prisma.

Antworten:

Frage 9.
Ermitteln Sie die Anzahl der Flächen, Kanten und Scheitelpunkte des Volumenkörpers.

Antworten:
Gesichter = 8
Kanten = 26
Scheitelpunkte = 10

Erläuterung:
Die Anzahl der Gesichter = 8
die Anzahl der Kanten = 26
die Anzahl der Ecken = 10

Frage 10.
Die Fläche eines Parallelogramms beträgt 156 Quadratmeter. Wie hoch ist das Parallelogramm, wenn die Basis 13 Meter beträgt?

Antworten:
Die Basis des Parallelogramms = 12 Quadratmeter

Erläuterung:
Die Fläche des Parallelogramms = b x h
Fläche = 13 x 12
Fläche = 156
also Grundfläche = 12 Quadratmeter

Frage 11.
Eine Kerze hat die Form einer quadratischen Pyramide. Finden Sie die Oberfläche der Kerze.

Antworten:
Die Oberfläche der Kerze = 21,6 in

Erläuterung:
Die Fläche der quadratischen Pyramide = Fläche +(1/2) x p x s
Oberfläche = 14,4 +(1/2) x 4 x 3,6
Oberfläche = 14,4 + 7,2
Oberfläche = 21,6 in

Frage 12.
Sie verpacken die verpackte DVD-Sammlung als Geschenk. Was ist die geringste Menge an Geschenkpapier, die zum Verpacken der Box benötigt wird?

Frage 13.
Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 4 Zoll. Sie verdoppeln die Kantenlängen. Wie viel mal größer ist das Volumen des neuen Würfels?

Erläuterung:
Vorausgesetzt, der Würfel hat eine Kantenlänge von 4 Zoll
Sie sagten, man soll den Würfel verdoppeln
4 x 2 = 8
das Volumen des neuen Würfels ist 2 mal größer als das des alten Würfels

Frage 14.
Das Pentagon in Arlington, Virginia, ist das Hauptquartier des US-Verteidigungsministeriums. Das Zentrum des Gebäudes enthält einen fünfeckigen Innenhof mit einer Fläche von etwa 5 Hektar. Finden Sie die Landflächen (in Quadratfuß) des Hofes und des Gebäudes.

Kumulative Praxis für Fläche, Oberfläche und Volumen

7 Kumulative Praxis

Frage 1.
Ein Kreuzfahrtschiff befördert insgesamt 4971 Menschen. Jedes Rettungsboot kann maximal 150 Personen aufnehmen. Wie viele Rettungsboote sind mindestens erforderlich, um alle Personen auf dem Kreuzfahrtschiff zu evakuieren?
A. 33 Rettungsboote
B. 34 Rettungsboote
C. 54 Rettungsboote
D. 332 Rettungsboote

Antworten:
Variante A ist richtig

Erläuterung:
150/33 = 4971 Boote
In der obigen Frage kann das Rettungsboot maximal 150 Personen aufnehmen
Die Mindestanzahl der benötigten Rettungsboote = 33

Frage 2.
Welche Zahl entspricht dem Ausdruck?
3 . 4 2 + 6 ÷ 2
F. 27
G. 33
H. 51
I. 75

Antworten:
Option H ist richtig

Erläuterung:
3 . 16 + 3
48 + 3
51
Frage 3.
Welches Volumen hat das Paket?

Frage 4.
Es entstand eine Wohngemeinschaft mit 60 Wohnungen. In den folgenden Jahren wurden jeweils 8 weitere Häuser gebaut. Stellen Sie die Anzahl der Jahre dar, die seit dem ersten Jahr vergangen sind, und n die Anzahl der Wohnungen. Welche Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen n und y?
F.n = 8y + 60
G.n = 68y
H.n = 60y + 8
I. n = 60 + 8 + y

Antworten:
Option I ist die richtige

Erläuterung:
n = 60 + 8 + y
wobei n = Anzahl der Wohnungen
y = Anzahl der Jahre

Frage 5.
Was ist der Wert von m, der die Gleichung wahr macht?

Antworten:
der Wert von m = (6/4)

Erläuterung:
m = (6/4)
4m = 6
4 x (6/4) = 6
6 = 6

Frage 6.
Wie groß ist die Oberfläche der quadratischen Pyramide?

Antworten:
Keine der Optionen ist richtig

Erläuterung:
Oberfläche der Pyramide = Fläche +(1/2)x(5x 3)
Fläche = 15+ (1/2) (15)
Fläche = 15 + 7,5
Fläche = 22,5 Zoll
Frage 7.
Eine Holzkiste hat eine Länge von 12 Zoll, eine Breite von 6 Zoll und eine Höhe von 8 Zoll.

Teil A
Zeichnen und beschriften Sie ein rechteckiges Prisma mit den Abmessungen der Holzkiste.
Teil B
Wie groß ist die Oberfläche der Holzkiste in Quadratzoll? Zeigen Sie Ihre Arbeit.
Teil C
Sie haben eine 2-Flüssig-Unzen-Probe Holzlasur, die 900 Quadratzoll bedeckt. Reicht das aus, um der gesamten Schachtel zwei Flecken zu geben? Zeigen Sie Ihre Arbeit und erklären Sie Ihre Argumentation.

Antworten:
Die Oberfläche des rechteckigen Prismas = 432 in

Erläuterung:
Die Fläche des rechteckigen Prismas = Fläche oben + Fläche unten + Fläche vorne + Fläche hinten + Fläche seitlich + Fläche einer Seite
Fläche = 12 x 6 + 12 x 6 + 6 x 8 + 6 x 8 + 12 x 8+ 12 x 8
Oberfläche = 72+ 72 + 48 + 48 + 96 +96
Oberfläche = 432 in
ein :

Frage 8.
Am Samstag hast du 35 Dollar beim Rasenmähen verdient. Das waren Dollar mehr, als Sie am Donnerstag verdient haben. Welcher Ausdruck steht für den Betrag in Dollar, den Sie am Donnerstag beim Rasenmähen verdient haben?
F. 35x
G. x + 35
H. x – 35
I. 35 – x

Antworten:
Option G ist richtig

Erläuterung:
x + 35 ist richtig

Frage 9.
Wie groß ist die Fläche des Dreiecks in Quadratmetern?

Antworten:
Die Fläche des Dreiecks = 20 yd

Erläuterung:
Fläche des Dreiecks = (1/2) x b x h
Fläche = (1/2) x 5 x 8 wobei b = 5 und h = 8 gegeben
Fläche = (1/2) x 40
Fläche = 20yd

Frage 10.
Welcher Ausdruck entspricht [latex]frac<12><35>) ?

Antworten:
Option b ist richtig

Erläuterung:
(2x6)/(7x5)
12 / 35
also ist Option b richtig
Frage 11.
Die folgende Beschreibung stellt die Fläche von welchem ​​Polygon dar?

F. Rechteck
G. Parallelogramm
H. trapezförmig
I. Dreieck

Antworten:
Option h ist richtig

Erläuterung:
Die Formel des Trapezes = 0ne halbes Produkt seiner Höhe und der Summe seiner Basen.

Frage 12.
Was ist die fehlende Menge in der doppelten Zahlenzeile?

A. 25 Unzen
B. 165 Unzen
C. 525 Unzen
D. 600 Unzen

Antworten:
Option b ist richtig

Erläuterung:
6 + 15 = 21
150 + 15 = 165
also ist Option b richtig

Wir möchten, dass die in den obigen Abschnitten genannten Informationen Ihnen bei Ihrer Vorbereitung helfen. Sie können die kostenlosen Links zum Herunterladen von Big Ideas Math Answers Grade 6 Chapter 7 Area, Surface Area und Volume pdf erhalten. Üben Sie alle in den obigen Links verfügbaren Probleme und teilen Sie sie auch mit Ihren Freunden und Kollegen. Sie können alle Schwierigkeiten in Mathematik der Klasse 6 überwinden. Außerdem können Sie unsere Seite mit einem Lesezeichen versehen, um die Lösungen aller Big Ideas Math Grade 6-Kapitel zu erhalten.


6.3: Fläche, Oberfläche und Volumen - Mathematik

In diesem Abschnitt beginnen wir mit der Betrachtung des Volumens eines Rotationskörpers. Wir sollten zunächst definieren, was ein Revolutionskörper ist. Um einen Rotationskörper zu erhalten, beginnen wir mit einer Funktion (y = fleft( x ight)), auf einem Intervall (left[ Recht]).

Dann drehen wir diese Kurve um eine gegebene Achse, um die Oberfläche des Rotationskörpers zu erhalten. Zum Zwecke dieser Diskussion drehen wir die Kurve um die (x)-Achse, obwohl es sich um eine beliebige vertikale oder horizontale Achse handeln könnte. Wenn Sie dies für die obige Kurve tun, erhalten Sie den folgenden dreidimensionalen Bereich.

In den nächsten beiden Abschnitten wollen wir das Volumen dieses Objekts bestimmen.

Im abschließenden Abschnitt Flächen- und Volumenformeln des Kapitels Extras haben wir die folgenden Formeln für das Volumen dieses Festkörpers abgeleitet.

wobei (Aleft(x ight)) und (Aleft(y ight)) die Querschnittsfläche des Festkörpers ist. Es gibt viele Möglichkeiten, die Querschnittsfläche zu erhalten, und wir werden in den nächsten beiden Abschnitten zwei (oder drei, je nachdem, wie Sie sie betrachten) sehen. Ob wir (Aleft(x ight)) oder (Aleft(y ight)) verwenden, hängt von der Methode und der Rotationsachse ab, die für jedes Problem verwendet wird.

Eine der einfacheren Methoden, um die Querschnittsfläche zu erhalten, besteht darin, das Objekt senkrecht zur Rotationsachse zu schneiden. Auf diese Weise ist der Querschnitt entweder eine feste Scheibe, wenn das Objekt massiv ist (wie unser obiges Beispiel) oder ein Ring, wenn wir einen Teil des Feststoffs ausgehöhlt haben (wir werden dies irgendwann sehen).

Für den Fall, dass wir eine feste Platte erhalten, beträgt die Fläche

wobei der Radius von der Funktion und der Drehachse abhängt.

Für den Fall, dass wir einen Ring erhalten, ist die Fläche

wobei wiederum beide Radien von den gegebenen Funktionen und der Drehachse abhängen. Beachten Sie auch, dass wir uns im Fall einer festen Scheibe den Innenradius als Null vorstellen können und wir die richtige Formel für eine feste Scheibe erhalten. Dies ist eine viel allgemeinere Formel.

Auch hängt in beiden Fällen, ob die Fläche eine Funktion von (x) oder eine Funktion von (y) ist, von der Rotationsachse ab, wie wir sehen werden.

Diese Methode wird oft als bezeichnet Methode der Festplatten oder der Methode der Ringe.

Das erste, was Sie tun müssen, ist eine Skizze des umgebenden Bereichs und des Festkörpers zu erhalten, den Sie durch Drehen des Bereichs um die (x)-Achse erhalten. Wir brauchen keine bildschöne Skizze der Kurven, wir brauchen nur etwas, das uns ein Gefühl dafür gibt, wie der begrenzte Bereich aussieht, damit wir eine schnelle Skizze des Volumenkörpers erhalten. Vor diesem Hintergrund können wir feststellen, dass die erste Gleichung nur eine Parabel mit Scheitelpunkt (left( <2,1> ight)) ist (erinnern Sie sich, wie man den Scheitelpunkt einer Parabel richtig bekommt?) und öffnet sich nach oben und so brauchen wir nicht wirklich viel Zeit in das Skizzieren zu investieren.

Hier sind beide Skizzen.

Okay, um einen Querschnitt zu erhalten, schneiden wir den Körper an einem beliebigen (x) ab. Unten sind ein paar Skizzen, die einen typischen Querschnitt zeigen. Die Skizze rechts zeigt einen Ausschnitt des Objekts mit einem typischen Querschnitt ohne die Kappen. Die Skizze auf der linken Seite zeigt nur die Kurve, die wir drehen, sowie ihr Spiegelbild entlang der Unterseite des Volumenkörpers.

In diesem Fall ist der Radius einfach der Abstand von der (x)-Achse zur Kurve und dies ist nichts anderes als der Funktionswert an diesem speziellen (x) wie oben gezeigt. Die Querschnittsfläche ist dann

[Aleft( x ight) = pi - 4x + 5> ight)^2> = pi left( <- 8 + 26 - 40x + 25> echts)]

Als nächstes müssen wir die Integrationsgrenzen bestimmen. Von links nach rechts wird der erste Querschnitt bei (x = 1) und der letzte Querschnitt bei (x = 4) auftreten. Dies sind die Grenzen der Integration.

Das Volumen dieses Festkörpers ist dann

Im obigen Beispiel war das Objekt ein festes Objekt, aber die interessanteren Objekte sind diejenigen, die nicht fest sind, also schauen wir uns eines davon an.

Zuerst erhalten wir einen Graphen des Begrenzungsbereichs und einen Graphen des Objekts. Denken Sie daran, dass wir nur den Teil des Begrenzungsbereichs benötigen, der im ersten Quadranten liegt. Es gibt einen Teil des Begrenzungsbereichs, der sich ebenfalls im dritten Quadranten befindet, aber das möchten wir für dieses Problem nicht.

Bei diesem Problem sind einige Dinge zu beachten. Zunächst suchen wir nur das Volumen der „Wände“ dieses Festkörpers, nicht das komplette Innere wie im letzten Beispiel.

Als nächstes erhalten wir unseren Querschnitt, indem wir das Objekt senkrecht zur Rotationsachse schneiden. Der Querschnitt ist in diesem Beispiel ein Ring (denken Sie daran, dass wir nur die Wände betrachten) und er wird bei einem (y) horizontal sein. Dies bedeutet, dass der Innen- und Außenradius für den Ring (x)-Werte sind und wir unsere Funktionen in die Form (x = fleft(y ight)) umschreiben müssen. Hier sind die Funktionen in der richtigen Form für dieses Beispiel.

[Starty & = sqrt[3]hspace<0.5in> Rightarrow hspace<0.5in>x = y & = frac<4>hspace <0.65in>Rightarrow hspace<0.5in>x = 4yend]

Hier sind ein paar Skizzen der Grenzen der Wände dieses Objekts sowie ein typischer Ring. Die Skizze links enthält den hinteren Teil des Objekts, um der Figur rechts einen kleinen Kontext zu geben.

Der Innenradius ist in diesem Fall der Abstand von der (y)-Achse zur Innenkurve, während der Außenradius der Abstand von der (y)-Achse zur Außenkurve ist. Beides sind dann (x)-Abstände und somit durch die oben gezeigten Kurvengleichungen gegeben.

Die Querschnittsfläche ist dann

Wenn wir von unten nach oben arbeiten, können wir sehen, dass der erste Querschnitt bei (y = 0) und der letzte Querschnitt bei (y = 2) auftritt. Dies werden die Grenzen der Integration sein. Das Volumen ist dann

Mit diesen beiden Beispielen aus dem Weg können wir nun eine Verallgemeinerung über diese Methode machen. Wenn wir uns um eine horizontale Achse drehen (z. B. die (x)-Achse), dann ist die Querschnittsfläche eine Funktion von (x). Ebenso, wenn wir uns um eine vertikale Achse drehen (die (y)-Achse zum Beispiel), dann ist die Querschnittsfläche eine Funktion von (y).

Die verbleibenden zwei Beispiele in diesem Abschnitt werden dafür sorgen, dass wir uns nicht zu sehr daran gewöhnen, immer um die (x)- oder (y)-Achse zu rotieren.

Lassen Sie uns zuerst den Begrenzungsbereich und den Volumenkörper grafisch darstellen.

Auch hier suchen wir nach dem Volumen der Wände dieses Objekts. Da wir uns um eine horizontale Achse drehen, wissen wir außerdem, dass die Querschnittsfläche eine Funktion von (x) ist.

Hier sind ein paar Skizzen der Grenzen der Wände dieses Objekts sowie ein typischer Ring. Die Skizze links enthält den hinteren Teil des Objekts, um der Figur rechts einen kleinen Kontext zu geben.

Nun müssen wir hier bei der Bestimmung des Innen- und Außenradius vorsichtig sein, da sie nicht ganz so einfach sein werden wie in den beiden vorherigen Beispielen.

Beginnen wir mit dem Innenradius, da dieser etwas klarer ist. Erstens ist der Innenradius NICHT (x). Der Abstand von der (x)-Achse zum inneren Ringrand ist (x), aber wir wollen den Radius und das ist der Abstand von der Drehachse zum inneren Ringrand. Wir wissen also, dass der Abstand von der Drehachse zur (x)-Achse 4 und der Abstand von der (x)-Achse zum Innenring (x) beträgt. Der Innenradius muss dann die Differenz zwischen diesen beiden sein. Oder,

Der Außenradius funktioniert genauso. Der Außenradius ist,

Beachten Sie, dass die Formel für den Außenradius angesichts der Lage des typischen Rings in der obigen Skizze möglicherweise nicht ganz richtig aussieht, aber tatsächlich richtig ist. Wie skizziert, befindet sich die Außenkante des Rings unter der (x)-Achse und an diesem Punkt ist der Wert der Funktion negativ. Wenn wir also die Subtraktion in der Formel für den Außenradius durchführen, subtrahieren wir tatsächlich aus einer negativen Zahl, die den Nettoeffekt hat, diesen Abstand zu 4 zu addieren und den korrekten Außenradius ergibt. Wenn die Außenkante über der (x)-Achse liegt, ist der Funktionswert ebenfalls positiv und wir machen hier eine ehrliche Subtraktion und erhalten in diesem Fall wieder den richtigen Radius.

Die Querschnittsfläche für diesen Fall ist

[Aleft( x ight) = pi left( <<+ 2x + 4> ight)>^2> - < ight)>^2>> ight) = pi left( <- 4 - 5 + 24x> echts)]

Der erste Ring wird bei (x = 0) auftreten und der letzte Ring wird bei (x = 3) auftreten, und das sind unsere Integrationsgrenzen. Das Volumen ist dann

Wie bei den vorherigen Beispielen wollen wir zunächst den begrenzten Bereich und den Volumenkörper grafisch darstellen.

Beachten wir nun, dass die Querschnittsfläche eine Funktion von (y) ist, da wir uns um eine vertikale Achse drehen. Dies bedeutet auch, dass wir die Funktionen umschreiben müssen, um sie auch in Bezug auf (y) zu erhalten.

[Starty &= 2sqrt hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>x = frac<<>> <4>+ 1 y & = x - 1hspace <0.75in>Rightarrow hspace<0.5in>x = y + 1end]

Hier sind ein paar Skizzen der Grenzen der Wände dieses Objekts sowie ein typischer Ring. Die Skizze links enthält den hinteren Teil des Objekts, um der Figur rechts einen kleinen Kontext zu geben.

Der Innen- und Außenradius ist für diesen Fall ähnlich und unterscheidet sich vom vorherigen Beispiel. Dieses Beispiel ist insofern ähnlich, als die Radien nicht nur die Funktionen sind. In diesem Beispiel sind die Funktionen die Abstände von der (y)-Achse zu den Kanten der Ringe. Der Mittelpunkt des Rings ist jedoch 1 von der (y)-Achse entfernt. Das heißt, der Abstand vom Mittelpunkt zu den Kanten ist ein Abstand von der Drehachse zur (y)-Achse (ein Abstand von 1) und dann von der (y)-Achse zum Rand des Ringe.

Die Radien sind also die Funktionen plus 1 und das unterscheidet dieses Beispiel vom vorherigen Beispiel. Hier mussten wir die Distanz zum Funktionswert addieren, während wir im vorherigen Beispiel die Funktion von dieser Distanz subtrahieren mussten. Beachten Sie, dass die Radien dieser Probleme ohne Skizzen schwer zu bekommen sein können.

Zusammenfassend haben wir für dieses Beispiel also Folgendes für den Innen- und Außenradius.

Die Querschnittsfläche ist dann

Der erste Ring wird bei (y = 0) auftreten und der letzte Ring wird bei (y = 4) auftreten, und das sind unsere Integrationsgrenzen.


Oberfläche einer zusammengesetzten Figur

3D-Composite-Figuren sind Figuren, die aus zwei oder mehr Figurentypen bestehen. Ihre Oberflächen können berechnet werden, indem sie in ihre Komponenten zerlegt werden, die Oberfläche jeder Komponente berechnet und dann die Oberflächen summiert werden.

Finden Sie die Oberfläche der perfekten Eistüte, die aus einem rechten Kegel und einer Halbkugel besteht.

Sei S die Oberfläche der zusammengesetzten Figur. Die schräge Höhe des rechten Kegels beträgt 10 und sein Basisradius beträgt 3. Die Halbkugel hat ebenfalls einen Radius von 3. Sei S1 die Oberfläche der Mantelfläche des rechten Kegels und S2 sei die Oberfläche der Halbkugel:


Fläche, Oberfläche und Volumen Referenzblatt

Die Grafik auf dieser Seite dient als schnelle Referenz für die Berechnung von Fläche, Oberfläche und Volumen gängiger Formen.

Weitere Informationen und Beispiele für diese Berechnungen finden Sie auf unseren Seiten:
Flächenberechnung, dreidimensionale Formen und Volumenberechnung.

Definitionen

Apothema: Die Linie, die den Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks mit einer seiner Seiten verbindet. Die Linie steht senkrecht (im rechten Winkel) zur Seite.

Achse: Eine Bezugslinie, um die ein Objekt, ein Punkt oder eine Linie gezeichnet, gedreht oder gemessen wird. In einer symmetrischen Form ist eine Achse normalerweise eine Symmetrielinie.

Radius: Der Abstand vom geometrischen Mittelpunkt einer gekrümmten Form zu ihrem Umfang (Kante).

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Mathematische Praktiken

Mathematische Praxis 1: Probleme verstehen und beharrlich bei der Lösung sein.

Es kann Beharrlichkeit erforderlich sein, weil die Lösungen für die Probleme nicht sofort offensichtlich erscheinen. Einige Schüler, die beispielsweise von den unterschiedlichen Formen der vierseitigen, teilweise rechteckigen Prismen abgelenkt sind, erkennen möglicherweise nicht sofort, dass sie die gleichen Oberflächenbereiche haben müssen, da sie aus Papier mit der gleichen Größe bestehen. Es ist ohne numerische Berechnungen nicht so einfach oder offensichtlich, zu bestimmen, welches rechteckige Prisma das größere Volumen hat.


Strategien für den Mathematikunterricht in der Grundschule

Oberfläche : Im Allgemeinen ist die Oberfläche die Summe aller Bereiche aller Formen, die die Oberfläche des Objekts bedecken.

Um die Oberfläche zu verstehen, müssen die Schüler zunächst Konzepte wie Basis, Höhe, Durchmesser, Radius, Pi usw. verstehen.

Die Oberfläche kann für Studenten aufgrund der unterschiedlichen Formeln, die beim Umgang mit verschiedenen geometrischen Formen verwendet werden, ein herausforderndes Konzept sein.

http://www.math.com/tables/geometry/surfareas.htm - Dies ist ein Link zu einer Website, die die Formeln auflistet, um die Oberfläche bestimmter Formen zu finden.

Hier sind die Links zum Utah State Core Curriculum für die Unterrichtsfläche.

http://www.uen.org/core/core.do?courseNum=5060 -5. Grad Kern für die Oberfläche. Es ist in Standard 4 zu finden.

http://www.uen.org/core/core.do?courseNum=5050 – Kern der 6. Klasse für die Oberfläche. Es ist auch in Standard 4 zu finden.

Der Standard des NCTM für die 5. Klasse ist wie folgt aufgelistet:

Geometrie und Messung und Algebra: Beschreibung dreidimensionaler Formen und Analyse ihrer Eigenschaften, einschließlich Volumen und Oberfläche.
Die Studierenden setzen zweidimensionale Formen mit dreidimensionalen Formen in Beziehung und analysieren Eigenschaften von polyedrischen Körpern, indem sie diese anhand der Anzahl der Kanten, Flächen oder Scheitelpunkte sowie der Flächentypen beschreiben. Die Studierenden erkennen Volumen als Attribut des dreidimensionalen Raums. Sie verstehen, dass sie das Volumen quantifizieren können, indem sie die Gesamtzahl der gleich großen Volumeneinheiten ermitteln, die sie benötigen, um den Raum ohne Lücken oder Überlappungen zu füllen. Sie verstehen, dass ein Würfel mit 1 Einheit auf einer Kante die Standardeinheit zum Messen von Volumen ist. Sie wählen geeignete Einheiten, Strategien und Werkzeuge aus, um Probleme zu lösen, die das Schätzen oder Messen von Volumen beinhalten. Sie zerlegen dreidimensionale Formen und finden Flächen und Volumen von Prismen. Beim Arbeiten mit der Fläche finden und begründen sie Beziehungen zwischen den Formeln für die Flächen verschiedener Polygone. Sie messen notwendige Attribute von Formen, um Flächenformeln zur Lösung von Problemen zu verwenden. (http://www.nctm.org/standards/focalpoints.aspx?id=334)

Unterrichtspläne -Hier sind einige Links zu einigen Websites, die großartige Ideen für flächendeckende Unterrichtspläne haben:

Aktivitäten -Hier sind einige Links zu einigen Websites mit großartigen Aktivitäten, die zum Unterrichten von Oberflächen verwendet werden können. Die ersten beiden Links sind besonders gute Ideen, um die Oberfläche von Zylindern zu lehren.


Seiten- und Oberflächenbereiche, Volumen

Die Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide oder eines geraden Kegels ähnelt der von Prismen, aber da jede Fläche ein Dreieck (oder dreiecksähnlich) ist, beträgt der Faktor die Hälfte. Die Seitenfläche beträgt somit die halbe Schräghöhe mal Umfang. Die schräge Höhe ist der Abstand vom Scheitelpunkt zum Rand der Basis, wo er auf halbem Weg zwischen den Scheitelpunkten der Basis liegt. Wenn die Pyramide unregelmäßig ist und sicherlich der Kegel schräg ist, ist die Oberfläche möglicherweise nicht mit elementaren Techniken berechenbar (was eine schicke Art ist, zu sagen, dass Sie möglicherweise Kalkül benötigen).Dies hängt davon ab, ob Sie die Höhe (Schräghöhe) jeder dreieckigen Fläche ermitteln können.

Oberfläche = seitlicher Bereich + n × Basen
n = 2 für Prismen/Zylinder n = 1 für Pyramiden/Kegel n = 0 für Kugeln.

Die Oberfläche einer Pyramide oder eines Kegels ist die Seitenfläche plus die Fläche der einzelnen Basis.

Die Oberfläche einer Kugel beträgt 4 r 2 . Analog zum Einheitskreis ist die Einheitskugel. Ebenso wie es bei einer Umdrehung 2 Radianten Winkel gibt, gibt es 4 Steradiant Raumwinkel in alle Richtungen.

Beispiel: Betrachten Sie eine rechte Pyramide A-BCDE mit Scheitelpunkt A und quadratischer Basis-BCDE mit einer Länge von 20" auf jeder Seite und einer schrägen Höhe von 26". Was sind seine Seiten- und Oberflächenbereiche?

Antwort: Wir brauchen die Höhe für diese Berechnung nicht, aber wir berechnen sie trotzdem, um den Unterschied zwischen schräger Höhe und Höhe zu betonen. Die schräge Höhe ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei die Höhe ein Bein und 20"/2 = 10" das andere Bein ist. Also 10 2 + h 2 = 26 2 oder 100 + h 2 = 676. Also h 2 = 576 oder h = 24". Die Seitenflächen sind alle Dreiecke mit einer Grundfläche von 20" und einer Höhe (der schrägen Höhe) von 26 ". Es gibt vier davon. Somit beträgt die seitliche Fläche 4×½吐"吖" = 1040 in 2 . Die Basis ist 20" im Quadrat oder 400 in 2 . Somit beträgt die [Gesamt-]Oberfläche 1440 in 2 .

Das Verständnis der Oberfläche kann klarer sein, wenn Sie auf das mit dem Objekt verknüpfte Netz zurückgreifen. Links ist ein Netz für einen Würfel und rechts ein Teil eines Netzes für eine Kugel. Jeder dieser Teile einer Kugel wird Gore genannt.

Jetzt ist ein guter Zeitpunkt, etwas in der Algebra Gelerntes zu wiederholen, nämlich ( x + y ) 2 = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 + 2 xy + y 2 . Das Diagramm rechts soll dies weiter verdeutlichen, Ihnen helfen, sich an die FOIL-Methode zu erinnern, sowie eine physikalische Grundlage für diesen Zusammenhang liefern. (Denken Sie auch daran, dass die Quadratwurzel von ( x 2 + y 2 ) NICHT gleich x + y ist.) Erwägen Sie, die FOIL-Methode zuerst in Trinome zu erweitern: ( a + b + c )( d + e + f ) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + vgl. Die Verteilungseigenschaft ist eine andere Möglichkeit, diese Situation zu betrachten. Hier ist die Box-Methode hilfreich.

  d e f
ein Anzeige ae af
b bd Sein bf
c CD ce cf

Erweitern Sie nun die Methode in drei Dimensionen, um zu finden: V = ( a + b ) ( c + d ) ( e + f ) = ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf . Dies wäre hilfreich, um das Volumen zu finden, weshalb eine zweidimensionale Darstellung schwierig ist.

  • Jede polyedrische Region hat ein einzigartiges Volumen, das nur von Ihrem Einheitswürfel abhängt.
  • Eine Kiste hat ein Volumen von Länge × Breite × Höhe ( V = lwh ).
  • Kongruente Zahlen haben äquivalentes Volumen.
  • Das Gesamtvolumen ist die Summe aller nicht überlappenden Regionen.

Wenn man das Volumen kennt, kann man die Abmessungen eines Polyeders bestimmen. Speziell für einen Würfel mit einer Kante s und einem Volumen s 3 können Sie bei einem gegebenen Würfel mit einem Volumen von 1000 Kubikzentimetern (1 Liter) die Kubikwurzel nehmen, um zu bestimmen, dass jede Seite eine Länge von 10 Zentimetern oder etwa 3,937 Zoll hatte. Da eine Gallone 231 Kubikzoll entspricht, sind es also etwa 3,785 Liter. Andere Einheitenumrechnungen sind zu erwarten und werden in Numerus Lektion 9 zusammengefasst. Würfelwurzeln und Volumen sind das Herzstück einer alten unmöglichen geometrischen Konstruktion aus der Antike, dem Delianschen Würfelverdopplungsproblem. Ein weiteres wichtiges Konzept ist, dass sich das Volumen um den Faktor 8=2 3 vergrößert, wenn Sie die Dimensionen eines Würfels verdoppeln, genauso wie die Fläche um den Faktor 4=2 2 gestiegen ist. Dies ist ein Problem, das häufig bei der Umrechnung von Kubikfuß in Kubikmeter auftritt!

Beispiel: Angenommen, Sie möchten Beton 4 Zoll tief in Ihre Einfahrt gießen, die 90 Fuß lang und 9 Fuß breit ist.

Antwort: Sie stellen schnell fest, dass es sich um 90࡯঩=270 Fuß 3 handelt. Es gibt jedoch nur 10 Yards 3, da jeder Yard 3 Fuß und 3 3 = 27 ist.

Eine Berechnung in der "nativen Einheit" von Yards: 30ࡩয kann helfen, einen solchen Fehler zu vermeiden. Mit "nativ" meinen wir hier, dass die Endergebnisse in Kubikyards erwartet werden. Wenn die Anfangseinheiten in Yards umgerechnet werden, werden weniger Fehler gemacht. Es ist EXTREM üblich, bei der Umrechnung von Kubikfuß in Kubikmeter irrtümlicherweise durch 3 oder 9 und nicht durch 27 zu dividieren.

Beispiel: Angenommen, Sie möchten das Volumen der quadratischen rechten Pyramide A-BCDE in einem früheren Beispiel mit einer schrägen Höhe von 26" und einer Basis von 20" auf jeder Seite finden.

Antwort: Die Höhe beträgt 24" wie im vorherigen Beispiel berechnet. Somit ist das Volumen (1/3)× B × h = (1/3) × 20" × 20" × 24" = 3200 in 3 .

Volumenformeln

Prisma oder Zylinder: V = Grundfläche × Höhe
Pyramide oder Kegel: V = (1/3) × Grundfläche × Höhe
Kugel: V = (4/3) × (Radius) 3

Typischerweise werden diese Formeln als V = Bh (Prisma oder Zylinder), V = (1/3) Bh (Pyramide oder Kegel) oder V = (4/3) r 3 (Kugel) geschrieben. Beachten Sie, wie ein großes B verwendet wird, um anzuzeigen, dass dies eine zweidimensionale Basis oder Fläche ist und nicht dasselbe (lineare) b, das wir in Dreiecken verwenden.

Schrägprismen und Zylinder haben das gleiche Volumen wie ein rechtes Prisma oder Zylinder mit gleicher Höhe und Grundfläche. Stellen Sie sich einen Stapel Papier vor, dessen Oberseite zur Seite geschoben wurde. Der Stapel ist nicht mehr vertikal. Das Papiervolumen hat sich jedoch nicht verändert. Beachten Sie bei der Formel zur Bestimmung des Volumens eines schiefen Prismas, dass die Höhe der senkrechte Abschnitt zwischen der oberen und unteren Basis ist. Wenn Sie Infinitesimalrechnung lernen, werden Sie feststellen, dass die Oberfläche einer Kugel die Ableitung der Volumenformel der Kugel nach r ist. Ähnliches passiert zwischen der Fläche eines Kreises und seinem Umfang. Dies kann Zufall sein oder es kann einen tieferen Grund geben, den ich gerne wissen würde.

Beispiel: Ein bevorzugtes Volumen-/Oberflächenproblem ist wie folgt. Ein Swimmingpool ist 24 Fuß lang, 20 Fuß breit, 3 Fuß tief am flachen Ende und 10 Fuß tief am tiefen Ende. Der Boden fällt gleichmäßig ab. Wie groß ist die Innenfläche des Schwimmbeckens und wie groß ist das Volumen (in Gallonen)?

Antwort: Das Schwimmbecken ist ein trapezförmiges Prisma. Der Boden ist 25 Fuß lang, da 10' - 3' = 7' und 7 2 +24 2 = 49 + 576 = 625 = 25 2 . Die Oberfläche ist die Summe von 5 Flächen: 2 kongruente trapezförmige Seiten (½(3+10)㩌), 2 rechteckige Enden (3㩈 + 10㩈) und der Boden (20㩍). Dies ist 2𤚤 + 60 + 200 + 500 = 1072 Fuß 2 . Das Volumen ist Basis × Höhe, wobei Basis die Fläche einer Seite (½(3+10)㩌) und Höhe die Breite des Pools (20) ist. Somit beträgt das Volumen 3120 Fuß 3 oder 23339 Gallonen (multiplizieren mit 12 3 Kubikzoll pro Kubikfuß und dividieren durch 231 Kubikzoll pro Gallone).

Ein Gedankenexperiment (Gedankenexperiment), das verwendet wird, um die Volumenformel für eine Kugel zu rechtfertigen, ist wie folgt. Erinnern Sie sich zunächst an die Kreisflächenaktivität, bei der wir den Kreis in 16 Keile schneiden und dann die Keile in ein r × r-Parallelogramm neu anordnen. Schneiden Sie entlang der gleichen Linien eine Kugel in Pyramiden. Die Gesamtfläche der Basen dieser Pyramiden beträgt 4 r 2 . Die Höhe jedes ist r . Daraus ergibt sich die Formel. In der gleichen Richtung haben einige vorgeschlagen, sich an das 1/3 in konischen Volumenformeln zu erinnern, indem es mit der analogen zweidimensionalen Dreiecksflächenformel korreliert wird, die eine 1/2 enthält.

Gegeben zwei Festkörper zwischen parallelen Ebenen eingeschlossen. Wenn jeder ebene Querschnitt parallel zu den gegebenen Ebenen in beiden Festkörpern die gleiche Fläche hat, dann sind die Volumen der Festkörper gleich. Dies ist als Cavalieri-Prinzip bekannt.

Der Grieche Archimedes ist einer der drei größten Mathematiker aller Zeiten. Zu seinen wichtigen Entdeckungen gehört die Beziehung zwischen den Volumina von Kegel, Kugel und Zylinder. Tatsächlich war diese Entdeckung so sehr sein Favorit, dass er darum bat, sie auf seinen Grabstein zu schreiben. Betrachten Sie insbesondere eine Kugel mit dem Radius r , zwei Kegel mit jeweils demselben Radius und derselben Höhe ( r ) und einen Zylinder mit demselben Radius und derselben Höhe (2 r ). Der Zylinder enthält entweder die beiden Kegel oder die Kugel. Ihre Volumina sind leicht als (4/3) r 3 , 2(1/3) r 3 und 2 r 3 zu erkennen. Somit sind die Kegel plus die Kugel genau gleich dem Zylinder. (Eigentlich wird Archimedes häufiger zugeschrieben, dass das Volumen der Kugel 2/3 des Zylindervolumens beträgt.) Siehe die entsprechenden Diagramme im Lehrbuch zum Beweis des Cavalieri-Prinzips.

Beispiel: Frage 10.2#24 in unserem Text fragte die Schüler nach Kegeln aus Kreisen (Radius 4") mit entfernten Zentralwinkeln von 45°, 60° und 120° (die inmitten von Madonna-Witzen an die Tafel geklebt wurden). • Führen Sie Folgendes aus: Ermitteln Sie das Volumen jedes Kegels. Ermitteln Sie den Zentralwinkel, der das Volumen maximiert.

Antwort: Für Bonuspunkte reichen Sie Ihre Lösung bis zur Fälligkeit der Kapitelreviews ein.


Wichtige Fakten und Informationen

BEREICH EINES RECHTEN DREIECKS

  • In diesem Abschnitt werden wir nach der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks auflösen.
  • Denken Sie zur Auffrischung daran, dass wir zum Ermitteln der Fläche eines Rechtecks ​​seine Breite mit seiner Länge multiplizieren.
    • w x l = a
    • Fläche des rechtwinkligen Dreiecks = (l x b)/2

    BEREICH DER DREIECKE

    • Nachdem wir nun wissen, wie man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet, können wir die Gleichung herleiten, die wir verwenden können, um die Fläche anderer Dreiecke zu berechnen.
    • Beachten Sie, dass zwei beliebige Dreiecke ein Parallelogramm bilden.
    • Und wir wissen, dass wir zum Auflösen nach einer Fläche eines Parallelogramms einfach seine Basis und seine Höhe multiplizieren.
    • Daher können wir die Formel für die Fläche eines beliebigen Dreiecks schreiben als:
      • Fläche des Dreiecks = (b x h)/2

      BEREICH SPEZIAL QUADRILATERALS

      • In diesem Abschnitt lernen wir, wie man nach dem Flächeninhalt spezieller Vierecke auflöst.
      • Als spezielles Viereck-Beispiel nehmen wir ein Trapez.
      • In diesem Fall könnten wir nicht dieselbe Gleichung verwenden, die wir in Parallelogrammen verwendet haben, da dies kein Parallelogramm ist.
      • Wir können dies jedoch transformieren, um ein Parallelogramm zu erstellen.
      • Zuerst können wir dieses Trapez duplizieren.
      • Da wir nun zwei Trapeze haben, müssen wir das andere vertikal umdrehen und verbinden, um ein Parallelogramm zu erhalten.
      • Nachdem wir beide verbunden haben, haben wir ein Parallelogramm.
      • Denken Sie daran, dass wir, um die Fläche eines Parallelogramms zu bestimmen, seine Höhe und Grundfläche kennen müssen.
      • Damit wir die Höhe und die Basis erkennen können, müssen wir sie zuerst beschriften.
      • Aufgrund des obigen Diagramms ist die Höhe des Parallelogramms bereits angegeben, für die Basis müssen wir jedoch noch rechnen.
        • Basis = a + b
        • Fläche = Grundfläche x Höhe
        • Fläche = (a + b) x Höhe
        • Fläche = ((a + b) x Höhe)/2

        OBERFLÄCHE EINES WÜRFELS

        • Wenn Fläche das Maß der Größe einer ebenen Fläche in einer zweidimensionalen Ebene ist, dann ist Fläche das Maß der exponierten Oberfläche eines Schirms in einer dreidimensionalen Ebene.
        • Beginnen wir mit der einfachsten dreidimensionalen Form – einem Würfel.
        • Wir wissen, dass wir, um die Fläche eines Quadrats zu bestimmen, nur eine Seite mit einer anderen Seite multiplizieren müssen.
        • Andererseits hat ein Würfel 6 Seiten und jede Seite kann durch ein Quadrat dargestellt werden.
        • Wenn wir also die Oberfläche eines Würfels erhalten möchten, können wir zuerst die Fläche einer Fläche (eines Quadrats) ermitteln.
          • a = s x s
          • Wobei s die Länge der Seite darstellt.

          OBERFLÄCHE EINES RECHTECKIGEN PRISMEN

          • Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu ermitteln, müssen wir nur die Länge und die Breite multiplizieren.
          • Ein rechteckiges Prisma besteht nun aus 6 Flächen. Wir können jedoch nicht die gleiche Methode verwenden, die wir für die Berechnung der Oberfläche eines Würfels verwendet haben, da die Flächen eines rechteckigen Prismas nicht gleich sind.
          • Wir wissen jedoch, dass die obere und die untere Seite gleich sind, die linke und die rechte Seite auch gleich sind und die Vorder- und Rückseite ebenfalls gleich sind.
          • Daher müssen wir nur 3 rechteckige Gesichter identifizieren.
          • Jetzt müssen wir 3 Gesichtskombinationen identifizieren: (1) oben und unten, (2) vorne und hinten und (3) rechts und links.
          • Lassen Sie uns zuerst die obere und untere Flächenkombination identifizieren, um die Fläche davon zu erhalten, die Seiten, die wir multiplizieren müssen, sind Seite a und Seite c.
            • oben/unten = a x c
            • vorne/hinten = b x c
            • rechts/links = a x b
            • Oberfläche = 2(a x b) + 2(b x c) + 2(a x c)

            FLÄCHE EINER PYRAMIDE

            • Jetzt werden wir versuchen, die Oberfläche der Pyramide zu erhalten.
            • Wenn die dreieckigen Seiten einer rechteckigen Pyramide gleich sind, können wir einfach die Formel verwenden, um die Fläche eines Dreiecks zu erhalten.
            • Damit können wir die Fläche einer Pyramide berechnen, indem wir zuerst den Umfang der Basis berechnen.
            • Da die Basis ein Quadrat ist, müssen wir nur die Länge der Seite oder Kante mit 4 multiplizieren.
              • Umfang = 4s
              • Grundfläche = s x s
              • Fläche des Dreiecks = (b x h)/2
              • SA einer Pyramide = ((p x h)/2) + ba

              OBERFLÄCHE VON JEDEM PRISM

              • Um die Fläche eines Prismas zu bestimmen, müssen wir uns nur an drei Dinge erinnern: (1) Grundumfang, (2) Grundfläche und (3) Höhe des Prismas.
                • Oberfläche = (p x h) + 2b

                VOLUMEN EINES WÜRFELS

                • Nachdem wir nun wissen, wie man die Fläche eines Quadrats und die Oberfläche eines Würfels erhält, werden wir nun das Volumen eines Würfels bestimmen.
                • Aber lassen Sie uns zuerst herausfinden, was ein Volumen ist. Volumen ist das Maß dafür, wie viel Raum eine dreidimensionale Form einnimmt.
                • Wir haben die Fläche eines Quadrats berechnet, indem wir seine Seite mit sich selbst multipliziert haben. Dann haben wir dies mit 6 multipliziert, um die Oberfläche eines Würfels zu berechnen.
                • Um das Volumen des Würfels zu ermitteln, müssen wir dieses Mal dieser Formel folgen:
                  • Volumen = s x s x s

                  VOLUMEN EINES RECHTECKIGEN PRISMS

                  • Lassen Sie uns im weiteren Verlauf nicht das Volumen eines rechteckigen Prismas berechnen.
                  • Da wir das Volumen eines Würfels berechnen konnten, indem wir die Seite zweimal mit sich selbst multiplizierten, müssen wir dieses Konzept nur anwenden, um das Volumen eines rechteckigen Prismas zu bestimmen.
                  • Um das Volumen eines rechteckigen Prismas zu bestimmen, müssen wir daher nur der Formel folgen:
                    • Volumen = l x b x h

                    VOLUMEN EINER PYRAMIDE

                    • Dabei ist „l“ die Länge des Prismas, „w“ die Breite des Prismas und „h“ die Höhe des Prismas.
                    • Wenn wir für die Fläche eines Dreiecks Basis mal Höhe verwendet haben, teilen wir es durch 2. Dieses Mal verwenden wir für das Volumen einer Pyramide:
                      • Volumen einer Pyramide = (b x h)/3

                      Flächen-, Oberflächen- und Volumen-Arbeitsblätter

                      Dies ist ein fantastisches Paket, das auf 35 ausführlichen Seiten alles enthält, was Sie über Fläche, Fläche und Volumen wissen müssen. Diese sind gebrauchsfertige Flächen-, Oberflächen- und Volumen-Arbeitsblätter, die perfekt sind, um den Schülern beizubringen, wie wir die Fläche von rechtwinkligen Dreiecken, anderen Dreiecken, speziellen Vierecken und Polygonen finden können, indem sie in Rechtecke oder in Dreiecke und andere Formen zerlegt werden.

                      Vollständige Liste der enthaltenen Arbeitsblätter

                      • Unterrichtsplan
                      • Fläche, Oberfläche und Volumen
                      • Finde einen
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                      • Würfel
                      • Pyramide
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