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3.11.E: Probleme an Grenzen von Folgen (Aufgaben) - Mathematik


Siehe auch Kapitel 2, §13.

Übung (PageIndex{1})

Beweisen Sie, dass wenn (x_{m} ightarrow 0) und (left{a_{m} ight}) beschränkt ist in (E^{1}) oder (C, ) dann
[
a_{m} x_{m} ightarrow 0.
]
Dies gilt auch, wenn (x_{m}) Vektoren und (a_{m}) Skalare sind (oder umgekehrt).
[Hinweis: Wenn (left{a_{m} ight}) beschränkt ist, gibt es ein (Kin E^{1}) mit
[
(forall m) quadleft|a_{m} ight|]
Da (x_{m} ightarrow 0),
[
(forallvarepsilon>0)(exists k)(forall m>k) quadleft|x_{m} ight|]
also (left|a_{m} x_{m} ight|

Übung (PageIndex{2})

Beweisen Sie Satz 1(( ext {ii})).
[Hinweis: Nach Korollar 2(ii)(iii) in §14 müssen wir zeigen, dass (a_{m} x_{m}-a w ightarrow 0). Jetzt
[
a_{m} x_{m}-a q=a_{m}left(x_{m}-q ight)+left(a_{m}-a ight) q.
]
wobei (x_{m}-q ightarrow 0) und (a_{m}-a ightarrow 0) nach Korollar 2 von §14. Also nach Problem 1
[
a_{m}left(x_{m}-q ight) ightarrow 0 ext{ und }left(a_{m}-a ight) q ightarrow 0
]
(Behandle (q) als konstante Folge und verwende Korollar 5 in §14). Wende nun Satz 1((mathrm{i}) . ])

Übung (PageIndex{3})

Beweisen Sie, dass wenn (a_{m} ightarrow a) und (a eq 0) in (E^{1}) oder (C,) gilt, dann
[
(exists varepsilon>0)(exists k)(forall m>k) quadleft|a_{m} ight| geq varepsilon.
]
(Wir sagen kurz, dass die (a_{m}) von (0,) für (m>k . ) wegbeschränkt sind) Beweisen Sie also die Beschränktheit von (left{frac{1} {a_{m}} ight}) für (m>k).
[Hinweis: Für den ersten Teil verfahre wie im Beweis von Korollar 1 in (§14, ext { with } x_{m}=a_{m},) (p=a,) und ( q=0 .)
Für den zweiten Teil sind die Ungleichungen
[
(forall m>k) quadleft|frac{1}{a_{m}} ight| leq frac{1}{varepsilon}
]
zum gewünschten Ergebnis führen. (])

Übung (PageIndex{4})

Beweisen Sie, dass wenn (a_{m} ightarrow a eq 0) in (E^{1}) oder (C,) dann
[
frac{1}{a_{m}} ightarrow frac{1}{a}.
]
Verwenden Sie dies und Satz 1(( ext { ii), um Satz } 1( ext { iii) zu beweisen, und beachten Sie, dass })
[
frac{x_{m}}{a_{m}}=x_{m} cdot frac{1}{a_{m}}.
]
[Hinweis: Verwenden Sie Hinweis 3 und Problem 3, um das zu finden
[
(forall m>k) quadleft|frac{1}{a_{m}}-frac{1}{a} ight|=frac{1}{|a|}left|a_ {m}-a echts| frac{1}{left|a_{m} ight|},
]
wobei (left{frac{1}{a_{m}} ight}) beschränkt ist und (frac{1}{|a|}left|a_{m}-a ight | ightarrow 0 .) (Warum?)
Also nach Problem (1,left|frac{1}{a_{m}}-frac{1}{a} ight| ightarrow 0 .) Fahren Sie fort. (])

Übung (PageIndex{5})

Beweisen Sie Korollar 1 und 2 auf zwei Arten:
(i) Verwenden Sie Definition 2 von Kapitel 2, §13 für Korollar (1(a),) die unendliche Grenzen getrennt behandeln; dann beweisen Sie (b), indem Sie das Gegenteil annehmen und einen Widerspruch zu ((a) .) zeigen.
(ii) Beweisen Sie (b) zuerst unter Verwendung von Korollar 2 und Satz 3 von Kapitel 2, §13; dann leite (a) durch Widerspruch her.

Übung (PageIndex{6})

Beweisen Sie Korollar 3 auf zwei Arten (vgl. Aufgabe 5).

Übung (PageIndex{7})

Beweisen Sie Satz 4 wie vorgeschlagen und auch ohne Satz 1(( extrm{i})).

Übung (PageIndex{8})

Beweisen Sie Satz 2.
[Hinweis: Wenn (overline{x}_{m} ightarrow overline{p},) dann
[
(forall varepsilon>0)(exists q)(forall m>q) quad varepsilon>left|overline{x}_{m}-overline{p} ight| geqleft|x_{mk}-p_{k} ight| . quad(mathrm{Warum} ?)
]
Also per Definition (x_{mk} ightarrow p_{k}, k=1,2, ldots, n).
Umgekehrt, wenn ja, verwenden Sie Satz 1((mathrm{i})( ext { ii})), um
[
sum_{k=1}^{n} x_{mk} vec{e}_{k} ightarrow sum_{k=1}^{n} p_{k} vec{e}_{k} ,
]
mit (vec{e}_{k}) wie in Satz 2 von §§1-3].

Übung (PageIndex{8'})

Beweisen Sie in Problem (8,) den umgekehrten Teil der Definitionen. (( ext { Fix } varepsilon>0, ext { etc. }))

Übung (PageIndex{9})

Finden Sie die folgenden Grenzwerte in (E^{1},) auf zwei Arten: (i) unter Verwendung von Satz 1, indem Sie jeden Schritt begründen; (ii) nur Definitionen verwenden.
[
egin{array}{ll}{ ext { (a) } lim _{m ightarrow infty} frac{m+1}{m} ;} & { ext { (b) } lim _ {m ightarrow infty} frac{3 m+2}{2 m-1}} { ext { (c) } lim _{n ightarrow infty} frac{1}{1+ n^{2}} ;} & { ext { (d) } lim _{n ightarrow infty} frac{n(n-1)}{1-2 n^{2}}}end {Anordnung}
]
([ ext { Lösung von }(mathrm{a}) ext { nach der ersten Methode: Treat })
[
frac{m+1}{m}=1+frac{1}{m}
]
als Summe von (x_{m}=1) (Konstante) und
[
y_{m}=frac{1}{m} ightarrow 0 ext { (bewiesen in } § 14 ).
]
Also nach Satz 1((mathrm{i})),
[
frac{m+1}{m}=x_{m}+y_{m} ightarrow 1+0=1.
]
Zweite Methode: Fix (varepsilon>0) und finde (k) so, dass
[
(forall m>k) quadleft|frac{m+1}{m}-1 ight|]
Auflösen nach (m,) zeigen, dass dies gilt, wenn (m>frac{1}{varepsilon} .) Also sei eine ganze Zahl (k>frac{1}{varepsilon},) so)
[
(forall m>k) quadleft|frac{m+1}{m}-1 ight|]
Achtung: Man kann Satz 1 (iii) nicht direkt anwenden, indem man ((m+1) / m) als den Quotienten von (x_{m}=m+1) und (a_{m}=m, ), weil (x_{m}) und (a_{m}) in (E^{1} .) divergieren (Satz 1 gilt nicht für unendliche Grenzen.) Als Abhilfe dividieren wir zunächst Zähler und Nenner durch eine geeignete Potenz von (m( ext { or } n) . ])

Übung (PageIndex{10})

Beweise das
[
left|x_{m} ight| ightarrow+infty ext { in } E^{*} ext { if } frac{1}{x_{m}} ightarrow 0 quadleft(x_{m} eq 0 ight).
]

Übung (PageIndex{11})

Beweisen Sie, dass wenn
[
x_{m} ightarrow+infty ext { und } y_{m} ightarrow q eq-infty ext { in } E^{*},
]
dann
[
x_{m}+y_{m} ightarrow+infty.
]
Dies wird symbolisch geschrieben als
[
" +infty+q=+infty ext { if } q eq-infty ."
]
Mach auch
[
" -infty+q=-infty ext { if } q eq+infty . "
]
Beweisen Sie ähnlich, dass
[
"(+infty) cdot q=+infty ext { if } q>0"
]
und
[
"(+infty) cdot q=-infty ext { if } q<0."
]
[Hinweis: Behandeln Sie die Fälle (qin E^{1}, q=+infty,) und (q=-infty) getrennt. Definitionen verwenden.]

Übung (PageIndex{12})

Finden Sie den Grenzwert (oder (underline{lim}) und (overline{lim})) der folgenden Folgen in (E^{*} :)
(a) (x_{n}=2 cdot 4 cdots 2 n=2^{n} n !);
(b) (x_{n}=5 n-n^{3} ;)
(c) (x_{n}=2n^{4}-n^{3}-3 n^{2}-1);
(d) (x_{n}=(-1)^{n} n !);
(e) (x_{n}=frac{(-1)^{n}}{n!}).
[Hinweis für ((mathrm{b}) : x_{n}=nleft(5-n^{2} ight) ;) verwende Problem 11.]

Übung (PageIndex{13})

Verwenden Sie Korollar 4 in §14, um Folgendes zu finden:
(a) (lim_{n ightarrowinfty}frac{(-1)^{n}}{1+n^{2}});
(b) (lim_{n ightarrowinfty}frac{1-n+(-1)^{n}}{2 n+1}).

Übung (PageIndex{14})

Finde das Folgende.
(a) (lim_{n ightarrowinfty}frac{1+2+cdots+n}{n^{2}});
(b) (lim_{n ightarrowinfty}sum_{k=1}^{n} frac{k^{2}}{n^{3}+1});
(c) (lim_{n ightarrowinfty}sum_{k=1}^{n}frac{k^{3}}{n^{4}-1}).
[Hinweis: Berechne (sum_{k=1}^{n} k^{m}) mit Aufgabe 10 von Kapitel 2, §§5-6.]
Was ist falsch an der folgenden "Lösung" von ((a) : frac{1}{n^{2}} ightarrow 0, frac{2}{n^{2}} ightarrow 0,) usw.; daher ist die Grenze 0(?)

Übung (PageIndex{15})

Für jede ganze Zahl (m geq 0,) sei
[
S_{m n}=1^{m}+2^{m}+cdots+n^{m}.
]
Beweisen Sie durch Induktion nach (m), dass
[
lim_{n ightarrowinfty}frac{S_{m n}}{(n+1)^{m+1}}=frac{1}{m+1}.
]
[Hinweis: Beweisen Sie zuerst, dass
[
(m+1) S_{mn}=(n+1)^{m+1}-1-sum_{i=0}^{m-1}left(egin{array}{c}{m +1} {i}end{array} ight) S_{mi}
]
durch Addition der Binomialentwicklungen von ((k+1)^{m+1}, k=1, ldots, n . ])

Übung (PageIndex{16})

Beweise das
[
lim _{n ightarrow infty} q^{n}=+infty ext { if } q>1 ; quad lim_{n ightarrow infty} q^{n}=0 ext { if }|q|<1 ; quad lim_{n ightarrow infty} 1^{n}=1.
]
[Hinweis: Falls (q>1,) setze (q=1+d, d>0 .) Durch die Binomialentwicklung
[
q^{n}=(1+d)^{n}=1+n d+cdots+d^{n}>n d ightarrow+infty . quad(mathrm{Warum?})
]
Wenn (|q|<1,) dann (left|frac{1}{q} ight|>1 ;) also (limleft|frac{1}{q} right|^{n}=+infty ;) benutze Problem (10 . ])

Übung (PageIndex{17})

Beweise das
[
lim _{n ightarrow infty} frac{n}{q^{n}}=0 ext { if }|q|>1, ext { and } lim _{n ightarrow infty} frac{n}{q^{n}}=+infty ext { if } 0]
[Hinweis: Wenn (|q|>1,) das Binomial wie in Aufgabe 16 verwendet, um zu erhalten
[
|q|^{n}>frac{1}{2} n(n-1) d^{2}, n geq 2, ext { so } frac{n}{|q|^{n }}]
Verwenden Sie Folgerung 3 mit
[
x_{n}=0,left|z_{n} ight|=frac{n}{|q|^{n}}, ext{ und } y_{n}=frac{2}{( n-1) d^{2}}
]
zu (left|z_{n} ight| ightarrow 0 ;) also auch (z_{n} ightarrow 0) nach Korollar 2(( ext { iii) von } §14 . text { Falls } 0

Übung (PageIndex{18})

Sei (r, a in E^{1} .) Beweisen Sie, dass
[
lim _{n ightarrow infty} n^{r} a^{-n}=0 ext { if }|a|>1.
]
[Hinweis: Falls (r>1) und (a>1,) verwenden Sie Problem 17 mit (q=a^{1 / r}), um (na^{-n / r} Pfeil nach rechts 0 .) As
[
0]
erhalte (n^{r} a^{-n} ightarrow 0).
Wenn (r<1,) dann (n^{r} a^{-n}

Übung (PageIndex{19})

(Geometrische Reihe.) Beweisen Sie, dass wenn (|q|<1,) dann
[
lim_{n ightarrowinfty}left(a+aq+cdots+aq^{n-1} ight)=frac{a}{1-q}.
]
[Hinweis:
[
aleft(1+q+cdots+q^{n-1} ight)=afrac{1-q^{n}}{1-q},
]
wobei (q^{n} ightarrow 0,) nach Problem (16 . ])

Übung (PageIndex{20})

Sei (0[
lim_{n ightarrowinfty} sqrt[n]{c}=1.
]
(left[ ext { Hinweis: Falls } c>1, ext { put } sqrt[n]{c}=1+d_{n}, d_{n}>0 . ext { Expand } c =left(1+d_{n} ight)^{n} ext { um zu zeigen, dass } ight.)
[
0]
also (d_{n} ightarrow 0) nach Korollar (3 . ])

Übung (PageIndex{21})

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Monotonie, (underline{lim}), (overline{lim}) und (lim). (Finden Sie in jedem Fall eine oder mehrere geeignete Formeln für den allgemeinen Begriff.)
(a) (2,5,10,17,26, ldots);
(b) (2,-2,2,-2, ldots);
(c) (2,-2,-6,-10,-14, ldots ;)
(d) (1,1,-1,-1,1,1,-1,-1, ldots ;)
(e) (frac{3 cdot 2}{1}, frac{4 cdot 6}{4}, frac{5 cdot 10}{9}, frac{6 cdot 14}{ 16}, ldots).

Übung (PageIndex{22})

Erledige Aufgabe 21 für die folgenden Sequenzen.
(a) (frac{1}{2 cdot 3}, frac{-8}{3 cdot 4}, frac{27}{4 cdot 5}, frac{-64}{5 cdot 6}, frac{125}{6 cdot 7}, ldots ;)
(b) (frac{2}{9},-frac{5}{9}, frac{8}{9},-frac{13}{9}, ldots ;)
(c) (frac{2}{3},-frac{2}{5}, frac{4}{7},-frac{4}{9}, frac{6}{11 },-frac{6}{13}, ldots)
(d) (1,3,5,1,1,3,5,2,1,3,5,3, ldots, 1,3,5, n, ldots ;)
(e) (0.9,0.99,0.999, ldots);
(f) (+infty, 1,+infty, 2,+infty, 3, dots ;)
((mathrm{g})-infty, 1,-infty, frac{1}{2}, ldots,-infty, frac{1}{n}, ldots).

Übung (PageIndex{23})

Lösen Sie Aufgabe 20 wie folgt: Wenn (cgeq 1,{sqrt[n]{c}} downarrow .(mathrm{Warum} ?)) Nach Satz (3,) (p =lim_{n ightarrowinfty}sqrt[n]{c}) existiert und
[
(forall n) quad 1 leq p leq sqrt[n]{c}, ext { d. h. } 1 leq p^{n} leq c .
]
Nach Problem kann (16, p) nicht (>1,) sein, also (p=1).
Im Fall (0

Übung (PageIndex{24})

Beweise die Existenz von (lim x_{n}) und finde sie, wenn (x_{n}) induktiv definiert ist durch
(i) (x_{1}=sqrt{2}, x_{n+1}=sqrt{2 x_{n}});
(ii) (x_{1}=c>0, x_{n+1}=sqrt{c^{2}+x_{n}});
(iii) (x_{1}=c>0, x_{n+1}=frac{c x_{n}}{n+1} ;) daraus folgt (lim_{n ightarrow infty} frac{c^{n}}{n !}=0).
[Hinweis: Zeigen Sie, dass die Folgen monoton und in (E^{1}) beschränkt sind (Satz 3).
Zum Beispiel in (ii) Induktion liefert
[
x_{n}]
Somit existiert (lim x_{n}=lim x_{n+1}=p). Um (p,) quadrieren zu können, muss die Gleichung
[
x_{n+1}=sqrt{c^{2}+x_{n}} quad( ext { gegeben })
]
und verwenden Sie Satz 1, um zu erhalten
[
p^{2}=c^{2}+p . quad(mathrm{Warum?})
]
Auflösen nach (p) (beachten Sie, dass (p>0 ),) erhält
[
p=lim x_{n}=frac{1}{2}left(1+sqrt{4 c^{2}+1} ight);
]
ähnlich in den Fällen (i) und (iii). (])

Übung (PageIndex{25})

Finde (lim x_{n}) in (E^{1}) oder (E^{*}) (falls vorhanden), vorausgesetzt, dass
(a) (x_{n}=(n+1)^{q}-n^{q}, 0(b) (x_{n}=sqrt{n}(sqrt{n+1}-sqrt{n}));
(c) (x_{n}=frac{1}{sqrt{n^{2}+k}});
(d) (x_{n}=n(n+1) c^{n},) mit (|c|<1);
(e) (x_{n}=sqrt[n]{sum_{k=1}^{m} a_{k}^{n}},) mit (a_{k}>0) ;
(f) (x_{n}=frac{3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n+1)}{2 cdot 5 cdot 8 cdots(3 n-1)}).
[Hinweise:
(a) (0(b) (x_{n}=frac{1}{1+sqrt{1+1 / n}},) wobei (1(c) Überprüfen Sie, dass
[
frac{n}{sqrt{n^{2}+n}} leq x_{n} leq frac{n}{sqrt{n^{2}+1}},
]
also (x_{n} ightarrow 1) nach Korollar 3. (Geben Sie einen Beweis.)
(d) Siehe Probleme 17 und 18.
(e) Sei (a=maxleft(a_{1}, ldots, a_{m} ight) .) Beweisen Sie, dass (aleq x_{n}leq asqrt[n] {m} .) Verwenden Sie Problem (20 . ])
Es folgen einige schwierigere, aber nützliche Probleme von theoretischer Bedeutung.
Die expliziten Hinweise sollten sie nicht zu schwer machen.

Übung (PageIndex{26})

Sei (left{x_{n} ight} subseteq E^{1} .) Beweisen Sie, dass wenn (x_{n} ightarrow p) in (E^{1},) dann auch
[
lim_{n ightarrowinfty} frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_{i}=p
]
(d.h. (p) ist auch der Grenzwert der Folge der arithmetischen Mittel von (x_{n}).)
[Lösung: Fix (varepsilon>0 .) Dann
[
(exists k)(forall n>k) quad p-frac{varepsilon}{4}]
Addieren von (n-k)-Ungleichungen, erhalten
[
(nk)left(p-frac{varepsilon}{4} ight)]
Mit (k) so fixiert haben wir also
[
(forall n>k) quadfrac{nk}{n}left(p-frac{varepsilon}{4} ight)]
Hier, mit (k) und (varepsilon) fixiert,
[
lim_{n ightarrowinfty} frac{n-k}{n}left(p-frac{varepsilon}{4} ight)=p-frac{varepsilon}{4}.
]
Als (p-frac{1}{2}varepsilon[
left(forall n>k^{prime} ight) quad p-frac{varepsilon}{2}]
Ähnlich,
[
left(exists k^{prime prime} ight)left(forall n>k^{prime prime} ight) quad frac{nk}{n}left(p+frac {varepsilon}{4} ight)]
Kombiniert mit (i) haben wir für (K^{prime}=maxleft(k,k^{prime}, k^{primeprime} ight)),
[
left(forall n>K^{prime} ight) quad p-frac{varepsilon}{2}]
Jetzt mit (k) fixiert,
[
lim_{n ightarrowinfty} frac{1}{n}left(x_{1}+x_{2}+cdots+x_{k} ight)=0.
]
Daher
[
left(exists K^{primeprime} ight)left(forall n>K^{primeprime} ight) quad-frac{varepsilon}{2}]
Sei (K=maxleft(K^{prime}, K^{primeprime} ight) .) Dann mit (ii) kombinierend gilt
[
(forall n>K) quad p-varepsilon]
und das Ergebnis folgt.

Übung (PageIndex{26'})

Zeigen Sie, dass das Ergebnis von Aufgabe 26 auch für unendliche Grenzen gilt (p=pminftyin E^{*} .)

Übung (PageIndex{27})

Beweisen Sie, dass für (x_{n} ightarrow p) in (E^{*}left(x_{n}>0 ight),) dann
[
lim _{n ightarrow infty} sqrt[n]{x_{1} x_{2} cdots x_{n}}=p.
]
[Hinweis: Sei zuerst (00,) benutze die Dichte, um (delta>1) so nahe an 1 zu fixieren, dass
[
p-varepsilon]
Als (x_{n} ightarrow p),
[
(exists k)(forall n>k) quad frac{p}{sqrt[4]{delta}}]
Fahren Sie fort wie in Aufgabe (26,) Ersetzen von (varepsilon) durch (delta,) und Multiplizieren durch Addition (auch Subtraktion durch Division usw., wie oben gezeigt). Finden Sie eine ähnliche Lösung für den Fall (p=+infty .) Beachten Sie das Ergebnis von Aufgabe 20.]

Übung (PageIndex{28})

Widerlegen Sie durch Gegenbeispiele die umgekehrten Implikationen in den Aufgaben 26 und (27 .). Betrachten Sie zum Beispiel die Folgen
[
1,-1,1,-1, dots
]
und
[
frac{1}{2}, 2, frac{1}{2}, 2, frac{1}{2}, 2, ldots
]

Übung (PageIndex{29})

Beweisen Sie Folgendes.
(i) Wenn (left{x_{n} ight}subset E^{1}) und (lim_{n ightarrowinfty}left(x_{n+1}- x_{n} ight)=p) in (E^{*},) dann (frac{x_{n}}{n} ightarrow p).
(ii) Falls (left{x_{n} ight} subset E^{1}left(x_{n}>0 ight)) und falls (frac{x_{n+ 1}}{x_{n}} ightarrow p in E^{*},) dann (sqrt[n]{x_{n}} ightarrow p).
Widerlegen Sie die umgekehrten Aussagen durch Gegenbeispiele.
[Hinweis: Für ((mathrm{i}),) seien (y_{1}=x_{1}) und (y_{n}=x_{n}-x_{n-1}, n=2,3, ldots) Dann gilt (y_{n} ightarrow p) und
[
frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} y_{i}=frac{x_{n}}{n},
]
also gelten die Aufgaben 26 und (26^{prime}).
Für (ii) verwenden Sie Problem (27 .) Siehe Problem 28 für Beispiele. (])

Übung (PageIndex{30})

Leiten Sie aus Aufgabe 29 ab, dass
(a) (lim_{n ightarrowinfty} sqrt[n]{n!}=+infty);
(b) (lim_{n ightarrowinfty}frac{n+1}{n!}=0);
(c) (lim_{n ightarrowinfty}sqrt[n]{frac{n^{n}}{n !}}=e);
(d) (lim_{n ightarrowinfty}frac{1}{n} sqrt[n]{n!}=frac{1}{e});
(e) (lim_{n ightarrowinfty}sqrt[n]{n}=1).

Übung (PageIndex{31})

Beweise das
[
lim_{n ightarrowinfty} x_{n}=frac{a+2b}{3},
]
gegeben
[
x_{0}=a, x_{1}=b, ext{ und } x_{n+2}=frac{1}{2}left(x_{n}+x_{n+1} ight ).
]
[Hinweis: Zeigen Sie, dass die Differenzen (dn=x_{n}-x_{n-1}) eine geometrische Folge bilden, mit Verhältnis (q=-frac{1}{2},) und ( x_{n}=a+sum_{k=1}^{n} d_{k} .) Dann verwende das Ergebnis von Problem (19 . ])

Übung (PageIndex{32})

(Rightarrow 32 .) Beweisen Sie für jede Folge (left{x_{n} ight} subseteq E^{1},), dass
[
underline{lim} x_{n} leq underline{lim} frac{1}{n} sum_{i = 1}^{n} x_{i} leq overline{lim} frac{1}{n} sum_{i = 1}^{n} x_{i} leq overline{lim} x_{n} .
]
Finden Sie daher eine neue Lösung der Probleme 26 und (26^{prime} .)
[Beweis für (overline{lim}): Fix ein beliebiges (kin N .) Put
[
c=sum_{i=1}^{k} x_{i} ext { und } b=sup_{i geq k} x_{i}.
]
Überprüfen Sie, dass
[
(forall n>k) quad x_{k+1}+x_{k+2}+cdots+x_{n} leq(n-k) b.
]
Addiere (c) auf beiden Seiten und dividiere durch (n), um zu erhalten
[
(forall n>k) quad frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_{i} leq frac{c}{n}+frac{nk}{n } b.
]
Fixiere nun ein beliebiges (varepsilon>0,) und sei zunächst (|b|<+infty .) As (frac{c}{n} ightarrow 0) und (frac{nk }{n} b ightarrow b,) gibt es (n_{k}>k) mit
[
left(forall n>n_{k} ight) quad frac{c}{n}]
Also nach (left(mathrm{i}^{*} ight)),
[
left(forall n>n_{k} ight) quad frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_{i} leq varepsilon+b.
]
Dies gilt eindeutig auch dann, wenn (b=sup_{igeq k} x_{i}=+infty .) also auch
[
sup _{n geq n_{k}} frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_{i} leq varepsilon+sup _{i geq k} x_{ ich}.
]
Da (k) und (varepsilon) beliebig waren, können wir zuerst (k ightarrow+infty,) dann (varepsilon ightarrow 0,) setzen, um zu erhalten
[
underline{lim} frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_{i} leq lim_{k ightarrow infty} sup_{i geq k} x_{i}=overline{lim} x_{n} . quad( ext { Erkläre! }) ]
]

Übung (PageIndex{33})

(Rightarrow 33 .) Gegeben (left{x_{n} ight} subseteq E^{1}, x_{n}>0,) beweise, dass
[
underline{lim} x_{n} leq underline{lim} sqrt[n]{x_{1} x_{2} cdots x_{n}} ext{ und } overline{lim} sqrt[n]{x_{1} x_{2} cdots x_{n}} leq overline{lim} x_{n} .
]
Erhalten Sie daher eine neue Lösung für Problem (27 .)
[Hinweis: Gehen Sie vor wie in Problem (32,) vorgeschlagen, wobei Addition durch Multiplikation ersetzt wird.]

Übung (PageIndex{34})

Gegeben (x_{n}, y_{n} in E^{1}left(y_{n}>0 ight),) mit
[
x_{n} ightarrow p in E^{*} ext { und } b_{n}=sum_{i=1}^{n} y_{i} ightarrow+infty,
]
Beweise das
[
lim_{n ightarrow infty} frac{sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}}{sum_{i=1}^{n} y_{i}} =S.
]
Beachten Sie, dass Problem 26 ein Spezialfall von Problem 34 ist (nimm alle (y_{n}=1 )). [Hinweis für ein endliches (p :) Gehen Sie vor wie in Problem (26 .) Vor dem Addieren der (n-k)-Ungleichungen multiplizieren Sie jedoch mit (y_{i}) und erhalten
[
left(p-frac{varepsilon}{4} ight) sum_{i=k+1}^{n} y_{i}]
(operatorname{Put} b_{n}=sum_{i=1}^{n} y_{i}) und zeigen Sie, dass
[
frac{1}{b_{n}} sum_{i=k+1}^{n} x_{i} y_{i}=1-frac{1}{b_{n}} sum_{i =1}^{k} x_{i} y_{i},
]
wobei (b_{n} ightarrow+infty( ext { nach Annahme}),) so
[
frac{1}{b_{n}} sum_{i=1}^{k} x_{i} y_{i} ightarrow 0 quad ext { (für ein festes } k ).
]
Vorgehen. Finden Sie einen Beweis für (p=pm infty . ])

Übung (PageIndex{35})

Lösen Sie Aufgabe 34, indem Sie (underline{lim}) und (overline{lim}) wie in Aufgabe 32 betrachten.
(left[ ext { Hinweis: Ersetze } frac{c}{n} ext { durch } frac{c}{b_{n}}, ext { wobei } b_{n}=sum_{ i=1}^{n} y_{i} ightarrow+infty . ight])

Übung (PageIndex{36})

Beweisen Sie, dass für (u_{n}, v_{n} in E^{1},) mit (left{v_{n} ight} uparrow) (streng) und (v_ {n} ightarrow+infty,) und wenn
[
lim_{n ightarrowinfty} frac{u_{n}-u_{n-1}}{v_{n}-v_{n-1}}=pquadleft(pin E^ {*}Recht),
]
dann auch
[
lim_{n ightarrowinfty} frac{u_{n}}{v_{n}}=p,
]
[Hinweis: Das Ergebnis von Problem (34,) mit
[
x_{n}=frac{u_{n}-u_{n-1}}{v_{n}-v_{n-1}} ext { und } y_{n}=v_{n}-v_{ n-1}.
]
führt zum Endergebnis. (])

Übung (PageIndex{37})

Erhalten Sie aus Problem 36 eine neue Lösung für Problem (15 .) Beweisen Sie auch, dass
[
lim_{n ightarrowinfty}left(frac{S_{mn}}{n^{m+1}}-frac{1}{m+1} ight)=frac{1} {2}.
]
[Hinweis: Für den ersten Teil setzen Sie
[
u_{n}=S_{m n} ext { und } v_{n}=n^{m+1}.
]
Für die zweite, setze
[
u_{n}=(m+1) S_{m n}-n^{m+1} ext { und } v_{n}=n^{m}(m+1) . ]
]

Übung (PageIndex{38})

Sei (0[
a_{n+1}=sqrt{a_{n} b_{n}} ext { und } b_{n+1}=frac{1}{2}left(a_{n}+b_{n } ight), n=1,2, ldots
]
Dann ist (a_{n+1}[
b_{n+1}-a_{n+1}=frac{1}{2}left(a_{n}+b_{n} ight)-sqrt{a_{n} b_{n}} =frac{1}{2}left(sqrt{b_{n}}-sqrt{a_{n}} ight)^{2}>0.
]
Ziehe das ab
[
a]
also (left{a_{n} ight} uparrow) und (left{b_{n} ight} downarrow .) Nach Satz (3, a_{n} rightarrow p) und (b_{n} ightarrow q) für einige (p, q in E^{1} .) Beweisen Sie, dass (p=q,) dh
[
lima_{n}=limb_{n}.
]
(Dies ist das arithmetisch-geometrische Mittel von Gauß aus (a) und (b . ))
[Hinweis: Nehmen Sie die Grenzen beider Seiten in (b_{n+1}=frac{1}{2}left(a_{n}+b_{n} ight)), um (q= frac{1}{2}(p+q) . ])

Übung (PageIndex{39})

Sei (0[
a_{n+1}=frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}}, ext{ und } b_{n+1}=frac{1}{ 2}left(a_{n}+b_{n} ight), quad n=1,2, ldots
]
Beweise das
[
sqrt{a b}=lim_{n ightarrowinfty} a_{n}=lim_{n ightarrowinfty} b_{n}.
]
[Hinweis: Verfahren Sie wie in Aufgabe 38.]

Übung (PageIndex{40})

Beweisen Sie die Stetigkeit der Punktmultiplikation, nämlich wenn
[
overline{x}_{n} ightarrow overline{q} ext { und } overline{y}_{n} ightarrow overline{r} ext { in } E^{n}
]
(*oder in einem anderen euklidischen Raum; siehe §9), dann
[
overline{x}_{n} cdot overline{y}_{n} ightarrow overline{q} cdot overline{r}.
]


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FIITJEE DLP ist nicht so schlau für das Selbststudium, die Qualität der Abfragen ist quadratisch, aber der Gedanke ist für JEE nicht auf dem neuesten Stand und die bereitgestellten Lösungen sind nicht auf dem neuesten Stand. Wenn Sie sich für iitjee entscheiden, sind FIITJEE DLP in der Regel nützlich. Wenn Sie jedoch vom Selbststudium begeistert sind, ist es höher, wenn Sie sich für das Resonance DLP-Paket entscheiden. Wenn Sie sich für eine Scheckserie von Fiitjee anmelden möchten, wählen Sie FIITJEE-Studienmaterial + Scheckband. Wenn Sie jedoch separat erhalten, ist dies nicht angemessen.

Ja, abgesehen von Studienmaterial, RTPFs, GMPs, JEE-Archiv, Olympiade-Unterstützungsbroschüren quadratisch beigefügt. Die Antworten müssen immer weiter bereitgestellt werden, sie werden jedoch nicht erklärt und zweite Akademiker bei fiitjee hegen alle Zweifel der Studenten vor und während der Kategorien aus, jedoch ist dies ausschließlich für Studenten der gehobenen Kategorie gedacht.
Während unserer Zeit gibt es gewöhnlich Übung eins, dann ein Paar, dann unter den Tipps gibt es verschiedene Fragen, dann eine Theoriefrage, gefolgt von einer Mehrfachübung, die alle in JEE gestellten Frageklassen wie MCQs abdeckt, Mehrfachauswahl mehrfach richtig, ganze Zahl nett. Anfragen wurden in alle Richtungen entfaltet und andere Leute wurden nicht nach der Prämisse des Problems sortiert. Sie haben sie jedoch in Stufe eins und eine Kombination aus derzeit auf dem Gedanken befindlichen Problem sortiert.
Jedes Kapitel hat ein Modul, ähnlich wie das erste Modul der Physik von Skalar und Vektor, dann war das zweite Bewegungsgesetze. jedes Modul kann ein Buch haben. Ich erinnere mich nicht an das genaue Angebot an Broschüren, aber es waren über 50 Broschüren für PCM zusammen.
Nein, das Schulzimmerprogramm ist meilenweit höher als das RSM. In der FIITJEE-Schule ist Studieren alles, was sie dir beibringen, bieten dir Notizen an und am nächsten Tag erheben sie dich, um die genauen Fragen im Lernmaterial zu entwirren, das sie unterrichtet haben, und durch die nächste Kategorie kannst du die Zweifel äußern, dann bekommst du einen Halbzeit-Check , wöchentliche Prüfung, zufällige Kategorieprüfung. Also erstellten sie das Lernmaterial synchron mit ihrem Schulprogramm.
Ich würde Resonanzstudienmaterial und Fiitjee-Check-Serien vorschlagen.

Separate Module für jedes Kapitel mit Illustrationen, Übungen zwischen Theorien, gelösten Problemen, Aufgabenstellungen
Verschiedenes Buch einer bestimmten Phase (enthält gemischte Frage von 3–4 Kapiteln)
Kapiteltests, Abschnittstests für jee mains und jee advanced
AITs
Mein Vorschlag ist, DLP nicht zu wollen, wenn Sie sich in einem überaus> sehr Institut befinden

  • ​Vektoren pdf
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All diese hier präsentierten Materialien sollen nur den Studenten helfen, die wirtschaftlich nicht in der Lage sind, dieses Material zu kaufen, aber es wird ihnen helfen, Prüfungen zu knacken. Wir sind eine Gruppe von College-Studenten, die in IITs studieren. Aus diesem Grund helfen wir anderen Aspiranten, indem wir über diesen Blog alle Anleitungen, Lernressourcen und andere Hilfe bereitstellen. Wir empfehlen jedem, dieses Material zu KAUFEN, der in der Lage ist zu kaufen! Wir haben keine Rechte an diesen Materialien, weder erstellt noch gescannt. Alle hier präsentierten Materialien sind bereits über das Internet verfügbar. Wir stellen sie gerade unter einem DACH zusammen. Bitte lesen Sie unsere Datenschutz-Bestimmungen und Haftungsausschluss!

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NCERT-Beispielaufgaben für Mathematik der Klasse 11

NCERT-Beispielprobleme für Mathematik der Klasse 11 PDF-Format zum kostenlosen Download für die neue akademische Sitzung 2021-2022 zusammen mit NCERT-Lösungen und Offline-Apps 2021-22 basierend auf dem neuesten CBSE-Lehrplan für die neue Sitzung.

Diese beispielhaften Bücher werden in den Lehrplan integriert, um die geistigen Fähigkeiten und das wissenschaftliche Temperament der Schüler zu verbessern. Um Ihren vorgeschriebenen Lehrplan für das laufende Jahr 2021-2022 zu vervollständigen, müssen die Studierenden die beispielhaften Problemfragen üben. Die gegebenen Beispiele sind auch aus Prüfungssicht wichtig. Es ist besser, beispielhafte Problembücher zu machen als so viele andere Bücher wie R D Sharma, Together with Maths, R S Aggarwal, U – like, P K Garg usw.

NCERT-Beispielaufgaben für Mathematik der Klasse 11

NCERT-Beispielprobleme für Mathematik der Klasse 11 in PDF

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NCERT-Beispielprobleme für Mathematik der Klasse 11

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Lernzeit

Art Erforderlich
Vorträge 30 Sitzungen von 1 Stunde (20%)
Seminare 9 Sitzungen à 1 Stunde (6%)
Privatstudium 111 Stunden (74%)
Gesamt 150 Stunden
Beschreibung der Privatstudie

Wöchentliche Überarbeitung des Vorlesungsmaterials
Lösen von nicht bewerteten Übungen (Woche 1, Woche 2, Woche 4, Woche 6, Woche 8)
Lösen von bewerteten Problemblättern (Woche 3, Woche 5, Woche 7, Woche 9)
Prüfungsvorbereitung (Auflösung vergangener Prüfungsarbeiten)


Übungsprobleme

Diese Seite enthält Fragebögen, die von vielen Hochschulen an neue Studenten verschickt werden, bevor sie ihr Studium beginnen. Diese Fragen sind ein geeignetes Brückenmaterial für Studierende mit Abitur Mathematik zum Studienbeginn - das Material ist teils Überarbeitung, teils Neumaterial. Alle 11 Blätter umfassen Materialien, die für die Kurse Mathematik, Mathematik & Statistik und Mathematik und Philosophie relevant sind. Die Blätter 8, 9 und 10 sind für den Studiengang Mathematik und Informatik nicht relevant.

Für jedes Blatt wird das Thema kurz beschrieben, und es gibt einige empfohlene Lektüre, die Kapitelnummern beziehen sich auf die vierte Auflage von D.W.Jordan und P.Smiths Buch Mathematical Techniques, das 2008 von Oxford University Press veröffentlicht wurde.

  • Fragen:
    • Blatt 1: Standardfunktionen und -techniken, PDF
      Lesen: §§ 1.3, 1.6-1.8, 1.10-1.16
    • Blatt 2: Differenzierung, PDF
      Lesen: Kapitel 2
    • Blatt 3: Weitere Differenzierung, PDF
      Lesen: §§ 3.1-3.5, 3.9-3.10
    • Blatt 4: Anwendungen der Differenzierung, PDF
      Lesen: §§ 4.1-4.4
    • Blatt 5: Taylor-Reihe, PDF
      Lesen: §§ 5.1-5.4
    • Blatt 6: Komplexe Zahlen, PDF
      Lesen: Kapitel 6
    • Blatt 7: Matrizen, PDF
      Lesen: Kapitel 7
    • Blatt 8: Vektoren, PDF
      Lesen: §§ 9.1-9.4, 9.6
    • Blatt 9: Das skalare 'Punkt'-Produkt, PDF
      Lesen: §§ 10.1-10.3, 10.9
    • Blatt 10: Das Vector 'Cross'-Produkt, PDF
      Lesen: §§ 11.1-11.2
    • Blatt 11: Integration, PDF
      Lesen: §§ 14.1-15.4, 15.8
    • Alle oben genannten 11 Blätter als eine Datei: PDF
    • Weitere herausfordernde Fragen:
      • Einführung 1: PDF
        Lesen: R.B.J.T. Allenby-Zahlen und Beweis, Kapitel 7
      • Einführung 2: PDF
        Lesen: R.B.J.T. Allenby-Zahlen und Beweis, Kapitel 7
      • Algebra 1: PDF
        Lesen: Keine Voraussetzungen
      • Algebra 2: PDF
        Lesen: Kapitel 7 und 8
      • Infinitesimalrechnung 1 - Kurvenskizzen: PDF
        Lesen: §§ 4.1-4.4
      • Calculus 2 - Numerische Methoden und Schätzung: PDF Es
        Lesen: §4.6, §5.2
      • Calculus 3 - Integrationstechniken: PDF
        Lesen: §§17.5-17.7
      • Calculus 4 - Differentialgleichungen: PDF
        Lesung: §§ 22.3-22.4, Kapitel 18
      • Calculus 5 - Weitere Differentialgleichungen: PDF
        Lesung: Kapitel 19, §22.5
      • Komplexe Zahlen: PDF
        Lesen: Kapitel 6
      • Geometrie: PDF
        Lesen: §10.1, §10.9, §11.1, §16.1
      • Die zweiten 11 Blätter als eine Datei: PDF
      • Weitere Blätter zur Angewandten Mathematik (für Studierende der Mathematik, Mathematik & Statistik)
        • Dynamik 1 - Grundlegende Definitionen. Newtons zweites Gesetz PDF
        • Dynamik 2 - Schwingungen und weitere Beispiele. PDF

        Bitte kontaktieren Sie uns für Feedback und Kommentare zu dieser Seite. Letzte Aktualisierung am 8. September 2019 - 15:03.


        Unsere Mission und Vision

        1. Forschung in Bereichen der schulischen Bildung vorbereiten, fördern und korrelieren
        2. Zusammenstellen und Veröffentlichen von Lehrbüchern, ergänzenden Materialien, Newslettern, Zeitschriften, digitalen Materialien und anderen Studienmaterialien.
        3. Organisation der berufsvorbereitenden und berufsbegleitenden Ausbildung von Lehrern sowie Entwicklung und Verbreitung innovativer pädagogischer Techniken und Praktiken

        Die Funktion unserer Website besteht darin, Bildungsforschung zu betreiben und zu unterstützen sowie Schulungen in der Methodik der Bildungsforschung anzubieten.


        From English to Math

        Fatou's Lemma: Let $(X,Sigma,mu)$ be a measure space and $$ a sequence of nonnegative measurable functions. Then the function $displaystyle f_n>$ is measureable and $int_X liminf_ f_n dmu leq liminf_ int_X f_ndmu .$

        Beweis

        1st observation: $int g_k leq int f_n$ for all $ngeq k$. This follows easily from the fact that for a fixed $xin X$, $displaystyle>leq f_n(x)$ whenever $ngeq k$ (by definition of infimum). Hence $int displaystyle f_n> leq int f_n$ for all $ngeq k$, as claimed. This allows us to write egin int g_kleq inf_int f_n. qquad qquad (1) end

        2nd observation: $$ is an increasing sequence and $displaystyle g_k>=h$ pointwise. Thus, by the Monotone Convergence Theorem, egin intliminf_ f_n =int h = lim_ int g_k leq lim_ inf_int f_n = liminf_ int f_n end where the inequality in the middle follows from (1).

        Finally, $liminf f_n$ is measurable as we've proved before in the footnotes here.

        Exercise from Big Rudin

        The following is taken from chapter 1 of Rudin's Real and Complex Analysis. (Rudin, RCA, #1.8) Let $Esubset mathbb$ be Lebesgue measurable, and for $ngeq 0$ define $ f_n=egin chi_E & ext 1-chi_E & ext Ende $ What is the relevance of this example to Fatou's Lemma? For simplicity, let's just consider what happens when $X=[0,2]subset mathbb$ and we let $E=(1,2]subset X$. Then we get the following sequence of functions $f_n=egin chi_ <(1,2]>& ext chi_ <[0,1]>& ext. Ende $ The first few of these functions look like this:

        Notice that as $n$ increases, the graphs switch back and forth. For any given $n$, $int_<[0,2]>f_n=1$ but $liminf_nf_n=0$. (Recall that $liminf_n f_n$ is the infimum of all subsequential limits of $$). This shows us that $0=int_ <[0,2]>liminf_ f_n < liminf_int_ <[0,2]>f_n=1$ proving that a strict inequality in Fatou's Lemma is possible.


        3.11.E: Problems on Limits of Sequences (Exercises) - Mathematics

        For my younger students I usually start with a rule or function like 2x. We put a number in for x, get the number out, then put that output in for x, and continue that process. We get an infinite sequence of numbers. In this case the sequence diverges, doesn't go to a number. For example if we put 3->x, we get 6. We then put 6->x and we get 12.
        We get the infinite sequence 3, 6, 12, 24, .
        Later on, with older students, it is not a big step to use 1.1x as the function and show this is the same problem as increasing the population of a town 10% each year. A very important application.

        A teacher in one of Don's workshops, made up this function:. We'll pick a number, say 0, and put it in for x. What do we get out? 5 + 0/2 = 5. Then we put 5 in for x. What do we get out this time? 5 + 5/2 = 7.5 Now let's keep track of the infinite sequence we get: 0, 5, 7.5, 8.75, . The question is what's happening? Does this sequence converge? I ask my students to do the first 8 or so by hand, to make sure they can divide and write the answer as a fraction or mixed number and a decimal. Only then will I let them use a calulator to do more. Then I'll get them to the computer to use Mathematica to do 200 iterations and let it carry the answer to 100 decimal places!
        Finish the graph of this sequence, the beginning of which is shown below:

        Start with a new number, like 100 and see what happens.
        Start with -17 and see what happens. Graph these sequences on the same graph paper. Is there a pattern?
        Each infinite sequence has a limit of 10 for . Look at the numbers there. What do you think would happen if we started with 6 + x/2 ? a + x/2 ?
        What would happen with 5 + x/3 ? 5 + x/4 ?

        Another interesting function I do with my younger students is 6/x. Interesting things happen with this one!

        11 ways to solve a quadratic equation
        Methode 1. By guessing and the sum and product of the roots (see above)
        Methode 2. Solving x 2 - 5x + 6 = 0 for x to get x = .
        Jonathan, at age 7, solved this quadratic equation like this:

        2a.We can get an infinite continued fraction and find approximations of the roots of the equation
        2b.We'll iterate the function starting with different numbers, then graph these sequences.
        2c.Graph 3 successive 'pieces' of the infinite continued fraction
        2d.Graph y = , then connect points whose coordinates are consecutive input numbers
        Methods 3., 4., and 5. You solve x 2 - 5x + 6 = 0 for x, but in a different way than Jonathan did, (but not one of methods 6-11 below), and do the corresponding things as in 2a., 2b., 2c. and 2d above. You might find more than 3 other ways! Please let me know if you do.
        Method 6. Solving x 2 - x - 1 = 0 using a calculator to hone in on the two solutions.
        Methode 7. By factoring (one of the 'normal' ways)
        Method 8. By completing the square
        Method 9. Using the quadratic formula
        Method 10. Graph x 2 - 5x + 6 = y (where it crosses the x-axis will be the roots, if they are real)
        Method 11. Spiraling in to the intersection of 2 curves
        Flash! This just happened (10/26/96): Colleen, a 7th grader, solved x 2 - x - 1 = 0 and got
        x = x 2 - 1. Try iterating this. It's exciting when something unexpected happens! That's what makes my teaching interesting and enjoyable. I've spent the last 2 hours working on this in Mathematica. To some answers to problems above from Ch. 8- part 2, iteration
        To problems from Ch. 8 part one- solving equations
        To order Don's materials
        To choose sample problems from other chapters
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        Pure Maths

        All of the above topics will be coming to StudyWell in June 2021.

        • More binomial expansion, nth term.
        • Increasing, decreasing and periodic sequences.
        • Sigma notation.
        • Arithmetic sequences & series.
        • Geometric sequences & series.
        • Sequences in modelling.

        All of the above topics will be coming to StudyWell in July 2021.

        • arc length and area of a sector
        • small angle approximations
        • exact values of sin, cos and tan
        • reciprocal and inverse trigonometric functions
        • more trigonometric identities
        • double angle and compound angle formulae
        • trigonometric proof
        • problems in context

        All of the above topics will be coming to StudyWell in August 2021.

        • differentiate trigonometric functions from first principles, convex/concave functions
        • differentiate trigonometric and exponential functions
        • product rule, quotient rule and chain rule
        • implicit and parametric differentiation
        • construct simple differential equations

        All of the above topics will be coming to StudyWell from September 2021.

        • Integrate linear combinations, exponential and trigonometric functions.
        • Finding areas.
        • Understand that integration is the limit of a sum.
        • Integration by substitution and integration by parts.
        • Integrate using partial fractions.
        • Separation of variables.
        • Interpret the solution of a first order differential equation.

        All of the above topics will be coming to StudyWell from September 2021.

        • Approximate location of roots
        • Iterative methods
        • Newton-Raphson-Methode
        • Numerical integration
        • Problems in context

        All of the above topics will be coming to StudyWell from September 2021.

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