Artikel

21.7: Gleichungssysteme mit Determinanten lösen


Lernziele

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

  • Bewerten Sie die Determinante einer 2×2-Matrix
  • Bewerten Sie die Determinante einer 3×3-Matrix
  • Verwenden Sie die Cramer-Regel, um Gleichungssysteme zu lösen
  • Anwendungen mithilfe von Determinanten lösen

Bevor Sie beginnen, nehmen Sie an diesem Bereitschaftsquiz teil.

  1. Vereinfachen Sie: (5(−2)−(−4)(1)).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  2. Vereinfachen Sie: (−3(8−10)+(−2)(6−3)−4(−3−(−4))).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  3. Vereinfachen Sie: (frac{−12}{−8}).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].

In diesem Abschnitt lernen wir eine andere Methode kennen, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die Cramersche Regel. Bevor wir die Regel anwenden können, müssen wir einige neue Definitionen und Notationen lernen.

Bewerte die Determinante einer (2×2)-Matrix

Wenn eine Matrix die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten hat, nennen wir sie a quadratische Matrix. Jeder quadratischen Matrix ist eine reelle Zahl zugeordnet, die als bezeichnet wird bestimmend. Um die Determinante der quadratischen Matrix (left[ egin{matrix} a &b c&d end{matrix} ight] ) zu finden, schreiben wir sie zunächst als (left| egin{matrix} a &b c&d end{matrix} ight|). Um den reellen Zahlenwert der Determinierten zu erhalten, subtrahieren wir wie gezeigt die Produkte der Diagonalen.

BESTIMMEND

Die Determinante einer beliebigen quadratischen Matrix (left[ egin{matrix} a &b c&d end{matrix} ight] ), wobei a, b, c, und d sind reelle Zahlen, ist

[links| egin{matrix} a &b c&d end{matrix} ight| =ad−bc onumber]

Beispiel (PageIndex{2})

Bewerte die Bestimmte von ⓐ (left[ egin{matrix} 5&−32&−4 end{matrix} ight] ) ⓑ (left[ egin{matrix} −4&−6 0&7 end{matrix} ight] ).

Antworten

ⓐ (−14); ⓑ (−28)

Beispiel (PageIndex{3})

Bewerte die Bestimmte von ⓐ (left[ egin{matrix} −1&3−2&4 end{matrix} ight] ) ⓑ (left[ egin{matrix} −7&−3−5&0 end{matrix} ight] ).

Antworten

ⓐ 2 ⓑ (−15)

Bewerte die Determinante einer (3×3)-Matrix

Um die Determinante einer (3×3)-Matrix zu berechnen, müssen wir in der Lage sein, die kleiner eines Eintrags in der Determinante. Der Minor eines Eintrags ist die (2×2)-Determinante, die durch Eliminieren der Zeile und Spalte in der (3×3)-Determinante, die den Eintrag enthält, gefunden wird.

KLEINER EINTRAG IN (3×3) EINER DETERMINANTE

Das kleiner eines Eintrags in einer (3×3)-Determinante ist die (2×2)-Determinante, die durch Eliminieren der Zeile und Spalte in der (3×3)-Determinante, die den Eintrag enthält, gefunden wird.

Um den Minor des Eintrags (a_1) zu finden, eliminieren wir die Zeile und Spalte, die ihn enthalten. Also eliminieren wir die erste Zeile und die erste Spalte. Dann schreiben wir die verbleibende (2×2)-Determinante.

Um den Minor des Eintrags (b_2) zu finden, eliminieren wir die Zeile und Spalte, die ihn enthalten. Also eliminieren wir die (2^{nd})-Zeile und (2^{nd})-Spalte. Dann schreiben wir die verbleibende (2×2)-Determinante.

Beispiel (PageIndex{5})

Für die Determinante (left| egin{matrix} 1&−1&4&2&−1−2&−3&3 end{matrix} ight|) finden und berechnen Sie den Minor von ⓐ (a_1 ) (b_2) ⓒ (c_3).

Antworten

ⓐ 3 ⓑ 11 ⓒ 2

Beispiel (PageIndex{6})

Für die Determinante (left| egin{matrix} −2&−1&03&0&−1−1&−2&3 end{matrix} ight|) finden und berechnen Sie den Minor von ⓐ (a_2 ) (b_3) ⓒ (c_2).

Antworten

ⓐ (−3) ⓑ 2 ⓒ 3

Wir sind nun bereit, eine (3×3)-Determinante auszuwerten. Dazu erweitern wir nach Minor, was uns erlaubt, die (3×3)-Determinante unter Verwendung von (2×2)-Determinanten auszuwerten – die wir bereits auswerten können!

Um eine (3×3)-Determinante auszuwerten, indem wir entlang der ersten Reihe um Nebenstellen expandieren, verwenden wir das folgende Muster:

Denken Sie daran, dass wir zum Auffinden des Minor eines Eintrags die Zeile und Spalte entfernen, die den Eintrag enthalten.

ERWEITERUNG VON MINDERJÄHRIGEN ENTLANG DER ERSTEN REIHE ZUR EVALUIERUNG EINER (3×3)-DETERMINANTE

Bewerten einer (3×3)-Determinante durch Erweiterung um Minderjährige entlang der ersten Reihe, folgendes Muster:

Beispiel (PageIndex{8})

Bewerten Sie die Determinante (left|egin{matrix} 3&−2&4&−1&−22&3&−1 end{matrix} ight|), indem Sie die erste Zeile um Minor erweitern.

Antworten

37

Beispiel (PageIndex{9})

Bewerten Sie die Determinante (left| egin{matrix} 3&−2&−22&−1&4−1&0&−3 end{matrix} ight|), indem Sie die erste Zeile um Minor erweitern.

Antworten

7

Um eine (3×3)-Determinante auszuwerten, können wir mit einer beliebigen Zeile oder Spalte nach Nebenwerten expandieren. Die Auswahl einer anderen Zeile oder Spalte als der ersten Zeile erleichtert manchmal die Arbeit.

Wenn wir um eine Zeile oder Spalte erweitern, müssen wir auf das Vorzeichen der Terme in der Erweiterung achten. Um das Vorzeichen der Begriffe zu bestimmen, verwenden wir die folgende Vorzeichenmustertabelle.

[links| egin{matrix} +&−&+−&+&−+&−&+ end{matrix} ight| onumber]

ZEICHENMUSTER

Bei der Erweiterung um Minderjährige über eine Zeile oder Spalte folgen die Vorzeichen der Begriffe in der Erweiterung dem folgenden Muster.[left| egin{matrix} +&−&+−&+&−+&−&+ end{matrix} ight| onumber]

Beachten Sie, dass das Vorzeichenmuster in der ersten Zeile mit den Vorzeichen zwischen den Termen in der Erweiterung um die erste Zeile übereinstimmt.

Da wir um jede Zeile oder Spalte erweitern können, wie entscheiden wir, welche Zeile oder Spalte verwendet werden soll? Normalerweise versuchen wir, eine Zeile oder Spalte auszuwählen, die unsere Berechnung erleichtert. Wenn die Determinante eine 0 enthält, erleichtert die Verwendung der Zeile oder Spalte, die die 0 enthält, die Berechnungen.

Beispiel (PageIndex{10})

Bewerte die Determinante (left| egin{matrix} 4&−1&−33&0&25&−4&−3 end{matrix} ight|) durch Erweiterung um Minor.

Antworten

Um nach Minderjährigen zu erweitern, suchen wir nach einer Zeile oder Spalte, die unsere Berechnungen erleichtert. Da 0 in der zweiten Zeile und in der zweiten Spalte steht, ist die Erweiterung um eine dieser beiden Optionen eine gute Wahl. Da die zweite Zeile weniger Negative hat als die zweite Spalte, werden wir um die zweite Zeile erweitern.

Erweitern Sie mit der zweiten Zeile.
Achten Sie auf die Schilder.
Bewerten Sie jede Determinante.
Vereinfachen.
Vereinfachen.
Hinzufügen.

Beispiel (PageIndex{11})

Bewerte die Determinante (left| egin{matrix} 2&−1&−3&3&−43&−4&−3 end{matrix} ight|) durch Erweiterung um Minor.

Antworten

(−11)

Beispiel (PageIndex{12})

Bewerte die Determinante (left| egin{matrix} −2&−1&−3−1&2&24&−4&0 end{matrix} ight|) durch Erweiterung um Minor.

Antworten

8

Verwenden Sie die Cramer-Regel, um Gleichungssysteme zu lösen

Die Cramersche Regel ist eine Methode zur Lösung von Gleichungssystemen unter Verwendung von Determinanten. Sie kann abgeleitet werden, indem die allgemeine Form der Gleichungssysteme durch Elimination gelöst wird. Hier demonstrieren wir die Regel für beide Systeme von zwei Gleichungen mit zwei Variablen und für Systeme von drei Gleichungen mit drei Variablen.

Beginnen wir mit den Systemen von zwei Gleichungen mit zwei Variablen.

CRAMERS-REGEL ZUR LÖSUNG EINES SYSTEMS VON ZWEI GLEICHUNGEN

Für das Gleichungssystem (left{egin{array} {l} a_1x+b_1y=k_1 a_2x+b_2y=k_2end{array} ight.) ist die Lösung ((x,y )) kann bestimmt werden durch

Beachten Sie, dass zur Bildung der Determinante D, verwenden wir die Koeffizienten der Variablen.

Beachten Sie, dass wir zur Bildung der Determinante (D_x) und (D_y) die Koeffizienten der gesuchten Variablen durch die Konstanten ersetzen.

Beispiel (PageIndex{13}): Wie man ein Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel löst

Löse nach der Cramerschen Regel: (left{ egin{array} {l} 2x+y=−43x−2y=−6end{array} ight.)

Antworten

Beispiel (PageIndex{14})

Löse mit der Cramerschen Regel: (left{egin{array} {l} 3x+y=−3 2x+3y=6 end{array} ight.)

Antworten

((−frac{15}{7},frac{24}{7}))

Beispiel (PageIndex{15})

Löse mit der Cramerschen Regel: (left{egin{array} {l} −x+y=22x+y=−4 end{array} ight.)

Antworten

((−2,0))

LÖSEN SIE EIN SYSTEM AUS ZWEI GLEICHUNGEN MIT DER CRAMER-REGEL.

  1. Bewerten Sie die Determinante D, unter Verwendung der Koeffizienten der Variablen.
  2. Bewerten Sie die Determinante (D_x). Verwenden Sie die Konstanten anstelle von x Koeffizienten.
  3. Bewerten Sie die Determinante (D_y). Verwenden Sie die Konstanten anstelle von ja Koeffizienten.
  4. Finden x und ja. (x=frac{D_x}{D}), (y=frac{D_y}{D})
  5. Schreiben Sie die Lösung als geordnetes Paar.
  6. Überprüfen Sie, ob das geordnete Paar eine Lösung beider Originalgleichungen ist.

Um ein System aus drei Gleichungen mit drei Variablen mit der Cramer-Regel zu lösen, machen wir im Grunde das, was wir für ein System aus zwei Gleichungen gemacht haben. Allerdings müssen wir nun nach drei Variablen auflösen, um die Lösung zu erhalten. Die Determinanten werden auch (3×3) sein, was unsere Arbeit interessanter macht!

CRAMERS REGEL ZUR LÖSUNG EINES SYSTEMS VON DREI GLEICHUNGEN

Für das Gleichungssystem (left{egin{array} {l} a_1x+b_1y+c_1z=k_1a_2x+b_2y+c_2z=k_2a_3x+b_3y+c_3z=k_3end{array} rechts.), kann die Lösung ((x,y,z)) bestimmt werden durch

Beispiel (PageIndex{17})

Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel: (left{egin{array} {l} 3x+8y+2z=−52x+5y−3z=0x+2y−2z=−1 end{array} ight.)

Antworten

((−9,3,−1))

Beispiel (PageIndex{18})

Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel: (left{egin{array} {l} 3x+y−6z=−32x+6y+3z=03x+2y−3z=−6 end{array} ight.)

Antworten

((−6,3,−2))

Die Cramersche Regel funktioniert nicht, wenn der Wert von D Determinante 0 ist, da dies bedeuten würde, dass wir durch 0 dividieren würden. Aber wenn (D=0) ist das System entweder inkonsistent oder abhängig.

Wenn der Wert von (D=0) und (D_x,space D_y) und D sind alle null, das System ist konsistent und abhängig und es gibt unendlich viele Lösungen.

Wenn die Werte von (D=0) und (D_x,space D_y) und (D_z) nicht alle Null sind, ist das System inkonsistent und es gibt keine Lösung.

ABHÄNGIGE UND INKONSISTENTE GLEICHSYSTEME

Für jedes Gleichungssystem, in dem die Wert der Determinante (D=0),

[ egin{array} {lll} extbf{Wert der Determinanten} & extbf{Systemtyp} & extbf{Lösung} {D=0 ext{ und }D_x,space D_y ext{ und }D_z ext{ sind alle null}} & ext{konsistent und abhängig} & ext{unendlich viele Lösungen} {D=0 ext{ und }D_x,space D_y ext{ und }D_z text{ sind nicht alle null}} & ext{inkonsistent} & ext{keine Lösung} end{array} onumber]

Im nächsten Beispiel verwenden wir die Werte der Determinanten, um die Lösung des Systems zu finden.

Beispiel (PageIndex{19})

Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel: (left{egin{array} {l} x+3y=4−2x−6y=3 end{array} ight.)

Antworten

(egin{array} {ll} {} &{left{egin{array} {l} x+3y=4−2x−6y=3 end{array} ight.} {egin{array} {l} ext{Bewerte die DeterminanteD mit den} ext{Koeffizienten der Variablen.} end{array}} &{D=left|egin{matrix} 1&3 −2&−6end{matrix} ight|} {} &{D=−6−(−6)} {} &{D=0} end{array} )

Wir können die Cramer-Regel nicht verwenden, um dieses System zu lösen. Aber indem wir den Wert der Determinanten (D_x) und (D_y) betrachten, können wir feststellen, ob das System abhängig oder inkonsistent ist.

(egin{array} {ll} { ext{Bewerte die Determinante }D_x.} &{D_x=left|egin{matrix} 4&33&−6end{matrix} ight|} {} &{D_x=−24−9} {} &{D_x=15} end{array} )

Da nicht alle Determinanten null sind, ist das System inkonsistent. Es gibt keine Lösung.

Beispiel (PageIndex{20})

Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel: (left{egin{array} {l} 4x−3y=88x−6y=14 end{array} ight.)

Antworten

keine Lösung

Beispiel (PageIndex{21})

Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel: (left{egin{array} {l} x=−3y+42x+6y=8 end{array} ight.)

Antworten

unendliche Lösungen

Anwendungen mit Determinanten lösen

Eine interessante Anwendung von Determinanten erlaubt uns zu testen, ob Punkte kollinear sind. Drei Punkte ((x_1,y_1)), ((x_2,y_2)) und ((x_3,y_3)) sind genau dann kollinear, wenn die darunterliegende Determinante Null ist.

[left|egin{matrix}x_1&y_1&1x_2&y_2&1x_3&y_3&1end{matrix} ight|=0 onumber]

TEST AUF KOLLINEARE PUNKTE

Drei Punkte ((x_1,y_1)), ((x_2,y_2)) und ((x_3,y_3)) sind genau dann kollinear, wenn

[left|egin{matrix}x_1&y_1&1x_2&y_2&1x_3&y_3&1end{matrix} ight|=0 onumber]

Wir werden diese Eigenschaft im nächsten Beispiel verwenden.

Beispiel (PageIndex{22})

Bestimmen Sie, ob die Punkte ((5,−5)), ((4,−3)) und ((3,−1)) kollinear sind.

Antworten
Setze die Werte in die Determinante ein.
((5,−5)), ((4,−3)) und ((3,−1))
Bewerten Sie die Determinante durch Erweitern
von Minderjährigen, die Spalte 3 verwenden.
Bewerten Sie die Determinanten.
Vereinfachen.
Vereinfachen.
Der Wert des Determinierten ist 0, also ist der
Punkte sind kollinear.

Beispiel (PageIndex{23})

Bestimmen Sie, ob die Punkte ((3,−2)), ((5,−3)) und ((1,−1)) kollinear sind.

Antworten

Ja

Beispiel (PageIndex{24})

Bestimmen Sie, ob die Punkte ((−4,−1)), ((−6,2)) und ((−2,−4)) kollinear sind.

Antworten

Ja

Greifen Sie auf diese Online-Ressourcen zu, um zusätzliche Anweisungen und Übungen zum Lösen von Systemen linearer Ungleichungen durch grafische Darstellung zu erhalten.

  • Lösen von Systemen linearer Ungleichungen durch graphische Darstellung
  • Systeme linearer Ungleichungen

Schlüssel Konzepte

  • Bestimmend: Die Determinante einer beliebigen quadratischen Matrix (left[egin{matrix}a&bc&dend{matrix} ight]), wobei a, b, c, und d sind reelle Zahlen, ist

    [left|egin{matrix}a&bc&dend{matrix} ight|=ad−bc onumber]

  • Erweiterung um Minderjährige entlang der ersten Reihe, um eine 3 × 3-Determinante zu bewerten: Um eine (3×3)-Determinante auszuwerten, indem man entlang der ersten Reihe um Nebenstellen expandiert, gilt folgendes Muster:
  • Zeichenmuster: Bei der Erweiterung nach Minderjährigen über eine Zeile oder Spalte folgen die Vorzeichen der Begriffe in der Erweiterung dem folgenden Muster.

    [left|egin{matrix}+&−&+−&+&−+&−&+end{matrix} ight| onumber]

  • Cramers Regel: Für das Gleichungssystem (left{egin{array} {l} a_1x+b_1y=k_1a_2x+b_2y=k_2end{array} ight.) ist die Lösung ((x,y )) kann bestimmt werden durch

    Beachten Sie, dass zur Bildung der Determinante D, verwenden wir die Koeffizienten der Variablen.
  • So lösen Sie ein System aus zwei Gleichungen mit der Cramerschen Regel.
    1. Bewerten Sie die Determinante D, unter Verwendung der Koeffizienten der Variablen.
    2. Bewerten Sie die Determinante (D_x). (x=frac{D_x}{D}), (y=frac{D_y}{D}).
    3. Schreiben Sie die Lösung als geordnetes Paar.
    4. Überprüfen Sie, ob das bestellte Paar eine Lösung für . ist beide ursprüngliche Gleichungen.
    5. Abhängige und inkonsistente Gleichungssysteme: Für jedes Gleichungssystem, in dem die Wert der Determinante (D=0),[ egin{array} {lll} extbf{Wert der Determinanten} & extbf{Systemtyp} & extbf{Lösung} {D=0 ext{ und } D_x,space D_y ext{ und }D_z ext{ sind alle null}} & ext{konsistent und abhängig} & ext{unendlich viele Lösungen} {D=0 ext{ und }D_x,space D_y ext{ und }D_z ext{ sind nicht alle null}} & ext{inkonsistent} & ext{keine Lösung} end{array} onumber]
    6. Test auf kollineare Punkte: Drei Punkte ((x_1,y_1)), ((x_2,y_2)) und ((x_3,y_3)) sind genau dann kollinear, wenn

      [left|egin{matrix}x_1&y_1&1x_2&y_2&1x_3&y_3&1end{matrix} ight|=0 onumber]

Glossar

bestimmend
Jeder quadratischen Matrix ist eine reelle Zahl zugeordnet, die als Determinante bezeichnet wird.
Minor eines Eintrags in einer 3×33×3-Determinante
Der Minor eines Eintrags in einer 3×33×3-Determinante ist die 2×22×2-Determinante, die durch Eliminieren der Zeile und Spalte in der 3×33×3-Determinante, die den Eintrag enthält, gefunden wird.
quadratische Matrix
Eine quadratische Matrix ist eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten.

Wie wir bereits gesehen haben, kann jeder Satz linearer Gleichungen in eine Matrixgleichung (A extbf) = ( extbf). Lineare Gleichungen werden klassifiziert als simultane lineare Gleichungen oder homogene lineare Gleichungen, je nachdem, ob der Vektor ( extbf) auf der RHS der Gleichung ist nicht null oder null.

Für einen Satz simultaner linearer Gleichungen (nicht Null ( extbf)) ist es ziemlich offensichtlich, dass eine eindeutige Lösung durch Multiplikation beider Seiten mit der inversen Matrix (A^<-1>) gefunden werden kann (da (A^<-1>A) auf die linke Seite ist gleich der Identitätsmatrix, die keinen Einfluss auf den Vektor ( extbf))

In der Praxis gibt es einfachere Matrixmethoden zum Lösen simultaner Gleichungen als das Finden der inversen Matrix, aber diese brauchen uns hier nicht zu interessieren. In Abschnitt 8.4 haben wir entdeckt, dass eine Matrix eine Inverse hat, es muss eine Determinante ungleich null haben. Da (A^<-1>) existieren muss, damit ein Satz simultaner linearer Gleichungen eine Lösung hat, bedeutet dies, dass die Determinante der Matrix (A) nicht Null sein muss, damit die Gleichungen sind lösbar.

Das Umgekehrte gilt für homogene lineare Gleichungen. In diesem Fall hat das Gleichungssystem nur dann eine Lösung, wenn die Determinante von (A) ist gleich Null. Die säkularen Gleichungen, die wir lösen wollen, sind homogene Gleichungen, und wir werden diese Eigenschaft der Determinante verwenden, um die Molekülorbitalenergien zu bestimmen. Eine wichtige Eigenschaft homogener Gleichungen ist, dass wenn ein Vektor ( extbf) ist eine Lösung, also jedes Vielfache von ( extbf), was bedeutet, dass die Lösungen (die Molekülorbitale) problemlos normalisiert werden können.


Simultane Gleichungen mit einer Determinante lösen

Faktorisiere die Determinante $ extStartz & 1 & 2 1 & z & 3 1 & 1 & z+1 end$ und lösen damit die simultanen Gleichungen $ zx + y = 2, x + zy = 3, x + y = z+1.$

Die Determinante ist $(z-1)(z^2+2z-4)$ , aber wie hilft dies, die simultanen Gleichungen zu lösen?

Eine Möglichkeit, die Gleichungen zu lösen, besteht darin, $y = z + 1 - x$ in die ersten beiden Gleichungen einzusetzen, was $z(x+1) = x + 1 $ und $x + z(z + 1 - x) = . ergibt 3. $ Für $x eq -1$ erhalten wir $z = 1$ , was bedeutet, dass $x + 2 - x = 3$ ein Widerspruch ist. Daher ist $x = -1$ .

Setzen wir dies in die drei simultanen Gleichungen ein, erhalten wir $zy = 4$ und $y = z + 2$ . Also $z eq 0$ , also $frac<4> = z + 2$ , was $z^2 + 2z - 4 = 0$ ergibt (einer der Faktoren der Determinante!). Wenn wir diese quadratische Gleichung nach $z$ auflösen und die Tatsache verwenden, dass $y = z+2$ ist, erhalten wir $z = -1 pm sqrt<5>$ und $y = 1 pm sqrt<5>$ .

Ich sehe den Zusammenhang mit der Determinante in der Problemstellung nicht. Wie führt die Faktorisierung der Determinante zur Lösung der Simultangleichungen?


Gleichungssysteme mit Determinanten lösen

(A) finde die Determinante von $A,$ (b) finde $A^<-1>,$ (c) finde $operatornameleft(A^<-1> ight),$ und
(d) vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus den Teilen (a) und (c). Machen Sie eine Vermutung basierend auf Ihren Ergebnissen.
$A=left[egin
-1 und 3 und 2
1 und 3 und -1
1 und 1 und -2amp
Ende ight]$

(A) finde die Determinante von $A,$ (b) finde $A^<-1>,$ (c) finde $operatornameleft(A^<-1> ight),$ und
(d) vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus den Teilen (a) und (c). Machen Sie eine Vermutung basierend auf Ihren Ergebnissen.
$A=left[egin
1 & -3 & -2
-1 und 3 und 1
0 und 2 und -2
Ende ight]$

(A) finde die Determinante von $A,$ (b) finde $A^<-1>,$ (c) finde $operatornameleft(A^<-1> ight),$ und
(d) vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus den Teilen (a) und (c). Machen Sie eine Vermutung basierend auf Ihren Ergebnissen.
$A=left[egin
5 & -1
2 &ere -1
Ende ight]$

(A) finde die Determinante von $A,$ (b) finde $A^<-1>,$ (c) finde $operatornameleft(A^<-1> ight),$ und
(d) vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus den Teilen (a) und (c). Machen Sie eine Vermutung basierend auf Ihren Ergebnissen.
$A=left[egin
1 und 2
-2 und 2
Ende ight]$

Bestimmen Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Rechtfertige deine Antwort.
Denken Sie darüber nach. Sei $A$ eine $3 imes 3$-Matrix mit $|A|=5 .$ Können Sie diese Informationen verwenden, um $|2 A| zu finden? ?$ Erklären.

Bestimmen Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Rechtfertige deine Antwort.
Exploration Finden Sie ein Paar von $3 mal 3$ Matrizen $A$ und $B$, um zu zeigen, dass $|A+B| eq|A|+|B|$

Bestimmen Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Rechtfertige deine Antwort.
Wenn zwei Spalten einer quadratischen Matrix gleich sind, ist die Determinante der Matrix Null.

Bestimmen Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Rechtfertige deine Antwort.
Wenn eine quadratische Matrix eine ganze Reihe von Nullen hat, ist die Determinante immer Null.

Werten Sie die Determinante aus, in der die Einträge Funktionen sind. Determinanten dieser Art treten auf, wenn Variablenänderungen in der Infinitesimalrechnung vorgenommen werden.
$left|egin
x & x ln x
1 und 1+ln x
Ende ight|$

Werten Sie die Determinante aus, in der die Einträge Funktionen sind. Determinanten dieser Art treten auf, wenn Variablenänderungen in der Infinitesimalrechnung vorgenommen werden.
$left|egin
x & ln x
1 und 1 / x
Ende ight|$

Werten Sie die Determinante aus, in der die Einträge Funktionen sind. Determinanten dieser Art treten auf, wenn Variablenänderungen in der Infinitesimalrechnung vorgenommen werden.
$left|egin
e^ <-x>& x e^ <-x>
-e^ <-x>& (1-x) e^<-x>
Ende ight|$

Werten Sie die Determinante aus, in der die Einträge Funktionen sind. Determinanten dieser Art treten auf, wenn Variablenänderungen in der Infinitesimalrechnung vorgenommen werden.
$left|egin
e^ <2 x>& e^ <3 x>
2 e^ <2 x>& 3 e^<3 x>
Ende ight|$


Wissensdatenbank über Determinanten

Eine Determinante ist eine Eigenschaft einer quadratischen Matrix.

Der Wert der Determinante hat viele Auswirkungen auf die Matrix. Eine Determinante von 0 impliziert, dass die Matrix singulär und somit nicht invertierbar ist. Ein lineares Gleichungssystem kann gelöst werden, indem eine Matrix aus den Koeffizienten erstellt und die Determinante genommen wird. Diese Methode wird Cramersche Regel genannt und kann nur verwendet werden, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Geometrisch repräsentiert die Determinante das Vorzeichen Fläche des Parallelogramms, das durch die Spaltenvektoren gebildet wird, genommen als kartesische Koordinaten.

Es gibt viele Methoden zur Berechnung der Determinante. Bei einigen Matrizen, wie z. B. Diagonal- oder Dreiecksmatrizen, können ihre Determinanten berechnet werden, indem das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen gebildet wird. Für eine 2-mal-2-Matrix wird die Determinante berechnet, indem die umgekehrte Diagonale von der Hauptdiagonale subtrahiert wird, die als Leibniz-Formel bekannt ist. Die Determinante des Produkts von Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten dieser Matrizen, daher kann es von Vorteil sein, eine Matrix in einfachere Matrizen zu zerlegen, die einzelnen Determinanten zu berechnen und dann die Ergebnisse zu multiplizieren. Einige nützliche Zerlegungsmethoden umfassen die QR-, LU- und Cholesky-Zerlegung. Bei komplizierteren Matrizen müssen zur Berechnung der Determinante die Laplace-Formel (Kofaktor-Entwicklung), die Gaußsche Elimination oder andere Algorithmen verwendet werden.


Lösen des linearen Gleichungssystems mit Determinanten

Die Lösung der obigen Gleichungen ist gegeben durch

D ist die Determinante der Variablen.

Schritte zum Lösen des Gleichungssystems

1. Berechnen Sie die Determinante D unter Verwendung der Koeffizienten der Variablen.

2. Berechnen Sie die Determinante D1, wobei die Konstanten anstelle der x-Koeffizienten verwendet werden.

3. Berechnen Sie die Determinante D2, wobei die Konstanten anstelle der y-Koeffizienten verwendet werden.

4. Finden Sie x und y mit den Gleichungen x = D1/D und y = D2/D.

5. Schreiben Sie die Lösung als geordnetes Paar.

Lösungssystem von drei Gleichungen mit drei Variablen.

Die Lösung der obigen Gleichungen ist gegeben durch

Beim Lösen eines Systems aus drei Gleichungen mit drei Variablen mit der Cramer-Regel machen wir das, was wir für ein System aus zwei Gleichungen gemacht haben. Jetzt müssen wir nach drei Variablen auflösen, um die Lösung zu erhalten. Sehen wir uns ein Beispiel für das Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen mit der Determinantenmethode an.

Bedingungen für unendliche und keine Lösungen

1. Wenn D = 0 und D1 = D2 = D3 = 0, dann kann das Gleichungssystem konsistent sein oder nicht.

2. Wenn die Werte von x, y und z die dritte Gleichung erfüllen, heißt das System konsistent und hat unendliche Lösungen.

3. Wenn die Werte von x, y, z die dritte Gleichung nicht erfüllen, heißt das System inkonsistent und hat keine Lösung.

4. Wenn D1 = D2 = D3 = 0, dann heißt das lineare Gleichungssystem homogene lineare Gleichungen, die mindestens eine Lösung haben, d. h. (0, 0, 0). Dies wird als triviale Lösung für homogene lineare Gleichungen bezeichnet.

5. Wenn das System homogener linearer Gleichungen von Null verschiedene Lösungen hat und D = 0, dann hat das gegebene System unendliche Lösungen. Dann können wir die Gleichungen mit der Matrixinversionsmethode lösen.

Lineare Gleichungen in der Algebra

Algebra ist ein weites Feld mit vielen Anwendungen. Lineare Algebra wird in fraktaler Geometrie, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen, Relativitätstheorie, Archäologie, Demographie usw. verwendet. Die Schüler können Fragen von erwartenlineare Gleichungen in der Algebra für die JEE-Prüfung. Die Standardform einer linearen Gleichung in zwei Variablen ist ax + by = c, wobei a und b reelle Zahlen sind. Die Variablen sind x und y.

Beim Lösen der Gleichungen in einer Variablen folgen wir den Regeln wie Additionsregel, Subtraktionsregel, Multiplikationsregel und Divisionsregel. Je nach Art der Lösung kann das Gleichungssystem konsistent oder inkonsistent sein.


Lektion Lösen von linearen Gleichungssystemen in drei Unbekannten unter Verwendung der Determinante (Cramer-Regel)

Lösen von linearen Gleichungssystemen in drei Unbekannten unter Verwendung der Determinante (Cramer-Regel)

In dieser Lektion finden Sie typische Beispiele zur Lösung der Systeme von drei linearen Gleichungen in drei Unbekannten unter Verwendung von Determinanten (Cramer-Regel).
Die Lektion ist eine Fortsetzung der Lektion, WIE man ein lineares Gleichungssystem in drei Unbekannten unter Verwendung der Determinante (Cramer-Regel) löst, unter dem aktuellen Thema auf dieser Seite.

Cramers Regel

ein System von drei linearen Gleichungen in drei Unbekannten sein, wobei , , , , , , , , Koeffizienten und Konstanten der rechten Seite sind und Unbekannte sind. Um das lineare Gleichungssystem (1) mit der Cramerschen Regel zu lösen, benötigen Sie

1. die Koeffizientenmatrix zu bilden und ihre Determinante D = det zu berechnen.

Wenn die Determinante nicht null ist, existiert die Lösung und ist eindeutig, und die folgenden Schritte sind anwendbar.

2. Um die erste Unbekannte zu berechnen, müssen Sie die Koeffizientenmatrix ändern, indem Sie ihre erste Spalte durch die rechte Spalte ersetzen. Sie erhalten die Matrix.
Berechnen Sie dann die Determinante dieser modifizierten Matrix Dx = det und dividieren Sie sie durch die Determinante der Koeffizientenmatrix: = .
3. Um die zweite Unbekannte zu berechnen, müssen Sie die Koeffizientenmatrix ändern, indem Sie ihre zweite Spalte durch die rechte Spalte ersetzen. Sie erhalten die Matrix.
Berechnen Sie dann die Determinante dieser modifizierten Matrix Dy = det und dividieren Sie sie durch die Determinante der Koeffizientenmatrix: = .
4. Um die dritte Unbekannte zu berechnen, müssen Sie die Koeffizientenmatrix ändern, indem Sie ihre dritte Spalte durch die rechte Spalte ersetzen. Sie erhalten die Matrix.
Berechnen Sie dann die Determinante dieser modifizierten Matrix Dy = det und dividieren Sie sie durch die Determinante der Koeffizientenmatrix: = .
In diesem Stadium ist die Lösung abgeschlossen.

Beispiel 1

Lösen Sie das System nach der Cramerschen Regel

Die Koeffizientenmatrix ist = .

Lassen Sie uns seine Determinante durch Co-Faktoring (Expanding) entlang der ersten Zeile berechnen (siehe die Lektion Co-Faktoring der Determinante einer 3x3-Matrix unter dem aktuellen Thema):

= 2*det - 2*det + (-1)*det = 2*(-1-(-1)) - 2*(-1-1) + (-1)*(-1-1) = 0 - 2*(-2) + (-1)*(-2) = 0 + 4 + 2 = 6.

Die Determinante ist ungleich Null, daher gilt die Cramersche Regel.

Berechnen wir nun die Determinante der ersten modifizierten Matrix, die der Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie wieder die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = 2*det - 2*det + (-1)*det = 2*(-1-(-1)) - 2*(-4-2) + (-1)*(-4 -2) = 0 - 2*(-6) - 1*(-6) = 0 + 12 + 6 = 18.

Berechnen Sie als Nächstes die Determinante der zweiten modifizierten Matrix, die der Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = 2*det - 2*det + (-1)*det = 2*(-4-2) - 2*(-1-1) + (-1)*(2-4) = 2*( -6) - 2*(-2) + (-1)*(-2) = -12 +4 + 2 = -6.

Berechnen Sie zuletzt die Determinante der dritten modifizierten Matrix, die der Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = 2*det - 2*det + 2*det = 2*(2+4) - 2*(2-4) + 2*(-1-1) = 2*6 - 2*(-2) + 2*(-2) = 12.

Sie können diese Lösung leicht überprüfen, indem Sie die gefundenen Werte in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Die Lösung ist einzigartig.

Beispiel 2

Lösen Sie das System nach der Cramerschen Regel

Schreiben wir das System um, indem wir Nullkoeffizienten für Variablen verwenden, die nicht gezeigt werden

Die Koeffizientenmatrix ist = .

Lassen Sie uns seine Determinante durch Co-Faktoring (Expanding) entlang der ersten Zeile berechnen (siehe die Lektion Co-Faktoring der Determinante einer 3x3-Matrix unter dem aktuellen Thema):

= 0*det - 1*det + (-2)*det = 0 - 1*(1-0) + (-2)*(0+3) = 0 - 1 - 6 = -7.

Die Determinante ist ungleich Null, daher gilt die Cramersche Regel.
Berechnen wir nun die Determinante der ersten modifizierten Matrix, die der Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie wieder die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = (-3)*det - 1*det + (-2)*det = (-3)*(-1) - 1*2 + (-2)*11 = 3 - 2 - 22 = -21 .

Berechnen Sie als Nächstes die Determinante der zweiten modifizierten Matrix, die der Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = 0*det - (-3)*det + (-2)*det = 0 - (-3)*1 + (-2)*(11-6) = 0 + 3 + (-2)* 5 = 3 - 10 = -7.

Berechnen Sie zuletzt die Determinante der dritten modifizierten Matrix, die der Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = 0*det - 1*det + (-3)*det = 0 - 1*(11-6) + (-3)*3 = 0 - 5 - 9 = -14.

Sie können diese Lösung leicht überprüfen, indem Sie die gefundenen Werte in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Die Lösung ist einzigartig.

Beispiel 3

Lösen Sie das System nach der Cramerschen Regel

Beachten Sie, dass alle Terme der rechten Seite im gegebenen Gleichungssystem Nullen sind. Solche Systeme mit den Nulltermen der rechten Seite werden homogene Systeme genannt.

Die Koeffizientenmatrix ist = .

Lassen Sie uns seine Determinante durch Co-Faktoring (Expanding) entlang der ersten Zeile berechnen (siehe die Lektion Co-Faktoring der Determinante einer 3x3-Matrix unter dem aktuellen Thema):

= 1*det - 1*det + 1*det = 1*((-1)*(-2)-(-3)*1) - 1*(1*(-2)-1*(-3) ) + 1*(1-(-1)) = 5 - 1 + 2 = 6.

Die Determinante ist ungleich Null, daher gilt die Cramersche Regel.

Nun hat die erste modifizierte Matrix die erste Spalte, die aus Nullen besteht. Wenn Sie seine Determinante mithilfe von Co-Faktoren entlang der ersten Spalte berechnen, erhalten Sie alle expandierenden Terme gleich Null. Daher hat die erste modifizierte Matrix die Null-Determinante.

In ähnlicher Weise haben auch die zweite und die dritte modifizierte Matrizen Null-Determinanten.

Es impliziert, dass das gegebene Gleichungssystem die Nulllösung hat und diese Lösung eindeutig ist.

Anhand dieses Beispiels können Sie eine allgemeine Schlussfolgerung ziehen, dass ein homogenes System linearer Gleichungen mit einer Determinante ungleich Null nur eine Nulllösung hat.


Zum Abschluss dieser Lektion zeige ich Ihnen, dass Ihnen die Cramersche Regel manchmal helfen kann, sogar nichtlineare (!) Gleichungssysteme zu lösen!
. . . Natürlich, wenn das gegebene nichtlineare Gleichungssystem nach dem Ersetzen der Unbekannten auf das lineare reduziert werden kann :)
Unten ist ein Beispiel.

Beispiel 4

Löse das System der drei nichtlinearen Gleichungen in drei Unbekannten

Lassen Sie uns neue Variablen = , = und = einführen.
Dann wird das gegebene nichtlineare Gleichungssystem auf das lineare reduziert:

Die Koeffizientenmatrix ist . Seine Determinante ist 1*1*1 + 1*1*1 + 1*(-1)*(-1) - 1*1*(-1) - 1*1*1 - (-1)*1*1 = 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 4.

Die Determinante ist nicht Null. Daher gilt die Cramersche Regel.

Berechnen wir die Determinante der ersten modifizierten Matrix, die den Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = 4*det - 1*det + (-1)*det = 4*(1-1) - 1*(6-8) - 1*(6-8) = 0 + 2 + 2 = 4.

Berechnen wir nun die Determinante der zweiten modifizierten Matrix, die der Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = 1*det - 4*det + (-1)*det = 1*(6-8) - 4*(-1-1) + (-1)*(-8-6) = -2 + 8 + 14 = 20.

Als letztes berechnen wir die Determinante der dritten modifizierten Matrix, die der Zähler des Bruchs für ist. Verwenden Sie wieder die Determinante, die entlang der ersten Zeile expandiert:

= det = 1*det - 1*det + 4*det = 1*(8-6) - 1*(-8-6) + 4*(-1-1) = 2 + 14 - 8 = 8.

Sie können diese Lösung leicht überprüfen, indem Sie die gefundenen Werte in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Die Lösung ist einzigartig.


Verwenden Sie diese Datei/den Link ALGEBRA-II - IHR ONLINE-LEHRBUCH, um durch alle Themen und Lektionen des Online-Lehrbuchs ALGEBRA-II zu navigieren.


DETERMINANTE METHODE ZUR LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGEN

Um ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen zu lösen, verwenden wir die folgenden Regeln.

Wenn ∆ ≠ 0. Dann hat das System eine eindeutige Lösung und wir können die Gleichungen mit der Formel lösen

and at least one of the coefficients a11, ein12, ein21, ein22 is non zero, then the system is consistent and has infinitely many solution.

If ∆ = 0 and at least one of the values ∆ₓ, ∆ᵧ is non-zero then the system is inconsistent and it has no solution.

Solve the  following equation using determinant method

Write the values of  Δ,  Δx and  Δy and evaluate

So, the system is consistent and it has unique solution.

Hence the solution is (1, 1).

Solve the  following equation using determinant method

So, the system is consistent and it has unique solution.

Hence the solution is (1, 1).

Solve the  following equation using determinant method

So, the system is inconsistent and it has no solution.

Solve the  following equation using determinant method

Since ∆ = 0, ∆  = 0 and  ∆  = 0 and atleast one of the element in ∆ is non zero.

Then the system is consistent and it has infinitely many solution. The above system is reduced into one equation. To solve this equation we have to assign y = k.

So, the solution is (3-2k, k). Here k  ∈ R where R is real numbers.

Solve the  following equation using determinant method

Here ∆ = 0 but ∆  ≠ 0, then the system is consistent and it has no solution.

Solve the  following equation using determinant method

Since ∆ = 0, ∆  = 0 and  ∆  = 0 and atleast one of the element in ∆ is non zero. Then the system is consistent and it has infinitely many solution. The above system is reduced into single equation. To solve this equation we have to assign y = k.

So, the solution is ((3-k)/2, k). Here k  ∈ R where R is real numbers.

Wenn Sie abgesehen von den oben genannten Dingen noch andere Dinge in Mathematik benötigen, verwenden Sie bitte unsere benutzerdefinierte Google-Suche hier.

Wenn Sie Feedback zu unseren mathematischen Inhalten haben, senden Sie uns bitte eine E-Mail: 

Wir freuen uns immer über Ihr Feedback. 

Sie können auch die folgenden Webseiten zu verschiedenen Themen in Mathematik besuchen. 


Determinants and Simultaneous Linear Equations

Definition 1: The determinant, det A, also denoted |A|, of an nein × nein square matrix EIN is defined recursively as follows:

Wenn EIN is a 1 × 1 matrix [a] (i.e. a scalar) then det EIN = a. Andernfalls,

where EINij is matrix EIN with row ich and column j removed.

Note that if EIN = , then we use the notation for det EIN.

Excel Functions: Excel provides the following function for calculating the determinant of a square matrix:

MDETERM(EIN): If EIN is a square array, then MDETERM(EIN) = det EIN. This is not an array function.

The Real Statistics function DET(EIN) provides equivalent functionality.

  1. det A T = det EIN
  2. Wenn EIN is a diagonal matrix, then det EIN = the product of the elements on the main diagonal of A

Proof : Both of these properties are a simple consequence of Definition 1

Example 1: Calculate det EIN where

From Definition 1 and Property 2 it follows that

Of course, we can get the same answer by using Excel’s function MDETERM(EIN).

Property 3: If EIN und B are square matrices of the same size then det AB = det EIN ∙ det B

Property 4: A square matrix EIN is invertible if and only if det EIN ≠ 0. If EIN is invertible then

The first assertion is equivalent to saying that a square matrix EIN is singular if and only if det EIN = 0.

Property 5: Rules for evaluating determinants:

  1. The determinant of a triangular matrix is the product of the entries on the diagonal.
  2. If we interchange two rows, the determinant of the new matrix is the negative of the old one.
  3. If we multiply one row by a constant, the determinant of the new matrix is the determinant of the old one multiplied by the constant.
  4. If we add one row to another one multiplied by a constant, the determinant of the new matrix is the same as the old one.

Observation: The rules in Property 5 are sufficient to calculate the determinant of any square matrix. The idea is to transform the original matrix into a triangular matrix and then use rule 1 to calculate the value of the determinant.

We now present an algorithm based on Property 5 for calculating det EIN, where EIN = [aij] is an nein × nein Matrix. Start by setting the value of the determinant to 1, and then perform steps 1 to nein as follows.

Step k – part 1(a): If akk ≠ 0, multiply the current value of the determinant by akk and then divide all the entries in row k by akk (rule 3 of Property 5).

Step k – part 1(b): If akk = 0, exchange row k with any row ich below it (i.e. k < ichnein) for which amk ≠ 0, multiply the current value of the determinant by -1 (rule 2) and then perform step 1(a) above. If no such row exists then terminate the algorithm and return the value of 0 for the determinant.

Step k – part 2: For every row ich below row k, add –amk times row k to row ich (rule 4). This guarantees that aij = 0 for all ich > k und jk.

After the completion of step nein, we will have a triangular matrix whose diagonal contains all 1s, and so by rule 1, the determinant is equal to the current value of the determinant.

Example 2: Using Property 5, find

We present the steps looking from left to right and then top to bottom in Figure 1. For each step, the rule used is specified as well as the multiplier of the determinant calculated up to that point.

Figure 1 – Calculating the determinant in Example 2

This shows that the determinant is -5, the same answer given when using Excel’s MDETERM function.

Observation: In step k – part 1(b) of the above procedure we exchange two rows if akk = 0. Given that we need to deal with roundoff errors, what happens if akk is small but not quite zero? In order to reduce the impact of round off errors, we should modify step k – part 1 as follows:

Step k – part 1: Find ichk such that the absolute value of amk is largest. If this amk ≈ 0 (i.e. |amk|< ϵ where ϵ is some predefined small value) then terminate the procedure. Wenn ich > k then exchange rows ich und k.

Observation: The determinant can be used to solve systems of linear equations as described in Systems of Linear Equations via Cramer’s Rule. Also, the Gaussian elimination technique used to calculate the determinant can also be used to solve systems of linear equations.

9 responses to Determinants and Simultaneous Linear Equations

Charles,
For example 6, there are calculation errors in the Gaussian Elimination steps. The correct ones should be as follows:
Schritt 1:
1 2 2 0
0 5 -2 0
0 -5 2 0

Schritt 2:
1 2 2 0
0 1 -0.4 0
0 -5 2 0

Schritt 3:
1 2 2 0
0 1 -0.4 0
0 0 0 0

Schritt 4:
1 0 2.8 0
0 1 -0.4 0
0 0 0 0

Hi Sun,
Thanks again for identifying another typo. In this case the calculations are correct, but the statement of the linear equations is not correct. I have now corrected this on the website.
As always, thanks a million for your help.
Charles

Charles,
I am having a difficulty to confirm the property 3. It states that A & B are square matrics of the same size, then det AB = det A* det B.

Let A matrix is
2 0 0
0 3 0
0 0 4
B matrix is
6 7 8
6 4 8
1 1 2

Then AB =
12 0 0
0 12 0
0 0 8
So, det AB = 1152

While det A = 24 and det B = -12. So their product is -288.

Can you please advise me where I understood the property incorrectly?
-Sun

Charles,
Please disregard my inquiry. I made a mistake in calculating the matrix multiplication. AxB should be
12 14 16
18 12 24
4 4 8
and its determinant is -288, which is the exactly same as the multiplication of individual determinants of matrices.

Great blog! Do you have any tips for aspiring writers?
I’m hoping to start my own website soon but I’m a little lost on everything.
Would you advise starting with a free platform like WordPress or go for a paid option? There are so many
options out there that I’m completely overwhelmed .. Any ideas?
Thanks a lot!

Ireej,
To gain some experience I started by putting the website up on the free WordPress platform. It worked for a while until I found that I needed some of the tools that are not available on the free platform.
Charles

As a side note – if we accept “Definition 1” then “Property 2” should be read as $egin a & b c & d end = ad – bc$.
Not “ac – bd”.

Eugene,
Thanks for catching this typo. I have now corrected the formula on the webpage.
Charles

Really this site have help me a lot and i am really appreciate the efforts of all those who contributed to development of this site. I am looking forward to send me more problems and solutions on determinant and matrices to my email address to enable me study at home because, presently i am student.


21.7: Solve Systems of Equations Using Determinants

Solution of linear systems by determinants. Properties of determinants. Evaluation of determinants. Minor. Cofactor. Cramer’s Rule. Homogeneous systems.

Def. Determinant. A square array of quantities, called elements, symbolizing the sum of certain products of these elements. The symbol

denotes a determinant of order n. It is an abbreviation for the algebraic sum of all possible products

where each product of n factors contains one and only one element from each row and one and only one element from each column. There will be n! such products. Each product has a plus or minus sign attached to it according as the column indices form an even or odd permutation when the row indices are in natural order (i.e. 1, 2, 3, . ). For example, the term a13a21a34a42 of the expansion of a determinant of order four has the column indices in order (3,1,4,2) . This term should have a negative sign attached, since three successive interchanges will change the column indices to (1,3,4,2), (1,3,2,4) and (1,2,3,4), the last being in natural order.

Determinants of the second order. The value of the determinant

The solution of a system of two linear equations in two unknowns given in terms of determinants. The solution of the linear system

providing the equations are consistent and independent. The equations are consistent and independent if and only if

Note that the denominator determinants are the same for both x and y and consist of the coefficients of the variables x and y arranged exactly as they appear in the left members of 1). This denominator determinant is called the determinant of the coefficients or the determinant of the system . The numerator determinants are constructed from this denominator determinant by replacing the column containing the coefficients of the variable being solved for by the column of constants, c1 and c2, from the right side of 1) i.e. the numerator determinant in the solution for x is constructed from the denominator determinant by replacing the coefficients a1 and a2 of x by c1 and c2 and likewise in the solution for y.

Determinants of the third order. The value of the determinant

This sum can be remembered by the device shown in Fig. 1 where elements connected by red lines correspond to positive products and elements connected by blue lines represent negative products.

The solution of a system of three linear equations in three unknowns given in terms of determinants. The solution of the linear system                     

providing the equations are consistent and independent. The equations are consistent and independent if and only if

Determinants are most easily evaluated by a technique employing the following properties of determinants.

Properties of determinants .

1. If all the elements of a column (or row) are zero, the value of the determinant is zero.

2. If each of the elements in a row (or column) of a determinant is multiplied by the same number p, the value of the determinant is multiplied by p.

3. If two columns (or rows) are identical, the value of the determinant is zero.

4. Interchanging any two rows (or columns) reverses the sign of the determinant.

5. The value of a determinant is unaltered when all the corresponding rows and columns are interchanged. Thus any theorem proved true for rows holds for columns, and conversely.

6. If each element of a row (or column) of a determinant is expressed as the sum of two (or more) terms, the determinant can be expressed as the sum of two (or more) determinants.

7. If to each element of a row (or column) of a determinant is added m times the corresponding element of another row (or column) the value of the determinant is not changed.

Def. Minor of an element in a determinant . The determinant, of next lower order, obtained by striking out the row and column in which the element lies.

Def. Cofactor of an element in a determinant . Denote the minor of element aij of the i-th row and j-th column of a determinant |A| by |Mij |. The cofactor αij of the element aij is given as the signed minor (-1) i+j |Mij | i.e. it is the minor, taken with a positive or negative sign, according as the sum of the column number and the row number is even or odd.

Then the minor of element a21 ist

The cofactor of element a21 ist

Evaluation of a determinant by minors .

Theorem 1. The value of a determinant of order n is equal to the sum of the products formed by multiplying each element of any selected row (or column) by its cofactor. The value of a determinant of order 1 is the value of the single element of the determinant.

The usual procedure for evaluating a determinant of order greater than 3 is the following:

Step 1. For some selected row or column use property 7 above to reduce to zero all elements except one.

Step 2. Expand the elements of the selected row (or column) using Theorem 1. This yields a single determinant of lower order than the original determinant.

Step 3. Repeat Step 2 until the remaining determinant is of the second or third order.

Example. Evaluate the determinant

Solution . In general, the first step in the procedure is to locate an element in the matrix that is either 1 or -1. If one doesn’t exist, we create one using property 2 or 7 listed above. In this case there is a -1 in the second column. We will use it to reduce to zero the other elements in the same column. Adding the third row to the first gives

Adding twice the third row to the second gives

Subtracting three times the third row from the fourth gives

We now expand the determinant along the elements of the second column to obtain

The solution of a system of n linear equations in n unknowns by determinants.

Cramer’s Rule. Given a system of n linear equations in n unknowns

where the n unknowns in the left members are assumed to appear in the same order in all equations and the constant terms, k1, k2, . , knein, are in the right members. Let D denote the determinant of the coefficients formed from the coefficients in the left members arranged just as they appear in the system. Let Nx be the determinant formed from D by replacing the coefficients of x with the constant terms k1, k2, . , knein, let Nja be the determinant formed from D by replacing the coefficients of y with the constant terms k1, k2, . , knein, etc. Then:

Case 1. D ≠ 0. The system has a unique solution given by

Case 2. D = 0 and at least one of Nx , Nja , Nz , . ≠ 0. The system has no solution. It is inconsistent.

Case 3. D = 0 and Nx , Nja , Nz , . = 0. The system may or may not have a solution. If it has a solution, the equations are dependent and there will be an infinite number of solutions. If it doesn’t have a solution, the equations are inconsistent.

Linear systems containing fewer equations than unknowns. Ordinarily if there are fewer equations than unknowns in a system, the system will have an infinite number of solutions. However, if the system contains inconsistent equations, there will be no solution.

To solve a consistent system of m equations in n unknowns, where m < n, solve for m of the unknowns in terms of the others.

Linear systems containing more equations than unknowns. Ordinarily if there are more equations than unknowns, the system is inconsistent. However, this need not be the case and the system may contain a number of dependent equations in which case there may be either one or an infinite number of solutions.

Homogeneous systems. A linear equation is homogeneous if its constant term is zero. Every system of homogeneous equations

has the so-called trivial solution x = 0, y = 0, z = 0, .  

Theorem. A necessary and sufficient condition that a system of n homogeneous linear equations in n unknowns have solutions other than the trivial solution is that its determinant of the coefficients is zero. If the determinant of the coefficients is zero, it will have an infinite number of solutions.


Schau das Video: Determinantmetoden (September 2021).