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11.5.4: Lineare Gleichungen in einer Variablen lösen - Mathematik


Lernerfolge

  • Löse lineare Gleichungen für die Variable.

Es ist eine häufige Aufgabe in der Algebra, eine Gleichung nach einer Variablen zu lösen. Das Ziel wird es sein, die Variable auf einer Seite der Gleichung ganz allein zu bekommen und die andere Seite der Gleichung nur eine Zahl zu haben. Der Prozess umfasst das Identifizieren der Operationen, die an der Variablen durchgeführt werden, und das Anwenden der inversen Operation auf beide Seiten der Gleichung. Dies erfolgt in umgekehrter Reihenfolge der Vorgänge.

Beispiel (PageIndex{1})

Löse die folgende Gleichung nach (x).

[3x+4=11 label{EQ1.1}]

Lösung

Wir beginnen damit, uns die Operationen anzusehen, die mit (x) ausgeführt werden, und behalten dabei die Reihenfolge im Auge. Die erste Operation ist „mit 3 multiplizieren“ und die zweite ist „4 addieren“. Wir machen jetzt alles rückwärts. Da die letzte Operation "4 addiert" ist, ist unser erster Schritt, 4 von beiden Seiten der Gleichung ef{EQ1.1} zu subtrahieren.

[3x cancel{+ 4} color{Cerulean}{ cancel{-4}} color{black} =11 color{Cerulean}{ -4} onumber]

was die Gleichung vereinfacht

[3x = 7 keineZahl]

Als nächstes können Sie "mit 3 multiplizieren" rückgängig machen, indem Sie beide Seiten durch 3 teilen. Wir erhalten We

[ dfrac{cancel{3}x}{color{Cerulean}{cancel{3}}} color{black}= dfrac{7}{color{Cerulean}{3}} onumber ]

oder

[x=dfrac{7}{3} onumber]

Beispiel (PageIndex{2})

Das obige Rechteck ist ein Diagramm für eine gleichmäßige Verteilung von 2 bis 9, das nach dem ersten Quartil fragt. Die Fläche des kleineren roten Rechtecks ​​mit einer Basis von 2 bis Q1 und einer Höhe von 1/7 beträgt 1/4. Finden Sie Q1.

Lösung

Wir beginnen mit der Flächenformel für ein Rechteck:

[ ext{Fläche} = ext{Basis} imes ext{Höhe} label{EQ1}]

Wir haben:

  • Fläche = (frac{1}{4})
  • Basis = (Q1-2)
  • Höhe = (frac{1}{7})

Setze dies in Gleichung ef{EQ1} ein, um zu erhalten:

[frac{1}{4}=left(Q1-2 ight)left(frac{1}{7} ight) label{EQ2}]

Wir müssen nach (Q1) auflösen. Zuerst beide Seiten der Gleichung ef{EQ2} mit 7 multiplizieren, um zu erhalten:

[ egin{align} color{Cerulean}{7} color{black} left(dfrac{1}{4} ight) &= color{Cerulean}{cancel{7}} color {schwarz} left(Q1-2 ight) cancel{ left(frac{1}{7} ight)} onumber [5pt] dfrac{7}{4} &=Q1-2 label{EQ4} end{align}]

Addiere nun 2 zu beiden Seiten der Gleichung ef{EQ4}, um zu erhalten:

[ egin{align*} dfrac{7}{4} color{Cerulean} +2 color{black} & =Q1 cancel{-2} color{Cerulean}{cancel{+2}} [5pt] dfrac{7}{4}+2&=Q1 end{align*}]

oder

[Q1=frac{7}{4}+2 onumber]

Dies in einen Taschenrechner einzugeben, ergibt:

[Q1=3,75 keineZahl]

Beispiel (PageIndex{3}): z-Score

Der z-Score für einen gegebenen Wert (x) für eine Verteilung mit Populationsmittelwert (mu) und Populationsstandardabweichung (sigma) ist gegeben durch:

[z=frac{x-mu}{sigma} onumber]

Ein Online-Händler hat festgestellt, dass der durchschnittliche Umsatz der Bevölkerung pro Tag 2.841 US-Dollar beträgt und die Standardabweichung der Bevölkerung 895 US-Dollar beträgt. Ein Wert von (x) gilt als Ausreißer, wenn der Z-Score kleiner als -2 oder größer als 2 ist. Wie viele Verkäufe müssen getätigt werden, um einen Z-Score von 2 zu haben?

Lösung

Zuerst identifizieren wir jede der gegebenen Variablen. Da der Bevölkerungsdurchschnitt 2.841 beträgt, haben wir:

[mu=2841 onumber]

Uns wird gesagt, dass die Standardabweichung der Population 895 Meter beträgt, also:

[sigma=895 onumber]

Wir erhalten auch, dass der Z-Score 2 ist, also:

[z=2 onumber]

Jetzt setzen wir die Zahlen in die Formel für den Z-Score ein, um zu erhalten:

[2=frac{x-2841}{895} onumber]

Als nächstes können wir die Reihenfolge der Gleichung ändern, sodass (x) auf der linken Seite der Gleichung steht:

[frac{x-2841}{895}=2 onumber]

Als nächstes lösen wir nach (x). Multiplizieren Sie zuerst beide Seiten der Gleichung mit 895, um zu erhalten

[x-2841=2left(895 ight)=1790 onumber]

Schließlich können wir auf beiden Seiten der Gleichung 2841 addieren, um (x) selbst zu erhalten:

[x=1790+2841=4631 onumber]

Wir können daraus schließen, dass der Z-Score 2 beträgt, wenn der Tagesumsatz bei 4631 USD liegt.

Übung

Das Rechteck unten ist ein Diagramm für eine gleichmäßige Verteilung von 5 bis 11, das nach 72 fragtnd Perzentil. Die Fläche des kleineren roten Rechtecks ​​mit einer Basis von 5 bis 72nd Perzentil (x) und Höhe 1/6 beträgt 0,72. Finden Sie (x).

  • Zweistufige Gleichungen lösen: Die Grundlagen
  • Lineare Gleichungen lösen

NCERT-Bücher für Mathematik der Klasse 9 Kapitel 4 Lineare Gleichung in zwei Variablen

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11.5.4: Lineare Gleichungen in einer Variablen lösen - Mathematik

In diesem Abschnitt werden wir einen Blick auf ein Thema werfen, das in einem Algebra-Unterricht oft nicht die Abdeckung erhält, die es verdient. Dies liegt wahrscheinlich daran, dass es nicht in mehr als ein paar Abschnitten in einer Algebra-Klasse verwendet wird. Dies ist jedoch ein Thema, das in anderen Klassen ausgiebig verwendet werden kann und häufig verwendet wird.

Wir werden hier Gleichungen lösen, die mehr als eine Variable enthalten. Der Prozess, den wir hier durchlaufen werden, ist dem Lösen linearer Gleichungen sehr ähnlich, was einer der Gründe ist, warum dies an dieser Stelle eingeführt wird. Davon gibt es jedoch eine Ausnahme. Manchmal, wie wir sehen werden, ist die Reihenfolge des Prozesses bei einigen Problemen anders. Hier ist der Ablauf in der Standardbestellung.

  1. Multiplizieren Sie beide Seiten mit dem LCD, um alle Brüche zu löschen.
  2. Vereinfachen Sie beide Seiten so weit wie möglich. Dies bedeutet oft das Löschen von Klammern und dergleichen.
  3. Verschieben Sie alle Terme, die die Variable enthalten, nach der wir auflösen, auf eine Seite und alle Terme, die die Variable nicht enthalten, auf die gegenüberliegende Seite.
  4. Holen Sie sich eine einzelne Instanz der Variablen, nach der wir in der Gleichung auflösen. Für die Arten von Problemen, die wir hier betrachten, wird dies fast immer durch einfaches Herausrechnen der Variablen aus jedem der Terme erreicht.
  5. Dividiere durch den Koeffizienten der Variablen. Dieser Schritt wird sinnvoll sein, wenn wir Probleme bearbeiten. Beachten Sie auch, dass der „Koeffizient“ in diesen Aufgaben wahrscheinlich andere Dinge als Zahlen enthält.

Normalerweise ist es am einfachsten zu sehen, womit wir arbeiten werden und wie sie mit einem Beispiel funktionieren. Wir werden auch den grundlegenden Prozess zur Lösung dieser Probleme im ersten Beispiel erläutern.

Was wir hier suchen, ist ein Ausdruck in der Form,

Mit anderen Worten, die einzige Stelle, an der wir ein (r) sehen möchten, ist ganz allein auf der linken Seite des Gleichheitszeichens. Es sollte nirgendwo in der Gleichung ein anderes (r) geben. Der oben beschriebene Prozess sollte dies für uns tun.

Okay, machen wir dieses Problem. Wir haben keine Brüche, also müssen wir uns keine Sorgen machen. Zur Vereinfachung multiplizieren wir (P) durch die Klammern. Dies gibt,

Jetzt müssen wir alle Terme mit einem (r) auf einer Seite erhalten. Diese Gleichung hat bereits das für uns aufgestellt, was schön ist. Als nächstes müssen wir alle Terme, die kein (r) enthalten, auf die andere Seite bringen. Dies bedeutet, dass a (P) von beiden Seiten abgezogen wird.

Als letzten Schritt werden wir beide Seiten durch den Koeffizienten von (r) dividieren. Außerdem ist der „Koeffizient“, wie in dem oben aufgeführten Prozess erwähnt, keine Zahl. In diesem Fall ist es Pt. In diesem Stadium ist der Koeffizient einer Variablen einfach alles, was die Variable multipliziert.

Um eine endgültige Antwort zu erhalten, haben wir die Reihenfolge umgedreht, um die Antwort in eine „Standard“-Form zu bringen.

Wir werden in Kürze weitere Beispiele bearbeiten. Lassen Sie uns jedoch zuerst ein paar Dinge beachten. Diese Probleme scheinen zunächst ziemlich schwierig zu sein, aber wenn Sie darüber nachdenken, haben wir nur genau den gleichen Prozess verwendet, mit dem wir lineare Gleichungen gelöst haben. Der Hauptunterschied besteht natürlich darin, dass es bei diesem Prozess mehr „Durcheinander“ gibt. Das bringt uns zum zweiten Punkt. Seien Sie nicht aufgeregt über das Durcheinander in diesen Problemen. Die Probleme werden gelegentlich ein wenig chaotisch sein, aber die erforderlichen Schritte sind Schritte, die Sie tun können! Schließlich wird die Antwort keine einfache Zahl sein, aber auch hier wird sie ein wenig chaotisch sein, oft chaotischer als die ursprüngliche Gleichung. Das ist okay und wird erwartet.

Arbeiten wir noch einige Beispiele.

Dieses ist dem ersten Beispiel ziemlich ähnlich. Es funktioniert jedoch ein wenig anders. Erinnern Sie sich an das erste Beispiel, dass wir die Bemerkung gemacht haben, dass manchmal die Reihenfolge der Schritte im Prozess geändert werden muss? Nun, das werden wir hier tun.

Der erste Schritt des Prozesses sagt uns, Fraktionen zu löschen. Da sich der Bruch jedoch innerhalb einer Reihe von Klammern befindet, multiplizieren wir zuerst (m) durch die Klammern. Beachten Sie auch, dass wir, wenn wir (m) zuerst mit multiplizieren, tatsächlich einen der Brüche automatisch löschen. Das wird unsere Arbeit ein wenig erleichtern, wenn wir die Fraktionen ausräumen.

Nun lösche Brüche, indem du beide Seiten mit (b) multiplizierst. Wir werden auch alle Terme, die kein (R) enthalten, auf die andere Seite verschieben.

[StartVb & = m - 5abR Vb - m & = - 5abRend]

Achten Sie darauf, das Minuszeichen vor der 5 nicht zu verlieren! Da verliert man sehr leicht den Überblick. Der letzte Schritt besteht darin, beide Seiten durch den Koeffizienten von (R) zu dividieren, in diesem Fall -5ab.

Beachten Sie auch, dass wir das Minuszeichen im Nenner manipuliert haben, um die Antwort etwas zu vereinfachen.

Im vorherigen Beispiel haben wir nach (R) gelöst, aber es gibt keinen Grund, nicht nach einer der anderen Variablen in den Problemen aufzulösen. Betrachten Sie zum Beispiel das folgende Beispiel.

Die ersten Schritte sind identisch mit dem vorherigen Beispiel. Zuerst multiplizieren wir (m) durch die Klammern und dann werden wir beide Seiten mit (b) multiplizieren, um die Brüche zu löschen. Wir haben diese Arbeit bereits erledigt, also haben wir aus dem vorherigen Beispiel,

In diesem Fall haben wir (b)'s auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens und wir brauchen alle Terme mit (b)'s darin auf einer Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der anderen Seite der Gleichung. In diesem Fall können wir die Minuszeichen eliminieren, wenn wir die (b)s auf der linken Seite und die anderen Terme auf der rechten Seite sammeln. Dies gibt,

Nun haben beide Terme auf der rechten Seite ein (b) in sich. Wenn wir das also aus beiden Termen herausrechnen, erhalten wir

Schließlich dividiere durch den Koeffizienten von (b). Denken Sie auch daran, dass der „Koeffizient“ all das Zeug ist, das (b) multipliziert. Dies gibt,

Multiplizieren Sie zuerst mit dem LCD, das für dieses Problem (abc) ist.

Als nächstes sammle alle (c) auf einer Seite (die linke wird hier wahrscheinlich am einfachsten sein), faktoriere a (c) aus den Termen und dividiere durch den Koeffizienten.

Zuerst müssen wir den Nenner löschen. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit (5x - 9). Wir löschen auch alle Klammern im Problem, nachdem wir die Multiplikation durchgeführt haben.

Jetzt wollen wir nach (x) auflösen, also müssen wir alle Terme ohne (y) auf die andere Seite bringen. Addiere also 9(y) zu beiden Seiten und die Division durch den Koeffizienten von (x).

Dieses ist dem vorherigen Beispiel sehr ähnlich. Hier ist die Arbeit für dieses Problem.

[Startyleft( <1 + 8x> ight) & = 4 - 3x y + 8xy & = 4 - 3x 8xy + 3x & = 4 - y xleft( <8y + 3> ight ) & = 4 - y x & = frac<<4 - y>><<8y + 3>>end]

Wie zu Beginn dieses Abschnitts erwähnt, werden wir diese Art von Problemen in dieser Klasse nicht allzu oft sehen. Außerhalb dieser Klasse (zum Beispiel einer Calculus-Klasse) tritt diese Art von Problem jedoch mit überraschender Regelmäßigkeit auf.


11.5.4: Lineare Gleichungen in einer Variablen lösen - Mathematik

Löse 12,5 + x = -7.5.

Da der Variablen 12,5 hinzugefügt wird, ziehen Sie 12,5 ab, um die Variable zu isolieren.

Um die Gleichung ausgeglichen zu halten, subtrahiere 12,5 von beiden Seiten der Gleichung.

Die obigen Beispiele werden manchmal genannt einstufige Gleichungen weil sie nur einen Schritt benötigen, um sie zu lösen. In diesen Beispielen haben Sie a . entweder addiert oder subtrahiert Konstante von beiden Seiten der Gleichung, um die Variable zu isolieren und die Gleichung zu lösen.

Was würden Sie tun, um die Variable in der folgenden Gleichung mit nur einem Schritt zu isolieren?

A) Addiere 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

B) Subtrahiere 10 nur von der linken Seite der Gleichung.

C) Addiere 65 zu beiden Seiten der Gleichung.

D) Subtrahiere 10 von beiden Seiten der Gleichung.

A) Addiere 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

Falsch. Addiert man 10 zu beiden Seiten der Gleichung, erhält man eine äquivalente Gleichung, x + 20 = 65 + 10, aber dieser Schritt erhält nicht die Variable allein auf einer Seite der Gleichung. Die richtige Antwort lautet: Subtrahiere 10 von beiden Seiten der Gleichung.

B) Subtrahiere 10 nur von der linken Seite der Gleichung.

Falsch. Das Subtrahieren von 10 von der linken Seite isoliert die Variable, aber das Subtrahieren von 10 von nur einer Seite der Gleichung hält die Gleichung nicht im Gleichgewicht. Gemäß den Eigenschaften der Gleichheit müssen Sie auf jeder Seite der Gleichung die gleiche exakte Operation ausführen, also müssen Sie auch 10 von 65 subtrahieren, um die Gleichung im Gleichgewicht zu halten. Die richtige Antwort lautet: Subtrahiere 10 von beiden Seiten der Gleichung.

C) Addiere 65 zu beiden Seiten der Gleichung.

Falsch. Dieser Schritt wird die Variable nicht isolieren. Es wird nur eine äquivalente Gleichung ergeben. x + 10 + 65 = 65 + 65. Die richtige Antwort lautet: Subtrahiere 10 von beiden Seiten der Gleichung.

D) Subtrahiere 10 von beiden Seiten der Gleichung.

Richtig. Das Subtrahieren von 10 von jeder Seite der Gleichung ergibt eine äquivalente Gleichung mit isolierter Variable, um die Lösung zu erhalten: x + 10 – 10 = 65 – 10, also x = 55.

Was würden Sie tun, um die Variable in der folgenden Gleichung mit nur einem Schritt zu isolieren?

A) Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.

B) Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.

C) Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.

D) Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.

A) Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.

Falsch. Subtrahiert man von beiden Seiten der Gleichung, erhält man die Gleichung , die gleich ist wie . Dieser Schritt erhält jedoch nicht die Variable allein auf einer Seite der Gleichung. Die richtige Antwort lautet: Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.

B) Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.

Richtig. Das Hinzufügen zu jeder Seite der Gleichung ergibt eine äquivalente Gleichung und isoliert die Variable: , also .

C) Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.

Falsch. Das Subtrahieren von beiden Seiten führt zu dem äquivalenten Ausdruck , der umgeschrieben werden kann, aber dieser Schritt erhält nicht die Variable allein auf einer Seite der Gleichung. Die richtige Antwort lautet: Addiere zu beiden Seiten der Gleichung .

D) Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.

Falsch. Das Hinzufügen zu beiden Seiten führt zu dem äquivalenten Ausdruck , der umgeschrieben werden kann, oder aber dieser Schritt erhält nicht die Variable allein auf einer Seite der Gleichung. Die richtige Antwort lautet: Addiere zu beiden Seiten der Gleichung .

Bei jeder Gleichung können Sie Ihre Lösung überprüfen, indem Sie den Wert der Variablen in der ursprünglichen Gleichung ersetzen. Mit anderen Worten, Sie werten die ursprüngliche Gleichung mit Ihrer Lösung aus. Wenn Sie eine wahre Aussage erhalten, ist Ihre Lösung richtig.

Lösen x + 10 =65. Überprüfen Sie Ihre Lösung.

Da 10 zur Variablen addiert wird, ziehen Sie 10 von beiden Seiten ab. Beachten Sie, dass das Subtrahieren von 10 dasselbe ist wie das Addieren von – 10.

Um dies zu überprüfen, ersetzen Sie die Lösung, – 75 für x in der ursprünglichen Gleichung.

Vereinfachen. Diese Gleichung ist wahr, also ist die Lösung richtig.

x = – 75 ist die Lösung der Gleichung x + 10 = – 65.

Es ist immer eine gute Idee, Ihre Antwort zu überprüfen, ob sie angefordert wird oder nicht.

Verwenden der Multiplikationseigenschaft von Gleichheit

So wie Sie auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche exakte Größe addieren oder subtrahieren können, können Sie auch beide Seiten einer Gleichung mit derselben Größe multiplizieren, um eine äquivalente Gleichung zu schreiben. Schauen wir uns zunächst eine numerische Gleichung 5 • 3 = 15 an. Wenn Sie beide Seiten dieser Gleichung mit 2 multiplizieren, erhalten Sie immer noch eine wahre Gleichung.

Diese Eigenschaft von Gleichungen wird verallgemeinert im Multiplikationseigenschaft der Gleichheit.

Multiplikationseigenschaft der Gleichheit

Für alle reellen Zahlen ein , b , und c : Wenn ein = b , dann einc = bc (oder ab = ac ).

Wenn zwei Ausdrücke gleich sind und Sie beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren, sind die resultierenden Ausdrücke ebenfalls äquivalent.

Wenn die Gleichung Multiplikation oder Division beinhaltet, können Sie diese Operationen „rückgängig machen“, indem Sie die inverse Operation verwenden, um die Variable zu isolieren. Wenn es sich bei der Operation um eine Multiplikation oder Division handelt, besteht Ihr Ziel darin, den Koeffizienten auf 1 zu ändern, die multiplikative Identität.

Lösen 3x = 24. Überprüfen Sie Ihre Lösung.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3, um die Variable zu isolieren (haben Sie einen Koeffizienten von 1).

Eine Division durch 3 entspricht einer Multiplikation mit .

Überprüfen Sie, indem Sie Ihre Lösung 8 durch die Variable in der ursprünglichen Gleichung ersetzen.

Sie können den Koeffizienten auch mit dem multiplikativen Inversen (Kehrwert) multiplizieren, um den Koeffizienten auf 1 zu ändern.

Sol ve . Überprüfen Sie Ihre Lösung.

Der Koeffizient von ist . Da die multiplikative Inverse von 2 ist, können Sie beide Seiten der Gleichung mit 2 multiplizieren, um einen Koeffizienten von 1 für die Variable zu erhalten.


Simultane lineare Gleichungen

Simultane Gleichungen sind ein Satz von zwei oder mehr Gleichungen, von denen jede zwei oder mehr Variablen enthält, deren Werte beide oder alle Gleichungen im Satz gleichzeitig erfüllen können, wobei die Anzahl der Variablen gleich oder kleiner als die Anzahl der Gleichungen im Satz ist.

Simultane lineare Gleichungen
Simultane lineare Gleichungen sind ein Satz von zwei oder mehr linearen Gleichungen mit 2 oder mehr Variablen. Die Lösung des Systems simultaner linearer Gleichungen ist das geordnete Paar (x,y), wenn die Menge zwei lineare Gleichungen hat und (x,y,z….) wenn sie mehr lineare Gleichungen hat.

Simultane lineare Gleichungen mit 2 Variablen

Beispiel 1: $displaystyle left< egin3x-y=1x+y=3Ende ight.$

Methoden zur Lösung simultaner linearer Gleichungen

Grafische Methode
Simultan bedeutet gleichzeitig mit simultanen linearen Gleichungen, dass Sie versuchen, den Punkt zu finden, an dem sich zwei Geraden kreuzen, wo die Werte von x und y für beide Gleichungen gleich sind. Es gibt nur einen Punkt, an dem die Werte von x und y für beide Gleichungen gleich sind, hier kreuzen sich die Linien (der Schnittpunkt). Dies ist die simultane grafische Lösung.

Beispiel 2: Löse $displaystyle left< egin3x-y=1x+y=3Ende ight.$ grafisch.

Lösung: Zeichnen Sie jede der geraden Linien auf dem koordinativen Plan.

Finden Sie zunächst einige Hilfspunkte (x,y) unserer ersten Gleichung 3x-y=1.
Zeichne sie auf den koordinativen Plan und verbinde sie jeweils mit einer Geraden d 1 .

Zweitens finden Sie einige Hilfspunkte (x,y) unserer zweiten Gleichung x+y=3.
Zeichne sie jeweils einzeln auf den koordinativen Plan und verbinde sie jeweils mit einer Geraden d 2 .

Der Punkt (1,2), an dem sich diese beiden Geraden schneiden, ist die grafische Lösung unserer simultanen linearen Gleichung mit zwei Variablen.

Substitutionsmethode
Die Substitutionsmethode besteht darin, eine der Gleichungen zu verwenden, um einen Ausdruck der Form “y=” oder “x=” zu erhalten und diesen dann in die andere Gleichung einzusetzen. Dies ergibt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Nachdem wir diese Gleichung gelöst haben, setzen wir den gefundenen Wert in eine der Gleichungen unseres Ausgangssystems ein. So finden wir unser Paar (x,y), das die Lösung ist.

Beispiel 3: Löse $displaystyle left< egin3x-y=1x+y=3Ende ight.$ durch Verwendung der Substitutionsmethode.

zuerst Wir manipulieren die Gleichungen so, dass eine Variable in den Begriffen der anderen definiert ist. Sie können eine beliebige Gleichung oder Variable auswählen, aber um es einfacher zu machen, müssen Sie diejenige auswählen, die leichter neu anzuordnen scheint. In unserem Fall wählen wir die Gleichung x+y=3 und definieren y, da in unserer ersten Gleichung y eine einfache Variable mit dem Koeffizienten 1 ist.
x + y = 3
y = 3 – x

Zweitens wir ersetzen die Variable y, die wir bei unserer anderen Gleichung definiert haben, in unserem Fall bei der ersten Gleichung.

3x – (3-x) = 1
3x – 3 +x = 1
4x – 3 = 1
4x = 1 + 3 = 4
x = 1

Drittens den Wert x, den wir gefunden haben, setzen wir ihn in die andere Gleichung ein, um y zu finden. So finden wir unser Paar (x, y), das die Lösung des Systems ist.

y = 3 – x
x = 1
y = 3 – 1
y = 2

Die Lösung ist das Paar (1, 2)

Am Ende versuchen wir die Lösung, die wir bei der anderen Gleichung gefunden haben, um zu beweisen, dass sie die richtige ist.
(x, y) = (1, 2)
3x – y = 1
(3 × 1) – 2 = 1
3 – 2 = 1

Eliminationsmethode
Das Eliminationsverfahren wird auch als Additionsverfahren bezeichnet. Es besteht darin, die Gleichungen zu addieren oder zu subtrahieren, um eine Gleichung in einer Variablen zu erhalten. Wenn die Koeffizienten einer Variablen entgegengesetzt sind, addieren wir die Gleichungen und wenn die Koeffizienten gleich sind, subtrahieren Sie die Gleichungen, um die Variablen zu eliminieren.

Tipp: „Stellen Sie sicher, dass sich alle gleichen Begriffe und Gleichheitszeichen in den gleichen Spalten befinden“

Wenn Sie keine Gleichungen haben, bei denen Sie eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren eliminieren können, müssen Sie eine oder beide Gleichungen multiplizieren, um die Koeffizienten richtig festzulegen, um ein äquivalentes System zum Eliminieren einer Variablen durch Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen zu erhalten equation .

Beispiel 4: Löse $displaystyle left< egin3x-y=1x+y=3Ende ight.$ mit der Eliminierungsmethode.

Lösung: $ displaystyle left< egin3x-y=1x+y=3Ende ight.$

zuerst da die Koeffizienten der Variablen y entgegengesetzt sind, addieren wir die Gleichungen, um eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten.

Zweitens der Wert von x kann in eine der Gleichungen unseres Systems eingesetzt werden.

x = 1
x + y = 3
1 + y = 3
y = 3 – 1
y = 2

Die Lösung ist das Paar (1,2)

Beispiel 5 : Löse $displaystyle left< eginx+2y=23x+y=1Ende ight.$ mit der Eliminationsmethode.

Lösung: In diesem Fall können wir eine Variable nicht durch Addition oder Subtraktion eliminieren, um eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten. Was wir tun müssen, ist eine oder beide Gleichungen unseres Systems zu multiplizieren, um die Koeffizienten festzulegen, damit wir eine Variable eliminieren können. Wir müssen sehen, welche Variable leichter zu eliminieren ist. In unserem System können beide Variablen eliminiert werden, indem die Koeffizienten festgelegt werden. Wir können die Variable x eliminieren, indem wir die erste Gleichung mit -3 multiplizieren, oder wir können die Variable y eliminieren, indem wir die zweite Gleichung mit -2 multiplizieren.

Eliminieren der Variablen x durch Multiplizieren der ersten Gleichung mit -3.
$ displaystyle x+2y=2Linksrechtspfeil -3x-6y=-6$


Lineare Gleichungen der Klasse 8 in Arbeitsblättern mit einer Variablen

1. Die Lösung von 2x – 3 = 7 lautet:
(a) 2
(b) -2
(c) 5
(d) -5

2. Welche der folgenden Gleichungen ist keine lineare Gleichung?
(a) 2x + 5 = 1
(b) x – 1 = 0
(c) y + 1 = 0
(d) 5x + 3

3. Das gegenwärtige Alter von Sahils Mutter ist dreimal so alt wie das gegenwärtige Alter von Sahil. Nach 5 Jahren erhöht sich ihr Alter auf 66 Jahre. Finden Sie das gegenwärtige Alter von Sahil.
(a) 12
(b) 14
(c) 16
(d) 20

4. Finden Sie die Lösung von 2x + 3 = 7
(a) 2
(b) -2
(c) 3
(d) Nichts davon

5. Lösen: 8x = 20 + 3x
(a) 4
(b) -4
(c) 2
(d) Nichts davon

6. Lösen:
(a) 2
(b) -2
(c) 3
(d) Nichts davon

7. Lösen:
(a) 12
(b) -12
(c) 3
(d) Nichts davon

8. Finden Sie die Lösung von
(a) 2
(b) -2
(c) 3
(d) Nichts davon

9. Finden Sie die Lösung von
(a) 8
(b) -8
(c) 4
(d) Nichts davon

10. Lösen: 8x + 3 = 27
(a) 3
(b) -3
(c) 2
(d) Nichts davon

11. Lösen: 5x – 7 = 2x + 8
(a) 5
(b) -9
(c) 5
(d) 9

12. Der Umfang eines Rechtecks ​​beträgt 13 cm und seine Breite beträgt 2 cm. Finden Sie seine Länge in cm
(a) 3
(b) -3
(c) 2
(d) Nichts davon

13. Zwei Zahlen stehen im Verhältnis 5 : 3. Wenn sie sich um 18 unterscheiden, wie lauten die Zahlen?
(a) 45, 27
(b) 50, 32
(c) 40, 22
(d) Nichts davon

14. Lösen: 2x -3 = x + 2
(a) 5
(b) -9
(c) 5
(d) 9

15. Lösen: 3x = 2x + 18
(a) 18
(b) -18
(c) 14
(d) Nichts davon

16. Lösen: 5t – 3 = 3t – 5
(a) 1
(b) -1
(c) 2
(d) Nichts davon

17. Löse: 5x + 9 = 5 + 3x
(a) 2
(b) -2
(c) 3
(d) Nichts davon

18. Lösen: 4z + 3 = 6 + 2z
(ein)
(b) –
(c) 2
(d) Nichts davon

19. Lösen: 2x – 1 = 14 – x
(a) 5
(b) -9
(c) 5
(d) 9

20. Lösen: 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) Nichts davon

Klasse 8 Mathe Lineare Gleichung in einer Variablen lösen

1. Löse: 2y + 9 = 4
2. Lösen Sie:
3. Lösen Sie: – 7x = 9
4. Löse: x – 2 = 7
5. Löse: y + 3 = 10
6. Löse: 6 = z + 2
7. Lösen: 6x = 12
8. Lösen: = 10
9. Lösen: = 18
10. Lösen: 7x – 9 = 12

Klasse 8 Mathe Lineare Gleichung in einer Variablen Fragen mit Kurzantworten

1. Innenwinkel eines Dreiecks stehen im Verhältnis 2 : 3 : 4. Bestimmen Sie die Winkel des Dreiecks.
2. Wenn der Vater doppelt so alt ist wie sein Sohn und auch 32 Jahre älter als sein Sohn. Wie alt ist der Vater?
Auflösen nach: 8x + 25 = 4x +105
4. Die Seiten des Rechtecks ​​sind im Verhältnis 15 : 4. Wenn der Umfang des Rechtecks ​​38 cm beträgt, finden Sie die Seiten des Rechtecks.
5. Bilden Sie eine Gleichung von „7 addiert zu dreimal einer Zahl ist 118“ und finden Sie auch die Zahl.
6. Wenn die Summe zweier Zahlen 29 ist und eine von ihnen 18. Bilden Sie die Gleichung, um die andere Zahl zu finden.

Klasse 8 Mathe Lineare Gleichung in einer Variablen Fragen vom Typ mit langer Antwort

1. Eine Zahl besteht aus zwei Ziffern, deren Summe 9 ist. Wenn zur Zahl 9 hinzugefügt wird, werden ihre Ziffern vertauscht. Finden Sie die Nummer.
2. Die Summe der beiden Zahlen ist 5 und die Differenz ihrer Quadrate ist 5. Finden Sie die Differenz der Zahlen?
3. Die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist 166. Wie lauten die Zahlen?
4. Ein Mann x. Die Hälfte davon gab er seiner Frau, seinem Sohn und 1200 seiner Tochter. Bilden Sie eine Gleichung und finden Sie auch x.
5. Für welchen Wert von y beträgt der Umfang der Form 220 cm?


Fragen in Übung 2.2

F1) Wenn Sie frac<1> <2> von einer Zahl subtrahieren und das Ergebnis mit frac<1> <2> multiplizieren, erhalten Sie frac<1> <8>. Wie lautet die Nummer?

Q2) Der Umfang eines rechteckigen Schwimmbeckens beträgt 154 m. Seine Länge beträgt 2 m mehr als das Doppelte seiner Breite. Welche Länge und Breite gibt es?

Q3) Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist frac<4> <3>cm. Der Umfang des Dreiecks beträgt 4 frac<2> <15>cm. Wie lang ist eine der verbleibenden gleichen Seiten?

F4) Die Summe zweier Zahlen ist 95. Wenn eine die andere um 15 überschreitet, finden Sie die Zahlen.

Q5) Zwei Zahlen stehen im Verhältnis 5:3. Ich sie unterscheiden sich um 18, wie lauten die Zahlen?

F6) Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben 51. Was sind diese ganzen Zahlen?

F7) Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Vielfachen von 8 ist 888. Finden Sie Vielfache.

F8) Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind so, dass sie, wenn sie in aufsteigender Reihenfolge genommen und mit 2, 3 bzw. 4 multipliziert werden, zu 74 addiert werden. Finden Sie diese Zahlen.

F9) Das Alter von Rahul und Haroon steht im Verhältnis 5:7. Vier Jahre später beträgt die Summe ihres Alters 56 Jahre. Wie alt sind sie heute?

Q10) Die Anzahl der Jungen und Mädchen in einer Klasse ist im Verhältnis 7 : 5. Die Anzahl der Jungen ist 8 mehr als die der Mädchen. Wie hoch ist die Gesamtklassenstärke?

F11) Baichungs Vater ist 26 Jahre jünger als Baichungs Großvater und 29 Jahre älter als Baichung. Die Summe des Alters aller drei beträgt 135 Jahre. Wie alt ist jeder von ihnen?

F12) In 15 Jahren wird Ravis viermal so alt sein wie heute. Was ist Ravis gegenwärtiges Alter?

F13) Eine rationale Zahl ist so, dass wenn Sie sie mit frac<5> <2> multiplizieren und frac<2> <3> zum Produkt hinzufügen, Sie -frac<7> <12> erhalten. Wie lautet die Nummer?

F14) Lakshmi ist Kassiererin bei einer Bank. Sie hat Banknoten im Wert von 100, 50 und 10. Das Verhältnis der Anzahl dieser Banknoten beträgt 2 : 3: 5. Das Gesamtbargeld bei Lakshmi beträgt 400.000. Wie viele Noten jeder Konfession hat sie?

F15) Ich habe insgesamt 300 Münzen der Nennwerte 1, 2 und 5. Die Anzahl von 2 Münzen ist das 3-fache der Anzahl von 5 Münzen. Die Gesamtzahl der Münzen beträgt 160. Wie viele Münzen jeder Denomination sind bei mir?

F16) Die Organisatoren eines Aufsatzwettbewerbs entscheiden, dass ein Gewinner des Wettbewerbs einen Preis von 100 und ein Teilnehmer, der nicht gewinnt, einen Preis von 25 erhält. Das Gesamtpreisgeld beträgt 3.000. Finden Sie die Anzahl der Teilnehmer ist 63.

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F1) Wenn Sie frac<1> <2> von einer Zahl subtrahieren und das Ergebnis mit frac<1> <2> multiplizieren, erhalten Sie frac<1> <8>. Wie lautet die Nummer?

Q2) Der Umfang eines rechteckigen Schwimmbeckens beträgt 154 m. Seine Länge beträgt 2 m mehr als das Doppelte seiner Breite. Welche Länge und Breite gibt es?

Q3) Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist frac<4> <3>cm. Der Umfang des Dreiecks beträgt 4 frac<2> <15>cm. Wie lang ist eine der verbleibenden gleichen Seiten?

F4) Die Summe zweier Zahlen ist 95. Wenn eine die andere um 15 überschreitet, finden Sie die Zahlen.

Q5) Zwei Zahlen stehen im Verhältnis 5:3. Ich sie unterscheiden sich um 18, wie lauten die Zahlen?

F6) Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben 51. Was sind diese ganzen Zahlen?

F7) Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Vielfachen von 8 ist 888. Finden Sie Vielfache.

F8) Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind so, dass sie, wenn sie in aufsteigender Reihenfolge genommen und mit 2, 3 bzw. 4 multipliziert werden, zu 74 addiert werden. Finden Sie diese Zahlen.

F9) Das Alter von Rahul und Haroon steht im Verhältnis 5:7. Vier Jahre später beträgt die Summe ihres Alters 56 Jahre. Wie alt sind sie heute?

Q10) Die Anzahl der Jungen und Mädchen in einer Klasse ist im Verhältnis 7 : 5. Die Anzahl der Jungen ist 8 mehr als die der Mädchen. Wie hoch ist die Gesamtklassenstärke?

F11) Baichungs Vater ist 26 Jahre jünger als Baichungs Großvater und 29 Jahre älter als Baichung. Die Summe des Alters aller drei beträgt 135 Jahre. Wie alt ist jeder von ihnen?

F12) In 15 Jahren wird Ravis viermal so alt sein wie heute. Wie alt ist Ravis gegenwärtiges Alter?

F13) Eine rationale Zahl ist so, dass wenn Sie sie mit frac<5> <2> multiplizieren und frac<2> <3> zum Produkt hinzufügen, Sie -frac<7> <12> erhalten. Wie lautet die Nummer?

F14) Lakshmi ist Kassiererin bei einer Bank. Sie hat Banknoten im Wert von 100, 50 und 10. Das Verhältnis der Anzahl dieser Scheine beträgt 2 : 3: 5. Das gesamte Bargeld bei Lakshmi beträgt 400.000. Wie viele Noten jeder Konfession hat sie?

F15) Ich habe insgesamt 300 Münzen der Nennwerte 1, 2 und 5. Die Anzahl von 2 Münzen ist das 3-fache der Anzahl von 5 Münzen. Die Gesamtzahl der Münzen beträgt 160. Wie viele Münzen jeder Denomination sind bei mir?

F16) Die Organisatoren eines Aufsatzwettbewerbs entscheiden, dass ein Gewinner des Wettbewerbs einen Preis von 100 und ein Teilnehmer, der nicht gewinnt, einen Preis von 25 erhält. Das Gesamtpreisgeld beträgt 3.000. Finden Sie die Anzahl der Teilnehmer ist 63.


11.5.4: Lineare Gleichungen in einer Variablen lösen - Mathematik

Können Sie die Antwort haben: +-3

0 = -0,92A + 0,632B + 0,264C + 0,08D
0 = 0,184A -0,632B + 0,368C + 0,184D
0 = 0,368A + 0B -0,632C + 0,368D
0 = 0,368A + 0B + 0C -0,632D

Die richtige Antwort ist:
A: 0.285654
B: 0,284835
C: 0,263181
D: 0,16633

Da Ihre Beispiele Quellcode-Literal-ähnliche Gleitkommazahlen vorschlagen, würde ich vorschlagen, InvariantCulture-Parsing in die folgende Zeile einzufügen

Ich weiß nicht, ob diese Bibliothek vor langer Zeit existierte, als ich dies schrieb. Ich bin mir auch nicht sicher, ob es existierte, als ich das hier veröffentlichte.

Hat diese Bibliothek spärliche Arrays?

Löst das schlecht konditionierte Gleichungssysteme.

Identifiziert diese Bibliothek, wenn Gleichungen zu schlecht konditioniert sind, um sie mit der aktuellen Gleitkommagenauigkeit zu lösen?

Das sind wichtige Fragen.

Wenn die Antworten auf diese Fragen alle "ja" lauten, dann ist die Verwendung der Math.net-Bibliothek eine praktikable Option, um den Gleichungslösungscode in diesem Artikel zu ersetzen.

Außerdem habe ich dies ursprünglich in C und C++ geschrieben, weil ich Portabilität möchte, was bei .NET nur ein theoretisches Konzept ist. Dieser Artikel ist die Portierung des C++-Codes auf C#. Ich habe auch den C++-Code zum Lösen linearer Gleichungen hier im Codeprojekt gepostet. Der meiste Code, den ich schreibe, ist in C und C++.

There are faster algorithms, although these usually will not provide a good solution if the equations are ill-conditioned. If your equations are not ill-conditioned, those might perform a bit better, however, it will probably still seem slow.

5000 equations results in a 5000 X 5000 matrix, and although the matrix is stored in sparse form, the values at all indices are used in the calculations. So, there are 25,000,000 values.

The number of operations is approximately proportional to the cube of the matrix size. For sufficiently large matrices, the solver will be slow.

Update: I thought I was writing about the C++ solver I wrote. There is an equation solver article I wrote with C++ code. That will run somewhat faster. However, that does not have a GUI, it's merely the algorithm and a simple parser.

The purpose of a Sparse Matrix it to save space, not to avoid calculations.

Perhaps there is some way to take advantage of the sparseness of the matrix in the algorithm, but this would be very complicated and it's not immediately clear to me how to code this. While a sparse container is slower than a two-dimensional array because the fixed look-up-time is longer, I suspect the effect of some hypothetical algorithm that took advantage of sparseness would add so much overhead that the algorithm would run extremely slowly if the matrix was not sparsely populated with non-zero values.

Also, the primary advantage of the mathematical algorithm used is that it can solve ill-conditioned systems of equations. The algorithm is independent of the container used to store the matrix. If you can defined a maximum limit on the size of the matrix (or equivalently, a maximum limit on the number of equations), you could recode this to use a two dimensional array for the matrix and a one-dimensional array for the vectors, and the code would run faster.

I am not aware of other solutions to solve ill-conditioned systems of equations. They probably exist.

If your systems are not ill-conditioned, although it is often difficult to know that up-front, then you could use regular Gaussian Elimination without all the extra calculations in this algorithm, or you could use number of other simpler algorithms. These simpler algorithms typically invert the matrix and multiple the matrix times the b vector.

There are commercial libraries that solve systems of equations too. I don't want to post the name of any specific commercial solution because I am not up-to-date on which are the best for this particular application.

If you want to know the solution is correct, use the C++ code I posted here, which is the same algorithm as used here. That will run considerably faster than this C# code, but it uses exactly the same algorithm.

The vast majority of the solutions at the Wiki page you cited are optimized for speed, not for solving ill-conditioned equations. Most of them don't even solve equations, they provide basic matrix operations, adding, multiplying, etc.. From looking at the papers and the limited documentation I found, I cannot tell if any of them will handle the problems this algorithm will handle.

In the early 1980s, (1981, I think), when I first wrote this code in C, which I later ported to C++ with sparse arrays, there were no good linear equation solvers available for free. Most solvers on that Wiki page are much newer than the code I wrote. If you count the first C variant of this code, which lead to this code, the C++ code has been tested on and off for over 3 decades!

The C# code is a recent port of the C++ code, so I could have introduced bugs, although I have done extensive testing and I have found none so far. The algorithm for that code has not changed in 30 years. If I introduced any bugs, it would be in the sparse array code. The other linear equation solver code is almost identical to the original C code.

Check out the reference I cited. Then check out the papers used for those solvers cited on the Wiki page, and check out the documentation for those solvers, particularly the return values for error cases. I think you will find that illuminating.

The code I wrote is slower than some of those, but for a circuit analysis program, getting the right answer is more important than speed, and the circuit equations can become very ill-conditioned, particularly near resonances. Most ordinary solutions, even some that cost money, don't solve such problems.

And, some of those solutions use much more memory for large systems of sparse equations, and many equation sets that occur in electronics and physics are sparse.

Finally, I don't want to use non-portable packages, which eliminates even more of those. If not for that, I might use one of those to do matrix multiplication, which is used in the algorithm. As written, the code can easily be moved between languages and platforms.

I have a long experience in parser generators and I have developed a simple grammar, resulting in a (C#) parser that can read your set of equations, and has some extra features (definition of constants, built-in functions, expressions instead of single numbers as coefficients, indexed variables). I think it can quite easily be incorporated in your program.

If you want, I can send you a sample screenshot to start with.

Thank you for your offer. A better parser would be great!

I know something about generating expression parsers, but I have not taken the time to implement one. I am sure you would create something better than I would, and in less time than it would take me.


11.5.4: Solving Linear Equations in One Variable - Mathematics

Here's how you go about it :

Delete the line with graphics.h and remove the line clrscr()

Cubic equations DO have a closed form solution - a google (or wikipedia) search will lead you to the right algorithims. In brief, a cubic equation can either have ONE real root and TWO imaginary roots, or it can have THREE real roots. In the first case, the solution is actually rather simple, as the cubic can be decomposed into a pair of equations, one linear and the other quadratic. In the latter, it's a bit of a mess of algebra, and you have to decide which of the 3 roots you want in the end.

Sir, how do I decompose a cubic equation?

A good place to check for reference is

The algebra is literally too long to post here. But the general description of the method is to first calculate the discriminant of the general cubic equation

18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2

If the descriminant is < 0, then the equation has one real and two imaginary roots. If the descriminant is >= 0, it has three real roots. If the descriminant is == 0, then at least two and possibly all three of the roots are equal (for instance, that is the case for x^3 = 0).

Then, depending on whether you are looking at three real roots, or one real and two imaginary roots, you can choose whichever flavor of the various algebraic methods described in wikipedia most appeals to you.

I will try the code once my long exams end

I have never heard of this method but this works great.

In order to solve a polinomial equatation of n-th degreee (cubical is 3rd) "Newtons Method" will do the job. It's an approximate method.
Google for it - there are many good descriptions/and pseudocode examples on the net - an code it.

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Solving Linear Equations using Matrix Algebra

Understanding matrix is important to solve linear equations using matrices. A matrix is a rectangular array of numbers, arranged in rows and columns. A matrix could have m rows and n columns, which could be referenced as mxn matrix. The entry in the ith row and jth column is aij. We often write A=[aij]. Numbers that appear in the rows and columns of a matrix are called elements of the matrix. Solving the linear equation using matrix method is also called as matrix algebra, which is widely used in statistics and mathematics. Here is the free online calculator to solve linear equations of algebra using Matrices. This calculator will help you to solve linear equation of algebra very easily and dynamically.


Yours is a non linear equation . So you can use optimize.fsolve for it. For further details look for the function in this tutorial scipy

(I don't know why you mention scipy in your question when you use sympy in your code. I'll assume you are using sympy.)

Sympy can solve this equation if you specify an integer power for y (ie y**3.0 changed to y**3 ).

The following works for me using Sympy 0.6.7.

Assuming you mean you were trying to use sympy, as opposed to scipy, then you can get Sympy (works with v0.7.2+) to solve it by making a small adjustment to way you defined your equation - you just need to put a multiplication operator (*) in between the first 'y' and the '('. It doesn't appear to matter whether you specify the power as a float or not (but it's possible it was required in 0.6.7).