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9.1E: Einführung in lineare Gleichungen höherer Ordnung (Übungen) - Mathematik


Q9.1.1

1. Verifizieren Sie, dass die gegebene Funktion die Lösung des Anfangswertproblems ist.

  1. (x^3y'''-3x^2y''+6xy'-6y=dfrac{-24}{x}, quad y(-1)=0), (y'(-1) =0, quad y''(-1)=0) ;(y=-6x-8x^2-3x^3 + {1über x})
  2. (y'''-dfrac{1}{x}y''-y'+ dfrac{1}{x}y= dfrac{x^2-4}{x^4}, quad y (1)= dfrac{3}{2}, quad y'(1)= dfrac{1}{2}, y''(1)=1) ;(y=x+ dfrac{1 }{2x})
  3. (xy'''-y''-xy'+y=x^2, quad y(1)=2,quad y'(1)=5,quad y''(1)=-1 ) ;(y=-x^2-2+2e^{(x-1)}-e^{-(x-1)}+4x)
  4. (4x^3y'''+4x^2y''-5xy'+2y=30x^2, quad y(1)=5,quad y'(1)= dfrac{17}{2} ) ;(y''(1)=dfrac{63}{4};quad y=2x^2ln xx^{1/2}+2x^{-1/2}+4x^2 )
  5. (x^4y^{(4)}-4x^3y'''+12x^2y''-24xy'+24y=6x^4, quad y(1)=-2) ;(y' (1)=-9, quad y''(1)=-27,quad y'''(1)=-52) ;(y=x^4ln x+x-2x^2 +3x^3-4x^4)
  6. (xy^{(4)}-y'''-4xy''+4y'=96x^2, quad y(1)=-5,quad y'(1)=-24) ; (y''(1)=-36; quad y'''(1)=-48;quad y=9-12x+6x^2-8x^3)

2. Lösen Sie das Anfangswertproblem

[x^3y'''-x^2 y''-2xy'+6y=0, quad y(-1)=-4, quad y'(-1)=-14,quad y' '(-1)=-20. onumber ] HINWEIS: Siehe Beispiel 9.1.1.

3. Lösen Sie das Anfangswertproblem

[y^{(4)}+y'''-7y''-y'+6y=0, quad y(0)=5,quad y'(0)=-6,quad y' '(0)=10,quad y'''(0)-36. onumber ] HINWEIS: Siehe Beispiel 9.1.2.

4. Finden Sie Lösungen (y_1), (y_2), …, (y_n) der Gleichung (y^{(n)}=0), die die Anfangsbedingungen erfüllen satisfy

[y_i^{(j)}(x_0)=left{egin{array}{cl} 0,&j e i-1,[5 pt] 1,&j=i-1,end {Array} ight.; 1le ile n. onumber]

5.

  1. Stellen Sie sicher, dass die Funktion [y=c_1x^3+c_2x^2+{c_3over x} onumber] [x^3 y'''-x^2y''-2xy'+6y=0 tag{A}] wenn (c_1), (c_2) und (c_3) Konstanten sind.
  2. Verwenden Sie (a), um Lösungen (y_1), (y_2) und (y_3) von (A) zu finden, so dass [egin{array}{rl} y_1(1)&=1, quad y_1'(1)=0,quad y_1''(1)=0 [5 pt] y_2(1)&=0,quad y_2'(1)=1,quad y_2''(1 )=0 [5 pt] y_3(1)&=0,quad y_3'(1)=0,quad y_3''(1)=1. end{array} onumber ]
  3. Verwenden Sie (b), um die Lösung von (A) zu finden, so dass [y(1)=k_0,quad y'(1)=k_1,quad y''(1)=k_2. onumber]

6. Verifizieren Sie, dass die gegebenen Funktionen Lösungen der gegebenen Gleichung sind und zeigen Sie, dass sie einen fundamentalen Satz von Lösungen der Gleichung auf jedem Intervall bilden, auf dem die Gleichung normal ist.

  1. (y'''+y''-y'-y=0; quad{e^x,,e^{-x},,xe^{-x}})
  2. (y'''-3y''+7y'-5y=0; quad{e^x,,e^xcos2x,,e^xsin2x}).
  3. (xy'''-y''-xy'+y=0; quad {e^x,,e^{-x},,x})
  4. (x^2y'''+2xy''-(x^2+2)y=0; quad {e^x/ x,,e^{-x}/ x,,1} )
  5. ((x^2-2x+2)y'''-x^2y''+2xy'-2y=0; quad {x,,x^2,,e^x} )
  6. ((2x-1)y^{(4)}-4xy'''+(5-2x)y''+4xy'-4y=0; quad{x,,e^x,, e^{-x},e^{2x}})
  7. (xy^{(4)}-y'''-4xy'+4y'=0; quad{1,x^2,,e^{2x},,e^{-2x} })

7. Bestimme den Wronskischen (W) einer Menge von drei Lösungen von [y'''+2xy''+e^xy'-y=0, onumber] unter der Voraussetzung (W(0)= 2).

8. Bestimme den Wronskischen (W) einer Menge von vier Lösungen von [y^{(4)}+( an x)y'''+x^2y''+2xy=0, onumber ] vorausgesetzt (W(pi/4)=K).

9.

  1. Bewerten Sie das Wronskische (W) ({e^x,,xe^x,, x^2e^x}). Bewerte (W(0)).
  2. Überprüfen Sie, dass (y_1), (y_2) und (y_3) [y'''-3y''+3y'-y=0 erfüllen. ag{A}]
  3. Verwenden Sie (W(0)) aus (a) und Abels Formel, um (W(x)) zu berechnen.
  4. Wie lautet die allgemeine Lösung von (A)?

10. Berechnen Sie die Wronski-Funktion der gegebenen Menge von Funktionen.

  1. ({1,,e^x,,e^{-x}})
  2. ({e^x,,e^xsin x,,e^xcos x})
  3. ({2,,x+1,,x^2+2})
  4. (x,,xlnx,,1/x})
  5. ({1,,x,,{x^2over2!},, {x^3over3!},,cdots,,{x^nover n!}} )
  6. ({e^x,,e^{-x},,x})
  7. ({e^x/x,,e^{-x}/x,,1})
  8. ({x,,x^2,,e^x})
  9. ({x,,x^3,,1/x,,1/x^2})
  10. ({e^x,,e^{-x},,x,,e^{2x}})
  11. ({e^{2x},,e^{-2x},,1,,x^2})

11. Angenommen (Ly=0) ist auf ((a,b)) normal und (x_0) ist in ((a,b)). Zeigen Sie mit Satz 9.1.1, dass (yequiv0) die einzige Lösung des Anfangswertproblems [Ly=0, quad y(x_0)=0,quad y'(x_0)=0, Punkte, y^{(n-1)}(x_0)=0, onumber] auf ((a,b)).

12. Beweisen Sie: Falls (y_1), (y_2), …, (y_n) Lösungen von (Ly=0) und den Funktionen [z_i=sum^n_{j=1} a_{ij}y_j,quad 1le ile n, onumber] eine Fundamentalmenge von Lösungen von (Ly=0) bilden, dann auch (y_1), (y_2), …, (j_n).

13. Beweisen Sie: Ist [y=c_1y_1+c_2y_2+cdots+c_ky_k+y_p onumber] eine Lösung einer linearen Gleichung (Ly=F) für jede Wahl der Konstanten (c_1), ( c_2),…, (c_k), dann (Ly_i=0) für (1le ile k).

14. Es sei (Ly=0) normal auf ((a,b)) und (x_0) sei in ((a,b)). Für (1le ile n) sei (y_i) die Lösung des Anfangswertproblems [Ly_i=0, quad y_i^{(j)} (x_0)= left{ egin{array}{cl} 0,& j e i-1, 1,&j=i-1,end{array} ight. 1le ile n, onumber] wobei (x_0) ein beliebiger Punkt in ((a,b)) ist. Zeigen Sie, dass jede Lösung von (Ly=0) auf ((a, b)), geschrieben werden kann als [y=c_1y_1+c_2y_2+cdots+c_ny_n, onumber] mit (c_j=y^ {(j-1)}(x_0)).

15. Angenommen ({y_1, y_2,dots, y_n}) ist eine fundamentale Menge von Lösungen von [ P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n -1)}+cdots+P_n(x)y=0 onumber] auf ((a,b)), und sei [egin{array}{rl} z_1&=a_{11}y_1+ a_{12}y_2+cdots+a_{1n}y_n z_2&=a_{21}y_1+a_{22}y_2+cdots+a_{2n}y_n phantom{z_1}&vdotsphantom{_1y_1 +a}vdotsphantom{_2y_2+cdots+a}vdotsphantom{_ny_n} phantom{=b}vdots z_n&=a_{n1}y_1+a_{n2}y_2+cdots+a_{nn }y_n, end{array} onumber] wobei die ({a_{ij}}) Konstanten sind. Zeigen Sie, dass ({z_1, z_2,dots, z_n}) genau dann eine Fundamentalmenge von Lösungen von (A) ist, wenn die Determinante [left|egin{array}{cccc} a_{11 }&a_{12}&cdots&a_{1n} a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n} vdots&vdots&ddots&vdots a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_ {nn}end{array} ight| onumber] ist ungleich Null. HINWEIS: Die Determinante eines Produkts von (nmal n) Matrizen gleich dem Produkt der Determinanten.

16. Zeigen Sie, dass ({y_1,y_2,dots,y_n}) genau dann linear von ((a,b)) abhängt, wenn mindestens eine der Funktionen (y_1), (y_2), …, (y_n) kann als Linearkombination der anderen auf ((a,b)) geschrieben werden.

Q9.1.2

Nehmen Sie das Folgende als Hinweis in Übungen 9.1.17-9.1.19:

Nach der Definition der Determinante ist [left|egin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&{cdots}&{a_{1n}}{a_{21 }}&{a_{22}}&{cdots }&{a_{2n}}{vdots }&{vdots }&{ddots }&{vdots }{a_{n1}} &{a_{n2}}&{cdots}&{a_{nn}} end{array} ight| = sumpm a_{1i_{1}}a_{2i_{2}},cdots , a_{ni_{n}}, onumber] wobei die Summe über alle Permutationen ((i_{i}, i_{2}, cdots , i_{n})) von ((1,2,cdots ,n)) und die Wahl von (+) oder (-) in jedem Term hängt nur davon ab auf der Permutation, die mit diesem Begriff verbunden ist.

17. Beweisen Sie: Wenn [A(u_1,u_2,dots,u_n)= left|egin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}[4pt] a_ {21}&a_{22}&cdots&a_{2n}[4pt] vdots&vdots&ddots&vdots[4pt] a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&cdots&a_ {n-1,n}[4pt] u_1&u_2&cdots&u_nend{array} ight|, onumber] dann [A(u_1+v_1, u_2+v_2,dots, u_n+v_n)=A (u_1,u_2,dots,u_n)+A(v_1,v_2,dots, v_n). onumber ]

18. Sei [F=left|egin{array}{cccc} f_{11}&f_{12}&cdots&f_{1n}[4pt] f_{21}&f_{22}&cdots&f_{2n }[4pt] vdots&vdots&ddots&vdots[4pt] f_{n1}&f_{n2}&cdots&f_{nn}end{array} ight|, onumber ] wobei (f_ {ij};(1le i,; jle n)) ist differenzierbar. Zeigen Sie, dass [F'=F_1+F_2+cdots+F_n, onumber] wobei (F_i) die Determinante ist, die man durch Differenzieren der (i)-ten Zeile von (F) erhält.

19. Verwendung Übung 9.1.18 um zu zeigen, dass wenn (W) die Wronski-Funktion der (n)-mal differenzierbaren Funktionen (y_1), (y_2), …, (y_n) ist, dann

[W'= left|egin{array}{cccc} y_1&y_2&cdots&y_n[4pt] y'_1&y'_2&cdots&y'_n[4pt] vdots&vdots&ddots&vdots[4pt ] y_1^{(n-2)}&y_2^{(n-2)}&cdots&y_n^{(n-2)}[4pt] y_1^{(n)}&y_2^{(n)}& cdots&y_n^{(n)} end{array} ight|. onumber]

Q9.1.3

20. Verwenden Übungen 9.1.17 und 9.1.19 um zu zeigen, dass wenn (W) die Wronski-Funktion der Lösungen ({y_1,y_2,dots,y_n}) der Normalgleichung [P_0(x)y^{(n)}+P_1( x)y^{(n-1)}+cdots+P_n(x)y=0, ag{A}] dann (W'=-P_1W/P_0). Leiten Sie daraus Abels Formel (Gleichung 9.1.15) ab.

21. Beweisen Sie Satz 9.1.6.

22. Beweisen Sie Satz 9.1.7.

23. Zeigen Sie, dass, wenn die Wronski-Funktion der (n)-mal stetig differenzierbaren Funktionen ({y_1,y_2,dots,y_n}) keine Nullstellen in ((a,b)) hat, dann die durch Erweiterung der Determinante [left|egin{array}{ccccc} y&y_1&y_2&cdots&y_n[4pt] y'&y'_1&y'_2&cdots&y'_n[4pt] vdots&vdots& vdots&ddots& vdots[4pt] y^{(n)}&y_{1}^{(n)}&y_2^{(n)}&cdots&y_n^{(n)} end{array} ight |=0, onumber] in Kofaktoren seiner ersten Spalte ist normal und hat ({y_1,y_2,dots,y_n}) als Fundamentalmenge von Lösungen auf ((a,b)) .

24. Verwenden Sie die von . vorgeschlagene Methode Übung 9.1.23 eine lineare homogene Gleichung zu finden, so dass die gegebene Menge von Funktionen eine grundlegende Menge von Lösungen auf Intervallen ist, auf denen die Wronski-Funktion der Menge keine Nullstellen hat.

  1. ({x,,x^2-1,,x^2+1})
  2. ({e^x,,e^{-x},,x})
  3. ({e^x,,xe^{-x},,1})
  4. ({x,,x^2,,e^x})
  5. ({x,,x^2,,1/x})
  6. ({x+1,,e^x,,e^{3x}})
  7. ({x,,x^3,,1/x,,1/x^2})
  8. ({x,,xln x,,1/x,,x^2})
  9. ({e^x,,e^{-x},,x,,e^{2x}})
  10. ({e^{2x},,e^{-2x},,1,,x^2})

Differentialgleichungen : Lineare Gleichungen

Dies ist eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung. Zuerst brauchen wir die charakteristische Gleichung, die wir gerade erhalten, indem wir die Ableitungsordnungen in Potenzen umwandeln, um Folgendes zu erhalten:

Wir lösen dann die charakteristische Gleichung und finden, dass (Verwenden Sie die quadratische Formel, wenn Sie möchten) Dies zeigt uns, dass die Basis für die grundlegende Menge von Lösungen dieses Problems (Lösungen des homogenen Problems) enthält .

Da das gegebene Problem homogen war, ist die Lösung nur eine Linearkombination dieser Funktionen. Also, . Setzen wir unsere Anfangsbedingung ein, finden wir, dass . Um die zweite Anfangsbedingung einzufügen, nehmen wir die Ableitung und finden das . Das Einsetzen der zweiten Anfangsbedingung ergibt . Die Lösung dieses einfachen Systems linearer Gleichungen zeigt uns, dass

Lassen Sie uns mit einer endgültigen Antwort von

(Beachten Sie, dass es sehr einfach gewesen wäre, die richtige Antwort zu finden, indem Sie einfach Ableitungen nehmen und einstecken, aber dies ist bei Nicht-Multiple-Choice-Fragen nicht allzu hilfreich.)

Beispielfrage Nr. 1: Differentialgleichungen höherer Ordnung

Finden Sie die allgemeine Lösung für .

Dies ist eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung. Zuerst brauchen wir die charakteristische Gleichung, die wir gerade erhalten, indem wir die Ableitungsordnungen in Potenzen umwandeln, um Folgendes zu erhalten:

Um dies zu faktorisieren, können wir in diesem Fall Factoring durch Gruppierung verwenden. Allgemeiner können wir das Horner-Schema/die synthetische Unterteilung verwenden, um mögliche Wurzeln zu testen. Hier werden beide Methoden gezeigt.

Alternativ schlägt der Rational-Wurzel-Satz vor, dass wir -1 oder 1 als Wurzel dieser Gleichung versuchen. Mit dem Schema von Horner sehen wir

Das sagt uns die Polynomfaktoren in und das . Dies bedeutet, dass die fundamentale Menge von Lösungen

Da das gegebene Problem homogen war, ist die Lösung nur eine Linearkombination dieser Funktionen. Also, . Da dies kein Anfangswertproblem ist und nur nach der allgemeinen Lösung fragt, sind wir fertig.

Beispielfrage Nr. 1: Differentialgleichungen höherer Ordnung

Löse das Anfangswertproblem für und .

Dies ist eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung. Zuerst brauchen wir die charakteristische Gleichung, die wir gerade erhalten, indem wir die Ableitungsordnungen in Potenzen umwandeln, um Folgendes zu erhalten:

Wir lösen dann die charakteristische Gleichung und finden, dass Dies zeigt uns, dass die Basis für die fundamentale Menge von Lösungen dieses Problems (Lösungen des homogenen Problems) enthält .

Da das gegebene Problem homogen war, ist die Lösung nur eine Linearkombination dieser Funktionen. Also, . Setzen wir unsere Anfangsbedingung ein, finden wir, dass . Um die zweite Anfangsbedingung einzufügen, nehmen wir die Ableitung und finden das . Das Einsetzen der zweiten Anfangsbedingung ergibt . Die Lösung dieses einfachen Systems linearer Gleichungen zeigt uns, dass

Lassen Sie uns mit einer endgültigen Antwort von

(Beachten Sie, dass es sehr einfach gewesen wäre, die richtige Antwort zu finden, indem Sie einfach Ableitungen nehmen und einstecken, aber dies ist bei Nicht-Multiple-Choice-Fragen nicht besonders hilfreich)

Beispielfrage Nr. 1: Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lösen Sie die folgende homogene Differentialgleichung:

Die Ode hat eine charakteristische Gleichung von .

Dies ergibt die Doppelwurzel von r=2. Dann werden die Wurzeln in die allgemeine Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit wiederholter Wurzel eingefügt.

Beispielfrage Nr. 1: Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lösen Sie die allgemeine Form der Differentialgleichung:

Wo und sind beliebige Konstanten

Wo und sind beliebige Konstanten

Wo und sind beliebige Konstanten

Wo und sind beliebige Konstanten

Wo und sind beliebige Konstanten

Diese Differentialgleichung hat eine charakteristische Gleichung von

, was die Wurzeln für r=2 und r=3 liefert. Sobald die Wurzeln reell und nicht wiederholt sind, wird die allgemeine Lösung für homogene lineare ODEs verwendet. diese Gleichung ist gegeben als:

wobei r die Wurzeln der charakteristischen Gleichung ist.

Beispielfrage Nr. 1: Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lösen Sie den allgemeinen homogenen Teil der folgenden Differentialgleichung:

Wo und sind willkürliche, aber nicht bedeutungslose Konstanten

Wo und sind willkürliche, aber nicht bedeutungslose Konstanten

Wo und sind willkürliche, aber nicht bedeutungslose Konstanten

Wo und sind willkürliche, aber nicht bedeutungslose Konstanten

Wo und sind willkürliche, aber nicht bedeutungslose Konstanten

Wir beginnen mit der Feststellung, dass die homogen Gleichung, die wir zu lösen versuchen, ist gegeben als

Diese Differentialgleichung hat somit die charakteristische Gleichung von

Dies hat Wurzeln von r=3 und r=-4, daher ist die allgemeine homogene Lösung gegeben durch:

Beispielfrage Nr. 1: Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lösen Sie die folgende homogene Differentialgleichung:

Diese Differentialgleichung hat die charakteristische Gleichung von:

Es ist zu beachten, dass diese charakteristische Gleichung a Doppelwurzel von r=5.

Somit wird die allgemeine Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit wiederholter Wurzel verwendet.

im Fall einer wiederholten Wurzel wie dieser, und ist die wiederholte Wurzel r=5.

Daher ist die Lösung

Beispielfrage Nr. 1: Differentialgleichungen höherer Ordnung

Finden Sie eine allgemeine Lösung für die folgende Differentialgleichung

Lösen der Hilfsgleichung

Beim Ausprobieren von Wurzelkandidaten aus dem Rational-Wurzel-Theorem haben wir eine Wurzel.

Factoring komplett haben wir

wo sind beliebige Konstanten.

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Buchbeschreibung

Das Buch verfolgt einen problemlösenden Ansatz bei der Darstellung des Themas der Differentialgleichungen. Es bietet eine vollständige Erzählung von Differentialgleichungen, die die theoretischen Aspekte des Problems (das Wie und Warum), verschiedene Schritte zur Lösungsfindung, verschiedene Lösungswege und den Vergleich von Lösungen zeigt. Um die Tiefe und Breite zu verdeutlichen, wird eine Vielzahl von ausführlichen Beispielen bereitgestellt, die in einer Art und Weise präsentiert werden, die der Arbeit des Lehrers im Klassenzimmer sehr ähnlich ist. Die Beispiele enthalten neben den auf Eigenwerten und Eigenvektoren und charakteristischen Gleichungen basierenden Lösungen auch Lösungen aus Laplace-Transformations-basierten Ansätzen. Die Verifizierung der Ergebnisse in Beispielen erfolgt zusätzlich mit Runge-Kutta, das eine ganzheitliche Interpretation und Verständnis der Lösungen ermöglicht. Wo erforderlich, werden Phasendiagramme bereitgestellt, um die analytischen Ergebnisse zu unterstützen. Alle Beispiele wurden mit MATLAB® ausgearbeitet, wobei die Symbolic Toolbox und LaTex zur Darstellung von Gleichungen genutzt werden. Mit den anschaulichen Beispielen wird das Thema vermittelt, so dass es den Schülern leicht fällt, die Konzepte zu verstehen. In jedem Kapitel wurde eine große Anzahl von Übungen bereitgestellt, die es Lehrern und Schülern ermöglichen, verschiedene Aspekte von Differentialgleichungen zu erkunden.


MATH 117. Vorkalkulation I

Erforderliche(r) Text(e): Eric Connally, Hughes-Hallett, D. und Gleason, A.M. Änderung der Funktionsmodellierung: Eine Vorbereitung auf die Infinitesimalrechnung. 5. Aufl. New Jersey: Wiley, 2015. Verpackt mit WileyPlus.​

Voraussetzungen: MATH 100 oder mathematischer Diagnosetest

Kursbeschreibung: Umkehrfunktionen, quadratische Funktionen, komplexe Zahlen. Detaillierte Untersuchung von Polynomfunktionen einschließlich Nullstellen, Faktorsatz und Graphen. Rationale Funktionen, exponentielle und logarithmische Funktionen und ihre Anwendungen. Gleichungssysteme, Ungleichungen, Partialbrüche, Lineare Programmierung, Folgen und Reihen. Wortprobleme werden während des gesamten Kurses betont.


Mathematische Wissenschaften

Katze. I (14-Wochen-Kurs) Dieser Kurs umfasst die Themen des MA 1021 und vermittelt darüber hinaus ausgewählte Themen aus Algebra, Trigonometrie und Analytischer Geometrie. Dieser 14-wöchige Kurs mit 1/3 Leistungspunkten richtet sich an Studierende, deren Vorrechnungsmathematik für den MA 1021 nicht ausreicht. Obwohl der Kurs mit Computern durchgeführt wird, werden keine Programmiererfahrungen vorausgesetzt. Studierende können nicht sowohl für MA 1020 als auch für MA 1021 angerechnet werden.

MA 1021. CALCULUS I

Katze. I Dieser Kurs bietet eine Einführung in die Differenzierung und ihre Anwendungen. Zu den behandelten Themen gehören: Funktionen und ihre Graphen, Grenzen, Stetigkeit, Differentiation, lineare Approximation, Kettenregel, Min/Max-Probleme und Anwendungen von Ableitungen. Empfohlener Hintergrund: Algebra, Trigonometrie und analytische Geometrie. Obwohl der Kurs mit Computern durchgeführt wird, werden keine Programmierkenntnisse vorausgesetzt. Studierende können nicht sowohl für MA 1021 als auch für MA 1020 angerechnet werden.

MA 1022. CALCULUS II

Katze. I Dieser Kurs bietet eine Einführung in die Integration und ihre Anwendungen. Zu den behandelten Themen gehören: inverse trigonometrische Funktionen, Riemann-Summen, Fundamentalsatz der Analysis, grundlegende Integrationstechniken, Rotationsvolumen, Bogenlänge, exponentielle und logarithmische Funktionen und Anwendungen. Empfohlener Hintergrund: MA 1021. Obwohl der Kurs mit Computern durchgeführt wird, werden keine Programmierkenntnisse vorausgesetzt.

MA 1023. CALCULUS III

Katze. I Dieser Kurs bietet eine Einführung in Reihen, parametrische Kurven und Vektoralgebra. Zu den behandelten Themen gehören: numerische Methoden, unbestimmte Formen, uneigentliche Integrale, Folgen, Satz von Taylor mit Rest, Konvergenz von Reihen und Potenzreihen, Polarkoordinaten, parametrische Kurven und Vektoralgebra. Empfohlener Hintergrund: MA 1022. Obwohl der Kurs mit Computern durchgeführt wird, werden keine Programmiererfahrungen vorausgesetzt.

MA 1024. CALCULUS IV

Katze. I Dieser Kurs bietet eine Einführung in die Multivariablenrechnung. Zu den behandelten Themen gehören: Vektorfunktionen, partielle Ableitungen und Gradient, multivariable Optimierung, Doppel- und Dreifachintegrale, Polarkoordinaten, andere Koordinatensysteme und Anwendungen. Empfohlener Hintergrund: MA 1023. Obwohl der Kurs mit Computern durchgeführt wird, werden keine Programmiererfahrungen vorausgesetzt.

MA 1033. THEORETISCHE RECHNUNG III

Dieser Kurs behandelt das gleiche Material wie MA 1023 Calculus III, jedoch aus einer anderen Perspektive. Eine genauere Untersuchung von Folgen und Reihen wird durchgeführt: Ausgehend von der Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke in R werden die fundamentalen Sätze für konvergente Reihen bewiesen. Konvergenzkriterien für Reihen werden streng begründet und die Regel von L'Hospital wird eingeführt und bewiesen. Die Hausaufgaben umfassen eine Mischung aus Rechenaufgaben, wie sie normalerweise in MA 1023 Calculus III zugewiesen werden, und Problemen mit einem stärkeren theoretischen Einschlag. Empfohlener Hintergrund: Differential- und Integralrechnung (MA1021 und MA 1022 oder gleichwertig). Hinweis: Studierende können für diese Klasse und MA1023 Calculus III Credits erhalten.

MA 1034. THEORETISCHE RECHNUNG IV

Katze. I Dieser Kurs behandelt das gleiche Material wie MA1024 Calculus IV aus einer mathematisch strengeren Perspektive. Der Kurs gibt eine gründliche Einführung in die Differentiation und Integration für Funktionen einer Variablen. Nach Einführung von Vektorfunktionen werden Differentiation und Integration auf Funktionen mehrerer Variablen erweitert. Empfohlener Hintergrund: Theoretischer Calculus III (MA1033 oder gleichwertig). Hinweis: Studenten können für diese Klasse und MA1024 Calculus IV Credits erhalten.

MA 1120. CALCULUS II (SEMESTERVERSION)

Kat.I Die Themen der Integralrechnung (MA 1022) werden in dieser Vorlesung behandelt: das Konzept des bestimmten Integrals, der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung, Integrationstechniken und Anwendungen der Integration. Zu den Anwendungen gehören: Fläche, Volumen, Bogenlänge, Massenmittelpunkt, Arbeit, Kraft und exponentielles Wachstum und Abfall. Logarithmische und Exponentialfunktionen werden eingehend untersucht. Auch arithmetische und geometrische Folgen und Reihen werden behandelt. Wichtige historische Ereignisse in der Entwicklung der Integralrechnung werden untersucht. Technologie wird nach Bedarf verwendet, um das untersuchte Material zu unterstützen. Dieser Kurs erstreckt sich über 14 Wochen und bietet 1/3 Credit Unit. Es richtet sich an Studierende, die von zusätzlichen Kontaktstunden profitieren und ihren mathematischen Hintergrund stärken müssen. Obwohl der Kurs mit Computern durchgeführt wird, werden keine Programmierkenntnisse vorausgesetzt. Studierende können nicht sowohl für MA 1120 als auch für MA 1022 oder MA 1102 angerechnet werden.

MA 1801. DENKSPORT

Problemlösung ist eine grundlegende mathematische Fähigkeit. In diesem Kurs werden die Studierenden mit Problemen aus einem breiten Spektrum mathematischer Disziplinen konfrontiert und arbeiten in einer kollaborativen Umgebung zusammen, um mögliche Lösungen zu erkunden. Diskussionsprobleme können durch die Forschung der die Diskussion leitenden Fakultät, durch vergangene mathematische Wettbewerbe (wie den Putnam-Wettbewerb) oder anderswo angeregt werden. Dieser Kurs findet einmal pro Woche statt, wobei der Schwerpunkt auf der Diskussion und Erforschung von Problemen liegt. Es gibt keine Prüfung und keine Hausaufgaben. Die Benotung erfolgt ausschließlich durch Teilnahme. Dieser Kurs kann mehrmals belegt werden. Die Inhalte variieren je nach Referenten. Die Benotung für diesen Kurs erfolgt auf Pass/NR-Basis. Empfohlener Hintergrund: Neugier auf Mathematik

MA 1971. BRÜCKE ZUR HÖHEREN MATHEMATIK

Katze. I Das Hauptziel dieser Lehrveranstaltung ist die Einführung und Vertiefung des mathematischen Denkens. Der Kurs richtet sich nicht nur an beginnende Mathematik-, Statistik- oder Versicherungsmathematiker, sondern auch an Studierende, die ihre mathematischen Interessen fördern möchten und einfach nur neugierig auf Logik und Vernunft. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie mathematische Ideen mündlich und schriftlich erklären, begründen, verteidigen, widerlegen, vermuten und überprüfen. Ein erwartetes Nebenprodukt dieser Ausbildung ist, dass die Studierenden konkrete Korrekturfähigkeiten entwickeln, die ihre Erfolgsaussichten in fortgeschrittenen Mathematikkursen verbessern. Gegebenenfalls wird die Kursdiskussion aktuelle Ereignisse in den mathematischen Wissenschaften berühren, einschließlich kürzlich gelöster Probleme und offener Herausforderungen, denen sich Wissenschaftler von heute gegenübersehen. Empfohlener Hintergrund: mindestens zwei Kurse in Mathematik am WPI oder gleichwertig.

MA 1999. UNABHÄNGIGE STUDIENBASIS

MA 2051. GEWÖHNLICHE DIFFERENZGLEICHUNGEN

Katze. I In diesem Kurs werden Techniken zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen entwickelt. Zu den behandelten Themen gehören: Einführung in die Modellierung mit Differentialgleichungen erster Ordnung, Lösungsverfahren für lineare Gleichungen höherer Ordnung, qualitatives Verhalten nichtlinearer Gleichungen erster Ordnung, Schwingungsphänomene einschließlich Feder-Masse-System und RLC-Schaltungen und Laplace-Transformation. Weitere Themen können aus Potenzreihenverfahren, Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen und numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen gewählt werden. Empfohlener Hintergrund: MA 1024.

MA 2071. MATRIZEN UND LINEARE ALGEBRA I

Katze. I Dieser Kurs bietet eine Einführung in die Theorie und Techniken der Matrixalgebra und der Linearen Algebra. Zu den behandelten Themen gehören: Matrizenoperationen, lineare Gleichungssysteme, lineare Transformationen, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren, kleinste Quadrate, Vektorräume, innere Produkte, Einführung in numerische Techniken und Anwendungen der linearen Algebra. Für diesen Kurs und MA 2072 können keine Credits erworben werden. Empfohlener Hintergrund: Keine, obwohl Grundkenntnisse von Gleichungen für Ebenen und Linien im Raum hilfreich wären.

MA 2072. BESCHLEUNIGTE MATRIZEN UND LINEARE ALGEBRA I

Katze. I Dieser Kurs bietet eine beschleunigte Einführung in die Theorie und Techniken der Matrixalgebra und der Linearen Algebra und richtet sich an Mathematikstudenten und andere, die an fortgeschrittenen Konzepten der Linearen Algebra interessiert sind. Zu den behandelten Themen gehören: Matrixalgebra, lineare Gleichungssysteme, lineare Transformationen, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren, die Methode der kleinsten Quadrate, Vektorräume, innere Produkte, nichtquadratische Matrizen und Singulärwertzerlegungen. Die Studierenden werden mit computergestützten und numerischen Techniken sowie mit Anwendungen der linearen Algebra, insbesondere in der Datenwissenschaft, vertraut gemacht. Für diesen Kurs und MA 2071 können keine Credits erworben werden. Empfohlener Hintergrund: Grundkenntnisse der Matrixalgebra

MA 2073. MATRIZEN UND LINEARE ALGEBRA II

Katze. I Dieser Kurs vermittelt ein tieferes Verständnis der in MA 2071 eingeführten Themen und setzt die Entwicklung der Linearen Algebra fort. Zu den behandelten Themen gehören: abstrakte Vektorräume, lineare Transformationen, Matrixdarstellungen einer linearen Transformation, Determinanten, charakteristische und minimale Polynome, Diagonalisierung, Eigenwerte und Eigenvektoren, die Matrixexponential, innere Produkträume. Dieser Kurs richtet sich in erster Linie an die Hauptfächer der mathematischen Wissenschaften und an diejenigen, die sich für die tieferen mathematischen Probleme der linearen Algebra interessieren. Empfohlener Hintergrund: MA 2071 oder MA 2072.

MA 2201. DISKRETE MATHEMATIK

Katze. I Dieser Kurs dient als Einführung in einige der wichtigsten Konzepte, Techniken und Strukturen der diskreten Mathematik und bildet eine Brücke zwischen Informatik und Mathematik. Zu den Themen gehören Funktionen und Beziehungen, Mengen, Abzählbarkeit, Gruppen, Graphen, Aussagen- und Prädikatenkalkül sowie Permutationen und Kombinationen. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie einfache Beweise für Probleme vor allem aus der Informatik und der angewandten Mathematik entwickeln. Empfohlener Hintergrund: Keine.

MA 2210. MATHEMATISCHE METHODEN BEI DER ENTSCHEIDUNGSFINDUNG

Katze. I Diese Lehrveranstaltung führt die Studierenden in die Prinzipien der Entscheidungstheorie ein, wie sie auf die Planung, Gestaltung und das Management komplexer Projekte angewendet werden. Es wird für Studenten in allen Bereichen des Ingenieurwesens, der Versicherungsmathematik sowie für diejenigen in interdisziplinären Bereichen wie Umweltwissenschaften nützlich sein. Es betont quantitative, analytische Ansätze zur Entscheidungsfindung unter Verwendung der Werkzeuge der angewandten Mathematik, Operations Research, Wahrscheinlichkeit und Berechnungen. Zu den behandelten Themen gehören: der Systemansatz, mathematische Modellierung, Optimierung und Entscheidungsanalysen. Fallstudien aus verschiedenen Bereichen des Ingenieurwesens oder der Versicherungsmathematik werden verwendet, um die Anwendung der in diesem Kurs behandelten Materialien zu veranschaulichen. Empfohlener Hintergrund: MA 1024. Empfohlener Hintergrund: Vertrautheit mit Vektoren und Matrizen. Obwohl der Kurs Computer verwendet, wird keine Programmiererfahrung vorausgesetzt. Studierende, denen CE 2010 angerechnet wurde, können nicht für den MA 2210 angerechnet werden. Wirtschaftsingenieurwesen können nicht sowohl für den MA 2210 als auch für den BUS 2080 angerechnet werden.

MA 2211. THEORIE VON INTERESSE I

Eine Einführung in die versicherungsmathematische Mathematik wird für diejenigen angeboten, die sich für den Beruf des Versicherungsmathematikers interessieren könnten. Typische Themen sind: Zinsmessung, einschließlich kumulierter und barwertiger Faktoren Renten bestimmte Tilgungspläne und sinkende Fonds und Anleihen. Empfohlener Hintergrund: Einzelvariablenkalkül (MA 1021 und MA 1022 oder gleichwertig) und die Fähigkeit, mit geeigneter Computersoftware zu arbeiten. Studierende können nicht sowohl für MA 2211 als auch für MA 3211 angerechnet werden

MA 2212. THEORIE VON INTERESSE II

Dieser Kurs behandelt Themen in festverzinslichen Wertpapieren. Themen werden ausgewählt, um die Mechanik und die Preisbildung moderner festverzinslicher Produkte abzudecken und können umfassen: Zinskurventheorien Forward Rates Zinsswaps Credit Default Swaps Anleihen mit Kreditrisiko und Optionen Anleihenduration und Konvexität Anleihenportfolioaufbau Asset-Backed Securities, einschließlich Collateralized Debt Obligations und Mortgage Backed Securities mit Prepayment Risk Asset-Liability Hedging Anwendungen von Binomial-Zinsbäumen. Empfohlener Hintergrund: Eine Einführung in die Theorie von Interesse (MA 2211 oder gleichwertig) und die Fähigkeit, mit geeigneter Computersoftware zu arbeiten.

MA 2251. VEKTOR- UND TENSORRECHNUNG

Katze. I Dieser Kurs bietet eine Einführung in die Tensor- und Vektorrechnung, ein unverzichtbares Werkzeug für angewandte Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Zu den behandelten Themen gehören: Skalar- und Vektorfunktionen und -felder, Tensoren, grundlegende Differentialoperationen für Vektoren und Tensoren, Linien- und Flächenintegrale, Änderung des Variablensatzes bei der Integration, Integralsätze der Vektor- und Tensorrechnung. Die Theorie wird durch Anwendungen in Bereichen wie Elektrostatik, Wärmelehre, Elektromagnetik, Elastizität und Strömungsmechanik veranschaulicht. Empfohlener Hintergrund: MA 1024.

MA 2271. GRAFIKTHEORIE

Katze. II Dieser Kurs führt in die Konzepte und Techniken der Graphentheorie ein, einem Teil der Mathematik, der zunehmend in verschiedenen Bereichen wie Management, Informatik und Elektrotechnik Anwendung findet. Zu den behandelten Themen gehören: Graphen und Digraphen, Pfade und Schaltkreise, Graphen- und Digraph-Algorithmen, Bäume, Cliquen, Planarität, Dualität und Einfärbbarkeit. Dieser Kurs richtet sich in erster Linie an Studierende der mathematischen Wissenschaften und diejenigen, die sich für die tieferen mathematischen Fragen der Graphentheorie interessieren. Sowohl für diesen Studiengang als auch für den MA 3271 können keine Bachelor-Credits erworben werden. Empfohlener Hintergrund: MA 2071. Dieser Studiengang wird in den Jahren 2016-17 und danach in wechselnden Jahren angeboten.

MA 2273. KOMBINATORIK

Katze. II Dieser Kurs führt in die Konzepte und Techniken der Kombinatorik ein, einem Teil der Mathematik mit Anwendungen in der Informatik sowie in den Sozial-, Bio- und Physikalischen Wissenschaften. Der Schwerpunkt wird auf Problemlösungen gelegt. Es werden Themen ausgewählt aus: Grundlegende Zählmethoden, Inklusions-Ausschluss-Prinzip, Generierungsfunktionen, Rekursionsbeziehungen, Systeme unterschiedlicher Repräsentanten, kombinatorische Designs, kombinatorische Algorithmen und Anwendungen der Kombinatorik. Dieser Kurs richtet sich in erster Linie an die Hauptfächer der mathematischen Wissenschaften und diejenigen, die sich für die tieferen mathematischen Fragen der Kombinatorik interessieren. Sowohl für diesen Studiengang als auch für den MA 3273 können keine Bachelor-Credits erworben werden. Empfohlener Hintergrund: MA 2071. Dieser Studiengang wird in den Jahren 2015-16 und danach im Wechsel angeboten.

MA 2431. MATHEMATISCHE MODELLIERUNG MIT GEWÖHNLICHEN DIFFERENZGLEICHUNGEN

Katze. I Dieser Kurs konzentriert sich auf die Prinzipien, mathematische Modelle aus einem physikalischen, chemischen oder biologischen System aufzubauen und die Ergebnisse zu interpretieren. Die Studierenden lernen, ein mathematisches Modell zu konstruieren und sind in der Lage, Lösungen dieses Modells im Kontext der Anwendung zu interpretieren. Mathematische Themen konzentrieren sich auf das Lösen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen und können die Verwendung von Stabilitätstheorie und Phasenebenenanalyse umfassen. Anwendungen werden aus elektrischen und mechanischen Schwingungen, Kontrolltheorie, ökologischen oder epidemiologischen Modellen und Reaktionskinetik ausgewählt. Dieser Kurs richtet sich in erster Linie an Studierende, die sich für die tieferen mathematischen Fragen der mathematischen Modellierung interessieren. Studenten müssen möglicherweise Programmiersprachen wie Matlab oder Maple verwenden, um verschiedene Modelle weiter zu untersuchen. Empfohlener Hintergrund: Multivariable Analysis (MA 1024 oder Äquivalent), Gewöhnliche Differentialgleichungen (MA 2051 oder Äquivalent) und Lineare Algebra (MA 2071 oder Äquivalent).

MA 2610. ANGEWANDTE STATISTIK FÜR DIE BIOWISSENSCHAFTEN

Katze. I Diese Lehrveranstaltung soll die Studierenden in die in den Lebenswissenschaften gebräuchlichen statistischen Methoden und Konzepte einführen. Der Schwerpunkt liegt auf den praktischen Aspekten des statistischen Designs und der Analyse mit ausschließlich aus den Lebenswissenschaften stammenden Beispielen, und die Studierenden sammeln und analysieren Daten. Zu den behandelten Themen gehören analytische und grafische und numerische zusammenfassende Maße, Wahrscheinlichkeitsmodelle für Stichprobenverteilungen, der zentrale Grenzwertsatz und Punkt- und Intervallschätzung mit ein und zwei Stichproben, parametrische und nicht-parametrische Hypothesentests, Prinzipien des experimentellen Designs, Vergleiche von gepaarten Stichproben und kategoriale Datenanalyse. Sowohl für diesen Studiengang als auch für den MA 2611 können keine Bachelor-Credits erworben werden.Empfohlener Hintergrund: MA 1022.

MA 2611. ANGEWANDTE STATISTIK I

Katze. I Diese Lehrveranstaltung soll die Studierenden in datenanalytische und angewandte statistische Methoden einführen, die in industriellen und wissenschaftlichen Anwendungen sowie in der Lehrveranstaltungs- und Projektarbeit am WPI üblich sind. Der Schwerpunkt liegt auf den praktischen Aspekten der Statistik, wobei die Studierenden reale Datensätze auf einem interaktiven Computerpaket analysieren. Zu den behandelten Themen gehören analytische und grafische Darstellung von Daten, explorative Datenanalyse, grundlegende Fragen bei der Konzeption und Durchführung von experimentellen und beobachtenden Studien, der zentrale Grenzwertsatz, Ein- und Zweipunkt- und Intervallschätzung sowie Hypothesentests. Empfohlener Hintergrund: MA 1022.

MA 2612. ANGEWANDTE STATISTIK II

Katze. I Dieser Kurs ist eine Fortsetzung von MA 2611. Die behandelten Themen umfassen einfache und multiple Regression, Ein- und Zweiwegtabellen für kategoriale Daten, Design und Analyse von Einfaktorexperimenten und verteilungsfreie Methoden. Empfohlener Hintergrund: MA 2611.

MA 2621. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR BEWERBUNGEN

Katze. I Dieser Kurs soll den Studenten in die Wahrscheinlichkeit einführen. Zu behandelnde Themen sind: grundlegende Wahrscheinlichkeitstheorie einschließlich Bayes-Theorem diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen spezielle Verteilungen einschließlich der Bernoulli-, Binomial-, Geometrisch-, Poisson-, Uniform-, Normal-, Exponential-, Chisquare-, Gamma-, Weibull- und Beta-Verteilungen multivariate Verteilungen bedingte und marginale Verteilungen Unabhängigkeitserwartungstransformationen von univariaten Zufallsvariablen. Empfohlener Hintergrund: MA 1024.

MA 2631. WAHRSCHEINLICHKEIT

Katze. I Dieser Kurs verfolgt zwei Ziele: - Den Studenten in die Wahrscheinlichkeit einzuführen. Zu behandelnde Themen werden ausgewählt aus: axiomatische Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsunabhängigkeit Bayes-Theorem diskrete und stetige Zufallsvariablen Erwartungswert spezielle Verteilungen einschließlich der binomialen und normalmomenterzeugenden Funktionen multivariate Verteilungen bedingte und marginale Verteilungen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Transformationen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze. - Einführung in grundlegende Ideen und Methoden der Mathematik unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsforschung als Vehikel. Diese Ideen und Methoden können eine systematische theoremsichere Entwicklung beinhalten, beginnend mit grundlegenden Axiomen der mathematischen Induktion Mengentheorie Anwendungen der univariaten und multivariaten Berechnung. Dieser Kurs richtet sich in erster Linie an Studierende der mathematischen Wissenschaften und an diejenigen, die sich für die tieferen mathematischen Fragen der Wahrscheinlichkeitstheorie interessieren. Empfohlener Hintergrund: MA 1024. Sowohl für diesen Studiengang als auch für den MA 2621 können keine Studienleistungen erbracht werden.

MA 2999. ANGEWANDTE STATISTIK II

MA 2999. UNABHÄNGIGE STUDIENBASIS

MA 2999. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR ANWENDUNGEN

MA 3212. VERSICHERUNGSMATHEMATIK I

Ein Studium der Versicherungsmathematik mit Schwerpunkt auf Theorie und Anwendung der Kontingenzmathematik in verschiedenen Versicherungsbereichen. In der Regel enthaltene Themen sind: Überlebensfunktionen und Sterbetafeln Lebensversicherungen Sachversicherungen Renten Nettoprämien und Prämienreserven. Empfohlener Hintergrund: Eine Einführung in die Theorie des Interesses und Vertrautheit mit der grundlegenden Wahrscheinlichkeit (MA 2211 und entweder MA 2621 oder MA 2631 oder gleichwertig).

MA 3213. Versicherungsmathematik II

Eine Fortsetzung des Studiums der Versicherungsmathematik mit Schwerpunkt auf Berechnungen in verschiedenen Versicherungsbereichen, basierend auf mehreren Versicherten, mehreren Dekrementen und mehreren Staatsmodellen. Typische Themen sind: Überlebensfunktionen Lebensversicherung Sachversicherung Common Shock Poisson-Prozesse und ihre Anwendung auf Versicherungseinstellungen Bruttoprämien und Rückstellungen. Empfohlener Hintergrund: Eine Einführung in die Versicherungsmathematik (MA 3212 oder gleichwertig)

MA 3231. LINEARE PROGRAMMIERUNG

Katze. I Das mathematische Thema der linearen Programmierung befasst sich mit den Problemen der optimalen Ressourcenallokation, die durch eine lineare Gewinn- (oder Kosten-)Funktion zusammen mit Machbarkeitsbeschränkungen, die als lineare Ungleichungen ausdrückbar sind, modelliert werden können. Solche Probleme treten regelmäßig in vielen Branchen auf, von der Herstellung bis zum Transportwesen, von der Gestaltung der Tierernährung bis zum Aufbau von Anlageportfolios. Dieser Kurs befasst sich mit der Formulierung solcher realer Optimierungsprobleme wie linearen Programmierproblemen, den wichtigsten Algorithmen zu ihrer Lösung und Techniken zu ihrer Analyse. Das Kernmaterial umfasst die Problemformulierung, die primalen und dualen Simplexalgorithmen und die Dualitätstheorie. Weitere Themen können sein: Sensitivitätsanalyseanwendungen wie Matrixspiele oder Netzwerkflussmodelle begrenzt variable lineare Programme innere Punktmethoden. Empfohlener Hintergrund: Matrizen und Lineare Algebra (MA 2071 oder gleichwertig).

MA 3233. DISKRETE OPTIMIERUNG

Katze. II Die diskrete Optimierung ist ein lebendiges Gebiet der angewandten Mathematik, in dem Techniken der Kombinatorik, der linearen Programmierung und der Algorithmentheorie verwendet werden, um Optimierungsprobleme über diskrete Strukturen, wie Netze oder Graphen, zu lösen. Der Kurs wird algorithmische Lösungen für allgemeine Probleme, ihre Komplexität und ihre Anwendung auf reale Probleme hervorheben, die aus Bereichen wie VLSI-Design, Telekommunikation, Flugbesatzungsplanung und Produktverteilung stammen. Themen werden ausgewählt aus: Netzwerkfluss, optimales Matching, Integralität von Polyedern, Matroiden und NP-Vollständigkeit. Empfohlener Hintergrund: Mindestens eine Lehrveranstaltung in Graphentheorie, Kombinatorik oder Optimierung (z.B. MA 2271, MA 2273 oder MA 3231).

MA 3257. NUMERISCHE METHODEN FÜR LINEARE UND NICHTLINEARE SYSTEME

Katze. I Diese Lehrveranstaltung bietet eine Einführung in moderne Berechnungsmethoden für lineare und nichtlineare Gleichungen und Systeme und deren Anwendungen. Behandelte Themen sind: Lösung nichtlinearer skalarer Gleichungen, direkte und iterative Algorithmen zur Lösung linearer Gleichungssysteme, Lösung nichtlinearer Systeme, Eigenwertproblem für Matrizen. Die Fehleranalyse wird durchgehend betont. Empfohlener Hintergrund: MA 2071. Die Fähigkeit, Computerprogramme in einer wissenschaftlichen Sprache zu schreiben, wird vorausgesetzt.

MA 3457. NUMERISCHE METHODEN FÜR CALCULUS UND DIFFERENZGLEICHUNGEN

Katze. I Diese Lehrveranstaltung bietet eine Einführung in moderne Berechnungsmethoden der Differential- und Integralrechnung sowie in Differentialgleichungen. Zu den behandelten Themen gehören: Interpolation und polynomielle Approximation, Näherungstheorie, numerische Differentiation und Integration, numerische Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die Fehleranalyse wird durchgehend betont. Empfohlener Hintergrund: MA 2051. Die Fähigkeit, Computerprogramme in einer wissenschaftlichen Sprache zu schreiben, wird vorausgesetzt. Sowohl für diesen Studiengang als auch für MA 3255/CS 4031 können keine Bachelor-Credits erworben werden.

MA 3471. ERWEITERTE GEWÖHNLICHE DIFFERENZGLEICHUNGEN

Katze. II Der erste Teil der Vorlesung behandelt Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, kontinuierliche Abhängigkeit von Lösungen von Parametern und Anfangsbedingungen, maximales Existenzintervall von Lösungen, Gronwallsche Ungleichung, lineare Systeme und die Variationsformel von Konstanten, Floquet-Theorie, Stabilität linearer und gestörte lineare Systeme. Der zweite Teil des Kurses behandelt Materialien, die vom Dozenten ausgewählt wurden. Mögliche Themen sind: Einführung in dynamische Systeme, Stabilität nach Lyapunovs direkter Methode, Studium periodischer Lösungen, singuläre Störungstheorie und nichtlineare Schwingungstheorie. Empfohlener Hintergrund: MA 2431 und MA 3832. Dieser Studiengang wird in den Jahren 2015-16 und danach in abwechselnden Jahren angeboten.

MA 3475. VARIATIONSRECHNUNG

Katze. II Dieser Kurs behandelt die Variationsrechnung und ausgewählte Themen aus der Theorie der optimalen Steuerung. Ziel des Kurses ist es, den Studierenden mathematische Konzepte und Techniken nahe zu bringen, die zur Bewältigung verschiedener Designprobleme in vielen Bereichen erforderlich sind, z. G. Elektrotechnik, Strukturmechanik und Fertigung. Zu den behandelten Themen gehören: Ableitung der notwendigen Bedingungen eines Minimums für einfache Variationsprobleme und Probleme mit Nebenbedingungen, Variationsprinzipien der Mechanik und Physik, direkte Methoden der Minimierung von Funktionen, Pontryagins Maximumprinzip in der Theorie der optimalen Steuerung und Elemente der dynamischen Programmierung . Empfohlener Hintergrund: MA 2051. Dieser Studiengang wird in den Jahren 2016-17 und danach in wechselnden Jahren angeboten.

MA 3627. EINFÜHRUNG IN DIE GESTALTUNG UND ANALYSE VON EXPERIMENTEN

Katze. II In diesem Kurs lernen die Studierenden, Experimente zu entwerfen, um aussagekräftige Daten für die Analyse und Entscheidungsfindung zu sammeln. Dieser Kurs setzt die in MA 2611 und MA 2612 begonnene Erforschung der Statistik für wissenschaftliche und industrielle Anwendungen fort. Der Kurs bietet eine umfassende Abdeckung der Schlüsselelemente des experimentellen Designs, die von angewandten Forschern verwendet werden, um Probleme auf diesem Gebiet zu lösen, wie zufällige Zuordnung, Replikation, blockieren und verwirren. Zu den behandelten Themen gehören das Design und die Analyse von allgemeinen faktoriellen Experimenten zweistufige faktorielle und fraktionierte faktorielle Experimente Prinzipien des Designs vollständig randomisierte Designs und einseitige Varianzanalyse (ANOVA) vollständige Blockdesigns und zweiseitige Varianzanalyse vollständige faktorielle Experimente fixiert, zufällige und gemischte Modelle Split-Plot-Designs verschachtelte Designs. Empfohlener Hintergrund: Angewandte Statistik (MA 2611 und MA2612 oder gleichwertig).

MA 3631. MATHEMATISCHE STATISTIK

Katze. I Diese Lehrveranstaltung führt in die mathematischen Grundlagen der Statistik ein. Themen werden ausgewählt aus: Stichprobenverteilungen, Grenzwertsätze, Punkt- und Intervallschätzung, Suffizienz, Vollständigkeit, Effizienz, Konsistenz dem Rao-Blackwell-Theorem und dem Cramer-Rao-gebundenen Minimum-Varianz-Schätzer und Maximum-Likelihood-Schätzer Tests von Hypothesen einschließlich der Neyman- Pearson-Lemma, einheitlich stärkste und wahrscheinlichste Funktests. Empfohlener Hintergrund: MA 2631.

MA 3823. GRUPPENTHEORIE

Dieser Kurs bietet eine Einführung in einen der wichtigsten Bereiche der modernen Algebra. Zu den behandelten Themen gehören: Gruppen, Untergruppen, Permutationsgruppen, Normaluntergruppen, Faktorgruppen, Homomorphismen, Isomorphismen und der fundamentale Homomorphismussatz. Empfohlener Hintergrund: MA 2073.

MA 3825. RINGE UND FELDER

Katze. II Dieser Kurs bietet eine Einführung in einen der Hauptbereiche der modernen Algebra. Zu den behandelten Themen gehören: Ringe, Integralbereiche, Ideale, Quotientenringe, Ringhomomorphismen, Polynomringe, Polynomfaktorisierung, Erweiterungskörper und Eigenschaften endlicher Körper. Empfohlener Hintergrund: MA 2073. Sowohl für diesen Studiengang als auch für den MA 3821 können keine Bachelor-Credits erworben werden. Dieser Studiengang wird in den Jahren 2015-16 und danach in abwechselnden Jahren angeboten.

MA 3831. GRUNDSÄTZE DER REALEN ANALYSE I

Katze. I Prinzipien der reellen Analysis ist ein zweiteiliger Kurs, der eine gründliche Präsentation der wichtigen Konzepte der klassischen reellen Analysis bietet. Die in der Sequenz behandelten Themen umfassen: grundlegende Mengenlehre, elementare Topologie euklidischer Räume, metrische Räume, Kompaktheit, Grenzen und Stetigkeit, Differentiation, Riemann-Stieltjes-Integration, unendliche Reihen, Folgen von Funktionen und Themen der multivariaten Kalküle. Empfohlener Hintergrund: mindestens eine Lehrveranstaltung mit Schwerpunkt auf beweisbasierter Mathematik (z. B. MA 1971 Bridge to Higher Mathematics, MA1033 Theoretical Calculus III).

MA 3832. GRUNDSÄTZE DER REALEN ANALYSE II

Katze. I MA 3832 ist eine Fortsetzung des MA 3831. Zu den Inhalten dieser Lehrveranstaltung siehe die Beschreibung zu MA 3831. Empfohlener Hintergrund: Einführungskenntnisse in die Reale Analysis (z. B. MA 3831 Grundlagen der Realen Analysis I oder gleichwertig).

MA 3999. UNABHÄNGIGE STUDIENBASIS

MA 3999. MATH ISU

MA 3999. THEMEN DER REALANALYSE

MA 4213. VERLUSTMODELLE I - RISIKOTHEORIE

Dieser Kurs behandelt Themen aus Schadenmodellen und Risikotheorie, wie sie unter bestimmten Annahmen auf Versicherungen angewendet werden. Zu den behandelten Themen gehören: Versicherungsökonomie, kurzfristige individuelle Risikomodelle, Einzelperioden- und Langzeitkollektivschadenmodelle und Anwendungen. Empfohlener Hintergrund: Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeit (MA 2631 oder gleichwertig).

MA 4214. VERLUSTMODELLE II - ÜBERLEBENSMODELLE

Überlebensmodelle sind statistische Modelle der Zeiten bis zum Auftreten eines Ereignisses. Sie werden häufig in Bereichen wie den Biowissenschaften und der Versicherungsmathematik (wo sie Ereignisse wie die Zeit bis zum Tod oder die Entwicklung oder das Wiederauftreten einer Krankheit modellieren) und die Ingenieurwissenschaften (wo sie die Zuverlässigkeit oder die Nutzungsdauer von Produkten modellieren) verwendet Prozesse). Dieser Kurs führt in die Natur und Eigenschaften von Überlebensmodellen ein und betrachtet Techniken zum Schätzen und Testen solcher Modelle mit realistischen Daten. Die behandelten Themen werden ausgewählt aus: parametrischen und nichtparametrischen Überlebensmodellen, Zensierung und Kürzung, nichtparametrischer Schätzung (einschließlich Konfidenzintervallen und Hypothesentests) unter Verwendung von rechts-, links- und anderweitig zensierten oder abgeschnittenen Daten. Empfohlener Hintergrund: Eine Einführung in die mathematische Statistik (MA 3631 oder gleichwertig).

MA 4216. AKTUARISCHES SEMINAR

Dieser bestandene/nicht bestandene Abschluss wird in jedem Semester unter der Aufsicht der versicherungsmathematischen Professoren angeboten. Um eine bestandene Note zu erhalten, müssen die Schüler einige oder alle der folgenden Aufgaben erfüllen: an Vorträgen von Referenten teilnehmen, an Firmenbesuchen auf dem Campus teilnehmen, an Aktivitäten der Mathe-Abteilung teilnehmen und mithelfen, bei Aktivitäten des Aktuar-Clubs teilnehmen und mithelfen, sich auf versicherungsmathematische Prüfungen vorbereiten oder andere Aktivitäten durchführen, die von den Ausbildern genehmigt wurden. Empfohlener Hintergrund: Interesse an einem versicherungsmathematischen Hauptfach.

MA 4222. TOP-ALGORITHMEN IN DER ANGEWANDTEN MATHEMATIK

Katze. II In diesem Kurs werden die Studierenden in die wichtigsten Algorithmen der angewandten Mathematik eingeführt. Diese Algorithmen haben einen enormen Einfluss auf die Entwicklung und Praxis der modernen Wissenschaft und Technik. Die Diskussionen in der Klasse konzentrieren sich darauf, die Schüler in die mathematische Theorie hinter den Algorithmen sowie deren Anwendungen einzuführen. Der Kurs befasst sich insbesondere mit Fragen der Recheneffizienz, Implementierung und Fehleranalyse. Zu berücksichtigende Algorithmen können die Krylov-Unterraumverfahren, das schnelle Multipolverfahren, das Monte-Carlo-Verfahren, die schnelle Fourier-Transformation, die Kalman-Filter und die Singulärwertzerlegung umfassen. Von den Studierenden wird erwartet, dass sie diese Algorithmen auf reale Probleme anwenden, z. B. Bildverarbeitung und Audiokompression (Fast Fourier Transform), Empfehlungssysteme (Singular Value Decomposition), Elektromagnetik oder Fluiddynamik (Fast Multipole Method, Krylov Subspace Methods und Fast Fourier .). Transform) und die Verfolgung und Vorhersage der Position eines Objekts (Kalman-Filter). Neben dem Studium dieser Algorithmen lernen die Studierenden High Performance Computing kennen und haben Zugriff auf eine Maschine mit Parallel- und GPU-Fähigkeiten, um Code für Anwendungen mit großen Datensätzen auszuführen. Empfohlener Hintergrund: Vertrautheit mit Matrixalgebra und Gleichungssystemen (MA 2071, MA 2072 oder gleichwertig), numerischen Methoden zur Lösung linearer Systeme oder Differentialgleichungen (MA 3257, MA 3457 oder gleichwertig) und Konzepten aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung (MA 2621, MA 2631 oder gleichwertig). Die Fähigkeit, Computerprogramme in einer wissenschaftlichen Sprache zu schreiben, wird vorausgesetzt.

MA 4235. MATHEMATISCHE OPTIMIERUNG

Katze. II Dieser Kurs untersucht theoretische Bedingungen für die Existenz von Lösungen und effektive Rechenverfahren, um diese Lösungen für Optimierungsprobleme mit nichtlinearen Funktionen zu finden. Zu den behandelten Themen gehören: klassische Optimierungstechniken, Lagrange-Multiplikatoren und Kuhn-Tucker-Theorie, Dualität in der nichtlinearen Programmierung und Algorithmen für beschränkte und unbeschränkte Probleme. Empfohlener Hintergrund: Vektorrechnung auf dem Niveau des MA 2251. Dieser Kurs wird 2015-16 und danach im Wechseljahr angeboten.

MA 4237. PROBABILISTISCHE METHODEN IN DER OPERATIONSFORSCHUNG

Katze. II Dieser Kurs entwickelt probabilistische Methoden, die für Planer und Entscheidungsträger in Bereichen wie strategische Planung, Design von Serviceeinrichtungen und Versagen komplexer Systeme nützlich sind. Zu den behandelten Themen gehören: Entscheidungstheorie, Inventartheorie, Warteschlangentheorie, Zuverlässigkeitstheorie und Simulation. Empfohlener Hintergrund: Wahrscheinlichkeitstheorie auf dem Niveau von MA 2621 oder MA 2631. Dieser Kurs wird in den Jahren 2015-16 und danach im Wechseljahr angeboten.

MA 4291. ANGEWENDETE KOMPLEXE VARIABLEN

Katze. I Dieser Kurs bietet eine Einführung in die Ideen und Techniken der komplexen Analyse, die häufig von Wissenschaftlern und Ingenieuren verwendet werden. Die Präsentation folgt einem Mittelweg zwischen Strenge und Intuition. Zu den behandelten Themen gehören: komplexe Zahlen, analytische Funktionen, Taylor- und Laurent-Entwicklungen, Cauchy-Integralsatz, Resttheorie und konforme Abbildungen. Empfohlener Hintergrund: MA 1024 und MA 2051.

MA 4411. NUMERISCHE ANALYSE VON DIFFERENZGLEICHUNGEN

Katze. II Diese Lehrveranstaltung beschäftigt sich mit der Entwicklung und Analyse numerischer Methoden für Differentialgleichungen. Zu den behandelten Themen gehören: Wohlgestelltheit von Anfangswertproblemen, Analyse der Euler-Methode, lokaler und globaler Trunkierungsfehler, Runge-Kutta-Methoden, Gleichungen und Gleichungssysteme höherer Ordnung, Konvergenz- und Stabilitätsanalyse von Einschrittmethoden, Mehrschrittmethoden, Methoden für steife Differentialgleichungen und absolute Stabilität, Einführung in Methoden für partielle Differentialgleichungen. Empfohlener Hintergrund: MA 2071 und MA 3457/CS 4033. Die Fähigkeit, Computerprogramme in einer wissenschaftlichen Sprache zu schreiben, wird vorausgesetzt. Dieser Kurs wird in den Jahren 2016-17 und danach in wechselnden Jahren angeboten.

MA 4451. GRENZWERTPROBLEME

Katze. I Natur- und Ingenieurwissenschaften begegnen oft partiellen Differentialgleichungen bei der Untersuchung von Wärmefluss, Schwingungen, Stromkreisen und ähnlichen Bereichen. Lösungstechniken für diese Art von Problemen werden in diesem Kurs betont. Zu den behandelten Themen gehören: Herleitung partieller Differentialgleichungen als Modelle von Prototypproblemen in den oben genannten Bereichen, Fourier-Reihen, Lösung linearer partieller Differentialgleichungen durch Trennung von Variablen, Fourier-Integrale und das Studium von Bessel-Funktionen. Empfohlener Hintergrund: MA 1024 oder und MA 2051.

MA 4473. TEILWEISE DIFFERENZGLEICHUNGEN

Katze. II Der erste Teil der Lehrveranstaltung behandelt folgende Themen: Klassifikation partieller Differentialgleichungen, Lösen einzelner Gleichungen erster Ordnung nach der Kennlinienmethode, Lösungen der Laplace- und Poisson-Gleichungen einschließlich der Konstruktion der Greenschen Funktion, Lösungen der Wärmegleichung einschließlich der Konstruktion der Fundamentallösung, Maximumprinzipien für elliptische und parabolische Gleichungen. Für den zweiten Teil des Kurses kann der Dozent jedes der oben genannten Themen vertiefen. Empfohlener Hintergrund: MA 2251 und MA 3832. Dieser Studiengang wird in den Jahren 2016-17 und danach in abwechselnden Jahren angeboten.

MA 4603. STATISTISCHE METHODEN IN DER GENETIK UND BIOINFORMATIK

Katze. II Diese Lehrveranstaltung vermittelt den Studierenden Kenntnisse und Verständnis für die Anwendung der Statistik in der modernen Genetik und Bioinformatik. Der Kurs behandelt im Allgemeinen Populationsgenetik, genetische Epidemiologie und statistische Modelle in der Bioinformatik. Zu den spezifischen Themen gehören Meiosemodellierung, stochastische Modelle für die Rekombination, Kopplungs- und Assoziationsstudien (parametrische vs. nichtparametrische Modelle, familienbasierte vs. populationsbasierte Modelle) zur Kartierung von Genen qualitativer und quantitativer Merkmale, Genexpressionsdatenanalyse, DNA- und Proteinsequenz Analyse und molekulare Evolution. Zu den statistischen Ansätzen gehören Log-Likelihood-Ratio-Tests, Score-Tests, generalisierte lineare Modelle, EM-Algorithmus, Markov-Kette Monte Carlo, Hidden-Markov-Modell sowie Klassifikations- und Regressionsbäume. Empfohlener Hintergrund: MA 2612, MA 2631 (oder MA 2621) und ein oder mehrere Biologiekurse. Dieser Kurs wird in den Jahren 2015-16 und danach in wechselnden Jahren angeboten.

MA 4631. WAHRSCHEINLICHKEIT UND MATHEMATISCHE STATISTIK I

Katze.I (14-Wochen-Kurs) Dieser Kurs richtet sich an fortgeschrittene Studenten und Studienanfänger der mathematischen Wissenschaften sowie für andere, die das mathematische Studium der Wahrscheinlichkeit und Statistik verfolgen möchten. Dieser Kurs beginnt mit der Vermittlung des Materials von MA 3613 auf einem höheren Niveau. Weitere behandelte Themen sind: Eins-zu-Eins- und Viele-zu-Eins-Transformationen von Zufallsvariablen Stichprobenverteilungen Ordnungsstatistiken, Grenzwertsätze. Empfohlener Hintergrund: MA 2631 oder MA 3613, MA 3831, MA 3832.

MA 4632. WAHRSCHEINLICHKEIT UND MATHEMATISCHE STATISTIK II

Katze. I (14-Wochen-Kurs) Dieser Kurs soll Grundlagen der Statistik vermitteln. Zu den behandelten Themen gehören: Suffizienz der Punkt- und Intervallschätzung, Vollständigkeit, Effizienz, Konsistenz das Rao-Blackwell-Theorem und die Cramer-Rao-gebundene minimale Varianz unverzerrte Schätzer, Maximum-Likelihood-Schätzer und Bayes-Schätzer Hypothesentests einschließlich einheitlich stärkster Wahrscheinlichkeitsverhältnisse, Minimax und bayesianische Tests. Empfohlener Hintergrund: MA 3631 oder MA 4631.

MA 4635. DATENANALYTIK UND STATISTISCHES LERNEN

Katze. I Der Schwerpunkt dieses Kurses liegt auf dem statistischen Lernen und der Schnittmenge von angewandten Statistik- und Modellierungstechniken, die verwendet werden, um komplexe Daten aus der realen Welt zu analysieren und Vorhersagen und Schlussfolgerungen zu ziehen. Zu den behandelten Themen gehören: Regressionsklassifizierung/Clustering-Stichprobenverfahren (Bootstrap- und Kreuzvalidierung) und das Lernen von Entscheidungsbäumen. Studenten können nicht sowohl für MA463X als auch für MA4635 angerechnet werden. Empfohlener Hintergrund: Lineare Algebra (MA2071 oder gleichwertig), Angewandte Statistik und Regression (MA2612 oder gleichwertig), Wahrscheinlichkeit (MA2631 oder gleichwertig). Die Fähigkeit, Computerprogramme in einer wissenschaftlichen Sprache zu schreiben, wird vorausgesetzt.

MA 4891. THEMEN DER MATHEMATIK

MA 4892. THEMEN DER VERSICHERUNGSMATHEMATIK

Die in diesem Kurs behandelten Themen variieren von Angebot zu Angebot. Der Zweck dieses Kurses besteht darin, versicherungsmathematische Themen vorzustellen, die typischerweise im Lehrplan einer professionellen Aktuarorganisation auftreten, über den Punkt hinaus, an dem angehende Aktuare noch am College sind. Themen können unter anderem Ratenbildung, Schätzung unbezahlter Ansprüche, aktiengebundene Versicherungsprodukte, Simulation oder stochastische Modellierung von Versicherungsprodukten sein. Empfohlener Hintergrund: Kann je nach den behandelten Themen variieren, beinhaltet jedoch in der Regel eine Einführung in die Theorie des Interesses und eine Einführung in die Versicherungsmathematik (MA 2211 und MA 3212 oder gleichwertig)


Inhalt

EIN Wiederholungsbeziehung ist eine Gleichung, die jedes Element einer Folge als Funktion der vorhergehenden ausdrückt. Genauer gesagt, für den Fall, dass nur das unmittelbar vorangehende Element beteiligt ist, hat eine Rekursionsbeziehung die Form

Es ist einfach, die Definition für das Abrufen von Sequenzen ab dem Begriff des Index 1 oder höher zu ändern.

Dies definiert die Wiederholungsbeziehung von erste Bestellung. Eine Wiederholungsbeziehung von Auftrag k hat die Form

Fakultät Bearbeiten

Die Fakultät wird durch die Wiederholungsrelation definiert

und die Anfangsbedingung

Logistikkarte Bearbeiten

Ein Beispiel für eine Wiederholungsbeziehung ist die logistische Karte:

mit einer gegebenen Konstanten r angesichts des Anfangsbegriffs x0 jeder nachfolgende Begriff wird durch diese Beziehung bestimmt.

Eine Rekursionsrelation zu lösen bedeutet, eine geschlossene Lösung zu erhalten: eine nicht-rekursive Funktion von nein.

Fibonacci-Zahlen Bearbeiten

Die von den Fibonacci-Zahlen erfüllte Wiederholung zweiter Ordnung ist der Archetyp einer homogenen linearen Wiederholungsbeziehung mit konstanten Koeffizienten (siehe unten). Die Fibonacci-Folge wird mit der Rekursion

Explizit liefert die Rekursion die Gleichungen

Wir erhalten die Folge von Fibonacci-Zahlen, die beginnt

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .

Die Rekursion kann durch die unten beschriebenen Methoden gelöst werden, die die Binet-Formel ergeben, die Potenzen der beiden Wurzeln des charakteristischen Polynoms einbezieht t 2 = t + 1 die erzeugende Funktion der Folge ist die rationale Funktion

Binomialkoeffizienten Bearbeiten

mit den Basisfällen ( n 0 ) = ( n n ) = 1 <0>>=< binom >=1> . Die Verwendung dieser Formel zur Berechnung der Werte aller Binomialkoeffizienten erzeugt ein unendliches Array namens Pascal-Dreieck. Dieselben Werte können auch direkt durch eine andere Formel berechnet werden, die keine Rekursion ist, aber zur Berechnung Multiplikation und nicht nur Addition erfordert: ( n k ) = n ! k! ( n − k ) ! . >=>.>

was vereinfacht werden kann zu

Allgemeiner: die k-ter Unterschied der Folge einnein geschrieben als Δ k ( a n ) (ein_)> ist rekursiv definiert als

(Die Folge und ihre Unterschiede sind durch eine Binomialtransformation verbunden.) Die restriktivere Definition von Differenzgleichung ist eine Gleichung bestehend aus einnein und sein k te Unterschiede. (Eine weit verbreitete breitere Definition behandelt "Differenzgleichung" als Synonym für "Wiederkehrbeziehung". Siehe zum Beispiel rationale Differenzengleichung und Matrixdifferenzengleichung.)

Eigentlich ist es leicht zu erkennen,

Somit kann eine Differenzengleichung als eine Gleichung definiert werden, die einnein, einnein−1, einnein−2 usw. (oder gleichwertig einnein, einnein+1, einnein+2 usw.)

Da Differenzengleichungen eine sehr häufige Form der Wiederholung sind, verwenden einige Autoren die beiden Begriffe synonym. Zum Beispiel die Differenzengleichung

entspricht der Rekursionsrelation

So kann man viele Rekursionsbeziehungen lösen, indem man sie als Differenzengleichungen umformuliert und dann die Differenzengleichung löst, analog wie man gewöhnliche Differenzialgleichungen löst. Die Ackermann-Zahlen sind jedoch ein Beispiel für eine Rekursionsbeziehung, die sich nicht auf eine Differenzengleichung abbilden lässt, geschweige denn Punkte auf der Lösung einer Differenzialgleichung.

Siehe Zeitskalenrechnung für eine Vereinheitlichung der Theorie der Differenzengleichungen mit der der Differentialgleichungen.

Summengleichungen beziehen sich auf Differenzengleichungen, wie sich Integralgleichungen auf Differentialgleichungen beziehen.

Von Sequenzen zu Rastern Bearbeiten

Bei eindimensionalen Rekursionsbeziehungen handelt es sich um Sequenzen (d. h. Funktionen, die auf eindimensionalen Gittern definiert sind). Bei multivariablen oder n-dimensionalen Rekursionsbeziehungen handelt es sich um n-dimensionale Gitter. Auf n-Gittern definierte Funktionen können auch mit also partielle Differenzengleichungen. [2]

Lösen von homogenen linearen Rekursionsbeziehungen mit konstanten Koeffizienten Bearbeiten

Wurzeln des charakteristischen Polynoms Bearbeiten

Eine Bestellung-d homogene lineare Rekursion mit konstanten Koeffizienten ist eine Gleichung der Form

bei dem die d Koeffizienten cich (für alle ich) sind Konstanten und c d ≠ 0 eq 0> .

Eine konstant-rekursive Folge ist eine Folge, die eine Wiederholung dieser Form erfüllt. Es gibt d Freiheitsgrade für Lösungen dieser Rekursion, d. h. die Anfangswerte a 0 , … , a d − 1 ,dots ,a_> können beliebige Werte sein, aber dann bestimmt die Wiederholung die Reihenfolge eindeutig.

Dieselben Koeffizienten ergeben das charakteristische Polynom (auch "Hilfspolynom")

deren d Wurzeln spielen eine entscheidende Rolle beim Finden und Verstehen der Sequenzen, die das Wiederauftreten befriedigen. Wenn die Wurzeln r1, r2, . sind alle verschieden, dann hat jede Lösung der Rekursion die Form

wobei die Koeffizienten kich werden bestimmt, um die Anfangsbedingungen des Wiederauftretens zu erfüllen. Wenn die gleichen Wurzeln mehrmals vorkommen, werden die Terme in dieser Formel, die dem zweiten und späteren Auftreten derselben Wurzel entsprechen, mit zunehmenden Potenzen von . multipliziert nein. Wenn das charakteristische Polynom beispielsweise faktorisiert werden kann als (xr) 3 , mit der gleichen Wurzel r dreimal auftritt, dann würde die Lösung die Form annehmen

Neben den Fibonacci-Zahlen umfassen andere konstant-rekursive Folgen die Lucas-Zahlen und Lucas-Folgen, die Jacobsthal-Zahlen, die Pell-Zahlen und allgemeiner die Lösungen der Pell-Gleichung.

Bei Bestellung 1 die Wiederholung

hat die Lösung einnein = r nein mit ein0 = 1 und die allgemeinste Lösung ist einnein = kr n mit ein0 = k. Das charakteristische Polynom gleich Null (die charakteristische Gleichung) ist einfach) tr = 0.

Lösungen für solche Rekursionsbeziehungen höherer Ordnung werden auf systematische Weise gefunden, oft unter Verwendung der Tatsache, dass einnein = r nein ist eine Lösung für die Wiederholung genau dann, wenn t = r ist eine Wurzel des charakteristischen Polynoms. Dies kann direkt oder über Erzeugungsfunktionen (formale Potenzreihen) oder Matrizen angegangen werden.

Betrachten wir zum Beispiel eine Rekursionsrelation der Form

Wann hat es eine Lösung der gleichen allgemeinen Form wie einnein = r nein ? Setzen wir diese Vermutung (Ansatz) in die Rekursionsrelation ein, so finden wir, dass

muss wahr sein für alle nein >1.

Dividieren durch r nein−2 , erhalten wir, dass sich alle diese Gleichungen auf dasselbe reduzieren:

das ist die charakteristische Gleichung der Wiederholungsbeziehung. Lösen für r um die beiden Wurzeln zu erhalten λ1, λ2: diese Wurzeln werden als charakteristische Wurzeln bezeichnet oder Eigenwerte der charakteristischen Gleichung. Je nach Art der Wurzeln erhält man unterschiedliche Lösungen: Sind diese Wurzeln verschieden, haben wir die allgemeine Lösung

während, wenn sie identisch sind (wenn EIN 2 + 4B = 0 ), haben wir

Dies ist die allgemeinste Lösung der beiden Konstanten C und D kann basierend auf zwei gegebenen Anfangsbedingungen gewählt werden ein0 und ein1 eine konkrete Lösung zu produzieren.

Bei komplexen Eigenwerten (aus denen sich auch komplexe Werte für die Lösungsparameter ergeben C und D) kann die Verwendung komplexer Zahlen eliminiert werden, indem die Lösung in trigonometrischer Form umgeschrieben wird. In diesem Fall können wir die Eigenwerte schreiben als λ 1 , λ 2 = α ± β i . ,lambda _<2>=alpha pm eta i.> Dann kann man zeigen, dass

kann umgeschrieben werden als [4] : 576–585

Hier E und F (oder gleichwertig, G und δ) sind reelle Konstanten, die von den Anfangsbedingungen abhängen. Verwenden von

man kann die oben gegebene Lösung vereinfachen als

wo ein1 und ein2 sind die Anfangsbedingungen und

Auf diese Weise muss nicht nach λ . aufgelöst werden1 und2.

In allen Fällen – reelle unterschiedliche Eigenwerte, reelle duplizierte Eigenwerte und komplex konjugierte Eigenwerte – ist die Gleichung stabil (d. h. die Variable ein konvergiert gegen einen festen Wert [genauer Null]) genau dann, wenn beide Eigenwerte sind im Absolutwert kleiner als eins. In diesem Fall zweiter Ordnung kann gezeigt werden, dass diese Eigenwertbedingung [5] äquivalent zu | . istEIN| < 1 − B < 2, was äquivalent zu |B| < 1 und |EIN| < 1 − B.

Die Gleichung im obigen Beispiel war homogen, da es keinen konstanten Term gab. Wenn man mit dem inhomogenen Rezidiv beginnt

mit konstanter Laufzeit K, lässt sich diese wie folgt in eine homogene Form überführen: Der stationäre Zustand wird gefunden durch Einstellung bnein = bnein−1 = bnein−2 = b* erhalten

Dann kann die inhomogene Rekursion in homogener Form umgeschrieben werden als

was wie oben gelöst werden kann.

Die oben angeführte Stabilitätsbedingung in Form von Eigenwerten für den Fall zweiter Ordnung bleibt für das allgemeine nein Fall dritter Ordnung: Die Gleichung ist genau dann stabil, wenn alle Eigenwerte der charakteristischen Gleichung betragsmäßig kleiner als eins sind.

Gegeben eine homogene lineare Rekursionsbeziehung mit konstanten Ordnungskoeffizienten d, Lassen p(t) sei das charakteristische Polynom (auch "Hilfspolynom")

so dass jeder cich entspricht jedem cich in der ursprünglichen Rekursionsbeziehung (siehe die allgemeine Form oben). Angenommen ist eine Wurzel von p(t) Vielfältigkeit haben r. Damit ist gemeint (t−λ) r teilt p(t). Es gelten die folgenden beiden Eigenschaften:

Als Ergebnis dieses Satzes kann eine homogene lineare Rekursionsbeziehung mit konstanten Koeffizienten wie folgt gelöst werden:

  1. Finden Sie das charakteristische Polynom p(t).
  2. Finde die Wurzeln von p(t) Multiplizität zählen.
  3. Schreiben einnein als Linearkombination aller Wurzeln (Zählung der Multiplizität wie im obigen Satz gezeigt) mit unbekannten Koeffizienten bich. an = ( b 1 λ 1 n + b 2 n λ 1 n + b 3 n 2 λ 1 n + ⋯ + brnr − 1 λ 1 n ) + ⋯ + ( bd − q + 1 λ ∗ n + ⋯ + bdnq − 1 λ ∗ n ) =links(b_<1>lambda_<1>^+b_<2>nlambda_<1>^+b_<3>n^<2>lambda_<1>^+cdots +b_n^lambda_<1>^ ight)+cdots +left(b_lambda_<*>^+cdots +b_n^lambda_<*>^ ight)> Dies ist die allgemeine Lösung der ursprünglichen Rekursionsbeziehung. (q ist die Vielheit von λ*)
  4. Gleiche jeweils a 0 , a 1 , … , a d ,a_<1>,dots ,a_> ab Teil 3 (Einstecken nein = 0, . d in die allgemeine Lösung der Rekursionsbeziehung) mit den bekannten Werten a 0 , a 1 , … , a d ,a_<1>,dots ,a_> aus der ursprünglichen Rekursionsbeziehung. Allerdings sind die Werte einnein aus der verwendeten ursprünglichen Rekursionsrelation müssen in der Regel nicht zusammenhängend sein: Ausnahmen ausgenommen, nur d von ihnen benötigt werden (d. h. für eine ursprüngliche homogene lineare Rekursion der Ordnung 3 könnte man die Werte ein0, ein1, ein4). Dieser Prozess erzeugt ein lineares System von d Gleichungen mit d Unbekannte. Lösen dieser Gleichungen nach den unbekannten Koeffizienten b 1 , b 2 , … , b d ,b_<2>,dots ,b_> der allgemeinen Lösung und das Wiedereinsetzen dieser Werte in die allgemeine Lösung ergibt die spezielle Lösung der ursprünglichen Rekursionsbeziehung, die zu den Anfangsbedingungen der ursprünglichen Rekursionsbeziehung passt (sowie alle nachfolgenden Werte a 0 , a 1 , a 2 , … < displaystyle a_<0>,a_<1>,a_<2>,dots > der ursprünglichen Rekursionsbeziehung).

Die Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen ähnelt der obigen Methode – der "intelligente Schätzung" (Ansatz) für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ist e λx wobei λ eine komplexe Zahl ist, die durch Einsetzen der Schätzung in die Differentialgleichung bestimmt wird.

Dies ist kein Zufall. Betrachten Sie die Taylor-Reihe der Lösung einer linearen Differentialgleichung:

man sieht, dass die Koeffizienten der Reihe gegeben sind durch nein Ableitung von f(x) an der Stelle bewertet ein. Die Differenzialgleichung liefert eine lineare Differenzengleichung, die diese Koeffizienten in Beziehung setzt.

Diese Äquivalenz kann verwendet werden, um die Rekursionsbeziehung für die Koeffizienten in der Potenzreihenlösung einer linearen Differentialgleichung schnell aufzulösen.

Die Faustregel (für Gleichungen, in denen das Polynom, das den ersten Term multipliziert, bei Null ungleich Null ist) lautet:

Beispiel: Die Rekursionsbeziehung für die Taylor-Reihenkoeffizienten der Gleichung:

n ( n − 1 ) f [ n + 1 ] + 3 nf [ n + 2 ] − 4 f [ n + 3 ] − 3 nf [ n + 1 ] − f [ n + 2 ] + 2 f [ n ] = 0

− 4 f [ n + 3 ] + 2 n f [ n + 2 ] + n ( n − 4 )f [ n + 1 ] + 2 f [ n ] = 0.

Dieses Beispiel zeigt, wie Probleme, die im Allgemeinen mit der Potenzreihenlösungsmethode, die in normalen Differentialgleichungsklassen gelehrt wird, gelöst werden, viel einfacher gelöst werden können.

Beispiel: Die Differentialgleichung

Die Umrechnung der Differenzialgleichung in eine Differenzengleichung der Taylor-Koeffizienten ist

a f [ n + 2 ] + b f [ n + 1 ] + c f [ n ] = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass die neinAbleitung von e Axt ausgewertet bei 0 is ein nein .

Lösen über lineare Algebra Bearbeiten

Eine linear rekursive Folge y der Ordnung n

Erweitert mit nein−1 Identitäten der Art y n − k = y n − k =y_> , das nein--te Ordnung wird in ein Matrix-Differenz-Gleichungssystem von n linearen Gleichungen erster Ordnung übersetzt,

Diese Beschreibung unterscheidet sich wirklich nicht von der obigen allgemeinen Methode, ist jedoch prägnanter. Es funktioniert auch gut für Situationen wie

wo es mehrere verbundene Wiederholungen gibt. [6]

Lösen mit Z-Transformationen Bearbeiten

Bestimmte Differenzengleichungen – insbesondere Differenzgleichungen mit linearen konstanten Koeffizienten – können unter Verwendung von z-Transformationen gelöst werden. Das z-transforms sind eine Klasse integraler Transformationen, die zu bequemeren algebraischen Manipulationen und einfacheren Lösungen führen. Es gibt Fälle, in denen eine direkte Lösung praktisch unmöglich wäre, das Problem jedoch über eine sorgfältig gewählte Integraltransformation einfach zu lösen ist.

Lösen von inhomogenen linearen Rekursionsbeziehungen mit konstanten Koeffizienten Bearbeiten

Wenn die Rekursion inhomogen ist, kann eine bestimmte Lösung durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten gefunden werden und die Lösung ist die Summe der Lösung der homogenen und der bestimmten Lösungen. Eine andere Methode zur Lösung eines inhomogenen Rezidivs ist die Methode von symbolische Differenzierung. Betrachten Sie beispielsweise die folgende Wiederholung:

Dies ist ein inhomogenes Rezidiv. Wenn wir ersetzen neinnein+1 erhalten wir die Wiederholung re

Subtrahiert man die ursprüngliche Rekursion von dieser Gleichung, erhält man

Dies ist ein homogenes Rezidiv, das mit den oben erläuterten Methoden gelöst werden kann. Im Allgemeinen hat eine lineare Rekursion die Form

ist die erzeugende Funktion der Inhomogenität, die erzeugende Funktion

des inhomogenen Rezidivs

mit konstanten Koeffizienten cich ist abgeleitet von

Wenn P(x) ist eine rationale erzeugende Funktion, EIN(x) ist auch eine. Der oben diskutierte Fall, wo pnein = K eine Konstante ist, ergibt sich als ein Beispiel für diese Formel mit P(x) = K/(1−x). Ein weiteres Beispiel, die Wiederholung a n = 10 a n − 1 + n =10a_+n> mit linearer Inhomogenität, ergibt sich aus der Definition der schizophrenen Zahlen. Die Lösung homogener Rezidive wird als p = P = 0.

Lösen von inhomogenen Rekursionsbeziehungen erster Ordnung mit variablen Koeffizienten Bearbeiten

Darüber hinaus gilt für die allgemeine inhomogene lineare Rekursion erster Ordnung mit variablen Koeffizienten:

es gibt auch eine schöne Methode, um es zu lösen: [7]

Wenn wir die Formel auf a n + 1 = ( 1 + h f n h ) anwenden a n + h g n h =(1+hf_)ein_+hg_> und nehmen den Grenzwert h→0, wir erhalten die Formel für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung mit variablen Koeffizienten die Summe wird ein Integral und das Produkt wird die Exponentialfunktion eines Integrals.

Lösen allgemeiner homogener linearer Rekursionsbeziehungen Bearbeiten

Viele homogene lineare Rekursionsbeziehungen können mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe gelöst werden. Spezialfälle dieser führen zu Rekursionsbeziehungen für die orthogonalen Polynome und vielen speziellen Funktionen. Zum Beispiel die Lösung für

die konfluente hypergeometrische Reihe. Folgen, die die Lösungen von linearen Differenzengleichungen mit Polynomkoeffizienten sind, werden als P-rekursiv bezeichnet. Für diese spezifischen Rekursionsgleichungen sind Algorithmen bekannt, die polynomielle, rationale oder hypergeometrische Lösungen finden.

Rationale Differenzengleichungen erster Ordnung lösen Bearbeiten

Stabilität linearer Rezidive höherer Ordnung Bearbeiten

Die lineare Wiederkehr der Ordnung d,

Die Rekursion ist stabil, d. h. die Iterationen konvergieren genau dann asymptotisch gegen einen festen Wert, wenn die Eigenwerte (d. h. die Wurzeln der charakteristischen Gleichung), ob reell oder komplex, alle weniger als eins im Absolutwert sind.

Stabilität linearer Matrixrezidive erster Ordnung Bearbeiten

In der Matrixdifferenzengleichung erster Ordnung

mit Zustandsvektor x und Übergangsmatrix EIN, x konvergiert asymptotisch gegen den stationären Vektor x* genau dann, wenn alle Eigenwerte der Übergangsmatrix EIN (egal ob reell oder komplex) einen Absolutwert kleiner als 1 haben.

Stabilität nichtlinearer Rezidive erster Ordnung Bearbeiten

Betrachten Sie die nichtlineare Rekursion erster Ordnung

Diese Rekursion ist lokal stabil, d. h. sie konvergiert gegen einen Fixpunkt x* von Punkten in ausreichender Nähe zu x*, wenn die Steigung von f in der Nähe von x* ist im Absolutwert kleiner als Eins, d. h.

Eine nichtlineare Rekursion könnte mehrere Fixpunkte haben, wobei in diesem Fall einige Fixpunkte lokal stabil und andere lokal instabil für kontinuierliches . sein können f zwei benachbarte Fixpunkte können nicht beide lokal stabil sein.

Eine nichtlineare Rekursionsbeziehung könnte auch einen Periodenzyklus haben k zum k > 1. Ein solcher Zyklus ist stabil, d. h. er zieht eine Reihe von Anfangsbedingungen mit positivem Maß an, wenn die zusammengesetzte Funktion

mit f erscheinen k mal ist nach dem gleichen Kriterium lokal stabil:

wo x* ist ein beliebiger Punkt im Zyklus.

In einer chaotischen Wiederholungsbeziehung ist die Variable x bleibt in einem begrenzten Bereich, aber konvergiert nie gegen einen Fixpunkt oder einen anziehenden Zyklus irgendwelche Fixpunkte oder Zyklen der Gleichung sind instabil. Siehe auch Logistikkarte, dyadische Transformation und Zeltkarte.

Beim numerischen Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung stößt man typischerweise auf eine Rekursionsbeziehung. Zum Beispiel bei der Lösung des Anfangswertproblems

mit Euler-Methode und einer Schrittweite ha, berechnet man die Werte

Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung können mit den im Diskretisierungsartikel gezeigten Methoden analytisch exakt diskretisiert werden.

Biologie Bearbeiten

Einige der bekanntesten Differenzengleichungen haben ihren Ursprung in dem Versuch, Populationsdynamiken zu modellieren. Zum Beispiel wurden die Fibonacci-Zahlen einst als Modell für das Wachstum einer Kaninchenpopulation verwendet.

Die Logistikkarte wird entweder direkt zur Modellierung des Bevölkerungswachstums oder als Ausgangspunkt für detailliertere Modelle der Bevölkerungsdynamik verwendet. In diesem Zusammenhang werden häufig gekoppelte Differenzengleichungen verwendet, um die Interaktion zweier oder mehrerer Populationen zu modellieren. Zum Beispiel ist das Nicholson-Bailey-Modell für eine Wirt-Parasit-Interaktion gegeben durch

mit Neint die Gastgeber vertreten, und Pt die Parasiten zur Zeit t.

Integrodifferenzengleichungen sind eine Form der Rekursionsbeziehung, die für die räumliche Ökologie wichtig ist. Diese und andere Differenzengleichungen sind besonders geeignet, um univoltine Populationen zu modellieren.

Informatik Bearbeiten

Auch bei der Analyse von Algorithmen sind Rekursionsbeziehungen von grundlegender Bedeutung. [8] [9] Wenn ein Algorithmus so konzipiert ist, dass er ein Problem in kleinere Teilprobleme zerlegt (divide and herrsche), wird seine Laufzeit durch eine Rekursionsbeziehung beschrieben.

Ein einfaches Beispiel ist die Zeit, die ein Algorithmus benötigt, um im schlimmsten Fall ein Element in einem geordneten Vektor mit n Elementen zu finden.

Ein naiver Algorithmus sucht von links nach rechts, ein Element nach dem anderen. Das schlimmstmögliche Szenario ist, wenn das erforderliche Element das letzte ist, sodass die Anzahl der Vergleiche n beträgt.

Ein besserer Algorithmus heißt binäre Suche. Es erfordert jedoch einen sortierten Vektor. Zuerst wird geprüft, ob sich das Element in der Mitte des Vektors befindet. Wenn nicht, wird geprüft, ob das mittlere Element größer oder kleiner als das gesuchte Element ist. An diesem Punkt kann die Hälfte des Vektors verworfen werden und der Algorithmus kann auf der anderen Hälfte erneut ausgeführt werden. Die Anzahl der Vergleiche wird angegeben durch

Digitale Signalverarbeitung Bearbeiten

In der digitalen Signalverarbeitung können Wiederholungsbeziehungen Rückkopplungen in einem System modellieren, in dem Ausgaben auf einmal zu Eingaben für zukünftige Zeiten werden. Sie entstehen somit in digitalen Filtern mit unendlicher Impulsantwort (IIR).

Zum Beispiel die Gleichung für ein "Feedforward"-IIR-Kammfilter der Verzögerung T ist:

Wirtschaftswissenschaften Bearbeiten

Rekursionsbeziehungen, insbesondere lineare Rekursionsbeziehungen, werden sowohl in der theoretischen als auch in der empirischen Ökonomie ausgiebig verwendet. [10] [11] Insbesondere in der Makroökonomie könnte man ein Modell verschiedener breiter Wirtschaftssektoren (Finanzsektor, Gütersektor, Arbeitsmarkt usw.) entwickeln, in dem die Handlungen einiger Akteure von verzögerten Variablen abhängen. Das Modell würde dann nach aktuellen Werten wichtiger Variablen (Zinssatz, reales BIP usw.) in Bezug auf vergangene und aktuelle Werte anderer Variablen aufgelöst.


GEWÖHNLICHE DIFFERENZGLEICHUNGEN - 2022/3

Angesichts der Covid-19-Pandemie hat die Universität ihre Kurse überarbeitet, um die „Hybrid Learning Experience“ in Abweichung von früheren Studienjahren und zuvor veröffentlichten Informationen zu integrieren. Die Universität hat die Durchführung (und in einigen Fällen den Inhalt) ihrer Studiengänge geändert. Weitere Informationen zu den allgemeinen Prinzipien des hybriden Lernens finden Sie unter: Hybride Lernerfahrung | Universität Surrey.

Wir haben die wichtigsten Modulinformationen bezüglich des Prüfungsmusters und der Gesamtarbeitsbelastung der Studenten aktualisiert, um die Wahl der Studentenmodule zu erleichtern. Wir arbeiten derzeit daran, die verbleibenden veröffentlichten Informationen rechtzeitig zum Beginn des Studienjahres 2021/22 an die aktuelle Praxis anzupassen.

Das bedeutet, dass sich einige Informationen innerhalb des Studiengangs- und Modulkatalogs ändern können. Aktuelle Studierende sind eingeladen, sich bei Fragen zu den verfügbaren Informationen an ihren Programmleiter oder Academic Hive zu wenden.

Dieses Modul baut auf den Differentialgleichungsaspekten der Level-1-Module Infinitesimalrechnung und Lineare Algebra auf und berücksichtigt qualitative und quantitative Aspekte der gewöhnlichen Differentialgleichungen.


9.1E: Einführung in lineare Gleichungen höherer Ordnung (Übungen) - Mathematik

Differentialgleichungen (Lösung) William Trench [PDF]

Elementare Differentialgleichungen mit Randwertproblemen (Lösungshandbuch) von William F. Trench

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Über das Buch :-
Elementare Differentialgleichungen mit Randwertproblemen (Lösungshandbuch) geschrieben von William F. Trench.
Elementare Differentialgleichungen mit Grenzwertproblemen richtet sich an Studenten der Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften und Mathematik, die die Analysis durch partielle Differenzierung abgeschlossen haben.
Ein elementarer Text sollte so geschrieben werden, dass der Schüler ihn ohne allzu große Schmerzen verständlich lesen kann. Der Autor hat versucht, mich in die Lage des Schülers zu versetzen, und hat sich dafür entschieden, sich lieber auf zu viele Details als auf zu wenige zu beschränken.
Ein elementarer Text kann nicht besser sein als seine Übungen. Dieser Text enthält 2041 nummerierte Übungen, viele davon mehrteilig. Die Schwierigkeitsgrade reichen von routiniert bis sehr anspruchsvoll.
Ein elementarer Text sollte informell, aber mathematisch korrekt geschrieben und durch entsprechende Grafiken illustriert werden. Der Autor hat versucht, mathematische Konzepte prägnant in einer für die Schüler verständlichen Sprache zu formulieren. Der Autor hat die Zahl der explizit genannten Theoreme und Definitionen auf ein Minimum reduziert und zieht es vor, Konzepte konversationsorientierter zu behandeln, reichlich illustriert durch 299 vollständig ausgearbeitete Beispiele. Konzepte und Ergebnisse werden gegebenenfalls in 188 Abbildungen dargestellt.
(William F. Graben)

Buchdetails :-
Titel: Elementare Differentialgleichungen mit Randwertproblemen (Lösungshandbuch)
Auflage:
Autor(en): William F. Trench
Herausgeber: Brooks/Cole Thomson Lernen
Serie:
Jahr: 2013
Seiten: 288
Art: PDF
Sprache: Englisch
ISBN:
Land: UNS
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Über den Autor:- Der Autor William F Trench kam 1986 als Cowles Distinguished Professor an die Trinity-Fakultät. Zuvor war er von 1964 bis 1986 Professor für Mathematik an der Drexel University. Vor seinem Eintritt in die Wissenschaft war Trench als angewandter Mathematiker angestellt von RCA, Philco und General Electric.
Seine Forschungsinteressen galten der linearen Algebra und gewöhnlichen Differentialgleichungen. Er erhielt mehrere Stipendien der National Science Foundation (NSF). 1989 erhielt er ein Stipendium in Höhe von 35.575 US-Dollar zur Unterstützung eines Projekts zum Thema „Numerical Solution of Spectral Problems for Efficiently Structured Hermitian Matrices. Trench war Autor von drei Lehrbüchern und mehr als 120 Forschungsarbeiten die Trinity Digital Commons, wo sie mehr als 81.000 Mal heruntergeladen wurden. Seine Werke sind die am häufigsten heruntergeladenen Dateien in der gesamten Trinity-Fakultät. Obwohl er sich 1997 von der Lehrtätigkeit zurückzog, veröffentlichte er weiterhin Forschungsergebnisse mit Artikeln, die erst kürzlich in führenden Zeitschriften erschienen. 2014.
Seine Lehrerfahrung umfasste fast 35 Jahre und umfasste ein breites Spektrum an Mathematikkursen für Studenten und Doktoranden. Bei Trinity fanden ihn die Schüler interessant und faszinierend und schätzten vor allem seinen Sinn für Humor.
Er erwarb einen B.Sc-Bachelor in Mathematik von der Lehigh University, einen M.Sc. und einen Ph.D. in Mathematik von der University of Pennsylvania. Er blieb auch Mitglied der Society for Industrial and Applied Mathematics, der American Mathematical Society und Phi Beta Kappa.

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Buchinhalt :-
Elementare Differentialgleichungen mit Randwertproblemen (Lösungshandbuch) geschrieben von William F. Trench decken die folgenden Themen ab. '
1. Einleitung
2. Gleichungen erster Ordnung
3. Numerische Methoden
4. Anwendungen der Gleichungen erster Ordnung1em
5. Lineare Gleichungen zweiter Ordnung
6. Anwendungen linearer Gleichungen zweiter Ordnung
7. Reihenlösungen von linearen Gleichungen zweiter Ordnung
8. Laplace-Transformationen
9. Lineare Gleichungen höherer Ordnung
10. Lineare Systeme von Differentialgleichungen
11. Randwertprobleme und Fourierentwicklungen
12. Fourier-Lösungen von partiellen Differentialgleichungen
13. Randwertprobleme für lineare Gleichungen zweiter Ordnung
Index

Wir sind nicht der Eigentümer dieses Buches/dieser Notizen. Wir stellen es zur Verfügung, das bereits im Internet verfügbar ist. Bei weiteren Fragen kontaktieren Sie uns bitte. Wir UNTERSTÜTZEN niemals PIRACY. Dieses Exemplar wurde für Studenten zur Verfügung gestellt, die in finanziellen Schwierigkeiten sind, aber lernen möchten. Wenn Sie der Meinung sind, dass dieses Material nützlich ist, holen Sie es sich bitte legal von den VERLAGEN. Vielen Dank.


1. Eine Einführung in die Mathematik

Einer der wichtigsten Aspekte eines jeden Softwarepakets ist, wie leicht man auf die Informationen aus der Ausgabe eines Befehls zugreifen und sie als Eingabe an einen anderen umleiten kann. Im gesamten Text werden wir beispielsweise den Differentialgleichungslöser von Mathematica in verschiedenen Anwendungen ausgiebig nutzen, bei denen die Überwachung der Entwicklung bestimmter Variablen der Schlüssel zum Verständnis eines physikalischen Modells ist. Normalerweise möchten wir einige oder alle Variablen grafisch darstellen, die wir durch das Lösen eines Systems von Differentialgleichungen erhalten, während die Zeit variiert, oder eine Variable gegen eine andere grafisch darstellen oder die Ausgabe integrieren und differenzieren, um physikalische Größen mit natürlichen Interpretationen zu konstruieren. Dieses Kapitel ist eine Einführung, wie man solche Aufgaben mit einfachen Beispielen lösen kann, die den tatsächlichen Umständen ähneln, denen wir im Rest des Textes begegnen.

Das hier vorgestellte Material soll in erster Linie als Referenz für die Übungen in den kommenden Kapiteln dienen. Infolgedessen kann beim ersten Lesen ein Teil der mathematischen Sprache unbekannt sein. Es ist zu hoffen, dass dieses Kapitel für den Leser nützlicher wird, wenn man mit den mathematischen Konzepten der zukünftigen Kapitel fortfährt, aber häufig hierher zurückkehrt, um die entsprechende Syntax zu überprüfen.

Mit Mathematica kann man able

  1. Integrieren und differenzieren Sie symbolisch eher komplizierte Ausdrücke
  2. Grafiken in zwei und drei Dimensionen erstellen
  3. Vereinfachen Sie trigonometrische und algebraische Ausdrücke
  4. Lineare und nichtlineare Differentialgleichungen lösen
  5. Bestimmen Sie die Laplace- und Fourier-Transformationen von Funktionen

1.2 Eine Sitzung in Mathematica

In der Notebook-Version von Mathematica wählt man entweder das entsprechende Icon aus und führt die Anwendung aus (dies ist bei PCs und Apple-Rechnern der Fall) oder gibt wie bei SUN-Workstations an der System-Eingabeaufforderung ein. Nach einiger Initialisierung öffnet sich ein Fenster, in dem man Befehle eingeben darf. Befehle werden über die Tastatur eingegeben und durch gleichzeitiges Drücken der Umschalt- und Eingabetaste (oder Eingabetaste) ausgeführt. Nachdem der erste Befehl ausgeführt wurde, erscheint In[1]:= auf dem Bildschirm.

Wie bereits erwähnt, werden Befehle einfach über die Tastatur eingegeben. Um zum Beispiel die Nullstellen des Polynoms zu finden

f(x) = x2 -4x+3,
type Das Programm antwortet mit 1 und 3 sind die Nullstellen des Polynoms. : Mathematica unterscheidet zwischen x = y und x = = y. Im ersten Ausdruck x = y wird x der Wert y zugewiesen, während im zweiten Ausdruck Mathematica prüft, ob x und y gleich sein können, d. h. ob x und y kompatible Objekte sind, und ansonsten werden keine Maßnahmen ergriffen. Wir werden verwenden, um Gleichungen zu definieren. : Multiplikation in Mathematica kann eingegeben werden, indem entweder ein Leerzeichen zwischen den Operanden gelassen wird (z. B. steht ein x für ax) oder indem ein Sternchen zwischen die Terme eingefügt wird (d. h. a*x ). Wenn a jedoch eine Zahl ist, interpretiert Mathematica die Kombination einer Zahl neben einer Variablen als Multiplikation. Beispielsweise wird 2x als 2 mal x verstanden. Diese Konvention gilt nicht für Symbole: Der Ausdruck ax wird als die Variable mit dem Namen ax interpretiert und nicht als Produkt der Variablen a und x. : Wir werden die Eingabeaufforderungen In[]:= und Out[]:= für den Rest dieser Diskussion ignorieren. Das erste wichtige Merkmal von Mathematica ist, dass dieses Programm zwischen Groß- und Kleinschreibung unterscheidet, dh es unterscheidet im ersten Befehl, den wir eingegeben haben, zwischen lösen und lösen. Alle Funktionen und Programme, die Mathematica intern bekannt sind, müssen großgeschrieben werden. Solve ist also eine Subroutine in Mathematica, die in der Lage ist, Nullstellen von Polynomen zu finden, während Solve keine besondere Bedeutung hat, es sei denn, der Benutzer hat sie zuvor definiert. In ähnlicher Weise versteht Mathematica, dass Sin die übliche Sinusfunktion ist, während sin der Name einer Variablen ist, die in dieser Sitzung unbekannt ist.

Funktionen in Mathematica werden durch [ ] und nicht durch ( ) begrenzt. Sin[x] ist also die übliche Sinusfunktion, während Sin(x) die Variable Sin multipliziert mit der Variablen x ist. Der Operator Solve ist ein Beispiel für eine Funktion mit zwei Argumenten. Das erste wird verwendet, um die Gleichung zu definieren, deren Lösungen wir interessieren, und das zweite ist die Variable, für die die Wurzeln berechnet werden sollen. Alle diese Argumente sind nach [ ] gruppiert. Um die Verwendung von Argumenten in Mathematica besser zu verstehen, probieren wir die folgenden zwei Beispiele aus: und Sind die Ausgaben sinnvoll? In b ist das Symbol x die Variable, bezüglich der die Nullstellen des Polynoms bestimmt werden, und a ist nur ein Parameter, während in c die Rollen von x und a vertauscht sind. Die obigen Beispiele zeigen die wichtigste Eigenschaft von Mathematica: seine Fähigkeit, symbolische Manipulationen vorzunehmen. In b braucht Mathematica den Wert für a nicht zu kennen, um die Nullstellen des Polynoms zweiter Ordnung zu finden. Dies ist nur ein Beispiel von vielen, in dem Mathematica seine logische Kraft nutzt und in der Lage ist, die Antwort auf bestimmte Fragen zu finden. Leider sind dieser Fähigkeit Grenzen gesetzt. Versuchen Sie, die Wurzeln des folgenden Polynoms auf Mathematica zu finden:

x 5 - a x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + x -1 = 0.
Die Antwort von Mathematica ist seine Art zu sagen, dass es nicht weiß, wie man die Wurzeln von Polynomen fünfter Ordnung symbolisch findet. Diese Antwort stimmt mit einem berühmten Satz der Gruppentheorie überein, der unsere Unfähigkeit bestätigt, Formeln für Wurzeln allgemeiner Polynome mit Graden größer oder gleich fünf zu schreiben. Andererseits, indem wir einfach den Graphen dieses Polynoms fünfter Ordnung für ein festes a zeichnen, erkennen wir, dass es einige reelle Wurzeln hat. Mathematica ist in der Lage, diese Wurzeln numerisch, dh durch Näherungsverfahren, zu finden. Dazu muss man in der Definition des Polynoms einen konkreten Wert des Parameters a angeben.Try Mathematica findet alle fünf Nullstellen dieses Polynoms: NSolve ist ein auf einer numerischen Näherungstechnik basierendes Programm, das insbesondere in der Lage ist, Lösungen für bestimmte Gleichungen zu finden, es ist in der Lage, Nullstellen von Polynomen zu finden.

  1. Benutzen ? (weitere Informationen finden Sie im nächsten Abschnitt) mit Solve und NSolve , und machen Sie sich mit der Syntax dieser Befehle vertraut.
  2. Verwenden Sie Solve oder NSolve, um die Nullstellen oder Nullstellen der folgenden Ausdrücke zu bestimmen.
    1. a x 2 + bx + c
    2. a x 3 + b x 2 + c x + d
    3. x 2 + 1
    4. x 3 + 1
    5. x 1/3 - x + 1
    6. sinx - 1/3
    7. Sünde 2 x - 1/3
    8. sinx 2 - 1/3
    9. sinx - x. Machen Sie sich mit der Syntax des FindRoot-Befehls vertraut, indem Sie ? . Verwenden Sie dann FindRoot in diesem Problem.
    1. braun x - 3x + 1
    2. Das algebraische Gleichungssystem equation
      1. 3 x - 2 y = 2, x + y = 7
      2. a x - y = 0, x + a y = 1
      3. x 2 - y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4
      4. x 3 - y 3 = 1, x 2 - 3 x y + y 2 = 8
      5. a x + y +z = 1, x - y + 2 z = 0, 2x + 3 y - z = 2
      6. 3 x 2 - 4y 2 + 3 z = 1, x + y + z = 0, z 3 - x 2 y = -1

      1.3 Der Hilfebefehl in Mathematica

      1.4 Faktorisierung und Vereinfachung

      Zu den elementaren Operationen, die Mathematica ausführen kann, gehören das Erweitern, Faktorisieren und Vereinfachen von Ausdrücken. Zum Beispiel der Befehl zum Erweitern
      (a+b+c) 3
      is Der erste Befehl löscht alle vorherigen Werte, die a , b und c zugewiesen wurden. Mathematica antwortet mit Wir können nun den obigen Ausdruck (vorausgesetzt, dass er in Out[4] der aktuellen Sitzung gespeichert ist) faktorisieren, indem wir den ursprünglichen Ausdruck wiederherstellen. Wir stellen fest, dass wir anstelle von Factor[Out[4]] % verwenden könnten, um das gleiche Ergebnis zu erzielen, wenn der Ausdruck, auf den Factor einwirkt, die neueste Ausgabe der Sitzung ist.

      Die Operationen Expand , Factor und Simplify sind sehr nützlich, wenn wir die Art von Identitäten beweisen wollen, die man üblicherweise in der elementaren Algebra findet. Erinnern Sie sich zum Beispiel an die Identität

      (a+b) 2 - (a-b) 2 = 4 a b
      für zwei beliebige Parameter a und b. Um diese Identität in Mathematica zu überprüfen, geben wir ein. Wenn wir den obigen Befehl wiederholen, aber Expand durch Factor ersetzen, erhalten wir das gleiche Ergebnis. Lassen Sie uns nun die vorherigen drei Befehle ausprobieren
      a 2 - 2 a b + b 2 .
      Factor und Simplify geben uns den passenden alternativen Ausdruck für a 2 – 2 ab + b 2 , während Expand den Ausdruck unverändert lässt. Als nächstes wenden wir diese drei Befehle auf den Ausdruck an
      1/(x+t)- 1/(x-t)
      um ein besseres Gefühl für den Leistungsumfang jeder der oben genannten internen Funktionen zu bekommen: Expand gibt den ursprünglichen Ausdruck zurück, während Factor zurückgibt, während Simplify uns ermöglicht, dass Mathematica auch trigonometrische Funktionen manipulieren kann. Gibt beispielsweise das Ergebnis zurück, das wir von der elementaren Trigonometrie erwarten. Um ein Gefühl für die Leistungsfähigkeit des Simplify-Befehls von Mathematica zu bekommen, versuchen wir es. Ist die Antwort sinnvoll?

      1. Überprüfen Sie die folgenden Identitäten in Mathematica.
        1. sin 2x = 2sin x cos x
        2. cos 2x = 2 cos 2 x - 1
        3. sin 3x = 4 sin 3 x - 3 sin x
        4. tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1 - tan x tan y)
        1. Kinderbett (x + y), Kinderbett x und Kinderbett y
        2. sin(4x), sin x und cos x
        3. cos x und cos x/2
        4. tan 2x und cos x
        1. cos(x+y)+cos(x-y)
        2. cos(x+y)-cos(x-y)
        3. cos(x+y)+sin(x+y)
        4. cos 2 2x - sin 2 2x
        5. cos 2 a x - sin 2 a x
        6. cos 3 x - sin 3 x (Versuchen Sie Faktor, gefolgt von Vereinfachen.)

        1.5 Funktionsdefinition

        Es ist auch möglich, Funktionen von mehr als einer Variablen in Mathematica zu definieren. Zum Beispiel wird das Polynom zweiter Ordnung g(x) = x 2 - a x + 3 definiert durch, und die Operation zum Finden seiner Wurzeln wird durch Eingabe von Viele interne Funktionen in Mathematica als Eingabeausdrücke, die Funktionen beinhalten, ausgeführt. Wir haben bereits das Beispiel von f in (1.1) und die interne Funktion Solve gesehen. Ein weiteres Beispiel ergibt sich mit FindRoot , einer Variante des Solve-Befehls. Diese interne Funktion berechnet Wurzeln von Funktionen numerisch und ist Solve in Fällen vorzuziehen, in denen die Funktion f ziemlich kompliziert ist und man auf Näherungsverfahren zurückgreifen muss, um ihre Wurzeln zu suchen. Seine Syntax erfordert die Angabe einer anfänglichen Schätzung für eine Wurzel. Bestimmt zum Beispiel eine Wurzel von f, indem ein Wurzelsuchalgorithmus auf f angewendet wird, basierend auf der Newton-Methode, wobei der Algorithmus am Punkt x = 3 beginnt. Mathematica liefert eine gute (wenn auch nicht sehr gute) Annäherung an den genauen Wert p . Es stehen jedoch zwei Optionen für FindRoot zur Verfügung, die den ungefähren Wert viel näher an den genauen Wert liefern (versuchen Sie es mit FindRoot für die Liste der Optionen). Sie sind MaxIterations und WorkingPrecision . Wenn wir es versuchen, erhalten wir das, was auf acht Stellen genau ist. Einige der nachgestellten Ziffern in der obigen Antwort können auf Ihrem Gerät abweichen. Die obige Berechnung wurde auf einer SUN-Workstation und einem PC 486 unter Verwendung der Version 3.0 von Mathematica durchgeführt.

        Der Leser erinnert sich vielleicht daran, dass das Newton-Verfahren auf der Tangentenvektor-Approximation von f basiert, die eine Differenzierung von f erfordert. In Fällen, in denen es mühsam ist, die Ableitung von f zu berechnen, ist die Sekantenmethode vorzuziehen, die den Tangentenvektor durch eine Sehne ersetzt, die durch zwei Punkte auf dem Graphen von f verläuft. Eine der Optionen in FindRoot erlaubt es, zwei Startpunkte anzugeben, zu denen eine Variante der Sekantenmethode aufgerufen wird. Verwendet beispielsweise Funktionsauswertungen bei x = 3 und x = 4, um den Näherungsalgorithmus zu starten.

        1. Definieren Sie die folgenden Funktionen in Mathematica und werten Sie sie an den angegebenen Punkten aus.
          1. f(x) = (1-x)/(1+x): x = 0, 0,5 und p
          2. f(x) = log(x + [ Ö (1 - x 2 )]): x = 0, 0,1, 0,2 und 0,3
          1. f(x) = x - 2/x
          2. f(x) = x 2 - 2/x
          3. f(x) = (x 2 -1)(x-2) + x
          4. x sin x + cos x

          1.6 Differenzierung und Integration

          ist in der Lage, Funktionen symbolisch zu differenzieren und zu integrieren. Die Ableitung einer Funktion wie x sin 2 x wird durch gefunden, während ihr Integral durch Eingabe bestimmt wird Die Befehle D und Integrieren von Mathematica verwenden die grundlegenden Eigenschaften der Differentiations- und Integrationsoperatoren, wie die Linearitätseigenschaft, um komplizierte Berechnungen auf . zu reduzieren eine Reihe einfacherer. Diese Eigenschaften werden dann mit ausgeklügelten Tabellen bekannter Ableitungen und Integrale kombiniert, die es dieser Software ermöglichen, ihr Ziel erfolgreich zu erreichen. Die Leistungsfähigkeit dieser Software macht sich besonders bei der Integration bemerkbar, wo wir uns aus der Elementarrechnung daran erinnern, dass wir oft auf Methoden wie Partialbrüche oder spezielle Substitutionen oder Integration von Teilen zurückgreifen müssen, um den Integranden auf einen handhabbaren Ausdruck zu reduzieren. Um zum Beispiel das Integral auszuwerten
          &oakut
          &otild
          1/(1+x 4 )dx
          Bei Verwendung von Standardtabellen müssen wir zunächst beachten, dass 1+x 4 Faktoren in
          (1- Ö 2x+x 2 )(1+ Ö 2x + x 2 )
          und wenden Sie die Methode des Partialbruchs an, bevor Sie die Integrationstabelle verwenden. Auf der anderen Seite ergibt sich Das bestimmte Integral _0^1 dx wird auf ähnliche Weise bestimmt: was ergibt Um eine dezimale Näherung an den obigen Wert zu erhalten, wenden wir die N-Operation darauf an: Wir erinnern daran, dass % für die vorherige Ausgabe steht. Die neue Ausgabe ist, dass Mathematica auch numerische Integrationen durchführen kann. Die interne Funktion NIntegrate gibt einen ungefähren Wert der Funktion zurück, mit der sie arbeitet. Um zum Beispiel () numerisch auszuwerten, geben wir in Mathematica ein, was sich gut mit dem Ergebnis des numerischen Wertes vergleichen lässt, den wir erhalten, nachdem wir dieses Integral genau ausgewertet haben.

          Trotz aller Bemühungen kann man sagen, dass die Klasse von Funktionen, deren Stammfunktion wir explizit aufschreiben können, eher klein ist. Wenn wir nur damit beginnen, Funktionen zufällig aufzulisten, könnten wir schnell Funktionen generieren, deren Stammfunktionen entweder umständlich auszuwerten oder gar nicht durch elementare Funktionen der Infinitesimalrechnung auszudrücken sind. Viele Funktionen der mathematischen Physik fallen in die letztere Kategorie, darunter e -x2 , sin(x 2 ) und frac1 Ö <1-m sin 2 x>. Als Ergebnis der Bemühungen vieler mathematischer Analytiker in den letzten paar hundert Jahren werden die Eigenschaften solcher Stammfunktionen tabelliert, die jetzt in den meisten Computeralgebren, einschließlich in Mathematica, allgemein verfügbar sind. Zum Beispiel die Funktion

          f(x) = &oakut
          &otild
          x

          0

          e -t2 dt
          kann aufgerufen werden, wenn Mathematica mit antwortet. Die interne Funktion Erf[x] wird als Fehlerfunktion bezeichnet. Es erscheint prominent in der Wahrscheinlichkeitstheorie, neben anderen Zweigen der Mathematik. Wir können f jetzt wie jede andere in Mathematica definierte Funktion manipulieren. Ein weiteres Beispiel ist
          g(x) = &oakut
          &otild
          x

          0

          sint 2 dt.
          Wenn wir eintreten, erhalten wir, dass die Funktion FresnelS das Fresnel-Integral genannt wird, das Anwendungen in der Theorie der Lichtbeugung hat. Ein drittes Beispiel ist h(x) = _0^1 dt. Wenn wir es dieses Mal versuchen, erhalten wir die Antwort in Bezug auf die elliptische Funktion der ersten Art. Aus dieser Funktion können wir nach wie vor Zahlenwerte und grafische Daten erhalten. Versuchen wir zum Beispiel, Mathematica antwortet mit wo eine numerische Näherung an das Integral in h erhalten wird. : Die in () definierte Funktion h erscheint natürlich im Zusammenhang mit der Schwingungsdauer eines nichtlinearen Pendels. Gehen wir beim letzten Beispiel noch etwas weiter. Da h eine Funktion in Mathematica definiert, sollten wir sie nach x differenzieren können. Sei i(x) = h'(x), was wir auswerten durch. Da wir auf diese Themen später im Text noch ausführlich eingehen werden, verschieben wir deren Behandlung in Mathematica zu diesem Zeitpunkt.

          1. Unterscheiden Sie die folgenden Funktionen.
            1. f(x) = log x/(x+1)
            2. f(x) = sin 3 4x cos 5 7(x 2 -2x +1)
            3. f(x) = x x-1
            1. f(x) = x/(x-1)
            2. f(x) = x sin x
            3. f(x) = x 2 sin x
            4. f(x) = x 10 sin x
            5. f(x) = e x sin x (e x ist Exp[x] in Mathematica )
            6. f(x) = sin 2 x
            7. f(x) = sin(x 2 )
            8. f(t) = t e t^2
            9. f(s) = e s^2
            1. ò - ¥ ¥ 1/(1 + x 2) dx (Ans: Integrate[1/(1+x^2), x, -Infinity, Infinity )
            2. ò 0 ¥ e -t^2 dt
            3. ò 0 ¥ e -a t^2 dt, a ist ein Parameter
            4. ò 0 ¥ e -s^t sint dt (Dies ist die Laplace-Transformation von sin t.)

            Axt) f(x,t) dt ) = f(x,b(x))-f(x,a(x))+ &oakut
            &otild b(x)

            1.7 Zweidimensionale Grafiken

            In Anwendungen müssen wir oft mehrere Grafiken auf demselben Bildschirm zeichnen. Wie wir in den späteren Kapiteln sehen werden, stellt beispielsweise die Menge von Funktionen f(x) = sinn x eine Menge von Grundfunktionen dar, hinsichtlich derer wir die Fourier-Reihe einer großen Klasse von Funktionen entwickeln. Jeder sinn x, wobei n eine positive ganze Zahl ist, repräsentiert einen Schwingungsmodus mit der Periode frac2 p n. Durch die grafische Darstellung dieser Funktionen sieht man, wie die verschiedenen Modi im Vergleich zueinander stehen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Graphen von sinn x mit n = 1, 2 und 3 auf demselben Bildschirm zu zeichnen. Eine Möglichkeit besteht darin, die Graphen jedes Modus separat zu zeichnen und sie dann mit Show zu kombinieren: Jede der ersten drei Linien zeichnet einen separaten Graphen. Die letzte Zeile kombiniert die drei Grafiken auf einem neuen Bildschirm.

            Eine zweite Möglichkeit, das gleiche Ergebnis zu erzielen, besteht darin, die folgende Syntax zu verwenden: Abbildung zeigt die Ausgabe. Abbildung Abbildung 1: Die Ausgabe für Plot[Evaluate[Table[Sin[n x], n, 1, 3]], x, 0, 2 Pi]. Um eine Hardcopy eines von uns in Mathematica erstellten Graphen zu erhalten, müssen wir die spezifischen Funktionen der Software und der Plattform, auf der sie installiert ist, berücksichtigen. Um beispielsweise eine Hardcopy des obigen Diagramms in einer Notebook-Sitzung zu erhalten, müssen wir zuerst die Zelle mit dem Diagramm markieren und dann Drucken aus dem Dateimenü auswählen. Wenn dagegen auf einer SUN-Workstation auf die eigenständige Version von Mathematica zugegriffen wird, erledigt der Befehl PSPrint die Aufgabe. Angenommen, der obige Graph ist beispielsweise in Out[24] gespeichert, versuchen Sie es einfach oder einfach, wenn der Graph die neueste Ausgabe ist.

            Eine andere Möglichkeit, die Graphen von sinnx zu zeichnen, ist die Verwendung von GraphicsArray : Nun werden die obigen drei Graphen separat, aber auf demselben Bildschirm geplottet (vgl. Abbildung ). Diese Form von Grafiken ist nützlich, um Wellenbewegungen anzuzeigen. Abbildung Abbildung 2: Die Ausgabe von Show[GraphicsArray[. ]] Befehl.

            1.7.1 Kurven in der Ebene

            Kurven sind die geometrischen Manifestationen von Partikelbewegungen in einer Domäne. Typischerweise stellen Kurven in diesem Text Bewegungen von Fluidpartikeln in Kraftfeldern dar und sind daher zeitlich parametrisiert. Die Position eines Teilchens zum Zeitpunkt t wird durch einen Vektor r (t) dargestellt, dessen Endpunkt den Ort des Teilchens zum Zeitpunkt t bezeichnet. Beispielsweise,
            r (t) = á 2sin t, 2cos t ñ
            definiert eine Kurve in der Ebene R 2 , wobei die x- und y-Komponenten jedes Punktes 2sint bzw. 2cost sind. Da x 2 + y 2 = 4 ist, ist diese Kurve ein Kreis mit Radius 2. Um ihren Graphen zu zeichnen, wenden wir ParametricPlot auf r an: Eine der Optionen von Show ist AspectRatio . Zeigt daher einen Kreis mit dem Seitenverhältnis 1:1 an. Wir haben die Möglichkeit, die beiden obigen Befehle wie folgt zu einem zu kombinieren: ParametricPlot hat mehrere Optionen, darunter PlotPoints und PlotStyle . Die Option PlotPoints ist besonders nützlich, wenn der Kurvenbereich stark oszillierend ist, da diese Option die Anzahl der Punkte angibt, an denen die Parametrisierung r ausgewertet werden soll. Der Standardwert von PlotPoints ist 25. Vergleichen Sie die Ausgaben von und Wir werden näher auf die Parametrisierung und ParametricPlot zurückkommen, wenn wir Kurven und die Konzepte von Geschwindigkeit und Beschleunigung im Kontext der Vektorrechnung betrachten.
            1. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen.
              1. f(x) = sin(5x). Wie groß ist die Periode dieser Funktion, das heißt, was ist der kleinste Wert von T > 0 für den f(x+T) = f(x) ist?
              2. g(x) = sin(2x) + 3sin(3x). Welche Periode hat diese Funktion?
              3. h(x) = sinx + sin Ö 2 x. Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion in den Intervallen (0,5), (0,10) und (0,50). Geben diese Graphen einen Hinweis darauf, ob h periodisch ist oder nicht? Warum?
              1. Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion. Verwenden Sie die Option PlotRange -> All with Plot, um den gesamten Funktionsumfang zu erhalten.
              2. Vergleichen Sie diesen Graphen mit den Graphen der Funktionen g(x) = f(x+4) und h(x) = f(x/0.5) über denselben Bereich. Gibt es eine Skalierungsänderung zwischen diesen drei Grafiken?
              3. Zeichnen Sie auf demselben Bildschirm den Graphen von (f(x-2 t)+f(x+2 t)) für t im Bereich zwischen 0 und 2 in Schritten von 0,25. Führen Sie diesen Teil durch, indem Sie zuerst () als neue Funktion g(x,t) definieren und dann verwenden, um alle Graphen auf demselben Bildschirm zu zeichnen. Experimentieren Sie mit den Optionen GridLines und Frame, bis Sie eine Figur ähnlich der Figure erhalten. Gibt es eine Maßstabsänderung in diesen Diagrammen?
              1. r (t) = &aakute sin 2 t, cos 2 t ñ t Î (0, 2 p )
              2. r (t) = &aakute Sünde 5 t, cos 5 t ñ t Î (0, 2 p )
              3. r (t) = &aakute sin 3 t, cos 2 t ñ t Î (0, 2 p )
              4. r (t) = &aakute sin 3 t, cos2t ñ t Î (0, 2 p )
              5. r (t) = &aakute sin 5 t, cos(1+2t) ñ t Î (0, 2 p )

              1.8 Dreidimensionale Grafiken

              Die Syntax zum Zeichnen von Oberflächengraphen in drei Dimensionen ist der von zweidimensionalen Grafiken sehr ähnlich. Erzeugt zum Beispiel die Oberfläche der Funktion f definiert durch f(x,y) = sinx cosy im Bereich (0, p)×(0, p). Ähnlich wie Plot bietet Plot3D mehrere Optionen, die wir im Kontext des Graphen eines ``Sombrero' untersuchen: Die mathematische Gleichung, die diese Fläche beschreibt, lautet
              f(x,y) = sinr/r, wobei r = _____
              Ö x 2 +y 2
              .
              Zuerst definieren wir den Polarradius r: und zeichnen dann die Funktion f durch Wir machen nun zwei Schritte, um das Bild auf dem Bildschirm zu verbessern. Zuerst verwenden wir PlotRange, um Mathematica zu zwingen, uns den gesamten Bereich des Plots anzuzeigen: Der zweite Schritt besteht darin, PlotPoints mit Plot3D zu verwenden, um zu verlangen, dass Mathematica mehr Punkte auf der x- und y-Achse in seiner Plotroutine verwendet: Abbildung Abbildung 4 : Der Graph des ``Sombrero." Der ParametricPlot3D ist das Analogon von ParametricPlotParametricPlot für Kurven, deren Bereich im dreidimensionalen Raum R 3 liegt. Zum Beispiel der Graph einer Helix, deren Parametrisierung . ist
              r (t) = &aakute sin3t, cos3t, t ñ ,
              mit t Î (0, 2 p ), erhält man aus Man kann das Seitenverhältnis des Graphen mit der Option AspectRatio mit ParametricPlot3D oder Show auf jeden gewünschten Wert einstellen.

              Wir können auch die Graphen von Oberflächen mit ParametricPlot3D plotten. Die Parametrisierung einer Fläche erfordert per Definition zwei unabhängige Parameter. Zum Beispiel kann die Fläche, deren Gleichung durch z = x 2 +y 2 im Bereich (x, y) Î (-2, 2)×(-2, 2) gegeben ist, auch als Menge von Punkten (x , y, x 2 + y 2 ). Hier sind die beiden unabhängigen Parameter x und y, die jeweils Werte im Intervall (-2,2) annehmen. Die Syntax von ParametricPlot3D zur Darstellung dieser Fläche ist Die bisher betrachteten Flächen haben die Eigenschaft, dass man eine explizite Formel aufschreiben könnte, die eine der Koordinaten der Punktemenge auf der Fläche mit den verbleibenden beiden in Beziehung setzt. Zum Beispiel kann die Menge der Punkte (x, y, x 2 + y 2 ) mit (x,y) Î (a,b)×(c,d) ausgedrückt werden durch die Beziehung z = x 2 +y 2. Die Funktion f(x,y) = x 2 +y 2 ist das Argument, das wir an Plot3D übergeben, um den Graphen dieser Punktmenge zu zeichnen. Wir betrachten nun Beispiele von Oberflächen, die nicht ohne weiteres als z = f(x,y) ausgedrückt werden können. Viele bekannte geometrische Oberflächen, darunter Zylinder, Kugeln und Tori, sind Beispiele für solche Oberflächen. Beginnen wir mit dem Beispiel einer Kugel mit Radius 1, deren Gleichung x^2+y^2+z^2=1 ist. Es ist leicht zu sehen, dass () äquivalent zu z= ist. Wir können nun die beiden Funktionen in () mit Plot3D verwenden und die resultierenden Flächen mit Show kombinieren. Eine Komplikation ergibt sich aufgrund der Domäne in (). Wenn wir es versuchen, beschwert sich Mathematica über die komplexen Zahlen, die mit bestimmten Werten in der Domäne verbunden sind (z.

              Gleichungen () beschreiben die Oberfläche der Kugel in rechtwinkligen Koordinaten, einem Koordinatensystem, das zum Zeichnen der Kugel nicht natürlich oder bequem ist. Stattdessen suchen wir nach der Beschreibung dieser Fläche in Kugelkoordinaten. In diesem neuen Koordinatensystem wird ein Punkt, dessen rechtwinklige Koordinaten x, y und z sind, durch (r, u, v) dargestellt, wobei x = r u v, y = r u v, z = r u, wobei u und v die Standardkugelwinkel sind.Nachdem wir () durch () ersetzt haben, stellen wir fest, dass die Gleichung für die Kugel die einfache Form r = 1 annimmt. Die Gleichungen () und () erzeugen in Kombination mit ParametricPlot3D den Plot der Einheitskugel: Die Ausgabe der obigen Zeile ist in Abbildung dargestellt. Abbildung Abbildung 5: Der Graph der Kugel mit Radius 1.

              Viele der vertrauten Formen und Oberflächen, die wir in der Mathematik studieren, sind bereits in Mathematica programmiert und stehen als integrierte Funktionen zur Verfügung. Um auf sie zuzugreifen, müssen wir zuerst die spezielle Bibliothek der Formen in unsere Mathematica-Sitzung eingeben und einlesen. Um beispielsweise den Graphen eines Torus zu erhalten, geben wir den Befehl ein, während die Oberfläche des Möbiusstreifens mit Innenradius 1 und Außenradius 2 mit 160 Polygonen gezeichnet wird. ist in der Lage, Animationen zu rendern. In vielen Anwendungen ist es möglich und oft auch wünschenswert, eine Folge von Graphen zu erzeugen und in Bewegung zu setzen. Betrachten Sie zum Beispiel die Schnappschüsse einer ``vibrierenden Saite", die von

              u(x, t) = sinx-Kosten,
              mit x Î (0, p). Für jedes feste t ist der Graph der Funktion u(·,t) eine Momentaufnahme des Strings. Lassen Sie uns zunächst eine Sequenz dieser Schnappschüsse erstellen: Die Option PlotRange zeichnet alle Schnappschüsse über denselben vertikalen Bereich. Die Schwingungsdauer beträgt 2 p (Kostenperiode), daher lassen wir t von 0 bis 2 p in Schritten von 0,25 variieren. Wenn wir die Notebook-Version von Mathematica in Windows 3.1 oder auf einer SUN-Workstation verwenden, animieren wir die obige Sequenz von Diagrammen, indem wir zuerst die Zelle auswählen, die alle Diagramme enthält, als nächstes wählen wir Zelle aus dem oberen Menü, aus dem wir Ausgewählte Grafiken animieren auswählen .

              1. Zeichnen Sie den Graphen der folgenden Kurven im angegebenen Bereich.
                1. r (t) = &aakutes t, t, t ñ t Î (0,1)
                2. r (t) = á fract12, fract4, frac12+sint ñ -2 p< t < 2 p
                3. r (t) = á e -fract4 sin3t, e -fract4 cos3t, fract12 ñ t Î (0, 4 p ) (verwenden Sie die PlotPoints-Option von ParametricPlot3D, um einen Graphen mit besserer Auflösung zu erhalten)
                4. r (t) = á sint, cost, frac1[ Ö (t 2 +1)] ñ t Î (0, 2 p )
                5. r (t) = &aakute sinhfract6, sin(4t), coshfract6 ñ 0 < t < 4 p
                6. r (t) = &aakut t+sin3t, frac1t 2 +1 ñ t Î (-2 p , 2 p )
                1. Ein Kreis mit Radius 2, der im Ursprung zentriert ist und sich in der xy-Ebene befindet
                2. Ein im Ursprung zentrierter Kreis mit Radius 2, der sich in der z = 1-Ebene befindet
                3. Die Ellipse, die sich in der xy-Ebene befindet, zentriert im Ursprung mit der Haupt- und Nebenachse von 3 bzw. 2
                4. Die Schnittkurve von x 2 + y 2 = 1 und z = x
                1. z = x 2 + y 2 , mit (x,y) Î (-3, 3)×(-3, 3)
                2. z = [ Ö (x 2 + y 2 )], mit -3 < x < 3 und -3 < y < 3
                3. z = 3x 2 + 4y 2 , in (-3, 3)&mal (-3, 3)
                4. z = sin(x 2 + y 2 ), mit x Î (- p , p ) und y Î (- p , p )
                5. z = sin([ Ö (x 2 + y 2 )]), in (- p , p )×(- p , p )
                6. z = sin(x 2 + y 2 )cos(x), in (- p , p )×(-p , p )
                7. z = sin(x 2 + y 2 )cos(y), in (- p , p )×(-p , p )
                8. z = fracsin[ Ö (x 2 +y 2 )][ Ö (x 2 +y 2 )], in (- p , p )×(- p , p )
                1. u(x, t) = sin3x Kosten x Î (0, p )
                2. u(x, t) = 2 sin3 x Kosten - 3 sinx cos2t x Î (0, p )
                3. u(x, y, t) = sin3 p x sin2 p y cos p t (x, y) Î (0,1)×(0,1)
                4. Der Graph einer Kugelfolge, deren Radien zum Zeitpunkt t durch cos2 p t . beschrieben werden

                1.9 Lösen von Differentialgleichungen

                hat zwei interne Funktionen, DSolve und NDSolve , die spezielle Klassen gewöhnlicher Differentialgleichungen lösen können. DSolve wird hauptsächlich verwendet, um die exakte Lösung für Gleichungen erster Ordnung (nichtlinear) oder lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizientengleichungen zu finden. Hier sind einige Beispiele. Betrachten Sie das Anfangswertproblem
                v' + v2 = 0, v(0) = 1.
                Um eine Lösung für diese Gleichung zu finden, geben wir ein Der Grund für die Bezeichnung a wird in Kürze deutlich. Die Ausgabe ist Diese Ausgabe wird als Ersetzungsregel interpretiert, dh als eine Regel, die v[t] ersetzt, wenn a aufgerufen wird. Ergebnisse in while zeichnet beispielsweise den Graphen von v . Wenn mehr als eine Lösung in einem gespeichert ist, zeigt Plot den Graphen aller Lösungen an.

                Es ist oft praktisch, eine Funktion v mit a zu definieren: Wir können die Funktion v jetzt wie jede andere Funktion manipulieren. Unter der Annahme, dass v die Geschwindigkeit eines Teilchens von Einheitsmasse darstellt, bestimmen wir seine kinetische Energie während des Zeitintervalls t Î (0, 3) durch In ähnlicher Weise erhält man die Beschleunigung des Teilchens durch einmaliges Ableiten von v[t]: Die Einbeziehung der Die unabhängige Variable t in v[t] ist nicht optional. Führt beispielsweise nicht zur richtigen Lösung dieser Gleichung. Außerdem kann der Operand nicht durch ersetzt werden. Hier ist v' + v 2 = 0 eine Gleichung und keine Zuweisung, daher muss verwendet werden. Betrachten wir als nächstes die Differentialgleichung

                mv' + kv = - mg, v(0) = 0.
                Hier stellt v die Geschwindigkeit eines Objekts der Masse m dar, das unter der Wirkung der Schwerkraft fällt und dem eine lineare Reibungskraft entgegenwirkt. Unter der Annahme, dass k und m positiv sind, ist aus dem obigen Ausdruck klar, dass die Endgeschwindigkeit (Grenzgeschwindigkeit) des Objekts -fracm gk ist. Mit m = 70, k = 10 und g = 9,8 definieren und bestimmen wir die Endgeschwindigkeit von v durch Mathematica-Returns DSolve ist ein effektives Werkzeug zum Lösen linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Betrachten Sie das Anfangswertproblem
                x'' + 3 x' + 2 x = 0, x(0) = 1, x'(0) = 0.
                Die exakte Lösung dieses Problems wird gefunden, indem der Befehl DSolve mit Gleichungssystemen genauso gut funktioniert. Betrachten Sie das Anfangswertproblem
                x' = 2 x + 3y, y' = x, x(0) = -2, y(0) = 2.
                Wir geben in Mathematica ein und erhalten die Ausgabe In Anwendungen, in denen Gleichungssysteme auftreten, ist das Lösungspaar (x(t), y(t)) oft die Parametrisierung der Bahn eines Fluidteilchens. Um den Graphen dieses Pfads zu erhalten, geben wir Methamatica ein, der zuerst eine Warnung ausgibt und dann den Partikelpfad grafisch darstellt. Um mit kompilierten Funktionen zu arbeiten, wenden wir zuerst den Evaluate-Befehl auf das Lösungspaar x[t], y[t] an und stellen dann das Ergebnis dar Alternativ definieren wir eine Funktion f als das Lösungspaar x[t], y[t] und dann plotten f: Der zweite Befehl in Mathematica, der in der Lage ist, Lösungen von Differentialgleichungen zu bestimmen, ist NDSolve. Dieses Programm verwendet einen numerischen Algorithmus (basierend auf dem Standard-Runge-Kutta-Schema) und löst sowohl lineare als auch nichtlineare Differentialgleichungssysteme. Betrachten Sie die erzwungene nichtlineare Pendelgleichung x'' + 0.1 x' + x = 0.02 t, mit Anfangsbedingungen
                x(0) = 0, x'(0) = 1.
                Wir haben die Möglichkeit, () als Gleichung zweiter Ordnung an Mathematica oder als System erster Ordnung zu übergeben. Im ersten Fall lautet die Syntax Mathematica antwortet, mit der angibt, dass es erfolgreich eine Näherungslösung für die obige Differentialgleichung erhalten und eine Kurve durch die Datenpunkte (ti , xi ) interpoliert hat, wobei ti Î (0,5) die . sind diskretisierte Werte, die vom Runge-Kutta-Algorithmus ausgewählt wurden. Wir definieren nun eine Funktion x durch Um den Graphen der Lösung x von () zu erhalten, geben wir ihren Wert an einem Punkt wie zB t = 2,15 aus, was 0,8674379209871004 ergibt. Das Paar (x(t), x'(t)) wird aufgetragen durch Die letzte Aussage bringt den Punkt, die Differentialgleichung zweiter Ordnung () als System erster Ordnung zu lösen, so dass Informationen über x und x' verfügbar sind gleichzeitig. Um diese Gleichung auf ein System erster Ordnung zu reduzieren, sei x' = y, aus der wir folgern, dass y' = - 0,1 y - sinx + 0,02 Kosten ist. Somit ist () äquivalent zu x'=y, y' = – 0,1 y – x + 0,02 t, x(0)=0, y(0)=1. Wir sind nun in der Lage, die Näherungslösung von () zu bestimmen und seinen Partikelweg auf folgende Weise darzustellen: Wir erhalten zuerst die Ausgabe Der Partikelweg wird dann grafisch dargestellt, wie in Abbildung gezeigt. Abbildung Abbildung 6: Das Phasenebenendiagramm der Lösung zu x'' + 0.1 x + sinx = 0.02cost.

                1. Verwenden Sie DSolve, um die folgenden Differentialgleichungen zu lösen.
                  1. x' + 3 x = 0
                  2. x' + t x = 3e -t2 , x(1) = 2
                  3. x' + x3 = 0
                  4. y'' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1
                  5. x''' + x' + x = 0
                  6. y'' + y = 0, y(0) = 1, y(1) = -1
                  7. x'' + x = sin2 t
                  8. y'' + y = sint
                  1. x'' + x = 0 x(0) = 0, x'(0) = 1
                  2. y'' +0,1 y'+ siny = 0 y(0) = 0, y'(0) = 1
                  3. y'' +0,1 y' +siny = 0 y(0) = 0, y'(0) = 3
                  4. x'' + 0.1 x + sinx = 0.02 Kosten x(0) = 0, x'(0) = 1, t Î (0, 100)
                  1. x' = y, y' = -x
                  2. x' = y, y' = -x-0,1 y
                  3. x' = y, y' = -x-y
                  4. x' = y, y' = –x – y 2 .

                  1.10 Vektoren, Matrizen und Listen

                  In Mathematica werden Vektoren und Matrizen als Listen eingetragen. Zum Beispiel wird der Vektor a = á -2, 1,3 ñ eingegeben als Ähnlich ist die Matrix
                  B = &eakut
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                  ê
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                  1
                  0
                  -1
                  5
                  1
                  &gravieren
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                  wird eingegeben als Wir können B in Matrixform schreiben, indem wir den Befehl MatrixForm aufrufen. Auf die Elemente einer Liste wird also zugegriffen, indem der Index des Elements zwischen die Trennzeichen [[. ]] . Zum Beispiel ist der erste Eintrag von a a[[1]], während der (1,2)-Eintrag von B B[[1,2]] ist. Außerdem gibt B[[1]] zurück, was die erste Zeile von B ist.

                  Die Länge einer Liste ist die Anzahl der Elemente in der Liste. Zum Beispiel haben der Vektor a und die Matrix B beide Längen gleich 3, wie anhand von Länge[a] und Länge[B] überprüft werden kann.

                  Die Standard-Matrixmultiplikation wird in Mathematica durchgeführt, indem eine Periode ( . ) zwischen die Matrizen gesetzt wird. Um also das Produkt A 1 A 2 der Matrizen zu berechnen

                  A 1 = &eakut
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                  4
                  1
                  -1
                  &gravieren
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                  , A 2 = &eakut
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                  2
                  1
                  1
                  1
                  ù ú ú ú û geben wir jetzt ein Ergebnis in der 3×3-Matrix Um das Produkt A 2 A 1 zu bestimmen, geben wir ein, was die 2×2-Matrix ergibt. Mathematica gibt eine Fehlermeldung zurück, wenn die Dimensionen der multiplizierten Matrizen nicht kompatibel sind. Zum Beispiel werden Rückgaben Matrix- und Vektormultiplikation auf die gleiche Weise ausgeführt. Wenn c der Spaltenvektor ist
                  c = &eakut
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                  &gravieren
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                  ´
                  û
                  ,
                  dann, nachdem wir es definiert haben, indem wir das Produkt von B (vorher definiert) und c berechnen, wodurch ergibt sich auch das Produkt des Spaltenvektors c T mit B wird durch dessen Ausgabe bestimmt Wir bemerken, dass der Vektor c auch definiert worden sein könnte als 3×1-Matrix: Nun B . c kehrt zurück, während c . B gibt die Fehlermeldung zurück Transpose[c] . B gibt zurück Es gibt eine zweite Möglichkeit, Listen in Mathematica mit dem Operanden * zu multiplizieren. Diese Operation zwischen zwei Listen A und B gleicher Länge gibt eine Liste zurück, deren Einträge das Produkt der einzelnen Einträge von A und B sind. Zum Beispiel liefert hier sowohl A als auch B die Länge 2 zurück. Andererseits gibt das Produkt The Append . zurück Befehl fügt Informationen an das Ende einer Liste an. Gibt beispielsweise die 4×3-Matrix mit B als den ersten drei Zeilen und á 1,1,1 ñ als vierte Zeile zurück. Dieser Befehl ist besonders nützlich, wenn im Zuge einer Berechnung neue Einträge berechnet werden und diese Informationen einer Variablen hinzugefügt und für die spätere Verarbeitung gespeichert werden müssen.

                  Die Befehle Det , Inverse , Eigenvalues ​​und Eigenvectors arbeiten gegebenenfalls auf Listen mit den mathematischen Standardergebnissen, die ihre Namen nahelegen. Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix f

                  f(a) = &eakut
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                  &gravieren
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                  .
                  Definieren Sie diese Matrix in Mathematica, indem Sie Now zurückgibt, während führt zu In ähnlicher Weise geben Eigenwerte[f[1]] und Eigenvektoren[f[2]] die entsprechenden Ausgaben zurück. Der Befehl Eigensystem kombiniert die Ausgaben von Eigenwerten und Eigenvektoren .

                  Wir müssen oft eine Menge geordneter Zahlenpaare zeichnen. Der Befehl ListPlot ist das geeignete Werkzeug für diese Aufgabe. Betrachten Sie beispielsweise die folgenden vier geordneten Paare:

                  (1, 0.1), (2, 0.2), (-1, 0.3), (-2, 0.4).
                  Um sie darzustellen, definieren wir zuerst eine Liste, die die vier Paare enthält, und wenden dann ListPlot darauf an: Die Ausgabe ist in Abbildung dargestellt. Abbildung Abbildung 7: Die Ausgabe von ListPlot . Die obige Diskussion berührt nur einen kleinen Teil dessen, was in Mathematica in Bezug auf Listen, Matrizen und lineare Algebra verfügbar ist. Der Leser wird ermutigt, [1] und [2] für weitere Details zu diesem Thema zu konsultieren.

                  1.10.1 Listen und Differentialgleichungen

                  1. Seien A und B definiert durch
                    A =&eakut
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                    3
                    &gravieren
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                    , B =&eakut
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                    -3
                    4
                    7
                    5
                    ù ú ú ú û . Berechne A+B, A-B, AB, BA, 6A und 3A+2B.
                  2. Betrachten Sie die Matrix
                    A =&eakut
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                    &gravieren
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                    ,
                    wobei a, b und c Konstanten sind. Finden Sie alle Werte dieser Parameter, für die die Determinante von A verschwindet.
                  3. Sei A die Matrix
                    A =&eakut
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                    &gravieren
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                    û
                    .
                    Finden Sie alle Werte von a und b, für die die Determinante von A verschwindet.
                  4. Sei A die Matrix
                    A =&eakut
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                    ein
                    &gravieren
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                    .
                    1. Berechnen Sie A 5 und A 10 (verwenden Sie MatrixPower ).
                    2. Verwenden Sie Exp und MatrixExp mit A. Warum unterscheiden sich die Ergebnisse?
                    1. k 1 = k 2 = 10, k 3 = 20 x 1 (0) = 0, x 2 (0) = -1, x 3 (0) = 1, x 1 '(0) = 0, x 2 '( 0) = 0, x 3 '(0) = 0 t Î (0, 3)
                    2. k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 10 x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 0, x 3 (0) = 0, x 4 (0) = 1, x 1 '(0 ) = 0, x 2 '(0) = 0, x 3 '(0) = 0, x 4 '(0) = 0 t Î (0, 5)

                    1.11 Die , := , , - > , /. Betreiber

                    1. Bestimmen Sie das Ergebnis der folgenden Aussagen.
                      1. t == 3
                      2. t = 3 f[t] = Sin[t] Cos[t] f[Pi]
                      3. t = 3 f[t] := Sin[t] Cos[t] f[Pi]
                      4. Sin[a t + b] /. a -> Pi/. b - > 0 /. t - > 1/2
                      5. Löse[x^ 2 - a == 0 /. a -> 3, x]
                      6. Löse[x^ 2 - a == 0, x ] /. a -> 3
                      7. D[Sin[t] /. t - > 3, t]
                      8. D[sin[t], t] /. t -> 3
                      1. Auflösen[x^ 2 - 4 = 0, x]
                      2. Integrieren[f[t] = t^ 2, t, 0, 1]
                      3. D[Sin[t], t/. t - > 3]
                      4. DSolve[x'[t] + x[t] == ​​-1, x[0] = 2, x[t], t]

                      1.12 Loops und der Do-Befehl

                      In vielen numerischen Anwendungen müssen wir eine Operation wiederholt ausführen, während sich einige Parameter mit jeder Iteration ändern können. Der Do-Befehl in Mathematica ist das richtige Werkzeug für eine solche Aufgabe. Betrachten Sie als erstes Beispiel die Summe
                      S = 100
                      &ein Ring
                      ich = 1
                      frac1i 2 .
                      Man kann einen ungefähren Wert für S finden, indem man Do verwendet, indem Mathematica 1.63498 zurückgibt. (Versuchen Sie das letzte Programm mit S = 1, das die erste Zeile ersetzt. Wie unterscheiden sich die Ausgaben?) Wir erhalten auch das gleiche Ergebnis von Sum : Ein anderer Kontext, in dem Do nützlich ist, ist die Ausführung von Iterationen, die natürlich in die Diskretisierung von Differentialgleichungen. Ein einfaches Beispiel für diese Art von Anwendung erscheint in dem numerischen Schema, das die Euler-Approximation der Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung liefert. Betrachten Sie die Differentialgleichung erster Ordnung
                      fracdydx = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 .
                      Die Euler-Approximation der Lösung y(x) sucht eine Folge (x n , y n ), die die Differenzengleichung
                      y n+1 = y n + h f(x n , y n ),
                      mit x n+1 = x n +h , wobei h eine feste kleine positive Zahl ist. Das folgende Programm zeigt, wie Sie diese Sequenz erzeugen und die Näherungslösung mit ListPlot plotten. Dieses Programm ist geschrieben für f(x, y) = - y + sinx, x 0 = 0, y 0 = 1, h = 0,01 und n = 10. Die Funktion von Do im obigen Programm besteht darin, y = y . auszuführen + h*f[x, y] wiederholt, während der Wert von x aktualisiert und das Ergebnis von x und y an die Ausgabe angehängt wird.
                      1. Verwenden Sie Do und summieren Sie die folgenden Reihen.
                        1. å i = 0 20 i
                        2. å i = 1 10 frac1i 2
                        3. å i = 1 100 frac1i 2 . Summiere zuerst die Reihe mit exakter Arithmetik und dann mit Gleitkomma-Arithmetik (d. h. verwende die dezimale Darstellung von frac1i 2 ).
                        4. å i = 1 1000 frac1i. Was ist der genaue Wert der Summe? Finden Sie die Näherung mit 40 Dezimalstellen (verwenden Sie N[Zahl, 40] ). Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Wert der Summe, wenn die dezimale Darstellung von frac1i verwendet wird.
                        1. f(x) = sin2 x x 0 = frac12
                        2. f(x) = sin2 x x 0 = frac32
                        3. f(x) = - sin2 x x 0 = frac12
                        4. f(x) = Ö x + 1 x 0 = 1
                        5. f(x) = sin Ö x + 1 x 0 = 1
                        6. f(x) = frac1x 2 +1 x 0 = 1. Vergleiche das Ergebnis mit der Ausgabe von
                        7. f(x) = ln2x x 0 = frac12

                        1.13 Programmierbeispiele in Mathematica

                        Eine nützliche Funktion von Mathematica besteht darin, dass es einem ermöglicht, Befehlszeilen aus einer externen Datei einzugeben. Mit dieser Funktion und der Kombination einer Reihe interner Funktionen können wir neue Funktionen konstruieren, die speziell auf bestimmte Ziele zugeschnitten sind. Wir geben ein Beispiel für ein solches ``Programm" im Kontext von Differentialgleichungen. Seine Aufgabe ist es, ein System von Differentialgleichungen zu lösen und die Lösung eines Anfangswertproblems darzustellen.

                        Betrachten wir das Differentialgleichungssystem = f(x, y, t), = g(x, y, t) unter den Anfangsdaten x(0) = x0, y(0) = y0, wobei f(x , y, t) = x - y + t, g(x, y, t) = x + y + t und x0 = 0,1, y0 = 1,2. Wir wollen die Lösung dieses Systems über das Intervall (0, 3) auftragen. Die folgenden Zeilen werden in einer Datei namens ode.m gespeichert: : Wenn Sie eine Textverarbeitungssoftware (wie WordPerfect ) verwenden, um Dateien für die Verwendung in Mathematica zu erstellen, ist es eine gute Angewohnheit, die Dateien nur als Text zu speichern. Dann, nachdem wir Mathematica gestartet haben, geben wir ode.m ein, indem wir Clearly eingeben. Wenn wir beabsichtigen, einen anderen Satz von Differentialgleichungen zu lösen, müssen wir nur die Zeilen in ode.m ändern, die f und g definieren, und das neue ode.m-Programm eingeben zu Mathematica.

                        1. Verwenden Sie einen Editor und erstellen Sie die Dateien ode.m , odesolver.m und myode.m . Studieren Sie die Logik jedes Programms sorgfältig. Führen Sie diese Programme separat in Mathematica aus und generieren Sie Figures und .
                        2. Verwenden Sie ode.m, um die Trajektorien der folgenden Systeme von Differentialgleichungen zu zeichnen.
                          1. x' = y, y' = -x x(0) = 2, y(0) = -3 0 < t < 4
                          2. x' = 2x-y, y' = x+y x(0) = -1, y(0) = 1 0 < t < 3
                          3. x' = fracy[ Ö (x 2 +y 2 )], y' = -fracx[ Ö (x 2 +y 2 )] x(0) = -2, y(0) = 2 0 < t < 4
                          4. x' = e -t y, y' = -x+e -3t x(0) = 1, y(0) = -1 0 < t < 1.
                          1. x' = y, y' = -0,1 y - siny
                          2. x' = y, y' = - y - y 3
                          3. x' = x + y(1 - x 2 - y 2 ), y' = y - x(1-x 2 - y 2 )

                          1.14 Glossar nützlicher Befehle

                          1. PSPrint Dieser Befehl wird hauptsächlich in der eigenständigen Version von Mathematica verwendet. Der Eintrag PSPrint[Out[x]] , wobei x die Ausgabe markiert, die Sie drucken möchten, erstellt eine Postscript-Hardcopy der erstellten und in Out[x] gespeicherten Grafiken. In der Notebook-Oberflächenversion von Mathematica führt der Befehl Drucken im Menü diese Aufgabe aus.
                          2. Tabelle Der Befehl Tabelle erstellt eine Liste von Objekten. In seiner Syntax wird eine Liste von Kopien von expr generiert, da i und j von 1 bis n bzw. m variieren. Zum Beispiel Retouren
                          3. Plot, Plot3D, ParametricPlot und ParametricPlot3D Die Befehle Plot, Plot3D, ParametricPlot und ParametricPlot3D zeichnen Graphen verschiedener zwei- und dreidimensionaler Darstellungen von Funktionen. Zeichnet zum Beispiel den Graphen von f(x) = sinx über das Intervall (0, 2 p ), während dieselbe Aufgabe unter Verwendung einer typischen Parametrisierung derselben Kurve ausgeführt wird. Die Befehle Plot3D und ParametricPlot3D haben eine ähnliche Syntax: und führen zu den gleichen Ergebnissen.
                          4. Lösen und FindRoot und FindRoot finden Lösungen von Gleichungen. Typische Beispiele sind und
                          5. DSolve und NDSolve und NDSolve finden Lösungen für gewöhnliche Differentialgleichungen. Ihre Syntax folgt dem Muster und Zum Beispiel und
                          6. LaplaceTransform und InverseLaplaceTransform Das Paket, das es Mathematica ermöglicht, die Laplace-Transformation einer Funktion zu berechnen, ist Calculus`LaplaceTransform` . Es sollte in Mathematica zu Beginn einer Sitzung eingegeben werden als Typische Befehle zum Berechnen der Laplace-Transformation und inversen Transformationen von Funktionen sind und

                          [2] Blachman, Nancy, Mathematica: A Practical Approach, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1992.


                          Inhalt

                          Folgende Themenschwerpunkte sind im Kurs enthalten:

                          1.1. Differentialgleichungen erster Ordnung und mathematische Modelle.
                          1.2. Steigungsfelder und Anfangswertprobleme.
                          1.3. Eulersche Näherung.
                          1.4. Existenz und Eindeutigkeit, Satz von Picard-Lindelöf (als Anwendung des Fixpunktsatzes).
                          1.5. Gronwalls Lemma und die Konvergenz der Eulerschen Methode.
                          1.6. Analysewerkzeuge: Integration von Faktoren, Trennung von Variablen und exakte Gleichungen.
                          2.1.
                          Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung und linearer höherer
                          Ordnungsdifferenzialgleichungen: fundamentale Lösungen, die Lösung
                          Platz.
                          2.2. Der Satz von Wronski, Abel.
                          2.3. Analysewerkzeuge: unbestimmte Koeffizienten und die Variation von Parametern.
                          3. Numerische Methoden: (eingebettete) Runge-Kutta-Methoden und Adaptivität.
                          4. Steifigkeit, implizite Methoden, A-Stabilität.
                          5.1. Einführung in Ito-SDEs: Ito-Integral, Ito-Prozess, Ito-Formel.
                          5.2 Numerische Methoden für SDEs: Euler-Maruyama- und Milstein-Methoden, schwache und starke Konvergenz.